Resistencia dos Materiais II - Deflexoes em Vigas - Aula 6

Universidade Federal da Grande Dourados Faculdade de Engenharia Curso de Engenharia Civil Resistência dos Materiais II Aula 6 Deflexões em vigas Prof Dr André Felipe Aparecido de Mello 2023 Conteúdo da Aula 61 A linha elástica 62 Relação momentocurvatura 63 Inclinação e deslocamento por integração 64 Exemplos de aplicação 65 Exercícios propostos 61 A linha elástica O diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centroide de cada área da seção transversal da viga é denominado linha elástica Com isso se determinam as inclinações e os deslocamentos em qualquer ponto da viga Para traçar a linha elástica é necessário saber como a inclinação ou o deslocamento da viga são restringidos pelos vários tipos de apoio Pinos restringem o deslocamento e engastes restringem o deslocamento e a rotação RM II Eng Civil Aula 6 03 61 A linha elástica Para determinar o traçado devese basear no diagrama de momento fletor Pela convenção de sinais são conhecidas as concavidades Haverá um ponto de inflexão mudança de concavidade da curva num ponto de momento nulo M Concavidade para cima M Concavidade para baixo RM II Eng Civil Aula 6 04 61 A linha elástica Viga apoiada Apoios B e D deslocamento nulo Momento negativo AC concavidade para baixo Momento positivo CD concavidade para cima Ponto de inflexão C momento nulo Deslocamento máximo A ou E RM II Eng Civil Aula 6 05 61 A linha elástica Viga engastada Apoio A deslocamento e rotação nulos Momento negativo AB concavidade para baixo MomentopositivoBCconcavidade para cima Ponto de inflexão B momento nulo Deslocamento máximo B ou C RM II Eng Civil Aula 6 06 62 Relação momentocurvatura Eixo x eixo do centroide da viga positivo para a direita Eixo v eixo dos deslocamentos verticais da viga a partir do centroide positivo para cima Após a deformação o ângulo entre as seções transversais tornase dθ dx se mantém constante deformaçãonulanoeixoneutroeasdemaislinhas ds se deformam Raio de curvatura ρ distância do centro de curvatura O até dx RM II Eng Civil Aula 6 07 62 Relação momentocurvatura Qualquer arco sobre o elemento exceto dx está sujeito a uma deformação normal ε ds ds ds Como ds dx ρ dθ e ds ρ y dθ ε ρ y dθ ρ dθ ρ dθ A curvatura 1ρ é dada por 1 ρ ε y RM II Eng Civil Aula 6 08 62 Relação momentocurvatura Se o material for homogêneo e elástico aplicase a Lei de Hooke ε σE A fórmula da flexão é aplicável σ M y I Portanto 1 ρ M EI ρ raio de curvatura em um ponto específico M momento fletor no ponto onde ρ deve ser determinado EI rigidez à flexão produto do módulo de elasticidade do material E pelo momento de inércia I da seção transversal RM II Eng Civil Aula 6 09 63 Inclinação e deslocamento por integração A curva da linha elástica de uma viga pode ser expressa matematicamente por uma função v fx Expressando a curvatura em termos de v e x 1 ρ d2vdx2 1 dvdx232 M EI Essa equação representa uma equação diferencial nãolinear de segunda ordem A solução denominada elástica dá a forma exata da linha elástica considerando é claro que as deflexões na viga ocorram apenas por flexão RM II Eng Civil Aula 6 10 63 Inclinação e deslocamento por integração A maioria dos códigos e manuais de engenharia especifica limitações para as deflexões visando a questões de tolerância ou estética e o resultado é que as deflexões elásticas para a maioria das vigas e eixos formam uma curva rasa Por consequência a inclinação da linha elástica determinada por dvdx será muito pequena e o quadrado dessa inclinação será desprezível em comparação com a unidade Portanto a equação da curvatura pode ser simplificada por 1 ρ d2v dx2 M EI RM II Eng Civil Aula 6 11 63 Inclinação e deslocamento por integração Sabendo que V dMdx e w dVdx e que na maioria dos problemas EI é constante ao longo do comprimento da viga EI d4v dx4 wx EI d3v dx3 V x EI d2v dx2 Mx Para cada integração é necessário introduzir uma constante de integração e então resolver para todas as constantes de modo a obter uma solução única para um problema particular O modo mais simples é determinar o momento interno Mx integrar duas vezes e avaliar somente duas constantes de integração RM II Eng Civil Aula 6 12 63 Inclinação e deslocamento por integração Para vigas com vários tipos de carregamento devese escrever a equação do momento fletor para cada região Integrando cada uma dessas equações e determinando as constantes de integração obtémse também a equação da linha elástica para cada região RM II Eng Civil Aula 6 13 63 Inclinação e deslocamento por integração Convenção de sinais v será positivo para cima Se x for positivo para a direita os ângulos θ e dθ serão positivos no sentido antihorário Se x for positivo para a esquerda os ângulos θ e dθ serão positivos no sentido horário RM II Eng Civil Aula 6 14 63 Inclinação e deslocamento por integração Condições de contorno As constantes de integração são determinadas pela avaliação das funções para cisalhamento momento inclinação ou deslocamento em um determinado ponto na viga no qual o valor da função é conhecido Esses valores são denominados condições de contorno RM II Eng Civil Aula 6 15 63 Inclinação e deslocamento por integração Condições de continuidade Se não for possível usar uma única coordenada x para expressar a equação da linha elástica de uma viga devese usar as condições de continuidade para calcular algumas das constantes de integração Na viga abaixo obtidas as funções para a inclinação e a deflexão elas devem resultar nos mesmos valores no ponto B de modo que a linha elástica seja contínua θ1a θ2a v1a v2a θ1a θ2b v1a v2b RM II Eng Civil Aula 6 16 64 Exemplos de aplicação Exemplo 1 121 Hibbeler 7 ed A viga engastada mostrada na figura está sujeita a uma carga vertical P na sua extremidade Determine a equação da linha elástica EI é constante Resposta θx PL² x²2EI vx P2L³ 3L²x x³6EI 64 Exemplos de aplicação Exemplo 2 Prob 93 Beer et al 7 ed A viga engastada mostrada na figura está sujeita a uma carga distribuída w em toda a sua extensão Determine a equação da linha elástica EI é constante Resposta θx wL³ x³6EI vx w3L⁴ 4L³x x⁴24EI 64 Exemplos de aplicação Exemplo 3 Para os exemplos anteriores determine a rotação e o deslocamento no ponto A extremidade livre das vigas considerando L 5 m E 200 GPa P 30 kN w 6 kNm e seção de perfil W 360 39 Resposta Exemplo 1 θA L2P 2EI 0019 rad vA L3P 3EI 6253 mm Exemplo 2 θA L3w 6EI 0006 rad vA L4w 8EI 2345 mm RM II Eng Civil Aula 6 19 64 Exemplos de aplicação Exemplo 4 123 Hibbeler 7 ed A viga simplesmente apoiada mostrada na figura está sujeita a uma carga vertical de 6 kN no ponto B Determine a deflexão máxima da viga ponto D EI é constante Resposta xD 1633 m vD 29031 EI kN m3 RM II Eng Civil Aula 6 20 64 Exemplos de aplicação Exemplo 5 124 Hibbeler 7 ed A viga da figura está sujeita a uma carga vertical de 4 kN na sua extremidade Determine o deslocamento em C EI é constante Resposta vC 40 EI kN m3 RM II Eng Civil Aula 6 21 64 Exemplos de aplicação Exemplo 6 A viga da figura está sujeita a uma carga distribuída de 8 kNm na sua extremidade A partir da linha elástica determine a as reações e apoio e b o deslocamento máximo na viga EI é constante Resposta a Ay 12 kN By 40 kN Cy 12 kN b x1 1686 m vmax 11092 EI kN m3 RM II Eng Civil Aula 6 22 65 Exercícios propostos Exercício 1 Prob 125 Hibbeler 7 ed Determine as equações da linha elástica utilizando as coordenadas x1 e x2 EI é constante Resposta v1x P L a2 2L a 3x1 6EI v2x Px2 2 3L 3a x2 6EI RM II Eng Civil Aula 6 23 65 Exercícios propostos Exercício 2 Prob 1214 Hibbeler 7 ed Determine a equação da linha elástica para a viga utilizando a coordenada x Especifique a inclinação em A e a deflexão máxima EI é constante Resposta vx M0x 2L x L x 6EIL θA LM0 3EI vmax 006415L2M0 EI RM II Eng Civil Aula 6 24 65 Exercícios propostos Exercício 3 Prob 1221 Hibbeler 7 ed Determine as equações da linha elástica utilizando as coordenadas x₁ e x₃ e especifique a inclinação e a deflexão no ponto B EI é constante Resposta v₁x wx₁²6a² 4ax₁ x₁²24EI v₃x a³w4L a 4x₃24EI θB a³w6EI vB a³w4L a24EI 65 Exercícios propostos Exercícios complementares Hibbeler 7 ed Capítulo 12 Integração 129 1210 1215 1219 1221 1222 1225 1227 12104 12107 12108 12111 12112 Lista 3 123 124 126 1220 1225 1226 1228 12103 12105 12106 RM II Eng Civil Aula 6 26 Referências BEER F P et al Mecânica dos Materiais 8 ed São Paulo AMGH Editora 2021 GERE J M GOODNO B J Mecânica dos Materiais 8 ed São Paulo Cengage Learning 2018 HIBBELER R C Resistência dos Materiais 7 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 RM II Eng Civil Aula 6 27