Conceitos e Tipos de Matrizes na Matemática

MATRIZES 31 Emuma matriz qualquer M cada elemento é indicado por aj O indice jindica a linha e o indice j a coluna as quais o elemento pertence Com a convencao de que as linhas sejam numeradas de cima para baixo de 1 até m e as colunas da esquerda para a direita de 1 até n uma matriz m X n é representada por eS ayy Ary vee Ayn ayy Ay ve Ayn M 81 50 Aan JOU M An Ann Aon OU Matrizes aa Bea Bal Bq Bun By ay ay Ay M 8 5 5 Ant Ama e Amn Uma matriz M do tipo m x n também pode ser indicada por M aj i 1 23mej 1 2 3 n ou simplesmente M ajm x n I Nogao de matriz II Matrizes especiais oo Dados dois nimeros m e n naturais e nao nulos chamase matriz m porn Ha matrizes que por apresentarem uma utilidade maior nesta teoria recebem indicase m X n toda tabela M formada por numeros reais distribuidos em m linhas e we um nome especial n colunas 32 a matriz linha é toda matriz do tipo 1 X n isto é 6 uma matriz que tem uma 30 Exemplos Unica linha 3 exemplo da pagina 45 b matriz coluna é toda matriz do tipo m X 1 isto 6 6 uma matriz que tem uma 3 5 1 5 Unica coluna 4 exemplo da pagina 45 1 lg 4 yl ematriz2 x 3 4 1 é matriz 3 x 1 c matriz nula é toda matriz que tem todos os elementos iguais a zero 5 3 Exemplos 3 3 19 lo 9 O é a matriz nula do tipo 2 xX 3 22 2 ématriz3 x 2 59 1 2 é matriz 2 x 2 o 0 0 7 3 7 4 1 0 0 2 lo é a matriz nula do tipo 2 X 2 3 0 9 1 7ématriz 1 x 4 6 2 é matriz1 x 1 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES 33 d matriz quadrada de ordem n é toda matriz do tipo n X n isto 6 uma matriz Exemplos que tem igual numero de linhas e colunas 3 0 000 2 0 0 12 3 0 0 0 59 0 30 Ay Ayn yg ve Ay 0 2 000 000 ay Ay ay3 a a Az gn gg Agy 4 0 0 0 0 chee eeeeeeeeeeeeeaeeaneeneeeees 22 Oo 2 0 4 0 0 Ant Ano ang ute Ann 0 0 3 Chamase diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto 35 f matriz unidade ou matriz identidade de ordem n indicase I 6 toda matriz dos elementos que tém os dois indices iguais isto é diagonal em que os elementos da diagonal principal sao iguais a 1 ajli j ars aoa agg Ann Exemplos 100 0 Chamase diagonal secundaria de uma matriz quadrada de ordem n 0 conjunto 1 0 0O a 1 0 o 1 0 0 dos elementos que tém soma dos indices igual an 1 isto é lb IZO 1 0 4 Oo 14 0 0 1 0 oo 0 oO 1 ajli j n 1 ain 201 83n 29 r Ant 0004 Exemplos 186 Indique explicitamente os elementos da matriz A aj3 x 3 tal que ay i j Sua diagonal principal é 8 4 3 e sua diagonal secundaria é 7 4 1 Solugao 0 1 2 Temos por definicao Z 5s 6 ay4110 ayo 121 a3132 2 Amatriz M é quadrada de ordem 4 ESS ay 211 aon 22 0 a3 231 e4 5 a3 312 agg 32 1 aa333 0 Sua diagonal principal é O 5 1 6 e sua diagonal secundaria é 3 6 9 3 Oo 1 2 Assim amatrizé A1 O 1 34 ematriz diagonal é toda matriz quadrada em que os elementos que nao per 2 1 0 tencem a diagonal principal sao iguais a zero 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES 187 Construa as seguintes matrizes 1 sei EXERCICIOS A aj3 x 3 tal que aj 0 sei j 2x 3y Xx41 2y 1 seij4 190 Determine x e y de modo que se tenha B fos xatal que by seij4 3 4 3 yt4 1seij Solugao 188 A é uma matriz 3 por 2 definida pela lei aj 5 Escreva a matriz A ek irseij Temos por definicao que satisfazer 0 sistema 189 Dada uma matriz A x aS Operacées 2xxt1 1 A que transforma a matriz A numa outra matriz A x 1 em que cada Sy 2y e entaox1 e y0 elemento da Unica coluna de A é obtido somandose os elementos da linha 4y4 correspondente de A 2 A que transforma a matriz A x numa outra matriz A x em que cada 491 Determine x y ze t de modo que se tenha elemento da unica linha de A obtido somandose os elementos da coluna correspondente de A x x oy x x 8 Nessas condicées se A for a matriz identidade de ordem p calcule a expressao 5 A st t A IV Adigao III Igualdade 31 Definigao 36 Definigao Dadas duas matrizes A jjm xn B Dijm x n chamase soma A B a ma Duas matrizes A ajm xn B Dijm x n SAO iguais quando aj b para triz C Cjm xn tal que cj aj bj para todo i e todo j Isso significa que a soma todo i i 1 2 3 m e todo j j 1 2 3 n Isso significa que para serem de duas matrizes A e B do tipo m X n uma matriz C do mesmo tipo em que cada iguais duas matrizes devem ser do mesmo tipo e apresentar todos os elementos elemento a soma dos elementos correspondentes em A e B correspondentes iguais elementos com indices iguais 38 Exemplos Exemplos 1 3 1 3 12 3 4 1 1 14 21 3414 1 7 al17 4 POIS 211 Dit A12 Diz A21 a1 Ag2 Doo 1 F 5 3 4 0 6 44 50 66 1 3 1 7 f5 1 4 2 7 al 3 4 POIS 12 Baz a1 Bas 0 5 0 4 Fundamentos de Matematica Elementar Ee Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES 9 ro an A 40 Definigado 19 9 2 3 o 3 41 12 Qe 93 Dada a matriz A ajjm x n chamase oposta de A indicase A a matriz A tal que A A 0 5 1 S1 6 Exemplos 32 11 5 412 9 3 15 4 2 4 2 3 3 3 427 A A 4 4 4 3 4 3 4 5 5 2 eo 7 n 2 7 9 39 Teorema Jz 0 1 201 A adicao de matrizes do tipo m X n apresenta as seguintes propriedades 1 associativa A B C A B C quaisquer que sejam A Be C 41 Definiao do tipo m X n Dadas duas matrizes A ajjm xn B Djm x n Chamase diferenga A B 2 comutativa A B B A quaisquer que sejam A e B do tipo m X n a matriz soma de A com a oposta de B E lo 3 tem elemento neutro 3 MA M A qualquer que seja A do tipo m X n xempro a joel joad soe afp os 4 todo elemento tem simétrico para todo otipom Xn 4 7 4 SAAAM 1474 8 Demonstracéo 11 9 8 1 4 0 O 1 4 44 9 7 O a0 14 7 1 4 7 8 1 5 3 1 2 1 Fazendo A B C XeA B C Y temos Para todo i e todo j Xj a bj Cj aj b ci Yi 2 FazendoABXeBAYtemos EXERCIGIOS Xj ay by by ay yj 3 Impondo A M A resulta 5 6 Oo 1 aj m a mj O M0 192 Dadas A eB calculeABeAB ran i J f 4 2 5 4 isto o elemento neutro é a matriz nula do tipo m X n 4 Impondo A A M O resulta 193 Dadas A 1 5 7 B 2 4 6 eC Oo 1 5 ay aly O aly a Vi Vj 3 9 11 8 10 12 1 4 7 isto é a simétrica da matriz A para a adicao é a matriz A de mesmo tipo que A na qual cada elemento é simétrico do correspondente em A calculeABCABCABCeABC 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES 194 Calcule a soma C cis x 3 das matrizes A aj3 x 3 B by3 x 3 tais que Solugao 2 aj i je by 2ij Utilizando as propriedades da adicao temos on fO 1 2 6 7 8 195 Seja C cj2 x 3 a soma das matrizes A 3 4 5 eB 9 10 4 XABCS3XAABCAXBCA Calcule a soma Cy Coo Coz a ORs x F 4 entao X aad 196 Determine a B ye 5 de modo que se tenha 7 6 52 2 3 O 5 a 1 2 8B 3 2 4 2 o 1 y 8 199 Resolva a equacao matricial X A B C sendo dadas t pt 8 c2 i e 197 Determine x e y de modo que se tenha 72 A 3 5 y2 Ax 2y x2 2 10 1 200 Obtenha X tal que 198 Dad i Dadas as matrizes xlall7414 1 2 0 5 7 2 L2 A B eC 1 7 2 3 7 6 5 2 201 Definese distancia entre duas matrizes A aj e B bj quadradas e de determine a matriz X tal queX ABC mesma ordem n pela formula dA B max ay bil ij12n Solugao 1 oo 1 2 5 7 x y x y 1 2 0 5 1 7 Calcule a distancia entre as matrizes e Fazendo X temos a 34 6 8 zt zt 2 3 7 6 5 2 x41 y2 k 0 tk 2 g V Produto de numero por matriz x11y227222et38 42 Definigao Dado um numero k e uma matriz A ajm x chamase produto kA a matriz x0y 4z0et5 entdo X B Dim x n tal que bj k ay para todo ie todo j Isso significa que multiplicar uma 0 5 matriz A por um numero k é construir uma matriz B formada pelos elementos de A todos multiplicados por k 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES 43 los 1 7 Xemplos 204 Se A B7 Vlec 7 2 6 4 3 2 0 1 7 2 3 21 6 19 3 5 1 2 15 3 6 determine X em cada uma das equacoes abaixo a 2XA3BC c 3XABX 0 2 4 Oo 1 2 1 1 1 22 5 8 6 44 3 2 b X A 5BC d aX AB ZKC 10 12 6 5 6 3 505Se A 2 1 3 Fe 3 4 ox Se A 312814 6 eC 4 determine a matriz X de 44 Teorema XABX O produto de um numero por uma matriz apresenta as seguintes propriedades ordem 2 tal que z C 1 abAabA 2 aABaAtaB 206 Resolva 0 sistema 3 atbAaAbA 4 1AA Keyes 2 0 15 em que A eB em que Ae B sao matrizes quaisquer do tipo m X ne ae b sao numeros reais XY2B 0 4 3 0 quaisquer Deixamos a demonstracao desse teorema como exercicio para o leitor Solugao Somando membro a membro as duas equacoes resulta 4 EXE RCICcIOsS XYXY3A4 2B 2X 3A4 2B X 3 SA 2B Subtraindo membro a membro as duas equacoes resulta 1 1 i 202 Calcule as matrizes 2A 7B e A B sendo dadas XYXY 3A 2B 2Y 3A 2B Y 5 3A 2B Temos tt o 8 6 O 2 10 18 10 4 5 20 12 6 O 216 12 3 6 1 2 8 0 1f6 o 2 10 14 10 2 5 203Se a 2 b 3 c 2 O determine os valores de a bec Af Slo 12 6 ol 216 12 3 6 3 1 1 0 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES 207 Determine as matrizes X e Y que satisfazem o sistema Il tomase a coluna k da matriz B XYA Dax sendo dadas A 14 7e B 21 5 XYB box b3 n elementos 208 Obtenha X e Y a partir do sistema 2X 3YAB t At em queA3eB5 Dk 3X 4YAB 9 0 Ill colocase a linha i de A na vertical ao lado da coluna k de B conforme esquema VI Produto de matrizes ai ak ain Dox 45 Definigao aig bax Dadas duas matrizes A am xn B Dyn x p chamase produto AB a i i matriz C Cikm x p tal que ain Dax Cik Ain Dak Ai2 Bax Aig Dak Ain nk 2 2iP IV calculamse os n produtos dos elementos que ficaram lado a lado con forme esquema para todo i 1 2 m e todo k 1 2 p aia Da 46 Observacées ain Dox 1 A definicao dada garante a exist6ncia do produto AB somente se o numero aig Dax de colunas de A for igual ao numero de linhas de B pois A do tipo m X ne B é do FI tipo n X p ain Dak 2 A definigao dada afirma que o produto AB é uma matriz que tem o numero de linhas de A e o numero de colunas de B pois C AB é do tipo m X p V somamse esses n produtos obtendo Ci 3 Ainda pela definigado um elemento c da matriz AB deve ser obtido pelo 47 Exemplos procedimento seguinte 1 Dadas 1 tomase a linha i da matriz A 1 2 3 9 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES Sendo A do tipo 2 x 3 e Bdo tipo 3 x 1 decorre que existe AB e do tipo 2 x 1 41 4 1 Fazendo AB C devemos calcular c14 C24 c 2 j e 2 1 c en Hh ded X 48 0 de 3 8 s 4 fe 28 kde A x 4 cde B 1 1 1 1 5 ojl2 1 Oo 1 11 4 7 1x7 af 3 3 alle a f 2 2 ofo o 14 2x8 4 4 Oo 3 441 2 O 3 x of crete ha 1122 4x7 28 40 54 210 Considere as matrizes ox 8 A ay 4 X 7 definida por ay i j 6x9 B bj 7 X 9 definida por bj i C c C AB 1 2 5 6 ij 2 Dadas A 5 Al eB 3 calcular AB Determine o elemento c53 i i i é i 14 641 Sendo A do tipo 2 x 2eBdotipo 2 X 2 decorre que existe AB e é do tipo 2 X 2 241 Sendo A caloule A2 A3 Abe AMn E Nen 14 Fazendo AB C temos Oo 1 o fe 42 de A x 1 c de B1 de A x 22 c de B Solucao Cor Cap 22 de A x 1 c de B22 de A x 22 c de B mean 3 it 2 2 1x51x6 to aLo 4 Lo 14 lox7flexes oM e16 7 o 43 50 41 214 71 1 3 3x53x6 1528 1832 I 4x74x8 Oo 1j0 1 Oo 4 a aan 14 3i4 141 14 44 AKA1o allo 1 lo 4 yA R 2 O S Observamos que em cada multiplicagao por A os elementos a ao aoa NAO se alteram e 0 elemento ay sofre acréscimo de 1 Provarfamos por indugao 209 Calcule os seguintes produtos finita sobre n que 1 ae 1 on ay 14 7 b 23 114 2 lo af 1 O2 3 3 4 Fundamentos de Matematica Elementar Gc Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES 212 Calcule AB BA A e B sabendo que 216 Resolva a equacao matricial 4 2 4 3 5 A4 5fB of c dj2 2 5 9 213Calcule 0 produto ABC sendo dadas Solucao A equacao dada equivale a 1 2 14 1 Sot quac quiv Ale af Brl3g 2 4eCt O fe a 2 8 24 3c 2d c 2d 5 9 Solugao entao 4x1 4ax14x1 3a 2b 5 f i a3eb2 ap 3 It 1 2X312x2 2x1 7 5 3 a2b7 3 2 5 alg 2 4 5x15x15x1 s 7 6 Se R 8 co resposta é a c1ied4 1x3 4x214x1 c 2d 7X3 7x4 217 Resolva as seguintes equacdes a 6 5x1 5x 0 7 5 3 3x2 3x1 32 4 a 2 Pf 2 2 ABC eee ee 2 2jle da 5 9 8 7 6 4 8x3 8x 1 43 2 7x1 7x 0 a b cla 12 12 1 O O eB i b d e filo 1 44 1 0 g h iffO O 4 2 1 1 1 2 1 O 214SeA determine A 2A 111 em quel 2 4 x 9 4 3 Oo 1 218 Se determine os valores de xe y 1 2 y 3 215 Calcule os seguintes produtos 7 x 41 2 a 1 414 1 2 5 219Sabese queA3 y 5 B bj 6 uma matriz diagonal bj 0 se i 4 21 3 5 2 32 2 O 2 3 10 b 1 Ovf2 3f1 oOfo 1 eAB6 12 25 Determine os valores de x yez Oo 15 7 1 21 O 4 9 20 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES 48 Teorema 2 Fazendo D A BC dix x p temos Se A aj mon entdo Al AelpA A 2 mee di DY aj bj e DY aj ey by Oy x j1 jai Demonstracao hn hn 1 Sendo 8jn xn B Al bim x ns temos Vac Yb cy by i194 i289 ai363 ajiDii inn j1 jai ai O aig O aig OF aj T Ain O aij para todos je entdo A BC AC BC jentaoA A ll Analogamente 3 Analoga a 2 4 Fazendo C kA Cj x ny D KB dxn x p E AB Cx x p temos 49 Teorema A multiplicacao de matrizes apresenta as seguintes propriedades x oj by x k a by kd ay Di 2 wae j j1 j1 1 associativa ABC ABC quaisquer que sejam as matrizes A h h h a B b c aim xn Hin x p e Ckep x 3 ay dy ay k bj k ay by jaa j1 jaa 2 distributiva a direita em relacdo a adicdo A BC AC BC quais quer que sejam as matrizes A am xn B bim xn Cixn x pi entdo kAB AKB kAB 3 distributiva a esquerda CA B CA CB quaisquer que sejam as matrizes A ajm xn B Dim xn C Cyip x mi 50 Observacoes 4 kAB AkB kAB quaisquer que sejam o numero k e as matrizes A E muito importante notar que a multiplicacdo de matrizes ndo é comutativa ajm xneB Dyn xp isto para duas matrizes quaisquer A e B é falso que AB BA necessariamente Demonstracao Exemplos oe D AB dix x pr E ABC Cie xr F BC fin x 0 1 Hd casos em que existe AB e nao existe BA Isso ocorre quando A é mxnBénxpemp p p n ey die Cue Y aj by Cyy A B JAB k4 kiet mxn e nxp p n n p K 7 yz aD Cue y aj y Di Cup k1j4 j1 k1 ABA B A n nxp e mxn ay fy K 7 j1 entao ABC ABC 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES 2 Ha casos em que existem AB e BA porém sao matrizes de tipos diferentes Exemplo e portanto AB BA Isso ocorre quandoAém xn BénxXmemFn 1 OO JO Of lo AL RK 3 AB 0 ollo 1 0 0 mxn e nxm N27 mxm B A Fi 4 BA mae Rs 3 BA EXERCICIOS 44 3 Mesmo nos casos em que AB e BA sao do mesmo tipo o que ocorre quan 220SendoA 5 Qual das matrizes abaixo comuta com A do Ae B sao quadradas e de mesma ordem temos quase sempre AB BA Assim por exemplo 3 2 a 2 3 2 fs 1 0 4 5 45 14 15 3 4 5 1 1 0 o 3 A eB AB 26 10 e BA 6 0 2 3 6 0 221 Determine x e y de modo que as matrizes Quando A e B sao tais que AB BA dizemos que A e B comutam Notemos A 5 eB k comutem que uma condicao necessaria para A e B comutarem que sejam quadradas e de 1 0 x oy mesma ordem 44 Exemplos 222 Obtenha todas as matrizes B que comutam com A 3 ol 49 a b 1 O 2 co od comuta com 0 1 Solugao Notemos inicialmente que uma condicao necessaria para que A e B sejam co 20 ab comuta com Oo 0 mutaveis que A e B sejam quadradas e de mesma ordem Assim fazendo c d 0 60 a b 1 i1lfa b a b1 4 7 ab d b B I a7 tomes alle dl Ie a 13 9 sto 3 comuta com c d C a aca3b 1 ac bd a3b a bda 2 E importante observar também que a implicacao 3a 3b c3d c e entao 3ac3d 3 AB05AO00uB0 3bc 4 nao é valida para matrizes isto 6 possivel encontrar duas matrizes nao nulas cujo De 1 e 4 vem c 3b produto 6 a matriz nula Le 4 Fundamentos de Matematica Elementar Sa Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES i i 2 De 2 e 3 vemd a b 227Calcule todas as matrizes X quadradas de ordem 2 tais que X O a b Resposta B com ab ER Solugao 3b atb a bd a bfa b Oo O Fazendo X al resulta d d 6 0 Cc Cc C 223Calcule em cada caso as matrizes que comutam com A 2 1 o 41 1 0 5 abe abbd k a A b A cA1 1 Oo 4 1 1 catde cbd 0 O o 1 1 2 224 Prove que se Ae B sao matrizes comutaveis entao vale a igualdade a be0 1 A2 R2 badO 2 A BA B A B2 entao 2 catd0O 3 Solugao be d0 4 Lembrando que AB BA BA AB O temos co on 12 possibilidade b 0 A BA B AA B BA B A AB BA B2 2 2 pI 2 2 2 M a Oa Ol ag 0 8 é satisfeita Vc E R A BA AB B A 0 BAB é satisfeita Vc 4 P 035d 0 225Prove que se Ae B sao matrizes comutaveis entao valem as seguintes igual dades 28 possibilidade b 0 a A B A2 2AB B2 b A B2 A2 2AB B2 2 atd05da 2 c A B A 3A2B 3AB2 BS 1e 4 bo a2 c d A B A 3A2B 3AB2 BS e AB AB Resposta 1 49 226 Sendo A eB 2 calcule 0 0 a 31 x p comes Roux a comabcER C a a A B2 b b A BA B c A2 2A 13 228 Calcule todas as matrizes X quadradas de ordem 2 tais que X lp d AS 13 229 Calcule todas as matrizes X quadradas de ordem 2 tais que X X 4 Fundamentos de Matematica Elementar eG Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES VII Matriz transposta 2 Fazendo A B C cj xn A B Ch Cjin xm temos Cj Cy ay by aj bj para todos ij j 51 Definigao 3 Fazendo kA ai x m resulta iz A a iz At at Dada uma matriz A aj xm chama se transposta de Aa matriz A Ajin xm at ka kal para todos ij tal que aj aj para todo e todo j Isso significa que por exemplo a41 A21 234 Ant sao respectivamente iguais a a1 A2 243 Ayn vale dizer que a 12 coluna de At caln teeta a é igual a 12 linha de A Repetindo o raciocinio chegarfamos a conclusdo de que as 4 Fazendo AB C Cixm x p AB Ct Chip xm resulta colunas de At sao ordenadamente iguais as linhas de A n n n Chi Cik aj bj x Dix Aj aX Dig Ai J J J 52 Exemplos 54 Aplicagao b 1 a2 c d bd Verificar diretamente a validade do teorema anterior com a d a boc atlb e A a b B e f K2 9 2 2A5 6 c d ge h c f 1 1 AK ab a ac ave ab A 3 Ate af Ph b af PAR Te a 329 A135 7 SA 5 7 ate bf ate ctg 2 AFB logg ath PATE lyst ath 53 Teorema ac e g At pt A matriz transposta apresenta as seguintes propriedades b d f h 1 A A para toda matriz A aj m x n3 2 Se A a eB b entao A Bt At BL 2a 2b 2a 2c ac 2 aim xn by xn A B 3 2a ar 2 28 3 SeA ajmxnek ER entao kAt kA 2c 2d 2b 2d b d 4 SeA ajmxnB bim x p entao AB BIA a ap 22 8PE P aay be bg cet ce Demonstracao Lcedg cfdh Lafbh cfdh 1 Fazendo At aim x n resulta e glfac Btat aj aj ay para todos i j f hjb d 4 Fundamentos de Matematica Elementar eS Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES 55 Definigado y Chamase matriz simétrica toda matriz quadrada A de ordem n tal que E X R e e 8 S A A iy 230 Determine em cada caso a matriz X Decorre da definicao que se A a é uma matriz simétrica temos 12 57 a X ay aj Vi Vj 1 23 n 1 7 2 isto é os elementos simetricamente dispostos em relacao a diagonal principal sao iguais b X 1 2 0 o7 5 1 2 3 Exemplo Sao simétricas as matrizes ox 14 47 Cc abcd 2 3 4 a b abc bef bde cf hi 14 641 1 44 bd f d 3xXt ce d gi j 2 7 17 2 56 Definica 231Sendo A 1 2 B at e A a matriz transposta de A IZ efinigao 0 1 2 1 0 p Chamase matriz antissimétrica toda matriz quadrada A de ordem n tal que determine o valor de At B A A 232 Determine x y z para que a matriz Decorre da definigao que se A aj 6 uma matriz antissimétrica temos 1 x 5 ay aj Vi Vj 1 2 3 n A 2 7 4 seja simétrica y z 3 isto os elementos simetricamente dispostos em relacao a diagonal principal sao opostos 233 Determine x y e z de modo que a matriz Exemplo Sado antissimétricas as matrizes O 4 2 Ax O 12 seja antissimétrica O a bic e a b y 2z 0 O a a O de a 9 el lg ot a 0 b c 0 234 Prove que se Ae B sao matrizes simétricas de ordem n entao A B também c e f 0 é simétrica 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES VIII Matrizes inversiveis 1 2 714 31 19 4 0 O AA0 3 10 2 10 1 O1 57 Definigao 0 5 2o0 5 3 0 o 4 Seja A uma matriz quadrada de ordem n Dizemos que A é matriz inversivel se 1 31 19f1 2 7 1 0 0 existir uma matriz B tal que AB BA I Se A nao é inversivel dizemos que A é uma A1A 0 3 allo 3 tllo 1 ol ls matriz singular Oo 5 30 5 2 0 Oo 14 58 Teorema 5 ni 3 7 Se A é inversivel entdo é Unica a matriz B tal que AB BA 3 Qual a inversa da matriz A E 1 Demonstracao ab F do At t Admitamos que exista uma matriz C tal que AC CA 1 Temos azendo 7 KeMOS C 1C BAC BAC BI B a bll3 7 1 0 AtAl c d5 114 Oo 1 59 Definigao 22 fat 130 1 0 Dada uma matriz inversivel A chamase inversa de A a matriz A que é Unica 3c5d 7c11d Oo 1 tal que AA A4A E evidente que A deve ser também quadrada de ordem n pois A comuta Pela definicdo de igualdade de matrizes temos com A los 3atSb1 7 14 27 XEMPIOS 7a 11b 0 2 2 1 3 7 3 e 1 AmatrizA é inversivel e At 9 a pois 27 3c 5d 0 5 3 c ed 7o 114d 1 2 2 1 3 7 3 1 O AA1 I5 2 7l2 1 o 14 af isto 6 At 2 2 pois temos também 7 3f1 3 1 0 sro 5 3 AtA 5 2 2 2 1 2 7 Oo 4 2 2 1 2 7 1 31 19 11067 3 7 2 2 1 O 22 AmatizA0 3 1 éinversweleA9 2 1 pois AAt I5 05 3 5 11 5 3 Oo 14 0 5 2 3 5 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES 14 2 ab g 2h4i O 4 Amatriz F ql é singular nao é inversivel pois se A I 2 secon 63h9053h 2 i ghi1 1 2fa b1 0 4 8c d Oo 41 Portanto vem a2c p 2d lo e entao 3 41 4a8c 4b8d O 14 at4 3 12 a2c14a8c0 b2d0e4b8d1 9 F 3 impossivel impossivel 3 3 Portanto nao existem a b c d satisfazendo a definicao 11461 60 Observacdo 9 6 ai izZA 2 5 Qual é a inversa da matriz A F 8 Do exposto observamos que para determinar a inversa de uma matriz quadra 4 9 1 da de ordem n temos de obter n incégnitas resolvendo n sistemas de n equacées an incdgnitas cada um Isso nao é nada pratico No final do capitulo sobre determi a boe nantes expomos um outro método para se obter a inversa de uma matriz Fazendo Atd ef resulta Uma aplicagao pratica da inversa de uma matriz 6 exposta no inicio do capitulo sobre sistemas lineares g oh i a b cf1 12 1 1 O O AtAl35 1d e f2 3 140 1 O a ge h if4 9 1 0 Oo 14 EXERCIGIOS at2b 4c at3b9c atbte 1 O O ld2e4f d3eO defl O 1 O 235 Determine a inversa de cada matriz abaixo 2h 4i 3h Qi heti Oo 1 6 V8 i J 10 5 6 2 5 1 0 141 A Ta 5BO Ia 3 oo o 2 Po at2b4c1 1 4 Devemos ter 3b9c 0 a3b4c1 M a 236 Determine a inversa de cada matriz abaixo attbc0 1 1 4O 1 O 1 1 9 5 d 2e 46 0 3 4 A1 0 1B1 2 3c3 4 2 d3seltodte7f5 oO 1 14 1 2 A 6 4 4 def0 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES 1 2 21 241 Resolva as equacoes matriciais abaixo 237 Sejam A eB duas matrizes Se B é a inversa de A calcule xy 1 2 13 cosa sena cos 2a lor de x a X c X 0 valor dé x y 1 3 18 sena cosa sen 2a 2 1 3 O 238 Sendo A determine os valores de x tais que A At 0 31 3 4 7 Oo 41 X 9 x x b X14 3 5 Yi1 0 7 4 0 239SeA determine A A oo O 1 242 Resolva as equacées matriciais abaixo 240 Resolva a equacao matricial 1 0 0O 5 0 0 1 1 3 4 1 a 2 1 OX7 bXO 1 23 2 3 t4 2 3 1 2 12 3 6 Solugao 1 1 4 1 2 243SeA 12 eB 1 4b determine a matriz X de ordem 2 tal que AX B Fazendo 2 Ae 3 B vemos que a equacao dada é AX B 3 O 2 1 1a 10 Temos 244DadasA P 3 5 B Zal7s p determine os valores de AAXAé2XK2eXémxXnasam2 AXBeBé2X1n1 ae b tais que B PAP4 a Fazendo X vem 245 Expresse X em funcdo de A B e C sabendo que A B e C sdo matrizes quadra das de ordem n inversiveis e AXB C b in Is iM fe 4b 1 eS eS 2 3b 1 2a 3b 1 2a 3b 1 Solugao e entdo a 1 e b 1 portanto X I Vamos multiplicar ambos os membros da igualdade AXB C por A A1AXB A1C IXB A 1C XBATC Solugao 2 Vamos multiplicar ambos os membros da igualdade XB AC por Bt Notando que se A é matriz inversivel entao AX B X A1B temos XBBt AtcBt Xl AcBt XAcB 1 4 3 A41 4 Xp S XAB5 3a 1 Temos portanto X ACB 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 MATRIZES MATRIZES 246 Sendo A e B matrizes inversiveis de ordem n isole X a partir de cada equacao LEITURA abaixo l t e e a KB yee eB Cayley e a Teoria das Matrizes b AXB d BAXA f AXB 3 4 59 Hygino H Domingues 247Dadas as matrizesA 4 eB 0 3 determine a matriz X de A disputa entre Newton e Leibniz ou mais exatamente entre seus adeptos em torno da primazia da criagao do Calculo foi negativa para a ordem 2 tal que XA1 B matematica inglesa embora Newton tivesse levado vantagem na polémica Considerando uma questao de honra nacional ser fiel ao seu mais eminente cientista nos cem anos seguintes ao inicio desse episddio os matematicos 248 Determine X tal que britanicos fixaramse nos métodos geométricos puros preferidos de Newton em detrimento dos métodos analiticos muito mais produtivos Como os ma a x 3 7 tematicos da Europa Continental exploraram grandemente estes ultimos mé 1 3 35 1 0 todos nesse periodo a matematica britanica acabou ficando bem para tras Mas acabou havendo uma reacgao e a matematica britanica conseguiu voltar ao primeiro plano no século XIX especialmente em Algebra um campo b 2 22 X 3 que de modo geral ficara algo marginalizado nesse meiotempo E um dos 5 5 13 5 2 7 maiores responsaveis por essa reascensao foi Arthur Cayley 18211895 Natural de Richmond Inglater 249 Prove que se A e B sao matrizes inversiveis de ordem n entdo ra Cayley descendia de uma familia 8 ane que conciliava talento e tradicao 12 AB BTA Desde muito cedo demonstrou gran 72 ee de aptidao para os estudos Diante iL 37 Solugao disso e atendendo a sugestoes de e a alguns de seus professores os pais aa om fecal Para provarmos que C B1A é a matriz inversa de AB basta mostrar que resolveram envidlo para estudar em o ee CAB ABC I De fato Cambridge em vez de inicialo nos Rei ae ol CAB B1A1AB BA1AB BHB BB negocios da familia Assim em 1838 947g SREB on ingressa no Trinity College onde iria ABC ABB1A ABBA1 AlA2 AAW2 In se graduar com distingao maxima A Logo em seguida iniciase no ensino ob no proprio Trinity mas desiste trés Pe 250 Prove que se A B e C sao matrizes inversiveis de ordem n entéo ABC anos depois pois sua permanencia 3 C1pt141 exigiria abragar a carreira religiosa o Ld que nao estava em seus planos Nos quinze anos seguintes dedicouse a Pa a N 251 Verifique diretamente que se A 6 uma matriz inversivel de ordem 2 entao advocacia mas com certeza nao in Arthur Cayley 18211895 a2 A tegralmente como mostram os mais de duzentos artigos que publicou no periodo na area de Matematica Foi também nessa época que conheceu Ja mes Joseph Sylvester 18141897 outro dos grandes expoentes da algebra 4 Fundamentos de Matematica Elementar Ee britanica do século XIX com quem estabeleceu sdlida amizade consolidada até por areas de pesquisa comuns como a teoria dos invariantes Em 1863 aceita convite para ocupar uma nova cadeira de matematica pura criada em Cambridge a testa da qual ficou até a morte salvo um semestre de 1882 em que deu cursos nos Estados Unidos Em volume de produgao matematica em todos os tempos Cayley tal A rT vez s6 seja superado por Euler e Cauchy E embora sua obra seja bastante diversificada foi no campo da Algebra com a grande facilidade que tinha para formulagées abstratas que mais se sobressaiu Assim por exemplo devese a ele num artigo de 1854 a nogao de grupo abstrato Galois que introdu D GC Mm GC zira o termo grupo em 1830 com o sentido atual s6 considerara grupos de e e r In a Nn es permutacoes Outra contribuigao importante de Cayley iniciada em 1843 6a geometria analitica ndimensional em cuja elaboracao utiliza determinantes e coordenadas homogéneas como instrumentos essenciais O inicio da teoria das matrizes remonta a um artigo de Cayley de 1855 Digase de passagem porém que o termo matriz jd fora usado com 0 mesmo sentido cinco anos antes por Sylvester Nesse artigo Cayley fez questao de salientar que embora logicamente a ideia de matriz preceda a de determinan I Introdugao te historicamente ocorreu o contrario de fato os determinantes ja eram usa dos ha muito na resolugao de sistemas lineares Quanto as matrizes Cayley A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII quando introduziuas para simplificar a notagao de uma transformagao linear Assim eram estudados processos para resolucao de sistemas lineares de equacgdes em lugar de Hoje em dia embora nao sejam um instrumento pratico para resolucao de siste mas os determinantes sao utilizados por exemplo para sintetizar certas expres sdes matematicas complicadas x ax by an a b escrevia x y xy ew y cx dy cd II Definigao de determinante n 3 Consideremos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais Seja A observagao do efeito de duas transformagoes sucessivas sugeriuIhe M uma matriz de ordem n desse conjunto Chamamos determinante da matriz M e a definigao de produto de matrizes Daf chegou a ideia de inversa de uma indicamos por det M o numero que podemos obter operando com os elementos de matriz o que obviamente pressupée a de elemento neutro no caso a matriz M da seguinte forma idéntica Curiosamente foi s6 num outro artigo trés anos depois que Cayley introduziu o conceito de adigao de matrizes e o de multiplicagao de matrizes 61 1 Se Mé de ordem n 1 entdo det M 0 Unico elemento de M por escalares chamando inclusive a atencao para as propriedades algébricas dessas operacées M a4 det M aq Ao desenvolver a teoria das matrizes como outros assuntos a grande Exemplo preocupacao de Cayley era com a forma e a estrutura em Algebra O século XX se encarregaria de encontrar inumeras aplicacdes para suas matrizes M 6 detM 6 Podemos também indicar o determinante de M pelo simbolo a isto é colo cando uma barra vertical de cada lado de M Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 62 2 Se Mé de ordem n 2 entao det M 0 produto dos elementos da diago a ap ay an ay nal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundaria an Yaa saz as Aap a a x a Na a a a A 34 32 ayy Ar ale at aA Ney M det M Sy 448 Apa a a as a2 ge Uk Este dispositivo pratico é conhecido como regra de Sarrus para o calculo de determinantes de ordem 3 Exemplos Exemplo 31 32a210 13 4 4 2 5 2 349808123049 14 2 cos X sen x cos x cos ysen xsen ycos xy J sen y cos y 1 3 Saa 3 NOX KOZ oA 35 2 4 fo 4 63 3 Se M é de ordem n 3 isto é SLL NAN 8 12 30 49 80 Ay Ay Ayg TL Mla a definimos Uma outra forma de memorizar a mu Sas a a a definicao é a indicada ao lado A Aan Ang St 82888 Os termos precedidos pelos sinal NAN soe as As As3 sao obtidos multiplicandose os ele Sk det M ay4 Ass A33 A409 Ang Agy 843 Ao Ag9 A143 Ann Ag ayy mentos segundo as trajetorias indica 23 A32 A142 Ai A33 das Aut As Ais Os termos precedidos pelo sinal Bar Aan ans Podemos memorizar esta definicdo da seguinte forma sao obtides multiplicandose os ele Aas an ays mentos segundo as trajetorias indicadas Z a Repetimos ao lado da matriz as duas primeiras colunas b Os termos precedidos pelo sinal sao obtidos multiplicandose os elementos segundo as flechas situadas na diregao da diagonal principal A114 Ag2 433 A12 Ag3 Agi A13 Ad AZ2 c Os termos precedidos pelo sinal C sao obtidos multiplicandose os 252 Calcule os determinantes elementos segundo as flechas situadas na diregao da diagonal secundaria 32 an b 13 7 3i 1 813 822 A341 A411 A23 A329 A42 And AZz a 2 1 11 5 5 2 2 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 253 Calcule os determinantes 260 Calcule os determinantes pela regra de Sarrus 9 7 11 O ac 210 sen X COS xX a c 2sen x 3cos x a 2 4 43 b 0 b c m n 2 sen y cos y 12cosx 3senx2 5 3 6 a b O 354 b looc xX cos 2 log 5 log 5 cos xX sen x 261 Calcule 0 valor do determinanteD5 log 125 log 25 8 log 27 log 243 254 Calcule os determinantes 12 3 a a b b 2m 2mm 262 Se somarmos 4 a todos os elementos da matrizA 4 4 m Cujo determi m me 1 111 2 4 nante é D qual é 0 determinante da nova matriz 255 Sendo A aj uma matriz quadrada de ordem 2 e ay j i2 qual o determi 263 Determine x tal que nante da matriz A 2 1 x x 1 x 4 1 x 2 256 Determine x tal que a 2 2x 10 b 4 4 x0 c 2 x 40 2x 3x2 3 xt1 1 4 x 1 13 x a 0 1 x 264 Determine x tal que 2x x2 x1 2 xX b 11 3x 2 2 x 0 14 3x x1 2x x 257 Determine o numero de raizes reais distintas da equacao o 3 1 x 0 265 Determine 0 conjunto solucdo da equacdo O0 3 20 1 x 4 3 3 258 Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes nao singulares senx 8 5 e 2 calcule 266 Se 0 x 2m determine o menor valor de x talque 9 senx cotgx 0 c dj 3b 3d x 0 0 cosx 267 Qual o valor do determinante associado a matriz 259 Calcule os determinantes pela regra de Sarrus ser x sen x 0 13 2 3 1 7 110 b A cos x cos y sen y 2 ao 10 1 02 c 2483 011 25 1 5 4 2 0 4 Fundamentos de Matematica Elementar ea Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 268 Chamase trago de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal 56 principal Sabendo que o traco vale 9 e o determinante 15 calcule os elemen Temos ento Dip 7 7 tos x e y da matriz 5 6 1 2 3 ent80 Daa 5 5 O x z T 8 0 O y 66 Definigao Consideremos uma matriz de ordem n 2 seja aj um elemento de M Defini Tit Menor complementar e complemento mos complemento algébrico do elemento aj ou cofator de aj e indicamos por Aj algébrico o numero 1 Dj 64 Definigao Exemplo Consideremos uma matriz M de ordem n 2 seja aj um elemento de M 232 Definimos menor complementar do elemento aj indicamos por D como sendo o SejaM 4 4 g calculemos Ay1 Ay2 Ars determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M 75 32 65 Exemplos Temos 4 3 4 j 3 2 12 SejaM5 4 5 e calculemos Dy Doi Dai T 4 g entdo Ay 14 4 98 3 3 2 bt 5 3 5 3 Temos 2B 2 34 1 5 entdo Ay 1t2 4 8 53 4 5 vento Dis 18 1 8 12 73 93 3 2 7 5 8 3 3 2 3 4 3 4 23 2 14 1s5 entdo Do 6 1 4 g entao A3 18 23 3 2 I 7 5 3 3 2 7 5 3 4 3 4 3 4 oe wy e an e 4 45 ento Da 11 IV Definigao de determinante por recorréncia 1 5 32 caso geral 5 6 Ja vimos no tépico II a definicao de determinante para matrizes de ordem 1 2 2 SejaM e calculemos D1 Da e 3 Vamos agora com 0 auxilio do conceito de cofator complemento algébrico dar 7 8 a definicao de determinante valida para matrizes de ordem n qualquer 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES Seja M uma matriz de ordem n Definimos determinante da matriz M e indica 31 22 mos por det M da seguinte forma 02 0 4 32 3A0A0A0A 12 Se M é de ordem 1 entado M a e det M ay O4 12 Se 0j1 3 3 2 Se M é de ordem n 2 2 entado 20 4 a ayn a a wee 44 12 in a1 A a 3A 314 1 2362186 M 41 42 Gon Je definimos det M 21 22 Aan 13 3 an Ano wre Aan an Ano ote Amn 4 2 4 4 21 4 n 4 s 1A2A3A4A 30 0 2 Aq Aga aay Ang Ag Aga Ant Ant dan Ais it 43 25 4 te eo eminent de ume man de oe n 2 asoma dos produtos 14 3 214 1 214 1 2141 los elementos da 1 coluna pelos respectivos cofatores una P pect 0 0 220 O 231 4 3 41 4 3 325 325 325 002 67 Exemplos 20223484 14 176 a b 12 a a2 Ay 0A a1dce1badbe 68 Observacado Notemos que no exemplo 4 quando a 1 coluna nao possui zeros 0 calculo que coincide com a definicdo particular dada em Il do determinante tornase trabalhoso Isso pode ser atenuado de certo modo com o teorema que veremos a seguir ab c 29 id e fjaA dA A hi 1 g EXERCICIOS f a1 e td1 b leg 4 bc 269 Seja h i hi e f 24 3 aei hf dbi ch gbf ce aei dhc gbf gce dbi ahf que M 5 2 1 calcule Do1 D2 Dos coincide com a definigao dada no tépico II ver regra de Sarrus 3 71 4 Fundamentos de Matematica Elementar e Ee Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 270 Encontre o cofator de 3 na matriz Isto 4 a Se escolhermos a coluna j da matriz M 2 4 1 O M 6 2 5 7 Ay Ay Ay Ay 1 7 2 4 Ay Agy Ag Any 0 31 10 seceessstecssseecsssedensedecsseeeenees Ay Ay ay a 271 Seja Entao det M a4j Ay aaj Ag Any Anj 4 4 0 oO 0 22 1 b Se escolhermos a linha i da matriz M M 3 3 4 42 calcule D13 Dz4 D3z Dy3 2 4 5 7 6 By Ayn ee A Ay Anne AD 272 Seja ween eeneeeeeneeeeeeeneeeeeees 1 0 2 0 eveesesestsesseneasasseeeens 13 4 O a a a M calcule D4 Doo Das Daa nd n2008 nn 5 2 1 2 14 22 33 44 2 2 0 3 Entao det M aj Ay ajo Aio ain Ain Portanto para calcularmos um determinante nado precisamos necessariamen 213 te dos elementos da 1 coluna e seus cofatores qualquer outra coluna ou linha e 273 Determine o cofator do elemento az3 da matrizA 1 2 1 seus cofatores permitem o calculo o1 2 Para calcularmos o determinante 274 Calcule os determinantes das matrizes abaixo usando a definicao 1 2 1 1 2 1 4 3 101 3 242 4 3 0 0 2 23 4 2 a M bm2 7 0 43 2 5 02 5 4 102 3 2 Se escolhermos a 3 linha para seu calculo obteremos 41 00 3 01 0 det M3A0A 0A 2A 3A3 2A 56 teremos que cal 0 0 V Teorema fundamental de Laplace cular dois cofatores em vez de quatro se usdssemos a definicao Concluimos entao que quanto mais zeros houver em uma fila mais facil sera O determinante de uma matriz M de ordem n 2 a soma dos produtos dos o calculo do determinante se usarmos essa fila Em particular se a matriz tiver uma elementos de uma fila qualquer linha ou coluna pelos respectivos cofatores fila de zeros seu determinante sera zero 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES a 0 b 0 Xx EXERCICIOS c 0 d x e 278 Determine o valor de x para que f 0 Xx O O 32 275 Calcule os determinantes das matrizes abaixo utilizando 0 teorema de Laplace g 3 xX 3420 4 1 2 3 4 5 O a1 3 14 m2 217 mM0 0 b 2 3 aMo 0 40 d M 0006 8 VI Propriedades dos determinantes 1 0 3 3 ok 0 0 0 0 d A definicdo de determinante e o teorema de Laplace permitemnos 0 calculo de qualquer determinante contudo é possivel simplificar 0 calculo com o emprego de x O 0 0 0 0 certas propriedades Vejamos quais sao elas O a b 4 a y 0 0 0 0 b M 014 00 M p zo 0 0 69 P Matriz transposta e aa Ob monop x 0 0 Se M é a matriz de ordem n e Mt sua transposta entao det Mt det M 1 b a O b c dey 0O a b c deez Demonstragao Vamos usar o principio da inducao finita 13 2 0 1 parte c M 3 1 02 Para n 1 a propriedade é imediata 23 01 021 3 2 parte Suponhamos a propriedade valida para matrizes de ordem n 1 e provemos que ela também sera valida para determinantes de ordem n Temos 276 Desenvolva o determinante abaixo pelos elementos da 2 coluna Oai1o 44 Ayn YQ Ay Diy yp Byg se Day D 1 b1 1 A Ag0 QR s An Bo Bop Dog sD 2 c 014 M a An gg Qn Mbz bs baz Dan ant Ano an3 ue Ann Dut Dro bag ue Dan 1 2 3 4 2 O 4 O O O em que bj aj vie 14 2 wy nt e Vj 1 2 wy nh 277Calcule o valor do determinante O 4 0 2 1 det M a4 Aqy 851 Apy g Agi Ag Ana pela 1 coluna Oo 5 5 144 0 1 Oo 1 2 det Mt by Ay byo Alyn FD 3 As 11 AG pela 1 linha 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES Mas por definigao de matriz transposta temos 71 P3 Multiplicagao de uma fila por uma constante 841 Dyy Ag yo Ag bys Any Dy Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz M de ordem n por numero e pela hipotese da indugao temos K 0 determinante da nova matriz M obtida sera o produto de K pelo determinante a a At de M isto é det M K det M Aan Alas Aoi Atos Asa Asss vet Ana Alan Logo det Mt det M Demonstragao Portanto a propriedade é valida para matrizes de ordem n Vn 1 Seja Exemplos 14 12 A414 yg Ay A144 Ap 4p 3 Go Aan An G91 gp ve Bon Mw iiceetatttttntesseseeseee Mt mf ceenmntnnanniteeninenseesee 3 1 3 1 5 9 eee eee eee 4 5 2 2 3 2 ant Ano ute Ann Ana Ano ute Ann A importancia dessa propriedade reside no fato de que toda propriedade valida para as linhas de uma matriz também é valida para as colunas e viceversa wo Notemos que os cofatores dos elementos da iésima linha de M sao os mes mos que os da iésima linha de M 70 P Fila nula Desenvolvendo det M e det M pela isima linha temos Se os elementos de uma fila qualquer linha ou coluna de uma matriz M de det M 1 Ay aig Aig ain Ain I ordem n forem todos nulos entao det M O det M Ka A Ka Ay KaAj Il Demonstracao Suponhamos que a jésima coluna de M tenha todos os elementos nulos isto é De I II concluimos que det M K det M A demonstracao seria analoga se tomassemos uma coluna de M aj a ag ay O Exemplos Desenvolvendo o determinante por esta fila temos 7 14 49 1 2 7 detM 0Ay OAy OA 0 42 3 5 ol713 5 2 0 2 7 Oo 2 7 Exemplos 1 5 x O 3 14 3 7 y 0 5 7 2 1 7 2 0 0 O0 42 7 0 2 40 28 852 28 8 a be 3 t 0 15 7 16 3 D 16 4 Fundamentos de Matematica Elementar Sa Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 1 1 2 1 1 1 2 parte 572 4 gl 572 Admitamos que a propriedade seja valida para matrizes de ordem n 1 e provemos que ela também sera valida para matrizes de ordem n 3 1 16 3 1 8 Tomemos a linha i admitindo que ela nao seja nenhuma das duas que tenham sido trocadas de lugar Desenvolvendo det M e det M por essa linha temos 1 1 1 1 1 1 n n 57221 2 2 1401 2 2 detM 4 A edet M ay Aj 3 1 8 3 1 8 jea jaa Como cada cofator Ajj 6 obtido de Aj trocando de posigao duas linhas e por 1 2 8 i 1 2 hipotese de indugao Dj Dj Vj 1 2 n segue que Aj Aj Vj 1 2 39 K4 5 64 5 64 5 6K Nn e portanto det M det M 7 8 5 7 8 5 7 8 K A demonstracao seria analoga se trocassemos de posicao duas colunas 4c SeAématriz de ordem n entao Exemplos det a A a det A 34 7 2 12 22 22 72 P Troca de filas paralelas Seja M uma matriz de ordem n 2 Se trocarmos de posicao duas filas 141 141 paralelas duas linhas ou duas colunas obteremos uma nova matriz M tal que det M det M 22 3 1 237 21 337 03 2 230 Demonstracao Vamos uSar 0 principio da inducao finita 73 Ps Filas paralelas iguais 12 parte Provemos que a propriedade vale para n 2 Se uma matriz M de ordem n 2 tem duas filas paralelas duas linhas ou duas a a colunas formadas por elementos respectivamente iguais entao det M O 44 12 Seja M det M a4 Aon Aq0 Ad J a 2 4922 120 S24 Demonstracao Suponhamos que as linhas de indices i e k sejam formadas por elementos Trocando de posicao as linhas obtemos respectivamente iguais isto 6 a ay Vj 1 2 n a a M ad det M ao ayo ayy Ano det M De acordo com a propriedade Py se trocarmos de posiao essas duas linhas 441 42 obteremos uma nova matriz M tal que det M det M 1 Por outro lado M M pois as filas paralelas trocadas sao iguais Trocando de posicado as colunas obtemos Logo det M det M 2 ay ayy De 1 e 2 conclufmos que M det M ayo an ay Avg det M 89 ar det M detM 2detM0 detMO 4 Fundamentos de Matematica Elementar Sa Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES Analogamente se demonstra para 0 caso de duas colunas iguais Pela Ps det M O Exemplos Desenvolvendo det M pela sésima linha 3 2 3 det M a A a A a A O 1 4 70 1 8 4 0 7 2 7 Observemos que os cofatores dos elementos da sésima linha de M sao os mesmos que os da ssima linha de M A demonstracao andaloga se tomarmos em M duas colunas 14 P Teorema de Cauchy Exemplo A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz M ordenadamente pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela igual a zero mMl4 3 5 Demonstracao Seja 3 a a 1 linha 3 linha 11 1200 tn A141 A142 813 elementos A31 Ago A33 cofatores Ay gn wee ADH 4 2 3 2 3 4 ar ao ve Orn Az 14A 13eA 5 M eee 3 5 1 5 1 3 ay Agee AGH eee 44 Asi Fay Aaa 43 Ags 314 413250 Ay Anges Ann Substituindo em M a sésima linha pela résima obtemos a matriz 715 Pz Filas paralelas proporcionais Ay AyD wee AY Ao Angee An Se uma matriz M de ordem n 2 tem duas filas paralelas duas linhas ou duas colunas formadas por elementos respectivamente proporcionais entao det M O m Sa 92 An linha s Demonstragao rs Suponhamos que as linhas de indices ij e p de M sejam formadas por elemen A Ag vee Ay tos proporcionais isto é deeeeeeeeeeeeeeueeaeeaseeeeess ajKay Vj 12n Qn Ang ee Any 4 p 4 Fundamentos de Matematica Elementar eS Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES Entao 280 Prove que os determinantes abaixo sao multiplos de 12 sem desenvolvélos a a we a linha i 5 5 ay ayo see Ain 1 1 u 3 4 1 7 5 ve a a we a 21 22 2n 21 22 2n D5 24 13 D D33 11 15 vee ee ae eee n eee eeeeeee eee be cecaaeeeeceaueeeeesaaeeeeeauees 7 36 417 10 5 9 13 5 13 25 det Kay Keay Keay Pay Ay Ayn wes gy Peg 14 7 3 15 a a a a la a 281 A é uma matriz quadrada de ordem 4 e det A 6 Calcule o valor de x tal ZA pt p2 pn pl p20 pn que det 2A x 97 linha p ant ano wee Ann ana ano se Ann 282 Calcule det Q sabendo que Q 6 uma matriz 4 x 4 tal que detQ 0Oe Loe Q 2Q2 0 A demonstragao seria analoga se tivéssemos duas colunas proporcionais Exemplo 283 Sem desenvolver diga por que o valor dos determinantes abaixo é zero 2 2y y 0 2 e 3 colunas proporcionais a c Y yz xyz 20 12 25 51 3 2z Z 2 xz x2z 28 23 35 64 EXERCICIOS a a a a b c cd cb 279Calcule os determinantes utilizando as propriedades anteriores d ad dd 5 2 2 7 6 41 284 Sem desenvolver nenhum dos determinantes prove que D 8 D sabendo que ax aoa 2 14 9 22 x 4 1 2 3 4 2 3 4 a 3 6 5 c 4 a1 15 55 x x x x 8x 2x 2x 2x xX 2 3 4 6 49 30 121 y yyy 4y yy y D 2 13 JA D 2 3 4 3 5 0 4 7 Zz Zz Zz Zz 4z z Zz Zz 2 2 2 3 4 42 3 44 X xy X 2 13 0 19 17 t t t t At t t t 3 b X y y d 9 27 O 25 35 2 2 3 xy x 16 54 0 42 47 be aia 1 a a 21 73 0 54 49 285 Sem desenvolver prove queac b b1 b b ab cc 1 c o 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES Solugao Isto Multiplicamos a 1 linha por a a 2 por b e a 3 porc ae b 2 2 3 2 3 2 3 a a bj a a a5 b a Q Aj C a coaioa abc a a 1 a a 1 a a 411 912 Aj Aj an 11 912 1j 4n 141 912 1j an ac ob Ub lLlabe bb bb 2 40 ob ope lala ob bo Ao Ago b gq fox Aap Boj Ban faa B22 Cai Aan 2 abe 2 3 abe 2 3 2 3 Any Ang 6 Cy Ann Ant Ang Day e Ann Ana Ana e Cm Ann 2 zy 4 1 1 xX xX 2 Demonstragao 286 Sem desenvolver prove que 4 y 11 y y a 2 Notemos que os cofatores dos elementos da j6sima coluna de M sao os mes xy z 1 1 2 2z wor 1 mos que os da jésima coluna de M e M Desenvolvendo o determinante de M pela jésima coluna temos det M Pay C4 Aaj Boj 9 Any Bay Spy Ary 76 Ps Adigdo de determinantes e det M b jA4 b Ag byjAy CyjAy CyAo CA se oT OF Seja M uma matriz de ordem n em que os elementos da jEésima coluna sao det M det M tais que det M det M det M ay by Cy Ay AyD b C se Aty Ay by Cy Ap Ayn Boy Coy An 17 Observacao b c i é a a Dg Ca 2 a en 2 Agi Dg Cg isto M 31 m2 3j 3i 3n A propriedade é valida também se tivermos uma linha cujos elementos se de eee esas eeeeeeeesecceeeeseeeeaeeeeeaeeeenee compdem em soma Any bj Cy Qn Ano ee b Cy eee Ann Exemplos coluna oS ON J x jab m x ja om x b m Ento teremos 1 y jetd nlJly e nlly jd n z ef p z e p z f p det M det M det M 3 4 2 3 4 2 3 4 2 em que M a matriz que se obtém de M substituindo os elementos aj da jésima 22 coluna pelos elementos bj 1 i n e M é a matriz que se obtém de M substi 0 3 4 0 3 4 0 3 4 tuindo os elementos aj da j6sima coluna pelos elementos c 1 i n 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 18 Combinagao linear de filas paralelas Vamos somar essa combinacao linear a 1 coluna e obteremos a matriz Seja M ai uma matriz de ordem n e sejam p quaisquer de suas colunas ou 2 7 1 linhas de indices 1 So 3 Sp Multipliquemos respectivamente estas p colunas M46 8 5 pelos numeros C4 Co C3 Cy cConstruamos as somas 30 1 6 O Cy Ag Cy Ay 0 AY O Ca a a De forma andloga defininos combinagao linear de p linhas e adigao dessa 2 1 2s 2 2s ute p 2s 2 combinacao linear a uma outra linha diferente das consideradas Oy C ag Cy ag 6 ag Of Cy Age F0y Age Hose F Oy Ang 19 P9 Teorema da combinagao linear Se uma matriz quadrada M aij de ordem n tem uma linha ou coluna que 2 é combinacao linear de outras linhas ou colunas entao det M O Diremos que 0 conjunto 011 Os uma combinagao linear das p colunas Se substituirmos a coluna de indice q diferente das p colunas consideradas 2 Demonstracao pelos numeros Suponhamos que a q coluna seja combinacao linear de p outras colunas de indices S1 So S3 Sp a 04a2 283 Og an 7921 937 147 Sp ty 7 Ot 82 7 Oa 43 7 Os ng 7 On Desenvolvendo 0 determinante de M pela q coluna temos n n Pg diremos que se adicionou a coluna de indice q uma combinagao linear das outras detM Gig Aig x c G5 Fly A To Cy ag Aig colunas isa isa n n n Ps Exemplo Das Ag eo Dag Ag Cp as Ag i1 i1 i1 Vamos construir uma combinacao linear da 2 e da 3 coluna da matriz COc9000 1 7 1 Exemplos Me2 8 Sao nulos os determinant ao nulos os determinantes 3 1 6 37414 25 2 3 5 usando os multiplicadores 3 e 4 respectivamente 3 8 45 44 1 4 1 3 pois 3 coluna 1 x 1 coluna 1 x 2 coluna 3146 27 5 4 9 roof 2 3 4 23 32 combinacao 9 ali ali ali coluna coluna linear 2 1 2 5 pois 3 linha 2 X 1 linha 3 X 22 linha 7 12 23 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 80 P09 Teorema de Jacobi Ay AyD we Ay ve Kayo Ayn Adicionando a uma fila de uma matriz M de ordem n uma outra fila paralela An And e Ann ve Kay see Aon previamente multiplicada por uma constante obteremos uma nova matriz M tal que Az Ag9 Ag Kag Ag detM det M det M Demonstracao a A Ce 0 P Seja Ay Aygo App AQ we Aan Exemplos Ay Ang ss Ann ee AQ Any 7 M831 32 lAgp Ag Aan Ant Ana es App A Ann 12 4 2 74 10 7 t 4 1 6 4 11 6 Adicionamos a 2 coluna a 1 multiplicada por 3 Adicionemos a jésima coluna a pésima multiplicada pela constante K Al 2 3 A 1 0 0 0 Obtemos a matriz 22 392 5 73 8 4 5 Ay Ayn Ay Ay tK ayy Aan 2 1 4 6 2 3 2 2 1 3 3 5 1 1 O 1 Ay Any vs Any ve AG K Ag 2 Aan M5 8 Ag ag K ag agy Ang Ang vee Amp ee Ay K App Aan De acordo com Pg temos Adicionamos a 2 coluna a 12 multiplicada por 2 Adicionamos a 3 coluna a 1 multiplicada por 3 Ay Ag ve Ayy ve Ae A Adicionamos a 4 coluna a 1 multiplicada por 4 Gy Ang An ve AQ ws Any 81 op servacao det M 831 432 A3p see a3 see An vee eee eee eee eee e esse eee sees ee aa neeeeeeaaaeeeeeaeeeeees A importancia desta propriedade reside no fato de que podemos introduzir An Ang es App ee Aye An zeros numa fila de uma matriz sem alterar seu determinante com isso podemos facilitar bastante seu calculo através do teorema de Laplace 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 293Enuncie as propriedades que permitem escrever sucessivamente EXERCICIOS 14 2 3 1 3 4 1 1 2 4 1 2 4 5 64 9 10614 3 56112 3 50 287Complete em seu caderno o que falta 7 8 9 7 15 16 7 5 8 20 5 8 atbc 1 2 1 2 1 2 1 2 abc 3 43 4413 43 4 294 Prove que o determinante é multiplo de 17 sem desenvolvélo Dado abc 5 6 5 6 5 6 5 6 1414 9 288 Calcule o valor de D1 8 7 1 5 3 4 2 3 4 5 12 4 5 6 7 8 9 10 0 410 0 414 12 13 14 15 1304 Solugao 16 17 18 19 20 1 222 23 2A 05 1 4 2 1 Observemos que se os elementos de uma matriz sao numeros inteiros en tao o determinante da matriz também 6 numero inteiro portanto provar que D é divisivel por 17 6 provar que D 17 D em que D é 0 determinante de 289 Demonstre a identidade uma matriz de elementos inteiros Temos por exemplo a boc a b2c c X yy Zlx yt2z Zz 100 10 9 1 100 10 119 mon p m n2p p Dem 100 80 tan 100 80 187 100 50 3 100 50 153 290 Quais as condicdes necessdrias e suficientes para que um determinante se anule 1 1 119 11 7 291 Verifique a identidade seguinte aplicando as propriedades dos determinantes 1 8 187171 8 411 1 5 153 145 9 cos 2a cosa sen a Vo DEZ cos 2b cosb sen b0 cos2c cos c sen c 295 Prove que o determinante é multiplo de 13 sem desenvolvélo 292 Demonstre sem desenvolver o determinante que ab mn xy 1 3 0 bc np yz0 1 1 7 ca pm zx 1 5 6 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 296Demonstre que o determinante D é divisivel por x 3a sem desenvolvélo 302 Prove que Dado ace a at2 at4y x a ava a2 at4 at6 2 p x a a at4 a6 a8 aa xia a aoa x 297 Prove que 82 Py Matriz triangular atx bx ctx Chamamos matriz triangular aquela cujos elementos situados de um mesmo atty bty cty bcc ala bx y lado da diagonal principal sao iguais a zero isto é M aj é triangular se 2 2 2 a b c aj O parai j ou 298 Demonstre a identidade aj O parai j abc 2a 2a oo ob bc ob latbto O determinante de uma matriz triangular 0 produto dos elementos da diago c7a a nal principal 2c 2c cab Demonstracao Consideremos a matriz triangular em que aj O para i j o caso aj O para 299Mostre que a b c é fator de i j andlogo 2 2 2 ees p a 0 0 0 0 a a c c a ay O 0 O 2 2 2 a b a b Ma3 a3 a3 O O 300 Sem desenvolver demonstre que Ant Ana ang see Ann cosO cosa cos 2a cos a cos 2a cos 3a 0 gue Aplicando sucessivamente o teorema de Laplace através da 1 linha é imediato cos 2a cos3a cos 4a n det M Q141 Ao0 Ann i ai 301 Mostre que o determinante da matriz Exemplos cosxa senxta 1 3 0 0 cosxb senxb 1 12 2 5 O35115 cosxc senxc 1 4 3 1 é independente de x 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 32 3 5 VII Abaixamento de ordem de um determinante Oo 1 4 7 i0 22 312636 Regra de Chio 0 0 2 2 000 6 Como consequéncia do teorema de Jacobi P19 veremos agora um processo util bastante pratico para reduzirmos em uma unidade a ordem de um determinante de ordem n 2 sem alterdlo e consequentemente facilitar seu calculo Consideremos uma matriz M de ordem n 2 tal que a 1 iSto é 83 P Teorema de Binet due ean 4 ayy yg se A Se Ae B sao matrizes quadradas de ordem n entao Ay Ann QZ AH det A B det A det B M831 430 A930 ss Ay Exemplos ang ano Ang we Ann Sejam as matrizes A 1 2 eB 2 3 Temos Adicionemos a 2 coluna a 1 multiplicada por a4p 3 4 05 Adicionemos a 3 coluna a 1 multiplicada por a3 2 13 Adicionemos a jsima coluna a 1 multiplicada por ayj AB det AB 58 78 20 Adicionemos a nsima coluna a 1 multiplicada por a dettA 4 6 2 det A det B 20 det AB dettB 10 0 10 Cas Consequéncia a1 Decorre do teorema que det A Car det A De fato se 3 A4 entao 1 Ayn gee A AA1 detAAdetl detAdetA1 1 92 gg an 1 831 gg gg sss Ay det A Oedet At vee aeeeeseeaeeeeceseeeeeeesseaaeeseesaeeees det A Oede Get A Ana ano ang vee Ann 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES Obteremos a matriz M tal que det M det M 84 Observacées 1 0 0 ae 0 12 Se na matriz M a 1 e existir algum outro elemento igual a 1 pode Qn Ann Anq AgD Qn3 Any 43 tee Aon An4 Ayn mos pela troca de filas paralelas transformar M em uma outra matriz que tenha det M 43 A439 gy 49 A33 43 8430 Zh 3g gy ai 1 beee eae eeeecaaeecececsusecceecaauseeeeceaueceeessusseceessaaueceeeesauseceesseseeseessaaaueeeesangess Exemplo ant Ano Ani 42 an3 Ani 43 ue Ann Ant A4n Pelo teorema de Laplace temos ae 5 5 3 0 3 5 0 6 3 Oj 2 4 3 23 4 2 2 Ang Az 849 G93 AQ A430 AH AQq Ady 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 83 det M 932 931 812 833 7 831 413 Aan 7 A34 Aan 4 0 7 2 4 0 7 2 7 0 4 2 Ana An A842 Ang Ant 8430 Ann Ant Btn 22 Se nao existir em M nenhum elemento igual a 1 podemos usando o teo em que det M é de ordem n 1 rema de Jacobi obter uma nova matriz M que tenha um elemento igual a 1 Exemplo Isso pode ser resumido pela regra conhecida como regra de Chid 3 2 4 3 2 4 3 1 Desde que M tenha a 1 suprimimos a 1 linha e a 12 coluna de M 5 7 2 4 2 7 2 4 2 De cada elemento restante na matriz subtraimos o produto dos elemen 2 4 5 3 l9 4 5 3 tos que se encontram nas extremidades das perpendiculares tragadas do elemento considerado a 1 linha e a 1 coluna 23 0 7 t 3 0 7 3 Com as diferencas obtidas construimos uma matriz de ordem n 1 La cujo determinante é igual ao de M Exemplo 2 4 2 1442 76 519 66 EXERCICIOS 1 40 A 57 102 44 52 86 212 36 38 2 3 x 1 20 ia7 0 303seau 5 isd BCS 3 856 o Seja u 00 x 4 etermine os valores reais de x para os quais 1014 3o 43 2 10 3 30 8 o 0 0 x 144 12 156 u2 2u10 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 2 1 0 310 Calcule os determinantes com o auxilio da regra de Chio 304 Considere a matriz A 6 1 3 Calcule o valor do determinante A 11441 4 4 4 2 0 1 a x y 2z c a b oc yz XZ xy a b oc 305Sejam A B C matrizes reais 3 X 3 que satisfazem as seguintes relacoes AB C1 B 2A Se 0 determinante de C é 32 qual é 0 valor do modulo do a b c determinante de A b a b c bc cta atb 441 4 1 2 2 2 311 Prove que 306 Calcule o valor do determinante 1 2 3 3 1 1 1 1 12 3 4 1 r 0 14 7 Pf a b b b 1 4 307 Calcul lor do determinante 2 Calcule o valor do determinante aaa bl 312 Demonstre que aaoaa aaoaoa a b b b x 1 2 8 a bcocl ab ac bd c x x 4 5 308 Determine o conjunto solucao da equagao x x x 6 0 a bcd x x x x Solugao aaaa 1iaaa 309 Calcule os determinantes an as ba ba ba p2 boytim bhlba Ca cal 1 20 4 14141 a bce Tyb ce ba ca da 23 5 1 1 2 3 2 a bed tip e a a c 1 6 31 1 5 4 2 1 ba ba 3 2 1 4 1 1 3 7 alba4 cq cal 1 ca da 4 1 2 0 3 1 0 2 caba Caba b ab a ee ae a 5 3 2 2 caba daba 102 14 Pp 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 318 Mostre que Chel OM Chae 1 cb 9ba ab ac b ab a coe ca oa 1 cos2a sena 1 cos2b senb2senbsencsenc sen asen a sen b ab ac bd c 1 cos2c senc 313 Resolva a equacao 319 Sendo S a soma dos n primeiros nimeros naturais demonstre que xX a aoa a x a alo Ss S SS Sy S a a xX a S Sy Sy wt S So a a a x Si S S3 us S3 S3 n 314 Sem desenvolver o determinante calcule S S 3 Si Spy x y zt S SS S3 Si x y ab xX y Zz Cc x y z t VIII Matriz de Vandermonde ou das poténcias 315D t ee nw emonsire que 85 Definigao 1 1 1 wee 1 1 4ta 1 1 Chamamos matriz de Vandermonde ou das poténcias toda matriz de ordem 1 n 2 do tipo 1 1 dta 4 a a5a DG 1 1 1 1 FR BEER ye Aa a ar as az ar 316 Subsiste sempre a igualdade 1 2 3 aa n 1 1 1 net net ene a ay aot ast ant senx seny senZ senx y seny z sen z x cosx COSy Cosz Isto 6 as colunas de M sao formadas por poténcias de mesma base com expoente inteiro variando desde O até n 1 os elementos de cada coluna formam 317 Se a b c sao reais mostre que uma progressao geométrica cujo primeiro elemento é 1 1 sena cosa Os elementos da 2 linha sao chamados elementos caracteristicos da matriz 41 senb cosb4sen b 5 Cc sen a 5 Cc sen a 5 b Indiquemos o determinante de uma matriz de Vandermonde por 1 senc cosc V a1 az a3 An 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 86 Propriedade Obteremos o determinante equivalente O determinante V a1 Ao 43 an é igual ao produto de todas as diferencas 1 1 1 7 1 possiveis entre os elementos caracteristicos com a condicao de que nas diferen 0 ay a a3 a tee an a gas 0 minuendo tenha indice maior que o subtraendo Isto é 0 a5a a a3a3a aa a V aq oy 5 Aq Ag a4 Aq 1Ag ao Ay Ao Ay Aq 4 ceeeeeeeccecaaeseseesecseeeeeeeeeeeeseceeeseeeaaesaasceeeseeseeeeeeesesseeeananaes TT ai 4 i 12n j 1 2 n 0 at 2a a al 2a a a a a Demonstracao Pelo teorema de Laplace e por P3 temos Vamos uSar 0 principio da inducao finita 1 1 1 1 1 parte ay a3 we Ay Provemos que a propriedade é valida para n 2 V a a4 ag a4 Aq ay as a 1 1 eee eee eee Temos M a a det M ap a V a ag ap a ay ay we an Ro v Portanto a propriedade é valida para n 2 a V a2 a4 A3 a4 Ag 4 An Ay V 2 parte Mas V um determinante de Vandermonde de ordem n 1 logo por hipotese Suponhamos a propriedade valida para matrizes de ordem n 1 e provemos de indugao sua validade para matrizes de ordem n nl i 23n V TI aj a 1 1 1 wo s isp stiSC 2 a a a we A Cay s 2 2 2 2 v a a a we 8 2 v 2 3 Portanto VTI aa i 42n bebe eee eee nena eeeaeeee esa eeeeeeeeeaeeeaeneaees 3 ij 12n an2 an2 an2 ar 2 Cay 8 J ao 1 2 3 aa n Ca 2 ay apt ag art a E assim a propriedade é valida para matrizes de ordem n Vn 2 Adicionemos a linha de fndice n a de indice n 1 multiplicada por a 87 Exemplos Adicionemos a linha de indice n 1 a de indice n 2 multiplicada por a Adicionemos a linha de indice 3 a de indice 2 multiplicada por ay 1 4 34 28 22 34 Adicionemos a linha de fndice 2 a de indice 1 multiplicada por a 4 9 16 LY 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 1 1 1 4 323 Dado o polinédmio rr S i 4 1 1 4 2 a 49 843451 1920 12 3 8 127 125 yn PX 2 4 4 97 diga quais sao as raizes de Px 2 i 8 5 3 LNT x 1 8 27 324 Calcule o determinante 1 1 1 1 1 1 EXERCICIOS 2 3 4 1 5 6 2 3 47 1 5 6 3 3 3 3 3 320 Calcule os determinantes 2 3 4 is 6 2 34 4 4 54 6 1 t t 1 1 4 4 2 3 45 1 55 68 2 3 5 7 5 a c Ja b a 4 9 25 49 2 Be ad 325 Determine o valor numérico do determinante a a 8 27 125 343 1 1 1 1 3 6 12 log 7 log 70 log 700 log 7000 b14 3 5 log 7 log 70 log 700 log 7000 t 9 28 log 7 log 70 log 700 log 7000 321 Calcule o determinante 326 Calcule o valor do determinante 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c d e 1 2 be 2 log 2 log 20 log 200 log 2000 2 be 8 a ee log 2 log 20 log 200 log 2000 3 3 3 3 a bt ct dtd log 2 log 20 log 200 log 2000 322 Calcule o determinante 327 Resolva a equacao 1 x x x 1414 1 1 1 y y y 12x 5 0 122 2 1 4 x2 25 1t tt 8 1 8 x 125 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES 328 Supondo positivos todos os elementos literais da matriz quadrada 334 Mostre que a An 122 2 b be Pra 0 2 2 2 2 cececeecaaeceeeeeeeeeeeaeeneeeeeeeeeees 2 2 3 22n2 tq 0 O 0 e sendo n multiplo de 4 qual é o sinal do determinante correspondente 2 2 2 n 329 Demonstre que se os elementos de uma matriz quadrada M sao numeros intei ros entdo o determinante de M é um numero inteiro 335 Prove que 330 Calcule o determinante cote A cotg B cote Cc 2 2 2 4 p p1 p2 i 0 1 2 3 1 pti p2 p3 sendo A B C angulos de um triangulo e a b c os lados respectivamente opos 1 2 3 tos aos mesmos angulos 1 p2 p3 p4 336 Quantos termos se obtém no desenvolvimento do determinante de uma matriz 2 3 quadrada de 6 filas 1 p3 p4 p5 1 2 3 337 Determine o valor de m que verifica a igualdade Sugestao Relacgao de Stifel 331D identidad Ain 2 Arma Amo Demonstre a identidade Cr m 3 10m a b cd mm1 e 0 b c dia m1 abcdabc dac d d c d aeob daob oc 338 Demonstre que toda matriz antissimétrica de ordem impar e elementos reais tem determinante nulo 332 Demonstre que num determinante de uma matriz simétrica os complementos algébricos de dois elementos situados simetricamente em relacao a diagonal principal sao iguais 333Em uma matriz quadrada de ordem n 3 os elementos de cada linha estao em PG Mostre que o determinante de M se anula quando e somente quando duas progressoes tém a mesma razao 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES Apéndice 1 0 2 3 9 1 22 SeM2 1 3entdoM 2 6 1 pois 3 1 O 2 1 4 Calculo da matriz inversa por meio de Awu2 33 ap1pl2 3 9 41 7 7S 12 Hy determinantes 1 0 3 0 Oo 2 1 2 1 Mfatriz dos cofatores Ao 13 2 Ano 14 6 1 0 3 0 Seja M uma matriz quadrada de ordem n Chamamos de matriz dos cofatores de M e indicamos por M a matriz que se obtém de M substituindo cada elemento 0 2 12 de M por seu cofator Ag 14 13 2 Ag a9 5 2 1 Assim se 2 1 1 O a Ay3 ay 3 1 Aog3 1 3 1 8 Ann gts AH Ma3 3 agg 3 entao 1 O A33 1 1 Ana ano an3 ute Ann Ait Aaa Ag Attn 2 Matriz adjunta At Ago Ag3 vee Aon MilA A A A Seja M uma matriz quadrada de ordem n e M a matriz dos cofatores de M Cha 3t 32 330 sn mamos de matriz adjunta de M e indicamos por M a transposta da matriz M isto 6 Ant Ang Ans ute Ann Em resumo Exemplos Ay Ayn vs ty Ai Aga Aan M921 822 Aan M Ao Ago Aon 1 SeM entao M pois 34 2 1 Ay Ang wes A An Ano Ann Aga 14 45 Ay 18 3 3 a a aa i wee Vie 12 n Aor 182 2 Ago 44 1 4 M 7 em que By Aj 7 dace ceaeeeeeeeauuseeeeeaeseeeees Vj Ee 1 2 n By Bro es Ban 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES Nos exemplos dados no item anterior temos Logo sei k c detM teorema de Laplace seik c O teorema de Cauchy 1 2 42 te M frentaoM 30 4 Logo M M é a matriz diagonal det M 0 0 wee O 1 0 2 3 22 0 det M 0 ve 22 M2 1 3entdoM 9 6 1 0 oO detM O det Ml 3 1 0 1 1 4 0 0 0 detM 3 Teorema Portanto M M detMI 2 Se M é matriz quadrada de ordem ne matriz identidade de ordem n entao De 1 e 2 concluimos entao que MMMM det M Ip MMMM det M Demonstracao Seja M M bx Por definico de produto de matrizes 4 Processo de calculo da inversa de uma matriz qua h hn drada M bi aijBy ai AK j1 jaa Teorema Logo se i k b det M teorema de Laplace Se M é uma matriz quadrada de ordem n e det M O entao a inversa de M é seik by O teorema de Cauchy WA oa Mt 1 M Logo M M é a matriz diagonal det M det M 0 0 wee 0 0 det M 0 os 0 Demonstracao 0 0 detM O detMI Usando o teorema anterior temos 0 0 0 detM M 1m2 mem St 1 ay Portanto MM det M sly 2 det M det M det M Analogamente seja M M cj Por definigao de produto de matrizes n n 1 4 det M MM M M 1 L 2 Ci Y By aj DY aK Aji aa det M detM p 2 j1 j1 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 DETERMINANTES DETERMINANTES De 1 e 2 seguese por definigado de matriz inversa que yi EXERCICIOS det M Retomando os exemplos anteriores temos 339 Calcule usando a teoria precedente as inversas das seguintes matrizes 1 2 43 a e 7 2ic sens os a 1 M3 gpM3 4 detM2 8 5 10 5 cosa senal a 1 1 O O Oo 1 0 1 O O wogoms 4 42 3 4 po 2 oe1 0 1ler3 1 0 Abs Us 5 0 0 3 a 5 7 4 1 0 2 3 2 2 340 Para que valores reais de m existe a inversa da matriz 22 M2 1 3M 9 6 1detM5 m 5 4 M 2 3 1 0 11 1 32 2 3 22 5 5 5 Solugao 4 1 9 6 1 a Logo M Fs 9 6 1 5 5 5 A matriz M é inversivel se e somente se det M O Assim temos 1 1 1 a 1 1 m 5 5 5 5 cet m m 25405m45em5 m Corolario Seja M uma matriz quadrada de ordem n A inversa de M existe se e somente 341 Qual a condicdo sobre a para que a matriz se det M 0 1 aoa Demonstragao Ma 1 a sea inversivel a Sedet M O pelo teorema anterior vimos que existe a inversa e aad wot 1 M 1 om det M 342 Determine os valores de m para os quais a matriz M m 2 nao é inver sivel b Se4dM4 entéo M M e pelo teorema de Binet 1 O1 det M det M det 1 0 Ae 343 Determine os valores de k para que a matriz Ak 1 31 nao seja inver portanto det M O sivel 1k 3 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 LEITURA O francés Etienne Bézout 17301783 autor de textos matematicos de sucesso em seu tempo sistematizou em 1764 o processo de estabelecimen to dos sinais dos termos de um determinante E coube a outro francés Alexan Sistemas lineares e determinantes dre Vandermonde 17351796 em 1771 empreender a primeira abordagem Q Q da teoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares origens e desenvolvimento embora também os usasse na resolucao desses sistemas O importante teorema de Laplace que permite a expansao de um determinante através dos Hygino H Domingues menores de r filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos foi demonstrado no ano seguinte pelo préprio Laplace num artigo que a julgar Na matematica ocidental antiga sao poucas as aparigoes de sistemas pelo titulo nada tinha a ver com o assunto Pesquisas sobre o cdalculo inte de equacoes lineares No Oriente contudo o assunto mereceu atencao bem gral e o sistema do mundo maior Com seu gosto especial por diagramas os chineses representavam os termo determinante com o sentido atual surgiu em 1812 num tra sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bam balho de Cauchy sobre o assunto Nesse artigo apresentado a Academia de bu sobre os quadrados de um tabuleiro Assim acabaram descobrindo o meé Ciéncias Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecido até entao sobre todo de resolucao por eliminagao que consiste em anular coeficientes por determinantes melhorou a notacdo mas a atual com duas barras verticais la meio de operacoes elementares Exemplos desse procedimento encontramse deando o quadrado de ntimeros s6 surgiria em 1841 com Arthur Cayley e deu nos Nove capitulos sobre a arte da matematica um texto que data provavel uma demonstracao do teorema da multiplicacdo de determinantes meses mente do século Ill aC antes J F M Binet 17861856 dera a primeira demonstragao desse teore Mas foi s6 em 1683 num trabalho do japonés Seki Kowa que a ideia ma mas a de Cauchy era superior de determinante como polindmio que se associa a um quadrado de numeros 4 Sw veio a luz Kowa considerado 0 maior matematico japonés do século XVII che contribuits para coneclidora teoris 6 gou a essa nocao por meio do estudo de sistemas lineares sistematizando o RS enna noneloman a velho procedimento chinés para o caso de duas equacodes apenas Carl G J Jacobi 18041851 A és g O uso de determinantes no Ocidente comecou dez anos depois num cognominado as vezes o grande 4 s trabalho de Leibniz ligado também a sistemas lineares Em resumo Leibniz algorista Devese a ele a forma F 3 estabeleceu a condicao de compatibilidade de um sistema de trés equacoes a simples como essa teoria se apre a duas incdgnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coefi senta hoje elementarmente Como E cientes e pelos termos independentes este determinante deve ser nulo Para algorista Jacobi era um entusias tanto criou até uma notacao com indices para os coeficientes 0 que hoje por ta da notacdo de determinante EE E exemplo escreverfamos como ayo Leibniz indicava por 15 com suas potencialidades Assim q 5 A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de n equacées a n 0 importante conceito jacobiano g incdgnitas por meio de determinantes é na verdade uma descoberta do esco de uma fungao salientando um 8 cés Colin Maclaurin 16981746 datando provavelmente de 1729 embora sé dos pontos mais caracteristicos s publicada postumamente em 1748 no seu Treatise of algebra Mas 0 nome do de sua obra uma homenagem suico Gabriel Cramer 17041752 nao aparece nesse episdédio de maneira to das mais justas talmente gratuita Cramer também chegou 4 regra independentemente mas Carl G J Jacobi 18041851 depois na sua Introducao a analise das curvas planas 1750 em conexao com o problema de determinar os coeficientes da cénica geral A By Cx Dy Exy x 0 SISTEMAS LINEARES 89 Solugao de uma equagao linear Dizemos que a sequéncia ou énupla ordenada de numeros reais O4 Op Og 5 On 4 a é uma solucdo da equacao linear Sistemas 44X4 AqoXo A43X3 F AGHXy b lin ea re S SE A1404 AqoMo A430g AzO b for uma Sentenca verdadeira Exemplos 1 Seja a equagao linear 2x 3x2 x3 x4 3 I Introdugao Asequéncia 1 232 é solucao pois 2 1 3 2 3 2 3é sentenca 88 Equacao linear verdadeira porém a sequéncia 1 1 2 1 nado é solugao pois 2 1 3 1 2 1 3 sentenga falsa Chamamos de equacao linear nas incégnitas x1 Xo X toda equacao do tipo 41X1 AyoXo A43X3 AqnXy b oo Os nlimeros a1 49 243 Ayn todos reais sAo chamados coeficientes b 2 Seja a equagao linear Ox Oy Oz O também real 6 o termo independente da equacao E facil observar que qualquer tripla ordenada O41 2 3 solugao da Exemplos equacao 1 3x1 AXx 5x3 X 5 2 2X X9 X3 O 3 Seja a equacao linear Ox Oy Oz Ot 2 3 Ox Oxy Ox3 4 E facil observar que qualquer quadrupla ordenada 0 O2 3 O14 Nao satisfaz Ae Ox Ox Ox3 OX O a equacao pois Observemos que nao sao lineares as equacoes Oa Ode 0X3 O14 2 1 2x9 4 x3 0 22 2x4Xo X3 X4 3 é sentenga falsa Voy Volo Voz VOy 32 x Xp Xs 4 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES 90 Sistema linear pode ser escrito na forma matricial x E um conjunto de m m 1 equacées lineares nas incégnitas x4 Xo X3 Xn 3 4 4 yl 4 Assim o sistema 2 5 7 Oo Zz 44X41 AyoXo AygX3 AyyxX Dy Ap4X1 AgoX AggX3 AgX by 3 O sistema linear S 334X1 Ag9Xq AggX3 A5X D5 xty4 AmiX1 AmoXo AggX3 AyX D 2x y 0 é linear pode ser escrito na forma matricial Lembrando a definigao de produto de matrizes notemos que o sistema linear S 4 4 4 pode ser escrito na forma matricial 34 14 y ay Ay AQ sss AH Xy by 2 1 0 A Ag9 93 AH Xo by 431 439 33 An X3 Ds ttt fof f 91 Solugao de um sistema linear FO Dizemos que a sequéncia ou énupla ordenada de reais 04 Oo 03 On Stree een eeeneeeeeeeeeeeeesaeeneeenees solucao de um sistema linear S se for solugao de todas as equacoées de S isto é m1 m2 Ama Amn Xn Dm A440 a 0 a30 a0 b sentenga verdadeira A540 Ag 0 5303 a0 b sentenga verdadeira Exemplos A310 A30 ag5 az b sentenga verdadeira 1 Osistema linear cee eee eee eee ee sees eeeee eee seseeeeeeneteeteseeeeeeeeeeanes 3y4 An Oy FA A Ay aO b Sentenga verdadeira Ss 1 X y2 Exemplos pode ser escrito na forma matricial 1 Osistema 2 3 x4 xyz6 1 4 ly le Sj2xyz1 3xyz4 2 O sistema linear admite como solugcao a tripla ordenada 1 2 3 pois S 3x y z4 1236 sentenca verdadeira 2 lox 5y 720 21231 sentenca verdadeira 31234 sentenca verdadeira 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES S nao admite porém como solucao a tripla 5 11 0 pois 94 Matrizes de um sistema 51106 sentenca verdadeira 251101 sentenca verdadeira Dado um sistema linear S de m equacées e n incégnitas consideremos as matrizes 351104 sentenga falsa ai AnD Aig es Ay 2 O sistema linear A Ad A530 ss Ay A3 39 g3 Ag e X2y3z5 secaeuesaesesaesesaesesacsecaeseeecseeesens S x y4z1 Amt Ama mgt Amn Ox Oy Oz 6 x we om ait Rn nn A caticfai Ary Ayn Qe Ay DY nao admite solugao pois a ultima equacgao nao é satisfeita por nenhuma tripla a Qo Og A Ang gg ss Ag D Ba a3 ag Ag D5 92 Sistema possivel Sistema impossivel ceeeeeeeceecaaeaaueeseeseeeeeeeeeeeseeseeeaeaaaaeess Amn Ama amg ue Amn Din Se um sistema linear S tiver pelo menos uma solugao diremos que ele é possivel ou compativel é 0 caso do 1 exemplo caso nao tenha nenhuma solucao A é chamada matriz incompleta do sistema e B matriz completa diremos que S é impossivel ou incompativel é 0 caso do 2 exemplo Notemos que B foi obtida a partir de A acrescentandose a esta a coluna for mada pelos termos independentes das equacoes do sistema 93 Sistema linear homogéneo Exemplos Chamamos de sistema linear homogéneo todo aquele em que o termo inde S 2xy3 A 2 4 e B 2 1 3 pendente de todas as equacoes vale zero ty oye y4 1 1 11 4 Exemplos 3xyz1 3 1 1 3 1 1 1 S A e B 3x4y z t0 on 2 4 3 1 O xyz0 3x y3z 0 S Sy 2xyz0 x2y z3t0 Ax z t0 E facil notar que um sistema linear homogéneo admite sempre como solucdo 4 R C ee O S a sequéncia 04 Oo M3 eM que a O Vi 1 23 nh Nos exemplos dados temos 344 Diga quais das equacées a seguir sao lineares 0 O O solucao de Sy a X4 Xo X3 2X4 3 0 O O O solugado de Sp b x mx x8 n em que men sao constantes dadas 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES c x 2y 3z4 349 Quais sao os sistemas correspondentes as representacdes matriciais d ax aox3 agx3 b em que ae b sao constantes dadas a 9l xl fo ab a2 X e 2x log Xp x3 log 2 a1 O 41yo cc d ab 3 7 3 z 0 e f b2 f X4 Xo 3X3 Xg Xs O g V3x V2x x3 5 x 5 2 1 3 5 1 2 O x 1 h x 3X 4x3 5x 10 2xs PILI glo 3 3lylela 1 5 2 1 Iz 3 0 1 ol lz 2 345 Verifique se 20 3 solugdo de 2x 5x5 2x3 2 t 346 Verifique se 1 1 1 1 solugado de 5x 10x x3 2x 0 350 Verifique se 0 3 4 6 solucdo do sistema 347 Encontre uma solugao para a equacao linear 2x Xp x3 O diferente da solugcao 0 O 0 X yz 1 2x ytz1 348 Escreva na forma matricial os seguintes sistemas x ye x2yz 2 X y Z2 2x 3y7 x 2y 2z a yx tay F2z5 e x F4y1 351 Verifique se 1 0 2 1 6 solucdo do sistema 5x y5z1 2x y2 5x 3y 2z4t 5 3x5y4z t8 2x 4y 3z5t9 b x y 2z 3 A ax by 2z1 x2y5z 3t 12 x2y z3t1 ax by z3 Sk y 6t4 352 Construa as matrizes incompleta e completa dos sistemas 3x2 4 ax y bzc ax by czd xty z3 tt xv ey 2 a2x y 0 cjarx abzd emaquea bc d e sao dados c 4mx ny e g xy2z13t x4y1 by aze abx by mz f 5x 3z7t xt y 1 J2x 3y2z7 sen ax senb y 1 2x4y z 2 x4 ay 4 em que a b bx3y27 4 gh Ae d Ty z0 h cos b x 2 cos ay 1 go constan x 2y 3 4x J3y 275 sen b x 3 cos a y 2 tes dadas 3x y4z3 ax y 7 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES II Teorema de Cramer De fato AA1 C A A741 C 1C C waa a1 Consideremos um sistema linear em que o numero de equacées é igual ao ntimero 0 que prova a existéncia da solugao Xo ATC de incégnitas isto 6 m n Nessas condigées A é matriz quadrada seja D det A Para provarmos que Xo A C solugao unica admitamos que AX C tenha outra solucao X isto 6 AX C Entdo X 1X A2AX A71AX A721 Xp 95 Teorema Concluimos assim que Xo é efetivamente solugao Unica de AX C vee 4 2 Seja S um sistema linear com numero de equacoes igual ao de incégnitas Por outro lado ja vimos que A pode ser calculada pela formula Se D O entdo o sistema sera possivel e tera solugado Unica 01 Oo O3 An Ay Aap Aggy e Ang tal que 1 1 Ago Ao Azo wt Ano AA A A A we Al Vi 123n D Db 7888 Aan Aon A3n ute Ann em que D 0 determinante da matriz obtida de A substituindose a i6sima coluna pela coluna dos termos independentes das equagées do sistema em que Aj é 0 cofator do elemento aj da matriz A Demonstragao Logo Consideremos o sistema Ait Aan Aap Ant by Ayo Aas A309 wt Ano by AyiXy AyoXq AygXg AyX Dy Km nh ab cree teteenseeettee Ag 1X4 Ag9Xq Ag3X3 F AgXy Dy D Ay Ay Ag ee Api b S AgiX AgXq AggX3 AgnX D3 deeeeeeeseuueueeecedeeueeeeessuneeesenees eee eee essen eee ee eeee eevee eeesee nese eeeeseeesseeeeeaeeseegeeaeaaee Aan Aon Aan ve Ann b An1X1 AyXy Ay3X3 ax b Tendo em conta que Consideremos as matrizes 0 4 Ay AyD ee AGEs A Xy b Q Ay Annee AQ wes AH X5 b Xo 3 A3 A Ag Ag XX3 EC b deeeeeeeeeeecaaeaaaecseeeeeeeeeeneeeeeeeeeeaas Oo Ay Angee Aes A Xn b 1 concluimos que o dado por o Ab Ab Ab Ab O sistema S pode ser escrito na forma matricial A X C Provemos que tal ANE Oh Por Arid Aas Agbs nn equacao matricial admite solugao Unica Por hipétese D O logo 3 A Consideremos a matriz Xy A C e prove a 1 D Di mos que ela é solucdo da equacdo matricial AX C D D 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES 96 Exemplo 3xyt z 1 xtyt ztt 1 xtyz 6 c 42x 37 1 e 2xyt Zz 2 Seja o sistema Xyz4 Axy27 7 xy zt 0 2xytz 1 2x 2zt1 4 4 4 Temos D1 1 14 0 2 4 1 xt y 2 5 xX ytz t 1 d4 x2y4z 4 ny rt yrz 2 Logo o sistema tem solugao Unica Determinemos essa solucao 3x y 273 2x yz t1 Q141 16 1 x 3yz2t 0 D 4 1 1 4 D 1 41 12 4 1 1 21 1 354 Resolva os sistemas abaixo 4 1 6 D1 1 48s xt y z0 3x2y z 2 3 8 ayx y2z1 4y3z 2 21 141 C x2y z4 36 3x 2y Logo 15 x Pe 48g y D2 12 7 Ds 8 y xX yrtzrt t 2 D 4 D 4 D 4 Xt yt zat x 2y t 4 byx yr z d 4 t 3 oe s xX Z Portanto a solugao unica do sistema é 1 3 2 x 3y 22 0 y 4x yz2t 4 97 Sistema possivel e determinado Os sistemas lineares que tém solugdo nica sdo chamados possiveis e 355 Resolva aplicando a regra de Cramer 0 seguinte sistema determinados xX y 1 2x 3y 3z 2 EXERCICIOS meee 356 Resolva o sistema pela regra de Cramer 353 Resolva os sistemas pela regra de Cramer a x4y 0 b 2x y 2 Xtyz1 3x2y5 x 3y 3 ay Z1t y 3z 2 2x y 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES 357 Calcule o valor de y no sistema Solugao xX 2y 2x7 y 4 3t1 2z2t Admitindo 3z 2 0Oe 2x y 0 temos x 2 3t1 5 t y 2zy 2xny 10 2xy32262xy3z2 3z2 358 Resolva o sistema pela regra de Cramer zt41 162412xXye2Xyz1 2xy u u 21 1 1 xX y Zz entao resulta o seguinte sistema 14104 0 xtyt zai xX y 2 2x y 3z 2 321 2xy z1 Xx yy Z 1 1 1 Sugestao Faca tiy toy tip x y Zz 2 1 soot 2 1 1 359 Mostre que o sistema abaixo tem solucao Unica T 1 1 2x yz3 D2 1 3 Se eee 3x2yz1 4 4 4 p 4 ox yo 4 4 4 360 Sendo a uma constante real resolva o sistema D a alesor het D 4 xsena ycoSa cos 2a 2 4 4 frsene co88 sen 2a 1 1 1 D2 1 o3 372 3 a 1x by1 37 Dp 4 361 A solucao do sistema éx1e y2 Determine os D 4 4 a 1x 2by 5 valores de ae b Notemos que 3z224220 Ce my2Seo 4 4 362 A que restricdes obedecem as solucées do sistema 3 5 3 xty z 28 A solucao do sistema é em quex 0 yO e z0 2 44 2x y 32 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES III Sistemas escalonados 1 tipo ntimero de equagées igual ao numero de incégnitas Nesse caso o sistema S tera a forma O teorema de Cramer tem um interesse mais tedérico do que pratico quando o numero de equacoes é muito grande fica bastante trabalhoso resolver o sistema A44X4 AypoXo 43X53 aX by por meio de sua aplicacao Por exemplo num sistema de 5 equacoes a 5 incdgnitas annX taXaxXb 2 222 233 wt 2nn 2 teremos de calcular 6 determinantes de ordem 5 O método de resolugao que vere 2 we a 43X3 a3X mos agora é mais simples embora em alguns de seus aspectos tedricos tenhamos S 333 snn 3 que usar o teorema de Cramer ween eee esas nese eeeeeeeeeeeaeneaeeneaee ax b nnn n 98 Definigao em que aj O Vi 1 2 3 n Dado um sistema linear A matriz incompleta do sistema é a matriz triangular 44X41 AyoXy F Ay3X3 a4xX Dy An4X4 F AgoXy F AggX3 AX Dy Ay Ay AQ wes Ay S A34X4 AzoXo 433X3 i t A3nXp b 0 A595 Ao3 vee Aon secacaesacaeuaaesacsesaeaecesscseseuseesaesesaesesatsesaeesasanees A 0 0 A33 gn AmiX1 AmaXo AngX3 AnnXy Oy 0 O O ay em que em cada equacao existe pelo menos um coeficiente nao nulo dizemos que S esta na forma escalonada se o numero de coeficientes nulos antes do primeiro D det A a44 Ag2 Ag3 Ann O logo pelo teorema de Cramer S é possivel coeficiente nao nulo aumenta de equacdo para equacao e determinado Os valores 014 Oo Og A da solucao podem ser obtidos resolvendo o sistema por substituicdo Partindo da ultima equagao obtemos x em seguida Exemplos substituindo esse valor na equacao anterior obtemos xX 4 Repetindo esse procedimento vamos obtendo Xp 2 Xn 3 X3y Xo X1 xty3z1 x4yz5 S Exemplo S y z4 3 2yz0 2z5 x2y z 3t 6 4 y 3z t 5 2 Axytzttwetl Sz 7t 21 3 Sy ztw0 2t 6 4 2tw1 Temos em 4 2t6t3 em 3 5z 214 215 5z052z0 99 Resolugdo de um sistema na forma escalonada em 2y3035y 2 em1x40965x1 Ha dois tipos de sistemas escalonados a considerar Portanto a solucao do sistema é 1 2 O 3 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES 2 tipo nimero de equagdes é menor que o numero de incognitas Resolvendo Nesse caso o sistema S sera do tipo 2 y2a 44X1 AyoXy AygXg He AyAX Dy em1 x 2a4a5x6 AyXj Fore Fe AgyXy b j 2 ccuaeecesuucuteessuuuuetesesettteeeecettnsies Portanto as solugdes do sistema so as triplas ordenadas do tipo 6 2 a a em que a R Eis algumas ArnrXr beet AmnXn Din r j g a 15 6 3 1 comm n a 73 657 Para resolvermos tal sistema podemos tomar as incdognitas que nao aparecem a 07 6 2 0 no comeco de nenhuma das equacées chamadas variaveis livres e transpdlas a 1 syle 5 1 para o segundo membro O novo sistema assim obtido pode ser visto como um siste 2 9 9 ma contendo apenas as incdgnitas do primeiro membro das equacdes Nesse caso atribuindo valores a cada uma das incégnitas do 2 membro teremos um sistema do 1 tipo portanto determinado resolvendoo obteremos uma solucao do sistema Se 22 xyz t0 atribuirmos outros valores as incdégnitas do 2 membro teremos outro sistema tam 372t4 bém determinado resolvendoo obteremos outra solucdo do sistema Como esse procedimento de atribuir valores as incdgnitas do 2 membro pode se estender inde te Ls 2 pe As variaveis livres sao y e t transpondoas para 0 2 membro das equacdes finidamente seguese que podemos extrair do sistema original um numero infinito de fo P teremos o sistema solugdes Um tal sistema é dito possivel e indeterminado Chamase grau de indeterminagao o numero de variaveis livres do sistema isto Xz y t en m 3z 42t Exemplos Fazendo y wet B ae B sao numeros reais teremos xytz4 12 yz2 Xxza 6 1 3z 4 28 2 A unica variavel livre 6 z nado aparece no comeco de nenhuma equacao Transpondo z para o 2 membro das equacoes teremos o sistema O sistema é agora do 1 tipo determinado para cada valor de o e de B xy4z Resolvendo y2z 2z 4 28 Fazendo z a em que um numero real teremos 3 42 42 pris A emt x SSB a p a x 224 ps y2a 2 3a p 4 x O sistema é agora do 1 tipo determinado para cada valor de a 3 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES Portanto as solugdes do sistema sao as quadruplas ordenadas do tipo 3x2y4z 2 e by c 3z3 my n 3aB4 428 y eset 6 em quea ReB ER Eis algumas z 0 2x3yz t4 6 x2y z t1 aoep040 40 d yz2t3 y3z2t2 3 3 3z t2 a1e8 2 1 1 0 2 em que a bc mn sdo dadoseaOemF 0 1 2 x 2y 3z14 alep35 10 4 23 3 3 365 Calcule o valor de x no sistema 4y 5z 23 6z18 2 IV Sistemas equivalentes EXERCICIOS Escalonamento de um sistema 363 Quais dos sistemas abaixo estao na forma escalonada 100 Definigao Dizemos que dois sistemas lineares S e S sao equivalentes se toda solucao a 2y3z5 d 2z2 de S for solucao de Sp e toda solucao de S for solugao de S y z4 y3z 1 Exemplo xy z5t9 s Xt as b 3y2z743t4 0 a I lax y4 Z y 5z2t3 z t2 s 25 3 3y5 x Sy 0 oxytz t4 cy x 3z0 f wy s 7 3 S1 Sy sao equivalentes pois ambos sao determinados D O nos dois e admitem Z2t 2y z1 como solucao 1 8 3 3 364 Resolva os sistemas abaixo JA que sistemas equivalentes tém as mesmas solucdes ou ambos nao tém nenhuma o que iremos fazer é transformar um sistema linear qualquer num outro xt3yz 1 equivalente mas na forma escalonada Isso porque sistemas na forma escalonada x4yz2 a 2yz 2 b sao faceis de serem resolvidos Precisamos entao saber que recursos usar para 5z10 yz3 transformar um sistema S num outro equivalente S na forma escalonada Esses recursos sao dados por dois teoremas que veremos a seguir 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES 101 Teorema 1 O que prova que 01 Os A Satisfaz a iésima equacao de S Logo 04 Oo On é solucao de S Multiplicandose os membros de uma equacao qualquer de um sistema linear S por um numero K O 0 novo sistema S obtido sera equivalente a S b Suponhamos agora que 04 Oo uma solucdo de S e provemos que ela também sera solucao de S Demonstracao De fato por hipdtese Kaja Kajol KajnOt Kbj Seja Colocando 014 Qo NO 12 membro da iésima equacao de S teremos A44X ApyXy ax Dy K K K Ay4X1 AgQXq AgX Dy AiO AigM AH Ko Fi Hat K ainn S ae iaa i242 aa inn i Kaa Kao Kaa Kb b K W eK deeeeeceeeeaecaanaeaaessaeseeeeeeceeeeeeeeeeeeeeenanaas Kb por hipotese AmiX AmoXo Feet AnaX 1 O que prova que 04 Mo Oy Satisfaz a iésima equacao de S Logo 04 Os On o é solucao de S Multiplicando a i6sima equacao de S por K O obteremos o sistema 102 Teorema 2 Ay4Xy AyyXy AX by ax anx ax b Se substituirmos uma equacao de um sistema linear S pela soma membro a 2141 222 wt 2nn 2 s membro dela com uma outra 0 novo sistema obtido S sera equivalente a S KaiX KaiXy Kajx Kb Demonstracao srrrrnrenrnrnsenrnsnenscnnnsnsnses Seja AmiXy AmoXo beet AngXy D AyyXy AyyXy Ay xX Dy A54Xq AgoXy AgX Dy A Unica diferenga entre S e S é a isima equagao Portanto devemos nos preocupar apenas com ela ceeeeeeceeeeaecaaeaeueeseeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeaaeeaas aX ax ax Db a Suponhamos que 01 Ms uma solugado de S Provemos que ela sy tet 122 in ByXy AX F AjyX DB De fato por hipdtese a40 Ajo aint bj Colocando 014 Qo NO 12 membro da isima equacao de S teremos O44 2 n quac AmaX AmoXo tee AmnXq Dey Ka0 Kast Ka0 K aj Ain Ai Oty Kb a eS Substituindo a i6sima equacao de S pela soma membro a membro dela com a b por hipotese j6sima equacdo obteremos o sistema 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES ayyX AoX ayX by Das igualdades 1 e 2 concluimos Que aj 04 Aja AjnOy b 0 que prova que 011 Qo Oy satisfaz a isima equacao de S Logo 04 Oo On 54X1 AggXy 4 AdX Do é solucdo de S deeeeeeeeeeecceanaeaaueeaeeeecseeeeeeeeeeeeeeeeseasaaes Exemplo Jin Aj Xy Aig jy Aj AjX Bb b S Os sistemas AX AjXy AX bj a ty 324 2x y3z4 veseaecesceaesaaseaecaesascatsenceateaeeensesseaneense S4 ky2z1 Me S43x 5z25 AmiX AmoXy beet AnnX Dy 4xty z0 4xy z0 A Unica diferenca entre S e S 6 a iésima equagado Portanto devemos nos sao equivalentes pois S foi obtido a partir de S substituindo a 2 equacao pela preocupar apenas com ela soma membro a membro dela com a 1 equacao a Suponhamos que 04 Oo solugao de S e provemos que ela tam bém serd solucdo de S 103 Escalonamento de um sistema De fato por hipétese Para escalonarmos um sistema teremos que seguir varios passos todos eles baseados nos teoremas 1 e 2 Aj Oly aj202 Ain b 1 49 passo a w44a hb a we A104 F Aj20t2 Anon Bj 2 Colocamos como 12 equacado aquela em que 0 coeficiente da 1 incégnita seja diferente de zero Colocando 04 Qo NO 12 membro da i6sima equacao de S teremos 2 passo Anulamos 0 coeficiente da 1 incdgnita de todas as equacdes com excecao Aja AjaO4 Aig AjaOlg Ain AjnOn oon oo 8 quac oy da 1 substituindo a i6sima equacao i 2 pela soma desta com a 1 multiplicada a0 a0 in O Bjq Oy Aj jn b b por um numero conveniente i106 ae b por hipdtese 1 b por hipétese 2 3 passo Deixamos de lado a 1 equacao e aplicamos o 1 e 0 2 passos nas equacdes O que prova que 04 Oo Ay Satisfaz a iésima equacao de S Logo 04 Oo On restantes é solucao de S 4 passo b suponhamos agora que 0 Oo Un Solucdo de S e provemos que ela Deixamos de lado a 1 e a equacoes e aplicamos o 1 slo Oe a nas também sera solucao de S equacoes restantes e assim por diante até o sistema ficar escalonado Os exem plos a seguir esclarecerao o assunto De fato por hipdtese 104 Exemplos ai jy Oy a5 AjnOy 4 a Ain O b b 1 x2y4 2 9 e 1 Vamos escalonar o sistema S2x y z 3 401 Ajo aj b 2 3x y2z4 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES Temos Temos xt2y z 9 2 x y 3z t1 3 2x y z 3 3x 3y z 2t0 3x y2zA4 2x y z 2t4 Substituimos a 2 equacao pela sua soma com a 1 multiplicada por 2 Substituimos a 22 equacdo pela sua soma com a 12 multiplicada por 3 Xx2y z 9 3 xty 3z t 1 2 3y3z15 10z t3 3x y2z 4 2xty z2 4 Substituimos a 3 equacao pela sua soma com a 1 multiplicada por 3 Substituimos a 3 equacao pela sua soma com a 1 multiplicada por 2 x2y z 9 xty3z t 1 3 3215 1 10z t 3 Ty9z31 y 7z 4t 2 1 Permutamos a 2 com a 3 equacao Multiplicamos a 2 equacao por 3 xty3z t 1 x2y z 9 y 7z 4t 2 y z 5 7 10z t 3 7y 5731 O sistema agora esta na forma escalonada Como ele é do 22 tipo numero de Substituimos a 32 equacdo pela sua soma com a 28 multiplicada por 7 equacdes menor que o de incdgnitas seguese que é possivel e indeterminado x2y z9 3 Vamos escalonar o sistema y z5 x yz 4 2z4 S 43x 2yz 0 5x by z 4 O sistema agora esta na forma escalonada Como ele é do 1 tipo numero de equacoes igual ao de incdgnitas seguese que é possivel e determinado Temos 2 Vamos escalonar o sistema x ytz 4 3 x y 3z t1 Xx 2z 0 S 43x 3y z 2t0 Sx Sy z 4 2xt yt zZ 2t4 Substituimos a 22 equacdo pela sua soma com a 1 multiplicada por 3 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES x yt z 4 5 x 4y8 10 5y 2z 12 13y39 5x By z 4 10x 12y 7 Substituimos a 3 equacao pela sua soma com a 1 multiplicada por 5 Substituimos a 3 equacdo pela sua soma com a 12 multiplicada por 10 Xxyt z 4 x 4y8 5y 2z 12 2 13y 39 4 10y 42 24 52y87 Substituimos a 32 equacao pela sua Soma com a 2 multiplicada por 2 Substituimos a 3 equacdo pela sua soma com a 2 multiplicada por 4 xy z 4 x 4y 8 5y 2z 12 13y 39 Oy 0z O Oy 69 A ultima equagao pode ser abandonada pois ela é satisfeita para quaisquer Notemos que a 3 equacao nao é satisfeita por nenhum valor de x e y Logo o valores das incégnitas e nao da nenhuma informagao a respeito de x y e z sistema é impossivel xyt z 4 105 Observacées by 2z 12 12 Se ao escalonarmos um sistema ocorrer uma equacao do tipo ot Ox OXo Ox O i sistema agora esta na forma escalonada Como ele do 2 tipo numero de esta deverd ser suprimida do sistema ver exemplo 39 equacdes menor que o de incdgnitas seguese que é possivel e indeterminado 5 2 Se ao escalonarmos um sistema ocorrer uma equacao do tipo 4 Vamos escalonar 0 sistema Ox Ox Ox b com b 0 o sistema sera evidentemente impossivel ver exemplo 4 x 4y 8 S 3x y 15 32 Com relacdo ao ntimero de solugdes que um sistema apresenta ele 10x 12y 7 pode ser classificado em Temos determinado uma Unica solucao ossivel x 4y 8 3 p a inado tinfini lucd 3x y 45 sistema indeterminado infinitas solucdes 10x 12y 7 impossivel nenhuma solucao Substituimos a 2 equacdao pela sua soma com a 1 multiplicada por 3 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES 370 Resolva o seguinte sistema de equacoes EXERCICIOS dys by be 26 x Ty z16 366 Escalone e classifique os sistemas abaixo Sx y 3z 14 x5y3 1 2 i a b x 5 371 Resolva o sistema e obtenha o valor de x y z 2x 3y5 2x y4 5732x 2134y 2134z 7866 367 Escalone classifique e resolva o sistema abaixo 2134x 5732y 2134z 670 x y 3 2134x 2134y 5732z 11464 3x 2y1 2x 3y4 372 Discuta 0 sistema abaixo ax 3ay O 368 Escalone classifique e resolva os sistemas 2x ay4 X y2z 1 X yr z t 1 ajx y z 2 d3x y2z t 2 Xx 2 z2 x 2y 3z 2t1 Solugao Sabemos que se xytz t 1 x y 27 1 a 3a Xyz t1 D 0 b 72x yt 3t2 e 2 a yz2t 2 x 2y z2t0 2x z2 t1 o sistema tem solucao unica teorema de Cramer Assim os valores de a para os quais D O sao os que tornam o sistema indeterminado ou impossi Xx3y2z 2 xX 2y 3z5 vel Examinemos este caso c3x5y4z 4 f 2x 5y 2z3 a0 a 3a 5x 3y 4z 10 x 3y z2 D pe eaea0 ou 2 a a6 369 Resolva o sistema 5x 2y 3z 2 ll Sea O 0 sistema fica 3x yt 4z1 Ox Oy O 4x 3y z 3 x2 ey qualquer 2x Oy 4 Logo o sistema é indeterminado a 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES lll Sea 60 sistema fica b4 0Ovsistema possivel e indeterminado entao se 6x 18y O IX 3y0 b4 0sistema impossivel 2x 6y4 x 3y2 lll Resumindo temos Escalonando vem a2 sistema possivel e determinado x3y0 a2eb4 sistema possivel e indeterminado co 0y 2 0 sistema é impossivel a2eb4 sistema impossivel Resumindo temos 374 Discuta os seguintes sistemas nas inc6gnitas x e y a0ea6 sistema possivel e determinado x y3 x 2y ax a0 sistema indeterminado a 2x my 6 2x ay y a6 sistema impossivel 2x aya ax 1 b x ay d x y 6x 3y 2 a1x 2ay 4 373 Discuta o sistema abaixo x y2 375 Discuta o sistema 2x ayb 2a 1x 4a 1y 2a 1 4a 1x 2a ty 4a 1 Solugao segundo os valores de a Se 376 Apresente 3 valores de a para os quais o sistema o eo xya 2 a axtya pelo teorema de Cramer o sistema tem solucdo tinica Se D O sistema seja respectivamente indeterminado incompativel determinado podera ser indeterminado ou impossivel Examinemos este caso oo 377 Discuta o sistema linear nas incdgnitas x e y 4 4 D 220 a2 m y1m 2 a xmy 0 ll Sea 20 sistema fica 378 Discuta 0 sistema X y2 X y2 eee 2x 2y b Ox 0y b4 3x ay b 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES 379 Resolva o sistema Solugao 2ax 3y1 x2yb Sabemos que se 380 Obtenha m para que o sistema nas incognitas x y z abaixo seja compativel 1 1 1 D1 1 m0 x mym 1z1 m2 4 mx 4y m 1z3 o sistema tem solucao Unica teorema de Cramer Assim os valores de m 381 Discuta 0 sistema para os quais D O sao aqueles que tornam o sistema indeterminado ou impossivel Resolvamos o sistema supondo D O mx ty1 xtty2 xym 1 1 1 m0 D1 1 mmm1405 e 382 Se abcd O determine p e gq de modo que o sistema m 2 1 m14 ax by c x tay d seja indeterminado 0 1 1 Px F dy D 2 1 ml4m 4L 2 1 383 Resolva o sistema mx y 2 1 Oo 1 xym D 1 2 m1Lm xtty 2 m1 1 384 Determine os valores de a e b para que o sistema 1 1 0 D1 4 22m1 6xtay12 indeterminad m 2 1 seja indeterminado axt4yb o28 ee ee Pe 385 Discuta e resolva o sistema D m D m D om x y z 0 x 1 12 Solugao do sistema x ytmz 2 as 2 mx2y z1 a 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES Il Se m 0 temos pelo teorema de Cramer o sistema tem solugao unica X y z 0 Xt ytz 0 x y z0 Estudemos 0 caso em que D 0 x ytOz 2 O0x 2y z 2 40x2y z2 Ox 2y z1 Ox 2y z1 0xO0y0z1 a 1 2 D2a 1 2 4a80a2 O sistema é impossivel 2 1 2 lll Sem 1 temos ll Sea 20 sistema fica x yz 0 x y z 0 X ytz 2 40x2y0z 2 2x y2zb 2x y2zb x2yz1 Ox y0z1 4xy2z1 O03y2z12b 2x y2z3 03b entao y 1ex 1 z solucao do sistema 1 a 1 a O sistema é possivel e indeterminado Se b 3 sistema impossivel b 3 sistema possivel e indeterminado lV Resumindo temos m0O e m1 sistema possivel e determinado ee eae m1 sistema possivel e indeterminado az2 sistema possivel e determinado m0 sistema impossivel a2eb3 sistema possivel e indeterminado a2eb3 sistema impossivel 386 Discuta 0 sistema ax ty 2zb 387 Discuta segundo os valores do parametro m os seguintes sistemas 2axy F2z4 yt 1 mx 2y 1 mx z x z 2xy2z3 y y a xtmy z m b Xx ytmz 2 xt ytmz2 xt ymz 2 Solugao Se 388 Discuta segundo os valores do parametro a os seguintes sistemas a 1 2 4xyta 5 x Z D2a 1 2 0 Xtayz1 Io 2x z a 2 1 2 a yyttaxza y zax y a axy 2 a 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES 389 Discuta 0 sistema 395 Discuta e resolva 0 sistema ox y2z70 x mymzm x pzp x ymz0 3x 2y pz5 x my zm 396 Discuta e resolva 0 sistema 390 Discuta 0 sistema xmy z0 m yz4 2x ytmz3 x my z0 2x 2ymz2 x y 2 397 Determine o valor de a para que o sistema abaixo seja indeterminado 391 Discuta o sistema x3y2z0 mx y 2 2x 5y az0 2xy z m 3x7y z0 4Axymz5 398 Determine o valor de k para que o sistema seja indeterminado 392 Discuta o sistema 3z4y1 m yt za 4x 2z2 xt my zb 2y 3x 3k Xt yrmzc 399a Determine os valores de k para que a equacao matricial tenha solucao em que a b c sao diferentes dois a dois e tem soma nula 2 5 3 x 1 393 Estude o sistema linear 4 10 2y 5 6 15 1 Zz k xt y z0 xX ytmz2 b Resolva a equacao na condicao do item a 2y a mx 2y z4 400 Estude o sistema no qual a um parametro real 394 Discuta e resolva o sistema x yraz 0 a mx yttmzm ax y z 2 2 2x mz3 xtay za mx my 2 Para quais valores de a o sistema é determinado impossivel ou indeterminado 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES 401 Mostre que o sistema 407 Determine os valores de a e b de modo que o sistema x my m1z1 x2y2za m1 x y mz1 3x 6y 4z4 seja indeterminado mx mdy z1 2x by 6z1 determinado para todo m real e nao nulo 408 Sejam A e A os valores distintos de A para os quais a equacdo 402 Determine os valores m e k de modo que seja possivel e indeterminado o sistema 2 3 x x x 0 1 1 1 X j 5 x x42ymz4 3 2 aan solugao 3 Sx yt z 4 Calcule o valor de A A 2x4y 2z k 409 Determine o valor de A para que a equacado matricial abaixo admita mais de 403 Discuta 0 sistema uma solugao 2x yt3za 1 5 x x x 2yazb 2 4 ly y ax ay 6z2 404 Qual é a relagdo que a b e c devem satisfazer tal que 0 sistema abaixo tenha V Sistema linear homogéneo pelo menos uma solucao 37 106 Conforme vimos no item 93 sistema linear homogéneo é aquele em que os xt2y sza termos independentes de todas as equacées valem zero Assim o sistema 2x 6y 11zb X2y 7zc O44 X1 F AyoXy a4yX O g 142 AgoXqy AyX 0 405 Determine 0 conjunto dos valores de a B R que tornam o sistema cece eee eae e nea ee eee e eee eaeeeeaaeesaa essa eeeaaee AmaX1 AnaXo AnXy O 3x2yaQa 6 i indeterminado 6x 4y B é homogéneo Vimos ainda que tal tipo de sistema admite sempre a solugao 04 Qo On 406 Determine os valores de k para que o sistema tenha solucdo tinica em que oj 0 Vi 1 2 1n chamada solugao nula trivial ou imprépria Portan to um sistema linear homogéneo é sempre possivel Se 0 sistema linear homogéneo x z1 for determinado apresentara apenas uma solucao a nula e se for indeterminado kx y3z0 apresentara alem da solucao nula outras solugdes nao nulas também chamadas solugoes proprias xtky3z1 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES 107 Exemplos 130 P 2 y 1 O sistema linear homogéneo em 1 x 184 35 x 2a xy2z0 5 5 iS 2xy z0 e as solucdes do sistema sao constituidas pelas triplas ordenadas da forma 3x y4z0 2a 130 Sx y 6z0 2 Sa em que a ER 5 5 equivalente ao sistema S na forma escalonada Observemos que para a O obtemos a solucao nula do sistema 0 O 0 xy2z0 S 3y 5z0 we EXERCICIOS Como S tem 3 equacoes e 3 incégnitas 1 tipo seguese que é determinado logo a Unica solucao de S é 0 O O 410 Resolva o sistema 2x 3y z0 2 Osistema linear homogéneo x4y z0 x y3z0 3x y2z0 Sj4x y z0 411 Resol ox 3y 72 0 Resolva o sistema x2y z0 é equivalente ao sistema S na forma escalonada 2x y3z0 4x3y z0 S y 3z0 y Sy 13z0 412 Resolva o sistema 5x 4y 2z0 Como S tem duas equacoes e trés incdgnitas 2 tipo seguese que este é x8y2z0 possivel e indeterminado ox y 20 Para resolvélo consideremos a varidvel livre z a qual atribuimos o valor arbi Xr yo 2 trario a R Assim temos 413 Resolva o sistema xy 3a 1 3x 2y 12z0 5y 130 2 X y z0 2x3y 5z0 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES 414 Discuta segundo os valores do parametro a 0 sistema 417 Dado o sistema x 4y 5z0 xt yt z0 2x y3z0 4x2my 3z0 3x ay 2z0 2x 6y4mz0 determine m para que 0 mesmo admita solucoes distintas da trivial e Solugao determineas Sendo o numero de equacoes igual ao numero de incdgnitas podemos cal cular D 418 Determine a de modo que o sistema 1 45 9 3 x ytaz0 DdetA2 1 3 159130 156 3126 x2y Z0 3 a 2 a12 17 2x ytaz0 Como se trata de sistema homogéneo so ha duas possibilidades 0 sistema admita soluc6es préprias é determinado ou indeterminado 419 Determine k de modo que o sistema 3 Se D 0 isto 6 se a entao o sistema é determinado Nesse caso sd 13 kx 2y z existe a solucdo imprépria ou trivial O O 0 y 32 2kx 2x 2z 3y Se D 0 isto 6 se a entao o sistema é indeterminado Nesse caso admita solucdes proprias Determineas existem solugdes prdprias ou nao nulas 420 Dado 0 sistema xttmyz0 415 Discuta segundo os valores do parametro m os sistemas x yz0 x y z0 m yz0 a xmy 0 b mx3y 5z0 determine m de modo que admita solucao prépria e resolvao 2x By 0 mx 9y 25z0 421 Para que valores de m o sistema tem solucao prépria 416 Estude o sistema xttmy 2z0 kxyz0 2xmy 4z0 kyzx0 x 3y mz0 kzxy0 Qual o grau de indeterminacao 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES 422 Determine p de modo que o sistema tenha solucdes proprias 427 Determine o valor de 4 para que o sistema x2y z0 xttyaz0 px y z0 xtayz0 2px 2y 3z0 x1Ayz0 2 admita solucdées x y z distintas de 0 O 0 423E dado o sistema 428 Quais os valores de a de modo que o sistema m4x m4x m1x x 0 4 sen a 1x 2y senaz0 m2x m2x m2x x 0 x2y sen a 3 5 3 sen ay 4z0 m1 x mty x m1x3 x4 0 3x 7 sen ay 6z 0 m 4 x m 4 x m 1x x 0 1 2 3 4 admita solucdes nao triviais Determine os valores de m reais para os quais o sistema admite solucao diferente da imprépria trivial VI Caracteristica de uma matriz 424 Qual o valor de k para que o sistema Teorema de RouchéCapelli x y z0 108 Matriz escalonada axtky z0 Dada a matriz A jm x n dizemos que A é uma matriz escalonada ou que x2y2z0 esta na forma escalonada se o numero de zeros que precedem o primeiro elemento nao nulo de uma linha aumenta linha por linha até que restem eventualmente apenas admita solucao propria linhas nulas 425 Determine os valores de a b e c para que o sistema abaixo seja homogéneo e Exemplo determinado x As matrizes A B C estao na forma escalonada ax 2ay b 5 2 3 3 1 2 46 2ex y oc o4 2 0 42 0 0 2 0 3 A0 2 1 3 B tenons C teeeteeecces 061 3 5 0 O 3 0 0 0 0 1 426 Determine os valores de m para os quais o sistema 000 0000 0 x y z0 2x 3y 2270 109 Matrizes linhaequivalentes ax 3y mz 0 Dizemos que a matriz A é linhaequivalente a matriz A se A for obtida de A por meio de uma sequéncia finita de operagdes chamadas operacées elementares admita somente a solugao x 0 y 0z 0 sobre linhas Tais operacdes sao 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES 1 Troca de posicao de duas linhas A matriz 2 Multiplicacao de uma linha qualquer por um numero k O 3 Substituigdo de uma linha pela soma desta com outra qualquer 1 32 0 Com essas trés operacdes podemos dada uma matriz A encontrar uma matriz A0 9 9 14 A na forma escalonada linhaequivalente a A 0 03 2 Exemplo Dada a matriz é uma matriz escalonada linhaequivalente a A 1 3 2 0 Notemos que as operagoes elementares sobre linhas de uma matriz A sao 4 3 164 analogas as operacdes para o escalonamento de um sistema linear Tal fato sera 3 0 0 3 evidenciado quando mais adiante estudarmos o teorema de RouchéCapelli Vamos encontrar uma matriz A escalonada linhaequivalente a A ae 110 Caracteristica de uma matriz Temos Seja A uma matriz qualquer e A uma matriz escalonada linhaequivalente a A 1 3 0 Chamamos de caracteristica da matriz A e indicamos por p A ao nimero de linhas 4 nao nulas de A 4 3 14 1 3 0 0 3 LIL Exemplos Substituimos a 2 linha pela sua soma com a 1 multiplicada por 4 Xemp 1 32 0 3 12 A I escalonando a matriz A obteremos 09 9 1 4 8 3 0 0 3 Substituimos a 3 linha pela sua soma com a 1 multiplicada por 3 N 5 Logo p A 2 Oo 2 1 3 2 0 09 9 1 1 1 3 4 Oo 9 6 3 2 A2 5 1 escalonando a matriz A obteremos Substituimos a 3 linha pela sua soma com a 2 multiplicada por 1 2 4 10 1 3 2 0 1 3 4 09 9 1 A0 1 9Q Logo p A 2 0 O3 2 0 0 Oo 4 Fundamentos de Matematica Elementar Fundamentos de Matematica Elementar 4