Exercícios Resolvidos de Cálculo de Derivadas e Analiticidade de Funções Complexas

1 Calcule a derivada das funções abaixo fz 1 z2 4iz5 fz z2 i3iz 12 fz z 3i z 3i fz 3z2 2z 4 fz z 1 2z 1 z 12 fz 5iz3 10z2 3 4i fz 2z2 i5 fz z2 2z 7i2 z4 4iz3 fz 1 z24 z2 z 0 fz 5iz2 2 iz2 fz 2 i z5 iz4 3z2 i6 fz z6 1x2 z 1 5iz fz 4 2iz 2 iz2 9i3 fz iz2 2z 3z 1 i fz z4 2iz2 z10 2 Nos Problemas 2730 determine os pontos em que a função dada não é analítica 27 fz iz2 2z 3z 1 i 28 fz 5iz2 2 i z2 29 fz z4 2iz2 z10 30 fz 4 2iz 2 iz2 9i3 3 Nos Problemas 1 e 2 a função dada é analítica para todo z Mostre que as equações de CauchyRiemann são satisfeitas em todos os pontos 1 fz z3 2 fz 3z2 5z 6i Nos Problemas 38 mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto 3 fz Rez 4 fz y ix 5 fz 4z 6z 3 6 fz z2 7 fz x2 y2 8 fz x x2 y2 iy x2 y2 4 Determine onde existir f z e encontre seu valor a fz 1z b fz x2 iy2 c fz z Im z 1 fz 1 z2 4iz5 fz 2z 20 i z4 2 fz 3z2 2z 4 fz 6z 2 3 fz z 12z 1 fz z 1 2z 1 z 1 2z 1 2z 12 1 2z 1 z 1 2 2z 12 2z 1 2z 2 2z 12 32z 12 4 fz 2z2 i5 u 2z2 i fu u5 dudz 4z dtdu 5u4 aplicando a regra da cadeia dtdz dudz dtdu 4z 5 2z2 i4 20z 2z2 i4 fz 1 z24 z2 fz 1 z24 z2 1 z24 z2 z22 1 z24 z2 1 z24 z2 z22 fz 4 2z 1 z23 2z 1 z24 z4 fz 2 1 z23 4 1 3z2 z3 fz 2 1 z23 3 3z2 z3 fz 2 i z5 i z4 3z2 i6 fz 5 2 i z4 4iz3 6z fz z6 1z2 z 1 5iz fz z6 1 z2 z 1 5iz z6 1 z2 z 1 5iz 6z5 z2 z 1 5iz z6 1 2z 1 5i fz 6z7 6z6 6z5 30i z5 2z7 z6 fz 8z7 7z6 6 30i z5 2z 1 fz 1 z24 z2 fz 1 z24 z2 1 z24 z2 z22 1 z24 z2 1 z24 z2 z22 fz 4 2z 1 z23 2z 1 z24 z4 fz 2 1 z23 4 1 3z2 z3 fz 2 1 z23 3 3z2 z3 fz 2 i z5 i z4 3z2 i6 fz 5 2 i z4 4iz3 6z fz z6 1z2 z 1 5iz fz z6 1 z2 z 1 5iz z6 1 z2 z 1 5iz 6z5 z2 z 1 5iz z6 1 2z 1 5i fz 6z7 6z6 6z5 30i z5 2z7 z6 fz 8z7 7z6 6 30i z5 2z 1 fzg i zg2 2 zg 3 zg 1 i fzg i zg2 2 zg 3 zg 1 i i zg2 2 zg 3 zg 1 i 3 zg 1 i2 fzg 2 i zg 2 3 zg 1 i i zg2 2 zg 3 3 zg 1 i2 fzg 6 i zg2 2 i zg 2 i2 zg 2 2 i 3 i zg2 6 zg 3 zg 1 i2 fzg 3 i zg2 2 i zg 12 zg 2 2 i 3 zg 1 i2 fzg zg4 2 i zg2 zg10 u zg4 2 i zg2 zg fu u10 dudzg 4 zg3 4 i zg 1 fu 10 u9 ddzg dudzg ddu ddzg 4 zg3 4 i zg 1 10 zg4 2 i zg2 zg9 fzg zg2 i3 izg 12 fzg zg2 i3 izg 1 zg2 i3 izg 12 fzg 3 2zg zg2 i2 izg 1 zg2 i3 2i izg 1 fzg 6zg zg2 i2 izg 1 zg2 i3 2i 2zg fzg zg2 i2 6zg izg 1 zg2 i 2i 2zg fzg zg 3i zg 3i fzg zg 3i zg 3i zg 3i zg 3i zg 3i2 fzg 1 zg 3i zg 3i 1 zg 3i2 fzg zg 3i zg 3i zg 3i2 6i zg 3i2 fzg 5izg3 10 zg2 3 4i fzg 5ixz3 10 gz2 3 4i fzg 5i zg3 10 zg2 3 4i fzg 15i zg2 20 zg fzg zg2 2zg 7i2 zg4 4i zg3 fzg zg2 2zg 7i2 zg4 4i zg3 zg2 2zg 7i2 zg4 4i zg3 fzg 2 zg 2 zg2 2 zg 7i zg4 4i zg3 zg2 2 zg 7i2 3 zg4 4i zg2 4 zg3 4i fzg zg2 2zg 7i zg4 4i zg2 4 zg 4 zg4 4i zg 12 zg3 12 i fz 5iz2 2 1iz2 fz 10iz 2z3 2 i fz 10 iz 4 2iz3 10iz 4 2iz3 27 3z i 1 z i 13 z 13 i 13 tem singularidade em 13 i 13 Portanto f não é analítica em z 13 i 13 29 f não tem singularidade logo é analítica em todos os pontos 28 Há singularidade em z 0 30 2 iz2 9i 0 z2 9i2 i 2 i2 i z2 18i 9i24 1 9 18i5 Há singularidade em z sqrt9 18i5 1 fz z3 z x yi x yi3 x3 3x2 yi 3xyi2 yi3 x3 3x2 yi 3xy2 y3 i fz uxy i vxy fz x3 3xy2 i 3x2 y y3 dudx 3x2 3y2 dudy 6xy dvdy 3x2 3y2 dvdx 6xy Como dudx dvdy e dudy dvdx a função satisfaz as equações de CauchyRiemann 2 fz 3z2 5z 6i 3 x yi2 5 x yi 6i 3 x2 2xyi y2 i2 5x 5yi 6i 3x2 6xyi 3y2 5x 5yi 6i fz 3x2 3y2 5x 6xy 5y 6 i ux 6x 5 uy 6y vy 6y vx Como ux vy e uy vx as equações de Cauchy Riemann são satisfeitas 3 fz Rez fz Rex yi fz x ux 1 uy 0 vy 0 vx 0 Assim as equações de Cauchy Riemann não são satisfeitas em todo ponto de IR² 4 fz yf i2 x ux 0 uy 1 vy vx vy 0 vx 1 Assim as equações de Cauchy Riemann não são válidos para todo ponto 5 fz 4z2 6z 3 fz 4 x yi2 6 x yi 3 fz 4x 4yi 6x 6yi 3 fz 4x 6x 3 4yi 6yi i fz 2x 3 10yi i ux 2 uy 0 vy 10 vx 0 Como ux vy as equações de Cauchy Riemann não são satisfeitas para todo ponto 6 fz z2 xyi2 x2 2xyi y2 fz x2 y2 2xyi ux 2x uy 2y vy 2x vx 2y Como ux vy as equações de Cauchy Riemann não são satisfeitas para todo ponto 3 fz x2 y2 ux 2x uy 2y vy 0 vx 0 As equações de Cauchy Riemann não são satisfeitas em todo ponto 3 fz xx2 y2 yx2 y2 ux x x2 y2 x x2 y2 x2 y22 x2 y2 2x2 x2 y22 y2 x2 x2 y22 θy y x2 y2 y x2 y2 x2 y22 x2 y2 2y2 x2 y22 x2 y2x2 y22 uy 2xyx2 y22 θx 2xyx2 y22 Portanto as equações de Cauchy Riemann não são satisfeitos em todo ponto 4 a fz 1z fz 1z2 z 0 b fz x2 iy2 ux 2x uy 0 θy 2y θy 0 2x 2y x y a função é diferenciável sobre a reta y x c fz yIm z fz x yiΨ fz xy y2i ux ψ uy x θx 0 θy 2yψ y 2y e x 0 z 0 fz f0z 0 z f0 0