Representação Gráfica de Vetores e Suas Propriedades

Vetores Representação gráfica A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha apontando para algum lugar Propriedades direção sentido magnitude Grandezas vetoriais a aceleração a velocidade e o deslocamento força etc Grandezas escalares a massa o tempo e a temperatura densidade etc Por convenção para saber que estamos falando de vetores e não de variáveis ou outro ente matemático qualquer designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra Mas há outras maneiras de representar um vetor Imagine por exemplo um vetor no plano u Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento mesma direção são paralelos ou colineares e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor Na Figura 13 todos os segmentos orientados paralelos de mesmo sentido e mesmo comprimento de AB representam o mesmo vetor que será indicado por AB ou B A onde A é a origem e B a extremidade do segmento O vetor também costuma ser indicado por uma letra minúscula encimada por uma flecha tal como v O módulo a direção e o sentido de um vetor v é o módulo a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes Indicase o módulo de v por v ou v Casos Particulares de Vetores a Dois vetores u e v são paralelos e indicase por uv se os seus representantes tiverem a mesma dire ção Na Figura 16 temse uvw onde u e v têm o mesmo sentido enquanto u e v têm sentido contrário ao de w b Dois vetores u e v são iguais e indicase por u v se tiverem iguais o módulo a direção e o sentido c Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero ou vetor nulo que é indicado por 0 ou AA a origem coincide com a extremidade Pelo fato deste vetor não possuir direção e sentido definidos considerase o vetor zero paralelo a qualquer vetor d A cada vetor nãonulo v corresponde um vetor oposto v de mesmo módulo e mesma direção de v porém de sentido contrário Figura 17 Se v AB o vetor BA é o oposto de AB isto é BA AB e Um vetor u é unitário se u 1 A cada vetor v v 0 é possível associar dois vetores unitários de mesma direção de v u e u Figura 18 Nesta figura temse v 3 e u u 1 O vetor u que tem o mesmo sentido de v é chamado versor de v Na verdade o vetor u não é versor só de v mas sim de todos os vetores paralelos e de mesmo sentido de v e medidos com a mesma unidade A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy Assim o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e seu comprimento é dado por B A As coordenadas de A são x1 y1 e as coordenadas de B são x2 y2 Logo o comprimento do vetor AB é dado por B A x2 x1 y2 y1 y2 y1 x2 x1 A X Y B Exemplo Seja 22 Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto inicial A12 e ponto final B34 B A 31 4222 u y2 y1 x2 x1 A X Y B u u Operações com vetores Considere 2 vetores e u v v u A resultante é obtida pela chamada lei do paralelogramo Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas extremidades u v u v Lei do paralelogramo v u v u A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a composição de forças no caso particular do retângulo Variações v u v u Mas além da lei do paralelogramo a soma de vetores pode ser obtida unindo se a extremidade do primeiro vetor à origem do segundo Somando mais que dois vetores a b b a c c b a d d c b a Em termos de suas coordenadas a soma se dá componente a componente Definição Sejam e dois vetores no plano A soma dos vetores e é o vetor Exemplo Sejam e então u x1 y1 v x2 y2 u v 2 1 2 1 y y x x v u 21 u 3 4 v 4 2 4 23 1 u v 1ª coordenada 2ª coordenada Exemplo Interpretação geométrica Definição 1 A operação de adição de vetores que a cada par de vetores mathbfu e mathbfv associa um novo vetor designado mathbfu mathbfv e chamado soma dos vetores mathbfu e mathbfv se define como segue Se mathbfu overrightarrowAB seja C o único ponto tal que mathbfv overrightarrowBC O vetor soma de mathbfu com mathbfv é o vetor overrightarrowAC Figura 21 mathbfu mathbfv overrightarrowAC Para Saber Mais A adição de vetores é uma operação bem definida isto é a definição da soma do vetor mathbfu overrightarrowAB com mathbfv overrightarrowBC não depende da escolha do ponto A Sejam mathbfu u1u2 e mathbfv v1v2 vetores do plano expressos em termos de coordenadas em relação a um sistema de eixos ortogonais fixo OX e OY então mathbfu mathbfv u1 v1 u2 v2 Sendo mathbfu mathbfv e mathbfw vetores quaisquer a adição admite as seguintes propriedades D Comutativa mathbfu mathbfv mathbfv mathbfu II Associativa mathbfu mathbfv mathbfw mathbfu mathbfv mathbfw III Elemento neutro mathbfu mathbf0 mathbfu IV Elemento oposto mathbfu mathbfu mathbf0 Diferença de vetores Representamos o vetor 1 por Esse vetor é a diferença de e u v v u u v u v v v u λ 0 λ AA AA 0 0 AB AA 0 Não confunda o número 0 zero com o vetor 0 vetor nulo Escrevemos 1 v v para designar o vetor simétrico de v Se v α β então v α β O vetor diferença de u e v é o vetor u v u v Produto de um vetor por um escalar Considere que o vetor tem a magnitude de uma unidade Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer por exemplo 3 o vetor tem sua magnitude aumentada para 3 unidades A direção é conservada se o escalar for 0 caso contrário o vetor assume a direção oposta w w w 2w 3w Geometria analítica Igualdade de vetores Exemplos 3 Encontrar os números a1 e a2 tais que v a1 v1 a2 v2 sendo v 10 2 v1 3 5 e v2 1 2 Exemplos 1 A Figura 112 é constituída de nove quadrados congruentes de mesmo tamanho Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações a AB OF b AM PH c BC OP d BL MC e DE ED f AO MG g KN FI h AC HI i JO LD j AJ FG k AB EG l AM BL m PE EC n PN NB o PN AM p AC FP q FI MF r AJ AC s AO 2NP t AM BL Ponto Médio Seja o segmento de extremos Ax1 y1 e Bx2 y2 Figura 150 Sendo Mx y o ponto médio de AB podemos expressar de forma vetorial como AM MB ou x x1 y y1 x2 x y2 y e daí x x1 x2 x e y y1 y2 y Resolvendo em relação a x e y temos 2x x1 x2 e 2y y1 y2 ou x x1 x2 2 e y y1 y2 2 Portanto M x1 x2 2 y1 y2 2 Exemplo O ponto médio do segmento de extremos A2 3 e B6 2 Paralelismo de vetores Vimos que se dois vetores vecu x1 y1 e vecv x2 y2 são paralelos existe um número real alpha tal que vecu alpha vecv ou seja x1 y1 alphax2 y2 que pela condição de igualdade resulta em x1 alpha x2 e y1 alpha y2 onde fracx1x2 fracy1y2 alpha Esta é a condição de paralelismo de dois vetores isto é dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais Dados os pontos A2 1 e B1 4 e os vetores vecu 1 3 e vecv 2 1 determinar a vecu b vecu vecv c 2vecu 3vecv d a distância entre os pontos A e B Módulo de um vetor Seja o vetor vecv x y Figura 151 Pelo teorema de Pitágoras vem vecv sqrtx2 y2 Exemplo Se vecv 2 3 então vecv sqrt22 32 sqrt49 sqrt13 uc unidades de comprimento Observações a Distância entre dois pontos A x₁ y₁ e B x₂ y₂ Figura 152 é o comprimento módulo do vetor AB isto é dA B AB Como AB B A x₂ x₁ y₂ y₁ temos dA B x₂x₁²y₂y₁² b Vetor Unitário Vimos em Multiplicação de Número Real por Vetor Figura 123 página 12 que a cada vetor v v 0 é possível associar dois vetores unitários paralelos a v v v é o versor de v e seu oposto v v Exemplo O versor de v 3 4 é u v v 3 4 3² 4² 3 4 25 3 4 5 35 45 O versor é na verdade um vetor unitário pois 35 45 35² 45² 925 1625 2525 1 Exemplos 1 Dados os pontos A2 1 e B1 4 e os vetores u 1 3 e v 2 1 determinar a u b u v c 2u 3v d a distância entre os pontos A e B 3 Dado o vetor v 2 1 achar o vetor paralelo a v que tenha a o mesmo sentido de v e três vezes o módulo de v b sentido contrário ao de v e a metade do módulo de v c o mesmo sentido de v e módulo 4 d sentido contrário ao de v e módulo 2