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Sistemas de Informação ·
Cálculo 1
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2 Funções Funções Uma função 𝑓 é uma terna 𝑋 𝑌 𝑥 𝑦 em que 𝑋 e 𝑌 são dois conjuntos e 𝑥 𝑦 é uma regra que associa a cada elemento 𝑥 de 𝑋 um único 𝑦 de 𝑌 Uma função pode ser indicada por O conjunto 𝑋 é chamado domínio da função 𝑓 e será denotado por 𝐷 𝑓 ou 𝐷𝑓 O conjunto 𝑌 é chamado contradomínio da função 𝑓 O conjunto 𝐼𝑚 𝑓 𝑓 𝑥 𝑥 𝑋 𝑌 é chamado de conjunto imagem da função 𝑓 O elemento 𝑓𝑥 𝑌 é chamado de imagem do elemento 𝑥 𝑋 pela função 𝑓 É comum chamar 𝑥 de variável independente e 𝑦 de variável dependente da função 𝑓 43 𝑓 𝑋 𝑌 𝑦 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 𝑓 𝑋 𝑌 ou 𝑋 𝑌 𝐼𝑚𝑓 Exemplo Sejam 𝑋 1 0 1 2 e 𝑌 2 1 0 1 2 3 Estabeleça se 𝑓 𝑋 𝑌 é uma função ou não 44 𝑓 não é uma função pois o elemento 2 𝑋 não está associado a nenhum elemento de 𝑌 𝑓 não é uma função pois o elemento 1 𝑋 está associado com dois elementos de 𝑌 𝑓 é uma função 𝑓 é uma função 𝑋 𝑌 𝑓 𝑋 𝑌 𝑓 𝑋 𝑌 𝑓 𝑋 𝑌 𝑓 Função de uma variável real a valores reais Uma função de uma variável real a valores reais é uma função 𝑓 𝑋 𝑌 em que 𝑋 e 𝑌 são subconjuntos de ℝ 45 Nesta disciplina só trabalharemos com funções de uma variável real a valores reais Gráfico de uma função Seja 𝑓 𝑋 𝑌 uma função O conjunto 𝐺𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑋 ℝ2 é chamado de gráfico da função 𝑓 O gráfico de 𝑓 é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados 𝑥 𝑦 de números reais Munindose o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas o gráfico de f pode então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto 𝑥 𝑓𝑥 quando 𝑥 percorre o domínio de 𝑓 Observações 1 Nem toda curva no plano coordenado é gráfico de uma função Uma função 𝑓 pode possuir apenas um valor 𝑓𝑥 para cada 𝑥 em seu domínio de modo que nenhuma reta vertical pode ter uma intersecção com o gráfico de uma função mais de uma vez 46 Observações 2 Dado o gráfico de uma função 𝑓 temos que Domínio de 𝒇 é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de 𝑓 Imagem de 𝒇 é o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de 𝑓 47 Exemplo Os seguintes gráficos representam funções Determine o domínio e o conjunto imagem de cada uma delas 48 𝐷 𝑓 𝑥 ℝ 2 𝑥 1 21 𝐼𝑚 𝑓 𝑦 ℝ 0 𝑦 4 04 𝐷 𝑔 𝑥 ℝ 2 𝑥 3 23 𝐼𝑚 𝑔 𝑦 ℝ 1 𝑦 4 14 𝑔 𝑓 a b 49 𝐷 ℎ 𝑥 ℝ 𝑥 0 0 0 𝐼𝑚 ℎ 𝑦 ℝ 2 𝑦 0 ou 1 𝑦 2 𝐷 𝑠 𝑥 ℝ 2 𝑥 2 2 2 𝐼𝑚 𝑠 1 2 ℎ 2 0 1 2 𝑠 c d Observação Por simplificação deixaremos muitas vezes de explicitar o domínio e o contradomínio de uma função quando tal ocorrer ficará implícito que o contradomínio é ℝ e o domínio é o maior subconjunto de ℝ para o qual faz sentido a regra da função Exemplo Determine o domínio das seguintes funções 50 a 𝑓 𝑥 2𝑥 5 Essa regra é válida para qualquer número real logo 𝐷𝑓 ℝ b 𝑓 𝑥 𝑥2 2𝑥 3 Essa regra é válida para qualquer número real logo 𝐷𝑓 ℝ c 𝑓 𝑥 𝑥 2 Essa regra é válida quando 𝑥 2 0 𝑥 2 Logo 𝐷 𝑓 𝑥 ℝ 𝑥 2 2 d 𝑓 𝑥 1 𝑥5 Essa regra é válida quando 𝑥 5 0 ou seja 𝑥 5 Logo 𝐷 𝑓 𝑥 ℝ 𝑥 5 ℝ 5 e 𝑓 𝑥 1 𝑥24 Essa regra é válida para qualquer número real uma vez que o denominador nunca se anula Logo 𝐷𝑓 ℝ f 𝑓 𝑥 3 𝑥8 3𝑥 1 Essa regra é válida para qualquer número real logo 𝐷𝑓 ℝ Análise de Gráficos Analisando o gráfico de uma função podemos obter informações importantes a respeito do seu comportamento 1 Estudo do sinal de uma função Seja 𝑦 𝑓𝑥 uma função de variável real Estudar o sinal de 𝑓 significa determinar os valores de 𝑥 para os quais 𝑦 é positivo os valores de 𝑥 para os quais 𝑦 é zero e os valores de 𝑥 para os quais 𝑦 é negativo Temos que Os pontos de intersecção do gráfico com o eixo 𝑥 apresentam ordenadas 𝑦 0 ou seja suas abscissas 𝑥0 são tais que 𝑓 𝑥0 0 Essas abscissas são os zeros ou raízes da função Os pontos do gráfico situados acima do eixo 𝑥 apresentam ordenadas 𝑦 0 ou seja suas abscissas 𝑥0 são tais que 𝑓 𝑥0 0 Nesses pontos dizemos que a função dada é positiva Os pontos do gráfico situados abaixo do eixo 𝑥 apresentam ordenadas 𝑦 0 ou seja suas abscissas 𝑥0 são tais que 𝑓 𝑥0 0 Nesses pontos dizemos que a função dada é negativa 51 Exemplo Seja 𝑓 uma função de uma variável real cujo gráfico é dado abaixo Temos que 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 e 𝑒 são raízes de 𝑓 𝑓 é positiva nos intervalos 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 e 𝑒 𝑓 é negativa nos intervalos 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑑 𝑒 52 2 Crescimento e decrescimento de uma função Seja 𝑦 𝑓𝑥 uma função de uma variável real a valores reais e seja 𝑋 um subconjunto do domínio de 𝑓 Se para quaisquer 𝑥1 𝑥2 𝑋 com 𝑥1 𝑥2 temse 𝑓 𝑥1 𝑓𝑥2 dizemos que 𝑓 é crescente em 𝑿 Se para quaisquer 𝑥1 𝑥2 𝐴 com 𝑥1 𝑥2 temse 𝑓 𝑥1 𝑓𝑥2 dizemos que 𝑓 é decrescente em 𝑿 53 Exemplo Seja 𝑓 uma função cujo gráfico é dado a seguir Temos que 𝑓 é crescente nos intervalos 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑑 𝑒 𝑓 é decrescente nos intervalos 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 e 𝑒 Exemplo O gráfico ao lado representa uma função 𝑓 de uma variável real Determine a os valores de 𝑓 3 𝑓0 e 𝑓 1 b as raízes de 𝑓 c os intervalos em que 𝑓 é crescente d os intervalos em que 𝑓 é decrescente e os intervalos em que 𝑓 é positiva f os intervalos em que 𝑓 é negativa 54 Solução a Temos que 𝑓 3 2 𝑓 0 0 e 𝑓 1 1 b As raízes de 𝑓 são 5 0 e 2 c Intervalos em que 𝑓 é crescente 3 e 1 d Intervalo em que 𝑓 é decrescente 3 1 e Intervalos em que 𝑓 é positiva 5 0 e 2 f Intervalos em que 𝑓 é negativa 5 e 0 2 3 Funções Pares e Funções Ímpares Seja 𝑓 𝑋 ℝ ℝ uma função Dizemos que 𝑓 é par quando 𝑓 𝑥 𝑓𝑥 para todo 𝑥 𝑋 Dizemos que 𝑓 é ímpar quando 𝑓 𝑥 𝑓𝑥 para todo 𝑥 𝑋 O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas eixo 𝑦 O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema de coordenadas 55 56 Exemplos 2 A função 𝑓 ℝ ℝ dada por 𝑓 𝑥 𝑥3 é ímpar pois 𝑓 𝑥 𝑥 3 𝑥3 𝑓𝑥 para todo 𝑥 ℝ 3 A função 𝑓 ℝ ℝ dada por 𝑓 𝑥 𝑥2 𝑥 não é par nem ímpar Por exemplo observe que 𝑓 1 2 e 𝑓 1 0 logo 𝑓 1 𝑓1 e 𝑓 1 𝑓1 1 A função 𝑓 ℝ ℝ dada por 𝑓 𝑥 𝑥2 é par pois 𝑓 𝑥 𝑥 2 𝑥2 𝑓𝑥 para todo 𝑥 ℝ Exercícios 1 Determine o domínio das seguintes funções a 𝑓 𝑥 3𝑥5 4𝑥3 2 b 𝑔 𝑥 𝑥1 𝑥24 c ℎ 𝑥 𝑥 1 d 𝑝 𝑥 1 𝑥1 e 𝑟 𝑥 𝑥2 𝑥2 f 𝑠 𝑡 1 3 2𝑡3 57 2 Determine o domínio e a imagem das funções cujos gráficos são dados a seguir a b c 58 3 Considere a função 𝑓 ℝ ℝ definida por 𝑓 𝑥 𝑥2 𝑥21 Calcule a 𝑓0 b 𝑓1 c 𝑓1 d 𝑓2𝑥 e 𝑓𝑥2 1 4 Seja a função 𝑓 ℝ 1 ℝ definida por 𝑓 𝑥 3𝑥2 𝑥1 Qual é o elemento do domínio que tem imagem 2 5 É dada uma função real tal que 1 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑓𝑦 2 𝑓 1 2 3 𝑓 2 4 Calcule 𝑓3 2 6 Diga se a função é par ímpar ou nenhuma delas a 𝑓 𝑥 𝑥2 1 b 𝑓 𝑥 𝑥3 𝑥 c 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥21 d ℎ 𝑡 𝑡3 Função Composta Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções tais que 𝐼𝑚 𝑓 𝐷𝑔 A função composta de 𝒈 e 𝒇 é definida por 59 Observações 1 A função composta de 𝑔 com 𝑓 está definida apenas quando o conjunto imagem de 𝑓 está contido no domínio de 𝑔 2 Note que 𝑔 𝑓 possui o mesmo domínio que 𝑓 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 com 𝑥 𝐷𝑓 Exemplos 60 1 Sejam 𝑓 ℝ ℝ dada por 𝑓 𝑥 𝑥 e 𝑔 ℝ ℝ definida por 𝑔 𝑥 2𝑥 1 Temos que 𝐼𝑚 𝑓 ℝ 𝐷𝑔 ℝ Logo 𝐼𝑚 𝑓 𝐷𝑔 e podemos obter a função composta 𝑔 𝑓 ℝ ℝ dada por 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 2𝑓 𝑥 1 2 𝑥 1 Por outro lado temos que 𝐼𝑚 𝑔 ℝ não está contida em 𝐷𝑓 ℝ logo 𝑓 𝑔 não está definida 2 Sejam 𝑓 𝑔 ℝ ℝ dadas por 𝑓 𝑥 𝑥 1 e 𝑔 𝑥 𝑥2 Neste caso 𝐼𝑚𝑓 ℝ está contida no 𝐷𝑔 ℝ e também 𝐼𝑚 𝑔 ℝ está contida no 𝐷𝑓 ℝ Logo podemos calcular 𝑔 𝑓 e 𝑓 𝑔 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 2 𝑥 1 2 𝑥2 2𝑥 1 𝑓 𝑔 𝑥 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 1 𝑥2 1 Exercícios 61 1 Verifique que 𝐼𝑚 𝑓 𝐷𝑔 e determine a composta 𝑔 𝑓 sendo a 𝑓 𝑥 𝑥 2 e 𝑔 𝑥 3𝑥 1 b 𝑓 𝑥 𝑥2 2 e 𝑔 𝑥 𝑥 Solução a Temos que 𝐼𝑚 𝑓 ℝ e 𝐷𝑔 ℝ Logo 𝐼𝑚 𝑓 𝐷𝑔 e 𝑔 𝑓 ℝ ℝ é dada por 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 3𝑓 𝑥 1 3 𝑥 2 1 3𝑥 7 b Neste caso temos que 𝐼𝑚 𝑓 2 e 𝐷𝑔 0 Logo 𝐼𝑚 𝑓 𝐷𝑔 e 𝑔 𝑓 ℝ ℝ é dada por 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥2 2 62 2 Sejam 𝑓 𝑔 ℝ ℝ definidas por 𝑓 𝑥 𝑥2 4𝑥 5 e 𝑔 𝑥 2𝑥 3 a Obtenha as leis que definem 𝑓 𝑔 e 𝑔 𝑓 b Calcule 𝑓 𝑔2 e 𝑔 𝑓2 c Determine os valores do domínio da função 𝑓 𝑔 que produzem imagem 16 Solução a Temos que 𝑓 𝑔 𝑥 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 2 4𝑔 𝑥 5 2𝑥 3 2 4 2𝑥 3 5 4𝑥2 12𝑥 9 8𝑥 12 5 4𝑥2 4𝑥 8 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 2𝑓 𝑥 3 2 𝑥2 4𝑥 5 3 2𝑥2 8𝑥 10 3 2𝑥2 8𝑥 13 b 𝑓 𝑔 2 4 22 4 2 8 16 8 8 0 𝑔 𝑓 2 2 22 8 2 13 8 16 13 11 63 Solução c Queremos obter os valores de 𝑥 tais que 𝑓 𝑔 𝑥 16 ou seja Temos que 𝑏2 4𝑎𝑐 1 2 41 6 25 logo 𝑥 𝑏 2𝑎 1 5 2 isto é 𝑥1 3 ou 𝑥2 2 4𝑥2 4𝑥 8 16 4𝑥2 4𝑥 24 0 𝑥2 𝑥 6 0 4 64 3 Determine o maior conjunto domínio 𝐷𝑓 de modo que 𝐼𝑚𝑓 𝐷𝑔 em seguida determine a função composta 𝑔 𝑓 sendo 𝑓 𝑥 𝑥 3 e 𝑔 𝑥 2 𝑥2 1ª Solução Como 𝑔 𝑥 2 𝑥2 então 𝐷𝑔 𝑥 ℝ 𝑥 2 ℝ 2 Para que 𝐼𝑚𝑓 𝐷𝑔 então 2 𝐼𝑚𝑓 Assim devemos retirar do domínio de 𝑓 os valores de 𝑥 tais que 𝑓 𝑥 2 Veja que 𝑓 𝑥 2 𝑥 3 2 𝑥 5 Logo o domínio de 𝑓 deve ser igual a 𝐷𝑓 𝑥 ℝ 𝑥 5 ℝ 5 Neste caso temos que a imagem de 𝑓 é 𝐼𝑚 𝑓 ℝ 2 e portanto 𝐼𝑚 𝑓 𝐷𝑔 A composta de 𝑔 com 𝑓 é a função 𝑔 𝑓 ℝ 5 ℝ dada por 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 2 𝑓 𝑥 2 2 𝑥32 2 𝑥5 65 2ª Solução Observe que o maior conjunto 𝐷𝑓 possível satisfazendo a condição desejada deve ser igual ao conjunto para o qual a função composta de 𝑔 com 𝑓 existe e neste caso temos que 𝐷𝑓 𝐷𝑔𝑓 Calculando 𝑔 𝑓 obtemos 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 2 𝑓 𝑥 2 2 𝑥32 2 𝑥5 cujo domínio é 𝐷𝑔𝑓 ℝ 5 Portanto 𝐷𝑓 ℝ 5 4 Considere o gráfico da função 𝑓 0 6 ℝ representado a seguir 66 Com base nesse gráfico marque para as alternativas a seguir V Verdadeira ou F Falsa e justifique as falsas 𝑓 é decrescente no intervalo 2 6 O conjunto dos números 𝑥 0 6 tais que 𝑓 𝑥 0 é o intervalo 4 6 𝑓 𝑓 𝑓 2 2 O número real 1 2 pertence ao conjunto imagem da função 𝑓 F Temos que 𝑓 𝑓 𝑓 2 𝑓 𝑓 𝑓 2 𝑓 𝑓 4 𝑓 𝑓 4 𝑓 0 2 V 𝑓 é negativa em 4 6 Temos que 𝑓 é decrescente no intervalo 2 5 V V Exercícios 67 1 Considere as funções reais 𝑓 e 𝑔 definidas por 𝑓 𝑥 𝑥2 2 e 𝑔 𝑥 𝑥 3 obtenha as leis que definem a 𝑓 𝑔 b 𝑔 𝑓 c 𝑓 𝑓 d 𝑔 𝑔 2 Dadas as funções reais definidas por 𝑓 𝑥 3𝑥 2 e 𝑔 𝑥 2𝑥 𝑎 determine o valor de 𝑎 de modo que se tenha 𝑓 𝑔 𝑔 𝑓 3 Sejam as funções reais 𝑓 𝑥 2𝑥 7 e 𝑓 𝑔 𝑥 𝑥2 2𝑥 3 Determine a lei da função 𝑔 4 Sejam as funções reais 𝑔 𝑥 2𝑥 3 e 𝑓 𝑔 𝑥 2𝑥2 4𝑥 1 Determine a lei da função 𝑓 Propriedades de uma Função Função Injetiva ou Injetora Uma função 𝑓 𝑋 𝑌 é injetiva ou injetora quando elementos diferentes de 𝑋 são transformados por 𝑓 em elementos diferentes de 𝑌 ou seja não há elemento em 𝑌 que seja imagem de mais de um elemento de 𝑋 Matematicamente 𝑥1 𝑥2 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 ou equivalentemente 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 𝑥1 𝑥2 68 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 Não há elemento em 𝑌 que seja imagem de mais de um elemento de 𝑋 Há um elemento em 𝑌 que é imagem de dois elementos distintos de 𝑋 Observação Podemos verificar se uma função é injetiva olhando seu gráfico Sabemos que se a função é injetiva não há elemento do conjunto imagem que seja imagem de mais de um elemento do domínio Assim imaginando retas horizontais cortando o gráfico essas retas só podem cruzar o gráfico uma única vez para cada valor de 𝑦 69 Função Sobrejetiva ou Sobrejetora Uma função 𝑓 𝑋 𝑌 é sobrejetiva ou sobrejetora quando para qualquer elemento 𝑦 𝑌 podese encontrar um elemento 𝑥 𝑋 tal que 𝑓 𝑥 𝑦 Ou seja 𝑓 é sobrejetiva quando todo elemento de 𝑌 é imagem de pelo menos um elemento de 𝑋 isto é quando 𝐼𝑚 𝑓 𝑌 70 função sobrejetiva 𝐼𝑚 𝑓 𝑌 Há elementos em 𝑌 sem correspondência em 𝑋 Logo 𝐼𝑚 𝑓 𝑌 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑋 𝑌 função sobrejetiva 𝐼𝑚 𝑓 𝑌 função não sobrejetiva Função Bijetiva ou Bijetora Uma função 𝑓 𝑋 𝑌 é bijetiva ou bijetora quando 𝑓 é simultaneamente injetiva e sobrejetiva Quando isso ocorre dizemos que há uma bijeção ou uma correspondência biunívoca entre os conjuntos 𝑋 e 𝑌 71 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 Exemplos 72 1 Prove que a função 𝑓 ℝ ℝ definida por 𝑓 𝑥 3𝑥 2 é bijetora Solução i 𝑓 é injetora Dados 𝑥1 𝑥2 𝐷𝑓 ℝ temos que 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 3𝑥1 2 3𝑥2 2 3𝑥1 3𝑥2 𝑥1 𝑥2 ou seja 𝑓 é injetora ii 𝑓 é sobrejetora Vamos mostrar que qualquer que seja 𝑦 𝐶𝐷𝑓 ℝ existe 𝑥 𝐷𝑓 ℝ tal que 𝑓𝑥 𝑦 Isolando 𝑥 na expressão da função obtemos 𝑦 3𝑥 2 3𝑥 𝑦 2 𝑥 𝑦2 3 Desse modo basta tomarmos 𝑥 𝑦2 3 que teremos 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦2 3 3 𝑦2 3 2 𝑦 2 2 𝑦 Logo 𝑓 é sobrejetora 73 2 Considere a função 𝑓 ℕ ℕ dada por 𝑓𝑛 𝑛2 a Mostre que 𝑓 é injetora b Mostre que 𝑓 não é sobrejetora Solução a A função 𝑓 é injetora De fato sejam 𝑛1 𝑛2 ℕ tal que 𝑓 𝑛1 𝑓 𝑛2 𝑛1 2 𝑛2 2 𝑛1 2 𝑛2 2 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 pois 𝑛1 𝑛2 0 b A função 𝑓 não é sobrejetora pois por exemplo 2 𝐶𝐷𝑓 ℕ e não é quadrado de nenhum número natural isto é não existe 𝑛 𝐷𝑓 ℕ tal que 𝑓 𝑛 2 Logo a imagem de 𝑓 é diferente do seu contradomínio 3 Determine se as funções a seguir são injetoras sobrejetoras bijetoras ou nenhuma delas 74 a 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑥3 Sejam 𝑥1 𝑥2 𝐷𝑓 ℝ temos que 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 𝑥1 3 𝑥2 3 3 𝑥1 3 3 𝑥2 3 𝑥1 𝑥2 Logo 𝑓 é injetora Qualquer que seja 𝑦 𝐶𝐷𝑓 ℝ existe 𝑥 𝐷𝑓 ℝ tal que 𝑓 𝑥 𝑦 Basta tomar 𝑥 3 𝑦 que teremos 𝑓 𝑥 𝑓 3 𝑦 3 𝑦 3 𝑦 Logo 𝐼𝑚 𝑓 ℝ e portanto 𝑓 é sobrejetora Como 𝑓 é injetora e sobrejetora então ela é bijetora 75 b 𝑔 ℝ ℝ 𝑔 𝑥 𝑥 Veja que 𝑔 não é injetora por exemplo 3 3 ℝ e 𝑔 3 𝑔 3 3 ou seja elementos distintos possuem a mesma imagem 𝑔 não é sobrejetora uma vez que a 𝐼𝑚 𝑔 ℝ é diferente do contradomínio de 𝑔 𝐶𝐷𝑔 ℝ Logo 𝑔 também não é bijetora c ℎ ℝ ℝ ℎ 𝑥 𝑥 Veja que a função ℎ possui a mesma lei da função 𝑔 do item anterior diferenciando apenas no contradomínio que agora é dado por ℝ Como no item anterior ℎ não é injetora No entanto agora 𝐼𝑚 ℎ ℝ coincide com o seu contradomínio Logo ℎ é sobrejetora Por fim ℎ não é bijetora Exercícios 1 Analisando os gráficos a seguir verifique se as funções são injetoras sobrejetoras bijetoras ou nenhuma delas 76 77 2 Determine se as funções a seguir são injetoras sobrejetoras bijetoras ou nenhuma delas a 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 3𝑥 1 b 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 1 𝑥2 c 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑥 1 d 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 1 𝑥 3 Determine o valor de 𝑏 em 𝐵 𝑦 ℝ 𝑦 𝑏 de modo que a função 𝑓 de ℝ em 𝐵 definida por 𝑓 𝑥 𝑥2 4 seja sobrejetora Função Inversa 78 A função 𝑔 é chamada de inversa da função 𝑓 e indicada por 𝑔 𝑓1 Neste caso dizemos que 𝑓 é invertível e temos que 𝑓 𝑎 𝑏 𝑓1 𝑏 𝑎 Seja 𝑓 𝐴 ℝ 𝐵 ℝ uma função bijetora Então podemos definir a função 𝑔 𝐵 𝐴 tal que 𝑓 𝑎 𝑏 𝑔 𝑏 𝑎 Observações 1 𝐷 𝑓1 𝐵 𝐼𝑚𝑓 e 𝐼𝑚 𝑓1 𝐴 𝐷𝑓 2 𝑥 𝑦 𝑓 𝑦 𝑥 𝑓1 3 𝑓1 1 𝑓 Propriedade dos Gráficos de Funções Invertíveis O gráfico de uma função 𝑓 𝐴 𝐵 invertível e o gráfico de sua inversa 𝑓1 𝐵 𝐴 com 𝐴 𝐵 ℝ são simétricos em relação ao gráfico da função 𝑦 𝑥 bissetriz dos quadrantes ímpares 79 𝑦 𝑥 Determinação da Função Inversa Dada a função bijetora 𝑓 𝐴 𝐵 definida pela sentença 𝑦 𝑓𝑥 para obtermos a expressão que define sua inversa 𝑓1 𝐵 𝐴 procedemos do seguinte modo 𝐈 Isole o 𝑥 na lei da função 𝑓 𝐈𝐈 Troque as variáveis de lugar isto é troque o 𝑥 pelo 𝑦 e 𝑦 por 𝑥 80 Exemplo Determine a função inversa das seguintes funções bijetoras a 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 2𝑥 4 I Isolando 𝑥 na expressão da função 𝑦 2𝑥 4 2𝑥 𝑦 4 𝑥 𝑦 4 2 II Trocando 𝑥 e 𝑦 de lugar 𝑦 𝑥 4 2 Logo a função inversa de 𝑓 é dada por 𝑓1 𝑥 𝑥4 2 81 b 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑥3 I Isolando 𝑥 na expressão da função 𝑦 𝑥3 3 𝑦 3 𝑥3 3 𝑦 𝑥 𝑥 3 𝑦 II Trocando 𝑥 e 𝑦 de lugar 𝑦 3 𝑥 Logo a função inversa de 𝑓 é dada por 𝑓1 𝑥 3 𝑥 Propriedades de Funções Invertíveis 82 1 Composta de funções inversas entre si Seja 𝑓 𝐴 𝐵 uma função invertível Se 𝑓1 é a inversa de 𝑓 então 𝑓1 𝑓 𝑎 𝑓1 𝑓 𝑎 𝑓1 𝑏 𝑎 𝐼𝑑 𝑎 𝑎 𝐴 𝑓 𝑓1 𝑏 𝑓 𝑓1 𝑏 𝑓 𝑎 𝑏 𝐼𝑑 𝑏 𝑏 𝐵 sendo 𝐼𝑑 ℝ ℝ a função identidade dada por 𝐼𝑑 𝑥 𝑥 cujo gráfico é a reta bissetriz dos quadrantes ímpares 2 A inversa da composta Sejam 𝑓 𝐴 𝐵 e 𝑔 𝐵 𝐶 funções invertíveis Então 𝑔 𝑓 1 𝑓1 𝑔1 Exercícios 83 1 Prove que cada função abaixo é bijetora e obtenha a sua inversa a 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 2𝑥 5 b 𝑔 ℝ ℝ 𝑔 𝑥 3 𝑥 1 c ℎ ℝ 4 ℝ 1 ℎ 𝑥 𝑥1 𝑥4 2 Considere a função bijetora 𝑓 ℝ ℝ 4 𝑓 𝑥 4𝑥2 𝑥 Qual é a função inversa de 𝑓 3 Construa num mesmo plano cartesiano os gráficos de 𝑓 e 𝑓1 a 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 2𝑥 1 b 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 1 𝑥 4 Dadas as funções 𝑓 e 𝑔 determine a função inversa de 𝑔 𝑓 a 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 4𝑥 1 e 𝑔 ℝ ℝ 𝑔 𝑥 3𝑥 5 b 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑥3 e 𝑔 ℝ ℝ 𝑔 𝑥 2𝑥 3
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2 Funções Funções Uma função 𝑓 é uma terna 𝑋 𝑌 𝑥 𝑦 em que 𝑋 e 𝑌 são dois conjuntos e 𝑥 𝑦 é uma regra que associa a cada elemento 𝑥 de 𝑋 um único 𝑦 de 𝑌 Uma função pode ser indicada por O conjunto 𝑋 é chamado domínio da função 𝑓 e será denotado por 𝐷 𝑓 ou 𝐷𝑓 O conjunto 𝑌 é chamado contradomínio da função 𝑓 O conjunto 𝐼𝑚 𝑓 𝑓 𝑥 𝑥 𝑋 𝑌 é chamado de conjunto imagem da função 𝑓 O elemento 𝑓𝑥 𝑌 é chamado de imagem do elemento 𝑥 𝑋 pela função 𝑓 É comum chamar 𝑥 de variável independente e 𝑦 de variável dependente da função 𝑓 43 𝑓 𝑋 𝑌 𝑦 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 𝑓 𝑋 𝑌 ou 𝑋 𝑌 𝐼𝑚𝑓 Exemplo Sejam 𝑋 1 0 1 2 e 𝑌 2 1 0 1 2 3 Estabeleça se 𝑓 𝑋 𝑌 é uma função ou não 44 𝑓 não é uma função pois o elemento 2 𝑋 não está associado a nenhum elemento de 𝑌 𝑓 não é uma função pois o elemento 1 𝑋 está associado com dois elementos de 𝑌 𝑓 é uma função 𝑓 é uma função 𝑋 𝑌 𝑓 𝑋 𝑌 𝑓 𝑋 𝑌 𝑓 𝑋 𝑌 𝑓 Função de uma variável real a valores reais Uma função de uma variável real a valores reais é uma função 𝑓 𝑋 𝑌 em que 𝑋 e 𝑌 são subconjuntos de ℝ 45 Nesta disciplina só trabalharemos com funções de uma variável real a valores reais Gráfico de uma função Seja 𝑓 𝑋 𝑌 uma função O conjunto 𝐺𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑋 ℝ2 é chamado de gráfico da função 𝑓 O gráfico de 𝑓 é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados 𝑥 𝑦 de números reais Munindose o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas o gráfico de f pode então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto 𝑥 𝑓𝑥 quando 𝑥 percorre o domínio de 𝑓 Observações 1 Nem toda curva no plano coordenado é gráfico de uma função Uma função 𝑓 pode possuir apenas um valor 𝑓𝑥 para cada 𝑥 em seu domínio de modo que nenhuma reta vertical pode ter uma intersecção com o gráfico de uma função mais de uma vez 46 Observações 2 Dado o gráfico de uma função 𝑓 temos que Domínio de 𝒇 é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de 𝑓 Imagem de 𝒇 é o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de 𝑓 47 Exemplo Os seguintes gráficos representam funções Determine o domínio e o conjunto imagem de cada uma delas 48 𝐷 𝑓 𝑥 ℝ 2 𝑥 1 21 𝐼𝑚 𝑓 𝑦 ℝ 0 𝑦 4 04 𝐷 𝑔 𝑥 ℝ 2 𝑥 3 23 𝐼𝑚 𝑔 𝑦 ℝ 1 𝑦 4 14 𝑔 𝑓 a b 49 𝐷 ℎ 𝑥 ℝ 𝑥 0 0 0 𝐼𝑚 ℎ 𝑦 ℝ 2 𝑦 0 ou 1 𝑦 2 𝐷 𝑠 𝑥 ℝ 2 𝑥 2 2 2 𝐼𝑚 𝑠 1 2 ℎ 2 0 1 2 𝑠 c d Observação Por simplificação deixaremos muitas vezes de explicitar o domínio e o contradomínio de uma função quando tal ocorrer ficará implícito que o contradomínio é ℝ e o domínio é o maior subconjunto de ℝ para o qual faz sentido a regra da função Exemplo Determine o domínio das seguintes funções 50 a 𝑓 𝑥 2𝑥 5 Essa regra é válida para qualquer número real logo 𝐷𝑓 ℝ b 𝑓 𝑥 𝑥2 2𝑥 3 Essa regra é válida para qualquer número real logo 𝐷𝑓 ℝ c 𝑓 𝑥 𝑥 2 Essa regra é válida quando 𝑥 2 0 𝑥 2 Logo 𝐷 𝑓 𝑥 ℝ 𝑥 2 2 d 𝑓 𝑥 1 𝑥5 Essa regra é válida quando 𝑥 5 0 ou seja 𝑥 5 Logo 𝐷 𝑓 𝑥 ℝ 𝑥 5 ℝ 5 e 𝑓 𝑥 1 𝑥24 Essa regra é válida para qualquer número real uma vez que o denominador nunca se anula Logo 𝐷𝑓 ℝ f 𝑓 𝑥 3 𝑥8 3𝑥 1 Essa regra é válida para qualquer número real logo 𝐷𝑓 ℝ Análise de Gráficos Analisando o gráfico de uma função podemos obter informações importantes a respeito do seu comportamento 1 Estudo do sinal de uma função Seja 𝑦 𝑓𝑥 uma função de variável real Estudar o sinal de 𝑓 significa determinar os valores de 𝑥 para os quais 𝑦 é positivo os valores de 𝑥 para os quais 𝑦 é zero e os valores de 𝑥 para os quais 𝑦 é negativo Temos que Os pontos de intersecção do gráfico com o eixo 𝑥 apresentam ordenadas 𝑦 0 ou seja suas abscissas 𝑥0 são tais que 𝑓 𝑥0 0 Essas abscissas são os zeros ou raízes da função Os pontos do gráfico situados acima do eixo 𝑥 apresentam ordenadas 𝑦 0 ou seja suas abscissas 𝑥0 são tais que 𝑓 𝑥0 0 Nesses pontos dizemos que a função dada é positiva Os pontos do gráfico situados abaixo do eixo 𝑥 apresentam ordenadas 𝑦 0 ou seja suas abscissas 𝑥0 são tais que 𝑓 𝑥0 0 Nesses pontos dizemos que a função dada é negativa 51 Exemplo Seja 𝑓 uma função de uma variável real cujo gráfico é dado abaixo Temos que 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 e 𝑒 são raízes de 𝑓 𝑓 é positiva nos intervalos 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 e 𝑒 𝑓 é negativa nos intervalos 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑑 𝑒 52 2 Crescimento e decrescimento de uma função Seja 𝑦 𝑓𝑥 uma função de uma variável real a valores reais e seja 𝑋 um subconjunto do domínio de 𝑓 Se para quaisquer 𝑥1 𝑥2 𝑋 com 𝑥1 𝑥2 temse 𝑓 𝑥1 𝑓𝑥2 dizemos que 𝑓 é crescente em 𝑿 Se para quaisquer 𝑥1 𝑥2 𝐴 com 𝑥1 𝑥2 temse 𝑓 𝑥1 𝑓𝑥2 dizemos que 𝑓 é decrescente em 𝑿 53 Exemplo Seja 𝑓 uma função cujo gráfico é dado a seguir Temos que 𝑓 é crescente nos intervalos 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑑 𝑒 𝑓 é decrescente nos intervalos 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 e 𝑒 Exemplo O gráfico ao lado representa uma função 𝑓 de uma variável real Determine a os valores de 𝑓 3 𝑓0 e 𝑓 1 b as raízes de 𝑓 c os intervalos em que 𝑓 é crescente d os intervalos em que 𝑓 é decrescente e os intervalos em que 𝑓 é positiva f os intervalos em que 𝑓 é negativa 54 Solução a Temos que 𝑓 3 2 𝑓 0 0 e 𝑓 1 1 b As raízes de 𝑓 são 5 0 e 2 c Intervalos em que 𝑓 é crescente 3 e 1 d Intervalo em que 𝑓 é decrescente 3 1 e Intervalos em que 𝑓 é positiva 5 0 e 2 f Intervalos em que 𝑓 é negativa 5 e 0 2 3 Funções Pares e Funções Ímpares Seja 𝑓 𝑋 ℝ ℝ uma função Dizemos que 𝑓 é par quando 𝑓 𝑥 𝑓𝑥 para todo 𝑥 𝑋 Dizemos que 𝑓 é ímpar quando 𝑓 𝑥 𝑓𝑥 para todo 𝑥 𝑋 O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas eixo 𝑦 O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema de coordenadas 55 56 Exemplos 2 A função 𝑓 ℝ ℝ dada por 𝑓 𝑥 𝑥3 é ímpar pois 𝑓 𝑥 𝑥 3 𝑥3 𝑓𝑥 para todo 𝑥 ℝ 3 A função 𝑓 ℝ ℝ dada por 𝑓 𝑥 𝑥2 𝑥 não é par nem ímpar Por exemplo observe que 𝑓 1 2 e 𝑓 1 0 logo 𝑓 1 𝑓1 e 𝑓 1 𝑓1 1 A função 𝑓 ℝ ℝ dada por 𝑓 𝑥 𝑥2 é par pois 𝑓 𝑥 𝑥 2 𝑥2 𝑓𝑥 para todo 𝑥 ℝ Exercícios 1 Determine o domínio das seguintes funções a 𝑓 𝑥 3𝑥5 4𝑥3 2 b 𝑔 𝑥 𝑥1 𝑥24 c ℎ 𝑥 𝑥 1 d 𝑝 𝑥 1 𝑥1 e 𝑟 𝑥 𝑥2 𝑥2 f 𝑠 𝑡 1 3 2𝑡3 57 2 Determine o domínio e a imagem das funções cujos gráficos são dados a seguir a b c 58 3 Considere a função 𝑓 ℝ ℝ definida por 𝑓 𝑥 𝑥2 𝑥21 Calcule a 𝑓0 b 𝑓1 c 𝑓1 d 𝑓2𝑥 e 𝑓𝑥2 1 4 Seja a função 𝑓 ℝ 1 ℝ definida por 𝑓 𝑥 3𝑥2 𝑥1 Qual é o elemento do domínio que tem imagem 2 5 É dada uma função real tal que 1 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑓𝑦 2 𝑓 1 2 3 𝑓 2 4 Calcule 𝑓3 2 6 Diga se a função é par ímpar ou nenhuma delas a 𝑓 𝑥 𝑥2 1 b 𝑓 𝑥 𝑥3 𝑥 c 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥21 d ℎ 𝑡 𝑡3 Função Composta Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções tais que 𝐼𝑚 𝑓 𝐷𝑔 A função composta de 𝒈 e 𝒇 é definida por 59 Observações 1 A função composta de 𝑔 com 𝑓 está definida apenas quando o conjunto imagem de 𝑓 está contido no domínio de 𝑔 2 Note que 𝑔 𝑓 possui o mesmo domínio que 𝑓 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 com 𝑥 𝐷𝑓 Exemplos 60 1 Sejam 𝑓 ℝ ℝ dada por 𝑓 𝑥 𝑥 e 𝑔 ℝ ℝ definida por 𝑔 𝑥 2𝑥 1 Temos que 𝐼𝑚 𝑓 ℝ 𝐷𝑔 ℝ Logo 𝐼𝑚 𝑓 𝐷𝑔 e podemos obter a função composta 𝑔 𝑓 ℝ ℝ dada por 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 2𝑓 𝑥 1 2 𝑥 1 Por outro lado temos que 𝐼𝑚 𝑔 ℝ não está contida em 𝐷𝑓 ℝ logo 𝑓 𝑔 não está definida 2 Sejam 𝑓 𝑔 ℝ ℝ dadas por 𝑓 𝑥 𝑥 1 e 𝑔 𝑥 𝑥2 Neste caso 𝐼𝑚𝑓 ℝ está contida no 𝐷𝑔 ℝ e também 𝐼𝑚 𝑔 ℝ está contida no 𝐷𝑓 ℝ Logo podemos calcular 𝑔 𝑓 e 𝑓 𝑔 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 2 𝑥 1 2 𝑥2 2𝑥 1 𝑓 𝑔 𝑥 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 1 𝑥2 1 Exercícios 61 1 Verifique que 𝐼𝑚 𝑓 𝐷𝑔 e determine a composta 𝑔 𝑓 sendo a 𝑓 𝑥 𝑥 2 e 𝑔 𝑥 3𝑥 1 b 𝑓 𝑥 𝑥2 2 e 𝑔 𝑥 𝑥 Solução a Temos que 𝐼𝑚 𝑓 ℝ e 𝐷𝑔 ℝ Logo 𝐼𝑚 𝑓 𝐷𝑔 e 𝑔 𝑓 ℝ ℝ é dada por 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 3𝑓 𝑥 1 3 𝑥 2 1 3𝑥 7 b Neste caso temos que 𝐼𝑚 𝑓 2 e 𝐷𝑔 0 Logo 𝐼𝑚 𝑓 𝐷𝑔 e 𝑔 𝑓 ℝ ℝ é dada por 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥2 2 62 2 Sejam 𝑓 𝑔 ℝ ℝ definidas por 𝑓 𝑥 𝑥2 4𝑥 5 e 𝑔 𝑥 2𝑥 3 a Obtenha as leis que definem 𝑓 𝑔 e 𝑔 𝑓 b Calcule 𝑓 𝑔2 e 𝑔 𝑓2 c Determine os valores do domínio da função 𝑓 𝑔 que produzem imagem 16 Solução a Temos que 𝑓 𝑔 𝑥 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 2 4𝑔 𝑥 5 2𝑥 3 2 4 2𝑥 3 5 4𝑥2 12𝑥 9 8𝑥 12 5 4𝑥2 4𝑥 8 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 2𝑓 𝑥 3 2 𝑥2 4𝑥 5 3 2𝑥2 8𝑥 10 3 2𝑥2 8𝑥 13 b 𝑓 𝑔 2 4 22 4 2 8 16 8 8 0 𝑔 𝑓 2 2 22 8 2 13 8 16 13 11 63 Solução c Queremos obter os valores de 𝑥 tais que 𝑓 𝑔 𝑥 16 ou seja Temos que 𝑏2 4𝑎𝑐 1 2 41 6 25 logo 𝑥 𝑏 2𝑎 1 5 2 isto é 𝑥1 3 ou 𝑥2 2 4𝑥2 4𝑥 8 16 4𝑥2 4𝑥 24 0 𝑥2 𝑥 6 0 4 64 3 Determine o maior conjunto domínio 𝐷𝑓 de modo que 𝐼𝑚𝑓 𝐷𝑔 em seguida determine a função composta 𝑔 𝑓 sendo 𝑓 𝑥 𝑥 3 e 𝑔 𝑥 2 𝑥2 1ª Solução Como 𝑔 𝑥 2 𝑥2 então 𝐷𝑔 𝑥 ℝ 𝑥 2 ℝ 2 Para que 𝐼𝑚𝑓 𝐷𝑔 então 2 𝐼𝑚𝑓 Assim devemos retirar do domínio de 𝑓 os valores de 𝑥 tais que 𝑓 𝑥 2 Veja que 𝑓 𝑥 2 𝑥 3 2 𝑥 5 Logo o domínio de 𝑓 deve ser igual a 𝐷𝑓 𝑥 ℝ 𝑥 5 ℝ 5 Neste caso temos que a imagem de 𝑓 é 𝐼𝑚 𝑓 ℝ 2 e portanto 𝐼𝑚 𝑓 𝐷𝑔 A composta de 𝑔 com 𝑓 é a função 𝑔 𝑓 ℝ 5 ℝ dada por 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 2 𝑓 𝑥 2 2 𝑥32 2 𝑥5 65 2ª Solução Observe que o maior conjunto 𝐷𝑓 possível satisfazendo a condição desejada deve ser igual ao conjunto para o qual a função composta de 𝑔 com 𝑓 existe e neste caso temos que 𝐷𝑓 𝐷𝑔𝑓 Calculando 𝑔 𝑓 obtemos 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥 2 𝑓 𝑥 2 2 𝑥32 2 𝑥5 cujo domínio é 𝐷𝑔𝑓 ℝ 5 Portanto 𝐷𝑓 ℝ 5 4 Considere o gráfico da função 𝑓 0 6 ℝ representado a seguir 66 Com base nesse gráfico marque para as alternativas a seguir V Verdadeira ou F Falsa e justifique as falsas 𝑓 é decrescente no intervalo 2 6 O conjunto dos números 𝑥 0 6 tais que 𝑓 𝑥 0 é o intervalo 4 6 𝑓 𝑓 𝑓 2 2 O número real 1 2 pertence ao conjunto imagem da função 𝑓 F Temos que 𝑓 𝑓 𝑓 2 𝑓 𝑓 𝑓 2 𝑓 𝑓 4 𝑓 𝑓 4 𝑓 0 2 V 𝑓 é negativa em 4 6 Temos que 𝑓 é decrescente no intervalo 2 5 V V Exercícios 67 1 Considere as funções reais 𝑓 e 𝑔 definidas por 𝑓 𝑥 𝑥2 2 e 𝑔 𝑥 𝑥 3 obtenha as leis que definem a 𝑓 𝑔 b 𝑔 𝑓 c 𝑓 𝑓 d 𝑔 𝑔 2 Dadas as funções reais definidas por 𝑓 𝑥 3𝑥 2 e 𝑔 𝑥 2𝑥 𝑎 determine o valor de 𝑎 de modo que se tenha 𝑓 𝑔 𝑔 𝑓 3 Sejam as funções reais 𝑓 𝑥 2𝑥 7 e 𝑓 𝑔 𝑥 𝑥2 2𝑥 3 Determine a lei da função 𝑔 4 Sejam as funções reais 𝑔 𝑥 2𝑥 3 e 𝑓 𝑔 𝑥 2𝑥2 4𝑥 1 Determine a lei da função 𝑓 Propriedades de uma Função Função Injetiva ou Injetora Uma função 𝑓 𝑋 𝑌 é injetiva ou injetora quando elementos diferentes de 𝑋 são transformados por 𝑓 em elementos diferentes de 𝑌 ou seja não há elemento em 𝑌 que seja imagem de mais de um elemento de 𝑋 Matematicamente 𝑥1 𝑥2 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 ou equivalentemente 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 𝑥1 𝑥2 68 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 Não há elemento em 𝑌 que seja imagem de mais de um elemento de 𝑋 Há um elemento em 𝑌 que é imagem de dois elementos distintos de 𝑋 Observação Podemos verificar se uma função é injetiva olhando seu gráfico Sabemos que se a função é injetiva não há elemento do conjunto imagem que seja imagem de mais de um elemento do domínio Assim imaginando retas horizontais cortando o gráfico essas retas só podem cruzar o gráfico uma única vez para cada valor de 𝑦 69 Função Sobrejetiva ou Sobrejetora Uma função 𝑓 𝑋 𝑌 é sobrejetiva ou sobrejetora quando para qualquer elemento 𝑦 𝑌 podese encontrar um elemento 𝑥 𝑋 tal que 𝑓 𝑥 𝑦 Ou seja 𝑓 é sobrejetiva quando todo elemento de 𝑌 é imagem de pelo menos um elemento de 𝑋 isto é quando 𝐼𝑚 𝑓 𝑌 70 função sobrejetiva 𝐼𝑚 𝑓 𝑌 Há elementos em 𝑌 sem correspondência em 𝑋 Logo 𝐼𝑚 𝑓 𝑌 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑋 𝑌 função sobrejetiva 𝐼𝑚 𝑓 𝑌 função não sobrejetiva Função Bijetiva ou Bijetora Uma função 𝑓 𝑋 𝑌 é bijetiva ou bijetora quando 𝑓 é simultaneamente injetiva e sobrejetiva Quando isso ocorre dizemos que há uma bijeção ou uma correspondência biunívoca entre os conjuntos 𝑋 e 𝑌 71 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 Exemplos 72 1 Prove que a função 𝑓 ℝ ℝ definida por 𝑓 𝑥 3𝑥 2 é bijetora Solução i 𝑓 é injetora Dados 𝑥1 𝑥2 𝐷𝑓 ℝ temos que 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 3𝑥1 2 3𝑥2 2 3𝑥1 3𝑥2 𝑥1 𝑥2 ou seja 𝑓 é injetora ii 𝑓 é sobrejetora Vamos mostrar que qualquer que seja 𝑦 𝐶𝐷𝑓 ℝ existe 𝑥 𝐷𝑓 ℝ tal que 𝑓𝑥 𝑦 Isolando 𝑥 na expressão da função obtemos 𝑦 3𝑥 2 3𝑥 𝑦 2 𝑥 𝑦2 3 Desse modo basta tomarmos 𝑥 𝑦2 3 que teremos 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦2 3 3 𝑦2 3 2 𝑦 2 2 𝑦 Logo 𝑓 é sobrejetora 73 2 Considere a função 𝑓 ℕ ℕ dada por 𝑓𝑛 𝑛2 a Mostre que 𝑓 é injetora b Mostre que 𝑓 não é sobrejetora Solução a A função 𝑓 é injetora De fato sejam 𝑛1 𝑛2 ℕ tal que 𝑓 𝑛1 𝑓 𝑛2 𝑛1 2 𝑛2 2 𝑛1 2 𝑛2 2 𝑛1 𝑛2 𝑛1 𝑛2 pois 𝑛1 𝑛2 0 b A função 𝑓 não é sobrejetora pois por exemplo 2 𝐶𝐷𝑓 ℕ e não é quadrado de nenhum número natural isto é não existe 𝑛 𝐷𝑓 ℕ tal que 𝑓 𝑛 2 Logo a imagem de 𝑓 é diferente do seu contradomínio 3 Determine se as funções a seguir são injetoras sobrejetoras bijetoras ou nenhuma delas 74 a 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑥3 Sejam 𝑥1 𝑥2 𝐷𝑓 ℝ temos que 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 𝑥1 3 𝑥2 3 3 𝑥1 3 3 𝑥2 3 𝑥1 𝑥2 Logo 𝑓 é injetora Qualquer que seja 𝑦 𝐶𝐷𝑓 ℝ existe 𝑥 𝐷𝑓 ℝ tal que 𝑓 𝑥 𝑦 Basta tomar 𝑥 3 𝑦 que teremos 𝑓 𝑥 𝑓 3 𝑦 3 𝑦 3 𝑦 Logo 𝐼𝑚 𝑓 ℝ e portanto 𝑓 é sobrejetora Como 𝑓 é injetora e sobrejetora então ela é bijetora 75 b 𝑔 ℝ ℝ 𝑔 𝑥 𝑥 Veja que 𝑔 não é injetora por exemplo 3 3 ℝ e 𝑔 3 𝑔 3 3 ou seja elementos distintos possuem a mesma imagem 𝑔 não é sobrejetora uma vez que a 𝐼𝑚 𝑔 ℝ é diferente do contradomínio de 𝑔 𝐶𝐷𝑔 ℝ Logo 𝑔 também não é bijetora c ℎ ℝ ℝ ℎ 𝑥 𝑥 Veja que a função ℎ possui a mesma lei da função 𝑔 do item anterior diferenciando apenas no contradomínio que agora é dado por ℝ Como no item anterior ℎ não é injetora No entanto agora 𝐼𝑚 ℎ ℝ coincide com o seu contradomínio Logo ℎ é sobrejetora Por fim ℎ não é bijetora Exercícios 1 Analisando os gráficos a seguir verifique se as funções são injetoras sobrejetoras bijetoras ou nenhuma delas 76 77 2 Determine se as funções a seguir são injetoras sobrejetoras bijetoras ou nenhuma delas a 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 3𝑥 1 b 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 1 𝑥2 c 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑥 1 d 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 1 𝑥 3 Determine o valor de 𝑏 em 𝐵 𝑦 ℝ 𝑦 𝑏 de modo que a função 𝑓 de ℝ em 𝐵 definida por 𝑓 𝑥 𝑥2 4 seja sobrejetora Função Inversa 78 A função 𝑔 é chamada de inversa da função 𝑓 e indicada por 𝑔 𝑓1 Neste caso dizemos que 𝑓 é invertível e temos que 𝑓 𝑎 𝑏 𝑓1 𝑏 𝑎 Seja 𝑓 𝐴 ℝ 𝐵 ℝ uma função bijetora Então podemos definir a função 𝑔 𝐵 𝐴 tal que 𝑓 𝑎 𝑏 𝑔 𝑏 𝑎 Observações 1 𝐷 𝑓1 𝐵 𝐼𝑚𝑓 e 𝐼𝑚 𝑓1 𝐴 𝐷𝑓 2 𝑥 𝑦 𝑓 𝑦 𝑥 𝑓1 3 𝑓1 1 𝑓 Propriedade dos Gráficos de Funções Invertíveis O gráfico de uma função 𝑓 𝐴 𝐵 invertível e o gráfico de sua inversa 𝑓1 𝐵 𝐴 com 𝐴 𝐵 ℝ são simétricos em relação ao gráfico da função 𝑦 𝑥 bissetriz dos quadrantes ímpares 79 𝑦 𝑥 Determinação da Função Inversa Dada a função bijetora 𝑓 𝐴 𝐵 definida pela sentença 𝑦 𝑓𝑥 para obtermos a expressão que define sua inversa 𝑓1 𝐵 𝐴 procedemos do seguinte modo 𝐈 Isole o 𝑥 na lei da função 𝑓 𝐈𝐈 Troque as variáveis de lugar isto é troque o 𝑥 pelo 𝑦 e 𝑦 por 𝑥 80 Exemplo Determine a função inversa das seguintes funções bijetoras a 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 2𝑥 4 I Isolando 𝑥 na expressão da função 𝑦 2𝑥 4 2𝑥 𝑦 4 𝑥 𝑦 4 2 II Trocando 𝑥 e 𝑦 de lugar 𝑦 𝑥 4 2 Logo a função inversa de 𝑓 é dada por 𝑓1 𝑥 𝑥4 2 81 b 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑥3 I Isolando 𝑥 na expressão da função 𝑦 𝑥3 3 𝑦 3 𝑥3 3 𝑦 𝑥 𝑥 3 𝑦 II Trocando 𝑥 e 𝑦 de lugar 𝑦 3 𝑥 Logo a função inversa de 𝑓 é dada por 𝑓1 𝑥 3 𝑥 Propriedades de Funções Invertíveis 82 1 Composta de funções inversas entre si Seja 𝑓 𝐴 𝐵 uma função invertível Se 𝑓1 é a inversa de 𝑓 então 𝑓1 𝑓 𝑎 𝑓1 𝑓 𝑎 𝑓1 𝑏 𝑎 𝐼𝑑 𝑎 𝑎 𝐴 𝑓 𝑓1 𝑏 𝑓 𝑓1 𝑏 𝑓 𝑎 𝑏 𝐼𝑑 𝑏 𝑏 𝐵 sendo 𝐼𝑑 ℝ ℝ a função identidade dada por 𝐼𝑑 𝑥 𝑥 cujo gráfico é a reta bissetriz dos quadrantes ímpares 2 A inversa da composta Sejam 𝑓 𝐴 𝐵 e 𝑔 𝐵 𝐶 funções invertíveis Então 𝑔 𝑓 1 𝑓1 𝑔1 Exercícios 83 1 Prove que cada função abaixo é bijetora e obtenha a sua inversa a 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 2𝑥 5 b 𝑔 ℝ ℝ 𝑔 𝑥 3 𝑥 1 c ℎ ℝ 4 ℝ 1 ℎ 𝑥 𝑥1 𝑥4 2 Considere a função bijetora 𝑓 ℝ ℝ 4 𝑓 𝑥 4𝑥2 𝑥 Qual é a função inversa de 𝑓 3 Construa num mesmo plano cartesiano os gráficos de 𝑓 e 𝑓1 a 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 2𝑥 1 b 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 1 𝑥 4 Dadas as funções 𝑓 e 𝑔 determine a função inversa de 𝑔 𝑓 a 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 4𝑥 1 e 𝑔 ℝ ℝ 𝑔 𝑥 3𝑥 5 b 𝑓 ℝ ℝ 𝑓 𝑥 𝑥3 e 𝑔 ℝ ℝ 𝑔 𝑥 2𝑥 3