Teoria das Estruturas I: Estudo de Arcos e Aplicações

UnB Universidade de Brasília Faculdade de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Área de Estruturas PósGraduação em Estruturas e Construção CivilPECC Grupo de Dinâmica e FluidoEstrutura TEORIA DAS ESTRUTURAS I ESTUDO DE ARCOS TEORIA E APLICAÇÕES Prof Lineu José Pedroso MAIO DE 2017 Grupo de Dinâmica e FluidoEstrutura Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso PREFÁCIO Esta publicação didática representa uma tentativa de apresentar aos Alunos da Disciplina de Teoria das Estruturas I a Teoria de Arcos e uma série de exercícios resolvidos de grande interesse a fixação dos conteúdos teóricos ministrados durante este modulo do referido curso A Teoria e os exercícios foram organizado da forma que julgamos mais adequada a orientação que pretendemos implementar na UnB atendendo de certa forma três tipos de alunos 1 Graduação nos Cursos de Teoria das Estruturas I e Introdução ao Método dos Elementos Finitos 2 Bolsistas de Iniciação Científica 3 PósGraduação na Cadeira de Teoria das Estruturas Laminares como uma revisão prévia da Teoria de Arcos ainda que para este último grupo seja dado um desenvolvimento mais aprofundado visando aspectos mais voltados a pesquisa e em aplicações que exijam uma maior utilização do ferramental matemático Agradecimentos Agradecemos com grande entusiasmo os Monitores da Disciplina de Teoria das Estruturas I Luan Anzolin e Mariana do Monte Macedo Bruno de Sousa Oliveira assim como outros voluntários pela fundamental contribuição oferecida nas tarefas de resolver exercícios rever exercícios de apostilas anteriores e corrigílos redigir o texto original confecção de gráficos e gravuras e enfim no acabamento do texto final desta apostila Sem a contribuição valorosa e voluntarista destes alunos que teveram um extraordinário aproveitamento nesta Disciplina certamente não contaríamos hoje com o material que agora dispomos para enriquecer ainda mais nossos cursos Brasília Maio de 2017 Prof Lineu José Pedroso Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso PARTE I INDICE Página 1 Introdução 5 2 Arcos 5 3 Tipos de Carregamento Peso Próprio 12 4 Obtenção dos Diagramas dos Esforços Solicitantes 18 5 Conclusão 19 6 Referências Bibliográficas 7 Exemplos e Aplicações 19 Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso 1 Introdução O estudo de arcos figura como peça principal no cálculo e construção de estruturas há vários séculos Nesse sentido especial atenção é requerida para as particularidades geométricas que tais estruturas curvas apresentam Buscase por meio do presente texto proporcionar ao leitor uma visão geral sobre os arcos e suas aplicações na Engenharia Civil Além disso um caso prático de cálculo estrutural será explorado de maneira a enfocar um caso interessante de carregamento o peso próprio da estrutura Finalmente as equações e os diagramas de esforços solicitantes serão apresentados resultados que podem ser posteriormente utilizados no cálculo de deformações por meio do Princípios do Trabalhos Virtuais 2 Arcos 21 Definições O termo arco do latim arcus designa um elemento construtivo em curva que é arredondado normalmente em alvenaria que emoldura a parte superior de um vão abertura passagem ou reentrância suportando o peso vertical do muro em que se encontra Das diversas aplicações que um arco pode ter observase principalmente a sua utilização em portas janelas pontes aquedutos como elementos de composição tridimensional de abóbadas e até em paredes de retenção ou barragens onde a pressão atua horizontalmente Também em formações geológicas aturais se podem encontrar arcos como resultados da erosão Mas além da sua função prática de distribuição da carga o arco possui também uma forte componente decorativa permitindo uma grande variedade formal É neste sentido estético que o arco se torna um elemento útil à identificação e classificação dos diversos movimentos artísticos na arquitetura 22 Componentes e Funcionamento Considere o esquema presente na figura 1 que representa esquematicamente os componentes do arco Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Figura 1 Representação Esquemática dos Componentes do Arco Os componentes são de acordo com a numeração da Fig 1 1 Chave Bloco superior ou aduela de topo que fecha ou trava a estrutura e pode ser decorada Também designa o ponto de fecho de uma abóbada onde os arcos que a compõem se cruzam geralmente em forma estilizada de flor 2 Aduela Bloco em cunha que compõe a zona curva do arco e é colocada em sentido radial com a face côncava para o interior e a convexa para o exterior 3 Extradorso Face exterior e convexa do arco 4 Imposta Bloco superior do pilar que separa o pédireito do bloco de onde começa a curva a aduela de arranque É sobre a imposta que assenta esta primeira aduela que tem pelo menos um dos lados junta horizontal 5 Intradorso Face interior e côncava do arco 6 Flecha Dimensão que se prolonga desde a linha de arranque delimitada pela imposta e pela aduela de arranque até à face interior da chave Esta área pode ser tapada dando lugar a um tímpano 7 Luz Vão largura do arco geralmente maior que a sua profundidade A relação entre a flecha e a luz é geralmente traduzida numa fracção ex 12 13 etc 8 Contraforte Muro que suporta a impulsão do arco Caso não exista uma parede esta impulsão pode ser recolhida por outro arco lateral e assim sucessivamente arcada Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Em relação ao funcionamento ao contrário de aberturas rematadas a trave onde a carga vertical exercida diretamente sobre um lintel o pode eventualmente deformar ou quebrar o arco funciona em compressão e transporta o peso da construção para os pilares de suporte e para os lados impulso lateral e diagonal permitindo a abertura de vãos maiores sem risco de colapso Geralmente em pedra tijolo ou outro material de construção similar o arco é composto por blocos em cunha que colocados adjacentemente se travam uns aos outros em compressão e mantêm a forma em curva O bloco situado no vértice do arco a maçaneta é o último elemento a ser colocado e o que permite que a estrutura se trave e a forma se mantenha Até à colocação deste último elemento é usada uma armação provisória em madeira ou metal o cimbre que serve de molde apresentando o que será a curva interior do arco e que permite que as aduelas tenham apoio até à consolidação final com a chave Caso os cálculos tenham sido mal efectuados pode acontecer que a estrutura colapse após a remoção do suporte 23 História O uso do arco surge com as civilizações da Antiguidade embora o Antigo Egipto a Babilónia a Grécia Antiga e a Assíria o tenham restrito a construções no subsolo nomeadamente em estruturas de drenagem e abóbadas Por outro lado a sua arquitectura exterior é sobretudo caracterizada por uma tipologia onde se conjuga o uso da coluna com a viga horizontal Assim pela necessidade de minorar o impulso vertical sobre os lintéis de pedra propagase o uso de colunas sucessivas de colocação próxima e que têm como função suportar a tal carga São mais tarde os romanos os responsáveis pela utilização do arco em grande escala erigindo pelo alcance de maiores vãos edifícios de dimensões monumentais É nesta altura que se propaga o arco de volta perfeita semicircular assente em pilares e que será também uma das características do estilo românico e do Renascimento Por altura do estilo gótico difundese um novo género de arco que se crê já ter sido anteriormente utilizado pelos assírios o arco quebrado Este arco é composto por dois segmentos de circunferência com centros distintos dando lugar a uma forma cristalina que faculta ao arco uma Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso maior força e possibilita vãos mais altos Este arco provoca no entanto um maior impulso olíquo que será inicialmente recebido por espessos contrafortes e mais tarde por arcobotantes Também na arquitectura islámica é comum o uso do arco especialmente por motivações decorativas onde sobressaem o arco de ferradura e diversos arcos decorativos com a inserção de lóbulos rendilhados Mais a Oriente a China usava já desde dinastias antigas o arco aplicado à construção de pontes Ao longo do tempo vão sendo adaptadas e fundidas diversas tipologias formais do arco nos diversos movimentos eclécticos da arquitectura 24 Tipologia Um arco pode adoptar diversas tipologias formais que variam consoante o número de centros e a sua localização forma das aduelas decoração etc Além das diferenças formais individuais também se podem encontrar arcos em grupos e diferentes combinações como por exemplo sobreposições de arcos em dois andares e interseções consecutivas de arcos Seguemse algumas das variantes Arco de volta perfeita ou semicircular de meio ponto de volta inteira de volta redonda redondo de pleno centro romano semicircunferência formada a partir de um só centro descrevendo um ângulo de 180º O valor da flecha ou altura é a metade do valor da luz abertura ou vão como pode ser visto na Figura 2 Figura 2 Arco de volta perfeita na Porta de Ishtar Museu de Pérgamo em Berlim Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Arco quebrado apontado possui uma forma pontiaguda angular por ser composto de dois segmentos de curva com dois centros diferentes que se cruzam no topo O valor da flecha é maior que o valor da luz como pode ser visto na Figura 3 Figura 3 Portal com arco quebrado da Mosteiro da Batalha em Portugal Arco lanceolado como o nome indica de forma similar à extremidade de uma lança como pode ser visto na Figura 4 Figura 4 Arco lanceolado no Palácio da Pena em Portugal Arco peraltado ultrasemicircular elevado em que a curva começa a uma certa distância da imposta ou seja o valor da flecha é superior ao valor do raio como podese ver abaixo na Figura 5 Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Figura 5 Arco peraltado ao fundo na igreja de San Pedro de la Nave em Espanha Arco polilobado intradorso formado por diversos lóbulos Foi importado do Oriente e também usado na arquitectura islámica Crêse que representa simbolicamente o mundo ou céu de onde nascem outros mundos ou céus como podese ver na Figura 6 Figura 6 Arcos polilobados no castelo de La Aljafería em Espanha Arco trilobado intradorso formado por três lóbulos de dimensões não obrigatoriamente iguais conforme se ve na Figura 7 Figura 7 Arco trilobado no castelo de La Aljafería em Espanha Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Arco tudor género de arco canopial que se prolonga em dois segmentos de recta terminando em vértice no topo mas mais baixo Um exemplo está na Figura 8 Fitgura 8 Arcos tudor na entrada para o Taj Mahal índia Arco em ferradura ultrapassado a curva prolongase para baixo do centro ou seja o diâmetro do arco é superior à largura do vão como se apresenta na Figura 9 Figura 9 Arco em ferradura no castelo de La Aljafería em Espanha 3 Tipos de Carregamento Peso Próprio Para o presente estudo vaise considerar o arco de volta perfeito isostático triarticulado representado esquematicamente por meio de sua linha neutra pela Figura 10 Figura 10 Arco Triarticulado Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Para a compreensão do carregamento de peso próprio vamos discretizar o referido arco em pequenos trechos de espessura e profundidade p e de largura variavel como podese ver abaixo na Figura 11 Figura 11 Discretização do Arco Sabese da Física de corpos que a ação da força peso sobre qualquer corpo pode ser representada por um vetor que passa pelo seu centro de massa apontando para o centro de massa da Terra No caso da presente análise adotase que a direção é vertical e sentido para baixo como se pode ver abaixo na Figura 12 Na referida figura e no presente trabalho os vetores são apenas representativos das forças não tendo comprimento variando segundo o módulo correspondente Figura 12 Força Peso Do exposto temos que resolver o seguinte sistema simplificado Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Figura 13 Situação Problema Considerase que o arco tem espessura e raio interno Ri raio externo Re raio da linha neutra RLN e peso específico linear por metro de profundidade γ Assim o valor do carregamento distribuído q em relação ao comprimento do setor circular correspondente a linha neutra é 2 2 2 N L i e R R R o Compriment Peso q 1 Sabese que 2 e R R L N e 2 2 e R R L N i 3 Por meio das Eqs de 1 a 3 temse e R R e R R R R R R R R q N L N L N L i e i e N L i e 2 2 2 2 2 2 4 Para o cálculo das reações considere o esquema presente na Figura 14 Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Figura 14 Representação das Reações Do equilíbrio teremos 0 0 R e V V F L N b a y 5 b a b a x H H H H F 0 0 6 a N L b L N b L N a V e R V e R V R M horário anti 2 0 2 0 2 7 0 2 0 e X R V R H R M horário anti N L b L N b N L direita c 8 Na Eq8 devese notar o aparecimento da distância X que representa a distância horizontal do ponto C até o ponto de aplicação da resultante do carregamento do peso próprio da metade direita da estrutura Vale notar que caso o referencial do arco esteja em seu centro X representa a distancia do centro até o centro de gravidade do referido arco Para a obtenção da dita distância sabese que as coordenadas do centro de gravidade XCG YCG podem ser calculadas da seguinte maneira dm ydm dm xdm Y X C G C G 9 em que dm é um diferencial de massa No caso em estudo considere o seguinte trecho Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Figura 15 Trecho para Cálculo do Centro de massa Por se tratar de uma densidade linear constante e de um sistema polar de coordenadas teremos cos rsen r x y g rdrd dm 10 Assim para um arco com ângulo central φ 0 0 2 0 0 2 cos e i e i e i e i R R R R R R R R C G G C rdrd drd sen r rdrd drd r Y X 2 2 8 2 3 3 cos 2 1 8 2 3 3 2 N L N L N L N L R e R R e R sen 11 Para o cálculo das reações teremos da Eq8 2 8 2 3 2 3 2 2 2 2 N L N L L N C G b b R e R sen e R e X V H a N L N L L N H R e R e R 2 8 2 3 3 4 2 12 Conhecidas as reações para a obtenção dos esforços e consequentemente dos diagramas considere o esquema da Figura 16 Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Figura 16 Trecho para Cálculo dos esforços solicitantes Para o cálculo dos esforços decompondo as forças nas direções dos esforços internos conforme é indicado na Figura 17 do equilíbrio na seção S da figura acima teremos Figura 17 Decomposição na Direção dos Esforços Internos 0 cos cos 0 P H sen V N F b b N cos cos H sen V P N b b 8 2 3 3 4 2 cos 2 cos 2 sen R e R e R e R R e N L N L N L N L L N 8 2 3 3 4 2 1 2 cos cos 2 sen R e R R eR N L N L N L L N 13 0 cos 0 V H Psen V sen F b b V Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso cos b b H V sen Psen V cos 8 2 3 3 4 2 2 2 N L N L N L N L L N R e R e R e sen R sen e R cos 8 2 3 3 4 2 1 2 2 2 N L L N R e sen sen eR 14 0 M S horário 0 cos 1 cos L N b L N b L N C G V R sen H R R P X M cos cos 1 sen H R R P X V R M L N b L N C G b L N cos 8 2 3 3 2 cos 1 2 2 N L N L N L L N N L L N R R e R sen e R e R R M 8 2 3 3 4 2 2 sen R R e R R e N L N L N L N L cos 8 2 3 3 2 cos 1 2 2 2 2 N L L N R e sen eR M 8 2 3 3 4 1 2 2 2 sen R e N L 15 Vale notar que as equações encontradas acima valem para φ entre 0 e π2 Para a obtenção da outra parte do diagrama basta rebater simetricamente o diagrama de momentos e esforço normal em relação ao eixo y e antisimetricamente em relação ao mesmo eixo para o caso do esforço cortante 4 Obtenção dos Diagramas dos Esforços Solicitantes Como pode ser visto das equações obtidas as mesmas dependem do valor do peso específico linear da espessura do arco e do raio da linha neutra Assim para o traçado real dos diagramas necessitase dos valores de cada parâmetro Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso No caso de arcos delgados por outro lado podese dizer que e RLN o que implica na simplificação 0 e RL N nas fórmulas acima Notase porém que essa simplificação resulta em erro o qual pode ou nao ser significativo no computo final dos esforços 5 Conclusão A partir dos conceitos de isostática e de mecânica das massas pôdese desenvolver uma metodologia de cálculo dos esforços devido a peso próprio em arcos Dessa forma a partir das equações descritas podese para casos reais avaliar quantitativamente os valores dos esforços e os respectivos diagramas devido ao carregamento citado O caso estudado serve como forma principal para um arco circular hiperestático 6 Referências Bibliográficas httpptwikipediaorgwikiArcoarquitectura visitado em 31072011 Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso PARTE II EXERCÍCIOS 1 Calcule a energia total de deformação para as duas estruturas abaixo considerando e Calcule cada termo independentemente e verifique a parcel de contribuição em porcentagem de cada um destes termos em relação à energia total Depois determine o deslocamento vertical em baixo do ponto de aplicação da carga igualando ao trabalho interno Dados a Arco Energia de deformação devido à tensão Normal Com a área da seção da barra constante temos Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Energia de deformação devido ao esforço Cortante Energia de deformação devido ao Momento Fletor Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Energia Total de Deformação Parcela de cada esforço Deformação b Pórtico Energia de deformação devido à tensão Normal Energia de deformação devido ao esforço Cortante Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Energia de deformação devido ao Momento Fletor Energia Total de Deformação Parcela de cada esforço Deformação Nota Os percentuais de energia devido ao esforço normal e cortante carecem de uma analíse mais profunda para verificar a pertinência dos resultados encontrados 2 Traçar os diagramas de normal cortante e momento fletor para o arco da questão 2 submetido ao peso próprio Normal Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Cortante Momento Fletor 3 Calcule a Energia Total de Deformação para o arco abaixo considerando Mx Vx e Nx Calcule cada termo independentemente e verifique a parcela de contribuição em de cada um destes termos em relação a Energia Total Dados Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Resolução Cálculo do momento de inércia 3 3 4 3050 312500 12 12 bh I cm Sabemos que os esforços da estrutura são 1 cos 2 2 cos 2 PR M s P V s sen P N s Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Figura extraída do livro de José Carlos Süssekind Curso de Análise Estrutural VL1 página 125 Como podemos perceber os diagramas de momento fletor e normal são simétricos enquanto o de esforço cortante é antissimétrico Portanto para quantificar a energia interna podemos calculála apenas para um dos lados da estrutura e multiplicar o resultado por dois Logo temos que Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso i Energia de Deformação Elástica para Tensões de Flexão 2 2 F M U EI dx 2 2 3 2 2 2 0 0 2 3 2 3 2 2 2 0 0 2 3 2 3 2 3 1 cos 1 2 2 1 cos 2 4 2 1 2cos cos 2 4 4 2 4 2 4 2 4 3 3 1000 400 2 2 6079 4 4 4 4300000312500 F F F F PR P R U Rd d EI EI P R P R sen U d sen EI EI P R U EI P R U kgf EI cm Análise dimensional 2 3 2 4 F kgf cm cm U kgf cm kgf cm ii Energia de Deformação Elástica para Tensões de Cisalhamento 2 2 y V y V x U X GA dx onde y X Fator de Forma é função da configuração geométrica da seção Para área constante e seção retangular temos que 6 5 y X maiores detalhes na apostila Teoria das Estruturas 1 Métodos de Energia do Prof Lineu José Pedroso página 20 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 0 2 2 2 6 3 2 25 2 10 3 2 3 10 2 4 10 4 3 9 9 1000 400 063 40 40 403000003050 V V V P sen P R U Rd sen GA GA P R sen P R U GA GA P R P R U kgf cm GA EA Análise dimensional 2 2 2 V kgf cm cm U kgf cm kgf cm iii Energia de Deformação Elástica para Tensões Normais 2 0 2 l N N dx U E A x 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 1000 400 cos 035 2 2 8 83000003050 N N N N R U Rd EA EA P R P R U kgf cm EA EA Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Análise dimensional 2 2 2 N kgf cm cm U kgf cm kgf cm Logo temos que Contribuição de em 6079 100 9841 6177 Contribuição de em 063 100 102 6177 Contribuição de em 035 100 057 6177 4 Determinar as reações no arco pelo teorema de Castigliano Resolução Por simetria da estrutura e do carregamento sabemos imediatamente que as reações verticais são iguais a P2 Cálculo do momento fletor para Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso 2 1 cos PR M s HRsen Como as reações são iguais e a estrutura é simétrica o diagrama de momento fletor será simétrico Uma vez que lidamos com energia interna podemos calcular apenas a metade da estrutura e multiplicar o resultado por dois Logo através de Castigliano temos que 2 2 2 int 0 0 int 2 0 0 0 2 2 0 3 2 3 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 1 cos 0 2 1 cos 0 2 l F B H l l B H l B H B H M M U U dx Rd EI EI U H M M M dx dx H EI EI H M EI M dx H PR EI HRsen R sen Rd PR sen HR sen d 3 2 3 2 2 0 0 3 3 2 cos 0 2 2 2 4 4 4 03183 PR sen sen HR PR HR P H P 5 Determinar as reações no arco da questão anterior pelo método das forças Resolução Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Cálculo dos momentos fletores 0 0 1 1 2 1 cos 2 1 cos 2 1 1 1 cos cos PR PR M s sen PR M s sen M s R R M s Cálculo dos equação de compatibilidade e hiperestático 2 10 0 2 10 2 2 11 0 11 2 1 1 1 cos cos 2 1 2 2 4 cos 4 1 0 2 2 4 4 01817 PR EI sen Rd PR EI EI Rd R EI PR R X X PR Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso 0 1 01817 01817 2 03183 E E PR E P PR H R H P Confirmamos assim o resultado anteriormente encontrado 6 Determinar o deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga P para o pórtico e para o arco circular da figura questão 2 lista 1 utilizando o método da carga unitária Considerar os termos de momento normal e cortante verificando a contribuição em porcentagem de cada termo no resultado final Dados a Arco Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Para o estado de deformação a carga unitária se encontra no mesmo ponto de aplicação da carga do estado de deformação logo o desenho do estado de carregamento da estrutura é semelhante desenho do estado de deformação Contribuição de cada esforço Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso b Pórtico Primeiramente fazemos o equilíbrio da estrutura e então podemos traçar os diagramas de normal de cortante e de momento fletor respectivamente Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Agora podemos calcular o deslocamento causado por cada esforço Contribuição de cada esforço 7 Qual deve ser o valor do esforço normal no tirante da estrutura abaixo para que haja um encurtamento de 1 cm Dados Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso Ao trabalharmos com a propriedade simétrica da estrutura e uma vez que a estrutura está dividida ao meio devemos considerar um encurtamento de apenas 05cm Lembrando que EI agentes externos Como não há carregamento externo recalque ou temperatura neste caso estes termos são Nulos Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso 2 Cálculo dos equação de compatibilidade e hiperestático EI 11 1 31 52 3 2 1 52 1 sen 2 Rd 0 104 103 312 EI 11 32 25 6 75 2 1 2sen sen d 0 EI 32 25 6 75 2 cos sen2 2 11 2 4 0 EI 32 25 6 753 2 11 4 EI 11 34 65 EI 1040 5102 EI 1enc 50 50 34 65X1 0 X1 1 44 Resposta N144t tração 8 Sussekind II 529 Empregando o teorema de Castigliano calcular o deslocamento horizontal relativo das extremidades A e B do anel circular aberto da figura Desprezar os efeitos de força normal e são constantes Estudo de Arcos Teoria e Aplicações Prof Lineu J Pedroso 36 UnB Teoria das Estruturas 1 Prof Lineu Pedroso Monitor Pedro Paulo Fonsêca dos Santos Calcular o deslocamento vertical na rótula C do arco da figura devido a ações do peso próprio Dados Figura 1 Secção transversal do arco Figura 2 Sistema principal peso próprio Primeiramente acharemos as reações de apoio no arco A reação de apoio vertical é bem simples de ser encontrada considerando que o arco é simetrico em relação ao ponto C Logo Para calcular a reação horizontal dos apoios precisamos dividir a estrutura na rótula C e assumir que o momento em C é igual a 0 o que é razoável considerando que o ponto C é uma rótula Figura 3 Metade do arco peso próprio Para resolver a equação é necessário sabermos onde é o centro de massa de um arco Vamos então descobrir esse valor Onde é o vetor posição de cara volume infinitesimal e é a massa Podemos substituir por sendo a massa específica do material constituinte qualquer Temos então Como nosso arco tem a secção transversal constante temos que pode ser substituido por e em coordenadas polares é igual à Podemos também escrever a massa de forma genérica como sendo Escrevemos então O vetor posição das partículas pode ser escrito como expresso em coordenadas polares como Como a nossa força está na direção ela não produzirá momentos com braço de alavanca em podemos portante ignorar a posição vertical do centro e massa e trabalhar somente com Voltando então para o cálculo de temos Para nosso problema logo Podemos então calcular a fórmula do momento fletor em qualquer ponto do arco Figura 4 Corte no arco peso próprio A nível de confirmação do resultado é importante observar que nosso momento fletor vale 0 em e exatamente como deveria ser já que há rótulas nesses dois pontos Agora que temos todas as informações do nosso sistema principal precisamos resolver o sistema secundário Como queremos o deslocamente vertical em C aplicaremos uma força no ponto C direção vertical e sentido para baixo o sentido é livre eu coloquei para baixo porque suponho que o descolamento seja para baixo Vamos resolver então Figura 5 Sistema secundário carga concentrada Novamente podemos encontrar as reações verticais do problema de forma rápida sabendo que o arco é simétrico Temos portanto As reações horizontais serão encontradas da mesma forma que no sistema principal Temos portanto Agora para encontrar a equação do momento fletor temos Figura 6 Metade do arco carga concentrada Tendo as duas equações de momentos podemso calcular o deslocamento pelo método dos trabalhos virtuais para corpos deformáveis Temos então que Vamos considerar igual à 1 já que ele é arbitrário Transformaremos também para coordenadas polares É importante lembrar que estamos usando apenas metade da estruturas e por isso aparecerá um 2 do lado direito da equação esse número contabilizará as contribuições da outra metade da estrutura Teremos então Substituindo os dados temos