Dimensionamento Ótimo de Bloco Sobre Estacas

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO TECNOLÓGICO PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE BLOCO SOBRE ESTACAS ACLEY GABRIEL DA SILVA TOMAZ VITÓRIA ES 2016 ACLEY GABRIEL DA SILVA TOMAZ DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE BLOCO SOBRE ESTACAS Dissertação apresentada ao corpo docente do Programa de PósGraduação em Engenharia Civil da Universidade Federal do Espírito Santo como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil na área de concentração Estruturas Orientador Prof Dr Élcio Cassimiro Alves VITÓRIA ES 2016 Dados Internacionais de Catalogaçãonapublicação CIP Biblioteca Setorial Tecnológica Universidade Federal do Espírito Santo ES Brasil Tomaz Acley Gabriel da Silva 1984 T655d Dimensionamento ótimo de bloco sobre estacas Acley Gabriel da Silva Tomaz 2016 129 f il Orientador Élcio Cassimiro Alves Dissertação Mestrado em Engenharia Civil Universidade Federal do Espírito Santo Centro Tecnológico 1 Concreto armado 2 Otimização estrutural 3 Estacas de concreto I Alves Élcio Cassimiro II Universidade Federal do Espírito Santo Centro Tecnológico III Título CDU 624 RESUMO O projeto dos elementos de fundação tem um papel fundamental no projeto estrutural completo de uma edificação A partir de uma sondagem determinase em função da capacidade de carga do terreno o tipo ideal para aquele empreendimento podendo ser uma fundação direta ou uma fundação indireta O projeto de fundação indireta pode ser feito em tubulão ou blocos sobre estacas A escolha do tipo é feita em função da carga do projeto estrutural e das características do terreno O presente trabalho apresenta a formulação para o problema de otimização de blocos sobre estacas com exemplos de aplicação Como restrições foram impostos os parâmetros definidos pela ABNT NBR 61182014 e pelo CEB FIP 1970 espaçamento entre as estacas e resistência à compressão do concreto fck Uma plataforma foi desenvolvida no Matlab para a formulação do problema de otimização e sua resolução será obtida pelo Método dos Pontos Interiores Exemplos numéricos comparativos mostram que quando não existe limitação de geometria uma solução ótima pode ser obtida reduzindo ou aumentando a quantidade de estacas e mudando a geometria do bloco Palavraschave Dimensionamento Concreto armado Otimização Bloco sobre estacas ABSTRACT The foundation project is of paramount importance in a structural design The land carrying capacity and the ideal type of foundation for a building can be determined from surveys Indirect foundation design can be made in caisson or pile caps and the choice also depends on the columns loads from structural design This dissertation presents the design for the optimization problem of pile caps with application examples The restrictions will be those imposed by the parameters set by the ABNT NBR 6118 2014 and the CEB FIP 1970 the spacing between the piles and the compression concrete strength fck A platform was developed in Matlab for the formulation of the problem and its optimization will be obtained by the Interior Point Method Comparative numerical examples show that when there is no geometry constraint an optimal solution can be obtained by reducing the amount of piles and changing the geometry of the pile cap Keywords Design Reinforced concrete Optimization Pile caps LISTA DE FIGURAS Figura 1 Bloco sobre estacas 12 Figura 2 Disposição das armaduras dos blocos de duas estacas 17 Figura 3 Disposição das armaduras dos blocos de três estacas 17 Figura 4 Disposição das armaduras dos blocos de quatro estacas 18 Figura 5 Bloco ensaiado por Mautoni 1972 A Configuração do ensaio B Detalhe da armadura em bigode 19 Figura 6 Disposição das armaduras 20 Figura 7 Ancoragens adotadas 20 Figura 8 Tipos de ruínas 20 Figura 9 Modelos de blocos 22 Figura 10 1 Fluxo de tensão no bloco 2 Modelo proposto 23 Figura 11 Modelo ensaiado 24 Figura 12 Malha de elementos finitos utilizada por Munhoz 25 Figura 13 Fluxo de tensões de compressão 26 Figura 14 Superfícies em que atua a mesma tensão principal de compressão 28 Figura 15 Configuração das fissuras 29 Figura 16 Malha utilizada nos modelos e os elementos de barras 30 Figura 17 Situações típicas da região D hachurada 33 Figura 18 Bloco sobre 2 estacas esquema de forças 37 Figura 19 Área da biela de concreto junto ao pilar bp A e junto à estaca be A 38 Figura 20 Bloco sobre 3 estacas esquema de forças 39 Figura 21 Bloco sobre 3 estacas disposição das armaduras 41 Figura 22 Bloco sobre 4 estacas disposição das armaduras 41 Figura 23 Bloco sobre 4 estacas esquema de forças 42 Figura 24 Bloco sobre 5 estacas esquema de forças retangular 44 Figura 25 Bloco sobre 5 estacas esquema de forças pentagonal 45 Figura 26 Bloco sobre 6 estacas esquema de forças hexagonal 46 Figura 27 Bloco sobre 6 estacas esquema de forças retangular 47 Figura 28 Altura para aplicação do método do CEB 1970 49 Figura 29 Seção de referência para o cálculo do momento fletor 50 Figura 30 Seção de referência para o cálculo do bloco de três estacas 51 Figura 31 Seção de referência para o cálculo do esforço cortante 52 Figura 32 Seção de referência para o cálculo do esforço cortante local 53 Figura 33 Determinação das reações nas estacas 55 Figura 34 Comparação esquemática entre o procedimento convencional de projeto a e projeto ótimo b 57 Figura 35 Bloco de 2 estacas variáveis do problema pelo método das bielas 69 Figura 36 Bloco de 2 estacas variáveis do problema pelo método do CEBFIP 73 Figura 37 Interface inicial do software para o dimensionamento de bloco sobre estacas 78 Figura 38 Interface de definição do custo dos materiais no software de otimização 78 Figura 39 Interface do software correspondente ao bloco sobre 4 estacas 79 Figura 40 Critérios para o método das bielas e tirantes 80 Figura 41 Interface do software de otimização de blocos sobre estacas 82 Figura 42 Interface do software de otimização do detalhamento do bloco retangular sobre 6 estacas 83 Figura 43 Geometrias dos Exemplos de Validação 86 Figura 44 Geometria e cargas do bloco sobre 4 estacas 88 Figura 45 Resultado do software de otimização pelo método de Blévot e Frémy 90 Figura 46 Resultado do software de otimização pelo método do CEBFIP 1970 91 Figura 47 Bloco de 2 estacas geometria e cargas 93 Figura 48 Gráfico Custo X Altura Intervalo Admissível pelo método das bielas 95 Figura 49 Bloco de 3 estacas geometria e cargas 96 Figura 50 Bloco de 4 estacas geometria e cargas 98 Figura 51 Bloco de 5 estacas retangular geometria e cargas 99 Figura 52 Bloco de 5 estacas pentagonal geometria e cargas 100 Figura 53 Bloco de 6 estacas hexagonal geometria e cargas 102 Figura 54 Bloco de 6 estacas retangular geometria e cargas 104 Figura 55 Exemplo 8 bloco projetado de 4 estacas geometria e cargas 106 Figura 56 Solução do exemplo 8 pelo método das bielas e tirantes 107 Figura 57 Solução detalhada do exemplo 8 pelo método das bielas e tirantes 108 Figura 58 Solução do exemplo 8 pelo método do CEBFIP 109 Figura 59 Solução detalhada do exemplo 8 pelo método do CEBFIP 110 Figura 60 Solução convencional otimizada pelo método de Blévot e pelo método do CEBFIP 1970 111 Figura 61 Exemplo 9 bloco projetado sobre 5 estacas geometria e cargas 112 Figura 62 Solução do exemplo 9 pelo método das bielas e tirantes 113 Figura 63 Solução detalhada do exemplo 9 pelo método das bielas e tirantes 114 Figura 64 Solução do exemplo 9 pelo método do CEBFIP 115 Figura 65 Solução detalhada do exemplo 9 pelo método do CEBFIP 116 Figura 66 Solução convencional otimizada pelo método de Blévot e pelo método do CEBFIP1970 117 Figura 67 Bloco sobre 6 estacas geometria e cargas do exemplo 10 118 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Tensões limites nos nós 35 Tabela 2 Tipos de Otimização Fonte Júnior 2005 59 Tabela 3 Equações para o método das bielas 71 Tabela 4 Equações para o método do CEBFIP 1970 75 Tabela 5 Custo do concreto por metro cúbico 85 Tabela 6 Comparação Luchi 2015 e Tomaz 2016 87 Tabela 7 Comparação Solução Ótima 87 Tabela 8 Resultados do dimensionamento para o bloco sobre 4 estacas 88 Tabela 9 Resultados do Dimensionamento Ótimo do exemplo 1 93 Tabela 10 Resultados do exemplo 2 97 Tabela 11 Resultados do exemplo 3 98 Tabela 12 Resultados do exemplo 4 100 Tabela 13 Resultados do exemplo 5 101 Tabela 14 Resultados do exemplo 6 103 Tabela 15 Resultados do exemplo 7 105 Tabela 16 Resultados do exemplo 8 111 Tabela 17 Resultados do exemplo 9 117 Tabela 18 Resultados do exemplo 10 pelo método de Blévot e Frémy 119 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 12 11 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 12 12 JUSTIFICATIVA 14 13 OBJETIVOS 14 14 ESCOPO DO TRABALHO 15 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 16 21 BLOCOS SOBRE ESTACAS 16 22 DIMENSIONAMENTO DE BLOCOS SEGUNDO A ABNT NBR 61182014 30 23 DIMENSIONAMENTO DE BLOCOS SOBRE ESTACAS 35 231 Método das bielas e tirantes 35 2311 Bloco sobre 2 estacas 36 2312 Bloco sobre 3 estacas 39 2313 Bloco sobre 4 estacas 41 2314 Bloco sobre 5 estacas 43 2315 Bloco sobre 6 estacas 46 2316 Bloco sobre n estacas 48 232 Método do CEBFIP 1970 48 2321 Momentos Fletores 49 2322 Armadura Principal 50 2323 Armadura Principal em Blocos Sobre Três Estacas 51 2324 Força Cortante 52 233 Blocos submetidos a carga vertical e momentos fletores 54 24 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL 55 241 Programação Matemática PM 57 2411 Programação Linear 59 2412 Programação Quadrática 60 2413 Método Newton 61 2414 Programação NãoLinear 62 2415 Programação Quadrática Sequencial 62 2416 Método dos Pontos Interiores 64 3 FORMULAÇÃO PARA O PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO DE BLOCOS SOBRE ESTACAS 68 31 FORMULAÇÃO PELO MÉTODO DAS BIELAS 69 32 FORMULAÇÃO PELO CEBFIP 1970 73 4 METODOLOGIA 77 5 EXEMPLOS NUMÉRICOS E ANÁLISE DE RESULTADOS 85 51 EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO 85 52 EXEMPLOS COM CARGA CENTRADA 91 521 Exemplo 1 Bloco sobre 2 estacas 92 522 Exemplo 2 Bloco sobre 3 estacas 96 523 Exemplo 3 Bloco sobre 4 estacas 97 524 Exemplo 4 Bloco sobre 5 estacas retangular 99 525 Exemplo 5 Bloco sobre 5 estacas pentagonal 100 526 Exemplo 6 Bloco sobre 6 estacas hexagonal 101 527 Exemplo 7 Bloco sobre 6 estacas retangular 103 53 EXEMPLOS COM CARGA EXCÊNTRICA 105 531 Exemplo 8 Bloco sobre estacas 106 532 Exemplo 9 Bloco sobre estacas 111 533 Exemplo 10 Bloco sobre estacas 118 6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 120 61 CONCLUSÕES 120 62 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 121 7 REFERÊNCIAS 123 APÊNDICE A FLUXOGRAMA DO SOFTWARE126 12 1 INTRODUÇÃO 11 CONSIDERAÇÕES INICIAIS O projeto dos elementos de fundação tem um papel fundamental no projeto estrutural completo de uma edificação A partir de uma sondagem determinase em função da capacidade de carga do terreno o tipo ideal para aquele empreendimento podendo ser uma fundação direta ou uma fundação indireta O projeto de fundação indireta pode ser feito em tubulão ou blocos sobre estacas A escolha do tipo é feita em função da carga do projeto estrutural e das características do terreno Blocos sobre estacas são elementos de volume que têm a finalidade de transmitir o esforço proveniente do pilar para as estacas figura 1 Sua integridade é de extrema importância para a segurança da estrutura como um todo porém por serem elementos que ficam abaixo do nível do terreno geralmente não permitem uma inspeção visual regular Suas dimensões em planta dependem quase sempre apenas da disposição das estacas adotandose o menor espaçamento possível entre elas a altura entretanto é definida de acordo com as solicitações De acordo com Munhoz 2004 blocos sobre estacas possuem um comportamento complexo por serem elementos tridimensionais O comportamento mecânico do conjunto açoconcreto a determinação de vinculações e a existência da interação soloestrutura são problemas que agravam o grau de complexidade Figura 1 Bloco sobre estacas Fonte Delalibera 2006 13 No Brasil o cálculo de bloco rígido sobre estacas é realizado pela maior parte do meio técnico por meio da analogia de bielas e tirantes BLÉVOT FRÉMY 1967 e do método do CEBFIP 1970 Estes métodos são aproximações para o cálculo dos esforços e do dimensionamento nos quais se adotam algumas simplificações do modelo não levando em consideração o comportamento mecânico do conjunto açoconcreto e a interação soloestrutura A ABNT NBR 61182014 define blocos sobre estaca como elementos de volume usados para transmitir as cargas às estacas podendo ser considerados rígidos ou flexíveis Para blocos flexíveis o dimensionamento deve ser realizado por meio de uma análise mais completa desde a distribuição dos esforços nas estacas dos tirantes de tração até a necessidade da verificação de punção O método das bielas só pode ser utilizado em blocos rígidos para os quais a norma brasileira admite modelos tridimensionais lineares ou não lineares e modelos de bielatirante tridimensionais A ABNT NBR 61182014 entretanto não apresenta um roteiro para verificação e dimensionamento dos blocos O dimensionamento de estruturas de concreto armado busca encontrar uma solução que atenda aos requisitos de resistência utilização e durabilidade Dentre as possíveis soluções existe uma solução ótima para cada necessidade como um menor custo menor peso menor prazo de execução entre outros Usualmente o dimensionamento é realizado a partir de uma predefinição da geometria do elemento com a obtenção dos esforços fazse a verificação se a geometria adotada atende a todas as condições estabelecidas Caso não atenda a alguma das condições adotase uma nova geometria até que todas as condições sejam atendidas A experiência do projetista definirá se a solução encontrada será mantida ou se serão feitas ações em busca de uma melhor solução Este processo não garante que a solução encontrada seja a ótima dentre as possíveis O dimensionamento de bloco sobre estacas está entre os elementos de estrutura de concreto armado que normalmente são dimensionados como descrito acima Técnicas de otimização em estruturas estão sendo cada vez mais utilizadas visando a encontrar soluções mais econômicas mantendose a segurança do elemento No Brasil encontramse vários estudos em otimização de pilares vigas e lajes porém são poucos os trabalhos na área de blocos sobre estacas 14 Podese destacar duas linhas dos processos de otimização os heurísticos e a programação matemática Os processos heurísticos consistem em técnicas probabilísticas de procura da solução ótima trabalhando apenas com os valores da função e com os parâmetros característicos de cada método a programação matemática estuda minimização de funções em problemas com ou sem restrições Seja qual for o método a ser utilizado um problema de otimização possui a Um conjunto de variáveis que são alteradas em busca da solução ótima b Uma função objetivo c Um conjunto de restrições a serem respeitadas De acordo com as equações das restrições e da função objetivo é determinado o possível método a ser utilizado Problemas de otimização com equações lineares podem ser resolvidos com métodos mais simples como o Simplex ALVES 1998 Já em problemas onde as equações não são lineares são exigidas técnicas mais complexas como o Método dos Pontos Interiores SIAS 2014 No dimensionamento de blocos sobre estacas existem restrições não lineares o que exige um método mais complexo para resolução do problema de minimização 12 JUSTIFICATIVA A engenharia vem se aprofundando no tema de otimização de estruturas de concreto armado Apesar dos blocos sobre estacas serem elementos com muitos trabalhos publicados tanto na parte teórica como na experimental existem poucos estudos sobre sua otimização Desta forma este trabalho poderá contribuir com o dimensionamento de blocos de concreto armado utilizando técnicas de otimização estrutural para encontrar a solução com o menor custo 13 OBJETIVOS Apresentar a formulação do problema de otimização de blocos sobre estacas para diferentes tipos de geometria bem como para diferentes quantidades de estacas 15 Estudar os processos de otimização estrutural e aplicálos em blocos de fundação O estudo do dimensionamento de blocos de fundação será feito seguindo orientações da ABNT NBR 61182014 utilizando o método das bielas e tirantes BLÉVOT FRÉMY 1967 e método sugerido pelo CEBFIP 1970 Desenvolver um software para o dimensionamento ótimo de blocos de fundação na plataforma Matlab Fazer uma análise comparativa entre os modelos de cálculo convencional e otimizado bem como verificar a eficiência do modelo de otimização proposto neste trabalho 14 ESCOPO DO TRABALHO Além da introdução este trabalho está dividido em mais cinco partes No capítulo dois serão apresentados estudos já realizados para blocos sobre estacas bem como os princípios básicos do dimensionamento de blocos de fundação Além disso serão apresentados os principais métodos de otimização que poderão ser aplicados ao problema proposto O capítulo três apresentará a formulação para otimização de blocos sobre estacas para diferentes tipos de geometria bem como para diferentes números de estacas por meio do método de pontos interiores No capítulo quatro será apresentada a metodologia para a implementação e a interface do software que foi desenvolvido para otimização de blocos sobre estacas No capítulo cinco serão apresentados os resultados de exemplos e comparações com blocos existentes No capítulo seis serão apresentadas as conclusões finais e sugestões para trabalhos futuros 16 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 21 BLOCOS SOBRE ESTACAS Existem diversos trabalhos científicos na área de blocos sobre estacas tanto na área experimental quanto na área teórica e numérica Os principais estudos sobre o comportamento estrutural de blocos sobre estacas iniciaram na década de 40 Em 1944 Gustavo Magnel um pesquisador belga apresentou um modelo de análise para blocos sobre dois apoios considerando uma treliça Munhoz 2014 Hobbs e Stein 1957 estudaram o comportamento de blocos sobre duas estacas através de análises experimentais onde desenvolveram um modo de solução pela teoria da elasticidade bidimensional Os modelos ensaiados possuíam armaduras com barras retas e curvas nas extremidades os modelos com barras curvas apresentaram maior eficiência e economia Até aquela época as formulações para cálculo e dimensionamento de blocos eram as mesmas que para as vigas Na década de 60 no entanto o estudo do comportamento de blocos considerando a analogia de treliça ganhou importância Munhoz 2014 Blévot e Frémy 1967 realizaram cento e dezesseis ensaios com blocos de duas três e quatro estacas submetidos à ação de força centrada analisaram seus comportamentos verificando a teoria dos métodos das bielas Os pesquisadores verificaram a relação entre a capacidade resistente e fissuração dos modelos com diversas distribuições de barras de armaduras com áreas equivalentes Para blocos de duas estacas foram realizados ensaios com duas disposições de armaduras conforme figura 2 17 Figura 2 Disposição das armaduras dos blocos de duas estacas Fonte adaptado de Blévot e Frémy 1967 Os pesquisadores observaram que a ruína ocorreu com o rompimento da biela do pilar da estaca ou de ambos Nos blocos com barras nervuradas sem ganchos ocorreu escorregamento das barras Por meio dos ensaios para blocos de duas estacas concluíram que as bielas comprimidas devem ser dimensionadas com o ângulo de inclinação entre 45 e 55 intervalo que os resultados foram compatíveis com o método das bielas e tirantes Ensaios com blocos de três estacas foram realizados com cinco disposições diferentes de armaduras de acordo com a figura 3 Figura 3 Disposição das armaduras dos blocos de três estacas Fonte Blévot e Frémy 1967 As armaduras dos blocos de a até d foram dimensionadas pelo método das bielas e tirantes já para o bloco e foi adotada a mesma área de aço utilizada para os outros blocos Os quatros primeiros modelos demonstraram um bom desempenho porém o último apresentou uma força última 50 menor que a 18 prevista Para os modelos de a até d com os blocos com ângulo das bielas de compressão entre 40 e 55 as forças últimas nos experimentos foram maiores que as previstas pelo método das bielas e tirantes e aconteceram após o escoamento da armadura Em nenhum ensaio nestes intervalos ocorreu ruptura por punção Blévot e Frémy 1967 ensaiaram blocos de quatro estacas com as cinco configurações da figura 4 similares aos de três estacas Figura 4 Disposição das armaduras dos blocos de quatro estacas Fonte Blévot e Frémy 1967 Os blocos de a até d mostraram as mesmas eficiências enquanto o e apresentou uma eficiência 20 menor que os demais O bloco c apresentou fissuras laterais excessivas para forças reduzidas O modelo b apresentou fissuras na parte inferior e o bloco d apresentou o melhor comportamento quanto à fissuração Não houve ruína por punção em nenhum dos modelos Os pesquisadores verificaram que o modelo de bielas e tirantes estava coerente com os valores obtidos nos ensaios Mautoni 1972 realizou ensaios experimentais com 20 blocos com dois apoios para análise conforme ilustrado na figura 5 Nos experimentos o pesquisador variou as dimensões dos blocos as taxas de armadura e a resistência do concreto Foram realizados ensaios com a armadura laçada contínua na horizontal e armadura bigode ver figura 5B Os blocos ensaiados tinham 15cm de largura estacas com 10cm por 15cm espaçamento entre os eixo variando entre 30cm e 45cm e a altura de 25cm 19 Figura 5 Bloco ensaiado por Mautoni 1972 A Configuração do ensaio B Detalhe da armadura em bigode A B Fonte Delalibera 2006 O início das fissuras ocorreu com forças próximas a 40 da força de ruína a primeira fissura surgiu na parte inferior do meio do vão Para cargas próximas a 70 não se formaram novas fissuras porém aumentaram as aberturas das já existentes As fissuras se desenvolveram paralelamente às bielas As ruínas dos modelos ocorreram por fendilhamento das bielas de compressão apresentando plano de ruptura entre a face interna da estaca e a face do pilar Este tipo de ruína não é ideal por se tratar de ruptura frágil o resultado melhor seria uma ruptura dúctil onde as armaduras entrassem em escoamento O pesquisador relatou que a armadura em bigode demonstrou desvantagem em relação ao consumo de aço e à dificuldade de execução enquanto a armadura laçada contínua necessita de um raio mínimo dificultando a armação em blocos estreitos e reduzindo a altura útil quando for distribuída em muitas camadas Mautoni 1972 propôs um procedimento para determinar o mecanismo de ruína e também a força última baseado nos resultados de seus experimentos Taylor e Clarke 1976 realizaram ensaios com blocos de quatros estacas para verificar a influência do arranjo da armadura no comportamento estrutural do bloco Foram ensaiados 15 blocos sobre quatro estacas de 20cm de diâmetro espaçamento entre os eixos das estacas de 40cm e de 60cm e a altura dos blocos foi de 45cm As três disposições das armaduras e o tipo de ancoragem estão indicadas nas figuras 6 e 7 20 Figura 6 Disposição das armaduras Fonte Taylor e Clarke 1976 Figura 7 Ancoragens adotadas Fonte Taylor e Clarke 1976 O comportamento de todos os blocos durante o ensaio foi similar surgiram fissuras verticais nas linhas entre estacas nas faces do bloco e a ruína ocorreu por fendilhamento devido às fissuras inclinadas que apareceram paralelas à biela de compressão Foram observadas duas formas de ruína conforme figura 8 Figura 8 Tipos de ruínas Fonte Taylor e Clarke 1976 21 Para os modelos 1 e 2 figura 7 e distribuição da armadura b as forças últimas foram 15 superiores aos dos blocos armados em malha a Os blocos com armadura segundo diagonais apresentaram praticamente a mesma força última dos armados em malha Nos blocos com armaduras distribuídas em malha o tipo de ancoragem influenciou de forma mais acentuada nas forças de ruínas As ancoragens 3 e 4 aumentaram em aproximadamente 30 a força de ruína Os resultados dos ensaios realizados demonstraram que a força última pode ser alterada em até 30 dependendo do tipo de arranjo de armadura Sabins e Gogate 1984 ensaiaram blocos sobre quatro estacas variando a taxa geométrica das armaduras principais Os pesquisadores concluíram que valores superiores a 02 para essa taxa não provocaram aumento no valor da força de ruína dos blocos Esse resultado demonstra que a ruína dos blocos está relacionada com as tensões de compressão na direção longitudinal das bielas e de tração na direção perpendicular às bielas o que provoca fendilhamento do concreto Adebar Kuchma e Collins 1990 realizaram ensaios com bloco de quatro e seis estacas para verificar a validade do modelo tridimensional de bielas e tirantes no dimensionamento de blocos sobre estacas Foram realizados ensaios com seis modelos de bloco de acordo com a figura 9 O bloco A foi dimensionado pelos critérios do ACI 1983 os blocos B C e D pelo método das bielas e o bloco E tinha a mesma armadura do bloco D porém com reentrâncias O bloco D possuía o dobro de armadura do bloco B De acordo com o ACI 1983 o bloco F teria uma força de ruína menor que o bloco E enquanto o método das bielas sugere que a força de ruína seria a mesma para os dois Todos os blocos possuíam altura de 60cm pilar de 30cmx30cm e estacas de 20cm de diâmetro 22 Figura 9 Modelos de blocos Fonte Adebar et al 1990 O bloco A apresentou ruína com 83 da força prevista que aconteceu com a armadura de flexão sofrendo escoamento antes da ruína do concreto O bloco B teve a força que provocou a ruína 10 maior do que a prevista com o tirante da maior direção sem apresentar escoamento das barras Nos blocos B e C as estacas mais próximas ao pilar suportaram a maior parcela das forças Os blocos D e E atingiram a ruína antes do escoamento das armaduras O modelo F se comportou como sendo duas vigas com ruína por cisalhamento da viga mais curta Os pesquisadores concluíram que o procedimento indicado pelo ACI 1983 não foi compatível com os resultados experimentais O modelo de bielas e tirantes representou melhor o comportamento estrutural dos blocos Através das observações experimentais e resultados numéricos foi sugerido um modelo refinado de bielas e tirantes obtido por meio do Método dos Elementos Finitos figura 10 23 Figura 10 1 Fluxo de tensão no bloco 2 Modelo proposto Fonte Adebar et al 1990 Sam e Iyer 1995 realizaram análise numérica e experimental em blocos sobre quatro estacas Os modelos tinham as mesmas dimensões porém variouse a disposição das armaduras sendo distribuída em malha concentrada nas estacas e armadura nas diagonais passando pela projeção do pilar A análise numérica foi realizada com análise não linear e chegou a resultados próximos aos encontrados experimentalmente Os resultados experimentais apresentaram uma maior capacidade de resistência para o modelo com a armadura distribuída em malha e a menor resistência para o modelo com armadura entre as estacas Este resultado foi contrário ao dos pesquisadores Blévot e Frémy 1967 Alves 1998 desenvolveu uma formulação e um sistema para auxiliar na definição de modelos de bielas e tirantes de estruturas bidimensionais visando a encontrar o modelo mais econômico O método Simplex foi utilizado para obtenção da solução ótima nos modelos de bielas e tirantes no trabalho Aplicouse a ferramenta em exemplos de vigas usuais vigas paredes vigas paredes com furos apoio em dente ligações viga pilar e consolos A partir de modelos iniciais foi encontrada a solução ótima com o menor custo e apresentada graficamente Miguel 2000 estudou o comportamento de blocos rígidos sobre três estacas submetidos à ação de carga centrada através de ensaios experimentais figura 11 e análise numérica A análise numérica tridimensional e não linear foi realizada por meio do método dos elementos finitos sem considerar as armaduras no modelo Na análise experimental os blocos mantiveram a mesma armadura principal porém variando as armaduras secundárias e estacas de 20cm e 30cm de diâmetro 24 Figura 11 Modelo ensaiado Fonte Miguel 2000 Na análise numérica os fluxos de tensões principais das deformações totais e plásticas e dos deslocamentos obtidos auxiliaram no projeto de instrumentação dos modelos ensaiados Observouse na região entre duas estacas em uma mesma face o aparecimento de fissuras prematuras como previsto na análise numérica Miguel 2000 concluiu que o método das bielas desenvolvido por Blévot e Frémy é conservador indicando uma margem de segurança mínima de 12 Todos os modelos romperam por fendilhamento das bielas de compressão acompanhado do escoamento das barras das armaduras principal eou secundária Munhoz 2004 realizou uma análise numérica de blocos rígidos de uma duas três quatro e cinco estacas utilizando o programa ANSYS baseado no método dos elementos finitos Para a análise adotouse comportamento do material como elástico linear e os resultados de interesse foram os fluxos de tensões em suas direções principais A figura 12 demonstra a malha de elementos finitos utilizada pela autora 25 Figura 12 Malha de elementos finitos utilizada por Munhoz Fonte Munhoz 2004 A pesquisadora apresentou divergências entre os métodos utilizados para o dimensionamento de blocos sobre estacas Constatouse que a treliça adotada pelo Método das Bielas BLÉVOT FRÉMY 1967 é um modelo coerente e o mais simples Para blocos de uma estaca observouse que a adaptação da teoria de blocos parcialmente carregados pode nem sempre fornecer bons resultados principalmente quando se tem variações de seções de pilares e estacas Para blocos de duas três e quatros estacas a autora confirma os estudos anteriores sugerindo a utilização do modelo de Biela e Tirantes porém indica que a geometria da treliça deve ser diferente conforme a seção do pilar Em blocos de cinco estacas o comportamento não é exatamente como considerado na prática pois a estaca central estava submetida a uma carga maior que as demais estacas para carga centrada e o método das bielas e tirantes considera todas as estacas com a mesma carga Delalibera 2006 desenvolveu uma análise numérica tridimensional nãolinear de blocos de concreto armado sobre duas estacas utilizando o programa ANSYS A análise foi feita considerando a fissuração do concreto e a influência das armaduras no comportamento estrutural dos blocos Delalibera 2006 realizou também uma análise experimental de quatorze blocos sobre duas estacas com o objetivo de observar a geometria das bielas de compressão Os ensaios foram realizados com ação de força centrada e excêntrica e o comportamento das bielas e tirantes foi diferente O pesquisador analisou a eficiência dos ganchos das barras de aço e concluiu que podem ser omitidos sem prejuízo da segurança estrutural dos blocos Em função do fluxo das tensões principais de compressão nos ensaios experimentais figura 13 e simulações numéricas podese observar que apenas 26 parte da estaca é solicitada de maneira mais intensa Por este motivo o autor sugere considerar metade da seção transversal da estaca para verificação da tensão na biela junto à zona nodal inferior Figura 13 Fluxo de tensões de compressão Fonte Delalibera 2006 Ramos 2007 realizou análise numérica de blocos sobre dez estacas considerando a interação soloestrutura Considerou dois tipos de solos o solo deformável e o indeformável Os modelos analisados foram submetidos à ação de força centrada e momentos variando as suas intensidades O pesquisador observou que o tipo de vinculação das estacas e a variação da altura do bloco modificaram o comportamento estrutural do mesmo Em modelos que consideraram as estacas apoiadas em solo indeformável as reações nas estacas chegaram a ter diferenças acima de 200 Esta diferença foi observada com menor intensidade em solo deformável no qual as estacas da região mais próxima ao pilar foram mais solicitadas Oliveira 2009 apresentou critérios usados em projeto de blocos sobre estacas e constatou divergências entre eles O pesquisador afirma que até então não se encontrava na literatura uma definição da área a ser usada para verificação de tensão de compressão no nó superior próximo ao pilar Através de resultados de modelos analíticos foi realizado um estudo que permitiu desenvolver um método para definição da área a ser verificada 27 Sakai 2010 realizou uma análise numérica baseada no método dos elementos finitos com características tridimensionais e nãolineares para demonstrar a relação de métodos de cálculos de reações nas estacas e tensões nos blocos de estacas envolvidas pelo solo Utilizou para a análise o programa DIANA em conjunto com o MIDASFX O pesquisador concluiu que a interação soloestrutura tem grande importância no estudo de bloco pois influencia nas reações das estacas Por exemplo se o solo é levado em consideração nas análises de blocos rígidos as maiores reações se concentram nas estacas laterais do bloco independente do tipo de aplicação de carga estudada e não nas estacas centrais como alguns métodos simplificados propõem Oliveira 2013 fez um estudo com diversos métodos analíticos para o dimensionamento de blocos de cinco e seis estacas Os blocos analisados foram de cinco estacas dispostas nos vértices de um trapézio e de seis estacas com arranjo retangular ambos com a ação de força centrada O pesquisador realizou uma análise numérica tridimensional utilizando o programa computacional FX for DIANA que é baseado no método dos elementos finitos Nos modelos analisados variaramse a seção transversal do pilar a deformabilidade do solo de apoio das estacas a altura do bloco e a resistência do concreto A figura 14 demonstra um exemplo analisado por Oliveira 2013 com as superfícies em que atua a mesma tensão principal de compressão Podese observar que quanto mais deformável for o solo mais uniformes são as distribuições das reações entre as estacas e das tensões de tração nas barras das armaduras principais A mudança da seção transversal do pilar alterou as configurações das bielas A altura influenciou de forma significativa na rigidez e na resistência do bloco Entretanto blocos com grandes alturas não apresentaram um bom comportamento estrutural e blocos com pequenas alturas não indicaram boa distribuição nas reações das estacas A resistência do concreto influencia na resistência do bloco mas não alterou de forma significativa a rigidez do bloco Dentre as conclusões o autor verificou que o método de bielas e tirantes se demonstrou compatível com o fluxo de tensões obtido de forma numérica enquanto os métodos analíticos que se baseiam nas verificações da resistência à momento fletor e à força cortante não foram compatíveis 28 Figura 14 Superfícies em que atua a mesma tensão principal de compressão Fonte Oliveira 2013 Munhoz 2014 realizou uma análise numérica e experimental com blocos de duas estacas submetidos à ação de força vertical centrada variando a seção e a taxa de armadura do pilar Foram realizados ensaios com doze modelos de blocos sobre duas estacas os modelos foram divididos em quatro grupos cada grupo com a mesma seção do pilar Os pilares adotados foram de 125cm x 125cm 125cm x 250cm 125cm x 375cm e 125cm x 500cm Em cada grupo foram adotadas três taxas de armadura dos pilares 1 25 e 4 Para não haver grande variedade de modelos foi adotada a mesma altura para todos os blocos e o mesmo ângulo de inclinação das bielas comprimidas Em todos os ensaios a força de ruína foi maior do que a prevista teoricamente o mesmo fato já havia sido observado por Miguel 2000 e Delalibera 2006 Em praticamente todos os ensaios a ruína ocorreu por ruptura do concreto do bloco com exceção de um onde ocorreu ruptura do concreto do pilar A figura 15 demonstra a configuração das fissuras em dois blocos analisados 29 Figura 15 Configuração das fissuras Fonte Munhoz 2014 Os valores das forças de tração nas armaduras principais foram medidos nos ensaios Os valores experimentais se alteraram de acordo com a taxa de armadura do pilar enquanto o teórico não se altera Os ângulos da biela também foram calculados através das forças de tração medidas nos ensaios e os valores encontrados foram próximos aos teóricos Uma das conclusões do pesquisador por meio dos ensaios foi que as diferentes taxas de armaduras influenciaram na formação das regiões nodais superiores e inferiores além de verificar que a forma geométrica do pilar também influencia a formação destas bielas Com relação à inclinação da biela de compressão a taxa de armadura não influenciou significativamente A análise numérica foi feita com a utilização de um programa computacional baseado no método dos elementos finitos ANSYS Foram realizadas análises numéricas com todos os blocos ensaiados Nos modelos foram simulados o concreto e a armadura dos elementos considerando a não linearidade física dos materiais figura 16 30 Figura 16 Malha utilizada nos modelos e os elementos de barras Fonte Munhoz 2014 De maneira geral os modelos numéricos apresentaram comportamento semelhante ao modelo experimental principalmente com relação à formação de campos e fluxos de tensões Munhoz 2014 também propôs um modelo teórico para cálculo de blocos de duas estacas A proposta é aplicar um modelo simplificado e analisar as verificações de tensões e ancoragens das barras da armadura com base no que foi observado no trabalho Tomaz e Alves 2015 aplicaram o método dos pontos interiores no dimensionamento de blocos sobre estacas Elaboraram um programa para o dimensionamento ótimo de blocos sobre estacas utilizando o Matlab e expuseram exemplos de blocos de duas três e quatro estacas 22 DIMENSIONAMENTO DE BLOCOS SEGUNDO A ABNT NBR 61182014 De acordo com a ABNT NBR 61182014 blocos são estruturas de volume usadas para transmitir às estacas e aos tubulões as cargas de fundação podendo ser considerados rígidos ou flexíveis Quando se verifica a expressão a seguir nas duas direções o bloco é considerado rígido Caso contrário o bloco é considerado flexível ℎ 𝑎 𝑎𝑝 𝟑 21 31 Onde ℎ é a altura do bloco 𝑎 é a dimensão do bloco em uma determinada direção 𝑎𝑝 é a dimensão do pilar na mesma direção O comportamento estrutural do bloco rígido se caracteriza por trabalhar à flexão nas duas direções com trações essencialmente concentradas nas linhas das estacas reticulado definido pelo eixo das estacas com faixas de largura igual a 12 vezes seu diâmetro as forças são transmitidas do pilar para as estacas essencialmente por bielas de compressão de forma e dimensões complexas trabalho ao cisalhamento também em duas direções não apresentando ruínas por tração diagonal e sim por compressão das bielas Para o bloco flexível deve ser realizada uma análise mais completa desde a distribuição dos esforços nas estacas dos tirantes de tração até a necessidade da verificação da punção Para o cálculo e dimensionamento dos blocos são aceitos modelos tridimensionais lineares ou não lineares e modelos bielatirante tridimensionais A ABNT NBR 61182014 apresenta algumas diretrizes para os modelos e verificações a serem feitas mas não apresenta uma formulação a ser adotada no dimensionamento e verificação dos blocos sobre estacas A norma brasileira solicita que o modelo contemple a interação soloestrutura sempre que houver forças horizontais significativas ou forte assimetria Com relação ao detalhamento das armaduras de flexão de blocos rígidos a ABNT NBR 61182014 requer que sejam dispostas essencialmente mais de 85 nas faixas definidas pelas estacas e devem se estender de face a face do bloco com gancho nas duas extremidades Deve ser garantida a ancoragem da armadura destas faixas medida a partir das faces internas das estacas podendo ser considerado o efeito favorável da compressão transversal às barras A norma brasileira solicita uma armadura positiva adicional de distribuição para controlar a fissuração em malha uniformemente distribuída em duas direções para 20 dos esforços totais A norma brasileira também indica a armadura de suspensão quando for prevista uma armadura de distribuição para mais de 25 dos esforços totais ou se o espaçamento entre estacas for maior que três vezes seu diâmetro 32 De acordo com a ABNT NBR 61182014 o bloco deve ter altura suficiente para permitir a ancoragem da armadura de arranque dos pilares podendo ser considerado o efeito favorável da compressão transversal às barras decorrente da flexão do bloco A norma brasileira solicita uma armadura lateral e superior em blocos com duas ou mais estacas em uma única linha mas não apresenta os valores destas armaduras Para blocos flexíveis a norma brasileira exige que sejam atendidos os requisitos relativos às lajes e punção O item 22 da ABNT NBR 61182014 aborda superficialmente o modelo de bielas e tirantes Neste item são apresentados critérios para o projeto de elementos com descontinuidade generalizada e de elementos em que as descontinuidades geométricas ou de cargas que afetem o comportamento do elemento estrutural como um todo que se enquadra o bloco de fundação A figura 17 apresenta alguns exemplos destes elementos e também a divisão entre as regiões B e D Segundo a norma as regiões B não hachuradas são aquelas em que se consideram as seções permanecendo planas após as deformações com uma distribuição linear já para as regiões D hachuradas não se aplica esta consideração 33 Figura 17 Situações típicas da região D hachurada Fonte ABNT NBR 61182014 Tendo em vista a responsabilidade dos elementos especiais na estrutura devese majorar as solicitações de cálculo por um coeficiente adicional 𝛾𝑛 conforme ABNT NBR 8681 nas regiões D A ABNT NBR 86812003 define o coeficiente adicional 𝛾𝑛 pela expressão 22 𝛾𝑛 𝛾𝑛1 𝛾𝑛2 22 Onde 𝛾𝑛1 12 em função da ductilidade de uma eventual ruína 𝛾𝑛2 12 em função da gravidade das consequências de uma eventual ruína Foi adotado para o presente trabalho o valor de 12 para o coeficiente adicional para os blocos sobre estacas este também é o valor utilizado pelo software TQS versão 1712 A ABNT NBR 61182014 permite a análise da região D por meio de uma treliça idealizada composta por bielas tirantes e nós As bielas resistem aos esforços de compressão os tirantes são compostos pelas armaduras resistindo aos esforços de 34 tração e os nós fazem as ligações entre bielas e tirantes Em cada nó é verificada a resistência necessária para a transmissão das forças entre bielas e tirantes A treliça é isostática onde os nós recebem as forças externas e as reações de apoio em um sistema auto equilibrado As bielas inclinadas devem ter ângulo de inclinação cuja tangente esteja entre 057 e 2 em relação ao eixo da armadura longitudinal A ABNT NBR 61182014 define os parâmetros para verificação das tensões máximas de compressão nas bielas e regiões nodais 𝑓𝑐𝑑1 085 𝛼𝑣2 𝑓𝑐𝑑 23 𝑓𝑐𝑑2 060 𝛼𝑣2 𝑓𝑐𝑑 24 𝑓𝑐𝑑3 072 𝛼𝑣2 𝑓𝑐𝑑 25 Onde 𝛼𝑉2 1 𝑓𝑐𝑘 250 com 𝑓𝑐𝑘 expresso em MPa 26 𝑓𝑐𝑑1 tensão resistente no concreto em verificações pelo método de bielas e tirantes em regiões com tensões de compressão transversal ou sem tensões de tração transversal e em nós onde confluem somente bielas de compressão 𝑓𝑐𝑑2 tensão resistente no concreto em verificações pelo método de bielas e tirantes em regiões com tensões de tração transversal e em nós onde confluem dois ou mais tirantes tracionados 𝑓𝑐𝑑3 tensão resistente no concreto em verificações pelo método de bielas e tirantes em nós onde conflui um tirante tracionado 𝑓𝑐𝑘 resistência característica à compressão do concreto 𝑓𝑐𝑑 resistência de cálculo à compressão do concreto A ABNT NBR 61182014 impõe valores limites para bielas comprimidas independente do elemento estrutural já Machado 1985 indica valores específicos para blocos sobre estacas que variam de acordo com o número de estacas Outras normas como ACI 2011 EHE 2008 e o Eurocode 2010 propõe valores diferentes conforme tabela 1 35 Tabela 1 Tensões limites nos nós Para o método proposto por Blévot e Frémy usualmente os valores propostos por Machado 1985 são utilizados como limites de tensões nas bielas Os valores foram obtidos experimentalmente e são específicos para blocos sobre estacas 23 DIMENSIONAMENTO DE BLOCOS SOBRE ESTACAS Existem dois principais métodos para o dimensionamento de blocos sobre estacas no Brasil o método das bielas proposto por Blévot e Frémy 1967 e o método do CEBFIB 1970 A seguir serão apresentadas as formulações para cada um deles 231 Método das bielas e tirantes O método das bielas e tirantes é baseado nos ensaios de Blévot e Frémy 1967 e consiste em admitir uma treliça espacial no interior do bloco composta por barras tracionadas e comprimidas unidas por meio de nós Com um modelo de treliça isostática as forças das bielas e tirantes são calculadas por meio do equilíbrio entre forças internas e externas As forças de compressão nas bielas são resistidas pelo concreto e as de tração que atuam nas barras horizontais da treliça pela armadura O método consiste no cálculo da força de tração que define a área necessária de armadura e na verificação das tensões de compressão nas bielas calculadas nas seções situadas junto ao pilar e à estaca As tensões limites foram determinadas experimentalmente por Blévot e Frémy 1967 em ensaios Pilar Estaca Pilar Estaca Pilar Estaca Pilar Estaca Machado 1985 14fcd 085fcd 175fcd 085fcd 21fcd 085fcd 21fcd 085fcd ACI 2011 085fcd 068fcd 085fcd 051fcd 085fcd 051fcd 085fcd 051fcd EHE2008 fcd 070fcd 330fcd 070fcd 330fcd 070fcd 330fcd 070fcd fcd 060γfcd fcd 060γfcd fcd 060γfcd fcd 060γfcd 085γfcd 072γfcd 085γfcd 060γfcd 085γfcd 060γfcd 085γfcd 060γfcd EUROCODE 2 2010 γ1fck250 ABNT NBR61182014 γ1fck250 Modelo Duas Estacas Três Estacas Quatro Estacas 5 ou mais Estacas 36 Este método considera pilares com força normal centrada e todas as estacas devem estar igualmente afastadas do centro do pilar Caso haja força excêntrica devese considerar que todas as estacas estão submetidas à maior reação O método considera apenas pilares com seção quadrada sendo que para os pilares com seção retangular pouco alongada podese considerar uma seção quadrada de área equivalente OLIVEIRA 2013 2311 Bloco sobre 2 estacas O ângulo da biela de compressão 𝜃 deve estar no intervalo 45 𝜃 55 e pode ser obtido geometricamente através das dimensões do bloco figura 18 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐷 𝑒 2 𝑏𝑝 4 27 As forças de compressão das bielas e a força de tração da armadura dependem da carga aplicada e do ângulo da biela de compressão como indicado na figura 18 𝑅𝑠𝑑 𝑃𝑑 2 𝑡𝑔𝜃 28 𝑅𝑐𝑑 𝑃𝑑 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 29 37 Figura 18 Bloco sobre 2 estacas esquema de forças Fonte Autor Substituindo o valor de 𝜃 da equação 27 na equação 28 obtémse 𝑅𝑠𝑑 𝑃𝑑 8 2𝑒 𝑎𝑝 𝐷 210 Segundo Blévot e Frémy 1967 o valor da área de aço obtida através da força de tração 210 deve ser majorado em 15 conforme observado em seus experimentos 𝐴𝑠 115 𝑅𝑠𝑑 𝑓𝑦𝑑 211 38 Para a verificação da biela de compressão é calculada a tensão em duas seções do bloco uma junto ao pilar 𝜎𝑐𝑑𝑝 e outra junto à estaca 𝜎𝑐𝑑𝑒 ver figura 19 Figura 19 Área da biela de concreto junto ao pilar Abp e junto à estaca Abe Fonte Autor A área da biela junto ao pilar 𝐴𝑏𝑝 e a área da biela junto à estaca 𝐴𝑏𝑒 podem ser obtidas através das expressões 212 e 213 respectivamente 𝐴𝑏𝑝 𝐴𝑝 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 212 𝐴𝑏𝑒 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛𝜃 213 Com o valor da força de compressão na biela 210 e o valor da área da biela 212 e 213 encontramse as tensões na biela junto ao pilar e junto à estaca respectivamente 𝜎𝑐𝑑𝑝 𝑃𝑑 𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛2𝜃 214 39 𝜎𝑐𝑑𝑒 𝑃𝑑 2 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝜃 215 As tensões obtidas por meio das equações 214 e 215 devem ser inferiores às tensões limites indicadas pela referência adotada 2312 Bloco sobre 3 estacas Para blocos com três estacas o centro de gravidade das estacas coincide com o centro de gravidade do pilar Por geometria para bloco de três estacas figura 20 com a armadura na direção estacapilar encontrase Figura 20 Bloco sobre 3 estacas esquema de forças Fonte Autor 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐷 𝑒3 3 03 𝑏𝑝 216 40 O ângulo da biela deve estar dentro do intervalo 45 𝜃 55 Análogo ao bloco de duas estacas a força de compressão das bielas e a força de tração da armadura dependem da carga aplicada e do ângulo da biela de compressão como indicado na figura 20 que é dado por 𝑅𝑠𝑑 𝑃𝑑 3 𝑡𝑔𝜃 217 𝑅𝑐𝑑 𝑃𝑑 3 𝑠𝑒𝑛𝜃 218 Substituindo o valor de 𝜃 da equação 216 na equação 217 obtémse 𝑅𝑠𝑑 𝑃𝑑 9 𝑒3 09 𝑏𝑝 𝐷 219 Com o valor da força de tração na armadura a área de aço é obtida pela equação 211 As tensões junto ao pilar 𝜎𝑐𝑑𝑝 e junto à estaca 𝜎𝑐𝑑𝑒 podem ser expressas pelas equações 214 e 220 respectivamente 𝜎𝑐𝑑𝑒 𝑃𝑑 3 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝜃 220 Para bloco de três estacas com a armadura paralela à face do bloco mais usual a única alteração é na força de tração na armadura dada pela equação 221 𝑅𝑠𝑑 𝑃𝑑 9 𝑒3 09 𝑏𝑝 𝐷 3 3 221 A figura 21 demonstra as armaduras dispostas nas direções estacapilar e paralelas às faces do bloco ligando as estacas 41 Figura 21 Bloco sobre 3 estacas disposição das armaduras Fonte Autor 2313 Bloco sobre 4 estacas Bloco de quatro estacas pode ter as armaduras dispostas de três formas conforme mostrado na figura 22 Figura 22 Bloco sobre 4 estacas disposição das armaduras Fonte Autor De maneira análoga aos blocos de duas e três estacas podese obter as equações necessárias para o dimensionamento do bloco ver figura 23 O ângulo da biela deve estar dentro do intervalo 45 𝜃 55 e pode ser obtido por 42 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐷 𝑒2 2 𝑏𝑝 2 4 222 Figura 23 Bloco sobre 4 estacas esquema de forças Fonte Autor De forma similar a parcela da força no tirante é dada por 𝑅𝑠𝑑 𝑃𝑑 4 𝑡𝑔𝜃 223 Igualando as equações 222 e 223 a força de tração fica definida pela equação 224 que é válida para disposição da armadura estacapilar 43 𝑅𝑠𝑑 𝑃𝑑 16 2 2 𝑒 𝑏𝑝 𝐷 224 Para pilar retangular podese substituir 𝑏𝑝 por 𝑏𝑝𝑒𝑞 𝑎𝑝 𝑏𝑝 A tensão na biela junto ao pilar é definida pela equação 214 e junto à estaca pela equação 225 𝜎𝑐𝑑𝑒 𝑃𝑑 4 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝜃 225 Para a disposição de armadura nas faces dos blocos ligando as estacas a força de tração na armadura fica alterada para equação 226 por face 𝑅𝑠𝑑 𝑃𝑑 16 2 𝑒 𝑏𝑝 𝐷 226 Para a disposição de armadura em malha a força de tração na armadura fica definida pela equação 227 por direção 𝑅𝑠𝑑 𝑃𝑑 8 2 𝑒 𝑏𝑝 𝐷 227 Para armadura disposta em malha o cálculo é feito considerando apenas uma direção da mesma forma do bloco de duas estacas porém no cálculo da armadura o valor é majorado em 25 pois foi comprovado experimentalmente que nesta disposição a eficiência fica em cerca de 80 2314 Bloco sobre 5 estacas A forma mais econômica e usual de blocos sobre cinco estacas é dispor quatro estacas na periferia formando um quadrado e mais uma estaca no centro do bloco figura 24 Dessa maneira o dimensionamento do bloco sobre cinco estacas é similar ao de quatro estacas apenas a reação das estacas fica reduzida para 15 da força aplicada ao pilar obtendose expressões análogas Porém como 44 demonstrado no trabalho de Munhoz 2004 esta disposição de estacas não apresenta reações iguais nas estacas como previsto Figura 24 Bloco sobre 5 estacas esquema de forças retangular Fonte Autor Para disposição da armadura na diagonal estacapilar a força de tração da armadura fica definida pela equação 228 para armadura paralela aos lados ligando as estacas pela equação 229 e pela equação 230 para armadura em malha 𝑅𝑠𝑑 𝑃𝑑 20 2 2 𝑒 𝑏𝑝 𝐷 228 45 𝑅𝑠𝑑 𝑃𝑑 20 2 𝑒 𝑏𝑝 𝐷 229 𝑅𝑠𝑑 𝑃𝑑 10 2 𝑒 𝑏𝑝 𝐷 230 A tensão da biela junto ao pilar é definida pela equação 214 e a tensão da biela junto à estaca pela equação 231 𝜎𝑐𝑑𝑒 𝑃𝑑 5 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝜃 231 A disposição que garante que as reações das estacas serão iguais está indicada na figura 25 com as estacas distantes igualmente do centro do bloco Figura 25 Bloco sobre 5 estacas esquema de forças pentagonal Fonte Autor 46 Nessa configuração de estacas o valor da força no tirante é definida pela equação 232 considerando a armadura segundo os lados O valor da tensão na biela do pilar permanece definido pela equação 214 e a tensão junto à estaca pela equação 231 𝑅𝑠𝑡𝑙 0725 𝑃𝑑 𝑒 𝑎𝑝 34 5𝑑 232 2315 Bloco sobre 6 estacas Para bloco de seis estacas na disposição da figura 26 hexagonal de maneira análoga aos exemplos anteriores obtêmse o valor da força pela equação 233 para armaduras segundo os lados a tensão da biela no pilar pela equação 214 e na estaca pela equação 234 Figura 26 Bloco sobre 6 estacas esquema de forças hexagonal Fonte Autor 47 𝑅𝑠𝑡𝑙 𝑃𝑑 𝑒 𝑎𝑝 4 6𝑑 233 𝜎𝑐𝑏𝑒 𝑃𝑑 6𝐴𝑒𝑠𝑒𝑛2𝜃 234 O bloco de seis estacas pode ter as estacas dispostas de outra forma de acordo com a figura 27 onde as resultantes de tração são obtidas pelas equações 235 a 237 As outras equações permanecem inalteradas com relação do bloco hexagonal Figura 27 Bloco sobre 6 estacas esquema de forças retangular Fonte Autor 48 𝑅𝑠𝑡𝑙1 𝑃𝑑 𝑒 2 𝑎𝑝 4 6𝑑 235 𝑅𝑠𝑡𝑙2 𝑃𝑑 5 𝑒 5 2 03 𝑏𝑝 30𝑑 236 𝑅𝑠𝑡𝑙3 2 𝑅𝑠𝑡𝑙3 237 2316 Bloco sobre n estacas Os procedimentos para dimensionamento dos blocos sobre 7 a n estacas são semelhantes aos apresentados nos itens anteriores O modelo de biela e tirantes possui uma biela de compressão partindo do pilar até cada estaca tirantes no plano horizontal das estacas até o eixo do pilar ou entre as estacas Verificamse as tensões da biela de compressão no pilar e nas estacas e adotase uma área de aço para resistir ao esforço de tração dos tirantes O ângulo da biela de compressão deve estar entre 45 e 55 232 Método do CEBFIP 1970 O projeto de blocos sobre estacas considerando o Processo do CEBFIP 1970 indica verificações de segurança para tensões normais e tangenciais com os esforços solicitantes determinados em seções transversais particulares A rotina é aplicada a blocos considerados rígidos com distância entre a face do pilar até o eixo da estaca mais afastada variando entre um terço e a metade da altura do bloco figura 28 49 Figura 28 Altura para aplicação do método do CEB 1970 Fonte Autor 2 3 𝐶 𝐻 2 𝐶 238 Para o dimensionamento da armadura principal do bloco o método sugere uma verificação à flexão considerando uma seção de referência interna plana normal à superfície do bloco Esta seção está situada entre as faces do pilar a uma distância de 015𝑎𝑝 onde 𝑎𝑝 designa a medida do lado do pilar no sentido perpendicular à seção considerada Para verificação da resistência à força cortante definese uma seção de referência distante da face do pilar de um comprimento igual à metade da altura do bloco No caso de blocos sobre estacas vizinhas ao pilar em que algumas estacas ficam situadas a uma distância da face do pilar inferior à metade da altura útil do bloco a seção é considerada na própria face A força de referência é igual à componente normal à superfície de apoio da resultante das forças aplicadas sobre uma ou outra das partes do bloco limitadas pela seção de referência MUNHOZ 2004 2321 Momentos Fletores A armadura principal é calculada para o momento fletor em relação a uma seção de referência 𝑆1𝐵 e 𝑆1𝐴 figura 29 em cada direção posicionada internamente ao pilar e distante 015𝑏𝑝 ou 015𝑎𝑝 da face do pilar 50 Figura 29 Seção de referência para o cálculo do momento fletor Fonte Autor Onde 𝑑 altura útil medida na face do pilar O momento fletor é calculado multiplicando as reações das estacas pela distância à seção 𝑆1𝐵 considerandose as estacas entre a seção 𝑆1𝐵 e a face lateral do bloco paralela à seção 𝑆1𝐴 O mesmo procedimento é realizado para a seção 𝑆1𝐴 2322 Armadura Principal A armadura principal é encontrada através do momento fletor 𝑀𝐵𝑑 usando a mesma teoria de vigas A armadura perpendicular à seção 𝑆1𝐵 de referência é 𝐴𝑠1 𝑀𝐵𝑑 085 𝑑 𝑓𝑦𝑑 239 51 O cálculo é realizado para as duas direções onde a menor armadura deve ser no mínimo um quinto da maior 2323 Armadura Principal em Blocos Sobre Três Estacas Em blocos sobre três estacas a armadura deverá ser disposta entre estacas paralela aos lados Para o cálculo da armadura deverá ser adotada uma seção de referência 𝑆1 entre o pilar e uma das estacas O momento fletor na seção de referência fornece a força de tração 𝑅𝑠 na direção da mediana e desta encontrase a força de tração 𝑅𝑠 na direção das duas estacas figura 30 Figura 30 Seção de referência para o cálculo do bloco de três estacas Fonte Autor 52 2324 Força Cortante A verificação à força cortante é realizada nas seções de referência 𝑆2 ver figura 31 distantes 𝑑 2 da face do pilar na direção considerada Caso exista alguma estaca entre a face do pilar até a distância 𝑑 2 a seção de referência deve ser alterada para a face do pilar A altura útil da seção 𝑆2 é igual à altura útil do bloco medida na própria seção caso essa altura exceda uma vez e meia a medida de 𝑙𝑐2 a altura útil a ser utilizada será 𝑑2 15 𝑙𝑐2 Figura 31 Seção de referência para o cálculo do esforço cortante Fonte Autor 53 O valor da força cortante encontrada na seção de referência 𝑆2 deve ser inferior ao cortante limite fornecido pela equação 240 𝑉𝑑𝑙𝑖𝑚 025 𝛾𝑐 1 𝐶 5𝑑 𝑏2 𝑑2 𝑓𝑐𝑘 240 com 𝑓𝑐𝑘 em 𝑘𝑁𝑐𝑚2 𝑉𝑑𝑙𝑖𝑚 em 𝑘𝑁 𝑏2 e 𝑑2 em 𝑐𝑚 Sendo que 𝐶 é a distância entre a face do pilar até o eixo da estaca mais afastada figura 28 𝑑 é a altura útil da seção 𝑏2 é a largura da seção 𝑆2 e 𝑑2 a altura útil da seção de referência 𝑆2 Outra verificação a ser feita é com relação à força cortante nas estacas posicionadas nos cantos do bloco O valor da força cortante é a reação da estaca A seção a ser analisada fica a uma distância de 𝑑1 2 da face da estaca A largura 𝑏2 é igual à altura útil 𝑑1 acrescida do diâmetro da estaca enquanto a altura útil 𝑑2 é a altura efetiva da seção 𝑆2 figura 32 Os valores das alturas nas seções de referência só terão valores diferentes se o bloco tiver uma altura variável caso contrário as alturas serão iguais o que é mais usual Figura 32 Seção de referência para o cálculo do esforço cortante local Fonte Autor 54 A reação da estaca deve ser igual ou menor à reação limite dada por 𝑅𝑑𝑙𝑖𝑚 012 𝛾𝑐 𝑏2 𝑑2 𝑓𝑐𝑘 241 com 𝑓𝑐𝑘 em 𝑘𝑁𝑐𝑚2 𝑅𝑑𝑙𝑖𝑚 em 𝑘𝑁 𝑏2 e 𝑑2 em 𝑐𝑚 𝑑2 15 𝑐2 233 Blocos submetidos a carga vertical e momentos fletores O método de cálculo é baseado na superposição dos efeitos somase a reação em cada estaca causada pela carga vertical à reação provocada pelo momento fletor A seguir são descritas as hipóteses básicas para o desenvolvimento do método Rigidez infinita do bloco Lei de Hooke é válida para o material Eixos x e y são os eixos principais de inércia Ligação entre bloco e estaca como rótula Força em cada estaca proporcional à projeção do deslocamento do topo da estaca sobre o eixo da mesma A reação em cada estaca é obtida pela expressão 242 ver figura 33 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑖 𝑃𝑑 𝑛𝑒 𝑀𝑥 𝑦𝑖 𝑦𝑖 2 𝑀𝑦 𝑥𝑖 𝑥𝑖 2 242 Onde Rest i é a reação na estaca i dP é a força vertical atuante en é a quantidade de estacas no bloco x M é o momento atuante em torno do eixo x y M é o momento atuante em torno do eixo y ix é a coordenada x da estaca i iy é a coordenada y da estaca i 55 Figura 33 Determinação das reações nas estacas Fonte adaptado de MUNHOZ 2004 24 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL Entendese como problema de otimização aquele em que se procura maximizar ou minimizar uma função numérica com certo número de variáveis sujeitas a certo conjunto de condições que restringem o espaço das soluções do problema Lima 2007 Em problemas de engenharia o processo convencional consiste em a partir de uma predefinição da geometria do elemento obter os esforços e verificar se a geometria adotada atende a todas as condições estabelecidas Caso não atenda a alguma das condições adotase uma nova geometria até que todas as condições sejam atendidas A seguir o projetista através de sua experiência define se irá manter a solução ou se irá alterála em busca de uma solução melhor Este processo não garante que a solução ótima foi encontrada O projeto ótimo consiste na determinação sucessiva de configurações do elemento em que a nova solução é obtida a partir da anterior com o uso de técnicas 56 matemáticas Assim cada configuração é resultado de alterações no conjunto das variáveis de projeto e a solução ótima é a finalização ideal deste processo Na figura 34 temse uma representação sistemática do projeto ótimo Existem diversos métodos para encontrar a solução ótima de um determinado problema de otimização dependendo das variáveis que estão sendo consideradas do tipo de restrições e das características do problema em si Podese destacar duas linhas dos processos de otimização os heurísticos ou probabilísticos e a programação matemática ou determinísticos Os processos heurísticos consistem em técnicas probabilísticas de procura da solução ótima trabalhando apenas com os valores da função e com os parâmetros característicos de cada método o que permite lidar com variáveis discretas A programação matemática estuda minimização de funções em problemas com ou sem restrições Alguns dos principais métodos heurísticos são Recozimento Simulado Colônia de Formigas Algoritmos Genéticos e Busca Harmônica A maior parte destes métodos é baseada em fenômenos da natureza e probabilidade Dentre os principais métodos determinísticos destacamse o Método do Gradiente Conjugado Método das Penalidades Método dos Pontos Interiores Método de Newton Método de QuaseNewton Método da Máxima Descida e Método do Lagrangiano Aumentado Seja qual for o método a ser utilizado um problema de otimização possui Um conjunto de variáveis que são alteradas em busca da solução ótima Uma função objetivo Um conjunto de restrições a serem respeitadas 57 Figura 34 Comparação esquemática entre o procedimento convencional de projeto a e projeto ótimo b Fonte Vianna 2003 Neste trabalho será dado enfoque aos métodos de programação matemática ou determinísticos 241 Programação Matemática PM Os métodos de programação matemática que são as bases da otimização clássica se baseiam em fundamentos matemáticos tais como análise funcional cálculo integral problema de autovalor álgebra linear dentre outros que permitem o desenvolvimento de algoritmos capazes de buscar um ponto extremo da função ponto este que deve satisfazer as condições de otimidade chamadas de condições de KuhnTucker ARGOLO 2000 Problemas de otimização podem ser representados da seguinte forma LIMA 2007 58 Determinar 𝑥 ℜ 243 que minimiza ou maximiza 𝑓𝑥 sujeita 𝑐𝑖𝑥 0 𝑖 𝐼 1 𝑛 𝑐𝑖𝑥 0 𝑖 𝐷 𝑛 1 𝑚 onde 𝑓𝑥 a função objetivo do problema 𝑥 o conjunto de variáveis do problema 𝑥 o conjunto de valores para o qual se obtém o valor mínimo ou máximo da função 𝑓𝑥 limitada pelas condições 𝑐𝑖𝑥 𝑐𝑖𝑥 condições do problema que devem ser atendidas para que a solução seja considerada válida Para que a solução 𝑥 seja um mínimo local do problema de otimização enunciado na equação 243 é necessário que esta atenda às condições de primeira ordem também chamadas de condições de KuhnTucker enunciadas por 𝑥𝐿𝑥 𝝀 0 244 𝑐𝑖𝑥 0 𝑖 1 𝑙 𝑐𝑖𝑥 0 𝑖 𝑙 1 𝑚 𝜆𝑖 0 𝑖 𝑙 1 𝑚 𝜆𝑖 𝑐𝑖𝑥 0 𝑖 onde 𝐿𝑥 𝝀 é a função Lagrangiana dada pela equação 245 𝐿𝑥 𝝀 𝑓𝑥 𝜆𝑖 𝑙 𝑖1 𝑐𝑖𝑥 245 e 𝜆𝑖 são os multiplicadores de Lagrange associados às restrições no ponto 𝑥 solução Para determinadas classes de problemas de programação matemática as condições de KuhnTucker são suficientes para a determinação de uma solução ótima local como problemas de programação convexas Porém nos casos mais 59 comuns as condições de primeira ordem não são suficientes para a determinação da solução ótima local de modo que além das condições expressas em 244 deve ser verificada a condição de segunda ordem expressa na equação 246 𝑑𝑡𝑊𝑑 0 𝑑 0 tal que 𝑑𝑡𝑎𝑖 0 246 onde 𝑎𝑖 𝑐𝑖𝑥 para todas as restrições ativas e 𝑊 2𝐿𝑥 é a Hessiana da função Lagrangiana O que significa que 𝑊 em 𝑥 é positiva definida no ponto ótimo para qualquer direção estacionária 𝑑 JUNIOR 2005 Os problemas de otimização são divididos em três tipos de acordo com as características da função objetivo e as restrições de acordo com tabela 2 Tabela 2Tipos de Otimização Fonte Júnior 2005 Tipos de problemas de Otimização 𝑓𝑥 𝑐𝑖𝑥 Programação Linear Linear Linear Programação Quadrática Quadrática Linear Programação NãoLinear Nãolinear Nãolinear Linear Nãolinear Linear Nãolinear 2411 Programação Linear Tem como principal método de resolução o método Simplex desenvolvido por Dantzig em 1947 de extrema eficiência e adaptável ao cálculo computacional Lima 2007 O método Simplex trabalha com funções do 1º grau programação linear Inicialmente atribuise valor zero às variáveis Em seguida incrementase pouco a pouco a variável que possui o maior coeficiente Esta é chamada de variável ativa e tem grande importância inicial pois é a que mais interfere no resultado ou seja a que mais se aproxima da otimização Conforme este valor aumenta o algoritmo testa todas as restrições até que uma delas não seja satisfeita Neste momento conhecese o valor máximo da variável ativa O procedimento então passa para a próxima variável que se aproxima da boa solução sempre levando em consideração o máximo valor que a primeira pode atingir A cada mudança destas o Simplex converte todos os 60 coeficientes inclusive os da função objetivo de acordo com os limites encontrados nas sucessivas restrições ativas O procedimento é repetido até que o incremento das variáveis apresentese como um decréscimo do total atingido Isto é identificado com o sinal negativo à frente dos coeficientes da função objetivo Ao fim os valores buscados serão conhecidos por meio de um sistema de equações oriundas do problema inicial 2412 Programação Quadrática A programação quadrática engloba problemas com restrições O objetivo é procurar o vetor solução chamado de 𝑥 dentro de um problema com a seguinte estrutura Minimizar 𝑞𝑡𝑥 1 2 𝑥𝑡𝑄𝑥 247 sujeito a 𝑎𝑖 𝑡𝑥 𝑏𝑖 𝑖 1 𝑙 𝑎𝑖 𝑡𝑥 𝑏𝑖 𝑖 𝑙 1 𝑚 onde 𝒂 é a matriz com os coeficientes das derivadas das funções de restrição e 𝒃 é o vetor dos termos independentes das restrições Sendo 𝑸 uma matriz positiva definida poderá ser garantida a existência de somente um ponto mínimo local já que o problema se tratará de uma função convexa Segundo Parente 2000 a solução deste problema pode ser obtida em três etapas bem definidas 1 As 𝑙 restrições de igualdade são eliminadas diminuindose o número de variáveis independentes para 𝑛 𝑙 Obtémse então um problema de programação quadrática só com restrições de desigualdade 2 O problema quadrático reduzido é transformado em um Problema Linear Complementar que pode ser resolvido por meio de métodos de pivoteamento como o de Lemke 3 Recuperase a solução para o espaço original com o cálculo das variáveis eliminadas na primeira etapa obtendose os valores de 𝑥 e 𝜆 61 2413 Método Newton Este método pode ser utilizado para funções sem restrições De acordo com Pereira 2002 o método de Newton utiliza a informação de segunda ordem da função a otimizar A função 𝑓𝑥 é expandida até a segunda ordem através da série de Taylor dessa forma a sua convergência é quadrática A expansão de Taylor em torno do ponto 𝑥0 fica definida como 𝑓𝑥 𝑓𝑥0 𝑓𝑥0𝑥 𝑥0 1 2 𝑥 𝑥0𝑡2𝑓𝑥0𝑥 𝑥0 248 Se 𝒅 Δ𝑥 𝑥 𝑥0 𝑥 𝒅 𝑥0 249 e 𝒈 𝑓𝑥0 e 𝑯 2𝑓𝑥0 250 Substituindose 249 e 250 em 248 temse 𝑓𝒅 𝑥0 𝑓𝑥0 𝒅𝑡𝒈 1 2 𝒅𝑡𝑯𝒅 251 onde 𝒅 é o incremento de 𝑥0 𝒈 é o valor gradiente de 𝑓 e 𝑯 uma matriz simétrica positiva definida é a hessiana da função 𝑓 no ponto 𝑥0 A equação 251 é uma equação quadrática cuja variável é 𝒅 Portanto o algoritmo de otimização procura determinar um 𝒅 tal que 𝑓𝒅 𝑥0 𝑓𝑥0 em cada passo ou seja uma direção de decréscimo em 𝑓 assim 𝑚𝑖𝑛 𝑓𝒅 𝑥0 𝑚𝑖𝑛 𝒅𝑡𝒈 1 2 𝒅𝑡𝐻𝒅 252 Escrevendo a condição de otimidade de 252 𝑑𝑓𝑑 𝑥0 0 obtémse 𝒅 𝑯1𝒈 253 62 Assim a equação 253 fornece um mínimo global único para a função aproximada de 𝑓 A única desvantagem deste método é que os cálculos para a montagem da matriz 𝑯 solicitam um grande esforço computacional sobretudo em problemas com grande número de variáveis 2414 Programação NãoLinear Os algoritmos de solução de um problema da programação nãolinear possuem uma forma geral de solução iterativa sobre a equação 254 onde partem de um ponto inicial 𝑥0 e convergem para um ponto ótimo 𝑥 𝑥𝑘1 𝑥𝑘 𝛼𝑘𝑑𝑘 254 onde 𝑥 é o vetor das variáveis de projeto o escalar da equação 𝛼 é o tamanho do passo partindo de 𝑥𝑘 até 𝑥𝑘1 na direção do vetor de busca 𝑑 que geralmente é uma direção de decréscimo de 𝑓𝑥 e o índice 𝑘 representa a atual iteração A diferença básica entre os diversos algoritmos de solução de problemas de otimização dentro da programação nãolinear consiste na estratégia de se determinar o vetor 𝑑𝑘 correspondente às sucessivas direções de busca ARGOLO 2000 Os algoritmos de Programação Quadrática Sequencial são no momento os mais utilizados para a solução de problemas de programação nãolinear O algoritmo inicial foi proposto por Wilson e posteriormente melhorado por diversos pesquisadores Garcia Palomares e Mangasarian propuseram uma forma Quase Newton Han obteve um algoritmo globalmente convergente e Powell provou a convergência superlinear HERSKOVITS 1995 2415 Programação Quadrática Sequencial O método de programação quadrática sequencial está entre os mais utilizados em problemas de programação nãolinear que pode ser usado em problemas com restrições De acordo com Pereira 2002 este método pode ser considerado como resultado da aplicação do método de Newton à minimização de 63 uma aproximação quadrática da função Lagrangiana do problema A programação quadrática sequencial fornece a cada iteração os vetores 𝑑 correção de 𝑥 e 𝜆 correção dos multiplicadores de Lagrange 𝜆 os quais atualizados são aproximadores da solução 𝑥 e 𝜆 Junior 2005 demonstra este fato considerando o seguinte problema minimizar 𝑓𝑥 255 sujeito a 𝑐𝑖𝑥 0 cuja função Lagrangiana é dada por 𝐿𝑥 𝝀 𝑓𝑥 𝜆𝑖𝑐𝑖 𝑖 𝑥 256 Desenvolvendo 𝐿𝑥 𝝀 em séries de Taylor em torno de 𝑥𝑘 𝝀𝑘 até a primeira ordem temse 𝐿𝑥𝑘 𝑑𝑘1 𝜆𝑘 𝜆𝑘1 𝐿𝑥𝑘𝜆𝑘 2L𝑥𝑘𝜆𝑘 𝑑𝑘1 λk1 257 considerando dk1 xk1 xk e Δλk1 λk1 λk e aplicando a condição de estacionariedade a 257 no ponto xk dk1 λk Δλk1 resulta em 2L𝑥𝑘 𝜆𝑘 𝑑𝑘1 λk1 𝐿𝑥𝑘 𝜆𝑘 258 ou expresso na forma matricial como 𝑊𝑘 𝐴𝑘𝑡 𝐴𝑘 0 𝑑𝑘1 𝜆𝑘1 𝑔𝑘 𝐴𝑘𝜆𝑘 𝑐𝑘 259 substituindo λk1 λk λk1 temse 𝑊𝑘 𝐴𝑘𝑡 𝐴𝑘 0 𝑑𝑘1 𝜆𝑘1 𝑔𝑘 𝑐𝑘 260 64 onde 𝐴𝑘 é a matriz dos gradientes das restrições 𝑊𝑘 é a Hessiana da Lagrangiana e 𝑔𝑘 é o gradiente de 𝑓𝑥 sendo todos avaliados no ponto 𝑥𝑘 A solução 260 equivale à solução do subproblema de Programação Quadrática PQ Minimizar 𝑔𝑘𝑡𝑑 1 2 𝑑𝑡𝑊𝑘𝑑 261 sujeito a 𝑐𝑘 𝐴𝑘𝑡𝑑 0 onde cada iteração de 𝑘 da solução do problema original é idêntica à solução do PQ obtido pela linearização das restrições e pela expansão quadrática de 𝑓 em torno de 𝑥0 Em problemas em que todas as restrições são de igualdade a direção de busca e os multiplicadores de Lagrange podem ser obtidos pela solução do sistema de equações lineares gerado pelo método de Newton como mostrado em 260 Caso haja também restrições de desigualdade é possível resolver o problema conforme a equação 243 definindo uma direção de busca 𝑑 e uma estimativa dos multiplicadores de Lagrange 𝜆 por meio da solução do PQ Minimizar 𝑔𝑘𝑡𝑑 1 2 𝑑𝑡𝑊𝑘𝑑 262 sujeito a 𝑐𝑖 𝑘 𝑎𝑖 𝑘𝑡0𝑑 0 𝑖 1 𝑙 𝑐𝑖 𝑘 𝑎𝑖 𝑘𝑡𝑑 0 𝑖 𝑙 1 𝑚 em que o método de solução foi demonstrado anteriormente na programação quadrática 2416 Método dos Pontos Interiores O método dos Pontos Interiores tem como característica gerar uma sequência de pontos no interior da região viável que converge para a solução do problema Uma vantagem deste método é que cada um dos pontos intermediários possui valores decrescentes da função objetivo ou seja se por algum motivo a convergência não for alcançada o ponto final é sempre viável 65 A partir de um projeto inicial 𝑥0 definese um ponto no espaço vetorial 𝑅𝑚 A partir deste ponto o algoritmo gera uma sequência de configurações No limite o ponto de acumulação satisfaz às condições de Kuhn Tucker A configuração 𝑥𝑘1 é obtida calculandose uma direção de busca 𝑑𝑘 na qual o ponto 𝑥𝑘 pode se mover Fazse então uma busca linear nesta direção 𝑑𝑘 e encontrase um passo 𝛼 que define o quanto o ponto 𝑥𝑘 vai se deslocar na direção 𝑑𝑘 até o ponto 𝑥𝑘1 Desta forma o processo iterativo prosseguirá até que sejam satisfeitos os critérios de convergência AMARAL 2004 O algoritmo baseiase na aplicação do método de Newton para a solução do sistema de equações nãolineares obtidas a partir da aplicação das condições de KuhnTucker do problema de otimização HERSKOVITZ1995 Pereira 2002 demonstrou os passos que permitem chegar às expressões gerais do desenvolvimento deste método Os passos são descritos a seguir Considere o problema de otimização Minimizar 𝑓𝑥 263 sujeito a 𝑐𝑖𝑥 0 𝑖 1 𝑚 cujas condições de KuhnTucker são 𝒈 𝜆𝑖𝒂𝑖 𝑚 𝑖1 0 264 𝜆𝑖 𝑐𝑖𝑥 0 𝑐𝑖𝑥 0 𝜆𝑖 0 Sendo 𝑨 a matriz dos gradientes das restrições e 𝑪 uma matriz diagonal contendo os valores das restrições as duas primeiras equações podem ser escritas como 𝒈 𝑨𝑡𝝀 0 265 𝑪𝝀 0 66 Aplicando o método de Newton para resolver o problema da equação número 265 obtémse o sistema 𝑾 𝑨𝒕 𝚲𝑨 𝑪 𝒅0 𝝀0 𝒈 0 266 Na equação 266 𝚲 é uma matriz diagonal para a qual 𝚲𝑖𝑖 𝜆𝑖 𝒅0 é a direção de busca e 𝝀0 é a estimativa dos multiplicadores de Lagrange Podese demonstrar que 𝒅0 é uma direção de decréscimo de 𝑓 e que 𝒅0 0 se 𝑥 for um ponto estacionário A direção na busca fornecida por 266 nem sempre é uma direção viável Expandindose uma equação da parte inferior do sistema 266 chegase a 𝝀𝒊𝒂𝑖 𝑡𝒅0 𝑐𝑖𝜆0𝑖 0 267 Esta equação implica que 𝒂𝑖 𝑡𝒅0 0 para todo 𝑖 tal que 𝑐𝑖 0 Geometricamente isto significa que 𝒅0 é tangente às restrições ativas indicando que a direção aponta para fora da região viável Uma solução para evitar este efeito é adicionar uma constante negativa do lado direito da equação acima 𝜆𝑖𝒂𝑖 𝑡𝒅 𝑐𝑖𝜆𝑖 𝜌𝜆𝑖 268 onde 𝜆𝑖 é a nova estimativa de 𝜆𝑖 Este procedimento faz com que a direção original seja defletida de um valor proporcional a 𝜌 para o interior da região viável Como a deflexão é proporcional a 𝜌 e 𝒅0 é uma direção de decréscimo de 𝑓 é possível encontrar limites em 𝜌 para que 𝑑 também seja uma direção de decréscimo Este objetivo pode ser atingido impondose que 𝒈𝑡𝒅 𝑘𝑎𝒈𝑡𝒅0 269 67 Para 𝑘𝑎 0 1 Em geral a taxa de decréscimo de 𝑓 ao longo de 𝒅 é menor que ao longo de 𝒅0 No entanto este é o preço a ser pago para se obter uma direção de decréscimo viável Considerando o sistema auxiliar 𝑾 𝑨𝒕 𝚲𝑨 𝑪 𝒅1 𝝀1 𝒈 𝝀 270 é fácil mostrar que 𝒅 𝒅𝟎 𝜌𝒅𝟏 271 e 𝝀 𝝀𝟎 𝜌𝝀𝟏 272 substituindo 271 em 269 chegase a 𝜌 𝑘𝑎 1𝑔𝑡𝑑0 𝑔𝑡𝑑1 273 Definida a direção de busca 𝒅 é necessário realizar uma busca linear restrita ao longo dessa direção de forma a garantir que o ponto gerado esteja no interior da região viável Além disso é necessário atualizar os valores dos multiplicadores de Lagrange de maneira a assegurar a convergência para a solução correta 68 3 FORMULAÇÃO PARA O PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO DE BLOCOS SOBRE ESTACAS Para otimizar o dimensionamento de blocos de fundações tendo como base o custo temse a função objetivo e restrições contínuas e não lineares A partir destas características foi escolhido um método de programação matemática nãolinear para este trabalho Dentro dos pacotes do Matlab existem alguns destes métodos implementados sendo o método dos pontos interiores escolhido para o presente estudo devido à sua eficiência na obtenção dos resultados para este tipo de problema O Método dos Pontos Interiores está implementado no pacote de funções do Matlab com a seguinte formulação minimizar f x tal que 0 0 ub x lb beq x Aeq b x A x ceq x c 31 onde x é o vetor das variáveis b o vetor resposta do sistema de inequações lineares beq o vetor resposta do sistema de equações lineares lb eub vetores de limite inferiores e superiores respectivamente do valor das variáveis A a matriz do sistema de inequações lineares cx o vetor que contém as inequações não lineares ceqx o vetor que contém as equações não lineares f x a função objetivo ox o vetor com uma solução inicial viável 69 31 FORMULAÇÃO PELO MÉTODO DAS BIELAS Utilizando o método das bielas para o dimensionamento de blocos sobre estacas e adequando para a formulação de problema de otimização obtêmse Variáveis do problema 𝑥1 Altura útil do bloco 𝐷 𝑥2 Área de aço principal 𝐴𝑠 𝑥3 Espaçamento entre estacas na direção x 𝑒𝑥 𝑥4 Espaçamento entre estacas na direção y 𝑒𝑦 𝑥5 Resistência característica à compressão do concreto 𝑓𝑐𝑘 As variáveis do problema para o bloco de 2 estacas estão indicadas na figura 35 Figura 35 Bloco de 2 estacas variáveis do problema pelo método das bielas Fonte Autor Função objetivo minimizar 𝑓𝑥 𝑉𝑏 𝑝𝑐 𝐴𝑓 𝑝𝑓 𝐴𝑠 𝛾𝑎 𝑝𝑎 custo do bloco 32 70 Onde 𝑉𝑏 volume do bloco 𝑝𝑐 preço por metro cúbico do concreto 𝐴𝑓 área de fôrma do bloco 𝑝𝑓 preço por metro quadrado da fôrma 𝛾𝑎 peso específico do aço 𝑝𝑎 preço por kg do aço 𝐴𝑠 área de aço principal Restrições 𝑐1 ℎ 𝐴𝑎 3 0 𝑐2 45 𝜃 0 𝑐3 𝜃 55 0 𝑐4 𝜎𝑐𝑏𝑝𝑖𝑙 𝜎𝑐𝑏𝑙𝑖𝑚𝑝𝑖𝑙 0 𝑐5 𝜎𝑐𝑏𝑒𝑠𝑡 𝜎𝑐𝑏𝑙𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡 0 𝑐6 𝑅𝑒𝑚á𝑥 𝑅𝑒𝑙𝑖𝑚 0 𝑐7 𝑒𝑥𝑚í𝑛 𝑒𝑥 0 𝑐8 𝑒𝑦𝑚í𝑛 𝑒𝑦 0 𝑐𝑒𝑞1 𝐴𝑠 𝑅𝑠𝑑 𝑓𝑦𝑑 0 33 Onde ℎ altura do bloco 𝐴 largura do bloco 𝑎 largura do pilar 𝜃 ângulo da biela de compressão 𝜎𝑐𝑏𝑝𝑖𝑙 tensão da biela comprimida pilar 𝜎𝑐𝑏𝑒𝑠𝑡 tensão da biela comprimida estaca 𝜎𝑐𝑏𝑙𝑖𝑚𝑝𝑖𝑙 tensão limite da biela comprimida pilar 𝜎𝑐𝑏𝑙𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡 tensão limite da biela comprimida estaca 𝑅𝑒𝑚á𝑥 reação máxima das estacas 𝑅𝑒𝑙𝑖𝑚 carga limite na estaca 𝑒𝑥𝑚í𝑛 espaçamento mínimo entre estacas na direção x 𝑒𝑦𝑚í𝑛 espaçamento mínimo entre estacas na direção y para blocos com mais de duas estacas 71 𝐴𝑠 área de aço principal 𝑅𝑠𝑑 força de tração de cálculo no tirante Os valores das variáveis são definidos de acordo com o número e disposições das estacas conforme item 231 Para o cálculo das reações nas estacas foi utilizado o método de superposição dos efeitos descrito no item 233 O resumo das equações para o cálculo das restrições está na tabela 3 Tabela 3 Equações para o método das bielas continua Bloco 2 estacas 𝜽 𝑹𝒔𝒅 𝝈𝒄𝒅𝒑 𝝈𝒄𝒅𝒆 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐷 𝑒 2 𝑎𝑝 4 𝑃𝑑 8 2𝑒 𝑎𝑝 𝐷 𝑃𝑑 𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑃𝑑 2 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝜃 Bloco 3 estacas 𝜽 𝑹𝒔𝒅 𝝈𝒄𝒅𝒑 𝝈𝒄𝒅𝒆 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐷 𝑒3 3 03 𝑏𝑝 𝑃𝑑 9 𝑒3 09 𝑏𝑝 𝐷 3 3 𝑃𝑑 𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑃𝑑 3 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝜃 Bloco 4 estacas 𝜽 𝑹𝒔𝒅 𝝈𝒄𝒅𝒑 𝝈𝒄𝒅𝒆 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐷 𝑒2 2 𝑏𝑝 2 4 𝑃𝑑 20 2 𝑒 𝑏𝑝 𝐷 𝑃𝑑 𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑃𝑑 4 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝜃 Bloco 5 estacas retangular 𝜽 𝑹𝒔𝒅 𝝈𝒄𝒅𝒑 𝝈𝒄𝒅𝒆 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐷 𝑒2 2 𝑏𝑝 2 4 𝑃𝑑 20 2 𝑒 𝑏𝑝 𝐷 𝑃𝑑 𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑃𝑑 5 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝜃 Bloco 5 estacas pentagonal 𝜽 𝑹𝒔𝒅 𝝈𝒄𝒅𝒑 𝝈𝒄𝒅𝒆 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐷 𝑒 2𝑠𝑒𝑛36 𝑏𝑝 4 0725 𝑃𝑑 𝑒 𝑎𝑝 34 5𝑑 𝑃𝑑 𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑃𝑑 5 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝜃 Bloco 6 estacas hexagonal 𝜽 𝑹𝒔𝒅 𝝈𝒄𝒅𝒑 𝝈𝒄𝒅𝒆 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐷 𝑒 𝑏𝑝 4 𝑃𝑑 𝑒 𝑎𝑝 4 6𝑑 𝑃𝑑 𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑃𝑑 6 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝜃 72 Tabela 3 Equações para o método das bielas conclusão Bloco 6 estacas retangular 𝜽𝟏 𝑹𝒔𝒅𝟏 𝝈𝒄𝒅𝒑 𝝈𝒄𝒅𝒆 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐷 𝑒 𝑏𝑝 2 𝑃𝑑 𝑒 2 𝑎𝑝 4 6𝑑 𝑃𝑑 𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑃𝑑 6 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜽𝟐 𝑹𝒔𝒅𝟐 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐷 𝑒5 2 𝑏𝑝 2 4 𝑃𝑑 5 𝑒 5 2 03 𝑏𝑝 30𝑑 𝑹𝒔𝒅𝟑 2 𝑅𝑠𝑡𝑙3 A primeira restrição c1 é imposta pela ABNT NBR 61182014 conforme visto no item 22 que define a altura mínima para que o bloco seja considerado rígido e possa ser utilizada a teoria de bielas e tirantes para o dimensionamento O intervalo do ângulo da biela válido para a aplicação do método das bielas e tirantes indicado por Blévot e Frémy é entre 45º e 55º c2 e c3 A tensão da biela comprimida no pilar e na estaca deve ser menor ou igual à tensão limite definida por norma c4 e c5 A sexta restrição c6 se refere à carga máxima suportada pela estaca a reação da estaca não deve ultrapassála O valor da carga máxima é informado pelo engenheiro geotécnico que varia de acordo com o tipo de estaca e do solo que será cravada a estaca A sétima e oitava restrições c7 e c8 determinam o espaçamento mínimo entre estacas A necessidade de ter um valor mínimo para o espaçamento se deve principalmente pelo efeito de grupo das estacas De acordo com Oliveira 2009 alguns autores adotam o espaçamento mínimo entre eixos das estacas da ordem de 25 vezes o diâmetro de estacas prémoldadas e 30 vezes para estacas moldadas in loco para ambos os casos este valor não deve ser inferior a 60cm O valor do espaçamento mínimo adotado para este trabalho foi de duas vezes e meia o diâmetro da estaca que é o valor adotado pela maior parte do meio técnico A última restrição é uma igualdade ceq1 para o cálculo da área de aço que será igual a força de tração no tirante dividido pela resistência de cálculo do aço 73 32 FORMULAÇÃO PELO CEBFIP 1970 Utilizando o método do CEBFIP 1970 para o dimensionamento de blocos sobre estacas e o adequando para a formulação de problema de otimização obtêm se Variáveis do problema 𝑥1 Altura do útil do bloco 𝐷 𝑥2 Área de aço principal 𝐴𝑠 𝑥3 Espaçamento entre estacas 𝑒 𝑥4 Espaçamento entre estacas na direção y 𝑒𝑦 𝑥5 Resistência característica à compressão do concreto 𝑓𝑐𝑘 A figura 36 demostra as variáveis do problema para o método do CEBFIP 1970 A função objetivo minimizar é idêntica à função objetivo para o Método das Bielas e Tirantes equação 32 𝑓𝑥 𝑉𝑏 𝑝𝑐 𝐴𝑓 𝑝𝑓 𝐴𝑠 𝛾𝑎 𝑝𝑎 custo do bloco Figura 36 Bloco de 2 estacas variáveis do problema pelo método do CEBFIP Fonte Autor 74 Restrições 𝑐1 2 3 𝐶 ℎ 0 𝑐2 ℎ 2𝐶 0 𝑐3 𝑉𝑑 𝑉𝑑𝑙𝑖𝑚 0 𝑐4 𝑅𝑑 𝑅𝑑𝑙𝑖𝑚 0 𝑐5 𝑅𝑒𝑚á𝑥 𝑅𝑒𝑙𝑖𝑚 0 𝑐6 𝑒𝑥𝑚í𝑛 𝑒𝑥 0 𝑐7 𝑒𝑦𝑚í𝑛 𝑒𝑦 0 𝑐𝑒𝑞1 𝐴𝑠 𝑀𝑑𝑥 085𝑑𝑓𝑦𝑑 0 𝑐𝑒𝑞2 𝐴𝑠 𝑀𝑦𝑑 085𝑑𝑓𝑦𝑑 0 34 Onde ℎ altura do bloco 𝐶 distância entre a face do pilar e a estaca mais afastada 𝑉𝑑 força cortante atuante para a seção de referência 𝑅𝑑 força cortante na estaca de borda 𝑉𝑑𝑙𝑖𝑚 força cortante limite para a seção de referência 𝑅𝑑𝑙𝑖𝑚 força cortante local limite 𝑅𝑒𝑚á𝑥 reação máxima das estacas 𝑅𝑒𝑙𝑖𝑚 carga limite na estaca 𝑒𝑥𝑚í𝑛 espaçamento mínimo entre estacas na direção x 𝑒𝑦𝑚í𝑛 espaçamento mínimo entre estacas na direção y para blocos com mais de duas estacas 𝐴𝑠 área de aço principal 𝑀𝑑𝑥𝑀𝑑𝑦 momento fletor na seção perpendicular situada a 015 da largura do pilar Da mesma forma que o método das bielas os valores das variáveis são definidos de acordo com o número e disposições das estacas conforme item 232 Para o cálculo das reações nas estacas também foi utilizado o método de superposição dos efeitos descrito no item 233 O resumo das equações para o cálculo das restrições pelo método do CEBFIP 1970 está na tabela 4 75 Tabela 4 Equações para o método do CEBFIP 1970 continua Bloco 2 estacas 𝑪 𝑴𝒙 𝑴𝒚 𝑒 𝑏𝑝 2 𝑅𝑒𝑚á𝑥 𝑒 2 035 𝑏𝑝 Bloco 3 estacas 𝑪 𝑴𝒙 𝑴𝒚 𝑚í𝑛 2 3 𝑒 𝑎𝑝 2 𝑒13 6 𝑏𝑝 2 𝑅𝑒𝑚á𝑥 2 𝑒 3 𝑏𝑝 2 Bloco 4 estacas 𝑪 𝑴𝒙 𝑴𝒚 𝑒 𝑏𝑝 2 2 𝑚á𝑥 𝑅1 𝑅2 𝑒 2 035 𝑎𝑝 𝑅3 𝑅4 𝑒 2 035 𝑎𝑝 𝑚á𝑥 𝑅1 𝑅3 𝑒 2 035 𝑏𝑝 𝑅2 𝑅4 𝑒 2 035 𝑏𝑝 Bloco 5 estacas retangular 𝑪 𝑴𝒙 𝑴𝒚 𝑒 𝑏𝑝 2 2 𝑚á𝑥 𝑅1 𝑅2 𝑒 2 035 𝑎𝑝 𝑅3 𝑅4 𝑒 2 035 𝑎𝑝 𝑚á𝑥 𝑅1 𝑅3 𝑒 2 035 𝑏𝑝 𝑅2 𝑅4 𝑒 2 035 𝑏𝑝 Bloco 5 estacas pentagonal 𝑪 𝑴𝒙 𝑴𝒚 𝑒 2 𝑠𝑒𝑛36 𝑏𝑝 4 𝑚á𝑥 𝑅1 𝑒 2𝑠𝑒𝑛36 035 𝑎𝑝 𝑅2 𝑅3 𝑒𝑠𝑒𝑛18 2𝑠𝑒𝑛36 035 𝑎𝑝 𝑅4 𝑅5 𝑒 2𝑡𝑎𝑛36 035 𝑎𝑝 𝑚á𝑥 𝑅2 𝑒cos18 2𝑠𝑒𝑛36 035 𝑏𝑝 𝑅4 𝑒 2 035 𝑏𝑝 𝑅3 𝑒cos18 2𝑠𝑒𝑛36 035 𝑏𝑝 𝑅5 𝑒 2 035 𝑏𝑝 Bloco 6 estacas hexagonal 𝑪 𝑴𝒙 𝑴𝒚 𝑚á𝑥 𝑒 𝑏𝑝 2 𝑒 𝑏𝑝4 𝑒 3 2 𝑎𝑝 2 𝑠𝑒𝑛60 𝑚á𝑥 𝑅1 𝑅2 𝑒 3 2 035 𝑎𝑝 𝑅5 𝑅6 𝑒 3 2 035 𝑎𝑝 𝑚á𝑥 𝑅3 𝑒 035 𝑏𝑝 𝑅1 𝑅5 𝑒 2 035 𝑏𝑝 𝑅4 𝑒 035 𝑏𝑝 𝑅2 𝑅6 𝑒 2 035 𝑏𝑝 Bloco 6 estacas retangular 𝑪 𝑴𝒙 𝑴𝒚 𝑒 𝑏 2 cos 𝜃 𝜃 𝑎𝑡𝑎𝑛12 𝑚á𝑥 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑒 2 035 𝑎𝑝 𝑅4 𝑅5 𝑅6 𝑒 2 035 𝑎𝑝 𝑚á𝑥 𝑅1 𝑅4 𝑒 035 𝑏𝑝 𝑅3 𝑅6 𝑒 035 𝑏𝑝 76 Tabela 4 Equações para o método do CEBFIP 1970 conclusão Bloco de 2 à 6 estacas 𝑽𝒅𝒍𝒊𝒎 𝑹𝒅𝒍𝒊𝒎 025 𝛾𝑐 1 𝐶 5𝑑 𝑏2 𝑑2 𝑓𝑐𝑘 012 𝛾𝑐 𝑏2 𝑑2 𝑓𝑐𝑘 A primeira e segunda restrição c1 e c2 definem os limites de altura do bloco de fundação para a utilização do método proposto pelo CEBFIP 1970 A terceira e quarta c3 e c4 limitam o valor do esforço cortante para as seções de referência ver item 232 A quinta restrição referese à reação máxima que poderá atuar na estaca c5 a sexta e sétima restrições limitam o espaçamento mínimo entre eixos das estacas ver item 31 As duas últimas restrições que são de igualdade definem a área de aço a partir do momento fletor de cálculo ceq1 e ceq2 Para implementar o software de otimização foi utilizada a formulação descrita neste capítulo para blocos de 2 a 6 estacas com duas opções de disposição de estacas para blocos de 5 e 6 estacas conforme indicado no capítulo 4 77 4 METODOLOGIA Neste capítulo serão abordadas as considerações e metodologias de cálculo utilizadas para o desenvolvimento do software de dimensionamento ótimo para blocos sobre estacas O software foi desenvolvido na plataforma Matlab R2013a Inicialmente foram implementadas as equações de dimensionamento e verificações demonstradas na seção 23 tanto para o método das bielas e tirantes e como para o método do CEBFIP 1970 A equação do item 233 foi utilizada para o cálculo das reações nas estacas para blocos submetidos a carga vertical e momento fletor A validação do software para o cálculo de bloco sobre estacas foi realizada por meio de comparações com exemplos encontrados na literatura ver capítulo 5 Após a validação do software de dimensionamento foi acrescentada a opção de otimização pelo método dos pontos interiores O Matlab possui em sua biblioteca um algoritmo com o método dos pontos interiores que foi utilizado no software A formulação foi apresentada no capítulo 4 deste trabalho A função objetivo definida no processo de otimização foi o custo do bloco sendo que as variáveis são a altura do bloco o espaçamento entre estacas a resistência do concreto e a área de aço As restrições são definidas de acordo com o método de dimensionamento bielas e tirantes Blévot e Frémy ou CEBFIP 1970 Podese limitar também as tensões nos nós conforme apresentado na Tabela 1 Foi realizada a comparação entre projetos de blocos sobre estacas dimensionados por empresas de cálculo estrutural de Vitória e as soluções apresentadas pelo software Os projetos são de blocos sobre estacas de edifícios residenciais e comerciais da Grande Vitória e da fundação de pilares de uma indústria de celulose A interface inicial do software implementado é apresentada na figura 37 Conforme podese observar o usuário define a opção desejada sendo possível o dimensionamento do bloco sobre 2 a 6 estacas Definido o tipo de bloco o usuário deverá entrar com os custos dos materiais utilizados na fabricação do bloco figura 38 A figura 39 demostra a interface para um bloco sobre 4 estacas 78 Figura 37 Interface inicial do software para o dimensionamento de bloco sobre estacas Fonte Autor Figura 38 Interface de definição do custo dos materiais no software de otimização Fonte Autor 79 Figura 39 Interface do software correspondente ao bloco sobre 4 estacas Fonte Autor Para o método das bielas foram inseridas as tensões limites como critério de projeto devido a algumas diferenças em suas considerações assim como o ângulo máximo e mínimo da biela comprimida permitido Alguns autores propõem adaptações para estes limites como pode ser verificado no trabalho de Oliveira 2009 Para o método das bielas existe a opção de o usuário alterar os valores das tensões limite conforme demostrado na figura 40 80 Figura 40 Critérios para o método das bielas e tirantes Fonte Autor O usuário pode optar pelo cálculo do bloco sem o processo de otimização O usuário deverá definir os dados de entrada sendo eles os valores correspondentes à geometria do bloco os carregamentos atuantes e o custo de cada material utilizado na fabricação do bloco Caso o usuário opte pela otimização do bloco de fundação o software por meio do método dos pontos interiores encontrará a altura espaçamento entre estacas resistência do concreto e área de aço que resultará em um menor custo do bloco Podese optar por fixar o valor de uma ou mais das seguintes propriedades do bloco altura do bloco distância entre estacas e resistência do concreto Para a otimização do conjunto bloco mais estaca o usuário deverá definir além dos dados acima a carga máxima suportada pela estaca Assim o software irá buscar dentre os blocos implementados 2 a 6 estacas aquele que atende a todas as restrições e possui o menor custo total bloco mais estacas Os exemplos do capítulo 5 irão demonstrar a utilidade de cada opção descrita Para blocos sobre estacas submetidos a carga centrada o número de estacas que irá resultar em um menor custo é facilmente encontrado quando se tem a capacidade da estaca Neste caso basta dividir o valor da carga pela capacidade resistente da estaca se o valor não for um número inteiro arredondase para o 81 próximo número inteiro superior A disposição das estacas adotada para blocos de 2 a 6 estacas é definida pelo engenheiro geotécnico e segue os modelos do item 231 Quando o carregamento aplicado à fundação é uma carga excêntrica composta pela carga axial e momentos fletores a quantidade de estacas que irá resultar em um menor custo do conjunto bloco mais estacas não é tão simples de encontrar Para um carregamento excêntrico podese encontrar como solução do problema um bloco de quatro estacas que terá um custo menor do que um bloco de três estacas O espaçamento entre estacas pode variar em função dos momentos fletores atuantes de forma a diminuir o acréscimo de carga axial aplicada às mesmas Desta forma podese ter para um mesmo caso de carregamento soluções com quantidades diferentes de estacas Foi implementada uma rotina para encontrar a solução que tenha o menor custo do conjunto bloco mais estaca entre blocos de duas a seis estacas Para blocos de cinco e seis estacas existem duas opções da disposição das estacas uma sendo um polígono regular e outra um bloco retangular conforme item 231 Nesta solução buscase os valores dos espaçamentos entre as estacas que são inicialmente adotados com um valor mínimo de duas vezes e meia o valor do diâmetro da estaca 25de podendo ser aumentado de acordo com o carregamento O valor do espaçamento é alterado pelo método dos pontos interiores até que a reação da estaca seja igual ou menor do que a carga resistente informada pelo usuário Através do método dos pontos interiores implementado no Matlab o software busca uma solução viável dos valores de altura útil do bloco área de aço resistência do concreto e espaçamento entre estacas que irá resultar no menor custo A interface do software descrito encontrase na figura 41 com os dados a serem fornecidos pelo usuário Após o cálculo o software apresenta o resumo dos resultados e se o usuário desejar ver os valores encontrados detalhadamente deverá clicar no botão Detalhes A figura 42 contém um exemplo da tela de detalhamento 82 Figura 41 Interface do software de otimização de blocos sobre estacas Fonte Autor 83 Figura 42 Interface do software de otimização do detalhamento do bloco retangular sobre 6 estacas Fonte Autor Normalmente o engenheiro de estruturas fornece os valores das cargas na fundação de cada pilar para o engenheiro geotécnico O engenheiro geotécnico analisa as sondagens e as cargas para determinar o tipo de solução a adotar Caso opte por fundação profunda com estacas o mesmo irá determinar a quantidade e disposição das estacas O engenheiro de estruturas recebe a solução do projeto geotécnico e dimensiona o bloco sobre as estacas Neste processo tanto o engenheiro geotécnico quanto o engenheiro de estruturas buscam por meio de sua experiência determinar a solução mais econômica O software desenvolvido leva em consideração as informações fornecidas do geotécnico e da estrutura para obter a solução ótima do conjunto bloco mais estacas Em alguns casos é interessante aumentar o espaçamento entre estacas para reduzir o número mesmo que o bloco tenha um aumento de custo pois o custo 84 total poderá reduzir por ter uma quantidade menor de estacas Existem porém casos em que a solução ótima é aumentar o número de estacas para reduzir o custo do bloco Para encontrar a solução ótima do conjunto o software busca dentre as soluções que atendem às restrições a que apresenta o menor custo total bloco mais estacas Como descrito neste capítulo neste trabalho foram desenvolvidas rotinas para dimensionamento do bloco sobre estacas para três situações distintas 1ª Opção O usuário escolhe o método de cálculo define os dados geotécnicos quantidade diâmetro e disposição das estacas as cargas e todos os dados geométricos do bloco O software calcula a área de aço e informa se todas as restrições impostas pelo método foram satisfeitas 2ª Opção O usuário escolhe o método de cálculo informa as cargas atuantes a capacidade de carga da estaca o custo dos materiais e os dados que serão fixos O software encontra os valores das variáveis do bloco que correspondem ao menor custo atendendo todas as restrições impostas 3ª Opção O usuário faz a escolha do método informa o diâmetro e capacidade da estaca as solicitações e o custo dos materiais e da estaca O software encontrará a quantidade de estacas a área de aço e as dimensões do bloco sobre estacas com menor custo A validação da formulação será dada a partir de exemplos numéricos encontrados na literatura 85 5 EXEMPLOS NUMÉRICOS E ANÁLISE DE RESULTADOS No capitulo 5 serão apresentados exemplos de aplicação para validar a formulação do problema Conforme explicitado na metodologia do trabalho alguns projetos fornecidos por empresas da Grande Vitória foram utilizados para comparar e validar os resultados Para todos os exemplos foram utilizados os valores do custo do concreto indicados na tabela 5 o custo do aço de R 1051kg e o de fôrma de R 6737m² O custo dos materiais são valores obtidos da tabela SINAPI da Caixa Econômica Federal para o mês de Dezembro2015 referente à cidade de Vitória ES O método dos pontos interiores não é aplicável para variáveis discretas porém os valores de fck existentes no mercado são discretos variam de 5 em 5MPa Desta forma para aplicar a técnica de otimização e obter o custo para os valores intermediários de fck foi utilizada interpolação linear Após encontrar o resultado por meio do método dos pontos interiores verificou se o valor do fck da solução caso não se tratasse de uma valor inteiro múltiplo de 5MPa buscouse o valor do custo do bloco para o fck múltiplo de 5MPa imediatamente acima e abaixo do valor encontrado e então apresentouse o que proporcionou o menor custo Tabela 5 Custo do concreto por metro cúbico fck MPa 20 25 30 35 40 45 50 55 R 31472 32588 33518 34542 36094 40579 48126 54962 fck MPa 60 65 70 75 80 85 90 R 61799 66857 71916 76975 82033 87092 92151 51 EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO 511 Exemplos de blocos sobre 2 3 e 4 estacas Para validação do software foram utilizados alguns dos exemplos das notas de aula de Luchi 2015 e feita a comparação dos resultados Nestes exemplos foram mantidas as dimensões dos blocos e resistência do concreto definida nos dados do problema O software implementado realizou o cálculo das tensões e área 86 de aço necessária A figura 43 contêm as geometrias e cargas para cada bloco verificado Figura 43 Geometrias dos Exemplos de Validação Fonte Luchi 2015 A tabela 6 apresenta os valores encontrados pelo software e os valores de Luchi 2015 As tensões de compressão das bielas foram similares assim como a área de aço pelo método das bielas O método do CEBFIP obteve uma área de aço diferente do método das bielas sendo a maior diferença de 14 87 Tabela 6Comparação Luchi 2015 e Tomaz 2016 Os exemplos foram reanalisados pelo software utilizando a técnica de otimização os valores estão descritos na tabela 7 Para o bloco de 2 estacas o método do CEBFIP 1970 não encontrou uma solução viável para o bloco de 3 e 4 estacas foram obtidas soluções com o custo reduzido Para o método das bielas e tirantes a solução ótima menor custo foi encontrada para os três exemplos no último a solução ótima foi a mesma que a solução inicial pois a tensão da biela no pilar estava com o valor máximo permitido Tabela 7Comparação Solução Ótima 512 Exemplo de blocos sobre 4 estacas A formulação demonstrada no capítulo 3 com pacote do Matlab do método dos pontos interiores foi implementada acrescentando a opção de otimização da altura do bloco Para a verificação do software foi calculado o custo total do bloco sobre estacas variando a altura a cada cinco centímetros Em seguida foi encontrado o valor da altura e do custo ótimo mínimo por intermédio da rotina implementada O resultado encontrado através de ambas as formas foram os mesmos o que demostrou a eficiência do método adotado A figura 44 mostra a geometria e cargas de um bloco sobre 4 estacas analisado e a tabela 8 os resultados encontrados A resistência do concreto adotada foi de 30MPa O resultado do software de otimização foi próximo ao encontrado na CEBFIP As cm² scbe MPa scbp MPa As cm² scbe MPa scbp MPa As cm² 2 estacas 110 645 100 370 645 100 373 3 estacas 110 116 63 299 115 64 299 135 4 estacas 80 104 136 524 104 136 525 118 Luchi 2015 Tomaz 2016 Blévot e Frémy Blévot e Frémy Altura do bloco cm Autor Nº estacas Método Nº estacas H cm As cm² Custo R H cm As cm² Custo R H cm As cm² Custo R 2 estacas 1100 645 506671 1017 704 503004 3 estacas 1100 116 355578 876 148 322583 719 215 329268 4 estacas 800 104 259450 800 104 259450 785 109 243544 Solução ótima CEBFIP Solução inicial Blévot e Frémy Solução otimizada Blévot e Frémy 88 tabela elaborada como era esperado O mesmo teste foi executado para todos os modelos implementados blocos de 2 a 6 estacas Figura 44 Geometria e cargas do bloco sobre 4 estacas Fonte Autor Tabela 8 Resultados do dimensionamento para o bloco sobre 4 estacas D m ϴ scbe MPa scbp MPa As cm² Custo R D m Relim kN Vdlim kN As cm² Custo R 025 238 455 1430 344 322350 025 241 198 3315 312451 030 279 339 1066 287 284450 030 311 278 2770 276223 035 317 269 847 247 259419 035 389 366 2380 252384 040 352 224 704 216 242426 040 475 464 2080 236288 045 385 193 607 192 230796 045 568 572 1860 225354 050 415 171 537 173 222919 050 668 688 1672 218034 055 442 155 486 158 217771 055 776 814 1522 213342 060 467 142 447 145 214670 060 891 949 1398 210621 065 489 132 416 134 213144 065 1013 1093 1293 209416 070 511 125 392 125 212854 070 1143 1246 1202 209403 075 529 119 373 117 213555 075 1281 1408 1124 210342 080 547 114 357 109 215060 080 1425 1579 1056 212056 085 564 109 344 103 217227 085 1578 1761 995 214407 090 578 106 333 98 219946 090 1737 1951 942 217290 095 592 103 324 93 223130 095 1904 2150 894 220620 100 605 101 316 89 226708 100 2078 2359 851 224331 105 617 99 309 84 230625 105 2260 2576 811 228367 110 628 96 304 81 234835 110 2450 2803 776 232686 ϴmin ϴmax splim MPa selim MPa Re kN Vd kN Hmax m Hmín m 45 55 45 182 553 1024 085 029 Legenda Intervalo viável atende todas as restrições Valor não atende as restrições Valores do bloco sobre estaca com menor custo Vemelho Negrito BLOCO SOBRE 4 ESTACAS Blévot e Fremy CEBFIP 1970 89 Sendo 𝐷 altura útil 𝛳 ângulo da biela de compressão 𝜎𝑐𝑏𝑒 tensão na biela comprimida estaca 𝜎𝑐𝑏𝑝 tensão na biela comprimida pilar 𝜎𝑒𝑙𝑖𝑚 tensão limite na biela comprimida estaca 𝜎𝑝𝑙𝑖𝑚 tensão limite na biela comprimida pilar 𝐴𝑠 área de aço principal 𝑅𝑒𝑙𝑖𝑚 força cortante limite local 𝑉𝑑𝑙𝑖𝑚 força cortante limite para seção de referência 𝑅𝑒 reação máxima das estacas 𝑉𝑑 força cortante atuante para seção de referência Na tabela 8 a linha em negrito é referente ao custo mínimo encontrado e as linhas em cinza referemse à região viável do problema Os valores em vermelho não atendem a alguma restrição imposta pelo método de dimensionamento As figuras 45 e 46 apresentam as telas do software com o resultado ótimo pelo método das bielas e tirantes e o método do CEBFIP 1970 respectivamente O intervalo da altura útil correspondente ao custo mínimo encontrado por meio da tabela 8 para o método das bielas e tirantes estava entre 065m e 075m e por meio do software foi encontrado o valor de 068m figura 45 Para o método do CEBFIP o intervalo também ficou entre 065m e 075m e o software encontrou o valor de 067m figura 46 Os resultados demostraram que o software encontrou valores dentro da faixa esperada para as alturas correspondentes ao custo mínimo do bloco 90 Figura 45 Resultado do software de otimização pelo método de Blévot e Frémy Fonte Autor 91 Figura 46 Resultado do software de otimização pelo método do CEBFIP 1970 Fonte Autor Nos próximos itens será utilizada a 2ª opção do software otimização do bloco para o cálculo de blocos sobre estacas sob ação de carga centrada e a 3ª opção otimização do bloco mais estacas para blocos sob ação de carga excêntrica 52 EXEMPLOS COM CARGA CENTRADA Para os exemplos que serão apresentados a solução inicial foi obtida com o software de cálculo CADTQS versão 1712 por meio do método das bielas e tirantes proposto por Blévot e Frémy Os exemplos são soluções dadas por um escritório de cálculo estrutural da Grande Vitória ES sendo os quatros primeiros e o sétimo de uma obra industrial enquanto os demais de edifícios residenciais O 92 método convencional apresentado nas tabelas são as soluções adotadas em projeto que foram obtidas pela experiência do engenheiro sem a utilização de técnicas de otimização As soluções otimizadas apresentadas nos exemplos foram obtidas por meio do software desenvolvido que utiliza o método dos pontos interiores O dimensionamento otimizado foi realizado quatro vezes para cada exemplo A primeira solução foi obtida através do método das bielas e tirantes com a resistência do concreto de 30MPa conforme adotado no projeto de referência A segunda solução foi obtida considerando a resistência do concreto como variável de forma a obter o valor da resistência do concreto e as demais variáveis referentes ao menor custo do bloco A terceira solução foi obtida pelo método do CEBFIP 1970 com a resistência do concreto de 30MPa e a quarta solução difere da terceira considerando o fck como variável do problema Para os exemplos do item 52 os custos dos materiais adotados são os que foram apresentados no início deste capítulo e a quantidade e o espaçamento entre estacas foram mantidos fixos de acordo com o adotado no projeto de referência 521 Exemplo 1 Bloco sobre 2 estacas Para apresentar a eficiência da formulação do método apresentase inicialmente o dimensionamento de um bloco sobre 2 estacas conforme mostrado na figura 47 Para este exemplo os dados são apresentados a seguir Dados do problema Diâmetro da estaca de 050m Distância entre estacas e 125m Largura do bloco em x A 205m Largura do bloco em y B 080m Largura do pilar em x a 045m Largura do pilar em y b 045m Carregamento Vertical P 1600kN 93 Figura 47 Bloco de 2 estacas geometria e cargas Fonte Autor Solução pelo procedimento convencional Foi adotada uma altura inicial de h090m 080010 de acordo com experiência do calculista e após as verificações do dimensionamento foi mantida a altura inicial Solução pelo método dos pontos interiores utilizando o software Matlab Foi informada uma solução inicial de partida a função objetivo custo e as restrições Após o processamento do programa obtevese o resultado para o dimensionamento otimizado do bloco apresentados na tabela 9 Tabela 9 Resultados do Dimensionamento Ótimo do exemplo 1 Sendo 𝐻 altura do bloco Solução fck MPa H m ϴ scbe MPa selim MPa scbp MPa splim MPa As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional TQS 30 090 573 99 182 192 300 233 125361 Otimização Blévot 30 069 489 122 182 237 300 314 819 120168 Otimização Blévotfck 25 069 489 122 152 237 250 314 119114 Solução fck MPa H m Hmín m Hmáx m Relim kN Vd kN Vdlim kN As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional 30 090 026 080 5660 2 819 Otimização CEBFIP Otimização CEBFIPfck Métodos Δ Custo Δ Custo ConvencionalBlévot 52 09 ConvencionalCEBFIP BlévotCEBFIP Blévot Fremy 1967 2 CEBFIP 1970 VARIAÇÃO DOS CUSTOS Δ Custo 43 Métodos ConvencionalBlévotfck ConvencionalCEBFIPfck BlévotfckCEBFIPfck Métodos BlévotBlévotfck CEBFIPCEBFIPfck 94 𝛳 ângulo da biela de compressão 𝜎𝑐𝑏𝑒 tensão na biela comprimida estaca 𝜎𝑐𝑏𝑝 tensão na biela comprimida pilar 𝜎𝑒𝑙𝑖𝑚 tensão limite na biela comprimida estaca 𝜎𝑝𝑙𝑖𝑚 tensão limite na biela comprimida pilar 𝐴𝑠 área de aço principal 𝑄 𝑒𝑠𝑡 quantidade de estacas 𝑅𝑒𝑚á𝑥 reação máxima das estacas 𝐻𝑚𝑖𝑛 altura mínima do bloco permitida pelo método do CEBFIP 1970 𝐻𝑚á𝑥 altura máxima do bloco permitida pelo método do CEBFIP 1970 𝑅𝑒𝑙𝑖𝑚 força cortante limite local 𝑉𝑑 força cortante atuante para seção de referência 𝑉𝑑𝑙𝑖𝑚 força cortante limite para seção de referência A solução convencional foi definida pelo engenheiro utilizando como ferramenta o software de cálculo CADTQS versão 1712 sem a utilização de técnicas de otimização A solução Otimização Blévot foi obtida pelo software implementado no Matlab utilizandose do método dos pontos interiores no processo de otimização Neste processo definiuse como variáveis a altura e a área de aço do bloco e as restrições foram impostas pelo método das bielas e tirantes proposto por Blévot e Frémy A solução Otimização Blévotfck foi encontrada de forma similar a anterior tendo a resistência do concreto como variável do problema além das descritas anteriormente Para a solução convencional pelo método do CEBFIP foi utilizado o software implementado sem o processo de otimização Na solução Otimização CEBFIP utilizouse o software implementado com o método dos pontos interiores tendo como restrições as impostas pelo método do CEBFIP 1970 A altura do bloco e a área de aço foram as variáveis para este processo A Otimização CEBFIPfck foi obtida acrescentando a resistência do concreto como variável do problema 95 A solução com o menor custo encontrada para fck30MPa foi para uma altura de 069m método das bielas com um custo 43 menor que o projetado O custo pode ser reduzido em mais 09 com o fck de 25MPa O método do CEBFIP não forneceu resultados viáveis O valor do cortante local é maior do que o limite para alturas entre a máxima e a mínima impostas pelo método A figura 48 apresenta uma curva do custo do bloco sendo o ponto azul a solução do problema custo mínimo a região em cinza limita o intervalo viável para o método das bielas e tirantes com fck de 30MPa Figura 48 Gráfico Custo X Altura Intervalo Admissível pelo método das bielas Fonte Autor O custo total do bloco é alto para alturas muito pequenas isso devido ao alto valor da área de aço Com o aumento da altura o valor do bloco diminui até um valor mínimo que neste caso se encontra entre os limites do intervalo admissível 96 522 Exemplo 2 Bloco sobre 3 estacas O segundo exemplo apresentado é de um bloco sobre 3 estacas conforme apresentado na figura 49 Para o dimensionamento deste bloco foram utilizados os dados que seguem apresentados Dados do problema Diâmetro da estaca de 040m Distância entre estacas e 100m Distância face estaca até face do bloco c 015m Largura do pilar em x a 050m Largura do pilar em y b 040m Carregamento Vertical P 1400kN Figura 49 Bloco de 3 estacas geometria e cargas Fonte Autor A Tabela 10 apresenta os resultados para a solução projetada e para o dimensionamento obtido a partir da formulação do problema de otimização Ressaltase que no dimensionamento convencional a solução foi obtida a partir da experiência do projetista 97 Tabela 10 Resultados do exemplo 2 A solução convencional obtida pelo TQS sem técnicas de otimização teve um custo de R 113937 A redução do custo foi de 66 com a técnica de otimização atendendo aos requisitos do método das bielas e a redução aumentou em 22 com o fck de 20MPa A solução convencional pelo método do CEBFIP 1970 foi obtido pelo software implementado mantendo as dimensões adotadas em projeto O custo do bloco projetado foi de R 124784 o custo reduziu em 66 com as dimensões obtidas pela técnica de otimização e com o fck 20MPa a redução aumentou em 10 523 Exemplo 3 Bloco sobre 4 estacas O terceiro exemplo é de um bloco sobre 4 estacas apresentado na figura 50 Os dados utilizados para o dimensionamento deste bloco são apresentados a seguir Dados do problema Diâmetro da estaca de 060m Distância entre estacas e 150m Largura do bloco em x A 250m Largura do bloco em y B 250m Largura do pilar em x a 065m Largura do pilar em y b 080m Carregamento Vertical P 4620kN Solução fck MPa H m ϴ scbe MPa selim MPa scbp MPa splim MPa As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional TQS 30 080 577 90 182 169 375 68 113937 Otimização Blévot 30 058 472 119 182 223 375 99 480 106834 Otimização Blévotfck 20 059 477 117 121 219 250 97 104562 Solução fck MPa H m Hmín m Hmáx m Relim kN Vd kN Vdlim kN As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional 30 080 681 87 124784 Otimização CEBFIP 30 066 025 075 480 102 3 480 117009 Otimização CEBFIPfck 20 074 480 90 115892 Métodos Δ Custo Δ Custo ConvencionalBlévot 90 22 ConvencionalCEBFIP 77 10 BlévotCEBFIP 98 ConvencionalCEBFIPfck CEBFIPCEBFIPfck BlévotfckCEBFIPfck 66 87 Δ Custo Blévot Fremy 1967 3 CEBFIP 1970 VARIAÇÃO DOS CUSTOS 66 ConvencionalBlévotfck BlévotBlévotfck Métodos Métodos 98 Figura 50 Bloco de 4 estacas geometria e cargas Fonte Autor A Tabela 11 apresenta os resultados para o dimensionamento convencional e para o dimensionamento obtido a partir da formulação do problema de otimização Tabela 11 Resultados do exemplo 3 Os valores do custo pelos três métodos foram próximos a maior diferença foi de 86 entre o processo convencional e o método do CEBFIP 1970 para o fck de 30MPa A altura adotada em projeto foi de 120m e a altura obtida pelo método dos pontos interiores foi de 102m o que aumenta a área de aço necessária mas reduz o custo total do bloco Solução fck MPa H m ϴ scbe MPa selim MPa scbp MPa splim MPa As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional TQS 30 120 538 110 182 239 450 240 554108 Otimização Blévot 30 102 488 125 182 272 450 285 1195 546131 Otimização Blévotfck 20 105 499 121 121 264 300 275 532964 Solução fck MPa H m Hmín m Hmáx m Relim kN Vd kN Vdlim kN As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional 30 120 1653 4047 5304 265 600898 Otimização CEBFIP 30 103 040 120 1264 4017 4017 289 4 1195 553062 Otimização CEBFIPfck 30 108 1255 4023 4023 275 574735 Métodos Δ Custo Δ Custo ConvencionalBlévot 40 25 ConvencionalCEBFIP 46 38 BlévotCEBFIP 73 Métodos Métodos ConvencionalBlévotfck Δ Custo BlévotBlévotfck 15 86 13 Blévot Fremy 1967 4 CEBFIP 1970 VARIAÇÃO DOS CUSTOS ConvencionalCEBFIPfck CEBFIPCEBFIPfck BlévotfckCEBFIPfck 99 524 Exemplo 4 Bloco sobre 5 estacas retangular O quarto exemplo é de um bloco sobre 5 estacas apresentado na figura 51 A estaca adotada foi hélice contínua de 080m de diâmetro Para este exemplo a estaca central possui o ângulo da biela de 90 o que é acima do proposto pelo método de Blévot e Frémy conforme descrito no trabalho de Munhoz 2004 Para apoios rígidos esta estaca terá uma reação maior do que as demais mesmo para carga centrada Os valores dos dados do problema são informados a seguir Dados do problema Diâmetro da estaca de 080m Distância entre estacas e 200m Largura do bloco em x A 410m Largura do bloco em y B 410m Largura do pilar em x a 120m Largura do pilar em y b 120m Carregamento Vertical P 7860kN Figura 51 Bloco de 5 estacas retangular geometria e cargas Fonte Autor A Tabela 12 apresenta os resultados conforme exemplos anteriores 100 Tabela 12 Resultados do exemplo 4 O custo obtido pelo método de Blévot e Frémy com a técnica de otimização foi de R 1846930 que é 51 menor do que o valor do bloco de referência Para o dimensionamento foram consideradas todas as estacas suportando a mesma carga 525 Exemplo 5 Bloco sobre 5 estacas pentagonal O quinto exemplo é de um bloco sobre 5 estacas apresentado na figura 52 As estacas foram dispostas equidistantes do centro de carga do pilar As disposições das estacas deste exemplo garantem que as reações das estacas serão iguais para cargas centradas Figura 52 Bloco de 5 estacas pentagonal geometria e cargas Fonte Autor Solução fck MPa H m ϴ scbe MPa selim MPa scbp MPa splim MPa As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional TQS 30 200 501 99 182 173 450 397 1940450 Otimização Blévot 30 167 450 114 182 200 450 468 1736 1846930 Otimização Blévotfck 20 167 450 114 122 200 300 468 1790161 Solução fck MPa H m Hmín m Hmáx m Relim kN Vd kN Vdlim kN As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional 30 200 4533 5833 15980 418 1972191 Otimização CEBFIP 30 141 077 230 2444 5680 8364 588 5 1736 1851685 Otimização CEBFIPfck 20 144 2082 5680 7147 574 1803773 Métodos Δ Custo Δ Custo ConvencionalBlévot 84 32 ConvencionalCEBFIP 93 27 BlévotCEBFIP 08 65 03 Δ Custo 51 Blévot Fremy 1967 5 CEBFIP 1970 Métodos Métodos ConvencionalBlévotfck BlévotBlévotfck ConvencionalCEBFIPfck CEBFIPCEBFIPfck VARIAÇÃO DOS CUSTOS BlévotfckCEBFIPfck 101 Dados do problema Diâmetro da estaca de 050m Distância entre estacas e 150m Lado do bloco 208m Largura do pilar em x a 035m Largura do pilar em y b 100m Carregamento Vertical P3950kN A Tabela 13 apresenta os resultados comparativos entre os métodos O método de Blévot e Frémy apresentou um custo 25 menor do que o inicial O método do CEBFIP reduziu o custo em 22 atendendo a todas as restrições impostas pelo método para fck de 30MPa A redução do custo foi maior para o fck de 25MPa no método das bielas e tirantes e para o fck de 20MPa no método do CEBFIP 1970 Tabela 13 Resultados do exemplo 5 526 Exemplo 6 Bloco sobre 6 estacas hexagonal O exemplo é de um bloco sobre 6 estacas apresentado na figura 53 As estacas são equidistantes ao centro do pilar o que garante a distribuição uniforme das cargas para as estacas Solução fck MPa H m ϴ scbe MPa selim MPa scbp MPa splim MPa As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional TQS 30 150 497 125 182 349 450 237 772484 Otimização Blévot 30 129 450 144 182 402 450 276 845 753691 Otimização Blévotfck 25 138 472 134 182 375 375 257 750598 Solução fck MPa H m Hmín m Hmáx m Relim kN Vd kN Vdlim kN As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional 30 150 2351 4263 6395 423 788427 Otimização CEBFIP 30 123 073 218 1641 4214 4214 515 5 845 771264 Otimização CEBFIPfck 20 136 1601 4237 4237 467 755094 Métodos Δ Custo Δ Custo ConvencionalBlévot 29 04 ConvencionalCEBFIP 44 21 BlévotCEBFIP 06 Δ Custo 25 Blévot Fremy 1967 5 CEBFIP 1970 VARIAÇÃO DOS CUSTOS 22 23 BlévotfckCEBFIPfck Métodos Métodos ConvencionalBlévotfck BlévotBlévotfck ConvencionalCEBFIPfck CEBFIPCEBFIPfck 102 Figura 53 Bloco de 6 estacas hexagonal geometria e cargas Fonte Autor Dados do problema Diâmetro da estaca de 030m Distância entre estacas e 075m Lado do bloco 110m Largura do pilar em x a 030m Largura do pilar em y b 060m Carregamento Vertical P 1750kN A tabela 14 apresenta os resultados conforme exemplos anteriores A solução ótima pelo método do CEBFIP apresentou uma redução de 60 do custo do bloco projetado com fck de 30MPa o menor custo foi obtido para o fck de 20MPa No método das bielas e tirantes a redução de custo com a utilização do método dos pontos interiores foi de 42 fck30MPa e com o fck de 25MPa a redução aumentou em 11 103 Tabela 14 Resultados do exemplo 6 527 Exemplo 7 Bloco sobre 6 estacas retangular Neste exemplo as estacas foram dispostas conforme figura 54 as duas estacas centrais estão mais próximas do centro de carga do que as demais Esta distribuição não garante que reações nas estacas sejam as mesmas para carga centrada Para o problema foi usada hélice contínua com diâmetro de 080m e espaçamento entre estacas de 200m Dados do problema Diâmetro da estaca de 080m Distância entre estacas e 200m Largura do bloco em x A 520m Largura do bloco em y B 320m Largura do pilar em x a 150m Largura do pilar em y b 120m Carregamento Vertical P 7920kN Solução fck MPa H m ϴ scbe MPa selim MPa scbp MPa splim MPa As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional TQS 30 100 531 113 182 266 450 89 225492 Otimização Blévot 30 077 450 143 182 338 450 117 305 216483 Otimização Blévotfck 25 077 450 143 152 338 375 117 214232 Solução fck MPa H m Hmín m Hmáx m Relim kN Vd kN Vdlim kN As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional 30 100 954 1528 2484 151 211859 Otimização CEBFIP 30 081 040 120 642 1528 1528 188 6 305 199961 Otimização CEBFIPfck 20 088 617 1528 1528 172 198047 Métodos Δ Custo Δ Custo ConvencionalBlévot 53 11 ConvencionalCEBFIP 70 10 BlévotCEBFIP 82 Blévot Fremy 1967 6 CEBFIP 1970 VARIAÇÃO DOS CUSTOS Δ Custo 42 60 83 BlévotfckCEBFIPfck Métodos Métodos ConvencionalBlévotfck BlévotBlévotfck ConvencionalCEBFIPfck CEBFIPCEBFIPfck 104 Figura 54 Bloco de 6 estacas retangular geometria e cargas Fonte Autor Os resultados estão apresentados na tabela 15 os valores projetados são próximos à solução ótima encontrada pelo método das bielas e tirantes O método do CEBFIP foi o que proporcionou dimensionamento com um menor custo com o valor 114 menor que o projetado para o fck de 30MPa e de mais 26 com fck de 20MPa Para o método das bielas e tirante a redução foi de 53 com fck de 30MPa e de mais 92 com fck de 20MPa 105 Tabela 15 Resultados do exemplo 7 53 EXEMPLOS COM CARGA EXCÊNTRICA Os exemplos 8 9 e 10 serão de pilares com cargas excêntricas O software realizou a busca da quantidade disposição das estacas e fez o dimensionamento do bloco correspondente ao menor custo do conjunto bloco mais estacas A carga máxima resistida pela estaca e o custo unitário da estaca foram informados pela empresa de construção que executou os blocos sobre estacas do edifício Os outros dados referentes aos materiais dos blocos são os mesmos dos exemplos anteriores Estaca escavada com trado mecânico com 070m de diâmetro R 198600 Carga máxima resistente da estaca 1850kN estaca Para a otimização do conjunto bloco mais estacas a função objetivo apresentada no item 31 foi alterada para equação 51 com o acréscimo do custo das estacas 𝑓𝑥 𝑉𝑏 𝑝𝑐 𝐴𝑓 𝑝𝑓 𝐴𝑠 𝛾𝑎 𝑝𝑎 𝑛 𝑝𝑒 custo do bloco mais estacas 51 Onde 𝑉𝑏 volume do bloco 𝑝𝑐 preço por metro cúbico do concreto 𝐴𝑓 área de forma do bloco 𝑝𝑓 preço por metro quadrado da forma 𝛾𝑎 peso específico do aço Solução fck MPa H m ϴ scbe MPa selim MPa scbp MPa splim MPa As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional TQS 30 220 473 91 182 153 450 469 1908038 Otimização Blévot 30 203 450 98 182 164 450 505 1461 1811186 Otimização Blévotfck 20 203 450 98 122 164 300 505 1658820 Solução fck MPa H m Hmín m Hmáx m Relim kN Vd kN Vdlim kN As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional 30 220 5382 7421 20271 454 2064266 Otimização CEBFIP 30 138 093 279 2377 7149 8697 712 6 1461 1853656 Otimização CEBFIPfck 20 142 2024 7149 7430 695 1805827 Métodos Δ Custo Δ Custo ConvencionalBlévot 150 92 ConvencionalCEBFIP 143 26 BlévotCEBFIP 81 Blévot Fremy 1967 6 CEBFIP 1970 VARIAÇÃO DOS CUSTOS 53 114 23 Δ Custo BlévotfckCEBFIPfck Métodos Métodos ConvencionalBlévotfck BlévotBlévotfck ConvencionalCEBFIPfck CEBFIPCEBFIPfck 106 𝑝𝑎 preço por kg do aço 𝐴𝑠 área de aço principal 𝑛 quantidade de estacas 𝑝𝑒 preço por estaca 531 Exemplo 8 Bloco sobre estacas A fundação deste exemplo é de um pilar de um edifício residencial localizado na Serra Espírito Santo O engenheiro estrutural entregou uma planta com as dimensões e cargas dos pilares O pilar deste exemplo possui dimensões de 030m x 160m em planta carga vertical de 4650kN momento fletor de 750kNm direção xx e 50kNm direção yy conforme mostrado na figura 55 A solução projetada para o problema foi de 4 estacas de 070m de diâmetro com um bloco de 290m x 290m em planta e 130m de altura Figura 55 Exemplo 8 bloco projetado de 4 estacas geometria e cargas Fonte Autor Considerando os dados informados tanto estruturais dimensões e cargas do pilar como geotécnicos diâmetro e capacidade de carga da estaca e também os dados comerciais custos dos materiais através do software de otimização foi obtida a solução indicada nas figuras 56 e 57 pelo método das bielas e tirantes com apenas 3 estacas e um custo 362 menor que a solução executada 107 Figura 56 Solução do exemplo 8 pelo método das bielas e tirantes Fonte Autor 108 Figura 57 Solução detalhada do exemplo 8 pelo método das bielas e tirantes Fonte Autor Alterando a resolução do problema pelo o método do CEBFIP 1970 o custo mínimo obtido foi de R 1169198 sendo 297 menor do que o custo do bloco projetado A redução de uma estaca proporcionou uma redução no custo total quando comparado com a solução projetada mesmo com o aumento da distância entre estacas O resultado está indicado nas figuras 58 com a interface inicial e 59 com o detalhamento do bloco em questão 109 Figura 58 Solução do exemplo 8 pelo método do CEBFIP Fonte Autor 110 Figura 59 Solução detalhada do exemplo 8 pelo método do CEBFIP Fonte Autor A síntese dos resultados está na tabela 16 sendo a comparação entre o projetado e o obtido pelo processo de otimização utilizando o método das bielas e tirantes e do CEBFIP 1970 tanto para fck de 30MPa quanto para o fck como variável A figura 60 ilustra as diferenças das soluções encontradas pelo processo convencional e os blocos dimensionados por técnicas de otimização 111 Tabela 16 Resultados do exemplo 8 Figura 60 Solução convencional otimizada pelo método de Blévot e pelo método do CEBFIP 1970 Fonte Autor 532 Exemplo 9 Bloco sobre estacas No exemplo 9 o pilar possui dimensões em planta de 040m x 160m carga de 6650kN vertical e momento de 550kNm na direção xx e 30kNm na direção yy A solução adotada em projeto foi de 5 estacas com um bloco de 365m x 365m em planta e altura de 160m conforme figura 61 Solução fck MPa H m ϴ scbe MPa selim MPa scbp MPa splim MPa As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional TQS 30 130 522 100 182 320 450 348 4 1430 1592050 Otimização Blévot 30 106 460 156 182 375 375 388 3 1850 1169198 Otimização Blévotfck 30 106 460 156 182 375 375 388 3 1850 1169198 Solução fck MPa H m Hmín m Hmáx m Relim kN Vd kN Vdlim kN As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional 30 130 048 146 5382 2814 2912 274 4 1430 1568880 Otimização CEBFIP 30 123 088 266 1850 363 3 1850 1209686 Otimização CEBFIPfck 30 123 088 266 1850 363 3 1850 1209686 Métodos Δ Custo Δ Custo ConvencionalBlévot 362 00 ConvencionalCEBFIP 297 00 BlévotCEBFIP 33 33 297 CEBFIP 1970 Δ Custo 362 Blévot Fremy 1967 VARIAÇÃO DOS CUSTOS Métodos Métodos ConvencionalBlévotfck BlévotBlévotfck ConvencionalCEBFIPfck CEBFIPCEBFIPfck BlévotfckCEBFIPfck 112 Figura 61 Exemplo 9 bloco projetado sobre 5 estacas geometria e cargas Fonte Autor Através do software de otimização foi obtida a solução indicada nas figuras 62 e 63 pelo método das bielas e nas figuras 64 e 65 pelo método do CEBFIP 1970 A diferença de custos foi de 465 entre o projetado e a solução obtida pelo software de otimização pelo método das bielas e tirantes A diferença foi menor utilizando o método do CEBFIP 1970 que foi de 305 Em ambos os métodos Blévot e CEBFIP a distância entre estacas aumentou reduzindo a reação na estaca o que possibilitou a redução de uma estaca da solução projetada 113 Figura 62 Solução do exemplo 9 pelo método das bielas e tirantes Fonte Autor 114 Figura 63 Solução detalhada do exemplo 9 pelo método das bielas e tirantes Fonte Autor 115 Figura 64 Solução do exemplo 9 pelo método do CEBFIP Fonte Autor 116 Figura 65 Solução detalhada do exemplo 9 pelo método do CEBFIP Fonte Autor O resumo dos resultados está indicado na tabela 17 com as diferenças de custos dos blocos dimensionados pelo processo convencional com técnicas de otimização com o fck fixo de 30MPa e com o fck como variável 117 Tabela 17 Resultados do exemplo 9 Os valores demostram que o estudo da disposição das estacas feito integrado entre o geotécnico e o estrutural pode gerar reduções consideráveis no custo da fundação A figura 66 contém o bloco projetado pelo processo convencional e os blocos dimensionados por técnica de otimização atendendo ao método das bielas e tirantes e ao CEBFIP Figura 66 Solução convencional otimizada pelo método de Blévot e pelo método do CEBFIP1970 Fonte Autor Solução fck MPa H m ϴ scbe MPa selim MPa scbp MPa splim MPa As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional TQS 30 180 456 133 182 398 450 486 5 1550 2567978 Otimização Blévot 30 104 450 162 182 388 450 595 4 1850 1752388 Otimização Blévotfck 30 104 450 162 182 388 450 595 4 1850 1752388 Solução fck MPa H m Hmín m Hmáx m Relim kN Vd kN Vdlim kN As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Convencional 30 180 078 235 3605 5187 9515 366 5 1550 2500658 Otimização CEBFIP 30 142 085 254 2352 6187 6187 439 4 1850 1916686 Otimização CEBFIPfck 40 132 085 254 2381 6187 6187 473 4 1850 1861499 Métodos Δ Custo Δ Custo ConvencionalBlévot 465 00 ConvencionalCEBFIP 343 30 BlévotCEBFIP 59 VARIAÇÃO DOS CUSTOS Δ Custo 465 305 86 Métodos Métodos ConvencionalBlévotfck BlévotBlévotfck ConvencionalCEBFIPfck CEBFIPCEBFIPfck BlévotfckCEBFIPfck Blévot Fremy 1967 CEBFIP 1970 118 533 Exemplo 10 Bloco sobre estacas No último exemplo verificouse o dimensionamento otimizado do bloco pelo método das bielas e tirantes variando a tensão limite na biela Os dados do exemplo estão demonstrados na figura 67 e são descritos a seguir Dados do problema Diâmetro da estaca de 050m Distância entre estacas e 125m Largura do bloco em x A 330m Largura do bloco em y B 205m Largura do pilar em x a 120m Largura do pilar em y b 040m Carregamento Vertical P 3850 kN Momento fletor em torno de eixo x Mx 60kNm Momento fletor em torno de eixo y My 175kNm Figura 67 Bloco sobre 6 estacas geometria e cargas do exemplo 10 Fonte Autor 119 Para este exemplo foram realizadas quatro análises com os valores da tensão limite na biela de acordo com os valores propostos por Blévot e Frémy 1967 ACI 2008 EHE 2008 e ABNT NBR 61182014 tabela 1 O resumo dos resultados está descrito na tabela 18 Tabela 18 Resultados do exemplo 10 pelo método de Blévot e Frémy Os valores das tensões limites tiveram grande influência nos resultados para o exemplo analisado O menor custo foi referente às tensões limites propostas por Blévot e Frémy e o maior custo foi utilizando as tensões limites do ACI 2008 e da ABNT NBR 61182014 A diferença entre o maior e menor custo dos blocos foi de 318 Os valores propostos pelo ACI 2008 e a ABNT NBR 61182014 são referentes aos nós de qualquer elemento dimensionado pelo método das bielas e tirantes não sendo específico para blocos sobre estacas Tensão Limite fck MPa H m ϴ scbe MPa selim MPa scbp MPa splim MPa As cm² Q est Remáx kN CUSTO R Blévot Fremy 1967 20 144 460 122 122 298 300 245 589909 ACI 2008 40 184 533 99 146 243 243 192 865133 EHE 2008 25 140 451 125 125 307 536 253 619723 ABNT NBR61182014 40 184 533 99 172 243 243 192 865133 6 750 120 6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 61 CONCLUSÕES Blocos sobre estacas são elementos fundamentais em uma edificação com fundação profunda pois garantem a transferência das cargas dos pilares para as estacas Apesar de serem de grande importância sua inspeção é rara devido à dificuldade de visualização o que ressalta a importância de um bom dimensionamento do elemento Apesar do grande volume de trabalhos sobre blocos de fundação não se tem um consenso sobre seu real comportamento principalmente em blocos sobre mais de 4 estacas O principal motivo dessa dificuldade é o fato de ser um elemento de volume com as 3 dimensões com a mesma ordem de grandeza O método dos elementos finitos vem sendo utilizado em pesquisas sobre os blocos de fundação e apresenta de forma mais precisa o comportamento do elemento porém exige um tempo considerável para modelagem e processamento além de não dimensionar a armadura necessária Estes fatos dificultam sua utilização comercial pelo grande volume de blocos que são dimensionados em um curto período de tempo pelos escritórios de cálculo estrutural A maior parte do meio técnico utiliza métodos simplificados para o dimensionamento dos blocos sobre estacas sendo os principais o método das bielas e tirantes proposto por Blévot e Frémy e o método do CEBFIP 1970 O método convencional de cálculo do bloco sobre estacas é feito baseado na experiência do projetista e não garante que a solução encontrada seja a solução ótima como pode ser observado nos exemplos do capítulo 5 Os exemplos apresentados apontam que as técnicas de otimização podem ser utilizadas para resolver este tipo de problema com todas as suas nuances Em todos os exemplos uma solução melhor foi obtida quando se compara com a solução inicialmente obtida pelo software comercial utilizado pelo escritório de cálculo O método dos pontos interiores foi eficiente na busca do bloco com um custo mínimo dentre as soluções possíveis para os exemplos analisados tendo em vista que se obteve um resultado melhorado em relação à geometria do bloco inicialmente lançada e em relação ao custo final 121 A otimização da resistência do concreto não apresentou diferenças de custos significativas na maioria dos exemplos apresentados Vale a pena verificar se os preços executados para o volume de concreto na Grande Vitória estão dentro do padrão na região Sudeste Este valor pode impactar diretamente na solução Ressaltase que não foi levada em consideração a redução do custo de manutenção durante a vida útil do bloco para concretos com maior resistência característica O número e disposição das estacas para uma determinada carga pode não conduzir à solução ótima quando não é levado em consideração o custo total do bloco mais as estacas A interação dos dados geotécnicos com os estruturais para a busca da solução ótima é importante principalmente quando a carga é excêntrica Os exemplos 8 e 9 demostraram a alteração da solução ótima quando é feito o estudo em conjunto A redução do custo no exemplo 9 foi de 464 o que demonstra que a otimização de blocos sobre fundação pode gerar uma economia considerável no custo da estrutura principalmente se for feita a análise da disposição das estacas em conjunto geotécnico e estrutural Por fim observase que a tensão limite na biela também pode influenciar no problema conforme apresentado no exemplo 10 Neste exemplo variouse a tensão conforme é apresentado por diferentes normas Em algumas situações observase o cálculo menos conservativo e sendo a melhor solução para o exemplo proposto a limitação indicada por Blévot e Frémy 1967 62 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS Tendo em vista o exposto sugeremse os seguintes tópicos para estudos futuros nesta linha de pesquisa Implementar o dimensionamento ótimo para os demais tipos de blocos utilizando a formulação proposta pelo método das bielas e tirantes obedecendo às prescrições da ABNT NBR 61182014 e pela formulação proposta pelo CEB FIP 1970 Implementar por meio da teoria de bielas e tirantes um modelo genérico para otimização da quantidade e disposição de estacas de acordo com os esforços solicitantes 122 Desenvolver um modelo matemático para a determinação de um modelo ótimo de bielas e tirantes tridimensional Realizar ensaios experimentais em blocos com mais de quatro estacas para verificar o modelo das bielas e tirantes e do método do CEBFIP 1970 para valores fora do intervalo válido para os métodos Aplicar métodos de otimização no dimensionamento de sapatas pelo método das bielas e tirantes na busca de otimizar o custo deste elemento 123 7 REFERÊNCIAS AMERICAN CONCRETE INSTITUTE Building code requirements for structural concrete and commentary Committee 318 ACI 31811 Farmington Hills 2011 ADEBAR P KUCHMA D COLLINS M P 1990 Strutandtie models for design of pile caps an experimental study ACI Journal v 87 p 8191 ALVES EC 1998 Um sistema para determinação de modelos de bielas e tirantes Dissertação Mestrado Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rio de Janeiro AMARAL E C 2004 Otimização de forma para problemas de estado plano utilizando o método dos elementos de contorno Dissertação Mestrado UENF Campos dos Goytacazes RJ ARAÚJO JM 2003Curso de concreto armado Rio Grande Dunas v4 2ed ARGOLO WP 2000 Otimização de seções de concreto armado submetidas a flexocompressão reta utilizando algoritmos genéticos Dissertação Mestrado UFRJ Rio de Janeiro RJ ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 61222010 Projeto de estruturas de concreto Rio de Janeiro ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 61182014 Projeto de estruturas de concreto Rio de Janeiro BASTOS E A 2004 Otimização de seções retangulares de concreto armado submetidas à flexocompressão oblíqua utilizando algoritmos genéticos Dissertação Mestrado COOPE Universidade Federal do Rio de Janeiro RJ BLÉVOT J FRÉMY R 1967 Semelles sur piex Analles dInstitut Techique du Bâtiment et des Travaux Publics Paris v20 n230 p223295 COMISIÓN PERMANENTE DEL HORMIGÓN EHE Instucción Española de Hormigón Armado Ministerio de Fomento Centro de Publicaciones Madri 2008 COMITÉ EUROINTERNATIONAL DU BÉTON CEBFIP Recommandations particulières au calcul et à Iexécution dês semelles de foundation Bulletin DInformation Paris 1970 COMITÉ EUROINTERNATIONAL DU BÉTON CEBFIP Model Code 1990 London Thomas Telford 1993 DELALIBERA RG 2006 Análise numérica e experimental de blocos de concreto armado sobre duas estacas submetidos à ação de força centrada e excêntrica Tese Doutorado Escola de Engenharia de São Carlos 124 NORMA PORTUGUESA 2010 Eurocódigo 2 Projecto de estruturas de betão NP EM 199211 2010 Caparica Portugal JÚNIOR S J R 2005 Otimização de pilares de edifícios altos de concreto armado Tese Doutorado Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro RJ LIMA BS 2007 Otimização de fundações estaqueadas Dissertação Mestrado Universidade de Brasília Faculdade de Tecnologia HAFTKA RT e GURDAL Z 1993 Elements of Structural Optimization Kluwer Academics Publishers HERSKOVITS J 1995 A View on Nonlinear Optimization Advances in Structural Optimization LUCHI L A R 2015 Fundações Profundas Espírito Santo UFES Notas de aula MACHADO C P 1985 Edifícios de concreto armado São Paulo EPUSP Notas de aula MAUTONI M 1972 Blocos sobre dois apoios São Paulo Grêmio Politécnico MATLAB Optimization toolbox users guide Natick Mathworks 2007 MEDEIROS GF KRIPKA M Algumas aplicações de métodos heurísticos na otimização de estruturas Rev CIATEC Universidade de Passo Fundo v4 n1 pp1932 2012 MIGUEL M G 2000 Análise experimental e numérica de blocos sobre três estacas Tese Doutorado Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo MONTOYA PJ2000 Hormigón Armado 14ª Edición basada em la EHE ajustada al código modelo y al Eurocódigo Editorial Gustavo Gili SA Barcelona MUNHOZ FS 2004 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à ação de força centrada Dissertação Mestrado Escola de Engenharia de São CarlosUSP Universidade de São Paulo MUNHOZ FS 2014 Análise experimental de blocos rígidos sobre duas estacas com pilares de seções quadradas e retangulares e diferentes taxas de armadura Tese Doutorado Escola de Engenharia de São CarlosUSP Universidade de São Paulo OLIVEIRA LM 2009 Diretrizes para projetos de blocos de concreto armado sobre estacas Dissertação Mestrado Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 125 OLIVEIRA D S 2013 Análise do comportamento estrutural de blocos de concreto armado sobre cinco e seis estacas Dissertação Mestrado Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo São Carlos SP PARENTE JR EC2000Análise de sensibilidade e otimização de forma de estruturas geometricamente nãolineares Tese Doutorado Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rio de Janeiro PEREIRA A 2002 Projeto ótimo de pórticos planos com restrição à flambagem Dissertação Mestrado PUC Rio de Janeiro PEREIRA FLG 2010 Utilização de algoritmos genéticos para otimização de blocos de fundações profundas Revista Rico n5 Pontifica Universidade Católica do Rio de Janeiro PUC Rio de Janeiro RJ RAMOS FAC 2007 Análise numérica de blocos sobre dez estacas Cálculo das reações de apoio Tese Mestrado Escola de Engenharia de São CarlosUSP São Carlos SP RIGO B 1999 Métodos de otimização aplicados à análise de estruturas Dissertação Mestrado Escola de Engenharia de São Carlos SAKAI E 2010 Análise de blocos de concreto armado sobre estacas Dissertação Mestrado 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São Paulo São Carlos SP 126 127 APÊNDICE A FLUXOGRAMA DO SOFTWARE