Conjuntos e Números Reais - PréCálculo

PréCálculo Fabricio Alves Oliveira fabriciooliveiraifmgedubr 1 Conjuntos e Números Reais 3 Noção intuitiva de conjunto agrupamento ou coleção de objetos Exemplos a conjunto das vogais 𝑎 𝑒 𝑖 𝑜 𝑢 𝑥𝑥 é uma vogal b conjunto dos números ímpares positivos 1 3 5 7 9 11 13 𝑥𝑥 é um número ímpar positivo c conjunto dos nomes dos meses de 31 dias janeiro março maio julho agosto outubro dezembro 𝑥𝑥 é um mês com 31 dias Usualmente indicamos um conjunto com uma letra maiúscula 𝐴 𝐵 𝐶 e um elemento com uma letra minúscula 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 𝑦 Conjuntos Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição isto é são consideradas noções primitivas i conjunto ii elemento iii pertinência entre elemento e conjunto 4 Sejam 𝐴 um conjunto e 𝑥 um elemento Para indicar que 𝑥 é elemento do conjunto 𝐴 escrevemos 𝑥 𝐴 Para indicar que 𝑥 não é elemento do conjunto 𝐴 escrevemos 𝑥 𝐴 É também comum representar um conjunto utilizando diagramas de EulerVenn Na representação a seguir temos a 𝐴 b 𝐴 c 𝐴 e d 𝐴 Conjuntos Notáveis 1 Conjunto unitário possui um único elemento Exemplos a conjunto dos divisores de 1 inteiros e positivos 1 b conjunto das soluções da equação 3𝑥 1 10 3 5 2 Conjunto vazio não possui elemento algum O conjunto vazio e definido por meio de uma propriedade contraditória isto é uma afirmação que é sempre falsa não podendo ser satisfeita por objeto algum Representação do conjunto vazio ou Exemplos a 𝑥 𝑥 𝑥 b 𝑥 𝑥 0 e 𝑥 0 3 Conjunto universo 𝑼 é o maior conjunto do qual podem ser retiradas as respostas de um certo problema Exemplos a se procuramos as soluções reais de uma equação nosso conjunto universo é ℝ conjunto dos números reais b se estamos resolvendo um problema cuja solução vai ser um número inteiro nosso conjunto universo é ℤ conjunto dos números inteiros c se estamos resolvendo um problema de Geometria Plana nosso conjunto universo é um certo plano 𝛼 6 Observação Quase sempre a resposta para algumas questões depende do universo 𝑈 em que estamos trabalhando Considere a questão Qual é o conjunto dos pontos 𝑃 que ficam a igual distância de dois pontos dados 𝐴 e 𝐵 sendo 𝐴 𝐵 i Se 𝑈 é a reta 𝐴𝐵 então o conjunto procurado é formado apenas pelo ponto 𝑃 ponto do médio do segmento de extremidades 𝐴 e 𝐵 ii Se 𝑈 é um plano contendo 𝐴 e 𝐵 o conjunto procurado é a reta mediatriz do segmento AB iii Se 𝑈 é o espaço o conjunto procurado é o plano mediador do segmento AB plano perpendicular a AB no seu ponto médio Desse modo sempre que descrevermos um conjunto através de uma propriedade é essencial informar o conjunto universo em que estamos trabalhando 𝑥 𝑈 𝑥 satisfaz determinada propriedade 7 Subconjuntos Um conjunto 𝐴 é subconjunto de um conjunto 𝐵 quando todo elemento de 𝐴 pertence também a 𝐵 Notação 𝐴 𝐵 𝐴 está contido em 𝐵 Em símbolos a definição acima fica 𝐴 𝐵 𝑥 𝐴 𝑥 𝐵 Exemplos a 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 b 𝑥 𝑥 é inteiro e par 𝑥 𝑥 é inteiro Observações i O símbolo é chamado sinal de inclusão ii Quando 𝐴 𝐵 também podemos escrever 𝐵 A 𝐵 contém 𝐴 iii A notação 𝐴 𝐵 indica que 𝐴 não está contido em 𝐵 Evidentemente isso ocorre se existe ao menos um elemento de 𝐴 que não pertence a 𝐵 8 Igualdade entre Conjuntos Dois conjuntos são iguais quando possuírem os mesmos elementos Assim a igualdade entre dois conjuntos ocorre quando todo elemento do primeiro for também elemento do segundo e reciprocamente qualquer elemento do segundo pertencer ao primeiro Desse modo podemos escrever 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 e 𝐵 𝐴 Assim para provarmos que 𝐴 𝐵 devemos provar que 𝐴 𝐵 e 𝐵 𝐴 Propriedades da Inclusão Sejam 𝐴 𝐵 e 𝐶 três conjuntos Então i 𝐴 ii 𝐴 𝐴 reflexiva iii 𝐴 𝐵 e 𝐵 𝐴 𝐴 𝐵 antissimétrica iv 𝐴 𝐵 e 𝐵 𝐶 𝐴 𝐶 transitiva 9 Conjunto das Partes Denominase conjunto das partes de um conjunto 𝐴 o conjunto de todos os subconjuntos ou partes de 𝐴 Notação 𝐴 Exemplos a 𝐴 𝑎 𝐴 𝑎 b 𝐴 𝑎 𝑏 𝐴 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 c 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 Observações i Se 𝐴 possui 𝑛 elementos então o conjunto das partes de 𝐴 𝐴 possui 2𝑛 elementos ii Denominase subconjunto próprio de 𝐴 qualquer subconjunto 𝑋 de 𝐴 tal que 𝑋 e 𝑋 𝐴 Quando um subconjunto não é próprio ele é dito impróprio ou trivial são os subconjuntos óbvios de qualquer conjunto 𝐴 e 𝐴 10 Operações entre Conjuntos 1 União ou Reunião Dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 chamase união de 𝐴 e 𝐵 o conjunto formado pelos elementos que pertencem a 𝐴 ou a 𝐵 𝐴 𝐵 𝑥 𝑥 𝐴 ou 𝑥 𝐵 O conjunto 𝐴 𝐵 é formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos 𝐴 e 𝐵 Exemplos a 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑑 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 b 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 Propriedades da União Sejam 𝐴 𝐵 e 𝐶 três conjuntos Então i 𝐴 𝐴 𝐴 idempotente ii 𝐴 𝐴 elemento neutro iii 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 comutativa iv 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 associativa 11 2 Intersecção ou Interseção Dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 chamase intersecção de 𝐴 e 𝐵 o conjunto formado pelos elementos que pertencem a 𝐴 e a 𝐵 𝐴 𝐵 𝑥 𝑥 𝐴 e 𝑥 𝐵 O conjunto 𝐴 𝐵 é formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos 𝐴 e 𝐵 simultaneamente Exemplos a 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑏 𝑐 b 𝑎 𝑏 Propriedades da Intersecção Sejam 𝐴 𝐵 e 𝐶 três conjuntos Então i 𝐴 𝐴 𝐴 idempotente ii 𝐴 𝑈 𝐴 elemento neutro iii 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 comutativa iv 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 associativa 12 Quando 𝐴 𝐵 isto é quando 𝐴 e 𝐵 não tem elementos em comum são chamados de conjuntos disjuntos Propriedades envolvendo união e intersecção Sejam 𝐴 𝐵 e 𝐶 três conjuntos Então i 𝐴 𝐴 𝐵 𝐴 ii 𝐴 𝐴 𝐵 𝐴 iii 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 distributiva da união em relação à intersecção iv 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 distributiva da intersecção em relação à união 13 3 Diferença Dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 chamase diferença de 𝐴 e 𝐵 o conjunto formado pelos elementos de 𝐴 que não pertencem a 𝐵 𝐴 𝐵 𝑥 𝑥 𝐴 e 𝑥 𝐵 Exemplos a 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑎 b 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 Propriedades da Diferença Sejam 𝐴 e 𝐵 conjuntos quaisquer Então são válidas as seguintes propriedades i 𝐴 𝐴 ii 𝐴 𝐴 elemento neutro iii 𝐴 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 iv 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 14 4 Complementar Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos quaisquer satisfazendo a relação 𝐵 𝐴 Denominase complementar de 𝑩 em relação a 𝑨 o conjunto dos elementos que se devem acrescentar a 𝐵 para que ele se transforme em 𝐴 Em termos mais precisos o complementar de 𝐵 em relação a 𝐴 representado por 𝐴 𝐵 ou ത𝐵 está definido somente quando 𝐵 𝐴 e nesse caso será igual a 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 Exemplos a Se 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 e 𝐵 𝑐 𝑑 𝑒 então 𝐴 𝐵 𝑎 𝑏 b Se 𝐴 𝐵 então 𝐴 𝐵 c Se 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 e 𝐵 então 𝐴 𝐵 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝐴 d Se 𝐴 𝑎 𝑏 e 𝐵 𝑐 𝑑 então 𝐴 𝐵 não está definido pois 𝐵 𝐴 15 Propriedades da complementação Sendo 𝐵 e 𝐶 subconjuntos de 𝐴 valem as seguintes propriedades i 𝐴 𝐵 𝐵 e 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 ii 𝐴 𝐴 e 𝐴 𝐴 iii 𝐴 𝐴 𝐵 𝐵 iv 𝐵 𝐶 𝐵 𝐴 𝐶 Leis de De Morgan v 𝐴 𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 𝐵 𝐶 ത𝐵 ҧ𝐶 vi 𝐴 𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 𝐵 𝐶 ത𝐵 ҧ𝐶 16 Cardinalidade da União de Conjuntos Princípio da InclusãoExclusão Chamase cardinalidade de um conjunto finito 𝐴 o número de elementos desse conjunto Notação 𝑛 𝐴 𝑛𝐴 𝐴 card 𝐴 Por definição o conjunto vazio possui cardinalidade zero Se 𝐴 e 𝐵 são conjuntos disjuntos isto é 𝐴 𝐵 então o número de elementos da união dos dois é simplesmente a soma dos números de elementos de cada conjunto 𝐴 𝐵 𝑛 𝐴 𝐵 𝑛 𝐴 𝑛𝐵 Se 𝐴 e 𝐵 são conjuntos quaisquer então 𝑛 𝐴 𝐵 𝑛 𝐴 𝑛 𝐵 𝑛𝐴 𝐵 Para três conjuntos finitos 𝐴 𝐵 e 𝐶 têmse 𝑛 𝐴 𝐵 𝐶 𝑛 𝐴 𝑛 𝐵 𝑛 𝐶 𝑛 𝐴 𝐵 𝑛 𝐴 𝐶 𝑛 𝐵 𝐶 𝑛 𝐴 𝐵 𝐶 17 Exercícios 1 Se 𝐴 0 1 2 3 diga se é verdadeiro ou falso 18 2 Considere 𝐴 0 1 2 3 4 5 6 e 𝐵 1 2 3 4 6 8 9 Determine por enumeração os conjuntos 19 3 No diagrama de EulerVenn a seguir cada região foi denominada com um número entre parênteses Indicar as regiões que determinam 4 Em um grupo de 29 pessoas sabese que 10 são sócias de um clube A 13 são sócias de um clube B e 6 são sócias de ambos a Quantas pessoas do grupo não são sócias de A e nem de B b Quantas pessoas do grupo são sócias apenas do clube A c Quantas pessoas do grupo são sócias de A ou de B 21 5 Dados 𝐴 e 𝐵 conjuntos tais que 𝑛 𝐴 4 𝑛 𝐵 5 e 𝑛 𝐴 𝐵 3 determine o número de subconjuntos de 𝐴 𝐵 22 6 Foi feita uma pesquisa a respeito de três marcas de sabão em pó 𝐴 𝐵 e 𝐶 Os resultados são mostrados na tabela a seguir Determine a o número de pessoas consultadas b o número de pessoas que só consomem a marca 𝐴 c o número de pessoas que não consomem as marcas 𝐴 ou 𝐶 d o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas Conjunto dos números inteiros ℤ 4 3 2 1 0 1 2 3 4 23 Conjunto dos números naturais ℕ 1 2 3 4 5 Vamos recordar a seguir os conjuntos numéricos e algumas propriedades dos números reais Conjuntos Numéricos Alguns autores consideram o zero como número natural Subconjuntos importantes de ℤ Números Pares 𝑃 2𝑘 𝑘 ℤ 6 4 2 0 2 4 6 Números Ímpares 𝐼 2𝑘 1 𝑘 ℤ 7 5 3 1 1 3 5 7 24 Números Primos Números inteiros 𝑛 com 𝑛 0 e 𝑛 1 que são divisíveis apenas por 1 e 𝑛 P 19 17 13 11 7 5 3 2 2 3 5 7 11 13 17 19 Dois números inteiros não nulos são chamados de primos entre si quando os únicos divisores comuns entre eles são 1 equivale a dizer que eles não possuem fatores primos em comum Conjunto dos números racionais ℚ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ℤ e 𝑏 0 Em 𝑎 𝑏 𝑎 é chamado numerador e 𝑏 denominador Todo número inteiro 𝑎 ℤ é um número racional pois 𝑎 𝑎 1 ℚ O número 1 𝑏 com 𝑏 0 é chamado inverso de 𝑏 25 Operações em ℚ Observações 1 Em ℚ temos a seguinte relação de equivalência 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎𝑑 𝑏𝑐 Por exemplo 𝑞 3 6 1 2 pois 32 61 Desta forma sempre é possível escrever um número racional não nulo em forma de uma fração simplificada Neste caso dizemos que o número racional está escrito em sua forma irredutível No exemplo acima 𝑞 1 2 está na forma irredutível e 𝑞 3 6 não está na forma irredutível iii 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 𝑎𝑑 𝑏𝑐 ii 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎𝑐 𝑏𝑑 i 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎𝑑𝑏𝑐 𝑏𝑑 2 Todo número racional pode ser escrito na forma de decimal sendo esta forma finita ou infinita formando uma dízima periódica Por exemplo 1 2 05 7 8 0875 1 3 03333 41 333 0123123123 3 Existem números que não podem ser escritos em forma de fração Tais números possuem representação decimal infinita e não periódica e são chamados de números irracionais Por exemplo são números irracionais 2 14142135 𝜋 3141592 3 17320508 𝑒 27182818 𝑝 sendo 𝑝 um número primo 26 Curiosidade O número 2 foi um dos primeiros a ser reconhecido como irracional Os matemáticos da Grécia Antiga conheciam apenas os números inteiros e as frações Após o surgimento do Teorema de Pitágoras os pitagóricos tentaram calcular a diagonal de um quadrado de lado 1 dando origem a raiz quadrada de dois Observações 1 É claro que valem as seguintes inclusões 2 É comum representarmos o conjunto dos números reais através da reta real Podemos associar cada número real a um único ponto da reta e viceversa 27 Proposição Entre dois números reais distintos quaisquer sempre existe um número racional e sempre existe um número irracional Conjunto dos números reais Formado pela união do conjunto dos números racionais e irracionais ou seja ℝ 𝑥 𝑥 é racional ou 𝑥 é irracional Intervalos 28 Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais com 𝑎 𝑏 Então Observações 1 Há outras formas de representar intervalos abertos usando parênteses em vez de colchetes Por exemplo 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 e 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 2 Os símbolos de e não são números reais apenas fazem parte das notações dos intervalos ilimitados Propriedades dos Números Reais 29 Propriedades Básicas Propriedades dos Números Reais 30 Consequências das Propriedades Básicas Propriedades envolvendo desigualdades 31 Sejam 𝑎 𝑏 e 𝑐 números reais Então Exercícios 1 Mostre que 2 é um número irracional Solução 32 Suponhamos por absurdo que 2 seja racional ou seja 2 𝑝 𝑞 com 𝑝 𝑞 ℤ 𝑞 0 e 𝑝 𝑞 primos entre si ou seja a fração é irredutível Veja que 2 𝑝 𝑞 De 2 𝑝 𝑞 temos 2 2𝑎 𝑞 Logo 𝑝 e 𝑞 não são primos entre si pois possuem o fator 2 em comum Absurdo com a hipótese de 𝑝 e 𝑞 serem primos entre si Assim 2 não pode ser um número racional e portanto deve ser um número irracional 𝑝2 2𝑞2 𝑝2 é par 𝑝 é par 𝑝 2𝑎 2 𝑝2 𝑞2 2𝑞2 4𝑎2 𝑞2 2𝑎2 𝑞2 é par 𝑞 é par 𝑞 2𝑏 2 2𝑎 2 𝑞2 2 Escreva os números racionais abaixo em forma de fração ou seja determine a fração geratriz a 032 b 0888 c 018555 d 0999 33 Solução a Observe que 032 32 100 8 25 b Seja 𝑥 0888 então 10𝑥 8888 Logo 10𝑥 𝑥 8888 0888 9𝑥 8 𝑥 8 9 Assim 0888 8 9 c Seja 𝑥 018555 então 100𝑥 18555 e 1000𝑥 185555 Daí 1000𝑥 100𝑥 185555 18555 900𝑥 167 𝑥 167 900 Logo 018555 167 900 d Seja 𝑥 0999 então 10𝑥 9999 Logo 10𝑥 𝑥 9999 0999 9𝑥 9 𝑥 1 Portanto 0999 1 Módulo ou Valor Absoluto Definimos o módulo ou valor absoluto de um número real 𝑥 como sendo Exemplos 5 5 7 7 7 0 0 3 3 𝑥 𝑥 0 34 𝑥 ቊ 𝑥 se 𝑥 0 𝑥 se 𝑥 0 Propriedades do Módulo Sejam 𝑎 𝑏 ℝ e 𝑘 0 Temos 1 𝑎 0 e 𝑎 𝑎 2 𝑎 𝑎 3 𝑎 2 𝑎2 4 𝑎2 𝑎 5 𝑎 𝑘 𝑎 𝑘 ou 𝑎 𝑘 6 𝑎 𝑘 𝑘 𝑎 𝑘 7 𝑎 𝑘 𝑎 𝑘 ou 𝑎 𝑘 8 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 e 𝑎 b 𝑎 𝑏 9 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 Desigualdade Triangular 10 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 35 Exemplo Obtenha o conjunto solução a 5𝑥 3 7 b 2𝑥 7 3 c 9 2𝑥 7 d 72𝑥 4𝑥 2 𝑥 4 36 Solução a 5𝑥 3 7 Devemos ter 5𝑥 3 7 ou 5𝑥 3 7 No primeiro caso 𝑥 2 5𝑥 10 5𝑥 3 7 No segundo caso 𝑥 4 5 5𝑥 4 5𝑥 3 7 Logo o conjunto solução é 𝑆 2 4 5 37 Solução Portanto a solução é dada por 𝑆 𝑥 ℝ 2 𝑥 5 b 2𝑥 7 3 A desigualdade é verdadeira quando 3 2𝑥 7 3 Resolvendo a primeira inequação 2 𝑥 3 2𝑥 7 4 2𝑥 2𝑥 7 3 Resolvendo a segunda inequação 𝑥 5 2𝑥 10 38 Solução Logo o conjunto solução é 𝑆 𝑥 ℝ 𝑥 1 ou 𝑥 8 c 9 2𝑥 7 A inequação é verdadeira quando 9 2𝑥 7 ou 9 2𝑥 7 No primeiro caso 9 2𝑥 7 2𝑥 16 𝑥 8 2𝑥 16 1 No segundo caso 9 2𝑥 7 2𝑥 2 2𝑥 2 1 𝑥 1 39 Solução Logo 𝑆 𝑥 ℝ 𝑥 1 4 d 72𝑥 4𝑥 2 𝑥 4 Temos que 72𝑥 4𝑥 2 7 2𝑥 24 𝑥 Elevando ambos os membros ao quadrado obtemos 7 2𝑥 2 2 4 𝑥 2 7 2𝑥 2 4 4 𝑥 2 49 28𝑥 4𝑥2 4 16 8𝑥 𝑥2 49 28𝑥 4𝑥2 64 32𝑥 4𝑥2 60𝑥 15 𝑥 15 60 1 4 60𝑥 15 1 Exercícios 40 1 Expresse cada um dos conjuntos abaixo em notação de intervalo a A 𝑥 ℝ 3𝑥 1 𝑥 3 b B 𝑥 ℝ 2𝑥 7 1 2 Resolva as equações em ℝ a 5𝑥 3 12 b 3𝑥8 2𝑥3 4 c 3𝑥 2 5 𝑥 d 2𝑥 3 7𝑥 5 3 Resolva as inequações em ℝ a 𝑥 12 7 b 3𝑥 4 2 c 5 6𝑥 9 d 𝑥 4 𝑥 6 41 4 Elimine o módulo das expressões a 𝑥 2 𝑥 1 b 𝑥 𝑥 1 2𝑥 4 5 Resolva as inequações em ℝ Dica elimine o módulo antes de resolver a inequação a 2𝑥 1 𝑥 b 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 6 Mostre que a média geométrica entre dois números reais positivos é menor ou igual a média aritmética entre eles ou seja se 𝑥 e 𝑦 são números reais positivos então 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 2