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Engenharia Mecânica ·
Álgebra Linear
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1 Determinante pelo Teorema de Laplace Esse método é o mais usado para o cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 𝑛 2 Antes de apresentar o Teorema de Laplace precisamos das seguintes definições Definição 1 Sendo A uma matriz quadrada de ordem n 2 denominase menor complementar ou menor principal denotado por 𝐷ij de A pelo elemento 𝑎ij o determinante associado a matriz quadrada de ordem n 1 que se obtém de A ao suprimir a linha i e a coluna j onde está o elemento escolhido Definição 2 Sendo A uma matriz quadrada de ordem n 2 denominase cofator denotado por 𝐴ij de um elemento 𝑎ij o número real obtido pelo produto 1ij 𝐷ij onde 𝐷ij é o menor complementar pelo elemento 𝑎ij Ou seja 𝐴ij 1ij 𝐷ij O Teorema de Laplace O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem n 2 é o número que se obtém pela soma dos produtos de cada termo de uma fila qualquer pelos seus respectivos cofatores Ou seja 𝑛 det𝐴 𝑎1j𝐴1j 𝑎2j𝐴2j 𝑎𝑛j𝐴𝑛j 𝑎ij 𝐴ij 1 i1 𝑛 det𝐴 𝑎i1𝐴i1 𝑎i2𝐴i2 𝑎i𝑛𝐴i𝑛 𝑎ij 𝐴ij 2 j1 A expressão 1 é o desenvolvimento do teorema de Laplace através de uma coluna qualquer jésima coluna e a expressão 2 é o desenvolvimento do teorema de Laplace através de uma linha qualquer iésima linha Para calcular o determinante através do Teorema de Laplace precisamos 1 Escolher uma fila qualquer da matriz 2 Calcular os menores complementares por cada um dos elementos da fila escolhida 3 Calcular os cofatores para cada elemento da fila 4 Multiplicar os cofatores pelos seus respectivos elementos 13 23 33 Para o elemento 𝑎13 vamos excluir linha 1 e coluna 3 que representam a posição do elemento 1 2 0 𝐴 1 3 4 5 1 2 Para o elemento 𝑎23 vamos excluir linha 2 e coluna 3 que representam a posição do elemento 1 2 0 𝐴 1 3 4 5 1 2 Para o elemento 𝑎33 vamos excluir linha 3 e coluna 3 que representam a posição do elemento 1 2 0 𝐴 1 3 4 5 1 2 5 Somar os produtos encontrados Exemplos Usando o Teorema de Laplace calcular o determinante da matriz 𝐴 1 2 0 1 3 4 5 1 2 Passo 1 Escolher a fila vamos usar a terceira coluna elementos 𝑎13 0 𝑎23 4 e 𝑎33 2 Passo 2 Calcular os menores complementares para os elementos da fila escolhida Depois calculamos o determinante da matriz formada pelos elementos que sobraram 𝐷 1 3 1 15 16 5 1 Depois calculamos o determinante da matriz formada pelos elementos que sobraram 𝐷 1 2 1 10 9 5 1 Depois calculamos o determinante da matriz formada pelos elementos que sobraram 𝐷 1 2 3 2 5 1 3 Passo 3 Calcular os cofatores para os elementos da fila escolhida 𝐴ij 1ij 𝐷ij 𝐴13 113 𝐷13 14 16 16 𝐴23 123 𝐷23 15 9 9 𝐴33 133 𝐷33 16 5 5 Passo 4 Multiplicar os cofatores pelos seus respectivos elementos 𝑎ij𝐴ij 3 1 4 1 𝑎13 𝐴13 0 16 0 𝑎23 𝐴23 4 9 36 𝑎33 𝐴33 2 5 10 Passo 5 Calcular o determinante através da soma dos produtos do passo 4 𝑑𝑒𝑡𝐴 0 36 10 46 Na prática fazemos o cálculo de forma sintetizada Vamos realizar o cálculo através da linha 2 elementos 𝑎21 1 𝑎22 3 e 𝑎23 4 det𝐴 𝑎21 121 𝐷21 𝑎22 122 𝐷22 𝑎23 123 𝐷23 det𝐴 1 13 2 0 4 1 0 5 1 2 1 2 5 2 5 1 det𝐴 1 4 3 2 4 9 4 6 36 46 2 Inversão de Matrizes Considere uma matriz quadrada A de ordem n de forma que 𝑑𝑒𝑡𝐴 G 0 Existe uma única matriz B quadrada de mesma ordem tal que 𝐴𝐵 𝐵𝐴 𝐼𝑛 sendo 𝐼𝑛 a matriz identidade de ordem n dizemos então que a matriz B é a inversa da matriz A sendo denotada por 𝐴1 Nesse caso dizemos que a matriz A é inversível ou regular ou não singular Se não existir a matriz B dizemos que a matriz A é não inversível ou singular Como podemos calcular a inversa de uma matriz Basicamente temos três procedimentos para calcular a inversa de uma matriz I Aplicando a definição II Por determinantes e cofatores III Pelo método de GaussJordan operações elementares I Aplicando a definição multiplicamos as matrizes e resolvendo os sistemas de equações correspondentes Este método é muito trabalhoso quando a ordem da matriz é superior a 2 Exemplos 1 Verificar se as matrizes 3 0 A 9 1 2 7 e B 1 0 2 1 2 3 são inversas entre si 1 0 1 1 0 3 Devemos verificar se 𝐴𝐵 𝐼3 3 0 2 1 0 2 1 0 0 9 1 7 2 1 3 0 1 0 1 0 1 1 0 3 0 0 1 1 0 0 1 0 0 Portanto concluímos que as matrizes A e B são inversas entre si 2 Encontre a matriz inversa da matriz 𝐴 2 3 2 5 Sabemos que a matriz A1 será uma matriz quadrada de mesma ordem Explicitaremos uma matriz inversa com elementos quaisquer Sendo assim usaremos letras para representar estes elementos 𝐴1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Pela definição sabemos que ao multiplicarmos estas duas matrizes obteremos a matriz identidade de segunda ordem Então obteremos a seguinte igualdade 𝐴 𝐴1 𝐼2 2 3 𝑎 𝑏 1 0 2 5 𝑐 𝑑 0 1 Para realizarmos estes cálculos deveremos compreender o processo de multiplicação de matrizes 2𝑎 3𝑐 2𝑏 3𝑑 1 0 2𝑎 5𝑐 2𝑏 5𝑑 0 1 Através da igualdade de matrizes obteremos quatro equações lineares com duas incógnitas Agruparemos de forma a obter dois sistemas lineares com duas incógnitas 1 2𝑎 3𝑐 1 2𝑎 5𝑐 0 2 2𝑏 3𝑑 0 2𝑏 5𝑑 1 Resolvendo o sistema 1 pelo método da adição multiplicando a segunda linha por 1 2𝑎 3𝑐 1 2𝑎 5𝑐 0 02𝑐1 𝑐 1 2 Substituindo o valor de c obteremos o valor de a 2𝑎 3𝑐 1 2𝑎 3 1 3 1 2𝑎 1 2 2 5 2𝑎 2 5 𝑎 4 Resolvendo o sistema 2 obteremos os seguintes valores para as incógnitas 3 0 2 0 0 0 6 0 6 1 0 0 9 2 7 0 1 0 18 3 21 0 1 0 1 0 1 0 0 0 2 0 3 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 3 𝑏 4 1 e 𝑑 2 Após encontrar os valores para dos elementos da matriz inversa podemos escrevêla 5 3 1 𝑎 𝑏 1 4 4 𝐴 𝑐 𝑑 𝐴 1 1 2 2 II Por determinantes e cofatores Considere uma matriz quadrada A de ordem n de forma que 𝑑𝑒𝑡𝐴 G 0 então a matriz inversa de A é dada por 𝐴1 1 det𝐴 𝑎𝑑j𝐴 Sendo 𝑎𝑑j𝐴 a matriz adjunta da matriz A A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores Lembrar que Sendo A uma matriz quadrada de ordem n 2 denominase cofator de um elemento aij o número real obtido pelo produto 1ij 𝐷ij onde 𝐷ij é o menor complementar pelo elemento aij Este número é denotado por Aij Ou seja 𝐴ij 1ij 𝐷ij Matriz dos cofatores Definição Sendo A uma matriz quadrada de ordem n 2 denominase matriz dos cofatores de A denotada por 𝐴 a matriz cujos elementos são os cofatores de cada um dos elementos da matriz A 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝐴11 𝐴12 𝐴1𝑛 𝐴 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 𝐴 𝐴21 𝐴22 𝐴2𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛 𝐴𝑛1 𝐴𝑛2 𝐴𝑛𝑛 A matriz transposta da matriz dos cofatores é denominada por matriz adjunta de A e é 𝑡 denotada por 𝑎𝑑j𝐴 ou seja 𝑎𝑑j𝐴 𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝐴11 𝐴12 𝐴1𝑛 𝐴11 𝐴21 𝐴𝑛1 𝐴 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 𝐴 𝐴21 𝐴22 𝐴2𝑛 𝑎𝑑j𝐴 𝐴12 𝐴22 𝐴𝑛2 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛 𝐴𝑛1 𝐴𝑛2 𝐴𝑛𝑛 𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 𝐴𝑛𝑛 12 33 22 23 31 32 1 1 2 1 0 1 2 Exemplo Determinar se existir a inversa da matriz 𝐴 4 5 6 3 4 1 Inicialmente vamos calcular o determinante da matriz para verificar se ela é nãosingular Vamos realizar o cálculo através da linha 1 elementos 𝑎11 0 𝑎12 1 e 𝑎13 2 det𝐴 𝑎11 111 𝐷11 𝑎12 112 𝐷12 𝑎13 113 𝐷13 det𝐴 0 12 5 6 3 4 6 4 4 5 4 1 3 1 3 4 det𝐴 0 19 1 14 2 1 0 14 2 16 Verifique o cálculo através do WxMáxima i2 determinant o2 16 Como determinante é diferente de zero então a matriz é não singular admite inversa Calculando os cofatores para os elementos da matriz 𝐴11 12 5 6 1 19 19 4 1 𝐴 13 4 6 1 14 14 3 1 𝐴13 14 4 5 1 1 1 3 4 𝐴21 13 1 2 1 7 7 4 1 𝐴 16 0 1 1 4 4 4 5 Com o cálculo dos cofatores para cada um dos elementos da matriz A podemos escrever a matriz dos cofatores 𝐴 19 14 1 𝐴 14 0 2 1 6 6 3 1 𝐴 15 0 1 1 3 3 3 4 𝐴 7 6 3 4 8 4 𝐴 14 1 2 1 4 4 5 6 𝐴 15 0 4 1 8 8 2 6 A matriz adjunta 𝑎𝑑j𝐴 será a transposta da matriz de cofatores i1 A matrix 012 456 341 0 1 2 A 4 5 6 3 4 1 19 7 4 𝑎𝑑j𝐴 14 6 8 1 3 4 Com a matriz adjunta podemos encontrar a inversa da matriz A usando a expressão 𝐴1 1 det𝐴 𝑎𝑑j𝐴 1 19 7 4 19 7 1 l 16 16 4 𝐴1 16 7 14 6 8 1 3 4 I 8 1 3 1 8 2 I 3 1 𝗁 16 16 4 Novamente o cálculo através do WxMáxima i1 A matrix 012 456 341 0 1 2 A 4 5 6 3 4 1 i4 adjointA 19 7 4 o4 14 6 8 1 3 4 i6 invertA 19 16 7 1 16 4 l 7 3 1 o6 8 8 2 1 𝗁 16 3 1 16 4 O método dos cofatores permite escrever um processo prático para determinar a matriz inversa caso exista de uma matriz quadrada de ordem 2 1 Calculase o determinante da matriz 2 Trocase os elementos da diagonal principal de posição 3 Invertese o sinal dos elementos da diagonal secundária 4 Dividese todos os elementos pelo determinante 5 Escrevese a matriz resultante que será a inversa Exemplo Calcular a inversa se existir da matriz 5 2 𝐴 3 4 I I det𝐴 5 4 2 3 20 6 14 𝑐𝑜𝑚𝑜 é 𝑑if𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑥i𝑠𝑡𝑒 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟i𝑧 i𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 4 2 𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠içã𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑑i𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟i𝑛𝑐i𝑝𝑎𝑙 3 5 4 2 i𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠ã𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑠i𝑛𝑎i𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑑i𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑á𝑟i𝑎 3 5 4 14 3 14 2 14 𝑑i𝑣i𝑠ã𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚i𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 5 14 2 𝐴1 7 1 7 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟i𝑧 i𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐴 3 5 14 14 III Pelo método de Gauss Jordan Operações elementares Dada uma matriz A do conjunto 𝑀𝑚𝑥𝑛𝑅 chamamse operações elementares as seguintes ações 1 Permutar duas linhas de A Indicamos a troca das linhas Li e Lj por Li Lj 2 Multiplicar uma linha de A por um número real não nulo Indicamos que multiplicamos a linha Li de A pelo número real k escrevendo Li kLi 3 Somamos a uma linha de A uma outra linha multiplicada por um número real Indicamos que somamos à linha Li a linha Lj multiplicada pelo número real k por Li Li kLj Obs O conjunto 𝑀𝑚𝑥𝑛𝑅 é o conjunto das matrizes reais m por n Como exemplo vamos aplicar algumas operações elementares sobre as linhas da matriz 0 1 2 𝐴 4 5 6 3 4 1 0 1 2 5 3 4 5 6 1 1 4 2 5 3 1 l 4 2 4 5 6 𝐿1 ➀ 𝐿2 0 1 2 𝐿1 4 𝐿1 0 1 2 𝐿3 𝐿3 3𝐿1 I0 1 2 I 3 4 1 3 4 1 3 4 1 1 7 0 𝗁 4 2 Ao aplicar uma sequência de operações elementares sobre as linhas de uma matriz A obtendo a matriz B dizemos que B é equivalente a A e indicamos por B A Ficando definidas as seguintes propriedades no conjunto 𝑀𝑚𝑥𝑛𝑅 I reflexiva A A II simétrica se A B então B A III transitiva se A B e B C então A C Assim podemos dizer simplesmente que A e B são equivalentes 0 1 2 1 5 3 4 2 Logo as matrizes 4 5 6 e 0 1 2 são equivalentes 3 4 1 0 1 7 4 2 As operações elementares e a equivalência de matrizes possibilitam a obtenção da inversa de uma matriz quadrada devido ao seguinte teorema Teorema Seja 𝐴 𝑀𝑛𝑅 então A é inversível se e somente se 𝐴 𝐼𝑛 Se A é inversível a mesma sucessão de operações elementares que transformam 𝐴 em 𝐼𝑛 transformam 𝐼𝑛 na inversa de A Obs O conjunto 𝑀𝑛𝑅 é o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n Este método permite determinar se a matriz é ou não inversível através do seguinte princípio Escrevemos a matriz a ser invertida e a identidade na seguinte ordem 𝐴𝐼𝑛 Aplicamos as operações elementares sobre a linha da matriz assim obtida tentando transformála para a forma escalonada reduzida que denotamos por 𝑅𝑆 Isso nos leva às duas situações possíveis I Se 𝑅 𝐼𝑛 então a matriz A é inversível e sua inversa é a matriz S II Se 𝑅 G 𝐼𝑛 então a matriz A não é inversível Exemplo Determinar se existir a inversa da matriz 2 5 1 3 0 1 4 2 Obs 𝐴 6 1 2 5 1 3 3 0 1 Como a matriz é de ordem 4 o uso da definição e da matriz adjunta tornam o processo muito longo O mais indicado é o método de Gauss Jordan 2 Não há necessidade de calcular o determinante de forma antecipada pois em um dos passos teremos uma matriz triangular equivalente à matriz original 0 0 1 3 O determinante de uma matriz triangular ou diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal Se o determinante da matriz triangular for diferente de zero a matriz será inversível Acompanhe as operações elementares sobre as linhas da matriz 𝐴𝐼𝑛 2 5 1 3 1 0 0 0 1 3 3 0 0 0 0 1 0 1 4 2 0 1 0 0 𝐿1 ➀ 𝐿4 1 4 2 0 1 0 0 𝐿3 𝐿3 6𝐿1 6 2 1 3 5 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 𝐿2 𝐿2 6 2 5 2 5 1 1 0 0 1 0 3 1 0 0 0 𝐿4 𝐿4 2𝐿1 1 3 3 0 0 0 0 1 1 3 3 0 0 0 0 1 0 1 4 2 0 1 0 0 𝐿3 𝐿3 20𝐿2 0 1 4 2 0 1 0 0 0 20 23 1 0 0 1 6 𝐿4 𝐿4 𝐿2 0 0 57 3 39 1 0 20 1 6 1 1 0 2 𝐿 1 𝐿 0 1 4 2 0 1 0 1 0 𝐿 𝐿 3𝐿 3 57 3 0 0 1 1319 0 2057 157 219 4 4 3 0 0 3 1 1 1 0 2 1 3 3 0 1 4 0 2 1319 0 0 0 1 0 2057 0 0 157 1 0 219 19 𝐿4 20 𝐿4 0 0 0 2019 1 3919 119 4419 1 3 3 0 1 4 0 0 2 0 0 0 1 0 1 13 0 𝐿3 𝐿3 19 𝐿4 0 0 1 0 0 0 1319 1 0 1920 2057 3920 157 120 219 115 𝐿2 2𝐿4 𝐿2 1 3 3 0 0 1 4 0 0 1910 0 2910 0 110 1 225 𝐿1 𝐿1 3𝐿2 0 0 1 0 1320 5960 160 75 𝐿2 𝐿2 4𝐿3 0 0 0 1 1920 3920 120 115 1 0 9 0 0 1 0 0 5710 710 8710 310 3130 130 615 65 0 0 1 0 1320 5960 160 75 𝐿1 𝐿1 9𝐿3 0 0 0 1 1920 3920 120 115 0 0 1 7 3 1 0 0 2 0 0 1 3 3 0 0 0 0 1 0 0 0 320 320 320 25 0 1 0 0 710 3130 130 65 0 0 1 0 0 0 0 1 1320 1920 5960 3920 160 120 75 115 Comparando com a matriz 𝑅𝑆 temos que 𝑅 𝐼4 logo 𝑆 𝐴1 3 20 l 7 Assim a matriz I I 20 3 3 20 20 31 1 60 60 2 5 6 5 2 5 1 3 1 3 3 0 19 39 20 20 1 11 20 5 Verificando através do WxMáxima i1 A matrix 2513 0142 6251 1330 A 6 2 5 1 1 3 3 0 i4 invertA i2 determinant o2 60 o4 3 20 l 7 I 10 I 13 20 3 20 31 30 59 60 3 2 20 5 1 6 30 5I 1 7I 60 5 19 39 20 20 1 11 20 5 Em relação às observações 2 e 3 nas duas passagens mostradas abaixo temos uma matriz triangular em vermelho 𝐿 1 𝐿 1 3 3 0 1 4 0 0 0 0 2 0 1 0 1 0 𝐿 𝐿 3𝐿 3 57 3 0 0 1 1319 0 2057 157 219 4 4 3 0 0 3 1 1 1 0 2 1 3 3 0 1 4 0 0 1 0 0 2 0 1319 0 0 1 2057 0 0 157 1 0 219 0 0 0 2019 1 3919 119 4419 Para chegar nessa matriz triangular foi necessário multiplicar uma das linhas por 1 logo o 57 determinante da matriz original fica dividido por 57 pois se multiplicarmos todos os 𝗁 𝗁 10 30 30 5 I é a inversa da matriz 𝐴 0 1 4 2 13 59 1 7 I 6 2 5 1 2 5 1 3 0 1 4 2 2 elementos de uma fila de uma matriz por um número k 0 seu determinante será multiplicado por este número k Assim o determinante da matriz A será logo matriz A é inversível 57 1 1 1 20 19 57 20 60 G 0 19 A multiplicação por 57 foi para desfazer a operação 𝐿 1 𝐿 3 57 3 Algumas propriedades das matrizes inversas a A11 A A inversa da inversa é igual à própria matriz b AB1 B1 A1 A inversa do produto é igual ao produto das inversas com ordem trocada dos fatores c At1 A1t A inversa da transposta é igual transposta da inversa Matrizes ortogonais Dizemos que uma matriz 𝐴 𝑀𝑛𝑅 inversível é ortogonal quando 𝐴1 𝐴𝑡 Para verificar se uma matriz é ortogonal multiplicamos a matriz por sua transposta Se o produto for igual à matriz identidade a matriz será ortogonal A matriz 𝐴 abaixo 1 2 3 2 3 2 é ortogonal Observe que o produto 𝐴 𝐴𝑡 𝐼 como mostrado 1 2 1 3 1 3 2 2 2 2 1 0 3 1 2 2 3 1 0 1 2 2 Referências Bibliográficas BOLDRINI JL et al Álgebra Linear 3 ed São Paulo Harbra 1986 BRASIL A N Inversão de Matrizes e Determinantes 01022010 Disponível em httpalexbrasilcombrupload90b0d24537e13cc17943226cdf27a6afpdf Acesso em 29092021 FIGUEIREDO Luiz Manoel Álgebra linear I v1 3ed Rio de Janeiro Fundação CECIERJ 2009 Disponível em httpswww2ufjfbrquimicaeadwp contentuploadssites224201305C381lgebraLinearIVol1pdf Acesso em 29092021 HEFEZ A e FERNANDEZ C S Introdução à Álgebra Linear 2ed Rio de Janeiro Ed SBM 2016 SANTOS R J Matrizes Vetores e Geometria Analítica Belo Horizonte Imprensa Universitária da UFMG 2013 Disponível em httpsregijsgithubio Acesso em 08 de setembro de 2021
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1 Determinante pelo Teorema de Laplace Esse método é o mais usado para o cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 𝑛 2 Antes de apresentar o Teorema de Laplace precisamos das seguintes definições Definição 1 Sendo A uma matriz quadrada de ordem n 2 denominase menor complementar ou menor principal denotado por 𝐷ij de A pelo elemento 𝑎ij o determinante associado a matriz quadrada de ordem n 1 que se obtém de A ao suprimir a linha i e a coluna j onde está o elemento escolhido Definição 2 Sendo A uma matriz quadrada de ordem n 2 denominase cofator denotado por 𝐴ij de um elemento 𝑎ij o número real obtido pelo produto 1ij 𝐷ij onde 𝐷ij é o menor complementar pelo elemento 𝑎ij Ou seja 𝐴ij 1ij 𝐷ij O Teorema de Laplace O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem n 2 é o número que se obtém pela soma dos produtos de cada termo de uma fila qualquer pelos seus respectivos cofatores Ou seja 𝑛 det𝐴 𝑎1j𝐴1j 𝑎2j𝐴2j 𝑎𝑛j𝐴𝑛j 𝑎ij 𝐴ij 1 i1 𝑛 det𝐴 𝑎i1𝐴i1 𝑎i2𝐴i2 𝑎i𝑛𝐴i𝑛 𝑎ij 𝐴ij 2 j1 A expressão 1 é o desenvolvimento do teorema de Laplace através de uma coluna qualquer jésima coluna e a expressão 2 é o desenvolvimento do teorema de Laplace através de uma linha qualquer iésima linha Para calcular o determinante através do Teorema de Laplace precisamos 1 Escolher uma fila qualquer da matriz 2 Calcular os menores complementares por cada um dos elementos da fila escolhida 3 Calcular os cofatores para cada elemento da fila 4 Multiplicar os cofatores pelos seus respectivos elementos 13 23 33 Para o elemento 𝑎13 vamos excluir linha 1 e coluna 3 que representam a posição do elemento 1 2 0 𝐴 1 3 4 5 1 2 Para o elemento 𝑎23 vamos excluir linha 2 e coluna 3 que representam a posição do elemento 1 2 0 𝐴 1 3 4 5 1 2 Para o elemento 𝑎33 vamos excluir linha 3 e coluna 3 que representam a posição do elemento 1 2 0 𝐴 1 3 4 5 1 2 5 Somar os produtos encontrados Exemplos Usando o Teorema de Laplace calcular o determinante da matriz 𝐴 1 2 0 1 3 4 5 1 2 Passo 1 Escolher a fila vamos usar a terceira coluna elementos 𝑎13 0 𝑎23 4 e 𝑎33 2 Passo 2 Calcular os menores complementares para os elementos da fila escolhida Depois calculamos o determinante da matriz formada pelos elementos que sobraram 𝐷 1 3 1 15 16 5 1 Depois calculamos o determinante da matriz formada pelos elementos que sobraram 𝐷 1 2 1 10 9 5 1 Depois calculamos o determinante da matriz formada pelos elementos que sobraram 𝐷 1 2 3 2 5 1 3 Passo 3 Calcular os cofatores para os elementos da fila escolhida 𝐴ij 1ij 𝐷ij 𝐴13 113 𝐷13 14 16 16 𝐴23 123 𝐷23 15 9 9 𝐴33 133 𝐷33 16 5 5 Passo 4 Multiplicar os cofatores pelos seus respectivos elementos 𝑎ij𝐴ij 3 1 4 1 𝑎13 𝐴13 0 16 0 𝑎23 𝐴23 4 9 36 𝑎33 𝐴33 2 5 10 Passo 5 Calcular o determinante através da soma dos produtos do passo 4 𝑑𝑒𝑡𝐴 0 36 10 46 Na prática fazemos o cálculo de forma sintetizada Vamos realizar o cálculo através da linha 2 elementos 𝑎21 1 𝑎22 3 e 𝑎23 4 det𝐴 𝑎21 121 𝐷21 𝑎22 122 𝐷22 𝑎23 123 𝐷23 det𝐴 1 13 2 0 4 1 0 5 1 2 1 2 5 2 5 1 det𝐴 1 4 3 2 4 9 4 6 36 46 2 Inversão de Matrizes Considere uma matriz quadrada A de ordem n de forma que 𝑑𝑒𝑡𝐴 G 0 Existe uma única matriz B quadrada de mesma ordem tal que 𝐴𝐵 𝐵𝐴 𝐼𝑛 sendo 𝐼𝑛 a matriz identidade de ordem n dizemos então que a matriz B é a inversa da matriz A sendo denotada por 𝐴1 Nesse caso dizemos que a matriz A é inversível ou regular ou não singular Se não existir a matriz B dizemos que a matriz A é não inversível ou singular Como podemos calcular a inversa de uma matriz Basicamente temos três procedimentos para calcular a inversa de uma matriz I Aplicando a definição II Por determinantes e cofatores III Pelo método de GaussJordan operações elementares I Aplicando a definição multiplicamos as matrizes e resolvendo os sistemas de equações correspondentes Este método é muito trabalhoso quando a ordem da matriz é superior a 2 Exemplos 1 Verificar se as matrizes 3 0 A 9 1 2 7 e B 1 0 2 1 2 3 são inversas entre si 1 0 1 1 0 3 Devemos verificar se 𝐴𝐵 𝐼3 3 0 2 1 0 2 1 0 0 9 1 7 2 1 3 0 1 0 1 0 1 1 0 3 0 0 1 1 0 0 1 0 0 Portanto concluímos que as matrizes A e B são inversas entre si 2 Encontre a matriz inversa da matriz 𝐴 2 3 2 5 Sabemos que a matriz A1 será uma matriz quadrada de mesma ordem Explicitaremos uma matriz inversa com elementos quaisquer Sendo assim usaremos letras para representar estes elementos 𝐴1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Pela definição sabemos que ao multiplicarmos estas duas matrizes obteremos a matriz identidade de segunda ordem Então obteremos a seguinte igualdade 𝐴 𝐴1 𝐼2 2 3 𝑎 𝑏 1 0 2 5 𝑐 𝑑 0 1 Para realizarmos estes cálculos deveremos compreender o processo de multiplicação de matrizes 2𝑎 3𝑐 2𝑏 3𝑑 1 0 2𝑎 5𝑐 2𝑏 5𝑑 0 1 Através da igualdade de matrizes obteremos quatro equações lineares com duas incógnitas Agruparemos de forma a obter dois sistemas lineares com duas incógnitas 1 2𝑎 3𝑐 1 2𝑎 5𝑐 0 2 2𝑏 3𝑑 0 2𝑏 5𝑑 1 Resolvendo o sistema 1 pelo método da adição multiplicando a segunda linha por 1 2𝑎 3𝑐 1 2𝑎 5𝑐 0 02𝑐1 𝑐 1 2 Substituindo o valor de c obteremos o valor de a 2𝑎 3𝑐 1 2𝑎 3 1 3 1 2𝑎 1 2 2 5 2𝑎 2 5 𝑎 4 Resolvendo o sistema 2 obteremos os seguintes valores para as incógnitas 3 0 2 0 0 0 6 0 6 1 0 0 9 2 7 0 1 0 18 3 21 0 1 0 1 0 1 0 0 0 2 0 3 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 3 𝑏 4 1 e 𝑑 2 Após encontrar os valores para dos elementos da matriz inversa podemos escrevêla 5 3 1 𝑎 𝑏 1 4 4 𝐴 𝑐 𝑑 𝐴 1 1 2 2 II Por determinantes e cofatores Considere uma matriz quadrada A de ordem n de forma que 𝑑𝑒𝑡𝐴 G 0 então a matriz inversa de A é dada por 𝐴1 1 det𝐴 𝑎𝑑j𝐴 Sendo 𝑎𝑑j𝐴 a matriz adjunta da matriz A A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores Lembrar que Sendo A uma matriz quadrada de ordem n 2 denominase cofator de um elemento aij o número real obtido pelo produto 1ij 𝐷ij onde 𝐷ij é o menor complementar pelo elemento aij Este número é denotado por Aij Ou seja 𝐴ij 1ij 𝐷ij Matriz dos cofatores Definição Sendo A uma matriz quadrada de ordem n 2 denominase matriz dos cofatores de A denotada por 𝐴 a matriz cujos elementos são os cofatores de cada um dos elementos da matriz A 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝐴11 𝐴12 𝐴1𝑛 𝐴 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 𝐴 𝐴21 𝐴22 𝐴2𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛 𝐴𝑛1 𝐴𝑛2 𝐴𝑛𝑛 A matriz transposta da matriz dos cofatores é denominada por matriz adjunta de A e é 𝑡 denotada por 𝑎𝑑j𝐴 ou seja 𝑎𝑑j𝐴 𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝐴11 𝐴12 𝐴1𝑛 𝐴11 𝐴21 𝐴𝑛1 𝐴 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 𝐴 𝐴21 𝐴22 𝐴2𝑛 𝑎𝑑j𝐴 𝐴12 𝐴22 𝐴𝑛2 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛 𝐴𝑛1 𝐴𝑛2 𝐴𝑛𝑛 𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 𝐴𝑛𝑛 12 33 22 23 31 32 1 1 2 1 0 1 2 Exemplo Determinar se existir a inversa da matriz 𝐴 4 5 6 3 4 1 Inicialmente vamos calcular o determinante da matriz para verificar se ela é nãosingular Vamos realizar o cálculo através da linha 1 elementos 𝑎11 0 𝑎12 1 e 𝑎13 2 det𝐴 𝑎11 111 𝐷11 𝑎12 112 𝐷12 𝑎13 113 𝐷13 det𝐴 0 12 5 6 3 4 6 4 4 5 4 1 3 1 3 4 det𝐴 0 19 1 14 2 1 0 14 2 16 Verifique o cálculo através do WxMáxima i2 determinant o2 16 Como determinante é diferente de zero então a matriz é não singular admite inversa Calculando os cofatores para os elementos da matriz 𝐴11 12 5 6 1 19 19 4 1 𝐴 13 4 6 1 14 14 3 1 𝐴13 14 4 5 1 1 1 3 4 𝐴21 13 1 2 1 7 7 4 1 𝐴 16 0 1 1 4 4 4 5 Com o cálculo dos cofatores para cada um dos elementos da matriz A podemos escrever a matriz dos cofatores 𝐴 19 14 1 𝐴 14 0 2 1 6 6 3 1 𝐴 15 0 1 1 3 3 3 4 𝐴 7 6 3 4 8 4 𝐴 14 1 2 1 4 4 5 6 𝐴 15 0 4 1 8 8 2 6 A matriz adjunta 𝑎𝑑j𝐴 será a transposta da matriz de cofatores i1 A matrix 012 456 341 0 1 2 A 4 5 6 3 4 1 19 7 4 𝑎𝑑j𝐴 14 6 8 1 3 4 Com a matriz adjunta podemos encontrar a inversa da matriz A usando a expressão 𝐴1 1 det𝐴 𝑎𝑑j𝐴 1 19 7 4 19 7 1 l 16 16 4 𝐴1 16 7 14 6 8 1 3 4 I 8 1 3 1 8 2 I 3 1 𝗁 16 16 4 Novamente o cálculo através do WxMáxima i1 A matrix 012 456 341 0 1 2 A 4 5 6 3 4 1 i4 adjointA 19 7 4 o4 14 6 8 1 3 4 i6 invertA 19 16 7 1 16 4 l 7 3 1 o6 8 8 2 1 𝗁 16 3 1 16 4 O método dos cofatores permite escrever um processo prático para determinar a matriz inversa caso exista de uma matriz quadrada de ordem 2 1 Calculase o determinante da matriz 2 Trocase os elementos da diagonal principal de posição 3 Invertese o sinal dos elementos da diagonal secundária 4 Dividese todos os elementos pelo determinante 5 Escrevese a matriz resultante que será a inversa Exemplo Calcular a inversa se existir da matriz 5 2 𝐴 3 4 I I det𝐴 5 4 2 3 20 6 14 𝑐𝑜𝑚𝑜 é 𝑑if𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑥i𝑠𝑡𝑒 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟i𝑧 i𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 4 2 𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠içã𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑑i𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟i𝑛𝑐i𝑝𝑎𝑙 3 5 4 2 i𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠ã𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑠i𝑛𝑎i𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑑i𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑á𝑟i𝑎 3 5 4 14 3 14 2 14 𝑑i𝑣i𝑠ã𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚i𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 5 14 2 𝐴1 7 1 7 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟i𝑧 i𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐴 3 5 14 14 III Pelo método de Gauss Jordan Operações elementares Dada uma matriz A do conjunto 𝑀𝑚𝑥𝑛𝑅 chamamse operações elementares as seguintes ações 1 Permutar duas linhas de A Indicamos a troca das linhas Li e Lj por Li Lj 2 Multiplicar uma linha de A por um número real não nulo Indicamos que multiplicamos a linha Li de A pelo número real k escrevendo Li kLi 3 Somamos a uma linha de A uma outra linha multiplicada por um número real Indicamos que somamos à linha Li a linha Lj multiplicada pelo número real k por Li Li kLj Obs O conjunto 𝑀𝑚𝑥𝑛𝑅 é o conjunto das matrizes reais m por n Como exemplo vamos aplicar algumas operações elementares sobre as linhas da matriz 0 1 2 𝐴 4 5 6 3 4 1 0 1 2 5 3 4 5 6 1 1 4 2 5 3 1 l 4 2 4 5 6 𝐿1 ➀ 𝐿2 0 1 2 𝐿1 4 𝐿1 0 1 2 𝐿3 𝐿3 3𝐿1 I0 1 2 I 3 4 1 3 4 1 3 4 1 1 7 0 𝗁 4 2 Ao aplicar uma sequência de operações elementares sobre as linhas de uma matriz A obtendo a matriz B dizemos que B é equivalente a A e indicamos por B A Ficando definidas as seguintes propriedades no conjunto 𝑀𝑚𝑥𝑛𝑅 I reflexiva A A II simétrica se A B então B A III transitiva se A B e B C então A C Assim podemos dizer simplesmente que A e B são equivalentes 0 1 2 1 5 3 4 2 Logo as matrizes 4 5 6 e 0 1 2 são equivalentes 3 4 1 0 1 7 4 2 As operações elementares e a equivalência de matrizes possibilitam a obtenção da inversa de uma matriz quadrada devido ao seguinte teorema Teorema Seja 𝐴 𝑀𝑛𝑅 então A é inversível se e somente se 𝐴 𝐼𝑛 Se A é inversível a mesma sucessão de operações elementares que transformam 𝐴 em 𝐼𝑛 transformam 𝐼𝑛 na inversa de A Obs O conjunto 𝑀𝑛𝑅 é o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n Este método permite determinar se a matriz é ou não inversível através do seguinte princípio Escrevemos a matriz a ser invertida e a identidade na seguinte ordem 𝐴𝐼𝑛 Aplicamos as operações elementares sobre a linha da matriz assim obtida tentando transformála para a forma escalonada reduzida que denotamos por 𝑅𝑆 Isso nos leva às duas situações possíveis I Se 𝑅 𝐼𝑛 então a matriz A é inversível e sua inversa é a matriz S II Se 𝑅 G 𝐼𝑛 então a matriz A não é inversível Exemplo Determinar se existir a inversa da matriz 2 5 1 3 0 1 4 2 Obs 𝐴 6 1 2 5 1 3 3 0 1 Como a matriz é de ordem 4 o uso da definição e da matriz adjunta tornam o processo muito longo O mais indicado é o método de Gauss Jordan 2 Não há necessidade de calcular o determinante de forma antecipada pois em um dos passos teremos uma matriz triangular equivalente à matriz original 0 0 1 3 O determinante de uma matriz triangular ou diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal Se o determinante da matriz triangular for diferente de zero a matriz será inversível Acompanhe as operações elementares sobre as linhas da matriz 𝐴𝐼𝑛 2 5 1 3 1 0 0 0 1 3 3 0 0 0 0 1 0 1 4 2 0 1 0 0 𝐿1 ➀ 𝐿4 1 4 2 0 1 0 0 𝐿3 𝐿3 6𝐿1 6 2 1 3 5 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 𝐿2 𝐿2 6 2 5 2 5 1 1 0 0 1 0 3 1 0 0 0 𝐿4 𝐿4 2𝐿1 1 3 3 0 0 0 0 1 1 3 3 0 0 0 0 1 0 1 4 2 0 1 0 0 𝐿3 𝐿3 20𝐿2 0 1 4 2 0 1 0 0 0 20 23 1 0 0 1 6 𝐿4 𝐿4 𝐿2 0 0 57 3 39 1 0 20 1 6 1 1 0 2 𝐿 1 𝐿 0 1 4 2 0 1 0 1 0 𝐿 𝐿 3𝐿 3 57 3 0 0 1 1319 0 2057 157 219 4 4 3 0 0 3 1 1 1 0 2 1 3 3 0 1 4 0 2 1319 0 0 0 1 0 2057 0 0 157 1 0 219 19 𝐿4 20 𝐿4 0 0 0 2019 1 3919 119 4419 1 3 3 0 1 4 0 0 2 0 0 0 1 0 1 13 0 𝐿3 𝐿3 19 𝐿4 0 0 1 0 0 0 1319 1 0 1920 2057 3920 157 120 219 115 𝐿2 2𝐿4 𝐿2 1 3 3 0 0 1 4 0 0 1910 0 2910 0 110 1 225 𝐿1 𝐿1 3𝐿2 0 0 1 0 1320 5960 160 75 𝐿2 𝐿2 4𝐿3 0 0 0 1 1920 3920 120 115 1 0 9 0 0 1 0 0 5710 710 8710 310 3130 130 615 65 0 0 1 0 1320 5960 160 75 𝐿1 𝐿1 9𝐿3 0 0 0 1 1920 3920 120 115 0 0 1 7 3 1 0 0 2 0 0 1 3 3 0 0 0 0 1 0 0 0 320 320 320 25 0 1 0 0 710 3130 130 65 0 0 1 0 0 0 0 1 1320 1920 5960 3920 160 120 75 115 Comparando com a matriz 𝑅𝑆 temos que 𝑅 𝐼4 logo 𝑆 𝐴1 3 20 l 7 Assim a matriz I I 20 3 3 20 20 31 1 60 60 2 5 6 5 2 5 1 3 1 3 3 0 19 39 20 20 1 11 20 5 Verificando através do WxMáxima i1 A matrix 2513 0142 6251 1330 A 6 2 5 1 1 3 3 0 i4 invertA i2 determinant o2 60 o4 3 20 l 7 I 10 I 13 20 3 20 31 30 59 60 3 2 20 5 1 6 30 5I 1 7I 60 5 19 39 20 20 1 11 20 5 Em relação às observações 2 e 3 nas duas passagens mostradas abaixo temos uma matriz triangular em vermelho 𝐿 1 𝐿 1 3 3 0 1 4 0 0 0 0 2 0 1 0 1 0 𝐿 𝐿 3𝐿 3 57 3 0 0 1 1319 0 2057 157 219 4 4 3 0 0 3 1 1 1 0 2 1 3 3 0 1 4 0 0 1 0 0 2 0 1319 0 0 1 2057 0 0 157 1 0 219 0 0 0 2019 1 3919 119 4419 Para chegar nessa matriz triangular foi necessário multiplicar uma das linhas por 1 logo o 57 determinante da matriz original fica dividido por 57 pois se multiplicarmos todos os 𝗁 𝗁 10 30 30 5 I é a inversa da matriz 𝐴 0 1 4 2 13 59 1 7 I 6 2 5 1 2 5 1 3 0 1 4 2 2 elementos de uma fila de uma matriz por um número k 0 seu determinante será multiplicado por este número k Assim o determinante da matriz A será logo matriz A é inversível 57 1 1 1 20 19 57 20 60 G 0 19 A multiplicação por 57 foi para desfazer a operação 𝐿 1 𝐿 3 57 3 Algumas propriedades das matrizes inversas a A11 A A inversa da inversa é igual à própria matriz b AB1 B1 A1 A inversa do produto é igual ao produto das inversas com ordem trocada dos fatores c At1 A1t A inversa da transposta é igual transposta da inversa Matrizes ortogonais Dizemos que uma matriz 𝐴 𝑀𝑛𝑅 inversível é ortogonal quando 𝐴1 𝐴𝑡 Para verificar se uma matriz é ortogonal multiplicamos a matriz por sua transposta Se o produto for igual à matriz identidade a matriz será ortogonal A matriz 𝐴 abaixo 1 2 3 2 3 2 é ortogonal Observe que o produto 𝐴 𝐴𝑡 𝐼 como mostrado 1 2 1 3 1 3 2 2 2 2 1 0 3 1 2 2 3 1 0 1 2 2 Referências Bibliográficas BOLDRINI JL et al Álgebra Linear 3 ed São Paulo Harbra 1986 BRASIL A N Inversão de Matrizes e Determinantes 01022010 Disponível em httpalexbrasilcombrupload90b0d24537e13cc17943226cdf27a6afpdf Acesso em 29092021 FIGUEIREDO Luiz Manoel Álgebra linear I v1 3ed Rio de Janeiro Fundação CECIERJ 2009 Disponível em httpswww2ufjfbrquimicaeadwp contentuploadssites224201305C381lgebraLinearIVol1pdf Acesso em 29092021 HEFEZ A e FERNANDEZ C S Introdução à Álgebra Linear 2ed Rio de Janeiro Ed SBM 2016 SANTOS R J Matrizes Vetores e Geometria Analítica Belo Horizonte Imprensa Universitária da UFMG 2013 Disponível em httpsregijsgithubio Acesso em 08 de setembro de 2021