Testes de Hipóteses: Estimativa e Análise Estatística

Autor PAULO VANDERLEI FERREIRA CECAUFAL 2011 Página 117 117 5 TESTES DE HIPÓTESES A retirada de conclusões sobre uma ou mais populações é feita através da estimação de parâmetros ou pelos testes de hipóteses A estimação de parâmetros a média a variância o desvio padrão etc é feita por diversos métodos os quis já foram vistos no Capítulo 3 Quanto aos testes de hipóteses os mesmos são usados pelos pesquisadores para decidir sobre a aceitação ou rejeição de hipóteses Hipóteses são suposições acerca dos parâmetros de uma ou mais populações Por exemplo podese estar interessado em testar a hipótese de que não há diferença entre a produção média de duas variedades do sorgo granífero sujeitas às mesmas condições climáticas ou testar se três tipos de rações proporcionam o mesmo ganho de peso em bezerros da raça Nelore Os referidos testes são utilizados para tomar tais decisões das quais são tiradas as conclusões Antes de aplicar tais testes devemse formular as hipóteses estatísticas Podem se considerar duas hipóteses são elas H0 é a hipótese que determina a ausência de efeito de tratamentos ou seja indica que não existe diferença significativa entre os tratamentos ela é chamada de hipótese de nulidade e H1 chamada de hipótese alternativa é a que determina a presença de efeito de tratamentos ou seja indica a existência de diferença significativa entre os tratamentos A rejeição de H0 implica na aceitação da hipótese alternativa H1 Considerando o exemplo das variedades de sorgo granífero temse H0 mˆ A mˆ B H1 mˆ A mˆ B H1 mˆ A mˆ B ou H1 mˆ A mˆ B Ao testaremse as hipóteses podemse cometer geralmente dois tipos de erros os quais são rejeitar H0 quando ela é verdadeira ou seja aceitar como diferentes tratamentos que são semelhantes erro tipo I aceitar H0 quando ela é falsa ou seja aceitar como semelhantes tratamentos que são diferentes erro tipo II Destes dois tipos de erros o que é controlado pelo pesquisador é o do tipo I o qual nos procedimentos de comparações múltiplas pode ser medido de duas maneiras a Autor PAULO VANDERLEI FERREIRA CECAUFAL 2011 Página 118 118 saber A primeira referese à avaliação da probabilidade de se rejeitar uma hipótese verdadeira em todas as possíveis combinações dos níveis dos tratamentos tomados dois a dois sendo conhecida por taxa de erro tipo I por comparação A segunda referese à medida do erro tipo I como a probabilidade de se realizar pelo menos uma inferência errada por experimento e é conhecida por taxa de erro tipo I por experimento A probabilidade de cometerse o erro tipo I é chamada nível de significância α Existe um outro tipo de erro quase nunca considerado que se refere à probabilidade de classificar um nível de tratamento como superior ao outro quando de fato o segundo nível supera o primeiro erro tipo III Esse tipo de erro tem muita importância para a área do melhoramento genético de plantas pois poderá alterar a classificação dos genótipos e fazer com que o fitomelhorista recomende uma linhagem ou cultivar de pior desempenho O pesquisador deve analisar cuidadosamente as conseqüências de se tomar decisões erradas tanto do ponto de vista econômico quanto social Essa análise referese principalmente ao nível de significância adotado pois é o único tipo de erro sob o controle do pesquisador É preciso ter sempre em mente que os erros tipos I e II são inversamente correlacionados e que o pesquisador tem controle apenas no erro tipo I por meio da fixação do nível de significância α Em função disso o bom senso deve prevalecer à luz das conseqüências de se tomar decisões erradas É por isso que nas condições dos ensaios agropecuários o nível de significância de 5 é o mais usado na prática nos procedimentos de comparações múltiplas pois é necessário certo equilíbrio entre os erros tipo I e II Quando se aplica o nível de significância de 1 ou 01 para diminuir o erro tipo I por exemplo aumenta automaticamente a probabilidade do erro tipo II isto é de aceitar como iguais médias de tratamentos realmente diferentes No entanto em condições de ensaios de grande precisão por exemplo CV 1 o nível de significância de 01 seria indicado Ao contrário em condições de ensaios de pequena precisão por exemplo CV 25 o nível de significância de 10 seria recomendado especialmente no caso de ensaios com N 20 parcelas Para que um teste de hipótese seja considerado um bom teste devese ter uma pequena probabilidade de rejeitar H0 se esta for verdadeira mas também uma grande probabilidade de rejeitála se ela for falsa A probabilidade de rejeitar H0 quando ela for falsa é chamada poder do teste O quadro seguinte resume a natureza dos erros tipo I e tipo II envolvidos no processo de decisão quando se testam as hipóteses H0 Verdadeira H0 Falsa Rejeição H0 Erro Tipo I Decisão Correta Aceitação H0 Decisão Correta Erro Tipo II Na execução de um teste de hipótese estatística para que o mesmo tenha validade devemse levar em consideração as seguintes etapas a Formulação das hipóteses Devese inicialmente formular as hipóteses de nulidade H0 e alternativa H1 Autor PAULO VANDERLEI FERREIRA CECAUFAL 2011 Página 119 119 b Especificação do nível de significância α A escolha do nível de significância deve ser feita antes de realizar os experimentos Usase geralmente α igual a 5 de probabilidade de maneira a terse o erro tipo I o menor possível Salvo em algumas situações conforme já visto usamse outros níveis de significância c Escolha do teste estatístico Em função das hipóteses que vão ser testadas podese usar o teste F t χ2 etc a partir dos dados de observação O teste escolhido deve ser adequado ao material e ao tipo de dados d Determinação da região crítica Dependendo do teste escolhido determinamse às regiões de aceitação e rejeição da hipótese de nulidade Geralmente quando o valor calculado for menor que a probabilidade específica por na tabela aceitase a hipótese de nulidade enquanto que quando o valor calculado for igual ou maior que a probabilidade específica por na tabela rejeitase a hipótese de nulidade e Decisão final Baseados no valor obtido pelo teste estatístico e no valor tabelado tomase à decisão final com respeito às hipóteses Geralmente as conclusões sobre os tratamentos são feitas observandose as médias identificadas ou não por mesma letra Quando não há um tratamento controle ou testemunha convém responder as seguintes perguntas 1 Qual é o melhor tratamento 2 Quais são os tratamentos que não diferem significativamente do melhor 3 Qual é o pior tratamento 4 Quais são os tratamentos que não diferem significativamente do pior Por outro lado quando um dos tratamentos é o controle ou testemunha as conclusões são feitas em relação a este tratamento e em geral procurase responder às seguintes perguntas 1 Quais são os tratamentos melhores que o controle 2 Quais são os tratamentos que não diferem significativamente do controle 3 Quais são os tratamentos piores que o controle Vale ressaltar que os testes de hipóteses para comparar médias de tratamentos só devem ser usados quando se tratar de tratamentos qualitativos ou quando se têm apenas dois níveis de tratamentos quantitativos pois quando os mesmos são quantitativos e se têm mais de dois níveis o uso da regressão é o procedimento recomendado 51 Teste F O teste F tem seu maior emprego nas análises de variância dos delineamentos experimentais Ele é usado para comparar variâncias Como foi visto anteriormente o F calculado é o quociente do quadrado médio de tratamentos QMT pelo quadrado médio do resíduo QMR ou seja F QMR QMT Por que o teste F é o quociente entre o QMT pelo QMR Se se calcular por exemplo a esperança matemática dos quadrados médios E QM da análise de variância de um delineamento inteiramente casualizado admitindo se o modelo matemático aleatório temse Autor PAULO VANDERLEI FERREIRA CECAUFAL 2011 Página 120 120 Quadro da ANAVA Causa de Variação GL QM EQM Tratamentos Resíduo t 1 t r 1 s 2 1 s 2 2 s 2 r x s 2 t s 2 Total t x r 1 De onde se obtém s 2 s 2 2 que é a estimativa da variância do erro experimental s 2 r x s 2 t s 2 1 s 2 t r s s 2 2 1 que é a estimativa da variância de tratamentos Por essa observação vêse o porquê do teste F ser o quociente entre QMT pelo QMR ou seja F QMR QMT 2 2 2 1 s s 2 2 2 s r x s s t Nesta expressão estáse comparando a variância de tratamentos com a variância do erro experimental Verificase portanto que tanto o QMT como o QMR estimam variâncias e interpretase QMR variância do erro experimental QMT variância do erro experimental acrescida de uma possível variância devida aos tratamentos O valor de F calculado é comparado com o valor de F tabelado F 1 com n1 graus de liberdade de tratamentos e n2 graus de liberdade do resíduo TABELAS A3 e A4 Logo temse Autor PAULO VANDERLEI FERREIRA CECAUFAL 2011 Página 121 121 F calculado F tabelado 1 existe diferença significativa entre os tratamentos no nível de 1 de probabilidade ou seja com mais de 99 de probabilidade deve existir pelo menos um contraste entre médias de tratamentos que difere de zero F calculado F tabelado 1 recorrese no nível de 5 de probabilidade F calculado F tabelado 5 existe diferença significativa entre os tratamentos no nível de 5 de probabilidade ou seja com mais de 95 de probabilidade deve existir pelo menos um contraste entre médias de tratamentos que difere de zero F calculado F tabelado 5 ns não existe diferença significativa entre os tratamentos no nível de 5 de probabilidade ou seja com 95 de probabilidade não existe nenhum contraste entre médias de tratamentos que difere de zero Quando se aplica o teste F na análise de variância estáse testando as seguintes hipóteses a H0 os tratamentos não diferem entre si b H1 pelo menos dois deles diferem entre si No teste sempre se aceita uma hipótese e rejeitase a outra Obviamente se não há efeito de tratamentos os dois quadrados médios estimam a mesma variância e conseqüentemente qualquer diferença em ordem de grandeza entre eles será devido ao acaso Exemplo 1 Verificar pelo teste F se existe ou não diferença significativa entre os tratamentos referentes aos dados da TABELA 51 TABELA 51 ANÁLISE DA VARIÂNCIA E COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DA REAÇÃO DE RESISTÊNCIA DE POPULAÇÕES DE Cucurbita ssp A Colletotrichum gloeosporioides f sp cucurbitae DADOS TRANSFORMADOS EM x PIRACICABA SP Causa da Variação GL SQ QM F Populações Resíduo 12 26 1188133 0794191 0099011 0030546 324 Total 38 1982327 Coeficiente de Variação 1009 FONTE MELO e FERREIRA 1983 As tabelas de F com n1 12 e n 2 26 fornecem os seguintes valores 1 296 e 5 215 Logo F calculado 324 F tabelado 1 296 Assim chegase à conclusão que existe diferença significativa no nível de 1 de probabilidade pelo teste F na reação de populações de Cucurbita ssp a Colletotrichum gloeosporioides f sp cucurbitae Quando se faz a análise de variância de um experimento com apenas dois tratamentos pelo próprio teste F podese chegar ao melhor deles simplesmente observando as médias dos mesmos Quando porém temse mais de dois tratamentos não se pode chegar ao melhor deles pelo referido teste Neste caso há necessidade de Autor PAULO VANDERLEI FERREIRA CECAUFAL 2011 Página 122 122 aplicação de um teste de comparação de médias de tratamentos para chegarse a tal conclusão Como foi visto esperase quase sempre na análise de variância que todos os quadrados médios de tratamentos obtidos sejam iguais ou superiores ao que se obtém do resíduo Nestas condições só se justifica o uso das tabelas de limites unilaterais de F TABELAS A3 e A4 Quando porém esta situação não se verifica ou seja quando o quadrado médio de tratamentos é menor que o quadrado médio do resíduo aconselharse á o uso das tabelas de limites bilaterais de F TABELAS A5 e A6 Este fato embora não deva ser esperado pode ocorrer e às vezes é sintoma de defeitos na análise da variância Uma das explicações possíveis é a presença de erros grosseiros no cálculo das somas de quadrados ou dos números de graus de liberdade Outra explicação bem comum é a de que o resíduo inclua alguma importante causa de variação que foi controlada mas não foi isolada na análise da variância Às vezes porém nenhuma destas explicações serve mas isto não é causa de preocupação porque do ponto de vista do Cálculo de Probabilidades o caso embora pouco provável não é impossível logo deverá ocorrer uma vez ou outra Neste caso quando se comparar o valor de F calculado com o valor de F tabelado F 1 com n1 graus de liberdade de tratamentos e n2 graus de liberdade do resíduo TABELAS A5 e A6 basta apenas inverter os sinais do caso anterior ou seja F calculado F tabelado 1 existe diferença significativa entre os tratamentos no nível de 1 de probabilidade ou seja com mais de 99 de probabilidade deve existir pelo menos um contraste entre médias de tratamentos que difere de zero F calculado F tabelado 1 recorrese no nível de 5 de probabilidade F calculado F tabelado 5 existe diferença significativa entre os tratamentos no nível de 5 de probabilidade ou seja com mais de 95 de probabilidade deve existir pelo menos um contraste entre médias de tratamentos que difere de zero F calculado F tabelado 5 ns não existe diferença significativa entre os tratamentos no nível de 5 de probabilidade ou seja com 95 de probabilidade não existe nenhum contraste entre médias de tratamentos que difere de zero Exemplo 2 Verificar pelo teste F se existe ou não diferença significativa entre os tratamentos referentes aos dados da TABELA 52 TABELA 52 ANÁLISE DA VARIÂNCIA E COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DA REAÇÃO DE POPULAÇÕES SEGREGANTES DE PIMENTÃO Capsicum annuum L EM RELAÇÃO AO VÍRUS Y DADOS TRANSFORMADOS EM 50 x PIRACICABA SP Causa da Variação GL SQ QM F Populações Resíduo 1 18 00092681 02794557 00092681 00155253 0597 Total 19 02887238 Coeficiente de Variação 1390 FONTE FERREIRA e MELO 1983 Autor PAULO VANDERLEI FERREIRA CECAUFAL 2011 Página 123 123 As tabelas de F com n 1 1 e n2 18 fornecem os seguintes valores 1 00000404 e 5 00010 Logo F calculado 0597 F tabelado 5 00010 ns Assim chegase à conclusão de que não existe diferença significativa no nível de 5 de probabilidade pelo teste F na reação de populações segregantes de pimentão em relação ao vírus Y O teste F também pode ser utilizado quando se quer comparar as variâncias de duas amostras s 2 1 e s 2 2 supostas independentes Assim admitindose s 2 1 calculada com N1 dados e s 2 2 com N2 dados Dizse então que s 2 1 tem N1 1 graus de liberdade e analogamente s 2 2 tem N2 1 graus de liberdade O F neste caso é o quociente entre as duas variâncias ou seja F 2 2 2 1 s s Admitese sempre s 2 1 s 2 2 de modo que temse F 1 O valor de F calculado é comparado com o F tabelado o qual é obtido em função dos números de graus de liberdade N1 1 e N2 1 respectivamente de s 2 1 e s 2 2 Neste caso quando se aplica o teste F estáse testando as seguintes hipóteses a H0 S 2 1 S 2 2 isto é a hipótese de nulidade admite que as duas populações têm a mesma variância b H1 S 2 1 S 2 2 isto é a hipótese alternativa admite que a população 1 tem maior variância do que a população 2 Exemplo 3 Verificar pelo teste F se existe ou não diferença significativa entre as variâncias dos dois tratamentos a partir de dados da TABELA 53 TABELA 53 GANHOS DE PESO kg DE LEITOAS DUROC JERSEY ALIMENTADAS COM FENO DE ALFAFA E FENO DE QUICUIO POR UM PERÍODO DE TRÊS MESES Feno de Alfafa Feno de Quicuio 675 kg 705 kg 760 kg 675 kg 650 kg 585 kg 650 kg 640 kg Médias 704 kg 631 kg FONTE GOMES 1985 Logo temse 2 1s 1 2 2 N N X X Autor PAULO VANDERLEI FERREIRA CECAUFAL 2011 Página 124 124 1 4 4 2815 67 5 76 0 70 5 5 67 2 2 2 2 2 3 4 7924225 4 55625 5 77600 4 97025 4 55625 3 198105625 1985875 3 481875 160625 s 2 2 1 2 2 N N X X 1 4 4 252 5 64 0 65 0 58 5 0 65 2 2 2 2 2 3 4 6375625 4 09600 4 22500 3 42225 4 22500 3 159390625 1596825 3 291875 97292 F 2 2 2 1 s s 9 7292 160625 165 As tabelas de F com n1 3 e n2 3 fornecem os seguintes valores 1 2946 e 5 928 Desse modo F calculado 165 F tabelado 5 928 ns Assim chegase à conclusão de que não existe diferença significativa no nível de 5 de probabilidade pelo teste F entre as variâncias dos tratamentos ou seja as duas rações proporcionam o mesmo ganho de peso em leitoas Duroc Jersey 52 Teste t