Projeto e Especificações de Filtros Digitais

Projeto de Filtros Digitais Filtros Digitais Técnicas de projeto de filtros Em processamento digital de sinais há dois importantes tipos de sistemas o primeiro tipo filtra os sinais no domínio do tempo e são chamados filtros digitais O segundo tipo provê a representação do sinal no domínio da frequência e são chamados de analisadores de espectro Os filtros são projetados como seletores de frequência Há considerações diferentes se o projeto é voltado para criação de filtros FIR ou IIR Filtros Digitais O projeto de um filtro digital segue os seguintes passos Especificações determinar a resposta em frequência desejada Calcular os coeficientes do filtro Aproximações o projeto do filtro especificamente Implementações a transcrição da função de transferência para hardware ou software Filtros Digitais Em diversas aplicações como processamento de voz ou som filtros digitais são usados para implementar operações seletivas de frequência Assim especificações são necessárias no domínio da frequência em termos de magnitude desejada e resposta em fase do filtro Filtros Digitais Quatro tipos de filtros Ideais Filtros Digitais Vamos considerar o projeto de um filtro passabaixa como exemplo Uma especificação absoluta de um filtro passabaixa é mostrada na figura abaixo Filtros Digitais Onde A banda 0 wp é chamada de banda de passagem e δ1 é a tolerância a qual são permitidas ondulações ripples na resposta ideal da banda de passagem A banda ws π é chamada de banda de corte e δ2 é a tolerância a qual são permitidas ondulações A banda wp ws é chamada de banda de transição e não há qualquer restrição na resposta em magnitude nessa banda Filtros Digitais A especificação relativa em dB de um filtro passabaixa pode ser vista abaixo na figura Rp é a ondulação na banda de passagem em dB e As é a atenuação na banda de corte em dB Exemplos As especificações de um FPB definem as ondulações da banda de passagem em 025 dB e a atenuação na banda de corte em 50 dB Determine δ1 e δ2 RP 025 20 log10 1 δ11 δ1 δ1 00144 As 50 20 log10 δ21 δ1 δ2 00032 Especificações semelhantes podem ser dadas para outros tipos de filtros seletores de frequência como passaalta ou passafaixa Exemplos As especificações de um FPB definem as ondulações da banda de passagem em 025 dB e a atenuação na banda de corte em 50 dB Determine δ1 e δ2 RP 025 20 log10 1 δ11 δ1 δ1 00144 As 50 20 log10 δ21 δ1 δ2 00032 Projeto de Filtros Digitais Projeto de Filtros FIR Para o projeto de filtros FIR as técnicas são divididas nas seguintes categorias Projeto usando janelas Método da amostragem em frequência Projeto equirriple ótimo Projeto de mínimos quadrados Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas O projeto do filtro se inicia decidindo a resposta em frequência desejada Podemos iniciar supondo um filtro passabaixas contínuo e ideal A resposta desejada é dada a seguir Filtros FIR Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR Para a resposta desejada digital a resposta é uma mera discretização da resposta anterior a resposta fica replicada a cada múltiplo de fs Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR Aplicase a TDFI em Hm para obter os coeficientes hk do filtro Precisamos de Hm que represente o período de fs K é o intervalo que possui amostras não nulas Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR Os coeficientes hk são obtidos pela TDFI de Hm dada por Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR hk será dada por Qual é o valor de N que devemos usar Precisaríamos de Ninf para termos um filtro FIR como resposta desejada Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR A sequência hk acima contém os coeficientes do filtro FIR O filtro FIR passabaixas contém 32 coeficientes Podemos deslocar os coeficientes para ficar simétrico em relação ao centro do filtro Para isso descartamos h16 Para N 32 a resposta será Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR O filtro passa a ter 31 coeficientes Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR O filtro era para ter infinitos coeficientes mas limitamos a 31 Quanto se aproxima esse filtro da resposta desejada inicialmente R TDF de hk com os 31 coeficientes Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR TDF de hk com os 31 coeficientes Sendo assim existe uma solução de compromisso entre a ordem do filtro e a proximidade da resposta obtida com a resposta desejada Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR Utilizando outras ordens para o filtro Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR Vimos que precisaríamos de infinitos coeficientes para ter a resposta idêntica à desejada de um filtro ideal Em algum momento decidimos o valor de N Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR Vamos ver o que acontece quando escolhemos o valor de N Coeficientes resultantes Janela Resposta ao impulso Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR Convolução de Hdejw com Wejw Multiplicação hk com Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR Região de transição de acordo com o número de coeicientes 31 coeficientes 63 coeficientes Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR Mudança de janela Projeto de Filtros Digitais Projeto usando janelas Filtros FIR A sequência wk da janela Blackman é dada por Comparação resultados janela retangular e blackman Projeto de Filtros Digitais ALGUNS TIPOS COMUNS DE FUNÇÕES DE JANELAMENTO 1 Janela Retangular Essa é a janela mais simples mas que provê o pior desempenho em termos de atenuação da banda de corte Ela é definida como Sendo sua resposta em frequência Projeto de Filtros Digitais A magnitude da função senwM 12senw2 é mostrada na figura abaixo para o caso de M 7 Note que Wejw tem fase linear generalizada À medida que M aumenta a largura do lóbulo principal diminui Magnitude da transformada de Fourier de uma janela retangular M 7 Projeto de Filtros Digitais À medida que M cresce a largura de cada lóbulo lateral diminui mas a área sobre cada um permanece constante Assim as amplitudes relativas dos picos laterais vão permanecer constantes e a atenuação da banda de passagem permanece em cerca de 21 dB Isso significa que as ondulações vão sofrer um pico perto das bordas das bandas Isso é conhecido como fenômeno de Gibbs figura abaixo Esse fenômeno ocorre por causa da transição brusca de 0 para 1 e de 1 para 0 da janela retangular Projeto de Filtros Digitais Fenômeno de Gibbs Pico das ondulações nas fronteiras entre as bandas Projeto de Filtros Digitais 2 Janela Triangular ou de Bartlett Bartlett sugeriu uma transição mais suave para evitar o fenômeno de Gibbs Isso seria possível através de uma janela triangular da forma Janela triangular e sua resposta em frequência Projeto de Filtros Digitais 3 Janela de Hanning homenagem a Julius von Hann meteorologista austríaco Projeto de Filtros Digitais 4 Janela de Hamming Richard Hamming matemático americano Tem uma quantidade menor de descontinuidades em relação à janela de Hanning Projeto de Filtros Digitais 5 Janela de Blackman Também é similar às duas anteriores mas tem um segundo harmônico o que faz com que ela se aproxime de zero com mais suavidade Projeto de Filtros Digitais Tanto a janela de Bartlett quanto Hamming Hanning e Blackman têm lóbulos laterais menores do que os da janela retangular No entanto para o mesmo valor de M a largura do lóbulo principal também é mais larga para essas janelas se comparadas à janela retangular Consequentemente essas janelas conseguem uma convolução no domínio da frequência mais suave e como resultado a região de transição na resposta do filtro FIR é mais larga Para reduzir a largura da região de transição podemos aumentar o comprimento da janela o que resulta em filtros mais largos Projeto de Filtros Digitais A tabela a seguir resume algumas características no domínio da frequência dessas janelas Projeto de Filtros Digitais 6 Janela de Kaiser James F Kaiser Esta é a melhor janela Ela É considerada ótima porque provê um lóbulo principal largo para a dada atenuação da banda de corte o que implica em uma brusca banda de transição A função foi definida por Kaiser e é dada por I0 é a função de Bessel modificada de ordem zero Projeto de Filtros Digitais Na expressão de wn existem dois parâmetros 1 O comprimento M 2 O parâmetro β Variando β e M é possível ajustar a amplitude dos lóbulos laterais Projeto de Filtros Digitais Considerando δ1 δ2 Kaiser mostrou que Além disso dados w e A M é aproximadamente Eq 1016 Kaiser encontrou duas fórmulas que permitem achar M e β de modo a atender às especificações do filtro Projeto de Filtros Digitais Comparação das funções de algumas janelas Projeto de Filtros Digitais O procedimento para projetar um filtro passabaixa digital FIR usando a janela de Kaiser consiste nos seguintes passos i Estabelecer as especificações wP wS e δ ii Estabelecer a frequência de corte wc do filtro passabaixa ideal ao qual se aplicará a janela wc wP wS2 iii Calcular A 20logδ e w wP wS e usar as fórmulas de Kaiser para encontrar os valores de M e β iv Encontrar a resposta ao impulso do filtro através de hnhdnwn onde wn é a janela de Kaiser e hdn ℑ 1Hdejw Projeto de Filtros Digitais Exemplo Projetar usando janelas de Kaiser um filtro passabaixa com as seguintes especificações wP 04π wS 06π e δ 0001 wc wS wP2 05π w wS wP 02π A 20logδ 60 dB Como A 50 pela Eq 1016 β 01102A 87 5633 M A 82285w 36219 M 37 M inteiro A resposta ao impulso é com wn dado pela definição da janela de Kaiser Projeto de Filtros Digitais Projeto de Filtros Digitais Exemplo 1 Projetar um filtro passabaixa FIR com as seguintes especificações fp4410 Hz wP 02π fs6615 Hz wS 03π fc 5512 Hz wc 025π RP 025 dB e AS 50 dB Tanto a janela de Hamming quanto a de Blackman provêem atenuação de mais de 50 dB Escolhendo a janela de Hamming que provê a menor banda de transição e assim tem a menor ordem M 67 alpha 33 Rp 00394 As 52 wp 02pi ws 03pi trwidth ws wp M ceil66pitrwidth 1 n 0M1 wc ws wp2 hd ideallp wc M wham hammingM h hdwham db mag pha w freqzmh 1 deltaw 2pi1000 Rp mindb1wpdeltaw1 As roundmaxdbwsdeltaw1501 subplot1 1 1 subplot2 2 1 stemn hd titleResposta ao Impulso Ideal axis0 M1 01 03 xlabeln ylabelhdn subplot2 2 2 stemn wham titleJanela de Hamming axis0 M1 0 11 xlabeln ylabelwn subplot2 2 3 stemn h titleResposta ao Impulso Atual axis0 M1 01 03 xlabeln ylabelhn subplot2 2 4 plotwpi db titleMagnitude em dB grid axis0 1 100 10 xlabelfrequencia em pi unidades ylabelDecibeis Projeto de Filtros Digitais Projeto de Filtros Digitais δ 0001 w wS wP 01π A 20log10 δ 60 dB Como A 50 pela Eq 1016 β 01102A 87 5633 Exemplo 2 Usando a Janela Kaiser projetar um filtro passabaixa FIR com as seguintes especificações fp4410 Hz wP 02π fs6615 Hz wS 03π fc 5512 Hz wc 025π RP 025 dB M A 82285w 36219 M 73 M inteiro Projeto de Filtros Digitais Especificações Idealizadas de Hejomega Projeto de Filtros Digitais Especificações Idealizadas de Hejomega Projeto de Filtros Digitais Exemplo 3 Vamos projetar o filtro com as seguintes especificações conforme a figura abaixo Borda da banda de corte mais baixa ws1 01π As 60 dB Borda da banda de passagem mais baixa wp1 02π As 1 dB Borda da banda de passagem mais alta wp2 04π As 1 dB Borda da banda de corte mais alta ws2 05π As 60 dB Projeto de Filtros Digitais Existem duas bandas de transição w1 w1P w1S w2 w2S w2P Essas duas larguras de banda devem ser a mesma no projeto da janela ie não há controle independente sobre w1 e w2 Assim w1 w2 w Para esse projeto podemos usar a janela de Kaiser ou a de Blackman Vamos escolher a janela de Blackman Vamos precisar também da resposta ideal ao impulso de um filtro passafaixa hdn Projeto de Filtros Digitais Observe que essa resposta ao impulso pode ser obtida a partir de duas respostas em magnitude de filtros passabaixa ideais considerando que elas tenham a mesma resposta em fase Projeto de Filtros Digitais Projeto de Filtros Digitais Exemplo 4 A resposta em frequência de um filtro rejeitafaixa ideal é dada por Usando uma janela de Kaiser projete um filtro rejeitafaixa de comprimento 45 com atenuação na banda de corte de 60 dB Observe que a largura da banda de transição não foi dada Ela será encontrada a partir do comprimento M 45 e do parâmetro β da janela de Kaiser Das equações de projeto da janela de Kaiser podemos determinar β a partir de As β 01102As 87 Vamos agora implementar a janela de Kaiser e observar a atenuação na banda de corte M 45 As 60 n0M1 beta 01102As 87 wkai kaiserM beta wc1 pi3 wc2 2pi3 hd ideallpwc1 M ideallppi M ideallpwc2 M h hdwkai db mag pha w freqzmh 1 subplot1 1 1 subplot2 2 1 stemnhd titleResposta ao Impulso Ideal axis0 M1 02 08 xlabeln ylabelhdn Projeto de Filtros Digitais subplot 2 2 2 stem n wkai title Janela de Kaiser axis 0 M1 0 11 xlabeln ylabelwn subplot 2 2 3 stemn h titleResposta ao Impulso Atual axis 0 M1 02 08xlabelnylabelhn subplot 2 2 4 plotwpi db titleMagnitude em dB grid axis0 1 80 10xlabelfrequencia em pi unidadesylabelDecibeis beta 56533 Projeto de Filtros Digitais Resposta ao Impulso Ideal Janela de Kaiser hdn Resposta ao Impulso Atual Magnitude em dB Decibeis frequencia em pi unidades Projeto de Filtros Digitais Observe que com esse valor a mínima atenuação da banda de corte é menor que 60 dB observe que há lóbulos na banda de corte com pico acima de 60 na escala negativa ou seja é menor que 60 em módulo resposta em magnitude na figura acima destacada em vermelho Assim precisamos aumentar BETA para aumentar a atenuação para 60 dB Vamos colocar um acréscimo de 03 no valor calculado de BETA para conseguir uma atenuação maior Observamos que assim a atenuação fica maior que 60 dB na banda de corte Projeto de Filtros Digitais Resposta ao Impulso Ideal Janela de Kaiser hdn Resposta ao Impulso Atual Magnitude em dB Decibeis frequencia em pi unidades Filtros Digitais De uma maneira geral os filtros IIR são expressos como com a seguinte função de sistema Projeto de Filtros IIR Filtros Digitais Projeto de Filtros IIR Projeto de Filtros Digitais Projeto de Filtros IIR Projeto de Filtros Digitais Filtro PassaBaixa de Butterworth Projeto de Filtros Digitais Filtro PassaBaixa de Chebyshev Tipo I Projeto de Filtros Digitais Filtro PassaBaixa de Chebyshev Tipo II Projeto de Filtros Digitais Filtro Elíptico Projeto de Filtros Digitais Projeto de Filtros Digitais Projeto de Filtros Digitais