Séries de Fourier: Analogia entre Sinais e Vetores

INSTITUTO FEDERAL DA PARAÍBA IFPB COORDENAÇÕES DOS CURSOS DE ENGENHARIA ELÉTRICA E SISTEMAS DE TELECOMUNICAÇÕES Professor JEFFERSON COSTA E SILVA SÉRIES DE FOURIER Analogia entre Sinais e Vetores Vetores São definidos por sua magnitude e direção Onde kB componente do vetor A sobre o vetor B Quanto maior essa componente mais semelhantes são os vetores Se k 0 os vetores são ortogonais O produto escalar entre dois vetores é dado por AB ABcosθ onde AB BA A componente de A ao longo de B Acosθ De maneira análoga podemos verificar se um sinal pode ser decomposto em termos de outro Dizemos que dois sinais são ortogonais um não pode ser decomposto em termos do outro se Pode ser mostrado que dois sinais sennw0t e cosnw0t são ortogonais no intervalo t0 t0 T para valores inteiros de n e m e para n m Ou seja Analogia entre Sinais e Vetores 𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 𝑑𝑡 0 𝑡2 𝑡1 𝑠𝑒𝑛 𝑛w0t 𝑠𝑒𝑛 mw0t 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑛w0t 𝑐𝑜𝑠 mw0t 𝑑𝑡 𝑡0𝑇 𝑡0 𝑡0𝑇 𝑡0 𝑐𝑜𝑠 𝑛w0t 𝑐𝑜𝑠 mw0t 𝑑𝑡 0 𝑡0𝑇 𝑡0 Série de Fourier A representação em série de Fourier de uma função expressa a mesma por uma combinação linear de funções ortogonais entre si As funções seno e cosseno formam um conjunto completo de funções ortogonais em um intervalo t0 t0 T Logo uma função periódica qualquer ft pode ser expressa em termos de senos e cossenos da forma 𝑓 𝑡 𝑎0 𝑎1𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜔0𝑡𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔0𝑡 𝑏1𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑡 𝑏2𝑠𝑒𝑛2𝜔0𝑡 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝜔0𝑡 t0 t t0 T Série Trigonométrica de Fourier A série trigonométrica de Fourier é expressa por 𝒇 𝒕 𝒂𝟎 𝒂𝒏𝒄𝒐𝒔𝒏𝝎𝟎𝒕 𝒏𝟏 𝒃𝒏𝒔𝒆𝒏𝒏𝝎𝟎𝒕 t0 t t0 T Onde 𝒂𝟎 𝟏 𝑻 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 𝒕𝟎𝑻 𝒕𝟎 𝒂𝒏 𝟐 𝑻 𝒇 𝒕 𝒄𝒐𝒔𝒏𝝎𝟎𝒕𝒅𝒕 𝒕𝟎𝑻 𝒕𝟎 𝒃𝒏 𝟐 𝑻 𝒇 𝒕 𝒔𝒆𝒏𝒏𝝎𝟎𝒕𝒅𝒕 𝒕𝟎𝑻 𝒕𝟎 Exemplos Série Trigonométrica de Fourier Ex1 Expandir a função ft pela série trigonométrica de Fourier ao A2 an 0 bn Apn Ex2 Expandir a função ft pela série trigonométrica de Fourier ao A2 an 0 bn 2Anw0T0 n impar bn 0 n par Série Exponencial de Fourier Um conjunto de funções exponenciais da forma 𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡 para n 0 1 2 forma um conjunto completo de funções ortogonais em um intervalo t0 t0 T para qualquer valor de t0 Ou seja 𝟏 𝑻 𝒆𝒋𝒏𝝎𝟎𝒕 𝒆𝒋𝒎𝝎𝟎𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝒕𝟎𝑻 𝒕𝟎 Logo uma função qualquer pode ser expressa em termos de funções exponenciais em um interevalo t0 t0 T 𝒇 𝒕 𝑭𝟎 𝑭𝟏𝒆𝒋𝝎𝟎𝒕 𝑭𝟐𝒆𝒋𝟐𝝎𝟎𝒕 𝑭𝒏𝒆𝒋𝒏𝝎𝟎𝒕 𝑭𝟏𝒆𝒋𝝎𝟎𝒕 𝑭𝟐𝒆𝒋𝟐𝝎𝟎𝒕 𝑭𝒏𝒆𝒋𝒏𝝎𝟎𝒕 Ou seja 𝒇 𝒕 𝑭𝒏𝒆𝒋𝒏𝝎𝟎𝒕 𝒏 𝒕𝟎 𝒕 𝑻 Onde 𝑭𝒏 𝟏 𝑻 𝒇𝒕 𝒕𝟎𝑻 𝒕𝟎 𝒆𝒋𝒏𝝎𝟎𝒕𝒅𝒕 Série Exponencial de Fourier As séries trigonométrica e exponencial não são duas séries diferentes mas são dois tipos diferentes da mesma série onde 𝒂𝟎 𝑭𝟎 𝒂𝒏 𝑭𝒏 𝑭𝒏 𝒃𝒏 𝒋𝑭𝒏 𝑭𝒏 𝒆 𝑭𝒏 𝟏 𝟐 𝒂𝒏 𝒋𝒃𝒏 Ex 3 Considere a função ft At 0 t 1 do Ex 1 Encontre a série exponencial de Fourier dessa função Resp 𝐹0 𝐴 2 𝐹𝑛 𝑗𝐴 2𝜋𝑛 𝑓 𝑡 𝐴 2 𝑗𝐴 2𝜋 𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡 𝑛 𝑛 𝑛0 Série Exponencial de Fourier Ex 4 Decomponha a onda senoidal retificada abaixo em uma série exponencial de Fourier Resp 𝐹𝑛 2𝐴 𝜋14𝑛2 Dica 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 𝑒𝑎𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑎𝑥 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 𝑎2𝑏2 Série Exponencial de Fourier