Matrizes

Matrizes\n\nUma matriz A mn é uma tabela de m n elementos dispostos em n linha e n coluna A mn.\n\nA\n\n\n \n\n \n\nff \nd\nff \nde\n \n\n \n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n\n \n \n\n \n\n \n\n \n \n\n\n\nRepresentamos por Aij a [Aij], um elemento qualquer da matriz A.\n\n\nj = linha\nj = coluna\naij = elemento A: matriz i.\n\nTipos essenciais de matrizes\n\n1) Matriz Quadrada [I] I = B\n\n2) Matriz Nula aij = 0 Aij = 0\ntodos os outros são zero\n\n3) Matriz Linha i = 1 Aij = 1\n\n4) Matriz Coluna j = 1 A21 = | |\n\n5) Matriz Diagonal é uma matriz [ , onde os elementos do dia principal\nsão todos iguais a zero e os demais são\n\n \n\nA = aij = 0 \n \n \n\n \n\n\n\n\n \n\n \n\n \n\n\n\nG) Matriz Identidade tabula elem. da dia.\n\nprincipal são iguais a\n\naij = 1; se i = j\n\naij = 0; se i ≠ j\n\n7) Ma. Triangular Superior: matriz A onde\n\naij = 0 se i < j\n\naij = 0 se i > j\n\nA = | |\n\n8) Ma. Triangular Inferior: matriz A{\n\naij = 0 i < j\n\naij = 0 i > j\n\nObs: As Ma. As são inversa\ntambém p/ selecionar sistemas.\n\nOperação da Ma. Ex: Se é possível encontrar a inversa de:\n 3 -2 5\n 2 1 3\n 1 4 1\n \n 1 1 2 1 0 0 0 0\n 0 1 0 -2 0 0 0 0\n 0 0 1 0 0 0 0 0\n \n 1 1 2\n 1 5 -5\n 0 4 -2\n\n Isso não tem inverso. Não existe manipulação pela qual consiga chegar a 1.\n \n Determinantes: o determinante (det) é o valor associado a Ma. A. Dada uma Ma. A, escreve-se det(A) ou |A|.\n\n Matriz de ordem 2:\n Dada a Ma. A = [ \n a11 a12 \n a21 a22 ]\n\n O seu det é dado pela diferença do produto dos elementos da diagonal principal pela diagonal secundária:\n det(A) = a11 * a22 - a12 * a21\n\n Ex:\n A = [ \n 1 2 \n 3 4 ]\n det(A) = 1*4 - 2*3 = -2\n\n Matriz de ordem 3: (regra de Sarrus)\n Dada a Ma. A = [\n a11 a12 a13 \n a21 a22 a23 \n a31 a32 a33 ]\n \n 1º passo: coloque as 2 primeiras colunas à direita.\n 2º: multiplique o elem. da diag. principal e some-lhe o produto da diag. secundária das diagonal à direita.\n \n det(A) = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a12 * a21 * a33 - a11 * a23 * a32 det(A) = aij * Aij + aij * Aij ... + anj * Anj\n \n Ex: calcule o det:\n A = [ \n 1 3 2\n 1 2 3\n 3 3 3 ]\n det(A) = A13 + A23 + A33\n det(A) = A11 + A12 + A13\n \n \ndet(A) = 3\n A11 = A13 - 5\n A12 = A22 = 0\n \n B = [ \n 1 2 3\n 2 1 3\n 3 1 2]\n D = -1\n A = [\n 0 0 1 \n 0 1 0\n 1 0 1 ]\n \n det(B) = -3. \n \n 1. Se A possui 3 linhas ou 2 colunas iguais são iguais a 0, então det(A) = 0.\n \n Ex:\n A = [\n 1 2 3\n 1 2 3\n 3 3 3 ]\n det(A) = 0.\n \n 2. Se A possui linhas ou colunas de D, multiplicados uma com outra, então det(A) = 0.\n \n Ex: \n A = [\n 6 4 2\n 2 1 1\n 2 3 1 \n ] = 0.\n \n 3. Se as transposições de linhas ou colunas, então, temos uma nova Ma B;\n \n det(B) = -det(A) = -det(1/2) = -1. Determinante e inversa\n Ex: Encontre a inversa da Ma A: \n det A = 3*1*1 = 6 = 1/6;\n \n A = [\n 1 3 3\n 0 1 1\n 2 4 3\n ]\n \n Ex: Encontre se existir a inversa de:\n det(A) = A^-1 = 1/det = 2*1*1; \n \n Ma. Adjunto: Matriz transposta dos cofatores. \n A^* = (b a)(c-d) (b^* a^*);\n \n det(A) > 0; \n A^-1 = det(A) = a^-1 b^-1;\n det(A/A) = a(A); determinante e inversa\nMa. Adjunto: Matriz transposta dos cof.\n\nEx: Encontre a inversa da Ma A:\n\ndet A = 3 × 12 = 14 →\nA = | 1 4 1 |\n | 2 3 2 |\n | 1 2 1 |\ninverte a diagonal e\nA^{-1} = 1/det(A) | A_{11} A_{12} A_{13} |\n | A_{21} A_{22} A_{23} |\n | A_{31} A_{32} A_{33} |\nA_{ij} = (-1)^{i+j} . det(A_{ij})\n\nEx: Encontre, se existir, a inversa de:\nA = | 1 0 0 |\n | 0 1 0 |\n | 1 1 1 |\ndet A = 1\n\nFaça o menor complementar de cada um\nA_{11} = | 1 0 |\n | 1 1 |\nA_{22} = | 0 1 |\n | 1 1 |\nA_{33} = | 1 0 |\n | 1 0 |\nMatiz inversa: se det A ≠ 0 então\nA^{-1} = 1/det(A) . adj(A)\n\nA^{-1} = 1/1 . adj(A)\n= | 1 0 0 |\n | 0 1 0 |\n | -1 0 1 |\n\nTEOREMA DE JACOBI\nO det de uma Ma. não se altera\nquando adicionamos a uma fila da\nmatriz outra fila paralela, precisamente\tem multiplicada por uma constante.\nex.: L_1 = 3 → = [-13-6.38]\n L_2 = 64 9 9\n L_2 = 64 9 9 = 36 - 54 = -18