Análise do Número de Ocupação em um Gás Ideal Quântico

c Mostre que para cada estado de uma partícula k podemos definir o número de ocupação médio langle nk rangle a partir de langle nk rangle left fracpartialpartial beta mu ln Xik rightbeta V d Usando as expressões determinadas anteriormente para férmions e para bósons determine o número médio langle nk rangle de ocupação do estado k como função explícita de beta beta mu e epsilonk para cada tipo de partícula Termodinâmica do gás ideal no ensemble grandecanônico Calculando a função de partição grandecanônica de um gás ideal monoatômico quântico na aproximação clássica para os números de ocupação encontramos XiMEbeta V beta mu V left frac2 pi mh2 beta rightfrac32 ebeta mu o mesmo resultado que obtivemos na teoria clássica mas aqui a constante h é de início a constante de Planck e não uma constante arbitrária a se determinar mais tarde A partir dessa expressão obtenha nesta e nas questões seguintes a o número médio de partículas no volume V em equilíbrio com o reservatório de calor à temperatura T frac1beta kB e com o reservatório de partículas ao potencial químico mu b a pressão no volume V em equilíbrio com o reservatório de calor à temperatura T frac1beta kB e o reservatório de partículas ao potencial químico μ c a energia média das partículas contidas no volume V em equilíbrio com o reservatório de calor à temperatura T frac1beta kB e o reservatório de partículas ao potencial químico μ d Os resultados obtidos nas duas últimas expressões dependem da temperatura do volume e do potencial químico mas mesmo que não pareçam são as mesmas conhecidas do gás ideal Mostre isso escrevendoas em função de langle N rangle de V e de beta μ Mostre que a dispersão relativa do número de partículas definida como a raiz quadrada da razão entre a variância e o quadrado da média do número de partículas é inversamente proporcional à raiz quadrada média do número de partículas A associação da termodinâmica com a estatística é feita no ensemble canônico pela identificação da primeira função de Massieu do fluido com o logaritmo da função de partição canônica Zβ V N Usando a escala estatística da entropia identificamos o inverso da temperatura com a variável β 1kB T ΦMEβ V N ln ΣaV N ln Zβ V N Sabemos que a segunda derivada da função de partição grandecanônica em relação a β μ é igual à variância do número de partículas do fluido no volume V no estado de equilíbrio considerado A associação da termodinâmica com a estatística é feita no ensemble grandecanônico pela identificação da função de Massieu grandecanônico do fluido com o logaritmo da função de partição grandecanônica Usando a escala estatística da entropia identificamos o inverso da temperatura com a variável β e o potencial químico dividido pela temperatura com a variável βμ XMEβ V βμ ln eβEα βμNα aV No formalismo termodinâmico a derivada dessa função de Massieu em relação ao potencial químico dividido pela temperatura é igual ao número de partículas no fluido que maximiza a entropia do sistema fluido reservatório de calor e de partícula ou seja é a quantidade de partículas do fluido quando sua temperatura e potencial químico são iguais ao do reservatório No estado de equilíbrio termodinâmico o corpo pequeno o fluido assume um estado termodinâmico bem determinado no qual a energia interna e o número de partículas estão definidos a Derive a função XMEβ V βμ definida acima em relação a βμ e mostre que seu resultado é a média do número de partículas do fluido calculada sobre uma distribuição de probabilidades paβ V βμ N aV paNα No estado de equilíbrio da mecânica estatística a quantidade de partículas na parte pequena não possui um valor bem determinado mas assim como acontece com a energia interna se distribui sobre estados microscópicos com diferentes quantidades de partículas b Determine a distribuição de probabilidades grandecanônica dos estados α do fluido a função paβ V βμ c Mostre que a segunda derivada da função de partição grandecanônica em relação a β e μ é igual à variância do número de partículas de fluido no volume V no estado de equilíbrio considerado ²XMEβμ² βV Nβμ βV N² N² Essa grandeza é extensiva intensiva ou depende do tamanho do sistema em potência diferente de um Distribuição microcanônica Mostre qual é a distribuição de probabilidades dos estados microscópicos do fluido no volume V dado que o sistema está isolado com energia E e número de partículas N dados pi δEi EeβEi δNi NeβμNi ΩEVN ZβVN ΞβVβμ Distribuição canônica Mostre qual é a distribuição de probabilidades dos estados microscópicos i do fluido no volume V dado que as réplicas do sistema estão em equilíbrio com um reservatório de calor à temperatura T 1βkB e todas têm o mesmo número de partículas N Distribuição grandecanônica Mostre qual é a distribuição de probabilidades dos estados microscópicos i do fluido no volume V dado que as réplicas do sistema estão em equilíbrio com um reservatório de calor à temperatura T 1βkB constante e com um reservatório de partículas a um potencial químico constante μ Entropia do gás ideal monoatômico clássico no ensemble microcanônico Anteriormente escrevemos o número de estados microscópicos no espaço de fase acessível a um gás ideal composto de N partículas indistinguíveis encerradas no volume V com energia interna com valor entre E e E δE como ΩEVN δE VNN 2πmEh² 3N2 δEE Determine o logaritmo natural dessa expressão e o divida por N mostrando que no chamado limite termodinâmico quando N tende a infinito obtémse a entropia do gás ideal que já obtivemos antes integrando as equações de estado do gás ideal Determine a constante so obtendo assim a equação de SackurTetrode Mostre que a equação de SackurTetrode do gás ideal monoatômico pode ser escrita na forma su v kB logvλ3 52kB e determine o chamado comprimento de onda térmico λu Escreva a entropia do gás ideal monoatômico de SackurTetrode na forma extensiva SE V N Gás ideal quântico A função de partição grandecanônica do gás ideal quântico se escreve sobre os estados de número de ocupação dos estados k de uma partícula individual Eβ V βμ Σnk eβEk eβμNnk Em um gás quântico ideal só importa quantas partículas são encontradas em cada estado da partícula individual pois elas são indistinguíveis Representamos os estados do sistema composto por um conjunto infinito de números de ocupação nk n1 n2 onde cada número nk indica quantas partículas estão no estado k de uma partícula nesse estado de ocupação A energia interna e o número de partículas de cada estado de ocupação são dados respectivamente por Enk Σk1 nkεk e Nnk Σk1 nk a Mostre que para essa situação gás ideal a função de partição grandecanônica pode ser escrita como o produto de infinitas funções Zkβ V βμ Σnk eβEkeβμnk onde a soma se faz sobre todos os possíveis números de ocupação do particular estado k a Mostre que para essa situação gás ideal a função de partição grandecanônica pode ser escrita como o produtório de infinitas funções Xikbeta V beta mu sumnk enk beta epsilonk enk beta mu onde a soma se faz sobre todos possíveis números de ocupação do particular estado k b Efetue para cada qualidade de partícula a soma sobre os números de ocupação permitidos de cada estado k e assim escreva as somas Xikbeta V beta mu sumnk enk beta epsilonk enk beta mu como função explícita de beta beta mu e epsilonk a energia do estado k para cada tipo de partícula