A Importância do Cálculo Diferencial no Estudo da Trajetória e Órbitas dos Planetas

AUTARQUIA DE ENSINO SUPERIOR DE ARCOVERDE CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DE ARCOVERDE CURSO DE LICENCIATURA DE MATEMÁTICA JOELMA OLIVEIRA DE CRISTO A IMPORTANCIA DO CÁLCULO DIFERENCIAL NO ESTUDO DA TRAJETORIA E ORBITAS DOS PLANETAS ARCOVERDE PE 20221 Joelma Oliveira De Cristo¹ A IMPORTANCIA DO CÁLCULO DIFERENCIAL NO ESTUDO DA TRAJETORIA E ORBITAS DOS PLANETAS Projeto de participação das atividades extracurriculares propostas pelo PROUNIPE pelo Centro de Ensino Superior de ArcoverdeCESA Orientador Professor Ibson Jose Maciel Leite ARCOVERDEPE 20221 RESUMO No presente trabalho abordaremos alguns conceitos da mecânica celeste correlacionados com a lei da gravitação universal newtoniana e sua grande contribuição para a compreensão do movimento e trajetórias das órbitas planetárias visando a importância do cálculo como uma ferramenta indispensável para o avanço matemático que por sua vez tem contribuído de forma positiva para desenvoltura de outras ciências À investigação para responder questões sobre áreas e tangentes fazse a descoberta dessa ferramenta e é possível notar quão grande é a importância em vários ramos da matemática E para chegar as respectivas respostas grandes nomes tiveram influências ainda no século 1800 a C como Arquimedes Galileu Kepler e Fermat Os dois cientistas e filósofos Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz trazem de maneira independentes utilitária fórmulas que colocam em prática o uso do cálculo isso no século XVIII e ficam conhecidos como criadores do Cálculo O desenvolvimento do cálculo possibilitou estudar o movimento dos planetas fluxo de líquidos expansão de gases etc Tornouse muito mais fácil medir e representar formas diversas PalavrasChave História do cálculo Órbitas Planetas Cálculo diferencial INTRODUÇÃO O movimento planetário um dos mais importantes problemas da mecânica celeste começou a ser compreendido a partir do século XVI com as primeiras observações astronômicas através de recursos óticos feitas por Galileu Galilei Cuzinatto et al2014 e as sistematizações matemáticas elaboradas por Johannes Kepler através dos dados obtidos por Tycho Brahe As comprovações experimentais aliadas a uma robusta argumentação matemática promoveram uma fantástica revolução no pensamento científico da época tendo seu ápice nos estudos realizados por Isaac Newton Segundo Rosa 2012 Newton desenvolveu novos métodos matemáticos dentre estes o cálculo diferencial e integra que revolucionaram o pensamento crítico e filosófico até então fortemente alicerçados na geometria e filosofia dos gregos A matemática foi criada ainda na antiguidade com a necessidade do homem no Antigo Egito e no Império Babilônico afim de poder cobrar impostos e precisam trabalhar com o sistema de contar medir e desde então vem avançando e ganhando espaço na humanidade porém se potencializa ainda mais no século XVII com a inclusão do cálculo infinitesimal Na época o cálculo surgiu com o intuito de resolver principalmente problemas científicos e se destacaram muitos cientistas como colaboradores destas respostas mas quem traz o todo desses resultados de forma independente é o Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz os quais ficaram conhecidos como descobridores ou criadores do cálculo porém outros grandes matemáticos contribuíram para o desenvolvimento contínuo do cálculo até a contemporaneidade Para chegar aos resultados atuais do cálculo pesquisas começaram ainda na antiguidade com a geometria grega na perspectiva de resolver questões sobre a áreas de figuras volumes de sólidos quaisquer na análise da velocidade e movimento dos corpos Porém atualmente o cálculo é usado em todos os ramos da ciência exata como na física economia medicina engenharia computação e em praticamente todas as áreas cientificas Ressaltando como suas operações básicas o diferencial e integral e mais tarde sendo verificado que a integração e a diferenciação são operações inversas OBJETIVOS Geral Produzir material de referência para o estudo do cálculo diferencial e integral baseado na lei de Newton da gravitação universal direcionado ao estudo do movimento e trajetória dos planetas Específico Apresentar o modelo de Newton para a gravitação universal Estudar os métodos matemáticos do Cálculo empregados na mecânica celeste Discutir na formação do professor de matemática a importância dos conhecimentos apresentados neste trabalho FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Buscando respostas para resolver problemas geométricos os gregos tiveram as primeiras contribuições para o cálculo diferencial e integral E o filosofo Zenão de Eleia cria o primeiro conceito de limite com o seguinte paradoxo se uma flecha é atirada do ponto A até o ponto B ela deverá passar pela metade do caminho digamos pelo ponto B1 antes de chegar ao destino B Mas antes de chegar a B1 deverá passar por B2 o ponto médio entre A e B1 e assim sucessivamente realizando um número infinito de etapas em um intervalo finito de tempo Zenão de Eléia 450 aC E o movimento era impossível e assim sendo as áreas são medidas por aproximações crescentes e sucessivas até que a margem desejada seja coberta Conforme Pedroso 2013 Arquimedes 287212 aC buscando encontrar áreas das figuras planas Arquimedes aprimorou ainda mais o Método da Exaustão Sabese que o método de Exaustão é criação de Eudoxo porém Arquimedes aprimorou esse método e de maneira mais precisa aproximarse do cálculo o qual utilizamos hoje A quadratura deixa claro que é possível descobrir a área de uma figura através de uma área já conhecida segundo Arquimedes Assim era possível solucionar questões sobre as áreas de todas as figuras planas e algumas eram por aproximação A ideia é montar uma alavanca com as áreas do segmento parabólico e o triângulo inscrito para demonstrar que a relação entre a área do primeiro é 43 da área do referido triangulo BOYER 1974 1 Quadratura do círculo e da parábola Galileu Galilei 15641642 a C seus estudos foram fundamentais para o desenvolvimento da mecânica movimento dos corpos e a descoberta sobre os planetas e os satélites Conforme Penereiro 2009 Galileu figura 1 ao defender as ideias de Copérnico do Heliocentrismo figura 2 e desta forma refutar o Geocentrismo de Aristóteles através de uma série de argumentos matemáticos e observacionais abre caminho para o desenvolvimento de um novo modelo que descreve a mecânica celeste e questiona a astronomia de Ptolomeu que seguia irrefutável a séculos Figura 2 Galileu Galilei 3 Disponível em httpsstaticdwcomimage17425992101jpg Figura 4 Sistema Heliocêntrico 4 Disponível em httpskatiabarroskatiawordpresscom20101115galileugalilei Johannes Kepler 15711630 foi responsável pela elaboração das Leis do Movimento Planetário as Leis de Kepler Aperfeiçoou invenções de Galileu Galilei e deixou importantes trabalhos que influenciaram nas futuras descobertas de Isaac Newton Baseado nos dados obtidos pelo astrônomo Tycho Brahe Johannes Kepler demonstrou que as orbitas do modelo de Copernico não eram circulares e sim elípticas como podemos ver em Tossato e Mariconda 2010 Figura 5 Johannes Kepler Disponível em httpss2glbimgcomp17w3iCILumj0e3Ow4z2PCochr4eglbimgcomogedforiginal20200120johann eskepler1610jpg 1ª Lei de Kepler Lei das Órbitas Os planetas se movem em torno do Sol em órbitas elípticas com o Sol num dos focos da elipse 2ª Lei de Kepler Lei das Áreas A linha que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais 3ª Lei de Kepler Lei dos Períodos O quadrado do período de revolução de cada planeta em torno do Sol é diretamente proporcional ao cubo da distância média desse planeta ao Sol A terceira lei de Kepler pode matematicamente ser descrita pela equação T² kr³ Portanto a razão entre os quadrados dos períodos de translação dos planetas e os cubos dos respectivos raios médios das órbitas será sempre constante conforme apresentado na tabela abaixo Isaac Newton 16431727 em 1965 Newton teve um insight enquanto observava o movimento de um planeta acabara de perceber que os planetas se movem de modo que em cada ponto a direção da velocidade é a mesma que a da reta tangente à trajetória naquele ponto Assim várias pequenas tangentes poderiam localmente descrever o movimento dos planetas A descoberta seguinte seria consequência das tangentes e Newton a batizou de fluxões conhecido hoje como o Cálculo Diferencial Newton percebeu logo em seguida que a integração de uma função era simplesmente a operação inversa da diferenciação Essa descoberta levaria ao Cálculo Integral e está intimamente relacionada com o hoje em dia denominado Teorema Fundamental do Cálculo Conforme Antunes 2021 Newton de certo modo deu continuidade as teorias de Kepler apoiaramse nessas teorias e desenvolvendo assim a sua teoria da Gravitação Universal De acordo com Barcelos as equações que representam o movimento das órbitas dos planetas advêm da equação da Gravitação Universal de Newton Figura 5 Isaac Newton Disponível em httpwwwinfoescolacomwpcontentuploads200809isaac newton328x450jpg Onde 𝐹 representa a força gravitacional 𝐺 constante de gravitação universal 𝑀 e 𝑚 são as massas dos corpos celestes 𝑟 distância entres os astros 𝐺 667 1011 𝑁𝑚2 𝑘𝑔2 METODOLOGIA O referente projeto tem como objetivo destacar o cálculo diferencial e integral e suas importâncias no estudo da trajetória e órbitas dos planetas uma vez que a tempos atrás foi necessário que houvesse questionamentos sobre como calcular áreas distâncias entre outros aspectos no espaço com destaque para o nosso sistema solar Tendo em vista que era preciso desenvolver a partir do cálculo as métricas temporais de rotação dos planetas em relação ao sol e explicar o porquê das diferenças de tempo para que cada planeta desse uma volta completa em volta da nossa estrela RESULTADOS Partindo do princípio de Newton e analisando a lei de conservação do momento angular e da energia mecânica e empregando o cálculo diferencial é possível determinar a equação 2 que representa as possíveis trajetórias para corpos orbitando o sol 𝜖 1 2𝐸𝑙2 𝐺2𝑀2𝑚3 Os resultados decorrentes das soluções da Equação nos levam a três possibilidades figura6 𝜖 1E0 hipérbole 𝜖 1E0 parábola 𝜖 1 E0 elipse Figura 6 Orbitas possíveis 7 Fonte Autores O estudo desse problema que desperta a curiosidade e a empregabilidade dos conceitos abordados nas aulas de cálculo diferencial e integral disciplina obrigatório da licenciatura em matemática nos faz perceber a importância da contextualização e interdisciplinaridade Desta forma concluímos que o aprofundamento destes temas na formação do professor de matemática é fundamental para garantir um profissional crítico e criativo REFERENCIAS CUZINATTO RR MORAIS EM de SOUZA C Naldoni de As observações galileanas dos planetas mediceanos de Júpiter e a equivalência do MHS e do MCU2014 Disponível em httpswwwscielobrjrbefarbNknNbHgMCw8C7tStTjb7qformatpdflangp t Acessado aos 18 e maio 2022 ROSA Carlos Augusto de Proença História da Ciência Volume II 2012 Disponivel httpfunaggovbrlojadownload1020HistoriadaCiencia VolIITomoIACienciaModernapdf Acessado aos 18 de maio 2022 PENEREIRO Júlio César Galileo e a Defesa da Cosmologia Copernicana A sua Visão do Universo2009 Caderno Brasileiro do Ensino de Física v 26 n 1 p 173198 abr 2009 TOSSATO Claudemir Roque MARICONDA Pablo Rubén O método da astronomia segundo Kepler 2010 Disponível em httpswwwscielobrjssaK7cSJjsZWVQByTKbDdzgX7rlangpt ANTUNES Lucas Vinicius Problema de Dois Corpos na Mecânica Celeste2021 Disponível httpsrepositorioufscarbrbitstreamhandleufscar14035ProblemadeDois CorposTCCAFpdfsequence1isAllowedy acessado em 24 de Maio de 2022 BARCELOS João N Mecanica Newtoniana e Lagrangiana Hamiltoniana Livraria da Física 2004 PEDROSO H A Arquimedes Um Ponto de Apoio para o Método Científico 2013 Disponível httpswwwibilceunespbrHomeDepartamentosMatematicalabmatarquimed esumpontodeapoiopdf acessado em 24 de Maio de 2022 TANCREDI Silvia Galileu Galilei Brasil Escola Disponível em httpsbrasilescolauolcombrbiografiagalileugalileihtm Acesso em 02 de julho de 2022