Equações de Maxwell: Parte I - Forma Não Covariante

Equações de Maxwell Parte I forma nãocovariante Esmerindo Bernardes 1 LIA Laboratório de Instrumentação Algébrica Departamento de Física e Ciência dos Materiais Instituto de Física de São Carlos Universidade de São Paulo 8 de junho de 2022 1email sousaifscuspbr Sumário 1 Introdução 1 11 Introito 1 12 Leis básicas 3 13 Fatos notáveis 3 14 Dimensões e unidades 4 15 Constantes universais 5 16 Efeito AAS 5 2 Primeira equação de Maxwell 6 21 Introdução 6 22 O campo elétrico 6 23 O potencial escalar 9 24 A energia potencial 13 25 Gauss 13 251 Ângulo sólido 14 252 O lema de Gauss 16 253 O teorema de Gauss 18 26 Casos de estudos 19 261 Toy model 19 262 Cargas pontuais 21 2621 Intensidades iguais 21 2622 Intensidades distintas 23 263 Esfera 24 264 Cilindro 30 265 Plano 33 3 Segunda equação de Maxwell 36 31 Introdução 36 32 O campo magnético 36 ii SUMÁRIO SUMÁRIO 321 Sem carga magnética 36 322 Com carga magnética 37 33 O potencial vetor 38 331 Sem carga magnética 38 332 Com carga magnética 39 34 Densidade de corrente 40 35 Casos de estudos 42 351 Corrente em um o 42 4 Indução 49 41 Introdução 49 42 Ampère 50 421 A lei de Ampère 50 422 Terceira equação de Maxwell 51 43 Faraday 51 431 Introdução 51 432 Experimentos 52 433 Quarta equação de Maxwell 52 44 Casos de estudos 54 441 Fio 54 442 Placas 56 4421 Uma placa estática 56 4422 Duas placas estáticas 58 4423 Duas placas em movimento 58 5 Potenciais 62 51 Maxwell 62 52 Ondas 63 53 Potenciais 64 54 Calibre 65 55 Casos de estudos 67 551 Solenoide 67 6 Energiamomentum 71 61 Densidade de força 71 62 Densidade de energia 73 63 Densidade de momentum linear 75 64 Densidade de momentum angular 77 iii SUMÁRIO SUMÁRIO 7 Matéria 78 71 Introito 78 72 Polarização 79 73 Maxwell 80 74 Nomes 81 Appendices 84 A Análise dimensional 84 A1 Introdução 84 A2 Exemplos 84 A21 Cinemática 84 A22 Dinâmica 85 A23 Eletromagnetismo 85 B Dispositivos eletrônicos 87 B1 Resistores 87 B2 Capacitores 89 B3 Indutor 92 B4 Circuito RC 93 B5 Circuito RLC 94 C Delta de Dirac 96 D Campos e Operadores 99 D1 Campos 99 D2 Circulação 100 D3 Fluxo 101 D4 Operadores 101 D41 Gradiente 101 D42 Divergente 102 D43 Rotacional 104 D5 Teoremas 105 iv Capítulo 1 Introdução 11 Introito Apesar dos fenômenos elétricos e magnéticos fazerem parte do conhecimento humano desde tempos imemoráveis somente no Século 19 eles foram unicados Os fenômenos elétricos e magnéticos fazem parte do Eletromagnetismo uma teoria regida por dois campos vetoriais obedecendo cinco leis Campos são funções matemáticas da posição e do tempo Um campo vetorial é uma regra para pregarmos vetores numa dada posição espacial num dado instante de tempo Para xar uma notação os fenômenos elétricos são descritos pelo campo elétrico E e os fenômenos magnéticos são descritos pelo campo magnético B Esses dois campos vetoriais são criados por suas fontes distribuições de cargas elétricas e no caso do campo magnético correntes elétricas cargas em movimento Curiosamente não temos cargas magnéticas ou ainda não foram detectadas ou criadas articialmente Igualmente curioso sabemos da existência da carga elétrica e que ela é somente encontrada em múltiplos inteiros da carga e do elétron e apresenta dois sabores positiva e negativa Por isso se costuma dizer que carga elétrica é quantizada ou seja não existe em qualquer quantidade e sabor Massa também é um tipo de carga a carga inercial responsável pela diculdade de mudarmos a trajetória de um objeto Newton foi o primeiro a propor também a existência de uma carga gravitacional responsável pela atração gravitacional Também foi o primeiro a vericar experimentalmente a igualdade entre carga gravitacional e carga inercial Desde então estas cargas a gravitacional e a inercial passaram a ser chamadas de apenas massa Massa existe em qualquer quantidade será e em apenas um sabor positiva Em geral um campo vetorial produz uma força num corpo teste No Eletromagnetismo esse corpo teste é uma pequena carga elétrica q Na gravitação newtoniana esse corpo teste é uma pequena massa m A força elétrica produzida pelo campo elétrico E numa carga teste q é simplesmente o produto do campo elétrico pela carga teste q E É a mesma estrutura 1 11 Introito Capítulo 1 Introdução da força gravitacional O campo magnético produz uma força que depende da velocidade da carga teste q v B a qual não tem paralelo na gravitação newtoniana Desta forma FL q E q v B 11 denominada de força de MaxwellLorentz ou simplesmente de força de Lorentz caracteriza mecanicamente os campos vetoriais elétrico E e magnético B Ao contrário da gravitação Newtoniana que é descrita por apenas um campo vetorial o Eletromagnetismo requer dois campos vetoriais Mais ainda estes dois campos vetoriais não são independentes As quatro equações de Maxwell estabelecem vínculos entres as taxas de variação no espaço e no tempo das componentes dos campos vetoriais elétrico e magnético Esses vínculos são equações diferenciais parciais EDP de primeira ordem Como consequência apenas duas entre as seis componentes destes campos vetoriais E e B serão independentes Cada equação de Maxwell representa uma lei do Eletromagnetismo Cada uma das leis é uma história à parte unicadas em denitivo por Maxwell em 1861 No Séc 17 outra unicação importante foi revelada por Newton força e aceleração estão intimamente relaci onadas embora sejam quantidades muito diferentes Força é a representação matemática de uma interação entre dois corpos enquanto aceleração é uma quantidade cinemática a taxa de variação do vetor velocidade Essa foi a primeira grande unicação de dois fenômenos naturais aparentemente distintos Essas unicações de fenômenos naturais servem para in dicar o grau de compreensão acerca de algumas propriedades básicas da nossa natureza A unicação dos efeitos elétricos e magnéticos foi um feito extraordinário Tão extraordinário ao ponto de revelar que luz é um fenômeno eletromagnético no caso uma onda com uma velocidade nita a qual é um limite para velocidades de objetos Nada pode ultrapassar a velocidade da luz Esse limite foi estabelecido pela Relatividade Especial de Einstein em 1905 Certamente não podemos esquecer os avanços tecnológicos baseados em fenômenos eletromagnéticos Outra característica surpreendente das equações de Maxwell de 1861 é a íntima relação com a Relatividade Especial estabelecida por Einstein em 1905 30 anos depois Logo após sua descoberta a Relatividade Especial tornouse num paradigma a ser respeitado por todas as teorias físicas Notavelmente a teoria eletromagnética de Maxwell elaborada 30 anos antes é totalmente compatível com a Relatividade Especial É nossa intenção expor aqui as equações de Maxwell suas interpretações e relação com a Relatividade Especial destacando as bases matemáticas bem como algumas de suas aplicações 2 Capítulo 1 Introdução 12 Leis básicas 12 Leis básicas Equações de Maxwell Maxwell 1861 foi o responsável pela síntese das leis que regem os fenômenos elétricos e magnéticos e pela unicação deles A constante c nestas equações representa a velocidade da luz As demais quantidades serão denidas em seguida 1 Existência de carga elétrica Coulomb 1785 E 4πCe ρ Ce 1 4πϵ0 12 2 Ausência de carga magnética Maxwell 1861 c B 0 13 3 Indução I Ampère 1825 Maxwell 1861 c B 1 c t E 4π c Ce J 14 4 Indução II Faraday 1831 E 1 c tc B 15 Quantidades Maxwell foi o primeiro a mostrar que a velocidade da luz no vácuo é dada pelas constantes fundamentais presentes em suas equações c2 1ϵ0µ0 onde ϵ0 é a constante elétrica ou permissividade do vácuo e µ0 é a constante magnética ou perme abilidade do vácuo Os valores destas constantes estão dados logo abaixo Na força de MaxwellLorentz q é uma carga teste Nas equações de Maxwell ρ é a densidade de carga carga por unidade de volume da fonte e J é a densidade de corrente corrente por unidade de área a qual será denida mais adiante A unidade de carga elétrica no sistema inter nacional SI de medidas foi denominada de Coulomb C Carga elétrica em movimento é corrente elétrica carga por unidade de tempo cuja unidade SI é Ampere ACs 13 Fatos notáveis O Eletromagnetismo permeia tanto o mundo clássico dominado pelas leis da Mecânica newtoniana para citar apenas uma teoria típica desse mundo quanto no mundo quântico dominado pelas leis da Física Quântica que não tem precedentes no mundo clássico Talvez por isso haja tantos fatos extraordinários no Eletromagnetismo Abaixo uma lista singela de alguns deles 3 14 Dimensões e unidades Capítulo 1 Introdução 1 Existe carga elétrica mas não existe carga magnética 2 A carga elétrica é quantizada isto é existe apenas como múltiplo inteiro da carga do elétron 3 Carga elétrica é conservada e existem dois tipos positiva e negativa 4 A velocidade da luz é uma constante universal 14 Dimensões e unidades Dimensões Como conhecemos as dimensões de força uma concepção newtoniana então podemos usar a força de MaxwellLorentz para determinar as dimensões dos campos elétrico E e magnético B Veja o Apêndice A para mais detalhes Como as dimensões de força são as mesmas de massa M vezes velocidade ao quadrado e que as dimensões de velocidade são as mesmas de comprimento L por tempo T então as dimensões de força são F ma ML T2 16 Portanto da força de MaxwellLorentz temos F qE qvB E ML2 QT2 B M QT 17 onde usamos Q para a dimensão de carga elétrica Destas dimensões destes dois campos podemos perceber que E e c B possuem as mesmas dimensões Unidades Usaremos o Sistema Internacional SI de unidades1 1 Carga elétrica Coulomb C 2 Corrente elétrica Ampere ACs 3 Força Newton Nkg m2s2 4 Campo magnético Tesla TkgC s 1Atualmente se usa o Ampere no lugar do Coulomb mas continuaremos com Coulomb Veja aqui as novas denições 4 Capítulo 1 Introdução 15 Constantes universais 15 Constantes universais As constantes abaixo são fundamentais ao Eletromagnetismo e são medidas periodicamente veja CODATA para conferir os valores mais recentes Valores no Sistema Internacional SI de unidades referentes ao vácuo 1 Carga elétrica e 1 602 176 634 1019 C 2 Permissividade ϵ0 8 854 187 817 1012 C2Nm2 3 Permeabilidade µ0 1 256 637 062 106 Ns2C2 4 Velocidade da luz c 1ϵ0µ0 299 792 458 0 ms 16 Efeito AAS A Figura 11 mostra a variação de intensidade do campo magnético perto da superfície terrestre A ordem de grandeza é um bilionésimo nano de Tesla nT Note que estamos numa região onde os valores da intensidade deste campo está bem abaixo do valor médio Tratase da Anomalia do Atlântico Sul AAS muito ruim para satélites e naves espaciais veja aqui para mais informações Figura 11 Intensidade do campo magnético perto da superfície terrestre A região de intensidades baixas é denominada Anomalia do Atlântico Sul AAS 5 Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell 21 Introdução A primeira equação de Maxwell diz respeito à existência de carga elétrica E 4πCe ρ Ce 1 4πϵ0 21 A divergência E do campo elétrico E é proporcional à densidade ρ de carga elétrica em cada posição num determinado tempo Aqui tanto o campo vetorial E como o campo esca lar ρ podem ser considerados dependentes de quatro variáveis três delas identicando uma posição espacial tridimensional e a quarta identicando um momento no tempo Veremos mais adiante que a Relatividade Especial unica posição e tempo formando o espaçotempo quadridimensional A seguir partindo da lei de Coulomb estabelecendo a força entre cargas elétricas intro duzindo a noção de campo elétrico associado à fonte bem como introduzindo os conceitos de potencial elétrico e energia elétrica chegaremos à primeira equação de Maxwell na forma 21 Para tal precisaremos dos conceitos de circuitação ou circulação e de uxo de um campo vetorial O lema de Gauss a respeito do uxo de campos vetoriais com uma simetria radial e inversamente proporcionais ao inverso do quadrado da distância será a ponte entre a lei de Coulomb e a primeira equação de Maxwell 22 O campo elétrico O campo elétrico E é responsável pela força elétrica entre cargas elétricas descoberta por Coulomb em 1785 Postulase hoje a existência de cargas elétricas de dois tipos positiva e negativa com valores absolutos sempre como múltiplos inteiros da carga eletrônica 6 Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell 22 O campo elétrico em módulo e conservadas Estas cargas elétricas estão presentes em elétrons e prótons constituintes de átomos juntamente com nêutrons que não possuem cargas elétricas Por razões históricas o próton tem carga positiva e o elétron tem carga negativa Ambos próton e elétron têm a mesma intensidade da carga e 1 602 1019 C O modelo básico é o campo elétrico E criado por uma carga fonte pontual Q E Err ˆr Err Ce Q r2 22 onde Ce é a constante elétrica Ce 1 4πϵ0 ϵ0 8 854 1012 C2 Nm2 SI 23 Valores medidos no vácuo Note que o campo vetorial em 22 tem simetria esférica ele é sempre radial e seu módulo é o mesmo sobre a casca esférica de raio r Portanto o uso de coordenadas esféricas r θ φ Com a carga fonte Q na origem de um sistema de coordenadas cartesiano ortonormal a distância radial r é o módulo do vetor posição r r xˆi y ˆj z ˆk r2 r2 r r x2 y2 z2 24 O que faz um campo elétrico Ele cria uma força mensurável numa carga teste q F q E 25 Esta é a força elétrica a qual dene a ação do campo elétrico A força elétrica entre cargas elétricas Q e q separadas por uma distância r foi descoberta por Coulomb em 1785 F Ce qQ r2 ˆr 26 Note a semelhança com a força gravitacional proposta por Newton quase um século antes A diferença básica é que somente existe um tipo de carga gravitacional positiva denominada de massa A força elétrica de Coulomb é atrativa para cargas com sinais diferentes e repulsiva para cargas de mesmo sinal Consequentemente da Eq 25 as unidades de campo elétrico no sistema internacional SI são as mesmas unidades de força Newton por carga elétrica Coulomb rebatizadas de Volt por metro NCVm O Volt uma homenagem a Alessandro Volta 1799 inventor das modernas baterias elétricas é a unidade de potencial elétrico no SI como veremos adiante Como exemplo considere o campo elétrico criado por um próton carga elétrica Q e O campo elétrico a uma distância de 0 5 Å um Angstrom Å equivale a 1010 m tem a 7 22 O campo elétrico Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell intensidade de 5759 1011 Vm Um elétron de carga q e colocado nesta distância sofre uma força atrativa de intensidade 9226 108 N Este é o modelo básico clássico do átomo de hidrogênio Havendo várias cargas fontes pontuais Qi i N localizadas pelo vetor posição vecri o campo elétrico resultante na posição vecr veja a Figura 21 para visualizar estes dois vetores posição será a soma vetorial de cada campo elétrico individual vecEvecr sumi1N vecEivecr Ce sumi1N fracQi vecr vecrivecr vecri3 27 Esta superposição de campos individuais somente é possível porque a carga ponto pontual entra de forma linear na definição 22 de campo elétrico correspondente O sinal no numerador é decidido impondo que a força qvecE numa carga teste q é atrativa para cargas de mesmo sinal e repulsiva para cargas de sinais opostos Exercício 1 Considere um sistema neutro formado por uma carga positiva Q1 2e e outras duas negativas Q2 e e Q3 e colocadas fixas nos vértices de um triângulo equilátero de lado a 1 Å Calcule o vetor força resultante numa carga teste colocada no centro desse triângulo Sugestão use a soma vetorial em 27 com o vetor posição vecr dado pelas coordenadas do centro do triângulo Use o sistema de coordenadas que simplifique suas expressões Até agora temos considerado um sistema discreto de cargas pontuais Uma situação igualmente interessante surge quando uma determinada região é preenchida por cargas elétricas segundo alguma função densidade dada rho rhox y z A densidade pode ser volumétrica carga por volume dQdV superficial carga por área dQdA ou linear carga por comprimento dQdl Estamos assumindo que esta distribuição de cargas seja contínua podendo variar suavemente na posição mas fixa no tempo A carga total Q num volume V é dada por uma integral múltipla sobre toda a região contendo cargas Q intV rho dV 28 Em geral o elemento de volume também é uma função da posição Em coordenadas cartesianas ele é da forma dV dxdydz constante No entanto em coordenadas esféricas com simetria radial ele é dependente da coordenada radial dV 4pi r2 dr Observe que a integração em r desse volume infinitesimal nos dá o volume de uma esfera de raio r V frac43pi r3 O campo elétrico resultante vecEvecr na posição da carga teste q mostrada na Figura 21 é a superposição linear de todos os campos infinitesimais criados pelo elemento de carga Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell 23 O potencial escalar infinitesimal dQ ocupando um volume dV na posição vecu vecE Ce intV dQ fracvecr vecuvecr vecu3 Ce intV rhovecudVvecu fracvecr vecuvecr vecu3 29 A integração é feita apenas na região contendo cargas cujos pontos são descritos pelo vetor posição vecu Após a integração nas coordenadas do vetor vecu restará um campo vetorial dependente das coordenadas do vetor posição vecr onde uma carga teste q pode ser colocada Por mais interessante que seja este exercício de integração múltipla usaremos uma outra forma bem mais simples devida a Gauss de calcular o campo elétrico de uma distribuição contínua de cargas A restrição é que tais distribuições precisam apresentar formas altamente simétricas como esferas e cilindros Figura 21 Sistema inercial de coordenadas mathcalO O vetor posição vecu varre a região do volume V O vetor posição vecr especifica a posição da carga teste q 23 O potencial escalar Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell Este é o trabalho específico para sair do ponto a e chegar ao ponto b numa trajetória representada na forma paramétrica pelo vetor posição vecr do objeto em movimento sob a ação da força resultante produzida pelo campo vetorial vecE Trabalho específico é essencialmente a soma das projeções do campo vetorial vecE sobre as direções tangentes dvecr vecr x hati y hatj z hatk dvecr dx hati dy hatj dz hatk 211 Em princípio a integral de caminho 210 depende da trajetória unindo os pontos a e b No entanto existem certos campos vetoriais especiais para os quais a integral de caminho 210 não depende da trajetória unindo os pontos a e b Esta foi uma descoberta que permaneceu escondida por muitos séculos Se a integral de caminho 210 não depende da trajetória então o trabalho na ida de a para b por qualquer trajetória dever ser menos o trabalho na volta de b para a por qualquer trajetória Ou seja o trabalho desses campos vetoriais especiais numa trajetória fechada é nulo Delta W ointab vecE cdot dvecr 0 212 Quando o trabalho numa trajetória fechada é nulo o campo vetorial vecE é denominado de campo vetorial conservativo Como mostrado na Sec D2 um campo conservativo vecE é derivado teorema de um campo escalar varphi verifique vecE abla varphi 213 onde o sinal negativo foi introduzido por conveniência O campo escalar varphi é denominado de potencial escalar ou simplesmente potencial elétrico em Eletromagnetismo Desta forma como mostrado na Sec D2 introduzindo 213 na definição 210 de trabalho específico temos verifique Delta w intab vecE cdot dvecr Delta varphi 214 Como essa integral de caminho não depende da trajetória o ponto inicial pode ser fixado por alguma conveniência e o ponto final b pode ser escolhido livremente como uma posição qualquer vecr Isto torna o potencial escalar varphi num campo escalar varphivecr varphivecr int vecE cdot dvecr 215 Assim o potencial escalar estará definida a menos de uma constante arbitrária a qual poderá ser escolhida por conveniência por exemplo escolhendo o valor do potencial numa Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell 23 O potencial escalar 23 O potencial escalar Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell 24 A energia potencial 25 Gauss Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell requer muito trabalho manual No entanto quando tais distribuições contínuas de cargas apresentam formas simétricas como esferas cilindros e planos innitos o uso do lema de Gauss torna o cálculo do campo elétrico muito simples Gauss não estava interessado em Eletromagnetismo Gauss estava interessado em uxo e simetrias O título lei de Gauss é um exagero mas pegou Na realidade não existe uma lei de Gauss para o Eletromagnetismo Acontece que a lei de Coulomb pode ser reescrita numa forma muito inspiradora usando um lema e um teorema atribuídos a Gauss Os trabalhos de Gauss em 1813 sobre Geometria deu uma excelente contribuição ao Ele tromagnetismo sintetizado pelas equações de Maxwell de 1861 A essência desta contribuição de Gauss conhecida por lei de Gauss é a relação entre o uxo do campo elétrico com suas cargas fonte válida somente para campos com uma dependência exata com o inverso do qua drado exatamente da distância Os conceitos de ângulo sólido e uxo são fundamentais 251 Ângulo sólido a Ângulo sólido no plano b Ângulo sólido no espaço Figura 23 Geometria de um ângulo sólido campo de visão propiciado pelo cone no plano a e no espaço tridimensional b Considere a circunferência C de raio r mostrada na Figura 23a O arco compreendido pelo ângulo dθ tem comprimento dl r dθ Denominase de ângulo sólido dΩ o ângulo subentendido pelo arco de comprimento dl denido por dΩ ˆr dl r dl dl ˆn ˆr r r 223 14 Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell 25 Gauss onde o versor n é perpendicular ao arco infinitesimal dl Considerando o arco infinitesimal dl sobre a circunferência C de raio r então os versores n e r são paralelos e o ângulo sólido em 223 pode ser simplificado dΩ r dl r r n rdθ r dθ 224 Assim o ângulo sólido dΩ no plano coincide com o ângulo polar dθ subtendido pelo arco de comprimento infinitesimal dl Portanto o ângulo sólido compreendido pela circunferência C é Ω 2π Meia circunferência corresponde ao ângulo sólido π Podemos dizer que o ângulo sólido é o nosso campo de visão no plano onde podemos enxergar apenas pontos e curvas Se meu ângulo sólido é π então somente posso enxergar metade de uma circunferência em minha volta Note que o ângulo sólido não depende do raio da circunferência usada De fato o produto escalar na definição 223 garante o uso de qualquer curva como a curva C na Figura 23a na definição do ângulo sólido O ângulo sólido total também depende da posição da origem do sistema de coordenadas dentro da região delimitada pela curva fechada De qualquer ponto no interior de uma curva fechada qualquer sempre veremos um ângulo sólido total de 2π A generalização do ângulo sólido 223 para o espaço tridimensional é dΩ r da r² da da n r r r 225 onde o versor n é perpendicular à área infinitesimal da O ângulo sólido é o campo de visão propiciado pelo interior do cone mostrado na Figura 23b com o vértice na origem Considerando uma casca esférica de raio r centrada na origem então os versores n e r são paralelos e o ângulo sólido em 225 pode ser simplificado dΩ r da r² r n r² sin θ dθ dφ r² sin θ dθ dφ 226 onde θ e ϕ são as coordenadas esféricas angulares Quando essas coordenadas angulares variam nos intervalos 0 θ π e 0 ϕ 2π elas descrevem uma casca esférica completa Restringindo θ ao intervalo 0 θ π2 teremos uma meia casca esférica Assim o ângulo sólido total por exemplo pode ser calculado integrando 226 Ω π 0 sin θ dθ 2π 0 dϕ 4π 227 Este resultado indica que o campo de visão do espaço tridimensional é 4π Note que o ângulo 25 Gauss Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell sólido não depende do raio da casca esférica utilizada Além disso como no caso do ângulo sólido no plano o produto escalar em 225 garante que qualquer superfície suave possa ser usada no lugar de uma casca esférica Naturalmente a casca esférica oferece a situação geométrica mais simples O ângulo sólido total também não depende da posição da origem do sistema de coordenadas dentro da região delimitada pela superfície fechada De qualquer posição dentro de qualquer superfície fechada sempre veremos um ângulo sólido total de 4π 252 O lema de Gauss Figura 24 Superfície gaussiana SG envolvendo uma distribuição de cargas contidas num volume V A Figura 24 mostra uma carga total Q distribuída num volume V segundo a densidade ρs O vetor posição s localiza um elemento de carga dq ρsdV ocupando um volume innitesimal dV em relação ao referencial inercial xo O Imagine uma superfície fechada de área total A envolvendo esta distribuição de cargas Esta superfície fechada é denomi nada de superfície gaussiana SG Imagine também um elemento de área da nesta superfície gaussiana localizado pelo vetor posição r em relação ao mesmo referencial inercial O Esse 16 Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell 25 Gauss elemento de área compreende o ângulo sólido dΩ u da u² u r s 228 Note que o ângulo sólido compreendido pela superfície gaussiana fechada SG é sempre 4π independentemente da posição do elemento de carga dq desde que SG contenha a distribuição de cargas completamente O ângulo sólido não depende da origem do sistema de coordenadas utilizado Uma distribuição de cargas produz um campo elétrico em todo o espaço O fluxo desse campo elétrico através da superfície gaussiana SG é Φ SG Er da 229 Veja a Sec D3 para ver a definição de fluxo e seu significado O campo elétrico Er na posição r é a soma de todas as contribuições dos elementos de carga dq dentro da distribuição Er Ce Q u u² Ce V ρs u u² u r s dq ρsdV 230 Substituindo esta expressão do campo elétrico resultante no fluxo 231 temos Φ SG Er da Ce V ρs dV SG u da u² 231 Note a presença do ângulo sólido total na integral sobre a superfície gaussiana o qual não depende da origem do vetor u dentro da distribuição de cargas a qual está no interior da superfície gaussiana Desta forma a integral na superfície gaussiana pode ser efetuada e seu valor será sempre 4π o ângulo sólido tridimensional total sempre que a superfície gaussiana for fechada Φ SG Er da 4πCeQ Q V ρ dV 232 25 Gauss Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell Note que se a dependência do campo vetorial com a posição não fosse exatamente o inverso do quadrado não teríamos a presença do ângulo sólido tridimensional e não teríamos este resultado surpreendente Ou seja o Lema de Gauss é uma consequência da Lei de Coulomb Como veremos em seguida o lema de Gauss 233 é muito útil para calcular campos elétricos de distribuições com simetrias A arte consiste em escolher adequadamente a superfície gaussiana O lema de Gauss proporciona a construção de um dispositivo de proteção a aparelhos eletrônicos Esse lema estabelece que somente haverá um campo elétrico se houver uma carga interna à superfície gaussiana Portanto uma cavidade construída de metal que possui cargas livres elétrons é uma distribuição de cargas concentradas apenas na superfície Assim não haverá campo elétrico no seu interior uma vez que não há cargas no interior Esse dispositivo é conhecido por gaola de Faraday presente em todo equipamento eletrônico moderno O interior da gaola de Faraday blinda campos elétricos externos protegendo assim equipamentos eletrônicos sensíveis 253 O teorema de Gauss Ao calcular o fluxo Φ de um campo vetorial E um teorema atribuído a Gauss permite passar a integral de superfície para uma integral de volume numa região contida completamente dentro da superfície gaussiana SG escolhida para calcular o fluxo Φ SG E da V E dV 234 Use o lema de Gauss 233 com a carga total escrita em termos de sua integral de volume Φ 4πCe V ρ dV V E dV 235 Compare os dois lados na última igualdade A conclusão é imediata a divergência do campo elétrico é proporcional à densidade de carga elétrica E 4πCeρ 236 O divergente é um equipamento para se detectar cargas fontes num dado ponto do espaço Recapitulando o lema de Gauss 233 é uma consequência da lei de Coulomb para o campo elétrico varia exatamente com o inverso do quadrado da distância da carga fonte o teorema de Gauss 234 implica na primeira equação de Maxwell 236 Até parece que os personagens Coulomb Gauss e Maxwell mesmo separados pelo tempo e pelo espaço combinaram esses lances com a nossa natureza e a Matemática É interessante escrever o campo elétrico vecE em termos do potencial elétrico phi vecE ablaphi como estabelecido na Sec 23 e substituir na primeira equação de Maxwell abla cdot vecE abla2phi 4pi Cerho Rightarrow abla2phi 4pi Cerho Este resultado é conhecido por equação de Poisson O operador abla2 vec abla cdot vec abla é conhecido por laplaciano A equação de Poisson reduzse à equação de Laplace na ausência de cargas fonte rho 0 Uma vez que o campo escalar densaidade rho é dado conhecido a equação de Poisson tornase uma equação diferencial para o potencial escalar phi 26 Casos de estudos Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell parecidas exceto pelas intensidades e diferem de zero somente numa vizinhança pequena onde estão as cargas As cargas negativas estão nas regiões negativas do eixo Z a Potencial elétrico b Densidade de cargas Figura 25 Superfícies representando o potencial elétrico a e a densidade de cargas carga por área b correspondente para o toy model 238 As linhas de campo estão mostradas na Figura 26 O pano de fundo nestas guras é a vista superior do potencial elétrico a e da densidade de cargas b Esta vista superior é conhecida por mapa de densidade de uma determinada superfície Compare com a Figura 25 Os vetores do campo elétrico são tangentes a estas linhas de campo Observe que as linhas de campos saem da região positiva onde estão as cargas positivas e entram na região negativa onde estão as cargas negativas a Campo elétrico sobre ϕ b Campo elétrico sobre ρ Figura 26 Linhas de campo do campo elétrico sobre os mapas de densidade do potencial elétrico a e da densidade de cargas b para o toy model 238 20 Vamos considerar um potencial elétrico fictício dado por phix y 4xy ex2y2 em algum sistema de unidades conveniente Esse potencial fictício é uma superfície que pode ser vista Vale lembrar que o potencial elétrico dá uma energia potencial elétrica U qphi a uma carga teste q colocada na posição x y O campo elétrico correspondente é vecE ablaphi left fracpartialphipartial x fracpartialphipartial y right 4ex2y2 left y2x2 1 x2y2 1 right Vale lembrar que o campo elétrico é responsável pela força elétrica vecF qvecE numa carga teste q colocada na posição xy A divergência deste campo elétrico é um campo escalar suave nãonulo rhoxy vec abla cdot vecE left fracpartial2phipartial x2 fracpartial2phipartial y2 right 16xyx2 y2 3ex2y2 Esse campo escalar representa a densidade de cargas cargas por unidade de área neste caso Vale lembrar que estas cargas criam o potencial elétrico Note também que a divergência 240 é equivalente a equação de Poisson 237 Foi por isso que a divergência 240 foi batizada de rho equivalente a fazermos 4pi Ce 1 237 26 Casos de estudos Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell Figura 27 Superfícies equipotenciais do potencial elétrico de duas cargas de mesma inten sidade e sinais opostos esferas menores em x 10 O campo elétrico correspondente é derivado literalmente do potencial elétrico 242 Ex y z CeQ ϕx y z CeQ f g h 244 onde as três funções f g e h são verique fx y z x a x a2 y2 z232 x a x a2 y2 z232 245a gx y z y x a2 y2 z232 y x a2 y2 z232 245b hx y z z x a2 y2 z232 z x a2 y2 z232 245c Por denição o campo elétrico 244 prega na posição x y z o vetor f g h cujas componentes são dadas pelas funções em 245 A Figura 28 mostra esses vetores alguns deles Note que o campo elétrico representado pelos vetores na Figura 28 saem da carga negativa menor esfera vermelha em x 10 e entram na carga positiva menor esfera azul em x 10 Esses vetores são perpendiculares às superfícies equipotenciais A divergência do campo elétrico é proporcional à densidade de cargas um campo escalar 22 Para duas cargas Q1 e Q2 o potencial elétrico resulta da soma dos potenciais individuais phix y z Ce left fracQ1sqrtx ux2 y uy2 z uz2 fracQ2sqrtx vx2 y vy2 z vz2 right onde vecu ux uy uz é o vetor posição da carga Q1 e vecv vx vy vz é a posição da carga Q2 Note que as coordenadas cartesianas são as mais adequadas pois este potencial resultante não apresenta a mesma simetria esférica dos potenciais individuais 26 Casos de estudos Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell onde as três funções f g e h são verique fx y z 2x a x a2 y2 z232 x a x a2 y2 z232 248a gx y z 2y x a2 y2 z232 y x a2 y2 z232 248b hx y z 2z x a2 y2 z232 z x a2 y2 z232 248c a Equipotenciais b Campo elétrico Figura 29 Superfícies equipotenciais a e campo elétrico b de duas cargas de sinais opostos e intensidades na razão 2 1 As Figuras 29 e 210 mostram as superfícies equipotenciais a e o campo elétrico b correspondente Estas guras diferem apenas pelo campo de visão ampliado na Figura 210 Nitidamente as superfícies equipotenciais tendem a se fecharem sobre a carga de maior intensidade em x 10 Observando de muito longe iremos perceber uma carga positiva de intensidade Q Todos os cortes vistos nas superfícies equipotenciais são devidos às limitações das varia ções das coordenadas x y z aos intervalos mostrados em cada eixo Permitindo intervalos maiores todas as superfícies se fecham 263 Esfera A região hachurada de azul na Figura 211 mostra uma esfera de raio R contendo uma carga total Q distribuída segundo uma densidade de cargas carga por volume ρ denida 24 Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell 26 Casos de estudos 26 Casos de estudos Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell é verifique Q ρ dq ρ dV αβ αγR⁴ ρ αr 26 Casos de estudos Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell pois ela é equivalente a uma carga pontual Esse resultado vale sempre em todo o espaço somente para uma distribuição esférica com simetria radial devido à hipótese que fizemos sobre a forma radial do campo elétrico Como o campo gravitacional é da mesma forma Newton não precisou se preocupar literalmente com a forma extensa de planetas e estrelas Infelizmente não conhecemos a forma geométrica de elétrons e prótons Sabemos apenas que seus campos elétricos em posições distantes são idênticos aos campos produzidos por cargas pontuais Para um ponto de observação no interior da distribuição r R o fluxo é o mesmo calculado em 257 com a carga total Q trocada pela carga interna Qi à nova superfície gaussiana verifique Qi ρ0 4π 3 r3 Q r R 3 260 onde consideramos constante a densidade de cargas ρ ρ0 Note que as cargas que estão fora da superfície gaussiana não contribuem para o campo elétrico Portanto a componente radial do campo elétrico no interior da distribuição é Err Ce Qi r2 CeQ r R 3 r R 261 Esse campo é linear na coordenada radial Ele tem a mesma forma do campo correspondente em um oscilador harmônico sistema massamola A força elétrica correspondente é idêntica à força exercida numa pequena massa presa em uma mola obedecendo à lei de Hooke Ela produz um movimento oscilatório Note que os campos 259 externo e 261 interno possuem o mesmo valor em r R a superfície da distribuição de cargas Considerando uma densidade linear na distância radial ρ α r a carga interna Qi de acordo com 254 muda para Qi απr4 Q r R 4 262 Neste caso o campo elétrico é Err Ce Qi r2 CeQ r2 R4 r R 263 Novamente notamos que os campos 259 externo e 263 interno possuem o mesmo valor em r R a superfície da distribuição de cargas Dada a simetria esférica do campo elétrico é imediato calcular o potencial elétrico correspondente usando a prescrição 215 Para o exterior r R temos φr E dr CeQ rdr r3 CeQ r1 c1 r R 264 Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell 26 Casos de estudos Note que escolhemos uma trajetória retilínea porque o campo elétrico é conservativo portanto qualquer trajetória serve Por comodidade vamos escolher a constante c1 0 para anular o potencial no infinito No interior da distribuição densidade constante o potencial elétrico é φr E dr CeQ rdr r3 CeQ r2 2R3 c2 r R 265 A constante c2 pode ser usada para garantir que os potenciais externo e interno tenham o mesmo valor em r R ou seja c2 CeQ 3 2R 266 Vale observar que a forma do potencial no interior da distribuição depende da forma da densidade de cargas Para a densidade linear o potencial muda φr E dr CeQ r2dr r4 CeQ r3 3R4 c2 r R 267 Impondo o mesmo valor dos potenciais em r R a constante c2 é c2 CeQ 4 3R 268 Para finalizar podemos verificar que a primeira equação de Maxwell é satisfeita pelos campos elétricos obtidos Considerando campos com simetria esférica da forma E Err r o divergente em coordenadas esféricas pode ser escrito como E 1 r2 r r2Er 4πCeρ 269 Note a sutileza de ter a componente radial do campo elétrico Er multiplicada por r2 antes que a derivada seja executada É esta sutileza que torna possível o cumprimento da primeira equação de Maxwell fora da distribuição com a componente radial do campo elétrico dada por 259 E 1 r2 r CeQr3 3CeQ 4πCeρ r R 271 com a componente radial do campo elétrico dada por 261 e E 1 r2 r CeQr4R4 CeQ 4r R4 4πCeρ r R 272 26 Casos de estudos Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell onde usamos a componente radial do campo elétrico dada por 263 As expressões dos potenciais e das respectivas componentes radiais dos campos elétricos podem ser melhor analisadas construindo seus grácos A Figura 212 mostra os grácos dos potenciais 265 e 267 internos à distribuição e o potencial externo 264 Por comodi dade zemos R 1 e CeQ 1 em unidades convenientes Podemos notar que as escolhas das constantes tornaram os potenciais em funções suaves em toda a região 0 r No entanto a superfície da distribuição esférica R 1 é um ponto de inexão Figura 212 Potenciais elétricos de uma distribuição esférica de cargas elétricas de raio R 1 em unidades convenientes A Figura 213 mostra os grácos das componentes radiais dos campos elétricos de uma distribuição esférica de cargas elétricas dadas em 259 para a região externa e em 261 densidade constante e 263 densidade linear para a região interna Estas curvas repre sentando os campos elétricos são as derivadas a menos de um sinal das curvas mostradas na Figura 212 Note que estas curvas representando os campos elétricos têm suas derivadas descontínuas na superfície da distribuição esférica R 1 264 Cilindro Considere uma distribuição de cargas na forma de uma cilindro maciço de base circular de raio R Seja l o comprimento desse cilindro retilíneo Podemo usar a Figura 211 para mostrar um corte transversal dessa distribuição cilíndrica Vamos considerar uma densidade 30 Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell 26 Casos de estudos Figura 213 Componentes radiais dos campos elétricos de uma distribuição esférica de cargas elétricas de raio R 1 em unidades convenientes constante de cargas ρ ρ0 Assim a carga total é verifique Q V ρdV ρ0 2π ϕ0 π θ0 R r0 l z0 rdr l dz πR2 lρ0 273 Como veremos a densidade linear de cargas carga por unidade de comprimento λ0 Q l πR2ρ0 274 será uma quantidade importante a qual nos permitirá dispensar o comprimento desse cilindro Isso é importante para observamos o limite em que o comprimento do cilindro é muito maior que seu diâmetro l R Essa condição corresponde a um fio infinito de cargas com carga total Q e uma densidade linear de cargas constante λ0 Como a densidade de cargas é constante e a distribuição tem simetria cilíndrica esperase que o campo elétrico também exiba essa simetria cilíndrica E Err r onde o vetor r é perpendicular à lateral do cilindro e r é a distância radial até o eixo central do cilindro conforme indicado na Figura 211 As superfícies gaussianas SG apropriadas são cascas cilíndricas concêntricas de raio r fechadas interna e externamente à 26 Casos de estudos Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell Fora da distribuição temos verifique φr E dr 2λ0Ce dr r 2λ0Ce ln r c2 r R 282 simetria esperase que o campo elétrico seja perpendicular ao plano de cargas E Ezz k se z 0 0 se z 0 Ezz k se z 0 285 Capítulo 2 Primeira equação de Maxwell 26 Casos de estudos Figura 215 Distribuição planar de cargas com uma densidade supercial σ0 constante e superfície gaussiana SG Este resultado aparentemente singelo tem uma aplicação prática muito importante Arranjando dois planos de cargas com densidades superciais de sinais opostos e mesma intensidade colocadas de forma paralela separadas por uma distância l o campo elétrico resultante será nãonulo somente na região entre os planos de cargas ou placas Este arranjo é a base de um componente elétrico básico denominado de capacitor 35 Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell 31 Introdução Diferentemente do campo elétrico o qual é oriundo de uma carga elétrica fonte nunca se observou a existência de uma carga magnética fonte Desta forma temos a segunda equação de Maxwell B 0 31 pois o divergente de um campo vetorial indica a presença de uma carga fonte Aprendemos que a divergência indica a densidade de carga fonte aplicando o teorema de Gauss à lei de Coulomb Eq 236 Como cargas magnéticas não existem o divergente do campo magnético B deve ser nulo E o que faz o campo magnético B E se exixtisse carga magnética 32 O campo magnético 321 Sem carga magnética Como o campo elétrico E o campo magnético B pode ser denido pela sua ação em uma carga teste q F q v B 32 conhecida como força de Lorentz 1895 mas identicada por Maxwell já em 1861 Esta força magnética apresenta duas características inexistentes na força elétrica F q E i ela é um pseudovetor devido ao produto vetorial e ii ela é dependente da velocidade da carga teste Um pseudovetor resultante de um produto vetorial não inverte seu sentido quando o sentido de cada vetor no produto vetorial é invertido Da mesma forma o número resultante de um produto escalar é um pseudoescalar Os produtos escalar e vetorial são operações 36 Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell 32 O campo magnético binárias entre vetores As dimensões do campo magnético barB são barB left frac barF q barv right fracMQ T No sistema internacional SI de unidades temos kgCsT Tesla como unidades para o campo magnético A unidade Tesla é uma homenagem a Nikola Tesla E se existisse carga magnética 322 Com carga magnética Suponha que além da carga elétrica Qe exista também a carga magnética Qm como fonte pontual de um campo magnético obedecendo a lei de Coulomb no vazio barB Cm fracQmr2 hatr Cm fracmu04pi fracCeCm frac1mu0epsilon0 c2 onde Cm é a constante magnética mu0 é a permeabilidade do vácuo e epsilon0 é a permissividade do vácuo e c a velocidade da luz também no vácuo Naturalmente esse campo magnético é derivado de um potencial magnético verifique barB abla imes barX chi Cm fracQmr r eq 0 Até aqui tudo similar ao campo elétrico Como no caso elétrico o divergente do campo magnético deve ser proporcional à densidade de carga magnética Não fizemos isso para o campo elétrico de uma carga pontual mas faremos aqui Existe uma forma matemática elegante de definir uma densidade para uma carga pontual apesar da carga pontual ocupar um volume nulo O preço é usar uma distribuição conhecida por delta de Dirac em homenagem a Paul Dirac A definição de uma distribuição é apresentada no Apêndice C A característica principal da distribuição delta de Dirac deltar 0 ou simplesmente deltar é ter um valor nulo em todo o espaço exceto na origem r 0 Na origem r 0 ela tende ao infinito A distribuição delta de Dirac não é uma função pelo menos do tipo ordinário Usando esta distribuição delta de Dirac a densidade de uma carga pontual pode ser escrita assim rhom Qm deltar A distribuição delta de Dirac deltar tem as mesmas dimensões de inverso de volume 37 33 O potencial vetor Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell 33 O potencial vetor A divergência do campo magnético 35 abla cdot barB abla2 chi 4pi Cm rhom é proporcional à densidade de carga magnética pontual como esperado verifique Vale o mesmo procedimento para o campo elétrico O Apêndice C apresenta um exercício mostrando que o laplaciano do potencial 1r é uma distribuição delta de Dirac abla2 frac1r 4pi deltar O fluxo Phi deste campo magnético produzido por uma carga pontual com simetria radial é calculado facilmente usando uma superfície gaussiana esférica S1 centrada na origem e o teorema de Gauss 234 Phi intS1 barB cdot dbara intS2 abla cdot barB dV 4pi Cm Qm onde S2 é a esfera contendo a superfície esférica S1 como borda e escrevemos o divergente do campo magnético em termos da delta de Dirac deltar como em 37 A integração no volume S2 é feita usando a definição C1 de uma distribuição verifique Vale o mesmo procedimento para o campo elétrico Concluímos assim que uma possível existência da carga magnética seguindo a lei de Coulomb dada em 34 representa um cenário completamente similar ao campo elétrico sugerindo uma força magnética do tipo qmbarB onde qm é uma carga magnética teste O problema é que sabemos da existência da força de Lorentz 32 a qual é dependente da velocidade do corpo teste Portanto apesar do apelo matemático este cenário similar ao campo elétrico está descartado Exercício 2 Detalhe cuidadosamente cada uma das situações especificados por verifique 331 Sem carga magnética A segunda equação de Maxwell 31 tem uma solução imediata verifique abla cdot barB 0 Rightarrow barB abla imes barA 38 Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell 33 O potencial vetor O campo vetorial barA é conhecido como potencial vetor Vale observar que esta solução deixa de ser válida se o potencial vetor apresentar uma singularidade em alguma região espacial Um potencial vetor satisfazendo 310 é dito regular O potencial vetor desempenha um papel similar ao potencial escalar phi tal que barE abla phi Note que os potenciais phi elétrico e barA magnético dão origem aos campos vetoriais barE elétrico e barB magnético via gradiente e rotacional respectivamente Naturalmente estes potenciais estão definidos a menos de uma constante arbitrária pelo menos até o momento Vale ressaltar que esta solução em termos de um potencial vetor via rotacional é válida somente na ausência de cargas magnéticas Na presença de cargas magnéticas o divergente do campo magnético não será nulo Exercício 3 Detalhe cuidadosamente cada uma das situações especificados por verifique 332 Com carga magnética Supondo a existência da carga magnética quem será o potencial vetor barA que dará origem ao campo magnético barB via rotacional barB abla imes barA Não podemos mais usar um potencial vetor regular pois abla cdot barA 0 neste caso que fornece um fluxo nulo sempre Uma contradição como esta é fruto típico da árvore de singularidades e indica que o potencial vetor desse campo magnético deve ser irregular singular em alguma região Como o campo magnético possui simetria esférica ou radial esperamos que a forma do potencial vetor deve apresentar também algum tipo de simetria além de uma irregularidade singularidade necessária Dirac escolheu um potencial azimutal simetria em torno do eixo Z barA Aphi hatephi Justificativas Talvez Pauli pudesse têlas enunciadas Dirac não precisava delas Com esta escolha abla imes barA frac1rleft Aphi cos heta sin heta fracpartial Aphipartial hetarighthater left fracAphir fracpartial Aphipartial rrighthate heta em coordenadas esféricas verifique ou abla imes barA fracpartial Aphipartial z hatephi left fracAphir fracpartial Aphipartial rhorighthatek em coordenadas cilíndricas verifique Requerendo que abla imes barA barB então temos duas equações diferenciais verifique para resolver cuja solução geral é Aphi Cm Qm fphi fraccos hetar sin heta 39 para as coordenadas esféricas verifique e Aφ CmQm ρ fφ z ρ² z² 315 para as coordenadas cilíndricas verifique onde fφ é uma função arbitrária Que critérios adicionais poderíamos usar para determinar esta função arbitrária Por exemplo escolhendo f 1 o potencial vetor apresenta uma irregularidade diverge nos semieixos ρ 0 r z z 0 θ 0 e z 0 θ π respectivamente As coordenadas cilíndricas parecem mais adequadas para percebermos tais irregularidades verifique Aqui a hipótese básica é de que o campo magnético é derivado de um potencial vetor via o rotacional B A Esta hipótese implica em um potencial vetor singular A divergência deste campo magnético leva ao laplaciano deste potencial vetor singular que terá o comportamento de uma distribuição Esta situação é similar à definição da densidade de carga pontual 36 via a distribuição delta de Dirac definida num ponto Aqui teremos de usar uma distribuição definida numa reta Em breve Exercício 4 Detalhe cuidadosamente cada uma das situações especificados por verifique Podemos definir localmente corrente elétrica como carga por unidade de tempo dI lim Δt0 nΔV Q Δt ρu da 316 Melhor ainda como veremos mais adiante é introduzir o campo vetorial densidade de corrente J de modo a obtemos uma corrente total I passando por uma área A como o fluxo dessa densidade de corrente I A J da J ρu 317 A unidade de corrente elétrica no Sistema Internacional SI é o Ampere ACs Isto faz com que a unidade de densidade de corrente seja Am² corrente por área O campo vetorial densidade de corrente J e o campo escalar densidade de cargas ρ estão intimamente relacionados Para sabermos como temos de introduzir um princípio ou postulado carga elétrica é conservada Considere uma carga total Q saindo ou entrando de uma região de volume V na forma de uma corrente I dQdt Considere uma superfície fechada de área A contendo o volume V A carga dQ ρ dV que sai desse volume V precisa atravessar a superfície A que o contém como mostrado na Figura 31b Assim usando a definição de corrente elétrica e o princípio da conservação da carga ou da corrente elétrica temos I A J da dQ dt d dt V ρ dV 318 O sinal negativa indica que a carga está saindo da região Podemos usar o teorema de Gauss 234 para passar a integral na superfície A para a integral no volume V contido dentro desta superfície A A J da V JdV d dt V ρ dV J dp dt 0 319 Esta última equação é conhecida por equação da continuidade Ela relaciona a variação temporal do campo escalar densidade de carga ρ com a variação espacial divergente do campo vetorial densidade de corrente J Ela afirma localmente a conservação da carga a carga que sai de uma região sai na forma de uma corrente Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell 35 Casos de estudos analogia exibindo o conceito de velocidade dos elétrons numa corrente elétrica entre aqui Também veja esta divertida animação bem como esta outra Estaremos considerando aqui a velocidade de sinais Desta forma u e v são próximas à velocidade da luz c Figura 32 Carga teste q em movimento numa vizinhança de um o innito com uma corrente elétrica I O referencial inercial O é solidário ao o O referencial inercial O é solidário instantaneamente à carga teste O referencial inercial O é solidário aos elétrons pontos azuis na corrente elétrica I Os íons pontos vermelhos estão xos no o Temos três referenciais inerciais na Figura 32 com velocidades relativas comparáveis à velocidade da luz Em cada referencial temos experimentalistas que realizam experimentos cuidadosos Imagine você que a natureza possui regras para que as informações destes expe rimentalistas sejam traçadas entre eles Estas regras fazem parte das previsões totalmente inesperadas da teoria da Relatividade Especial RE de Einstein Momento Relatividade Especial 0 A troca de informações entre referenciais inerciais deve ser feita através das Transformações de Lorentz da Relatividade Especial As Transformações de Lorentz TL da RE garantem que as informações anotadas num referencial sejam passadas corretamente para outro referencial inercial As TL atuam com um decodicador de informações No caso de um mesmo experimento sendo realizado em dois referenciais inerciais o nosso e um outro se pudéssemos simplesmente pegar as informações do outro referencial para comparar com as nossas informações vericaríamos que elas são diferentes Após transformarmos via as TL as informações do outro referencial é que vericaremos uma completa concordância Em particular como temos densidades lineares de cargas no o carga por comprimento precisamos saber como as TL processa informações sobre comprimentos entre referenciais inerciais Momento Relatividade Especial 1 A Relatividades Especial de Einstein estabelece que o comprimento próprio L medido na direção do movimento em um referencial inercial em 43 35 Casos de estudos Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell movimento deve ser interpretado no outro referencial como sendo menor pelo fator 1γv isto é vamos o comprimento L em movimento como Lγv onde γv 1 1 β2 v βv v c e v é a intensidade da velocidade relativa entre esses dois referenciais inerciais e c é a velocidade da luz no vácuo Este efeito é conhecido por contração especial Regra o comprimento próprio visto em movimento é sempre o mesmo Essa contração espacial afeta as densidades lineares carga por comprimento Menor a distância vista entre cargas maior a densidade linear Assim toda densidade linear vista em movimento será maior aumentada pelo fator γ A densidade linear de cargas positivas íons fixos pontos vermelhos no fio é λ0 Sendo o fio um condutor neutro a densidade de cargas negativas elétrons em movimento pontos azuis precisa ser λ0 Portanto no referencial inercial O solidário ao fio não há campo elétrico E na região externa ao fio como podemos concluir aplicando a lei de Gauss pois a carga interna à superfície gaussiana SG um cilindro de raio concêntrico com o fio é nula Isto significa que se a carga teste estiver em repouso ela não sentirá qualquer força Mas o que acontecerá com a carga teste caso ela esteja em movimento Antes porém vejamos como é a densidade linear de cargas eletrônicas negativas no referencial O solidário aos elétrons No nosso referencial segundo o Momento Relatividade Especial 1 a densidade linear eletrônica medida no referencial O deve ser vista no referencial O aumentada pelo fator γw onde u é a intensidade da velocidade relativa u u do referencial O em relação ao nosso referencial O No entanto já denominamos esta densidade no nosso referencial por λ0 Assim a densidade eletrônica no referencial O precisa ser λ λ0γu para ao ser multiplicada por γu obtermos λ0 Afinal é λ0 que medimos no nosso referencial O O fator relativístico γu é dado em 320 substituindo v por u Suponha agora que a carga teste q esteja se movimentando em relação ao fio com velocidade u digamos ao longo do eixo horizontal do referencial inercial O solidário ao fio isto é u v i No referencial O solidário à carga teste é o fio que está em movimento no sentido oposto com velocidade u como podemos observar na Figura 32 Como um observador no referencial O vê as densidades lineares positiva íons e negativa elétrons Novamente segundo o Momento Relatividade Especial 1 a contração espacial faz com que a densidade linear positiva medida no referencial O seja multiplicada pelo fator γe ao ser Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell 35 Casos de estudos transcrita para o referencial O λ γv λ0 De forma semelhante no referencial O a densidade linear negativa medida no referencial O dos elétrons é multiplicada pelo fator γw λ γw λ λ0 γwγu onde w é a intensidade da velocidade relativa u dos elétrons em relação ao referencial O solidário à carga teste q O fator relativístico γw é dado em 320 substituindo v por w Devido ao movimento do fio em relação ao referencial O esta velocidade relativa u dos elétrons em relação ao referencial O é uma composição das velocidades relativas u do fio e u dos elétrons Classicamente teríamos u u mas para intensidades comparáveis à rapidez da luz esta regra de composição clássica é alterada pela Relatividade Especial Momento Relatividade Especial 2 A regra de composição de velocidades na Relatividade Especial aplicada aos referenciais que estamos considerando é βw βu βv 1 βuβv 324 para u e u em sentidos opostos e βw βu βv 1 βuβv 325 com u e v no mesmo sentido positivo onde βw w c βv v c βu u c Vale observar que estas leis de composição de velocidades relativísticas obedecem o princípio que a velocidade da luz é uma constante universal Mesmo que v e u sejam iguais à velocidade da luz a composição 325 dará w c verifique Nenhuma velocidade pode ultrapassar a velocidade da luz Interessante também observar que o fator relativístico γw corresponde à velocidade composta w tem a seguinte propriedade verifique γw 1 1 β2 w 1 βuβvγuγv 327 Substituindo o fator relativístico 327 na densidade eletrônica 323 lida no referencial O da carga teste é verifique λ 1 βuβvγv λ0 γv λ0 βuβv γe λ0 328 35 Casos de estudos Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell Desta forma a densidade eletrônica total vista pela carga teste a soma das densidades 322 e 328 não é mais nula λ λ λ λ0βuβvγv 329 Este resultado destaca duas características marcantes 1 a carga teste vê uma densidade linear de cargas nãonula em seu referencial e 2 somente se ela ou o o estiver em mo vimento v 0 e u 0 Se a carga teste vê uma carga elétrica então estará sujeita a uma força elétrica Concluímos que devido à Relatividade Especial a carga teste em movimento sente a presença de um campo elétrico e consequentemente uma força elétrica Figura 33 Carga teste q em movimento numa vizinhança de um o innito com uma corrente elétrica I O referencial inercial O é solidário instantaneamente à carga teste A superfície gaussiana CG é uma casca cilíndrica de raio r com o versor ˆr normal à superfície lateral O campo elétrico na posição da carga teste é o mesmo de um o innito com a densidade linear λ dada em 329 com simetria cilíndrica Assim escolhendo como superfície gaussi ana uma casca cilíndrica de raio r centrada no o como mostrado na Figura 33 podemos usar o resultado encontrado em 278 E E r rˆr E r r 2λCe r 330 Esse é o campo elétrico sentido pela carga teste em movimento em seu próprio referencial Vale sempre lembrar que este campo elétrico é diretamente proporcional à velocidade da 46 Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell 35 Casos de estudos carga teste Se tem campo elétrico tem força elétrica A força elétrica correspondente é F q E F r ˆr F r r 2qλ0Ceγvβvβur r 0 331 Note que é uma força dependente da velocidade e perpendicular à velocidade da carga teste a característica principal de uma força magnética Melhor expressarmos esta força em co ordenadas cartesianas Na posição da carga teste temos ˆr ˆj Assim em coordenadas cartesianas temos F F y ˆj F y 2qλ0Ceγvβvβur r 0 332 Como esta força é vista no nosso referencial O Momento Relatividade Especial 3 A Relatividade Especial de Einstein prevê uma con tração das componentes de forças perpendiculares à direção do movimento Apenas as com ponentes perpendiculares à direção do movimento relativo entre referenciais inercias sofrem uma contração pelo fator relativístico Como regra forças vistas em movimento têm suas componentes perpendiculares reduzidas pelo fator γv onde v é a rapidez do movimento relativo Como a força elétrica 332 na carga teste é perpendicular ao movimento relativo entre os referenciais O e O desta forma de acordo com o Momento Relatividade Especial 3 a força elétrica 332 transcrita do referencial O para o referencial O tem sua componente F y diminuída pelo fator relativístico γv Fy F y γ 2qλ0Ce r βuβv 2Ce c2 qvI r 2CmqvI r 333 onde introduzimos a corrente elétrica I λ0u cλ0βu 334 e a constante magnética via a velocidade da luz c2 CeCm verique Este resultado em 333 pode ser reescrito numa forma vetorial mais interessante verique F q v B v vˆi B 2Cm I r ˆk 335 onde introduzimos o vetor B o qual é campo magnético produzido pela corrente I como veremos mais adiante A força em 335 é a parte magnética da força de Lorentz Isto signica que cargas em movimento correntes são fontes de campos magnéticos A Figura 34 exibe os vetores presentes em 335 e suas orientações relativas ao o conduzindo a corrente I Observe a regra da mão direita no canto superior esquerdo amarrando as direções e 47 35 Casos de estudos Capítulo 3 Segunda equação de Maxwell orientações do campo magnético e corrente Figura 34 Força Lorentz F na carga teste q velocidade v devida ao campo magnético B criado pela corrente elétrica I em um o innito paralelo ao versor ˆi CA é uma circunferência de raio r centrada no o e perpendicular a ele A Figura 34 mostra a corrente I no o retilíneo paralelo ao versor ˆi a qual cria o campo magnético B tangente à circunferência imaginária CA curva amperiana de raio r contida no plano dos versores ˆj e ˆk O sentido do vetor campo magnético é dado pela regra da mão direita o dedão indica o sentido da corrente e o indicador indica o sentido do campo magnético num movimento de rotação em torno do dedão Este campo magnético atua na carga teste q produzindo nela a força de Lorentz F dada em 335 Esse exercício mostra como uma carga elétrica em movimento produz uma força de pendente da velocidade noutra carga elétrica também em movimento Este resultado sur preendente resulta tomando a Relatividade Especial como correta Este resultado tem sido conrmado experimentalmente através da observação de uma força entre duas correntes elé tricas Note em todas as expressões anteriores que a carga teste q é sempre a mesma ou seja estamos escrevendo q para representar a carga teste em qualquer um destes referenciais Podemos fazer graças à Relatividade Especial Momento Relatividade Especial 4 A carga elétrica não é afetada pela Relatividade Especial A carga elétrica é um invariante relativístico 48 Capítulo 4 Indução 41 Introdução Vimos na Seção 351 usando a Relatividade Especial como cargas elétricas em movimento corrente elétrica gera induz um campo magnético em sua vizinhança Do ponto de vista prático este campo magnético produzido por uma corrente elétrica gera uma força numa carga elétrica teste em movimento que pode ser vericada experimentalmente Essa força é idêntica à força de Lorentz já conhecida experimentalmente usando ímãs para gerar campos magnéticos ao invés de correntes elétricas Do ponto de vista da Relatividade Especial se uma carga elétrica em movimento portanto um campo elétrico variando no tempo gera um campo magnético então um campo magnético variando no tempo deve gerar um campo elétrico Em suma no fenômeno da indução um campo de um tipo elétrico ou magnético variando induz o surgimento de um outro tipo de campo magnético ou elétrico Esse fenômeno da indução é um efeito relativístico As relações entre campos variando e campos induzidos estão contidas nas duas últimas equações de Maxwell Vamos contextualizar Maxwell apresentou suas equações em 1861 Einstein nos apre sentou a Relatividade Especial somente em 1905 Portanto o fenômeno da indução foi descoberto experimentalmente antes da Relatividade Especial De fato os efeitos da indu ção eletromagnética foram vericados experimentalmente de forma magistral por Ampère em 1820 e por Faraday em 1821 Embora os efeitos elétricos e magnéticos fossem conheci dos separadamente há milênios coube a Ampère e Faraday mostrar suas interrelações pela primeira vez A Relatividade Especial reforçou estas interrelações 49 42 Ampère Oersted em sala de aula descobriu experimentalmente em 1820 que um fio transportando uma corrente elétrica produzia um campo magnético Ele usou uma bússola para identificar após três anos que este campo magnético era circular ao fio como vimos na Seção 351 Na época definiase campo magnético pela interação com uma bússola Ímãs eram conhecidos há muito tempo e interagiam com bússolas contendo também um ímã Este experimento de Oersted mostrou pela primeira vez uma relação explícita entre os fenômenos elétricos corrente e magnéticos ímãs Uma simulação desse experimento pode ser vista aqui Ampère nasceu em uma família rica e teve sua educação inteiramente em sua casa Tornouse professor de Matemática Física e Química Ainda em 1820 tomou conhecimento do experimento de Oersted e se dedicou a ele com tanto afinco a ponto de traduzilo matematicamente no que chamamos hoje de lei de Ampère cortessíssima para correntes estáticas Infelizmente ele não registrou seus passos nesta empreitada publicou apenas seus resultados de forma completa em 1826 um ano antes de sua morte Ampère chegou a conjecturar cargas elétricas em movimento como a origem de campos magnéticos quase um século antes do advento da Teoria da Relatividade Especial Mais detalhes sobre Ampère podem ser obtidos aqui 421 A lei de Ampère Ampère foi capaz de mostrar que a circulação do campo magnético B de uma corrente elétrica I estática que não varia no tempo em um fio retilíneo circulação em torno desse fio é proporcional à corrente elétrica que ele transporta C B dl 4πCmI Cm µ0 4π 41 Este resultado é válido sempre e é conhecido por lei de Ampère o análogo à lei de Gauss para o campo elétrico A curva fechada sobre a qual a circulação é calculada é a curva amperiana CA ilustrada na Figura 34 Note também nesta mesma figura o uso da regra da mão direita para identificar o sentido da corrente com o dedão e o sentido do campo magnético com o indicador e demais Na Figura 34 o campo magnético de uma corrente elétrica estática em um fio retilíneo é tangente à curva amperiana CA Como a lei de Gauss a lei de Ampère é muito útil em situações onde há simetrias Exercício 5 Como ao usar a lei de Gauss use argumentos de simetria e a lei de Ampère para obter o campo magnético produzido por uma corrente I estática em um fio retilíneo 422 Terceira equação de Maxwell Usando o Teorema 2 podemos estabelecer uma versão local para a lei de Ampère C Bdl A Bda 4πCmI 4πCm A Jda B 4πCmJ 42 onde o campo vetorial densa para campos estáticos independentes do tempo pois verifique 0 B 4πCmJ 4πCm ρt 43 onde ρ é a densidade de cargas elétricas dependente da posição e do tempo 45 obtendo assim a terceira equação de Maxwell 43 Faraday Capítulo 4 Indução educação formal substituída pela necessidade de trabalhar desde muito cedo No entanto isso não o impediu de obter conhecimentos por si mesmo iniciando em Química e terminando no Eletromagnetismo proporcionandolhe títulos honorários e várias premiações além de uma posição como Professor Iniciando em 1821 Faraday meticulosamente realizou uma série de experimentos sobre eletricidade e magnetismo inspirado por Oersted e principalmente por Ampère que resultou na indução eletromagnética base para a geração de energia elétrica a partir de movimento mecânico usina hidrelétrica Recomendo a leitura da Seção 71 de PurcellMorin 1 para perceber a genialidade de Faraday na realização de seus experimentos e conclusões estabelecidas A grandeza de Faraday aumenta ainda mais se levarmos em conta que suas conclusões foram obtidas apenas com base experimental sem o embasamento matemático familiar a Ampère 432 Experimentos A simulação mostrada aqui ilustra as conclusões de Faraday Segure e arraste o ímã aquele com as quatro setas indicadoras de movimento e introduzao dentro da bobina o enrolado na forma circular espiras para induzir uma corrente elétrica no o que acenderá uma lâmpada O sentido e a intensidade da corrente elétrica induzida são indicados pelo medidor de tensão volts Note que é necessário haver movimento do ímã fonte de campo magnético para induzir uma corrente elétrica no o Quanto mais rápido maior a corrente Note que invertendo o sentido do movimento do ímã invertese também o sentido da corrente Experimente Experimente também com o item Linhas de campo ligado para visualizar as linhas de campo do campo magnético criado pelo ímã Essas linhas de campo foram inventadas por Faraday mesmo sem ter os devidos conhecimentos matemáticos sobre campos vetoriais Experimente também com uma bobina com menos espiras quanto mais espiras maior a intensidade da corrente Lei de Faraday a corrente induzida no o depende diretamente da variação do uxo do campo magnético Faraday que não tinha conhecimentos de campos vetoriais inventou suas linhas de campo para chegar a esta conclusão 433 Quarta equação de Maxwell Maxwell 1861 usou os experimentos de Faraday e deu a eles uma interpretação matemática Para criar a corrente no o é necessário uma força agindo nos portadores de carga Seja uma carga q submetida a uma força F movimentandose ao longo de uma curva C Então podemos introduzir um campo elétrico E Fq Denominemos de força eletromotriz 52 por razões históricas o trabalho por unidade de carga E 1q C Fdr C Edr 46 onde dr é o deslocamento infinitesimal tangente à trajetória C da carga q Note que E é um escalar e não um vetor Segundo Maxwell a lei de Faraday pode ser escrita como E dΦdt Φ A Bda 47 onde Φ é o fluxo do campo magnético B através da superfície de área A apoiada em um contorno C por onde movimentam os portadores de carga usando o Teorema 2 podemos estabelecer uma versão local para a lei de Faraday E C Edl A Eda dΦdt ddt A Bda A Btda 48 onde a superfície de área A está inteiramente apoiada no contorno C Esta condição produz a quarta equação de Maxwell E Bt 0 49 Vale lembrar que um campo elétrico dependente do tempo não produz um trabalho nulo numa trajetória fechada ou seja se for dependente do tempo não será conservativo Capítulo 4 Indução 44 Casos de estudos Capítulo 4 Indução 44 Casos de estudos intensidade do vetor densidade de corrente J J ˆi A corrente é o uxo desta densidade de corrente como denido em 317 Esta densidade de corrente é constante na seção reta de área lδ onde δ é a espessura da placa e l a largura da região destacada na Figura 43 Desta forma a corrente nesta faixa destacada é I lδJ J l J δJ 416 onde J é denominada de densidade supercial de corrente O fragmento de reta de com primento l é a área pela qual a densidade supercial de corrente J atravessa da mesma forma que a área lδ é área pela qual a densidade volumétrica de corrente J atravessa A densidade volumétrica de corrente J vive em 3D A densidade supercial de corrente J vive em 2D Como são placas innitas esperase que os campos magnéticos de um lado e do outro sejam paralelos à placa e perpendicular à corrente Podemos imaginar a placa formada por innitos os paralelos O campo magnético de cada o é perpendicular ao o Assim o campo magnético dessa placa será perpendicular à corrente Informação extra a componente do campo magnético perpendicular a uma superfície transportando uma corrente estática é contínua enquanto a componente tangencial é descontínua e proporcional à densidade supercial de corrente Isto obriga o campo magnético a mudar de sentido ao passarmos de um lado da placa para o outro Como a componente perpendicular é contínua ela não pode mudar o seu sentido Portanto a componente perpendicular desse campo magnético deve ser nula Usando a curva amperiana CA mostrada no centro da Figura 43 a lei de Ampère 41 fornece verique Bzl Bzl 4πCmI 4πCmJ l Bz Bz 4πCmJ 417 Por simetria como o espaço dos dois lados da placa é o mesmo e não existem outros campos magnéticos as intensidades destes dois campos devem ser idênticas Assim Bz Bz Bz 2πCmJ Bz 0 418 Note no lado direito da Figura 43 que vale uma regra da mão direita se perfurarmos a placa para movimentar a mão Este resultado mostra que a componente do campo magnético paralela a uma superfície condutora e perpendicular à densidade de corrente uindo nesta superfície é descontínua e proporcional a esta densidade de corrente No caso do campo elé trico é a componente perpendicular à superfície condutora que é descontínua e proporcional à densidade supercial de cargas 57 44 Casos de estudos Capítulo 4 Indução 4422 Duas placas estáticas A Figura 44 mostra duas placas innitas transportando correntes opostas de mesma inten sidade De acordo com a seção anterior os campos magnéticos de cada placa têm as mesmas intensidades e sentidos opostos As cores traços especicam os campos de cada placa Note que o campo de uma placa está presente em todo o espaço de cada lado O campo magnético resultante é a soma desses dos campos magnéticos de cada placa Podemos ver que estes campos somamse no interior entre elas e cancelamse nas regiões externas Assim no interior das placas de acordo com 418 a intensidade do campo magnético é Bze 2Bz 4πCmJ 419 Figura 44 Correntes uindo em sentidos opostos em duas placas paralelas innita e res pectivos campos magnéticos no lado esquerdo e o campo resultante no lado direito Sim esse sistema é também um capacitor de placas paralelas apresentado no Apên dice B2 Então há também um campo elétrico entre as placas No entanto campos elétricos são de natureza distinta dos campos magnéticos Não podemos somar campos elétricos e magnéticos Eles têm dimensões diferentes Seria como somar posição e tempo Por outro lado campos elétricos e magnéticos estáticos não interagem entre si 4423 Duas placas em movimento Imagine agora duas placas innitas próximas carregadas com cargas opostas com densi dades superciais σ em movimento ao longo do eixo X com velocidade v vxˆi medida no referencial inercial O Este sistema forma um capacitor ideal de placas paralelas um dispositivo eletrônico apresentado no Apêndice B2 Desta forma no referencial inercial O 58 Capítulo 4 Indução 44 Casos de estudos temos um campo elétrico E Eyˆj Ey 4πCeσ 420 constante perpendicular às placas no sentido da placa positiva para a placa negativa Com as placas em movimento temos uma densidade supercial de corrente J σvx em cada placa em sentidos opostos e naturalmente um campo magnético B Bzˆk Bz 4πCmJ 4πCmσvx 421 constante somente no interior das placas paralelo às placas no sentido positivo do eixo Z perpendicular às correntes elétricas I Note que ambos os campos são perpendiculares à direção do movimento das placas Figura 45 Duas placas paralelas innitas com cargas opostas em movimento v em relação ao referencial inercial O O referencial inercial O também se movimenta V em relação a O Como serão os campos vistos por um observador solidário ao referencial inercial O em movimento uniforme com velocidade V em relação ao referencial O Esses campos serão produzidos pelas fontes vistas nesse referencial O A velocidade v vxˆi das cargas no referencial O é a composição da velocidade v vxˆi das cargas no referencial O com a velocidade V Vˆi do referencial O vx vx V 1 V vx c2 422 Devido à contração espacial na direção do movimento das cargas mesma direção do movi 59 442 Placas É muito interessante utilizar aqui o potencial escalar φ introduzido na Seção 23 e o potencial vetorial mathbfA introduzido na Seção 331 No entanto como os campos considerados aqui são dependentes do tempo temos de verificar se alguma correção precisa ser feita nas relações já estabelecidas envolvendo estes potenciais Para o campo magnético satisfazendo a segunda equação de Maxwell abla cdot mathbfB 0 continuamos com mathbfB abla imes mathbfA Para o campo elétrico devido às equações de Maxwell ligadas à indução precisamos corrigir a relação mathbfE abla φ válida somente para campos estáticos Para tal vamos usar a quarta equação de Maxwell lei de Faraday fracpartial mathbfBpartial t abla imes mathbfE 0 Rightarrow fracpartial mathbfApartial t mathbfE abla φ 512 a qual nos obriga a acrescentar a variação temporal da densidade de corrente em mathbfE abla φ Desta forma em termos dos potenciais os campos são mathbfE abla φ frac1c fracpartialmathbfApartial t quad mathbfB abla imes cmathbfA 513 Note a contribuição do potencial vetor mathbfA ao campo elétrico Naturalmente essa contribuição somente é relevante para potenciais variando no tempo Sabíamos que os potenciais Capítulo 5 Potenciais 51 Maxwell As equações de Maxwell podem ser divididas em dois grupos O grupo ligado à carga divergente E 4πCe ρ B 0 51 e o grupo ligado à indução rotacional B 1 c2 E t 4πCm J E B t 52 As constantes elétrica e magnética são Ce 1 4πϵ0 Cm µ0 4π Ce Cm 1 ϵ0µ0 c2 53 onde os valores da permissividade ϵ0 e da permeabilidade µ0 do vácuo são dados na Sec 15 e a relação com a velocidade da luz c é deduzida abaixo O grupo ligado à indução pode ser reescrito numa forma mais simétrica se multiplicarmos o campo magnético B pela velocidade da luz c verique 1 c E t c B 4πCe Jc 1 c c B t E 0 54 onde usamos também cCm Cec Assim os campos elétrico E e magnético rebatizado c B têm as mesmas dimensões verique Note que na ausência de uma densidade de corrente as substituições E c B c B E 55 62 leva uma das equações de Maxwell em 54 na outra Note também a quebra de simetria nos papeis desempenhados pelos campos elétrico e magnético em 55 evidenciada pelo sinal negativo Isto é um indício que estes dois campos têm características distintas Exercício 10 Elabore cuidadosamente as provas omitidas sob a etiqueta verifique onde v é a velocidade de propagação da onda ψ Assim Maxwell imediatamente identificou que os campos eletromagnéticos mathbfE e mathbfB satisfazem a mesma equação de onda com a velocidade v2 fracCeCm c2 511 cujo valor coincide com o valor da velocidade c da luz na época Maxwell não teve dúvidas luz é uma onda eletromagnética e pasmem propagase no vácuo Mais ainda propagase com uma velocidade finita dada pelas constantes elétrica e magnética as quais são universais Portanto a velocidade da luz deve ser também uma constante universal As implicações conceituais e tecnológicas foram dantescas Primeiro acreditavase que a luz fosse um fenômeno instantâneo Coube a Maxwell dar uma explicação teórica para a finitude da velocidade da luz Segundo de acordo com a Relatividade Especial de Einstein a velocidade da luz é um limite para velocidades de objetos com massa que possa ser medida numa balança A Ref 2 apresenta uma excelente visão histórica desse empreendimento humano Exercício 11 Elabore cuidadosamente as provas omitidas sob a etiqueta verifique criam seus campos através de variações espaciais As equações anteriores estão sugerindo ct como uma quarta coordenada Note também cA tem as mesmas dimensões do potencial escalar φ verifique Veremos que os campos E e cB formam um ente único o campo eletromagnético um tensor de segunda ordem uma matriz antissimétrica Assim como posição e tempo ct formam um vetor quadrimensional no espaçotempo unificando tempo e espaço os potenciais φ e cA formarão o vetor quadridimensional quadripotencial Estas unificações são feitas pela Relatividade Especial de Einstein O campo magnético escrito em termos de seu potencial vetor B A nos permite calcular o fluxo magnético via circulação do potencial vetor ΦB A B da A A da C A dr 514 onde A é uma superfície apoiada na curva fechada C Este resultado é possível graças ao Teorema 2 Exercício 12 Elabore cuidadosamente as provas omitidas sob a etiqueta verifique 54 Calibre Uma vez que os campos elétrico E e magnético cB satisfazem individualmente uma equação de onda no vácuo Eqs 59 os respectivos potenciais também devem satisfazêla Para verificarmos vamos trocar nas equações de Maxwell os campos pelos seus potenciais dados em 513 Como já usamos a segunda e a quarta das equações de Maxwell resta para usarmos a terceira equação verifique B 1 c2 E t 1 c2 2A t2 2A A 1 c2 φ t 4πCmJ 515 onde usamos A A 2A Este resultado pode ser reescrito numa forma mais elegante verifique 2A 1 c2 2A t2 4πCmJ A 1 c2 φ t 516 Da primeira equação de Maxwell temos verifique E 2φ t A 4πCeρ 517 ou numa forma mais elegante verifique 2φ 1 c2 2φ t2 4πCeρ t A 1 c2 φ t 518 onde somamos e subtraímos o termo contido a derivada temporal do potencial escalar para atingir a mesma estrutura de 516 fornecido pela quarta equação de Maxwell As Eqs 516 e 518 são as equações de onda para os potenciais na presença de cargas e correntes E agora a justificativa do título desta seção As equações de onda 516 e 518 são invariantes perante as seguintes trocas de potenciais verifique φ φ ξ t A A ξ 519 Esse fato é conhecido por simetria de calibre O campo escalar ξ é o calibre Esse fato deu origem a um feito ainda maior teorias de calibre gauge as quais apresentam um apelo matemático substancial Quer mais Quem acha que o termo entre parêntese nas equações 516 e 518 oferece dificuldades certamente perdeu a fé na Matemática e também nas equações de Maxwell Como os potenciais podem ser calibrados isto é permitem uma escolha então podemos fazer uma escolha A 1 c2 φ t 0 520 conhecida por calibre de Lorentz Com esta escolha as equações de onda 516 e 518 para os potenciais simplificam 2A 1 c2 2A t2 4πCmJ 521a 2φ 1 c2 2φ t2 4πCeρ 521b Naturalmente esta simetria de calibre também deixa invariante as relações entre os campos vetoriais e seus potenciais em 513 verifique Capítulo 5 Potenciais 55 Casos de estudos Figura 51 Solenoide transportando uma corrente constante I 55 Casos de estudos 551 Solenoide A Figura 51 mostra parte de um solenoide innito ideal Tratase de uma bobina cilíndrica de base circular de raio R com uma densidade constante N de espiras por unidade de com primento Uma corrente I constante passa pelas espiras Por simetria o campo magnético produzido pela corrente nas espiras é nãonulo somente no interior do solenoide Além disso esse campo magnético é constante e dirigido ao longo do eixo central do solenoide eixo Z B B0 ˆk se r R B0 4πCmNI 0 se r R 522 67 55 Casos de estudos Capítulo 5 Potenciais onde r é a distância de um ponto P até o eixo do solenoide eixo Z Campo magnético ao longo do eixo do cilindro Sempre haverá um número suciente de espiras posicionadas no lugar correto para cancelar qualquer componente do campo magnético resultante que não estiver ao longo do eixo do cilindro eixo Z e dentro do solenoide Dentro de acordo com a lei de Ampère o campo magnético aponta no sentido positivo do eixo Z Fora do solenoide o campo magnético se não fosse nulo deveria apontar no sentido negativo do eixo Z como os vetores tracejados na Figura 51 Campo magnético constante A lei de Ampère 41 mostra que a intensidade do campo magnético deve ser constante tanto dentro quando fora do solenoide Basta tomarmos re tângulos paralelos ao eixo do solenoide como curvas amperianas CA Uma dessas curvas amperianas é mostrada no lado direito da Figura 51 Dentro e fora do solenoide nenhuma corrente atravessa essas curvas amperianas Como a circuitação do campo magnético na curva amperiana CA tem duas contribuições nãonulas e de sinais opostos ao longo das arestas paralelas ao campo magnético e de mesmos comprimentos concluímos que a inten sidade do campo magnético deve ser a mesma em dois locais arbitrariamente diferentes Portanto o campo magnético deve ser constante Intensidade do campo magnético A intensidade do campo magnético pode ser determi nada usando a curva amperiana CA enlaçando parte do solenoide como mostrado no lado esquerdo da Figura 51 Usando a lei de Ampère 41 temos Bzl 0l 4πCmlNI Bz 4πCmNI B0 523 Note a descontinuidade da componente do campo magnético tangencial à superfície do sole noide Solenoide real Um solenoide real possui um comprimento nito porém muito maior que seu diâmetro O campo magnético é praticamente constante no centro do solenoide e praticamente nulo na região externa ao solenoide O solenoide ideal comprimento innito é uma boa aproximação para o solenoide real comprimento nito Potencial vetor dentro do solenoide Queremos determinar o potencial vetor A tal que B A Neste caso é melhor usar coordenadas cilíndricas A Arˆr Aφ ˆφ Azˆk 524 Também devido à esta simetria esperamos que este potencial vetor não dependa da coor denada z ao longo do o e nem da coordenada angular φ cada componente do potencial vetor dever ser função somente da coordenada radial r Arφz Arφzr Sabemos que o 68 campo magnético está inteiramente na direção do eixo do solenoide direção de k Assim A 1 r rAφ r Ar φ k 1 r rAφ r k B0k 525 Desta forma temos verifique 1 r rAφ r B0 Aφr B0r 2 C1 r 526 onde C1 é uma constante arbitrária Como não há imposições sobre as componentes Ar e Az podemos assumílas nulas Assim o potencial vetor está circulando o eixo do solenoide no mesmo sentido da corrente I A Aφrφ Aφr B0r 2 C1 r 527 Como determinar a constante arbitrária C1 em 527 Usando o fluxo magnético Vamos calcular o fluxo magnético através da área A do disco perpendicular ao solenoide Como mostrado na Figura 51 esse disco tem a circunferência C como contorno Dentro do solenoide r R temos verifique dr r dφ φ dl φ C dl r 2π 0 dφ 2πr 528 e da r dr dφ k dA k A da r dr 2π 0 dφ πr2 529 O fluxo magnético por definição é verifique ΦB A B da B0A πr2B0 530 Por outro lado de acordo com 514 o fluxo magnético também pode ser calculado pela circulação do potencial vetor verifique ΦB C A dr AφrC 2πrAφ 531 Portanto Aφr B0r 2 r R 532 55 Casos de estudos Capítulo 5 Potenciais Desta forma a constante C1 em 527 tem de ser nula C1 0 Note que o fluxo magnético também diz nada sobre as componentes Az e Ar perpendiculares ao disco A e seu contorno C respectivamente Note que podemos escrever verifique A 1 2 B r 533 onde r é o vetor radial perpendicular ao eixo do solenoide como mostrado na Figura 51 Seu módulo r a distância do ponto P ao eixo do solenoide é a coordenada radial do sistema de coordenadas cilíndricas Potencial vetor fora do solenoide Vamos usar o fluxo magnético para calcular a componente tangencial Ap do potencial vetor fora do solenoide Para r R o fluxo magnético calculado usando diretamente o campo magnético é verifique ΦB A B da B0A πR2B0 534 Note que o fluxo é restrito à área da seção reta do solenoide Usando o potencial vetor o fluxo magnético é o mesmo calculado em 531 porém com a condição r R Assim Apr B0R2 2r r R 535 Note que as funções 532 e 535 são contínuas na lateral do solenoide r R Impressiona ter um potencial vetor nãonulo nãoconstante fora do solenoide onde o campo magnético é nulo Vimos que o potencial elétrico é uma grandeza mensurável e bem conhecida em eletrônica uma tensão Ninguém questiona se o potencial elétrico é apenas um artifício matemático para calcular o campo elétrico O potencial elétrico é real existe é uma tensão facilmente mensurável Então o potencial vetor deve ser também uma quantidade real que existe passível de ser medida Exercício 14 Elabore cuidadosamente as provas omitidas sob a etiqueta verifique Capítulo 6 Energiamomentum 61 Densidade de força Considere um elemento de carga dq em uma distribuição contínua de carga total Q contida num volume V Esse elemento de carga dq movimentase com velocidade v sujeito à força de Lorentz 11 Assim a força total F nesta distribuição é F Q dqE v B V dV ρE ρv B V dV ρE J B 61 onde ρ é o vetor densidade de carga e J ρv à densidade de corrente Da última igualdade em 61 temos uma densidade de força força por unidade de volume f ρE J B 62 Podemos usar as equações de Maxwell 1215 para eliminar a presença das fontes ρ e J da densidade de força 62 ρE 1 4πCε EE 63 e verifique J B 1 4πCm B 1 c2 E t B c2 4πCε B B 1 4πCε t E B E B t 65 onde usamos a relação 511 Massajando mais um pouco o último termo temos verifique J B 1 4πCε L E E c2 B B EE t E B 65 Desta forma a densidade de força 62 tornase em f 1 4πCε L E E c2 B B EE t E B 66 Usando B 0 a densidade de força 66 também pode ser reescrita como f 1 4πCε L E E EE c2B B c2 BB t E B 67 Também podemos usar a relação geral A A 1 2 A2 A A 68 onde A2 A A para reescrever a densidade de força 67 numa forma mais aberta verifique f 1 4πCε L E E E c2 B B B 1 2 E2 c2B2 t E B 69 Cada um desses três termos tem uma interpretação física como veremos adiante No entanto o termo contendo o gradiente em 69 tem uma interpretação imediata Força é derivada literalmente de energia Então a quantidade εem 1 4πCε 1 2 E2 c2B2 610 é a densidade de energia eletromagnética por unidade de volume O gradiente dessa densidade de energia eletromagnética é uma contribuição eletromagnética à densidade de força total Fem εem εem 611 Note que a energia eletromagnética 610 estava escondida na densidade de força 62 Para uso futuro imediato os dois primeiros termos em 69 podem ser reescritos numa forma mais adequada usando suas coordenadas verifique λi 14πCε EiE c²BiB 613 A projeção da força de Lorentz ao longo da trajetória do elemento de carga dq nos dá o trabalho realizado Considerando que a trajetória desse elemento de carga dq seja parametrizada pelo vetor posição r então dr v dt Assim a taxa de variação temporal do trabalho total potência total dessa região de cargas é dW dt Q E v B v dq V ρv E dV V J E dV 614 Podemos usar as equações de Maxwell 1215 para eliminar o rotacional do campo elétrico e usar 616a novamente verifique J E εemt S 618 onde definimos εem 14πCε 12 E² c²B² 619 a densidade de energia eletromagnética e S c²4πCε E B 620 denominada vetor de Poynting por razões históricas Naturalmente temos usado 511 para intercambiar o uso das constantes elétrica Cε e magnética Cm Note que a energia eletromagnética 619 estava escondida na densidade de força 62 e na densidade de potência 615 estava escondido na densidade de força 62 Podemos reescrever 627 numa outra forma t m em λ em 628 mais adequada a enxergarmos a conservação do momento linear total m em Vamos inspecionar cada uma das componentes no lado direito da Eq 628 verifique λ emi 1 4πCe Ei E c2Bi B xi 1 2 E2 c2B2 3 j1 xj Tij 629 onde introduzimos Tij 1 4πCe EiEj c2BiBj δij 1 2 E2 c2B2 630 denominado de tensor dos esforços estresses de Maxwell Note o sinal negativo em destaque pois ele não aparece em alguns textos A matriz tensor de ordem dois Tij é simétrica Desta forma a conservação da densidade de momento linear total 628 pode ser reescrita como t m emi j xj Tij 631 O lado direito é o divergente do vetor formado por cada linha ou coluna do tensor de Maxwell Assim a Eq 631 tem o mesmo formato das outras duas leis de conservação da carga elétrica em 319 e da energia em 623 além de ser a segunda lei de Newton com o tensor de Maxwell fazendo o papel de um potencial generalizado Compare com a força elétrica dada em termos do gradiente de um potencial escalar Integrando 631 e usando o Teorema 3 pois a soma em j no lado direito de 631 é um divergente temos d dt V m emi dV V j xj Tij dV V j Tijdaj 632 Este resultado mostra que as linhas ou colunas do tensor de Maxwell 630 comportamse como vetores densidades de momento linear Como o lado esquerdo é a força total então o tensor de Maxwell tem dimensões de pressão força por unidade de área O tensor de Maxwell 630 é responsável pelo fluxo de momento linear através de uma superfície contendo a região dos campos elétrico e magnético O campo eletromagnético tem energia e momento linear Se tem momento linear tem momentum angular 64 Densidade de momentum angular A densidade de momentum angular L em relação ao ponto O é definido pelo produto vetorial L r m 633 entre o vetor posição r e a densidade de momentum linear m De forma similar a densidade volumétrica de torque é dada por τ r f t r m r t 634 onde a densidade de força graças aos resultados anteriores por exemplo 631 pode ser escrita como fi ρmi t j Tij xj emi t 635 Desta forma a densidade de torque 634 pode ser reescrita como uma lei de conservação para a densidade de momentum angular total verifique i xl jk ǫijkxjTkI t r m emi 0 636 Note a presença de uma densidade de momentum angular de origem eletromagnética r em associada ao momentum linear eletromagnético em dado em 626 73 Maxwell É conveniente reescrever as equações de Maxwell 72 em termos das polarizações elétrica dada em 74 e magnética dada em 75 Para tal basta inserir as densidades totais 77 nas equações de Maxwell 72 iniciando pela lei de Coulomb E 4πCeρ 4πCeρf 4πCeρb 4πCe P 79 ou agrupando os divergentes E 4πCe P 4πCeρf 710 Este resultado sugere a introdução de um novo campo elétrico D E 4πCe P 711 para obter uma equação similar à lei de Coulomb para a densidade de carga livre D 4πCeρf 712 Similarmente introduzindo a corrente total na lei de Ampère temos cB 1 c E t 4πCe Jc 4πCe Jfc 4πCe Mc 4πCe 1 c P t 713 a qual após agrupar rotacionais e derivadas temporais pode ser reescrita como cB 4πCe Mc 1 c t E 4πCe P 4πCe Jfc 714 Este resultado sugere um novo campo magnético H B 4πCm M 715 onde usamos Cmc 2 Ce para obter uma equação similar à lei de Ampère para a densidade Capítulo 7 Matéria 71 Introito Para comparação futura listamos aqui as equações de Maxwell sem a presença direta das fontes densidades de carga e de corrente B 0 71a E 1 c c B t 0 71b e aquelas que mencionam explicitamente as fontes E 4πCe ρ 72a c B 1 c E t 4πCe Jc 72b Estas equações de Maxwell são para densidades de carga ρ e de corrente J no vácuo ou num meio material As duas equações de Maxwell 72 no grupo das fontes implicam na conservação da carga elétrica ρ t J 0 73 A presença de meios materiais pode contribuir para as densidades de carga e de corrente Como veremos é conveniente reescrever as equações de Maxwell 72 contendo as fontes de forma a envolver apenas quantidades macroscopicamente mensuráveis3 78 Capítulo 7 Matéria 72 Polarização 72 Polarização O meio material ou simplesmente matéria contribui com cargas livres representadas pela densidade volumétrica de cargas livres ρf e cargas ligadas pouca mobilidade represen tadas pela densidade volumétrica de cargas ligadas ρb Os subíndices são as iniciais das palavras em inglês free e bound respectivamente Pouca mobilidade em cargas ligadas ca racteriza os materiais dielétricos entre condutores com cargas livres e isolantes Campos elétricos em dielétricos separam muito pouco cargas elétricas positivas e negativas criando dipolos elétricos A densidade macroscópica dipolo por unidade de volume denominada de polarização elétrica denotada por P a qual pode ser medida macroscopicamente como um efeito coletivo está relacionada à densidade de cargas ligadas P ρb 74 Meios materiais também podem possuir dipolos magnéticos cujo efeito macroscópico pode ser medido pela densidade de dipolos magnéticos por unidade de volume denominada de magnetização ou polarização magnética denotada por M A polarização magnética está relacionada com uma como se fosse densidade de corrente ligada Jb M Jb 75 Naturalmente podemos ter também correntes livres representadas pela densidade de cor rente Jf Além dessas correntes livres e ligadas há também as correntes de polarização JP P t 76 decorrentes do movimento de cargas devido à polarização Desta forma na presença de um meio material as densidades totais de carga e de corrente elétricas são ρ ρf ρb 77a J Jf Jb JP 77b respectivamente A primeira providência é checar a conservação da carga elétrica J Jf Jb JP ρf t M t P ρf t ρb t ρ t 78 A necessidade da existência da densidade da corrente de polarização 76 é uma consequência da densidade de corrente ligada 75 ter divergência nula por denição e da conservação 79 Capítulo 7 Matéria 74 Nomes de corrente livre c H 1 c D t 4πCe Jfc 716 Naturalmente um modelo deve ser criado para estabelecer relações adicionais entre os novos campos e os antigos ou equivalentemente relações adicionais entre as polarizações e os campos elétrico e magnético Note que as relações E D 4πCe P 717a B H 4πCm M 717b precisam de relações suplementares fornecidas por modelos A situação mais simples cor responde aos chamados meios lineares onde as relações suplementares são lineares D κe E 718a H κm B 718b ou 4πCe P χe E 719a 4πCm M χm H 719b onde ε ε01 χe κe εε0 1 χe 720a µ µ01 χm κm µµ0 11 χm 720b Na ausência de matéria vácuo os parâmetros χe e χm são nulos bem como as polari zações em 719 No vácuo a permissividade e a permeabilidade são ε ε0 e µ µ0 respectivamente possibilitando a igualdade entre os campos em 718 74 Nomes Abaixo uma relação de nomes por razões históricas e de normalização ISO mais detalhes aqui httpswwwisoorg para os campos elétricos e magnéticos Continuaremos usando 81 74 Nomes Capítulo 7 Matéria campo elétrico e campo magnético Histórico ISO aqui E campo elétrico campo elétrico campo elétrico B indução magnética densidade de uxo magnético campo magnético D deslocamento elétrico densidade de uxo elétrico campo elétrico H campo magnético campo magnético campo magnético 721 82 Appendices Apêndice A Análise dimensional A1 Introdução Unidades de medida são importantes e indispensáveis De forma geral procuraremos expres sar todas as nossas quantidades em unidades derivadas de quatro grandezas fundamentais comprimento L tempo T massa M e carga elétrica Q Em processos de medidas estas grandezas são conhecidas também por dimensões Em geral falaremos da análise dimensio nal de uma determinada quantidade Existe um procedimento padrão para analisarmos as dimensões de uma determinada quantidade de interesse uma equação com o lado esquerdo expressando a quantidade B a ser analisada via a notação B e um lado direito contendo apenas as operações de multiplicação e potenciação envolvendo as dimensões L T M e Q ou seja B LiTjMkQl A1 Não se pode confundir dimensões com algum sistema particular de medidas Vários sistemas de medidas foram criados para expressar a intensidade de cada uma destas quatro dimensões fundamentais Usaremos com mais frequência o Sistema Internacional SI ou MKS onde comprimento é medido em metros m tempo em segundos s massa em kilogramas kg e carga elétrica em Coulombs C A2 Exemplos A21 Cinemática O vetor posição r tem dimensão de comprimento L Escrevemos matematicamente esta informação como r L A2 84 Capítulo A Análise dimensional A2 Exemplos Consequentemente vetor velocidade tem dimensões de comprimento por tempo v drdt L T1 e o vetor aceleração tem dimensões de comprimento por tempo ao quadrado a d2rdt2 L T2 A22 Dinâmica As dimensões do momentum linear são p m v M LT MLT1 Segundo estes exemplos a análise dimensional do vetor força na segunda lei de Newton massa constante nos fornece F m a M LT2 MLT2 Newton A6 Newton é a unidade de força no sistema internacional SI As dimensões de energia são as mesmas de energia cinética ou de força vezes distância Ec m v22 M L2T2 ML2T2 Joule Joule é a unidade de energia no sistema internacional SI A23 Eletromagnetismo Como corrente elétrica I é a taxa de variação de carga no tempo então as dimensões de corrente elétrica são I dQdt QT QT1 Ampere Ampere é a unidade de corrente elétrica no sistema internacional SI Quais são as dimensões da constante Ce aparecendo na expressão para a força elétrica lei de Coulomb vecFe Ce fracQ qr2 hatr entre duas cargas elétricas Q e q separadas pela distância r Usando as dimensões de carga A2 Exemplos Capítulo A Análise dimensional comprimento versor é adimensional e força as dimensões da constante elétrica Ce são Ce N L2 Q2 M L3 T2 Q2 Por completeza devemos mencionar que cargas magnéticas nunca foram observadas No entanto quando dois fios conduzindo correntes elétricas I1 e I2 estão a uma distância rho podemos medir uma força por unidade de comprimento entre eles vecFm 2 Cm fracI1 I2rho hatrho Esta força é conhecida como lei de BiotSavart Usando as dimensões de corrente elétrica e força as dimensões da constante magnética Cm são Cm N T2 Q2 M L Q2 Podemos notar então que a razão CeCm tem a mesma dimensão de velocidade ao quadrado Na ausência de um campo elétrico a força de MaxwellLorentz vecF q vecv imes vecB produzida por uma carga q em movimento com uma velocidade vecv em um campo magnético vecB é responsável por trajetórias helicoidais As dimensões do campo magnético vecB são vecB left fracvecFq vecv right M Q1 T1 Tesla Tesla é a unidade de campo magnético no sistema internacional SI Apêndice B Dispositivos eletrônicos A equações de Maxwell permitem a construção de uma quantidade enorme de dispositivos eletrônicos os quais constituem todos os equipamentos eletrônicos Metais propiciam cargas livres elétrons que podem ser armazenadas e movimentadas via força elétrica Campos elétricos são criados pela variação de potenciais elétricos B1 Resistores Um resistor é formado por materiais que oferecem diculdade à passagem de cargas elétricas Geralmente são feitos de materiais não metálicos Eles são usados para regular correntes elétricas Há muitos sites especializados em informações detalhadas sobre resistores por exemplo Wikipedia e Electronics Tutorials Veja o Cap 4 da Ref 1 para mais detalhes Um resistor de resistência elétrica R é construído de tal forma a ter uma diferença de potencial elétrico entre seus terminais a a b veja a Figura B1 também denominada de tensão V ϕb ϕa Esta tensão é proporcional à corrente elétrica I que passa por ele ϕ ϕb ϕa V R I B1 As dimensões de resistência elétrica podem ser determinadas usando as dimensões de poten cial elétrico dadas em 216 e de corrente elétrica carga por tempo R VI ML2 QT2 T Q ML2 Q2T B2 A resistência é medida em Ohms Ω no Sistema Internacional SI tensão em Volts V e corrente em Amperes A Um resistor típico é ilustrado nesta simulação Em geral a diferença de potencial é fornecida por uma bateria ou gerador Esta próxima simulação mostra o movimento de 87 B1 Resistores Capítulo B Dispositivos eletrônicos cargas nas diversas partes de um circuito contendo um resistor e uma gerador de tensão bateria Figura B1 Duas resistências em série acima e em paralelo abaixo ligadas a diferentes potenciais elétricos ϕa e ϕb O resistor equivalente é mostrado na região central Num mesmo circuito resistores em série são equivalentes a um resistor com uma resis tência R dada pela soma das resistências individuais R R1 R2 Rn B3 Resistores em paralelo são equivalentes a um resistor com uma resistência inversa 1R dada pela soma das resistências inversas individuais 1 R 1 R1 1 R2 1 Rn B4 A Figura B1 mostra duas resistências em série e também em paralelo O resistor equivalente é mostrado na região central Para os dois resistores em série a soma das tensões em cada resistor tem de ser a tensão V ϕb ϕa entre os terminais V R1I R2I R1 R2I RI R R1 R2 B5 Vale lembrar que a corrente I uindo pelo circuito precisa ser conservada isto é a mesma corrente que entra em um terminal deve sair no outro terminal Para os dois resistores em paralelo a corrente se divide e é conservada I I1I2 Desta vez a tensão em cada resistor é a mesma tensão entre os terminais V R1I1 R2I2 Portanto considerando também o 88 Capítulo B Dispositivos eletrônicos B2 Capacitores resistor equivalente temos V RI Rl1 l2 R V R1 V R2 1 R 1 R1 1 R2 B6 B2 Capacitores Figura B2 Capacitor de placas paralelas Cada placa é ligada a diferentes potenciais elétricos φ e φ A Figura B2 mostra duas placas metálicas paralelas carregadas com a mesma quantidade de carga elétrica mas de sinais opostos separadas pela distância l Apesar de na prática tais placas serem finitas vamos considerálas aqui como infinitas Como mostrado na Seção 265 o campo elétrico de um plano infinito de cargas é constante em todo o espaço Assim teremos um campo nãonulo somente na região entre as placas pois fora os campos cancelam considerando que as linhas de campo saem da placa com carga positiva e entram na placa com cargas negativas conforme ilustrado na Figura B2 Esse campo resultante no interior B2 Capacitores Capítulo B Dispositivos eletrônicos das placas é a soma dos campos elétricos de cada placa E E ˆk E 4πCeσ0 B7 Também de acordo com a Seção 265 os potenciais elétricos em cada placa são ϕ 2πCeσ0 l 2 ϕ 2πCeσ0 l 2 B8 Portanto a diferença de potencial entre as placas é V ϕ ϕ 4πCeσ0l El B9 Agora vamos considerar as placas mostradas na Figura B2 como nitas cada uma de área A Neste caso a carga total Q em cada placa é Q σ0A Apesar da nitude desse sistema as expressões anteriores são excelentes aproximações principalmente longe das bordas Quanto menor a distância entre as placas em relação ao tamanho das placas melhor a aproximação É interessante observar que a diferença de potencial tensão em B9 é proporcional à carga total V 4πCeσ0l 4πCe Ql A 4πCel A Q B10 Em um capacitor a razão carga por tensão QV é denominada de capacitância C Q V B11 Para o presente caso a capacitância do capacitor de placas paralelas mostrado na Figura B2 é C A 4πCel ϵ0 A l B12 Quanto menor a distância de separação entre as placas maior a capacitância A capacitância é uma propriedade que sempre depende da geometria do capacitor Note que as cargas elétricas acumulam nas placas mas não podem passar diretamente de uma placa para a outra Em geral se usa um material isolante entre as placas Veja o Cap 3 da Ref 1 para mais detalhes Como mostrado na Seção 14 as dimensões da permissividade elétrica ϵ0 são as mesmas de carga ao quadrado por distância ao quadrado por força ϵ0 Q2T2 ML3 B13 que nos dá as dimensões de capacitância como sendo as mesmas de carga por energia tudo 90 ao quadrado C ε0 A T Q2T2 M L2 B14 No Sistema Internacional de unidades as unidades de capacitância são as mesmas de carga Coulomb por tensão Volt denominada em farad F em homenagem a Faraday F C V B15 Interessante observar que a introdução do farad como unidade de capacitância em B12 nos permite expressar as unidades SI da permissividade ε0 como farad por metro Esta excelente simulação mostra as propriedades básicas de um capacitor se preciso clique na figura do capacitor é necessário ajustar a tensão da bateria movendo o botão para carregar o capacitor Se tem potencial elétrico V φ φ neste exemplo então tem energia potencial De acordo com a Sec 24 uma carga infinitesimal dQ na presença deste potencial V terá a energia potencial V dQ Somando tudo U Q 0 V dQ 1 C Q dQ Q2 2C B16 é a energia potencial armazenada num capacitor A similaridade com a energia potencial elástica kx22 é marcante a carga Q faz o papel da deformação x da mola Q x e o inverso da capacitância faz o papel da constante de mola k 1C k A Figura B3 mostra dois capacitores em duas configurações em série e em paralelo Seja V φb φa a tensão entre os terminais A tensão em cada capacitor é QiCi Quando os capacitores estão em série Q1 Q2 Então V Q C1 Q C2 Q C 1 C 1 C1 1 C2 B17 onde C é a capacitância equivalente Capacitores em série se comportam como resistores em paralelo Quando os capacitores estão em paralelo Q Q1Q2 é a carga total conservada Assim V Q1 C1 Q2 C2 Q C B18 Da conservação da carga temos Q Q1 Q2 VC1 VC2 VC C C1 C2 B19 B3 Indutor Capítulo B Dispositivos eletrônicos A lei de Faraday 47 estabelece que uma corrente elétrica variando no tempo passando por uma bobina cria um campo magnético de forma a aniquilar esta corrente Em muitos materiais condutores o fluxo magnético Φ criado é diretamente proporcional à corrente I Φ L I B20 A quantidade L é denominada de indutância O dispositivo mostrado na Figura B4 é um indutor Ele tem a função de controlar a rapidez da corrente elétrica As dimensões de indutância são verifique L Φ I ML2 Q2 B21 A tensão V entre os terminais do indutor de indutância L mostrado na Figura B4 é proporcional à variação do fluxo magnético de acordo com a lei de Faraday 47 V dΦ dt L dI dt B22 Capítulo B Dispositivos eletrônicos B4 Circuito RC Figura B4 Indutor de capacitância L As unidades de indutância no Sistema Internacional SI é volts vezes segundo por ampere denominada de Henry H H V s A B23 A indutância equivalente se comporta com a resistência equivalente soma das indutâncias em série e a soma dos inversos das indutâncias em paralelo verique B4 Circuito RC Figura B5 Circuito formado por um resistor R um capacitor C e um gerador de tensão V A Figura B5 mostra um circuito RC formado por um resistor de resistência R um capacitor de capacidade C e um gerador de tensão bateria V O elemento dentro do 93 B5 Circuito RLC Capítulo B Dispositivos eletrônicos círculo tracejado representa uma fonte de tensão uma bateria ou um gerador No entanto desconsidere essa fonte no momento e preste atenção na tensão V entre os terminais a e b desse circuito Pela conservação da carga elétrica a tensão V deve ser a soma das tensões no resistor RI e no capacitor QC V RI Q C RdQ dt Q C I dQ dt B24 onde substituímos corrente pela variação temporal de carga A tensão V 0 é o equivalente a ligar diretamente os terminais a e b Como varia a carga elétrica nesta condição circuito fechado A EDO em B24 dQ dt Q τ 0 τ RC B25 é a EDO da exponencial a única função cuja derivada é proporcional a ela mesmo Portanto a carga decai exponencialmente no tempo verique Qt Q0etτ τ RC B26 Observe que o parâmetro τ RC tem dimensões de tempo verique τ RC T B27 onde usamos as dimensões de resistência dadas em B2 e de capacitância dadas em B14 O parâmetro τ RC é o tempo característico de um circuito RC quando a carga diminui para cerca de 37 de seu valor original B5 Circuito RLC A Figura B6 mostra um circuito RLC formado por um resistor de resistência R um indutor de indutância L e um capacitor de capacidade C O elemento dentro do círculo tracejado representa uma fonte de tensão uma bateria ou um gerador fornecendo uma tensão V a qual pode variar no tempo Pela conservação da carga elétrica a tensão V deve ser a soma das tensões no resistor RI no indutor L I L Q e no capacitor QC V RI Q C L I Ld2Q dt2 RdQ dt Q C I dQ dt B28 onde substituímos corrente pela variação temporal de carga Conhecendo como a tensão externa V t varia no tempo esta equação diferencial ordinário EDO de segunda ordem 94 Capítulo B Dispositivos eletrônicos B5 Circuito RLC Figura B6 Circuito formado por um resistor R um indutor L e um capacitor C determina o comportamento da carga elétrica Qt A EDO B28 é idêntica à EDO que descreve o movimento de uma massa m presa a uma mola de constante k imersa num uido de constante b sob a ação de uma força externa A carga elétrica faz o papel da deformação da mola xt e posição do objeto preso à mola a indutância L faz o papel da massa inercial m a capacitância C faz o papel da constante de mola k e a resistência R faz o papel do uido b Assim o resistor tem a função de amortecimento da carga elétrica O circuito LC é análogo ao sistema massa mola no vácuo sem amortecimento 95 Apêndice C Delta de Dirac O que comumente chamamos de função δx introduzida por Dirac em 1930 é algo além uma função generalizada ou mais precisamente uma distribuição definida por δx aφ φxδx a dx φa C1 Apêndice D Campos e Operadores D1 Campos Um campo é uma regra matemática para colocar um objeto em um lugar Quando esse objeto é um número o campo é escalar Por exemplo a função φ φx y z definida em todo o espaço tridimensional exceto na origem dada por φx y z C x² y² z² onde C é uma constante é um campo escalar pois dada uma posição x y z a função φx y z sempre retorna um número um escalar Esse exemplo é interessante por ter o mesmo valor sobre uma superfície esférica de raio x² y² z² Por isso ele é denominado de um campo escalar com simetria esférica Essa simetria esférica pode ser melhor visualizada introduzindo a coordenada radial r r rr Σxᵢ² x² y² z² onde r xi yj zk é o vetor posição e introduzimos subíndices para indicar uma de suas coordenadas x₁ x x₂ y e x₃ z Usando esta coordenada radial o campo escalar D1 tornase φr Cr Nesta forma a simetria esférica é imediata D4 Operadores Capítulo D Campos e Operadores da simetria cilíndrica ambas muito importantes no Eletromagnetismo Na simetria esférica o campo escalar depende apenas da coordenada radial r a qual é o raio de uma casca esférica centrada na origem O campo escalar D3 é um exemplo típico de simetria esférica Na simetria cilíndrica o campo escalar depende apenas da coordenada radial ρ a qual é o raio de uma casca cilíndrica centrada na origem Esta coordenada radial ρ fica no plano perpendicular ao eixo do cilindro geralmente o eixo Z Em geral o gradiente tem sempre três componentes em qualquer sistema de coordenadas tridimensionais No entanto quando há simetrias nos campos em que o gradiente atua nem sempre todas os componentes do gradiente são usadas Nos casos de campos escalares com simetrias esférica e cilíndrica o gradiente pode ser reescrito usando apenas uma componente a radial r r ρ ρ em coordenadas esféricas e cilíndricas respectivamente Note que usando um sistema de coordenadas adequado à simetria do campo escalar a operação de tomar o gradiente desse campo tornase muito mais simples Por exemplo o gradiente do campo escalar D3 escrito em coordenadas esféricas é imediato φr r r C r C r r2 D42 Divergente divergente é o limite de fluxo por unidade de volume div E lim V0 1 V V E dA E Veja a definição de fluxo na Sec D3 Note que o divergente resulta em um campo escalar Desta forma podemos associar uma divergência nula numa posição com a ausência de fluxo ou seja com a ausência de uma fonte pois para se ter um fluxo de qualquer coisa é preciso ter uma fonte que cria tais coisas Igualmente uma divergência não nula numa posição indica a presença de uma fonte naquela posição Portanto a interpretação geométrica ou física do divergente é ele permite verificarmos localmente a presença ou não de uma fonte A última igualdade na definição D14 do divergente estabelece a sua forma operacional ou seja o divergente é calculado através do produto escalar entre o gradiente e o campo vetorial F 3 i1 Fi xi 0 Fxi xi C r3 3x2 i r5 Este resultado indica que a fonte deste campo vetorial só pode estar na origem Igualmente à observação feita na seção anterior sobre usar o sistema de coordenadas adaptado à simetria dos campos o divergente de campos dependentes apenas da coordenada radial esférica ou cilíndrica pode ser escrito usando somente uma componente F 1 r2 r2Fr r F Frr r em coordenadas esféricas e F 1 ρ ρFρ ρ F Fρρ ρ em coordenadas cilíndricas Por exemplo o campo vetorial dado em D5 tem simetria esférica Então seu divergente é calculado facilmente em coordenadas esféricas F 1 r2 r r2C r2 1 r2 r C 0 pois C é uma constante D43 Rotacional A Figura D2 mostra uma área finita subdividida em um número infinito de áreas infinitesimais A envolta pela curva C indicada pelas setas A soma de todos as circulações nestas curvas infinitesimais por unidade de área é o rotacional rot E do campo vetorial E Ou seja o rotacional é circulação por unidade de área rot E lim A0 1 A CA E dr n E Veja a definição de circulação na Sec D2 Note que o rotacional resulta em um campo vetorial O vetor n não está numa direção unicamente determinada pelo processo limite A última igualdade na definição D19 do rotacional estabelece a sua forma operacional ou seja o rotacional é calculado através do produto vetorial entre o gradiente e o campo vetorial E Como exemplo podemos verificar que o rotacional do campo vetorial dado em D4 é nulo F i j k x y z Fx Fy Fz 0 Sugestões desenvolva o determinante e depois substitua as derivadas parciais e simplifique para simplificar a notação das derivadas introduza o comprimento r do vetor posição como feito no exemplo do cálculo do divergente Um campo que tem pelo menos uma das componentes do rotacional não nula é capaz de produzir redemoinhos movimentos circulares Essa é a sua interpretação geométrica ou física Veja esse vídeo do grupo 3Blue1Brown para literalmente enxergar estas propriedades geométricas do divergente e do rotacional bem como as noções de fluxo e circulação Pela metade do vídeo há uma ótima apresentação das propriedades geométricas das equações de Maxwell No final há exemplos numéricos igualmente interessantes D5 Teoremas Campos escalares e vetoriais estão sujeitos a teoremas envolvendo os operadores gradiente rotacional e divergente Embora diferentes na aparência os teoremas seguintes possuem uma propriedade em comum permitem passarmos uma integração no interior para a borda de uma dada região A Figura D3 mostra uma região 1D dada por uma curva aberta C delimitada pelos pontos terminais A e B Neste caso esses pontos A e B formam a borda da curva aberta C expresso mathematicamente por A B C Na Figura D4 a região é uma superfície A 2D delimitada pelo contorno borda C uma curva fechada C A Podemos dizer que a superfície A está apoiada na curva C Esta superfície A não é necessariamente plana A Figura D5 mostra o volume V uma região 3D delimitada pela superfície A a borda A V Teorema 1 Gradiente AB dφ C φ dvecr Teorema 2 Rotacional CA vecE dvecr A vecE dveca Figura D4 Superfície A e borda curva C Teorema 3 Divergente AV vecE dveca V abla vecE dV Figura D5 Volume V e borda superfície A Note o papel dos operadores gradiente rotacional e divergente em cada um destes três teoremas permitindo a passagem de uma integração no interior para a borda de cada região Referências Bibliográcas 1 E M Purcell and D J Morin Electricity and Magnetism Cambridge 2013 2 J C H Spence Lightspeed Oxford 2020 3 D J Griths Introduction to Electrodynamics PrenticeHall 1999 107