Números Complexos-Exercícios Resolvidos Forma Polar reiθ e Fórmula de Euler

Reduza à forma reiθ cada um dos números complexos dados 1 1 i 2 1 i 3 1 i 4 1 i 5 1 i3 6 1 i3 7 3 i 8 3 i 9 3 i 10 1 i3 11 fraci1i 12 frac1 isqrt3sqrt3 i Mostre que exp3 7πi e3 Questão 1 Aqui lembramos da seguinte fórmula zabir e iθzeiarg z a 2b 2e iarctan b a 1 Aqui temos z1i Logo r e iθ1 21 2e iarctan 1 1 r e iθ2e i π 4 2 Aqui temos z1i Logo r e iθ1 21 2e iarctan 1 1 r e iθ2e i π 4 3 Aqui temos z1i Logo r e iθ1 21 2e iarctan 1 1 r e iθ2e i 3π 4 4 Aqui temos z1i Logo r e iθ1 21 2e iarctan 1 1 r e iθ2e i 5π 4 5 Aqui temos z1i3 Logo r e iθ1 23 2e iarctan 3 1 r e iθ13 eiarctan 3 r e iθ2e i π 3 6 Aqui temos z1i3 Logo r e iθ1 23 2e iarctan 3 1 r e iθ13 eiarctan3 r e iθ2e i π 3 7 Aqui temos z3i Logo r e iθ3 21 2e iarctan 1 3 r e iθ31e iarctan 1 3 r e iθ2e i π 6 8 Aqui temos z3i Logo r e iθ3 21 2e iarctan 1 3 r e iθ31e iarctan 1 3 r e iθ2e i π 6 9 Aqui temos z3i Logo r e iθ3 21 2e iarctan 1 3 r e iθ31e iarctan 1 3 r e iθ2e i 7π 6 10 Aqui temos z1i3 Logo r e iθ3 21 2e iarctan 3 1 r e iθ31e iarctan 3 1 r e iθ2e i 4 π 3 11 Aqui temos z i 1i z i1i 1i1i z ii 2 1i 2 z i1 11 z i1 2 z1 2 1 2 i Logo r e iθ 1 2 2 1 2 2 e iarctan 1 2 1 2 r e iθ 1 4 1 4 e iarctan 1 r e iθ 1 2 e i π 4 12 Aqui temos z1i3 3i Logo r e iθ r e iθ1i3 r e iθ3i r e iθ 2e i π 3 2e i π 6 r e iθe i π 3 i π 6 r e iθe i π 2 Mostre que a log e 1 2nπi n 0 1 2 b log i left 2n frac12 right pi i n 0 1 2 c log1 sqrt3i ln 2 2 left n frac13 right pi i n 0 1 2 Questão 2 Usando a fórmula de Euler temos exp 37 πie 3 cos7 πisin7 π e 3cosπisin π e 31i0 exp 37 πie 3 Questão 3 Usando a fórmula de Euler temos exp 3 6 2 6 πiexp 1 21 3 πi e 1 2cos π 3 isin π 3 e 1 2cos π 3isin π 3 e 1 2 cos 60isin 60 e 1 2i3 2 exp 3 6 2 6 πie 2 1i3 Questão 4 Usando a fórmula de Euler temos exp rθie r cosθisinθ Logo para r0 temos e iθcosθi sinθ Logo temos e iθcos θisin θ e iθcosθi sinθ Somando as equações temos e iθe iθcosθi sinθcosθisinθ e iθe iθ2cos θ cosθe iθe iθ 2 Subtraindo as equações temos e iθe iθcosθisinθcosθisinθ e iθe iθ2isinθ sinθe iθe iθ 2i Questão 5 Aqui lembramos da seguinte fórmula log z lnzarg z i A Aplicando a fórmula temos log eiln0 2e 2arctan e 0 i log eilne 2arctan i log eiln e 9 π 2 i log ei1π 2 i B Aplicando a fórmula temos log 1iln1 21 2arctan 1 1 i log 1iln11arctan 1i log 1iln 2 12 π 4 i log 1i1 2 ln 2π 4 i Questão 6 Aqui lembramos da seguinte fórmula l og z lnzarg z 2 πni A Aplicando a fórmula temos l og e ln0 2e 2arctan 0 e2πni log e lne 2arctan 02πni log e ln e02πni log e 12 πni B Aplicando a fórmula temos log iln0 21 2arctan 1 02πni log iln1arctan 2πn i log i0 π 2 2 πni log i 1 22nπi C Aplicando a fórmula temos log 13iln1 23 2arctan 3 12 πni log 13iln13arctan 32πni log 13iln4 2 π 3 2 πni log 13iln22 1 3 nπi Questão 7 Aqui lembramos da seguinte fórmula log z lnzarg z i Aplicando a fórmula temos log i 3log i 2ilogiln0 21 2arctan 0 1i log i 3ln1arctan i log i 31 2 π i Mas por outro lado temos 3log i3ln0 21 23arctan 0 1i 3log i3ln13arctan i 3log i0 3 π 2 i 3log i3π 2 i Logo log i 33 logi Questão 8 Seja zabi Logo temos log zlogabiiπ 2 lnabiargabi2πniiπ 2 lna 2b 2arctan b a2 πniiπ 2 Assim devemos ter a 2b 21 arctan b a 2 πnπ 2 Assim podemos escolher a0 b1 e n0 Logo temos zabi zi Questão 1 Aqui lembramos da seguinte fórmula 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 𝑟𝑒𝑖𝜃 𝑧𝑒𝑖 arg𝑧 𝑎2 𝑏2𝑒𝑖 arctan𝑏 𝑎 1 Aqui temos 𝑧 1 𝑖 Logo 𝑟𝑒𝑖𝜃 12 12𝑒𝑖 arctan1 1 𝑟𝑒𝑖𝜃 2𝑒𝑖𝜋 4 2 Aqui temos 𝑧 1 𝑖 Logo 𝑟𝑒𝑖𝜃 12 12𝑒𝑖 arctan1 1 𝑟𝑒𝑖𝜃 2𝑒𝑖𝜋 4 3 Aqui temos 𝑧 1 𝑖 Logo 𝑟𝑒𝑖𝜃 12 12𝑒𝑖 arctan 1 1 𝑟𝑒𝑖𝜃 2𝑒𝑖3𝜋 4 4 Aqui temos 𝑧 1 𝑖 Logo 𝑟𝑒𝑖𝜃 12 12𝑒𝑖 arctan1 1 𝑟𝑒𝑖𝜃 2𝑒𝑖5𝜋 4 5 Aqui temos 𝑧 1 𝑖3 Logo 𝑟𝑒𝑖𝜃 12 3 2𝑒𝑖 arctan3 1 𝑟𝑒𝑖𝜃 1 3𝑒𝑖 arctan 3 𝑟𝑒𝑖𝜃 2𝑒𝑖𝜋 3 6 Aqui temos 𝑧 1 𝑖3 Logo 𝑟𝑒𝑖𝜃 12 3 2𝑒𝑖 arctan3 1 𝑟𝑒𝑖𝜃 1 3𝑒𝑖 arctan 3 𝑟𝑒𝑖𝜃 2𝑒𝑖𝜋 3 7 Aqui temos 𝑧 3 𝑖 Logo 𝑟𝑒𝑖𝜃 3 2 12𝑒 𝑖 arctan 1 3 𝑟𝑒𝑖𝜃 3 1𝑒 𝑖 arctan 1 3 𝑟𝑒𝑖𝜃 2𝑒𝑖𝜋 6 8 Aqui temos 𝑧 3 𝑖 Logo 𝑟𝑒𝑖𝜃 3 2 12𝑒 𝑖 arctan1 3 𝑟𝑒𝑖𝜃 3 1𝑒 𝑖 arctan1 3 𝑟𝑒𝑖𝜃 2𝑒𝑖𝜋 6 9 Aqui temos 𝑧 3 𝑖 Logo 𝑟𝑒𝑖𝜃 3 2 12𝑒 𝑖 arctan 1 3 𝑟𝑒𝑖𝜃 3 1𝑒 𝑖 arctan 1 3 𝑟𝑒𝑖𝜃 2𝑒𝑖7𝜋 6 10 Aqui temos 𝑧 1 𝑖3 Logo 𝑟𝑒𝑖𝜃 3 2 12𝑒𝑖 arctan3 1 𝑟𝑒𝑖𝜃 3 1𝑒𝑖 arctan3 1 𝑟𝑒𝑖𝜃 2𝑒𝑖4𝜋 3 11 Aqui temos 𝑧 𝑖 1 𝑖 𝑧 𝑖1 𝑖 1 𝑖1 𝑖 𝑧 𝑖 𝑖2 1 𝑖2 𝑧 𝑖 1 1 1 𝑧 𝑖 1 2 𝑧 1 2 1 2 𝑖 Logo 𝑟𝑒𝑖𝜃 1 2 2 1 2 2 𝑒 𝑖 arctan 1 21 2 𝑟𝑒𝑖𝜃 1 4 1 4 𝑒𝑖 arctan 1 𝑟𝑒𝑖𝜃 1 2 𝑒𝑖𝜋 4 12 Aqui temos 𝑧 1 𝑖3 3 𝑖 Logo 𝑟𝑒𝑖𝜃 𝑟𝑒𝑖𝜃1𝑖3 𝑟𝑒𝑖𝜃3𝑖 𝑟𝑒𝑖𝜃 2𝑒𝑖𝜋 3 2𝑒𝑖𝜋 6 𝑟𝑒𝑖𝜃 𝑒𝑖𝜋 3𝑖𝜋 6 𝑟𝑒𝑖𝜃 𝑒𝑖𝜋 2 Questão 2 Usando a fórmula de Euler temos exp3 7𝜋𝑖 𝑒3cos 7𝜋 𝑖 sin 7𝜋 𝑒3cos 𝜋 𝑖 sin𝜋 𝑒31 𝑖 0 𝐞𝐱𝐩𝟑 𝟕𝝅𝒊 𝒆𝟑 Questão 3 Usando a fórmula de Euler temos exp 3 6 2 6 𝜋𝑖 exp 1 2 1 3 𝜋𝑖 𝑒 1 2 cos 𝜋 3 𝑖 sin 𝜋 3 𝑒 1 2 cos 𝜋 3 𝑖 sin𝜋 3 𝑒 1 2cos60 𝑖 sin60 𝑒 1 2 𝑖3 2 𝐞𝐱𝐩 𝟑 𝟔 𝟐 𝟔 𝝅𝒊 𝒆 𝟐 𝟏 𝒊𝟑 Questão 4 Usando a fórmula de Euler temos exp𝑟 𝜃𝑖 𝑒𝑟cos 𝜃 𝑖 sin 𝜃 Logo para 𝑟 0 temos 𝑒𝑖𝜃 cos 𝜃 𝑖 sin 𝜃 Logo temos 𝑒𝑖𝜃 cos𝜃 𝑖 sin𝜃 𝑒𝑖𝜃 cos 𝜃 𝑖 sin 𝜃 Somando as equações temos 𝑒𝑖𝜃 𝑒𝑖𝜃 cos 𝜃 𝑖 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑖 sin𝜃 𝑒𝑖𝜃 𝑒𝑖𝜃 2 cos 𝜃 cos 𝜃 𝑒𝑖𝜃 𝑒𝑖𝜃 2 Subtraindo as equações temos 𝑒𝑖𝜃 𝑒𝑖𝜃 cos 𝜃 𝑖 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑖 sin𝜃 𝑒𝑖𝜃 𝑒𝑖𝜃 2𝑖 sin 𝜃 sin 𝜃 𝑒𝑖𝜃 𝑒𝑖𝜃 2𝑖 Questão 5 Aqui lembramos da seguinte fórmula 𝐿𝑜𝑔𝑧 ln𝑧 arg𝑧 𝑖 A Aplicando a fórmula temos 𝐿𝑜𝑔𝑒𝑖 ln 02 𝑒2 arctan 𝑒 0 𝑖 𝐿𝑜𝑔𝑒𝑖 ln 𝑒2 arctan 𝑖 𝐿𝑜𝑔𝑒𝑖 ln 𝑒 9 𝜋 2 𝑖 𝑳𝒐𝒈𝒆𝒊 𝟏 𝝅 𝟐 𝒊 B Aplicando a fórmula temos 𝐿𝑜𝑔1 𝑖 ln 12 12 arctan 1 1 𝑖 𝐿𝑜𝑔1 𝑖 ln 1 1 arctan1 𝑖 𝐿𝑜𝑔1 𝑖 ln 212 𝜋 4 𝑖 𝑳𝒐𝒈𝟏 𝒊 𝟏 𝟐 𝐥𝐧 𝟐 𝝅 𝟒 𝒊 Questão 6 Aqui lembramos da seguinte fórmula 𝑙𝑜𝑔𝑧 ln𝑧 arg𝑧 2𝜋𝑛𝑖 A Aplicando a fórmula temos 𝑙𝑜𝑔𝑒 ln 02 𝑒2 arctan 0 𝑒 2𝜋𝑛 𝑖 𝑙𝑜𝑔𝑒 ln 𝑒2 arctan0 2𝜋𝑛𝑖 𝑙𝑜𝑔𝑒 ln 𝑒 0 2𝜋𝑛𝑖 𝒍𝒐𝒈𝒆 𝟏 𝟐𝝅𝒏𝒊 B Aplicando a fórmula temos 𝑙𝑜𝑔𝑖 ln 02 12 arctan 1 0 2𝜋𝑛 𝑖 𝑙𝑜𝑔𝑖 ln 1 arctan 2𝜋𝑛𝑖 𝑙𝑜𝑔𝑖 0 𝜋 2 2𝜋𝑛 𝑖 𝒍𝒐𝒈𝒊 𝟏 𝟐 𝟐𝒏𝝅𝒊 C Aplicando a fórmula temos 𝑙𝑜𝑔1 3𝑖 ln 12 3 2 arctan 3 1 2𝜋𝑛 𝑖 𝑙𝑜𝑔1 3𝑖 ln 1 3 arctan3 2𝜋𝑛𝑖 𝑙𝑜𝑔1 3𝑖 ln 4 2𝜋 3 2𝜋𝑛 𝑖 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟑𝒊 𝐥𝐧 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑 𝒏 𝝅𝒊 Questão 7 Aqui lembramos da seguinte fórmula 𝐿𝑜𝑔𝑧 ln𝑧 arg𝑧 𝑖 Aplicando a fórmula temos 𝐿𝑜𝑔𝑖3 𝐿𝑜𝑔𝑖2𝑖 𝐿𝑜𝑔𝑖 ln 02 12 arctan 0 1 𝑖 𝐿𝑜𝑔𝑖3 ln 1 arctan 𝑖 𝐿𝑜𝑔𝑖3 1 2 𝜋𝑖 Mas por outro lado temos 3𝐿𝑜𝑔𝑖 3 ln 02 12 3 arctan 0 1 𝑖 3𝐿𝑜𝑔𝑖 3 ln 1 3 arctan 𝑖 3𝐿𝑜𝑔𝑖 0 3𝜋 2 𝑖 3𝐿𝑜𝑔𝑖 3𝜋 2 𝑖 Logo 𝐿𝑜𝑔𝑖3 3𝐿𝑜𝑔𝑖 Questão 8 Seja 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 Logo temos log 𝑧 log𝑎 𝑏𝑖 𝑖𝜋 2 ln𝑎 𝑏𝑖 arg𝑎 𝑏𝑖 2𝜋𝑛𝑖 𝑖𝜋 2 ln 𝑎2 𝑏2 arctan 𝑏 𝑎 2𝜋𝑛 𝑖 𝑖𝜋 2 Assim devemos ter 𝑎2 𝑏2 1 arctan 𝑏 𝑎 2𝜋𝑛 𝜋 2 Assim podemos escolher 𝑎 0 𝑏 1 e 𝑛 0 Logo temos 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 𝒛 𝒊