Transformada de Fourier e Sistemas LTI como Filtros Seletores de Frequencia

Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Amostragem de sinais de tempo contínuo Prof Edvaldo Pires Dr edvaldopiresifpbedubr Sistemas LIT como Filtros Seletores de Frequência O termo filtro é normalmente usado para descrever um dispositivo que seleciona de acordo com algum atributo do objeto aplicado como entrada o que passa através dele Por exemplo um filtro de ar que deixa o ar passar mas retém partículas de impureza Sistemas LIT como Filtros Seletores de Frequência Um sistema LTI também funciona como um tipo de seletor entre os vários componentes de frequência na sua entrada A forma da filtragem é definida pela resposta em frequência Hω que depende da escolha de parâmetros do sistema como os coeficientes do filtro Assim com uma escolha apropriada de parâmetros podemos projetar filtros seletores de frequência que deixam passar sinais contendo componentes de frequência em algumas bandas e atenuando sinais contendo componentes de frequência em outras bandas Sistemas LIT como Filtros Seletores de Frequência Um filtro é um sistema LTI usado para desempenhar a função de filtragem seletora de frequência Filtragem é usada em processamento digital de sinais em uma grande variedade de formas como remoção de ruído equalização análise espectral de sinais etc Filtros são normalmente classificados de acordo com suas características no domínio da frequência como passabaixa passaalta passafaixa e rejeitafaixa Sistemas LIT como Filtros Seletores de Frequência Sistemas LIT como Filtros Seletores de Frequência Sistemas LIT como Filtros Seletores de Frequência As transformadas de Fourier são deduzidas a partir das séries de Fourier Qualquer função por mais complicada que seja pode ser decomposta como uma soma de senos e cossenos Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Representação de um mesmo sinal no domínio do tempo e no domínio da frequência domínio do tempo domínio da frequência Sinal no domínio do tempo Sinal no domínio da frequência Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Para interpretação e análise de um sinal é comumente utilizada a Transformada de Fourier Na qual se deixa o eixo do domínio do tempo para eixo do domínio da frequência facilitandose a visualização da composição do sinal Para sairmos do domínio do tempo para o domínio da frequência fazemos uso da transformada de Fourier Para sairmos do domínio da frequência para o domínio do tempo fazemos uso da transformada inversa de Fourier Assim como sinais de tempo contínuo os sinais de tempo discreto também podem ser representados de formas diferentes Uma das formas mais utilizadas é através da transformação do sinal para o domínio da frequência através da Transformada de Fourier de tempo discreto Muitas sequências podem ser representadas por uma integral de Fourier da forma Transformada Inversa de Fourier eq síntese Representação de Sequências pela Transformada de Fourier onde X é dada por Transformada de Fourier eq análise Em geral a Transformada de Fourier é uma função complexa em ω Na resposta em frequência X pode ser expressa na forma retangular Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Ou na forma polar As quantidades Xejω e Xe jω são chamadas de magnitude e fase da Transformada de Fourier Xejω é chamada de espectro de Fourier ou simplesmente espectro de xn Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Podese verificar que as Equações e são inversas Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Fazendo as substituições Trocando a ordem da integração com o somatório temos Calculando a integral dentro dos parênteses temos Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Logo Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Exemplo 1 A Transforma de Fourier é dada por Que converge se aejw 1 ou a 1 Propriedade progressão geométrica Representação de Sequências pela Transformada de Fourier obter a resposta em frequência Exemplo 1 Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Propriedades Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Representação de Sequências pela Transformada de Fourier Propriedades da Transformada de Fourier Amostragem de sinais de tempo contínuo Consiste em substituir o sinal analógico por uma sucessão de amostras de curta duração em intervalos regulares Essa sucessão de amostras contém as informações necessárias para posterior recuperação do sinal original Amostragem de sinais de tempo contínuo Sinal de áudio Quantização Tratase da subdivisão da amplitude do sinal em determinado número de níveis discretos chamados níveis de quantização N Para facilitar a implementação a codificação dos níveis é feita de acordo com o sistema binário Consequentemente o número de níveis de quantização é uma potência inteira de dois n é o numero de bits que representa cada nível Para n 2 N224 Quantização Para n3 N2²8 Amostragem de sinais de tempo contínuo Luminosidade do pixel Imagem preta e branca Imagem colorida Taxa de amostragem É o número de amostras de um sinal analógico coletadas em um certo intervalo de tempo para conversão em um sinal digital Exemplo A taxa de amostragem de áudio em um CD é de 441 KHz isso indica que a cada segundo são tomadas 44100 medidas da variação de voltagem de sinal Frequência de Amostragem Período e Frequência de Amostragem Frequência de amostragem Fs 1Ts Exemplo 8000 Hz ou Sas de samples por segundo Período de amostragem Ts Exemplo 0000125 segundos Período e Frequência de Amostragem Um amostrador é basicamente um chave que se fecha a cada T segundos por um instante de tempo Período e Frequência de Amostragem Amostragem com um trem de impulsos periódicos seguida de uma conversão para uma sequência discreta no tempo Sinal original no tempo contínuo Trem de impulsos Sinal amostrado ou discreto Período e Frequência de Amostragem Conversões CD e DC A conversão AD pode ser representada como Conversões CD e DC Conversões CD e DC Figure 11 Figure 12 Conversão DC usada na conversão DA Representação do processo de DA Reconstrução com retentor de ordem zero zeroorder holder ou ZOH Frequência de amostragem Trem de pulsos com frequência de amostragem menor que a ideal Amostragem 10 kHz 4 kHz 20 kHz 10 kHz t Tempo Frequência A transformada de Fourier um trem de impulsos é também um trem de impulsos Período de amostragem Frequência de amostragem Amostragem Tempo Frequência Multiplicação X Amostragem Convolução Sinal amostrado por trem de impulsos Não haverá superposição de espectros Distorção por superposição de espectros ou Recobrimento ou Efeito Aliasing Teorema da Amostragem Nyquist Shannon Filtro passabaixa Teorema da Amostragem Nyquist Shannon Teorema da Amostragem Nyquist Shannon De acordo com o Teorema de Nyquist a quantidade de amostras por unidade de tempo de um sinal chamada taxa ou frequência de amostragem deve ser maior que o dobro da maior frequência contida no sinal a ser amostrado para que possa ser reproduzido integralmente sem erro de aliasing A metade da frequência de amostragem fs2 é chamada frequência de Nyquist e corresponde ao limite máximo de frequência do sinal que pode ser reproduzido Como não é possível garantir que o sinal não contenha sinais acima deste limite distorções interferências ruídos etc é necessário filtrar o sinal com um filtro passa baixa com frequência de corte igual ou menor a frequência de Nyquist ou filtro anti aliasing Reconstrução É possível através de um filtro passa baixo desde que exista sobreposição espectral Ωs 2ΩN Reconstrução Tempo Frequência Multiplicação X Convolução Função sinc No text present CONSERVATION OF ENERGY The law of conservation of energy states that in an isolated system in the absence of forces of friction the sum of kinetic energy and potential energy remains constant during the course of motion of a body Mechanical energy of a body can be of two types i kinetic energy and ii potential energy Hence during the motion of body The sum of kinetic energy and potential energy of the body remains constant It can be expressed as Kinetic Energy Potential Energy constant or KE PE constant or 12 m v² mgh constant where m mass of the body v velocity of motion h height of the body from the reference surface gfinal velocity g acceleration due to gravity Since the total mechanical energy is constant the decrease of potential energy is accompanied by the increase of Kinetic energy and vice versa It means the mechanical energy changes its form but the amount remains constant Hence the mechanical energy E can be taken asE KE PE 12 m v² mgh constant The law of conservation of energy is the most fundamental law of physics and is observed in all natural phenomena Since energy can neither be created nor destroyed it can only be transformed from one form to another This transformation of energy takes place by the application of work For example while doing work on the body we change the body from one form of energy to another Conservation of energy is the basis of power generation in hydroelectric plants thermal power plants solar power plants windmills nuclear power plants etc Energy expenditure is necessary for all activities hence the use of resources for energy production has a direct effect on the environment and economy