Trabalho e Energia de Deformação na Física

Conteúdo da Aula 81 Trabalho externo 82 Energia de deformação 83 Energia de deformação elástica para vários tipos de carga 84 Conservação de energia 85 Exercícios propostos 81 Trabalho externo Conceito Na Física o termo trabalho é utilizado para expressar o Trabalho realizado por uma força ou seja o Trabalho Mecânico Uma força aplicada em um corpo realiza um trabalho quando produz um deslocamento no corpo É possível determinar o trabalho provocado por uma força interna e momento e expressálo em relação à energia de deformação de um corpo RM II Eng Civil Aula 8 03 81 Trabalho externo Trabalho de uma forca e Uma forca realiza trabalho quando sofre um deslocamento dx que esta na mesma diregdo dela O trabalho realizado é um escalar definido como WeFde U Pax tli e Se uma forga axial for aplicada gradualmente variando de 0a Po deslocamento final se torna A Seo material for elastico a fora P é proporcional ao alongamento A Integrando de0aA TA P AP 1 F PA At U Az dx 5 P 81 Trabalho externo Trabalho de uma força Supondo que P já está aplicada à barra e que outra força P é aplicada de modo que a extremidade da barra deslocase por uma quantidade adicional O trabalho realizado por P não P quando a barra sofre esse deslocamento adicional é U e P RM II Eng Civil Aula 8 05 81 Trabalho externo Trabalho de uma força Quando uma força P é aplicada à barra seguida pela aplicação da força P o trabalho total realizado por ambas as forças é representado pela área do triângulo inteiro A área triangular azul clara representa o trabalho de P que é provocado por seu deslocamento A área triangular cinza representa o trabalho de P visto que essa força deslocase A área retangular azul escura representa o trabalho adicional realizado por P quando P deslocase em razão de P RM II Eng Civil Aula 8 06 81 Trabalho externo Trabalho de um momento e Um momento M realiza trabalho quando sofre um deslocamento a rotacional d ao longo de sua linha de acdo O trabalho realizado é dUeMdp U mas Seo material for elastico e o momento aumente gradualmente de 0a M 1 Ue 9 Mé6 e Se M ja estiver aplicado ao corpo e outras cargas provocarem rotagao adicional 6 ao corpo entdo o trabalho sera UMO 82 Energia de deformação Conceito Quando cargas são aplicadas a um corpo elas deformam o material Contanto que nenhuma energia seja perdida sob forma de calor o trabalho externo realizado pelas cargas será convertido em trabalho interno denominado energia de deformação Ui Essa energia que se apresenta sempre positiva é armazenada no corpo e provocada pela ação da tensão normal ou da tensão de cisalhamento RM II Eng Civil Aula 8 08 82 Energia de deformação Tensão normal Se um elemento de volume for submetido à tensão normal σz a força criada nas faces superior e inferior é dFz σz dA σz dx dy Se essa força for aplicada gradualmente sua intensidade aumentará de 0 a dFz enquanto o elemento sofrerá um deslocamento dz εz dz O trabalho realizado por dFz é dUi 1 2dFz dz 1 2σz dx dy εz dz RM II Eng Civil Aula 8 09 82 Energia de deformagao Tensao normal Ovolume interno é dV dz dy dz logo 1 77 dU O0z Ex dV dx 2 2 e U ésempre positivo ja que c ec estao na mesma direcao e Em geral se o corpo for submetido somente a uma tensao normal uniaxial o que age em uma direcdo especifica a energia de Lb deformacao no corpo sera 2 U ve dV Lei de Hooke Ur oa v 2 V2E 82 Energia de deformação Tensão de cisalhamento A tensão de cisalhamento τ provoca a deformação do elemento de modo que somente a força de cisalhamento dF τ dx dy que age sobre a face superior do elemento deslocase γ dz em relação à face inferior As faces verticais só giram portanto as forças de cisalhamento nessas faces não realizam nenhum trabalho A energia de deformação armazenada no elemento é dUi 1 2τ dx dy γ dz 1 2τ γ dV RM II Eng Civil Aula 8 11 82 Energia de deformagao Tensao de cisalhamento Integrando oo a Ui TV av UZ Ce ue v 2 me e Aenergia de deformacao por cisalhamento é sempre positiva visto que 7 e y estado sempre na mesma direcao e Pela Lei de Hooke 5 rt U 7a v2G 83 Energia de deformacao elastica para varios tipos de carga Carga axial e Para uma barra de secao transversal variavel ao longo de x sujeita a uma forga axial N aplicada no eixo do centroide da barra 2 N2 o oo U seav I 2E vy 2E A dv x x A e Sabendo quedV Adz L N2 ui 44 o2EA 83 Energia de deformação elástica para vários tipos de carga Carga axial Para uma barra de seção transversal constante de área A e comprimento L sujeita a uma força axial N Ui N 2 L 2 E A RM II Eng Civil Aula 8 14 83 Energia de deformação elástica para vários tipos de carga Exemplo 1 Prob 143 Hibbeler 7 ed Determine a energia de deformação no conjunto de hastes A porção AB é de aço BC de latão e CD de alumínio Eaço 200 GPa Elat 101 GPa Eal 731 GPa Resposta Ui 0372 J RM II Eng Civil Aula 8 15 83 Energia de deformacao elastica para varios tipos de carga Momento fletor e Usando a equacao de energia de deformacao devido a tensdo normal oa 1 My j U ge av 5 dAd 2E v2E I us ss y Ou LP x 2 2 ui SER y aA dz e Jaque fydATI L M2 v fe ae o2EI 83 Energia de deformação elástica para vários tipos de carga Exemplo 2 142 Hibbeler 7 ed Determine a energia de deformação elástica provocada pela flexão da viga em balanço se ela for submetida à carga distribuída uniforme w EI é constante Resposta Ui L5 w2 40 EI RM II Eng Civil Aula 8 17 83 Energia de deformacao elastica para varios tipos de carga Cisalhamento transversal e Seocisalhamento interno na secao x for V Tr 1 VQ U bse LsglGe we y L y2 Q x Vv dA i I 2GP U 2 4 ae Definindo o fator de forma f como L 2 U feV 4 i da Af Q 02GA fs af dA 83 Energia de deformacao elastica para varios tipos de carga Fator de forma e O fator de forma f 6 um numero adimensional exclusivo para cada area de secao transversal especifica e Por exemplo se a viga tiver uma secao transversal retangular com largura be altura h b tb Abh AL A bh b fh 9 1 12 24 N y ty A A h2 Q 6 2 z z bd T tt Is I i t2 y 5 83 Energia de deformação elástica para vários tipos de carga Exemplo 3 144 Hibbeler 7 ed Determine a energia de deformação na viga em balanço decorrente de cisalhamento se a viga tiver seção transversal quadrada e for submetida a uma carga distribuída uniforme w EI e G são constantes Resposta Ui L3 w2 5 GA RM II Eng Civil Aula 8 20 83 Energia de deformacao elastica para varios tipos de carga Torque e Para uma barra de secdo variavel ao longo de z oN sujeita a um torque T aplicado no eixo do centroide Ss dA da barra ag 7 1 Tp er i A U sew Lsglf ue 1 Ou L T 2 i s dA d t sap fea 83 Energia de deformacao elastica para varios tipos de carga Torque e Sabendo que J pdA J oN T AS U dx pP 02GJI om e Seasegao transversal for constante J é constante T KU TL T U L 83 Energia de deformação elástica para vários tipos de carga Exemplo 4 145 Hibbeler 7 ed O eixo tubular está engastado na parede e é submetido aos dois torques mostrados Determine a energia de deformação armazenada no eixo decorrente dessa carga Considere G 75 GPa Resposta Ui 233 µJ RM II Eng Civil Aula 8 23 84 Conservação de energia Todos os métodos de energia usados em mecânica baseiamse em um equilíbrio de energia muitas vezes denominado conservação de energia Se uma carga for aplicada lentamente a um corpo de modo que a energia cinética possa ser desprezada as cargas externas tendem a deformar o corpo de modo que as cargas realizam trabalho externo Ue à medida que são deslocadas EssetrabalhoexternoprovocadopelascargastransformaseemtrabalhointernoUe Ui que é armazenada no corpo Quando se removem as cargas a energia de deformação restitui o corpo à posição original não deformada desde que o limite de elasticidade do material não seja ultrapassado RM II Eng Civil Aula 8 24 84 Conservagao de energia Exemplo de trelica e Tomando como exemplo uma trelica sujeita a uma carga P aplicada gradualmente 1 Ue 9 P A e Em cada elemento da treliga sera desenvolvida uma forca normal N devido a P v Xt 2A Y e Aplicando a conservagao de energia Vi pay NL wits alee 2 2EA 84 Conservagao de energia Exemplo de viga com carga concentrada e A deformagao seria o resultado das cargas do cisalhamento e momentos internos provocados por P e Acontribuigdo da energia de deformacao decorrente do cisalhamento é desprezada na maioria dos problemas de de flexao em vigas a menos que a viga seja curta e suporte uma carga muito elevada e Aconservacao de energia pode ser determinada considerando somente a energia de deformacao de flexao P 1 LM PA a 2 0 2B SS ll A bees 84 Conservagao de energia Exemplo de viga com momento concentrado Considerando uma viga engastada com a aplicagdo de um momento Mo que provoca uma rotacao 8 e Aconservagao de energia desprezando a contribuicdo do cisalhamento é dada por My 1 LM M6 ee g Moe ia e Assim é possivel calcular a rotagado 6 no ponto de aplicagdo do momento Mp 84 Conservação de energia Exemplo 5 146 Hibbeler 7 ed A treliça de três barras está sujeita a uma força horizontal de 20 kN Se a área da seção transversal de cada elemento estrutural for 100 mm2 determine o deslocamento horizontal no ponto B E 200 GPa Resposta Bx 473 mm RM II Eng Civil Aula 8 28 84 Conservação de energia Exemplo 6 147 Hibbeler 7 ed A viga em balanço tem seção transversal retangular e está sujeita a uma carga P em sua extremidade Determine o deslocamento da carga EI é constante Desconsidere a energia de deformação de cisalhamento Resposta L3 P 3 EI RM II Eng Civil Aula 8 29 85 Exercícios propostos Exercício 1 Prob 144 Hibbeler 7 ed Determine a energia de deformação por torção no eixo de aço A36 O eixo tem raio de 40 mm G 75 GPa Resposta Ui 14921 J RM II Eng Civil Aula 8 30 85 Exercícios propostos Exercício 2 Prob 147 Hibbeler 7 ed Determine a energia de deformação por flexão na viga de perfil W250 x 18 de aço estrutural A36 Obtenha a resposta usando as coordenadas x1 e x4 Determine o deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga Resposta Ui 80000 J 5333 mm RM II Eng Civil Aula 8 31 85 Exercícios propostos Exercício 3 Prob 1425 Hibbeler 7 ed Determine o deslocamento horizontal da articulação A Cada barra é feita de aço A36 e tem área de seção transversal de 950 mm2 Resposta 041 mm RM II Eng Civil Aula 8 32 85 Exercícios propostos Exercício 4 Prob 1427 Hibbeler 7 ed Determine a inclinação na extremidade B da viga de aço A36 I 80 106 mm4 Resposta θB 0001 rad RM II Eng Civil Aula 8 33 85 Exercícios propostos Exercícios complementares Hibbeler 7 ed Capítulo 14 Energia de deformação 143 144 147 149 1411 Conservação de energia 1425 1426 1427 1428 1432 RM II Eng Civil Aula 8 34 Referências BEER F P et al Mecânica dos Materiais 8 ed São Paulo AMGH Editora 2021 GERE J M GOODNO B J Mecânica dos Materiais 8 ed São Paulo Cengage Learning 2018 HIBBELER R C Resistência dos Materiais 7 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 RM II Eng Civil Aula 8 35