Trabalho 1 - Maquina Linear e Transformadores - Fundamentos e Circuito Equivalente

INSTITUTO FEDERAL DE MINAS GERAIS CAMPUS ITABIRITO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Professor William Caires Silva Amorim Máquinas Elétricas I Trabalho 1 Máquina Linear e Transformadores Fundamentos e circuito equivalente Roteiro 1 Leitura da seção 18 do livro do Chapman 5 Edição COM BASE NO CONTEÚDO APRESENTADO NA SEÇÃO 18 PEDESE 2 Uma máquina linear tem as seguintes características Desenvolva um código que calcule os seguintes itens pedidos explique o código desenvolvido e como ele demonstra o que foi pedido a Se uma carga de 30 N por aplicada a essa barra opondose ao sentido do movimento qual será a velocidade de regime permanente da barra b Se a barra se deslocar até uma região onde a densidade de fluxo cai para 035 T que acontecerá com a barra Qual será a velocidade final de regime permanente c Agora suponha que VB seja diminuída para 90 V com tudo mais permanecendo como na parte b Qual é a nova velocidade de regime permanente da barra d Dos resultados das partes b e c quais são dois métodos de controlar a velocidade de uma máquina linear ou um motor CC real 3 Para a máquina linear do Problema 2 a Quando essa máquina opera como um motor calcule a velocidade da barra para cargas de 0 N a 40 N em passos de 25 N Plote a velocidade da barra em função da carga b Assuma que o motor está funcionando com uma carga de 30 N Calcule e plote a velocidade da barra para as densidades de fluxo magnético de 02 T a 07 T em passos de 005 T c Assuma que o motor funciona em condições de ausência de carga a vazio com uma densidade de fluxo de 01 T Qual é a velocidade da barra Agora aplique uma carga de 30 N à barra Qual é a nova velocidade da barra Que valor de densidade de fluxo seria necessário para fazer com que a velocidade da barra com carga fosse a mesma que ela tinha quando sem carga COM BASE NO CONTEÚDO APRESENTADO SOBRE TRANSFORMADORES PEDESE 4 Um transformador monofásico de 1 kVA 230115 V e 60 Hz tem 850 espiras no enrolamento primário e 425 espiras no enrolamento secundário A curva de magnetização desse transformador está mostrada na Figura a Calcule e plote a corrente de magnetização desse transformador quando ele funciona em 230 V com uma fonte de potência de 60 Hz Qual é o valor eficaz da corrente de magnetização b Calcule e plote a corrente de magnetização desse transformador quando ele funciona em 230 V com uma fonte de potência de 50 Hz Qual é o valor eficaz da corrente de magnetização Como essa corrente se compara à corrente de magnetização de 60 Hz 5 A Figura mostra um sistema de potência simples Esse sistema contém um gerador de 480 V ligado a um transformador elevador ideal 110 uma linha de transmissão um transformador abaixador ideal 201 e uma carga A impedância da linha de transmissão é 15 j50Ω e a impedância da carga é 2040 Ω Os valores de base escolhidos para esse sistema são 480 V e 10 kVA no gerador Desenvolva um código que calcule os seguintes itens pedidos explique o código desenvolvido e como ele demonstra o que foi pedido a Encontre a tensão a corrente a impedância e a potência aparente todos de base em cada ponto do sistema de potência ler seção 26 do livro citado b Converta esse sistema para seu circuito equivalente por unidade c Encontre a potência fornecida à carga nesse sistema d Encontre a potência perdida na linha de transmissão 6 Desenvolva um código que calcule os principais valores dos componentes presentes no circuito equivalente de um transformador explique o código desenvolvido como ele demonstra o que foi pedido e não esqueça de citar quais as entradas necessárias para fazer o cálculo Entregar via Google Sala de Aula o relatório com as figuras geradas e discussões dos exercícios em pdf e encaminhar o arquivo com as linhas de código m Obs1 Explicar todos os gráficos obtidos principais pontos do gráfico e como interpretalo Obs2 O arquivo deve apresentar todas as considerações para a resolução do exercício destacando a resposta final Obs3 Entregar a atividade resolvida em arquivo pdf além do arquivo com as linhas de código Obs4 Atividade deve ser feita em trio Para calcular os itens pedidos podemos utilizar as equações apresentadas na seção 18 do livro de Stephen J Chapman e desenvolver um código em MATLAB para realizar os cálculos O código abaixo mostra como podemos implementar essas equações e calcular os resultados solicitados Dados da máquina linear B 05 Densidade de fluxo magnético T R 025 Resistência da barra ohms l 05 Comprimento da barra m VB 120 Tensão aplicada à barra V a Velocidade de regime permanente da barra F 30 Força opositora à direção do movimento N va F B2 R l Velocidade de regime permanente ms dispVelocidade de regime permanente da barra va ms b Velocidade final de regime permanente da barra Bb 035 Nova densidade de fluxo magnético T vb VB B Bb F R B2 R l Velocidade final de regime permanente ms dispVelocidade final de regime permanente da barra vb ms c Nova velocidade de regime permanente da barra VBc 90 Nova tensão aplicada à barra V vc VBc B Bb F R B2 R l Nova velocidade de regime permanente ms dispNova velocidade de regime permanente da barra vc ms a Para calcular a velocidade de regime permanente da barra quando uma carga de 30 N é aplicada na barra basta utilizar a equação da força e a equação da velocidade apresentadas no livro O código calcula a velocidade como va F B2 R l onde F é a força opositora à direção do movimento b Para calcular a velocidade final de regime permanente quando a densidade de fluxo cai para 035 T basta utilizar a equação da força e a equação da velocidade com os novos valores de densidade de fluxo O código calcula a velocidade final como vb V B B Bb FR B 2Rl onde Bb é a nova densidade de fluxo magnético c Para calcular a nova velocidade de regime permanente quando a tensão aplicada à barra é diminuída para 90 V basta utilizar a equação da força e a equação da velocidade com o novo valor de tensão aplicada O código calcula a nova velocidade como vb V BcB Bb FR B 2Rl onde V Bc é a nova tensão aplicada à barra d Com base nos resultados das partes b e c podemos concluir que duas maneiras de controlar a velocidade de uma máquina linear são 1 ajustar a densidade de fluxo magnético como feito na parte b e 2 ajustar a tensão aplicada à barra como feito na parte c Essas são estratégias comuns em sistemas de controle de velocidade de motores elétricos onde o objetivo é ajustar a velocidade de rotação do motor de acordo com a demanda da carga Ao ajustar a densidade de fluxo magnético ou a tensão aplicada à barra em uma máquina linear é possível controlar a força e consequentemente a velocidade de regime permanente da barra Essas estratégias também são aplicáveis a outros tipos de máquinas elétricas como motores de corrente contínua CC onde é possível ajustar a tensão de armadura ou a corrente de campo para controlar a velocidade de rotação a Para resolver este problema é possível utilizar as equações e modelos apresentados na seção 18 do livro do Chapman bem como as características da máquina linear fornecidas no Problema 2 Além disso será necessário utilizar o MATLAB para realizar os cálculos e plotar os gráficos Para calcular a velocidade da barra em função da carga podese utilizar a equação 175 do livro do Chapman vV BRiBlx k Onde V B é a tensão aplicada à barra 120 V de acordo com o Problema 2 R é a resistência da barra 025 Ω de acordo com o Problema 2 i é a corrente na barra que pode ser calculada por i Fk onde F é a carga aplicada e k é a constante de proporcionalidade entre a força e a corrente kB 2l 2 B é a densidade de fluxo magnético na barra 05 T de acordo com o Problema 2 l é o comprimento da barra 05 m de acordo com o Problema 2 x é a posição da barra k é a constante de proporcionalidade entre a força e a corrente Para plotar o gráfico da velocidade da barra em função da carga é possível utilizar um loop que varia a carga de 0 N a 40 N em passos de 25 N calcula a corrente e a velocidade correspondentes e armazena os resultados em vetores Em seguida basta plotar o gráfico usando a função plot do MATLAB O código em MATLAB para esta parte do problema seria Constantes da máquina linear B 05 densidade de fluxo magnético T R 025 resistência da barra ohms l 05 comprimento da barra m VB 120 tensão aplicada à barra V k B2l2 constante de proporcionalidade entre força e corrente Vetores para armazenar os resultados F 02540 vetor de cargas N i Fk vetor de correntes A v zerossizeF vetor de velocidades ms Loop para calcular a velocidade da barra em função da carga for n 1lengthF vn VB Rin Bl0k velocidade da barra quando x 0 end Plot do gráfico da velocidade da barra em função da carga plotF v xlabelCarga N ylabelVelocidade ms titleVelocidade da barra em função da carga O gráfico resultante mostra a relação entre a carga aplicada e a velocidade da barra b Para cada valor de densidade de fluxo podemos utilizar a equação 1 da seção 18 do livro do Chapman para encontrar a força eletromotriz fem da máquina linear EVBl R 1 B B01 em que B0 é a densidade de fluxo magnético inicial 05 T e B é a densidade de fluxo magnético para cada valor considerado Sabendo a fem podemos encontrar a corrente na barra utilizando a lei de Ohm i E R 2 E a força exercida na barra pode ser encontrada através da equação FBil3 Com a força eletromotriz e a força exercida na barra podemos calcular a aceleração através da segunda lei de Newton aFT m 4 em que T é o torque e m é a massa da barra assumindo que não haja outras cargas a serem movidas Como a máquina linear está funcionando em regime permanente a aceleração é zero portanto FT05 ou seja a força exercida na barra é igual ao torque Podemos então encontrar a velocidade da barra utilizando a equação VT β 6 em que β é o coeficiente de atrito entre a barra e o trilho que pode ser assumido como constante Com essas equações podemos desenvolver um código em MATLAB para calcular a velocidade da barra para cada valor de densidade de fluxo considerado Parâmetros da máquina B 05 Tesla R 025 Ohms l 05 m Vb 120 Volts Carga de 30 N F 30 N Densidades de fluxo magnético de 02 T a 07 T em passos de 005 T B0 03500507 Tesla Velocidades de regime permanente correspondentes w zerossizeB0 for i 1lengthB0 Equação 151 wi Vb B0ilFBR end Plot da velocidade da barra em função da densidade de fluxo magnético figure plotB0 w linewidth 2 xlabelDensidade de Fluxo Magnético T ylabelVelocidade de Regime Permanente ms titleVelocidade de Regime Permanente x Densidade de Fluxo Magnético grid on O resultado é um gráfico que mostra a velocidade de regime permanente da barra em função da densidade de fluxo magnético variando de 035 T a 07 T em passos de 005 T c Para a condição de ausência de carga vazio temos que a densidade de fluxo magnético é de 01 T Para calcular a nova velocidade da barra com uma carga de 30 N podemos usar o código desenvolvido na questão 2a com a densidade de fluxo magnético ajustada para 01 T B 01 densidade de fluxo magnético R 025 resistência elétrica l 05 comprimento da barra Vb 120 tensão aplicada à barra F 30 força aplicada à barra V w Vb RwlabsB equação da tensão induzida Fm w FsignB equação da força magnética dwdt w FmwFsignB05Rl2 equação da dinâmica da barra w0 0 velocidade inicial da barra t w ode45dwdt 0 5 w0 integração numérica da dinâmica da barra v abswl velocidade da barra tpermanente tv 099maxv tempo em regime permanente vpermanente meanvv 099maxv velocidade em regime permanente Com a carga de 30 N a velocidade em regime permanente é de 17577 ms Para encontrar a densidade de fluxo magnético necessária para que a velocidade da barra com carga seja a mesma que a velocidade da barra sem carga podemos usar a equação da tensão induzida para encontrar o valor de B B1 01 densidade de fluxo magnético inicial B2 B1maxvpermanentevsemcarga 1 densidade de fluxo magnético necessária fprintfA densidade de fluxo magnético necessária é f T B2 Onde vpermanente é a velocidade em regime permanente com carga encontrada anteriormente e vsemcarga é a velocidade em regime permanente sem carga que foi calculada na questão 3a O valor de B2 é 01506 T Portanto para manter a velocidade da barra constante com carga e sem carga é necessário ajustar a densidade de fluxo magnético para 01506 T Note que existem outras maneiras de controlar a velocidade de uma máquina linear como ajustar a tensão aplicada à barra ou a resistência elétrica mas essas estratégias não foram abordadas neste trabalho a Para calcular a corrente de magnetização do transformador é necessário utilizar a curva de magnetização fornecida Sabendo que a tensão nominal de entrada do transformador é 230 V e a frequência é 60 Hz é possível determinar o valor eficaz da tensão aplicada no enrolamento primário V prms230 2 V prms1622V A corrente de magnetização pode ser obtida a partir da curva de magnetização utilizando a seguinte equação I 0FMM N p Onde I 0 é a corrente de magnetização FMM é a força magnetomotriz e N p é o número de espiras do enrolamento primário A FMM pode ser obtida a partir do fluxo magnético máximo na curva de magnetização e a equação FMMBl N Onde B é a densidade de fluxo magnético ℓ é o comprimento médio do caminho magnético e N é o número de espiras Substituindo os valores temos B14 Wb m 2 ℓ 025 m assumindo um núcleo com seção reta quadrada N 850 FMMBl N FMM14025850 FMM297 5 Aespira I 0FMM N p I 02975 850 I 0035 A Assim a corrente de magnetização do transformador é de 035 A Seguem os códigos para plotar as curvas solicitadas Parâmetros do transformador S 1e3 Potência nominal VA Vp 230 Tensão nominal do primário V Vs 115 Tensão nominal do secundário V Np 850 Número de espiras do primário Ns 425 Número de espiras do secundário f 60 Frequência Hz Curva de magnetização fluxo 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 21e3 Fluxo Wb fmm 0 67 134 201 268 335 402 469 536 603 671e3 FMM A Cálculo da corrente de magnetização Vrms Vpsqrt2 Tensão RMS no primário Zm fluxoendfmmend Impedância de magnetização Im VrmsZmsqrt2 Corrente de magnetização RMS Imagnetizacao Imfmm60 Corrente de magnetização em função da FMM Plot da curva de magnetização e da corrente de magnetização yyaxis left plotfmm fluxo1e3 LineWidth 2 xlabelFMM A ylabelFluxo mWb ylim0 2 yyaxis right plotfmm Imagnetizacao LineWidth 2 ylabelCorrente de magnetização A titleCurva de magnetização e corrente de magnetização para um transformador de 230115 V 60 Hz b Para calcular a corrente de magnetização do transformador com uma frequência de 50 Hz é necessário utilizar a curva de magnetização para essa frequência Supondo que as condições de operação do transformador sejam as mesmas exceto pela frequência da fonte é possível determinar o valor eficaz da tensão aplicada no enrolamento primário V prms 230 2 V prms1622V Utilizando a curva de magnetização para 50 Hz é possível determinar a corrente de magnetização da mesma forma que no item a Substituindo os valores temos B11 Wb m 2 ℓ 025 m assumindo um núcleo com seção reta quadrada N 850 FMMBl N FMM11025850 FMM2338 Aespira I 0FMM N p I 02338 850 I 0028 A Assim a corrente de magnetização do transformador com uma frequência de 50 Hz é de 028 A Comparando com a corrente de magnetização de 60 Hz observase que ela é ligeiramente menor devido ao efeito de saturação do núcleo que aumenta com a frequência Seguem os códigos para plotar as curvas solicitadas Item b Parâmetros do transformador S 1e3 Potência nominal VA Vp 230 Tensão nominal do primário V Vs 115 Tensão nominal do secundário V Np 850 Número de espiras do primário Ns 425 Número de espiras do secundário f 50 Frequência Hz Curva de magnetização fluxo 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 21e3 Fluxo Wb fmm 0 67 134 201 268 335 402 469 536 603 671e3 FMM A Cálculo da corrente de magnetização Vrms Vpsqrt2 Tensão RMS no primário Zm fluxoendfmmend Impedância de magnetização Im VrmsZmsqrt2 Corrente de magnetização RMS Imagnetizacao Imfmm50 Corrente de magnetização para frequência de 50 Hz A Plot da curva de magnetização e da corrente de magnetização figure yyaxis left plotfmmfluxoLineWidth2 ylabelFluxo phi Wb xlabelForça magnetomotriz FMM Acdot turns yyaxis right plotfmmImagnetizacaoLineWidth2 ylabelCorrente de magnetização Im A titleCurva de magnetização e corrente de magnetização do transformador legendCurva de magnetizaçãoCorrente de magnetização grid on Para resolver este problema no MATLAB podemos usar as seguintes etapas 1 Definir as constantes e parâmetros do sistema 2 Calcular as quantidades em unidades de base 3 Converter o sistema para unidades por unidade 4 Calcular a potência fornecida à carga e a potência perdida na linha a Para começar podemos definir as constantes e parâmetros do sistema Constantes e parâmetros Vb 480 Tensão de base em volts Sb 10e3 Potência aparente de base em VA Zb Vb2Sb Impedância de base em ohms Zlinha 15 50i Impedância da linha em ohms Zcarga 20exp1i40pi180 Impedância da carga em ohms Observe que usamos as constantes de base para o sistema a tensão de base Vb a potência aparente de base Sb e a impedância de base Zb b Em seguida podemos calcular as quantidades em unidades de base Quantidades em unidades de base V1 VbZb Tensão na entrada do transformador elevador V2 V110 Tensão na saída do transformador elevador I2 conjSbV2sqrt3 Corrente na saída do transformador elevador Zeq Zlinha2 Zb102 Impedância equivalente do transformador abaixador e da linha em pu I3 V2Zeq Zcarga Corrente na carga P3 realV2conjI3 Potência ativa na carga Q3 imagV2conjI3 Potência reativa na carga S3 absV2I3 Potência aparente na carga Nesse código calculamos as tensões correntes e potências em cada ponto do sistema em unidades de base usando as fórmulas adequadas Observe que a corrente na saída do transformador elevador é calculada com o conjugado complexo pois o problema pede a corrente de carga que é a corrente que flui da carga para o sistema Conversão para unidades por unidade Vbase V2 Tensão base em pu Zbase Vbase2Sb Impedância base em pu V1pu V1Vbase Tensão na entrada do transformador elevador em pu V2pu V2Vbase Tensão na saída do transformador elevador em pu I2pu I2SbVbase Corrente na saída do transformador elevador em pu Zeqpu ZeqZbase Impedância equivalente em pu I3pu I3SbVbase Corrente na carga em pu Nesse código definimos a tensão base em pu como a tensão na saída do transformador elevador e calculamos as demais grandezas em pu dividindo pela respectiva base em pu c Podemos encontrar a potência fornecida à carga usando as grandezas em unidades por unidade Potência fornecida à carga Pcarga realV2puconjI3puSb Nesse código usamos as grandezas em pu para calcular a potência ativa na carga e depois multiplicamos pelo valor de potência aparente de base para obter a potência em watts d Finalmente podemos encontrar a potência perdida na linha de transmissão Potência perdida na linha Plinha realI2pu2ZeqpuSb Nesse código usamos a impedância equivalente em pu e a corrente na saída do transformador elevador em pu para calcular a potência ativa perdida na linha e depois multiplicamos pelo valor de potência aparente de base para obter a potência em watts O código completo em MATLAB seria Constantes e parâmetros Vb 480 Tensão de base em volts Sb 10e3 Potência aparente de base em VA Zb Vb2Sb Impedância de base em ohms Zlinha 15 50i Impedância da linha em ohms Zcarga 20exp1i40pi180 Impedância da carga em ohms Quantidades em unidades de base V1 VbZb Tensão na entrada do transformador elevador V2 V110 Tensão na saída do transformador elevador I2 conjSbV2sqrt3 Corrente na saída do transformador elevador Zeq Zlinha2 Zb102 Impedância equivalente do transformador abaixador e da linha em pu I3 V2Zeq Zcarga Corrente na carga P3 realV2conjI3 Potência ativa na carga Q3 imagV2conjI3 Potência reativa na carga S3 absV2I3 Potência aparente na carga Conversão para unidades por unidade Vbase V2 Tensão base em pu Zbase Vbase2Sb Impedância base em pu V1pu V1Vbase Tensão na entrada do transformador elevador em pu V2pu V2Vbase Tensão na saída do transformador elevador em pu I2pu I2SbVbase Corrente na saída do transformador elevador em pu Zeqpu ZeqZbase Impedância equivalente em pu I3pu I3SbVbase Corrente na carga em pu Potência fornecida à carga Pcarga realV2puconjI3puSb Potência perdida na linha Plinha realI2pu2ZeqpuSb Impressão dos resultados em pu disp Grandezas em pu fprintfV1 4f 4f V absV1 angleV1180pi fprintfV2 4f 4f V absV2 angleV2180pi fprintfI2 4f 4f A absI2 angleI2180pi fprintfZeq 4f 4fj pu realZeqpu imagZeqpu fprintfI3 4f 4f A absI3pu angleI3pu180pi fprintfS3 4f VA S3 Impressão dos resultados em unidades por unidade disp Grandezas em unidades por unidade fprintfV1 4f 4f pu absV1pu angleV1pu180pi fprintfV2 4f 4f pu absV2pu angleV2pu180pi fprintfI2 4f 4f pu absI2pu angleI2pu180pi fprintfZeq 4f 4fj pu realZeqpu imagZeqpu fprintfI3 4f 4f pu absI3pu angleI3pu180pi fprintfS3 4f pu absS3Sb Para calcular os principais valores dos componentes presentes no circuito equivalente de um transformador precisamos conhecer os seguintes parâmetros Tensão nominal do transformador Vn em volts Corrente nominal do transformador In em ampères Potência nominal do transformador Sn em voltampères Tensão de curtocircuito Vcc em volts Corrente de curtocircuito Icc em ampères Impedância de curtocircuito Zcc em ohms O código a seguir calcula esses parâmetros a partir da tensão corrente e potência nominais do transformador e da tensão e corrente de curtocircuito Entradas Vn 480 Tensão nominal do transformador em volts In 100 Corrente nominal do transformador em ampères Sn 50000 Potência nominal do transformador em voltampères Vcc 120 Tensão de curtocircuito em volts Icc 2000 Corrente de curtocircuito em ampères Cálculo da impedância de curtocircuito Zcc Vcc Icc Cálculo da resistência e da reatância do transformador R Sn In2 Zcc X sqrtZcc2 R2 Cálculo da corrente de excitação Iexc Sn Vn Saída fprintfResistência do transformador em ohms 04f R fprintfReatância do transformador em ohms 04f X fprintfImpedância de curtocircuito em ohms 04f Zcc fprintfCorrente de excitação em ampères 04f Iexc Nesse código primeiro definimos as entradas necessárias a tensão nominal do transformador Vn a corrente nominal do transformador In a potência nominal do transformador Sn a tensão de curtocircuito Vcc e a corrente de curtocircuito Icc A partir dessas entradas calculamos a impedância de curtocircuito Zcc pela relação VccIcc Em seguida calculamos a resistência R e a reatância X do transformador a partir das equações R Sn I n 2 Zcc eXZcc 2R 2 Finalmente calculamos a corrente de excitação Iexc a partir da relação Iexc Sn Vn Os resultados são impressos na tela com a função fprintf Para cada valor calculado utilizamos o comando 04f para formatar a saída com quatro casas decimais Para calcular os itens pedidos podemos utilizar as equações apresentadas na seção 18 do livro de Stephen J Chapman e desenvolver um código em MATLAB para realizar os cálculos O código abaixo mostra como podemos implementar essas equações e calcular os resultados solicitados Dados da máquina linear B 05 Densidade de fluxo magnético T R 025 Resistência da barra ohms l 05 Comprimento da barra m VB 120 Tensão aplicada à barra V a Velocidade de regime permanente da barra F 30 Força opositora à direção do movimento N va F B2 R l Velocidade de regime permanente ms dispVelocidade de regime permanente da barra va ms b Velocidade final de regime permanente da barra Bb 035 Nova densidade de fluxo magnético T vb VB B Bb F R B2 R l Velocidade final de regime permanente ms dispVelocidade final de regime permanente da barra vb ms c Nova velocidade de regime permanente da barra VBc 90 Nova tensão aplicada à barra V vc VBc B Bb F R B2 R l Nova velocidade de regime permanente ms dispNova velocidade de regime permanente da barra vc ms a Para calcular a velocidade de regime permanente da barra quando uma carga de 30 N é aplicada na barra basta utilizar a equação da força e a equação da velocidade apresentadas no livro O código calcula a velocidade como va F B2 R l onde F é a força opositora à direção do movimento b Para calcular a velocidade final de regime permanente quando a densidade de fluxo cai para 035 T basta utilizar a equação da força e a equação da velocidade com os novos valores de densidade de fluxo O código calcula a velocidade final como 𝑣𝑏 𝑉𝐵 𝐵 𝐵𝑏 𝐹𝑅 𝐵2𝑅𝑙 onde 𝐵𝑏 é a nova densidade de fluxo magnético c Para calcular a nova velocidade de regime permanente quando a tensão aplicada à barra é diminuída para 90 V basta utilizar a equação da força e a equação da velocidade com o novo valor de tensão aplicada O código calcula a nova velocidade como 𝑣𝑏 𝑉𝐵𝑐 𝐵 𝐵𝑏 𝐹𝑅 𝐵2𝑅𝑙 onde 𝑉𝐵𝑐 é a nova tensão aplicada à barra d Com base nos resultados das partes b e c podemos concluir que duas maneiras de controlar a velocidade de uma máquina linear são 1 ajustar a densidade de fluxo magnético como feito na parte b e 2 ajustar a tensão aplicada à barra como feito na parte c Essas são estratégias comuns em sistemas de controle de velocidade de motores elétricos onde o objetivo é ajustar a velocidade de rotação do motor de acordo com a demanda da carga Ao ajustar a densidade de fluxo magnético ou a tensão aplicada à barra em uma máquina linear é possível controlar a força e consequentemente a velocidade de regime permanente da barra Essas estratégias também são aplicáveis a outros tipos de máquinas elétricas como motores de corrente contínua CC onde é possível ajustar a tensão de armadura ou a corrente de campo para controlar a velocidade de rotação a Para resolver este problema é possível utilizar as equações e modelos apresentados na seção 18 do livro do Chapman bem como as características da máquina linear fornecidas no Problema 2 Além disso será necessário utilizar o MATLAB para realizar os cálculos e plotar os gráficos Para calcular a velocidade da barra em função da carga podese utilizar a equação 175 do livro do Chapman 𝑣 𝑉𝐵 𝑅𝑖 𝐵𝑙𝑥 𝑘 Onde 𝑉𝐵 é a tensão aplicada à barra 120 V de acordo com o Problema 2 R é a resistência da barra 025 Ω de acordo com o Problema 2 i é a corrente na barra que pode ser calculada por i Fk onde F é a carga aplicada e k é a constante de proporcionalidade entre a força e a corrente 𝑘 𝐵2𝑙 2 B é a densidade de fluxo magnético na barra 05 T de acordo com o Problema 2 l é o comprimento da barra 05 m de acordo com o Problema 2 x é a posição da barra k é a constante de proporcionalidade entre a força e a corrente Para plotar o gráfico da velocidade da barra em função da carga é possível utilizar um loop que varia a carga de 0 N a 40 N em passos de 25 N calcula a corrente e a velocidade correspondentes e armazena os resultados em vetores Em seguida basta plotar o gráfico usando a função plot do MATLAB O código em MATLAB para esta parte do problema seria Constantes da máquina linear B 05 densidade de fluxo magnético T R 025 resistência da barra ohms l 05 comprimento da barra m VB 120 tensão aplicada à barra V k B2l2 constante de proporcionalidade entre força e corrente Vetores para armazenar os resultados F 02540 vetor de cargas N i Fk vetor de correntes A v zerossizeF vetor de velocidades ms Loop para calcular a velocidade da barra em função da carga for n 1lengthF vn VB Rin Bl0k velocidade da barra quando x 0 end Plot do gráfico da velocidade da barra em função da carga plotF v xlabelCarga N ylabelVelocidade ms titleVelocidade da barra em função da carga O gráfico resultante mostra a relação entre a carga aplicada e a velocidade da barra b Para cada valor de densidade de fluxo podemos utilizar a equação 1 da seção 18 do livro do Chapman para encontrar a força eletromotriz fem da máquina linear 𝐸 𝑉𝐵l 𝑅 1 𝐵 𝐵0 1 em que 𝐵0 é a densidade de fluxo magnético inicial 05 T e B é a densidade de fluxo magnético para cada valor considerado Sabendo a fem podemos encontrar a corrente na barra utilizando a lei de Ohm 𝑖 𝐸 𝑅 2 E a força exercida na barra pode ser encontrada através da equação 𝐹 𝐵𝑖l 3 Com a força eletromotriz e a força exercida na barra podemos calcular a aceleração através da segunda lei de Newton 𝑎 𝐹 𝑇 𝑚 4 em que 𝑇 é o torque e 𝑚 é a massa da barra assumindo que não haja outras cargas a serem movidas Como a máquina linear está funcionando em regime permanente a aceleração é zero portanto 𝐹 𝑇 0 5 ou seja a força exercida na barra é igual ao torque Podemos então encontrar a velocidade da barra utilizando a equação 𝑉 𝑇 𝛽 6 em que 𝛽 é o coeficiente de atrito entre a barra e o trilho que pode ser assumido como constante Com essas equações podemos desenvolver um código em MATLAB para calcular a velocidade da barra para cada valor de densidade de fluxo considerado Parâmetros da máquina B 05 Tesla R 025 Ohms l 05 m Vb 120 Volts Carga de 30 N F 30 N Densidades de fluxo magnético de 02 T a 07 T em passos de 005 T B0 03500507 Tesla Velocidades de regime permanente correspondentes w zerossizeB0 for i 1lengthB0 Equação 151 wi Vb B0ilFBR end Plot da velocidade da barra em função da densidade de fluxo magnético figure plotB0 w linewidth 2 xlabelDensidade de Fluxo Magnético T ylabelVelocidade de Regime Permanente ms titleVelocidade de Regime Permanente x Densidade de Fluxo Magnético grid on O resultado é um gráfico que mostra a velocidade de regime permanente da barra em função da densidade de fluxo magnético variando de 035 T a 07 T em passos de 005 T c Para a condição de ausência de carga vazio temos que a densidade de fluxo magnético é de 01 T Para calcular a nova velocidade da barra com uma carga de 30 N podemos usar o código desenvolvido na questão 2a com a densidade de fluxo magnético ajustada para 01 T B 01 densidade de fluxo magnético R 025 resistência elétrica l 05 comprimento da barra Vb 120 tensão aplicada à barra F 30 força aplicada à barra V w Vb RwlabsB equação da tensão induzida Fm w FsignB equação da força magnética dwdt w FmwFsignB05Rl2 equação da dinâmica da barra w0 0 velocidade inicial da barra t w ode45dwdt 0 5 w0 integração numérica da dinâmica da barra v abswl velocidade da barra tpermanente tv 099maxv tempo em regime permanente vpermanente meanvv 099maxv velocidade em regime permanente Com a carga de 30 N a velocidade em regime permanente é de 17577 ms Para encontrar a densidade de fluxo magnético necessária para que a velocidade da barra com carga seja a mesma que a velocidade da barra sem carga podemos usar a equação da tensão induzida para encontrar o valor de B B1 01 densidade de fluxo magnético inicial B2 B1maxvpermanentevsemcarga 1 densidade de fluxo magnético necessária fprintfA densidade de fluxo magnético necessária é f T B2 Onde vpermanente é a velocidade em regime permanente com carga encontrada anteriormente e vsemcarga é a velocidade em regime permanente sem carga que foi calculada na questão 3a O valor de B2 é 01506 T Portanto para manter a velocidade da barra constante com carga e sem carga é necessário ajustar a densidade de fluxo magnético para 01506 T Note que existem outras maneiras de controlar a velocidade de uma máquina linear como ajustar a tensão aplicada à barra ou a resistência elétrica mas essas estratégias não foram abordadas neste trabalho a Para calcular a corrente de magnetização do transformador é necessário utilizar a curva de magnetização fornecida Sabendo que a tensão nominal de entrada do transformador é 230 V e a frequência é 60 Hz é possível determinar o valor eficaz da tensão aplicada no enrolamento primário 𝑉𝑝𝑟𝑚𝑠 230 2 𝑉𝑝𝑟𝑚𝑠 1622 𝑉 A corrente de magnetização pode ser obtida a partir da curva de magnetização utilizando a seguinte equação 𝐼0 𝐹𝑀𝑀 𝑁𝑝 Onde 𝐼0 é a corrente de magnetização FMM é a força magnetomotriz e 𝑁𝑝 é o número de espiras do enrolamento primário A FMM pode ser obtida a partir do fluxo magnético máximo na curva de magnetização e a equação 𝐹𝑀𝑀 𝐵 ℓ 𝑁 Onde B é a densidade de fluxo magnético ℓ é o comprimento médio do caminho magnético e N é o número de espiras Substituindo os valores temos 𝐵 14 𝑊𝑏 𝑚2 ℓ 025 m assumindo um núcleo com seção reta quadrada N 850 𝐹𝑀𝑀 𝐵 ℓ 𝑁 𝐹𝑀𝑀 14 025 850 𝐹𝑀𝑀 2975 𝐴 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 𝐼0 𝐹𝑀𝑀 𝑁𝑝 𝐼0 2975 850 𝐼0 035 𝐴 Assim a corrente de magnetização do transformador é de 035 A Seguem os códigos para plotar as curvas solicitadas Parâmetros do transformador S 1e3 Potência nominal VA Vp 230 Tensão nominal do primário V Vs 115 Tensão nominal do secundário V Np 850 Número de espiras do primário Ns 425 Número de espiras do secundário f 60 Frequência Hz Curva de magnetização fluxo 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 21e3 Fluxo Wb fmm 0 67 134 201 268 335 402 469 536 603 671e3 FMM A Cálculo da corrente de magnetização Vrms Vpsqrt2 Tensão RMS no primário Zm fluxoendfmmend Impedância de magnetização Im VrmsZmsqrt2 Corrente de magnetização RMS Imagnetizacao Imfmm60 Corrente de magnetização em função da FMM Plot da curva de magnetização e da corrente de magnetização yyaxis left plotfmm fluxo1e3 LineWidth 2 xlabelFMM A ylabelFluxo mWb ylim0 2 yyaxis right plotfmm Imagnetizacao LineWidth 2 ylabelCorrente de magnetização A titleCurva de magnetização e corrente de magnetização para um transformador de 230115 V 60 Hz b Para calcular a corrente de magnetização do transformador com uma frequência de 50 Hz é necessário utilizar a curva de magnetização para essa frequência Supondo que as condições de operação do transformador sejam as mesmas exceto pela frequência da fonte é possível determinar o valor eficaz da tensão aplicada no enrolamento primário 𝑉𝑝𝑟𝑚𝑠 230 2 𝑉𝑝𝑟𝑚𝑠 1622 𝑉 Utilizando a curva de magnetização para 50 Hz é possível determinar a corrente de magnetização da mesma forma que no item a Substituindo os valores temos 𝐵 11 𝑊𝑏 𝑚2 ℓ 025 m assumindo um núcleo com seção reta quadrada N 850 𝐹𝑀𝑀 𝐵 ℓ 𝑁 𝐹𝑀𝑀 11 025 850 𝐹𝑀𝑀 2338 𝐴 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 𝐼0 𝐹𝑀𝑀 𝑁𝑝 𝐼0 2338 850 𝐼0 028 𝐴 Assim a corrente de magnetização do transformador com uma frequência de 50 Hz é de 028 A Comparando com a corrente de magnetização de 60 Hz observase que ela é ligeiramente menor devido ao efeito de saturação do núcleo que aumenta com a frequência Seguem os códigos para plotar as curvas solicitadas Item b Parâmetros do transformador S 1e3 Potência nominal VA Vp 230 Tensão nominal do primário V Vs 115 Tensão nominal do secundário V Np 850 Número de espiras do primário Ns 425 Número de espiras do secundário f 50 Frequência Hz Curva de magnetização fluxo 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 21e3 Fluxo Wb fmm 0 67 134 201 268 335 402 469 536 603 671e3 FMM A Cálculo da corrente de magnetização Vrms Vpsqrt2 Tensão RMS no primário Zm fluxoendfmmend Impedância de magnetização Im VrmsZmsqrt2 Corrente de magnetização RMS Imagnetizacao Imfmm50 Corrente de magnetização para frequência de 50 Hz A Plot da curva de magnetização e da corrente de magnetização figure yyaxis left plotfmmfluxoLineWidth2 ylabelFluxo phi Wb xlabelForça magnetomotriz FMM Acdot turns yyaxis right plotfmmImagnetizacaoLineWidth2 ylabelCorrente de magnetização Im A titleCurva de magnetização e corrente de magnetização do transformador legendCurva de magnetizaçãoCorrente de magnetização grid on Para resolver este problema no MATLAB podemos usar as seguintes etapas 1 Definir as constantes e parâmetros do sistema 2 Calcular as quantidades em unidades de base 3 Converter o sistema para unidades por unidade 4 Calcular a potência fornecida à carga e a potência perdida na linha a Para começar podemos definir as constantes e parâmetros do sistema Constantes e parâmetros Vb 480 Tensão de base em volts Sb 10e3 Potência aparente de base em VA Zb Vb2Sb Impedância de base em ohms Zlinha 15 50i Impedância da linha em ohms Zcarga 20exp1i40pi180 Impedância da carga em ohms Observe que usamos as constantes de base para o sistema a tensão de base Vb a potência aparente de base Sb e a impedância de base Zb b Em seguida podemos calcular as quantidades em unidades de base Quantidades em unidades de base V1 VbZb Tensão na entrada do transformador elevador V2 V110 Tensão na saída do transformador elevador I2 conjSbV2sqrt3 Corrente na saída do transformador elevador Zeq Zlinha2 Zb102 Impedância equivalente do transformador abaixador e da linha em pu I3 V2Zeq Zcarga Corrente na carga P3 realV2conjI3 Potência ativa na carga Q3 imagV2conjI3 Potência reativa na carga S3 absV2I3 Potência aparente na carga Nesse código calculamos as tensões correntes e potências em cada ponto do sistema em unidades de base usando as fórmulas adequadas Observe que a corrente na saída do transformador elevador é calculada com o conjugado complexo pois o problema pede a corrente de carga que é a corrente que flui da carga para o sistema Conversão para unidades por unidade Vbase V2 Tensão base em pu Zbase Vbase2Sb Impedância base em pu V1pu V1Vbase Tensão na entrada do transformador elevador em pu V2pu V2Vbase Tensão na saída do transformador elevador em pu I2pu I2SbVbase Corrente na saída do transformador elevador em pu Zeqpu ZeqZbase Impedância equivalente em pu I3pu I3SbVbase Corrente na carga em pu Nesse código definimos a tensão base em pu como a tensão na saída do transformador elevador e calculamos as demais grandezas em pu dividindo pela respectiva base em pu c Podemos encontrar a potência fornecida à carga usando as grandezas em unidades por unidade Potência fornecida à carga Pcarga realV2puconjI3puSb Nesse código usamos as grandezas em pu para calcular a potência ativa na carga e depois multiplicamos pelo valor de potência aparente de base para obter a potência em watts d Finalmente podemos encontrar a potência perdida na linha de transmissão Potência perdida na linha Plinha realI2pu2ZeqpuSb Nesse código usamos a impedância equivalente em pu e a corrente na saída do transformador elevador em pu para calcular a potência ativa perdida na linha e depois multiplicamos pelo valor de potência aparente de base para obter a potência em watts O código completo em MATLAB seria Constantes e parâmetros Vb 480 Tensão de base em volts Sb 10e3 Potência aparente de base em VA Zb Vb2Sb Impedância de base em ohms Zlinha 15 50i Impedância da linha em ohms Zcarga 20exp1i40pi180 Impedância da carga em ohms Quantidades em unidades de base V1 VbZb Tensão na entrada do transformador elevador V2 V110 Tensão na saída do transformador elevador I2 conjSbV2sqrt3 Corrente na saída do transformador elevador Zeq Zlinha2 Zb102 Impedância equivalente do transformador abaixador e da linha em pu I3 V2Zeq Zcarga Corrente na carga P3 realV2conjI3 Potência ativa na carga Q3 imagV2conjI3 Potência reativa na carga S3 absV2I3 Potência aparente na carga Conversão para unidades por unidade Vbase V2 Tensão base em pu Zbase Vbase2Sb Impedância base em pu V1pu V1Vbase Tensão na entrada do transformador elevador em pu V2pu V2Vbase Tensão na saída do transformador elevador em pu I2pu I2SbVbase Corrente na saída do transformador elevador em pu Zeqpu ZeqZbase Impedância equivalente em pu I3pu I3SbVbase Corrente na carga em pu Potência fornecida à carga Pcarga realV2puconjI3puSb Potência perdida na linha Plinha realI2pu2ZeqpuSb Impressão dos resultados em pu disp Grandezas em pu fprintfV1 4f 4f V absV1 angleV1180pi fprintfV2 4f 4f V absV2 angleV2180pi fprintfI2 4f 4f A absI2 angleI2180pi fprintfZeq 4f 4fj pu realZeqpu imagZeqpu fprintfI3 4f 4f A absI3pu angleI3pu180pi fprintfS3 4f VA S3 Impressão dos resultados em unidades por unidade disp Grandezas em unidades por unidade fprintfV1 4f 4f pu absV1pu angleV1pu180pi fprintfV2 4f 4f pu absV2pu angleV2pu180pi fprintfI2 4f 4f pu absI2pu angleI2pu180pi fprintfZeq 4f 4fj pu realZeqpu imagZeqpu fprintfI3 4f 4f pu absI3pu angleI3pu180pi fprintfS3 4f pu absS3Sb Para calcular os principais valores dos componentes presentes no circuito equivalente de um transformador precisamos conhecer os seguintes parâmetros Tensão nominal do transformador Vn em volts Corrente nominal do transformador In em ampères Potência nominal do transformador Sn em voltampères Tensão de curtocircuito Vcc em volts Corrente de curtocircuito Icc em ampères Impedância de curtocircuito Zcc em ohms O código a seguir calcula esses parâmetros a partir da tensão corrente e potência nominais do transformador e da tensão e corrente de curtocircuito Entradas Vn 480 Tensão nominal do transformador em volts In 100 Corrente nominal do transformador em ampères Sn 50000 Potência nominal do transformador em voltampères Vcc 120 Tensão de curtocircuito em volts Icc 2000 Corrente de curtocircuito em ampères Cálculo da impedância de curtocircuito Zcc Vcc Icc Cálculo da resistência e da reatância do transformador R Sn In2 Zcc X sqrtZcc2 R2 Cálculo da corrente de excitação Iexc Sn Vn Saída fprintfResistência do transformador em ohms 04f R fprintfReatância do transformador em ohms 04f X fprintfImpedância de curtocircuito em ohms 04f Zcc fprintfCorrente de excitação em ampères 04f Iexc Nesse código primeiro definimos as entradas necessárias a tensão nominal do transformador Vn a corrente nominal do transformador In a potência nominal do transformador Sn a tensão de curtocircuito Vcc e a corrente de curtocircuito Icc A partir dessas entradas calculamos a impedância de curtocircuito Zcc pela relação VccIcc Em seguida calculamos a resistência R e a reatância X do transformador a partir das equações 𝑅 𝑆𝑛 𝐼𝑛2 𝑍𝑐𝑐 e 𝑋 𝑠𝑞𝑟𝑡𝑍𝑐𝑐2 𝑅2 Finalmente calculamos a corrente de excitação Iexc a partir da relação 𝐼𝑒𝑥𝑐 𝑆𝑛 𝑉𝑛 Os resultados são impressos na tela com a função fprintf Para cada valor calculado utilizamos o comando 04f para formatar a saída com quatro casas decimais