Álgebra Vetorial

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 25 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1 Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações e justifique a sua resposta a AB AB b CD AB CD AB c D C e B A CD AB d BD AC CD AB e BD AC CD AB f CD AB CD AB g CD AB CD AB h Se CD AB então existe um único plano contendo A B C e D i CD AB CD AB j Se w u v r r r então w u v r r r 2 Na figura 1 os hexágonos são regulares Em cada caso determine a soma dos vetores indicados 3 Obtenha a soma dos vetores indicados em cada caso da figura 2 a ABCDEFGH é um paralelepípedo b ABCDEFGH e EFGHIJLM são cubos de arestas congruentes c O cubo ABCDEFGH tem centro O e está dividido em oito cubos congruentes por planos paralelos às faces 4 Utilize o paralelepípedo da figura 2a para determinar o vetor x em cada caso a AB AE FE HE GH x b BE AF BC DG CF HD x 5 Na figura 2a sejam AC AH w AB v u Obtenha representantes dos vetores x e y tais que 0 x v u e 0 y w v u Figura 1 Figura 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 26 6 O ponto P na figura 3 divide AB em dois segmentos Expresse OP como combinação linear dos vetores OA e OB 7 Na figura 4 AD DC 2 Expresse BD em função de BA e BC 8 Sejam M N P e O pontos coplanares e não colineares tais que 2 5 MN PM uuuur uuuur Escreva ON como combinação linear de OM e OP 9 Sejam A B C e D pontos coplanares tais que CD e CB são LI e 1 3 CD AB uuur uuur a Expresse AD como combinação linear de AC e AB b Trace um representante de AD a partir da combinação linear obtida 10 Sabendose que a distância entre os pontos 321 P e Q1 1 z é 7 unidades calcule z 11 Demonstre que n vetores são linearmente dependentes se e somente se um deles é combinação linear dos outros 12 Estude a dependência linear dos seguintes vetores a 005 e 007 b 513 000 e 123 c 101 d 112 011 e 111 13 Dados os vetores a 111 b 112 c 011 e d 123 perguntase a Esses vetores são LI ou LD Justifique a resposta b Escreva um deles como combinação linear dos outros 14 Dados os vetores 1 0 e 2 3 5 a w n m n v m u determine o valor de a para que os vetores w u v e sejam LD sabendose que 201 m e 021 n 15 Demonstre vetorialmente o teorema de Pitágoras O B P Figura 3 A A B C D Figura 4 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 27 16 Dada a base i j k sejam 17 Demonstre que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos quatro lados em outras palavras provar que 18 Verifique se os pontos A B e C são colineares nos seguintes casos a A101 B100 C521 b A ½ 0 2 B ½ 1 2 C231 19 Verifique se os pontos A210 B110 C315 e D012 são coplanares 20 Sabendo que o ângulo entre os vetores 1 12 ur e 1 1 2 v k r é dado por 3 rad determine o valor de k 21 Qual o valor de para que 5 4 a i j k r r r r e 1 2 4 b i j k r r r r sejam ortogonais 22 Determine o valor de m para que o vetor 21 m wr seja simultaneamente ortogonal aos vetores 1 2 10 v ur e 2 1 3 1 v uur 23 Sabendose que 3 ar 2 b r e 45o é o ângulo entre ar e b r calcule a b r r 24 Determine o vetor X r tal que 2 X i k i j k r r r r r r e 6 X r 25 Considere os vetores e u v w r r r que determinam um tetraedro na figura Determine a a área da face do tetraedro oposta ao vértice O b a área do paralelogramo determinado pelos vetores e v w r r c o ângulo formado entre ur e o eixo X 2 2 2 wr vr ur 3 1 3 4 O Z Y X e g g g são bases se Verifique 7 4 3 2 7 2 2 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 f f f k j i k g j k g j i g b k j i k f i k f j i f a r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 2 2 2 2 2 2 v u v u v u r r r r r r ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 28 26 Determine a resultante das forças em cada item a seguir 27 Determine vr paralelo ao vetor 21 1 ur tal que 18 v u r r 28 Calcule x sabendose que 11 A x B1 10 e C21 1 são vértices de um triângulo de área 20 2 29 Dados os pontos A123 B525 e M429 determine as coordenadas dos pontos C e D tal que ABCD nesta ordem seja um paralelogramo onde M é ponto médio do segmento AC calcule as coordenadas do vértice B 101 e A 2 2 diretores de AC é c Sabendo que um dos cossenos 2 e AB Considere um ABC com área igual a 4 AC 32 o os i 33 Do paralelogramo ABCD sabemos que B123 C121 e M é ponto médio de BC S é um 1 2 ponto de AM tal que DS DM DA e AM 102 Calcule a área do triângulo ASD 3 3 uuur uuuur uuur uuuur a 1F 80kgf r 2F 150kgf r e 3F 180kgf r b 1F 120kgf r 2F 100kgf r e 3F 120kgf r 30 A medida algébrica da projeção de um vetor sobre o eixo é igual a 13 Sabendose que 3 a o eixo tem o mesmo sentido de AB onde 622 e 830 6 b o cos 7 v f f A B v i r uuur r r e 7 Quais as coordenadas de 31 Os vetores AB AD e AE têm para representantes as arestas de um cubo de base ABCD onde 1 1 A120 B141 e AE 0 Determin 2 2 o v v r r uuur uuur uuur uuur e as coordenadas do vértice C ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 29 2 Determine as coordenada s do vetor AM em relação ao vértice A e AE 0 AC é bissetriz do triângulo ABD 34 Na figura abaixo A000 B110 D101 EM AD são coplanares Esses vetores 3 4 e w 5 2 v 3 35 Calcule o produto misto dos vetores u k j i k j i k j i 38 Dados 2 13 b a e 24 a b calcule a b a b as coordenadas do vetor b sabendo que os ângulos diretores de b são agudos e congruentes 39 Dados k m j i b mk j i a 2 e 3 determine m de modo que a b a b seja uma base ortogonal 40 Dados os pontos A001 B2 1 2 C022 e Dt3t t 1 que constituem os vértices de um tetraedro ABCD determine t sabendo que o volume deste tetraedro é 3 5 41 De um paralelogramo ABCD temos A123 B523 C734 AB DM e 1 DE DB 3 uuur uuur Determine a área do triângulo MDE B E A M E D C B Calcule as coordenada s do ponto D sabendo se que o mesmo está no eixo das ordenadas Os pontos A211 B301 e C213 são vértices de um tetraedro ABCD de volume 1 37 w A v e D A u C A ABCD onde B volume do tetraedro calcule a área do triângulo ABC o e 2 3 e w 2 36 Sendo u k j k j i j v i A D M C ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 30 42 Do tetraedro ABCD temos as seguintes informações A000 D15t AB o uuur 100 3 8 3 8 2 0 3 2 1 VABCD AB AC AC o e o triângulo ABC é eqüilátero Determine as coordenadas do vértice D ALGUMAS APLICAÇÕES Considere que uma força constante F r seja um vetor com direção diferente do eixo de deslocamento de um objeto Se a força move o objeto de um ponto P ao ponto Q sobre um segmento reto o vetor deslocamento é D PQ uuur r O trabalho realizado por essa força sobre o objeto é o produto escalar T F D r r Exemplo 1 Considere o conjunto de forças na figura ao lado Determine o trabalho realizado pela força resultante dessas forças para deslocar em linha reta uma partícula que está na origem até o ponto Q2 3 Sabendo que 1F 120 kgf r 2F 100 kgf r e 3F 120 kgf r Seja uma força F r atuante em uma partícula única situada no ponto P cuja posição relativamente à origem O do referencial inercial é dada pelo vetor rr veja figura Esses dois vetores rr e F r estão contidos num plano O momento vetorial ou vetor torque r atuante sobre a partícula em relação á origem O é definido em temos do produto vetorial de rr e F r isto é r F r r r O torque possui dimensões de força multiplicada por distância em termos das nossas dimensões fundamentais M L e T ele tem dimensões ML²T2 que são idênticas à do trabalho Entretanto torque e trabalho são grandezas físicas muito diferentes o torque é um vetor enquanto o trabalho é um escalar A unidade de torque pode ser o Newtonmetro Nm ou librapé lbft entre outras possibilidades ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 31 Exemplo Suponha que uma força F r com magnitude de 3 lb é aplicada ao conjunto alavancahaste mostrado na figura ao lado a Determine as coordenadas da força F r e do vetor rr que liga a origem ao ponto onde F r é aplicada b Determine o vetor torque de F r em relação à origem Na molécula do metano CH4 o átomo de carbono ocupa o centro de um tetraedro regular em cujos vértices estão os átomos de hidrogênio Determine o ângulo entre duas das valências do carbono Solução O resultado deste problema está presente em todos os cursos de química orgânica O estranho número fornecido pelo professor é aceito pelos alunos mas em geral eles não têm a menor idéia de como esse resultado foi obtido Para calcular esse ângulo a geometria analítica é um método imbatível aliada é claro com alguma inventividade Em um sistema de coordenadas no espaço consideremos inicialmente um cubo de aresta 2 para facilitar com um vértice na origem outro no eixo X outro no eixo Y e outro no eixo Z Não é difícil escolher quatro vértices desse cubo que formem um tetraedro regular Os pontos A000 B220 C022 e D202 formam um tetraedro regular uma vez que as distâncias entre dois quaisquer deles são diagonais de faces do cubo e são ocupados pelos hidrogênios O ponto P111 centro do cubo e também centro do tetraedro está ocupado pelo carbono O resto é fácil Para calcular por exemplo o ângulo ˆ APB consideremos os vetores 1 1 1 u PA uuur r e 11 1 v PB uuur r O cosseno do ângulo entre eles é 1 1 1 1 cos 3 3 3 Com uma calculadora determinamos um valor muito aproximado para esse ângulo 109 2816395 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 32 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 1 a V b V c F d V e F f F g V h F i V j F 2 a DB b FC c FC d OD 3 a AF b BL c AF 4 a AG b HD 5 GA x e FA y 6 OP R OB OA 1 7 BD BC BA 3 1 3 2 8 ON 5OM 3 5 OP 2 9 a AD AB AC 3 1 10 z 3 ou z 9 12 a LD b LD c LI d LI 13 a LD b c b d 14 a 1 16 3 2 1 f f f é base e 3 2 1 g g g não é base 18 a Não b Não 19 Não são coplanares 20 k 4 21 2 3 ou 22 m 5 23 3 24 121 X 25 a 2 153 b 18 c 3 arccos 2 26 a 90 2 90 2 5 3 75 FR b 120 40 3 60 FR 27 6 33 v 28 2 ou 21 x x 29 13 2 13 15 69 D C 30 3 2 6 v ou 5 5 6 6 17 v 31 1 2 2 2 2 8 2 2 2 32 109 33 3 21 S 34 2 1 0 2 1 AM 35 u v w 26 não 36 2 3 3 S e 2 1 V 37 020 ou 010 38 a 5 5 b 3 2 3 3 2 3 3 2 3 39 m 1 40 t 2 ou t 2 41 3 2 S 42 251 ou 152