Fundamentos de Física - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - Décima Edição

Halliday Resnick Décima Edição Jearl Walker Fundamentos de Física Gravitação Ondas e Termodinâmica FUNDAMENTOS DE FÍSICA DECIMA EDIÇÃO Gravitação Ondas e Termodinâmica VOLUME DOIS Halliday Resnick O GEN Grupo Editorial Nacional a maior plataforma editorial no segmento CTP científico técnico e profissional publica nas áreas de saúde ciências exatas jurídicas sociais aplicadas humanas e de concursos além de prover serviços direcionados a educação capacitação médica continuada e preparação para concursos Conheça nosso catálogo composto por mais de cinco mil obras e três mil ebooks em wwwgrupogencombr FUNDAMENTOS DE FÍSICA Os autores e a editora empenharamse para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro dispondose a possíveis acertos caso inadvertidamente a identificação de algum deles tenha sido omitida Não é responsabilidade da editora nem dos autores a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação Apesar dos melhores esforços dos autores do tradutor do editor e dos revisores é inevitável que surjam erros no texto Assim são bem vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC Livros Técnicos e Científicos Editora pelo email ltcgrupogencombr Traduzido de FUNDAMENTALS OF PHYSICS VOLUME 1 TENTH EDITION Copyright 2014 2011 2008 2005 John Wiley Sons Inc All Rights Reserved This translation published under license with the original publisher John Wiley Sons Inc ISBN 9781118233764 Volume 1 Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright 2016 by LTC Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda Uma editora integrante do GEN Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer 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Três Dimensões Força e Movimento I Força e Movimento II Energia Cinética e Trabalho Energia Potencial e Conservação da Energia Centro de Massa e Momento Linear Rotação Rolagem Torque e Momento Angular VOLUME 2 Equilíbrio e Elasticidade Gravitação Fluidos Oscilações Ondas I Ondas II Temperatura Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica A Teoria Cinética dos Gases Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica VOLUME 3 A Lei de Coulomb Campos Elétricos Lei de Gauss Potencial Elétrico 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Capacitância Corrente e Resistência Circuitos Campos Magnéticos Campos Magnéticos Produzidos por Correntes Indução e Indutância Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada Equações de Maxwell Magnetismo da Matéria VOLUME 4 Ondas Eletromagnéticas Imagens Interferência Difração Relatividade Fótons e Ondas de Matéria Mais Ondas de Matéria Tudo sobre os Átomos Condução de Eletricidade nos Sólidos Física Nuclear Energia Nuclear Quarks Léptons e o Big Bang 121 122 123 131 132 133 134 135 136 SUMÁRIO 12 Equilíbrio e Elasticidade EQUILÍBRIO O que É Física Equilíbrio As Condições de Equilíbrio O Centro de Gravidade ALGUNS EXEMPLOS DE EQUILÍBRIO ESTÁTICO Alguns Exemplos de Equilíbrio Estático ELASTICIDADE Estruturas Indeterminadas Elasticidade REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 13 Gravitação A LEI DA GRAVITAÇÃO DE NEWTON O que É Física A Lei da Gravitação de Newton GRAVITAÇÃO E O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO Gravitação e o Princípio da Superposição A GRAVITAÇÃO PERTO DA SUPERFÍCIE DA TERRA A Gravitação Perto da Superfície da Terra A GRAVITAÇÃO NO INTERIOR DA TERRA A Gravitação no Interior da Terra ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Energia Potencial Gravitacional PLANETAS E SATÉLITES AS LEIS DE KEPLER Planetas e Satélites As Leis de Kepler 137 138 141 142 143 144 145 146 147 151 SATÉLITES ÓRBITAS E ENERGIAS Satélites Órbitas e Energias EINSTEIN E A GRAVITAÇÃO Einstein e a Gravitação REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 14 Fluidos MASSA ESPECÍFICA E PRESSÃO DOS FLUIDOS O que É Física O que É um Fluido Massa Específica e Pressão FLUIDOS EM REPOUSO Fluidos em Repouso MEDIDORES DE PRESSÃO Medidores de Pressão O PRINCÍPIO DE PASCAL O Princípio de Pascal O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES O Princípio de Arquimedes A EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE Fluidos Ideais em Movimento A Equação de Continuidade A EQUAÇÃO DE BERNOULLI A Equação de Bernoulli REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 15 Oscilações MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES O que É Física Movimento Harmônico Simples 152 153 154 155 156 161 162 163 164 165 A Lei da Força para o Movimento Harmônico Simples A ENERGIA DO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES A Energia do Movimento Harmônico Simples O OSCILADOR HARMÔNICO ANGULAR SIMPLES O Oscilador Harmônico Angular Simples PÊNDULOS E MOVIMENTO CIRCULAR Pêndulos Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular Uniforme MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES AMORTECIDO Movimento Harmônico Simples Amortecido OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA Oscilações Forçadas e Ressonância REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 16 Ondas I ONDAS TRANSVERSAIS O que É Física Tipos de Ondas Ondas Transversais e Longitudinais Comprimento de Onda e Frequência A Velocidade de uma Onda Progressiva VELOCIDADE DA ONDA EM UMA CORDA ESTICADA Velocidade da Onda em uma Corda Esticada ENERGIA E POTÊNCIA DE UMA ONDA PROGRESSIVA EM UMA CORDA Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda A EQUAÇÃO DE ONDA A Equação de Onda INTERFERÊNCIA DE ONDAS O Princípio da Superposição de Ondas Interferência de Ondas 166 167 171 172 173 174 175 176 177 178 181 FASORES Fasores ONDAS ESTACIONÁRIAS E RESSONÂNCIA Ondas Estacionárias Ondas Estacionárias e Ressonância REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 17 Ondas II A VELOCIDADE DO SOM O que É Física Ondas Sonoras A Velocidade do Som ONDAS SONORAS PROGRESSIVAS Ondas Sonoras Progressivas INTERFERÊNCIA Interferência INTENSIDADE E NÍVEL SONORO Intensidade e Nível Sonoro FONTES DE SONS MUSICAIS Fontes de Sons Musicais BATIMENTOS Batimentos O EFEITO DOPPLER O Efeito Doppler VELOCIDADES SUPERSÔNICAS E ONDAS DE CHOQUE Velocidades Supersônicas e Ondas de Choque REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 18 Temperatura Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica TEMPERATURA 182 183 184 185 186 191 192 193 194 195 O que É Física Temperatura A Lei Zero da Termodinâmica Medida da Temperatura AS ESCALAS CELSIUS E FAHRENHEIT As Escalas Celsius e Fahrenheit DILATAÇÃO TÉRMICA Dilatação Térmica ABSORÇÃO DE CALOR Temperatura e Calor A Absorção de Calor por Sólidos e Líquidos A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA Calor e Trabalho A Primeira Lei da Termodinâmica Alguns Casos Especiais da Primeira Lei da Termodinâmica MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Mecanismos de Transferência de Calor REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 19 A Teoria Cinética dos Gases O NÚMERO DE AVOGADRO O que É Física O Número de Avogadro GASES IDEAIS Gases Ideais PRESSÃO TEMPERATURA E VELOCIDADE MÉDIA QUADRÁTICA Pressão Temperatura e Velocidade Média Quadrática ENERGIA CINÉTICA DE TRANSLAÇÃO Energia Cinética de Translação LIVRE CAMINHO MÉDIO Livre Caminho Médio 196 197 198 199 201 202 203 204 A B C D A DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES DAS MOLÉCULAS A Distribuição de Velocidades das Moléculas OS CALORES ESPECÍFICOS MOLARES DE UM GÁS IDEAL Os Calores Específicos Molares de um Gás Ideal GRAUS DE LIBERDADE E CALORES ESPECÍFICOS MOLARES Graus de Liberdade e Calores Específicos Molares Efeitos Quânticos A EXPANSÃO ADIABÁTICA DE UM GÁS IDEAL A Expansão Adiabática de um Gás Ideal REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 20 Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica ENTROPIA O que É Física Processos Irreversíveis e Entropia Variação de Entropia A Segunda Lei da Termodinâmica ENTROPIA NO MUNDO REAL MÁQUINAS TÉRMICAS Entropia no Mundo Real Máquinas Térmicas REFRIGERADORES E MÁQUINAS TÉRMICAS REAIS Entropia no Mundo Real Refrigeradores A Eficiência de Máquinas Térmicas Reais UMA VISÃO ESTATÍSTICA DA ENTROPIA Uma Visão Estatística da Entropia REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS APÊNDICES O Sistema Internacional de Unidades SI Algumas Constantes Fundamentais da Física Alguns Dados Astronômicos Fatores de Conversão E F G Fórmulas Matemáticas Propriedades dos Elementos Tabela Periódica dos Elementos RESPOSTAS dos Testes e das Perguntas e Problemas Ímpares PREFÁCIO POR QUE ESCREVI ESTE LIVRO Diversão com um grande desafio É assim que venho encarando a física desde o dia em que Sharon uma das alunas do curso que eu estava ministrando como aluno de doutorado me perguntou de repente O que isso tem a ver com minha vida Respondi prontamente Sharon isto é física Tem tudo a ver com a sua vida A moça me pediu um exemplo Pensei muito mas não consegui encontrar nenhum Nessa noite criei O Circo Voador da Física para Sharon mas também para mim porque percebi que o problema de Sharon também era meu Eu tinha passado seis anos estudando em dezenas de livros de física escritos com a melhor das intenções mas alguma coisa estava faltando A física é o assunto mais interessante do mundo porque descreve o modo como o mundo funciona mas não havia nos livros nenhuma ligação com o mundo real A diversão estava faltando Procurei incluir muita física do mundo real neste livro ligandoo à nova edição de O Circo Voador da Física LTC 2012 Boa parte dos assuntos vem das minhas aulas onde posso julgar pelas expressões e comentários dos alunos quais são os assuntos e as apresentações que funcionam As anotações que fiz a respeito de meus sucessos e fracassos ajudaram a estabelecer as bases para este livro Minha mensagem aqui é a mesma que dei para todos os estudantes que encontrei desde o dia em que Sharon fez aquele comentário Sim você pode usar os conceitos básicos da física para chegar a conclusões válidas a respeito do mundo real e é nesse entendimento do mundo real que está a diversão Tive muitos objetivos ao escrever este livro mas o principal foi proporcionar aos professores um instrumento por meio do qual eles possam ensinar os alunos a estudar assuntos científicos identificar conceitos fundamentais pensar a respeito de questões científicas e resolver problemas quantitativos Esse processo não é fácil nem para os alunos nem para os professores Na verdade o curso associado a este livro pode ser um dos mais difíceis do currículo Entretanto pode ser também um dos mais interessantes pois revela os mecanismos fundamentais do mundo responsáveis por todas as aplicações científicas e de engenharia Muitos usuários da nona edição professores e alunos enviaram comentários e sugestões para aperfeiçoar o livro Esses melhoramentos foram incorporados à exposição e aos problemas desta edição A editora John Wiley Sons e eu encaramos este livro como um projeto permanente e gostaríamos de contar com uma maior participação dos leitores Sintase à vontade para enviar sugestões correções e comentários positivos ou negativos para John Wiley Sons1 ou Jearl Walker endereço postal Physics Department Cleveland State University Cleveland OH 44115 USA endereço do meu site wwwflyingcircusofphysicscom Talvez não seja possível responder a todas as sugestões mas lemos e consideramos cada uma delas O QUE HÁ DE NOVO NESTA EDIÇÃO Módulos e Objetivos do Aprendizado O que eu deveria ter aprendido nesta seção Os alunos vêm me fazendo essa pergunta há décadas independentemente de serem bons ou maus alunos O problema é que mesmo os alunos mais atentos podem não ter certeza de que assimilaram todos os pontos importantes de uma seção do livro Eu me sentia da mesma forma quando estava usando a primeira edição de Halliday e Resnick no primeiro ano da faculdade Nesta edição para minimizar o problema dividi os capítulos em módulos conceituais dedicados a temas básicos e comecei cada módulo com uma lista de objetivos do aprendizado desse módulo A lista é uma declaração explícita dos conhecimentos que devem ser adquiridos através da leitura do módulo e é seguida por um breve resumo das ideiaschave que também devem ser assimiladas Para você ter uma noção de como o sistema funciona observe o primeiro módulo do Capítulo 16 em que o estudante se vê diante de um grande número de conceitos e definições Em vez de deixar por conta do aluno a tarefa de identificar e dissecar essas ideias tomei a iniciativa de fornecer uma lista que funciona como a lista de verificação consultada pelos pilotos de avião antes de cada decolagem Capítulos Reformulados Como meus alunos continuavam a ter dificuldades em alguns capítulos importantes e em certos tópicos de outros capítulos reescrevi boa parte do texto Assim por exemplo introduzi mudanças profundas nos capítulos a respeito da lei de Gauss e do potencial elétrico que a maioria dos estudantes considerava de difícil compreensão As apresentações agora são mais enxutas e têm uma ligação mais direta com as ideiaschave Nos capítulos que tratam da Mecânica Quântica expandi o estudo da equação de Schrödinger para incluir a reflexão de ondas de matéria por um degrau de potencial Atendendo a sugestões de vários professores separei a discussão do átomo de Bohr da solução de Schrödinger do átomo de hidrogênio para que o professor possa omitir o relato histórico do trabalho de Bohr se assim desejar sem prejudicar a compreensão do assunto Incluí também um novo módulo a respeito da radiação de corpo negro de Planck Novos Exemplos Perguntas e Problemas Dezesseis novos exemplos foram introduzidos nos capítulos para facilitar a compreensão de alguns tópicos considerados difíceis pelos alunos Além disso cerca de 250 problemas e 50 perguntas foram acrescentados às listas de exercícios do final dos capítulos Alguns dos problemas foram recuperados de edições anteriores do livro a pedido de vários professores 1Sugestões correções e comentários positivos ou negativos em relação à edição em língua portuguesa publicada pela LTC Editora devem ser enviados para ltcgrupogencombr AGRADECIMENTOS Muitas pessoas contribuíram para este livro SenBen Liao do Lawrence Livermore National Laboratory James Whitenton da Southern Polytechnic State University e Jerry Shi do Pasadena City College foram responsáveis pela tarefa hercúlea de resolver todos os problemas do livro Na John Wiley o projeto deste livro recebeu o apoio de Stuart Johnson Geraldine Osnato e Aly Rentrop os editores que o supervisionaram do início ao fim Agradecemos a Elizabeth Swain a editora de produção por juntar as peças durante o complexo processo de produção Agradecemos também a Maddy Lesure pela diagramação do texto e pela direção de arte da capa a Lee Goldstein pela diagramação da capa a Helen Walden pelo copidesque e a Lilian Brady pela revisão Jennifer Atkins foi brilhante na busca de fotografias inusitadas e interessantes Tanto a editora John Wiley Sons Inc como Jearl Walker gostariam de agradecer às seguintes pessoas por seus comentários e ideias a respeito das recentes edições Jonathan Abramson Portland State University Omar Adawi Parkland College Edward Adelson The Ohio State University Steven R Baker Naval Postgraduate School George Caplan Wellesley College Richard Kass The Ohio State University MR Khoshbin eKhoshnazar Research Institution for Curriculum Development Educational Innovations Teerã Craig Kletzing University of Iowa Stuart Loucks American River College Laurence Lurio Northern Illinois University Ponn Maheswaranathan Winthrop University Joe McCullough Cabrillo College Carl E Mungan U S Naval Academy Don N Page University of Alberta Elie Riachi Fort Scott Community College Andrew G Rinzler University of Florida Dubravka Rupnik Louisiana State University Robert Schabinger Rutgers University Ruth Schwartz Milwaukee School of Engineering Carol Strong University of Alabama at Huntsville Nora Thornber Raritan Valley Community College Frank Wang LaGuardia Community College Graham W Wilson University of Kansas Roland Winkler Northern Illinois University William Zacharias Cleveland State University Ulrich Zurcher Cleveland State University Finalmente nossos revisores externos realizaram um trabalho excepcional e expressamos a cada um deles nossos agradecimentos Maris A Abolins Michigan State University Edward Adelson Ohio State University Nural Akchurin Texas Tech Yildirim Aktas University of North CarolinaCharlotte Barbara Andereck Ohio Wesleyan University Tetyana Antimirova Ryerson University Mark Arnett Kirkwood Community College Arun Bansil Northeastern University Richard Barber Santa Clara University Neil Basecu Westchester Community College Anand Batra Howard University Kenneth Bolland The Ohio State University Richard Bone Florida International University Michael E Browne University of Idaho Timothy J Burns Leeward Community College Joseph Buschi Manhattan College Philip A Casabella Rensselaer Polytechnic Institute Randall Caton Christopher Newport College Roger Clapp University of South Florida W R Conkie Queens University Renate Crawford University of MassachusettsDartmouth Mike Crivello San Diego State University Robert N Davie Jr St Petersburg Junior College Cheryl K Dellai Glendale Community College Eric R Dietz California State University at Chico N John DiNardo Drexel University Eugene Dunnam University of Florida Robert Endorf University of Cincinnati F Paul Esposito University of Cincinnati Jerry Finkelstein San Jose State University Robert H Good California State UniversityHayward Michael Gorman University of Houston Benjamin Grinstein University of California San Diego John B Gruber San Jose State University Ann Hanks American River College Randy Harris University of CaliforniaDavis Samuel Harris Purdue University Harold B Hart Western Illinois University Rebecca Hartzler Seattle Central Community College John Hubisz North Carolina State University Joey Huston Michigan State University David Ingram Ohio University Shawn Jackson University of Tulsa Hector Jimenez University of Puerto Rico Sudhakar B Joshi York University Leonard M Kahn University of Rhode Island Sudipa Kirtley RoseHulman Institute Leonard Kleinman University of Texas at Austin Craig Kletzing University of Iowa Peter F Koehler University of Pittsburgh Arthur Z Kovacs Rochester Institute of Technology Kenneth Krane Oregon State University Hadley Lawler Vanderbilt University Priscilla Laws Dickinson College Edbertho Leal Polytechnic University of Puerto Rico Vern Lindberg Rochester Institute of Technology Peter Loly University of Manitoba James MacLaren Tulane University Andreas Mandelis University of Toronto Robert R Marchini Memphis State University Andrea Markelz University at Buffalo SUNY Paul Marquard Caspar College David Marx Illinois State University Dan Mazilu Washington and Lee University James H McGuire Tulane University David M McKinstry Eastern Washington University Jordon Morelli Queens University Eugene Mosca United States Naval Academy Eric R Murray Georgia Institute of Technology School of Physics James Napolitano Rensselaer Polytechnic Institute Blaine Norum University of Virginia Michael OShea Kansas State University Patrick Papin San Diego State University Kiumars Parvin San Jose State University Robert Pelcovits Brown University Oren P Quist South Dakota State University Joe Redish University of Maryland Timothy M Ritter University of North Carolina at Pembroke Dan Styer Oberlin College Frank Wang LaGuardia Community College Robert Webb Texas AM University Suzanne Willis Northern Illinois University Shannon Willoughby Montana State University FUNDAMENTOS DE FÍSICA Material Suplementar Este livro conta com os seguintes materiais suplementares Aulas em PowerPoint restrito a docentes Ensaios de Jearl Walker em pdf acesso livre Ilustrações da obra em formato de apresentação restrito a docentes Manuais das Calculadoras Gráficas TI86 TI89 em pdf acesso livre Respostas das perguntas em pdf restrito a docentes Respostas dos problemas em pdf restrito a docentes Simulações acesso livre Soluções dos Problemas Manual em pdf restrito a docentes Testes Conceituais restrito a docentes Testes em Múltipla Escolha restrito a docentes Testes em PowerPoint restrito a docentes O acesso ao material suplementar é gratuito bastando que o leitor se cadastre em httpgen iogrupogencombr GENIO GEN Informação Online é o repositório de materiais suplementares e de serviços relacionados com livros publicados pelo GEN Grupo Editorial Nacional maior conglomerado brasileiro de editoras do ramo científicotécnicoprofissional composto por Guanabara Koogan Santos Roca AC Farmacêutica Forense Método Atlas LTC EPU e Forense Universitária Os materiais suplementares ficam disponíveis para acesso durante a vigência das edições atuais dos livros a que eles correspondem CAPÍTULO 12 Equilíbrio e Elasticidade 121 EQUILÍBRIO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1201 Conhecer a diferença entre equilíbrio e equilíbrio estático 1202 Conhecer as condições do equilíbrio estático 1203 Saber o que é o centro de gravidade e qual é a relação entre o centro de gravidade e o centro de massa 1204 Dada uma distribuição de partículas calcular as coordenadas do centro de gravidade e do centro de massa IdeiasChave Dizemos que um corpo rígido em repouso está em equilíbrio estático Se um corpo está em equilíbrio estático a soma vetorial das forças externas que agem sobre o corpo é zero Se todas as forças estão no plano xy essa equação vetorial é equivalente a duas equações para as componentes x e y Fresx 0 e Fresy 0 equilíbrio de forças Se um corpo está em equilíbrio estático a soma vetorial dos torques externos que agem sobre o corpo também é zero Se todas as forças estão no plano xy todos os torques são paralelos ao eixo z e essa equação vetorial é equivalente a uma equação para a componente z τresz 0 equilíbrio de torques A força gravitacional atua simultaneamente sobre todos os elementos de massa do corpo O efeito total pode ser calculado imaginando que uma força gravitacional total equivalente age sobre o centro de gravidade do corpo Se a aceleração gravitacional é a mesma para todos os elementos do corpo o centro de gravidade coincide com o centro de massa O que É Física As obras civis devem ser estáveis apesar das forças a que são submetidas Um edifício por exemplo deve permanecer estável mesmo na presença da força da gravidade e da força do vento uma ponte deve permanecer estável mesmo na presença da força da gravidade e dos repetidos solavancos que recebe de carros e caminhões Um dos objetivos da física é conhecer o que faz com que um objeto permaneça estável na presença de 1 2 forças Neste capítulo examinamos os dois aspectos principais da estabilidade o equilíbrio das forças e torques que agem sobre objetos rígidos e a elasticidade dos objetos não rígidos uma propriedade que determina o modo como objetos desse tipo se deformam Quando usada corretamente essa física é assunto de artigos em revistas de física e de engenharia quando usada incorretamente é assunto de manchetes de jornal e pendências judiciais Equilíbrio Considere os seguintes objetos 1 um livro em repouso sobre uma mesa 2 um disco de metal que desliza com velocidade constante em uma superfície sem atrito 3 as pás de um ventilador de teto girando e 4 a roda de uma bicicleta que se move em uma estrada retilínea com velocidade constante Para cada um desses objetos O momento linear de centro de massa é constante O momento angular em relação ao centro de massa ou em relação a qualquer outro ponto também é constante Dizemos que esses objetos estão em equilíbrio Os dois requisitos para o equilíbrio são portanto Kanwarjit Singh BoparaiShutterstock Figura 121 Uma pedra em equilíbrio Embora a sustentação pareça precária a pedra está em equilíbrio estático Neste capítulo vamos tratar de situações em que as constantes na Eq 121 são nulas ou seja vamos tratar principalmente de objetos que não se movem nem em translação nem em rotação no sistema de referência em que estão sendo observados Dizemos que esses objetos estão em equilíbrio estático Dos quatro objetos mencionados no início deste módulo apenas um o livro em repouso sobre a mesa está em equilíbrio estático A pedra da Fig 121 é outro exemplo de um objeto que pelo menos no momento em que foi fotografado está em equilíbrio estático Ele compartilha essa propriedade com um número incontável de outras estruturas como catedrais casas mesas de jantar e postos de gasolina que permanecem em repouso por um tempo indefinido Como foi discutido no Módulo 83 se um corpo retorna ao mesmo estado de equilíbrio estático após ter sido deslocado pela ação de uma força dizemos que o corpo está em equilíbrio estático estável Um exemplo é uma bola de gude colocada no fundo de uma vasilha côncava Se por outro lado uma pequena força é suficiente para deslocar o corpo de forma permanente dizemos que o corpo está em equilíbrio estático instável Uma Peça de Dominó Suponha por exemplo que equilibramos uma peça de dominó com o centro de massa na vertical em relação a uma aresta de apoio como na Fig 122a O torque em relação à aresta de apoio devido à força gravitacional g que age sobre o dominó é zero porque a linha de ação de g passa pela aresta Assim o dominó está em equilíbrio Evidentemente basta uma pequena força para romper o equilíbrio Quando a linha de ação de é deslocada para um dos lados da aresta de apoio como na Fig 122b o torque produzido por g faz o dominó girar até atingir uma posição de equilíbrio diferente da anterior Assim o dominó da Fig 122a está em uma situação de equilíbrio estático instável O caso do dominó da Fig 122c é diferente Para que o dominó tombe a força tem que fazêlo girar além da posição de equilíbrio da Fig 122a na qual o centro de massa está acima de uma aresta de apoio Uma força muito pequena não é capaz de derrubar este dominó mas um piparote com o dedo certamente o fará Se arrumarmos vários dominós em fila um piparote no primeiro poderá provocar a queda de toda a fila Um Cubo O cubo de brinquedo da Fig 122d é ainda mais estável já que o centro de massa tem que ser muito deslocado para passar além de uma aresta de apoio Um simples piparote não faz o cubo tombar É por isso que nunca se vê alguém derrubar uma fileira de cubos O operário da Fig 123 tem algo em comum tanto com o dominó como com o cubo Paralelamente à viga os pontos extremos de contato dos pés com a viga estão afastados e o operário está em equilíbrio estável perpendicularmente à viga os pontos extremos de contato estão muito próximos e o operário está em equilíbrio instável e à mercê de uma rajada de vento A análise do equilíbrio estático é muito importante para os engenheiros Um engenheiro projetista precisa identificar todas as forças e torques externos a que uma estrutura pode ser submetida e por meio de um projeto benfeito e uma escolha adequada de materiais assegurar que a estrutura permaneça estável sob o efeito das cargas Uma análise desse tipo é necessária por exemplo para garantir que uma ponte não vai desabar em um dia de ventania e que o trem de pouso de um avião vai resistir a uma aterrissagem forçada Figura 122 a Um dominó equilibrado em uma aresta com o centro de massa verticalmente acima da aresta A linha de ação da força gravitacional g a que o dominó está submetido passa pela aresta de apoio b Se o dominó sofre uma rotação ainda que pequena a partir da orientação de equilíbrio g produz um torque que aumenta a rotação c Um dominó apoiado no lado estreito está em uma situação um pouco mais estável do que a do dominó mostrado em a d Um cubo é ainda mais estável Robert BrennerPhotoEdit Figura 123 Um operário de pé em uma viga está em equilíbrio estático mas sua posição é mais estável na direção paralela à viga que na direção perpendicular As Condições de Equilíbrio O movimento de translação de um corpo é descrito pela segunda lei de Newton para translações Eq 9 27 Se o corpo está em equilíbrio para translações ou seja se é uma constante e temos 1 2 O movimento de rotação de um corpo é descrito pela segunda lei de Newton para rotações Eq 11 29 Se o corpo está em equilíbrio para rotações ou seja se é uma constante e temos Assim os requisitos para que um corpo esteja em equilíbrio são os seguintes A soma vetorial das forças externas que agem sobre o corpo deve ser nula A soma vetorial dos torques externos que agem sobre o corpo medidos em relação a qualquer ponto deve ser nula Esses requisitos obviamente valem para o equilíbrio estático Entretanto valem também para o caso de equilíbrio mais geral no qual e são constantes mas diferentes de zero As Eqs 123 e 125 como qualquer equação vetorial são equivalentes cada uma a três equações independentes uma para cada eixo do sistema de coordenadas As Equações Principais Vamos simplificar o problema considerando apenas situações nas quais as forças que agem sobre o corpo estão no plano xy Isso significa dizer que os torques que agem sobre o corpo tendem a provocar rotações apenas em torno de eixos paralelos ao eixo z Com essa suposição eliminamos uma equação de força e duas equações de torque das Eqs 126 ficando com 3 Aqui é o torque resultante que as forças externas produzem em relação ao eixo z ou em relação a qualquer eixo paralelo ao eixo z Um disco metálico que desliza no gelo com velocidade constante satisfaz as Eqs 127 128 e 129 e está portanto em equilíbrio mas não está em equilíbrio estático Para que o equilíbrio seja estático o momento linear do disco deve ser zero ou seja o disco deve estar em repouso em relação ao gelo Assim existe um outro requisito para o equilíbrio estático O momento linear do corpo deve ser nulo Teste 1 A figura mostra seis vistas superiores de uma barra homogênea sobre a qual duas ou mais forças atuam perpendicularmente à maior dimensão da barra Se os módulos das forças são ajustados adequadamente mas mantidos diferentes de zero em que situações a barra pode estar em equilíbrio estático O Centro de Gravidade A força gravitacional que age sobre um corpo é a soma vetorial das forças gravitacionais que agem sobre todos os elementos átomos do corpo Em vez de considerar todos esses elementos podemos dizer o seguinte A força gravitacional g age efetivamente sobre um único ponto de um corpo o chamado centro de gravidade CG do corpo A palavra efetivamente significa que se as forças que agem sobre os elementos do corpo fossem de alguma forma desligadas e uma força aplicada ao centro de gravidade fosse ligada a força resultante e o torque resultante em relação a qualquer ponto seriam os mesmos Até agora supusemos que a força gravitacional era aplicada ao centro de massa CM do corpo Isso equivale a supor que o centro de gravidade coincide com o centro de massa Lembrese de que para um corpo de massa M a força g é igual a M em que é a aceleração que a força produziria se o corpo estivesse em queda livre Na demonstração a seguir provamos que Se é igual para todos os elementos de um corpo o centro de gravidade CG do corpo coincide com o centro de massa CM A hipótese anterior é aproximadamente verdadeira para os objetos comuns já que varia muito pouco na superfície terrestre e diminui apenas ligeiramente com a altitude Assim no caso de objetos como um rato ou um boi podemos supor que a força gravitacional age no centro de massa Após a demonstração a seguir passaremos a usar essa hipótese Figura 124 a Um elemento de massa mi em um corpo de dimensões finitas A força gravitacional gi a que o elemento está submetido tem um braço de alavanca xi em relação à origem O do sistema de coordenadas b Dizemos que a força gravitacional g g a que um corpo está submetido age sobre o centro de gravidade CG do corpo Neste caso o braço de alavanca de g é xCG em relação à origem O Demonstração Vamos considerar primeiro os elementos do corpo A Fig 124a mostra um corpo de massa M e um dos elementos do corpo de massa mi Uma força gravitacional g age sobre o elemento e é igual a mi i O índice de i significa que i é a aceleração da gravidade na posição do elemento i ela pode ser diferente para outros elementos Na Fig 124a cada força gi produz um torque τi sobre o elemento i em relação à origem O com braço de alavanca xi Usando a Eq 1041 τ rF podemos escrever o torque τi na forma O torque resultante para todos os elementos do corpo é portanto Vamos agora considerar o corpo como um todo A Fig 124b mostra a força gravitacional g atuando no centro de gravidade do corpo A força produz um torque τ sobre o corpo em relação a O com um braço de alavanca xCG Usando novamente a Eq 1041 podemos escrever o torque na forma Como a força gravitacional g a que o corpo está submetido é igual à soma das forças gravitacionais gi que agem sobre todos os elementos podemos substituir Fg por ΣFgi na Eq 1212 e escrever Acontece que o torque produzido pela aplicação da força g ao centro de gravidade é igual ao torque resultante das forças gi aplicadas a todos os elementos do corpo Foi assim que definimos o centro de gravidade Assim τ na Eq 1213 é igual a τres na Eq 1211 Combinando as duas equações podemos escrever xCGFgi xiFgi Substituindo Fgi por migi obtemos Vamos agora usar uma ideiachave Se as acelerações gi para todos os elementos são iguais podemos cancelar gi na Eq 214 e escrever Como a soma Σmi das massas dos elementos é a massa M do corpo podemos escrever a Eq 1215 como O lado direito da Eq 1216 é a coordenada xCM do centro de massa do corpo Eq 94 Chegamos portanto à igualdade que queríamos demonstrar Se a aceleração da gravidade é a mesma para todos os elementos de um corpo as coordenadas do centro de massa e do centro de gravidade são iguais 122 ALGUNS EXEMPLOS DE EQUILÍBRIO ESTÁTICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1205 Aplicar as condições de força e de torque para o equilíbrio estático 1206 Saber que uma escolha criteriosa da origem em relação à qual os torques serão calculados pode simplificar os cálculos eliminando uma ou mais forças desconhecidas da equação do torque IdeiasChave Dizemos que um corpo rígido em repouso está em equilíbrio estático Se um corpo está em equilíbrio estático a soma vetorial das forças externas que agem sobre o corpo é zero Se todas as forças estão no plano xy essa equação vetorial é equivalente a duas equações para as componentes x e y Fresx 0 e Fresy 0 equilíbrio de forças Se um corpo está em equilíbrio estático a soma vetorial dos torques externos que agem sobre o corpo também é zero Se todas as forças estão no plano xy todos os torques são paralelos ao eixo z e essa equação vetorial é equivalente a uma equação para a componente z τresz 0 equilíbrio de torques Alguns Exemplos de Equilíbrio Estático Neste módulo são discutidos vários problemas que envolvem o equilíbrio estático Em cada um desses problemas aplicamos as equações do equilíbrio Eqs 127 128 e 129 a um sistema constituído por um ou mais objetos As forças envolvidas estão todas no plano xy o que significa que os torques são paralelos ao eixo z Assim ao aplicarmos a Eq 129 que estabelece o equilíbrio dos torques escolhemos um eixo paralelo ao eixo z como referência para calcular os torques Embora a Eq 129 seja satisfeita para qualquer eixo de referência certas escolhas simplificam a aplicação da equação eliminando um ou mais termos associados a forças desconhecidas Teste 2 A figura mostra uma vista de cima de uma barra homogênea em equilíbrio estático a É possível determinar o módulo das forças desconhecidas 1 e 2 equilibrando as forças b Se você está interessado em determinar o módulo da força 2 usando uma equação de equilíbrio de torques onde você deve colocar o eixo de rotação para eliminar 2 da equação c Se o módulo de 2 é 65 N qual é o módulo de 1 Exemplo 1201 Equilíbrio de uma viga horizontal Na Fig 125a uma viga homogênea de comprimento L e massa m 18 kg está apoiada em duas balanças Um bloco homogêneo de massa M 27 kg está apoiado na viga com o centro a uma distância L4 da extremidade esquerda da viga Quais são as leituras das balanças IDEIASCHAVE A melhor tática para resolver qualquer problema de equilíbrio estático consiste em antes de mais nada definir claramente o sistema a ser analisado e a desenhar um diagrama de corpo livre no qual apareçam todas as forças externas que agem sobre o sistema Neste caso vamos escolher o sistema como a viga e o bloco tomados em conjunto As forças que agem sobre o sistema são mostradas no diagrama de corpo livre da Fig 125b Escolher o sistema exige experiência e frequentemente existe mais de uma escolha adequada Como o sistema está em equilíbrio estático podemos usar as equações de equilíbrio de forças Eqs 127 e 128 e a equação de equilíbrio de torques Eq 129 Cálculos As forças normais exercidas pelas balanças sobre a viga são do lado esquerdo e do lado direito As leituras das balanças que desejamos determinar são iguais aos módulos dessas forças A força gravitacional a que a viga está submetida está aplicada ao centro de massa e é igual a Analogamente a força gravitacional a que o bloco está submetido está aplicada ao centro de massa e é igual a Para simplificar a Fig 125b o bloco foi representado por um ponto da viga e foi desenhada com a origem na viga Esse deslocamento do vetor ao longo da linha de ação não altera o torque produzido por em relação a qualquer eixo perpendicular à figura Como as forças não possuem componentes x a Eq 127 Fresx 0 não fornece nenhuma informação No caso das componentes y a Eq 128 Fresy 0 pode ser escrita na forma Como a Eq 1218 contém duas incógnitas as forças Fe e Fd precisamos usar também a Eq 129 a equação de equilíbrio dos torques Podemos aplicála a qualquer eixo de rotação perpendicular ao plano da Fig 125 Vamos escolher um eixo de rotação passando pela extremidade esquerda da viga Usaremos também nossa regra geral para atribuir sinais aos torques Se um torque tende a fazer um corpo inicialmente em repouso girar no sentido horário o torque é negativo se o torque tende a fazer o corpo girar no sentido antihorário o torque é positivo Finalmente vamos escrever os torques na forma rF em que o braço de alavanca r é 0 para L4 para M L2 para m e L para Podemos agora escrever a equação do equilíbrio τresz 0 como 0Fe L4Mg L2mg LFd 0 o que nos dá Explicitando Fe na Eq 1218 e substituindo os valores conhecidos obtemos Figura 125 a Uma viga de massa m sustenta um bloco de massa M b Diagrama de corpo livre mostrando as forças que agem sobre o sistema viga bloco Observe a estratégia usada na solução Quando escrevemos uma equação para o equilíbrio das componentes das forças esbarramos em duas incógnitas Se tivéssemos escrito uma equação para o equilíbrio de torques em torno de um eixo qualquer teríamos esbarrado nas mesmas duas incógnitas Entretanto como escolhemos um eixo que passava pelo ponto de aplicação de uma das forças desconhecidas a dificuldade foi contornada Nossa escolha eliminou da equação do torque permitindo que obtivéssemos o módulo da outra força Fd Em seguida voltamos à equação do equilíbrio de forças para calcular o módulo da outra força Exemplo 1202 Equilíbrio de uma lança de guindaste A Fig 126a mostra um cofre de massa M 430 kg pendurado por uma corda presa a uma lança de guindaste de dimensões a 19 m e b 25 m A lança é composta por uma viga articulada e um cabo horizontal A viga feita de material homogêneo tem massa m de 85 kg as massas do cabo e da corda são desprezíveis a Qual é a tração Tcabo do cabo Em outras palavras qual é o módulo da força exercida pelo cabo sobre a viga IDEIASCHAVE O sistema neste caso é apenas a viga forças a que a viga está submetida são mostradas no diagrama de corpo livre da Fig 126b A força exercida pelo cabo é A força gravitacional que age sobre a viga está aplicada ao centro de massa situado no centro da viga e foi representada pela força equivalente m A componente vertical da força que a dobradiça exerce sobre a viga é e a componente horizontal é A força exercida pela corda que sustenta o cofre é Como a viga a corda e o cofre estão em repouso o módulo de é igual ao peso do cofre Tcorda Mg Posicionamos a origem O de um sistema de coordenadas xy na dobradiça Como o sistema está em equilíbrio estático as equações de equilíbrio podem ser usadas Cálculos Vamos começar pela Eq 129 τresz 0 Note que o enunciado pede o módulo da força mas não os módulos das forças e que agem sobre a dobradiça no ponto O Para eliminar e do cálculo do torque basta determinar os torques em relação a um eixo perpendicular ao papel passando pelo ponto O Nesse caso e têm braços de alavanca nulos As linhas de ação de e m estão indicadas por retas tracejadas na Fig 126b Os braços de alavanca correspondentes são a b e b2 Escrevendo os torques na forma rF e usando nossa regra para os sinais dos torques a equação de equilíbrio τresz 0 se torna Substituindo Tcorda por Mg e explicitando Tcabo obtemos b Determine o módulo F da força exercida pela dobradiça sobre a viga IDEIACHAVE Agora precisamos conhecer Fh e Fv para combinálas e calcular F Como já conhecemos Tcabo vamos aplicar à viga as equações de equilíbrio de forças Cálculos No caso do equilíbrio na horizontal escrevemos Fresx 0 como e portanto Fh Tcabo 6093 N Figura 126 a Um cofre está pendurado em uma lança de guindaste composta por uma viga homogênea e um cabo de aço horizontal b Diagrama de corpo livre da viga No caso do equilíbrio na vertical escrevemos Fresy 0 como Fv mg Tcorda 0 Substituindo Tcorda por Mg e explicitando Fv obtemos Fv m Mg 85 kg 430 kg98 ms2 5047 N De acordo com o teorema de Pitágoras temos Note que F é bem maior que a soma dos pesos do cofre e da viga 5000 N e que a tração do cabo horizontal 6100 N Exemplo 1203 Equilíbrio de uma escada Na Fig 127a uma escada de comprimento L 12 m e massa m 45 kg está encostada em um muro liso sem atrito A extremidade superior da escada está a uma altura h 93 m acima do piso no qual a escada está apoiada existe atrito entre a escada e o piso O centro de massa da escada está a uma distância L3 da extremidade inferior Um bombeiro de massa M 72 kg sobe na escada até que seu centro de massa esteja a uma distância L2 da extremidade inferior Quais são nesse instante os módulos das forças exercidas pelo muro e pelo piso sobre a escada IDEIASCHAVE Para começar escolhemos nosso sistema como o conjunto bombeiroescada e desenhamos o diagrama de corpo livre da Fig 12 7b Como o sistema está em equilíbrio estático as equações de equilíbrio de forças e de torques Eqs 127 a 129 podem ser usadas Cálculos Na Fig 127b o bombeiro está representado por um ponto no meio da escada O peso do bombeiro é representado pelo vetor equivalente M que foi deslocado ao longo da linha de ação para que a origem coincidisse com o ponto que representa o bombeiro Como o deslocamento não altera o torque produzido por M em relação a eixos perpendiculares à figura não afeta a equação de equilíbrio dos torques que será usada a seguir Como não há atrito entre a escada e o muro a única força exercida pelo muro sobre a escada é a força horizontal A força exercida pelo piso sobre a escada tem uma componente horizontal que é uma força de atrito estática e uma componente vertical que é uma força normal Para aplicarmos as equações de equilíbrio vamos começar com a Eq 129 τresz 0 Para escolher o eixo em relação ao qual vamos calcular os torques note que temos forças desconhecidas e nas duas extremidades da escada Para eliminar digamos dos cálculos colocamos o eixo no ponto O perpendicular ao papel Fig 127b Colocamos também a origem de um sistema de coordenadas xy em O Uma escolha criteriosa da origem do sistema de coordenadas pode facilitar consideravelmente o cálculo dos torques Podemos calcular os torques em relação a O usando qualquer uma das Eqs 1039 a 1041 mas a Eq 1041 τ rF é a mais fácil de usar neste caso Para determinar o braço de alavanca r de desenhamos a linha de ação do vetor reta horizontal tracejada da Fig 12 7c r é a distância perpendicular entre O e a linha de ação Na Fig 127c r está no eixo y e é igual à altura h Também desenhamos linhas de ação para M e m e constatamos que os braços de alavanca das duas forças estão no eixo x Para a distância a mostrada na Fig 127a os braços de alavanca são a2 o bombeiro está no ponto médio da escada e a3 o CM da escada está a um terço do comprimento a partir da extremidade inferior respectivamente Os braços de alavanca de e são nulos porque a origem está situada no ponto de aplicação das duas forças Com os torques escritos na forma rF a equação de equilíbrio τresz 0 assume a forma Lembrese da nossa regra um torque positivo corresponde a uma rotação no sentido antihorário e um torque negativo corresponde a uma rotação no sentido horário Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo formado pela escada o muro e o piso na Fig 117a obtemos Assim a Eq 1221 nos dá Figura 127 a Um bombeiro sobe metade de uma escada que está encostada em uma parede sem atrito O piso no qual a escada está apoiada tem atrito b Diagrama de corpo livre mostrando as forças que agem sobre o sistema bombeiro escada A origem O de um sistema de coordenadas é colocada no ponto de aplicação da força desconhecida cujas componentes e aparecem na figura c Cálculo dos torques d Equilíbrio das forças Para determinar a força exercida pelo piso usamos as equações de equilíbrio de forças A equação Fresx 0 nos dá Fm Fpx 0 e portanto Fpx Fm 410 N Resposta A equação Fresy 0 nos dá Fpy Mg mg 0 e portanto Fpy M mg 72 kg 45 kg98 ms2 11466 N 1100 N Resposta Exemplo 1204 Equilíbrio da Torre de Pisa Suponha que a Torre de Pisa seja modelada por um cilindro oco homogêneo de raio R 98 m e altura h 60 m O centro de massa está situado no eixo central do cilindro a uma distância h2 das extremidades Na Fig 128a o cilindro está na vertical Na Fig 128b o cilindro está inclinado para a direita na direção da parede sul da torre fazendo um ângulo θ 55o com a vertical o que desloca o centro de massa de uma distância horizontal d Vamos supor que o solo exerce apenas duas forças sobre a torre Uma força normal age sobre a parede da esquerda norte e uma força normal age sobre a parede da direita sul Qual é o aumento percentual de FND por causa da inclinação da torre IDEIACHAVE Como a torre ainda está de pé ela continua em equilíbrio estático e portanto a soma dos torques em relação a qualquer ponto é zero Cálculos Como estamos interessados em calcular FND a força normal do solo do lado direito e não conhecemos nem estamos interessados em conhecer FNE a força normal do solo do lado esquerdo usamos o ponto de apoio da torre do lado esquerdo como referência para calcular os torques As forças que agiam sobre a torre quando ela estava na posição vertical estão representadas na Fig 128c A força gravitacional m que podemos supor que esteja aplicada ao centro de massa tem uma linha de ação vertical e um braço de alavanca R a distância perpendicular entre o ponto de referência e a linha de ação Como o torque associado a essa força tende a produzir uma rotação em torno do ponto de referência no sentido horário o sinal do torque é negativo A linha de ação da força normal também é vertical e o braço de alavanca em relação ao ponto de referência é 2R Uma vez que o torque associado a essa força tende a produzir uma rotação em torno do ponto de referência no sentido antihorário o sinal do torque é positivo Assim a equação de equilíbrio dos torques τresz 0 é Rmg 2RFNR 0 o que nos dá Esse resultado era previsível Com o centro de massa no eixo central reta de simetria do cilindro o lado direito sustenta metade do peso do cilindro Na Fig 128b o centro de massa foi deslocado de uma distância A únicas mudanças na equação de equilíbrio dos torques são que agora o braço de alavanca da força gravitacional é R d e a força normal do lado direito tem um novo valor FND Fig 128d Assim temos R dmg 2RFND 0 o que nos dá Dividindo o valor da força normal com a torre inclinada pelo valor da força normal com a torre na vertical e substituindo d por seu valor em termos de h e θ temos Figura 128 A Torre de Pisa modelada por um cilindro a na vertical e b inclinada com o centro de massa deslocado para a direita Forças e braços de alavanca usados para calcular os torques em relação ao ponto O c com o cilindro na vertical e d com o cilindro inclinado Fazendo h 60 m R 98 m e θ 55o obtemos Assim de acordo com nosso modelo embora a inclinação tenha sido pequena a força normal aplicada à parede sul da torre aumentou cerca de 30 Um risco associado a esse aumento é que a parede sofra um processo de flambagem e acabe por se romper A inclinação da torre foi causada pela compressibilidade do solo que aumentava cada vez que chovia Recentemente os engenheiros estabilizaram a torre e reverteram parcialmente a inclinação instalando um sistema de drenagem 123 ELASTICIDADE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1207 Explicar o que é uma estrutura indeterminada 1208 No caso de forças de tração e compressão usar a equação que relaciona tensão à deformação e ao módulo de Young 1209 Saber a diferença entre limite elástico e limite de ruptura 1210 No caso de forças de cisalhamento usar a equação que relaciona tensão à deformação e ao módulo de cisalhamento 1211 No caso de forças hidrostáticas usar a equação que relaciona a pressão hidrostática à deformação e ao módulo de elasticidade volumétrico IdeiasChave Três módulos de elasticidade são usados para descrever o comportamento elástico deformação de objetos submetidos a forças A deformação variação relativa de comprimento está relacionada à tensão aplicada força por unidade de área por um módulo de elasticidade segundo a relação geral tensão módulo de elasticidade deformação Quando um objeto é submetido a uma força de tração ou de compressão a relação tensãodeformação assume a forma em que ΔLL é a deformação do objeto F é o módulo da força responsável pela deformação A é a área da seção reta à qual a força é aplicada perpendicularmente à seção reta e E é o módulo de Young do objeto A tensão é dada por FA No momento em que um objeto é submetido a uma força de cisalhamento a relação tensãodeformação assume a forma em que ΔxL é a deformação do objeto Δx é o deslocamento de uma das extremidades do objeto na direção da força aplicada e G é o módulo de cisalhamento do objeto A tensão é dada por FA No momento em que um objeto é submetido a uma força hidrostática a relação tensãodeformação assume a forma em que p é a pressão hidrostática ΔVV é a deformação do objeto e B é o módulo de elasticidade volumétrico do objeto Estruturas Indeterminadas Para resolver os problemas deste capítulo temos apenas três equações independentes à disposição que são em geral duas equações de equilíbrio de forças e uma equação de equilíbrio de torques em relação a um eixo de rotação Assim se um problema tem mais de três incógnitas não podemos resolvêlo Considere o caso de um carro assimetricamente carregado Quais são as forças todas diferentes que agem sobre os quatro pneus O problema não pode ser resolvido usando os métodos discutidos até o momento pois temos apenas três equações independentes para trabalhar Da mesma forma podemos resolver o problema de equilíbrio para uma mesa de três pernas mas não para uma de quatro pernas Problemas como esses nos quais existem mais incógnitas que equações são chamados de indeterminados No mundo real por outro lado sabemos que existem soluções para problemas indeterminados Se apoiarmos os pneus de um carro nos pratos de quatro balanças cada balança fornecerá uma leitura definida e a soma das quatro leituras será o peso do carro O que está faltando em nossos esforços para obter as forças por meio de equações O problema está no fato de que supusemos implicitamente que os corpos aos quais aplicamos as equações do equilíbrio estático são perfeitamente rígidos ou seja não se deformam ao serem submetidos a forças Na verdade nenhum corpo é totalmente rígido Os pneus de um carro por exemplo se deformam facilmente sob a ação de uma carga até que o carro atinja uma posição de equilíbrio estático Todos nós já passamos pela experiência de ocupar uma mesa bamba em um restaurante a qual normalmente nivelamos introduzindo um calço de papel dobrado debaixo de uma das pernas Se colocássemos um elefante no centro de uma dessas mesas sem o calço e a mesa não quebrasse as pernas da mesa se deformariam como os pneus de um carro Todas as pernas tocariam o piso as forças normais do piso sobre as pernas da mesa assumiriam valores definidos e diferentes como na Fig 129 e a mesa não ficaria mais bamba Naturalmente nós e o elefante seríamos imediatamente expulsos do restaurante mas em princípio como podemos calcular os valores das forças em situações como essa em que existem deformações Figura 129 A mesa é uma estrutura indeterminada As quatro forças a que as pernas da mesa estão sujeitas diferem em módulo e não podem ser calculadas usando apenas as leis do equilíbrio estático Para resolver problemas de equilíbrio indeterminado precisamos suplementar as equações de equilíbrio com algum conhecimento de elasticidade o ramo da física e da engenharia que descreve como corpos se deformam quando são submetidos a forças Teste 3 Uma barra horizontal homogênea pesando 10 N está pendurada no teto por dois fios que exercem forças e sobre a barra A figura mostra quatro configurações diferentes dos fios Que configurações são indeterminadas ou seja tornam impossível calcular os valores numéricos de e Figura 1210 Os átomos de um sólido metálico estão dispostos em uma rede regular tridimensional As molas representam forças interatômicas Elasticidade Quando muitos átomos se juntam para formar um sólido metálico como por exemplo um prego de ferro os átomos ocupam posições de equilíbrio em uma rede cristalina tridimensional um arranjo repetitivo no qual cada átomo está a uma distância de equilíbrio bem definida dos vizinhos mais próximos Os átomos são mantidos unidos por forças interatômicas representadas por pequenas molas na Fig 1210 A rede é quase perfeitamente rígida o que é outra forma de dizer que as molas interatômicas são extremamente duras É por essa razão que temos a impressão de que alguns objetos comuns como escadas de metal mesas e colheres são indeformáveis Outros objetos comuns como mangueiras de jardim e luvas de borracha são facilmente deformados Nesses objetos os átomos não formam uma rede rígida como a Fig 1210 mas estão ligados em cadeias moleculares longas e flexíveis que estão ligadas apenas fracamente às cadeias vizinhas Todos os corpos rígidos reais são na verdade ligeiramente elásticos o que significa que podemos mudar ligeiramente as suas dimensões puxandoos empurrandoos torcendoos ou comprimindoos Para você ter uma ideia das ordens de grandeza envolvidas considere uma barra de aço vertical de 1 m de comprimento e 1 cm de diâmetro presa no teto de uma fábrica Se um carro compacto for pendurado na extremidade inferior da barra ela esticará apenas 05 mm o que corresponde a 005 do comprimento original Se o carro for removido o comprimento da barra voltará ao valor inicial Se dois carros forem pendurados na barra ela ficará permanentemente deformada ou seja o comprimento não voltará ao valor inicial quando a carga for removida Se três carros forem pendurados na barra ela arrebentará Imediatamente antes da ruptura o alongamento da barra será menor do que 02 Embora pareçam pequenas deformações dessa ordem são muito importantes para os engenheiros Se a asa de um avião vai se partir ao sofrer uma pequena deformação é obviamente uma questão importante Três Formas A Fig 1211 mostra três formas pelas quais as dimensões de um sólido podem ser modificadas por uma força aplicada Na Fig 1211a um cilindro é alongado Na Fig 1211b um cilindro é deformado por uma força perpendicular ao eixo maior de modo parecido com a deformação de uma pilha de cartas de baralho Na Fig 1211c um objeto sólido mergulhado em um fluido é comprimido uniformemente de todas as direções O que esses três comportamentos têm em comum é que uma tensão força por unidade de área produz uma deformação variação relativa de um comprimento ou de um volume Na Fig 1211 a tensão trativa associada ao alongamento está ilustrada em a a tensão de cisalhamento em b e a tensão hidrostática em c Figura 1211 a Um cilindro submetido a uma tensão trativa sofre um alongamento ΔL b Um cilindro submetido a uma tensão de cisalhamento sofre uma deformação Δx semelhante à de uma pilha de cartas de baralho c Uma esfera maciça submetida a uma tensão hidrostática uniforme aplicada por um fluido sofre uma redução de volume ΔV Todas as deformações estão grandemente exageradas Figura 1212 Corpo de prova usado para obter uma curva tensãodeformação como a da Fig 1213 A variação ΔL que ocorre em um trecho L do corpo de prova é medida em um ensaio de tensãodeformação As tensões e deformações assumem formas diferentes nas três situações da Fig 1211 mas para uma larga faixa de valores tensão e deformação são proporcionais A constante de proporcionalidade é chamada de módulo de elasticidade Temos portanto Em um testepadrão de propriedades elásticas a tensão trativa aplicada a um corpo de prova de forma cilíndrica como o da Fig 1212 é lentamente aumentada de zero até o ponto em que o cilindro se rompe e ao mesmo tempo a deformação é medida O resultado é um gráfico tensãodeformação como o da Fig 1213 Para uma larga faixa de tensões aplicadas a relação tensãodeformação é linear e o corpo de prova recupera as dimensões originais quando a tensão é removida é nessa faixa que a Eq 1222 pode ser usada Se a tensão ultrapassa o limite elástico Sy da amostra a deformação se torna permanente Se a tensão continua a aumentar o corpo de prova acaba por se romper para um valor de tensão conhecido como limite de ruptura Su Figura 1213 Curva tensãodeformação de um corpo de prova de aço como o da Fig 1212 O corpo de prova sofre uma deformação permanente quando a tensão atinge o limite elástico e se rompe quando a tensão atinge o limite de ruptura do material Tração e Compressão No caso de uma tração ou de uma compressão a tensão a que o objeto está submetido é definida como FA em que F é o módulo da força aplicada perpendicularmente a uma área A do objeto A deformação é a grandeza adimensional ΔLL que representa a variação fracionária ou às vezes percentual do comprimento do corpo de prova Se o corpo de prova é uma barra longa e a tensão não ultrapassa o limite elástico não só a barra como um todo como qualquer trecho da barra experimenta a mesma deformação quando uma tensão é aplicada Como a deformação é adimensional o módulo de elasticidade da Eq 1222 tem dimensões da tensão ou seja força por unidade de área O módulo de elasticidade das tensões de tração e de compressão é chamado de módulo de Young e representado pelo símbolo E Substituindo as grandezas da Eq 1222 por símbolos obtemos a seguinte equação A deformação ΔLL de um corpo de prova pode ser medida usando um instrumento conhecido como extensômetro Fig 1214 que é colado no corpo de prova e cujas propriedades elétricas mudam de acordo com a deformação sofrida Mesmo que os módulos de Young de um material para tração e compressão sejam quase iguais o que é comum o limite de ruptura pode ser bem diferente dependendo do tipo de tensão O concreto por exemplo resiste muito bem à compressão mas é tão fraco sob tração que os engenheiros tomam precauções especiais para que o concreto usado nas construções não seja submetido a forças de tração A Tabela 121 mostra o módulo de Young e outras propriedades elásticas de alguns materiais Figura 1214 Um extensômetro de 98 mm por 46 mm usado para medir deformações O dispositivo é colado no corpo cuja deformação se deseja medir e então sofre a mesma deformação que o corpo A resistência elétrica do extensômetro varia com a deformação permitindo que deformações de até 3 sejam medidas Cisalhamento No caso do cisalhamento a tensão também é uma força por unidade de área mas o vetor força está no plano da área e não da direção perpendicular a esse plano A deformação é a razão adimensional ΔxL em que Δx e L são as grandezas mostradas na Fig 1211b O módulo de elasticidade correspondente que é representado pelo símbolo G é chamado de módulo de cisalhamento No caso do cisalhamento a Eq 1222 assume a forma As tensões de cisalhamento exercem um papel importante no empenamento de eixos e na fratura de ossos Tensão Hidrostática Na Fig 1211c a tensão é a pressão p que o fluido exerce sobre o objeto e como veremos no Capítulo 14 pressão é força por unidade de área A deformação é ΔVV em que V é o volume original do corpo de prova e ΔV é o valor absoluto da variação de volume O módulo correspondente representado pelo símbolo B é chamado de módulo de elasticidade volumétrico do material Dizemos que o corpo de prova está sob compressão hidrostática e a pressão pode ser chamada de tensão hidrostática Para essa situação a Eq 1222 pode ser escrita na forma O módulo de elasticidade volumétrico é 22 109 Nm2 para a água e 16 1011 Nm2 para o aço A pressão no fundo do Oceano Pacífico na sua profundidade média de aproximadamente 4000 m é 40 107 Nm2 A compressão fracionária ΔVV da água produzida por essa pressão é 18 a de um objeto de aço é apenas 0025 Em geral os sólidos com suas redes atômicas rígidas são menos compressíveis que os líquidos nos quais os átomos ou moléculas estão mais frouxamente acoplados aos vizinhos Tabela 121 Propriedades Elásticas de Alguns Materiais Material Massa Específica ρ kgm3 Módulo de Young E 109 Nm2 Limite de Ruptura Sr 106 Nm2 Limite de Elasticidade Se 106 Nm2 Açoa 7860 200 400 250 Alumínio 2710 70 110 95 Vidro 2190 65 50b Concretoc 2320 30 40b Madeirad 525 13 50b Osso 1900 9b 170b Poliestireno 1050 3 48 aAço estrutural ASTMA36 bPara compressão cDe alta resistência dPinho Exemplo 1205 Tensão e deformação de uma barra Uma das extremidades de uma barra de aço de raio R 95 mm e comprimento L 81 cm está presa a um torno e uma força F 62 kN uniforme perpendicular à seção reta é aplicada à outra extremidade Quais são a tensão o alongamento ΔL e a deformação da barra IDEIASCHAVE 1 Como a força é perpendicular à seção reta a tensão é a razão entre o módulo F da força aplicada e a área A da seção reta Essa razão é o lado esquerdo da Eq 1223 2 O alongamento ΔL está relacionado à tensão e ao módulo de Young por meio da Eq 1223 FA EΔLL 3 A tensão é a razão entre o alongamento e o comprimento inicial L Cálculos Para determinar a tensão escrevemos Como o limite elástico do aço estrutural é 25 108 Nm2 a barra está perigosamente próxima do limite elástico O valor do módulo de Young do aço é dado na Tabela 121 De acordo com a Eq 1223 o alongamento é A deformação é portanto Exemplo 1206 Nivelando uma mesa bamba Uma mesa tem três pernas com 100 m de comprimento e uma quarta perna com um comprimento adicional d 050 mm que faz com que a mesa fique ligeiramente bamba Um cilindro de aço de massa M 290 kg é colocado na mesa que tem massa muito menor que M comprimindo as quatro pernas sem envergálas e fazendo com a que a mesa fique nivelada As pernas são cilindros de madeira com uma área da seção reta A 10 cm2 o módulo de Young é E 13 1010 Nm2 Qual é o módulo das forças que o chão exerce sobre as pernas da mesa IDEIASCHAVE Tomamos a mesa e o cilindro de aço como nosso sistema A situação é a da Fig 129 exceto pelo fato de que agora temos um cilindro de aço sobre a mesa Se o tampo da mesa permanece nivelado as pernas devem estar comprimidas da seguinte forma Cada uma das pernas mais curtas sofreu o mesmo encurtamento vamos chamálo de ΔL3 e portanto está submetida à mesma força F3 A perna mais comprida sofreu um encurtamento maior ΔL4 e portanto está submetida a uma força F4 maior que F3 Em outras palavras para que a mesa esteja nivelada devemos ter De acordo com a Eq 1223 podemos relacionar uma variação do comprimento à força responsável pela variação usando a equação ΔL FLAE em que L é o comprimento original Podemos usar essa relação para substituir ΔL4 e ΔL3 na Eq 1226 Observe que podemos tomar o comprimento original L como aproximadamente o mesmo para as quatro pernas Cálculos Fazendo essas substituições e essa aproximação podemos escrever Não podemos resolver a Eq 1227 porque ela contém duas incógnitas F4 e F3 Para obter uma segunda equação envolvendo F4 e F3 podemos definir um eixo vertical y e escrever uma equação de equilíbrio para as componentes verticais das forças Fresy 0 na forma em que Mg é o módulo da força gravitacional que age sobre o sistema Três das quatro pernas estão submetidas a uma força Para resolver o sistema de equações 1227 e 1228 para digamos calcular F3 usamos primeiro a Eq 1228 para obter F4 Mg 3F3 Substituindo F4 por seu valor na Eq 1227 obtemos depois de algumas manipulações algébricas Substituindo esse valor na Eq 1228 obtemos É fácil mostrar que quando o equilíbrio é atingido as três pernas curtas estão com uma compressão de 042 mm e a perna mais comprida está com uma compressão de 092 mm Revisão e Resumo Equilíbrio Estático Quando um corpo rígido está em repouso dizemos que ele se encontra em equilíbrio estático A soma vetorial das forças que agem sobre um corpo em equilíbrio estático é zero Se todas as forças estão no plano xy a equação vetorial 123 é equivalente a duas equações para as componentes No caso de um corpo em equilíbrio estático a soma vetorial dos torques externos que agem sobre o corpo em relação a qualquer ponto também é zero ou seja Se as forças estão no plano xy todos os torques são paralelos ao eixo z e a Eq 125 é equivalente a uma equação para a única componente diferente de zero Centro de Gravidade A força gravitacional age separadamente sobre cada elemento de um corpo O efeito total de todas essas forças pode ser determinado imaginando uma força gravitacional equivalente g aplicada ao centro de gravidade do corpo Se a aceleração da gravidade é a mesma para todos os elementos do corpo a posição do centro de gravidade coincide com a do centro de massa Módulos de Elasticidade Três módulos de elasticidade são usados para descrever o comportamento elástico ou seja as deformações de objetos submetidos a forças A deformação variação relativa do comprimento ou de volume está linearmente relacionada à tensão força por unidade de área por meio de um módulo de elasticidade apropriado de acordo com a relação geral Tração e Compressão Quando um objeto é submetido a uma força de tração ou a uma força de compressão a Eq 1222 é escrita na forma em que ΔLL é a deformação de alongamento ou compressão do objeto F é o módulo da força responsável pela deformação A é a área de seção reta à qual a força é aplicada perpendicularmente a A como na Fig 1211a e E é o módulo de Young do objeto A tensão é FA Cisalhamento Quando um objeto é submetido a uma força de cisalhamento a Eq 1222 é escrita como em que ΔxL é a deformação de cisalhamento do objeto Δx é o deslocamento de uma das extremidades do objeto na direção da força aplicada como na Fig 1211b e G é o módulo de cisalhamento do objeto A tensão é FA Tensão Hidrostática Quando um objeto é submetido a uma força hidrostática devido à pressão exercida pelo fluido no qual ele está submerso a Eq 1222 é escrita na forma em que p é a pressão tensão hidrostática que o fluido exerce sobre o objeto ΔVV deformação é o valor absoluto da variação relativa do volume do objeto produzida por essa pressão e B é o módulo de elasticidade volumétrico do objeto Perguntas 1 A Fig 1215 mostra três situações nas quais a mesma barra horizontal está presa a uma parede por uma dobradiça em uma das extremidades e por uma corda na outra Sem realizar cálculos numéricos ordene as situações de acordo com o módulo a da força que a corda exerce sobre a barra b da força vertical que a dobradiça exerce sobre a barra e c da força horizontal que a dobradiça exerce sobre a barra começando pela maior Figura 1215 Pergunta 1 2 Na Fig 1216 uma trave rígida está presa a dois postes fixos em um piso Um cofre pequeno mas pesado é colocado nas seis posições indicadas uma de cada vez Suponha que a massa da trave seja desprezível em comparação com a do cofre a Ordene as posições de acordo com a força exercida pelo cofre sobre o poste A começando pela maior tensão compressiva e terminando com a maior tensão trativa indique em qual das posições se houver alguma a força é nula b Ordene as posições de acordo com a força exercida sobre o poste B Figura 1216 Pergunta 2 3 A Fig 1217 mostra quatro vistas superiores de discos homogêneos em rotação que estão deslizando em um piso sem atrito Três forças de módulo F 2F ou 3F agem sobre cada disco na borda no centro ou no ponto médio entre a borda e o centro As forças giram com os discos e nos instantâneos da Fig 1217 apontam para a esquerda ou para a direita Quais são os discos que estão em equilíbrio Figura 1217 Pergunta 3 4 Uma escada está apoiada em uma parede sem atrito e não cai por causa do atrito com o piso A base da escada é deslocada em direção à parede Determine se a grandeza a seguir aumenta diminui ou permanece a mesma em módulo a a força normal exercida pelo chão sobre o piso b a força exercida pela parede sobre a escada c a força de atrito estático exercida pelo piso sobre a escada d o valor máximo fsmáx da força de atrito estático 5 A Fig 1218 mostra um móbile de pinguins de brinquedo pendurado em um teto As barras transversais são horizontais têm massa desprezível e o comprimento à direita do fio de sustentação é três vezes maior que o comprimento à esquerda do fio O pinguim 1 tem massa m1 48 kg Quais são as massas a do pinguim 2 b do pinguim 3 e c do pinguim 4 Figura 1218 Pergunta 5 6 A Fig 1219 mostra a vista superior de uma barra homogênea sobre a qual agem quatro forças Suponha que foi escolhido um eixo de rotação passando pelo ponto O que foram calculados os torques produzidos pelas forças em relação a esse eixo e verificouse que o torque resultante é nulo O torque resultante continuará a ser nulo se o eixo de rotação escolhido for a o ponto A situado no interior da barra b o ponto B situado no prolongamento da barra ou c o ponto C ao lado da barra d Suponha que o torque resultante em relação ao ponto O não seja nulo Existe algum ponto em relação ao qual o torque resultante se anula Figura 1219 Pergunta 6 7 Na Fig 1220 uma barra estacionária AC de 5 kg é sustentada de encontro a uma parede por uma corda e pelo atrito entre a barra e a parede A barra homogênea tem 1 m de comprimento e θ 30o a Onde deve ser posicionado um eixo de rotação para determinar o módulo da força exercida pela corda sobre a barra a partir de uma única equação Com essa escolha de eixo e considerando positivos os torques no sentido antihorário qual é o sinal b do torque τp exercido pelo peso sobre a barra e c do torque tc exercido pela corda sobre a barra d O módulo de τc é maior menor ou igual ao módulo de τp Figura 1220 Pergunta 7 8 Três cavalinhos estão pendurados no arranjo em repouso de polias ideais e cordas de massa desprezível da Fig 1221 Uma corda se estende do lado direito do teto até a polia mais baixa à esquerda dando meiavolta em todas as polias Várias cordas menores sustentam as polias e os cavalinhos São dados os pesos em newtons de dois cavalinhos Qual é o peso do terceiro cavalinho Sugestão Uma corda que dá meiavolta em torno de uma polia puxaa com uma força total que é igual a duas vezes a da tração da corda b Qual é a tração da corda T Figura 1221 Pergunta 8 9 Na Fig 1222 uma barra vertical está presa a uma dobradiça na extremidade inferior e a um cabo na extremidade superior Uma força horizontal a é aplicada à barra como mostra a figura Se o ponto de aplicação da força é deslocado para cima ao longo da barra a tração do cabo aumenta diminui ou permanece a mesma Figura 1222 Pergunta 9 10 A Fig 1223 mostra um bloco horizontal suspenso por dois fios A e B que são iguais em tudo exceto no comprimento que tinham antes que o bloco fosse pendurado O centro de massa do bloco está mais próximo do fio B que do fio A a Calculando os torques em relação ao centro de massa do bloco determine se o módulo do torque produzido pelo fio A é maior igual ao menor que o módulo do torque produzido pelo fio B b Qual dos fios exerce mais força sobre o bloco c Se os fios passaram a ter comprimentos iguais depois que o bloco foi pendurado qual dos dois era inicialmente mais curto Figura 1223 Pergunta 10 11 A tabela mostra o comprimento inicial de três barras e a variação de comprimento das barras quando elas são submetidas a uma força de tração Ordene as barras de acordo com a deformação sofrida começando pela maior Comprimento Inicial Variação de Comprimento Barra A 2L0 ΔL0 Barra B 4L0 2ΔL0 Barra C 10L0 4ΔL0 12 Sete pesos estão pendurados no arranjo em repouso de polias ideais e cordas de massa desprezível da Fig 1224 Uma corda comprida passa por todas as polias e cordas menores sustentam as polias e os pesos São dados os pesos em newtons de todos os pesos exceto um a Qual é o peso que falta Sugestão Uma corda que dá meiavolta em torno de uma polia puxaa com uma força total que é igual a duas vezes a da tração da corda b Qual é a tração da corda T Figura 1224 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 121 Equilíbrio 1 Como a constante g é praticamente a mesma em todos os pontos da grande maioria da estruturas em geral supomos que o centro de gravidade de uma estrutura coincide com o centro de massa Neste exemplo fictício porém a variação da constante g é significativa A Fig 1225 mostra um arranjo de seis partículas todas de massa m presas na borda de uma estrutura rígida de massa desprezível A distância entre partículas vizinhas da mesma borda é 200 m A tabela a seguir mostra o valor de g em ms2 na posição de cada partícula Usando o sistema de coordenadas mostrado na figura determine a a coordenada xCM e b a coordenada yCM do centro de massa do conjunto Em seguida determine c a coordenada xCG e d a coordenada yCG do centro de gravidade do conjunto Figura 1225 Problema 1 Partícula g Partícula g 1 800 4 740 2 780 5 760 3 760 6 780 Módulo 122 Alguns Exemplos de Equilíbrio Estático 2 A distância entre os eixos dianteiro e traseiro de um automóvel é de 305 m A massa do automóvel é de 1360 kg e o centro de gravidade está situado 178 m atrás do eixo dianteiro Com o automóvel em terreno plano determine o módulo da força exercida pelo solo a sobre cada roda dianteira supondo que as forças exercidas sobre as rodas dianteiras são iguais e b sobre cada roda traseira supondo que as forças exercidas sobre as rodas traseiras são iguais 3 Na Fig 1226 uma esfera homogênea de massa m 085 kg e raio r 42 cm é mantida em repouso por uma corda de massa desprezível presa a uma parede sem atrito a uma distância L 80 cm acima do centro da esfera Determine a a tração da corda e b a força que a parede exerce sobre a esfera Figura 1226 Problema 3 4 A corda de um arco é puxada pelo ponto central até que a tração da corda fique igual à força exercida pelo arqueiro Qual é o ângulo entre as duas partes da corda 5 Uma corda de massa desprezível está esticada horizontalmente entre dois suportes separados por uma distância de 344 m Quando um objeto pesando 3160 N é pendurado no centro da corda ela cede 350 cm Qual é a tração da corda 6 Um andaime com 60 kg de massa e 50 m de comprimento é mantido na horizontal por um cabo vertical em cada extremidade Um lavador de janelas com 80 kg de massa está de pé no andaime a 15 m de distância de uma das extremidades Qual é a tração a do cabo mais próximo e b do cabo mais distante do trabalhador 7 Um lavador de janelas de 75 kg usa uma escada com 10 kg de massa e 50 m de comprimento Ele apoia uma extremidade no piso a 25 m de uma parede encosta a extremidade oposta em uma janela rachada e começa a subir Depois de o lavador percorrer uma distância de 30 m ao longo da escada a janela quebra Despreze o atrito entre a escada e a janela e suponha que a base da escada não escorregue Quando a janela está na iminência de quebrar qual é a o módulo da força que a escada exerce sobre a janela b qual é o módulo da força que o piso exerce sobre a escada e c qual é o ângulo em relação à horizontal da força que o piso exerce sobre a escada 8 Oito alunos de física cujos pesos estão indicados em newtons na Fig 1227 se equilibram em uma gangorra Qual é o número do estudante que produz o maior torque em relação a um eixo de rotação que passa pelo fulcro f no sentido a para fora do papel e b para dentro do papel Figura 1227 Problema 8 9 Uma régua de um metro está em equilíbrio horizontal na lâmina de uma faca na marca de 500 cm Com duas moedas de 500 g empilhadas na marca de 120 cm a régua fica em equilíbrio na marca de 455 cm Qual é a massa da régua 10 O sistema da Fig 1228 está em equilíbrio com a corda do centro exatamente na horizontal O bloco A pesa 40 N o bloco B pesa 50 N e o ângulo ϕ é 35º Determine a a tração T1 b a tração T2 c a tração T3 e d o ângulo θ Figura 1228 Problema 10 11 Um mergulhador com 580 N de peso está em pé na extremidade de um trampolim de comprimento L 45 m e massa desprezível Fig 1229 O trampolim está preso em dois suportes separados por uma distância d 15 m Das forças que agem sobre o trampolim qual é a o módulo e b qual é o sentido para cima ou para baixo da força exercida pelo suporte de trás c Qual é o módulo e d qual o sentido para cima ou para baixo da força exercida pelo suporte da frente e Que pedestal o de trás ou o da frente está sendo tracionado e f que pedestal está sendo comprimido Figura 1229 Problema 11 12 Na Fig 1230 um homem está tentando tirar o carro de um atoleiro no acostamento de uma estrada Para isso ele amarra uma das extremidades de uma corda no parachoque dianteiro e a outra extremidade em um poste a 18 m de distância Em seguida o homem empurra a corda lateralmente no ponto médio com uma força de 550 N deslocando o centro da corda de 030 m em relação à posição anterior e o carro praticamente não se move Qual é a força exercida pela corda sobre o carro A corda sofre um pequeno alongamento Figura 1230 Problema 12 13 A Fig 1231 mostra as estruturas anatômicas da parte inferior da perna e do pé que estão envolvidas quando ficamos na ponta do pé com o calcanhar levemente levantado e o pé fazendo contato com o chão apenas no ponto P Suponha que a 50 cm b 15 cm e o peso da pessoa seja 900 N Das forças que agem sobre o pé qual é a o módulo e b qual é o sentido para cima ou para baixo da força que o músculo da panturrilha exerce sobre o ponto A c Qual é o módulo e d qual é o sentido para cima ou para baixo da força que os ossos da perna exercem sobre o ponto B Figura 1231 Problema 13 14 Na Fig 1232 um andaime horizontal de 200 m de comprimento e massa homogênea de 500 kg está suspenso em um edifício por dois cabos O andaime tem várias latas de tinta empilhadas A massa total das latas de tinta é 750 kg A tração do cabo à direita é 722 N A que distância desse cabo está o centro de massa do sistema de latas de tinta Figura 1232 Problema 14 15 As forças 1 2 e 3 agem sobre a estrutura cuja vista superior aparece na Fig 1233 Desejase colocar a estrutura em equilíbrio aplicando uma quarta força em um ponto como P A quarta força tem componentes vetoriais h e v Sabese que a 20 m b 30 m c 10 m F1 20 N F2 10 N e F3 50 N Determine a Fh b Fv e c d Figura 1233 Problema 15 16 Um caixote cúbico homogêneo com 0750 m de lado e 500 N de peso repousa em um piso com um dos lados da base encostado em um obstáculo fixo de pequena altura A que altura mínima acima do piso deve ser aplicada uma força horizontal de 350 N para virar o caixote 17 Na Fig 1234 uma viga homogênea de 30 m de comprimento e 500 N de peso está suspensa horizontalmente No lado esquerdo está presa a uma parede por uma dobradiça no lado direito é sustentada por um cabo pregado na parede a uma distância D acima da viga A tração de ruptura do cabo é 1200 N a Que valor de D corresponde a essa tração b Para que o cabo não se rompa D deve aumentar ou diminuir em relação a esse valor Figura 1234 Problema 17 18 Na Fig 1235 o andaime horizontal 2 de massa homogênea m2 300 kg e comprimento L2 200 m está pendurado no andaime horizontal 1 de massa homogênea m1 500 kg Uma caixa de pregos de 200 kg está no andaime 2 com o centro a uma distância d 0500 m da extremidade esquerda Qual é a tração T do cabo indicado na figura Figura 1235 Problema 18 19 Para quebrar a casca de uma noz com um quebranozes forças de pelo menos 40 N de módulo devem agir sobre a casca em ambos os lados Para o quebranozes da Fig 1236 com distâncias L 12 cm e d 26 cm quais são as componentes em cada cabo das forças F aplicadas perpendicularmente aos cabos que correspondem a esses 40 N Figura 1236 Problema 19 20 Um jogador segura uma bola de boliche M 72 kg na palma da mão veja a Fig 1235 O braço está na vertical e o antebraço m 18 kg na horizontal Qual é o módulo a da força que o bíceps exerce sobre o antebraço e b da força que os ossos exercem entre si na articulação do cotovelo Figura 1237 Problema 20 21 O sistema na Fig 1238 está em equilíbrio Um bloco de concreto com massa de 225 kg está pendurado na extremidade de uma longarina homogênea com massa de 450 kg Para os ângulos ϕ 300º e θ 450º determine a a tração T do cabo e as componentes b horizontal e c vertical da força que a dobradiça exerce sobre a longarina Figura 1238 Problema 21 22 Na Fig 1239 um alpinista de 55 kg está subindo por uma chaminé na pedra com as mãos puxando um lado da chaminé e os pés pressionando o lado oposto A chaminé tem uma largura w 020 m e o centro de massa do alpinista está a uma distância horizontal d 040 m da chaminé O coeficiente de atrito estático entre as mãos e a rocha é μ1 040 e entre as botas e a pedra é μ2 12 a Qual é a menor força horizontal das mãos e dos pés que mantém o alpinista estável b Para a força horizontal do item a qual deve ser a distância vertical h entre as mãos e os pés Se o alpinista encontra uma pedra molhada para a qual os valores de μ1 e μ2 são menores c o que acontece com a resposta do item a e d o que acontece com a resposta do item b Figura 1239 Problema 22 23 Na Fig 1240 uma extremidade de uma viga homogênea de 222 N de peso está presa por uma dobradiça a uma parede a outra extremidade é sustentada por um fio que faz o mesmo ângulo θ 300º com a viga e com a parede Determine a a tração do fio e as componentes b horizontal e c vertical da força que a dobradiça exerce sobre a viga Figura 1240 Problema 23 24 Na Fig 1241 uma alpinista com 5338 N de peso é sustentada por uma corda de segurança presa a um grampo em uma das extremidades e a um mosquetão na cintura da moça na outra extremidade A linha de ação da força exercida pela corda passa pelo centro de massa da alpinista Os ângulos indicados na figura são θ 400o e ϕ 300o Se os pés da moça estão na iminência de escorregar na parede vertical qual é o coeficiente de atrito estático entre os sapatos de alpinismo e a parede Figura 1241 Problema 24 25 Na Fig 1242 qual é o menor valor do módulo da força horizontal constante aplicada ao eixo da roda que permite à roda ultrapassar um degrau de altura h 300 cm O raio da roda é r 600 cm e a massa da roda é m 0800 kg Figura 1242 Problema 25 26 Na Fig 1243 um alpinista se apoia com as mãos em uma encosta vertical coberta de gelo cujo atrito é desprezível A distância a é 0914 m e a distância L é 210 m O centro de massa do alpinista está a uma distância d 0940 m do ponto de contato dos pés do alpinista com uma plataforma horizontal na pedra Se o alpinista está na iminência de escorregar qual é o coeficiente de atrito estático entre os pés e a pedra Figura 1243 Problema 26 27 Na Fig 1244 um bloco de 15 kg é mantido em repouso por meio de um sistema de polias O braço da pessoa está na vertical o antebraço faz um ângulo θ 30º com a horizontal O antebraço e a mão têm uma massa conjunta de 20 kg com o centro de massa a uma distância d1 15 cm à frente do ponto de contato dos ossos do antebraço com o osso do braço úmero Um músculo o tríceps puxa o antebraço verticalmente para cima com uma força cujo ponto de aplicação está a uma distância d2 25 cm atrás desse ponto de contato A distância d3 é 35 cm Determine a o módulo e b o sentido para cima ou para baixo da força exercida pelo tríceps sobre o antebraço e c o módulo e d o sentido para cima ou para baixo da força exercida pelo úmero sobre o antebraço Figura 1244 Problema 27 28 Na Fig 1245 suponha que o comprimento L da barra homogênea seja de 300 m e peso seja de 200 N Suponha ainda que o bloco tenha um peso de 300 N e que θ 300º O fio pode suportar uma tração máxima de 500 N a Qual é a maior distância x para a qual o fio não arrebenta Com o bloco posicionado nesse valor máximo de x qual é a componente b horizontal e c vertical da força que a dobradiça exerce sobre a barra no ponto A Figura 1245 Problemas 28 e 34 29 Uma porta tem uma altura de 21 m ao longo de um eixo y que se estende verticalmente para cima e uma largura de 091 m ao longo de um eixo x que se estende horizontalmente a partir do lado da porta que está preso com dobradiças Uma das dobradiças está a 030 m da borda superior da porta e outra a 030 m da borda inferior cada uma sustenta metade do peso da porta cuja massa é de 27 kg Na notação dos vetores unitários qual é a força exercida sobre a porta a pela dobradiça superior e b pela dobradiça inferior 30 Na Fig 1246 um cartaz quadrado homogêneo de 500 kg de lado L 200 m está pendurado em uma barra horizontal de comprimento dh 300 m e massa desprezível Um cabo está preso em uma extremidade da barra e em um ponto de uma parede a uma distância dv 400 m acima do ponto onde a outra extremidade da barra está presa na parede por uma dobradiça a Qual é a tração do cabo b Qual é o módulo e c qual o sentido para a esquerda ou para a direita da componente horizontal da força que a dobradiça exerce sobre a haste d Qual é o módulo e e qual o sentido para cima ou para baixo da componente vertical dessa força Figura 1246 Problema 30 31 Na Fig 1247 uma barra não homogênea está suspensa em repouso na horizontal por duas cordas de massa desprezível Uma corda faz um ângulo θ 369º com a vertical a outra faz um ângulo ϕ 531º com a vertical Se o comprimento L da barra é 610 m calcule a distância x entre a extremidade esquerda da barra e o centro de massa Figura 1247 Problema 31 32 Na Fig 1248 a motorista de um carro que se move em uma estrada horizontal faz uma parada de emergência aplicando os freios de tal forma que as quatro rodas ficam bloqueadas e derrapam na pista O coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a pista é 040 A distância entre os eixos dianteiro e traseiro é L 42 m e o centro de massa do carro está a uma distância d 18 m atrás do eixo dianteiro e a uma altura h 075 m acima da pista O carro pesa 11 kN Determine o módulo a da aceleração do carro durante a frenagem b da força normal a que uma das rodas traseiras é submetida c da força normal a que uma das rodas dianteiras é submetida d da força de frenagem a que uma das rodas traseiras é submetida e e da força de frenagem a que uma das rodas dianteiras é submetida Sugestão Embora o carro não esteja em equilíbrio para translações está em equilíbrio para rotações Figura 1248 Problema 32 33 A Fig 1249a mostra uma viga vertical homogênea de comprimento L que está presa a uma dobradiça na extremidade inferior Uma força horizontal a é aplicada à viga a uma distância y da extremidade inferior A viga permanece na vertical porque há um cabo preso na extremidade superior fazendo um ângulo θ com a horizontal A Fig 1249b mostra a tração T do cabo em função do ponto de aplicação da força dada como uma fração yL do comprimento da barra A escala do eixo vertical é definida por Ts 600 N A Fig 1249c mostra o módulo Fh da componente horizontal da força que a dobradiça exerce sobre a viga também em função de yL Calcule a o ângulo θ e b o módulo de a Figura 1249 Problema 33 34 Na Fig 1245 uma barra fina AB de peso desprezível e comprimento L está presa a uma parede vertical por uma dobradiça no ponto A e é sustentada no ponto B por um fio fino BC que faz um ângulo θ com a horizontal Um bloco de peso P pode ser deslocado para qualquer posição ao longo da barra sua posição é definida pela distância x da parede ao seu centro de massa Determine em função de x a a tração do fio e as componentes b horizontal e c vertical da força que a dobradiça exerce sobre a barra no ponto A 35 Uma caixa cúbica está cheia de areia e pesa 890 N Desejamos fazer a caixa rolar empurrandoa horizontalmente por uma das bordas superiores a Qual é a menor força necessária b Qual é o menor coeficiente de atrito estático necessário entre a caixa e o piso c Se existe um modo mais eficiente de fazer a caixa rolar determine a menor força possível que deve ser aplicada diretamente à caixa para que isso aconteça Sugestão Qual é o ponto de aplicação da força normal quando a caixa está prestes a tombar 36 A Fig 1250 mostra uma alpinista de 70 kg sustentada apenas por uma das mãos em uma saliência horizontal de uma encosta vertical uma pegada conhecida como pinça A moça exerce uma força para baixo com os dedos para se segurar Os pés da alpinista tocam a pedra a uma distância H 20 m verticalmente abaixo dos dedos mas não oferecem nenhum apoio o centro da massa da alpinista está a uma distância a 020 m da encosta Suponha que a força que a saliência exerça sobre a mão esteja distribuída igualmente por quatro dedos Determine o valor a da componente horizontal Fh e b da componente vertical Fv da força exercida pela saliência sobre um dos dedos Figura 1250 Problema 36 37 Na Fig 1251 uma prancha homogênea com comprimento L de 610 m e peso de 445 N repousa apoiada no chão e em um rolamento sem atrito no alto de uma parede de altura h 305 m A prancha permanece em equilíbrio para qualquer valor de θ 70º mas escorrega se θ 70º Determine o coeficiente de atrito estático entre a prancha e o chão Figura 1251 Problema 37 38 Na Fig 1252 vigas homogêneas A e B estão presas a uma parede por dobradiças e frouxamente rebitadas uma na outra uma não exerce torque sobre a outra A viga A tem comprimento LA 240 m e massa de 540 kg a viga B tem massa de 680 kg As dobradiças estão separadas por uma distância d 180 m Na notação dos vetores unitários qual é a força a sobre a viga A exercida por sua dobradiça b sobre a viga A exercida pelo rebite c sobre a viga B exercida por sua dobradiça e d sobre a viga B exercida pelo rebite Figura 1252 Problema 38 39 Os lados AC e CE da escada da Fig 1253 têm 244 m de comprimento e estão unidos por uma dobradiça no ponto C A barra horizontal BD tem 0762 m de comprimento e está na metade da altura da escada Um homem que pesa 854 N sobe 180 m ao longo da escada Supondo que não há atrito com o piso e desprezando a massa da escada determine a a tensão da barra e o módulo da força que o chão exerce sobre a escada b no ponto A e c no ponto E Sugestão Isole partes da escada ao aplicar as condições de equilíbrio Figura 1253 Problema 39 40 A Fig 1254a mostra uma viga horizontal homogênea de massa mb e comprimento L que é sustentada à esquerda por uma dobradiça presa a uma parede e à direita por um cabo que faz um ângulo θ com a horizontal Um pacote de massa mp está posicionado na viga a uma distância x da extremidade esquerda A massa total é mb mp 6122 kg A Fig 1254b mostra a tração T do cabo em função da posição do pacote dada como uma fração xL do comprimento da viga A escala do eixo das tensões é definida por Ta 500 N e Tb 700 N Calcule a o ângulo θ b a massa mb e c a massa mp Figura 1254 Problema 40 41 Um caixote na forma de um cubo com 12 m de lado contém uma peça de máquina o centro de massa do caixote e do conteúdo está localizado 030 m acima do centro geométrico do caixote O caixote repousa em uma rampa que faz um ângulo θ com a horizontal Quando θ aumenta a partir de zero um valor de ângulo é atingido para o qual o caixote tomba ou desliza pela rampa Se o coeficiente de atrito estático μs entre a rampa e o caixote é 060 a a rampa tomba ou desliza b Para que ângulo θ isso acontece Se μs 070 c o caixote tomba ou desliza d Para que ângulo θ isso acontece Sugestão Qual é o ponto de aplicação da força normal quando o caixote está prestes a tombar 42 No Exemplo 1203 suponha que o coeficiente de atrito estático μs entre a escada e o piso seja 053 A que distância como porcentagem do comprimento total da escada o bombeiro deve subir para que a escada esteja na iminência de escorregar Módulo 123 Elasticidade 43 Uma barra horizontal de alumínio com 48 cm de diâmetro se projeta 53 cm para fora de uma parede Um objeto de 1200 kg está suspenso na extremidade da barra O módulo de cisalhamento do alumínio é 30 1010 Nm2 Desprezando a massa da barra determine a a tensão de cisalhamento que age sobre a barra e b a deflexão vertical da extremidade da barra 44 A Fig 1255 mostra a curva tensãodeformação de um material A escala do eixo das tensões é definida por s 300 em unidades de 106 Nm2 Determine a o módulo de Young e b o valor aproximado do limite elástico do material Figura 1255 Problema 44 45 Na Fig 1256 um tijolo de chumbo repousa horizontalmente nos cilindros A e B As áreas das faces superiores dos cilindros obedecem à relação AA 2AB os módulos de Young dos cilindros obedecem à relação EA 2EB Os cilindros tinham a mesma altura antes que o tijolo fosse colocado sobre eles Que fração da massa do tijolo é sustentada a pelo cilindro A e b pelo cilindro B As distâncias horizontais entre o centro de massa do tijolo e os eixos dos cilindros são dA e dB c Qual é o valor da razão dAdB Figura 1256 Problema 45 46 A Fig 1257 mostra o gráfico tensãodeformação aproximado de um fio de teia de aranha até o ponto em que se rompe com uma deformação de 200 A escala do eixo das tensões é definida por a 012 GNm2 b 030 GNm2 e c 080 GNm2 Suponha que o fio tenha um comprimento inicial de 080 cm uma área da seção reta inicial de 80 1012 m2 e um volume constante durante o alongamento Suponha também que quando um inseto se choca com o fio toda a energia cinética do inseto é usada para alongar o fio a Qual é a energia cinética que coloca o fio na iminência de se romper Qual é a energia cinética b de uma drosófila com uma massa de 600 mg voando a 170 ms e c de uma abelha com massa de 0388 g voando a 0420 ms O fio seria rompido d pela drosófila e e pela abelha Figura 1257 Problema 46 47 Um túnel de comprimento L 150 m altura H 72 m largura de 58 m e teto plano deve ser construído a uma distância d 60 m da superfície Veja a Fig 1258 O teto do túnel deve ser sustentado inteiramente por colunas quadradas de aço com uma seção reta de 960 cm2 A massa de 10 cm3 de solo é 28 g a Qual é o peso total que as colunas do túnel devem sustentar b Quantas colunas são necessárias para manter a tensão compressiva em cada coluna na metade do limite de ruptura Figura 1258 Problema 47 48 A Figura 1259 mostra a curva tensãodeformação de um fio de alumínio ensaiado em uma máquina que puxa as extremidades do fio em sentidos opostos A escala do eixo das tensões é definida por s 70 em unidades de 107 Nm2 O fio tem um comprimento inicial de 0800 m e a área da seção reta inicial é 200 106 m2 Qual é o trabalho realizado pela força que a máquina de ensaios exerce sobre o fio para produzir uma deformação de 100 103 Figura 1259 Problema 48 49 Na Fig 1260 um tronco homogêneo de 103 kg está pendurado por dois fios de aço A e B ambos com 120 mm de raio Inicialmente o fio A tinha 250 m de comprimento e era 200 mm mais curto do que o fio B O tronco agora está na horizontal Qual é o módulo da força exercida sobre o tronco a pelo fio A e b pelo fio B c Qual é o valor da razão dAdB Figura 1260 Problema 49 50 A Fig 1261 mostra um inseto capturado no ponto central do fio de uma teia de aranha O fio se rompe ao ser submetido a uma tração de 820 108 Nm2 e a deformação correspondente é 200 Inicialmente o fio estava na horizontal e tinha um comprimento de 200 cm e uma área da seção reta de 800 1012 m2 Quando o fio cedeu ao peso do inseto o volume permaneceu constante Se o peso do inseto coloca o fio na iminência de se romper qual é a massa do inseto Uma teia de aranha é construída para se romper se um inseto potencialmente perigoso como uma abelha fica preso da teia Figura 1261 Problema 50 51 A Fig 1262 é a vista superior de uma barra rígida que gira em torno de um eixo vertical até entrar em contato com dois batentes de borracha exatamente iguais A e B situados a rA 70 cm e rB 40 cm de distância do eixo Inicialmente os batentes estão encostados nas paredes sem sofrer compressão Em seguida uma força de módulo 220 N é aplicada perpendicularmente à barra a uma distância R 50 cm do eixo Determine o módulo da força que comprime a o batente A e b o batente B Figura 1262 Problema 51 Problemas Adicionais 52 Depois de uma queda um alpinista de 95 kg está pendurado na extremidade de uma corda originalmente com 15 m de comprimento e 96 mm de diâmetro que foi esticada de 28 cm Determine a a tensão b a deformação e c o módulo de Young da corda 53 Na Fig 1263 uma placa retangular de ardósia repousa em uma superfície rochosa com uma inclinação θ 26º A placa tem comprimento L 43 m espessura T 25 m largura W 12 m e 10 cm3 da placa tem massa de 32 g O coeficiente de atrito estático entre a placa e a rocha é 039 a Calcule a componente da força gravitacional que age sobre a placa paralelamente à superfície da rocha b Calcule o módulo da força de atrito estático que a rocha exerce sobre a placa Comparando a e b você pode ver que a placa corre o risco de escorregar o que é evitado apenas pela presença de protuberâncias na rocha c Para estabilizar a placa pinos devem ser instalados perpendicularmente à superfície da rocha dois desses pinos são mostrados na figura Se cada pino tem uma seção reta de 64 cm2 e se rompe ao ser submetido a uma tensão de cisalhamento de 36 108 Nm2 qual é o número mínimo de pinos necessário Suponha que os pinos não alterem a força normal Figura 1263 Problema 53 54 Uma escada homogênea com 50 m de comprimento e 400 N de peso está apoiada em uma parede vertical sem atrito O coeficiente de atrito estático entre o chão e o pé da escada é 046 Qual é a maior distância a que o pé da escada pode estar da base da parede sem que a escada escorregue 55 Na Fig 1264 o bloco A com massa de 10 kg está em repouso mas escorregaria se o bloco B que tem massa de 50 kg fosse mais pesado Se θ 30o qual é o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e a superfície na qual está apoiado Figura 1264 Problema 55 56 A Fig 1265a mostra uma rampa homogênea instalada entre dois edifícios que leva em conta a possibilidade de que os edifícios oscilem ao serem submetidos a ventos fortes Na extremidade esquerda a rampa está presa por uma dobradiça à parede de um dos edifícios na extremidade direita tem um rolamento que permite o movimento ao longo da parede do outro edifício A força que o edifício da direita exerce sobre o rolamento não possui componente vertical mas apenas uma força horizontal de módulo Fh A distância horizontal entre os edifícios é D 400 m O desnível entre as extremidades da rampa é h 0490 m Um homem caminha ao longo da rampa a partir da extremidade esquerda A Fig 1265b mostra Fh em função da distância horizontal x entre o homem e o edifício da esquerda A escala do eixo de Fh é definida por a 20 kN e b 25 kN a Qual é a massa da rampa b Qual é a massa do homem Figura 1265 Problema 56 57 Na Fig 1266 uma esfera de 10 kg está presa por um cabo em um plano inclinado sem atrito que faz um ângulo θ 45º com a horizontal O ângulo ϕ é 25º Calcule a tração do cabo Figura 1266 Problema 57 58 Na Fig 1267a uma viga homogênea de 400 kg repousa simetricamente em dois rolamentos As distâncias entre as marcas verticais ao longo da viga são iguais Duas das marcas coincidem com a posição dos rolamentos um pacote de 100 kg é colocado na viga na posição do rolamento B Qual é o módulo da força exercida sobre a viga a pelo rolamento A e b pelo rolamento B A viga é empurrada para a esquerda até que a extremidade direita esteja acima do rolamento B Fig 1267b Qual é o novo módulo da força exercida sobre a viga c pelo rolamento A e d pelo rolamento B Em seguida a viga é empurrada para a direita Suponha que a viga tenha um comprimento de 0800 m e Que distância horizontal entre o pacote e o rolamento B coloca a viga na iminência de perder contato com o rolamento A Figura 1267 Problema 58 59 Na Fig 1268 uma caçamba de 817 kg está suspensa por um cabo A que por sua vez está preso no ponto O a dois outros cabos B e C que fazem ângulos θ1 510º e θ2 660º com a horizontal Determine a tração a do cabo A b do cabo B e c do cabo C Sugestão Para não ter de resolver um sistema de duas equações com duas incógnitas defina os eixos da forma mostrada na figura Figura 1268 Problema 59 60 Na Fig 1269 um pacote de massa m está pendurado em uma corda que por sua vez está presa à parede pela corda 1 e ao teto pela corda 2 A corda 1 faz um ângulo ϕ 40º com a horizontal a corda 2 faz um ângulo θ a Para que valor de θ a tração da corda 2 é mínima b Qual é a tração mínima em múltiplos de mg Figura 1269 Problema 60 61 A força da Fig 1270 mantém o bloco de 640 kg e as polias em equilíbrio As polias têm massa e atrito desprezíveis Calcule a tração T do cabo de cima Sugestão Quando um cabo dá meiavolta em torno de uma polia como neste problema o módulo da força que exerce sobre a polia é o dobro da tração do cabo Figura 1270 Problema 61 62 Um elevador de mina é sustentado por um único cabo de aço com 25 cm de diâmetro A massa total do elevador e seus ocupantes é 670 kg De quanto o cabo se alonga quando o elevador está pendurado por a 12 m e b 362 m de cabo Despreze a massa do cabo 63 Quatro tijolos de comprimento L iguais e homogêneos são empilhados Fig 1271 de tal forma que parte de cada um se estende além da superfície na qual está apoiado Determine em função de L o valor máximo de a a1 b a2 c a3 d a4 e e h para que a pilha fique em equilíbrio Figura 1271 Problema 63 64 Na Fig 1272 duas esferas iguais homogêneas e sem atrito de massa m repousam em um recipiente retangular rígido A reta que liga os centros das esferas faz 45o com a horizontal Determine o módulo da força exercida a pelo fundo do recipiente sobre a esfera de baixo b pela parede lateral esquerda do recipiente sobre a esfera de baixo c pela parede lateral direita do recipiente sobre a esfera de cima e d por uma das esferas sobre a outra Sugestão A força de uma esfera sobre a outra tem a direção da reta que liga os centros das esferas Figura 1272 Problema 64 65 Na Fig 1273 uma viga homogênea com 60 N de peso e 32 m de comprimento está presa a uma dobradiça na extremidade inferior e uma força horizontal de módulo 50 N age sobre a extremidade superior A viga é mantida na posição vertical por um cabo que faz um ângulo θ 25º com o chão e está preso à viga a uma distância h 20 m do chão a Qual é a tração do cabo e b qual é a força exercida pela dobradiça sobre a viga na notação dos vetores unitários Figura 1273 Problema 65 66 Uma viga homogênea tem 50 m de comprimento e massa de 53 kg Na Fig 1274 a viga está sustentada na posição horizontal por uma dobradiça e um cabo θ 60º Na notação dos vetores unitários qual é a força que a dobradiça exerce sobre a viga Figura 1274 Problema 66 67 Um cubo de cobre maciço tem 855 cm de lado Qual é a tensão que deve ser aplicada ao cubo para reduzir o lado para 850 cm O módulo de elasticidade volumétrico do cobre é 14 1011 Nm2 68 Um operário tenta levantar uma viga homogênea do chão até a posição vertical A viga tem 250 m de comprimento e pesa 500 N Em um dado instante o operário mantém a viga momentaneamente em repouso com a extremidade superior a uma distância d 150 m do chão como mostra a Fig 1275 exercendo uma força perpendicular à viga a Qual é o módulo P da força b Qual é o módulo da força resultante que o piso exerce sobre a viga c Qual é o valor mínimo do coeficiente de atrito estático entre a viga e o piso para que a viga não escorregue nesse instante Figura 1275 Problema 68 69 Na Fig 1276 uma viga homogênea de massa m está presa a uma parede por uma dobradiça na extremidade inferior enquanto a extremidade superior é sustentada por uma corda presa na parede Se θ1 60º que valor deve ter o ângulo θ2 para que a tração da corda seja mg2 Figura 1276 Problema 69 70 Um homem de 73 kg está em pé em uma ponte horizontal de comprimento L a uma distância L4 de uma das extremidades A ponte é homogênea e pesa 27 kN Qual é o módulo da força vertical exercida sobre a ponte pelos suportes a na extremidade mais afastada do homem e b na extremidade mais próxima do homem 71 Um cubo homogêneo de 80 cm de lado repousa em um piso horizontal O coeficiente de atrito estático entre o cubo e o piso é μ Uma força horizontal é aplicada perpendicularmente a uma das faces verticais do cubo 70 cm acima do piso em um ponto da reta vertical que passa pelo centro da face do cubo O módulo de é gradualmente aumentado Para que valor de μ o cubo finalmente a começa a escorregar e b começa a tombar Sugestão Qual é o ponto de aplicação da força normal quando o cubo está prestes a tombar 72 O sistema da Fig 1277 está em equilíbrio Os ângulos são θ1 60º e θ2 20º e a bola tem uma massa M 20 kg Qual é a tração a qual a da corda ab e b qual a da corda bc Figura 1277 Problema 72 73 Uma escada homogênea tem 10 m de comprimento e pesa 200 N Na Fig 1278 a escada está apoiada em uma parede vertical sem atrito a uma altura h 80 m acima do piso Uma força horizontal é aplicada à escada a uma distância d 20 m da base medida ao longo da escada a Se F 50 N qual é a força que o piso exerce sobre a escada na notação dos vetores unitários b Se F 150 N qual é a força que o piso exerce sobre a escada também na notação dos vetores unitários c Suponha que o coeficiente de atrito estático entre a escada e o chão seja 038 para que valor de F a base da escada está na iminência de se mover em direção à parede Figura 1278 Problema 73 74 Uma balança de pratos consiste em uma barra rígida de massa desprezível e dois pratos pendurados nas extremidades da barra A barra está apoiada em um ponto que não fica do centro da barra em torno do qual pode girar livremente Para que a balança fique em equilíbrio massas diferentes devem ser colocadas nos dois pratos Uma massa m desconhecida colocada no prato da esquerda é equilibrada por uma massa m1 no prato da direita quando a mesma massa m é colocada no prato da direita é equilibrada por uma massa m2 no prato da esquerda Mostre que 75 A armação quadrada rígida da Fig 1279 é formada por quatro barras laterais AB BC CD e DA e duas barras diagonais AC e BD que passam livremente uma pela outra no ponto E A barra AB é submetida a uma tensão trativa pelo esticador G como se as extremidades estivessem submetidas a forças horizontais para fora do quadrado de módulo 535 N a Quais das outras barras também estão sob tração Quais são os módulos b das forças que causam essas trações e c das forças que causam compressão nas outras barras Sugestão Considerações de simetria podem simplificar bastante o problema Figura 1279 Problema 75 76 Uma ginasta com 460 kg de massa está em pé na extremidade de uma trave como mostra a Fig 12 80 A trave tem 500 m de comprimento e massa de 250 kg Os suportes estão a 0540 m das extremidades da trave Na notação dos vetores unitários qual é a força exercida sobre a trave a pelo suporte 1 e b pelo suporte 2 Figura 1280 Problema 76 77 A Fig 1281 mostra um cilindro horizontal de 300 kg sustentado por três fios de aço presos em um teto Os fios 1 e 3 estão nas extremidades do cilindro e o fio 2 está no centro Os fios têm uma seção reta de 200 106 m2 Inicialmente antes de o cilindro ser pendurado os fios 1 e 3 tinham 20000 m de comprimento e o fio 2 era 600 mm mais comprido que os outros dois Agora com o cilindro no lugar os três fios estão esticados Qual é a tração a no fio 1 e b no fio 2 Figura 1281 Problema 77 78 Na Fig 1282 uma viga homogênea de 120 m de comprimento é sustentada por um cabo horizontal e por uma dobradiça e faz um ângulo θ 500º com a horizontal A tração do cabo é 400 N Na notação dos vetores unitários qual é a a força gravitacional a que a viga está submetida e b qual é a força que a dobradiça exerce sobre a viga Figura 1282 Problema 78 79 Quatro tijolos iguais e homogêneos de comprimento L são empilhados de duas formas diferentes em uma mesa como mostra a Fig 1283 compare com o Problema 63 Estamos interessados em maximizar a distância h nas duas configurações Determine as distâncias ótimas a1 a2 b1 e b2 e calcule h para os dois arranjos Figura 1283 Problema 79 80 Uma barra cilíndrica homogênea de alumínio com um comprimento inicial de 08000 m e um raio de 10000 μm é fixada em uma extremidade e esticada por uma máquina que puxa a outra extremidade paralelamente à maior dimensão da barra Supondo que a massa específica massa por unidade de volume da barra não varia determine o módulo da força que a máquina deve aplicar à barra para que o raio da barra diminua para 9999 μm O limite elástico não é ultrapassado 81 Uma viga de comprimento L é carregada por três homens um em uma extremidade e os outros dois apoiando a viga entre eles em uma barra transversal posicionada de tal forma que o peso da viga seja dividido igualmente entre os três homens A que distância da extremidade livre da viga está a barra de apoio Despreze a massa da barra de apoio 82 Se a viga quadrada do Exemplo 1202 é feita de pinho qual deve ser a espessura da viga para que a tensão compressiva a que está submetida seja 16 do limite de ruptura 83 A Fig 1284 mostra um arranjo estacionário de duas caixas de lápis e três cordas A caixa A tem massa de 110 kg e está em uma rampa de ângulo θ 300º a caixa B tem massa de 700 kg e está pendurada A corda presa à caixa A está paralela à rampa cujo atrito é desprezível a Qual é a tração da corda de cima e b que ângulo essa corda faz com a horizontal Figura 1284 Problema 83 84 Um balanço improvisado foi construído fazendo uma alça em uma das pontas de uma corda e amarrando a outra ponta no galho de uma árvore Uma criança está sentada na alça com a corda na vertical quando o pai da criança a empurra com uma força horizontal deslocandoa para um lado Imediatamente antes de a criança ser liberada a partir do repouso a corda faz um ângulo de 15º com a vertical e a tração da corda é de 280 N a Quanto pesa a criança b Qual é o módulo da força horizontal que o pai está exercendo sobre a criança imediatamente antes de liberála c Se a força máxima que o pai pode exercer sobre a criança é 93 N qual é o maior ângulo com a vertical que a corda pode fazer enquanto o pai empurra horizontalmente a criança 85 A Fig 1285a mostra detalhes de um dos dedos da alpinista da Fig 1250 Um tendão proveniente dos músculos do antebraço está preso na falange distal No caminho o tendão passa por várias estruturas fibrosas chamadas polias A polia A2 está presa na falange proximal a polia A4 está presa na falange medial Para puxar o dedo na direção da palma da mão os músculos do antebraço puxam o tendão mais ou menos do mesmo modo como as cordas de uma marionete são usadas para movimentar os membros do boneco A Fig 1285b é um diagrama simplificado da falange medial que tem um comprimento d A força que o tendão exerce sobre o osso t está aplicada no ponto em que o tendão entra na polia A4 a uma distância d3 da extremidade da falange medial Se as componentes das forças que agem sobre cada um dos dedos em pinça da Fig 1250 são Fh 134 N e Fv 1624 N qual é o módulo de t O resultado é provavelmente tolerável mas se a alpinista ficar pendurada por apenas um ou dois dedos as polias A2 e A4 poderão se romper um problema que frequentemente aflige os alpinistas Figura 1285 Problema 85 86 Um alçapão quadrado em um teto tem 091 m de lado uma massa de 11 kg e está preso por uma dobradiça de um lado e por um ferrolho do lado oposto Se o centro de gravidade do alçapão está a 10 cm do centro em direção ao lado que está preso pela dobradiça qual é o módulo da força exercida pelo alçapão a sobre o ferrolho e b sobre a dobradiça 87 Uma partícula é submetida a forças dadas em newtons por a Qual é a componente x e b qual é a componente y da força 3 que equilibra a resultante das forças 1 e 2 c Qual é o ângulo da força 3 com o semieixo x positivo 88 A Torre de Pisa tem 591 m de altura e 744 m de diâmetro O alto da torre está deslocado 401 m em relação à vertical Modele a torre como um cilindro circular homogêneo a Que deslocamento adicional do alto da torre faria com que a torre ficasse no limiar de tombar b Qual seria o ângulo correspondente da torre em relação à vertical CAPÍTULO 13 Gravitação 131 A LEI DA GRAVITAÇÃO DE NEWTON Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1301 Usar a lei da gravitação de Newton para relacionar a força gravitacional entre duas partículas à massa das partículas e à distância entre elas 1302 Saber que uma casca esférica homogênea atrai uma partícula situada do lado de fora como se toda a massa estivesse concentrada no centro 1303 Desenhar um diagrama de corpo livre para indicar a força gravitacional exercida sobre uma partícula por outra partícula ou por uma casca esférica homogênea IdeiasChave Toda partícula do universo atrai outras partículas com uma força gravitacional cujo módulo é dado por em que m1 e m2 são as massas das partículas r é a distância entre as partículas e G 667 1011 N m2kg2 é a constante gravitacional A força gravitacional exercida por objetos macroscópicos pode ser calculada somando integrando as forças exercidas pelas partículas que compõem o corpo No caso especial de uma casca esférica homogênea a força gravitacional exercida sobre um objeto situado do lado de fora pode ser calculada como se toda a massa estivesse concentrada no centro do objeto O que É Física Um dos mais antigos objetivos da física é compreender a força gravitacional a força que nos mantém na superfície da Terra que mantém a Lua em órbita em torno da Terra e que mantém a Terra em órbita em torno do Sol A física também se estende a toda a Via Láctea evitando que se dispersem os bilhões e bilhões de estrelas e incontáveis moléculas e partículas isoladas que existem em nossa galáxia Estamos situados perto da borda desse aglomerado de estrelas em forma de disco a 26 104 anosluz 25 1020 m do centro da galáxia em torno do qual giramos lentamente A força gravitacional também se estende ao espaço intergaláctico mantendo unidas as galáxias do Grupo Local que inclui além da Via Láctea a galáxia de Andrômeda Fig 131 a uma distância de 23 106 anosluz da Terra e várias galáxias anãs mais próximas como a Grande Nuvem de Magalhães O Grupo Local faz parte do Superaglomerado Local de galáxias que está sendo atraído pela força gravitacional para uma região do espaço excepcionalmente densa conhecida como Grande Atrator Essa região parece estar a cerca de 30 108 anosluz da Terra do lado oposto da Via Láctea A força gravitacional se estende ainda mais longe já que tenta manter unido o universo inteiro que está se expandindo Essa força também é responsável por uma das entidades mais misteriosas do universo o buraco negro Quando uma estrela consideravelmente maior que o Sol se apaga a força gravitacional entre as partículas que compõem a estrela pode fazer com que a estrela se contraia indefinidamente formando um buraco negro A força gravitacional na superfície de uma estrela desse tipo é tão intensa que nem a luz pode escapar daí o termo buraco negro Qualquer estrela que passe nas proximidades de um buraco negro pode ser despedaçada pela força gravitacional e sugada para o interior do buraco negro Depois de várias capturas desse tipo surge um buraco negro supermaciço Esses monstros misteriosos parecem ser comuns no universo Na verdade tudo indica que no centro da Via Láctea a nossa galáxia existe um buraco negro conhecido como Sagitário A com uma massa equivalente a 37 106 vezes a massa do Sol A força gravitacional nas vizinhanças desse buraco negro é tão intensa que as estrelas mais próximas giram em torno do buraco negro com velocidades extremamente elevadas completando uma órbita em pouco mais de 15 anos Embora a força gravitacional ainda não esteja totalmente compreendida o ponto de partida para nosso entendimento é a lei da gravitação de Isaac Newton Cortesia da NASA Figura 131 A galáxia de Andrômeda Situada a 23 106 anosluz da Terra e fracamente visível a olho nu é muito parecida com a nossa galáxia a Via Láctea Figura 132 a A força gravitacional que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 é uma força atrativa porque aponta para a partícula 2 b A força está em um eixo r que passa pelas duas partículas c A força tem o mesmo sentido que o vetor unitário do eixo r A Lei da Gravitação de Newton Antes de trabalhar com as equações da gravitação vamos pensar por um momento em algo que normalmente aceitamos sem discussão Estamos presos à Terra por uma força de intensidade adequada não tão grande que nos faça rastejar para chegar à faculdade embora depois de um exame particularmente difícil você talvez tenha que rastejar para chegar em casa nem tão pequena que você bata com a cabeça no teto cada vez que tenta dar um passo A força também não é suficientemente grande para que as pessoas se atraiam mutuamente o que poderia causar muitas cenas de ciúme ou atraiam outros objetos caso em que a expressão pegar um ônibus teria um sentido literal A atração gravitacional depende claramente da quantidade de matéria que existe em nós e em outros corpos a Terra possui uma grande quantidade de matéria e produz uma grande atração mas uma pessoa possui uma quantidade de matéria relativamente pequena e é por isso que não atrai outras pessoas Além disso a força exercida por essa quantidade de matéria é sempre atrativa não existe o que se poderia chamar de força gravitacional repulsiva No passado as pessoas certamente sabiam que havia uma força que as atraía em direção ao chão especialmente quando tropeçavam e caíam mas pensavam que essa força fosse uma propriedade exclusiva da Terra e não tivesse relação com o movimento dos astros no céu Em 1665 Isaac Newton então com 23 anos prestou uma contribuição fundamental à física ao demonstrar que era essa mesma força que mantinha a Lua em órbita Na verdade Newton sustentou que todos os corpos do universo se atraem mutuamente esse fenômeno é chamado de gravitação e a quantidade de matéria da qual depende a intensidade da força de atração é a massa de cada corpo Se fosse verdadeira a lenda de que foi a queda de uma maçã que inspirou Newton a formular a lei da gravitação a força que ele teria observado seria a que existe entre a massa da maçã e a massa da Terra Essa força pode ser observada porque a massa da Terra é muito grande mas mesmo assim é de apenas 08 N A atração entre duas pessoas em uma fila de supermercado é felizmente muito menor menos de 1 μN e totalmente imperceptível A atração gravitacional entre objetos macroscópicos como duas pessoas por exemplo pode ser difícil de calcular Por enquanto vamos discutir apenas a lei da gravitação de Newton para duas partículas corpos de tamanho desprezível Se as massas das partículas são m1 e m2 e elas estão separadas por uma distância r o módulo da força de atração que uma exerce sobre a outra é dado por em que G é uma constante conhecida como constante gravitacional cujo valor é Na Fig 132a é a força gravitacional exercida sobre a partícula 1 de massa m1 pela partícula 2 de massa m2 A força aponta para a partícula 2 e dizemos que é uma força atrativa porque tende a aproximar a partícula 1 da partícula 2 O módulo da força é dado pela Eq 131 Podemos dizer que aponta no sentido positivo de um eixo r traçado ao longo da reta que liga a partícula 1 à partícula 2 Fig 132b Podemos também representar a força usando um vetor unitário um vetor adimensional de módulo 1 que aponta da partícula 1 para a partícula 2 Fig 132c Nesse caso de acordo com a Eq 13 1 a força que age sobre a partícula 1 é dada por A força gravitacional que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2 tem o mesmo módulo que a força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 e o sentido oposto As duas forças formam um par de forças da terceira lei e podemos falar da força gravitacional entre as duas partículas como tendo um módulo dado pela Eq 131 A força entre duas partículas não é alterada pela presença de outros objetos mesmo que estejam situados entre as partículas Em outras palavras nenhum objeto pode blindar uma das partículas da força gravitacional exercida pela outra partícula A intensidade da força gravitacional ou seja a intensidade da força com a qual duas partículas de massa conhecida e separadas por uma distância conhecida se atraem depende do valor da constante gravitacional G Se G por algum milagre fosse de repente multiplicada por 10 seríamos esmagados contra o chão pela atração da Terra Se G fosse dividida por 10 a atração da Terra se tornaria tão fraca que poderíamos saltar sobre um edifício Corpos Macroscópicos Embora a lei da gravitação de Newton se aplique estritamente a partículas podemos aplicála a objetos reais desde que os tamanhos desses objetos sejam pequenos em comparação com a distância entre eles A Lua e a Terra estão suficientemente distantes uma da outra para que com boa aproximação possam ser tratadas como partículas O que dizer porém do caso de uma maçã e a Terra Do ponto de vista da maçã a Terra extensa e plana que vai até o horizonte certamente não se parece com uma partícula Newton resolveu o problema da atração entre a Terra e a maçã provando um importante teorema conhecido como teorema das cascas Uma casca esférica homogênea de matéria atrai uma partícula que se encontra fora da casca como se toda a massa da casca estivesse concentrada no centro A Terra pode ser imaginada como um conjunto de cascas uma dentro da outra cada uma atraindo uma partícula localizada fora da superfície da Terra como se a massa da casca estivesse no centro Assim do ponto de vista da maçã a Terra se comporta como uma partícula localizada no centro da Terra que possui uma massa igual à massa da Terra Par de Forças da Terceira Lei Suponha que como na Fig 133 a Terra atraia uma maçã para baixo com uma força de módulo 080 N Nesse caso a maçã atrai a Terra para cima com uma força de 080 N cujo ponto de aplicação é o centro da Terra Na linguagem do Capítulo 5 essas forças formam um par de forças da terceira lei de Newton Embora tenham o mesmo módulo as forças produzem acelerações diferentes quando a maçã começa a cair A aceleração da maçã é aproximadamente 98 ms2 a aceleração dos corpos em queda livre perto da superfície da Terra A aceleração da Terra medida no referencial do centro de massa do sistema maçãTerra é apenas cerca de 1 1025 ms2 Figura 133 A maçã puxa a Terra para cima com a mesma força com a qual a Terra puxa a maçã para baixo Teste 1 Uma partícula é colocada sucessivamente do lado de fora de quatro objetos todos de massa m 1 uma grande esfera maciça homogênea 2 uma grande casca esférica homogênea 3 uma pequena esfera maciça homogênea e 4 uma pequena casca homogênea Em todos os casos a distância entre a partícula e o centro do objeto é d Ordene os objetos de acordo com o módulo da força gravitacional que eles exercem sobre a partícula em ordem decrescente 132 GRAVITAÇÃO E O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1304 Desenhar um diagrama de corpo livre para uma partícula submetida a várias forças gravitacionais 1305 Determinar a força resultante que age sobre uma partícula submetida a várias forças gravitacionais IdeiasChave A força gravitacional obedece ao princípio da superposição ou seja se n partículas interagem por meio da força gravitacional a força resultante 1res a que está submetida a partícula 1 é a soma das forças exercidas sobre a partícula 1 por todas as outras partículas em que o somatório representa a soma vetorial das forças que as partículas 2 3 n exercem sobre a partícula 1 A força gravitacional 1 que um objeto de dimensões finitas exerce sobre uma partícula pode ser determinada dividindo o objeto em elementos de massa infinitesimal dm cada um dos quais exerce uma força infinitesimal d sobre a partícula e integrando essa força para todos os elementos do objeto Gravitação e o Princípio da Superposição Dado um grupo de partículas podemos determinar a força gravitacional a que uma das partículas está submetida devido à presença das outras usando o princípio da superposição Tratase de um princípio segundo o qual em muitas circunstâncias um efeito total pode ser calculado somando efeitos parciais No caso da gravitação esse princípio pode ser aplicado o que significa que podemos calcular a força total a que uma partícula está submetida somando vetorialmente as forças que todas as outras partículas exercem sobre ela Vamos chamar a atenção para dois pontos importantes da última sentença que talvez tenham passado despercebidos 1 Uma vez que as forças são vetores e podem estar sendo aplicadas em diferentes direções elas devem ser somadas vetorialmente Se duas pessoas puxam você em direções opostas a força total que elas exercem é obviamente diferente da força a que você seria submetido se elas estivessem puxando você na mesma direção 2 As forças exercidas pelas diferentes partículas podem ser somadas Imagine como seria difícil calcular a força resultante se ela dependesse de um fator multiplicativo que variasse de força para força ou se a presença de uma força afetasse de alguma forma a intensidade das outras forças Felizmente o cálculo da força resultante envolve apenas uma soma vetorial das forças envolvidas No caso de n partículas a aplicação do princípio da superposição às forças gravitacionais que agem sobre a partícula 1 permite escrever Aqui 1res é a força resultante a que está submetida a partícula 1 e por exemplo 13 é a força exercida pela partícula 3 sobre a partícula 1 Podemos expressar a Eq 134 de forma mais compacta por meio de um somatório Objetos Reais O que dizer da força gravitacional que um objeto real de dimensões finitas exerce sobre uma partícula Essa força pode ser calculada dividindo o objeto em partes suficientemente pequenas para serem tratadas como partículas e usando a Eq 135 para calcular a soma vetorial das forças exercidas pelas partes sobre a partícula No casolimite podemos dividir o objeto de dimensões finitas em partes infinitesimais de massa dm cada uma delas exerce uma força infinitesimal d sobre a partícula Nesse limite o somatório da Eq 135 se torna uma integral e temos em que a integração é realizada para todo o objeto e omitimos o índice res Se o objeto é uma casca esférica homogênea podemos evitar a integração da Eq 136 supondo que toda a massa está no centro do objeto e usando a Eq 131 Teste 2 A figura mostra quatro arranjos de partículas de mesma massa a Ordene os arranjos de acordo com o módulo da força gravitacional a que está submetida a partícula m começando pelo maior b No arranjo 2 a direção da força resultante está mais próxima da reta de comprimento d ou da reta de comprimento D Exemplo 1301 Força gravitacional resultante para três partículas no mesmo plano A Fig 134a mostra um arranjo de três partículas a partícula 1 de massa m1 60 kg e as partículas 2 e 3 de massa m2 m3 40 kg a 20 cm Qual é a força gravitacional resultante 1res que as outras partículas exercem sobre a partícula 1 IDEIASCHAVE 1 O módulo da força gravitacional que cada uma das outras partículas exerce sobre a partícula 1 é dado pela Eq 131 F Gm1m2r2 2 A direção da força gravitacional é a da reta que liga cada partícula à partícula 1 3 Como as forças não são colineares não podemos simplesmente somar ou subtrair o módulo das forças para obter a força total mas devemos usar uma soma vetorial Cálculos De acordo com a Eq 131 o módulo da força 12 que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 é dado por Analogamente o módulo da força 13 que a partícula 3 exerce sobre a partícula 1 é dado por A força 12 aponta no sentido positivo do eixo y Fig 134b e possui apenas a componente y F12 a força 13 aponta no sentido negativo do eixo x e possui apenas a componente x F13 Fig 134c Note algo importante Desenhamos os diagramas de corpo livre com a origem dos vetores na partícula que está sendo representada Desenhar os vetores em outras posições pode ser um convite para cometer erros especialmente em provas finais Para determinar a força resultante 1res a que está submetida a partícula 1 devemos calcular a soma vetorial das duas forças Figs 134d e 134e Isso poderia ser feito usando uma calculadora Acontece porém que F13 e F12 podem ser vistas como as componentes x e y de 1res portanto podemos usar a Eq 36 para determinar o módulo e a orientação de 1res O módulo é A Eq 36 nos dá a orientação de 1res em relação ao semieixo positivo como Esse resultado Fig 134f é razoável Não já que a orientação de 1res deve estar entre as orientações de 12 e 13 Como vimos no Capítulo 3 as calculadoras mostram apenas um dos dois valores possíveis da função tan1 Para obter o outro valor somamos 180o que é Fig 134g uma orientação razoável de 1res Figura 134 a Um arranjo de três partículas A força exercida sobre a partícula 1 b pela partícula 2 e c pela partícula 3 d e e Duas formas diferentes de combinar as duas forças para obter a força resultante f Ângulo da força resultante fornecido por uma calculadora g Ângulo correto da força resultante 133 A GRAVITAÇÃO PERTO DA SUPERFÍCIE DA TERRA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1306 Saber o que é a aceleração da gravidade 1307 Calcular a aceleração da gravidade nas proximidades de um corpo celeste esférico e homogêneo 1308 Saber a diferença entre peso e força gravitacional e entre aceleração de queda livre e aceleração da gravidade IdeiasChave A aceleração da gravidade ag de uma partícula de massa m se deve exclusivamente à força gravitacional a que a partícula é submetida Quando a partícula está a uma distância r do centro de um corpo celeste esférico e homogêneo de massa M a força gravitacional F que age sobre a partícula é dada pela Eq 131 De acordo com a segunda lei de Newton F mag o que nos dá Como a massa da Terra não está distribuída de modo uniforme a aceleração da gravidade ag varia ligeiramente de um ponto a outro da superfície terrestre Como a Terra possui um movimento de rotação o peso de uma partícula mg em que g é aceleração de queda livre é ligeiramente menor que o módulo da força gravitacional A Gravitação Perto da Superfície da Terra Vamos supor que a Terra é uma esfera homogênea de massa M O módulo da força gravitacional que a Terra exerce sobre uma partícula de massa m localizada fora da Terra a uma distância r do centro da Terra é dado pela Eq 131 Se a partícula é liberada ela cai em direção ao centro da Terra em consequência da força gravitacional com uma aceleração g que é chamada de aceleração da gravidade De acordo com a segunda lei de Newton os módulos de e g estão relacionados pela equação Substituindo F na Eq 1310 pelo seu valor dado pela Eq 139 e explicitando ag obtemos A Tabela 131 mostra os valores de ag calculados para várias altitudes acima da superfície da Terra Note que ag tem um valor significativo mesmo a 400 km de altura Tabela 131 Variação de ag com a Altitude Altitude km ag ms2 Exemplo de Altitude 0 983 Superfície média da Terra 88 980 Monte Everest 366 971 Recorde para um balão tripulado 400 870 Órbita do ônibus espacial 35700 0225 Satélite de comunicações A partir do Módulo 51 supusemos que a Terra era um referencial inercial desprezando o movimento de rotação do planeta Essa simplificação permitiu supor que a aceleração de queda livre g de uma partícula era igual à aceleração da gravidade que agora chamamos de ag Além disso supusemos que g possuía o valor de 98 ms2 em qualquer ponto da superfície da Terra Na verdade o valor de g medido em um ponto específico da superfície terrestre é diferente do valor de ag calculado usando a Eq 1311 para o mesmo ponto por três razões 1 A massa da Terra não está distribuída uniformemente 2 a Terra não é uma esfera perfeita 3 a Terra está girando Pelas mesmas razões o peso mg de uma partícula é diferente da força calculada usando a Eq 139 Vamos agora discutir essas três razões Figura 135 Massa específica da Terra em função da distância do centro Os limites do núcleo sólido interno do núcleo externo semilíquido e do manto sólido são claramente visíveis mas a crosta da Terra é fina demais para ser mostrada no gráfico 1 2 3 A massa da Terra não está uniformemente distribuída A massa específica massa por unidade de volume da Terra varia com a distância do centro como mostra a Fig 135 e a massa específica da crosta parte mais próxima da superfície varia de ponto a ponto da superfície da Terra Assim g não é igual em todos os pontos da superfície A Terra não é uma esfera A Terra tem a forma aproximada de um elipsoide é achatada nos polos e saliente no equador A diferença entre o raio equatorial distância entre o centro da Terra e o equador e o raio polar distância entre o centro da Terra e os polos é da ordem de 21 km Assim um ponto em um dos polos está mais próximo do centro da Terra do que um ponto no equador Essa é uma das razões pelas quais a aceleração de queda livre g ao nível do mar aumenta à medida que nos afastamos do equador em direção a um dos polos A Terra está girando O eixo de rotação passa pelos polos norte e sul da Terra Um objeto localizado em qualquer lugar da superfície da Terra exceto nos polos descreve uma circunferência em torno do eixo de rotação e portanto possui uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da circunferência Essa aceleração centrípeta é produzida por uma força centrípeta que também está dirigida para o centro Para compreendermos de que forma a rotação da Terra faz com que g seja diferente de ag vamos analisar uma situação simples na qual um caixote de massa m está em uma balança no equador A Fig 13 6a mostra a situação observada de um ponto do espaço acima do polo norte A Fig 136b um diagrama de corpo livre mostra as duas forças que agem sobre o caixote ambas orientadas ao longo da reta que liga o centro da Terra ao caixote A força normal N exercida pela balança sobre o caixote é dirigida para fora da Terra no sentido positivo do eixo r A força gravitacional representada pela força equivalente m g é dirigida para dentro da Terra Como se move em uma circunferência por causa da rotação da Terra o caixote possui uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da Terra De acordo com a Eq 1023 ar ω2r a aceleração centrípeta do caixote é igual a ω2R em que ω é a velocidade angular da Terra e R é o raio da circunferência aproximadamente o raio da Terra Assim podemos escrever a segunda lei de Newton para as forças ao longo do eixo r Fresr mar na forma Figura 136 a Um caixote em uma balança no equador da Terra visto por um observador posicionado no eixo de rotação da Terra em um ponto acima do polo norte b Diagrama de corpo livre do caixote com um eixo r na direção da reta que liga o caixote ao centro da Terra A força gravitacional que age sobre o caixote está representada pelo vetor m g A força normal exercida pela balança sobre o caixote é N Devido à rotação da Terra o caixote possui uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da Terra O módulo FN da força normal é igual ao peso mg indicado pela balança Substituindo FN por mg a Eq 1312 se torna ou em palavras Assim a rotação da Terra faz com que o peso medido seja menor que a força gravitacional que age sobre o caixote Diferença das Acelerações Para obter uma expressão correspondente para g e ag cancelamos m na Eq 1313 o que nos dá ou em palavras Assim a rotação da Terra faz com que aceleração de queda livre seja menor que a aceleração da gravidade Equador A diferença entre as acelerações g e ag é igual a ω2R e é máxima no equador já que o raio R da circunferência descrita pelo caixote é máximo no equador Para estimar a diferença podemos usar a Eq 105 ω ΔθΔt e o raio médio da Terra R 637 106 m Para uma rotação da Terra θ 2π rad e o período Δt é aproximadamente 24 h Usando esses valores e convertendo horas para segundos descobrimos que a diferença entre ag e g é apenas cerca de 0034 ms2 um valor muito pequeno em comparação com 98 ms2 Assim desprezar a diferença entre as acelerações g e ag constitui na maioria dos casos uma aproximação razoável Da mesma forma desprezar a diferença entre o peso e o módulo da força gravitacional constitui na maioria das vezes uma aproximação razoável Exemplo 1302 Diferença entre a aceleração da cabeça e a aceleração dos pés a Uma astronauta cuja altura h é 170 m flutua com os pés para baixo em um ônibus espacial em órbita a uma distância r 677 106 m do centro da Terra Qual é a diferença entre a aceleração gravitacional dos pés e a aceleração da cabeça da astronauta IDEIASCHAVE Podemos aproximar a Terra por uma esfera homogênea de massa MT De acordo com a Eq 1311 a aceleração gravitacional a qualquer distância r do centro da Terra é Poderíamos simplesmente aplicar essa equação duas vezes primeiro com r 677 106 m para os pés e depois com r 677 106 m 170 m para a cabeça Entretanto como h é muito menor que r uma calculadora forneceria o mesmo valor para ag nos dois casos e portanto obteríamos uma diferença nula Outra abordagem é mais produtiva Como é muito pequena a diferença dr entre a distância dos pés e a distância da cabeça da astronauta e o centro da Terra vamos diferenciar a Eq 1315 em relação a r Cálculos Diferenciando a Eq 1315 obtemos em que dag é o acréscimo da aceleração gravitacional em consequência de um acréscimo dr da distância ao centro da Terra No caso da astronauta dr h e r 677 106 m Substituindo os valores conhecidos na Eq 1316 obtemos em que o valor de MT foi obtido no Apêndice C O resultado significa que a aceleração gravitacional dos pés da astronauta em direção à Terra é ligeiramente maior que a aceleração da cabeça A diferença entre as acelerações conhecida como efeito maré tende a esticar o corpo da astronauta mas é tão pequena que não pode ser percebida b Se a mesma astronauta está de pés para baixo em uma nave espacial em órbita com o mesmo raio r 677 106 m em torno de um buraco negro de massa Mb 199 1031 kg 10 vezes a massa do Sol qual é a diferença entre a aceleração gravitacional dos pés e da cabeça O buraco negro possui uma superfície chamada horizonte de eventos de raio Rb 2GMbc2 148 10 27Mb 295 104 m em que c é a velocidade da luz Nada nem mesmo a luz pode escapar dessa superfície ou de qualquer ponto do interior Note que a astronauta está bem longe do horizonte de eventos r 229Rb Cálculos Mais uma vez temos uma variação dr entre os pés e a cabeça da astronauta e podemos empregar a Eq 1316 Agora porém em vez de MT temos de usar Mb 199 1031 kg O resultado é Isso significa que a aceleração gravitacional dos pés da astronauta em direção ao buraco negro é bem maior que a da cabeça A força resultante seria suportável mas dolorosa Se a astronauta se aproximasse do buraco negro a força de estiramento aumentaria drasticamente 134 A GRAVITAÇÃO NO INTERIOR DA TERRA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1309 Saber que é sempre nula a força gravitacional exercida por uma casca homogênea de matéria sobre partículas situadas no interior da casca 1310 Calcular a força gravitacional exercida por uma esfera homogênea de matéria sobre partículas situadas no interior da esfera IdeiasChave A força gravitacional exercida por uma casca homogênea de matéria sobre partículas situadas no interior da casca é sempre nula A força gravitacional exercida por uma esfera homogênea de matéria sobre uma partícula de massa m situada a uma distância r do centro da esfera se deve apenas à massa Mint de uma esfera interna de raio r em que ρ é a massa específica da esfera R é o raio da esfera e M é a massa da esfera Podemos substituir a esfera interna por uma partícula de mesma massa situada no centro da esfera e usar a lei da gravitação de Newton para partículas O resultado é A Gravitação no Interior da Terra O teorema das cascas de Newton também pode ser aplicado a uma situação na qual a partícula se encontra no interior de uma casca homogênea para demonstrar o seguinte Uma casca homogênea de matéria não exerce força gravitacional sobre uma partícula localizada no interior da casca Figura 137 Uma cápsula de massa m cai a partir do repouso através de um túnel que liga os polos norte e sul da Terra Quando a cápsula está a uma distância r do centro da Terra a parte da massa da Terra que está contida numa esfera com esse raio é Mint Atenção Essa afirmação não significa que as forças gravitacionais exercidas pelas partículas da casca sobre a partícula considerada desaparecem magicamente e sim que a resultante das forças gravitacionais que agem sobre a partícula é nula Se a massa da Terra fosse uniformemente distribuída a força gravitacional que age sobre uma partícula seria máxima na superfície da Terra e decresceria à medida que a partícula se movesse para fora afastandose do planeta Se a partícula se movesse para o interior da Terra penetrando no poço de uma mina por exemplo a força gravitacional mudaria por duas razões 1 tenderia a aumentar porque a partícula estaria se aproximando do centro da Terra 2 tenderia a diminuir porque uma casca de material de espessura cada vez maior localizada do lado de fora da partícula em relação ao centro da Terra deixaria de contribuir para a força gravitacional Para obter uma expressão para a força gravitacional no interior de uma Terra homogênea vamos usar o enredo de De Polo a Polo um conto de ficção científica escrito por George Griffith em 1904 Na história três exploradores usam uma cápsula para viajar em um túnel natural fictício é claro que vai do polo sul ao polo norte A Fig 137 mostra a cápsula de massa m quando está a uma distância r do centro da Terra Nesse instante a força gravitacional resultante que age sobre a cápsula se deve à massa Mint de uma esfera de raio r a massa no interior da linha tracejada e não à massa total da Terra Além disso podemos supor que essa massa está concentrada em uma partícula situada no centro da Terra Assim de acordo com a Eq 131 a força gravitacional que age sobre a cápsula é dada por Supondo que a massa da Terra está uniformemente distribuída podemos igualar a massa específica ρ da esfera de raio r em termos da massa Mint e do raio r à massa específica da Terra inteira em termos da massa total M e do raio R da Terra Explicitando Mint obtemos Substituindo a segunda expressão de Mint na Eq 1317 obtemos o módulo da força gravitacional que age sobre a cápsula em função da distância r entre a cápsula e o centro da Terra De acordo com a história de Griffith à medida que a cápsula se aproxima do centro da Terra a força gravitacional experimentada pelos exploradores aumenta assustadoramente mas desaparece por um momento quando a cápsula atinge o centro da Terra Em seguida a gravidade volta a assumir um valor elevado e começa a diminuir enquanto a cápsula atravessa a outra metade do túnel e chega ao polo norte Com base na Eq 1319 vemos que na realidade a força diminui linearmente com a distância até que exatamente no centro a força se anula voltando a aumentar gradualmente quando a cápsula se afasta do centro Assim Griffith acertou apenas quanto ao fato de a força gravitacional se anular no centro da Terra A Eq 1319 também pode ser escrita em termos do vetor força e do vetor posição da cápsula Representando por K as constantes da Eq 1319 a equação vetorial se torna em que o sinal negativo indica que e têm sentidos opostos A Eq 1320 tem uma forma semelhante à da lei de Hooke Eq 720 k Assim nas condições idealizadas da história de Griffith a cápsula oscilaria como um bloco preso a uma mola com o centro das oscilações no centro da Terra Após ter caído do polo sul até o centro da Terra a cápsula viajaria do centro até o polo norte como Griffith afirmou e depois voltaria ao polo norte repetindo o ciclo para sempre Na Terra de verdade que possui uma distribuição de massa não uniforme Fig 135 a força sobre a cápsula aumentaria inicialmente atingiria um valor máximo a certa profundidade e depois passaria a diminuir até chegar a zero no centro da Terra 135 ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1311 Calcular a energia potencial gravitacional de um sistema de partículas ou de esferas homogêneas que podem ser tratadas como partículas 1312 Saber que se uma partícula se desloca de um ponto inicial para um ponto final sob a ação de uma força gravitacional o trabalho realizado pela força e portanto a variação da energia potencial gravitacional não depende da trajetória da partícula 1313 Calcular o trabalho executado pela força gravitacional de um corpo celeste sobre uma partícula 1314 Aplicar a lei de conservação da energia mecânica que inclui a energia potencial gravitacional ao movimento de uma partícula em relação a um corpo celeste 1315 Calcular a energia necessária para que uma partícula escape da atração gravitacional de um corpo celeste 1316 Calcular a velocidade de escape de uma partícula situada nas proximidades de um corpo celeste IdeiasChave A energia potencial gravitacional Ur de um sistema de duas partículas de massas M e m separadas por uma distância r é o negativo do trabalho que seria realizado pela força gravitacional de uma das partículas para reduzir a distância entre as partículas de uma distância infinita um valor muito grande para uma distância r Essa energia é dada por Se um sistema contém mais de duas partículas a energia potencial gravitacional total é a soma das energias potenciais de todos os pares de partículas No caso de três partículas de massas m1 m2 e m3 por exemplo Um objeto escapará da atração gravitacional de um corpo celeste de massa M e raio R ou seja atingirá uma distância infinita se a velocidade do objeto nas vizinhanças da superfície do corpo celeste for igual ou maior que a velocidade de escape fornecida por Energia Potencial Gravitacional No Módulo 81 analisamos a energia potencial gravitacional de um sistema partículaTerra Supusemos que a partícula estava nas proximidades da superfície da Terra para que a força gravitacional fosse aproximadamente constante e escolhemos uma configuração de referência do sistema para a qual a energia potencial gravitacional fosse nula Essa configuração de referência foi tomada como aquela na qual a partícula estava na superfície da Terra Para partículas fora da superfície da Terra a energia potencial gravitacional diminuía quando a distância entre a partícula e a Terra diminuía Vamos agora alargar nossa visão e considerar a energia potencial gravitacional U de duas partículas de massas m e M separadas por uma distância r Mais uma vez vamos escolher uma configuração de referência com U igual a zero Entretanto para simplificar as equações a distância r na configuração de referência agora será tão grande que podemos considerála infinita Como antes a energia potencial gravitacional diminui quando a distância diminui Como U 0 para r a energia potencial é negativa para qualquer distância finita e se torna progressivamente mais negativa à medida que as partículas se aproximam Figura 138 Um sistema formado por três partículas A energia potencial gravitacional do sistema é a soma das energias potenciais gravitacionais dos três pares de partículas Com esses fatos em mente tomamos como justificaremos a seguir a energia potencial gravitacional do sistema de duas partículas como Note que Ur tende a zero quando r tende a infinito e que para qualquer valor finito de r o valor de Ur é negativo Modos de Falar A energia potencial dada pela Eq 1321 é uma propriedade do sistema de duas partículas e não de cada partícula isoladamente Não é possível dividir essa energia e afirmar que uma parte pertence a uma das partículas e o restante pertence à outra Entretanto se M m como acontece no caso do sistema formado pela Terra de massa M e uma bola de tênis de massa m frequentemente falamos da energia potencial da bola de tênis Podemos falar assim porque quando uma bola de tênis se move nas proximidades da superfície da Terra as variações de energia potencial do sistema bola Terra aparecem quase inteiramente como variações da energia cinética da bola de tênis já que as variações da energia cinética da Terra são pequenas demais para serem medidas Analogamente no Módulo 137 vamos falar da energia potencial de um satélite artificial em órbita da Terra porque a massa do satélite é muito menor que a massa da Terra Por outro lado quando falamos da energia potencial de corpos de massas comparáveis devemos ter o cuidado de tratálos como um sistema Várias Partículas Se nosso sistema contém mais de duas partículas consideramos cada par de partículas separadamente calculamos a energia potencial gravitacional desse par usando a Eq 1321 como se as outras partículas não estivessem presentes e somamos algebricamente os resultados Aplicando a Eq 1321 a cada um dos três pares de partículas da Fig 138 por exemplo obtemos a seguinte equação para a energia potencial do sistema Figura 139 Uma bola de tênis é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra passando pelo ponto P a uma distância R do centro da Terra A força gravitacional que age sobre a bola e o vetor deslocamento diferencial d estão representados ao longo de um eixo radial r Demonstração da Equação 1321 Suponha que uma bola de tênis seja lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra como na Fig 139 Estamos interessados em obter uma expressão para a energia potencial gravitacional U da bola no ponto P da trajetória a uma distância radial R do centro da Terra Para isso calculamos o trabalho W realizado sobre a bola pela força gravitacional enquanto a bola se move do ponto P até uma distância muito grande infinita da Terra Como a força gravitacional r é uma força variável o módulo depende de r devemos usar as técnicas do Módulo 75 para calcular o trabalho Em notação vetorial podemos escrever A integral contém o produto escalar da força r pelo vetor deslocamento diferencial d ao longo da trajetória da bola Expandindo o produto obtemos a equação em que ϕ é o ângulo entre r e d Quando substituímos ϕ por 180 e Fr pelo seu valor dado pela Eq 131 a Eq 1324 se torna em que M é a massa da Terra e m é a massa da bola Substituindo na Eq 1323 e integrando obtemos em que W é o trabalho necessário para deslocar a bola do ponto P a uma distância R até o infinito A Eq 81 ΔU W nos diz que também podemos escrever esse trabalho em termos de energias potenciais como U U W Como a energia potencial no infinito U é nula U é a energia potencial em P e W é dado pela Eq 1325 essa equação se torna Substituindo R por r obtemos a Eq 1321 que queríamos demonstrar Figura 1310 Perto da superfície da Terra uma bola de tênis é deslocada do ponto A para o ponto G ao longo de uma trajetória formada por segmentos radiais e arcos de circunferência Independência da Trajetória Na Fig 1310 deslocamos uma bola de tênis do ponto A para o ponto G ao longo de uma trajetória composta por três segmentos radiais e três arcos de circunferência com o centro no centro da Terra Estamos interessados no trabalho total W realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre a bola quando esta se desloca do ponto A até o ponto G O trabalho realizado ao longo dos arcos de circunferência é nulo já que é perpendicular aos arcos em todos os pontos Assim W é a soma apenas dos trabalhos realizados pela força ao longo dos três segmentos radiais Suponha agora que reduzimos mentalmente o comprimento dos arcos para zero Nesse caso estamos deslocando a bola de A para G ao longo de um único segmento radial O valor de W é diferente Não Como nenhum trabalho é realizado ao longo dos arcos sua eliminação não muda o valor do trabalho A trajetória seguida de A a G é diferente mas o trabalho realizado por é o mesmo Esse tipo de resultado foi discutido de forma geral no Módulo 81 O fato é que a força gravitacional é uma força conservativa Assim o trabalho realizado pela força gravitacional sobre uma partícula que se move de um ponto inicial i para um ponto final f não depende da trajetória seguida entre os pontos De acordo com a Eq 81 a variação ΔU da energia potencial gravitacional do ponto i para o ponto f é dada por Como o trabalho W realizado por uma força conservativa é independente da trajetória seguida pela partícula a variação ΔU da energia potencial gravitacional também é independente da trajetória Energia Potencial e Força Na demonstração da Eq 1321 deduzimos a função energia potencial Ur a partir da função força r Poderíamos ter seguido o caminho inverso ou seja deduzido a função força a partir da função energia potencial Guiados pela Eq 822 Fx dUxdx podemos escrever Essa é a lei da gravitação de Newton Eq 131 O sinal negativo significa que a força exercida sobre a massa m aponta no sentido de valores menores de r em direção à massa M Velocidade de Escape Quando lançamos um projétil para cima normalmente ele diminui de velocidade para momentaneamente e cai de volta na Terra Para velocidades maiores que certo valor porém o projétil continua a subir indefinidamente e sua velocidade somente se anula pelo menos na teoria a uma distância infinita da Terra O menor valor da velocidade para que isso ocorra é chamado de velocidade de escape da Terra Considere um projétil de massa m deixando a superfície de um planeta ou outro astro qualquer com a velocidade de escape v O projétil possui uma energia cinética K dada por e uma energia potencial U dada pela Eq 1321 em que M e R são respectivamente a massa e o raio do planeta Quando o projétil atinge o infinito ele para e portanto não possui mais energia cinética Também não possui energia potencial gravitacional pois uma distância infinita entre dois corpos corresponde à configuração que escolhemos como referência de energia potencial nula A energia total do projétil no infinito é portanto zero De acordo com a lei de conservação da energia a energia total do projétil na superfície do planeta também deve ter sido nula de modo que Isso nos dá Note que v não depende da direção em que o projétil é lançado Entretanto é mais fácil atingir essa velocidade se o projétil for lançado na direção para a qual o local de lançamento está se movendo por causa da rotação do planeta Assim por exemplo os foguetes americanos são lançados na direção leste em Cabo Canaveral para aproveitar a velocidade local para o leste de cerca de 1500 kmh em consequência da rotação da Terra A Eq 1328 pode ser usada para calcular a velocidade de escape de um projétil a partir da superfície de qualquer corpo celeste tomando M como a massa do corpo e R como o raio A Tabela 132 mostra algumas velocidades de escape Tabela 132 Algumas Velocidades de Escape Astro Massa kg Raio m Velocidade de Escape kms Ceresa 117 1021 38 105 064 Luaa 736 1022 174 106 238 Terra 598 1024 637 106 112 Júpiter 190 1027 715 107 595 Sol 199 1030 696 108 618 Sirius Bb 2 1030 1 107 5200 Estrela de nêutronsc 2 1030 1 104 2 105 aO maior asteroide bUma anã branca estrela em um estágio final de evolução que é companheira da estrela Sirius cO núcleo denso de uma estrela que se transformou em supernova Teste 3 Você afasta uma bola de massa m de uma esfera de massa M a A energia potencial gravitacional do sistema bolaesfera aumenta ou diminui b O trabalho realizado pela força gravitacional com a qual a bola e a esfera se atraem é positivo ou negativo Exemplo 1303 Energia mecânica de um asteroide Um asteroide em rota de colisão com a Terra tem uma velocidade de 12 kms em relação ao planeta quando está a uma distância de 10 raios terrestres do centro da Terra Desprezando os efeitos da atmosfera sobre o asteroide determine a velocidade do asteroide vf ao atingir a superfície da Terra IDEIASCHAVE Como estamos desprezando os efeitos da atmosfera sobre o asteroide a energia mecânica do sistema asteroideTerra é conservada durante a queda Assim a energia mecânica final no instante em que o asteroide atinge a superfície da Terra é igual à energia mecânica inicial Chamando a energia cinética de K e a energia potencial gravitacional de U essa relação pode ser escrita na forma Supondo que o sistema é isolado o momento linear do sistema também é conservado durante a queda Assim as variações do momento linear do asteroide e da Terra devem ter o mesmo módulo e sinais opostos Entretanto como a massa da Terra é muito maior que a massa do asteroide a variação da velocidade da Terra é desprezível em relação à variação da velocidade do asteroide ou seja a variação da energia cinética da Terra pode ser desprezada Assim podemos supor que as energias cinéticas na Eq 1329 são apenas as do asteroide Cálculos Sejam m a massa do asteroide e M a massa da Terra 598 1024 kg O asteroide está inicialmente a uma distância 10RT do centro da Terra e no final a uma distância RT em que RT é o raio da Terra 637 106 m Substituindo U pelo seu valor dado pela Eq 1321 e K por a Eq 1329 se torna 1 2 3 Reagrupando os termos e substituindo os valores conhecidos obtemos e vf 160 104ms 16 kms Resposta A essa velocidade o asteroide não precisaria ser muito grande para causar danos consideráveis Se tivesse 5 m de diâmetro o choque liberaria aproximadamente tanta energia quanto a explosão nuclear de Hiroshima Na verdade existem cerca de 500 milhões de asteroides desse tamanho nas proximidades da órbita da Terra e em 1994 um deles aparentemente penetrou na atmosfera da Terra e explodiu 20 km acima do Pacífico Sul acionando alarmes de explosão nuclear em seis satélites militares 136 PLANETAS E SATÉLITES AS LEIS DE KEPLER Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1317 Conhecer as três leis de Kepler 1318 Saber qual das leis de Kepler é equivalente à lei de conservação do momento angular 1319 Localizar no desenho de uma órbita elíptica o semieixo maior o periélio o afélio e os pontos focais 1320 Conhecer a relação entre o semieixo maior a excentricidade o periélio e o afélio de uma órbita elíptica 1321 Conhecer a relação entre o período e o raio da órbita de um satélite natural ou artificial em torno de um corpo celeste e a massa do corpo celeste IdeiasChave O movimento de planetas e satélites tanto naturais como artificiais obedece às três leis de Kepler que no caso particular dos planetas do sistema solar podem ser enunciadas da seguinte forma Lei das órbitas Todos os planetas descrevem órbitas elípticas com o Sol em um dos focos Lei das áreas A reta que liga qualquer planeta ao Sol varre a mesma área no mesmo intervalo de tempo Essa lei é equivalente à lei de conservação do momento angular Lei dos períodos O quadrado do período T de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior a da órbita em que M é a massa do Sol Planetas e Satélites As Leis de Kepler Desde tempos imemoriais os movimentos aparentemente aleatórios dos planetas em relação às estrelas intrigaram os observadores do céu O movimento retrógrado de Marte mostrado na Fig 1311 era particularmente enigmático Johannes Kepler 15711630 após uma vida de estudos descobriu as leis empíricas que governam esses movimentos Tycho Brahe 15461601 o último dos grandes astrônomos a fazer observações sem o auxílio de um telescópio compilou uma grande quantidade de dados a partir dos quais Kepler foi capaz de deduzir as três leis do movimento planetário que hoje levam o seu nome Mais tarde Newton 16421727 mostrou que as leis de Kepler são uma consequência da sua lei da gravitação Nesta seção vamos discutir as três leis de Kepler Embora tenham sido aplicadas originalmente ao movimento dos planetas em torno do Sol as mesmas leis podem ser usadas para estudar o movimento de satélites naturais ou artificiais em volta da Terra ou de qualquer outro corpo cuja massa seja muito maior que a do satélite Figura 1311 Trajetória de Marte em relação às estrelas da constelação de Capricórnio durante o ano de 1971 A posição do planeta está assinalada em quatro dias específicos Como tanto Marte como a Terra estão se movendo em torno do Sol o que vemos é a posição de Marte em relação a nós esse movimento relativo faz com que Marte às vezes pareça se mover no sentido oposto ao de sua trajetória normal 1 LEI DAS ÓRBITAS Todos os planetas se movem em órbitas elípticas com o Sol em um dos focos A Fig 1312 mostra um planeta de massa m que se move em órbita em torno do Sol cuja massa é M Sabemos que M m de modo que o centro de massa do sistema planetaSol está aproximadamente no centro do Sol A órbita da Fig 1312 é especificada pelo semieixo maior a e pela excentricidade e a última definida de tal forma que ea é a distância do centro da elipse a um dos focos F ou F9 Uma excentricidade nula corresponde a uma circunferência na qual os dois focos se reduzem a um único ponto central As excentricidades das órbitas dos planetas são tão pequenas que as órbitas parecem circulares se forem desenhadas em escala A excentricidade da elipse da Fig 1312 por exemplo é 074 enquanto a excentricidade da órbita da Terra é apenas 00167 2 LEI DAS ÁREAS A reta que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais no plano da órbita do planeta em intervalos de tempo iguais ou seja a taxa de variação dAdt da área A com o tempo é constante Figura 1312 Um planeta de massa m em órbita elíptica em torno do Sol O Sol de massa M ocupa um foco F da elipse O outro foco F está localizado no espaço vazio Os dois focos ficam a uma distância ea do centro em que e é a excentricidade e a é o semieixo maior da elipse A distância do periélio Rp ponto mais próximo do Sol e a distância do afélio Ra ponto mais afastado do Sol também são mostradas na figura Qualitativamente a segunda lei nos diz que o planeta se move mais devagar quando está mais distante do Sol e mais depressa quando está mais próximo do Sol Na realidade a segunda lei de Kepler é uma consequência direta da lei de conservação do momento angular Vamos provar esse fato A área da cunha sombreada na Fig 1313a é praticamente igual à área varrida no intervalo de tempo Δt pelo segmento de reta entre o Sol e o planeta cujo comprimento é r A área ΔA da cunha é aproximadamente igual à área de um triângulo de base rΔθ e altura r Como a área de um triângulo é igual à metade da base vezes a altura Essa expressão para ΔA se torna mais exata quando Δt e portanto Δθ tende a zero A taxa de variação instantânea é em que ω é a velocidade angular do segmento de reta que liga o Sol ao planeta A Fig 1313b mostra o momento linear do planeta juntamente com as componentes radial e perpendicular De acordo com a Eq 1120 L rp o módulo do momento angular do planeta em relação ao Sol é dado pelo produto de r e p a componente de perpendicular a r Para um planeta de massa m Figura 1313 a No instante Δt o segmento de reta r que liga o planeta ao Sol se desloca de um ângulo Δθ varrendo uma área ΔA sombreada b O momento linear do planeta e suas componentes em que substituímos v por ωr Eq 1018 Combinando as Eqs 1330 e 1331 obtemos De acordo com a Eq 1332 a afirmação de Kepler de que dAdt é constante equivale a dizer que L é constante ou seja que o momento angular é conservado A segunda lei de Kepler é portanto equivalente à lei de conservação do momento angular Figura 1314 Um planeta de massa m girando em torno do Sol em uma órbita circular de raio r 3 LEI DOS PERÍODOS O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita Para compreender por que isso é verdade considere a órbita circular da Fig 1314 de raio r o raio de uma circunferência é equivalente ao semieixo maior de uma elipse Aplicando a segunda lei de Newton F ma ao planeta em órbita da Fig 1314 obtemos Nesta equação substituímos o módulo da força F pelo seu valor dado pela Eq 131 e usamos a Eq 10 23 para substituir a aceleração centrípeta por ω2r Usando a Eq 1020 para substituir ω por 2πT em que T é o período do movimento obtemos a terceira lei de Kepler para órbitas circulares em que a grandeza entre parênteses é uma constante que depende apenas da massa M do corpo central em torno do qual o planeta gira Essa equação também é válida para órbitas elípticas desde que r seja substituído por a o semieixo maior da elipse o que nos dá Essa lei prevê que a razão T2a3 tem praticamente o mesmo valor para todas as órbitas em torno de um mesmo corpo de grande massa A Tabela 133 mostra que ela é válida para as órbitas de todos os planetas do sistema solar Tabela 133 Aplicação da Terceira Lei de Kepler aos Planetas do Sistema Solar Planeta Semieixo Maior a 1010 m Período T anos T2a3 1034 anos2m3 Mercúrio 579 0241 299 Vênus 108 0615 300 Terra 150 100 296 Marte 228 188 298 Júpiter 778 119 301 Saturno 143 295 298 Urano 287 840 298 Netuno 450 165 299 Plutão 590 248 299 Teste 4 O satélite 1 está em uma órbita circular em torno de um planeta enquanto o satélite 2 está em uma órbita circular de raio maior Qual dos satélites possui a o maior período e b a maior velocidade Exemplo 1304 O cometa de Halley e a lei dos períodos de Kepler O cometa de Halley gira em órbita em torno do Sol com um período de 76 anos em 1986 chegou à menor distância do Sol a distância do periélio Rp que é 89 1010 m A Tabela 133 mostra que essa distância está entre as órbitas de Mercúrio e Vênus a Qual é a maior distância do cometa ao Sol que é chamada de distância do afélio Ra IDEIASCHAVE De acordo com a Fig 1312 Ra Rp 2a em que a é o semieixo maior da órbita Assim podemos calcular Ra se conhecermos a Podemos relacionar a ao período por meio da lei dos períodos Eq 1334 Cálculos Explicitando a na Eq 1334 obtemos Substituindo na Eq 1335 a massa M do Sol 199 1030 kg e o período T do cometa 76 anos ou 24 109 s obtemos a 27 1012 m Isso nos dá A Tabela 133 mostra que esse valor é um pouco menor que o semieixo maior da órbita de Plutão Assim o cometa não se afasta mais do Sol que Plutão b Qual é a excentricidade e da órbita do cometa de Halley IDEIACHAVE Podemos relacionar e a e Rp usando a Fig 1312 na qual vemos que ea a Rp Cálculo Temos Como a excentricidade é quase igual a 1 a órbita do cometa de Halley é uma elipse muito alongada 137 SATÉLITES ÓRBITAS E ENERGIAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1322 Calcular a energia potencial gravitacional a energia cinética e a energia total de um satélite em uma órbita circular em torno de um corpo celeste 1323 Calcular a energia total de um satélite em uma órbita elíptica IdeiasChave Quando um planeta ou satélite de massa m se move em uma órbita circular de raio r a energia potencial U e a energia cinética K são dadas por A energia mecânica E K U é portanto No caso de uma órbita elíptica de semieixo maior a Satélites Órbitas e Energias Quando um satélite gira em torno da Terra em uma órbita elíptica tanto a velocidade que determina a energia cinética K como a distância ao centro da Terra que determina a energia potencial gravitacional U variam com o tempo Entretanto a energia mecânica E do satélite permanece constante Como a massa do satélite é muito menor que a massa da Terra atribuímos U e E do sistema satéliteTerra apenas ao satélite Figura 1315 Quatro órbitas com diferentes excentricidades e em torno de um corpo de massa M As quatro órbitas têm o mesmo semieixo maior a e portanto têm a mesma energia mecânica total E A energia potencial do sistema é dada pela Eq 1321 com U 0 para uma distância infinita A variável r é o raio da órbita do satélite que supomos por enquanto que é circular e M e m são as massas da Terra e do satélite respectivamente Para determinar a energia cinética de um satélite em órbita circular usamos a segunda lei de Newton F ma para escrever em que v2r é a aceleração centrípeta do satélite De acordo com a Eq 1337 a energia cinética é que mostra que para um satélite em uma órbita circular A energia mecânica total do satélite é ou Esse resultado mostra que para um satélite em uma órbita circular a energia total E é o negativo da energia cinética K Para um satélite em uma órbita elíptica com semieixo maior a podemos substituir r por a na Eq 1340 para obter a energia mecânica De acordo com a Eq 1342 a energia total de um satélite em órbita não depende da excentricidade e Assim por exemplo no caso das quatro órbitas com o mesmo semieixo maior mostradas na Fig 1315 um satélite teria a mesma energia mecânica total E nas quatro órbitas A Fig 1316 mostra a variação de K U e E com r para um satélite em órbita circular em torno de um corpo central de grande massa Note que quanto maior o valor de r menor a energia cinética e portanto menor a velocidade tangencial do satélite Figura 1316 Variação da energia cinética K da energia potencial U e da energia total E com o raio r para um satélite em órbita circular Para qualquer valor de r os valores de U e E são negativos o valor de K é positivo e E K Para r as três curvas tendem a zero Teste 5 Na figura um ônibus espacial está inicialmente em uma órbita circular de raio r em torno da Terra No ponto P o piloto aciona por alguns instantes um retrofoguete para reduzir a energia cinética K e a energia mecânica E do ônibus espacial a Qual das órbitas elípticas tracejadas mostradas na figura o ônibus espacial passa a seguir b O novo período orbital T do ônibus espacial o tempo para retornar ao ponto P é maior menor ou igual ao da órbita circular Exemplo 1305 Energia mecânica de uma bola de boliche em órbita Um astronauta brincalhão lança uma bola de boliche de massa m 720 kg em uma órbita circular em torno da Terra a uma altitude h de 350 km a Qual é a energia mecânica E da bola IDEIACHAVE Podemos calcular E usando a Eq 1340 E GMm2r se conhecermos o raio r da órbita Note que o raio da órbita não é igual à altitude h já que a altitude é medida em relação à superfície da Terra e o raio da órbita é medido em relação ao centro da Terra Cálculos O raio da órbita é dado por r R h 6370 km 350 km 672 106 m em que R é o raio da Terra Assim de acordo com a Eq 1340 a energia mecânica é b Qual é a energia mecânica E0 da bola na plataforma de lançamento de Cabo Canaveral Qual é a variação ΔE da energia mecânica da bola quando ela é transportada da plataforma até a órbita IDEIACHAVE Na plataforma de lançamento a bola não está em órbita logo a Eq 1340 não se aplica Em vez disso devese calcular o valor de E0 K0 U0 em que K0 é a energia cinética da bola e U0 é a energia potencial gravitacional do sistema bolaTerra Cálculos Para obter U0 usamos a Eq 1321 A energia cinética K0 da bola se deve ao movimento da bola com a rotação da Terra É fácil mostrar que K0 é menor que 1 MJ um valor desprezível em comparação com U0 Assim a energia mecânica da bola na plataforma de lançamento é O aumento da energia mecânica da bola da plataforma de lançamento até a órbita é Isso equivale a alguns reais de eletricidade Obviamente o alto custo para colocar objetos em órbita não se deve à energia mecânica necessária Exemplo 1306 Transformação de uma órbita circular em uma órbita elíptica Uma espaçonave de massa m 450 103 kg está em uma órbita circular de período T0 1186 min 7119 103 s quando um retrofoguete é disparado e reduz a velocidade tangencial da espaçonave para 96 do valor original Qual é o período T da órbita elíptica resultante As duas órbitas são mostradas na Fig 1317 IDEIASCHAVE 1 O período de uma órbita elíptica está relacionado com o semieixo maior a pela Eq 1334 T2 4π2a3GM 2 O semieixo maior a está relacionado à energia mecânica total E da espaçonave pela Eq 1342 E GMm2a em que M é a massa da Terra 598 1024 kg 3 A energia potencial da espaçonave a uma distância do centro da Terra é dada pela Eq 1321 U GMmr 4 O raio r de uma órbita circular está relacionado com o período T0 da órbita pela Eq 1334 com a substituído por r o que nos dá Cálculos De acordo com as ideiaschave precisamos calcular a energia total E para obter o semieixo maior a e determinar o período da órbita elíptica Vamos começar pela energia cinética logo após o retrofoguete ser disparado A velocidade v nesse momento é 96 da velocidade inicial v0 que era igual à razão entre a circunferência e o período da órbita circular inicial Assim logo após o disparo do retrofoguete Figura 1317 Um retrofoguete é disparado quando a espaçonave está passando pelo ponto P o que muda a órbita de circular para elíptica Logo após o disparo do retrofoguete a espaçonave ainda está a uma distância do centro da Terra igual ao raio da órbita circular que é dado por r GMT2 04π213 667 1011 N m2kg2598 1024 kg7119 103 s24π213 800 106 m Assim a energia potencial gravitacional da espaçonave é Agora podemos obter o valor do semieixo maior usando a Eq 1342 Uma vez conhecido o valor de a podemos usar a Eq 1334 para obter o novo período Esse é o período da órbita elíptica assumida pela espaçonave depois que o retrofoguete é disparado O novo período é menor que o período inicial T0 por duas razões 1 O comprimento da nova órbita é menor 2 A espaçonave se aproxima mais da Terra em todos os pontos da nova órbita exceto no ponto em que o retrofoguete foi disparado Fig 1317 Isso faz com que a energia potencial gravitacional média aumente e portanto como a energia mecânica total é conservada a energia cinética média e a velocidade tangencial média da espaçonave são maiores na nova órbita 138 EINSTEIN E A GRAVITAÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1324 Explicar o princípio de equivalência de Einstein 1325 Saber que o modelo de Einstein para a gravitação envolve a curvatura do espaçotempo IdeiaChave Einstein propôs que a gravitação e a aceleração são equivalentes Esse princípio de equivalência o levou a formular uma teoria da gravitação a teoria da relatividade geral que explica os efeitos gravitacionais em termos da curvatura do espaço tempo Einstein e a Gravitação O Princípio de Equivalência Albert Einstein disse uma vez Eu estava no escritório de patentes em Berna quando de repente me ocorreu um pensamento Uma pessoa em queda livre não sente o próprio peso Fiquei surpreso Essa ideia simples me causou uma profunda impressão Ela me levou à teoria da gravitação Foi assim segundo Einstein que ele começou a formular a teoria da relatividade geral O postulado fundamental dessa teoria da gravitação ou seja da teoria da atração gravitacional entre objetos é o chamado princípio de equivalência segundo o qual a gravitação e a aceleração são equivalentes Se um físico fosse trancado em uma cabine como na Fig 1318 não seria capaz de dizer se a cabine estava em repouso na Terra e sujeita apenas à força gravitacional da Terra como na Fig 1318a ou estava viajando no espaço interestelar com uma aceleração de 98 ms2 e sujeita apenas à força responsável por essa aceleração como na Fig 1318b Nos dois casos o físico teria a mesma sensação e obteria o mesmo valor para o seu peso em uma balança Além disso se ele observasse um objeto em queda o objeto teria a mesma aceleração em relação à cabine nas duas situações A Curvatura do Espaço Até agora explicamos a gravitação como o resultado de uma força entre massas Einstein mostrou que na verdade a gravitação se deve a uma curvatura do espaço causada pelas massas Como será discutido em outro capítulo deste livro espaço e tempo são interdependentes de modo que a curvatura a que Einstein se refere é na verdade uma curvatura do espaçotempo o conjunto das quatro dimensões do nosso universo Figura 1318 a Um físico no interior de uma cabine em repouso em relação à Terra observa um melão cair com uma aceleração a 98 ms2 b Se a cabine estivesse viajando no espaço sideral com uma aceleração de 98 ms2 o melão teria a mesma aceleração em relação ao físico Não é possível para ele por meio de experimentos realizados no interior da cabine dizer qual das duas situações corresponde à realidade A balança de mola da figura por exemplo indicaria o mesmo peso nos dois casos É difícil imaginar de que forma o espaço mesmo vazio pode ter uma curvatura Uma analogia talvez ajude Suponha que estamos em órbita observando uma corrida na qual dois barcos partem do equador da Terra separados por uma distância de 20 km e rumam para o sul Fig 1319a Para os tripulantes os barcos seguem trajetórias planas e paralelas Entretanto com o passar do tempo os barcos vão se aproximando até que ao chegarem ao polo sul acabam por se chocar Os tripulantes dos barcos podem imaginar que essa aproximação foi causada por uma força de atração entre os barcos Observandoos do espaço porém podemos ver que os barcos se aproximaram simplesmente por causa da curvatura da superfície da Terra Podemos constatar esse fato porque estamos observando a corrida do lado de fora da superfície A Fig 1319b mostra uma corrida semelhante Duas maçãs separadas horizontalmente são liberadas da mesma altura acima da superfície da Terra Embora as maçãs pareçam descrever trajetórias paralelas na verdade se aproximam uma da outra porque ambas caem em direção ao centro da Terra Podemos interpretar o movimento das maçãs em termos da força gravitacional exercida pela Terra sobre as maçãs Podemos também interpretar o movimento em termos da curvatura do espaço nas vizinhanças da Terra uma curvatura que se deve à massa da Terra Dessa vez não podemos observar a curvatura porque não podemos nos colocar do lado de fora do espaço curvo como fizemos no exemplo dos barcos Entretanto podemos representar a curvatura por um desenho como o da Fig 1319c no qual as maçãs se movem em uma superfície que se encurva em direção à Terra por causa da massa da Terra Figura 1319 a Dois objetos que se movem ao longo de meridianos em direção ao polo sul convergem por causa da curvatura da superfície da Terra b Dois objetos em queda livre perto da superfície da Terra se movem ao longo de linhas que convergem para o centro da Terra por causa da curvatura do espaço nas proximidades da Terra c Longe da Terra e de outras massas o espaço é plano e as trajetórias paralelas permanecem paralelas Perto da Terra as trajetórias paralelas convergem porque o espaço é encurvado pela massa da Terra Cortesia do National Radio Astronomy Observatory Figura 1320 a A trajetória da luz de um quasar distante se encurva ao passar por uma galáxia ou um buraco negro porque a massa da galáxia ou do buraco negro encurva o espaço próximo Quando a luz é detectada parece ter sido produzida em um ponto situado no prolongamento da trajetória final retas tracejadas b Imagem do anel de Einstein conhecido como MG11310456 na tela do computador de um telescópio A fonte de luz na verdade ondas de rádio que são uma forma invisível de luz está muito atrás da grande galáxia invisível responsável pela formação do anel uma parte da fonte aparece como dois pontos luminosos do anel Quando a luz passa nas vizinhanças da Terra a trajetória da luz se encurva ligeiramente por causa da curvatura do espaço um efeito conhecido como lente gravitacional Quando a luz passa nas proximidades de uma estrutura maior como uma galáxia ou um buraco negro de massa elevada a trajetória pode se encurvar ainda mais Se existe uma estrutura desse tipo entre nós e um quasar uma fonte de luz extremamente brilhante e extremamente distante a luz do quasar pode se encurvar em torno da estrutura e convergir para a Terra Fig 1320a Assim como a luz parece vir de direções diferentes no céu vemos o mesmo quasar em várias posições Em algumas situações as imagens do quasar se juntam para formar um gigantesco arco luminoso que recebe o nome de anel de Einstein Fig 1320b Devemos atribuir a gravitação à curvatura do espaçotempo causada pela presença de massas a uma força entre as massas ou será que ela se deve à ação de um tipo de partícula elementar chamado gráviton como propõem algumas teorias da física moderna Embora as teorias de Newton e Einstein tenham sido capazes de descrever com grande precisão a atração de corpos de todos os tamanhos desde maçãs até planetas e estrelas ainda não compreendemos perfeitamente a gravidade nem na escala cosmológica nem na escala da física quântica Revisão e Resumo A Lei da Gravitação Toda partícula do universo atrai as outras partículas com uma força gravitacional cujo módulo é dado por em que m1 e m2 são as massas das partículas r é a distância entre as partículas e G 667 1011 N m2kg2 é a constante gravitacional Comportamento Gravitacional de Cascas Esféricas Homogêneas A força gravitacional entre corpos de dimensões finitas pode ser calculada somando integrando as forças a que estão submetidas as partículas que compõem os corpos Entretanto se um dos corpos é uma casca esférica homogênea ou um corpo maciço homogêneo com simetria esférica a força gravitacional resultante que o corpo exerce sobre um objeto externo pode ser calculada como se toda a massa da casca ou do corpo estivesse localizada no centro Superposição As forças gravitacionais obedecem ao princípio da superposição se n partículas interagem a força resultante 1res que age sobre a partícula 1 é a soma das forças exercidas individualmente sobre ela pelas outras partículas em que o somatório é uma soma vetorial das forças 1i exercidas sobre a partícula 1 pelas partículas 2 3 n A força gravitacional 1 exercida por um corpo de dimensões finitas sobre uma partícula é calculada dividindo o corpo em partículas de massa infinitesimal dm cada uma das quais produz uma força infinitesimal d sobre a partícula e integrando para obter a soma das forças Aceleração Gravitacional A aceleração gravitacional ag de uma partícula de massa m se deve unicamente à força gravitacional que age sobre a partícula Quando uma partícula está a uma distância r do centro de um corpo esférico homogêneo de massa M o módulo F da força gravitacional que age sobre a partícula é dado pela Eq 131 Assim de acordo com a segunda lei de Newton o que nos dá Aceleração de Queda Livre e Peso Como a massa da Terra não está distribuída de modo uniforme e a Terra não é perfeitamente esférica a aceleração da gravidade ag varia ligeiramente de um ponto a outro da superfície terrestre Como a Terra possui um movimento de rotação o peso de uma partícula mg em que g é a aceleração de queda livre é ligeiramente menor que o módulo da força gravitacional dado pela Eq 1311 Gravitação no Interior de uma Casca Esférica Uma casca homogênea de matéria não exerce força 1 2 3 gravitacional sobre uma partícula localizada no interior Isso significa que se uma partícula estiver localizada no interior de uma esfera maciça homogênea a uma distância r do centro a força gravitacional exercida sobre a partícula se deve apenas à massa Mint que se encontra no interior de uma esfera de raio r Essa massa é dada por em que ρ é a massa específica da esfera M é a massa da esfera e R é o raio da esfera A força é dada por Energia Potencial Gravitacional A energia potencial gravitacional Ur de um sistema de duas partículas de massas M e m separadas por uma distância r é o negativo do trabalho que seria realizado pela força gravitacional de uma das partículas para reduzir a distância entre as partículas de uma distância infinita um valor muito grande para uma distância r Essa energia é dada por Energia Potencial de um Sistema Se um sistema contém mais de duas partículas a energia potencial gravitacional U é a soma dos termos que representam as energias potenciais de todos os pares de partículas Por exemplo para três partículas de massas m1 m2 e m3 Velocidade de Escape Um objeto escapará da atração gravitacional de um corpo celeste de massa M e raio R isto é atingirá uma distância infinita se a velocidade do objeto nas vizinhanças da superfície do corpo celeste for igual ou maior que a velocidade de escape dada por Leis de Kepler O movimento dos satélites tanto naturais como artificiais obedece às três leis de Kepler que no caso particular dos planetas do sistema solar podem ser enunciadas da seguinte forma Lei das órbitas Todos os planetas descrevem órbitas elípticas com o Sol em um dos focos Lei das áreas A reta que liga qualquer planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais Essa lei é equivalente à lei de conservação do momento angular Lei dos períodos O quadrado do período T de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior a da órbita em que M é a massa do Sol Energia do Movimento Planetário Quando um planeta ou satélite de massa m se move em uma órbita circular de raio r a energia potencial U e a energia cinética K são dadas por A energia mecânica E K U é portanto No caso de uma órbita elíptica de semieixo maior a Teoria da Gravitação de Einstein Einstein mostrou que gravitação e aceleração são equivalentes Esse princípio de equivalência é a base de uma teoria da gravitação a teoria da relatividade geral que explica os efeitos gravitacionais em termos de uma curvatura do espaço Perguntas 1 Na Fig 1321 uma partícula de massa M está no centro de um arranjo de outras partículas separadas por uma distância d ou uma distância d2 ao longo do perímetro de um quadrado Quais são o módulo e a orientação da força gravitacional resultante a que está sujeita a partícula central Figura 1321 Pergunta 1 2 A Fig 1322 mostra três arranjos de quatro partículas iguais três em uma circunferência com 020 m de raio e a quarta no centro da circunferência a Ordene os arranjos de acordo com o módulo da força gravitacional resultante a que a partícula central está submetida começando pelo maior b Ordene os arranjos de acordo com a energia potencial gravitacional do sistema de quatro partículas começando pela menos negativa Figura 1322 Pergunta 2 3 Na Fig 1323 uma partícula central está cercada por dois anéis circulares de partículas de raios r e R com R r Todas as partículas têm a mesma massa m Quais são o módulo e a orientação da força gravitacional resultante a que está submetida a partícula central Figura 1323 Pergunta 3 4 Na Fig 1324 duas partículas de massas m e 2m estão fixas em um eixo a Em que lugar do eixo uma terceira partícula de massa 3m pode ser colocada excluindo o infinito para que a força gravitacional resultante exercida sobre ela pelas outras duas partículas seja nula à esquerda das partículas à direita das partículas entre as partículas mais perto da partícula de massa maior ou entre as partículas mais perto da partícula de massa menor b A resposta será diferente se a massa da terceira partícula for 16m c Existe algum ponto fora do eixo excluindo o infinito no qual a força resultante exercida sobre a terceira partícula é nula Figura 1324 Pergunta 4 5 A Fig 1325 mostra três situações que envolvem uma partícula pontual P de massa m e cascas esféricas homogêneas de massa M e raios diferentes Ordene as situações de acordo com o módulo da força gravitacional exercida pela casca sobre a partícula P em ordem decrescente Figura 1325 Pergunta 5 6 Na Fig 1326 três partículas são mantidas fixas A massa de B é maior que a massa de C Uma quarta partícula partícula D pode ser colocada em um lugar tal que a força gravitacional resultante exercida sobre a partícula A pelas partículas B C e D seja nula Caso a resposta seja afirmativa em que quadrante a partícula deve ser colocada e nas proximidades de que eixo Figura 1326 Pergunta 6 7 Ordene os quatro sistemas de partículas de mesma massa do Teste 2 de acordo com o valor absoluto da energia potencial gravitacional do sistema começando pelo maior 8 A Fig 1327 mostra a aceleração gravitacional ag de quatro planetas em função da distância r do centro do planeta a partir da superfície do planeta ou seja a partir da distância R1 R2 R3 ou R4 Os gráficos 1 e 2 coincidem para r R2 os gráficos 3 e 4 coincidem para r R4 Ordene os quatro planetas de acordo a com a massa e b com a massa específica em ordem decrescente Figura 1327 Pergunta 8 9 A Fig 1328 mostra três partículas inicialmente mantidas fixas com B e C iguais e posicionadas simetricamente em relação ao eixo y a uma distância d de A a Qual é a orientação da força gravitacional resultante res que age sobre A b Se a partícula C é deslocada radialmente para longe da origem a orientação de res varia Caso a resposta seja afirmativa como varia e qual é o limite da variação Figura 1328 Pergunta 9 10 A Fig 1329 mostra seis trajetórias possíveis para um foguete em órbita em torno de um astro que se desloca do ponto a para o ponto b Ordene as trajetórias de acordo a com a variação da energia potencial gravitacional do sistema fogueteastro e b com o trabalho total realizado sobre o foguete pela força gravitacional do astro em ordem decrescente Figura 1329 Pergunta 10 11 A Fig 1330 mostra três planetas esféricos homogêneos que têm a mesma massa e o mesmo volume Os períodos de rotação T dos planetas são dados e dois pontos da superfície são identificados por letras em cada planeta um no equador e outro no polo norte Ordene os pontos de acordo com o valor local da aceleração de queda livre g em ordem decrescente Figura 1330 Pergunta 11 12 Na Fig 1331 uma partícula de massa m não mostrada pode ser deslocada desde uma distância infinita até uma de três posições possíveis a b e c Duas outras partículas de massas m e 2m são mantidas fixas Ordene as três posições possíveis de acordo com o trabalho realizado pela força gravitacional resultante sobre a partícula móvel durante o deslocamento em ordem decrescente Figura 1331 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 131 A Lei da Gravitação de Newton 1 Uma massa M é dividida em duas partes m e M m que são em seguida separadas por certa distância Qual é a razão mM que maximiza o módulo da força gravitacional entre as partes 2 Influência da Lua Algumas pessoas acreditam que suas atividades são controladas pela Lua Se a Lua está do outro lado da Terra verticalmente abaixo de você e passa para uma posição verticalmente acima da sua cabeça qual é a variação percentual a da atração gravitacional que a Lua exerce sobre você e b do seu peso medido em uma balança de mola Suponha que a distância TerraLua de centro a centro é 382 108 m e que o raio da Terra é 637 106 m 3 Qual deve ser a distância entre uma partícula com 52 kg e uma partícula com 24 kg para que a atração gravitacional entre as partículas tenha um módulo de 23 1012 N 4 Tanto o Sol quanto a Terra exercem uma força gravitacional sobre a Lua Qual é a razão FSolFTerra entre as duas forças A distância média entre o Sol e a Lua é igual à distância média entre o Sol e a Terra 5 Miniburacos negros Talvez existam miniburacos negros no universo produzidos logo após o big bang Se um desses objetos com massa de 1 1011 kg e raio de apenas 1 1016 m se aproximasse da Terra a que distância da sua cabeça a força gravitacional exercida sobre você pelo miniburaco seria igual à força gravitacional exercida pela Terra Módulo 132 Gravitação e o Princípio da Superposição 6 Na Fig 1332 um quadrado com 200 cm de lado é formado por quatro esferas de massas m1 500 g m2 300 g m3 100 g e m4 500 g Na notação dos vetores unitários qual é a força gravitacional exercida pelas esferas sobre uma esfera central de massa m5 250 g Figura 1332 Problema 6 7 Uma dimensão Na Fig 1333 duas partículas pontuais são mantidas fixas em um eixo x separadas por uma distância d A partícula A tem massa mA e a partícula B tem massa 300mA Uma terceira partícula C de massa 750mA será colocada no eixo x nas proximidades das partículas A e B Qual deve ser a coordenada x da partícula C em termos da distância d para que a força gravitacional total exercida pelas partículas B e C sobre a partícula A seja nula Figura 1333 Problema 7 8 Na Fig 1334 três esferas de 500 kg estão localizadas a distâncias d1 0300 m e d2 0400 m a Qual é o módulo e b qual a orientação em relação ao semieixo x positivo da força gravitacional total que as esferas A e C exercem sobre a esfera B Figura 1334 Problema 8 9 Estamos interessados em posicionar uma sonda espacial entre a Terra e o Sol para observar erupções solares A que distância do centro da Terra deve estar a sonda para que a atração gravitacional exercida pelo Sol seja igual à atração gravitacional exercida pela Terra A Terra a sonda e o Sol estarão em uma mesma linha reta 10 Duas dimensões Na Fig 1335 três partículas pontuais são mantidas fixas em um plano xy A partícula A tem massa mA a partícula B tem massa 200mA e a partícula C tem massa 300mA Uma quarta partícula de massa 400mA pode ser colocada nas proximidades das outras três partículas Em termos da distância d em que valor da coordenada a x e b y a partícula D deve ser colocada para que a força gravitacional exercida pelas partículas B C e D sobre a partícula A seja nula Figura 1335 Problema 10 11 Como mostra a Fig 1336 duas esferas de massa m e uma terceira esfera de massa M formam um triângulo equilátero e uma quarta esfera de massa m4 ocupa o centro do triângulo A força gravitacional total exercida pelas outras três esferas sobre a esfera central é zero a Qual é o valor de M em termos de m b Se o valor de m4 for multiplicado por dois qual será valor da força gravitacional a que estará submetida a esfera central Figura 1336 Problema 11 12 Na Fig 1337a a partícula A é mantida fixa em x 020 m no eixo x e a partícula B com massa de 10 kg é mantida fixa na origem Uma partícula C não mostrada pode ser deslocada ao longo do eixo x entre a partícula B e x A Fig 1337b mostra a componente x Fresx da força gravitacional exercida pelas partículas A e C sobre a partícula B em função da posição x da partícula C O gráfico na verdade se estende indefinidamente para a direita e tende assintoticamente a 417 1010 N para x Qual é a massa a da partícula A e b da partícula C Figura 1337 Problema 12 13 A Fig 1338 mostra uma cavidade esférica no interior de uma esfera de chumbo de raio R 400 cm a superfície da cavidade passa pelo centro da esfera e toca o lado direito da esfera A massa da esfera antes de ser criada a cavidade era M 295 kg Com que força gravitacional a esfera de chumbo com a cavidade atrai uma pequena esfera de massa m 0431 kg que está a uma distância d 900 cm do centro da esfera de chumbo na reta que passa pelo centro das duas esferas e pelo centro da cavidade Figura 1338 Problema 13 14 Três partículas pontuais são mantidas fixas em um plano xy Duas delas a partícula A de massa 600 g e a partícula B de massa 120 g são mostradas na Fig 1339 separadas por uma distância dAB 0500 m θ 30 A partícula C cuja massa é 800 g não é mostrada A força gravitacional que as partículas B e C exercem sobre a partícula A tem um módulo de 277 1014 N e faz um ângulo de 1638 com o semieixo x positivo a Qual é a coordenada x e b qual é a coordenada y da partícula C Figura 1339 Problema 14 15 Três dimensões Três partículas pontuais são mantidas fixas em um sistema de coordenadas xyz A partícula A na origem tem massa mA A partícula B nas coordenadas 200d 100d 200d tem massa 200mA e a partícula C nas coordenadas 100d 200d 300d tem massa 300mA Uma quarta partícula D de massa 400mA pode ser colocada nas proximidades das outras partículas Em termos da distância d em que coordenada a x b y e c z a partícula D deve ser colocada para que a força gravitacional exercida pelas partículas B C e D sobre a partícula A seja nula 16 Na Fig 1340 uma partícula de massa m1 067 kg está a uma distância d 23 cm de uma das extremidades de uma barra homogênea de comprimento L 30 m e massa M 50 kg Qual é o módulo da força gravitacional que a barra exerce sobre a partícula Figura 1340 Problema 16 Módulo 133 A Gravitação Perto da Superfície da Terra 17 a Quanto pesaria na superfície da Lua um objeto que pesa 100 N na superfície da Terra b A quantos raios terrestres o mesmo objeto deveria estar do centro da Terra para ter o mesmo peso que na superfície da Lua 18 Atração de uma montanha Uma grande montanha praticamente não afeta a direção vertical indicada por uma linha de prumo Suponha que uma montanha possa ser modelada por uma esfera de raio R 200 km e massa específica 26 103 kgm3 Suponha também que uma linha de prumo de 050 m de comprimento seja pendurada a uma distância 3R do centro da esfera e que a esfera atraia horizontalmente o peso da linha de prumo Qual será o deslocamento do peso da linha de prumo em direção à esfera 19 A que altitude acima da superfície da Terra a aceleração gravitacional é de 49 ms2 20 Edifício de uma milha Em 1956 Frank Lloyd Wright propôs a construção de um edifício com uma milha de altura em Chicago Suponha que o edifício tivesse sido construído Desprezando a rotação da Terra determine a variação do seu peso se você subisse de elevador do andar térreo onde você pesa 600 N até o alto do edifício 21 Acreditase que algumas estrelas de nêutrons estrelas extremamente densas estão girando a cerca de 1 revs Se uma dessas estrelas tem um raio de 20 km qual deve ser no mínimo a massa da estrela para que uma partícula na superfície da estrela permaneça no lugar apesar da rotação 22 O raio Rb e a massa Mb de um buraco negro estão relacionados pela equação Rb 2GMbc2 em que c é a velocidade da luz Suponha que a aceleração gravitacional ag de um objeto a uma distância ro 1001Rb do centro do buraco negro seja dada pela Eq 1311 o que é verdade para buracos negros grandes a Determine o valor de ag a uma distância ro em termos de Mb b O valor de ag à distância ro aumenta ou diminui quando Mb aumenta c Quanto vale ag à distância ro para um buraco negro muito grande cuja massa é 155 1012 vezes a massa solar de 199 1030 kg d Se uma astronauta com 170 m de altura está à distância ro com os pés voltados para o buraco negro qual é a diferença entre a aceleração gravitacional da cabeça e dos pés e A astronauta sente algum desconforto 23 Um planeta é modelado por um núcleo de raio R e massa M cercado por uma casca de raio interno R raio externo 2R e massa 4M Se M 41 1024 kg e R 60 106 m qual é a aceleração gravitacional de uma partícula em pontos situados a uma distância a R e b 3R do centro do planeta Módulo 134 A Gravitação no Interior da Terra 24 A Fig 1341 mostra duas cascas esféricas concêntricas homogêneas de massas M1 e M2 Determine o módulo da força gravitacional a que está sujeita uma partícula de massa m situada a uma distância a a b b e c c do centro comum das cascas Figura 1341 Problema 24 25 Uma esfera maciça homogênea tem uma massa de 10 104 kg e um raio de 10 m Qual é o módulo da força gravitacional exercida pela esfera sobre uma partícula de massa m localizada a uma distância de a 15 m e b 050 m do centro da esfera c Escreva uma expressão geral para o módulo da força gravitacional que a esfera exerce sobre a partícula a uma distância r 10 m do centro da esfera 26 Uma esfera maciça homogênea de raio R produz uma aceleração gravitacional ag na superfície A que distância do centro da esfera existem pontos a dentro da esfera e b fora da esfera nos quais a aceleração gravitacional é ag3 27 A Fig 1342 mostra fora de escala um corte transversal da Terra O interior da Terra pode ser dividido em três regiões a crosta o manto e o núcleo A figura mostra as dimensões das três regiões e as respectivas massas A Terra tem massa total de 598 1024 kg e raio de 6370 km Despreze a rotação da Terra e suponha que ela tem forma esférica a Calcule ag na superfície b Suponha que seja feita uma perfuração até a interface da crosta com o manto a uma profundidade de 250 km qual é o valor de ag no fundo da perfuração c Suponha que a Terra fosse uma esfera homogênea com a mesma massa total e o mesmo volume Qual seria o valor de ag a uma profundidade de 250 km Medidas precisas de ag ajudam a revelar a estrutura interna da Terra embora os resultados possam ser mascarados por variações locais da distribuição de massa Figura 1342 Problema 27 28 Suponha que um planeta é uma esfera homogênea de raio R e que de alguma forma o planeta possui um túnel radial estreito que passa pelo centro do planeta Fig 137 Suponha também que seja possível posicionar uma maçã em qualquer lugar do túnel ou do lado de fora do planeta Seja FR o módulo da força gravitacional experimentada pela maçã quando está na superfície do planeta A que distância da superfície está o ponto no qual o módulo da força gravitacional que o planeta exerce sobre a maçã é FR2 se a maçã for deslocada a para longe do planeta e b para dentro do túnel Módulo 135 Energia Potencial Gravitacional 29 A Fig 1343 mostra a função energia potencial Ur de um projétil em função da distância da superfície de um planeta de raio Rs Qual é a menor energia cinética necessária para que um projétil lançado da superfície escape do planeta Figura 1343 Problemas 29 e 34 30 Para que razão mM a energia potencial gravitacional do sistema do Problema 1 é a menor possível 31 Marte e a Terra têm diâmetros médios de 69 103 km e 13 104 km respectivamente A massa de Marte é 011 vez a massa da Terra a Qual é a razão entre as massas específicas médias de Marte e a da Terra b Qual é o valor da aceleração gravitacional em Marte c Qual é a velocidade de escape em Marte 32 a Qual é a energia potencial gravitacional do sistema de duas partículas do Problema 3 Se você afastar as partículas até que a distância entre elas seja três vezes maior qual será o trabalho realizado b pela força gravitacional entre as partículas e c por você 33 Por qual fator deve ser multiplicada a energia necessária para escapar da Terra a fim de obter a energia necessária para escapar a da Lua e b de Júpiter 34 A Fig 1343 mostra a energia potencial Ur de um projétil em função da distância da superfície de um planeta de raio Rs Se o projétil for lançado verticalmente para cima com uma energia mecânica de 20 109 J determine a a energia cinética do projétil a uma distância r 125Rs e b o ponto de retorno veja o Módulo 83 em função de Rs 35 A Fig 1344 mostra quatro partículas todas de massa 200 g que formam um quadrado de lado d 0600 m Se d for reduzido para 0200 m qual será a variação da energia potencial gravitacional do sistema Figura 1344 Problema 35 36 Zero um planeta hipotético tem uma massa de 50 1023 kg um raio de 30 106 m e nenhuma atmosfera Uma sonda espacial de 10 kg deve ser lançada verticalmente a partir da superfície a Se a sonda for lançada com uma energia inicial de 50 107 J qual será a energia cinética da sonda quando ela estiver a 40 106 m do centro de Zero b Com que energia cinética a sonda deverá ser lançada para atingir uma distância máxima de 80 106 m em relação ao centro de Zero 37 As três esferas da Fig 1345 de massas mA 80 g mB 10 g e mC 20 g têm os centros em uma mesma reta com L 12 cm e d 40 cm Você desloca a esfera B ao longo da reta até que a distância entre os centros da esfera B e da esfera C seja d 40 cm Qual é o trabalho realizado sobre a esfera B a por você e b pela força gravitacional das esferas A e C Figura 1345 Problema 37 38 No espaço sideral a esfera A com 20 kg de massa está na origem de um eixo x e a esfera B com 10 kg de massa está no mesmo eixo em x 080 m A esfera B é liberada a partir do repouso enquanto a esfera A é mantida fixa na origem a Qual é a energia potencial gravitacional do sistema das duas esferas no momento em que a esfera B é liberada b Qual é a energia cinética da esfera B após ter se deslocado 020 m em direção à esfera A 39 a Qual é a velocidade de escape de um asteroide esférico com 500 km de raio se a aceleração gravitacional na superfície é 30 ms2 b A que distância da superfície chegará uma partícula se for lançada da superfície do asteroide com uma velocidade vertical de 1000 ms c Com que velocidade um objeto se chocará com o asteroide se for liberado sem velocidade inicial 1000 km acima da superfície 40 Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir da superfície da Terra Despreze a rotação da Terra Em múltiplos do raio da Terra RT que distância o projétil atingirá a se a velocidade inicial for 0500 da velocidade de escape da Terra e b se a energia cinética inicial for 0500 da energia cinética necessária para escapar da Terra c Qual é a menor energia mecânica inicial necessária para que o projétil escape da Terra 41 Duas estrelas de nêutrons estão separadas por uma distância de 10 1010 m Ambas têm massa de 10 1030 kg e raio de 10 105 m As estrelas se encontram inicialmente em repouso relativo Com que velocidade estarão se movendo em relação a esse referencial de repouso a quando a distância for metade do valor inicial e b quando estiverem na iminência de colidir 42 A Fig 1346a mostra uma partícula A que pode ser deslocada ao longo de um eixo y desde uma distância infinita até a origem A origem está localizada no ponto médio entre as partículas B e C que têm massas iguais e o eixo y é perpendicular à reta que liga as duas partículas A distância D é 03057 m A Fig 1346b mostra a energia potencial U do sistema de três partículas em função da posição da partícula A no eixo y A curva na verdade se estende indefinidamente para a direita e tende assintoticamente a um valor de 27 1011 J para y Qual é a massa a das partículas B e C e b da partícula A Figura 1346 Problema 42 Módulo 136 Planetas e Satélites As Leis de Kepler 43 a Que velocidade tangencial um satélite da Terra deve ter para estar em órbita circular 160 km acima da superfície da Terra b Qual é o período de revolução 44 Um satélite é colocado em órbita circular em torno da Terra com um raio igual à metade do raio da órbita da Lua Qual é o período de revolução do satélite em meses lunares Um mês lunar é o período de revolução da Lua 45 Fobos um satélite de Marte se move em uma órbita aproximadamente circular com 94 106 m de raio e um período de 7h39min Calcule a massa de Marte a partir dessas informações 46 A primeira colisão conhecida entre um fragmento espacial e um satélite artificial em operação ocorreu em 1996 a uma altitude de 700 km um satélite espião francês com um ano de uso foi atingido por um pedaço de um foguete Ariane Um estabilizador do satélite foi danificado e o satélite passou a girar sem controle Imediatamente antes da colisão e em quilômetros por hora qual era a velocidade do pedaço de foguete em relação ao satélite se ambos estavam em órbita circular a se a colisão foi frontal e b se as trajetórias eram mutuamente perpendiculares 47 O Sol que está a 22 1020 m de distância do centro da Via Láctea completa uma revolução em torno do centro a cada 25 108 anos Supondo que todas as estrelas da galáxia possuem massa igual à massa do Sol 20 1030 kg que as estrelas estão distribuídas uniformemente em uma esfera em torno do centro da galáxia e que o Sol se encontra na borda dessa esfera estime o número de estrelas da galáxia 48 A distância média de Marte ao Sol é 152 vez maior que a distância da Terra ao Sol Use a lei dos períodos de Kepler para calcular o número de anos necessários para que Marte complete uma revolução em torno do Sol compare a resposta com o valor que aparece no Apêndice C 49 Um cometa que foi visto em abril de 574 por astrônomos chineses em um dia conhecido como Woo Woo foi avistado novamente em maio de 1994 Suponha que o intervalo de tempo entre as observações seja o período do cometa e tome a excentricidade da órbita do cometa como de 09932 a Qual é o semieixo maior da órbita do cometa e b qual a maior distância entre o cometa e o Sol em termos do raio médio da órbita de Plutão RP 50 Um satélite em órbita circular permanece acima do mesmo ponto do equador da Terra ao longo de toda a órbita Qual é a altitude da órbita que recebe o nome de órbita geoestacionária 51 Um satélite é colocado em uma órbita elíptica cujo ponto mais distante está a 360 km da superfície da Terra e cujo ponto mais próximo está a 180 km da superfície Calcule a o semieixo maior e b a excentricidade da órbita 52 O centro do Sol está em um dos focos da órbita da Terra A que distância desse foco se encontra o outro foco a em metros e b em termos do raio solar 696 108 m A excentricidade da órbita da Terra é 00167 e o semieixo maior é 150 1011 m 53 Um satélite de 20 kg está em uma órbita circular com um período de 24 h e um raio de 80 106 m em torno de um planeta de massa desconhecida Se o módulo da aceleração gravitacional na superfície do planeta é 80 ms2 qual é o raio do planeta 54 Em busca de um buraco negro As observações da luz de uma estrela indicam que ela faz parte de um sistema binário sistema de duas estrelas A estrela visível do par tem uma velocidade orbital v 270 kms um período orbital T 170 dia e uma massa aproximada m1 6MS em que MS é a massa do Sol 199 1030 kg Suponha que as órbitas da estrela e da companheira que é escura e invisível sejam circulares Fig 1347 Qual é a massa m2 da estrela escura em unidades de MS Figura 1347 Problema 54 55 Em 1610 Galileu usou um telescópio que ele próprio havia construído para descobrir quatro satélites de Júpiter cujos raios orbitais médios a e períodos T aparecem na tabela a seguir Nome a 108 m T dias Io 422 177 Europa 671 355 Ganimedes 107 716 Calisto 188 167 a Plote log a eixo y em função de T eixo x e mostre que o resultado é uma linha reta b Meça a inclinação da reta e comparea com o valor previsto pela terceira lei de Kepler c Determine a massa de Júpiter a partir da interseção da reta com o eixo y 56 Em 1993 a sonda Galileu enviou à Terra uma imagem Fig 1348 do asteroide 243 Ida e um minúsculo satélite natural hoje conhecido como Dactyl o primeiro exemplo confirmado de um sistema asteroidesatélite Na imagem o satélite que tem 15 km de largura está a 100 km do centro do asteroide que tem 55 km de comprimento A forma da órbita do satélite não é conhecida com precisão suponha que seja circular com um período de 27 h a Qual é a massa do asteroide b O volume do asteroide medido a partir das imagens da sonda Galileu é 14100 km3 Qual é a massa específica do asteroide Cortesia da NASA Figura 1348 Problema 56 O asteroide 243 Ida e seu pequeno satélite à direita na foto 57 Em um sistema estelar binário as duas estrelas têm massa igual à do Sol e giram em torno do centro de massa A distância entre as estrelas é igual à distância entre a Terra e o Sol Qual é em anos o período de revolução das estrelas 58 Às vezes a existência de um planeta nas vizinhanças de uma estrela pode ser deduzida a partir da observação do movimento da estrela Enquanto a estrela e o planeta giram em torno do centro de massa do sistema estrelaplaneta a estrela se aproxima e se afasta de nós com a chamada velocidade ao longo da linha de visada um movimento que pode ser detectado A Fig 1349 mostra um gráfico da velocidade ao longo da linha de visada em função do tempo para a estrela 14 Herculis Estimase que a massa da estrela seja 090 da massa do Sol Supondo que apenas um planeta gira em torno da estrela e que a Terra está no plano da órbita do planeta determine a a massa do planeta em unidades de mJ a massa de Júpiter e b o raio da órbita do planeta em unidades de rT o raio da órbita da Terra Figura 1349 Problema 58 59 Três estrelas iguais de massa M formam um triângulo equilátero de lado L que gira em torno do centro do triângulo enquanto as estrelas se movem em uma mesma circunferência Qual é a velocidade tangencial das estrelas Módulo 137 Satélites Órbitas e Energias 60 Na Fig 1350 dois satélites A e B ambos de massa m 125 kg ocupam a mesma órbita circular de raio r 787 106 m em torno da Terra e se movem em sentidos opostos estando portanto em rota de colisão a Determine a energia mecânica total EA EB do sistema dos dois satélites e a Terra antes da colisão b Se a colisão é perfeitamente inelástica de modo que os destroços aglomeram em um só bloco de massa 2m determine a energia mecânica total imediatamente após a colisão c Logo depois da colisão os destroços caem em direção ao centro da Terra ou continuam em órbita Figura 1350 Problema 60 61 a A que distância da superfície da Terra a energia necessária para fazer um satélite subir até essa altitude é igual à energia cinética necessária para que o satélite se mantenha em órbita circular na mesma altitude b Em altitudes maiores qual é maior a energia para fazer o satélite subir ou a energia cinética para que ele se mantenha em órbita circular 62 Dois satélites A e B ambos de massa m estão em órbita circular em torno da Terra O satélite A orbita a uma altitude de 6370 km e o satélite B a uma altitude de 19110 km O raio da Terra é de 6370 km a Qual é a razão entre a energia potencial do satélite B e a do satélite A b Qual é a razão entre a energia cinética do satélite B e a do satélite A c Qual dos dois satélites possui maior energia total se ambos têm uma massa de 146 kg d Qual é a diferença entre as energias totais dos dois satélites 63 Um asteroide cuja massa é 20 1024 vezes a massa da Terra gira em uma órbita circular em torno do Sol a uma distância que é o dobro da distância da Terra ao Sol a Calcule o período de revolução do asteroide em anos b Qual é a razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra 64 Um satélite gira em torno de um planeta de massa desconhecida em uma circunferência com 20 107 m de raio O módulo da força gravitacional exercida pelo planeta sobre o satélite é F 80 N a Qual é a energia cinética do satélite b Qual seria o módulo F se o raio da órbita aumentasse para 30 107 m 65 Um satélite está em uma órbita circular de raio r em torno da Terra A área A delimitada pela órbita é proporcional a r2 já que A πr2 Determine a forma de variação com r das seguintes propriedades do satélite a o período b a energia cinética c o momento angular e d a velocidade escalar 66 Uma forma de atacar um satélite em órbita da Terra é disparar uma saraivada de projéteis na mesma órbita do satélite no sentido oposto Suponha que um satélite em órbita circular 500 km acima da superfície da Terra colida com um projétil de massa 40 g a Qual é a energia cinética do projétil no referencial do satélite imediatamente antes da colisão b Qual é a razão entre a energia cinética calculada no item a e a energia cinética de uma bala de 40 g disparada por um rifle moderno das forças armadas ao deixar o cano com uma velocidade de 950 ms 67 Qual é a a velocidade e b qual é o período de um satélite de 220 kg em uma órbita aproximadamente circular 640 km acima da superfície da Terra Suponha que o satélite perde energia mecânica a uma taxa média de 14 105 J por revolução orbital Usando a aproximação razoável de que a órbita do satélite se torna uma circunferência cujo raio diminui lentamente determine c a altitude d a velocidade e e o período do satélite ao final da revolução número 1500 f Qual é o módulo da força retardadora média que atua sobre o satélite O momento angular em relação à Terra é conservado g para o satélite e h para o sistema satéliteTerra supondo que o sistema é isolado 68 Duas pequenas espaçonaves ambas de massa m 2000 kg estão na órbita circular em torno da Terra da Fig 1351 a uma altitude h de 400 km Kirk o comandante de uma das naves chega a qualquer ponto fixo da órbita 90 s antes de Picard o comandante da segunda nave Determine a o período T0 e b a velocidade v0 das naves No ponto P da Fig 1351 Picard dispara um retrofoguete instantâneo na direção tangencial à órbita reduzindo a velocidade da nave em 100 Depois do disparo a nave assume a órbita elíptica representada na figura por uma linha tracejada Determine c a energia cinética e d a energia potencial da nave imediatamente após o disparo Na nova órbita elíptica de Picard determine e a energia total E f o semieixo maior a e g o período orbital T h Quanto tempo Picard chega ao ponto P antes de Kirk Figura 1351 Problema 68 Módulo 138 Einstein e a Gravitação 69 Na Fig 1318b a leitura da balança usada pelo físico de 60 kg é 220 N Quanto tempo o melão levará para chegar ao chão se o físico o deixar cair sem velocidade inicial em relação ao físico de um ponto 21 m acima do piso Problemas Adicionais 70 O raio Rb de um buraco negro é o raio de uma superfície esférica chamada horizonte de eventos Nenhuma informação a respeito da região situada no interior do horizonte de eventos pode chegar ao mundo exterior De acordo com a teoria da relatividade geral de Einstein Rb 2GMc2 em que M é a massa do buraco negro e c é a velocidade da luz Suponha que você deseje estudar um buraco negro a uma distância de 50Rb Para evitar efeitos desagradáveis você não quer que a diferença entre a aceleração gravitacional dos seus pés e a da sua cabeça exceda 10 ms2 quando você está com os pés ou a cabeça na direção do buraco negro a Qual é o limite tolerável da massa do buraco negro em unidades da massa MS do Sol Você precisa conhecer sua altura b O limite calculado no item a é um limite superior você pode tolerar massas menores ou um limite inferior você pode tolerar massas maiores 71 Vários planetas Júpiter Saturno Urano possuem anéis talvez formados por fragmentos que não chegaram a formar um satélite Muitas galáxias também contêm estruturas em forma de anel Considere um anel fino homogêneo de massa M e raio externo R Fig 1352 a Qual é a atração gravitacional que o anel exerce sobre uma partícula de massa m localizada no eixo central a uma distância x do centro b Suponha que a partícula do item a seja liberada a partir do repouso Com que velocidade a partícula passa pelo centro do anel Figura 1352 Problema 71 72 Uma estrela de nêutrons típica tem massa igual à do Sol e raio de 10 km a Qual é a aceleração da gravidade na superfície da estrela b Com que velocidade um objeto estaria se movendo se caísse a partir do repouso por uma distância 10 m em direção à estrela Suponha que o movimento de rotação da estrela seja desprezível 73 A Fig 1353 é um gráfico da energia cinética K de um asteroide que cai em linha reta em direção ao centro da Terra em função da distância r entre o asteroide e o centro da Terra a Qual é a massa aproximada do asteroide b Qual é a velocidade do asteroide para r 1945 107 m Figura 1353 Problema 73 74 O visitante misterioso que aparece na encantadora história O Pequeno Príncipe teria vindo de um planeta que era pouco maior do que uma casa Suponha que a massa específica do planeta seja aproximadamente igual à da Terra e que a rotação seja desprezível Determine os valores aproximados a da aceleração de queda livre na superfície do planeta e b da velocidade de escape do planeta 75 As massas e coordenadas de três esferas são as seguintes 20 kg x 050 m y 10 m 40 kg x 10 m y 10 m 60 kg x 0 m y 050 m Qual é o módulo da força gravitacional que as três esferas exercem sobre uma esfera de 20 kg localizada na origem 76 Um dos primeiros satélites artificiais era apenas um balão esférico de folha de alumínio com 30 m de diâmetro e massa de 20 kg Suponha que um meteoro com massa de 70 kg passe a 30 m da superfície do satélite Qual é o módulo da força gravitacional que o satélite exerce sobre o meteoro no ponto de maior aproximação 77 Quatro esferas homogêneas de massas mA 40 kg mB 35 kg mC 200 kg e mD 50 kg têm coordenadas 0 50 cm 0 0 80 cm 0 e 40 cm 0 respectivamente Na notação dos vetores unitários qual é a força gravitacional total que as outras esferas exercem sobre a esfera B 78 a No Problema 77 remova a esfera A e calcule a energia potencial gravitacional do sistema formado pelas outras três partículas b Se a esfera A for introduzida novamente no sistema a energia potencial do sistema de quatro partículas será maior ou menor que a calculada no item a c O trabalho para remover a partícula A do sistema como no item a é positivo ou negativo d O trabalho para recolocar a partícula A no sistema como no item b é positivo ou negativo 79 Um sistema de três estrelas é formado por duas estrelas de massa m girando na mesma órbita circular de raio r em torno de uma estrela central de massa M Fig 1354 As duas estrelas em órbita estão sempre em extremidades opostas de um diâmetro da órbita Escreva uma expressão para o período de revolução das estrelas Figura 1354 Problema 79 80 A maior velocidade de rotação possível de um planeta é aquela para a qual a força gravitacional no equador é igual à força centrípeta Por quê a Mostre que o período de rotação correspondente é dado por em que ρ é a massa específica do planeta esférico e homogêneo b Calcule o período de rotação supondo uma massa específica de 30 gcm3 típica de muitos planetas satélites e asteroides Nunca foi observado um astro com um período de rotação menor que o determinado por essa análise 81 Em um sistema estelar binário duas estrelas de massa 30 1030 kg giram em torno do centro de massa do sistema a uma distância de 10 1011 m a Qual é a velocidade angular das estrelas em relação ao centro de massa b Se um meteorito passa pelo centro de massa do sistema perpendicularmente ao plano da órbita qual a menor velocidade que o meteorito deve ter ao passar pelo centro de massa para poder escapar para o infinito depois de passar pelo sistema binário 82 Um satélite está em uma órbita elíptica com um período de 80 104 s em torno de um planeta de massa 700 1024 kg No afélio a uma distância de 45 107 m do centro do planeta a velocidade angular do satélite é 7158 105 rads Qual é a velocidade angular do satélite no periélio 83 A capitão Janeway está em um ônibus espacial de massa m 3000 kg que descreve uma órbita circular de raio r 420 107 m em torno de um planeta de massa M 950 1025 kg a Qual é o período da órbita e b qual é a velocidade do ônibus espacial Janeway aciona por alguns instantes um retrofoguete reduzindo em 200 a velocidade do ônibus espacial Nesse momento qual é c a velocidade d qual a energia cinética e qual é a energia potencial gravitacional e f qual é a energia mecânica do ônibus espacial g Qual é o semieixo maior da órbita elíptica agora seguida pelo ônibus espacial h Qual é a diferença entre o período da órbita circular original e o da órbita elíptica i Qual das duas órbitas tem o menor período 84 Considere um pulsar uma estrela de densidade extremamente elevada com uma massa M igual à do Sol 198 1030 kg um raio R de apenas 12 km e um período de rotação T de 0041 s Qual é a diferença percentual entre a aceleração de queda livre g e a aceleração gravitacional ag no equador dessa estrela esférica 85 Um projétil é disparado verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial de 10 kms Desprezando a resistência do ar qual é a distância máxima acima da superfície da Terra atingida pelo projétil 86 Um objeto no equador da Terra é acelerado a em direção ao centro da Terra porque a Terra gira em torno de si mesma b em direção ao Sol porque a Terra gira em torno do Sol em uma órbita quase circular e c em direção ao centro da galáxia porque o Sol gira em torno do centro da galáxia No último caso o período é 25 108 anos e o raio é 22 1020 m Calcule as três acelerações em unidades de g 98 ms2 87 a Se a lendária maçã de Newton fosse liberada a partir do repouso 2 m acima da superfície de uma estrela de nêutrons com uma massa igual a 15 vez a massa do Sol e um raio de 20 km qual seria a velocidade da maçã ao atingir a superfície da estrela b Se a maçã ficasse em repouso na superfície da estrela qual seria a diferença aproximada entre a aceleração gravitacional no alto e na base da maçã Suponha um tamanho razoável para a maçã a resposta indica que uma maçã não permaneceria intacta nas vizinhanças de uma estrela de nêutrons 88 Se uma carta caísse em um túnel que atravessasse toda a Terra passando pelo centro qual seria a velocidade da carta ao passar pelo centro 89 A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular As distâncias de maior aproximação e maior afastamento são 147 108 km e 152 108 km respectivamente Determine a variação correspondente a da energia total b da energia potencial gravitacional c da energia cinética e d da velocidade orbital Sugestão Use as leis de conservação da energia e do momento angular 90 Um satélite de 50 kg completa uma volta em torno do planeta Cruton a cada 60 h O módulo da força gravitacional que Cruton exerce sobre o satélite é 80 N a Qual é o raio da órbita b Qual é a energia cinética do satélite c Qual é a massa do planeta Cruton 91 Dois astros iguais de massa m A e B são acelerados um em direção ao outro a partir do repouso pela força gravitacional mútua A distância inicial entre os centros dos dois astros é Ri Suponha que um observador se encontra em um referencial inercial estacionário em relação ao centro de massa deste sistema de dois corpos Use a lei de conservação da energia mecânica Kf Uf Ki Ui para determinar as seguintes grandezas quando a distância entre os centros é 05Ri a a energia cinética total do sistema b a energia cinética de cada astro c a velocidade escalar de cada astro em relação ao observador e d a velocidade escalar do astro B em relação ao astro A Em seguida suponha que o referencial do observador está ligado ao astro A ou seja o observador se encontra no astro A Nesse caso o observador vê o corpo B acelerar em sua direção a partir do repouso Nesse referencial use novamente a relação Kf Uf Ki Ui para determinar as seguintes grandezas quando a distância entre os centros é 05Ri e a energia cinética do astro B e f a velocidade escalar do astro B em relação ao astro A g Por que as respostas dos itens d e f são diferentes Qual das duas respostas está correta 92 Um foguete de 1500 kg que se afasta da Terra em linha reta está a uma velocidade de 370 kms quando o motor é desligado 200 km acima da superfície da Terra a Desprezando a resistência do ar determine a energia cinética do foguete quando está 1000 km acima da superfície da Terra b Qual é a altura máxima acima da superfície da Terra atingida pelo foguete 93 O planeta Roton com uma massa de 70 1024 kg e um raio de 1600 km atrai gravitacionalmente um meteorito que está inicialmente em repouso em relação ao planeta a uma distância suficientemente grande para ser considerada infinita O meteorito cai em direção ao planeta Supondo que o planeta não possui atmosfera determine a velocidade do meteorito ao atingir a superfície do planeta 94 Duas esferas de 20 kg são mantidas fixas em um eixo y uma em y 040 m e a outra em y 040 m Uma bola de 10 kg é liberada a partir do repouso em um ponto do eixo x que está a uma grande distância praticamente infinita das esferas Se as únicas forças que agem sobre a bola são as forças gravitacionais exercidas pelas esferas então quando a bola chega ao ponto 030 m 0 qual é a a energia cinética da bola e b qual é a força resultante exercida pelas esferas sobre a bola na notação dos vetores unitários 95 A esfera A com massa de 80 kg está situada na origem de um sistema de coordenadas xy a esfera B com massa de 60 kg está situada nas coordenadas 025 m 0 a esfera C com massa de 020 kg está situada no primeiro quadrante a 020 m de A e 015 m de B Na notação dos vetores unitários qual é a força gravitacional total que A e B exercem sobre C 96 No romance de ficção científica Da Terra à Lua escrito em 1865 Júlio Verne conta a história de três astronautas que são lançados em direção à Lua por um gigantesco canhão Segundo Verne a cápsula de alumínio com os astronautas é acelerada por uma carga de algodãopólvora até uma velocidade de 11 kms ao longo dos 220 m do cano do canhão a Qual seria a aceleração média da cápsula e dos astronautas dentro do cano do canhão em unidades de g b Os astronautas poderiam resistir a essa aceleração Uma versão moderna do lançamento de uma espaçonave por um canhão embora sem passageiros foi proposta na década de 1990 Nessa versão moderna chamada de canhão SHARP do inglês Super High Altitude Research Project a combustão de metano empurra um pistão ao longo do tubo do canhão comprimindo o gás hidrogênio que por sua vez impulsiona o foguete O foguete percorre uma distância de 35 km dentro do tubo de lançamento atingindo uma velocidade de 70 kms Uma vez lançado o foguete pode usar motores para ganhar mais velocidade c Qual é a aceleração média do foguete dentro do tubo de lançamento em unidades de g d Que velocidade adicional seria necessária usando motores para que o foguete entrasse em órbita da Terra a uma altitude de 700 km 97 Um objeto de massa m é mantido inicialmente no lugar a uma distância r 3RT do centro da Terra em que RT é o raio da Terra Seja MT a massa da Terra Uma força é aplicada ao objeto para deslocálo até uma distância r 4RT na qual é novamente mantido no lugar Calcule integrando o módulo da força o trabalho realizado pela força durante o deslocamento 98 Para reduzir o congestionamento das estradas entre duas cidades como Boston e Washington os engenheiros propuseram a construção de um túnel de estrada de ferro ligando diretamente as duas cidades Fig 1355 Um trem sem motor partindo do repouso desceria durante a primeira parte da viagem e subiria durante a segunda parte até chegar ao destino Supondo que a Terra é uma esfera homogênea e ignorando as forças de atrito calcule o tempo de duração da viagem Figura 1355 Problema 98 99 Uma barra fina de massa M 500 g tem a forma de uma semicircunferência de raio R 0650 m Fig 1356 a Qual é a força gravitacional que a barra exerce sobre uma partícula de massa m 30 103 kg situada no ponto P o centro do arco b Qual seria a força se a barra tivesse a forma de uma circunferência completa Figura 1356 Problema 99 100 Na Fig 1357 dois blocos de mesma massa m 200 kg estão pendurados em cordas de comprimentos diferentes nas extremidades de uma balança situada na superfície da Terra As cordas têm massa desprezível e a diferença de comprimento entre as cordas é h 500 cm Suponha que a Terra é esférica e homogênea com massa específica ρ 550 gcm3 Qual é a diferença de peso entre os blocos devido ao fato de um dos blocos estar mais próximo do centro da Terra do que o outro Figura 1357 Problema 100 101 Uma espaçonave está viajando ao longo da reta que liga o centro da Terra ao centro da Lua A que distância da Terra a força gravitacional total que a Terra e a Lua exercem sobre a nave é zero CAPÍTULO 14 Fluidos 141 MASSA ESPECÍFICA E PRESSÃO DOS FLUIDOS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1401 Saber a diferença entre fluidos e sólidos 1402 Conhecer a relação entre massa específica massa e volume para um material homogêneo 1403 Conhecer a relação entre pressão hidrostática força e a área em que a força é aplicada IdeiasChave A massa específica ρ de um material homogêneo é definida como a massa m de uma amostra do material dividida pelo volume V do material Um fluido é uma substância que pode escoar Os fluidos assumem a forma do recipiente que os contém e exercem sobre uma parede plana do recipiente de área A uma pressão dada por em que F é o módulo da força normal que o fluido exerce sobre a parede A força associada à pressão de um fluido em um dado ponto tem o mesmo módulo em todas as direções O que É Física A física dos fluidos é a base da engenharia hidráulica um ramo da engenharia com muitas aplicações práticas Um engenheiro nuclear pode estudar a vazão da água nas tubulações de um reator nuclear após alguns anos de uso enquanto um bioengenheiro pode estudar o fluxo de sangue nas artérias de um paciente idoso Um engenheiro ambiental pode estar preocupado com a contaminação nas vizinhanças de um depósito de lixo ou com a eficiência de um sistema de irrigação Um engenheiro naval pode estar interessado em investigar os riscos de operação de um batiscafo Um engenheiro aeronáutico pode projetar o sistema de controle dos flaps que ajudam um avião a pousar A engenharia hidráulica é usada também em muitos espetáculos da Broadway e de Las Vegas nos quais enormes cenários são rapidamente montados e desmontados por sistemas hidráulicos Antes de estudar essas e outras aplicações da física dos fluidos precisamos responder à seguinte pergunta O que é um fluido O que É um Fluido Um fluido ao contrário de um sólido é uma substância que pode escoar Os fluidos assumem a forma do recipiente em que são colocados eles se comportam dessa forma porque não resistem a forças paralelas à superfície Na linguagem mais formal do Módulo 123 fluidos são substâncias que não resistem a tensões de cisalhamento Algumas substâncias aparentemente sólidas como o piche levam um longo tempo para se amoldar aos contornos de um recipiente mas acabam por fazêlo e por isso também são classificadas como fluidos O leitor talvez se pergunte por que os líquidos e gases são agrupados na mesma categoria e chamados de fluidos Afinal pode pensar a água é tão diferente do vapor quanto do gelo Isso não é verdade Os átomos do gelo como os de outros sólidos cristalinos formam um arranjo tridimensional regular que recebe o nome de rede cristalina Nem no vapor nem na água existe um arranjo como o do gelo com ordem de longo alcance Massa Específica e Pressão Quando estudamos corpos rígidos como cubos de madeira bolas de tênis e barras de metal as grandezas físicas mais importantes em termos das quais expressamos as leis de Newton são massa e força Podemos falar por exemplo de um bloco de 36 kg submetido a uma força de 25 N No caso dos fluidos que são substâncias sem forma definida é mais útil falar em massa específica e pressão do que em massa e força Tabela 141 Algumas Massas Específicas Substância ou Objeto Massa específica kgm3 Espaço interestelar 1020 Melhor vácuo em laboratório 1017 Ar 20oC e 1 atm de pressão 20oC e 50 atm 121 605 Isopor 1 102 Gelo 0917 103 Água 20oC e 1 atm 20oC e 50 atm 0998 103 1000 103 Água do mar 20oC e 1 atm 1024 103 Sangue 1060 103 Ferro 79 103 Mercúrio o metal não o planeta 1363 103 Terra média núcleo crosta 55 103 95 103 28 103 Sol média núcleo 14 103 16 105 Anã branca núcleo 1010 Núcleo de urânio 3 1017 Estrela de nêutrons núcleo 1018 Massa Específica Para determinar a massa específica ρ de um fluido em um ponto do material isolamos um pequeno elemento de volume ΔV em torno do ponto e medimos a massa Δm do fluido contido nesse elemento de volume A massa específica é dada por Teoricamente a massa específica em um ponto de um fluido é o limite dessa razão quando o volume do elemento ΔV tende a zero Na prática supomos que o volume de fluido usado para calcular a massa específica embora pequeno é muito maior que um átomo e portanto contínuo com a mesma massa específica em todos os pontos e não granulado por causa da presença de átomos Além disso em muitos casos supomos que a massa específica do fluido é a mesma em todos os elementos de volume do corpo considerado Essas duas hipóteses permitem escrever a massa específica na forma em que m e V são a massa e o volume do corpo A massa específica é uma grandeza escalar a unidade do SI é o quilograma por metro cúbico A Tabela 141 mostra a massa específica de algumas substâncias e a massa específica média de alguns objetos Observe que a massa específica de um gás veja Ar na tabela varia consideravelmente com a pressão mas a massa específica de um líquido veja Água praticamente não varia isso mostra que os gases são compressíveis mas o mesmo não acontece com os líquidos Pressão Considere um pequeno sensor de pressão suspenso em um recipiente cheio de fluido como na Fig 141a O sensor Fig 141b é formado por um êmbolo de área ΔA que pode deslizar no interior de um cilindro fechado que repousa em uma mola Um mostrador registra o deslocamento sofrido pela mola calibrada ao ser comprimida pelo fluido indicando assim o módulo ΔF da força normal que age sobre o êmbolo Definimos a pressão do fluido sobre o êmbolo por meio da equação Teoricamente a pressão em um ponto qualquer do fluido é o limite dessa razão quando a área ΔA de um êmbolo com o centro nesse ponto tende a zero Entretanto se a força é uniforme em uma superfície plana de área A podemos escrever a Eq 143 na forma em que F é o módulo da força normal a que está sujeita a superfície de área A Figura 141 a Um recipiente cheio de fluido com um pequeno sensor de pressão mostrado em b A pressão é medida pela posição relativa do êmbolo móvel Os experimentos mostram que em um fluido em repouso a pressão p definida pela Eq 144 tem o mesmo valor qualquer que seja a orientação do êmbolo A pressão é uma grandeza escalar suas propriedades não dependem da orientação É verdade que a força que age sobre o êmbolo do nosso sensor de pressão é uma grandeza vetorial mas a Eq 144 envolve apenas o módulo da força que é uma grandeza escalar A unidade de pressão do SI é o newton por metro quadrado chamado de pascal Pa Em muitos países os medidores de pressão de pneus estão calibrados em quilopascals A relação entre o pascal e outras unidades de pressão muito usadas na prática mas que não pertencem ao SI é a seguinte 1 atm 101 105 Pa 760 torr 147 lbpol2 A atmosfera atm é como o nome indica a pressão média aproximada da atmosfera ao nível do mar O torr nome dado em homenagem a Evangelista Torricelli que inventou o barômetro de mercúrio em 1674 já foi chamado de milímetro de mercúrio mm Hg A abreviação de libra por polegada quadrada é psi do inglês pound per square inch A Tabela 142 mostra algumas pressões em pascals Tabela 142 Algumas Pressões Pressão Pa Centro do Sol 2 1016 Centro da Terra 4 1011 Maior pressão contínua em laboratório 15 1010 Fossa oceânica mais profunda 11 108 Salto alto em uma pista de dança 106 Pneu de automóvela 2 105 Atmosfera ao nível do mar 10 105 Pressão arterial sistólica norma1ab 16 3 104 Melhor vácuo em laboratório 1012 aPressão acima da pressão atmosférica bEquivalente a 120 torr nos medidores de pressão dos médicos Exemplo 1401 Pressão atmosférica e força Uma sala de estar tem 42 m de comprimento 35 m de largura e 24 m de altura a Qual é o peso do ar contido na sala se a pressão do ar é 10 atm IDEIASCHAVE 1 O peso do ar é mg em que m é a massa do ar 2 A massa m está relacionada à massa específica ρ e ao volume V do ar por meio da Eq 142 ρ mV Cálculo Combinando as duas ideias e usando a massa específica do ar para 10 atm que aparece na Tabela 141 obtemos Esse valor corresponde ao peso de aproximadamente 110 latas de refrigerante b Qual é o módulo da força que a atmosfera exerce de cima para baixo sobre a cabeça de uma pessoa que tem uma área da ordem de 0040 m2 IDEIACHAVE Quando a pressão p que um fluido exerce em uma superfície de área A é uniforme a força que o fluido exerce sobre a superfície pode ser calculada utilizando a Eq 144 p FA Cálculo Embora a pressão do ar varie de acordo com o local e a hora do dia podemos dizer que é aproximadamente 10 atm Nesse caso a Eq 144 nos dá Essa força considerável é igual ao peso da coluna de ar acima da cabeça da pessoa que se estende até o limite superior da atmosfera terrestre 142 FLUIDOS EM REPOUSO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1404 Conhecer a relação entre pressão hidrostática massa específica e altura acima ou abaixo de um nível de referência 1405 Saber a diferença entre pressão total pressão absoluta e pressão manométrica IdeiasChave A pressão de um fluido em repouso varia com a coordenada vertical y de acordo com a equação p2 p1 ρgy1 y2 em que p2 e p1 são as pressões do fluido em pontos de coordenadas y1 e y2 respectivamente ρ é a massa específica do fluido e g é a aceleração de queda livre Se um ponto de um fluido está a uma distância h abaixo de um nível de referência no qual a pressão é p0 a equação precedente se torna p p0 ρgh em que p é a pressão no ponto considerado A pressão de um fluido é a mesma em todos os pontos situados à mesma altura Pressão manométrica é a diferença entre a pressão total ou pressão absoluta e a pressão atmosférica no mesmo ponto Fluidos em Repouso A Fig 142a mostra um tanque de água ou outro líquido qualquer aberto para a atmosfera Como todo mergulhador sabe a pressão aumenta com a profundidade abaixo da interface arágua O medidor de profundidade usado pelos mergulhadores é na verdade um sensor de pressão semelhante ao da Fig 14 1b Como todo alpinista sabe a pressão diminui com a altitude acima do nível do mar As pressões encontradas pelos mergulhadores e alpinistas são chamadas de pressões hidrostáticas porque se devem a fluidos estáticos em repouso Vamos agora obter uma expressão para a pressão hidrostática em função da profundidade ou da altitude Para começar vamos examinar o aumento da pressão com a profundidade em um tanque com água Definimos um eixo y vertical com a origem na interface arágua e o sentido positivo para cima e consideramos a água contida em um cilindro imaginário circular reto de bases A horizontais Nesse caso y1 e y2 ambos números negativos são as profundidades abaixo da superfície das bases superior e inferior do cilindro respectivamente Figura 142 a Um tanque com água no qual uma parte da água está contida em um cilindro imaginário com uma base horizontal de área A bd Uma força 1 age sobre a superfície superior do cilindro uma força 2 age sobre a superfície inferior do cilindro a força gravitacional que age sobre a água do cilindro está representada por m e Diagrama de corpo livre do volume de água A Fig 142e mostra o diagrama de corpo livre da água do cilindro A água contida no cilindro está em equilíbrio estático ou seja está em repouso e a resultante das forças que agem sobre a água do cilindro é nula A água do cilindro está sujeita a três forças verticais a força 1 age sobre a superfície superior do cilindro e se deve à água que está acima do cilindro Fig 142b A força 2 age sobre a superfície inferior do cilindro e se deve à água que está abaixo do cilindro Fig 142c A força gravitacional que age sobre a água do cilindro está representada por m em que m é a massa da água contida no cilindro Fig 142d O equilíbrio dessas forças pode ser escrito na forma Para transformar a Eq 145 em uma equação envolvendo pressões usamos a Eq 144 que nos dá A massa m da água contida no cilindro é segundo a Eq 142 m ρV em que o volume V do cilindro é o produto da área da base A pela a altura y1 y2 Assim m é igual a ρAy1 y2 Substituindo esse resultado e a Eq 146 na Eq 145 obtemos p2A p1A ρAgy1 y2 ou Essa equação pode ser usada para determinar a pressão tanto em um líquido em função da profundidade como na atmosfera em função da altitude ou altura No primeiro caso suponha que estejamos interessados em conhecer a pressão p a uma profundidade h abaixo da superfície do líquido Nesse caso escolhemos o nível 1 como a superfície o nível 2 como uma distância h abaixo do nível 1 como na Fig 143 e p0 como a pressão atmosférica na superfície Fazendo y1 0 p1 p0 e y2 h p2 p na Eq 147 obtemos Note que de acordo com a Eq 148 a pressão a uma dada profundidade não depende de nenhuma dimensão horizontal A pressão em um ponto de um fluido em equilíbrio estático depende da profundidade do ponto mas não da dimensão horizontal do fluido ou do recipiente Assim a Eq 148 é válida qualquer que seja a forma do recipiente Se a superfície inferior do recipiente está a uma profundidade h a Eq 148 fornece a pressão p no fundo do recipiente Na Eq 148 p é chamada de pressão total ou pressão absoluta no nível 2 Para compreender por que observe na Fig 143 que a pressão p no nível 2 é a soma de duas parcelas 1 p0 a pressão da atmosfera que é aplicada à superfície do líquido e 2 rgh a pressão do líquido que está acima do nível 2 que é aplicada ao nível 2 A diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica é chamada de pressão manométrica O nome se deve ao uso de um instrumento chamado manômetro para medir a diferença de pressão Para a situação da Fig 143 a pressão manométrica é rgh A Eq 147 também pode ser usada acima da superfície do líquido Nesse caso ela fornece a pressão atmosférica a uma dada distância acima do nível 1 em termos da pressão atmosférica p1 no nível 1 supondo que a massa específica da atmosfera é uniforme ao longo dessa distância Assim por exemplo para calcular a pressão atmosférica a uma distância d acima do nível 1 da Fig 143 fazemos y1 0 p1 p0 e y2 d p2 p Nesse caso com ρ ρar obtemos p p0 ρargd Figura 143 A pressão p aumenta com a profundidade h abaixo da superfície do líquido de acordo com a Eq 148 Teste 1 A figura mostra quatro recipientes de azeite Ordeneos de acordo com a pressão na profundidade h começando pela maior Exemplo 1402 Pressão barométrica sobre um mergulhador Um mergulhador novato praticando em uma piscina inspira ar suficiente do tanque de mergulho para expandir totalmente os pulmões antes de abandonar o tanque a uma profundidade L e nadar para a superfície Ele ignora as instruções e não exala durante a subida Ao chegar à superfície a diferença entre a pressão externa a que está submetido e a pressão do ar nos pulmões é 93 kPa De que profundidade o mergulhador partiu Que risco possivelmente fatal ele está correndo IDEIACHAVE A pressão a uma profundidade h de um líquido de massa específica ρ é dada pela Eq 148 p p0 ρgh na qual a pressão manométrica ρgh é somada à pressão atmosférica p0 Cálculos Quando o mergulhador enche os pulmões na profundidade L a pressão externa sobre ele e portanto a pressão do ar nos pulmões está acima do normal e é dada pela Eq 148 como p p0 ρgL em que p0 é a pressão atmosférica e ρ é a massa específica da água 998 kgm3 de acordo com a Tabela 141 Quando o mergulhador sobe a pressão externa diminui até se tornar igual à pressão atmosférica p0 quando o mergulhador atinge a superfície A pressão sanguínea também diminui até voltar ao normal Entretanto como o mergulhador não exalou o ar a pressão do ar nos pulmões permanece no valor correspondente à profundidade L Na superfície a diferença entre a pressão nos pulmões e a pressão no sangue é Δp p p0 ρgL e portanto Tratase de uma profundidade muito pequena Mesmo assim a diferença de pressão de 93 kPa aproximadamente 9 da pressão atmosférica é suficiente para romper os pulmões do mergulhador e introduzir bolhas de ar na corrente sanguínea que as transporta para o coração matando o mergulhador Se ele seguir as recomendações do instrutor e exalar o ar gradualmente durante a subida permitirá que a pressão do ar nos pulmões se torne igual à pressão externa eliminando o perigo Exemplo 1403 Equilíbrio de pressões em um tubo em forma de U O tubo em forma de U da Fig 144 contém dois líquidos em equilíbrio estático no lado direito existe água de massa específica ρa 998 kgm3 e no lado esquerdo existe óleo de massa específica desconhecida ρx Os valores das distâncias indicadas na figura são l 135 mm e d 123 mm Qual é a massa específica do óleo IDEIASCHAVE 1 A pressão pint no nível correspondente à interface óleoágua do lado esquerdo depende da massa específica ρx e da altura do óleo acima da interface 2 A água do lado direito à mesma altura está submetida à mesma pressão pint Isso acontece porque como a água está em equilíbrio estático as pressões em pontos na água no mesmo nível são necessariamente iguais mesmo que os pontos estejam separados horizontalmente Cálculos No lado direito a interface está a uma distância l abaixo da superfície da água e a Eq 148 nos dá pint p0 ρagl lado direito No lado esquerdo a interface está a uma distância l d abaixo da superfície do óleo e a Eq 148 nos dá pint p0 ρxgl d lado esquerdo Figura 144 O óleo do lado esquerdo fica mais alto que a água do lado direito Igualando as duas expressões e explicitando a massa específica desconhecida obtemos Note que a resposta não depende da pressão atmosférica p0 nem da aceleração de queda livre g 143 MEDIDORES DE PRESSÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1406 Explicar como um barômetro mede a pressão atmosférica 1407 Explicar como um barômetro de tubo aberto mede a pressão manométrica de um gás IdeiasChave Um barômetro de mercúrio pode ser usado para medir a pressão atmosférica Um barômetro de tubo aberto pode ser usado para medir a pressão manométrica de um gás confinado Medidores de Pressão O Barômetro de Mercúrio A Fig 145a mostra um barômetro de mercúrio simples um aparelho usado para medir a pressão atmosférica Um tubo de vidro foi enchido com mercúrio e introduzido com a extremidade aberta para baixo em um recipiente cheio de mercúrio O espaço acima da coluna de mercúrio contém apenas vapor de mercúrio cuja pressão é tão baixa à temperatura ambiente que pode ser desprezada Podemos usar a Eq 147 para determinar a pressão atmosférica p0 em termos da altura h da coluna de mercúrio Chamamos de 1 o nível da interface armercúrio e de 2 o nível do alto da coluna de mercúrio Fig 145 Em seguida fazemos y1 0 p1 p0 e y2 h p2 0 na Eq 147 o que nos dá em que ρ é a massa específica do mercúrio Para uma dada pressão a altura h da coluna de mercúrio não depende da área de seção reta do tubo vertical O barômetro de mercúrio mais sofisticado da Fig 145b fornece a mesma leitura que o da Fig 145a tudo que importa é a distância vertical h entre os níveis de mercúrio A Eq 149 mostra que para uma dada pressão a altura da coluna de mercúrio depende do valor de g no local em que se encontra o barômetro e da massa específica do mercúrio que varia com a temperatura A altura da coluna em milímetros é numericamente igual à pressão em torr apenas se o barômetro estiver em um local em que g tem o valorpadrão de 980665 ms2 e se a temperatura do mercúrio for 0º C Se essas condições não forem satisfeitas e raramente o são pequenas correções devem ser feitas para que a altura da coluna de mercúrio possa ser lida como pressão Figura 145 a Um barômetro de mercúrio b Outro barômetro de mercúrio A distância h é a mesma nos dois casos Figura 146 Um manômetro de tubo aberto usado para medir a pressão manométrica do gás contido no tanque da esquerda O lado direito do tubo em U está aberto para a atmosfera O Manômetro de Tubo Aberto Um manômetro de tubo aberto Fig 146 usado para medir a pressão manométrica pm de um gás consiste em um tubo em forma de U contendo um líquido com uma das extremidades ligada a um recipiente cuja pressão manométrica se deseja medir e a outra aberta para a atmosfera Podemos usar a Eq 147 para determinar a pressão manométrica em termos da altura h mostrada na Fig 146 Vamos escolher os níveis 1 e 2 como na Fig 146 Fazendo y1 0 p1 p0 e y2 2h p2 p na Eq 147 obtemos em que ρ é a massa específica do líquido contido no tubo A pressão manométrica pm é diretamente proporcional a h A pressão manométrica pode ser positiva ou negativa dependendo de se p p0 ou p p0 Nos pneus e no sistema circulatório a pressão absoluta é maior que a pressão atmosférica de modo que a pressão manométrica é uma grandeza positiva às vezes chamada de sobrepressão Quando alguém usa um canudo para beber um refrigerante a pressão absoluta do ar nos pulmões é menor que a pressão atmosférica Nesse caso a pressão manométrica do ar nos pulmões é uma grandeza negativa 144 O PRINCÍPIO DE PASCAL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1408 Conhecer o princípio de Pascal 1409 Relacionar o deslocamento e área do êmbolo de entrada ao deslocamento e área do êmbolo de saída de um macaco hidráulico IdeiaChave De acordo com o princípio de Pascal uma variação da pressão aplicada a um fluido incompressível contido em um recipiente é transmitida integralmente a todas as partes do fluido e às paredes do recipiente O Princípio de Pascal Quando apertamos uma extremidade de um tubo de pasta de dente para fazer a pasta sair pela outra extremidade estamos pondo em prática o princípio de Pascal Esse princípio é também usado na manobra de Heimlich na qual uma pressão aplicada ao abdômen é transmitida para a garganta liberando um pedaço de comida ali alojado O princípio foi enunciado com clareza pela primeira vez em 1652 por Blaise Pascal em cuja homenagem foi batizada a unidade de pressão do SI Uma variação da pressão aplicada a um fluido incompressível contido em um recipiente é transmitida integralmente a todas as partes do fluido e às paredes do recipiente Figura 147 Bolinhas de chumbo colocadas sobre o êmbolo criam uma pressão pext no alto de um líquido incompressível confinado Se mais bolinhas de chumbo são colocadas sobre o êmbolo fazendo aumentar pext a pressão aumenta do mesmo valor em todos os pontos do líquido Demonstração do Princípio de Pascal Considere o caso no qual o fluido incompressível é um líquido contido em um cilindro como na Fig 14 7 O cilindro é fechado por um êmbolo no qual repousa um recipiente com bolinhas de chumbo A atmosfera o recipiente e as bolinhas de chumbo exercem uma pressão pext sobre o êmbolo e portanto sobre o líquido A pressão p em qualquer ponto P do líquido é dada por Vamos adicionar algumas bolinhas de chumbo ao recipiente para aumentar pext de um valor Δpext Como os valores dos parâmetros ρ g e h da Eq 1411 permanecem os mesmos a variação de pressão no ponto P é Como a variação de pressão não depende de h é a mesma para todos os pontos do interior do líquido como afirma o princípio de Pascal Figura 148 Um macaco hidráulico pode ser usado para amplificar a força e mas não o trabalho que é o mesmo para as forças de entrada e de saída O Princípio de Pascal e o Macaco Hidráulico A Fig 148 mostra a relação entre o princípio de Pascal e o macaco hidráulico Suponha que uma força externa de módulo Fe seja aplicada de cima para baixo ao êmbolo da esquerda ou de entrada cuja área é Ae Um líquido incompressível produz uma força de baixo para cima de módulo Fs no êmbolo da direita ou de saída cuja área é As Para manter o sistema em equilíbrio deve existir uma força para baixo de módulo Fs no êmbolo de saída exercida por uma carga externa não mostrada na figura A força e aplicada no lado esquerdo e a força s para baixo exercida pela carga no lado direito produzem uma variação Δp da pressão do líquido que é dada por o que nos dá A Eq 1413 mostra que a força de saída Fs exercida sobre a carga é maior que a força de entrada Fe se As Ae como na Fig 148 Quando deslocamos o êmbolo de entrada para baixo de uma distância de o êmbolo de saída se desloca para cima de uma distância ds de modo que o mesmo volume V de líquido incompressível é deslocado pelos dois êmbolos Assim V Aede Asds que pode ser escrita como Isso mostra que se As Ae como na Fig 148 o êmbolo de saída percorre uma distância menor que o êmbolo de entrada De acordo com as Eqs 1413 e 1414 o trabalho realizado pelo êmbolo de saída é dado por o que mostra que o trabalho W realizado sobre o êmbolo de entrada pela força aplicada é igual ao trabalho W realizado pelo êmbolo de saída ao levantar uma carga A vantagem do macaco hidráulico é a seguinte Com um macaco hidráulico uma força aplicada ao longo de uma dada distância pode ser transformada em uma força maior aplicada ao longo de uma distância menor Como o produto da força pela distância permanece inalterado o trabalho realizado é o mesmo Entretanto há frequentemente uma grande vantagem em poder exercer uma força maior Muitos de nós por exemplo não temos força suficiente para levantar um automóvel mas podemos fazêlo usando um macaco hidráulico ainda que ao movimentar a alavanca do macaco em uma série de movimentos curtos tenhamos que fazêla percorrer uma distância muito maior que a distância vertical percorrida pelo automóvel 145 O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1410 Conhecer o princípio de Arquimedes 1411 Conhecer a relação entre a força de empuxo e a massa do fluido deslocado por um corpo 1412 Conhecer a relação entre a força gravitacional e a força de empuxo no caso de um corpo que está flutuando em um fluido 1413 Conhecer a relação entre a força gravitacional e a massa do fluido deslocado por um corpo que está flutuando 1414 Saber a diferença entre peso aparente e peso real 1415 Calcular o peso aparente de um corpo que está total ou parcialmente submerso em um fluido IdeiasChave De acordo com o princípio de Arquimedes quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido ele sofre uma força para cima conhecida como força de empuxo cujo módulo é dado por FE mfg em que mf é a massa do fluido deslocado pelo corpo Quando um corpo está flutuando em um fluido o módulo Fe da força de empuxo que aponta para cima é igual ao módulo da força gravitacional Fg que aponta para baixo O peso aparente de um corpo submetido a uma força de empuxo está relacionado ao peso real por meio da equação Pap P FE O Princípio de Arquimedes A Fig 149 mostra uma estudante em uma piscina manuseando um saco plástico muito fino de massa desprezível cheio dágua A jovem observa que o saco e a água nele contida estão em equilíbrio estático ou seja não tendem a subir nem a descer A força gravitacional para baixo g a que a água contida no saco está submetida é equilibrada por uma força para cima exercida pela água que está do lado de fora do saco A força para cima que recebe o nome de força de empuxo e é representada pelo símbolo e se deve ao fato de que a pressão da água que envolve o saco aumenta com a profundidade Assim a pressão na parte inferior do saco é maior que na parte superior o que faz com que as forças a que o saco está submetido devido à pressão sejam maiores em módulo na parte de baixo do saco do que na parte de cima Algumas dessas forças estão representadas na Fig 1410a em que o espaço ocupado pelo saco foi deixado vazio Note que os vetores que representam as forças na parte de baixo do saco com componentes para cima são mais compridos que os vetores que representam as forças na parte de cima do saco com componentes para baixo Quando somamos vetorialmente todas as forças exercidas pela água sobre o saco as componentes horizontais se cancelam e a soma das componentes verticais é o empuxo e que age sobre o saco A força e está representada à direita da piscina na Fig 1410a Figura 149 Um saco plástico de massa des prezível cheio dágua em equilíbrio estático em uma piscina A força gravitacional expe rimentada pelo saco é equilibrada por uma força para cima exercida pela água que o cerca Como o saco de água está em equilíbrio estático o módulo de e é igual ao módulo mfg da força gravitacional g que age sobre o saco com água FE mfg O índice f significa fluido no caso a água Em palavras o módulo do empuxo é igual ao peso da água contida no saco Na Fig 1410b substituímos o saco plástico com água por uma pedra que ocupa um volume igual ao do espaço vazio da Fig 1410a Dizemos que a pedra desloca a água ou seja ocupa o espaço que de outra forma seria ocupado pela água Como a forma da cavidade não foi alterada as forças na superfície da cavidade são as mesmas que quando o saco plástico com água estava nesse lugar Assim o mesmo empuxo para cima que agia sobre o saco plástico agora age sobre a pedra ou seja o módulo FE do empuxo é igual a mfg o peso da água deslocada pela pedra Ao contrário do saco com água a pedra não está em equilíbrio estático A força gravitacional g para baixo que age sobre a pedra tem um módulo maior que o empuxo para cima como mostra o diagrama de corpo livre da Fig 1410b Assim a pedra sofre uma aceleração para baixo e desce até o fundo da piscina Vamos agora preencher a cavidade da Fig 1410a com um pedaço de madeira como na Fig 1410c Mais uma vez nada mudou com relação às forças que agem sobre a superfície da cavidade de modo que o módulo FE do empuxo é igual a mfg o peso da água deslocada O pedaço de madeira como a pedra não está em equilíbrio estático mas nesse caso o módulo Fg da força gravitacional é menor que o módulo FE do empuxo veja o diagrama à direita da piscina de modo que a madeira sofre uma aceleração para cima e sobe até a superfície Figura 1410 a A água que está em volta da cavidade produz um empuxo para cima sobre qualquer material que ocupe a cavidade b No caso de uma pedra de mesmo volume que a cavidade a força gravitacional é maior que o empuxo c No caso de um pedaço de madeira de mesmo volume a força gravitacional é menor que o empuxo Os resultados que obtivemos para o saco plástico a pedra e o pedaço de madeira se aplicam a qualquer fluido e podem ser resumidos no princípio de Arquimedes Quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido uma força de empuxo E exercida pelo fluido age sobre o corpo A força é dirigida para cima e tem um módulo igual ao peso mfg do fluido deslocado pelo corpo De acordo com o princípio de Arquimedes o módulo da força de empuxo é dado por em que mf é a massa do fluido deslocado pelo corpo Flutuação Quando pousamos um pedaço de madeira na superfície de uma piscina a madeira começa a afundar na água porque é puxada para baixo pela força gravitacional À medida que o bloco desloca mais e mais água o módulo FE da força de empuxo que aponta para cima aumenta Finalmente FE se torna igual ao módulo Fg da força gravitacional e a madeira para de afundar A partir desse momento o pedaço de madeira permanece em equilíbrio estático e dizemos que está flutuando na água Em todos os casos Quando um corpo flutua em um fluido o módulo FE da força de empuxo que age sobre o corpo é igual ao módulo Fg da força gravitacional a que o corpo está submetido Isso significa que De acordo com a Eq 1416 FE mfg Assim Quando um corpo flutua em um fluido o módulo Fg da força gravitacional a que o corpo está submetido é igual ao peso mfg do fluido deslocado pelo corpo Isso significa que Em palavras um corpo que flutua desloca um peso de fluido igual ao seu peso Peso Aparente de um Corpo Imerso em um Fluido Quando colocamos uma pedra em uma balança calibrada para medir pesos a leitura da balança é o peso da pedra Quando porém repetimos a experiência dentro dágua a força de empuxo a que a pedra é submetida diminui a leitura da balança A leitura passa a ser portanto um peso aparente O peso aparente de um corpo está relacionado ao peso real e à força de empuxo por meio da equação que pode ser escrita na forma É mais fácil por exemplo levantar uma pedra pesada dentro de uma piscina porque nesse caso a força aplicada tem que ser maior apenas que o peso aparente da pedra Em outras palavras a força de empuxo torna a pedra mais leve O módulo da força de empuxo a que está sujeito um corpo que flutua é igual ao peso do corpo A Eq 1419 nos diz portanto que um corpo que flutua tem um peso aparente nulo o corpo produziria uma leitura zero ao ser pesado em uma balança Quando os astronautas se preparam para realizar uma tarefa complexa no espaço eles utilizam uma piscina para praticar pois a pressão dos trajes especiais pode ser ajustada para tornar seu peso aparente nulo como no espaço embora por motivos diferentes Teste 2 Um pinguim flutua primeiro em um fluido de massa específica ρ0 depois em um fluido de massa específica 095ρ0 e finalmente em um fluido de massa específica 11ρ0 a Ordene as massas específicas de acordo com o módulo da força de empuxo exercida sobre o pinguim começando pela maior b Ordene as massas específicas de acordo com o volume de fluido deslocado pelo pinguim começando pelo maior Exemplo 1404 Flutuação empuxo e massa específica Na Fig 1411 um bloco de massa específica ρ 800 kgm3 flutua em um fluido de massa específica ρf 1200 kgm3 O bloco tem uma altura H 60 cm a Qual é a altura h da parte submersa do bloco IDEIASCHAVE 1 Para que o bloco flutue a força de empuxo a que está submetido deve ser igual à força gravitacional 2 A força de empuxo é igual ao peso mfg do fluido deslocado pela parte submersa do bloco Cálculos De acordo com a Eq 1416 o módulo da força de empuxo é FE mfg em que mf é a massa do fluido deslocado pelo volume submerso do bloco Vf De acordo com a Eq 142 ρ mV a massa do fluido deslocado é mf rfVf Não conhecemos Vf mas se chamarmos de C o comprimento do bloco e de L a largura o volume submerso do bloco será de acordo com a Fig 1411 Vf CLh Combinando as três expressões descobrimos que o módulo da força de empuxo é dado por Da mesma forma podemos escrever o módulo Fg da força gravitacional a que o bloco está submetido primeiro em termos da massa m do bloco e depois em termos da massa específica ρ e do volume total V do bloco que por sua vez pode ser expresso em termos das dimensões do bloco C L e H altura total Como o bloco está em repouso a aplicação da segunda lei de Newton às componentes das forças em relação a um eixo vertical y Fresy may nos dá FE Fg m0 ou de acordo com as Eqs 1420 e 1421 ρfCLhg ρCLHg 0 Figura 1411 Um bloco de altura H flutuando em um fluido com uma parte h submersa e portanto b Se o bloco for totalmente imerso e depois liberado qual será o módulo da aceleração Cálculos A força gravitacional que age sobre o bloco é a mesma mas agora com o bloco totalmente submerso o volume da água deslocada é V CLH É usada a altura total do bloco Isso significa que FE Fg e o bloco é acelerado para cima De acordo com a segunda lei de Newton FE Fg ma ou ρfCLHg ρCLHg ρCLHa em que substituímos a massa do bloco por ρCLH Explicitando a obtemos 146 A EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1416 Conhecer os conceitos de escoamento laminar escoamento incompressível escoamento não viscoso e escoamento irrotacional 1417 Conhecer o conceito de linha de fluxo 1418 Usar a equação de continuidade para relacionar a área da seção reta e a velocidade de escoamento em um ponto de um tubo às mesmas grandezas em outro ponto do tubo 1419 Conhecer e aplicar o conceito de vazão 1420 Conhecer e aplicar o conceito de vazão mássica IdeiasChave Um fluido ideal é incompressível não viscoso e seu escoamento é laminar e irrotacional Uma linha de fluxo é a trajetória seguida por um pequeno elemento do fluido Um tubo de fluxo é um feixe de linhas de fluxo A vazão em todos os pontos de um tubo de fluxo obedece à equação de continuidade RV Av constante em que RV é a vazão A é a área da seção reta do tubo e v é a velocidade do fluido A vazão mássica Rm é dada pela equação Rm ρRV ρAv constante 1 2 3 Fluidos Ideais em Movimento O movimento de fluidos reais é muito complicado e ainda não está perfeitamente compreendido Por essa razão vamos discutir apenas o movimento de um fluido ideal que é mais fácil de analisar matematicamente Um fluido ideal satisfaz quatro requisitos no que diz respeito ao escoamento Will McIntyrePhoto Researchers Inc Figura 1412 Em certo ponto o escoamento ascendente de fumaça e gás aquecido muda de laminar para turbulento O escoamento é laminar No escoamento laminar a velocidade do fluido em um ponto fixo qualquer não varia com o tempo nem em módulo nem em orientação O escoamento suave da água na parte central de um rio de águas calmas é laminar o escoamento da água em uma corredeira ou perto das margens de um rio não A Fig 1412 mostra a transição do escoamento laminar para turbulento em uma coluna de fumaça A velocidade das partículas de fumaça aumenta à medida que essas partículas sobem para certo valor crítico da velocidade o escoamento muda de laminar para turbulento O escoamento é incompressível Supomos como no caso de fluidos em repouso que o fluido é incompressível ou seja que a massa específica tem o mesmo valor em todos os pontos do fluido e em qualquer instante de tempo O escoamento é não viscoso Em termos coloquiais a viscosidade de um fluido é uma medida da resistência que o fluido oferece ao escoamento O mel por exemplo resiste mais ao escoamento que a água e portanto é mais viscoso do que a água A viscosidade dos fluidos é análoga ao atrito dos sólidos ambos são mecanismos por meio dos quais a energia cinética de objetos em movimento é convertida em energia térmica Na ausência de atrito um bloco desliza com velocidade constante em uma superfície horizontal Analogamente um objeto imerso em um fluido não viscoso não experimenta a força de arrasto viscoso e se move com velocidade constante no fluido Como o cientista inglês Lorde Rayleigh disse uma vez se a água do mar fosse um fluido não viscoso as 4 hélices dos navios não funcionariam mas por outro lado os navios uma vez colocados em movimento não precisariam de hélices O escoamento é irrotacional Embora a rigor isso não seja necessário vamos também supor que o escoamento é irrotacional Para entender o que significa essa propriedade suponha que um pequeno grão de poeira se move com o fluido Se o escoamento é irrotacional o grão de areia não gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa embora possa girar em torno de um outro eixo qualquer O movimento de uma rodagigante por exemplo é rotacional enquanto o movimento dos passageiros é irrotacional Cortesia de D H Peregrine University of Bristol Figura 1413 O escoamento laminar de um fluido ao redor de um cilindro revelado por um corante injetado no fluido antes que esse passe pelo cilindro Para observar o escoamento de um fluido usamos traçadores por exemplo gotas de corante introduzidas em um líquido Fig 1413 ou partículas de fumaça misturadas a um gás Fig 1412 Cada gota ou partícula de um traçador torna visível uma linha de fluxo que é a trajetória seguida por um pequeno elemento do fluido Como vimos no Capítulo 4 a velocidade linear de uma partícula é tangente à trajetória da partícula No caso que estamos examinando a partícula é um elemento do fluido e a velocidade do elemento é tangente a uma linha de fluxo Fig 1414 Por essa razão duas linhas de fluxo jamais se cruzam se o fizessem uma partícula que chegasse ao ponto de interseção poderia ter ao mesmo tempo duas velocidades diferentes o que seria absurdo Figura 1414 Ao se mover um elemento do fluido traça uma linha de fluxo O vetor velocidade do elemento é tangente à linha de fluxo em todos os pontos A Equação de Continuidade O leitor provavelmente já observou que é possível aumentar a velocidade da água que sai de uma mangueira de jardim fechando parcialmente o bico da mangueira com o polegar Essa é uma demonstração prática do fato de que a velocidade v da água depende da área de seção reta A através da qual a água escoa Vamos agora deduzir uma expressão que relaciona v e A no caso do escoamento laminar de um fluido ideal em um tubo de seção reta variável como o da Fig 1415 O escoamento é para a direita e o segmento de tubo mostrado que faz parte de um tubo mais longo tem comprimento L A velocidade do fluido é v1 na extremidade esquerda e v2 na extremidade direita A área da seção reta do tubo é A1 na extremidade esquerda e A2 na extremidade direita Suponha que em um intervalo de tempo Δt um volume ΔV do fluido o volume violeta na Fig 1415 entra no segmento de tubo pela extremidade esquerda Como o fluido é incompressível um volume igual ΔV do fluido o volume verde na Fig 1415 deve sair pela extremidade direita Figura 1415 Um fluido escoa da esquerda para a direita com vazão constante por um segmento de tubo de comprimento L A velocidade do fluido é v1 no lado esquerdo e v2 no lado direito A área de seção reta é A1 no lado esquerdo e A2 no lado direito Do instante t em a até o instante t Δt em b a quantidade de fluido mostrada em cor violeta entra do lado esquerdo e uma quantidade igual mostrada em cor verde sai do lado direito Figura 1416 Um fluido escoa com velocidade v constante em um tubo cilíndrico a No instante t o elemento do fluido e está prestes a passar pela reta tracejada b No instante t Δt o elemento e está a uma distância Δx vΔt da reta tracejada Podemos usar esse volume ΔV comum às duas extremidades para relacionar as velocidades e áreas Para isso consideramos primeiramente a Fig 1416 que mostra uma vista lateral de um tubo de seção reta uniforme de área A Na Fig 1416a um elemento e do fluido está prestes a passar pela reta tracejada perpendicular ao eixo do tubo Se a velocidade do elemento é v durante um intervalo de tempo Δt o elemento percorre uma distância Δx vDt ao longo do tubo O volume ΔV do fluido que passa pela reta tracejada durante o intervalo de tempo Δt é Quando aplicamos a Eq 1422 às duas extremidades do segmento de tubo da Fig 1415 temos ΔV A1v1 Δt A2v2 Δt ou Essa relação entre velocidade e área da seção reta é chamada de equação de continuidade para o escoamento de um fluido ideal De acordo com a Eq 1423 a velocidade do escoamento aumenta quando a área da seção reta pela qual o fluido escoa é reduzida como acontece quando fechamos parcialmente o bico de uma mangueira de jardim com o polegar A Eq 1423 se aplica não só a um tubo real mas também a qualquer tubo de fluxo um tubo imaginário formado por um feixe de linhas de fluxo Um tubo de fluxo se comporta como um tubo real porque nenhum elemento do fluido pode cruzar uma linha de fluxo assim todo o fluido contido em um tubo de fluxo permanece indefinidamente no interior do tubo A Fig 1417 mostra um tubo de fluxo no qual a área de seção reta aumenta de A1 para A2 no sentido do escoamento Com base na Eq 1423 com o aumento da área a velocidade diminui como mostra o espaçamento maior das linhas de fluxo no lado direito da Fig 1417 De modo semelhante o menor espaçamento das linhas de fluxo na Fig 1413 revela que a velocidade de escoamento é maior logo acima e logo abaixo do cilindro A Eq 1423 pode ser escrita na forma em que RV é a vazão do fluido volume que passa por uma seção reta por unidade de tempo A unidade de vazão do SI é o metro cúbico por segundo m3s Se a massa específica ρ do fluido é a mesma em todos os pontos do tubo podemos multiplicar a Eq 1424 pela massa específica para obter a vazão mássica Rm massa por unidade de tempo A unidade de vazão mássica no SI é o quilograma por segundo kgs De acordo com a Eq 1425 a massa que entra no segmento de tubo da Fig 1415 por segundo é igual à massa que sai do segmento por segundo Figura 1417 Um tubo de fluxo é definido pelas linhas de fluxo mais afastadas do eixo do tubo A vazão é a mesma em todas as seções retas de um tubo de fluxo Teste 3 A figura mostra um encanamento e indica a vazão em cm3s e o sentido do escoamento em todos os canos exceto um Quais são a vazão e o sentido do escoamento nesse cano Exemplo 1405 Largura do jato de água de uma torneira A Fig 1418 mostra que o jato de água que sai de uma torneira fica progressivamente mais fino durante a queda Essa variação da seção reta horizontal é característica de todos os jatos de água laminares não turbulentos descendentes porque a força gravitacional aumenta a velocidade da água As áreas das seções retas indicadas são A0 12 cm2 e A 035 cm2 Os dois níveis estão separados por uma distância vertical h 45 mm Qual é a vazão da torneira Figura 1418 Quando a água cai de uma torneira a velocidade da água aumenta Como a vazão é a mesma em todas as seções retas horizontais o jorro fica progressivamente mais estreito IDEIACHAVE A vazão na seção reta maior é igual à vazão na seção reta menor Cálculos De acordo com a Eq 1424 temos em que v0 e v são as velocidades da água nos níveis correspondentes a A0 e A De acordo com a Eq 216 também podemos escrever já que a água cai livremente com aceleração g Combinando as Eqs 1426 e 1427 para eliminar v e explicitando v0 obtemos De acordo com a Eq 1424 a vazão RV é portanto 147 A EQUAÇÃO DE BERNOULLI Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1421 Calcular a energia cinética específica a partir da massa específica e da velocidade do fluido 1422 Saber que a pressão de um fluido é um tipo de energia específica 1423 Calcular a energia potencial gravitacional específica 1424 Usar a equação de Bernoulli para relacionar os valores da energia específica total em dois pontos de uma linha de fluxo 1425 Saber que a equação de Bernoulli é uma consequência da lei de conservação da energia mecânica IdeiaChave Aplicando a lei de conservação da energia mecânica à vazão de um fluido ideal obtemos a equação de Bernoulli que é válida para qualquer tubo de fluxo A Equação de Bernoulli A Fig 1419 mostra um tubo pelo qual um fluido ideal escoa com vazão constante Suponha que em um intervalo de tempo Δt um volume ΔV do fluido de cor violeta na Fig 1419 entre pela extremidade esquerda entrada do tubo e um volume igual de cor verde na Fig 1419 saia pela extremidade direita saída do tubo Como o fluido é incompressível com massa específica constante ρ o volume que sai é igual ao volume que entra Figura 1419 Um fluido escoa com vazão constante por um trecho de um tubo de comprimento L da extremidade de entrada à esquerda à extremidade de saída à direita Do instante t em a ao instante t Δt em b uma quantidade de fluido representada na cor violeta entra pela extremidade esquerda e uma quantidade igual representada na cor verde sai pela extremidade direita Sejam y1 v1 e p1 a altura a velocidade e a pressão do fluido que entra do lado esquerdo e y2 v2 e p2 os valores correspondentes do fluido que sai do lado direito Aplicando ao fluido a lei de conservação da energia mecânica vamos mostrar que esses valores estão relacionados por meio da equação em que o termo é chamado de energia cinética específica energia cinética por unidade de volume do fluido A Eq 1428 também pode ser escrita na forma As Eqs 1428 e 1429 são formas equivalentes da equação de Bernoulli que tem esse nome por causa de Daniel Bernoulli que estudou o escoamento de fluidos no século XVIII Como a equação de continuidade Eq 1424 a equação de Bernoulli não é um princípio novo mas simplesmente uma reformulação de um princípio conhecido para uma forma mais adequada à mecânica dos fluidos Como um teste vamos aplicar a equação de Bernoulli a um fluido em repouso fazendo v1 v2 0 na Eq 1428 O resultado é p2 p1 ρgy1 y2 que é a Eq 147 Uma previsão importante da equação de Bernoulli surge quando supomos que y é constante y 0 digamos ou seja que a altura do fluido não varia Nesse caso a Eq 1428 se torna ou em palavras Se a velocidade de um fluido aumenta enquanto o fluido se move horizontalmente ao longo de uma linha de fluxo a pressão do fluido diminui e viceversa Isso significa que nas regiões em que as linhas de fluxo estão mais concentradas o que significa que a velocidade é maior a pressão é menor e viceversa A relação entre uma mudança de velocidade e uma mudança de pressão faz sentido quando consideramos um elemento do fluido Quando o elemento se aproxima de uma região estreita a pressão mais elevada atrás do elemento o acelera de modo que ele adquire uma velocidade maior Quando o elemento se aproxima de uma região mais larga a pressão maior à frente o desacelera de modo que ele adquire uma velocidade menor A equação de Bernoulli é estritamente válida apenas para fluidos ideais quando forças viscosas estão presentes a energia mecânica não é conservada já que parte da energia é convertida em energia térmica Na demonstração que se segue vamos supor que o fluido é ideal Demonstração da Equação de Bernoulli Vamos considerar como nosso sistema o volume inteiro do fluido ideal da Fig 1419 Vamos aplicar a lei de conservação da energia mecânica a esse sistema na passagem do estado inicial Fig 1419a para o estado final Fig 1419b No processo as propriedades do fluido que está entre os dois planos verticais separados por uma distância L na Fig 1419 permanecem as mesmas precisamos nos preocupar apenas com as mudanças que ocorrem nas extremidades de entrada e saída Para começar aplicamos a lei de conservação da energia mecânica na forma do teorema do trabalho e energia cinética que nos diz que a variação da energia cinética do sistema é igual ao trabalho total realizado sobre o sistema A variação da energia cinética é uma consequência da variação da velocidade do fluido entre as extremidades do tubo e é dada por em que Δm ρΔV é a massa do fluido que entra por uma extremidade e sai pela outra durante um pequeno intervalo de tempo Δt O trabalho realizado sobre o sistema tem duas origens O trabalho Wg realizado pela força gravitacional Δm sobre uma massa Δm do fluido durante a subida da massa do nível da entrada até o nível da saída é dado por Esse trabalho é negativo porque o deslocamento para cima e a força gravitacional para baixo têm sentidos opostos Algum trabalho também precisa ser realizado sobre o sistema no lado da entrada para empurrar o fluido para dentro do tubo e pelo sistema no lado da saída para empurrar o fluido que está mais adiante no tubo O trabalho realizado por uma força de módulo F agindo sobre o fluido contido em um tubo de área A para fazer com que o fluido percorra uma distância Δx é F Δx pAΔx pA Δx p ΔV O trabalho realizado sobre o sistema é portanto p1 ΔV e o trabalho realizado pelo sistema é p2 ΔV A soma dos dois trabalhos Wp é Assim a Eq 1431 se torna W Wg Wp ΔK Combinando as Eqs 1432 1433 e 1434 obtemos Cancelando ΔV e reagrupando os termos obtemos a Eq 1428 que queríamos demonstrar Teste 4 A água escoa suavemente pela tubulação da figura descendo no processo Ordene as quatro seções numeradas da tubulação de acordo a com a vazão RV b com a velocidade v e c com a pressão p do fluido em ordem decrescente Exemplo 1406 Aplicação do princípio de Bernoulli a um cano de calibre variável Um cano horizontal de calibre variável como o da Fig 1415 cuja seção reta muda de A1 120 103 m2 para A2 A12 conduz um fluxo laminar de etanol de massa específica ρ 791 kgm3 A diferença de pressão entre a parte larga e a parte estreita do cano é 4120 Pa Qual é a vazão RV de etanol IDEIASCHAVE 1 Como todo o fluido que passa pela parte mais larga do cano também passa pela parte mais estreita a vazão RV deve ser a mesma nas duas partes Assim de acordo com a Eq 1424 Entretanto uma vez que não conhecemos as duas velocidades não podemos calcular RV a partir dessa equação 2 Como o escoamento é laminar podemos aplicar a equação de Bernoulli De acordo com a Eq 1428 temos em que os índices 1 e 2 se referem às partes larga e estreita do cano respectivamente e y é a altura comum às duas partes A Eq 1436 não parece muito útil para a solução do problema pois não contém a vazão procurada RV e contém as velocidades desconhecidas v1 e v2 Cálculos Existe uma forma engenhosa de fazer a Eq 1436 trabalhar para nós Primeiro podemos usar a Eq 1435 e o fato de que A2 A12 para escrever Em seguida podemos substituir essas expressões na Eq 1436 para eliminar as velocidades desconhecidas e introduzir a vazão procurada Fazendo isso e explicitando RV obtemos Ainda temos uma decisão a tomar Sabemos que a diferença de pressão entre as duas partes do cano é 4120 Pa mas isso significa que p1 p2 4120 Pa ou 4120 Pa Poderíamos supor que a primeira hipótese é a verdadeira pois de outra forma a raiz quadrada na Eq 1438 não seria um número real Em vez disso vamos raciocinar um pouco De acordo com a Eq 1435 para que os produtos v1A1 e v2A2 sejam iguais a velocidade v2 na parte estreita deve ser maior que a velocidade v1 na parte larga Sabemos também que se a velocidade de um fluido aumenta enquanto o fluido escoa em um cano horizontal como neste caso a pressão diminui Assim p1 é maior que p2 e p1 p2 4120 Pa Substituindo esse resultado e os valores conhecidos na Eq 1438 obtemos Exemplo 1407 Aplicação do princípio de Bernoulli a uma caixa dágua No Velho Oeste um bandido atira em uma caixa dágua sem tampa Fig 1420 abrindo um furo a uma distância h abaixo da superfície da água Qual é a velocidade v da água ao sair da caixa dágua IDEIASCHAVE 1 A situação descrita é equivalente à da água descendo com velocidade v0 por um cano largo de seção reta A o tanque e depois se movendo horizontalmente com velocidade v em um cano estreito de seção reta a o furo 2 Como toda a água que passa pelo cano largo passa também pelo cano estreito a vazão RV é a mesma nos dois canos 3 Podemos também relacionar v a v0 e a h por meio da equação de Bernoulli Eq 1428 Cálculos De acordo com a Eq 1424 Rv av Av0 e portanto Pelo fato de a A sabemos que v0 v Para aplicar a equação de Bernoulli tomamos o nível do furo como nível de referência para medir a altura e a energia potencial gravitacional Como a pressão no alto da caixa dágua e no furo da bala é a pressão atmosférica p0 pois os dois locais estão expostos à atmosfera a Eq 1428 se torna Figura 1420 A água sai de uma caixa dágua por um furo situado a uma distância h abaixo da superfície da água A pressão na superfície da água e no local do furo é a pressão atmosférica p0 O alto da caixa dágua é representado pelo lado esquerdo da equação e o furo pelo lado direito O zero do lado direito indica que o furo está no nível de referência Antes de explicitar v na Eq 1439 podemos usar nosso resultado de que v0 v para simplificála Vamos supor que v2 0 e portanto o termo na Eq 1439 é desprezível em comparação com os outros termos e o abandonamos Explicitando v na equação restante obtemos Essa é a mesma velocidade que um objeto adquire ao cair de uma altura h a partir do repouso Revisão e Resumo Massa Específica A massa específica ρ de um material é definida como a massa do material por unidade de volume Quando uma amostra do material é muito maior do que as dimensões atômicas podemos escrever a Eq 141 na forma Pressão de um Fluido Um fluido é uma substância que pode escoar os fluidos se amoldam aos contornos do recipiente porque não resistem a tensões de cisalhamento Podem porém exercer uma força perpendicular à superfície Essa força é descrita em termos da pressão p em que ΔF é a força que age sobre um elemento da superfície de área ΔA Se a força é uniforme em uma área plana a Eq 143 pode ser escrita na forma A força associada à pressão de um fluido tem o mesmo módulo em todas as direções A pressão manométrica é a diferença entre a pressão real ou pressão absoluta e a pressão atmosférica Variação da Pressão com a Altura e com a Profundidade A pressão em um fluido em repouso varia com a posição vertical y Tomando como positivo o sentido para cima A pressão em um fluido é a mesma em todos os pontos situados à mesma altura Se h é a profundidade de um ponto do fluido em relação a um nível de referência no qual a pressão é p0 a Eq 147 se torna em que p é a pressão nesse ponto do fluido Princípio de Pascal Uma variação da pressão aplicada a um fluido contido em um recipiente é transmitida integralmente a todas as partes do fluido e às paredes do recipiente Princípio de Arquimedes Quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido o fluido exerce sobre o corpo uma força de empuxo e A força é dirigida para cima e tem um módulo dado por em que mf é a massa do fluido deslocado pelo corpo Quando um corpo flutua em um fluido o módulo FE do empuxo para cima é igual ao módulo Fg da força gravitacional para baixo que age sobre o corpo O peso aparente de um corpo sobre o qual atua um empuxo está relacionado ao peso real por meio da equação Escoamento de Fluidos Ideais Um fluido ideal é incompressível não viscoso e seu escoamento é laminar e irrotacional Uma linha de fluxo é a trajetória seguida por uma partícula do fluido Um tubo de fluxo é um feixe de linhas de fluxo O escoamento no interior de um tubo de fluxo obedece à equação da continuidade em que RV é a vazão A é a área da seção reta do tubo de fluxo em qualquer ponto e v é a velocidade do fluido nesse ponto A vazão mássica Rm é dada por Equação de Bernoulli A aplicação da lei de conservação da energia mecânica ao escoamento de um fluido ideal leva à equação de Bernoulli ao longo de qualquer tubo de fluxo Perguntas 1 Uma peça irregular de 3 kg de um material sólido é totalmente imersa em um fluido O fluido que estaria no espaço ocupado pela peça tem massa de 2 kg a Ao ser liberada a peça sobe desce ou permanece no mesmo lugar b Se a peça é totalmente imersa em um fluido menos denso e depois liberada o que acontece 2 A Fig 1421 mostra quatro situações nas quais um líquido vermelho e um líquido cinzento foram colocados em um tubo em forma de U Em uma dessas situações os líquidos não podem estar em equilíbrio estático a Que situação é essa b Para as outras três situações suponha que o equilíbrio é estático Para cada uma a massa específica do líquido vermelho é maior menor ou igual à massa específica do líquido cinzento Figura 1421 Pergunta 2 3 Um barco com uma âncora a bordo flutua em uma piscina um pouco mais larga do que o barco O nível da água sobe desce ou permanece o mesmo a se a âncora é jogada na água e b se a âncora é jogada do lado de fora da piscina c O nível da água na piscina sobe desce ou permanece o mesmo se em vez disso uma rolha de cortiça é lançada do barco para a água onde flutua 4 A Fig 1422 mostra um tanque cheio dágua Cinco pisos e tetos horizontais estão indicados todos têm a mesma área e estão situados a uma distância L 2L ou 3L abaixo do alto do tanque Ordeneos de acordo com a força que a água exerce sobre eles começando pela maior Figura 1422 Pergunta 4 5 O efeito bule A água derramada lentamente de um bule pode mudar de sentido e escorrer por uma distância considerável por baixo do bico do bule antes de se desprender e cair A água é mantida sob o bico pela pressão atmosférica Na Fig 1423 na camada de água do lado de dentro do bico o ponto a está no alto da camada e o ponto b está no fundo da camada na camada de água do lado de fora do bico o ponto c está no alto da camada e o ponto d está no fundo da camada Ordene os quatro pontos de acordo com a pressão manométrica a que a água está sujeita da mais positiva para a mais negativa Figura 1423 Pergunta 5 6 A Fig 1424 mostra três recipientes iguais cheios até a borda patos de brinquedo flutuam em dois deles Ordene os três conjuntos de acordo com o peso total em ordem decrescente Figura 1424 Pergunta 6 7 A Fig 1425 mostra quatro tubos nos quais a água escoa suavemente para a direita Os raios das diferentes partes dos tubos estão indicados Em qual dos tubos o trabalho total realizado sobre um volume unitário de água que escoa da extremidade esquerda para a extremidade direita a é nulo b é positivo e c é negativo Figura 1425 Pergunta 7 8 Um bloco retangular é empurrado para baixo em três líquidos um de cada vez O peso aparente Pap do bloco em função da profundidade h é mostrado na Fig 1426 para os três líquidos Ordene os líquidos de acordo com o peso por unidade de volume do maior para o menor Figura 1426 Pergunta 8 9 A água flui suavemente em um cano horizontal A Fig 1427 mostra a energia cinética K de um elemento de água que se move ao longo de um eixo x paralelo ao eixo do cano Ordene os trechos A B e C de acordo com o raio do cano do maior para o menor Figura 1427 Pergunta 9 10 A Fig 1428 mostra a pressão manométrica pg em função da profundidade h para três líquidos Uma esfera de plástico é totalmente imersa nos três líquidos um de cada vez Ordene os gráficos de acordo com o empuxo exercido sobre a esfera do maior para o menor Figura 1428 Pergunta 10 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 141 Massa Específica e Pressão dos Fluidos 1 Um peixe se mantém na mesma profundidade na água doce ajustando a quantidade de ar em ossos porosos ou em bolsas de ar para tornar sua massa específica média igual à da água Suponha que com as bolsas de ar vazias um peixe tem uma massa específica de 108 gcm3 Para que fração de seu novo volume o peixe deve inflar as bolsas de ar para tornar sua massa específica igual à da água 2 Um recipiente hermeticamente fechado e parcialmente evacuado tem uma tampa com uma área de 77 m2 e massa desprezível Se a força necessária para remover a tampa é 480 N e a pressão atmosférica é 10 105 Pa qual é a pressão do ar no interior do recipiente 3 Determine o aumento de pressão do fluido contido em uma seringa quando uma enfermeira aplica uma força de 42 N ao êmbolo circular da seringa que tem um raio de 11 cm 4 Três líquidos imiscíveis são despejados em um recipiente cilíndrico Os volumes e massas específicas dos líquidos são 050 L 26 gcm3 025 L 10 gcm3 040 L 080 gcm3 Qual é a força total exercida pelos líquidos sobre o fundo do recipiente Um litro 1 L 1000 cm3 Ignore a contribuição da atmosfera 5 Uma janela de escritório tem 34 m de largura por 21 m de altura Como resultado da passagem de uma tempestade a pressão do ar do lado de fora do edifício cai para 096 atm mas no interior do edifício permanece em 10 atm Qual é o módulo da força que empurra a janela para fora por causa da diferença de pressão 6 Você calibra os pneus do carro com 28 psi Mais tarde mede a pressão arterial obtendo uma leitura de 128 em mm Hg No SI as pressões são expressas em pascals ou seus múltiplos como o quilopascal kPa Em kPa a qual é a pressão dos pneus de seu carro e b qual é sua pressão arterial 7 Em 1654 Otto von Guericke o inventor da bomba de vácuo fez uma demonstração para os nobres do Sacro Império Romano na qual duas juntas de oito cavalos não puderam separar dois hemisférios de cobre evacuados a Supondo que os hemisférios tinham paredes finas mas resistentes de modo que R na Fig 1429 pode ser considerado tanto o raio interno como o raio externo mostre que o módulo da força necessária para separar os hemisférios é dado por F πR2Δp em que Δp pext pint é a diferença entre a pressão do lado de fora e a pressão do lado de dentro da esfera b Supondo que R 30 cm pint 010 atm e pext 100 atm determine o módulo da força que as juntas de cavalos teriam que exercer para separar os hemisférios c Explique por que uma única junta de cavalos poderia executar a mesma demonstração se um dos hemisférios estivesse preso em uma parede Figura 1429 Problema 7 Módulo 142 Fluidos em Repouso 8 Embolia gasosa em viagens de avião Os mergulhadores são aconselhados a não viajar de avião nas primeiras 24 h após um mergulho porque o ar pressurizado usado durante o mergulho pode introduzir nitrogênio na corrente sanguínea Uma redução súbita da pressão do ar como a que acontece quando um avião decola pode fazer com que o nitrogênio forme bolhas no sangue capazes de produzir embolias dolorosas ou mesmo fatais Qual é a variação de pressão experimentada por um soldado da divisão de operações especiais que mergulha a 20 m de profundidade em um dia e salta de paraquedas de uma altitude de 76 km no dia seguinte Suponha que a massa específica média do ar nessa faixa de altitudes é de 087 kgm3 9 Pressão arterial do Argentinossauro a Se a cabeça desse saurópode gigantesco ficava a 21 m de altura e o coração a 90 m que pressão manométrica hidrostática era necessária na altura do coração para que a pressão no cérebro fosse 80 torr suficiente para abastecer o cérebro Suponha que a massa específica do sangue do argentinossauro era 106 103 kgm3 b Qual era a pressão arterial em torr na altura dos pés do animal 10 O tubo de plástico da Fig 1430 tem uma seção reta de 500 cm2 Introduzse água no tubo até que o lado mais curto de comprimento d 0800 m fique cheio Em seguida o lado menor é fechado e mais água é despejada no lado maior Se a tampa do lado menor é arrancada quando a força a que está submetida excede 980 N que altura da coluna de água do lado maior deixa a tampa na iminência de ser arrancada Figura 1430 Problemas 10 e 81 11 Girafa bebendo água Em uma girafa com a cabeça 20 m acima do coração e o coração 20 m acima do solo a pressão manométrica hidrostática do sangue na altura do coração é 250 torr Suponha que a girafa está de pé e a massa específica do sangue é 106 103 kgm3 Determine a pressão arterial manométrica em torr a no cérebro a pressão deve ser suficiente para abastecer o cérebro com sangue e b nos pés a pressão deve ser compensada pela pele esticada que se comporta como uma meia elástica c Se a girafa baixasse a cabeça bruscamente para beber água sem afastar as pernas qual seria o aumento da pressão arterial no cérebro Esse aumento provavelmente causaria a morte da girafa 12 A profundidade máxima dmáx a que um mergulhador pode descer com um snorkel tubo de respiração é determinada pela massa específica da água e pelo fato de que os pulmões humanos não funcionam com uma diferença de pressão entre o interior e o exterior da cavidade torácica maior que 0050 atm Qual é a diferença entre os valores de dmáx para água doce e para a água do Mar Morto a água natural mais salgada no mundo com massa específica de 15 103 kgm3 13 Com uma profundidade de 109 km a Fossa das Marianas no Oceano Pacífico é o lugar mais profundo dos oceanos Em 1960 Donald Walsh e Jacques Piccard chegaram à Fossa das Marianas no batiscafo Trieste Supondo que a água do mar tem massa específica uniforme de 1024 kgm3 calcule a pressão hidrostática aproximada em atmosferas que o Trieste teve que suportar Mesmo um pequeno defeito na estrutura do Trieste teria sido desastroso 14 Calcule a diferença hidrostática entre a pressão arterial no cérebro e no pé de uma pessoa com 183 m de altura A massa específica do sangue é 106 103 kgm3 15 Que pressão manométrica uma máquina deve produzir para sugar lama com uma massa específica de 1800 kgm3 por meio de um tubo e fazêla subir 15 m 16 Homens e elefantes fazendo snorkel Quando uma pessoa faz snorkel os pulmões estão conectados diretamente à atmosfera por meio do tubo de respiração e portanto se encontram à pressão atmosférica Qual é a diferença Δp em atmosferas entre a pressão interna e a pressão da água sobre o corpo do mergulhador se o comprimento do tubo de respiração é a 20 cm situação normal e b 40 m situação provavelmente fatal No segundo caso a diferença de pressão faz os vasos sanguíneos das paredes dos pulmões se romperem enchendo os pulmões de sangue Como mostra a Fig 1431 um elefante pode usar a tromba como tubo de respiração e nadar com os pulmões 40 m abaixo da superfície da água porque a membrana que envolve seus pulmões contém tecido conectivo que envolve e protege os vasos sanguíneos impedindo que se rompam Figura 1431 Problema 16 17 Alguns membros da tripulação tentam escapar de um submarino avariado 100 m abaixo da superfície Que força deve ser aplicada a uma escotilha de emergência de 12 m por 060 m para abrila para o lado de fora nessa profundidade Suponha que a massa específica da água do oceano é 1024 kgm3 e que a pressão do ar no interior do submarino é 100 atm 18 Na Fig 1432 um tubo aberto de comprimento L 18 m e área da seção reta A 46 cm2 penetra na tampa de um barril cilíndrico de diâmetro D 12 m e altura H 18 m O barril e o tubo estão cheios dágua até o alto do tubo Calcule a razão entre a força hidrostática que age sobre o fundo do barril e a força gravitacional que age sobre a água contida no barril Por que a razão não é igual a 10 Não é necessário levar em conta a pressão atmosférica Figura 1432 Problema 18 19 Um grande aquário de 500 m de altura está cheio de água doce até uma altura de 200 m Uma das paredes do aquário é feita de plástico e tem 800 m de largura De quanto aumenta a força exercida sobre a parede se a altura da água é aumentada para 400 m 20 O tanque em forma de L mostrado na Fig 1433 está cheio dágua e é aberto na parte de cima Se d 50 m qual é a força exercida pela água a na face A e b na face B Figura 1433 Problema 20 21 Dois recipientes cilíndricos iguais com as bases no mesmo nível contêm um líquido de massa específica 130 103 kgm3 A área de cada base é 400 cm2 mas em um dos recipientes a altura do líquido é 0854 m e no outro é 1560 m Determine o trabalho realizado pela força gravitacional para igualar os níveis quando os recipientes são ligados por um tubo 22 Perda de consciência dos pilotos de caça Quando um piloto faz uma curva muito fechada em um avião de caça moderno a pressão do sangue na altura do cérebro diminui e o sangue deixa de abastecer o cérebro Se o coração mantém a pressão manométrica hidrostática da aorta em 120 torr quando o piloto sofre uma aceleração centrípeta horizontal de 4g qual é a pressão sanguínea no cérebro em torr situado a 30 cm de distância do coração no sentido do centro da curva A falta de sangue no cérebro pode fazer com que o piloto passe a enxergar em preto e branco e o campo visual se estreite um fenômeno conhecido como visão de túnel Caso persista o piloto pode sofrer a chamada gLOC g induced loss of consciousness perda de consciência induzida por g A massa específica do sangue é 106 103 kgm3 23 Na análise de certos fenômenos geológicos muitas vezes é apropriado supor que a pressão em um dado nível de compensação horizontal muito abaixo da superfície é a mesma em uma vasta região e é igual à pressão produzida pelo peso das rochas que se encontram acima desse nível Assim a pressão no nível de compensação é dada pela mesma fórmula usada para calcular a pressão de um fluido Esse modelo exige entre outras coisas que as montanhas tenham raízes de rochas continentais que penetram no manto mais denso Fig 1434 Considere uma montanha de altura H 60 km em um continente de espessura T 32 km As rochas continentais têm massa específica 29 gcm3 e o manto que fica abaixo dessas rochas tem massa específica de 33 gcm3 Calcule a profundidade D da raiz Sugestão Iguale as pressões nos pontos a e b a profundidade y do nível de compensação se cancela Figura 1434 Problema 23 24 Na Fig 1435 a água atinge uma altura D 350 m atrás da face vertical de uma represa com W 314 m de largura Determine a a força horizontal a que está submetida a represa por causa da pressão manométrica da água e b o torque produzido por essa força em relação a uma reta que passa por O e é paralela à face plana da represa c Determine o braço de alavanca do torque Figura 1435 Problema 24 Módulo 143 Medidores de Pressão 25 A coluna de um barômetro de mercúrio como o da Fig 145a tem uma altura h 74035 mm A temperatura é 50 oC na qual a massa específica do mercúrio é ρ 13608 104 kgm3 A aceleração de queda livre no local em que se encontra o barômetro é g 97835 ms2 Qual é a pressão atmosférica medida pelo barômetro em pascals e em torr que é uma unidade muito usada nos barômetros 26 Para sugar limonada com uma massa específica de 1000 kgm3 usando um canudo para fazer o líquido subir 40 cm que pressão manométrica mínima em atmosferas deve ser produzida pelos pulmões 27 Qual seria a altura da atmosfera se a massa específica do ar a fosse uniforme e b diminuísse linearmente até zero com a altura Suponha que ao nível do mar a pressão do ar é 10 atm e a massa específica do ar é 13 kgm3 Módulo 144 O Princípio de Pascal 28 Um êmbolo com uma seção reta a é usado em uma prensa hidráulica para exercer uma pequena força de módulo f sobre um líquido que está em contato por meio de um tubo de ligação com um êmbolo maior de seção reta A Fig 1436 a Qual é o módulo F da força que deve ser aplicada ao êmbolo maior para que o sistema fique em equilíbrio b Se os diâmetros dos êmbolos são 380 cm e 530 cm qual é o módulo da força que deve ser aplicada ao êmbolo menor para equilibrar uma força de 200 kN aplicada ao êmbolo maior Figura 1436 Problema 28 29 Na Fig 1437 uma mola de constante elástica 300 104 Nm liga uma viga rígida ao êmbolo de saída de um macaco hidráulico Um recipiente vazio de massa desprezível está sobre o êmbolo de entrada O êmbolo de entrada tem uma área Ae e o êmbolo de saída tem uma área 180Ae Inicialmente a mola está relaxada Quantos quilogramas de areia devem ser despejados lentamente no recipiente para que a mola sofra uma compressão de 500 cm Figura 1437 Problema 29 Módulo 145 O Princípio de Arquimedes 30 Um objeto de 500 kg é liberado a partir do repouso quando está totalmente imerso em um líquido O líquido deslocado pelo objeto tem massa de 300 kg Que distância o objeto percorre em 0200 s e em que sentido supondo que se desloca livremente e que a força de arrasto exercida pelo líquido é desprezível 31 Um bloco de madeira flutua em água doce com dois terços do volume V submersos e em óleo com 090V submerso Determine a massa específica a da madeira e b do óleo 32 Na Fig 1438 um cubo de aresta L 0600 m e 450 kg de massa é suspenso por uma corda em um tanque aberto que contém um líquido de massa específica 1030 kgm3 Determine a o módulo da força total exercida sobre a face superior do cubo pelo líquido e pela atmosfera supondo que a pressão atmosférica é 100 atm b o módulo da força total exercida sobre a face inferior do cubo e c a tração da corda d Calcule o módulo da força de empuxo a que o cubo está submetido usando o princípio de Arquimedes Que relação existe entre todas essas grandezas Figura 1438 Problema 32 33 Uma âncora de ferro de massa específica 7870 kgm3 parece ser 200 N mais leve na água que no ar a Qual é o volume da âncora b Qual é o peso da âncora no ar 34 Um barco que flutua em água doce desloca um volume de água que pesa 356 kN a Qual é o peso da água que o barco desloca quando flutua em água salgada de massa específica 110 103 kgm3 b Qual é a diferença entre o volume de água doce e o volume de água salgada deslocados 35 Três crianças todas pesando 356 N fazem uma jangada com toras de madeira de 030 m de diâmetro e 180 m de comprimento Quantas toras são necessárias para mantêlas flutuando em água doce Suponha que a massa específica da madeira é 800 kgm3 36 Na Fig 1439a um bloco retangular é gradualmente empurrado para dentro de um líquido O bloco tem uma altura d a área das faces superior e inferior é A 567 cm2 A Fig 1439b mostra o peso aparente Pap do bloco em função da profundidade h da face inferior A escala do eixo vertical é definida por Ps 020 N Qual é a massa específica do líquido Figura 1439 Problema 36 37 Uma esfera de ferro oca flutua quase totalmente submersa em água O diâmetro externo é 600 cm e a massa específica do ferro é 787 gcm3 Determine o diâmetro interno 38 Uma pequena esfera totalmente imersa em um líquido é liberada a partir do repouso e sua energia cinética é medida depois que se desloca 40 cm no líquido A Fig 1440 mostra os resultados depois de muitos líquidos serem usados A energia cinética K está plotada no gráfico em função da massa específica do líquido ρlíq e a escala do eixo vertical é definida por Ks 160 J a Qual é a massa específica da bola e b qual o volume da bola Figura 1440 Problema 38 39 Uma esfera oca de raio interno 80 cm e raio externo 90 cm flutua com metade do volume submerso em um líquido de massa específica 800 kgm3 a Qual é a massa da esfera b Calcule a massa específica do material de que é feita a esfera 40 Jacarés traiçoeiros Os jacarés costumam esperar pela presa flutuando com apenas o alto da cabeça exposto para não serem vistos Um meio de que dispõem para afundar mais ou menos é controlar o tamanho dos pulmões Outro é engolir pedras gastrólitos que passam a residir no estômago A Fig 1441 mostra um modelo muito simplificado de um jacaré com uma massa de 130 kg que flutua com a cabeça parcialmente exposta O alto da cabeça tem uma área de 020 m2 Se o jacaré engolir pedras com massa total equivalente a 10 da massa do corpo um valor típico de quanto ele afundará Figura 1441 Problema 40 41 Que fração do volume de um iceberg massa específica 917 kgm3 é visível se o iceberg flutua a no mar água salgada massa específica 1024 kgm3 e b em um rio água doce massa específica 1000 kgm3 Quando a água congela para formar gelo o sal é deixado de lado Assim a água que resulta do degelo de um iceberg pode ser usada para beber 42 Um flutuador tem a forma de um cilindro reto com 0500 m de altura e 400 m2 de área das bases a massa específica é 0400 vez a massa específica da água doce Inicialmente o flutuador é mantido totalmente imerso em água doce com a face superior na superfície da água Em seguida é liberado e sobe gradualmente até começar a flutuar Qual é o trabalho realizado pelo empuxo sobre o flutuador durante a subida 43 Quando os paleontólogos encontram um fóssil de dinossauro razoavelmente completo eles podem determinar a massa e o peso do dinossauro vivo usando um modelo em escala esculpido em plástico baseado nas dimensões dos ossos do fóssil A escala do modelo é de 1 para 20 ou seja os comprimentos são 120 dos comprimentos reais as áreas são 1202 das áreas reais e os volumes são 1203 dos volumes reais Primeiro o modelo é pendurado em um dos braços de uma balança e são colocados pesos no outro braço até que o equilíbrio seja estabelecido Em seguida o modelo é totalmente imerso em água e são removidos pesos do outro braço até que o equilíbrio seja restabelecido Fig 1442 Para um modelo de um determinado fóssil de T rex 63776 g tiveram que ser removidos para restabelecer o equilíbrio Qual era o volume a do modelo e b do T rex original c Se a massa específica do T rex era aproximadamente igual à da água qual era a massa do dinossauro Figura 1442 Problema 43 44 Um bloco de madeira tem massa de 367 kg e massa específica de 600 kgm3 e deve receber um lastro de chumbo 114 104 kgm3 para flutuar na água com 0900 do volume submerso Que massa de chumbo é necessária se o chumbo for colado a no alto do bloco e b na base do bloco 45 Uma peça de ferro que contém certo número de cavidades pesa 6000 N no ar e 4000 N na água Qual é o volume total das cavidades A massa específica do ferro é 787 gcm3 46 Uma pequena bola é liberada sem velocidade inicial 0600 m abaixo da superfície em uma piscina com água Se a massa específica da bola é 0300 vez a da água e a força de arrasto que a água exerce sobre a bola é desprezível que altura acima da superfície da água a bola atinge ao emergir Despreze a transferência de energia para as ondas e respingos produzidos no momento em que a bola emerge 47 O volume de ar no compartimento de passageiros de um automóvel de 1800 kg é 500 m3 O volume do motor e das rodas dianteiras é 0750 m3 e o volume das rodas traseiras tanque de gasolina e porta malas é 0800 m3 a água não pode penetrar no tanque de gasolina e no portamalas O carro cai em um lago a A princípio não entra água no compartimento de passageiros Que volume do carro em metros cúbicos fica abaixo da superfície da água com o carro flutuando Fig 1443 b Quando a água penetra lentamente o carro afunda Quantos metros cúbicos de água estão dentro do carro quando o carro desaparece abaixo da superfície da água O carro que leva uma carga pesada no portamalas permanece na horizontal Figura 1443 Problema 47 48 A Fig 1444 mostra uma bola de ferro suspensa por uma corda de massa desprezível presa em um cilindro que flutua parcialmente submerso com as bases paralelas à superfície da água O cilindro tem uma altura de 600 cm uma área das bases de 120 cm2 uma massa específica de 030 gcm3 e 200 cm da altura estão acima da superfície da água Qual é o raio da bola de ferro Figura 1444 Problema 48 Módulo 146 A Equação de Continuidade 49 Efeito canal A Fig 1445 mostra um canal em que está ancorada uma barcaça com d 30 m de largura e b 12 m de calado O canal tem uma largura D 55 m uma profundidade H 14 m e nele circula água a uma velocidade vi 15 ms Suponha que o escoamento é laminar Quando encontra a barcaça a água sofre uma queda brusca de nível conhecida como efeito canal Se a queda é de h 080 m qual é a velocidade da água ao passar ao lado da barcaça a pelo plano vertical indicado pela reta tracejada a e b pelo plano vertical indicado pela reta tracejada b A erosão causada pelo aumento da velocidade é um problema que preocupa os engenheiros hidráulicos Figura 1445 Problema 49 50 A Fig 1446 mostra dois segmentos de uma antiga tubulação que atravessa uma colina as distâncias são dA dB 30 m e D 110 m O raio do cano do lado de fora da colina é 200 cm o raio do cano no interior da colina porém não é mais conhecido Para determinálo os engenheiros hidráulicos verificaram inicialmente que a velocidade da água nos segmentos à esquerda e à direita da colina era de 250 ms Em seguida os engenheiros introduziram um corante na água no ponto A e observaram que levava 888 s para chegar ao ponto B Qual é o raio médio do cano no interior da colina Figura 1446 Problema 50 51 Uma mangueira de jardim com um diâmetro interno de 19 cm está ligada a um borrifador estacionário que consiste apenas em um recipiente com 24 furos de 013 cm de diâmetro Se a água circula na mangueira com uma velocidade de 091 ms com que velocidade ela sai dos furos do borrifador 52 Dois riachos se unem para formar um rio Um dos riachos tem uma largura de 82 m uma profundidade de 34 m e a velocidade da água é de 23 ms O outro riacho tem 68 m de largura 32 m de profundidade e a velocidade da água é 26 ms Se o rio tem uma largura de 105 m e a velocidade da água é 29 ms qual é a profundidade do rio 53 A água de um porão inundado é bombeada a uma velocidade de 50 ms por meio de uma mangueira com 10 cm de raio A mangueira passa por uma janela 30 m acima do nível da água Qual é a potência da bomba 54 A água que sai de um cano com um diâmetro interno de 19 cm é dividida por três canos com um diâmetro interno de 13 cm a Se as vazões nos três canos mais estreitos são 26 19 e 11 Lmin qual é a vazão no tubo de 19 cm b Qual é a razão entre a velocidade da água no cano de 19 cm e a velocidade no cano em que a vazão é 26 Lmin Módulo 147 A Equação de Bernoulli 55 Qual é o trabalho realizado pela pressão para fazer passar 14 m3 de água por um cano com um diâmetro interno de 13 mm se a diferença de pressão entre as extremidades do cano é 10 atm 56 Dois tanques 1 e 2 ambos com uma grande abertura na parte superior contêm líquidos diferentes Um pequeno furo é feito no lado de cada tanque à mesma distância h abaixo da superfície do líquido mas o furo do tanque 1 tem metade da seção reta do furo do tanque 2 a Qual é a razão ρ1ρ2 entre as massas específicas dos líquidos se a vazão mássica é a mesma para os dois furos b Qual é a razão RV1RV2 entre as vazões dos dois tanques c Em um dado instante o líquido do tanque 1 está 120 cm acima do furo A que altura acima do furo o líquido do tanque 2 deve estar nesse instante para que os tanques tenham vazões iguais 57 Um tanque cilíndrico de grande diâmetro está cheio dágua até uma profundidade D 030 m Um furo de seção reta A 65 cm2 no fundo do tanque permite a drenagem da água a Qual é a velocidade de escoamento da água em metros cúbicos por segundo b A que distância abaixo do fundo do tanque a seção reta do jorro é igual à metade da área do furo 58 A entrada da tubulação da Fig 1447 tem uma seção reta de 074 m2 e a velocidade da água é 040 ms Na saída a uma distância D 180 m abaixo da entrada a seção reta é menor que a da entrada e a velocidade da água é 95 ms Qual é a diferença de pressão entre a entrada e a saída Figura 1447 Problema 58 59 A água se move a uma velocidade de 50 ms em um cano com uma seção reta de 40 cm2 A água desce gradualmente 10 m enquanto a seção reta aumenta para 80 cm2 a Qual é a velocidade da água depois da descida b Se a pressão antes da descida é 15 105 Pa qual é a pressão depois da descida 60 Os torpedos são às vezes testados em um tubo horizontal por onde escoa água da mesma forma como os aviões são testados em um túnel de vento Considere um tubo circular com um diâmetro interno de 250 cm e um torpedo alinhado com o eixo maior do tubo O torpedo tem 500 cm de diâmetro e é testado com a água passando por ele a 250 ms a A que velocidade a água passa na parte do tubo que não está obstruída pelo torpedo b Qual é a diferença de pressão entre a parte obstruída e a parte não obstruída do tubo 61 Um cano com um diâmetro interno de 25 cm transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de 090 ms com uma pressão de 170 kPa Se o cano se estreita para 12 cm e sobe para o segundo piso 76 m acima do ponto de entrada a qual é a velocidade e b qual a pressão da água no segundo piso 62 O tubo de Pitot Fig 1448 é usado para medir a velocidade do ar nos aviões É formado por um tubo externo com pequenos furos B quatro são mostrados na figura que permitem a entrada de ar no tubo esse tubo está ligado a um dos lados de um tubo em forma de U O outro lado do tubo em forma de U está ligado ao furo A na frente do medidor que aponta no sentido do movimento do avião Em A o ar fica estagnado de modo que vA 0 Em B porém a velocidade do ar é presumivelmente igual à velocidade v do ar em relação ao avião a Use a equação de Bernoulli para mostrar que em que ρ é a massa específica do líquido contido no tubo em U e h é a diferença entre os níveis do líquido no tubo b Suponha que o tubo contém álcool e que a diferença de nível h é de 260 cm Qual é a velocidade do avião em relação ao ar A massa específica do ar é 103 kgm3 e a do álcool é 810 kgm3 Figura 1448 Problemas 62 e 63 63 O tubo de Pitot veja o Problema 62 de um avião que está voando a grande altitude mede uma diferença de pressão de 180 Pa Qual é a velocidade do ar se a massa específica do ar nessa altitude é 0031 kgm3 64 Na Fig 1449 a água atravessa um cano horizontal e sai para a atmosfera com uma velocidade v1 15 ms Os diâmetros dos segmentos esquerdo e direito do cano são 50 cm e 30 cm a Que volume de água escoa para a atmosfera em um período de 10 min b Qual é a velocidade v2 e c qual é a pressão manométrica no segmento esquerdo do tubo Figura 1449 Problema 64 65 O medidor venturi é usado para medir a vazão dos fluidos nos canos O medidor é ligado entre dois pontos do cano Fig 1450 a seção reta A na entrada e na saída do medidor é igual à seção reta do cano O fluido entra no medidor com velocidade V e depois passa com velocidade v por uma garganta estreita de seção reta a Um manômetro liga a parte mais larga do medidor à parte mais estreita A variação da velocidade do fluido é acompanhada por uma variação Δp da pressão do fluido que produz uma diferença h na altura do líquido nos dois lados do manômetro A diferença Δp corresponde à pressão na garganta menos a pressão no cano a Aplicando a equação de Bernoulli e a equação de continuidade aos pontos 1 e 2 da Fig 1450 mostre que em que ρ é a massa específica do fluido b Suponha que o fluido é água doce que a seção reta é 64 cm2 no cano e 32 cm2 na garganta e que a pressão é 55 kPa no cano e 41 kPa na garganta Qual é a vazão de água em metros cúbicos por segundo Figura 1450 Problemas 65 e 66 66 Considere o medidor venturi do Problema 65 e da Fig 1450 sem o manômetro Suponha que A 5a e que a pressão p1 no ponto A é 20 atm Calcule os valores a da velocidade V no ponto A e b da velocidade v no ponto a para que a pressão p2 no ponto a seja zero c Calcule a vazão correspondente se o diâmetro no ponto A for 50 cm O fenômeno que ocorre em a quando p2 cai para perto de zero é conhecido como cavitação a água evapora para formar pequenas bolhas 67 Na Fig 1451 a água doce de uma represa tem uma profundidade D 15 m Um cano horizontal de 40 cm de diâmetro atravessa a represa a uma profundidade d 60 m Uma tampa fecha a abertura do cano a Determine o módulo da força de atrito entre a tampa e a parede do tubo b A tampa é retirada Qual é o volume de água que sai do cano em 30 h Figura 1451 Problema 67 68 Água doce escoa horizontalmente do segmento 1 de uma tubulação com uma seção reta A1 para o segmento 2 com uma seção reta A2 A Fig 1452 mostra um gráfico da relação entre diferença de pressão p2 p1 e o inverso do quadrado da área A1 A1 2 supondo um escoamento laminar A escala do eixo vertical é definida por Δps 300 kNm2 Nas condições da figura qual é o valor a de A2 e b da vazão Figura 1452 Problema 68 69 Um líquido de massa específica 900 kgm3 escoa em um tubo horizontal com uma seção reta de 190 102 m2 na região A e uma seção reta de 950 102 m2 na região B A diferença de pressão entre as duas regiões é 720 103 Pa a Qual é a vazão e b qual é a vazão mássica Figura 1453 Problema 70 70 Na Fig 1453 a água entra em regime laminar no lado esquerdo de uma tubulação raio r1 200R atravessa a parte seção central raio R e sai pelo lado direito raio r3 300R A velocidade da água na parte central é 0500 ms Qual é o trabalho total realizado sobre 0400 m3 de água enquanto a água passa do lado esquerdo para o lado direito 71 A Fig 1454 mostra um jorro dágua saindo por um furo a uma distância h 10 cm da superfície de um tanque que contém H 40 cm de água a A que distância x a água atinge o solo b A que profundidade deve ser feito um segundo furo para que o valor de x seja o mesmo c A que profundidade deve ser feito um furo para que o valor de x seja o maior possível Figura 1454 Problema 71 72 A Fig 1455 mostra um diagrama muito simplificado do sistema de drenagem de água da chuva de uma casa A chuva que cai no telhado inclinado escorre para as calhas da borda do telhado e desce por canos verticais apenas um desses canos é mostrado na figura para um cano principal M abaixo do porão que leva a água para um cano ainda maior situado no subsolo Na Fig 1455 um ralo no porão também está ligado ao cano M Suponha que as seguintes condições são verdadeiras 1 os canos verticais têm comprimento h1 11 m 2 o ralo do porão fica a uma altura h2 12 m em relação ao cano M 3 o cano M tem um raio de 30 cm 4 a casa tem L 60 m de fachada e P 30 m de profundidade 5 toda a água que cai no telhado passa pelo cano M 6 a velocidade inicial da água nos canos verticais é desprezível 7 a velocidade do vento é desprezível a chuva cai verticalmente Figura 1455 Problema 72 Para qual índice de precipitação em centímetros por hora a água do cano M chega à altura do ralo ameaçando inundar o porão Problemas Adicionais 73 Cerca de um terço do corpo de uma pessoa que flutua no Mar Morto fica acima da superfície da água Supondo que a massa específica do corpo humano é 098 gcm3 determine a massa específica da água do Mar Morto Por que ela é tão maior do que 10 gcm3 74 Um tubo em forma de U aberto nas duas extremidades contém mercúrio Quando 112 cm de água são despejados no lado direito do tubo de quanto o mercúrio sobe no lado esquerdo em relação ao nível inicial 75 Se uma bolha de água mineral com gás sobe com uma aceleração de 0225 ms2 e tem um raio de 0500 mm qual é a massa da bolha Suponha que a força de arrasto que o líquido exerce sobre a bolha é desprezível 76 Suponha que seu corpo tem massa específica uniforme 095 vez a da água a Se você está boiando em uma piscina que fração do volume do seu corpo está acima da superfície da água Areia movediça é o fluido produzido quando a água se mistura com a areia separando os grãos e eliminando o atrito que os impede de se mover uns em relação aos outros Poços de areia movediça podem se formar quando a água das montanhas escorre para os vales e se infiltra em bolsões de areia b Se você está boiando em um poço profundo de areia movediça com uma massa específica 16 vez a da água que fração do seu corpo fica acima da superfície da areia movediça c Em particular você não consegue respirar 77 Uma bola de vidro com 200 cm de raio repousa no fundo de um copo de leite A massa específica do leite é 103 gcm3 e o módulo da força normal que o fundo do copo exerce sobre a bola é 948 102 N Qual é a massa da bola 78 Surpreendido por uma avalanche um esquiador é totalmente soterrado pela neve cuja massa específica é 96 kgm3 Suponha que a massa específica média do esquiador com seus trajes e equipamentos é de 1020 kgm3 Que fração da força gravitacional que age sobre o esquiador é compensada pelo empuxo da neve 79 Um objeto está pendurado em uma balança de mola A balança indica 30 N no ar 20 N quando o objeto está imerso em água e 24 N quando o objeto está imerso em outro líquido de massa específica desconhecida Qual é a massa específica desse outro líquido 80 Em um experimento um bloco retangular de altura h é colocado para flutuar em quatro líquidos separados No primeiro líquido que é a água o bloco flutua totalmente submerso Nos líquidos A B e C o bloco flutua com altura h2 2h3 e h4 acima da superfície do líquido respectivamente Qual é a densidade massa específica em relação à da água a do líquido A b do líquido B e c do líquido C 81 A Fig 1430 mostra um tubo em forma de U modificado o lado direito é mais curto que o lado esquerdo A extremidade do lado direito está d 100 cm acima da bancada do laboratório O raio do tubo é 150 cm Despejase água lentamente no lado esquerdo até que comece a transbordar do lado direito Em seguida um líquido de massa específica 080 gcm3 é despejado lentamente no lado esquerdo até que a altura do líquido nesse lado seja de 80 cm o líquido não se mistura com a água Que quantidade de água transborda do lado direito 82 Qual é a aceleração de um balão de ar quente se a razão entre a massa específica do ar fora do balão e a massa específica do ar dentro do balão é 139 Despreze a massa do balão e da cesta 83 A Fig 1456 mostra um sifão que é um tubo usado para transferir líquidos de um recipiente para outro O tubo ABC deve estar inicialmente cheio mas se essa condição é satisfeita o líquido escoa pelo tubo até que a superfície do líquido no recipiente esteja no mesmo nível que a extremidade A do tubo O líquido tem massa específica de 1000 kgm3 e viscosidade desprezível As distâncias mostradas na figura são h1 25 cm d 12 cm e h2 40 cm a Com que velocidade o líquido sai do tubo no ponto C b Se a pressão atmosférica é 10 105 Pa qual é a pressão do líquido em B o ponto mais alto do tubo c Teoricamente até que altura máxima h1 esse sifão pode fazer a água subir Figura 1456 Problema 83 84 Quando tossimos o ar é expelido em alta velocidade pela traqueia e brônquios superiores e remove o excesso de muco que está prejudicando a respiração Essa alta velocidade é produzida da seguinte forma Depois que inspiramos uma grande quantidade de ar a glote abertura estreita da laringe se fecha os pulmões se contraem aumentando a pressão do ar a traqueia e os brônquios superiores se estreitam e a glote se abre bruscamente deixando escapar o ar Suponha que durante a expulsão a vazão seja de 70 103 ms Que múltiplo da velocidade do som vs 343 ms é a velocidade do ar na traqueia se o diâmetro da traqueia a permanece com o valor normal de 14 mm e b diminui para 52 mm 85 Uma lata tem um volume de 1200 cm3 e uma massa de 130 g Quantos gramas de bolinhas de chumbo podem ser colocados na lata sem que ela afunde na água 86 A tração de uma corda que mantém um bloco totalmente imerso em um líquido de massa específica maior que a do bloco é T0 quando o recipiente Fig 1457 está em repouso Por qual fator é multiplicada a tração T0 quando o recipiente sofre uma aceleração para cima de 0250g Figura 1457 Problema 86 87 Qual é a área mínima em metros quadrados da superfície superior de uma placa retangular de gelo com 0441 m de espessura que flutua em água doce para que seja capaz de sustentar um automóvel de 938 kg Suponha que as massas específicas do gelo e da água doce são 917 kgm3 e 998 kgm3 respectivamente 88 Uma esfera com raio de 622 cm e massa de 860 kg está a uma profundidade de 222 km em água do mar com massa específica de 1025 kgm3 Determine a a pressão manométrica b a pressão total e c a força total a que é submetida a superfície da esfera Determine também d o módulo da força de empuxo que age sobre a esfera e e o módulo da aceleração a que será submetida a esfera se for liberada Suponha que a pressão atmosférica é 101 105 Pa 89 a Qual é o peso da água acima de um submarino que está a uma profundidade de 225 m se a área da seção reta horizontal do casco é 22000 m2 e a massa específica da água salgada no local é 103 gcm3 b Qual é a pressão da água em atmosferas experimentada por um mergulhador a essa profundidade 90 O cano de saída do esgoto de uma casa construída em uma encosta está 659 m abaixo do nível da rua Se o cano coletor do esgoto está 216 m abaixo do nível da rua calcule a menor diferença de pressão que uma bomba deve criar para transferir dejetos com massa específica de 100000 kgm3 do cano de saída da casa para o cano coletor Se a vazão for irrotacional como estamos supondo neste livro a constante da Eq 1429 tem o mesmo valor em todos os pontos do tubo os pontos não precisam pertencer à mesma linha de fluxo Da mesma forma na Eq 1428 os pontos 1 e 2 podem estar em qualquer lugar do tubo CAPÍTULO 15 Oscilações 151 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1501 Conhecer a diferença entre movimento harmônico simples MHS e outros tipos de movimento periódico 1502 No caso de um movimento harmônico simples usar a relação entre a posição x e o tempo t para determinar t a partir de x e viceversa 1503 Conhecer a relação entre o período T a frequência f e a frequência angular ω 1504 Conhecer a amplitude do deslocamento xm a constante de fase ou ângulo de fase ϕ e a fase ωt ϕ 1505 Desenhar um gráfico da posição x de um oscilador em função do tempo t assinalando a amplitude xm e o período T 1506 Em um gráfico da posição em função do tempo da velocidade em função do tempo ou da aceleração em função do tempo determinar a amplitude e a fase da grandeza representada 1507 Em um gráfico da posição x em função do tempo t descrever o efeito de uma variação do período T da frequência f da amplitude xm e da constante de fase ϕ 1508 Determinar a constante de fase ϕ que corresponde a um tempo inicial t 0 no instante em que uma partícula que executa um MHS está em um ponto extremo ou está passando pelo ponto central do movimento 1509 A partir da posição xt de um oscilador em função do tempo determinar a velocidade vt em função do tempo indicar a amplitude vm da velocidade no resultado e calcular a velocidade em qualquer instante dado 1510 Desenhar um gráfico da velocidade v de um oscilador em função do tempo t indicando a amplitude vm da velocidade 1511 Conhecer a relação entre a amplitude da velocidade vm a frequência angular ω e a amplitude do deslocamento xm 1512 A partir da velocidade vt de um oscilador em função do tempo determinar a aceleração at em função do tempo indicar a amplitude am da aceleração e calcular a aceleração em qualquer instante dado 1513 Desenhar um gráfico da aceleração a de um oscilador em função do tempo t indicando a amplitude am da aceleração 1514 Saber que no caso de um movimento harmônico simples a aceleração a em qualquer instante é dada pelo produto de uma constante negativa pelo deslocamento x nesse instante 1515 Conhecer a relação que existe em qualquer instante de uma oscilação entre a aceleração a a frequência angular ω e o deslocamento x 1516 No caso de um movimento harmônico simples a partir da posição x e da velocidade v em um dado instante determinar a fase ωt ϕ e a constante de fase ϕ 1517 No caso de um oscilador massamola conhecer a relação entre a constante elástica k e a massa m e o período T ou a frequência angular ω 1518 No caso de um movimento harmônico simples usar a lei de Hooke para relacionar a força F em um dado instante ao deslocamento x do oscilador no mesmo instante IdeiasChave A frequência f de um movimento periódico ou oscilatório é o número de oscilações por unidade de tempo A unidade de frequência do SI é o hertz Hz 1 hertz corresponde a uma oscilação por segundo O período T é o tempo necessário para completar uma oscilação ou ciclo O período está relacionado à frequência pela equação T 1f No movimento harmônico simples MHS o deslocamento xt de uma partícula em relação à posição de equilíbrio é descrito pela equação x xm cosωt ϕ deslocamento em que xm é a amplitude do deslocamento ωt ϕ é a fase do movimento e ϕ é a constante de fase A frequência angular ω está relacionada ao período e à frequência do movimento pelas equações ω 2πT e ω 2πf Derivando xt uma vez em relação ao tempo obtemos a velocidade v e derivando xt duas vezes em relação ao tempo obtemos a aceleração a de uma partícula que executa um MHS v ωxm senωt ϕ velocidade e a ω2xm cosωt ϕ aceleração em que ωxm é a amplitude vm da velocidade e ω2xm é a amplitude am da aceleração Uma partícula de massa m que se move sob a influência de uma força restauradora dada pela lei de Hooke F kx é um oscilador hamônico simples com e O que É Física Nosso mundo está repleto de oscilações nas quais os objetos se movem repetidamente de um lado para outro Muitas são simplesmente curiosas ou desagradáveis mas outras podem ser perigosas ou economicamente importantes Eis alguns exemplos Quando um taco rebate uma bola de beisebol o taco pode sofrer uma oscilação suficiente para machucar a mão do batedor ou mesmo se partir em dois Quando o vento fustiga uma linha de transmissão de energia elétrica a linha às vezes oscila galopa no jargão dos engenheiros elétricos tão vigorosamente que pode se romper interrompendo o fornecimento de energia elétrica a toda uma região A turbulência do ar que passa pelas asas dos aviões faz com que eles oscilem causando fadiga no metal que pode fazer com que as asas se quebrem Quando um trem faz uma curva as rodas oscilam horizontalmente quando são forçadas a mudar de direção produzindo um som peculiar Quando acontece um terremoto nas vizinhanças de uma cidade os edifícios sofrem oscilações tão intensas que podem desmoronar Quando uma flecha é lançada de um arco as penas da extremidade conseguem passar pelo arco sem se chocar com ele porque a flecha oscila Quando se deixa cair uma moeda em um prato metálico a moeda oscila de uma forma tão característica que é possível conhecer o valor da moeda pelo som produzido Quando um peão de rodeio monta um touro o corpo do peão oscila para um lado e para outro enquanto o touro gira e corcoveia pelo menos é o que o peão tenta fazer O estudo e o controle das oscilações são dois objetivos importantes da física e da engenharia Neste capítulo vamos discutir um tipo básico de oscilação conhecido como movimento harmônico simples Não Desanime Este assunto é considerado particularmente difícil por muitos estudantes Um motivo pode ser o fato de que existem muitas definições e símbolos para aprender mas a razão principal é a necessidade de relacionar as oscilações de um objeto algo que podemos observar ou mesmo sentir a gráficos e equações matemáticas Associar um movimento real à abstração de um gráfico ou equações requer um grande esforço intelectual Figura 151 Uma partícula oscila repetidamente para a direita e para a esquerda da origem do eixo x entre os pontos extremos xm e xm Movimento Harmônico Simples A Fig 151 mostra uma partícula que está oscilando nas vizinhanças da origem de um eixo x deslocando se alternadamente para a direita e para a esquerda de uma mesma distância xm A frequência f da oscilação é o número de vezes por unidade de tempo que a partícula descreve uma oscilação completa um ciclo A unidade de frequência do SI é o hertz Hz definido da seguinte forma O tempo necessário para completar um ciclo é o período T da oscilação dado por Todo movimento que se repete a intervalos regulares é chamado de movimento periódico ou movimento harmônico No momento estamos interessados em um tipo particular de movimento periódico conhecido como movimento harmônico simples MHS Esse movimento é uma função senoidal do tempo t ou seja pode ser escrito como um seno ou cosseno do tempo t Vamos escolher arbitrariamente a função cosseno e escrever o deslocamento ou posição da partícula da Fig 151 na forma em que xm ω e ϕ são parâmetros a serem definidos Instantâneos Vamos tirar uma série de instantâneos do movimento e mostrálos em ordem temporal de cima para baixo em um desenho Fig 152a O primeiro instantâneo foi tirado em t 0 quando a partícula estava no ponto à direita mais distante da origem do eixo x Chamamos de xm a coordenada desse ponto o índice m é a inicial de máximo é a constante que multiplica a função cosseno na Eq 15 3 No instantâneo seguinte a partícula está um pouco à esquerda de xm A partícula continua a se mover no sentido negativo do eixo x até chegar ao ponto à esquerda mais distante da origem cuja coordenada é xm Em seguida a partícula começa se mover no sentido positivo do eixo x até chegar ao ponto xm O movimento se repete indefinidamente com a partícula oscilando entre os pontos xm e xm Na Eq 153 os valores da função cosseno variam de 1 a 1 O valor de xm determina o valor máximo das oscilações e é chamado de amplitude veja a Fig 153 que mostra os nomes de todos os parâmetros da equação que descreve o movimento harmônico simples Figura 152 a Uma sequência de instantâneos tirados a intervalos regulares que mostram a posição de uma partícula enquanto oscila em torno da origem de um eixo x entre xm e xm b O comprimento dos vetores é proporcional à velocidade escalar instantânea da partícula A velocidade escalar é máxima quando a partícula está na origem e é nula quando está em xm Se o tempo t é escolhido como zero quando a partícula está em xm a partícula retorna para 1xm em t T em que T é o período do movimento Em seguida o movimento é repetido c Fazendo o gráfico girar de 90o vemos que a posição da partícula varia com o tempo de acordo com uma função do tipo cosseno como a que aparece em d e A velocidade inclinação da curva varia com o tempo Figura 153 Nomes dos parâmetros da Eq 153 que descreve o movimento harmônico simples A Fig 152b mostra em uma série de instantâneos a variação da velocidade da partícula com o tempo Vamos chegar daqui a pouco à função que expressa a velocidade mas por enquanto limitese a observar que a partícula para momentaneamente nos pontos extremos e tem a maior velocidade o vetor velocidade é mais comprido quando está passando pela origem Faça mentalmente a Fig 152a girar 90o no sentido antihorário para que a passagem do tempo se traduza em um movimento para a direita Chamamos de t 0 o instante em que a partícula está em xm A partícula volta a xm no instante t T o período das oscilações e em seguida começa um novo ciclo Se tirássemos um número muito grande de instantâneos e ligássemos os pontos mostrados nesses instantâneos obteríamos a curva da função cosseno mostrada na Fig 152d O que já observamos a respeito da velocidade é mostrado na Fig 152e O que temos no conjunto da Fig 152 é uma transformação do que podemos ver a realidade de uma partícula em movimento oscilatório para a abstração de um gráfico A Eq 153 é uma forma concisa de representar o movimento por meio de uma equação abstrata Mais Parâmetros A Fig 153 mostra outros parâmetros associados ao MHS O argumento da função cosseno é chamado de fase do movimento É a variação da fase com o tempo que faz o valor do cosseno variar O parâmetro ϕ é chamado de ângulo de fase ou constante de fase Esse parâmetro é incluído no argumento apenas porque queremos usar a Eq 153 para descrever o movimento qualquer que seja a posição da partícula no instante t 0 Na Fig 152 chamamos de t 0 o instante em que a partícula estava em xm Para essa escolha a Eq 153 descreve corretamente o movimento da partícula se fizermos ϕ 0 Entretanto se chamarmos de t 0 o instante em que a partícula está em outra posição qualquer precisaremos usar um valor de ϕ diferente de 0 para descrever corretamente o movimento da partícula Alguns desses valores estão indicados na Fig 154 Suponha por exemplo que a partícula esteja no ponto mais à esquerda no instante t 0 Nesse caso a Eq 153 só descreve corretamente o movimento se ϕ π rad Para verificar se isso é verdade faça t 0 e ϕ π rad na Eq 153 o resultado será x xm Fica a cargo do leitor verificar os outros valores mostrados na Fig 154 O parâmetro ω da Eq 153 é a frequência angular do movimento Para determinar a relação entre a frequência angular ω e a frequência f e o período T basta observar que de acordo com a definição de período a posição xt da partícula deve ser a mesma que a posição inicial depois de decorrido exatamente um período Assim se xt é a posição da partícula em um dado instante t a partícula deve estar na mesma posição no instante t T Vamos usar a Eq 153 para expressar essa condição fazendo ϕ 0 para eliminar uma complicação desnecessária A volta à posição inicial pode ser expressa usando a igualdade A função cosseno volta a ter o mesmo valor pela primeira vez quando o argumento ou seja a fase aumenta de 2π Assim de acordo com a Eq 154 ωt T ωt 2π ou ωT 2π Explicitando ω e usando a Eq 152 obtemos A unidade de frequência angular do SI é o radiano por segundo rads Figura 154 Valores de ϕ correspondentes a várias posições da partícula no instante t 0 Figura 155 Nos três casos a curva azul é obtida da Eq 153 com ϕ 0 a A curva vermelha difere da curva azul apenas pelo fato de que a amplitude xm da curva vermelha é maior os deslocamentos da curva vermelha para cima e para baixo são maiores b A curva vermelha difere da curva azul apenas pelo fato de que o período da curva vermelha é T T2 a curva vermelha está comprimida horizontalmente c A curva vermelha difere da curva azul apenas pelo fato de que para a curva vermelha ϕ π4 rad em vez de zero o valor negativo de ϕ desloca a curva para a direita Agora que já definimos vários parâmetros podemos fazêlos variar para observar o efeito de cada um sobre o MHS A Fig 155 mostra alguns exemplos As curvas da Fig 155a mostram o efeito da amplitude As duas curvas têm o mesmo período Não é fácil observar que os picos estão alinhados Além disso podemos ver que ϕ 0 As duas curvas não passam por um máximo em t 0 Na Fig 15 5b as duas curvas têm a mesma amplitude xm mas o período de uma é o dobro do período da outra e portanto a frequência da primeira é metade da frequência da segunda A Fig 155c é provavelmente a mais difícil de entender As curvas têm a mesma amplitude e o mesmo período mas uma está deslocada em relação à outra porque as duas curvas têm valores diferentes de ϕ Uma das curvas passa por um máximo em t 0 isso mostra que para essa curva ϕ 0 A outra curva está deslocada para a direita porque possui um valor de ϕ negativo Esse é um resultado geral valores negativos de ϕ deslocam a curva de um cosseno para a direita e valores positivos deslocam a curva de um cosseno para a esquerda Você pode confirmar isso plotando várias curvas em uma calculadora gráfica Teste 1 Uma partícula em oscilação harmônica simples de período T como a da Fig 152 está em xm no instante t 0 A partícula está em xm em xm em 0 entre xm e 0 ou entre 0 e xm no instante a t 200T b t 350T e c t 525T A Velocidade do MHS Discutimos brevemente a velocidade ao examinarmos a Fig 152b e mostramos que ela varia em módulo e sentido quando a partícula descreve um movimento harmônico simples Em particular vimos que a velocidade é momentaneamente zero nos pontos extremos e máxima no ponto central do movimento Para determinar a função vt que representa a velocidade para qualquer instante de tempo vamos calcular a derivada da função xt que representa a posição em função de tempo Eq 153 ou A velocidade varia com o tempo já que a função seno varia com o tempo entre os valores 1 e 1 O fator que multiplica a função seno determina os valores extremos da variação de velocidade ωxm e ωxm Dizemos que ωxm é a amplitude vm da variação de velocidade Quando a partícula passa pelo ponto x 0 e está se movendo da esquerda para a direita a velocidade é positiva e o módulo da velocidade tem o maior valor possível Quando a partícula passa pelo ponto x 0 e está se movendo da direita para a esquerda a velocidade é negativa e o módulo da velocidade tem novamente o maior valor possível O gráfico da Fig 156b mostra a variação da velocidade com o tempo dada pela Eq 15b com uma constante de fase ϕ 0 que corresponde à variação da posição da partícula com o tempo mostrada na Fig 156a Lembrese de que usamos uma função cosseno para representar xt independentemente da posição da partícula no instante t 0 escolhendo o valor apropriado de ϕ para que a Eq 153 nos dê a posição correta da partícula no instante t 0 Essa escolha da função cosseno para representar xt faz com que a velocidade seja representada por uma função seno com o mesmo valor de ϕ Figura 156 a O deslocamento xt de uma partícula que executa um MHS com ângulo de fase ϕ igual a zero O período T corresponde a uma oscilação completa b A velocidade vt da partícula c A aceleração at da partícula A Aceleração do MHS Derivando a função velocidade da Eq 156 em relação ao tempo obtemos a aceleração de uma partícula que executa um movimento harmônico simples ou Obtivemos novamente uma função cosseno mas desta vez com um sinal negativo A essa altura já sabemos interpretar o resultado A aceleração varia porque a função cosseno varia com o tempo entre 1 e 1 O fator que multiplica a função cosseno determina os valores extremos da variação de velocidade ω2xm e ω2xm Dizemos que ω2xm é a amplitude am da variação de aceleração A Fig 156c mostra um gráfico da Eq 157 com ϕ 0 como nas Figs 156a e 156b Note que o módulo da aceleração é zero quando o cosseno é zero o que acontece quando a partícula está passando pelo ponto x 0 e é máximo quando o valor absoluto do cosseno é máximo o que acontece quando a partícula está passando pelos pontos extremos do movimento Comparando as Eqs 153 e 157 obtemos uma relação interessante A Eq 158 reflete duas características marcantes do MHS 1 A aceleração da partícula tem sempre o sentido contrário ao do deslocamento daí o sinal negativo 2 a aceleração e o deslocamento estão relacionados por uma constante ω2 Toda vez que observamos essas duas características em um movimento oscilatório seja por exemplo na corrente de um circuito elétrico ou no nível da maré em uma baía podemos dizer imediatamente que se trata de um movimento harmônico simples e identificar a frequência angular ω do movimento Resumindo No MHS a aceleração a é proporcional ao deslocamento x tem o sentido contrário e as duas grandezas estão relacionadas pelo quadrado da frequência angular ω Teste 2 Qual das seguintes relações entre a aceleração a de uma partícula e sua posição x indica um movimento harmônico simples a a 3x2 b a 5x c a 4x d a 2x2 Qual é a frequência angular correspondente Suponha que o valor obtido esteja em rads Figura 157 Um oscilador harmônico linear simples Não há atrito com a superfície Como a partícula da Fig 152 o bloco executa um movimento harmônico simples quando é puxado ou empurrado a partir da posição x 0 e depois liberado O deslocamento é dado pela Eq 153 A Lei da Força para o Movimento Harmônico Simples Uma vez conhecida a relação entre a aceleração e o deslocamento no MHS Eq 158 podemos usar a segunda lei de Newton para determinar qual é a força que deve agir sobre a partícula para que ela adquira essa aceleração O sinal negativo indica que a força deve ter o sentido oposto ao do deslocamento da partícula Isso significa que no MHS a força é uma força restauradora no sentido de que se opõe ao deslocamento tentando fazer com que a partícula volte à posição central x 0 Já vimos a força geral da Eq 159 no Capítulo 8 quando discutimos um sistema blocomola como o da Fig 157 e usamos a lei de Hooke para descrever a força que age sobre o bloco Comparando as Eqs 159 e 1510 podemos relacionar a constante elástica k uma medida da rigidez da mola à massa do bloco e à frequência do MHS resultante A Eq 1510 é outra forma de escrever a equação característica do MHS Movimento harmônico simples é o movimento executado por uma partícula sujeita a uma força de módulo proporcional ao deslocamento da partícula e orientada no sentido oposto O sistema blocomola da Fig 157 constitui um oscilador harmônico linear simples ou simplesmente oscilador linear o termo linear indica que F é proporcional a x e não a outra potência de x Se você deparar com uma situação em que um objeto está oscilando sob a ação de uma força que é proporcional ao deslocamento e tem o sentido oposto pode ter certeza de que se trata de um movimento harmônico simples e que a constante de proporcionalidade entre a força e o deslocamento é análoga à constante elástica k da lei de Hooke Se a massa do objeto é conhecida é possível calcular a frequência angular do movimento explicitando ω na Eq 1511 Em geral o valor de ω é mais importante que o valor de k Além disso é possível determinar o período do movimento combinando as Eqs 155 e 1512 Vamos interpretar fisicamente as Eqs 1512 e 1513 Não é fácil observar que uma mola dura com um valor elevado de k tende a produzir oscilações com um valor elevado de ω oscilações rápidas e um valor pequeno do período T ciclos curtos Também não é fácil observar que um objeto pesado com um valor elevado de m tende a produzir um valor pequeno de ω oscilações lentas e um valor elevado do período T ciclos longos Todo sistema oscilatório seja ele um trampolim ou uma corda de violino possui uma elasticidade e uma inércia e portanto se parece com um oscilador linear No oscilador linear da Fig 157 esses elementos estão concentrados em partes diferentes do sistema A elasticidade está inteiramente na mola cuja massa desprezamos e a inércia está inteiramente no bloco cuja elasticidade é ignorada Em uma corda de um instrumento musical por outro lado os dois elementos estão presentes na corda como vamos ver no Capítulo 16 Teste 3 Qual das seguintes relações entre a força F que age sobre uma partícula e a posição x da partícula resulta em um movimento harmônico simples a F 5x b F 400x2 c F 10x ou d F 3x2 Exemplo 1501 MHS de um sistema blocomola amplitude aceleração constante de fase Um bloco cuja massa m é 680 g está preso a uma mola cuja constante elástica k é 65 Nm O bloco é puxado em uma superfície sem atrito por uma distância x 11 cm a partir da posição de equilíbrio em x 0 e liberado sem velocidade inicial no instante t 0 a Determine a frequência angular a frequência e o período do movimento IDEIACHAVE O sistema blocomola é um oscilador harmônico linear simples em que o bloco executa um MHS Cálculos A frequência angular é dada pela Eq 1512 De acordo com a Eq 155 a frequência é De acordo com a Eq 152 o período é b Determine a amplitude das oscilações IDEIACHAVE Na ausência de atrito a energia mecânica do sistema blocomola é conservada Raciocínio O bloco é liberado a 11 cm de distância da posição de equilíbrio com energia cinética nula e o máximo de energia potencial elástica Isso significa que o bloco terá energia cinética nula sempre que estiver novamente a 11 cm de distância da posição de equilíbrio ou seja jamais se afastará mais que 11 cm da posição de equilíbrio Assim a amplitude das oscilações é 11 cm c Determine a velocidade máxima vm do bloco e o local em que se encontra o bloco quando tem essa velocidade IDEIACHAVE A velocidade máxima vm é a amplitude da velocidade ωxm na Eq 156 Cálculo Temos A velocidade é máxima quando o bloco está passando pela origem observe as Figs 156a e 156b onde se pode constatar que a velocidade é máxima em x 0 d Determine o módulo am da aceleração máxima do bloco IDEIACHAVE O módulo am da aceleração máxima é a amplitude da aceleração ω2xm na Eq 157 Cálculo Temos A aceleração é máxima quando o bloco está nos pontos extremos do percurso Nesses pontos a força que age sobre o bloco possui o módulo máximo observe as Figs 156a e 156c onde se pode constatar que o módulo do deslocamento e o módulo da aceleração passam pelo máximo nos mesmos instantes nos quais a velocidade é zero como se pode ver na Fig 156b e Determine a constante de fase ϕ do movimento Cálculo A Eq 153 fornece o deslocamento do bloco em função do tempo Sabemos que o bloco está em x xm no instante t 0 Substituindo essas condições iniciais como são chamadas na Eq 153 e cancelando xm obtemos Tomando o inverso da função cosseno obtemos Qualquer ângulo que seja múltiplo inteiro de 2π rad também satisfaz a Eq 1514 escolhemos o menor ângulo f Determine a função deslocamento xt do sistema blocomola Cálculo A forma geral da função xt é dada pela Eq 153 Substituindo as grandezas conhecidas obtemos em que x está em metros e t em segundos Exemplo 1502 Cálculo da constante de fase do MHS a partir do deslocamento e da velocidade Em t 0 o deslocamento x0 do bloco de um oscilador linear como o da Fig 157 é 850 cm Leia x0 como x no instante zero A velocidade v0 do bloco nesse instante é 0920 ms e a aceleração a0 é 470 ms2 a Determine a frequência angular ω do sistema IDEIACHAVE Se o bloco está executando um MHS as Eqs 153 156 e 157 fornecem o deslocamento a velocidade e a aceleração respectivamente e todas contêm a frequência angular ω Cálculos Vamos fazer t 0 nas três equações para ver se uma delas nos fornece o valor de ω Temos e A Eq 1515 não contém ω Nas Eqs 1516 e 1517 conhecemos o valor do lado esquerdo mas não conhecemos xm e ω Entretanto dividindo a Eq 1517 pela Eq 1515 eliminamos xm e ϕ e podemos calcular o valor de ω b Determine a constante de fase ϕ e a amplitude xm das oscilações Cálculos Conhecemos ω e queremos determinar ϕ e xm Dividindo a Eq 1516 pela Eq 1515 eliminamos uma das incógnitas e obtemos uma equação para a outra que envolve uma única função trigonométrica Explicitando tan ϕ obtemos Essa equação possui duas soluções ϕ 25 e ϕ 180 25 155 Normalmente apenas a primeira dessas soluções é mostrada pelas calculadoras mas pode não ser uma solução fisicamente possível Para escolher a solução correta testamos as duas usandoas para calcular valores da amplitude xm De acordo com a Eq 1515 para ϕ 25 Para ϕ 155 xm 0094 m Como a amplitude do MHS deve ser uma constante positiva a constante de fase e a amplitude corretas são 152 A ENERGIA DO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1519 Calcular a energia cinética e a energia potencial elástica de um oscilador blocomola em qualquer instante de tempo 1520 Usar a lei de conservação da energia mecânica para relacionar a energia total de um oscilador blocomola em um dado instante à energia total em outro instante 1521 Desenhar um gráfico da energia cinética da energia potencial e da energia total de um oscilador blocomola primeiro em função do tempo e depois em função da posição do bloco 1522 Determinar a posição do bloco de um oscilador blocomola no instante em que a energia total é igual à energia cinética e no instante em que a energia total é igual à energia potencial IdeiaChave A energia cinética de uma partícula que executa um movimento harmônico simples é e a energia potencial é em qualquer instante de tempo Na ausência de atrito K e U variam com o tempo mas a energia mecânica E K U permanece constante A Energia do Movimento Harmônico Simples Vimos no Capítulo 8 que a energia de um oscilador linear é transformada repetidamente de energia cinética em energia potencial e viceversa enquanto a soma das duas a energia mecânica E do oscilador permanece constante A energia potencial de um oscilador linear como o da Fig 157 está inteiramente associada à mola seu valor depende do grau de alongamento ou compressão da mola ou seja de xt Podemos usar as Eqs 811 e 153 para obter a seguinte expressão para a energia potencial Atenção A notação cos2 A usada na Eq 1518 significa cos A2 e não é equivalente a cos A2 que significa cos A2 A energia cinética do sistema da Fig 157 está inteiramente associada ao bloco seu valor depende da rapidez com a qual o bloco está se movendo ou seja de vt Podemos usar a Eq 156 para obter a seguinte expressão para a energia cinética Usando a Eq 1512 para substituir v2 por km podemos escrever a Eq 1519 na forma De acordo com as Eqs 1518 e 1520 a energia mecânica é dada por Para qualquer ângulo α cos2 α sen2 α 1 Assim a grandeza entre colchetes é igual a 1 e temos Isso mostra que a energia mecânica de um oscilador linear é de fato constante e independente do tempo A energia potencial e a energia cinética de um oscilador linear são mostradas em função do tempo t na Fig 158a e em função do deslocamento x na Fig 158b Agora podemos entender por que um sistema oscilatório normalmente contém um elemento de elasticidade e um elemento de inércia o primeiro armazena energia potencial e o segundo armazena energia cinética Figura 158 a Energia potencial Ut energia cinética Kt e energia mecânica E em função do tempo t para um oscilador harmônico linear Observe que todas as energias são positivas e que a energia potencial e a energia cinética passam por dois máximos em cada período b Energia potencial Ux energia cinética Kx e energia mecânica E em função da posição x para um oscilador harmônico linear de amplitude xm Para x 0 a energia é toda cinética para x xm é toda potencial Teste 4 Na Fig 157 o bloco possui uma energia cinética de 3 J e a mola possui uma energia potencial elástica de 2 J quando o bloco está em x 20 cm a Qual é a energia cinética do bloco quando está em x 0 Qual é a energia potencial elástica da mola quando o bloco está em b x 20 cm e c x xm Exemplo 1503 Energia potencial e energia cinética do MHS de amortecedores de massa Muitos edifícios altos possuem amortecedores de massa cuja finalidade é evitar que os edifícios oscilem excessivamente por causa do vento Em muitos casos o amortecedor é um grande bloco instalado no alto do edifício que oscila na extremidade de uma mola movendose em um trilho lubrificado Quando o edifício se inclina em uma direção para a direita por exemplo o bloco se move na mesma direção mas com certo retardo de modo que quando o bloco finalmente oscila para a direita o edifício está se inclinando para a esquerda Assim o movimento do bloco está sempre defasado em relação ao movimento do edifício Vamos supor que o bloco possui uma massa m 272 105 kg e que foi projetado para oscilar com uma frequência f 100 Hz e com uma amplitude xm 200 cm a Qual é a energia mecânica total E do sistema massamola IDEIACHAVE A energia mecânica E a soma da energia cinética do bloco com a energia potencial da mola é constante durante o movimento do oscilador Assim podemos escolher qualquer posição do bloco para calcular o valor de E Cálculos Como foi dada a amplitude xm das oscilações vamos calcular o valor de E quando o bloco está na posição x xm com v 0 Para determinar o valor de U nesse ponto precisamos calcular primeiro o valor da constante elástica k De acordo com a Eq 1512 e a Eq 155 ω 2πf temos Podemos agora calcular E b Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de equilíbrio Cálculos Estamos interessados em calcular a velocidade no ponto x 0 em que a energia potencial é e a energia mecânica total é igual à energia cinética Sendo assim podemos escrever ou Como nesse ponto toda a energia do sistema foi transformada em energia cinética essa é a velocidade máxima vm 153 O OSCILADOR HARMÔNICO ANGULAR SIMPLES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1523 Descrever o movimento de um oscilador harmônico angular simples 1524 Conhecer a relação entre o torque τ e o deslocamento angular θ em relação ao ponto de equilíbrio de um oscilador harmônico angular simples 1525 Conhecer a relação entre o período T ou a frequência f o momento de inércia I e a constante de torção κ de um oscilador harmônico angular simples 1526 Conhecer a relação entre a aceleração angular α a frequência angular ω e o deslocamento angular θ de um oscilador harmônico angular simples IdeiaChave Um pêndulo de torção consiste em um objeto suspenso por um fio Quando o fio é torcido e depois liberado o objeto descreve um movimento harmônico angular simples cujo período é dado por em que I é o momento de inércia do objeto em relação ao eixo de rotação e κ é a constante de torção do fio O Oscilador Harmônico Angular Simples A Fig 159 mostra uma versão angular de um oscilador harmônico simples nesse caso a elasticidade do sistema está associada à torção de um fio suspenso e não ao alongamento e compressão de uma mola O dispositivo recebe o nome de pêndulo de torção Figura 159 O pêndulo de torção é a versão angular do oscilador harmônico linear simples O disco oscila em um plano horizontal a reta de referência oscila com amplitude angular θm A torção do fio de suspensão armazena energia potencial de forma semelhante a uma mola e produz o torque restaurador Quando fazemos girar o disco da Fig 159 produzindo um deslocamento angular θ a partir da posição de equilíbrio na qual a reta de referência está em θ 0 e o liberamos o disco passa a oscilar em torno dessa posição em um movimento harmônico angular simples A rotação do disco de um ângulo θ em qualquer sentido produz um torque restaurador dado por Aqui κ letra grega capa é uma constante a chamada constante de torção que depende do comprimento e do diâmetro do fio e do material de que é feito A comparação da Eq 1522 com a Eq 1510 nos leva a suspeitar que a Eq 522 é a forma angular da lei de Hooke e que podemos transformar a Eq 1513 que fornece o período do MHS linear na equação para o período do MHS angular Substituímos a constante elástica κ na Eq 1513 pela constante equivalente a constante κ da Eq 1522 e substituímos a massa m da Eq 1513 pela grandeza equivalente o momento de inércia I do disco Essas substituições levam a que é a equação correta para o período de um oscilador harmônico angular simples ou pêndulo de torção Exemplo 1504 Momento de inércia e período de um oscilador harmônico angular simples A Fig 1510a mostra uma barra fina cujo comprimento L é 124 cm e cuja massa m é 135 g suspensa em fio longo pelo ponto médio O valor do período do oscilador harmônico angular formado pela barra e o fio é Ta 253 s Quando um objeto de forma irregular que vamos chamar de objeto X é pendurado no mesmo fio como na Fig 1510b e o valor do período aumenta para Tb 476 s Qual é o momento de inércia do objeto X em relação ao eixo de suspensão IDEIACHAVE O momento de inércia tanto da barra quanto do objeto X está relacionado ao período pela Eq 1523 Cálculos Na Tabela 102e o momento de inércia de uma barra em torno de um eixo perpendicular passando pelo ponto médio é dado por Assim para a barra da Fig 1510a temos Vamos agora escrever a Eq 1523 duas vezes uma vez para a barra e outra para o objeto X A constante κ que é uma propriedade do fio é a mesma nos dois casos apenas os períodos e os momentos de inércia são diferentes Vamos elevar as duas equações ao quadrado dividir a segunda pela primeira e explicitar Ib na equação resultante O resultado é o seguinte Figura 1510 Dois pêndulos de torção compostos a por um fio e uma barra e b pelo mesmo fio e um objeto de forma irregular 154 PÊNDULOS E MOVIMENTO CIRCULAR Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1527 Descrever o movimento de um pêndulo simples 1528 Desenhar o diagrama de corpo livre do peso de um pêndulo simples no instante em que ele faz um ângulo θ com a vertical 1529 Conhecer a relação entre o período T ou a frequência f e o comprimento L de um pêndulo simples para pequenas oscilações 1530 Saber qual é a diferença entre um pêndulo simples e um pêndulo físico 1531 Conhecer a relação entre o período T ou a frequência f e a distância h entre o ponto de suspensão e o centro de massa de um pêndulo físico para pequenas oscilações 1532 Determinar a frequência angular de um pêndulo a partir do torque τ e do deslocamento θ e a partir da aceleração angular α e do deslocamento angular θ 1533 Saber qual é a diferença entre o valor da frequência angular ω de um pêndulo que está relacionada à taxa com a qual os ciclos são completados e o valor de dθdt a taxa de variação do ângulo que o pêndulo faz com a vertical 1534 Determinar a constante de fase ϕ e a amplitude um do movimento de um pêndulo a partir de posição angular θ e da taxa de variação da posição angular dθdt em um dado instante 1535 Explicar de que forma a aceleração de queda livre pode ser medida usando um pêndulo simples 1536 Determinar a posição do centro de oscilação de um pêndulo físico e explicar qual é a relação entre o centro de oscilação de um pêndulo físico e o comprimento de um pêndulo simples 1537 Explicar qual é a relação entre um movimento harmônico simples e um movimento circular uniforme IdeiasChave Um pêndulo simples é formado por uma partícula que oscila suspensa por um fio de massa desprezível Para pequenos ângulos a oscilação do pêndulo pode ser modelada por um movimento harmônico simples cujo período é dado pela equação em que I é o momento de inércia da partícula em relação ao ponto de suspensão m é a massa da partícula e L é o comprimento do fio Um pêndulo físico tem uma distribuição de massa mais complicada Para pequenos ângulos a oscilação do pêndulo físico pode ser modelada por um movimento harmônico simples cujo período é dado pela equação em que I é o momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto de suspensão m é a massa do pêndulo e h é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo O movimento harmônico simples corresponde à projeção do movimento circular uniforme no diâmetro de um círculo Pêndulos Voltamos agora nossa atenção para uma classe de osciladores harmônicos simples nos quais a força de retorno está associada à gravitação e não às propriedades elásticas de um fio torcido ou de uma mola alongada ou comprimida O Pêndulo Simples Se uma maçã é posta para balançar na extremidade de um fio longo ela descreve um movimento harmônico simples Caso a resposta seja afirmativa qual é o período T do movimento Para responder a essas perguntas considere um pêndulo simples composto por uma partícula de massa m chamada de peso do pêndulo suspensa por um fio inextensível de massa desprezível e comprimento L como na Fig 1511a O peso está livre para oscilar no plano do papel para a esquerda e para a direita de uma reta vertical que passa pelo ponto de suspensão do fio O Torque Restaurador As forças que agem sobre o peso são a tração exercida pelo fio e a força gravitacional g como mostra a Fig 1511b na qual o fio faz um ângulo θ com a vertical Decompomos g em uma componente radial Fg cos θ e uma componente Fg sen θ que é tangente à trajetória do peso A componente tangencial produz um torque restaurador em relação ao ponto de suspensão do pêndulo porque sempre age no sentido oposto ao do deslocamento do peso tendendo a leválo de volta ao ponto central O ponto central θ 0 é chamado de posição de equilíbrio porque o pêndulo ficaria parado nesse ponto se não estivesse oscilando De acordo com a Eq 1041 τ rF o torque restaurador pode ser escrito na forma em que o sinal negativo indica que o torque age no sentido de reduzir o valor de θ e L é o braço de alavanca da componente Fg sen θ da força gravitacional em relação ao ponto de suspensão do pêndulo Substituindo a Eq 1524 na Eq 1044 τ Iα e substituindo o módulo de g por mg obtemos em que I é o momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto de suspensão e α é a aceleração angular do pêndulo em relação a esse ponto Podemos simplificar a Eq 1525 supondo que o ângulo θ é pequeno pois nesse caso podemos substituir sen θ por θ expresso em radianos Por exemplo se θ 500 00873 rad sen θ 00872 uma diferença de apenas 01 Usando essa aproximação e explicitando α obtemos A Eq 1526 é o equivalente angular da Eq 158 a relação característica do MHS Ela mostra que a aceleração angular α do pêndulo é proporcional ao deslocamento angular θ com o sinal oposto Assim quando o peso do pêndulo se move para a direita como na Fig 1511a a aceleração para a esquerda aumenta até o peso parar e começar a se mover para a esquerda Quando o peso está à esquerda da posição de equilíbrio a aceleração para a direita tende a fazêlo voltar para a direita e assim por diante o que produz um MHS Mais precisamente o movimento de um pêndulo simples no qual o ângulo máximo de deslocamento é pequeno pode ser aproximado por um MHS Podemos expressar essa restrição de outra forma A amplitude angular um do movimento deve ser pequena Figura 1511 a Um pêndulo simples b As forças que agem sobre o peso são a força gravitacional g e a tração do fio A componente tangencial Fg sen θ da força gravitacional é a força restauradora que tende a levar o pêndulo de volta à posição central Frequência Angular Podemos usar um artifício engenhoso para obter a frequência angular de um pêndulo simples Como a Eq 1526 tem a mesma forma que a 158 do MHS concluímos que a frequência angular é a raiz quadrada das constantes que multiplicam o deslocamento angular Pode ser que você se depare nos deveres de casa com sistemas oscilatórios que não se parecem com pêndulos Mesmo assim se você puder obter uma equação que relacione a aceleração linear ou angular ao deslocamento linear ou angular poderá obter imediatamente uma expressão para a frequência angular como acabamos de fazer Período Substituindo a expressão de ω na Eq 155 ω 2πT obtemos uma expressão para o período Toda a massa de um pêndulo simples está concentrada na massa m do peso do pêndulo que está a uma distância L do ponto de suspensão Assim podemos usar a Eq 1033 I mr2 para escrever I mL2 como o momento de inércia do pêndulo Substituindo esse valor na Eq 1527 e simplificando obtemos Neste capítulo vamos supor que os ângulos de oscilação do pêndulo são sempre pequenos Figura 1512 Um pêndulo físico O torque restaurador é hFg sen θ Quando θ 0 o centro de massa C está situado diretamente abaixo do ponto de suspensão O O Pêndulo Físico Ao contrário do pêndulo simples um pêndulo real frequentemente chamado de pêndulo físico pode ter uma distribuição complicada de massa Um pêndulo físico também executa um MHS Caso a resposta seja afirmativa qual é o período A Fig 1512 mostra um pêndulo físico arbitrário deslocado de um ângulo θ em relação à posição de equilíbrio Podemos supor que a força gravitacional g age sobre o centro de massa C situado a uma distância h do ponto de suspensão O Comparando as Figs 1512 e 1511b vemos que existe apenas uma diferença importante entre um pêndulo físico arbitrário e um pêndulo simples No caso do pêndulo físico o braço de alavanca da componente restauradora Fg sen θ da força gravitacional é h e não o comprimento L do fio Sob todos os outros aspectos a análise do pêndulo físico é idêntica à análise do pêndulo simples até a Eq 1527 Assim para pequenos valores de um o movimento é aproximadamente um MHS Substituindo L por h na Eq 1527 obtemos uma equação para o período do pêndulo físico Como no pêndulo simples I é o momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto O Embora I não seja mais igual a mL2 pois depende da forma do pêndulo físico ainda é proporcional a m Um pêndulo físico não oscila se o ponto de suspensão for o centro de massa Formalmente isso corresponde a fazer h 0 na Eq 1529 Nesse caso a equação nos dá T o que significa que o pêndulo jamais chega a completar uma oscilação A todo pêndulo físico que oscila com um período T em torno de um ponto de suspensão O corresponde um pêndulo simples de comprimento L0 com o mesmo período T Podemos usar a Eq 1528 para calcular o valor de L0 O ponto do pêndulo físico situado a uma distância L0 do ponto O é chamado de centro de oscilação do pêndulo físico para o ponto de suspensão dado Medida de g Um pêndulo físico pode ser usado para verificar qual é a aceleração de queda livre g em um ponto específico da superfície da Terra Milhares de medidas desse tipo foram feitas como parte de estudos geofísicos Para analisar um caso simples tome o pêndulo como uma barra homogênea de comprimento L suspensa por uma das extremidades Nessa configuração o valor de h da Eq 1529 a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa é L2 De acordo com a Tabela 102e o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular à barra passando pelo centro de massa é Aplicando o teorema dos eixos paralelos da Eq 1036 I ICM Mh2 descobrimos que o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular passando por uma das extremidades da barra é Fazendo h L2 e I mL23 na Eq 1529 e explicitando g obtemos Assim medindo L e o período T podemos determinar o valor de g no local onde se encontra o pêndulo Para medidas de precisão são necessários alguns refinamentos como colocar o pêndulo em uma câmara evacuada Teste 5 Três pêndulos físicos de massas m0 2m0 e 3m0 têm a mesma forma e o mesmo tamanho e estão suspensos pelo mesmo ponto Ordene as massas de acordo com o período de oscilação do pêndulo começando pelo maior Exemplo 1505 Período e comprimento de um pêndulo físico Na Fig 1513a uma régua de um metro oscila suspensa por uma das extremidades que fica a uma distância h do centro de massa da régua a Qual é o período T das oscilações Figura 1513 a Uma régua de um metro suspensa por uma das extremidades para formar um pêndulo físico b Um pêndulo simples cujo comprimento L0 é escolhido para que os períodos dos dois pêndulos sejam iguais O ponto P do pêndulo a é o centro de oscilação IDEIACHAVE Como a massa da régua não está concentrada na extremidade oposta à do ponto de suspensão ela não se comporta como um pêndulo simples e sim como um pêndulo físico Cálculos O período de um pêndulo físico é dado pela Eq 1529 que exige o conhecimento do momento de inércia da régua em relação ao ponto fixo Vamos tratar a régua como uma barra homogênea de comprimento L e massa m Nesse caso de acordo com a Eq 1530 e a distância h da Eq 1529 é L2 Substituindo esses valores na Eq 1529 obtemos Observe que o resultado não depende da massa m do pêndulob Qual é a distância L0 entre o ponto O da régua e o centro de oscilação Cálculos Estamos interessados em determinar o comprimento L0 do pêndulo simples desenhado na Fig 1513b que possui o mesmo período que o pêndulo físico a régua da Fig 1513a Igualando as Eqs 1528 e 1533 obtemos Podemos ver por inspeção que Na Fig 1513a o ponto P está a essa distância do ponto fixo O Assim o ponto P é o centro de oscilação da barra para o ponto de suspensão dado A posição do ponto P seria diferente se a régua estivesse suspensa por outro ponto Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular Uniforme Em 1610 usando o telescópio que acabara de construir Galileu descobriu os quatro maiores satélites de Júpiter Após algumas semanas de observação constatou que os satélites estavam se deslocando de um lado para outro do planeta no que hoje chamaríamos de movimento harmônico simples o ponto médio do movimento coincidia com a posição do planeta O registro das observações de Galileu escrito de próprio punho chegou aos nossos dias A P French do MIT usou os dados colhidos por Galileu para determinar a posição da lua Calisto em relação a Júpiter na verdade a distância angular entre Júpiter e Calisto do ponto de vista da Terra e constatou que os dados seguiam de perto a curva mostrada na Fig 1514 A curva se parece muito com a representação gráfica da Eq 153 que descreve o deslocamento de um objeto que está executando um movimento harmônico simples O período das oscilações mostradas no gráfico é 168 dias mas o que exatamente está oscilando Afinal de contas um satélite não pode estar se deslocando para um lado e para o outro como um bloco preso a uma mola sendo assim por que o movimento observado por Galileu seria descrito pela Eq 153 Na realidade Calisto se move com velocidade praticamente constante em uma órbita quase circular em torno de Júpiter O verdadeiro movimento não é um movimento harmônico simples e sim um movimento circular uniforme O que Galileu viu e que o leitor pode ver com um bom binóculo e um pouco de paciência foi a projeção do movimento circular uniforme em uma reta situada no plano do movimento As notáveis observações de Galileu levam à conclusão de que o movimento harmônico simples é o movimento circular uniforme visto de perfil Em uma linguagem mais formal Figura 1514 O ângulo entre Júpiter e o satélite Calisto do ponto de vista da Terra As observações de Galileu em 1610 podem ser representadas por essa curva que é a mesma do movimento harmônico simples Para a distância média entre Júpiter e a Terra 10 minutos de arco correspondem a cerca de 2 106 km Adaptado de A P French Newtonian Mechanics W W Norton Company New York 1971 p 288 Figura 1515 a Uma partícula de referência P descrevendo um movimento circular uniforme em uma circunferência de raio xm A projeção P da posição da partícula no eixo x executa um movimento harmônico simples b A projeção da velocidade da partícula de referência é a velocidade do MHS c A projeção da aceleração radial da partícula de referência é a aceleração do MHS O movimento harmônico simples é a projeção do movimento circular uniforme em um diâmetro da circunferência ao longo da qual acontece o movimento circular A Fig 1515a mostra um exemplo Uma partícula de referência P executa um movimento circular uniforme com velocidade angular ω constante em uma circunferência de referência O raio xm da circunferência é o módulo do vetor posição da partícula Em um instante t a posição angular da partícula é ωt ϕ em que ϕ é a posição angular no instante t 0 Posição A projeção da partícula P no eixo x é um ponto P que consideramos uma segunda partícula A projeção do vetor posição da partícula P no eixo x fornece a localização xt de P Você está vendo a componente x do triângulo da Fig 155a Assim temos que é exatamente a Eq 153 Nossa conclusão está correta Se a partícula de referência P executa um movimento circular uniforme sua projeção a partícula projetada P executa um movimento harmônico simples em um diâmetro do círculo Velocidade A Fig 1515b mostra a velocidade da partícula de referência De acordo com a Eq 1018 v ωr o módulo do vetor velocidade é ωxm a projeção no eixo x é que é exatamente a Eq 156 O sinal negativo aparece porque a componente da velocidade de P na Fig 1515b aponta para a esquerda no sentido negativo do eixo x O sinal negativo surge naturalmente quando a Eq 1536 é derivada em relação ao tempo Aceleração A Fig 1515c mostra a aceleração radial da partícula de referência De acordo com a Eq 1023 ar ω2r o módulo do vetor aceleração radial é ω2xm sua projeção no eixo x é que é exatamente a Eq 157 Assim tanto para o deslocamento como para a velocidade e para a aceleração a projeção do movimento circular uniforme é de fato um movimento harmônico simples 155 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES AMORTECIDO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1538 Descrever o movimento de um oscilador harmônico simples amortecido e desenhar um gráfico da posição do oscilador em função do tempo 1539 Calcular a posição de um oscilador harmônico simples amortecido em um dado instante de tempo 1540 Determinar a amplitude de um oscilador harmônico simples amortecido em um dado instante de tempo 1541 Calcular a frequência angular de um oscilador harmônico em termos da constante elástica da constante de amortecimento e da massa e calcular o valor aproximado da frequência angular quando a constante de amortecimento é pequena 1542 Conhecer a equação usada para calcular a energia total aproximada de um oscilador harmônico simples amortecido em função do tempo IdeiasChave A energia mecânica E de um oscilador real diminui durante as oscilações porque forças externas como a força de arrasto se opõem às oscilações e convertem progressivamente a energia mecânica em energia térmica Nesse caso dizemos que o oscilador e o movimento do oscilador são amortecidos Se a força de amortecimento é dada por a b em que é a velocidade do oscilador e b é a constante de amortecimento o deslocamento do oscilador é dado por xt xm ebt2m cosωt ϕ em que m é a massa do oscilador e ω a frequência angular do oscilador amortecido é dada por em que k é a constante elástica da mola Se a constante de amortecimento é pequena então ω ω em que ω é a frequência angular do oscilador não amortecido Para pequenos valores de b a energia mecânica E do oscilador é dada por Figura 1516 Um oscilador harmônico simples amortecido ideal Uma placa imersa em um líquido exerce uma força de amortecimento sobre o bloco enquanto o bloco oscila paralelamente ao eixo x Movimento Harmônico Simples Amortecido Um pêndulo oscila apenas por pouco tempo debaixo dágua porque a água exerce sobre ele uma força de arrasto que elimina rapidamente o movimento Um pêndulo oscilando no ar funciona melhor mas ainda assim o movimento ocorre durante um tempo limitado porque o ar exerce uma força de arrasto sobre o pêndulo e uma força de atrito age no ponto de sustentação roubando energia do movimento do pêndulo Quando o movimento de um oscilador é reduzido por uma força externa dizemos que o oscilador e o movimento do oscilador são amortecidos Um exemplo idealizado de um oscilador amortecido é mostrado na Fig 1516 na qual um bloco de massa m oscila verticalmente preso a uma mola de constante elástica k Uma barra liga o bloco a uma placa horizontal imersa em um líquido Vamos supor que a barra e a placa têm massa desprezível Quando a placa se move para cima e para baixo o líquido exerce uma força de arrasto sobre ela e portanto sobre todo o sistema A energia mecânica do sistema blocomola diminui com o tempo à medida que a energia mecânica é convertida em energia térmica do líquido e da placa Vamos supor que o líquido exerce uma força de amortecimento a proporcional à velocidade da placa e do bloco uma hipótese que constitui uma boa aproximação se a placa se move lentamente Nesse caso para componentes paralelas ao eixo x na Fig 1516 temos em que b é uma constante de amortecimento que depende das características tanto da placa como do líquido e tem unidades de quilograma por segundo no SI O sinal negativo indica que a se opõe ao movimento Oscilações Amortecidas A força exercida pela mola sobre o bloco é Fm kx Vamos supor que a força gravitacional a que o bloco está submetido é desprezível em comparação com Fa e Fm A aplicação da segunda lei de Newton às componentes paralelas ao eixo x Fresx max nos dá Figura 1517 A função deslocamento xt do oscilador amortecido da Fig 1516 A amplitude que é dada por xm ebt2m diminui exponencialmente com o tempo Substituindo v por dxdt a por d2xdt2 e reagrupando os termos obtemos a equação diferencial cuja solução é em que xm é a amplitude e ω é a frequência angular do oscilador amortecido A frequência angular é dada por Se b 0 na ausência de amortecimento a Eq 1543 se reduz à Eq 1512 para a frequência angular de um oscilador não amortecido e a Eq 1542 se reduz à Eq 153 para o deslocamento de um oscilador não amortecido Se a constante de amortecimento é pequena mas diferente de zero de modo que então ω ω Efeito do Amortecimento sobre a Energia Podemos considerar a Eq 1542 como uma função cosseno cuja amplitude dada por xmebt2m diminui gradualmente com o tempo como mostra a Fig 1517 Para um oscilador não amortecido a energia mecânica é constante e é dada pela Eq 1521 Se o oscilador é amortecido a energia mecânica não é constante e diminui com o tempo Se o amortecimento é pequeno podemos determinar Et substituindo xm na Eq 1521 por xmebt2m a amplitude das oscilações amortecidas Fazendo isso obtemos a equação segundo a qual a energia mecânica como a amplitude diminui exponencialmente com o tempo Teste 6 A tabela mostra três conjuntos de valores para a constante elástica a constante de amortecimento e a massa do oscilador amortecido da Fig 1516 Ordene os conjuntos de acordo com o tempo necessário para que a energia mecânica se reduza a um quarto do valor inicial em ordem decrescente Conjunto 1 2k0 b0 m0 Conjunto 2 k0 6b0 4m0 Conjunto 3 3k0 3b0 m0 Exemplo 1506 Tempo de decaimento da amplitude e da energia de um oscilador harmônico amortecido Os valores dos parâmetros do oscilador amortecido da Fig 1516 são m 250 g k 85 Nm e b 70 gs a Qual é o período das oscilações IDEIACHAVE Como 46 kgs o período é aproximadamente o de um oscilador não amortecido Cálculo De acordo com a Eq 1513 temos b Qual é o tempo necessário para que a amplitude das oscilações amortecidas se reduza à metade do valor inicial IDEIACHAVE De acordo com a Eq 1542 a amplitude em um instante t qualquer é dada por xmet2m Cálculos A amplitude é xm no instante t 0 assim devemos encontrar o valor de t para o qual Cancelando xm e tomando o logaritmo natural da equação restante temos ln12 do lado direito e lnebt2m bt2m do lado esquerdo Assim Como T 034 s isso corresponde a cerca de 15 períodos de oscilação c Quanto tempo é necessário para que a energia mecânica se reduza a metade do valor inicial IDEIACHAVE De acordo com a Eq 1544 a energia mecânica no instante t é Cálculo A energia mecânica é no instante t 0 assim devemos encontrar o valor de t para o qual Dividindo ambos os membros da equação por e explicitando t como no item anterior obtemos Este valor é exatamente a metade do tempo calculado no item b ou cerca de 75 períodos de oscilação A Fig 1517 foi desenhada para ilustrar este exemplo 156 OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1543 Saber a diferença entre a frequência angular natural ω e a frequência angular forçada ωf 1544 No caso de um oscilador forçado desenhar o gráfico da amplitude das oscilações em função da razão ωfω entre a frequência angular forçada e a frequência angular natural localizar a frequência de ressonância aproximada e indicar o efeito do aumento da constante de amortecimento 1545 Saber que a ressonância acontece quando a frequência angular forçada ωf é igual à frequência angular natural ω IdeiasChave Se uma força externa cuja frequência angular é ωf é aplicada a um sistema cuja frequência angular natural é ω o sistema oscila com uma frequência angular ωf A amplitude vm da velocidade do sistema é máxima quando ωf ω uma situação conhecida como ressonância Nessas condições a amplitude xm das oscilações está próxima do valor máximo Oscilações Forçadas e Ressonância Uma pessoa que se balança em um balanço sem que ninguém a empurre constitui um exemplo de oscilações livres Quando alguém empurra o balanço periodicamente dizse que o balanço está executando oscilações forçadas No caso de um sistema que executa oscilações forçadas existem duas frequências angulares características que são 1 a frequência angular natural ω que é a frequência angular com a qual o sistema oscilaria livremente depois de sofrer uma perturbação brusca de curta duração 2 a frequência angular ωf da força externa que produz as oscilações forçadas Figura 1518 A amplitude do deslocamento xm de um oscilador forçado varia quando a frequência angular ωf da força externa varia As curvas da figura correspondem a três valores diferentes da constante de amortecimento b Podemos usar a Fig 1516 para representar um oscilador harmônico simples forçado ideal se supusermos que a estrutura indicada como suporte rígido se move para cima e para baixo com uma frequência angular variável ωf Um oscilador forçado desse tipo oscila com a frequência angular ωf da força externa e seu deslocamento xt é dado por em que xm é a amplitude das oscilações A amplitude do deslocamento xm é uma função complicada de ω e ωf A amplitude da velocidade vm das oscilações é mais simples de descrever é máxima para uma situação conhecida como ressonância A Eq 1546 expressa também aproximadamente a situação para a qual a amplitude do deslocamento xm é máxima Assim se empurramos um balanço com a frequência angular natural de oscilação as amplitudes do deslocamento e da velocidade atingem valores elevados um fato que as crianças aprendem depressa por tentativa e erro Quando empurramos o balanço com outra frequência angular maior ou menor as amplitudes do deslocamento e da velocidade são menores A Fig 1518 mostra a variação da amplitude do deslocamento de um oscilador com a frequência angular ωf da força externa para três valores do coeficiente de amortecimento b Observe que para os três valores a amplitude é aproximadamente máxima para ωfω 1 a condição de ressonância da Eq 1546 As curvas da Fig 1518 mostram que a um amortecimento menor está associado um pico de ressonância mais alto e mais estreito Exemplos Todas as estruturas mecânicas possuem uma ou mais frequências angulares naturais se a estrutura é submetida a uma força externa cuja frequência angular coincide com uma dessas frequências angulares naturais as oscilações resultantes podem fazer com que a estrutura se rompa Assim por exemplo os projetistas de aeronaves devem se certificar de que nenhuma das frequências angulares naturais com as quais uma asa pode oscilar coincide com a frequência angular dos motores durante o voo Uma asa que vibrasse violentamente para certas velocidades dos motores obviamente tornaria qualquer voo muito perigoso A ressonância parece ter sido uma das causas do desabamento de muitos edifícios na Cidade do México em setembro de 1985 quando um grande terremoto 81 na escala Richter aconteceu na costa oeste do México As ondas sísmicas do terremoto eram provavelmente fracas demais para causar grandes danos quando chegaram à Cidade do México a cerca de 400 km de distância Entretanto a Cidade do México foi em sua maior parte construída no leito de um antigo lago uma região onde o solo ainda é úmido e macio Embora fosse pequena no solo firme a caminho da Cidade do México a amplitude das ondas sísmicas aumentou consideravelmente no solo macio da cidade A amplitude da aceleração das ondas chegou a 02g e a frequência angular se concentrou surpreendentemente em torno de 3 rads Não só o solo oscilou violentamente mas muitos edifícios de altura intermediária tinham frequências de ressonância da ordem de 3 rads A maioria desses edifícios desabou durante os tremores Fig 1519 enquanto edifícios mais baixos com frequência angular de ressonância maior e mais altos com frequência angular de ressonância menor permaneceram de pé Durante um terremoto semelhante ocorrido em 1989 na região de San FranciscoOakland uma oscilação ressonante atingiu parte de uma rodovia fazendo desabar a pista superior sobre a pista inferior Essa parte da rodovia tinha sido construída em um aterro mal compactado John T BarrGetty Images Inc Figura 1519 Em 1985 edifícios de altura intermediária desabaram na Cidade do México por causa de um terremoto que ocorreu longe da cidade Edifícios mais altos e mais baixos permaneceram de pé Revisão e Resumo Frequência A frequência f de um movimento periódico ou oscilatório é o número de oscilações por segundo A unidade de frequência do SI é o hertz Período O período T é o tempo necessário para uma oscilação completa ou ciclo e está relacionado à frequência pela equação Movimento Harmônico Simples No movimento harmônico simples MHS o deslocamento xt de uma partícula a partir da posição de equilíbrio é descrito pela equação em que xm é a amplitude do deslocamento ωt ϕ é a fase do movimento e ϕ é a constante de fase A frequência angular ω está relacionada ao período e à frequência do movimento pela equação Derivando a Eq 153 chegase às equações da velocidade e da aceleração de uma partícula em MHS em função do tempo e Na Eq 156 a grandeza positiva ωxm é a amplitude da velocidade do movimento vm Na Eq 157 a grandeza positiva ω2xm é a amplitude da aceleração do movimento am O Oscilador Linear Uma partícula de massa m que se move sob a influência de uma força restauradora dada pela lei de Hooke F kx executa um movimento harmônico simples no qual e Um sistema desse tipo é chamado de oscilador harmônico linear simples Energia Uma partícula em movimento harmônico simples possui em qualquer instante uma energia cinética e uma energia potencial Se não há atrito a energia mecânica E K U permanece constante mesmo que K e U variem Pêndulos Entre os dispositivos que executam um movimento harmônico simples estão o pêndulo de torção da Fig 159 o pêndulo simples da Fig 1511 e o pêndulo físico da Fig 1512 Os períodos de oscilação para pequenas oscilações são respectivamente Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular Uniforme O movimento harmônico simples é a projeção do movimento circular uniforme em um diâmetro da circunferência na qual ocorre o movimento circular uniforme A Fig 1515 mostra que as projeções de todos os parâmetros do movimento circular posição velocidade e aceleração fornecem os valores correspondentes dos parâmetros do movimento harmônico simples Movimento Harmônico Amortecido A energia mecânica E de sistemas oscilatórios reais diminui durante as oscilações porque forças externas como a força de arrasto inibem as oscilações e transformam energia mecânica em energia térmica Nesse caso dizemos que o oscilador real e seu movimento são amortecidos Se a força de amortecimento é dada por a b em que é a velocidade do oscilador e b é uma constante de amortecimento o deslocamento do oscilador é dado por em que ω a frequência angular do oscilador amortecido é dada por Se a constante de amortecimento é pequena então ω ω em que ω é a frequência angular do oscilador não amortecido Para pequenos valores de b a energia mecânica E do oscilador é dada por Oscilações Forçadas e Ressonância Se uma força externa de frequência angular ωf age sobre um sistema oscilatório de frequência angular natural ω o sistema oscila com frequência angular ωf A amplitude da velocidade vm do sistema é máxima para uma situação conhecida como ressonância A amplitude xm do sistema é aproximadamente máxima na mesma situação Perguntas 1 Qual dos seguintes intervalos se aplica ao ângulo ϕ do MHS da Fig 1520a a π ϕ π2 b π ϕ 3π2 c 3π2 ϕ 2π 2 A velocidade vt de uma partícula que executa um MHS é mostrada no gráfico da Fig 1520b A partícula está momentaneamente em repouso está se deslocando em direção a xm ou está se deslocando em direção a xm a no ponto A do gráfico e b no ponto B do gráfico A partícula está em xm em xm em 0 entre xm e 0 ou entre 0 e xm quando sua velocidade é representada c pelo ponto A e d pelo ponto B A velocidade da partícula está aumentando ou diminuindo e no ponto A e f no ponto B Figura 1520 Perguntas 1 e 2 3 O gráfico da Fig 1521 mostra a aceleração at de uma partícula que executa um MHS a Qual dos pontos indicados corresponde à partícula na posição xm b No ponto 4 a velocidade da partícula é positiva negativa ou nula c No ponto 5 a partícula está em xm em xm em 0 entre xm e 0 ou entre 0 e xm Figura 1521 Pergunta 3 4 Qual das seguintes relações entrea aceleração a e o deslocamento x de uma partícula corresponde a um MHS a a 05x b a 400x2 c a 20x d a 3x2 5 Você deve completar a Fig 1522a desenhando o eixo vertical para que a curva seja o gráfico da velocidade v em função do tempo t do oscilador blocomola cuja posição no instante t 0 é a que aparece na Fig 1522b a Em qual dos pontos indicados por letras na Fig 1522a ou em que intervalo entre os pontos indicados por letras o eixo v vertical deve interceptar o eixo t Por exemplo o eixo vertical deve interceptar o eixo t no ponto t A ou talvez no intervalo A t B b Se a velocidade do bloco é dada por v vm senωt ϕ qual é o valor de ϕ Suponha que ϕ seja positivo e se não puder especificar um valor como π2 rad especifique um intervalo como 0 ϕ π2 Figura 1522 Pergunta 5 6 Você deve completar a Fig 1523a desenhando o eixo vertical para que a curva seja o gráfico da aceleração a em função do tempo t do oscilador blocomola cuja posição no instante t 0 é a que aparece na Fig 1523b a Em qual dos pontos indicados por letras na Fig 1523a ou em que intervalo entre os pontos indicados por letras o eixo a vertical deve interceptar o eixo t Por exemplo o eixo vertical deve interceptar o eixo t no ponto t A ou talvez no intervalo A t B b Se a aceleração do bloco é dada por a am senωt ϕ qual é o valor de ϕ Suponha que ϕ seja positivo e se não puder especificar um valor como π2 rad especifique um intervalo como 0 ϕ π2 Figura 1523 Pergunta 6 7 A Fig 1524 mostra as curvas xt obtidas em três experimentos fazendo um sistema blocomola realizar um MHS Ordene as curvas de acordo a com a frequência angular do sistema b com a energia potencial da mola no instante t 0 c com a energia cinética do bloco no instante t 0 d com a velocidade do bloco no instante t 0 e e com a energia cinética máxima do bloco em ordem decrescente Figura 1524 Pergunta 7 8 A Fig 1525 mostra os gráficos da energia cinética K em função da posição x para três osciladores harmônicos que têm a mesma massa Ordene os gráficos de acordo a com a constante elástica e b com o período do oscilador em ordem decrescente Figura 1525 Pergunta 8 9 A Fig 1526 mostra três pêndulos físicos formados por esferas homogêneas iguais rigidamente ligadas por barras iguais de massa desprezível Os pêndulos são verticais e podem oscilar em torno do ponto de suspensão O Ordene os pêndulos de acordo com o período das oscilações em ordem decrescente Figura 1526 Pergunta 9 10 Você deve construir o dispositivo de transferência de oscilações mostrado na Fig 1527 Ele é composto por dois sistemas blocomola pendurados em uma barra flexível Quando a mola do sistema 1 é alongada e depois liberada o MHS do sistema 1 de frequência f1 faz a barra oscilar A barra exerce uma força sobre o sistema 2 com a mesma frequência f1 Você pode escolher entre quatro molas com constantes elásticas k de 1600 1500 1400 e 1200 Nm e entre quatro blocos com massas m de 800 500 400 e 200 kg Determine mentalmente que mola deve ser ligada a que bloco nos dois sistemas para maximizar a amplitude das oscilações do sistema 2 Figura 1527 Pergunta 10 11 Na Fig 1528 um sistema blocomola é colocado em MHS em dois experimentos No primeiro o bloco é puxado até sofrer um deslocamento d1 em relação à posição de equilíbrio e depois liberado No segundo é puxado até sofrer um deslocamento maior d2 e depois liberado a A amplitude b o período c a frequência d a energia cinética máxima e e a energia potencial máxima do movimento no segundo experimento é maior menor ou igual à do primeiro experimento Figura 1528 Pergunta 11 12 A Fig 1529 mostra para três situações os deslocamentos xt de um par de osciladores harmônicos simples A e B que são iguais em tudo exceto na fase Para cada par qual é o deslocamento de fase necessário em radianos e em graus para fazer a curva A coincidir com a curva B Das várias respostas possíveis escolha o deslocamento com o menor valor absoluto Figura 1529 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 151 Movimento Harmônico Simples 1 Um objeto que executa um movimento harmônico simples leva 025 s para se deslocar de um ponto de velocidade nula para o ponto seguinte do mesmo tipo A distância entre os pontos é 36 cm Calcule a o período b a frequência e c a amplitude do movimento 2 Um corpo de 012 kg executa um movimento harmônico simples de amplitude 85 cm e período 020 s a Qual é o módulo da força máxima que age sobre o corpo b Se as oscilações são produzidas por uma mola qual é a constante elástica da mola 3 Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 220 cm e uma frequência de 660 Hz 4 Do ponto de vista das oscilações verticais um automóvel pode ser considerado como estando apoiado em quatro molas iguais Suponha que as molas de um carro sejam ajustadas de tal forma que as oscilações tenham uma frequência de 300 Hz a Qual é a constante elástica de cada mola se a massa do carro é 1450 kg e está igualmente distribuída pelas molas b Qual é a frequência de oscilação se cinco passageiros pesando em média 730 kg entram no carro e a distribuição de massa é uniforme 5 Em um barbeador elétrico a lâmina se move para a frente e para trás percorrendo uma distância de 20 mm em um movimento harmônico simples com uma frequência de 120 Hz Determine a a amplitude b a velocidade máxima da lâmina e c o módulo da aceleração máxima da lâmina 6 Uma partícula com massa de 100 1020 kg executa um movimento harmônico simples com um período de 100 105 s e uma velocidade máxima de 100 103 ms Calcule a a frequência angular e b o deslocamento máximo da partícula 7 Um altofalante produz um som musical por meio das oscilações de um diafragma cuja amplitude é limitada a 100 μm a Para que frequência o módulo a da aceleração do diafragma é igual a g b Para frequências maiores a é maior ou menor que g 8 Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função posição xt aparece na Fig 1530 se a função posição é da forma x xm cosωt ϕ A escala do eixo vertical é definida por xs 60 cm Figura 1530 Problema 8 9 A função x 60 m cos3π radst π3 rad descreve o movimento harmônico simples de um corpo No instante t 20 s determine a o deslocamento b a velocidade c a aceleração e d a fase do movimento e Qual é a frequência e f qual o período do movimento 10 Um sistema oscilatório blocomola leva 075 s para repetir o movimento Determine a o período b a frequência em hertz e c a frequência angular em radianos por segundo do movimento 11 Na Fig 1531 duas molas iguais de constante elástica 7580 Nm estão ligadas a um bloco de massa 0245 kg Qual é a frequência de oscilação no piso sem atrito Figura 1531 Problemas 11 e 21 12 Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função velocidade vt está representada graficamente na Fig 1532 se a função posição xt é da forma x xm cosωt ϕ A escala do eixo vertical é definida por vs 40 cms Figura 1532 Problema 12 13 Um oscilador é formado por um bloco com uma massa de 0500 kg ligado a uma mola Quando é posto em oscilação com uma amplitude de 350 cm o oscilador repete o movimento a cada 0500 s Determine a o período b a frequência c a frequência angular d a constante elástica e a velocidade máxima e f o módulo da força máxima que a mola exerce sobre o bloco 14 Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa 200 kg preso a uma mola de constante elástica 100 Nm Em t 100 s a posição e a velocidade do bloco são x 0129 m e v 3415 ms a Qual é a amplitude das oscilações b Qual era a posição e c qual era a velocidade do bloco em t 0 s 15 Duas partículas oscilam em um movimento harmônico simples ao longo de um segmento retilíneo comum de comprimento A As duas partículas têm um período de 15 s mas existe uma diferença de fase de π6 rad entre os movimentos a Qual é a distância entre as partículas em termos de A 050 s após a partícula atrasada passar por uma das extremidades da trajetória b Nesse instante as partículas estão se movendo no mesmo sentido estão se aproximando uma da outra ou estão se afastando uma da outra 16 Duas partículas executam movimentos harmônicos simples de mesma amplitude e frequência ao longo de retas paralelas próximas Elas passam uma pela outra movendose em sentidos opostos toda vez que o deslocamento é metade da amplitude Qual é a diferença de fase entre as partículas 17 Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola k 400 Nm Em um dado instante t a posição medida a partir da posição de equilíbrio do sistema a velocidade e a aceleração do bloco são x 0100 m v 136 ms e a 123 ms2 Calcule a a frequência das oscilações b a massa do bloco e c a amplitude do movimento 18 Em um ancoradouro as marés fazem com que a superfície do oceano suba e desça uma distância d do nível mais alto ao nível mais baixo em um movimento harmônico simples com um período de 125 h Quanto tempo é necessário para que a água desça uma distância de 0250d a partir do nível mais alto 19 Um bloco está apoiado em um êmbolo que se move verticalmente em um movimento harmônico simples a Se o MHS tem um período de 10 s para qual valor da amplitude do movimento o bloco e o êmbolo se separam b Se o êmbolo se move com uma amplitude de 50 cm qual é a maior frequência para a qual o bloco e o êmbolo permanecem continuamente em contato 20 A Fig 1533a é um gráfico parcial da função posição xt de um oscilador harmônico simples com uma frequência angular de 120 rads a Fig 1533b é um gráfico parcial da função velocidade vt correspondente As escalas dos eixos verticais são definidas por xs 50 cm e vs 50 cms Qual é a constante de fase do MHS se a função posição xt é dada na forma x xm cosωt ϕ Figura 1533 Problema 20 21 Na Fig 1531 duas molas estão presas a um bloco que pode oscilar em um piso sem atrito Se a mola da esquerda é removida o bloco oscila com uma frequência de 30 Hz Se a mola da direita é removida o bloco oscila com uma frequência de 45 Hz Com que frequência o bloco oscila se as duas molas estão presentes 22 A Fig 1534 mostra o bloco 1 de massa 0200 kg deslizando para a direita em uma superfície elevada a uma velocidade de 800 ms O bloco sofre uma colisão elástica com o bloco 2 inicialmente em repouso que está preso a uma mola de constante elástica 12085 Nm Suponha que a mola não afete a colisão Após a colisão o bloco 2 inicia um MHS com um período de 0140 s e o bloco 1 desliza para fora da extremidade oposta da superfície elevada indo cair a uma distância horizontal d dessa superfície depois de descer uma distância h 490 m Qual é o valor de d Figura 1534 Problema 22 23 Um bloco está em uma superfície horizontal uma mesa oscilante que se move horizontalmente para a frente e para trás em um movimento harmônico simples com uma frequência de 20 Hz O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície é 050 Qual o maior valor possível da amplitude do MHS para que o bloco não deslize pela superfície 24 Na Fig 1535 duas molas são ligadas entre si e a um bloco de massa 0245 kg que oscila em um piso sem atrito As duas molas possuem uma constante elástica k 6430Nm Qual é a frequência das oscilações Figura 1535 Problema 24 25 Na Fig 1536 um bloco com 140 N de peso que pode deslizar sem atrito em um plano inclinado de ângulo θ 400 está ligado ao alto do plano inclinado por uma mola de massa desprezível de 0450 m de comprimento quando relaxada cuja constante elástica é 120 Nm a A que distância do alto do plano inclinado fica o ponto de equilíbrio do bloco b Se o bloco é puxado ligeiramente para baixo ao longo do plano inclinado e depois liberado qual é o período das oscilações resultantes Figura 1536 Problema 25 26 Na Fig 1537 dois blocos m 18 kg e M 10 kg e uma mola k 200 Nm estão dispostos em uma superfície horizontal sem atrito O coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 040 Que amplitude do movimento harmônico simples do sistema blocosmola faz com que o bloco menor fique na iminência de deslizar Figura 1537 Problema 26 Módulo 152 A Energia do Movimento Harmônico Simples 27 Quando o deslocamento em um MHS é metade da amplitude xm que fração da energia total é a energia cinética e b energia potencial c Para que deslocamento como fração da amplitude a energia do sistema é metade energia cinética e metade energia potencial 28 A Fig 1538 mostra o poço de energia potencial unidimensional no qual está uma partícula de 20 kg a função Ux é da forma bx2 e a escala do eixo vertical é definida por Us 20 J a Se a partícula passa pela posição de equilíbrio com uma velocidade de 85 cms ela retorna antes de chegar ao ponto x 15 cm b Caso a resposta seja afirmativa calcule a posição do ponto de retorno caso a resposta seja negativa calcule a velocidade da partícula no ponto x 15 cm Figura 1538 Problema 28 29 Determine a energia mecânica de um sistema blocomola com uma constante elástica de 13 Ncm e uma amplitude de oscilação de 24 cm 30 Um sistema oscilatório blocomola possui uma energia mecânica de 100 J uma amplitude de 100 cm e uma velocidade máxima de 120 ms Determine a a constante elástica b a massa do bloco e c a frequência de oscilação 31 Um objeto de 500 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com k 1000 Nm O objeto é deslocado horizontalmente 500 cm a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 100 ms na direção da posição de equilíbrio Determine a a frequência do movimento b a energia potencial inicial do sistema massamola c a energia cinética inicial e d a amplitude do movimento 32 A Fig 1539 mostra a energia cinética K de um oscilador harmônico simples em função da posição x A escala vertical é definida por Ks 40 J Qual é a constante elástica Figura 1539 Problema 32 33 Um bloco de massa M 54 kg em repouso em uma mesa horizontal sem atrito estáliga do a um suporte rígido por uma mola de constante elástica k 6000 Nm Uma bala de massa m 95 g e velocidade de módulo 630 ms se choca com o bloco Fig 1540 e fica alojada no bloco depois do choque Supondo que a compressão da mola é desprezívelat é a bala se alojar no bloco determine a a velocidade do bloco imediatamente após a colisão e b a amplitude do movimento harmônico simples resultante Figura 1540 Problema 33 34 Na Fig 1541 o bloco 2 com massa de 20 kg oscila na extremidade de uma mola executando um MHS com um período de 20 ms A posição do bloco é dada por x 10 cm cosωt π2 O bloco 1 de massa 40 kg desliza em direção ao bloco 2 com uma velocidade de módulo 60 ms Os dois blocos sofrem uma colisão perfeitamente inelástica no instante t 50 ms A duração do choque é muito menor que o período do movimento Qual é a amplitude do MHS após o choque Figura 1541 Problema 34 35 Uma partícula de 10 g executa um MHS com uma amplitude de 20 mm uma aceleração máxima de módulo 80 103 ms2 e uma constante de fase desconhecida ϕ Determine a o período do movimento b a velocidade máxima da partícula e c a energia mecânica total do oscilador Qual é o módulo da força que age sobre a partícula no ponto no qual d o deslocamento é máximo e O deslocamento é metade do deslocamento máximo 36 Se o ângulo de fase de um sistema blocomola que executa um MHS é π6 rad e a posição do bloco é dada por x xm cosωt ϕ qual é a razão entre a energia cinética e a energia potencial no instante t 0 37 Uma mola de massa desprezível está pendurada no teto com um pequeno objeto preso à extremidade inferior O objeto é inicialmente mantido em repouso em uma posição yi tal que a mola se encontra no estado relaxado Em seguida o objeto é liberado e passa a oscilar para cima e para baixo com a posição mais baixa 10 cm abaixo de yi a Qual é a frequência das oscilações b Qual é a velocidade do objeto quando se encontra 80 cm abaixo da posição inicial c Um objeto de massa 300 g é preso ao primeiro objeto após o que o sistema passa a oscilar com metade da frequência original Qual é a massa do primeiro objeto d A que distância abaixo de yi está a nova posição de equilíbrio repouso com os dois objetos presos à mola Módulo 153 O Oscilador Harmônico Angular Simples 38 Uma esfera maciça com massa de 95 kg e raio de 15 cm está suspensa por um fio vertical Um torque de 020 N m é necessário para fazer a esfera girar 085 rad e ficar em repouso com a nova orientação Qual é o período das oscilações quando a esfera é liberada 39 O balanço de um relógio antigo oscila com uma amplitude angular de π rad e um período de 0500 s Determine a a velocidade angular máxima do balanço b a velocidade angular no instante em que o deslocamento é π2 rad e c o módulo da aceleração angular no instante em que o deslocamento é π4 rad Módulo 154 Pêndulos e Movimento Circular 40 Um pêndulo físico é formado por uma régua de um metro cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito na régua a uma distância d da marca de 50 cm O período de oscilação é 25 s Determine o valor de d 41 Na Fig 1542 o pêndulo é formado por um disco uniforme de raio r 100 cm e 500 g de massa preso a uma barra homogênea de comprimento L 500 mm e 270 g de massa a Calcule o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão b Qual é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo c Calcule o período das oscilações Figura 1542 Problema 41 42 Suponha que um pêndulo simples seja formado por um pequeno peso de 600 g pendurado na extremidade de uma corda de massa desprezível Se o ângulo θ entre a corda e a vertical é dado por ϕ 00800 rad cos443 radst ϕ qual é a o comprimento da corda e b qual a energia cinética máxima do peso 43 a Se o pêndulo físico do Exemplo 1505 for invertido e pendurado pelo ponto P qual será o período das oscilações b O período será maior menor ou igual ao valor anterior 44 Um pêndulo físico é formado por duas réguas de um metro de comprimento unidas da forma indicada na Fig 1543 Qual é o período de oscilação do pêndulo em torno de um pino que passa pelo ponto A situado no centro da régua horizontal Figura 1543 Problema 44 45 Uma artista de circo sentada em um trapézio está se balançando com um período de 885 s Quando ela fica em pé elevando assim de 350 cm o centro de massa do sistema trapézio trapezista qual é o novo período do sistema Trate o sistema trapézio trapezista como um pêndulo simples 46 No Exemplo 1505 vimos que em um pêndulo físico em forma de régua o centro de oscilação está a uma distância 2L3 do ponto de suspensão Mostre que a distância entre o ponto de suspensão e o centro de oscilação para um pêndulo de qualquer formato é Imh em que I é o momento de inércia m é a massa e h é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo 47 Na Fig 1544 um pêndulo físico é formado por um disco uniforme de raio R 235 cm sustentado em um plano vertical por um pino situado a uma distância d 175 cm do centro do disco O disco é deslocado de um pequeno ângulo e liberado Qual é o período do movimento harmônico simples resultante Figura 1544 Problema 47 48 Um bloco retangular com faces de largura a 35 cm e comprimento b 45 cm é suspenso por uma barra fina que passa por um pequeno furo no interior do bloco e colocado para oscilar como um pêndulo com uma amplitude suficientemente pequena para que se trate de um MHS A Fig 1545 mostra uma possível posição do furo a uma distância r do centro do bloco na reta que liga o centro a um dos vértices a Plote o período do pêndulo em função da distância r de modo que o mínimo da curva fique evidente b O mínimo acontece para que valor de r Na realidade existe um lugar geométrico em torno do centro do bloco para o qual o período de oscilação possui o mesmo valor mínimo c Qual é a forma desse lugar geométrico Figura 1545 Problema 48 49 O ângulo do pêndulo da Fig 1511b é dado por θ θm cos444 radst ϕ Se em t 0 θ 0040 rad e dθdt 0200 rads qual é a a constante de fase ϕ e b qual é o ângulo máximo θm Atenção Não confunda a taxa de variação de θ dθdt com a frequência angular ω do MHS 50 Uma barra fina homogênea com massa de 050 kg oscila em torno de um eixo que passa por uma das extremidades da barra e é perpendicular ao plano de oscilação A barra oscila com um período de 15 s e uma amplitude angular de 10 a Qual é o comprimento da barra b Qual é a energia cinética máxima da barra 51 Na Fig 1546 uma barra de comprimento L 185 m oscila como um pêndulo físico a Que valor da distância x entre o centro de massa da barra e o ponto de suspensão O corresponde ao menor período b Qual é esse período Figura 1546 Problema 51 52 O cubo de 300 kg da Fig1547 tem d 600 cm de aresta e está montado em um eixo que passa pelo centro Uma mola k 1200 Nm liga o vértice superior do cubo a uma parede rígida Inicialmente a mola está relaxada Se o cubo é girado de 3 e liberado qual é o período do MHS resultante Figura 1547 Problema 52 53 Na vista superior da Fig 1548 uma barra longa homogênea com 0600 kg de massa está livre para girar em um plano horizontal em torno de um eixo vertical que passa pelo centro Uma mola de constante elástica k 1850 Nm é ligada horizontalmente entre uma das extremidades da barra e uma parede fixa Quando está em equilíbrio a barra fica paralela à parede Qual é o período das pequenas oscilações que acontecem quando a barra é girada ligeiramente e depois liberada Figura 1548 Problema 53 54 Na Fig 1549a uma placa de metal está montada em um eixo que passa pelo centro de massa Uma mola com k 2000 Nm está ligada a uma parede e a um ponto da borda da placa a uma distância r 25 cm do centro de massa Inicialmente a mola está relaxada Se a placa é girada de 7 e liberada ela oscila em torno do eixo em um MHS com a posição angular dada pela Fig 1549b A escala do eixo horizontal é definida por ts 20 ms Qual é o momento de inércia da placa em relação ao centro de massa Figura 1549 Problema 54 55 Um pêndulo é formado suspendendo por um ponto uma barra longa e fina Em uma série de experimentos o período é medido em função da distância x entre o ponto de suspensão e o centro da barra a Se o comprimento da barra é L 220 m e a massa é m 221 g qual é o menor período b Se x é escolhido de modo a minimizar o período e L é aumentado o período aumenta diminui ou permanece o mesmo c Se em vez disso m é aumentada com L mantido constante o período aumenta diminui ou permanece o mesmo 56 Na Fig 1550 um disco de 250 kg com D 420 cm de diâmetro está preso a uma das extremidades de uma barra de comprimento L 760 cm e massa desprezível que está suspensa pela outra extremidade a Com a mola de torção de massa desprezível desconectada qual é o período de oscilação b Com a mola de torção conectada a barra fica em equilíbrio na vertical Qual é a constante de torção da mola se o período de oscilação diminui de 0500 s com a mola de torção conectada Figura 1550 Problema 56 Módulo 155 Movimento Harmônico Simples Amortecido 57 A amplitude de um oscilador fracamente amortecido diminui de 30 a cada ciclo Que porcentagem da energia mecânica do oscilador é perdida em cada ciclo 58 Em um oscilador amortecido como o da Fig 1516 com m 250 g k 85 Nm e b 70 gs qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos 59 Em um oscilador amortecido como o da Fig 1516 o bloco possui uma massa de 150 kg e a constante elástica é 800 Nm A força de amortecimento é dada por bdxdt em que b 230 gs O bloco é puxado 120 cm para baixo e liberado a Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilações resultantes diminua para um terço do valor inicial b Quantas oscilações o bloco realiza nesse intervalo de tempo 60 O sistema de suspensão de um automóvel de 2000 kg cede 10 cm quando o chassi é colocado no lugar Além disso a amplitude das oscilações diminui de 50 a cada ciclo Estime o valor a da constante elástica k e b da constante de amortecimento b do sistema molaamortecedor de uma das rodas supondo que cada roda sustenta 500 kg Módulo 156 Oscilações Forçadas e Ressonância 61 Suponha que na Eq 1545 a amplitude xm seja dada por em que Fm é a amplitude constante da força alternada externa exercida sobre a mola pelo suporte rígido da Fig 1516 Qual é na ressonância a a amplitude do movimento e b qual é a amplitude da velocidade do bloco 62 São pendurados em uma viga horizontal nove pêndulos com os seguintes comprimentos a 010 b 030 c 040 d 080 e 12 f 28 g 35 h 50 i 62 m A viga sofre oscilações horizontais com frequências angulares no intervalo de 200 rads a 400 rads Quais dos pêndulos entram fortemente em oscilação 63 Um carro de 1000 kg com quatro ocupantes de 82 kg viaja em uma estrada de terra com costelas separadas por uma distância média de 40 m O carro trepida com amplitude máxima quando está a 16 kmh Quando o carro para e os ocupantes saltam de quanto aumenta a altura do carro Problemas Adicionais 64 Embora seja conhecido pelos terremotos o estado da Califórnia possui vastas regiões com rochas precariamente equilibradas que tombariam mesmo quando submetidas a um fraco tremor de terra As rochas permaneceram na mesma posição por milhares de anos o que sugere que grandes terremotos não ocorreram recentemente nessas regiões Se um terremoto submetesse uma dessas rochas a uma oscilação senoidal paralela ao solo com uma frequência de 22 Hz uma amplitude de oscilação de 10 cm faria a rocha tombar Qual seria o módulo da aceleração máxima da oscilação em termos de g 65 O diafragma de um altofalante está oscilando em um movimento harmônico simples com uma frequência de 440 Hz e um deslocamento máximo de 075 mm Determine a a frequência angular b a velocidade máxima e c o módulo da aceleração máxima 66 Uma mola homogênea com k 8600 Nm é cortada em dois pedaços 1 e 2 cujos comprimentos no estado relaxado são L1 70 cm e L2 10 cm Qual é o valor a de k1 e b de k2 Um bloco preso na mola original como na Fig 157 oscila com uma frequência de 200 Hz Qual será a frequência de oscilação se o bloco for preso c no pedaço 1 e d no pedaço 2 67 Na Fig 1551 três vagonetes de minério de 10000 kg são mantidos em repouso nos trilhos de uma mina por um cabo paralelo aos trilhos que possuem uma inclinação θ 30 em relação à horizontal O cabo sofre um alongamento de 15 cm imediatamente antes de o engate entre os dois vagonetes de baixo se romper liberando um deles Supondo que o cabo obedece à lei de Hooke determine a a frequência e b a amplitude das oscilações dos dois vagonetes que restam Figura 1551 Problema 67 68 Um bloco de 200 kg está pendurado em uma mola Quando um corpo de 300 g é pendurado no bloco a mola sofre um alongamento adicional de 200 cm a Qual é a constante elástica da mola b Determine o período do movimento se o corpo de 300 g for removido e o bloco for posto para oscilar 69 O êmbolo de uma locomotiva tem um curso o dobro da amplitude de 076 m Se o êmbolo executa um movimento harmônico simples com uma frequência angular de 180 revmin qual é sua velocidade máxima 70 Uma roda de bicicleta pode girar livremente em torno do eixo que é mantido fixo Uma mola está presa a um dos raios a uma distância r do eixo como mostra a Fig 1552 a Usando como modelo para a roda um anel delgado de massa m e raio R qual é a frequência angular ω para pequenas oscilações do sistema em termos de m R r e da constante elástica k Qual é o valor de ω para b r R e c r 0 Figura 1552 Problema 70 71 Uma pedra de 500 g está oscilando na extremidade inferior de uma mola vertical Se a maior velocidade da pedra é 150 cms e o período é 0500 s determine a a constante elástica da mola b a amplitude do movimento e c a frequência de oscilação 72 Um disco circular homogêneo de R 126 cm está suspenso por um ponto da borda para formar um pêndulo físico a Qual é o período do pêndulo b A que distância do centro r R existe um ponto de suspensão para o qual o período é o mesmo 73 Uma mola vertical sofre um alongamento de 96 cm quando um bloco de 13 kg é pendurado na extremidade a Calcule a constante elástica O bloco é deslocado de mais 50 cm para baixo e liberado a partir do repouso Determine b o período c a frequência d a amplitude e e a velocidade máxima do MHS resultante 74 Uma mola de massa desprezível e constante elástica 19 Nm está pendurada verticalmente Um corpo de massa 020 kg é preso na extremidade livre da mola e liberado Suponha que a mola estava relaxada antes de o corpo ser liberado Determine a a distância que o corpo atinge abaixo da posição inicial b a frequência e c a amplitude do MHS resultante 75 Um bloco de 400 kg está suspenso por uma mola com k 500 Nm Um bala de 500 g é disparada verticalmente contra o bloco de baixo para cima com uma velocidade de 150 ms e fica alojada no bloco a Determine a amplitude do MHS resultante b Que porcentagem da energia cinética original da bala é transferida para a energia mecânica do oscilador 76 Um bloco de 550 g oscila em um MHS na extremidade de uma mola com k 1500 Nm de acordo com a equação x xmcosωt ϕ Quanto tempo o bloco leva para se deslocar da posição 0800xm para a posição a 0600xm e b 0800xm 77 A Fig 1553 mostra a posição de um bloco de 20 g oscilando em um MHS na extremidade de uma mola A escala do eixo horizontal é definida por ts 400 ms a Qual é a energia cinética máxima do bloco e b qual o número de vezes por segundo que a energia cinética máxima é atingida Sugestão Medir a inclinação de uma curva pode levar a valores pouco precisos Tente encontrar um método melhor Figura 1553 Problemas 77 e 78 78 A Fig 1553 mostra a posição xt de um bloco que oscila em um MHS na extremidade de uma mola ts 400 ms a Qual é a velocidade e b qual é o módulo da aceleração radial de uma partícula no movimento circular uniforme correspondente 79 A Fig 1554 mostra a energia cinética K de um pêndulo simples em função do ângulo θ com a vertical A escala do eixo vertical é definida por Ks 100 mJ O peso do pêndulo tem massa de 0200 kg Qual é o comprimento do pêndulo Figura 1554 Problema 79 80 Um bloco está em MHS na extremidade de uma mola com a posição dada por x xm cosωt ϕ Se ϕ π5 rad que porcentagem da energia mecânica total é energia potencial no instante t 0 81 Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de 050 kg preso a uma mola O bloco oscila em linha reta de um lado para outro em uma superfície sem atrito com o ponto de equilíbrio em x 0 No instante t 0 o bloco está em x 0 e se move no sentido positivo de xA Fig 1555 mostra o módulo da força aplicada em função da posição do bloco A escala vertical é definida por Fs 750 N Determine a a amplitude do movimento b o período do movimento c o módulo da aceleração máxima e d a energia cinética máxima Figura 1555 Problema 81 82 Um pêndulo simples com 20 cm de comprimento e 50 g de massa está suspenso em um carro de corrida que se move a uma velocidade constante de 70 ms descrevendo uma circunferência com 50 m de raio Se o pêndulo sofre pequenas oscilações na direção radial em torno da posição de equilíbrio qual é a frequência das oscilações 83 A escala de uma balança de mola que pode medir de 0 a 150 kg tem 120 cm de comprimento Um pacote colocado na balança oscila verticalmente com uma frequência de 200 Hz a Qual é a constante elástica da mola b Qual é o peso do pacote 84 Um bloco de 010 kg oscila em linha reta em uma superfície horizontal sem atrito O deslocamento em relação à origem é dado por x 10 cm cos10 radst π2 rad a Qual é a frequência de oscilação b Qual é a velocidade máxima do bloco c Para qual valor de x a velocidade é máxima d Qual é o módulo da aceleração máxima do bloco e Para qual valor de x a aceleração é máxima f Que força aplicada ao bloco pela mola produz uma oscilação como essa 85 A extremidade de uma mola oscila com um período de 20 s quando um bloco de massa m está preso à mola Quando a massa é aumentada de 20 kg o período do movimento passa a ser 30 s Determine o valor de m 86 A ponta de um diapasão executa um MHS com uma frequência de 1000 Hz e uma amplitude de 040 mm Para essa ponta qual é o módulo a da aceleração máxima b da velocidade máxima c da aceleração quando o deslocamento é 020 mm e d da velocidade quando o deslocamento é 020 mm 87 Um disco plano circular homogêneo com massa de 300 kg e raio de 700 cm está suspenso em um plano horizontal por um fio vertical preso ao centro Se o disco sofre uma rotação de 250 rad em torno do fio é necessário um torque de 00600 Nm para manter essa orientação Calcule a o momento de inércia do disco em relação ao fio b a constante de torção e c a frequência angular desse pêndulo de torção quando é posto para oscilar 88 Um bloco com 20 N de peso oscila na extremidade de uma mola vertical com uma constante elástica k 100 Nm a outra extremidade da mola está presa a um teto Em um dado instante a mola está esticada 030 m além do comprimento relaxado o comprimento quando nenhum objeto está preso à mola e a velocidade do bloco é zero a Qual é a força a que o bloco está submetido nesse instante Qual é b a amplitude e c qual o período do movimento harmônico simples d Qual é a energia cinética máxima do bloco 89 Uma partícula de 30 kg está realizando um movimento harmônico simples em uma dimensão e se move de acordo com a equação x 50 m cosπ3 radst π4 rad com t em segundos a Para qual valor de x a energia potencial da partícula é igual à metade da energia total b Quanto tempo a partícula leva para se mover até a posição do item a a partir da posição de equilíbrio 90 Uma partícula executa um MHS linear com uma frequência de 025 Hz em torno do ponto x 0 Em t 0 o deslocamento da partícula é x 037 cm e a velocidade é v 0 Determine os seguintes parâmetros do MHS a período b frequência angular c amplitude d deslocamento xt e velocidade vt f velocidade máxima g módulo da aceleração máxima h deslocamento em t 30 s e i velocidade em t 30 s 91 Qual é a frequência de um pêndulo simples de 20 m de comprimento a em uma sala b em um elevador acelerando para cima a 20 ms2 e c em queda livre 92 O pêndulo de um relógio é formado por um disco fino de latão de raio r 1500 cm e 1000 kg de massa preso a uma barra longa e fina de massa desprezível O pêndulo oscila livremente em torno de um eixo perpendicular à barra que passa pela extremidade oposta à do disco como mostra a Fig 1556 Se o pêndulo deve ter um período de 2000 s para pequenas oscilações num local em que g 9800 ms2 qual deve ser o comprimento L da haste com precisão de décimos de milímetro Figura 1556 Problema 92 93 Um bloco de 400 kg pendurado em uma mola produz um alongamento de 160 cm em relação à posição relaxada a Qual é a constante elástica da mola b O bloco é removido e um corpo de 0500 kg é pendurado na mesma mola Se a mola é alongada e liberada qual é o período de oscilação 94 Qual é a constante de fase do oscilador harmônico simples cuja função aceleração at aparece na Fig 1557 se a função posição xt é da forma x xm cosωt ϕ e as 40 ms2 Figura 1557 Problema 94 95 Um engenheiro possui um objeto de 10 kg de forma irregular e precisa conhecer o momento de inércia do objeto em relação a um eixo que passa pelo centro de massa O objeto é suspenso por um fio com uma constante de torção k 050 N m de tal forma que o ponto de suspensão está alinhado com o centro de massa Se esse pêndulo de torção sofre 20 oscilações completas em 50 s qual é o momento de inércia do objeto em relação ao eixo escolhido 96 Uma aranha fica sabendo que a teia capturou um inseto uma mosca por exemplo porque os movimentos do inseto fazem oscilar os fios da teia A aranha pode avaliar até mesmo o tamanho do inseto pela frequência das oscilações Suponha que um inseto oscile no fio de captura como um bloco preso a uma mola Qual é a razão entre a frequência de oscilação de um inseto de massa m e a frequência de oscilação de um inseto de massa 25m 97 Um pêndulo de torção é formado por um disco de metal com um fio soldado no centro O fio é montado verticalmente e esticado A Fig 1558a mostra o módulo τ do torque necessário para fazer o disco girar em torno do centro torcendo o fio em função do ângulo de rotação θ A escala do eixo vertical é definida por ts 40 103 N m O disco é girado até θ 0200 rad e depois liberado A Fig 1558b mostra a oscilação resultante em termos da posição angular θ em função do tempo t A escala do eixo horizontal é definida por ts 040 s a Qual é o momento de inércia do disco em relação ao centro b Qual é a velocidade angular máxima dθdt do disco Atenção Não confunda a frequência angular constante do MHS e a velocidade angular variável do disco que normalmente são representadas pelo mesmo símbolo ω Sugestão A energia potencial U do pêndulo de torção é igual a uma expressão análoga à da energia potencial de uma mola Figura 1558 Problema 97 98 Quando uma lata de 20 N é pendurada na extremidade inferior de uma mola vertical a mola sofre um alongamento de 20 cm a Qual é a constante elástica da mola b A mesma mola é colocada horizontalmente em uma mesa sem atrito Uma das extremidades é mantida fixa e a outra é presa a uma lata de 50 N A lata é deslocada esticando a mola e liberada a partir do repouso Qual é o período das oscilações 99 Determine a amplitude angular θm das oscilações de um pêndulo simples para a qual a diferença entre o torque restaurador necessário para o movimento harmônico simples e o torque restaurador verdadeiro é igual a 10 Sugestão Veja Expansões Trigonométricas no Apêndice E 100 Na Fig 1559 um cilindro maciço preso a uma mola horizontal k 300 Nm rola sem deslizar em uma superfície horizontal Se o sistema é liberado a partir do repouso quando a mola está distendida de 0250 m determine a a energia cinética de translação e b a energia cinética de rotação do cilindro ao passar pela posição de equilíbrio c Mostre que nessas condições o centro de massa do cilindro executa um movimento harmônico simples de período em que M é a massa do cilindro Sugestão Calcule a derivada da energia mecânica total em relação ao tempo Figura 1559 Problema 100 101 Um bloco de 12 kg que desliza em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola horizontal com k 480 Nm Seja x o deslocamento do bloco a partir da posição na qual a mola se encontra relaxada No instante t 0 o bloco passa pelo ponto x 0 com uma velocidade de 52 ms no sentido positivo de x a Qual é a frequência e b qual a amplitude do movimento do bloco c Escreva uma expressão para o deslocamento x em função do tempo 102 Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de 080 kg preso a uma mola k 200 Nm O bloco desliza em uma superfície horizontal sem atrito em torno da posição de equilíbrio x 0 com uma energia mecânica total de 40 J a Qual é a amplitude das oscilações b Quantas oscilações o bloco completa em 10 s c Qual é a energia cinética máxima do bloco d Qual é a velocidade do bloco em x 015 m 103 Um bloco que desliza em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola horizontal de constante elástica k 600 Nm O bloco executa um MHS em torno da posição de equilíbrio com um período de 040 s e uma amplitude de 020 m Quando o bloco está passando pela posição de equilíbrio uma bola de massa de modelar de 050 kg é deixada cair verticalmente no bloco Se a massa fica grudada no bloco determine a o novo período do movimento e b a nova amplitude do movimento 104 Um oscilador harmônico amortecido é formado por um bloco m 200 kg uma mola k 100 Nm e uma força de amortecimento F bv Inicialmente o bloco oscila com uma amplitude de 250 cm devido ao amortecimento a amplitude cai a três quartos do valor inicial após quatro oscilações completas a Qual é o valor de b b Qual é a energia perdida durante as quatro oscilações 105 Um bloco com 100 N de peso está preso à extremidade inferior de uma mola vertical k 2000 Nm A outra extremidade da mola está presa a um teto O bloco oscila verticalmente e possui uma energia cinética de 200 J ao passar pelo ponto no qual a mola está relaxada a Qual é o período de oscilação b Use a lei de conservação da energia para determinar os maiores deslocamentos do bloco acima e abaixo do ponto no qual a mola fica relaxada Os dois valores não são necessariamente iguais c Qual é a amplitude de oscilação d Qual é a energia cinética máxima do bloco 106 Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco preso a uma mola com k 200 Nm O bloco desliza em uma superfície sem atrito com o ponto de equilíbrio em x 0 e uma amplitude de 020 m O gráfico da velocidade v do bloco em função do tempo t aparece na Fig 1560 A escala do eixo horizontal é definida por ts 020 s Determine a o período do MHS b a massa do bloco c o deslocamento do bloco no instante t 0 d a aceleração do bloco no instante t 010 s e e a energia cinética máxima do bloco Figura 1560 Problema 106 107 As frequências de vibração dos átomos nos sólidos em temperaturas moderadas são da ordem de 1013 Hz Imagine que os átomos estão ligados uns aos outros por molas Suponha que um átomo de prata em um sólido vibre com essa frequência e que todos os outros átomos estejam em repouso Calcule a constante elástica efetiva Um mol 602 1023 átomos de prata tem massa de 108 g 108 A Fig 1561 mostra que se pendurarmos um bloco na extremidade de uma mola de constante elástica k a mola sofrerá um alongamento h 20 cm Se puxarmos o bloco ligeiramente para baixo a partir da posição de equilíbrio e depois o liberarmos ele oscilará com certa frequência Qual deve ser o comprimento de um pêndulo simples para que oscile com a mesma frequência Figura 1561 Problema 108 109 O pêndulo físico da Fig 1562 tem dois pontos de suspensão possíveis A e B O ponto A é fixo mas o ponto B pode ser deslocado para várias posições indicadas na figura por uma escala graduada Quando o pêndulo é suspenso pelo ponto A o período é T 180 s O pêndulo é suspenso pelo ponto B e a posição do ponto B é ajustada para que o período seja também de 180 s Qual é a distância L entre os pontos A e B Figura 1562 Problema 109 110 Um brinquedo muito apreciado pelas crianças pequenas é o balanço elástico um assento sustentado por cordas elásticas Fig 1563 Suponha que exista apenas uma corda em cada lado a despeito do arranjo mais realista mostrado na figura Quando uma criança é colocada no assento as cordas descem uma distância ds trateas como se fossem molas Em seguida o assento é puxado para baixo de uma distância adicional dm e liberado o que faz a criança oscilar verticalmente como um bloco na extremidade de uma mola Suponha que você seja um engenheiro de segurança da empresa que fabrica o brinquedo Você não quer que o módulo da aceleração da criança ultrapasse 020g para que a criança não fique com torcicolo Se dm 10 cm que valor de ds corresponde a esse módulo da aceleração Figura 1563 Problema 110 111 Um bloco de 20 kg executa um MHS preso a uma mola horizontal de constante elástica k 200 Nm A velocidade máxima do bloco enquanto desliza em uma superfície horizontal sem atrito é 30 ms Determine a a amplitude do movimento do bloco b o módulo da aceleração máxima e c o módulo da aceleração mínima d Quanto tempo o bloco leva para completar 70 ciclos do movimento 112 Na Fig 1564 uma bola de demolição de 2500 kg balança na ponta de um guindasteO comprimento do segmento de cabo que se move com a bola é 17 m aDetermine o período do balanço supondo que o sistema pode ser tratado como um pêndulo simples b O período depende da massa da bola Figura 1564 Problema 112 113 O centro de oscilação de um pêndulo físico possui a seguinte propriedade interessante Se um impulso horizontal e no plano de oscilação é aplicado ao centro de oscilação nenhuma oscilação é sentida no ponto de apoio Os jogadores de beisebol e os jogadores de muitos outros esportes sabem que a menos que a bola se choque com o bastão nesse ponto chamado de ponto doce pelos atletas as oscilações produzidas pelo impacto serão transmitidas às mãos Para demonstrar essa propriedade use a régua da Fig 1513a como modelo de um bastão de beisebol Suponha que uma força horizontal devido ao impacto da bola age para a direita em P o centro de oscilação O batedor segura o bastão em O o ponto de sustentação da régua a Que aceleração a força imprime ao ponto O b Que aceleração angular é produzida por em relação ao centro de massa da régua c Como resultado da aceleração angular calculada no item b qual é a aceleração linear do ponto O d Considerando os módulos e orientações das acelerações calculadas nos itens a e c convençase de que o ponto P é de fato um ponto doce 114 Uma atiradeira gigante hipotética sofre um alongamento de 230 m para lançar um projétil de 170 g com velocidade suficiente 112 kms para escapar da atração gravitacional da Terra Suponha que o material elástico usado na atiradeira obedeça à lei de Hooke a Qual é a constante elástica do material se toda a energia potencial elástica é convertida em energia cinética b Suponha que uma pessoa comum seja capaz de exercer uma força de 490 N Quantas pessoas seriam necessárias para lançar o projétil 115 Qual é o comprimento de um pêndulo simples no qual o peso leva 32 s para descrever uma oscilação completa 116 Um bloco de 20 kg é preso a uma das extremidades de uma mola com uma constante elástica de 350 Nm e forçado a oscilar por uma força F 15 N senωdt em que ωd 35 rads A constante de amortecimento é b 15 kgs Em t 0 o bloco está em repouso com a mola relaxada a Use integração numérica para plotar o deslocamento do bloco durante o primeiro 10 s Use o movimento perto do final do intervalo de 10 s para estimar a amplitude o período e a frequência angular Repita os cálculos para b e c ωd 20 rads CAPÍTULO 16 Ondas I 161 ONDAS TRANSVERSAIS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1601 Conhecer os três tipos principais de ondas 1602 Saber qual é a diferença entre ondas transversais e ondas longitudinais 1603 Dada a função deslocamento de uma onda transversal determinar a amplitude ym o número de onda k a frequência angular ω a constante de fase ϕ e o sentido de propagação além de calcular a fase kx ωt ϕ e o deslocamento para qualquer valor da posição e do tempo 1604 Dada a função deslocamento de uma onda transversal calcular o intervalo de tempo entre dois deslocamentos conhecidos 1605 Desenhar um gráfico de uma onda transversal em uma corda em função da posição indicando a amplitude do deslocamento ym o comprimento de onda l os pontos em que a taxa de variação da amplitude é máxima os pontos em que a taxa de variação da amplitude é zero e os pontos em que a velocidade dos elementos da corda é positiva negativa e nula 1606 Dado um gráfico do deslocamento de uma onda transversal em função do tempo determinar a amplitude ym e o período T 1607 Descrever o efeito de uma variação da constante de fase ϕ sobre uma onda transversal 1608 Conhecer a relação entre a velocidade v de uma onda a distância percorrida pela onda e o tempo necessário para percorrer essa distância 1609 Conhecer a relação entre a velocidade v de uma onda a frequência angular ω o número de onda k o comprimento de onda λ o período T e a frequência f 1610 Descrever o movimento de um elemento da corda em que existe uma onda transversal e saber em que instante a velocidade transversal é zero e em que instante a velocidade transversal é máxima 1611 Calcular a velocidade transversal ut de um elemento de uma corda em que existe uma onda transversal 1612 Calcular a aceleração transversal at de um elemento de uma corda em que existe uma onda transversal 1613 Dado um gráfico do deslocamento da velocidade transversal ou da aceleração transversal de uma onda determinar a constante de fase ϕ IdeiasChave As ondas mecânicas só podem existir em meios materiais e são governadas pelas leis de Newton As ondas mecânicas transversais como as que existem em uma corda esticada são ondas nas quais as partículas do meio oscilam perpendicularmente à direção de propagação da onda As ondas nas quais as partículas do meio oscilam na direção de propagação da onda são chamadas de ondas longitudinais Uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo do eixo x pode ser descrita pela equação yx t ym senkx ωt 1 em que ym é a amplitude deslocamento máximo da onda k é o número de onda ω é a frequência angular e kx ωt é a fase A relação entre número de onda e comprimento de onda é a seguinte A relação entre a frequência angular a frequência e o período é a seguinte A relação entre velocidade v e os outros parâmetros de uma onda é a seguinte Toda função da forma yx t hkx ωt pode representar uma onda progressiva que está se propagando com velocidade v ωk cuja forma é dada pela função h O sinal positivo mostra que a onda está se propagando no sentido negativo do eixo x e o sinal negativo mostra que a onda está se propagando no sentido positivo do eixo x O que É Física As ondas constituem um dos principais campos de estudo da física Para que o leitor tenha uma ideia da importância das ondas no mundo moderno basta considerar a indústria musical Toda música que escutamos de um samba de rua a um sofisticado concerto sinfônico envolve a produção de ondas pelos artistas e a detecção dessas ondas pela plateia Da produção à detecção a informação contida nas ondas pode ser transmitida por diversos meios como no caso de uma apresentação ao vivo pela internet ou gravada e reproduzida por meio de CDs DVDs pen drives e outros dispositivos atualmente em desenvolvimento nos centros de pesquisa A importância econômica do controle de ondas musicais é enorme e a recompensa para os engenheiros que desenvolvem novas técnicas pode ser muito generosa Neste capítulo vamos discutir as ondas que se propagam em meios sólidos como as cordas de um violão O próximo capítulo vai tratar das ondas sonoras como as que são produzidas no ar pelos instrumentos musicais Antes porém vamos definir os tipos básicos em que podem ser divididas as ondas que fazem parte do nosso dia a dia Tipos de Ondas As ondas podem ser de três tipos principais Ondas mecânicas Essas ondas são as mais conhecidas já que estão presentes em toda parte são por exemplo as ondas do mar as ondas sonoras e as ondas sísmicas Todas possuem duas características são governadas pelas leis de Newton e existem apenas em meios materiais como a água o ar e as rochas 2 3 Ondas eletromagnéticas Essas ondas podem ser menos conhecidas mas são muito usadas entre elas estão a luz visível e ultravioleta as ondas de rádio e de televisão as microondas os raios X e as ondas de radar As ondas eletromagnéticas não precisam de um meio material para existir A luz das estrelas por exemplo atravessa o vácuo do espaço para chegar até nós Todas as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com a mesma velocidade c 299792458 ms Ondas de matéria Embora essas ondas sejam estudadas nos laboratórios provavelmente o leitor não está familiarizado com elas Estão associadas a elétrons prótons e outras partículas elementares e mesmo a átomos e moléculas São chamadas de ondas de matéria porque normalmente pensamos nas partículas como elementos de matéria Boa parte do que vamos discutir neste capítulo se aplica a ondas de todos os tipos Os exemplos porém são todos baseados em ondas mecânicas Figura 161 a Produção de um pulso isolado em uma corda Com a passagem do pulso um elemento típico da corda indicado por um ponto se desloca para cima e depois para baixo Como o movimento do elemento é per pendicular à direção de propagação da onda dizemos que o pulso é uma onda transversal b Produção de uma onda senoidal Um ele mento típico da corda se move repetidamente para cima e para baixo Essa também é uma onda transversal Ondas Transversais e Longitudinais Uma onda em uma corda esticada é a mais simples das ondas mecânicas Quando damos uma sacudidela na ponta de uma corda esticada um pulso se propaga ao longo da corda O pulso é formado porque a corda está sob tração Quando puxamos a ponta da corda para cima a ponta puxa para cima a parte vizinha da corda por causa da tração que existe entre as duas partes Quando a parte vizinha se move para cima ela puxa para cima a parte seguinte da corda e assim por diante Enquanto isso puxamos para baixo a extremidade da corda o que faz com que as partes da corda que estão se deslocando para cima sejam puxadas de volta para baixo pelas partes vizinhas que já se encontram em movimento descendente O resultado geral é que a distorção da forma da corda um pulso como na Fig 161a se propaga ao longo da corda com uma velocidade Quando movemos a mão para cima e para baixo continuamente executando um movimento harmônico simples uma onda contínua se propaga ao longo da corda com velocidade Como o movimento da mão é uma função senoidal do tempo a onda tem forma senoidal como na Fig 161b Vamos considerar apenas o caso de uma corda ideal na qual não existem forças de atrito para reduzir a amplitude da onda enquanto está se propagando Além disso vamos supor que a corda é tão comprida que não é preciso considerar o retorno da onda depois de atingir a outra extremidade Figura 162 Uma onda sonora é produzida movendo um êmbolo para a frente e para trás em um tubo com ar Como as oscilações de um elemento de ar representado pelo ponto são paralelas à direção de propagação da onda ela é uma onda longitudinal Um modo de estudar as ondas da Fig 161 é examinar a forma de onda ou seja a forma assumida pela corda em um dado instante Outro modo consiste em observar o movimento de um elemento da corda enquanto oscila para cima e para baixo por causa da passagem da onda Usando o segundo método constatamos que o deslocamento dos elementos da corda é perpendicular à direção de propagação da onda como mostra a Fig 161b Esse movimento é chamado de transversal e dizemos que a onda que se propaga em uma corda é uma onda transversal Ondas Longitudinais A Fig 162 mostra como uma onda sonora pode ser produzida por um êmbolo em um tubo com ar Quando deslocamos o êmbolo bruscamente para a direita e depois para a esquerda produzimos um pulso sonoro que se propaga ao longo do tubo O movimento do êmbolo para a direita empurra as moléculas de ar para a direita aumentando a pressão do ar nessa região O aumento da pressão do ar empurra as moléculas vizinhas para a direita e assim por diante O movimento do êmbolo para a esquerda reduz a pressão do ar nessa região A redução da pressão do ar puxa as moléculas vizinhas para a esquerda e assim por diante O movimento do ar e as variações da pressão do ar se propagam para a direita ao longo do tubo na forma de um pulso Quando deslocamos o êmbolo para a frente e para trás executando um movimento harmônico simples como na Fig 162 uma onda senoidal se propaga ao longo do tubo Como o movimento das moléculas de ar é paralelo à direção de propagação da onda esse movimento é chamado de longitudinal e dizemos que a onda que se propaga no ar é uma onda longitudinal Neste capítulo vamos estudar as ondas transversais principalmente as ondas em cordas no Capítulo 17 vamos estudar as ondas longitudinais principalmente as ondas sonoras Tanto as ondas transversais como as ondas longitudinais são chamadas de ondas progressivas quando se propagam de um lugar a outro como no caso das ondas na corda da Fig 161 e no tubo da Fig 162 Observe que é a onda que se propaga e não o meio material corda ou ar no qual a onda se move Comprimento de Onda e Frequência Para descrever perfeitamente uma onda em uma corda e o movimento de qualquer elemento da corda precisamos de uma função que reproduza a forma da onda Isso significa que necessitamos de uma relação como em que y é o deslocamento transversal de um elemento da corda e h é uma função do tempo t e da posição x do elemento na corda Qualquer forma senoidal como a da onda da Fig 161b pode ser descrita tomando h como uma função seno ou uma função cosseno a forma de onda é a mesma para as duas funções Neste capítulo vamos usar a função seno Função Senoidal Imagine uma onda senoidal como a da Fig 161b se propagando no sentido positivo de um eixo x Quando a onda passa por elementos ou seja por trechos muito pequenos da corda os elementos oscilam paralelamente ao eixo y Em um instante t o deslocamento y do elemento da corda situado na posição x é dado por Como a Eq 162 está escrita em termos de uma posição genérica x e de um tempo genérico t pode ser usada para calcular o deslocamento de todos os elementos da corda em um dado instante e a variação com o tempo do deslocamento de um dado elemento da corda em função do tempo Assim pode nos dizer qual é a forma da onda em um dado instante de tempo e como essa forma varia com o tempo Os nomes das grandezas da Eq 162 são mostrados e definidos na Fig 163 Antes de discutilos porém vamos examinar a Fig 164 que mostra cinco instantâneos de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de um eixo x O movimento da onda está indicado pelo deslocamento para a direita da seta vertical que aponta para um dos picos positivos da onda De instantâneo para instantâneo a seta se move para a direita juntamente com a forma da onda mas a corda se move apenas paralelamente ao eixo y Para confirmar esse fato vamos acompanhar o movimento do elemento da corda em x 0 pintado de vermelho No primeiro instantâneo Fig 164a o elemento está com um deslocamento y 0 No instantâneo seguinte está com o maior deslocamento possível para baixo porque um vale ou máximo negativo da onda está passando pelo elemento Em seguida sobe de novo para y 0 No quarto instantâneo está com o maior deslocamento possível para cima porque um pico ou máximo positivo da onda está passando pelo elemento No quinto instantâneo está novamente em y 0 tendo completado um ciclo de oscilação Figura 163 Nomes das grandezas da Eq 162 para uma onda senoidal transversal Amplitude e Fase A amplitude ym de uma onda como a Fig 164 é o valor absoluto do deslocamento máximo sofrido por um elemento a partir da posição de equilíbrio quando a onda passa por esse elemento O índice m significa máximo Como ym é um valor absoluto é sempre positivo mesmo que em vez de ser medido para cima como na Fig 164a seja medido para baixo A fase da onda é o argumento kx ωt do seno da Eq 162 Em um elemento da corda situado em uma dada posição x a passagem da onda faz a fase variar linearmente com o tempo t Isso significa que o valor do seno também varia oscilando entre 1 e 1 O valor extremo positivo 1 corresponde à passagem de um pico da onda nesse instante o valor de y na posição x é ym O valor extremo negativo 1 corresponde à passagem de um vale da onda nesse instante o valor de y na posição x é ym Assim a função seno e a variação da fase da onda com o tempo correspondem à oscilação de um elemento da corda e a amplitude da onda determina os extremos do deslocamento Atenção Depois de calcular uma fase não convém arredondar o resultado antes de calcular o valor da função seno pois isso pode introduzir um erro significativo no resultado final Figura 164 Cinco instantâneos de uma onda que está se propagando em uma corda no sen tido positivo de um eixo x A amplitude ym está indicada Um comprimento de onda λ típico medido a partir de uma posição arbitrária x1 também está indicado Comprimento de Onda e Número de Onda O comprimento de onda λ de uma onda é a distância medida paralelamente à direção de propagação da onda entre repetições da forma de onda Um comprimento de onda típico está indicado na Fig 164a que é um instantâneo da onda no instante t 0 Nesse instante a Eq 162 nos dá como descrição da forma da onda a função Por definição o deslocamento y é o mesmo nas duas extremidades do comprimento de onda ou seja em x x1 e x x1 λ Assim de acordo com a Eq 163 Uma função seno se repete pela primeira vez quando o ângulo ou argumento aumenta de 2π rad assim na Eq 164 devemos ter kλ 2π ou O parâmetro k é chamado de número de onda a unidade de número de onda do SI é o radiano por metro ou m1 Observe que nesse caso o símbolo k não representa uma constante elástica como em capítulos anteriores Observe que a onda da Fig 164 se move para a direita de λ4 de um instantâneo para o instantâneo seguinte Assim no quinto instantâneo a onda se moveu para a direita de um comprimento de onda λ Figura 165 Gráfico do deslocamento do ele mento da corda situado em x 0 em função do tempo quando a onda senoidal da Fig 164 passa pelo elemento A amplitude ym está indicada Um período T típico medido a partir de um instante de tempo arbitrário t1 também está indicado Período Frequência Angular e Frequência A Fig 165 mostra um gráfico do deslocamento y da Eq 162 em função do tempo t para um ponto da corda o ponto x 0 Observando a corda de perto veríamos que o elemento da corda que está nessa posição se move para cima e para baixo executando um movimento harmônico simples dado pela Eq 162 com x 0 em que fizemos uso do fato de que senα sen α para qualquer valor de α A Fig 165 é um gráfico da Eq 166 a curva não mostra a forma de onda A Fig 164 mostra a forma de onda e é uma imagem da realidade a Fig 165 é um gráfico de uma função do tempo e portanto é uma abstração Definimos o período T de oscilação de uma onda como o tempo que um elemento da corda leva para realizar uma oscilação completa Um período típico está indicado no gráfico da Fig 165 Aplicando a Eq 166 às extremidades desse intervalo de tempo e igualando os resultados obtemos A Eq 167 é satisfeita apenas se ωT 2π o que nos dá O parâmetro ω é chamado de frequência angular da onda a unidade de frequência angular do SI é o radiano por segundo rads Observe novamente os cinco instantâneos de uma onda progressiva mostrados na Fig 164 Como o intervalo de tempo entre os instantâneos é T4 no quinto instantâneo todos os elementos da corda realizaram uma oscilação completa A frequência f de uma onda é definida como 1T e está relacionada à frequência angular ω pela equação Do mesmo modo que a frequência do oscilador harmônico simples do Capítulo 15 a frequência f de uma onda progressiva é o número de oscilações por unidade de tempo neste caso o número de oscilações realizadas por um elemento da corda Como no Capítulo 15 f é medida em hertz ou múltiplos do hertz como por exemplo o quilohertz kHz Teste 1 A figura é a superposição dos instantâneos de três ondas progressivas que se propagam em cordas diferentes As fases das ondas são dadas por a 2x 4t b 4x 8t e c 8x 16t Que fase corresponde a que onda na figura Figura 166 Uma onda progressiva senoidal no instante t 0 com uma constante de fase a ϕ 0 e b ϕ π5 rad Constante de Fase Quando uma onda progressiva senoidal é expressa pela função de onda da Eq 162 a onda nas vizinhanças de x 0 para t 0 tem o aspecto mostrado na Fig 166a Note que em x 0 o deslocamento é y 0 e a inclinação tem o valor máximo positivo Podemos generalizar a Eq 162 introduzindo uma constante de fase ϕ na função de onda O valor de ϕ pode ser escolhido de tal forma que a função forneça outro deslocamento e outra inclinação em x 0 para t 0 Assim por exemplo a escolha de ϕ π5 rad nos dá o deslocamento e a inclinação mostrados na Fig 166b no instante t 0 A onda continua a ser é senoidal com os mesmos valores de ym k e ω mas está deslocada em relação à onda da Fig 166a para a qual ϕ 0 Note também o sentido do deslocamento Um valor positivo de ϕ faz a curva se deslocar no sentido negativo do eixo x um valor negativo de ϕ faz a curva se deslocar no sentido positivo Figura 167 Dois instantâneos da onda da Fig 164 nos instantes t 0 e t Δt Quando a onda se move para a direita com velocidade a curva inteira se desloca de uma distância Δx durante um intervalo de tempo Δt O ponto A viaja com a forma da onda mas os elementos da corda se deslocam apenas para cima e para baixo A Velocidade de uma Onda Progressiva A Fig 167 mostra dois instantâneos da onda da Eq 162 separados por um pequeno intervalo de tempo Δt A onda está se propagando no sentido positivo de x para a direita na Fig 167 com toda a forma de onda se deslocando de uma distância Δx nessa direção durante o intervalo Δt A razão ΔxΔt ou no limite infinitesimal dxdt é a velocidade v da onda Como podemos calcular o valor da velocidade Quando a onda da Fig 167 se move cada ponto da forma de onda como o ponto A assinalado em um dos picos conserva seu deslocamento y Os pontos da corda não conservam seus deslocamentos mas os pontos da forma de onda o fazem Se o ponto A conserva seu deslocamento quando se move a fase da Eq 162 que determina esse deslocamento deve permanecer constante Observe que embora o argumento seja constante tanto x quanto t estão variando Na verdade quando t aumenta x deve aumentar também para que o argumento permaneça constante Isso confirma o fato de que a forma de onda se move no sentido positivo do eixo x Para determinar a velocidade v da onda derivamos a Eq 1611 em relação ao tempo o que nos dá ou Usando a Eq 165 k 2πλ e a Eq 168 ω 2πT podemos escrever a velocidade da onda na forma De acordo com a equação v λT a velocidade da onda é igual a um comprimento de onda por período a onda se desloca de uma distância igual a um comprimento de onda em um período de oscilação A Eq 162 descreve uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo x Podemos obter a equação de uma onda que se propaga no sentido oposto substituindo t por t na Eq 162 Isso corresponde à condição que compare com a Eq 1611 requer que x diminua com o tempo Assim uma onda que se propaga no sentido negativo de x é descrita pela equação Analisando a onda da Eq 1615 como fizemos para a onda da Eq 162 descobrimos que a velocidade é dada por O sinal negativo compare com a Eq 1612 confirma que a onda está se propagando no sentido negativo do eixo x e justifica a troca do sinal da variável tempo Considere agora uma onda de forma arbitrária dada por em que h representa qualquer função sendo a função seno apenas uma das possibilidades Nossa análise anterior mostra que todas as ondas nas quais as variáveis x e t aparecem em uma combinação da forma kx ωt são ondas progressivas Além disso todas as ondas progressivas devem ser da forma da Eq 1617 Assim representa uma possível se bem que fisicamente um pouco estranha onda progressiva A função yx t senax2 bt por outro lado não representa uma onda progressiva Teste 2 São dadas as equações de três ondas yx t 2 sen4x 2t 2 yx t sen3x 4t 3 yx t 2 sen3x 3t Ordene as ondas de acordo a com a velocidade e b com a velocidade máxima na direção perpendicular à direção de propagação da onda velocidade transversal em ordem decrescente Exemplo 1601 Determinação dos parâmetros da equação de uma onda transversal Uma onda transversal que se propaga no eixo x é representada pela equação A Fig 168a mostra o deslocamento dos elementos da corda em função de x no instante t 0 A Fig 168b mostra o deslocamento do elemento situado em x 0 em função do tempo Determine o valor dos parâmetros da Eq 1618 e o sinal algébrico do termo ωt IDEIASCHAVE 1 A Fig 168a é um instantâneo da realidade algo que podemos ver que mostra a posição dos elementos da corda em diversos pontos do eixo x A partir da figura podemos determinar o comprimento de onda λ e a partir do comprimento de onda o número de onda k 2πλ da Eq 1618 2 A Fig 168b é uma abstração pois mostra a variação com o tempo da posição de um elemento da corda A partir da figura podemos determinar o período T do MHS do elemento que é igual ao período da onda A partir de T podemos calcular a frequência angular ω 2πT da Eq 1618 3 A constante de fase ϕ pode ser obtida a partir do deslocamento da corda no ponto x 0 no instante t 0 Amplitude De acordo com as Figs 168a e 168b o deslocamento máximo da corda é 30 mm Assim a amplitude da onda é ym 30 mm Comprimento de onda Na Fig 168a o comprimento de onda λ é a distância ao longo do eixo x entre repetições sucessivas da forma de onda O modo mais fácil de medir λ é medir a distância entre um ponto em que a onda cruza o eixo x e o ponto seguinte em que a onda cruza o eixo x com a mesma inclinação Podemos obter uma estimativa visual da distância usando a escala do eixo x mas um método mais preciso consiste em colocar uma folha de papel sobre o gráfico marcar os pontos de cruzamento arrastar o papel até que um dos pontos coincida com a origem e ler a coordenada do outro ponto usando a escala do gráfico O resultado dessa medição é λ 10 mm De acordo com a Eq 165 temos Figura 168 a Instantâneo do deslocamento y da corda em função da posição x no instante t 0 b Gráfico do deslocamento y em função do tempo para o elemento da corda situado em x 0 Período O período T é o intervalo de tempo entre repetições sucessivas da posição de um elemento da corda Na Fig 168b T é a distância entre um ponto em que a curva cruza o eixo t e o ponto seguinte em que a onda cruza o eixo t com a mesma inclinação Medindo a distância visualmente ou com o auxílio de uma folha de papel descobrimos que T 20 ms De acordo com a Eq 168 temos Sentido de propagação Para determinar o sentido de propagação da onda basta observar as figuras No instantâneo para t 0 da Fig 168a note que se a onda estivesse se propagando para a direita logo depois do instantâneo a amplitude da onda no ponto x 0 deveria aumentar desloque mentalmente a curva para a direita Se por outro lado a curva estivesse se propagando pela esquerda logo depois do instantâneo a amplitude da onda no ponto x 0 deveria diminuir Examinando o gráfico da Fig 168b vemos que logo após o instante t 0 a amplitude da onda diminui A conclusão é que a onda está se propagando para a direita no sentido positivo do eixo x o que significa que o termo ωt da Eq 1618 deve receber o sinal negativo Constante de fase O valor de ϕ pode ser determinado a partir da posição que o elemento situado no ponto x 0 ocupa no instante t 0 As duas figuras mostram que nesse instante o elemento está na posição y 20 mm Fazendo x 0 t 0 y 20 mm e ym 30 mm na Eq 1618 obtemos 20 mm 30 mm sen0 0 ϕ ou Note que esse valor está de acordo com a regra de que em um gráfico de y em função de x uma constante de fase negativa desloca a função seno para a direita que é o que vemos na Fig 168a Equação Agora podemos escrever a Eq 1618 substituindo todos os parâmetros por valores numéricos y 30 mm sen200πx 100πt 073 rad Resposta em que x está em metros e t está em segundos Exemplo 1602 Velocidade transversal e aceleração transversal de um elemento de uma corda Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação yx t 000327 m sen721x 272t em que as constantes numéricas estão em unidades do SI 000327 m 721 radm e 272 rads a Qual é a velocidade transversal u do elemento da corda situado no ponto x 225 cm no instante t 189 s Essa velocidade associada à oscilação transversal de um elemento da corda é uma velocidade na direção y que varia com o tempo e não deve ser confundida com v a velocidade constante com a qual a forma da onda se propaga na direção x IDEIASCHAVE A velocidade transversal u é a taxa de variação com o tempo do deslocamento y de um elemento da corda A expressão geral para o deslocamento é Para um elemento em certa posição x podemos calcular a taxa de variação de y derivando a Eq 1619 em relação a t mantendo x constante Uma derivada calculada enquanto uma ou mais das variáveis é tratada como constante é chamada de derivada parcial e representada pelo símbolo x em vez de ddx Cálculos Temos Substituindo os valores numéricos e levando em conta que todos estão em unidades do SI obtemos Assim em t 189 s o elemento da corda situado em x 225 cm está se movendo no sentido positivo de y com uma velocidade de 720 mms Atenção Na hora de calcular a função cosseno é melhor não arredondar o valor obtido para o argumento pois isso poderia acarretar um erro significativo Experimente por exemplo arredondar o argumento para dois algarismos significativos e verifique qual é o valor obtido para u b Qual é a aceleração transversal ay do mesmo elemento no instante t 189 s IDEIACHAVE A aceleração transversal ay é a taxa com a qual a velocidade transversal do elemento está variando Cálculos De acordo com a Eq 1620 tratando novamente x como uma constante e permitindo que t varie obtemos Substituindo os valores numéricos e levando em conta que todos estão em unidades do SI obtemos De acordo com o resultado do item a o elemento da corda está se movendo no sentido positivo do eixo y no instante t 189 s a velocidade é positiva O resultado do item b mostra que nesse instante a velocidade está diminuindo já que a aceleração é negativa 162 VELOCIDADE DA ONDA EM UMA CORDA ESTICADA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1614 Calcular a massa específica linear μ de uma corda homogênea a partir da massa e do comprimento da corda 1615 No caso de uma onda em uma corda conhecer a relação entre a velocidade da onda v a tração τ da corda e a massa específica linear μ da corda IdeiasChave A velocidade de uma onda em uma corda esticada depende das propriedades da corda e não de propriedades da onda como frequência e amplitude A velocidade de uma onda em uma corda é dada pela equação em que τ é a tração da corda e μ é a massa específica linear da corda Velocidade da Onda em uma Corda Esticada A velocidade de uma onda está relacionada com o comprimento de onda e à frequência pela Eq 1613 mas é determinada pelas propriedades do meio Se uma onda se propaga em um meio como a água o ar o aço ou uma corda esticada a passagem da onda faz com que as partículas do meio oscilem Para que isso aconteça o meio deve possuir massa para que possa haver energia cinética e elasticidade para que possa haver energia potencial São as propriedades de massa e de elasticidade que determinam a velocidade com a qual a onda pode se propagar no meio Assim é possível expressar a velocidade da onda em um meio a partir dessas propriedades Vamos fazer isso agora de duas formas para uma corda esticada Análise Dimensional Na análise dimensional examinamos as dimensões de todas as grandezas físicas que influenciam uma dada situação para determinar as grandezas resultantes Neste caso examinamos a massa e a elasticidade para determinar a velocidade v que tem a dimensão de comprimento dividido por tempo ou LT1 No caso da massa usamos a massa de um elemento da corda que é a massa total m da corda dividida pelo comprimento l Chamamos essa razão de massa específica linear μ da corda Assim μ ml e a dimensão dessa grandeza é massa dividida por comprimento ML1 Não podemos fazer uma onda se propagar em uma corda a menos que a corda esteja sob tração o que significa que foi alongada e mantida alongada por forças aplicadas às extremidades A tração τ da corda é igual ao módulo comum dessas duas forças Uma onda que se propaga ao longo da corda desloca elementos da corda e provoca um alongamento adicional com seções vizinhas da corda exercendo forças umas sobre as outras por causa da tração Assim podemos associar a tração da corda ao alongamento elasticidade da corda A tração e as forças de alongamento que a tração produz possuem a dimensão de força ou seja MLT2 já que F ma Precisamos combinar μ dimensão ML1 e τ dimensão MLT2 para obter v dimensão LT1 O exame de várias combinações possíveis mostra que em que C é uma constante adimensional que não pode ser determinada por análise dimensional Em nosso segundo método para determinar a velocidade da onda vamos ver que a Eq 1622 está correta e que C 1 Figura 169 Um pulso simétrico visto em um referencial no qual o pulso está estacionário e a corda parece se mover da direita para a esquerda com velocidade v Podemos determinar a velocidade v aplicando a segunda lei de Newton a um elemento da corda de comprimento Δl situado no alto do pulso Demonstração Usando a Segunda Lei de Newton Em vez da onda senoidal da Fig 161b vamos considerar um único pulso simétrico como o da Fig 169 propagandose em uma corda da esquerda para a direita com velocidade v Por conveniência escolhemos um referencial no qual o pulso permanece estacionário ou seja nos movemos juntamente com o pulso mantendoo sob observação Nesse referencial a corda parece passar por nós movendose da direita para a esquerda com velocidade v Considere um pequeno elemento da corda de comprimento Δl no centro do pulso que forma um arco de circunferência de raio R e subtende um ângulo 2θ Duas forças cujo módulo é igual à tração da corda puxam tangencialmente esse elemento pelas duas extremidades As componentes horizontais das forças se cancelam mas as componentes verticais se somam para produzir uma força restauradora radial cujo módulo é dado por em que usamos a aproximação sen θ θ para pequenos ângulos Com base na Fig 169 usamos também a relação 2θ ΔlR A massa do elemento é dada por em que μ é a massa específica linear da corda No instante mostrado na Fig 169 o elemento de corda Δl está se movendo em um arco de circunferência Assim o elemento possui uma aceleração centrípeta dada por Do lado direito das Eqs 1623 1624 e 1625 estão os três parâmetros da segunda lei de Newton Combinandoos na forma força massa aceleração obtemos Explicitando a velocidade v temos em perfeita concordância com a Eq 1622 se a constante C nesta equação for igual a 1 A Eq 1626 nos dá a velocidade do pulso da Fig 169 e a velocidade de qualquer outra onda na mesma corda e sob a mesma tração De acordo com a Eq 1626 A velocidade de uma onda em uma corda ideal esticada depende apenas da tração e da massa específica linear da corda A frequência da onda depende apenas da força responsável pela onda por exemplo a força aplicada pela pessoa da Fig 161b O comprimento de onda da onda está relacionado à velocidade e à frequência pela Eq 1613 λ vf Teste 3 Você produz uma onda progressiva em uma corda fazendo oscilar uma das extremidades Se você aumenta a frequência das oscilações a a velocidade e b o comprimento de onda da onda aumentam diminuem ou permanecem iguais Se em vez disso você aumenta a tração na corda c a velocidade e d o comprimento de onda da onda aumentam diminuem ou permanecem iguais 163 ENERGIA E POTÊNCIA DE UMA ONDA PROGRESSIVA EM UMA CORDA Objetivo do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1616 Calcular a taxa média com a qual a energia é transportada por uma onda transversal IdeiaChave A potência média de uma onda senoidal em uma corda esticada taxa com a qual a energia é transportada pela onda é dada por Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda Quando produzimos uma onda em uma corda esticada fornecemos energia para que a corda se mova Quando a onda se afasta de nós ela transporta essa energia como energia cinética e como energia potencial elástica Vamos examinar as duas formas uma de cada vez Energia Cinética Um elemento da corda de massa dm que oscila transversalmente em um movimento harmônico simples produzido por uma onda possui energia cinética associada à velocidade transversal do elemento Quando o elemento está passando pela posição y 0 como o elemento b da Fig 1610 a velocidade transversal e portanto a energia cinética é máxima Quando o elemento está na posição extrema y ym como o elemento a a velocidade transversal e portanto a energia cinética é nula Energia Potencial Elástica Quando um trecho inicialmente reto de uma corda é excitado por uma onda senoidal os elementos da corda sofrem deformações Ao oscilar transversalmente um elemento da corda de comprimento dx aumenta e diminui periodicamente de comprimento para assumir a forma da onda senoidal Como no caso da mola uma energia potencial elástica está associada a essas variações de comprimento Quando o elemento da corda está na posição y ym como o elemento a da Fig 1610 o comprimento é o valor de repouso dx e portanto a energia potencial elástica é nula Por outro lado quando o elemento está passando pela posição y 0 o alongamento é máximo e portanto a energia potencial elástica também é máxima Figura 1610 Instantâneo de uma onda progressiva em uma corda no instante t 0 O elemento a da corda está sofrendo um deslocamento y ym e o elemento b está sofrendo um deslocamento y 0 A energia cinética depende da velocidade transversal do elemento a energia potencial do alongamento Transporte de Energia Os elementos da corda possuem portanto energia cinética máxima e energia potencial máxima em y 0 No instantâneo da Fig 1610 as regiões da corda com deslocamento máximo não possuem energia e as regiões com deslocamento nulo possuem energia máxima Quando a onda se propaga ao longo da corda as forças associadas à tração da corda realizam trabalho continuamente para transferir energia das regiões com energia para as regiões sem energia Suponha que produzimos em uma corda esticada ao longo de um eixo x horizontal uma onda como a da Eq 162 Podemos produzir esse tipo de onda fazendo uma das extremidades da corda oscilar continuamente como na Fig 161b Ao fazer isso fornecemos energia para o movimento e alongamento da corda quando as partes da corda de deslocam perpendicularmente ao eixo x elas adquirem energia cinética e energia potencial elástica Quando a onda passa por partes da corda que estavam anteriormente em repouso a energia é transferida para essas partes Assim dizemos que a onda transporta energia ao longo da corda A Taxa de Transmissão de Energia A energia cinética dK associada a um elemento da corda de massa dm é dada por em que u é a velocidade transversal do elemento da corda Para determinar u derivamos a Eq 162 em relação ao tempo mantendo x constante Usando essa relação e fazendo dm μ dx a Eq 1627 se torna Dividindo a Eq 1629 por dt obtemos a taxa com a qual a energia cinética passa por um elemento da corda e portanto a taxa com a qual a energia cinética é transportada pela onda Como a razão dxdt que aparece do lado direito da Eq 1629 é a velocidade v da onda temos A taxa média com a qual a energia cinética é transportada é Calculamos aqui a média para um número inteiro de comprimentos de onda e usamos o fato de que o valor médio do quadrado de uma função cosseno para um número inteiro de períodos é 12 A energia potencial elástica também é transportada pela onda com a mesma taxa média dada pela Eq 1631 Não vamos apresentar a demonstração mas apenas lembrar que em um sistema oscilatório como um pêndulo ou um sistema blocomola a energia cinética média e a energia potencial média são iguais A potência média que é a taxa média com a qual as duas formas de energia são transmitidas pela onda é portanto ou de acordo com a Eq 1631 Os fatores μ e v da Eq 1633 dependem das características da corda o material de que é feita e da tração a que foi submetida e os fatores ω e ym dependem do processo usado para produzir a onda A proporcionalidade entre a potência média de uma onda e o quadrado da amplitude e o quadrado da frequência angular é um resultado geral válido para ondas de todos os tipos Exemplo 1603 Potência média de uma onda transversal Uma corda tem uma massa específica linear μ 525 gm e está submetida a uma tração τ 45 N Uma onda senoidal de frequência f 120 Hz e amplitude ym 85 mm é produzida na corda A que taxa média a onda transporta energia IDEIACHAVE A taxa média de transporte de energia é a potência média Pméd dada pela Eq 1633 Cálculos Para usar a Eq 1633 precisamos conhecer a frequência angular ω e a velocidade v da onda De acordo com a Eq 16 9 ω 2πf 2π120 Hz 754 rads De acordo com a Eq 1626 temos Nesse caso a Eq 1633 nos dá 164 A EQUAÇÃO DE ONDA Objetivo do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1617 No caso da função que descreve o deslocamento de um elemento de uma corda em função da posição x e do tempo t conhecer a relação entre a derivada segunda da função em relação a x e a derivada segunda em relação a t IdeiaChave A equação diferencial que governa a propagação de todos os tipos de ondas é em que y é a direção de oscilação dos elementos que propagam a onda x é a direção de propagação da onda e v é a velocidade da onda A Equação de Onda Quando uma onda passa por um elemento de uma corda esticada o elemento se move perpendicularmente à direção de propagação da onda estamos falando de uma onda transversal Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento do elemento podemos obter uma equação diferencial geral chamada equação de onda que governa a propagação de ondas de qualquer tipo A Fig 1611a mostra um instantâneo de um elemento de corda de massa dm e comprimento ℓ quando uma onda se propaga em uma corda de massa específica μ que está esticada ao longo de um eixo x horizontal Vamos supor que a amplitude da onda é tão pequena que o elemento sofre apenas uma leve inclinação em relação ao eixo x quando a onda passa A força 2 que age sobre a extremidade direita do elemento possui um módulo igual à tração τ da corda e aponta ligeiramente para cima A força 1 que age sobre a extremidade esquerda do elemento também possui um módulo igual à tração τ mas aponta ligeiramente para baixo Devido à curvatura do elemento a resultante das forças é diferente de zero e produz no elemento uma aceleração ay para cima A aplicação da segunda lei de Newton às componentes y Fresy may nos dá Vamos analisar por partes a Eq 1634 primeiro a massa dm depois a componente ay da aceleração depois as componentes da força F2y e F1y e finalmente a força resultante que aparece do lado esquerdo da Eq 1634 Massa A massa dm do elemento pode ser escrita em termos da massa específica μ da corda e do comprimento ℓ do elemento dm μℓ Como a inclinação do elemento é pequena ℓ dx Fig 1611a e temos aproximadamente Figura 1611 a Um elemento da corda quando uma onda senoidal transversal se propaga em uma corda esticada As forças 1 e 2 agem nas extremidades do elemento produzindo uma aceleração com uma componente vertical ay b A força na extremidade direita do elemento aponta na direção da reta tangente ao elemento nesse ponto Aceleração A aceleração ay da Eq 1634 é a derivada segunda do deslocamento y em relação ao tempo Forças A Fig 1611b mostra que 2 é tangente à corda na extremidade direita do elemento assim podemos relacionar as componentes da força à inclinação S2 da extremidade direita da corda Podemos também relacionar as componentes ao módulo F2 τ ou Entretanto como estamos supondo que a inclinação do elemento é pequena F2y F2x e a Eq 1638 se torna Substituindo na Eq 1637 e explicitando F2y obtemos Uma análise semelhante para a extremidade esquerda do elemento da corda nos dá Força Resultante Podemos agora substituir as Eqs 1635 1636 1640 e 1641 na Eq 1634 para obter ou Como o elemento de corda é curto as inclinações S2 e S1 diferem apenas de um valor infinitesimal dS em que S é a inclinação em qualquer ponto Substituindo S2 S1 na Eq 1642 por dS e usando a Eq 1643 para substituir S por dydx obtemos e Na última passagem mudamos a notação para derivadas parciais porque no lado esquerdo da equação derivamos apenas em relação a x enquanto no lado direito derivamos apenas em relação a t Finalmente usando a Eq 1626 obtemos A Eq 1645 é a equação diferencial geral que governa a propagação de ondas de todos os tipos 165 INTERFERÊNCIA DE ONDAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1618 Usar o princípio de superposição para mostrar que podemos somar duas ondas que se superpõem para obter uma onda resultante 1619 No caso de duas ondas transversais de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda que se superpõem calcular a equação da onda resultante a partir da amplitude das duas ondas e da diferença de fase entre elas 1620 Explicar de que forma a diferença de fase entre duas ondas transversais de mesma amplitude e comprimento de onda pode resultar em uma interferência totalmente construtiva em uma interferência totalmente destrutiva ou em uma interferência intermediária 1621 Com a diferença de fase entre duas ondas expressa em comprimentos de onda determinar rapidamente qual será o tipo de interferência IdeiasChave Quando duas ondas se propagam no mesmo meio o deslocamento de uma partícula do meio é a soma dos deslocamentos produzidos pelas duas ondas um efeito conhecido como superposição de ondas Duas ondas senoidais que se propagam na mesma corda exibem o fenômeno da interferência somando ou cancelando seus efeitos de acordo com o princípio de superposição Se as duas ondas estão se propagando no mesmo sentido e com a mesma amplitude e a mesma frequência e portanto com o mesmo comprimento de onda mas apresentam uma diferença ϕ entre as constantes de fase o resultado é uma onda única com a mesma frequência que pode ser descrita pela equação Se ϕ 0 as ondas estão em fase e a interferência é totalmente construtiva se ϕ π rad as ondas têm fases opostas e a interferência é totalmente destrutiva Figura 1612 Uma série de instantâneos mostrando dois pulsos se propagando em sentidos opostos em uma corda esticada O princípio da superposição se aplica quando os pulsos passam um pelo outro O Princípio da Superposição de Ondas Frequentemente acontece que duas ou mais ondas passam simultaneamente pela mesma região Quando ouvimos um concerto ao vivo por exemplo as ondas sonoras dos vários instrumentos chegam simultaneamente aos nossos ouvidos Os elétrons presentes nas antenas dos receptores de rádio e televisão são colocados em movimento pelo efeito combinado das ondas eletromagnéticas de muitas estações A água de um lago ou de um porto pode ser agitada pela marola produzida por muitas embarcações Suponha que duas ondas se propagam simultaneamente na mesma corda esticada Sejam y1x t e y2x t os deslocamentos que a corda sofreria se cada onda se propagasse sozinha O deslocamento da corda quando as ondas se propagam ao mesmo tempo é a soma algébrica Essa soma de deslocamentos significa que Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir uma onda resultante ou onda total Esse é outro exemplo do princípio de superposição segundo o qual quando vários efeitos ocorrem simultaneamente o efeito total é a soma dos efeitos individuais Devemos ser gratos por isso Se os dois efeitos se afetassem mutuamente o mundo seria muito mais complexo e difícil de analisar A Fig 1612 mostra uma sequência de instantâneos de dois pulsos que se propagam em sentidos opostos na mesma corda esticada Nos pontos em que os pulsos se superpõem o pulso resultante é a soma dos dois pulsos Além disso cada pulso passa pelo outro se ele não existisse Ondas superpostas não se afetam mutuamente Interferência de Ondas Suponha que produzimos duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda e amplitude que se propagam no mesmo sentido em uma corda O princípio da superposição pode ser usado Que forma tem a onda resultante A forma da onda resultante depende da fase relativa das duas ondas Se as ondas estão em fase ou seja se os picos e os vales de uma estão alinhados com os da outra o deslocamento total a cada instante é o dobro do deslocamento que seria produzido por uma das ondas Se as ondas têm fases opostas ou seja se os picos de uma estão alinhados com os vales da outra elas se cancelam mutuamente e o deslocamento é zero a corda permanece parada O fenômeno de combinação de ondas recebe o nome de interferência e dizemos que as ondas interferem entre si O termo se refere apenas aos deslocamentos a propagação das ondas não é afetada Suponha que uma das ondas que se propagam em uma corda é dada por e que outra deslocada em relação à primeira é dada por As duas ondas têm a mesma frequência angular ω e portanto a mesma frequência f o mesmo número de onda k e portanto o mesmo comprimento de onda λ e a mesma amplitude ym Ambas se propagam no sentido positivo do eixo x com a mesma velocidade dada pela Eq 1626 Elas diferem apenas de um ângulo constante ϕ a constante de fase Dizemos que as ondas estão defasadas de ϕ ou que a diferença de fase entre elas é ϕ Segundo o princípio de superposição Eq 1646 a onda resultante é a soma algébrica das duas ondas e tem um deslocamento De acordo com o Apêndice E a soma dos senos de dois ângulos α e β obedece à identidade Aplicando essa relação à Eq 1649 obtemos Como mostra a Fig 1613 a onda resultante também é uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de x Ela é a única onda que se pode ver na corda as ondas dadas pelas Eqs 1647 e 1648 não podem ser vistas Figura 1613 A onda resultante da Eq 1651 produzida pela interferência de duas ondas transversais senoidais é também uma onda transversal senoidal com um fator de amplitude e um fator oscilatório Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e comprimento de onda se propagam no mesmo sentido em uma corda elas interferem para produzir uma onda resultante senoidal que se propaga nesse sentido A onda resultante difere das ondas individuais em dois aspectos 1 a constante de fase é ϕ2 e 2 a amplitude ym é o valor absoluto do fator entre colchetes da Eq 1651 Se ϕ 0 rad ou 0 as duas ondas estão em fase e a Eq 1651 se reduz a As duas ondas aparecem na Fig 1614a e a onda resultante está plotada na Fig 1614d Observe tanto na figura como na Eq 1653 que a amplitude da onda resultante é o dobro da amplitude das ondas individuais Essa é a maior amplitude que a onda resultante pode ter já que o valor máximo do termo em cosseno das Eqs 1651 e 1652 que é 1 acontece para ϕ 0 A interferência que produz a maior amplitude possível é chamada de interferência construtiva Figura 1614 Duas ondas senoidais iguais y1xt e y2xt se propagam em uma corda no sentido positivo de um eixo x Elas interferem para produzir uma onda resultante yxt que é a onda observada na corda A diferença de fase ϕ entre as duas ondas é a 0 rad ou 0º b π rad ou 180º e c 2π3 rad ou 120º As ondas resultantes correspondentes são mostradas em d e e f Se ϕ π rad ou 180 as ondas que interferem estão totalmente defasadas como na Fig 1614b Nesse caso cosϕ2 cosπ2 0 e a amplitude da onda resultante dada pela Eq 1652 é nula Assim para todos os valores de x e t A onda resultante está plotada na Fig 1614e Embora duas ondas estejam se propagando na corda não vemos a corda se mover Esse tipo de interferência é chamado de interferência destrutiva Como a forma de uma onda senoidal se repete a cada 2π rad uma diferença de fase ϕ 2π rad ou 360 corresponde a uma defasagem de uma onda em relação à outra equivalente a um comprimento de onda Assim as diferenças de fase podem ser descritas tanto em termos de ângulos como em termos de comprimentos de onda Por exemplo na Fig 1614b podemos dizer que as ondas estão defasadas de 050 comprimento de onda A Tabela 161 mostra outros exemplos de diferenças de fase e as interferências que elas produzem Quando uma interferência não é nem construtiva nem destrutiva ela é chamada de interferência intermediária Nesse caso a amplitude da onda resultante está entre 0 e 2ym De acordo com a Tabela 161 se as ondas que interferem têm uma diferença de fase de 120 ϕ 2π3 rad 033 comprimento de onda a onda resultante tem uma amplitude ym igual à amplitude de uma das ondas que interferem veja as Figs 1614c e 1614f Duas ondas com o mesmo comprimento de onda estão em fase se a diferença de fase é nula ou igual a um número inteiro de comprimentos de onda a parte inteira de qualquer diferença de fase expressa em comprimentos de onda pode ser descartada Assim por exemplo uma diferença de 040 comprimento de onda uma diferença intermediária mais próxima de uma interferência destrutiva é equivalente a uma diferença de 240 comprimentos de onda e o menor dos dois números pode ser usado nos cálculos Assim observando apenas a parte decimal do número de comprimentos de onda e comparandoa com 0 05 e 10 podemos saber qual é o tipo de interferência entre as duas ondas Tabela 161 Diferenças de Fase e Tipos de Interferência Correspondentesa Diferença de Fase em Graus Radianos Comprimentos de onda Amplitude da Onda Resultante Tipo de Interferência 0 0 0 2ym Construtiva 120 π 033 ym Intermediária 180 π 050 0 Destrutiva 240 π 067 ym Intermediária 360 2π 100 2ym Construtiva 865 151 240 060ym Intermediária aA diferença de fase é entre duas ondas de mesma frequência e mesma amplitude ym que se propagam no mesmo sentido Teste 4 São dadas quatro diferenças de fase possíveis entre duas ondas iguais expressas em comprimentos de onda 020 045 060 e 080 Ordene as ondas de acordo com a amplitude da onda resultante começando pela maior Exemplo 1604 Interferência de duas ondas no mesmo sentido e com a mesma amplitude Duas ondas senoidais iguais propagandose no mesmo sentido em uma corda interferem entre si A amplitude ym das ondas é 98 mm e a diferença de fase ϕ entre elas é 100 a Qual é a amplitude ym da onda resultante e qual é o tipo de interferência IDEIACHAVE Como se trata de ondas senoidais iguais que se propagam no mesmo sentido elas interferem para produzir uma onda progressiva senoidal Cálculos Como as duas ondas são iguais elas têm a mesma amplitude Assim a amplitude ym da onda resultante é dada pela Eq 1652 Podemos dizer que a interferência é intermediária sob dois aspectos a diferença de fase está entre 0 e 180º e a amplitude ym está entre 0 e 2ym 5 196 mm b Que diferença de fase em radianos e em comprimentos de onda faz com que a amplitude da onda resultante seja 49 mm Cálculos Neste caso conhecemos ym e precisamos determinar o valor de ϕ De acordo com a Eq 1652 e portanto o que nos dá usando uma calculadora no modo de radianos Existem duas soluções porque podemos obter a mesma onda resultante supondo que a primeira onda está adiantada à frente ou atrasada atrás em relação à segunda onda A diferença correspondente em comprimentos de onda é 166 FASORES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1622 Usando desenhos explicar de que modo um fasor pode representar as oscilações de um elemento de uma corda produzidas por uma onda 1623 Desenhar um diagrama fasorial para representar duas ondas que se propagam em uma corda indicando a amplitude das ondas e a diferença de fase entre elas 1624 Usar fasores para determinar a onda resultante de duas ondas transversais que se propagam em uma corda calculando a amplitude e a fase e escrevendo a equação da onda resultante e mostrando os três fasores no mesmo diagrama fasorial IdeiaChave Uma onda yx t pode ser representada por um fasor Tratase de um vetor de módulo igual à amplitude ym da onda que gira em torno da origem com uma velocidade angular igual à frequência angular ω da onda A projeção do fasor em um eixo vertical é igual ao deslocamento y de um ponto da corda quando a onda passa pelo ponto Fasores A soma de duas ondas da forma indicada no módulo anterior só pode ser executada se as ondas tiverem a mesma amplitude Caso as ondas tenham o mesmo número de onda a mesma frequência angular e amplitudes diferentes precisamos recorrer a métodos mais gerais Um desses métodos é o uso de fasores para representar as ondas Embora o método possa parecer estranho a princípio tratase simplesmente de uma técnica geométrica que usa as regras de adição de vetores discutidas no Capítulo 3 em lugar de somas complicadas de funções trigonométricas Um fasor é um vetor de módulo igual à amplitude ym da onda que gira em torno da origem com velocidade angular igual à frequência angular ω da onda Assim por exemplo a onda é representada pelo fasor das Figs 1615a a 1615d O módulo do fasor é a amplitude ym1 da onda Quando o fasor gira em torno da origem com frequência angular ω a projeção y1 no eixo vertical varia senoidalmente de um máximo de ym1 a um mínimo de ym1 e de volta a ym1 Essa variação corresponde à variação senoidal do deslocamento y1 de um ponto qualquer da corda quando a onda passa pelo ponto Quando duas ondas se propagam na mesma corda e no mesmo sentido podemos representar as duas ondas e a onda resultante em um diagrama fasorial Os fasores da Fig 1615e representam a onda da Eq 1655 e uma segunda onda dada por A segunda onda está defasada em relação à primeira onda de uma constante de fase ϕ Como os fasores giram com a mesma velocidade angular ω o ângulo entre os dois fasores é sempre ϕ Se ϕ é um número positivo o fasor da onda 2 está atrasado em relação ao fasor da onda 1 como mostra a Fig 1615e Se ϕ é um número negativo o fasor da onda 2 está adiantado em relação ao fasor da onda 1 Como as ondas y1 e y2 têm o mesmo número de onda k e a mesma frequência angular ω sabemos pelas Eqs 1651 e 1652 que a onda resultante é da forma em que ym é a amplitude da onda resultante e β é a constante de fase Para determinar os valores de ym e β temos que somar as duas ondas como fizemos para obter a Eq 1651 Para fazer isso em um diagrama fasorial somamos vetorialmente os dois fasores em qualquer instante da rotação como na Fig 1615f em que o fasor ym2 foi deslocado para a extremidade do fasor ym1 O módulo da soma vetorial é igual à amplitude ym da Eq 1657 O ângulo entre a soma vetorial e o fasor de y1 é igual à constante de fase β da Eq1657 Figura 1615 ad Um fasor de módulo ym1 girando em torno de uma origem com velocidade angular ω representa uma onda senoidal A projeção y1 do fasor no eixo vertical representa o deslocamento de um ponto pelo qual a onda passa e Um segundo fasor também de velocidade angular ω mas de módulo ym2 e girando com um ângulo ϕ constante de diferença em relação ao primeiro fasor representa uma segunda onda com uma constante de fase ϕ f A onda resultante é representada pelo vetor soma dos dois fasores ym Note que ao contrário do que acontece com o método do Módulo 165 Podemos usar fasores para combinar ondas mesmo que as amplitudes sejam diferentes Exemplo 1605 Interferência de duas ondas de amplitudes diferentes Duas ondas senoidais y1x t e y2x t têm o mesmo comprimento de onda e se propagam no mesmo sentido em uma corda As amplitudes são ym1 40 mm e ym2 30 mm e as constantes de fase são 0 e π3 rad respectivamente Quais são a amplitude ym e a constante de fase β da onda resultante Escreva a onda resultante na forma da Eq 1657 IDEIASCHAVE 1 As duas ondas têm algumas propriedades em comum Como se propagam na mesma corda elas têm a mesma velocidade v que de acordo com a Eq 1626 depende apenas da tração e da massa específica linear da corda Como o comprimento de onda λ é o mesmo elas têm o mesmo número de onda k 2πλ Como o número de onda k e a velocidade v são iguais têm a mesma frequência angular ω kv 2 As ondas vamos chamálas de ondas 1 e 2 podem ser representadas por fasores girando com a mesma frequência angular ω em torno da origem Como a constante de fase da onda 2 é maior que a constante de fase da onda 1 em π3 o fasor 2 está atrasado de π3 em relação ao fasor 1 na rotação dos dois vetores no sentido horário como mostra a Fig 1616a A onda resultante da interferência das ondas 1 e 2 pode ser representada por um fasor que é a soma vetorial dos fasores 1 e 2 Cálculos Para simplificar a soma vetorial desenhamos os fasores 1 e 2 na Fig 1616a no instante em que a direção do fasor 1 coincide com a do semieixo horizontal positivo Como o fasor 2 está atrasado de π3 rad ele faz um ângulo positivo de π3 rad com o semieixo horizontal positivo Na Fig 1616b o fasor 2 foi deslocado para que a origem coincida com a extremidade do fasor 1 Podemos desenhar o fasor ym da onda resultante ligando a origem do fasor 1 à extremidade do fasor 2 A constante de fase β é o ângulo que o fasor ym faz com o fasor 1 Para determinar os valores de ym e β podemos somar os fasores 1 e 2 diretamente com o auxílio de uma calculadora somando um vetor de módulo 40 e ângulo 0 com um vetor de módulo 30 e ângulo π3 rad ou somar separadamente as componentes Elas são chamadas de componentes horizontais e verticais representadas pelos índices h e v respectivamente porque os símbolos x e y são reservados para os eixos que representam a direção de propagação e a direção de oscilação No caso das componentes horizontais temos ymh ym1 cos 0 ym2 cos π3 40 mm 30 mm cos π3 550 mm No caso das componentes verticais temos ymv ym1 sen 0 ym2 sen π3 0 30 mm sen π3 260 mm Assim a onda resultante tem uma amplitude e uma constante de fase De acordo com a Fig 1616b a constante de fase β é um ângulo positivo em relação ao fasor 1 Assim a onda resultante está atrasada em relação à onda 1 de um ângulo β 044 rad De acordo com a Eq 1657 podemos escrever a onda resultante na forma Figura 1616 a Dois fasores de módulos ym1 e ym2 com uma diferença de fase de π3 b A soma vetorial dos fasores em qualquer instante é igual ao módulo ym do fasor da onda resultante 167 ONDAS ESTACIONÁRIAS E RESSONÂNCIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1625 No caso de ondas de mesma amplitude e comprimento de onda que se propagam na mesma corda em sentidos opostos desenhar instantâneos da onda estacionária resultante mostrando a posição de nós e antinós 1626 No caso de ondas de mesma amplitude e comprimento de onda que se propagam na mesma corda em sentidos opostos escrever a equação que descreve a onda resultante e calcular a amplitude da onda resultante em termos na amplitude das ondas originais 1627 Descrever o MHS de um elemento da corda situado no antinó de uma onda estacionária 1628 No caso de um elemento da corda situado no antinó de uma onda estacionária escrever equações para o deslocamento a velocidade transversal e a aceleração transversal em função do tempo 1629 Saber a diferença entre uma reflexão dura e uma reflexão macia de uma onda que se propaga em uma corda em uma interface 1630 Descrever o fenômeno da ressonância em uma corda esticada entre dois suportes e desenhar algumas ondas estacionárias indicando a posição dos nós e antinós 1631 Determinar o comprimento de onda dos harmônicos de uma corda esticada entre dois suportes em função do comprimento da corda 1632 Conhecer a relação entre a frequência a velocidade da onda e o comprimento da corda para qualquer harmônico IdeiasChave A interferência de duas ondas senoidais iguais que se propagam em sentidos opostos produz ondas estacionárias No caso de uma corda com as extremidades fixas a onda estacionária é descrita pela equação yx t 2ym sen kx cos ωt No caso das ondas estacionárias existem posições em que o deslocamento é zero chamadas nós e posições em que o deslocamento é máximo chamadas antinós Ondas estacionárias podem ser criadas em uma corda por reflexão de ondas progressivas nas extremidades da corda Se uma extremidade é fixa deve existir um nó nessa extremidade o que limita as frequências das ondas estacionárias que podem existir em uma dada corda Cada frequência possível é uma frequência de ressonância e a onda estacionária correspondente é um modo de oscilação possível No caso de uma corda esticada de comprimento L fixa nas duas extremidades as frequências de ressonância são dadas por O modo de oscilação correspondente a n 1 é chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico o modo correspondente a n 2 é chamado de segundo harmônico e assim por diante Ondas Estacionárias No Módulo 165 discutimos o caso de duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda e mesma amplitude que se propagam no mesmo sentido em uma corda O que acontece se as ondas se propagam em sentidos opostos Também nesse caso podemos obter a onda resultante aplicando o princípio da superposição A situação está ilustrada na Fig 1617 A figura mostra uma onda se propagando para a esquerda na Fig 1617a e outra onda se propagando para a direita na Fig 1617b A Fig 1617c mostra a soma das duas ondas obtida aplicando graficamente o princípio de superposição O que chama a atenção na onda resultante é o fato de que existem pontos da corda chamados nós que permanecem imóveis Quatro desses nós estão assinalados por pontos na Fig 1617c No ponto médio entre nós vizinhos estão antinós pontos em que a amplitude da onda resultante é máxima Ondas como a da Fig 1617c são chamadas de ondas estacionárias porque a forma de onda não se move para a esquerda nem para a direita as posições dos máximos e dos mínimos não variam com o tempo Figura 1617 a Cinco instantâneos de uma onda se propagando para a esquerda em instantes t indicados abaixo da parte c T é o período das oscilações b Cinco instantâneos de uma onda igual à de a mas se propagando para a direita nos mesmos instantes t c Instantâneos correspondentes para a superposição das duas ondas na mesma corda Nos instantes t 0 T2 e T a interferência é construtiva ou seja os picos se alinham com picos e os vales se alinham com vales Em t T4 e 3T4 a interferência é destrutiva pois os picos se alinham com vales Alguns pontos os nós indicados por pontos permanecem imóveis outros os antinós oscilam com amplitude máxima Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda se propagam em sentidos opostos em uma corda a interferência mútua produz uma onda estacionária Para analisar uma onda estacionária representamos as duas ondas pelas equações De acordo com o princípio de superposição a onda resultante é dada por yx t y1x t y2x t ym senkx ωt ym senkx ωt Aplicando a identidade trigonométrica da Eq 1650 obtemos que também aparece na Fig 1618 Como se pode ver a Eq 1660 que descreve uma onda estacionária não tem a mesma forma que a Eq 1617 que descreve uma onda progressiva O fator 2ym sen kx entre colchetes na Eq 1660 pode ser visto como a amplitude da oscilação do elemento da corda situado na posição x Entretanto como uma amplitude é sempre positiva e sen kx pode ser negativo tomamos o valor absoluto de 2ym sen kx como a amplitude da onda no ponto x Em uma onda senoidal progressiva a amplitude da onda é a mesma para todos os elementos da corda Isso não é verdade para uma onda estacionária na qual a amplitude varia com a posição Na onda estacionária da Eq 1660 por exemplo a amplitude é zero para valores de kx tais que sen kx 0 Esses valores são dados pela relação Fazendo k 2πλ na Eq 1661 e reagrupando os termos obtemos para as posições de amplitude zero nós da onda estacionária da Eq 1660 Note que a distância entre nós vizinhos é λ2 metade do comprimento de onda A amplitude da onda estacionária da Eq 1660 tem um valor máximo de 2ym que ocorre para valores de kx tais que sen kx 1 Esses valores são dados pela relação Fazendo k 2πλ na Eq 1663 e reagrupando os termos obtemos para as posições de máxima amplitude antinós da onda estacionária da Eq 1660 Os antinós estão separados de λ2 e estão situados no ponto médio dos nós mais próximos Figura 1618 A onda resultante da Eq 1660 é uma onda estacionária produzida pela interferência de duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda que se propagam em sentidos opostos Reflexões em uma Interface Podemos excitar uma onda estacionária em uma corda esticada fazendo com que uma onda progressiva seja refletida em uma das extremidades da corda e interfira consigo mesma A onda original incidente e a onda refletida podem ser descritas pelas Eqs 1658 e 1659 respectivamente e se combinam para formar uma onda estacionária Na Fig 1619 usamos um pulso isolado para mostrar como acontecem essas reflexões Na Fig 16 19a a corda está fixa na extremidade esquerda Quando um pulso chega a essa extremidade ele exerce uma força para cima sobre o suporte a parede De acordo com a terceira lei de Newton o suporte exerce uma força oposta de mesmo módulo sobre a corda Essa força produz um pulso que se propaga no sentido oposto ao do pulso incidente Em uma reflexão dura como essa existe um nó no suporte pois a corda está fixa Isso significa que o pulso refletido e o pulso incidente devem ter sinais opostos para se cancelarem nesse ponto Na Fig 1619b a extremidade esquerda da corda está presa a um anel que pode deslizar sem atrito em uma barra Quando o pulso incide nesse ponto o anel se desloca para cima Ao se mover o anel puxa a corda esticandoa e produzindo um pulso refletido com o mesmo sinal e mesma amplitude que o pulso incidente Em uma reflexão macia como essa os pulsos incidente e refletido se reforçam criando um antinó na extremidade da corda o deslocamento máximo do anel é duas vezes maior que a amplitude de um dos pulsos Figura 1619 a Um pulso proveniente da direita é refletido na extremidade esquerda da corda que está amarrada em uma parede Note que o pulso refletido sofre uma inversão em relação ao pulso incidente b Neste caso a extremidade esquerda da corda está amarrada em um anel que pode deslizar sem atrito para cima e para baixo em uma barra e o pulso não é invertido pela reflexão Teste 5 Duas ondas com a mesma amplitude e o mesmo comprimento de onda interferem em três situações diferentes para produzir ondas resultantes descritas pelas seguintes equações 1 yx t 4 sen5x 4t 2 yx t 4 sen5x cos4t 3 yx t 4 sen5x 1 4t Em que situação as duas ondas que se combinaram estavam se propagando a no sentido positivo do eixo x b no sentido negativo do eixo x e c em sentidos opostos Ondas Estacionárias e Ressonância Considere uma corda por exemplo uma corda de violão esticada entre duas presilhas Suponha que produzimos uma onda senoidal contínua de certa frequência que se propaga para a direita Quando chega à extremidade direita a onda é refletida e começa a se propagar de volta para a esquerda A onda que se propaga para a esquerda encontra a onda que ainda se propaga para a direita Quando a onda que se propaga para a esquerda chega à extremidade esquerda é refletida mais uma vez e a nova onda refletida começa a se propagar para a direita encontrando ondas que se propagam para a esquerda Dessa forma logo temos muitas ondas superpostas que interferem entre si Para certas frequências a interferência produz uma onda estacionária ou modo de oscilação com nós e grandes antinós como os da Fig 1620 Dizemos que uma onda estacionária desse tipo é gerada quando existe ressonância e que a corda ressoa nessas frequências conhecidas como frequências de ressonância Se a corda é excitada em uma frequência que não é uma das frequências de ressonância não se forma uma onda estacionária Nesse caso a interferência das ondas que se propagam para a esquerda com as que se propagam para a direita resulta em pequenas e talvez imperceptíveis oscilações da corda Richard MegnaFundamental Photographs Figura 1620 Fotografias estroboscópicas revelam ondas estacionárias imperfeitas em uma corda excitada por um oscilador na extremidade esquerda As ondas estacionárias se formam apenas para certas frequências de oscilação Figura 1621 Uma corda presa a dois suportes oscila com ondas estacionárias a O padrão mais simples possível é o de meio comprimento de onda mostrado na figura pela posição da corda nos pontos de máximo deslocamento linha contínua e linha tracejada b O segundo padrão mais simples é o de um comprimento de onda c O terceiro padrão mais simples é o de um e meio comprimentos de onda Suponha que uma corda esteja presa entre duas presilhas separadas por uma distância L Para obter uma expressão para as frequências de ressonância da corda observamos que deve existir um nó em cada extremidade pois as extremidades são fixas e não podem oscilar A configuração mais simples que satisfaz essa condição é a da Fig 1621a que mostra a corda nas posições extremas uma representada por uma linha contínua e a outra por uma linha tracejada Existe apenas um antinó no centro da corda Note que o comprimento L da corda é igual a meio comprimento de onda Assim para essa configuração λ2 L e portanto para que as ondas que se propagam para a esquerda e para a direita produzam essa configuração por interferência devem ter um comprimento de onda λ 2L Uma segunda configuração simples que satisfaz o requisito de que existam nós nas extremidades fixas aparece na Fig 1621b Essa configuração tem três nós e dois antinós Para que as ondas que se propagam para a esquerda e para a direita a excitem elas precisam ter um comprimento de onda λ L Uma terceira configuração é a que aparece na Fig 1621c Essa configuração tem quatro nós e três antinós e o comprimento de onda é λ 2L3 Poderíamos continuar essa progressão desenhando configurações cada vez mais complicadas Em cada passo da progressão o padrão teria um nó e um antinó a mais que o passo anterior e um meio comprimento de onda adicional seria acomodado na distância L Assim uma onda estacionária pode ser excitada em uma corda de comprimento L por qualquer onda cujo comprimento de onda satisfaz a condição As frequências de ressonância que correspondem a esses comprimentos de onda podem ser calculadas usando a Eq 1613 Nesta equação v é a velocidade das ondas progressivas na corda De acordo com a Eq 1666 as frequências de ressonância são múltiplos inteiros da menor frequência de ressonância f v2L que corresponde a n 1 O modo de oscilação com a menor frequência é chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico O segundo harmônico é o modo de oscilação com n 2 o terceiro harmônico é o modo com n 3 e assim por diante As frequências associadas a esses modos costumam ser chamadas de f1 f2 f3 e assim por diante O conjunto de todos os modos de oscilação possíveis é chamado de série harmônica e n é chamado de número harmônico do enésimo harmônico Para uma dada corda submetida a uma dada tração cada frequência de ressonância corresponde a um padrão de oscilação diferente Se a frequência está na faixa de sons audíveis é possível ouvir a forma da corda A ressonância também pode ocorrer em duas dimensões como na superfície do tímpano da Fig 1622 e em três dimensões como nos balanços e torções induzidos pelo vento em um edifício Cortesia de Thomas D Rossing Northern Illinois University Figura 1622 Uma das muitas ondas estacionárias possíveis da membrana de um tímpano visualizada com o auxílio de um pó escuro espalhado na membrana Quando a membrana é posta para vibrar em uma única frequência por um oscilador mecânico situado no canto superior esquerdo da figura o pó se acumula nos nós que são circunferências e linhas retas neste exemplo bidimensional Teste 6 Na série de frequências de ressonância a seguir uma frequência menor que 400 Hz está faltando 150 225 300 375 Hz a Qual é a frequência que falta b Qual é a frequência do sétimo harmônico Exemplo 1606 Ressonância de ondas transversais harmônicos e ondas estacionárias A Fig 1623 mostra a oscilação ressonante de uma corda de massa m 2500 g e comprimento L 0800 m sob uma tração τ 3250 N Qual é o comprimento de onda λ das ondas transversais responsáveis pela onda estacionária mostrada na figura e qual é o número harmônico n Qual é a frequência f das ondas transversais e das oscilações dos elementos da corda Qual é o módulo máximo da velocidade transversal um do elemento da corda que oscila no ponto de coordenada x 0180 m Para qual valor da coordenada y do elemento a velocidade transversal um é máxima IDEIASCHAVE 1 Para produzir uma onda estacionária as ondas devem ter um comprimento de onda tal que o comprimento L da corda seja igual a um número inteiro n de meios comprimentos de onda 2 As frequências possíveis das ondas e das oscilações dos elementos da corda são dadas pela Eq 1666 f nv2L 3 O deslocamento de um elemento da corda em função da posição x e do tempo t é dado pela Eq 1660 Comprimento de onda e número harmônico Na Fig 1623 a linha cheia que representa um instantâneo das oscilações mostra que o comprimento L 0800 m acomoda 2 comprimentos de onda das oscilações Assim temos 2λ L ou Contando o número de meios comprimentos de onda na Fig 1623 vemos que o número harmônico é Chegaríamos à mesma conclusão comparando as Eqs 1668 e 1665 λ 2Ln Assim a corda está oscilando no quarto harmônico Frequência Podemos determinar a frequência f das ondas transversais a partir da Eq 1613 v λf se conhecermos a velocidade v das ondas A velocidade é dada pela Eq 1626 mas devemos substituir a massa específica linear desconhecida μ por mL O resultado é o seguinte Explicitando f na Eq 1613 obtemos Figura 1623 Oscilações ressonantes em uma corda sob tração Note que podemos chegar ao mesmo resultado usando a Eq 1666 Observe que 806 Hz não só é a frequência das ondas responsáveis pela produção do quarto harmônico mas também podemos dizer que é o quarto harmônico como na seguinte afirmação O quarto harmônico desta corda é 806 Hz Também é a frequência da oscilação vertical dos elementos da corda da Fig 1622 que oscilam verticalmente em um movimento harmônico simples do mesmo modo como um bloco pendurado em uma mola vertical oscila verticalmente em um movimento harmônico simples Finalmente é também a frequência do som produzido pela corda já que os elementos da corda produzem alternadamente compressões e rarefações do ar que os cerca produzindo ondas sonoras Velocidade transversal O deslocamento y do elemento da corda situado na coordenada x em função do tempo t é dado pela Eq 1667 O fator cos ωt é responsável pela variação com o tempo e portanto pelo movimento da onda estacionária O fator 2ym sen kx estabelece a extensão do movimento A maior extensão acontece nos antinós em que sen kx é 1 ou 1 e a amplitude é 2ym De acordo com a Fig 1623 2ym 400 mm e portanto ym 200 mm Queremos calcular a velocidade transversal ou seja a velocidade de um elemento da corda na direção do eixo y Para isso derivamos a Eq 1667 em relação ao tempo Na Eq 1669 o fator sen ωt é responsável pela variação da velocidade com o tempo e o fator 2ymω sen kx estabelece a extensão dessa variação A velocidade máxima é o valor absoluto da extensão um 2ymω sen kx Para calcular esse valor para o elemento situado em x 0180 m observamos que ym 200 mm k 2πλ 2π0400 m e ω 2πf 2π8062 Hz Assim a velocidade máxima do elemento situado em x 0180 m é Uma forma de determinar para qual valor da coordenada y do elemento a velocidade transversal é máxima seria comparar as Eqs 1669 e 1667 Entretanto podemos poupar trabalho pensando um pouquinho Como o elemento está descrevendo um movimento harmônico simples a velocidade é máxima no ponto central da oscilação ou seja no ponto em que y 0 Revisão e Resumo Ondas Transversais e Longitudinais As ondas mecânicas podem existir apenas em meios materiais e são governadas pelas leis de Newton As ondas mecânicas transversais como as que existem em uma corda esticada são ondas nas quais as partículas do meio oscilam perpendicularmente à direção de propagação da onda As ondas em que as partículas oscilam na direção de propagação da onda são chamadas de ondas longitudinais Ondas Senoidais Uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de um eixo x pode ser representada pela função em que ym é a amplitude da onda k é o número de onda ω é a frequência angular e kx ωt é a fase O comprimento de onda λ está relacionado a k pela equação O período T e a frequência f da onda estão relacionados a ω da seguinte forma Finalmente a velocidade v da onda está relacionada aos outros parâmetros da seguinte forma Equação de uma Onda Progressiva Qualquer função da forma pode representar uma onda progressiva com uma velocidade dada pela Eq 1613 e uma forma de onda dada pela forma matemática da função h O sinal positivo se aplica às ondas que se propagam no sentido negativo do eixo x e o sinal negativo às ondas que se propagam no sentido positivo do eixo x Velocidade da Onda em uma Corda Esticada A velocidade de uma onda em uma corda esticada é determinada pelas propriedades da corda A velocidade em uma corda com tração τ e massa específica linear μ é dada por Potência A potência média taxa média de transmissão de energia de uma onda senoidal em uma corda esticada é dada por Superposição de Ondas Quando duas ou mais ondas se propagam no mesmo meio o deslocamento de uma partícula é a soma dos deslocamentos que seriam provocados pelas ondas agindo separadamente Interferência de Ondas Duas ondas senoidais que se propagam em uma mesma corda sofrem interferência somandose ou cancelandose de acordo com o princípio da superposição Se as duas ondas se propagam no mesmo sentido e têm a mesma amplitude ym e a mesma frequência angular ω e portanto o mesmo comprimento de onda λ mas têm uma diferença de fase constante ϕ o resultado é uma única onda com a mesma frequência Se ϕ 0 as ondas têm fases iguais e a interferência é construtiva se ϕ π rad as ondas têm fases opostas e a interferência é destrutiva Fasores Uma onda yx t pode ser representada por um fasor um vetor de módulo igual à amplitude ym da onda que gira em torno da origem com uma velocidade angular igual à frequência angular ω da onda A projeção do fasor em um eixo vertical é igual ao deslocamento y produzido em um elemento do meio pela passagem da onda Ondas Estacionárias A interferência de duas ondas senoidais iguais que se propagam em sentidos opostos produz uma onda estacionária No caso de uma corda com as extremidades fixas a onda estacionária é dada por As ondas estacionárias possuem pontos em que o deslocamento é nulo chamados nós e pontos em que o deslocamento é máximo chamados antinós Ressonância Ondas estacionárias podem ser produzidas em uma corda pela reflexão de ondas progressivas nas extremidades da corda Se uma extremidade é fixa existe um nó nessa posição o que limita as frequências possíveis das ondas estacionárias em uma dada corda Cada frequência possível é uma frequência de ressonância e a onda estacionária correspondente é um modo de oscilação Para uma corda esticada de comprimento L com as extremidades fixas as frequências de ressonância são dadas por O modo de oscilação correspondente a n 1 é chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico o modo correspondente a n 2 é o segundo harmônico e assim por diante Perguntas 1 As quatro ondas a seguir são produzidas em quatro cordas com a mesma massa específica linear x está em metros e t em segundos Ordene as ondas a de acordo com a velocidade da onda e b de acordo com a tração da corda em ordem decrescente 1 y1 3 mm senx 3t 2 y2 6 mm sen1x t 3 y3 1 mm sen4x t 4 y4 2 mm senx 2t 2 Na Fig 1624 a onda 1 é formada por um pico retangular com 4 unidades de altura e d unidades de largura e um vale retangular com 2 unidades de profundidade e d unidades de largura A onda se propaga para a direita ao longo de um eixo x As ondas 2 3 e 4 são ondas semelhantes com a mesma altura profundidade e largura que se propagam para a esquerda no mesmo eixo passando pela onda 1 e produzindo uma interferência Para qual das ondas que se propagam para a esquerda a interferência com a onda 1 produz momentaneamente a o vale mais profundo b uma linha reta e c um pulso retangular com 2d unidades de largura Figura 1624 Pergunta 2 3 A Fig 1625a mostra um instantâneo de uma onda que se propaga no sentido positivo de x em uma corda sob tração Quatro elementos da corda estão indicados por letras Para cada um desses elementos determine se no momento do instantâneo o elemento está se movendo para cima para baixo ou está momentaneamente em repouso Sugestão Imagine a onda passando pelos quatro elementos da corda como se estivesse assistindo a um vídeo do movimento da onda A Fig 1625b mostra o deslocamento em função do tempo de um elemento da corda situado digamos em x 0 Nos instantes indicados por letras o elemento está se movendo para cima para baixo ou está momentaneamente em repouso Figura 1625 Pergunta 3 4 A Fig 1626 mostra três ondas que são produzidas separadamente em uma corda que está esticada ao longo de um eixo x e submetida a uma certa tração Ordene as ondas de acordo com a o comprimento de onda b a velocidade e c a frequência angular em ordem decrescente Figura 1626 Pergunta 4 5 Se você começa com duas ondas senoidais de mesma amplitude que se propagam em fase em uma corda e desloca a fase de uma das ondas de 54 comprimentos de onda que tipo de interferência ocorre na corda 6 As amplitudes e a diferença de fase para quatro pares de ondas com o mesmo comprimento de onda são a 2 mm 6 mm e π rad b 3 mm mm e π rad c 7 mm 9 mm e π rad d 2 mm 2 mm e 0 rad Todos os pares se propagam no mesmo sentido na mesma corda Sem executar cálculos ordene os quatro pares de acordo com a amplitude da onda resultante em ordem decrescente Sugestão Construa diagramas fasoriais 7 Uma onda senoidal é produzida em uma corda sob tração e transporta energia a uma taxa média Pméd1 Duas ondas iguais à primeira são em seguida produzidas na corda com uma diferença de fase ϕ de 0 02 ou 05 comprimento de onda a Apenas com cálculos mentais ordene esses valores de ϕ de acordo com a taxa média com a qual as ondas transportam energia em ordem decrescente b Qual é a taxa média com a qual as ondas transportam energia em termos de Pméd1 para o primeiro valor de ϕ 8 a Se uma onda estacionária em uma corda é dada por yt 3 mm sen5x cos4t existe um nó ou um antinó em x 0 b Se a onda estacionária é dada por yt 3 mm sen5x 1 π2 cos4t existe um nó ou um antinó em x 0 9 Duas cordas A e B têm o mesmo comprimento e a mesma massa específica linear mas a corda B está submetida a uma tração maior que a corda A A Fig 1627 mostra quatro situações de a a d nas quais existem ondas estacionárias nas duas cordas Em que situações existe a possibilidade de que as cordas A e B estejam oscilando com a mesma frequência de ressonância Figura 1627 Pergunta 9 10 Se o sétimo harmônico é excitado em uma corda a quantos nós estão presentes b No ponto médio existe um nó um antinó ou um estado intermediário Se em seguida é excitado o sexto harmônico c o comprimento de onda da ressonância é maior ou menor que o do sétimo harmônico d A frequência de ressonância é maior ou menor 11 A Fig 1628 mostra os diagramas fasoriais de três situações nas quais duas ondas se propagam na mesma corda As seis ondas têm a mesma amplitude Ordene as situações de acordo com a amplitude da onda resultante em ordem decrescente Figura 1628 Pergunta 11 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 161 Ondas Transversais 1 Se a função yx t 60 mm senkx 600 radst ϕ descreve uma onda que se propaga em uma corda quanto tempo um ponto da corda leva para se mover entre os deslocamentos y 20 mm e y 20 mm 2 Uma onda humana A ola é uma onda criada pela torcida que se propaga nos estádios em eventos esportivos Fig 1629 Quando a onda chega a um grupo de espectadores eles ficam em pé com os braços levantados e depois tornam a se sentar Em qualquer instante a largura L da onda é a distância entre a borda dianteira as pessoas que estão começando a se levantar e a borda traseira as pessoas que estão começando a se sentar Suponha que uma ola percorre uma distância de 853 assentos de um estádio em 39 s e que os espectadores levam em média 18 s para responder à passagem da onda levantandose e voltando a se sentar Determine a a velocidade v da onda em assentos por segundo e b a largura L da onda em número de assentos Figura 1629 Problema 2 3 Uma onda tem uma frequência angular de 110 rads e um comprimento de onda de 180 m Calcule a o número de onda e b a velocidade da onda 4 Um escorpião da areia pode detectar a presença de um besouro sua presa pelas ondas que o movimento do besouro produz na superfície da areia Fig 1630 As ondas são de dois tipos transversais que se propagam com uma velocidade vt 50 ms e longitudinais que se propagam com uma velocidade vl 150 ms Se um movimento brusco produz essas ondas o escorpião é capaz de determinar a que distância se encontra o besouro a partir da diferença Δt entre os instantes em que as duas ondas chegam à perna que está mais próxima do besouro Se Δt 40 ms a que distância está o besouro Figura 1630 Problema 4 5 Uma onda senoidal se propaga em uma corda O tempo necessário para que um ponto da corda se desloque do deslocamento máximo até zero é 0170 s a Qual é o período e b qual a frequência da onda c O comprimento de onda é 140 m qual é a velocidade da onda 6 Uma onda senoidal se propaga em uma corda sob tração A Fig 1631 mostra a inclinação da corda em função da posição no instante t 0 A escala do eixo x é definida por xs 080 m Qual é a amplitude da onda Figura 1631 Problema 6 7 Uma onda senoidal transversal se propaga em uma corda no sentido positivo de um eixo x com uma velocidade de 80 ms No instante t 0 uma partícula da corda situada em x 0 possui um deslocamento transversal de 40 cm em relação à posição de equilíbrio e não está se movendo A velocidade transversal máxima da partícula situada em x 0 é 16 ms a Qual é a frequência da onda b Qual é o comprimento de onda Se a equação de onda é da forma yx t ym senkx ωt ϕ determine c ym d k e ω f ϕ e g o sinal que precede ω 8 A Fig 1632 mostra a velocidade transversal u em função do tempo t para o ponto da uma corda situado em x 0 quando uma onda passa pelo ponto A escala do eixo vertical é definida por us 40 ms A onda tem a forma yx t ym sen kx ωt ϕ Qual é o valor de ϕ Atenção As calculadoras nem sempre mostram o valor correto de uma função trigonométrica inversa por isso verifique se o valor obtido para ϕ é o valor correto substituindoo na função yx t usando um valor numérico qualquer para ω e plotando a função assim obtida Figura 1632 Problema 8 9 Uma onda senoidal que se propaga em uma corda é mostrada duas vezes na Fig 1633 antes e depois que o pico A se desloque de uma distância d 60 cm no sentido positivo de um eixo x em 40 ms A distância entre as marcas do eixo horizontal é 10 cm H 60 mm Se a equação da onda é da forma yx t ym senkx ωt determine a ym b k c ω e d o sinal que precede ω Figura 1633 Problema 9 10 A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é y 60 sen0020px 40πt em que x e y estão em centímetros e t em segundos Determine a a amplitude b o comprimento de onda c a frequência d a velocidade e o sentido de propagação da onda e f a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda g Qual é o deslocamento transversal em x 35 cm para t 026 s 11 Uma onda transversal senoidal com um comprimento de onda de 20 cm se propaga em uma corda no sentido positivo de um eixo x O deslocamento y da partícula da corda situada em x 0 é mostrado na Fig 1634 em função do tempo t A escala do eixo vertical é definida por ys 40 cm A equação da onda é da forma yx t ym senkx ωt ϕ a Em t 0 o gráfico de y em função de x tem a forma de uma função seno positiva ou de uma função seno negativa Determine b ym c k d ω e ϕ f o sinal que precede ω e g a velocidade da onda h Qual é a velocidade transversal da partícula em x 0 para t 50 s Figura 1634 Problema 11 12 A função yx t 150 cm cospx 15πt com x em metros e t em segundos descreve uma onda em uma corda esticada Qual é a velocidade transversal de um ponto da corda no instante em que o ponto possui um deslocamento y 120 cm 13 Uma onda senoidal de 500 Hz se propaga em uma corda a 350 ms a Qual é a distância entre dois pontos da corda cuja diferença de fase é π3 rad b Qual é a diferença de fase entre dois deslocamentos de um ponto da corda que acontecem com um intervalo de 100 ms Módulo 162 Velocidade da Onda em uma Corda Esticada 14 A equação de uma onda transversal em uma corda é y 20 mm sen20 m1x 600 s1t A tração da corda é 15 N a Qual é a velocidade da onda b Determine a massa específica linear da corda em gramas por metro 15 Uma corda esticada tem uma massa específica linear de 500 gcm e está sujeita a uma tração de 100 N Uma onda senoidal na corda tem uma amplitude de 012 mm uma frequência de 100 Hz e está se propagando no sentido negativo de um eixo x Se a equação da onda é da forma yx t ym senkx ωt determine a ym b k c ω e d o sinal que precede ω 16 A velocidade de uma onda transversal em uma corda é 170 ms quando a tração da corda é 120 N Qual deve ser o valor da tração para que a velocidade da onda aumente para 180 ms 17 A massa específica linear de uma corda é 16 104 kgm Uma onda transversal na corda é descrita pela equação y 0021 m sen20 m1x 30 s1t a Qual é a velocidade da onda e b qual é a tração da corda 18 A corda mais pesada e a corda mais leve de certo violino têm massas específicas lineares de 30 e 029 gm respectivamente Qual é a razão entre o diâmetro da corda mais leve e o da corda mais pesada supondo que as cordas são feitas do mesmo material 19 Qual é a velocidade de uma onda transversal em uma corda de 200 m de comprimento e 600 g de massa sujeita a uma tração de 500 N 20 A tração em um fio preso nas duas extremidades é duplicada sem que o comprimento do fio sofra uma variação apreciável Qual é a razão entre a nova e a antiga velocidade das ondas transversais que se propagam no fio 21 Um fio de 100 g é mantido sob uma tração de 250 N com uma extremidade em x 0 e a outra em x 100 m No instante t 0 o pulso 1 começa a se propagar no fio a partir do ponto x 100 m No instante t 300 ms o pulso 2 começa a se propagar no fio a partir do ponto x 0 Em que ponto x os pulsos começam a se superpor 22 Uma onda senoidal se propaga em uma corda com uma velocidade de 40 cms O deslocamento da corda em x 10 cm varia com o tempo de acordo com a equação y 50 cm sen10 40 s1t A massa específica linear da corda é 40 gcm a Qual é a frequência e b qual o comprimento de onda da onda Se a equação da onda é da forma yx t ym senkx ωt determine c ym d k e ω e f o sinal que precede ω g Qual é a tração da corda 23 Uma onda transversal senoidal se propaga em uma corda no sentido negativo de um eixo x A Fig 1635 mostra um gráfico do deslocamento em função da posição no instante t 0 a escala do eixo y é definida por ys 40 cm A tração da corda é 36 N e a massa específica linear é 25 gm Determine a a amplitude b o comprimento de onda c a velocidade da onda e d o período da onda e Determine a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda Se a onda é da forma yx t ym senkx ωt ϕ determine f k g ω h ϕ e i o sinal que precede ω Figura 1635 Problema 23 24 Na Fig 1636a a corda 1 tem uma massa específica linear de 300 gm e a corda 2 tem uma massa específica linear de 500 gm As cordas estão submetidas à tração produzida por um bloco suspenso de massa M 500 g Calcule a velocidade da onda a na corda 1 e b na corda 2 Sugestão Quando uma corda envolve metade de uma polia ela exerce sobre a polia uma força duas vezes maior que a tração da corda Em seguida o bloco é dividido em dois blocos com M1 M2 M e o sistema é montado como na Fig 1636b Determine c M1 e d M2 para que as velocidades das ondas nas duas cordas sejam iguais Figura 1636 Problema 24 25 Uma corda homogênea de massa m e comprimento L está pendurada em um teto a Mostre que a velocidade de uma onda transversal na corda é função de y a distância da extremidade inferior e é dada por b Mostre que o tempo que uma onda transversal leva para atravessar a corda é dado por Módulo 163 Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda 26 Uma corda na qual ondas podem se propagar tem 270 m de comprimento e 260 g de massa A tração da corda é 360 N Qual deve ser a frequência de ondas progressivas com uma amplitude de 770 mm para que a potência média seja 850 W 27 Uma onda senoidal é produzida em uma corda com uma massa específica linear de 20 gm Enquanto a onda se propaga a energia cinética dos elementos de massa ao longo da corda varia A Fig 1637a mostra a taxa dKdt com a qual a energia cinética passa pelos elementos de massa da corda em certo instante em função da distância x ao longo da corda A Fig 1637b é semelhante exceto pelo fato de que mostra a taxa com a qual a energia cinética passa por um determinado elemento de massa situado em certo ponto da corda em função do tempo t Nos dois casos a escala do eixo vertical é definida por Rs 10 W Qual é a amplitude da onda Figura 1637 Problema 27 Módulo 164 A Equação de Onda 28 Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada por yx t 300 mm sen400 m1x 700 s1t 29 Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada por yx t 200 mm 20 m1x 400 s1t05 30 Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada em termos de uma função genérica hx t yx t 400 mm h30 m1x 60 s1t Módulo 165 Interferência de Ondas 31 Duas ondas progressivas iguais que se propagam no mesmo sentido estão defasadas de π2 rad Qual é a amplitude da onda resultante em termos da amplitude comum ym das duas ondas 32 Que diferença de fase entre duas ondas iguais a não ser pela constante de fase que se propagam no mesmo sentido em corda esticada produz uma onda resultante de amplitude 15 vez a amplitude comum das duas ondas Expresse a resposta a em graus b em radianos e c em comprimentos de onda 33 Duas ondas senoidais com a mesma amplitude de 900 mm e o mesmo comprimento de onda se propagam em uma corda esticada ao longo de um eixo x A onda resultante é mostrada duas vezes na Fig 1638 antes e depois que o vale A se desloque de uma distância d 560 cm em 80 ms A distância entre as marcas do eixo horizontal é 10 cm H 80 mm A equação de uma das ondas é da forma yx t ym senkx ωt ϕ1 em que ϕ1 0 cabe ao leitor determinar o sinal que precede ω Na equação da outra onda determine a ym b k c ω d ϕ2 e e o sinal que precede ω Figura 1638 Problema 33 34 Uma onda senoidal de frequência angular de 1200 rads e amplitude 300 mm é produzida em uma corda de massa específica linear 200 gm e 1200 N de tração a Qual é a taxa média com a qual a energia é transportada pela onda para a extremidade oposta da corda b Se ao mesmo tempo uma onda igual se propaga em uma corda vizinha de mesmas características qual é a taxa média total com a qual a energia é transportada pelas ondas para as extremidades opostas das duas cordas Se em vez disso as duas ondas são produzidas ao mesmo tempo na mesma corda qual é a taxa média total com a qual elas transportam energia quando a diferença de fase entre as duas ondas é c 0 d 04π rad e e π rad Módulo 166 Fasores 35 Duas ondas senoidais de mesma frequência se propagam no mesmo sentido em uma corda Se ym1 30 cm ym2 40 cm ϕ1 0 e ϕ2 π2 rad qual é a amplitude da onda resultante 36 Quatro ondas são produzidas na mesma corda e no mesmo sentido y1x t 400 mm sen2πx 400πt y2x t 400 mm sen2πx 400pt 07π y3x t 400 mm sen2πx 400πt π y4x t 400 mm sen2πx 400πt 17π Qual é a amplitude da onda resultante 37 Duas ondas se propagam na mesma corda y1x t 460 mm sen2πx 400πt y2x t 560 mm sen2πx 400πt 080π rad a Qual é a amplitude e b qual o ângulo de fase em relação à onda 1 da onda resultante c Se uma terceira onda de amplitude 500 mm também se propaga na corda no mesmo sentido que as duas primeiras qual deve ser o ângulo de fase para que a amplitude da nova onda resultante seja máxima 38 Duas ondas senoidais de mesma frequência e mesmo sentido são produzidas em uma corda esticada Uma das ondas tem uma amplitude de 50 mm e a outra uma amplitude de 80 mm a Qual deve ser a diferença de fase ϕ1 entre as duas ondas para que a amplitude da onda resultante seja a menor possível b Qual é essa amplitude mínima c Qual deve ser a diferença de fase ϕ2 entre as duas ondas para que a amplitude da onda resultante seja a maior possível d Qual é essa amplitude máxima e Qual é a amplitude resultante se o ângulo de fase é ϕ1 ϕ22 39 Duas ondas senoidais de mesmo período com 50 e 70 mm de amplitude se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada na qual produzem uma onda resultante com uma amplitude de 90 mm A constante de fase da onda de 50 mm é 0 Qual é a constante de fase da onda de 70 mm Módulo 167 Ondas Estacionárias e Ressonância 40 Duas ondas senoidais com comprimentos de onda e amplitudes iguais se propagam em sentidos opostos em uma corda com uma velocidade de 10 cms Se o intervalo de tempo entre os instantes nos quais a corda fica reta é 050 s qual é o comprimento de onda das ondas 41 Uma corda fixa nas duas extremidades tem 840 m de comprimento uma massa de 0120 kg e uma tração de 960 N a Qual é a velocidade das ondas na corda b Qual é o maior comprimento de onda possível para uma onda estacionária na corda c Determine a frequência dessa onda 42 Uma corda submetida a uma tração τi oscila no terceiro harmônico com uma frequência f3 e as ondas na corda têm um comprimento de onda λ3 Se a tração é aumentada para τf 4ττ e a corda é novamente posta para oscilar no terceiro harmônico a qual é a frequência de oscilação em termos de f3 e b qual o comprimento de onda das ondas em termos de λ3 43 Determine a a menor frequência b a segunda menor frequência e c a terceira menor frequência das ondas estacionárias em um fio com 100 m de comprimento 100 g de massa e 250 N de tração 44 Uma corda com 125 cm de comprimento tem uma massa de 200 g e uma tração de 700 N a Qual é a velocidade de uma onda na corda b Qual é a menor frequência de ressonância da corda 45 Uma corda que está esticada entre suportes fixos separados por uma distância de 750 cm apresenta frequências de ressonância de 420 e 315 Hz com nenhuma outra frequência de ressonância entre os dois valores Determine a a menor frequência de ressonância e b a velocidade da onda 46 A corda A está esticada entre duas presilhas separadas por uma distância L A corda B com a mesma massa específica linear e a mesma tração que a corda A está esticada entre duas presilhas separadas por uma distância igual a 4L Considere os primeiros oito harmônicos da corda B Para quais dos oito harmônicos de B a frequência coincide com a frequência a do primeiro harmônico de A b do segundo harmônico de A e c do terceiro harmônico de A 47 Uma das frequências harmônicas de uma certa corda sob tração é 325 Hz A frequência harmônica seguinte é 390 Hz Qual é a frequência harmônica que se segue à frequência harmônica de 195 Hz 48 Se uma linha de transmissão em um clima frio fica coberta de gelo o aumento do diâmetro leva à formação de vórtices no vento que passa As variações de pressão associadas aos vórtices podem fazer a linha oscilar galopar principalmente se a frequência das variações de pressão coincidir com uma das frequências de ressonância da linha Em linhas compridas as frequências de ressonância estão tão próximas que praticamente qualquer velocidade do vento pode excitar um modo de ressonância com amplitude suficiente para derrubar as torres de sustentação ou curtocircuitar as linhas Se uma linha de transmissão tem um comprimento de 347 m uma massa específica linear de 335 kgm e uma tração de 652 MN a qual é a frequência do modo fundamental e b qual é a diferença de frequência entre modos sucessivos 49 Uma corda de violão feita de náilon tem uma massa específica linear de 720 gm e está sujeita a uma tração de 150 N Os suportes fixos estão separados por uma distância D 900 cm A corda está oscilando da forma mostrada na Fig 1639 Calcule a a velocidade b o comprimento de onda e c a frequência das ondas progressivas cuja superposição produz a onda estacionária Figura 1639 Problema 49 50 Uma onda estacionária transversal em uma corda longa possui um antinó em x 0 e um nó vizinho em x 010 m O deslocamento yt da partícula da corda situada em x 0 é mostrado na Fig 1640 em que a escala do eixo y é definida por ys 40 cm Para t 050 s qual é o deslocamento da partícula da corda situada a em x 020 m e b em x 030 m Qual é a velocidade transversal da partícula situada em x 020 m c no instante t 050 s e d no instante t 10 s e Plote a onda estacionária no intervalo de x 0 a x 040 m para o instante t 050 s Figura 1640 Problema 50 51 Duas ondas são geradas em uma corda com 30 m de comprimento para produzir uma onda estacionária de três meios comprimentos de onda com uma amplitude de 10 cm A velocidade da onda é 100 ms A equação de uma das ondas é da forma yx t ym senkx 1 ωt Na equação da outra onda determine a ym b k c ω e d o sinal que precede ω 52 Uma corda sujeita a uma tração de 200 N fixa nas duas extremidades oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária O deslocamento da corda é dado por y 010 msen πx2 sen 12πt em que x 0 em uma das extremidades da corda x está em metros e t está em segundos Determine a o comprimento da corda b a velocidade das ondas na corda e c a massa da corda d Se a corda oscilar no terceiro harmônico de uma onda estacionária qual será o período de oscilação 53 Uma corda oscila de acordo com a equação a Qual é a amplitude e b qual a velocidade das duas ondas iguais exceto pelo sentido de propagação cuja superposição produz essa oscilação c Qual é a distância entre os nós d Qual é a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto x 15 cm para t 98 s 54 Duas ondas senoidais com a mesma amplitude e o mesmo comprimento de onda se propagam simultaneamente em uma corda esticada ao longo de um eixo x A onda resultante é mostrada duas vezes na Fig 1641 uma vez com o antinó A na posição de máximo deslocamento para cima e outra vez 60 ms depois com o antinó A na posição de máximo deslocamento para baixo A distância entre as marcas do eixo x é 10 cm H 180 cm A equação de uma das duas ondas é da forma yx t ym senkx ωt Na equação da outra onda determine a ym b k c ω e d o sinal que precede ω Figura 1641 Problema 54 55 As duas ondas a seguir se propagam em sentidos opostos em uma corda horizontal criando uma onda estacionária em um plano vertical y1x t 600 mm sen400πx 400 πt y2x t 600 mm sen400πx 400 πt em que x está em metros e t em segundos Existe um antinó no ponto A No intervalo de tempo que esse ponto leva para passar da posição de deslocamento máximo para cima para a posição de deslocamento máximo para baixo qual é o deslocamento das ondas ao longo da corda 56 Uma onda estacionária em uma corda é descrita pela equação yx t 0040 sen 5πxcos 40 πt em que x e y estão em metros e t em segundos Para x 0 qual é a localização do nó com a o menor b com o segundo menor e c com o terceiro menor valor de x d Qual é o período do movimento oscilatório em qualquer ponto que não seja um nó e Qual é a velocidade e f qual a amplitude das duas ondas progressivas que interferem para produzir a onda Para t 0 determine g o primeiro h o segundo e i o terceiro instante em que todos os pontos da corda possuem velocidade transversal nula 57 Um gerador em uma das extremidades de uma corda muito longa produz uma onda dada por e um gerador na outra extremidade produz a onda Calcule a a frequência b o comprimento de onda e c a velocidade de cada onda Para x 0 qual é a posição do nó d com o menor e com o segundo menor e f com o terceiro menor valor de x Para x 0 qual é a posição do antinó g com o menor h com o segundo menor e i com o terceiro menor valor de x 58 Na Fig 1642 uma corda presa a um oscilador senoidal no ponto P e apoiada em um suporte no ponto Q é tensionada por um bloco de massa m A distância entre P e Q é L 120 m a massa específica linear da corda é μ 16 gm e a frequência do oscilador é f 120 Hz A amplitude do deslocamento do ponto P é suficientemente pequena para que esse ponto seja considerado um nó Também existe um nó no ponto Q a Qual deve ser o valor da massa m para que o oscilador produza na corda o quarto harmônico b Qual é o modo produzido na corda pelo oscilador para m 100 kg se isso for possível Figura 1642 Problemas 58 e 60 59 Na Fig 1643 um fio de alumínio de comprimento L1 600 cm seção reta 100 102 cm2 e massa específica 260 gcm3 está soldado a um fio de aço de massa específica 780 gcm3 e mesma seção reta O fio composto tensionado por um bloco de massa m 100 kg está disposto de tal forma que a distância L2 entre o ponto de solda e a polia é 866 cm Ondas transversais são excitadas no fio por uma fonte externa de frequência variável um nó está situado na polia a Determine a menor frequência que produz uma onda estacionária tendo o ponto de solda como um dos nós b Quantos nós são observados para essa frequência Figura 1643 Problema 59 60 Na Fig 1642 uma corda presa a um oscilador senoidal no ponto P e apoiada em um suporte no ponto Q é tensionada por um bloco de massa m A distância entre P e Q é L 120 m e a frequência do oscilador é f 120 Hz A amplitude do deslocamento do ponto P é suficientemente pequena para que esse ponto seja considerado um nó Também existe um nó no ponto Q Uma onda estacionária aparece quando a massa do bloco é 2861 g ou 4470 g mas não aparece para nenhuma massa entre os dois valores Qual é a massa específica linear da corda Problemas Adicionais 61 Em um experimento com ondas estacionárias uma corda de 90 cm de comprimento está presa a um dos braços de um diapasão excitado eletricamente que oscila perpendicularmente à corda com uma frequência de 60 Hz A massa da corda é 0044 kg A que tração a corda deve ser submetida há pesos amarrados na outra extremidade para que oscile com dois comprimentos de onda 62 Uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido positivo de um eixo x tem uma amplitude de 20 cm um comprimento de onda de 10 cm e uma frequência de 400 Hz Se a equação da onda é da forma yx t ym senkx ωt determine a ym b k c ω e d o sinal que precede ω e Qual é a velocidade transversal máxima de um ponto da corda e f qual a velocidade da onda 63 Uma onda tem uma velocidade de 240 ms e um comprimento de onda de 32 m a Qual é a frequência e b qual é o período da onda 64 A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda é y 015 sen079x 13t em que x e y estão em metros e t está em segundos a Qual é o deslocamento y em x 23 m e t 016 s Uma segunda onda é combinada com a primeira para produzir uma onda estacionária na corda Se a equação da segunda onda é da forma yxt ym senkx ωt determine b ym c k d ω e e o sinal que precede ω f Qual é o deslocamento da onda estacionária em x 23 m e t 016 s 65 A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda é y 20 mm sen20 m1x 600 s1t Determine a a amplitude b a frequência c a velocidade incluindo o sinal e d o comprimento de onda da onda e Determine a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda 66 Fig 1644 mostra o deslocamento y do ponto de uma corda situado em x 0 em função do tempo t quando uma onda passa pelo ponto A escala do eixo y é definida por ys 60 mm A onda tem a forma yx t ym senkx ωt ϕ Qual é o valor de ϕ Atenção As calculadoras nem sempre mostram o valor correto de uma função trigonométrica inversa por isso verifique se o valor obtido para ϕ é o valor correto substituindoo na função yx t usando um valor numérico qualquer para ω e plotando a função assim obtida Figura 1644 Problema 66 67 Duas ondas senoidais iguais a não ser pela fase se propagam no mesmo sentido em uma corda produzindo uma onda resultante yx t 30 mm sen20x 40t 0820 rad com x em metros e t em segundos Determine a o comprimento de onda λ das duas ondas b a diferença de fase entre as duas ondas e c a amplitude ym das duas ondas 68 Um pulso isolado cuja forma de onda é dada por hx 5t com x em centímetros e t em segundos é mostrado na Fig 1645 para t 0 A escala do eixo vertical é definida por hs 2 a Qual é a velocidade e b qual o sentido de propagação do pulso c Plote hx 5t em função de x para t 2 s d Plote hx 5t em função de t para x 10 cm Figura 1645 Problema 68 69 Três ondas senoidais de mesma frequência se propagam em uma corda no sentido positivo de um eixo x As amplitudes das ondas são y1 y12 e y13 e as constantes de fase são 0 π2 e π respectivamente a Qual é a amplitude e b qual a constante de fase da onda resultante c Plote a onda resultante no instante t 0 e discuta o comportamento da onda quando t aumenta 70 A Fig 1646 mostra a aceleração transversal ay do ponto x 0 de uma corda em função do tempo t quando uma onda com a forma geral yx t ym senkx ωt ϕ passa pelo ponto A escala do eixo vertical é definida por as 400 ms2 Qual é o valor de ϕ Atenção As calculadoras nem sempre mostram o valor correto de uma função trigonométrica inversa por isso verifique se o valor obtido para ϕ é o valor correto substituindoo na função yx t usando um valor numérico qualquer para ω e plotando a função assim obtida Figura 1646 Problema 70 71 Uma onda transversal senoidal é gerada em uma extremidade de uma longa corda horizontal por uma barra que se move para cima e para baixo ao longo de uma distância de 100 cm O movimento é contínuo e é repetido regularmente 120 vezes por segundo A corda tem uma massa específica linear de 120 gm e é mantida sob uma tração de 900 N Determine o valor máximo a da velocidade transversal u e b da componente transversal da tração τ c Mostre que os dois valores máximos calculados acima ocorrem para os mesmos valores da fase da onda Qual é o deslocamento transversal y da corda nessas fases d Qual é a taxa máxima de transferência de energia ao longo da corda e Qual é o deslocamento transversal y quando a taxa de transferência de energia é máxima f Qual é a taxa mínima de transferência de energia ao longo da corda g Qual é o deslocamento transversal y quando a taxa de transferência de energia é mínima 72 Duas ondas senoidais de 120 Hz de mesma amplitude se propagam no sentido positivo de um eixo x em uma corda sob tração As ondas podem ser geradas em fase ou defasadas A Fig 1647 mostra a amplitude y da onda resultante em função da distância de defasagem distância entre as ondas no mesmo instante A escala do eixo vertical é definida por ys 60 mm Se as equações das duas ondas são da forma yx t ym senkx ωt determine a ym b k c ω e d o sinal que precede ω Figura 1647 Problema 72 73 No instante t 0 e na posição x 0 de uma corda uma onda senoidal progressiva com uma frequência angular de 440 rads tem um deslocamento y 145 mm e uma velocidade transversal u 075 ms Caso a onda tenha a forma geral yx t ym senkx ωt ϕ qual é a constante de fase ϕ 74 A energia é transmitida a uma taxa P1 por uma onda de frequência f1 em uma corda sob uma tração τ1 Qual é a nova taxa de transmissão de energia P2 em termos de P1 a se a tração é aumentada para τ2 4τ1 e b se em vez disso a frequência é reduzida para f2 f12 75 a Qual é a onda transversal mais rápida que pode ser produzida em um fio de aço Por motivos de segurança a tração máxima à qual um fio de aço deve ser submetido é 700 108 Nm2 A massa específica do aço é 7800 kgm3 b A resposta depende do diâmetro do fio 76 Uma onda estacionária resulta da soma de duas ondas transversais progressivas dadas por y1 0050 cosπx 4πt y2 0050 cosπx 4πt em que x y1 e y2 estão em metros e t está em segundos a Qual é o menor valor positivo de x que corresponde a um nó Começando em t 0 determine b o primeiro c o segundo e d o terceiro instante em que a partícula situada em x 0 tem velocidade nula 77 A borracha usada em algumas bolas de beisebol e de golfe obedece à lei de Hooke para uma larga faixa de alongamentos Uma tira desse material tem um comprimento ℓ no estado relaxado e uma massa m Quando uma força F é aplicada a tira sofre um alongamento Δℓ a Qual é a velocidade em termos de m Δℓ e da constante elástica k das ondas transversais nessa tira de borracha sob tração b Use a resposta do item a para mostrar que o tempo necessário para que um pulso transversal atravesse a tira de borracha é proporcional a se Δℓ ℓ e é constante se Δℓ ℓ 78 A velocidade no vácuo das ondas eletromagnéticas como as ondas de luz visível as ondas de rádio e os raios X é 30 108 ms a Os comprimentos de onda da luz visível vão de aproximadamente 400 nm no violeta a 700 nm no vermelho Qual é o intervalo de frequências dessas ondas b O intervalo de frequências das ondas curtas de rádio como as ondas de rádio FM e de VHF da televisão é de 15 a 300 MHz Qual é o intervalo de comprimentos de onda correspondente c Os comprimentos de onda dos raios X vão de aproximadamente 50 nm a 10 102 nm Qual é o intervalo de frequências dos raios X 79 Um fio de 150 m de comprimento tem uma massa de 870 g e está sob uma tração de 120 N O fio é fixado rigidamente nas duas extremidades e posto para oscilar a Qual é a velocidade das ondas no fio Qual é o comprimento de onda das ondas que produzem ondas estacionárias b com meio comprimento de onda e c com um comprimento de onda Qual é a frequência das ondas que produzem ondas estacionárias d com meio comprimento de onda e e com um comprimento de onda 80 A menor frequência de ressonância de uma corda de um violino é a da nota lá de concerto 440 Hz Qual é a frequência a do segundo e b do terceiro harmônico da corda 81 Uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido negativo de um eixo x tem uma amplitude de 100 cm uma frequência de 550 Hz e uma velocidade de 330 ms Se a equação da onda é da forma yx t ym senkx ωt determine a ym b ω c k e d o sinal que precede ω 82 Duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada Para a onda 1 ym 30 mm e ϕ 0 para a onda 2 ym 50 mm e ϕ 70º a Qual é a amplitude e b qual a constante de fase da onda resultante 83 Uma onda transversal senoidal de amplitude ym e comprimento de onda λ se propaga em uma corda esticada a Determine a razão entre a velocidade máxima de uma partícula a velocidade com a qual uma partícula da corda se move na direção transversal à corda e a velocidade da onda b Essa razão depende do material do qual é feita a corda 84 As oscilações de um diapasão de 600 Hz produzem ondas estacionárias em uma corda presa nas duas extremidades A velocidade das ondas na corda é 400 ms A onda estacionária tem dois comprimentos de onda e uma amplitude de 20 mm a Qual é o comprimento da corda b Escreva uma expressão para o deslocamento da corda em função da posição e do tempo 85 Uma corda de 120 cm de comprimento está esticada entre dois suportes fixos Determine a o maior b o segundo maior e c o terceiro maior comprimento de onda das ondas que se propagam na corda para produzir ondas estacionárias d Esboce essas ondas estacionárias 86 a Escreva uma equação que descreva uma onda transversal senoidal se propagando em uma corda no sentido positivo de um eixo y com um número de onda de 60 cm1 um período de 020 s e uma amplitude de 30 mm Tome a direção transversal como a direção z b Qual é a velocidade transversal máxima de um ponto da corda 87 Uma onda em uma corda é descrita pela equação yx t 150 senπx8 4πt em que x e y estão em centímetros e t está em segundos a Qual é a velocidade transversal de um ponto da corda situado em x 600 cm para t 0250 s b Qual é a máxima velocidade transversal em qualquer ponto da corda c Qual é o módulo da aceleração transversal em um ponto da corda situado em x 600 cm para t 0250s d Qual é o módulo da aceleração transversal máxima em qualquer ponto da corda 88 Colete à prova de balas Quando um projétil veloz como uma bala ou um fragmento de bomba atinge um colete à prova de balas moderno o tecido do colete detém o projétil e impede a perfuração dispersando rapidamente a energia por uma grande área Essa dispersão é realizada por pulsos longitudinais e transversais que se afastam radialmente do ponto de impacto no qual o projétil produz no tecido uma depressão em forma de cone O pulso longitudinal que se propaga ao longo das fibras do tecido com velocidade vl faz com que as fibras se afinem e se distendam com uma transferência radial de massa na direção do ponto de impacto Uma dessas fibras radiais é mostrada na Fig 1648a Parte da energia do projétil é dissipada na deformação dessas fibras O pulso transversal que se propaga com uma velocidade menor vt está associado à depressão À medida que o projétil penetra no tecido o raio da depressão aumenta fazendo com que o material do colete se mova na mesma direção que o projétil perpendicularmente à direção de propagação do pulso transversal O resto da energia do projétil é dissipado nesse movimento Toda a energia que não está envolvida na deformação permanente das fibras é convertida em energia térmica Figura 1648 Problema 88 A Fig 1648b mostra um gráfico da velocidade v em função do tempo t para uma bala com uma massa de 102 g disparada por um revólver 38 Special em um colete à prova de balas As escalas dos eixos vertical e horizontal são definidas por vs 300 ms e τs 400 ms Suponha que vl 2000 ms e que o meio ângulo θ da depressão causada pela bala é 60o No final da colisão qual é o raio a da região deformada e b da depressão supondo que a pessoa que usava o colete tenha permanecido imóvel 89 Duas ondas são descritas por y1 030 senπ5x 200t e y2 030 senπ5x 200t π3 em que y1 y2 e x estão em metros e t está em segundos Quando as duas ondas são combinadas é produzida uma onda progressiva Determine a a amplitude b a velocidade e c o comprimento de onda da onda progressiva 90 Uma onda transversal senoidal com um comprimento de onda de 20 cm está se propagando no sentido positivo de um eixo x A Fig 1649 mostra a velocidade transversal da partícula situada em x 0 em função do tempo a escala do eixo vertical é definida por us 50 cms Determine a a velocidade b a amplitude e c a frequência da onda d Plote a onda entre x 0 e x 20 cm para o instante t 20 s Figura 1649 Problema 90 91 Em uma experiência de laboratório uma corda horizontal de 12 kg é fixada nas duas extremidades x 0 e x 20 m e colocada para oscilar para cima e para baixo no modo fundamental com uma frequência de 50 Hz No instante t 0 o ponto situado em x 10 m tem deslocamento nulo e está se movendo para cima no sentido positivo de um eixo y com uma velocidade transversal de 50 ms a Qual é a amplitude do movimento nesse ponto e b qual a tração da corda c Escreva a equação da onda estacionária para o modo fundamental 92 Duas ondas y1 250 mm sen251 radmx 440 radst y2 150 mm sen251 radmx 440 radst se propagam em uma corda esticada a Plote a onda resultante em função de t para x 0 λ8 λ4 3λ8 e λ2 em que λ é o comprimento de onda Os gráficos devem se estender de t 0 até pouco mais de um período b A onda resultante é a superposição de uma onda estacionária e uma onda progressiva Em que sentido se propaga a onda progressiva c Como devem ser mudadas as ondas originais para que a onda resultante seja uma superposição de uma onda estacionária e uma onda progressiva com as mesmas amplitudes que antes mas com a onda progressiva se propagando no sentido oposto Use os gráficos do item a para determinar o local em que a amplitude das oscilações é d máxima e e mínima f Qual é a relação entre a amplitude máxima das oscilações e as amplitudes das duas ondas originais g Qual é a relação entre a amplitude mínima das oscilações e as amplitudes das duas ondas originais 93 Uma onda progressiva em uma corda é descrita pela equação em que x e y estão em centímetros e t em segundos a Para t 0 plote y em função de x para 0 x 160 cm b Repita o item a para t 005 s e para t 010 s A partir desses gráficos determine c a velocidade da onda e d o sentido de propagação da onda 94 A Fig 1650 mostra um anel circular feito de corda que gira em torno do ponto central em um local em que a gravidade é desprezível O raio do anel é 400 cm e a velocidade tangencial de um elemento da corda é 500 cms A corda é posta para vibrar na direção radial Com que velocidade as ondas transversais se propagam ao longo do anel Sugestão Aplique a segunda lei de Newton a um segmento pequeno mas finito da corda Figura 1650 Problema 94 95 Uma onda progressiva de amplitude A incide em uma interface A onda refletida de amplitude menor B se combina com a onda incidente A figura de interferência resultante é mostrada na Fig 1651 A relação de onda estacionária é definida pela equação Figura 1651 Problema 95 O coeficiente de reflexão R é a razão entre a potência da onda refletida e a potência da onda incidente o que significa que é proporcional a BA2 Qual é o valor da ROE a para reflexão total e b para reflexão nula c Qual é o coeficiente de reflexão em termos percentuais para ROE 150 96 Considere um segmento entre dois nós de uma onda estacionária criada por duas ondas com uma amplitude de 500 mm e uma frequência de 120 Hz que se propagam em sentidos opostos em uma corda com 225 m de comprimento e 125 g de massa submetida a uma tração de 40 N A que taxa a energia entra no segmento a vindo de um lado da corda e b vindo dos dois lados da corda c Qual é a energia cinética máxima da corda no segmento durante as oscilações CAPÍTULO 17 Ondas II 171 A VELOCIDADE DO SOM Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1701 Saber a diferença entre uma onda longitudinal e uma onda transversal 1702 Definir frentes de onda e raios 1703 Conhecer a relação entre a velocidade do som em um material o módulo de elasticidade volumétrico do material e a massa específica do material 1704 Conhecer a relação entre a velocidade do som a distância percorrida por uma onda sonora e o tempo necessário para percorrer essa distância IdeiaChave As ondas sonoras são ondas mecânicas longitudinais que podem se propagar em sólidos líquidos e gases A velocidade v de uma onda sonora em um meio de módulo de elasticidade volumétrico B e massa específica ρ é dada por A velocidade do som no ar a 20oC é 343 ms O que É Física A física dos sons está presente em artigos científicos de muitas especialidades Vamos dar apenas alguns exemplos Os fisiologistas estão interessados em saber como a fala é produzida em corrigir defeitos de dicção em reduzir a perda da audição e até mesmo em evitar que uma pessoa ronque Os engenheiros acústicos procuram melhorar a acústica das catedrais e das salas de concertos reduzir o nível de ruído perto de rodovias e obras públicas e reproduzir sons musicais em sistemas de altofalantes com o máximo de fidelidade Os engenheiros aeronáuticos estudam as ondas de choque produzidas pelos caças supersônicos e o ruído dos jatos comerciais nas proximidades dos aeroportos Os engenheiros biomédicos procuram descobrir o que os ruídos produzidos pelo coração e pelos pulmões significam em termos da saúde do paciente Os paleontólogos tentam associar os ossos dos dinossauros ao modo como os animais emitiam sons Os engenheiros militares verificam se é possível localizar um atirador de tocaia pelo som dos disparos e do lado mais ameno os biólogos estudam o ronronar dos gatos Antes de começar a discutir a física dos sons devemos responder à seguinte pergunta O que são ondas sonoras Ondas Sonoras Como vimos no Capítulo 16 as ondas mecânicas necessitam de um meio material para se propagar Existem dois tipos de ondas mecânicas ondas transversais nas quais as oscilações acontecem em uma direção perpendicular à direção de propagação da onda e ondas longitudinais nas quais as oscilações acontecem na direção de propagação da onda Neste livro onda sonora é definida genericamente como qualquer onda longitudinal As equipes de prospecção usam essas ondas para sondar a crosta terrestre em busca de petróleo Os navios possuem equipamentos de localização por meio do som sonar para detectar obstáculos submersos Os submarinos usam ondas sonoras para emboscar outros submarinos ouvindo os ruídos produzidos pelo sistema de propulsão A Fig 171 ilustra o uso de ondas sonoras para visualizar os tecidos moles dos seres vivos Neste capítulo vamos nos concentrar nas ondas sonoras que se propagam no ar e podem ser ouvidas pelas pessoas A Fig 172 ilustra várias ideias que serão usadas em nossas discussões O ponto S representa uma pequena fonte sonora chamada fonte pontual que emite ondas sonoras em todas as direções As frentes de onda e os raios indicam o espalhamento e as direções de propagação das ondas sonoras Frentes de onda são superfícies nas quais as oscilações produzidas pelas ondas sonoras têm o mesmo valor essas superfícies são representadas por circunferências completas ou parciais em um desenho bidimensional de uma fonte pontual Raios são retas perpendiculares às frentes de onda que indicam as direções de propagação das frentes de onda As setas duplas sobrepostas aos raios da Fig 172 indicam que as oscilações longitudinais do ar são paralelas aos raios Nas proximidades de uma fonte pontual como a da Fig 172 as frentes de onda são esféricas e se espalham em três dimensões ondas desse tipo são chamadas de ondas esféricas À medida que as frentes de onda se expandem e seu raio aumenta a curvatura diminui Muito longe da fonte as frentes de onda são aproximadamente planas ou retas em desenhos bidimensionais ondas desse tipo são chamadas de ondas planas Mauro FermarielloSPLPhoto Researchers Inc Figura 171 Esta tartarugacabeçuda está sendo examinada com ultrassom uma frequência acima de nossa faixa de audição uma imagem do interior do animal está sendo mostrada em um monitor que não aparece na foto A Velocidade do Som A velocidade de uma onda mecânica seja ela transversal ou longitudinal depende tanto das propriedades inerciais do meio para armazenar energia cinética como das propriedades elásticas do meio para armazenar energia potencial Assim podemos generalizar a Eq 1626 usada para calcular a velocidade de uma onda transversal em uma corda escrevendo em que para ondas transversais τ é a tração da corda e μ é a massa específica linear da corda Se o meio de propagação é o ar e a onda é longitudinal podemos deduzir facilmente que a propriedade inercial que corresponde a μ é a massa específica ρ do ar O que corresponde porém à propriedade elástica Em uma corda esticada a energia potencial está associada à deformação periódica dos elementos da corda quando a onda passa por esses elementos Quando uma onda sonora se propaga no ar a energia potencial está associada à compressão e à expansão de pequenos elementos de volume do ar A propriedade que determina o quanto um elemento de um meio muda de volume quando é submetido a uma pressão força por unidade de área é o módulo de elasticidade volumétrico B definido pela Eq 12 25 como Nesta equação ΔVV é a variação relativa de volume produzida por uma variação de pressão Δp Como vimos no Módulo 141 a unidade de pressão do SI é o newton por metro quadrado que recebe o nome de pascal Pa De acordo com a Eq 172 a unidade de B também é o pascal Os sinais de Δp e ΔV são opostos quando aumentamos a pressão sobre um elemento ou seja quando Δp é positivo o volume diminui ΔV é negativo Incluímos um sinal negativo na Eq 172 para que B seja um número positivo Substituindo t por B e μ por ρ na Eq 171 obtemos a equação Figura 172 Uma onda sonora se propaga a partir de uma fonte pontual S em um meio tridimensional As frentes de onda formam esferas com centro em S os raios são perpendiculares às frentes de onda As setas de duas cabeças mostram que os elementos do meio no qual a onda está se propagando oscilam na direção dos raios que nos dá a velocidade do som em um meio de módulo de elasticidade volumétrico B e massa específica ρ A Tabela 171 mostra a velocidade do som em vários meios A massa específica da água é quase 1000 vezes maior que a do ar Se esse fosse o único fator importante esperaríamos de acordo com a Eq 173 que a velocidade do som na água fosse muito menor que a velocidade do som no ar Entretanto a Tabela 171 mostra o contrário Concluímos novamente a partir da Eq 173 que o módulo de elasticidade volumétrico da água é mais de 1000 vezes maior que o do ar Esse é realmente o caso A água é muito mais incompressível do que o ar o que veja a Eq 172 é outra forma de dizer que o módulo de elasticidade volumétrico da água é muito maior que o do ar Tabela 171 A Velocidade do Som em Vários Meiosa Meio Velocidade ms Gases Ar 0oC 331 Ar 20oC 343 Hélio 965 Hidrogênio 1284 Líquidos Água 0oC 1402 Água 20oC 1482 Água salgadab 1522 Sólidos Alumínio 6420 Aço 5941 Granito 6000 aA 0oC e 1 atm de pressão a menos que haja uma indicação em contrário bA 20oC e com 35 de salinidade Demonstração Formal da Eq 173 Vamos agora demonstrar a Eq 173 aplicando diretamente as leis de Newton Considere um pulso isolado de compressão do ar que se propaga da direita para a esquerda com velocidade v em um tubo como o da Fig 162 Vamos escolher um referencial que se move com a mesma velocidade que o pulso A Fig 173a mostra a situação do ponto de vista desse referencial O pulso permanece estacionário e o ar passa por ele com velocidade v movendose da esquerda para a direita Sejam p a pressão do ar não perturbado e p Δp a pressão na região do pulso em que Δp é positivo devido à compressão Considere um elemento de ar de espessura Δx e seção reta A movendose em direção ao pulso com velocidade v Quando o elemento de ar penetra no pulso a borda dianteira encontra uma região de maior pressão que reduz a velocidade do elemento para v Δv em que Δv é um número negativo A redução de velocidade termina quando a borda traseira do elemento penetra no pulso o que acontece após um intervalo de tempo dado por Vamos aplicar a segunda lei de Newton ao elemento Durante o intervalo de tempo Δt a força média exercida sobre a borda traseira do elemento é pA dirigida para a direita e a força média exercida sobre a face dianteira é p ΔpA dirigida para a esquerda Fig 173b Assim a força resultante média exercida sobre o elemento durante o intervalo Δt é O sinal negativo indica que a força resultante que age sobre o elemento de ar aponta para a esquerda na Fig 173b O volume do elemento é AΔx assim com a ajuda da Eq 174 podemos escrever a massa como A aceleração média do elemento durante o intervalo Δt é Figura 173 Um pulso de compressão se propaga da direita para a esquerda em um tubo longo cheio de ar O referencial da figura foi escolhido de tal forma que o pulso permanece em repouso e o ar se move da esquerda para a direita a Um elemento de ar de largura Δx se move em direção ao pulso com velocidade v b A borda dianteira do elemento penetra no pulso São mostradas as forças associadas à pressão do ar que agem sobre as bordas dianteira e traseira De acordo com a segunda lei de Newton F ma e as Eqs 175 176 e 177 temos que pode ser escrita na forma O ar que ocupa um volume V Av Δt fora do pulso sofre uma redução de volume ΔV A Δv Δt ao penetrar no pulso Assim Substituindo a Eq 1710 e a Eq 172 na Eq 179 obtemos Explicitando v obtemos a Eq 173 para a velocidade do ar para a direita na Fig 173 e portanto a velocidade do pulso para a esquerda 172 ONDAS SONORAS PROGRESSIVAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1705 Calcular o deslocamento sx t de um elemento de ar produzido pela passagem de uma onda sonora em um dado local e em um dado instante 1706 Dada a função deslocamento sx t de uma onda sonora calcular o intervalo de tempo entre dois deslocamentos 1707 No caso de uma onda sonora conhecer as relações entre a velocidade v da onda a frequência angular v o número de onda k o comprimento de onda λ o período T e a frequência f 1708 Desenhar um gráfico do deslocamento sx de um elemento de ar em função da posição e indicar a amplitude sm e o comprimento de onda λ 1709 Calcular a variação de pressão Δp em relação à pressão atmosférica causada pela passagem de uma onda sonora em um dado local e em um dado instante 1710 Desenhar um gráfico da variação de pressão Δpx de um elemento em função da posição e indicar a amplitude Δpm e o comprimento de onda λ 1711 Conhecer a relação entre a amplitude da variação de pressão Δpm e a amplitude do deslocamento sm 1712 Dado um gráfico do deslocamento s em função do tempo t para uma onda sonora determinar a amplitude sm e o período T do deslocamento 1713 Dado um gráfico da variação de pressão Δp em função do tempo t para uma onda sonora determinar a amplitude Δpm e o período T da variação de pressão IdeiasChave Uma onda sonora de comprimento de onda λ e frequência f produz um deslocamento longitudinal s de um elemento de massa do ar que pode ser descrito pela equação s sm coskx ωt em que sm é a amplitude do deslocamento k 2πλ e ω 2πf Uma onda sonora também produz uma variação Δp da pressão do ar que pode ser descrita pela equação Δp Δpm senkx ωt em que a amplitude da variação de pressão é Δpm vρωsm Ondas Sonoras Progressivas Vamos agora examinar os deslocamentos e as variações de pressão associados a uma onda sonora senoidal que se propaga no ar A Fig 174a mostra uma onda se propagando para a direita em um tubo longo cheio de ar Como vimos no Capítulo 16 uma onda desse tipo pode ser produzida movendo senoidalmente um êmbolo na extremidade esquerda do tubo como na Fig 162 O movimento do êmbolo para a direita desloca o elemento de ar mais próximo e comprime o ar o movimento do êmbolo para a esquerda permite que o elemento de ar se desloque de volta para a esquerda e que a pressão diminua Como cada elemento de ar afeta o elemento que está ao lado os movimentos do ar para a direita e para a esquerda e as variações de pressão se propagam ao longo do tubo na forma de uma onda sonora Figura 174 a Uma onda sonora que se propaga com velocidade v em um tubo longo cheio de ar é composta por uma série de expansões e compressões periódicas do ar que se desloca ao longo do tubo A onda é mostrada em um instante arbitrário b Uma vista horizontal ampliada de uma pequena parte do tubo Quando a onda passa um elemento de ar de espessura Δx oscila para a esquerda e para a direita em um movimento harmônico simples em torno da posição de equilíbrio No instante mostrado em b o elemento se encontra deslocado de uma distância s para a direita da posição de equilíbrio O deslocamento máximo para a direita ou para a esquerda é sm Considere o elemento de ar de espessura Δx da Fig 174b Quando a onda atravessa essa parte do tubo o elemento de ar oscila para a esquerda e para a direita em um movimento harmônico simples em torno da posição de equilíbrio Assim as oscilações dos elementos de ar produzidas pela onda sonora progressiva são semelhantes às oscilações dos elementos de uma corda produzidas por uma onda transversal exceto pelo fato de que a oscilação dos elementos de ar é longitudinal em vez de transversal Como os elementos da corda oscilam paralelamente ao eixo y escrevemos os deslocamentos na forma yx t Por analogia como os elementos de ar oscilam paralelamente ao eixo x poderíamos escrever os deslocamentos na forma xx t entretanto para evitar confusão da função x com a variável x vamos usar a notação sx t Deslocamento Para representar os deslocamentos sx t como funções senoidais de x e de t poderíamos usar uma função seno ou uma função cosseno Neste capítulo vamos usar uma função cosseno escrevendo A Fig 175a identifica as várias partes da Eq 1712 O fator sm é a amplitude do deslocamento ou seja o deslocamento máximo do elemento de ar em qualquer sentido a partir da posição de equilíbrio veja a Fig 174b O número de onda k a frequência angular v a frequência f o comprimento de onda λ a velocidade v e o período T de uma onda sonora longitudinal são definidos do mesmo modo e obedecem às mesmas relações que para uma onda transversal exceto pelo fato de que agora λ é a distância na direção de propagação para a qual o padrão de compressões e expansões associado à onda começa a se repetir veja a Fig 174a Estamos supondo que sm é muito menor do que λ Pressão Quando a onda se propaga a pressão do ar em qualquer posição x da Fig 174a varia senoidalmente como será demonstrado a seguir Para descrever essa variação escrevemos A Fig 175b identifica as várias partes da Eq 1713 Um valor negativo de Δp na Eq 1713 corresponde a uma expansão do ar um valor positivo a uma compressão O fator Δpm é a amplitude da pressão ou seja o máximo aumento ou diminuição de pressão associado à onda Δpm é normalmente muito menor que a pressão p na ausência da onda Como vamos demonstrar a amplitude da pressão Δpm está relacionada à amplitude do deslocamento sm da Eq 1712 pela equação Figura 175 a A função deslocamento e b a função variação de pressão de uma onda sonora progressiva são produtos de dois fato res uma amplitude e um termo oscilatório A Fig 176 mostra os gráficos das Eqs 1712 e 1713 no instante t 0 com o passar do tempo as duas curvas se movem para a direita ao longo do eixo horizontal Note que o deslocamento e a variação de pressão estão defasados de π2 rad ou 90 Assim por exemplo a variação de pressão Δp em qualquer ponto da onda é nula no instante em que o deslocamento é máximo Figura 176 a Um gráfico da função desloca mento Eq 1712 para t 0 b Um gráfico semelhante da função variação de pressão Eq 1713 Os dois gráficos são para uma onda sonora de 1000 Hz cuja amplitude de pressão está no limiar da dor Teste 1 Quando o elemento de ar oscilante da Fig 174b acabou de passar pelo ponto de deslocamento nulo ponto de equilíbrio a pressão do elemento está começando a aumentar ou começando a diminuir Demonstração das Eqs 1713 e 1714 A Fig 174b mostra um elemento de ar oscilante de seção reta A e espessura Δx com o centro deslocado de uma distância s em relação à posição de equilíbrio De acordo com a Eq 172 podemos escrever para a variação de pressão do elemento deslocado A grandeza V da Eq 1715 é o volume do elemento dado por A grandeza ΔV da Eq 1715 é a variação de volume que ocorre quando o elemento é deslocado Essa variação de volume acontece porque os deslocamentos das duas extremidades do elemento não são exatamente iguais diferindo de um valor Δs Assim podemos escrever a variação de volume como Substituindo as Eqs 1716 e 1717 na Eq 1715 e passando ao limite diferencial obtemos O símbolo é usado para indicar que a derivada da Eq 1718 é uma derivada parcial que nos diz como s varia com x quando o tempo t é mantido constante De acordo com a Eq 1712 tratando t como uma constante temos Substituindo este resultado para a derivada parcial na Eq 1718 obtemos Δp Bksm senkx ωt Isso significa que a pressão é uma função senoidal do tempo e que a amplitude da variação é igual ao produto de três fatores que multiplica a função seno Fazendo Δpm Bksm obtemos a Eq 1713 que queríamos demonstrar Usando a Eq 173 podemos agora escrever Δpm Bksm v2ρksm A Eq 1714 que também queríamos demonstrar é obtida usando a Eq 1612 para substituir k por ωv Exemplo 1701 Amplitude da pressão e amplitude do deslocamento A amplitude máxima de pressão Δpm que o ouvido humano pode suportar associada a sons muito altos é da ordem de 28 Pa muito menor portanto que a pressão normal do ar aproximadamente 105 Pa Qual é a amplitude do deslocamento sm correspondente supondo que a massa específica do ar é ρ 121 kgm3 a frequência do som é 1000 Hz e a velocidade do som é 343 ms IDEIACHAVE A amplitude do deslocamento sm de uma onda sonora está relacionada à amplitude da pressão Δpm da onda pela Eq 1714 Cálculos Explicitando sm na Eq 1714 obtemos Substituindo os valores conhecidos obtemos Esse valor corresponde a um sétimo da espessura de uma folha de papel Obviamente a amplitude do deslocamento que o ouvido pode tolerar é muito pequena Uma curta exposição a sons muito altos produz uma perda temporária da audição causada provavelmente por uma diminuição da irrigação sanguínea do ouvido interno Uma exposição prolongada pode produzir danos irreversíveis A amplitude da pressão Δpm para o som mais fraco de 1000 Hz que o ouvido humano pode detectar é 28 105 Pa Procedendo como anteriormente obtemos sm 11 1011 m ou 11 pm que corresponde a um décimo do raio de um átomo típico O ouvido é de fato um detector muito sensível de ondas sonoras 173 INTERFERÊNCIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1714 Calcular em função da diferença de percurso ΔL e do comprimento de onda λ a diferença de fase ϕ entre duas ondas sonoras que são geradas em fase e chegam ao mesmo destino por caminhos diferentes 1715 Dada a diferença de fase entre duas ondas sonoras de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda que estão se propagando aproximadamente na mesma direção determinar o tipo de interferência entre as ondas construtiva destrutiva ou intermediária 1716 Converter uma diferença de fase em radianos para graus ou número de comprimentos de onda e viceversa IdeiasChave A interferência entre duas ondas sonoras de mesmo comprimento de onda que passam pelo mesmo ponto depende da diferença de fase ϕ entre as ondas Se as ondas foram emitidas em fase e estão se propagando aproximadamente na mesma direção a diferença de fase ϕ é dada por em que ΔL é a diferença de percurso das duas ondas A interferência construtiva acontece quando a diferença de fase é um múltiplo de 2π ou seja quando ϕ m2π para m 0 1 2 o que também significa que A interferência destrutiva acontece quando a diferença de fase é um múltiplo ímpar de π ou seja quando ϕ 2m 1π para m 0 1 2 ou Interferência Como as ondas transversais as ondas sonoras podem sofrer interferência Vamos considerar em particular a interferência entre duas ondas sonoras de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda que se propagam no sentido positivo do eixo x com uma diferença de fase de ϕ Poderíamos expressar as ondas na forma das Eqs 1647 e 1648 entretanto para sermos coerentes com a Eq 1712 vamos usar funções cosseno em vez de funções seno s1x t sm coskx ωt e s2x t sm coskx ωt ϕ Essas ondas se superpõem e interferem mutuamente De acordo com a Eq 1651 a onda resultante é dada por Como no caso das ondas transversais a onda resultante também é uma onda progressiva cuja amplitude é o valor absoluto da constante que multiplica a função cosseno Como no caso das ondas transversais o tipo de interferência é determinado pelo valor de ϕ Figura 177 a Duas fontes pontuais S1 e S2 emitem ondas sonoras esféricas em fase Os raios mostram que as ondas passam por um ponto comum P As ondas representadas por gráficos transversais chegam ao ponto P b exatamente em fase e c exatamente fora de fase Uma forma de controlar o valor de ϕ é fazer com que as ondas percorram distâncias diferentes para chegarem ao ponto no qual acontece a interferência A Fig 177a mostra uma situação desse tipo Duas fontes pontuais S1 e S2 emitem ondas sonoras que estão em fase e têm o mesmo comprimento de onda λ Em casos como esse dizemos que as fontes estão em fase ou seja que as ondas têm o mesmo deslocamento nos pontos S1 e S2 da Fig 177a Estamos interessados nas ondas que chegam ao ponto P da figura Vamos supor que a distância entre as fontes e o ponto P é muito maior que a distância entre as fontes caso em que podemos dizer que as ondas estão se propagando aproximadamente na mesma direção no ponto P Se as ondas percorressem distâncias iguais para chegar ao ponto P estariam em fase nesse ponto Como no caso das ondas transversais isso significa que sofreriam interferência construtiva Entretanto na Fig 177a o caminho L2 percorrido pela onda gerada pela fonte S2 é maior do que o caminho L1 percorrido pela onda gerada pela fonte S1 A diferença de percurso significa que as ondas podem não estar em fase no ponto P Em outras palavras a diferença de fase ϕ no ponto P depende da diferença de percurso ΔL L2 L1 Para relacionar a diferença de fase ϕ à diferença de percurso ΔL levamos em conta o fato de que como foi visto no Módulo 161 uma diferença de fase de 2π rad corresponde a um comprimento de onda Assim podemos escrever a relação o que nos dá A interferência construtiva acontece se ϕ é zero 2π ou qualquer múltiplo inteiro de 2π Podemos escrever essa condição na forma De acordo com a Eq 1721 isso acontece quando a razão ΔLλ é Assim por exemplo se a diferença de percurso ΔL L2 L1 da Fig 177a é 2λ então ΔLλ 2 e as ondas sofrem interferência construtiva no ponto P Fig 177b A interferência é construtiva porque a onda proveniente de S2 está deslocada em fase de 2λ em relação à onda proveniente de S1 o que coloca as duas ondas com a mesma fase no ponto P A interferência destrutiva acontece se ϕ é um múltiplo ímpar de π condição que podemos escrever como De acordo com a Eq 1721 isso acontece quando a razão ΔLλ é Assim por exemplo se a diferença de percurso ΔL L2 L1 da Fig 177a é 25λ então ΔLλ 25 e as ondas sofrem interferência destrutiva no ponto P Fig 177c A interferência é destrutiva porque a onda proveniente de S2 está deslocada em fase de 25λ em relação à onda proveniente de S1 o que coloca as duas ondas com fases opostas no ponto P Naturalmente duas ondas podem produzir uma interferência intermediária Se ΔLλ 12 por exemplo a interferência nem é construtiva nem destrutiva mas está mais próxima de ser construtiva ΔL λ 10 do que de ser destrutiva ΔLλ 15 Exemplo 1702 Interferência em pontos de uma circunferência Na Fig 178a duas fontes pontuais S1 e S2 separadas por uma distância D 15λ emitem ondas sonoras de mesma amplitude fase e comprimento de onda λ a Qual é a diferença de percurso das ondas de S1 e S2 no ponto P1 que está na mediatriz do segmento de reta que liga as duas fontes a uma distância das fontes maior que D Fig 178b Ou seja qual é a diferença entre a distância da fonte S1 ao ponto P1 e a distância da fonte S2 ao ponto P1 Que tipo de interferência ocorre no ponto P1 Raciocínio Como as duas ondas percorrem distâncias iguais para chegar a P1 a diferença de percurso é De acordo com a Eq 1723 isso significa que as ondas sofrem interferência construtiva em P1 b Quais são a diferença de percurso e o tipo de interferência no ponto P2 na Fig 178c Raciocínio A onda produzida por S1 percorre uma distância adicional D 15λ para chegar a P2 Assim a diferença de percurso é De acordo com a Eq 1725 isso significa que as ondas estão com fases opostas em P2 e a interferência é destrutiva c A Fig 178d mostra uma circunferência de raio muito maior que D cujo centro está no ponto médio entre S1 e S2 Qual é o número de pontos N da circunferência nos quais a interferência é construtiva Ou seja em quantos pontos as ondas chegam em fase Raciocínio Imagine que partindo do ponto a nos deslocamos no sentido horário ao longo da circunferência até o ponto d No caminho a diferença de percurso ΔL aumenta continuamente Como foi visto no item a a diferença de percurso no ponto a é ΔL 0λ Como foi visto no item b ΔL 15λ no ponto d Assim deve existir um ponto entre a e d ao longo da circunferência no qual ΔL λ como mostra a Fig 178e De acordo com a Eq 1723 uma interferência construtiva ocorre nesse ponto Além disso não existe outro ponto ao longo do percurso de a a d no qual ocorre interferência construtiva já que 1 é o único número inteiro entre 0 e 15 Figura 178 a Duas fontes pontuais S1 e S2 separadas por uma distância D emitem ondas sonoras esféricas em fase b As ondas percorrem distâncias iguais para chegar ao ponto P1 c O ponto P2 está na linha reta que passa por S1 e S2 d Consideramos uma circunferência de raio muito maior que a distância entre S1 e S2 e Outro ponto de interferência construtiva f Uso da simetria para determinar outros pontos g Os seis pontos de interferência construtiva Podemos agora usar a simetria para localizar os outros pontos de interferência construtiva no resto da circunferência Fig 178f A simetria em relação à reta cd nos dá o ponto b no qual ΔL 0λ Como o ponto a o ponto b está na mediatriz do segmento de reta que liga as duas fontes e portanto a diferença de percurso até o ponto b é zero Existem mais três pontos para os quais ΔL λ No total Fig 178g temos 174 INTENSIDADE E NÍVEL SONORO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1717 Saber que a intensidade sonora I em uma superfície é a razão entre a potência P da onda sonora e a área A da superfície 1718 Conhecer a relação entre a intensidade sonora I e a amplitude do deslocamento sm da onda sonora 1719 Saber o que é uma fonte sonora isotrópica 1720 No caso de uma fonte sonora isotrópica conhecer a relação entre a potência Ps da onda emitida pela fonte a distância entre a fonte e um detector e a intensidade sonora I medida pelo detector 1721 Conhecer a relação entre o nível sonoro β a intensidade sonora I e a intensidade de referência I0 1722 Calcular o valor de um logaritmo log e de um antilogaritmo log1 1723 Conhecer a relação entre uma variação do nível sonoro e uma variação da intensidade sonora IdeiasChave A intensidade I de uma onda sonora em uma superfície é a taxa média por unidade de área com a qual a energia contida na onda atravessa a superfície ou é absorvida pela superfície em que P é a taxa de transferência da energia potência da onda sonora e A é a área da superfície que intercepta a onda sonora A intensidade I está relacionada à amplitude do deslocamento sm pela equação A intensidade a uma distância ρ de uma fonte pontual isotrópica que emite ondas sonoras de potência Ps é dada por O nível sonoro β em decibéis dB é definido pela equação em que I0 1012 Wm2 é um nível sonoro de referência Se a intensidade é multiplicada por 10 o nível sonoro aumenta de 10 dB Intensidade e Nível Sonoro Se você já tentou dormir enquanto alguém ouvia música a todo volume sabe muito bem que existe algo no som além da frequência comprimento de onda e velocidade a intensidade A intensidade I de uma onda sonora em uma superfície é a taxa média por unidade de área com a qual a energia contida na onda atravessa a superfície ou é absorvida pela superfície Matematicamente temos em que P é a taxa de variação com o tempo da transferência de energia ou seja a potência da onda sonora e A é a área da superfície que intercepta o som Como vamos mostrar daqui a pouco a intensidade I está relacionada à amplitude do deslocamento sm da onda sonora pela equação A intensidade sonora é uma grandeza objetiva que pode ser medida com um detector O volume sonoro é uma grandeza subjetiva que se refere ao modo como o som é percebido por uma pessoa As duas grandezas podem ser diferentes porque a percepção depende de fatores como a sensibilidade do sistema de audição a sons de diferentes frequências Figura 179 Uma fonte pontual S emite ondas sonoras com a mesma intensidade em todas as direções As ondas atravessam uma esfera imaginária de raio r e centro em S Variação da Intensidade com a Distância Em geral a intensidade sonora varia com a distância de uma fonte real de uma forma bastante complexa Algumas fontes reais como os altofalantes podem emitir o som apenas em certas direções e o ambiente normalmente produz ecos ondas sonoras refletidas que se superpõem às ondas sonoras originais Em algumas situações porém podemos ignorar os ecos e supor que a fonte sonora é uma fonte pontual e isotrópica ou seja que emite o som com a mesma intensidade em todas as direções As frentes de onda que existem em torno de uma fonte pontual isotrópica S em um dado instante são mostradas na Fig 179 Vamos supor que a energia mecânica das ondas sonoras é conservada quando as ondas se espalham a partir de uma fonte pontual isotrópica e construir uma esfera imaginária de raio ρ e centro na fonte como mostra a Fig 179 Como toda a energia emitida pela fonte passa pela superfície da esfera a taxa com a qual a energia das ondas sonoras atravessa a superfície é igual à taxa com a qual a energia é emitida pela fonte ou seja a potência Ps da fonte De acordo com a Eq 1726 a intensidade I da onda sonora na superfície da esfera é dada por em que 4πr2 é a área da esfera A Eq 1728 nos diz que a intensidade do som emitido por uma fonte pontual isotrópica diminui com o quadrado da distância ρ da fonte Teste 2 A figura mostra três pequenas regiões 1 2 e 3 na superfície de duas esferas imaginárias cujo centro está em uma fonte sonora pontual isotrópica S As taxas com a quais a energia das ondas sonoras atravessa as três regiões são iguais Ordene as regiões de acordo a com a intensidade do som na região e b com a área da região em ordem decrescente Ben Rose O som pode fazer um copo de vidro oscilar Se o som produz uma onda estacionáriae a intensidade do som é elevada o vidro pode quebrar A Escala de Decibéis A amplitude do deslocamento no interior do ouvido humano varia de cerca de 105 m para o som mais alto tolerável a cerca de 1011 m para o som mais fraco detectável uma razão de 106 Como de acordo com a Eq 1727 a intensidade de um som varia com o quadrado da amplitude a razão entre as intensidades nesses dois limites do sistema auditivo humano é 1012 Isso significa que os seres humanos podem ouvir sons com uma enorme faixa de intensidades Para lidar com um intervalo tão grande de valores recorremos aos logaritmos Considere a relação y log x em que x e y são variáveis Uma propriedade dessa equação é que se x é multiplicado por 10 y aumenta de 1 unidade Para verificar se isso é verdade basta escrever y log10x log 10 log x 1 y Da mesma forma quando multiplicamos x por 1012 y aumenta apenas de 12 unidades Assim em vez de falarmos da intensidade I de uma onda sonora é muito mais conveniente falarmos do nível sonoro β definido pela expressão em que dB é a abreviação de decibel a unidade de nível sonoro um nome escolhido em homenagem a Alexander Graham Bell1 I0 na Eq 1729 é uma intensidade de referência 1012 Wm2 cujo valor foi escolhido porque está próximo do limite inferior da faixa de audição humana Para I I0 a Eq 1729 nos dá β 10 log 1 0 de modo que a intensidade de referência corresponde a zero decibel O valor de β aumenta em 10 dB toda vez que a intensidade sonora aumenta de uma ordem de grandeza um fator de 10 Assim β 40 corresponde a uma intensidade 104 vezes maior que a intensidade de referência A Tabela 172 mostra os níveis sonoros em alguns ambientes Demonstração da Eq 1727 Considere na Fig 174a uma fatia fina de ar de espessura dx área A e massa dm oscilando para a frente e para trás enquanto a onda sonora da Eq 1712 passa por ela A energia cinética dK da fatia de ar é em que vs não é a velocidade da onda mas a velocidade de oscilação do elemento de ar obtida a partir da Eq 1712 Usando essa relação e fazendo dm ρA dx podemos escrever a Eq 1730 na forma Dividindo a Eq 1731 por dt obtemos a taxa com a qual a energia cinética se desloca com a onda Como vimos no Capítulo 16 para ondas transversais dxdt é a velocidade v da onda de modo que Tabela 172 Alguns Níveis Sonoros em dB Limiar da audição 0 Farfalhar de folhas 10 Conversação 60 Show de rock 110 Limiar da dor 120 Turbina a jato 130 A taxa média com a qual a energia cinética é transportada é Para obter essa equação usamos o fato de que o valor médio do quadrado de uma função seno ou cosseno para uma oscilação completa é 12 Supomos que a energia potencial é transportada pela onda à mesma taxa média A intensidade I da onda que é a taxa média por unidade de área com a qual a energia nas duas formas é transmitida pela onda é portanto de acordo com a Eq 1733 que é a Eq 1727 a equação que queríamos demonstrar Exemplo 1703 Variação da intensidade de uma onda sonora cilíndrica com a distância Uma centelha elétrica tem a forma de um segmento de reta de comprimento L 10 m e emite um pulso sonoro que se propaga radialmente Dizemos que a centelha é uma fonte linear de som A potência da emissão é Ps 16 104 W a Qual é a intensidade I do som a uma distância ρ 12 m da centelha IDEIASCHAVE 1 Vamos construir um cilindro imaginário de raio ρ 12 m e comprimento L 10 m aberto nas extremidades em torno da centelha como mostra a Fig 1710 A intensidade I na superfície do cilíndrico é dada pela razão PA em que P é a taxa com a qual a energia sonora atravessa a superfície e A é a área da superfície 2 Supomos que o princípio da conservação da energia se aplica à energia sonora Isso significa que a taxa P com a qual a energia passa pela superfície do cilindro é igual à taxa Ps com a qual a energia é emitida pela fonte Figura 1710 Uma centelha na forma de um segmento de reta de comprimento L emite ondas sonoras radiais As ondas atravessam um cilindro imaginário de raio r e comprimento L cujo eixo coincide com a centelha Cálculos Juntando essas ideias e notando que a área da superfície cilíndrica é A 2πrL temos Isso nos diz que a intensidade do som produzido por uma fonte sonora linear diminui com a distância ρ e não com o quadrado da distância ρ como no caso de uma fonte pontual Substituindo os valores conhecidos obtemos b A que taxa Pd a energia sonora é interceptada por um detector acústico de área Ad 20 cm2 apontado para a centelha e situado a uma distância ρ 12 m da centelha Cálculos Sabemos que a intensidade do som no detector é a razão entre a taxa de transferência de energia Pd nesse local e a área Ad do detector Podemos imaginar que o detector está na superfície cilíndrica do item a Nesse caso a intensidade sonora no detector é igual à intensidade I 212 Wm2 na superfície cilíndrica Explicitando Pd na Eq 1735 obtemos Exemplo 1704 Intensidade sonora em decibéis Muitos músicos veteranos de rock sofrem de perda aguda da audição por causa dos altos níveis sonoros a que foram submetidos durante anos Atualmente muitos músicos de rock usam proteções especiais nos ouvidos durante as apresentações Fig 1711 Se um protetor de ouvido diminui o nível sonoro em 20 dB qual é a razão entre a intensidade final If e a intensidade inicial Ii IDEIACHAVE Tanto para a onda final como para a onda inicial o nível sonoro β está relacionado à intensidade pela definição de nível sonoro da Eq 1729 Cálculos Para a onda final temos e para a onda inicial temos A diferença entre os níveis sonoros é Usando a identidade podemos escrever a Eq 1736 na forma Tim MosenfelderGetty Imagens Inc Figura 1711 Lars Ulrich da banda Metallica é um dos que apoiam a orga nização HEAR Hearing Education and Awareness for Rockers que alerta para os danos que altos ní veis sonoros podem causar à audição Reagrupando os termos e substituindo a redução do nível sonoro βf βi por 220 dB obtemos Em seguida tomamos o antilogaritmo de ambos os membros da equação Embora o antilogaritmo de 20 que é 1020 possa ser calculado mentalmente você pode utilizar uma calculadora digitando 1020 ou usando a tecla 10x O resultado é Assim o protetor de ouvido reduz a intensidade das ondas sonoras para 0010 da intensidade inicial o que corresponde a uma redução de duas ordens de grandeza 175 FONTES DE SONS MUSICAIS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1724 Usando os mesmos padrões de ondas estacionárias de ondas em cordas desenhar os padrões de ondas estacionárias dos primeiros harmônicos acústicos de um tubo com uma extremidade aberta e de um tubo com as duas extremidades abertas 1725 Conhecer a relação entre a distância entre os nós e o comprimento de onda de uma onda sonora estacionária 1726 Saber que tipo de tubo possui harmônicos pares 1727 Para um dado harmônico e para um tubo com uma extremidade aberta ou com as duas extremidades abertas conhecer a relação entre o comprimento L do tubo a velocidade do som v o comprimento de onda λ a frequência do harmônico f e o número do harmônico n IdeiasChave Ondas estacionárias podem ser criadas em um tubo ou seja ressonâncias podem ser criadas se uma onda sonora com um comprimento de onda apropriado for introduzida no tubo As frequências de ressonância de um tubo aberto nas duas extremidades são dadas por em que v é a velocidade do som do ar no interior do tubo As frequências de ressonância de um tubo aberto em uma das extremidades são dadas por Fontes de Sons Musicais Os sons musicais podem ser produzidos pelas oscilações de cordas violão piano violino membranas tímpano tambor colunas de ar flauta oboé tubos de órgão e o didjeridu da Fig 1712 blocos de madeira ou barras de aço marimba xilofone e muitos outros corpos Na maioria dos instrumentos as oscilações envolvem mais de uma peça Como vimos no Capítulo 16 é possível produzir ondas estacionárias em uma corda mantida fixa nas duas extremidades porque as ondas que se propagam na corda são refletidas em cada extremidade Para certos valores do comprimento de onda a combinação das ondas que se propagam em sentidos opostos produz uma onda estacionária ou modo de oscilação Os comprimentos de onda para os quais isso acontece correspondem às frequências de ressonância da corda A vantagem de produzir ondas estacionárias é que nessas condições a corda oscila com grande amplitude movimentando periodicamente o ar ao redor e produzindo assim uma onda sonora audível com a mesma frequência que as oscilações da corda Essa forma de produzir o som é de óbvia importância para digamos um guitarrista Alamy Figura 1712 A coluna de ar no interior de um didjeridu um tubo oscila quando o instrumento é tocado Ondas Sonoras Podemos usar um método semelhante para produzir ondas sonoras estacionárias em um tubo cheio de ar As ondas que se propagam no interior de um tubo são refletidas nas extremidades do tubo A reflexão ocorre mesmo que uma das extremidades esteja aberta embora nesse caso a reflexão não seja tão completa Para certos comprimentos de onda das ondas sonoras a superposição das ondas que se propagam no tubo em sentidos opostos produz uma onda estacionária Os comprimentos de onda para os quais isso acontece correspondem às frequências de ressonância do tubo A vantagem de produzir ondas estacionárias é que nessas condições o ar no interior do tubo oscila com grande amplitude movimentando periodicamente o ar ao redor e produzindo assim uma onda sonora audível com a mesma frequência que as oscilações do ar no tubo Essa forma de produzir o som é de óbvia importância para digamos um organista Muitos outros aspectos das ondas sonoras estacionárias são semelhantes aos das ondas em cordas A extremidade fechada de um tubo é como a extremidade fixa de uma corda pois deve existir um nó deslocamento nulo no local a extremidade aberta de um tubo é como a extremidade de uma corda presa a um anel que se move livremente como na Fig 1619b pois deve existir um antinó deslocamento máximo no local Na verdade o antinó associado à extremidade aberta de um tubo está localizado a uma pequena distância do lado de fora da extremidade mas isso é irrelevante para nossa discussão Duas Extremidades Abertas A Fig 1713a mostra a onda estacionária mais simples que pode ser produzida em um tubo com as duas extremidades abertas Há um antinó em cada extremidade e um nó no ponto médio do tubo Um modo mais simples de representar uma onda sonora longitudinal estacionária é mostrado na Fig 1713b na qual a onda sonora foi desenhada como se fosse uma onda em uma corda no caso da onda sonora a coordenada perpendicular à direção de propagação da onda representa uma variação de pressão e não um deslocamento no espaço Figura 1713 a O padrão de deslocamento mais simples para uma onda sonora longitudinal estacionária em um tubo com as duas extremidades abertas possui um antinó A em cada extremidade e um nó N no ponto médio do tubo Os deslocamentos longitudinais representados pelas setas duplas estão muito exagerados b O padrão correspondente para uma onda transversal em uma corda Figura 1714 Ondas estacionárias em tubos representadas por curvas de pressão em função da posição a Com as duas extremidades do tubo abertas qualquer harmônico pode ser produzido no tubo b Com uma extremidade aberta apenas os harmônicos ímpares podem ser produzidos A onda estacionária da Fig 1713a é chamada de modo fundamental ou primeiro harmônico Para produzila as ondas sonoras em um tubo de comprimento L devem ter um comprimento de onda tal que λ 2L A Fig 1714a mostra outras ondas sonoras estacionárias que podem ser produzidas em um tubo com as duas extremidades abertas usando a representação da Fig 1713b No caso do segundo harmônico o comprimento das ondas sonoras é λ L no caso do terceiro harmônico é λ 2L3 e assim por diante No caso geral as frequências de ressonância de um tubo de comprimento L com as duas extremidades abertas correspondem a comprimentos de onda dados por em que n é o número do harmônico Chamando de v a velocidade do som podemos escrever as frequências de ressonância de um tubo aberto nas duas extremidades como Uma Extremidade Aberta A Fig 1714b mostra algumas ondas sonoras estacionárias que podem ser produzidas em um tubo aberto apenas em uma das extremidades Nesse caso há um antinó na extremidade aberta e um nó na extremidade fechada O modo mais simples é aquele no qual λ 4L No segundo modo mais simples λ 4L3 e assim por diante No caso geral as frequências de ressonância de um tubo de comprimento L com uma extremidade aberta e a outra fechada correspondem a comprimentos de onda dados por em que o número do harmônico n é um número ímpar As frequências de ressonância são dadas por Observe que apenas os harmônicos ímpares podem existir em um tubo aberto em uma das extremidades O segundo harmônico com n 2 por exemplo não pode ser produzido Note também que em tubos desse tipo uma expressão como terceiro harmônico ainda se refere ao modo cujo número harmônico é 3 e não ao terceiro harmônico possível Finalmente observe que as Eqs 1738 e 1739 que se aplicam a tubos abertos nas duas extremidades contêm o número 2 e qualquer valor inteiro de n enquanto as Eqs 1740 e 1741 que se aplicam a tubos abertos em uma das extremidades contêm o número 4 e apenas valores ímpares de n Figura 1715 As famílias do saxofone e do violino mostrando a relação entre o comprimento do instrumento e a faixa de frequên cias A faixa de frequências de cada instrumento é indicada por uma barra horizontal em uma escala de frequências definida pelo teclado de piano na parte inferior da figura as frequências aumentam da esquerda para a direita Comprimento O comprimento de um instrumento musical está ligado à faixa de frequências em que o instrumento foi projetado para cobrir comprimentos menores estão associados a frequências mais altas como pode ser visto na Eq 1666 no caso dos instrumentos de corda e nas Eqs 1739 e 1741 no caso dos instrumentos de sopro A Fig 1715 por exemplo mostra as famílias do saxofone e do violino com as faixas de frequências definidas pelo teclado de um piano Observe que para cada instrumento existe uma superposição com os instrumentos vizinhos projetados para frequências mais altas e para frequências mais baixas Onda Resultante Os sistemas oscilatórios dos instrumentos musicais como a corda de um violino e o ar de um tubo de órgão geram além do modo fundamental certo número de harmônicos superiores Todos esses modos são ouvidos simultaneamente superpostos para formar uma onda resultante Quando diferentes instrumentos tocam a mesma nota eles produzem a mesma frequência fundamental mas os harmônicos superiores têm intensidades diferentes Assim por exemplo o quarto harmônico do dó médio pode ser forte em um instrumento e fraco ou mesmo ausente em outro instrumento É por isso que os instrumentos produzem sons diferentes mesmo quando tocam a mesma nota Esse é o caso das duas ondas resultantes mostradas na Fig 1716 que foram produzidas por diferentes instrumentos tocando a mesma nota musical Figura 1716 Formas de onda produzidas a por uma flauta e b por um oboé quando uma nota com a mesma frequência fundamental é tocada nos dois instrumentos Teste 3 O tubo A de comprimento L e o tubo B de comprimento 2L têm as duas extremidades abertas Que harmônico do tubo B possui a mesma frequência que o modo fundamental do tubo A Exemplo 1705 Ressonância em tubos de diferentes comprimentos O tubo A é aberto nas duas extremidades e tem um comprimento LA 0343 m Queremos colocálo nas proximidades de três outros tubos nos quais existem ondas estacionárias para que o som produza uma onda estacionária no tubo A Os três tubos são fechados em uma extremidade e têm comprimentos LB 0500LA LC 0250LA e LD 200LA Para cada um dos tubos qual é a ordem do harmônico capaz de excitar um harmônico no tubo A IDEIASCHAVE 1 O som de um tubo só pode produzir uma onda estacionária em outro tubo se os dois tubos tiverem um harmônico em comum 2 As frequências dos harmônicos de um tubo aberto nas extremidades tubo simétrico são dadas pela Eq 1739 f nv2L em que n 1 2 3 ou seja qualquer número inteiro positivo 3 As frequências dos harmônicos de um tubo aberto em apenas uma extremidade tubo assimétrico são dadas pela Eq 1741 f nv4L em que n 1 3 5 ou seja qualquer número inteiro positivo ímpar Tubo A Vamos calcular primeiro as frequências de ressonância do tubo simétrico A De acordo com a Eq 1739 temos Os primeiros seis harmônicos aparecem na linha de cima da Fig 1717 Tubo B Em seguida vamos calcular as frequências de ressonância do tubo assimétrico B De acordo com a Eq 1741 temos tomando o cuidado de usar apenas números ímpares Comparando os dois resultados constatamos que a todos os valores de nB corresponde um valor de nA Assim por exemplo como mostra a Fig 1717 se produzirmos o quinto harmônico no tubo B e aproximarmos o tubo B do tubo A o quinto harmônico do tubo A será excitado Por outro lado nenhum harmônico do tubo B pode excitar um harmônico par no tubo A Tubo C No caso do tubo C a Eq 1741 nos dá Assim os harmônicos do tubo C podem excitar apenas os harmônicos do tubo A que correspondem ao dobro de um número ímpar Tubo D Finalmente no caso do tubo D a Eq 1741 nos dá Como mostra a Fig 1717 nenhum harmônico do tubo D pode excitar um harmônico do tubo A Haveria coincidências para nD 4nA 8nA mas elas não existem porque nD deve ser um número ímpar e números como 4nA 8nA são necessariamente pares Figura 1717 Alguns harmônicos de quatro tubos 176 BATIMENTOS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1728 Saber como são produzidos batimentos 1729 Somar as equações do deslocamento de duas ondas sonoras de mesma amplitude e frequências muito próximas iguais para obter a equação de deslocamento da onda resultante e identificar a amplitude variável com o tempo 1730 Conhecer a relação entre a frequência de batimento e as frequências de duas ondas sonoras de mesma amplitude e frequências muito próximas IdeiaChave Os batimentos acontecem quando duas frequências muito próximas f1 e f2 se combinam A frequência de batimento é dada por fbat f1 f2 Batimentos Quando escutamos com uma diferença de alguns minutos dois sons cujas frequências são muito próximas como 552 e 564 Hz temos dificuldade para distinguilos Quando os dois sons chegam aos nossos ouvidos simultaneamente ouvimos um som cuja frequência é 558 Hz a média das duas frequências mas percebemos também uma grande variação da intensidade do som que aumenta e diminui alternadamente produzindo um batimento que se repete com uma frequência de 12 Hz a diferença entre as duas frequências originais A Fig 1718 ilustra esse fenômeno Suponha que as variações de pressão produzidas por duas ondas sonoras de mesma amplitude sm em certo ponto sejam em que ω1 ω2 De acordo com o princípio de superposição a variação de pressão total é dada por s s1 s2 smcos ω1t cos ω2t Usando a identidade trigonométrica veja o Apêndice E podemos escrever a variação de pressão total na forma Definindo podemos escrever a Eq 1743 na forma Vamos supor que as frequências angulares ω1 e ω2 das ondas que se combinam são quase iguais o que significa que ω ω na Eq 1744 Nesse caso podemos considerar a Eq 1745 como uma função cosseno cuja frequência angular é ω e cuja amplitude que não é constante mas varia com uma frequência angular ω é o valor absoluto do fator entre colchetes A amplitude é máxima quando cos ωt na Eq 1745 é igual a 1 ou 1 o que acontece duas vezes em cada repetição da função cosseno Como cos ωt tem uma frequência angular ω a frequência angular ωbat do batimento é ωbat ω Assim com a ajuda da Eq 1744 podemos escrever Como ω 2πf essa equação também pode ser escrita na forma Os músicos usam o fenômeno do batimento para afinar seus instrumentos O som de um instrumento é comparado com uma frequênciapadrão como por exemplo uma nota chamada lá de concerto tocada pelo primeiro oboé e ajustado até que o batimento desapareça Em Viena o lá de concerto 440 Hz é fornecido por telefone aos muitos músicos residentes na cidade Figura 1718 a b As variações de pressão Δp de duas ondas sonoras quando são detectadas separadamente As frequências das ondas são muito próximas c A variação de pressão quando as duas ondas são detectadas simultaneamente Exemplo 1706 Uso das frequências de batimento pelos pinguins Quando um pinguim imperador volta para casa depois de sair à procura de alimento como ele consegue encontrar o companheiro ou companheira no meio de milhares de pinguins reunidos para se proteger do rigoroso inverno da Antártica Não é pela visão já que todos os pinguins são muito parecidos mesmo para outros pinguins A resposta está no modo como os pinguins emitem sons A maioria dos pássaros emite sons usando apenas um dos dois lados do órgão vocal chamado siringe Os pinguins imperadores porém emitem sons usando simultaneamente os dois lados da siringe Cada lado produz ondas acústicas estacionárias na garganta e na boca do pássaro como em um tubo com as duas extremidades abertas Suponha que a frequência do primeiro harmônico produzido pelo lado A da siringe é fA1 432 Hz e que a frequência do primeiro harmônico produzido pela extremidade B é fB1 371 Hz Qual é a frequência de batimento entre as duas frequências do primeiro harmônico e entre as duas frequências do segundo harmônico IDEIACHAVE De acordo com a Eq 1746 fbat f1 f2 a frequência de batimento de duas frequências é a diferença entre as frequências Cálculos Para as duas frequências do primeiro harmônico fA1 e fB1 a frequência de batimento é Como as ondas estacionárias produzidas pelo pinguim correspondem a um tubo com as duas extremidades abertas as frequências de ressonância são dadas pela Eq 1739 f nv2L em que L é o comprimento desconhecido do tubo A frequência do primeiro harmônico é f1 v2L e a frequência do segundo harmônico é f2 2v2L Comparando as duas frequências vemos que seja qual for o valor de L f2 2f1 Para o pinguim o segundo harmônico do lado A tem uma frequência fA2 2fA1 e o segundo harmônico do lado B tem uma frequência fB2 2fB1 Usando a Eq 1746 com as frequências fA2 e fB2 descobrimos que a frequência de batimento correspondente é Os experimentos mostram que os pinguins conseguem perceber essas frequências de batimento relativamente elevadas os seres humanos não conseguem perceber frequências de batimento maiores que cerca de 12 Hz Assim o chamado de um pinguim possui uma variedade de harmônicos e frequências de batimento que permite que sua voz seja identificada mesmo entre as vozes de milhares de outros pinguins 177 O EFEITO DOPPLER Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1731 Saber que o efeito Doppler é uma mudança da frequência detectada em relação à frequência emitida por uma fonte por causa do movimento relativo entre a fonte e o detector 1732 Saber que no caso das ondas sonoras as velocidades da fonte e do detector devem ser medidas em relação ao meio que pode estar em movimento 1733 Calcular a variação da frequência do som a se a fonte está se aproximando ou se afastando de um detector estacionário b se o detector está se aproximando ou se afastando de uma fonte estacionária e c se a fonte e o detector estão em movimento 1734 Saber que a frequência detectada é maior quando a fonte e o detector estão se aproximando e é menor quando a fonte e o detector estão se afastando IdeiasChave O efeito Doppler é uma mudança da frequência detectada em relação à frequência emitida por uma fonte por causa do movimento relativo entre a fonte e o detector No caso de uma onda sonora a frequência detectada f é dada por em que f é a frequência da fonte v é velocidade do som no meio vD é a velocidade do detector em relação ao meio e vF é a velocidade da fonte em relação ao meio Os sinais são escolhidos de tal forma que f é maior que f se a fonte e o detector estão se aproximando e f é menor que f se a fonte e o detector estão se afastando O Efeito Doppler Um carro de polícia está parado no acostamento de uma rodovia com a sirene de 1000 Hz ligada Se você também estiver parado no acostamento ouvirá o som da sirene com a mesma frequência Porém se houver um movimento relativo entre você e o carro de polícia você ouvirá uma frequência diferente Se você estiver se aproximando do carro de polícia a 120 kmh por exemplo ouvirá uma frequência mais alta 1096 Hz um aumento de 96 Hz Se estiver se afastando do carro de polícia à mesma velocidade você ouvirá uma frequência mais baixa 904 Hz uma diminuição de 96 Hz Essas variações de frequência relacionadas ao movimento são exemplos do efeito Doppler Esse efeito foi proposto embora não tenha sido perfeitamente analisado em 1842 pelo físico austríaco Johann Christian Doppler Foi estudado experimentalmente em 1845 por Buys Ballot na Holanda usando uma locomotiva que puxava um vagão aberto com vários trompetistas O efeito Doppler é observado não só para ondas sonoras mas também para ondas eletromagnéticas como as microondas as ondas de rádio e a luz visível No momento porém vamos considerar apenas o caso das ondas sonoras e tomar como referencial o ar no qual as ondas se propagam Isso significa que a velocidade da fonte F e do detector D das ondas sonoras será medida em relação ao ar A não ser que seja dito o contrário vamos supor que o ar está em repouso em relação ao solo de modo que as velocidades também podem ser medidas em relação ao solo Vamos supor que F e D se aproximam ou se afastam em linha reta com velocidades menores que a velocidade do som Equação Geral Se o detector ou a fonte está se movendo ou ambos estão se movendo a frequência emitida f e a frequência detectada f estão relacionadas pela equação em que ω é a velocidade do som no ar vD é a velocidade do detector em relação ao ar e vF é a velocidade da fonte em relação ao ar A escolha do sinal positivo ou negativo é dada pela seguinte regra Quando o movimento do detector ou da fonte é no sentido de aproximálos o sinal da velocidade correspondente deve resultar em um aumento da frequência Quando o movimento do detector ou da fonte é no sentido de afastálos o sinal da velocidade correspondente deve resultar em uma diminuição da frequência Para resumir aproximação significa aumento de frequência afastamento significa diminuição de frequência 1 2 Aqui está uma descrição detalhada da aplicação da regra Se o detector estiver se movendo em direção à fonte use o sinal positivo no numerador da Eq 1747 para obter um aumento da frequência Se o detector estiver se afastando da fonte use o sinal negativo no numerador para obter uma diminuição da frequência Se o detector estiver parado faça vD 0 Se a fonte estiver se movendo em direção ao detector use o sinal negativo no denominador da Eq 1747 para obter um aumento da frequência Se a fonte estiver se afastando use o sinal positivo no denominador para obter uma diminuição da frequência Se a fonte estiver parada faça vF 0 Antes de demonstrar a Eq 1747 para o caso geral vamos demonstrar as equações do efeito Doppler para as duas situações particulares apresentadas a seguir Quando o detector está se movendo em relação ao ar e a fonte está parada em relação ao ar o movimento altera a frequência com a qual o detector intercepta as frentes de onda e portanto a frequência da onda sonora detectada Quando a fonte está se movendo em relação ao ar e o detector está parado em relação ao ar o movimento altera o comprimento de onda da onda sonora e portanto a frequência detectada lembrese de que a frequência está relacionada com o comprimento de onda Figura 1719 Uma fonte sonora estacionária F emite frentes de onda esféricas mostradas com uma separação de um comprimento de onda e que se expandem radialmente com velocidade v Um detector D representado por uma orelha se move com velocidade D em direção à fonte O detector mede uma frequência maior por causa do movimento Figura 1720 As frentes de onda da Fig 1719 supostas planas a alcançam e b passam por um detector estacionário D elas percorrem uma distância vt para a direita no intervalo de tempo t Detector em Movimento Fonte Parada Na Fig 1719 um detector D representado por uma orelha está se movendo com velocidade vD em direção a uma fonte estacionária F cujas ondas esféricas de comprimento de onda λ e frequência f se propagam com a velocidade ω do som no ar As frentes de onda estão desenhadas com uma separação de um comprimento de onda A frequência detectada pelo detector D é a taxa com a qual D intercepta as frentes de onda ou comprimentos de onda individuais Se D estivesse parado a taxa seria f mas como D está se movendo em direção às frentes de onda a taxa de interceptação é maior e portanto a frequência detectada f é maior do que f Vamos considerar primeiro a situação na qual D está parado Fig 1720 No intervalo de tempo t as frentes de onda percorrem uma distância vt para a direita O número de comprimentos de onda nessa distância vt é o número de comprimentos de onda interceptados por D no intervalo t esse número é vtλ A taxa com a qual D intercepta comprimentos de onda que é a frequência f detectada por D é Nessa situação com D parado não existe efeito Doppler a frequência detectada pelo detector D é a frequência emitida pela fonte F Vamos considerar agora a situação na qual D se move no sentido oposto ao do movimento das frentes de onda Fig 1721 No intervalo de tempo t as frentes de onda percorrem uma distância vt para a direita como antes mas agora D percorre uma distância vDt para a esquerda Assim nesse intervalo t a distância percorrida pelas frentes de onda em relação a D é vt vDt O número de frentes de onda nessa distância relativa vt vDt é o número de comprimentos de onda interceptados por D no intervalo t e é dado por vt vDtλ A taxa com a qual D intercepta comprimentos de onda nessa situação é a frequência f dada por De acordo com a Eq 1748 λ ωf Assim a Eq 1749 pode ser escrita na forma Observe que na Eq 1750 f f a menos que vD 0 ou seja a menos que o detector esteja parado Podemos usar um raciocínio semelhante para calcular a frequência detectada por D quando D está se afastando da fonte Nesse caso as frentes de onda se movem uma distância vt vDt em relação a D no intervalo t e f é dada por Na Eq 1751 f f a menos que vD 0 Podemos combinar as Eqs 1750 e 1751 e escrever Figura 1721 Frentes de onda que se deslocam para a direita a alcançam e b passam pelo detector D que se move no sentido oposto No intervalo de tempo t as frentes de onda percorrem uma distância vt para a direita e D percorre uma distância vDt para a esquerda Figura 1722 Um detector D está parado e uma fonte F se move em direção ao detector com velocidade vF A frente de onda O1 foi emitida quando a fonte estava em F1 e a frente de onda O7 foi emitida quando a fonte estava em F7 No instante representado a fonte está em F O detector percebe uma frequência maior porque a fonte em movimento perseguindo suas próprias frentes de onda emite uma onda com um comprimento de onda reduzido λ na direção do movimento Fonte em Movimento Detector Parado Suponha que o detector D está parado em relação ao ar e a fonte F está se movendo em direção a D com velocidade vF Fig 1722 O movimento de F altera o comprimento de onda das ondas sonoras que a fonte emite e portanto a frequência detectada por D Para compreendermos por que isso acontece vamos chamar de T 1f o intervalo de tempo entre a emissão de duas frentes de onda sucessivas O1 e O2 Durante o intervalo T a frente de onda O1 percorre uma distância vT e a fonte percorre uma distância vFT No fim do intervalo T a frente de onda O2 é emitida No lado para onde F está se movendo a distância entre O1 e O2 que é o comprimento de onda λ das ondas que se propagam nessa direção é vT vFT Se D detecta essas ondas detecta uma frequência f dada por Na Eq 1753 f f a menos que vF 0 No lado oposto o comprimento de onda λ das ondas é vT vFT Se D detecta essas ondas detecta uma frequência f dada por Na Eq 1754 f f a menos que vS 0 Podemos combinar as Eqs 1753 e 1754 e escrever Equação Geral do Efeito Doppler Podemos agora escrever a equação geral do efeito Doppler substituindo f na Eq 1755 a frequência da fonte por f da Eq 1752 a frequência associada ao movimento do detector O resultado é a Eq 1747 a equação geral do efeito Doppler A equação geral pode ser usada não só quando o detector e a fonte estão se movendo mas também nas duas situações particulares que acabamos de discutir Na situação em que o detector está se movendo e a fonte está parada fazendo vS 0 na Eq 1747 obtemos a Eq 1752 já demonstrada Na situação em que a fonte está se movendo e o detector está parado fazendo vD 0 na Eq 1747 obtemos a Eq 1755 já demonstrada Assim basta conhecer a Eq 1747 Teste 4 A figura mostra o sentido do movimento de uma fonte sonora e de um detector no ar estacionário em seis situações diferentes Em cada situação a frequência detectada é maior que a frequência emitida menor que a frequência emitida ou não é possível dar uma resposta sem conhecer as velocidades envolvidas Exemplo 1707 O efeito Doppler e os sons emitidos pelos morcegos Os morcegos se orientam e localizam suas presas emitindo e detectando ondas ultrassônicas que são ondas sonoras com frequências tão altas que não podem ser percebidas pelos ouvidos humanos Suponha que um morcego emite ultrassons com uma frequência fmore 8252 kHz enquanto está voando a uma velocidade mor 900 ms î em perseguição a uma mariposa que voa a uma velocidade mar 800 msî Qual é a frequência fmard detectada pela mariposa Qual é a frequência fmord detectada pelo morcego ao receber o eco da mariposa IDEIASCHAVE A frequência é alterada pelo movimento relativo do morcego e da mariposa Como os dois estão se movendo no mesmo eixo a variação de frequência é dada pela equação geral do efeito Doppler Eq 1747 Um movimento de aproximação faz a frequência aumentar e um movimento de afastamento faz a frequência diminuir Detecção pela mariposa A equação geral do efeito Doppler é em que a frequência detectada f na qual estamos interessados é a frequência fmard detectada pela mariposa Do lado direito da equação a frequência emitida f é a frequência de emissão do morcego fmore 8252 kHz a velocidade do som é ω 343 ms a velocidade vD do detector é a velocidade da mariposa vmar 800 ms e a velocidade vF da fonte é a velocidade do morcego vmor 900 ms Essas substituições na Eq 1756 são fáceis de fazer mas é preciso tomar cuidado na escolha dos sinais Uma boa estratégia é pensar em termos de aproximação e afastamento Considere por exemplo a velocidade da mariposa o detector no numerador da Eq 1756 A mariposa está se afastando do morcego o que tende a diminuir a frequência detectada Como a velocidade está no numerador escolhemos o sinal negativo para respeitar a tendência o numerador fica menor Os passos desse raciocínio estão indicados na Tabela 173 A velocidade do morcego aparece no denominador da Eq 1756 O morcego está se aproximando da mariposa o que tende a aumentar a frequência detectada Como a velocidade está no denominador escolhemos o sinal negativo para respeitar essa tendência o denominador fica menor Com essas substituições e escolhas temos Detecção do eco pelo morcego Quando o morcego recebe o eco a mariposa se comporta como fonte sonora emitindo sons com a frequência fmard que acabamos de calcular Assim agora a mariposa é a fonte que está se afastando do detector e o morcego é o detector que está se aproximando da fonte Os passos desse raciocínio estão indicados na Tabela 173 Para calcular a frequência fmord detectada pelo morcego usamos a Eq 1756 Algumas mariposas se defendem emitindo estalidos ultrassônicos que interferem no sistema de detecção dos morcegos Tabela 173 Do Morcego para a Mariposa Eco da Mariposa para o Morcego Detector Fonte Detector Fonte mariposa morcego morcego mariposa velocidade vD vmar velocidade vF vmor velocidade vD vmor velocidade vF vmar afastamento aproximação aproximação afastamento diminui aumenta aumenta diminui numerador denominador numerador denominador negativo negativo positivo positivo 178 VELOCIDADES SUPERSÔNICAS E ONDAS DE CHOQUE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1735 Desenhar a concentração das frentes de onda produzidas por uma fonte sonora que se move a uma velocidade igual ou maior que a velocidade do som 1736 Calcular o número de Mach de uma fonte sonora que se move a uma velocidade maior que a velocidade do som 1737 Conhecer a relação entre o ângulo do cone de Mach a velocidade do som e a velocidade de uma fonte que se move a uma velocidade maior que a velocidade do som IdeiaChave Se a velocidade de uma fonte sonora em relação ao meio em que está se movendo é maior que a velocidade do som no meio a equação de Doppler não pode ser usada Além disso surgem ondas de choque na superfície do chamado cone de Mach cujo semiângulo é dado por Velocidades Supersônicas e Ondas de Choque De acordo com as Eqs 1747 e 1755 se uma fonte está se movendo em direção a um detector estacionário a uma velocidade igual à velocidade do som ou seja se vF v a frequência detectada f é infinita Isso significa que a fonte está se movendo tão depressa que acompanha suas próprias frentes de onda como mostra a Fig 1723a O que acontece se a velocidade da fonte é maior que a velocidade do som Nessas velocidades supersônicas as Eqs 1747 e 1755 não são mais válidas A Fig 1723b mostra as frentes de onda produzidas em várias posições da fonte O raio de qualquer frente de onda dessa figura é vt em que v é a velocidade do som e t é o tempo transcorrido depois que a fonte emitiu a frente de onda Observe que as frentes de onda se combinam em uma envoltória em forma de V no desenho bidimensional da Fig 1723b As frentes de onda na verdade se propagam em três dimensões e se combinam em uma envoltória em forma de cone conhecida como cone de Mach Dizemos que existe uma onda de choque na superfície desse cone porque a superposição das frentes de onda causa uma elevação e uma queda abrupta da pressão do ar quando a superfície passa por um ponto qualquer De acordo com a Fig 1723b o semiângulo u do cone chamado ângulo do cone de Mach é dado por Figura 1723 a Uma fonte sonora F se move a uma velocidade vF igual à velocidade do som e portanto à mesma velocidade que as frentes de onda que ela produz b Uma fonte F se move a uma velocidade vF maior que a velocidade do som e portanto mais depressa que as frentes de onda que ela produz Quando estava na posição F1 a fonte produziu a frente de onda O1 quando estava na posição F6 produziu a frente de onda F6 Todas as frentes de ondas esféricas se expandem à velocidade do som v e se superpõem na superfície de um cone conhecido como cone de Mach formando uma onda de choque A superfície do cone apresenta um semiângulo θ e é tangente a todas as frentes de onda Foto do guardamarinha John Gay para a Marinha dos Estados Unidos Figura 1724 Ondas de choque produzidas pelas asas de um jato FA18 da Marinha dos Estados Unidos As ondas de choque são visíveis porque a redução brusca da pressão do ar fez com que moléculas de vapor dágua se condensassem formando uma nuvem A razão vFv é chamada de número de Mach Quando você ouve dizer que um avião voou a Mach 23 isso significa que a velocidade do avião era 23 vezes maior que a velocidade do som no ar que o avião estava atravessando A onda de choque gerada por um avião ou projétil supersônico Fig 1724 produz um som semelhante ao som de uma explosão conhecido como estrondo sônico no qual a pressão do ar aumenta bruscamente e depois diminui para valores menores que o normal antes de voltar ao normal Parte do som associado ao disparo de um rifle se deve ao estrondo sônico produzido pela bala Um estrondo sônico também pode ser produzido agitando rapidamente um chicote comprido Perto do fim do movimento a ponta está se movendo mais depressa que o som e produz um pequeno estrondo sônico o estalo do chicote Revisão e Resumo Ondas Sonoras Ondas sonoras são ondas mecânicas longitudinais que podem se propagar em sólidos líquidos e gases A velocidade v de uma onda sonora em um meio de módulo de elasticidade volumétrico B e massa específica ρ é No ar a 20C a velocidade do som é 343 ms Uma onda sonora provoca um deslocamento longitudinal s de um elemento de massa em um meio que é dado por em que sm é a amplitude do deslocamento deslocamento máximo em relação ao equilíbrio k 2πλ e ω 2πf em que λ e f são respectivamente o comprimento de onda e a frequência da onda sonora A onda sonora também provoca uma variação Δp da pressão do meio em relação à pressão de equilíbrio em que a amplitude da pressão é dada por Interferência A interferência de duas ondas sonoras de mesmo comprimento de onda que passam pelo mesmo ponto depende da diferença de fase ϕ entre as ondas nesse ponto Se as ondas sonoras foram emitidas em fase e se propagam aproximadamente na mesma direção ϕ é dada por em que ΔL é a diferença de percurso diferença entre as distâncias percorridas pelas ondas para chegar ao ponto comum A interferência construtiva acontece quando f é um múltiplo inteiro de 2π ou seja quando a razão entre ΔL e o comprimento de onda λ é dada por A interferência destrutiva acontece quando ϕ é um múltiplo ímpar de π ou seja quando a razão entre ΔL e o comprimento de onda λ é dada por Intensidade Sonora A intensidade I de uma onda sonora em uma superfície é a taxa média por unidade de área com a qual a energia contida na onda atravessa a superfície ou é absorvida pela superfície em que P é a taxa de transferência de energia ou seja a potência da onda sonora e A é a área da superfície que intercepta o som A intensidade I está relacionada à amplitude sm do deslocamento da onda sonora pela equação A intensidade a uma distância ρ de uma fonte pontual que emite ondas sonoras de potência Ps é Nível Sonoro em Decibéis O nível sonoro β em decibéis dB é definido como em que I0 1012 Wm2 é um nível de intensidade de referência com o qual todas as intensidades são comparadas Para cada aumento de um fator de 10 na intensidade 10 dB são somados ao nível sonoro Ondas Estacionárias em Tubos Ondas sonoras estacionárias podem ser produzidas em tubos No caso de um tubo aberto nas duas extremidades as frequências de ressonância são dadas por em que v é a velocidade do som no ar do interior do tubo No caso de um tubo fechado em uma das extremidades e aberto na outra as frequências de ressonância são dadas por Batimentos Os batimentos acontecem quando duas ondas de frequências ligeiramente diferentes f1 e f2 são detectadas simultaneamente A frequência de batimento é dada por O Efeito Doppler O efeito Doppler é a mudança da frequência observada de uma onda quando a fonte ou o detector está se movendo em relação ao meio no qual a onda está se propagando como por exemplo o ar No caso do som a frequência observada f está relacionada à frequência f da fonte pela equação em que vD é a velocidade do detector em relação ao meio vF é a velocidade da fonte e v é a velocidade do som no meio Os sinais são escolhidos para que f seja maior que f para os movimentos de aproximação e menor que f para os movimentos de afastamento Ondas de Choque Se a velocidade de uma fonte em relação ao meio é maior que a velocidade do som no meio a equação para o efeito Doppler deixa de ser válida Nesse caso surgem ondas de choque O semiângulo θ do cone de Mach é dado por Perguntas 1 Em um primeiro experimento uma onda sonora senoidal é produzida em um tubo longo de ar transportando energia a uma taxa média Pméd1 Em um segundo experimento duas ondas sonoras iguais à primeira são produzidas simultaneamente no tubo com uma diferença de fase ϕ de 0 02 ou 05 comprimento de onda a Sem fazer cálculos no papel ordene esses valores de ϕ de acordo com a taxa média com a qual as ondas transportam energia em ordem decrescente b Qual é a taxa média em termos de Pméd1 para o primeiro valor de ϕ 2 Na Fig 1725 duas fontes pontuais S1 e S2 que estão em fase emitem ondas sonoras iguais de comprimento de onda 20 m Em termos de comprimentos de onda qual é a diferença de fase entre as ondas que chegam ao ponto P se a L1 38 m e L2 34 m b L1 39 m e L2 36 m c Supondo que a distância entre as fontes é muito menor que L1 e L2 que tipo de interferência ocorre no ponto P nas situações a e b Figura 1725 Pergunta 2 3 Na Fig 1726 três tubos longos A B e C estão cheios de gases submetidos a pressões diferentes A razão entre o módulo de elasticidade volumétrico e a massa específica está indicada para cada gás em termos de um valor de referência B0ρ0 Cada tubo possui um êmbolo na extremidade esquerda que pode produzir um pulso no tubo como na Fig 162 Os três pulsos são produzidos simultaneamente Ordene os tubos de acordo com o tempo de chegada dos pulsos na extremidade direita aberta dos tubos em ordem crescente Figura 1726 Pergunta 3 4 O sexto harmônico é gerado em um tubo a Quantas extremidades abertas o tubo possui o tubo deve possuir pelo menos uma b No ponto médio do tubo existe um nó um antinó ou um estado intermediário 5 Na Fig 1727 o tubo A é colocado para oscilar no terceiro harmônico por uma pequena fonte sonora interna O som emitido na extremidade direita faz ressoar quatro tubos próximos cada um com apenas uma extremidade aberta os tubos não estão desenhados em escala O tubo B oscila no modo fundamental o tubo C no segundo harmônico o tubo D no terceiro harmônico e o tubo E no quarto harmônico Sem executar cálculos ordene os cinco tubos de acordo com o comprimento em ordem decrescente Sugestão Desenhe as ondas estacionárias em escala e em seguida desenhe os tubos em escala Figura 1727 Pergunta 5 6 O tubo A tem comprimento L e uma extremidade aberta O tubo B tem comprimento 2L e as duas extremidades abertas Quais harmônicos do tubo B têm frequências iguais às frequências de ressonância do tubo A 7 A Fig 1728 mostra uma fonte S em movimento que emite sons com certa frequência e quatro detectores de som estacionários Ordene os detectores de acordo com a frequência do som que detectam da maior para a menor Figura 1728 Pergunta 7 8 Uma pessoa fica na borda de três carrosséis um de cada vez segurando uma fonte que emite isotropicamente sons de certa frequência A frequência que outra pessoa ouve a certa distância dos carrosséis varia com o tempo por causa da rotação dos carrosséis A variação da frequência para os três carrosséis está plotada em função do tempo da Fig 1729 Ordene as curvas de acordo a com a velocidade linear v da fonte sonora b com a velocidade angular v do carrossel e c com o raio ρ do carrossel em ordem decrescente Figura 1729 Pergunta 8 9 Quatro das seis frequências dos harmônicos abaixo de 1000 Hz de certo tubo são 300 600 750 e 900 Hz Quais são as duas frequências que estão faltando na lista 10 A Fig 1730 mostra uma corda esticada de comprimento L e tubos a b c e d de comprimentos L 2L L2 e L2 respectivamente A tração da corda é ajustada até que a velocidade das ondas na corda seja igual à velocidade do som no ar em seguida o modo fundamental de oscilação é produzido na corda Em que tubo o som gerado pela corda produz ressonância e qual é o modo de oscilação correspondente Figura 1730 Pergunta 10 11 Em um conjunto de quatro diapasões o diapasão que produz a menor frequência oscila a 500 Hz Excitando dois diapasões de cada vez é possível produzir as seguintes frequências de batimento 1 2 3 5 7 e 8 Hz Quais são as frequências dos outros três diapasões Existem duas respostas possíveis Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Use os seguintes valores nos problemas a menos que sejam fornecidos outros valores velocidade do som no ar 343 ms massa específica do ar 121 kgm3 Módulo 171 A Velocidade do Som 1 Dois espectadores de uma partida de futebol veem e depois ouvem uma bola ser chutada no campo O tempo de retardo para o espectador A é 023 s e para o espectador B é 012 s As linhas de visada dos dois espectadores até o jogador que chutou a bola fazem um ângulo de 90º A que distância do jogador está a o espectador A e b o espectador B c Qual é a distância entre os dois espectadores 2 Qual é o modulo de elasticidade volumétrico do oxigênio se 32 g de oxigênio ocupam 224 L e a velocidade do som no oxigênio é 317 ms 3 Quando a porta da Capela do Mausoléu em Hamilton Escócia é fechada o último eco ouvido por uma pessoa que está atrás da porta no interior da capela ocorre 15 s depois a Se esse eco se devesse a uma única reflexão em uma parede em frente à porta a que distância da porta estaria essa parede b Como a parede na verdade está a 257 m de distância a quantas reflexões para a frente e para trás corresponde o último eco 4 Uma coluna de soldados marchando a 120 passos por minuto segue o ritmo da batida de um tambor que é tocado na frente da coluna Observase que os últimos soldados da coluna estão levantando o pé esquerdo quando os primeiros soldados estão levantando o pé direito Qual é o comprimento aproximado da coluna 5 Os terremotos geram ondas sonoras no interior da Terra Ao contrário de um gás a Terra pode transmitir tanto ondas transversais S como ondas longitudinais P A velocidade das ondas S é da ordem de 45 kms e a velocidade das ondas P é da ordem de 80 kms Um sismógrafo registra as ondas P e S de um terremoto As primeiras ondas P chegam 30 minutos antes das primeiras ondas S Se as ondas se propagaram em linha reta a que distância ocorreu o terremoto 6 Um homem bate com um martelo na ponta de uma barra delgada A velocidade do som na barra é 15 vezes maior que a velocidade do som no ar Uma mulher na outra extremidade com o ouvido próximo da barra escuta o som da pancada duas vezes com um intervalo de 012 s um som vem da barra e outro vem do ar em torno da barra Se a velocidade do som no ar é de 343 ms qual é o comprimento da barra 7 Uma pedra é deixada cair em um poço O som produzido pela pedra ao se chocar com a água é ouvido 300 s depois Qual é a profundidade do poço 8 Efeito chocolate quente Bata com uma colher na parte interna de uma xícara com água quente e preste atenção na frequência fi do som Acrescente uma colher de sopa de chocolate em pó ou café solúvel e repita o experimento enquanto mexe o líquido A princípio a nova frequência fs é menor porque pequenas bolhas de ar liberadas pelo pó diminuem o valor do módulo de elasticidade volumétrico da água Quando as bolhas chegam à superfície da água e desaparecem a frequência volta ao valor original Enquanto o efeito dura as bolhas não modificam apreciavelmente a massa específica nem o volume do líquido elas limitamse a alterar o valor de dVdp ou seja a taxa de variação do volume do líquido causada pela variação de pressão associada às ondas sonoras Se fsfi 0333 qual é o valor da razão dVdpsdVdpi Módulo 172 Ondas Sonoras Progressivas 9 Se a forma de uma onda sonora que se propaga no ar é sx t 60 nm coskx 3000 radst ϕ quanto tempo uma molécula de ar no caminho da onda leva para se mover entre os deslocamentos s 20 nm e s 20 nm 10 Ilusão causada pela água Uma das informações usadas pelo cérebro humano para determinar a localização de uma fonte sonora é a diferença Δt entre o instante em que um som é detectado pelo ouvido mais próximo da fonte e o instante em que é detectado pelo outro ouvido Suponha que a fonte está suficientemente distante para que as frentes de onda sejam praticamente planas e seja L a distância entre os ouvidos a Se a direção da fonte faz um ângulo θ com a direção da reta que passa pelos dois ouvidos Fig 1731 qual é o valor de Δt em termos de L e da velocidade v do som no ar b Se uma pessoa está debaixo d9água e a fonte está exatamente à direita qual é o valor de Δt em termos de L e da velocidade va do som na água c Com base na diferença Δt o cérebro calcula erroneamente que a direção da fonte faz um ângulo θ com a direção da reta que passa pelos dois ouvidos Determine o valor de θ para água doce a 20oC Figura 1731 Problema 10 11 Um aparelho de ultrassom com uma frequência de 450 MHz é usado para examinar tumores em tecidos moles a Qual é o comprimento de onda no ar das ondas sonoras produzidas pelo aparelho b Se a velocidade do som no corpo do paciente é 1500 ms qual é o comprimento de onda das ondas produzidas pelo aparelho no corpo do paciente 12 A pressão de uma onda sonora progressiva é dada pela equação Δp 150 Pa sen π0900 m1x 315 s1t Determine a a amplitude b a frequência c o comprimento de onda e d a velocidade da onda 13 Uma onda sonora da forma s sm coskx ωt ϕ se propaga a 343 ms no ar em um tubo horizontal longo Em um dado instante a molécula A do ar situada no ponto x 2000 m está com o deslocamento máximo positivo de 600 nm e a molécula B situada em x 2070 m está com um deslocamento positivo de 200 nm Todas as moléculas entre A e B estão com deslocamentos intermediários Qual é a frequência da onda 14 A Fig 1732 mostra a leitura de um monitor de pressão montado em um ponto da trajetória de uma onda sonora de uma só frequência propagandose a 343 ms em um ar de massa específica homogênea 121 kgm3 A escala do eixo vertical é definida por Δps 40 mPa Se a função deslocamento da onda é sx t sm cos kx ωt determine a sm b k e c ω Quando o ar é resfriado a massa específica aumenta para 135 kgm3 e a velocidade da onda sonora diminui para 320 ms A fonte emite uma onda com a mesma frequência e a mesma pressão que antes Qual é o novo valor d de sm e de k e f de ω Figura 1732 Problema 14 15 O som de bater palmas em um anfiteatro produz ondas que são espalhadas por degraus de largura L 075 m Fig 1733 O som retorna ao palco como uma série regular de pulsos que soa como uma nota musical a Supondo que todos os raios na Fig 1733 são horizontais determine a frequência com a qual os pulsos chegam ao palco ou seja a frequência da nota ouvida por alguém que se encontra no palco b Se a largura L dos degraus fosse menor a frequência seria maior ou menor Figura 1733 Problema 15 Módulo 173 Interferência 16 Duas ondas sonoras produzidas por duas fontes diferentes de mesma frequência 540 Hz se propagam na mesma direção e no mesmo sentido a 330 ms As fontes estão em fase Qual é a diferença de fase das ondas em um ponto que está a 440 m de uma fonte e a 400 m da outra 17 Dois altofalantes estão separados por uma distância de 335 m em um palco ao ar livre Um ouvinte está a 183 m de um dos altofalantes e a 195 m do outro altofalante Durante o teste do som um gerador de sinais alimenta os dois altofalantes em fase com um sinal de mesma amplitude e frequência A frequência transmitida varia ao longo de toda a faixa audível 20 Hz a 20 kHz a Qual é a menor frequência fmín1 para a qual a intensidade do sinal é mínima interferência destrutiva na posição do ouvinte Por qual número devemos multiplicar fmín1 para obtermos b a segunda menor frequência fmín2 para a qual o sinal é mínimo e c a terceira menor frequência fmín3 para a qual o sinal é mínimo d Qual é menor frequência fmáx1 para a qual o sinal é máximo interferência construtiva na posição do ouvinte Por qual número fmáx1 deve ser multiplicada para se obter e a segunda menor frequência fmáx2 para a qual o sinal é máximo e c a terceira menor frequência fmáx3 para a qual o sinal é máximo 18 Na Fig 1734 as ondas sonoras A e B de mesmo comprimento de onda λ estão inicialmente em fase e se propagam para a direita como indicam os dois raios A onda A é refletida por quatro superfícies mas volta a se propagar na direção e no sentido original O mesmo acontece com a onda B mas depois de ser refletida por apenas duas superfícies Suponha que a distância L da figura é um múltiplo do comprimento de onda λ L qλ a Qual é o menor valor e b qual o segundo menor valor de q para o qual A e B estão em oposição de fase após as reflexões Figura 1734 Problemas 18 19 A Fig 1735 mostra duas fontes sonoras pontuais isotrópicas S1 e S2 As fontes que emitem ondas em fase de comprimento de onda λ 050 m estão separadas por uma distância D 175 m Se um detector é deslocado ao longo de uma grande circunferência cujo raio é o ponto médio entre as fontes em quantos pontos as ondas chegam ao detector a em fase e b em oposição de fase Figura 1735 Problemas 19 e 105 20 A Fig 1736 mostra quatro fontes sonoras pontuais isotrópicas uniformemente espaçadas ao longo de um eixo x As fontes emitem sons de mesmo comprimento de onda λ e mesma amplitude sm e estão em fase Um ponto P é mostrado no eixo x Suponha que quando as ondas se propagam até P a amplitude se mantém praticamente constante Que múltiplo de sm corresponde à amplitude da onda resultante em P se a distância d mostrada na figura for a λ4 b λ2 e c λ Figura 1736 Problema 20 21 Na Fig 1737 dois altofalantes separados por uma distância d1 200 m estão em fase Suponha que as amplitudes das ondas sonoras emitidas pelos altofalantes são aproximadamente iguais para um ouvinte que se encontra diretamente à frente do altofalante da direita a uma distância d2 375 m Considere toda a faixa de audição de um ser humano normal 20 Hz a 20 kHz a Qual é a menor frequência fmín1 para a qual a intensidade do som é mínima interferência destrutiva na posição do ouvinte Por qual número a frequência fmín1 deve ser multiplicada para se obter b a segunda menor frequência fmín2 para a qual a intensidade do som é mínima e c a terceira menor frequência fmín3 para a qual a intensidade do som é mínima d Qual é a menor frequência fmáx1 para a qual a intensidade do som é máxima interferência construtiva na posição do ouvinte Por que número fmáx1 deve ser multiplicada para se obter e a segunda menor frequência fmáx2 para a qual a intensidade do som é máxima e c a terceira menor frequência fmáx3 para a qual a intensidade do som é máxima Figura 1737 Problema 21 22 Na Fig 1738 um som com um comprimento de onda de 400 cm se propaga para a direita em um tubo que possui uma bifurcação Ao chegar à bifurcação a onda se divide em duas partes Uma parte se propaga em um tubo em forma de semicircunferência e a outra se propaga em um tubo retilíneo As duas ondas se combinam mais adiante interferindo mutuamente antes de chegarem a um detector Qual é o menor raio ρ da semicircunferência para o qual a intensidade medida pelo detector é mínima Figura 1738 Problema 22 23 A Fig 1739 mostra duas fontes pontuais S1 e S2 que emitem sons de comprimento de onda λ 200 m As emissões são isotrópicas e em fase a distância entre as fontes é d 160 m Em qualquer ponto P do eixo x as ondas produzidas por S1 e S2 interferem Se P está muito distante x qual é a a diferença de fase entre as ondas produzidas por S1 e S2 e b qual o tipo de interferência que as ondas produzem Suponha que o ponto P é deslocado ao longo do eixo x em direção a S1 c A diferença de fase entre as ondas aumenta ou diminui A que distância x da origem as ondas possuem uma diferença de fase de d 050λ e 100λ e f 150λ Figura 1739 Problema 23 Módulo 174 Intensidade e Nível Sonoro 24 Uma discussão começa acalorada com um nível sonoro de 70 dB mas o nível cai para 50 dB quando os interlocutores se acalmam Supondo que a frequência do som é de 500 Hz determine a intensidade a inicial e b final e a amplitude c inicial e d final das ondas sonoras 25 Uma onda sonora com uma frequência 300 Hz tem uma intensidade de 100 μWm2 Qual é a amplitude das oscilações do ar causadas pela onda 26 Uma fonte pontual de 10 W emite ondas sonoras isotropicamente Supondo que a energia da onda é conservada determine a intensidade a a 10 m e b a 25 m da fonte 27 O nível sonoro de uma fonte é aumentado em 300 dB a Por qual fator é multiplicada a intensidade do som b Por qual fator é multiplicada a amplitude da pressão do ar 28 A diferença entre os níveis sonoros de dois sons é 100 dB Qual é a razão entre a intensidade maior e a intensidade menor 29 Uma fonte emite ondas sonoras isotropicamente A intensidade das ondas a 250 m da fonte é 191 104 Wm2 Supondo que a energia da onda é conservada determine a potência da fonte 30 A fonte de uma onda sonora tem uma potência de 100 μW Se a fonte é pontual a qual é a intensidade a 300 m de distância e b qual é o nível sonoro em decibéis a essa distância 31 Ao estalar uma junta você alarga bruscamente a cavidade da articulação aumentando o volume disponível para o fluido sinovial no interior e causando o aparecimento súbito de uma bolha de ar no fluido A produção súbita da bolha chamada de cavitação produz um pulso sonoro o som do estalo Suponha que o som é transmitido uniformemente em todas as direções e que passa completamente do interior da articulação para o exterior Se o pulso tem um nível sonoro de 62 dB no seu ouvido estime a taxa com a qual a energia é produzida pela cavitação 32 Os ouvidos de aproximadamente um terço das pessoas com audição normal emitem continuamente um som de baixa intensidade pelo canal auditivo Uma pessoa com essa emissão otoacústica espontânea raramente tem consciência do som exceto talvez em um ambiente extremamente silencioso mas às vezes a emissão é suficientemente intensa para ser percebida por outra pessoa Em uma observação a onda sonora tinha uma frequência de 1665 Hz e uma amplitude de pressão de 113 103 Pa a Qual era a amplitude dos deslocamentos e b qual era a intensidade da onda emitida pelo ouvido 33 O macho da rãtouro Rana catesbeiana é conhecido pelos ruidosos gritos de acasalamento O som não é emitido pela boca da rã mas pelos tímpanos que estão na superfície da cabeça Surpreendentemente o mecanismo nada tem a ver com o papo inflado da rã Se o som emitido possui uma frequência de 260 Hz e um nível sonoro de 85 dB perto dos tímpanos qual é a amplitude da oscilação dos tímpanos A massa específica do ar é 121 kgm3 34 Duas fontes sonoras A e B na atmosfera emitem isotropicamente com potência constante Os níveis sonoros β das emissões estão plotados na Fig 1740 em função da distância r das fontes A escala do eixo vertical é definida por β1 850 dB e β2 650 dB Para r 10 m determine a a razão entre a maior e a menor potência e b a diferença entre os níveis sonoros das emissões Figura 1740 Problema 34 35 Uma fonte pontual emite 300 W de som isotropicamente Um pequeno microfone intercepta o som em uma área de 0750 cm2 a 200 m de distância da fonte Calcule a a intensidade sonora nessa posição e b a potência interceptada pelo microfone 36 Conversas em festas Quanto maior o número de pessoas presentes em uma festa mais você precisa levantar a voz para ser ouvido por causa do ruído de fundo dos outros participantes Entretanto gritar a plenos pulmões é inútil a única forma de se fazer ouvir é aproximarse do interlocutor invadindo seu espaço pessoal Modele a situação substituindo a pessoa que está gritando por uma fonte sonora isotrópica de potência fixa P e o ouvinte por um ponto Q que absorve parte das ondas sonoras Os pontos P e Q estão separados inicialmente por uma distância ri 120 m Se o ruído de fundo aumenta de Δβ 5 dB o nível do som na posição do ouvinte também deve aumentar Qual é a nova distância rf necessária para que a conversa possa prosseguir 37 Uma fonte produz uma onda sonora senoidal de frequência angular 3000 rads e amplitude 120 nm em um tubo com ar O raio interno do tubo é 200 cm a Qual é a taxa média com a qual a energia total soma das energias cinética e potencial é transportada para a extremidade oposta do tubo b Se ao mesmo tempo uma onda igual se propaga em um tubo vizinho igual qual é a taxa média total com a qual a energia é transportada pelas ondas para a extremidade oposta dos tubos Se em vez disso as duas ondas são produzidas simultaneamente no mesmo tubo qual é a taxa média total com que a energia é transportada se a diferença de fase entre as ondas é c 0 d 040p rad e ep rad Módulo 175 Fontes de Sons Musicais 38 O nível da água no interior em um tubo de vidro vertical com 100 m de comprimento pode ser ajustado para qualquer posição Um diapasão vibrando a 686 Hz é mantido acima da extremidade aberta do tubo para gerar uma onda sonora estacionária na parte superior do tubo onde existe ar Essa parte superior cheia de ar se comporta como um tubo com uma extremidade aberta e a outra fechada a Para quantas posições diferentes do nível de água o som do diapasão produz uma ressonância na parte do tubo cheia de ar Qual é b a menor altura e c qual é a segunda menor altura da água no tubo para as quais ocorre ressonância 39 a Determine a velocidade das ondas em uma corda de violino com 800 mg de massa e 220 cm de comprimento se a frequência fundamental é 920 Hz b Qual é a tração da corda Para o modo fundamental qual é o comprimento de onda c das ondas na corda e d das ondas sonoras emitidas pela corda 40 O tubo de órgão A com as duas extremidades abertas tem uma frequência fundamental de 300 Hz O terceiro harmônico do tubo de órgão B com uma extremidade aberta tem a mesma frequência que o segundo harmônico do tubo A Qual é o comprimento a do tubo A b Qual o comprimento do tubo B 41 Uma corda de violino com 150 cm de comprimento e as duas extremidades fixas oscila no modo n 1 A velocidade das ondas na corda é 250 ms e a velocidade do som no ar é 348 ms a Qual é a frequência e b qual é o comprimento de onda da onda sonora emitida 42 Uma onda sonora que se propaga em um fluido é refletida em uma barreira o que leva à formação de uma onda estacionária A distância entre dois nós vizinhos é 38 cm e a velocidade de propagação é 1500 ms Determine a frequência da onda sonora 43 Na Fig 1741 F é um pequeno altofalante alimentado por um oscilador de áudio com uma frequência que varia de 1000 Hz a 2000 Hz e D é um tubo cilíndrico com 457 cm de comprimento e as duas extremidades abertas A velocidade do som no ar do interior do tubo é 344 ms a Para quantas frequências o som do altofalante produz ressonância no tubo Qual é b a menor e c a segunda menor frequência de ressonância Figura 1741 Problema 43 44 A crista do crânio de um dinossauro Parassaurolofo continha uma passagem nasal na forma de um tubo longo e arqueado aberto nas duas extremidades O dinossauro pode ter usado a passagem para produzir sons no modo fundamental do tubo a Se a passagem nasal de um fóssil de Parassaurolofo tem 20 m de comprimento que frequência era produzida b Se esse dinossauro pudesse ser clonado como em Jurassic Park uma pessoa com uma capacidade auditiva na faixa de 60 Hz a 20 kHz poderia ouvir esse modo fundamental O som seria de alta ou de baixa frequência Crânios fósseis com passagens nasais mais curtas são atribuídos a Parassaurolofos fêmeas c Isso torna a frequência fundamental da fêmea maior ou menor que a do macho 45 No tubo A a razão entre a frequência de um harmônico e a frequência do harmônico precedente é 12 No tubo B a razão entre a frequência de um harmônico e a frequência do harmônico precedente é 14 Quantas extremidades abertas existem a no tubo A e b no tubo B 46 O tubo A que tem 120 m de comprimento e as duas extremidades abertas oscila na terceira frequência harmônica Ele está cheio de ar no qual a velocidade do som é 343 ms O tubo B com uma das extremidades fechada oscila na segunda frequência harmônica A frequência de oscilação de B coincide com a de A Um eixo x coincide com o eixo do tubo B com x 0 na extremidade fechada a Quantos nós existem no eixo x b Qual é o menor e c qual o segundo menor valor da coordenada x desses nós d Qual é a frequência fundamental do tubo B 47 Um poço com paredes verticais e água no fundo ressoa em 700 Hz e em nenhuma outra frequência mais baixa A parte do poço cheia de ar se comporta como um tubo com uma extremidade fechada e outra aberta O ar no interior do poço tem uma massa específica de 110 kgm3 e um módulo de elasticidade volumétrico de 133 105 Pa A que profundidade está a superfície da água 48 Uma das frequências harmônicas do tubo A que possui as duas extremidades abertas é 325 Hz A frequência harmônica seguinte é 390 Hz a Qual é a frequência harmônica que se segue à frequência harmônica de 195 Hz b Qual é o número desse harmônico Uma das frequências harmônicas do tubo B com apenas uma das extremidades aberta é 1080 Hz A frequência harmônica seguinte é 1320 Hz c Qual é a frequência harmônica que se segue à frequência harmônica de 600 Hz d Qual é o número desse harmônico 49 Uma corda de violino de 300 cm de comprimento com massa específica linear de 0650 gm é colocada perto de um altofalante alimentado por um oscilador de áudio de frequência variável Observase que a corda entra em oscilação apenas nas frequências de 880 Hz e 1320 Hz quando a frequência do oscilador de áudio varia no intervalo de 500 a 1500 Hz Qual é a tração da corda 50 Um tubo com 120 m de comprimento é fechado em uma das extremidades Uma corda esticada é colocada perto da extremidade aberta A corda tem 0330 m de comprimento e 960 g de massa está fixa nas duas extremidades e oscila no modo fundamental Devido à ressonância ela faz a coluna de ar no tubo oscilar na frequência fundamental Determine a a frequência fundamental da coluna de ar e b a tração da corda Módulo 176 Batimentos 51 A corda lá de um violino está esticada demais São ouvidos 400 batimentos por segundo quando a corda é tocada junto com um diapasão que oscila exatamente na frequência do lá de concerto 440 Hz Qual é o período de oscilação da corda do violino 52 Um diapasão de frequência desconhecida produz 300 batimentos por segundo com um diapasão padrão de 384 Hz A frequência de batimento diminui quando um pequeno pedaço de cera é colocado em um dos braços do primeiro diapasão Qual é a frequência do primeiro diapasão 53 Duas cordas de piano iguais têm uma frequência fundamental de 600 Hz quando são submetidas a uma mesma tração Que aumento relativo da tração de uma das cordas faz com que haja 60 batimentos por segundo quando as duas cordas oscilam simultaneamente 54 Cinco diapasões oscilam com frequências próximas mas diferentes Qual é o número a máximo e b mínimo de frequências de batimento diferentes que podem ser produzidas tocando os diapasões aos pares dependendo da diferença entre as frequências Módulo 177 O Efeito Doppler 55 Um apito de 540 Hz descreve uma circunferência de 600 cm de raio com uma velocidade angular de 150 rads a Qual é a frequência mais baixa e b qual é a frequência mais alta escutada por um ouvinte distante em repouso em relação ao centro da circunferência 56 Uma ambulância cuja sirene emite um som com uma frequência de 1600 Hz passa por um ciclista que está a 244 ms Depois de ser ultrapassado o ciclista escuta uma frequência de 1590 Hz Qual é a velocidade da ambulância 57 Um guarda rodoviário persegue um carro que excedeu o limite de velocidade em um trecho reto de uma rodovia os dois carros estão a 160 kmh A sirene do carro de polícia produz um som com uma frequência de 500 Hz Qual é o deslocamento Doppler da frequência ouvida pelo motorista infrator 58 Uma fonte sonora A e uma superfície refletora B se movem uma em direção à outra Em relação ao ar a velocidade da fonte A é 299 ms e a velocidade da superfície B é 658 ms a velocidade do som no ar é 329 ms A fonte emite ondas com uma frequência de 1200 Hz no referencial da fonte No referencial da superfície B qual é a a frequência e b qual é o comprimento de onda das ondas sonoras No referencial da fonte A qual é c a frequência e d qual é o comprimento de onda das ondas sonoras refletidas de volta para a fonte 59 Na Fig 1742 um submarino francês e um submarino americano se movem um em direção ao outro durante manobras em águas paradas do Atlântico Norte O submarino francês se move a uma velocidade vF 500 kmh e o submarino americano a uma velocidade vA 700 kmh O submarino francês envia um sinal de sonar onda sonora na água de 1000 103 Hz As ondas de sonar se propagam a 5470 kmh a Qual é a frequência do sinal detectado pelo submarino americano b Qual é a frequência do eco do submarino americano detectado pelo submarino francês Figura 1742 Problema 59 60 Um detector de movimento que está parado envia ondas sonoras de 0150 MHz em direção a um caminhão que se aproxima com uma velocidade de 450 ms Qual é a frequência das ondas refletidas de volta para o detector 61 Um morcego está voando em uma caverna orientandose com o auxílio de pulsos ultrassônicos A frequência dos sons emitidos pelo morcego é 39000 Hz O morcego se aproxima de uma parede plana da caverna com uma velocidade igual a 0025 vez a velocidade do som no ar Qual é a frequência com a qual o morcego ouve os sons refletidos pela parede da caverna 62 A Fig 1743 mostra quatro tubos de 10 m ou 20 m de comprimento e com uma ou duas extremidades abertas O terceiro harmônico é produzido em cada tubo e parte do som que escapa é captada pelo detector D que se afasta dos tubos em linha reta Em termos da velocidade do som v que velocidade deve ter o detector para que a frequência do som proveniente a do tubo 1 b do tubo 2 c do tubo 3 e d do tubo 4 seja igual à frequência fundamental do tubo Figura 1743 Problema 62 63 Um alarme acústico contra roubo utiliza uma fonte que emite ondas com uma frequência de 280 kHz Qual é a frequência de batimento entre as ondas da fonte e as ondas refletidas em um intruso que caminha com uma velocidade média de 0950 ms afastandose em linha reta do alarme 64 Um detector estacionário mede a frequência de uma fonte sonora que se aproxima em linha reta passa pelo detector e se afasta mantendo a velocidade constante A frequência emitida pela fonte é f A frequência detectada durante a aproximação é fap e a frequência detectada durante o afastamento é faf Se fap faff 0500 qual é a razão vFv entre a velocidade da fonte e a velocidade do som 65 Uma sirene de 2000 Hz e um funcionário da defesa civil estão em repouso em relação ao solo Que frequência o funcionário ouve se o vento está soprando a 12 ms a da sirene para o funcionário e b do funcionário para a sirene 66 Dois trens viajam um em direção ao outro a 305 ms em relação ao solo Um dos trens faz soar um apito de 500 Hz a Que frequência é ouvida no outro trem se o ar está parado b Que frequência é ouvida no outro trem se o vento está soprando a 305 ms no sentido contrário ao do trem que apitou c Que frequência será ouvida se o vento estiver soprando no sentido contrário 67 Uma menina está sentada perto da janela aberta de um trem que viaja para leste a uma velocidade de 1000 ms O tio da menina está parado na plataforma e observa o trem se afastar O apito da locomotiva produz um som com uma frequência de 5000 Hz O ar está parado a Que frequência o tio ouve b Que frequência a menina ouve c Um vento vindo do leste começa a soprar a 1000 ms c Que frequência o tio passa a ouvir d Que frequência a menina passa a ouvir Módulo 178 Velocidades Supersônicas e Ondas de Choque 68 A onda de choque produzida pelo avião da Fig 1724 tinha um ângulo de aproximadamente 60 O avião estava se movendo a 1350 kmh no momento em que a fotografia foi tirada Qual era aproximadamente a velocidade do som na altitude do avião 69 Um avião a jato passa sobre um pedestre a uma altitude de 5000 m e a uma velocidade de Mach 15 a Determine o ângulo do cone de Mach a velocidade do som é 331 ms b Quanto tempo após o avião ter passado diretamente acima do pedestre este é atingido pela onda de choque 70 Um avião voa a 125 vez a velocidade do som O estrondo sônico produzido pelo avião atinge um homem no solo 100 min depois de o avião ter passado exatamente por cima dele Qual é a altitude do avião Suponha que a velocidade do som é 330 ms Problemas Adicionais 71 A uma distância de 10 km uma corneta de 100 Hz considerada uma fonte pontual isotrópica mal pode ser ouvida A que distância começa a causar dor 72 Uma bala é disparada com uma velocidade de 685 ms Determine o ângulo entre o cone de choque e a trajetória da bala 73 O som produzido pelos cachalotes Fig 1744a lembra uma série de cliques Na verdade a baleia produz apenas um som na frente da cabeça para iniciar a série Parte desse som passa para a água e se torna o primeiro clique da série O restante do som se propaga para trás atravessa o saco de espermacete um depósito de gordura é refletido no saco frontal uma camada de ar e passa novamente pelo saco de espermacete Quando chega ao saco distal outra camada de ar na frente da cabeça parte do som escapa para a água para formar o segundo clique enquanto o restante é refletido de volta para o saco de espermacete e acaba formando outros cliques A Fig 1744b mostra o registro de uma série de cliques detectados por um hidrofone O intervalo de tempo correspondente a 10 ms está indicado no gráfico Supondo que a velocidade do som no saco de espermacete é 1372 ms determine o comprimento do saco de espermacete Usando cálculos desse tipo os cientistas marinhos estimam o comprimento de uma baleia a partir dos cliques que produz Figura 1744 Problema 73 74 A massa específica média da crosta da Terra 10 km abaixo dos continentes é 27 gcm3 A velocidade de ondas sísmicas a essa profundidade calculada a partir do tempo de percurso das ondas produzidas por terremotos distantes é 54 kms Use essas informações para determinar o módulo de elasticidade volumétrico da crosta terrestre a essa profundidade Para fins de comparação o módulo de elasticidade volumétrico do aço é aproximadamente 16 1010 Pa 75 Um sistema de altofalantes emite sons isotropicamente com uma frequência de 2000 Hz e uma intensidade de 0960 mWm2 a uma distância de 610 m Suponha que não existem reflexões a Qual é a intensidade a 300 m A 610 m qual é b a amplitude do deslocamento e c qual a amplitude de pressão da onda sonora 76 Calcule a razão entre a maior e a menor a das intensidades b das amplitudes de pressão e c das amplitudes dos deslocamentos de moléculas do ar para dois sons cujos níveis sonoros diferem de 37 dB 77 Na Fig 1745 as ondas sonoras A e B de mesmo comprimento de onda λ estão inicialmente em fase e se propagam para a direita como indicam os dois raios A onda A é refletida por quatro superfícies mas volta a se propagar na direção e no sentido original Que múltiplo do comprimento de onda λ é o menor valor da distância L da figura para o qual A e B estão em oposição de fase após as reflexões Figura 1745 Problema 77 78 Em um trem que se aproxima de um trompetista parado ao lado dos trilhos está outro trompetista ambos tocam uma nota de 440 Hz As ondas sonoras ouvidas por um observador estacionário situado entre os dois trompetistas têm uma frequência de batimento de 40 batimentoss Qual é a velocidade do trem 79 Na Fig 1746 um som com um comprimento de onda de 0850 m é emitido isotropicamente por uma fonte pontual S O raio de som 1 se propaga diretamente para o detector D situado a uma distância L 100 m O raio de som 2 chega a D após ser refletido por uma superfície plana A reflexão ocorre na mediatriz do segmento de reta SD a uma distância d do raio 1 Suponha que a reflexão desloca a fase da onda sonora de 0500λ Qual é o menor valor de d diferente de zero para o qual o som direto e o som refletido chegam a D a em oposição de fase e b em fase Figura 1746 Problema 79 80 Um detector se aproxima em linha reta de uma fonte sonora estacionária passa pela fonte e se afasta mantendo a velocidade constante A frequência emitida pela fonte é f A frequência detectada durante a aproximação é fap e a frequência detectada durante o afastamento é faf Se fap 2 faff 0500 qual é a razão vDv entre a velocidade do detector e a velocidade do som 81 a Se duas ondas sonoras uma no ar e uma na água doce têm a mesma frequência e a mesma intensidade qual é a razão entre a amplitude da pressão da onda na água e a amplitude da pressão da onda no ar Suponha que a água e o ar estão a 20 C Veja a Tabela 141 b Se em vez de terem a mesma intensidade as ondas têm a mesma amplitude de pressão qual é a razão entre as intensidades 82 Uma onda longitudinal senoidal contínua é produzida em uma mola espiral muito longa por uma fonte presa à mola A onda se propaga no sentido negativo de um eixo x a frequência da fonte é 25 Hz em qualquer instante a distância entre pontos sucessivos de alongamento máximo da mola é igual a 24 cm o deslocamento longitudinal máximo de uma partícula da mola é 030 cm a partícula situada em x 0 possui deslocamento nulo no instante t 0 Se a onda é escrita na forma sx t sm coskx ωt determine a sm b k c ω d a velocidade da onda e e o sinal que precede ω 83 O ultrassom uma onda sonora com uma frequência tão alta que não pode ser ouvida pelos seres humanos é usado para produzir imagens do interior do corpo humano Além disso o ultrassom é usado para medir a velocidade do sangue no corpo para isso a frequência do ultrassom aplicado ao corpo é comparada com a frequência do ultrassom refletido pelo sangue para a superfície do corpo Como o sangue pulsa a frequência detectada varia Figura 1747 Problema 83 Suponha que uma imagem de ultrassom do braço de um paciente mostra uma artéria que faz um ângulo θ 20 com a direção de propagação do ultrassom Fig 1747 Suponha ainda que a frequência do ultrassom refletido pelo sangue da artéria apresenta um aumento máximo de 5495 Hz em relação à frequência de 5000000 MHz do ultrassom original a Na Fig 1747 o sangue está correndo para a direita ou para a esquerda b A velocidade do som no braço humano é 1540 ms Qual é a velocidade máxima do sangue Sugestão O efeito Doppler é causado pela componente da velocidade do sangue na direção de propagação do ultrassom c Se o ângulo θ fosse maior a frequência refletida seria maior ou menor 84 A velocidade do som em certo metal é vm Uma das extremidades de um tubo longo feito com esse metal de comprimento L recebe uma pancada Uma pessoa na outra extremidade ouve dois sons um associado à onda que se propaga na parede do tubo e outro associado à onda que se propaga no ar do interior do tubo a Se v é a velocidade do som no ar qual é o intervalo de tempo Δt entre as chegadas dos dois sons ao ouvido da pessoa b Se Δt 100 s e o metal é o aço qual é o comprimento L do tubo 85 Uma avalanche de areia em um tipo raro de duna pode produzir um estrondo suficientemente intenso para ser ouvido a 10 km de distância O estrondo aparentemente é causado pela oscilação de uma camada deslizante de areia a espessura da camada aumenta e diminui periodicamente Se a frequência emitida é 90 Hz determine a o período de oscilação da espessura da camada e b o comprimento de onda do som 86 Uma fonte sonora se move ao longo de um eixo x entre os detectores A e B O comprimento de onda do som detectado por A é 0500 do comprimento do som detectado por B Qual é a razão vFv entre a velocidade da fonte e a velocidade do som 87 Uma sirene que emite um som com uma frequência de 1000 Hz se afasta de você em direção a um rochedo com uma velocidade de 10 ms Considere a velocidade do som no ar como 330 ms a Qual é a frequência do som que você escuta vindo diretamente da sirene b Qual é a frequência do som que você escuta refletido no rochedo c Qual é a frequência de batimento entre os dois sons Ela é perceptível menor que 20 Hz 88 Em certo ponto duas ondas produzem variações de pressão dadas por Δp1 Δpm sen ωt e Δp2 Δpm sen ωt ϕ Nesse ponto qual é a razão ΔprΔpm em que Δpr é a amplitude da pressão da onda resultante se ϕ é igual a a 0 b π2 c π3 e d π4 89 Duas ondas sonoras com uma amplitude de 12 nm e um comprimento de onda de 35 cm se propagam no mesmo sentido em um tubo longo com uma diferença de fase de π3 rad a Qual é a amplitude e b qual o comprimento de onda da onda sonora que resulta da interferência das duas ondas Se em vez disso as ondas sonoras se propagam em sentidos opostos no tubo qual é c a amplitude e d qual o comprimento de onda da onda resultante 90 Uma onda sonora senoidal se propaga no ar no sentido positivo de um eixo x com uma velocidade de 343 ms Em um dado instante a molécula A do ar está em seu deslocamento máximo no sentido negativo do eixo enquanto a molécula B do ar está na posição de equilíbrio A distância entre as duas moléculas é 150 cm e as moléculas situadas entre A e B possuem deslocamentos intermediários no sentido negativo do eixo a Qual é a frequência da onda sonora Em um arranjo semelhante para uma onda sonora senoidal diferente a molécula C do ar está em seu máximo deslocamento no sentido positivo do eixo enquanto a molécula D do ar está em seu máximo deslocamento no sentido negativo A distância entre as duas moléculas é 150 cm e as moléculas entre C e D possuem deslocamentos intermediários b Qual é a frequência da onda sonora 91 Dois diapasões iguais oscilam com uma frequência de 440 Hz Uma pessoa está situada entre os dois diapasões em um ponto da reta que liga os dois diapasões Calcule a frequência de batimento ouvida por essa pessoa a se estiver parada e os dois diapasões se moverem no mesmo sentido ao longo da reta com uma velocidade de 300 ms e b se os diapasões estiverem parados e a pessoa se mover ao longo da reta com uma velocidade de 300 ms 92 É possível estimar a distância de um relâmpago contando o número de segundos que separam o clarão do trovão Por qual número inteiro é preciso dividir o número de segundos para obter a distância em quilômetros 93 A Fig 1748 mostra um interferômetro acústico usado para demonstrar a interferência de ondas sonoras A fonte sonora F é um diafragma oscilante D é um detector de ondas sonoras como o ouvido ou um microfone o tubo contém ar O comprimento do tubo FBD pode variar mas o comprimento do tubo FAD é fixo Em D a onda sonora que se propaga no tubo FBD interfere na que se propaga no tubo FAD Em um experimento a intensidade sonora no detector D possui um valor mínimo de 100 unidades para certa posição do braço móvel e aumenta continuamente até um valor máximo de 900 unidades quando o braço é deslocado de 165 cm Determine a a frequência do som emitido pela fonte e b a razão entre as amplitudes no ponto D da onda FAD e da onda FBD c Como é possível que as ondas tenham amplitudes diferentes já que foram geradas pela mesma fonte Figura 1748 Problema 93 94 Em 10 de julho de 1996 um bloco de granito se desprendeu de uma montanha no Vale de Yosemite e depois de deslizar pela encosta foi lançado em uma trajetória balística As ondas sísmicas produzidas pelo choque do bloco com o solo foram registradas por sismógrafos a mais de 200 km de distância Medições posteriores mostraram que o bloco tinha uma massa entre 73 107 kg e 17 108 kg e que caiu a uma distância vertical de 500 m e a uma distância horizontal de 30 m do ponto de onde foi lançado O ângulo de lançamento não é conhecido a Estime a energia cinética do bloco imediatamente antes do choque com o solo Dois tipos de ondas sísmicas devem ter sido produzidos no solo pelo impacto uma onda volumétrica na forma de um hemisfério de raio crescente e uma onda superficial na forma de um cilindro estreito Fig 1749 Suponha que o choque tenha durado 050 s que o cilindro tinha uma altura d de 50 m e que cada tipo de onda tenha recebido 20 da energia que o bloco possuía imediatamente antes do impacto Desprezando a energia mecânica perdida pelas ondas durante a propagação determine a intensidade b da onda volumétrica e c da onda superficial quando elas chegaram a um sismógrafo situado a 200 km de distância d Com base nesses resultados qual das duas ondas pôde ser detectada com mais facilidade por um sismógrafo distante Figura 1749 Problema 94 95 A intensidade do som é 00080 Wm2 a uma distância de 10 m de uma fonte sonora pontual isotrópica a Qual é a potência da fonte b Qual é a intensidade sonora a 50 m de distância da fonte c Qual é o nível sonoro a 10 m de distância da fonte 96 Quatro ondas sonoras são produzidas no mesmo tubo cheio de ar no mesmo sentido s1x t 900 nm cos2πx 700πt s2x t 900 nm cos2πx 700πt 07π s3x t 900 nm cos2πx 700πt π s4x t 900 nm cos2πx 700πt 17π Qual é a amplitude da onda resultante Sugestão Use um diagrama fasorial para simplificar o problema 97 Um segmento de reta AB liga duas fontes pontuais separadas por uma distância de 500 m que emitem ondas sonoras de 300 Hz de mesma amplitude e fases opostas a Qual é a menor distância entre o ponto médio de AB e um ponto de AB no qual a interferência das ondas provoca a maior oscilação possível das moléculas de ar Qual é b a segunda e c qual a terceira menor distância 98 Uma fonte pontual que está parada em um eixo x emite uma onda sonora senoidal com uma frequência de 686 Hz e uma velocidade de 343 ms A onda se propaga radialmente fazendo as moléculas de ar oscilarem para perto e para longe da fonte Defina uma frente de onda como uma linha que liga os pontos nos quais as moléculas de ar possuem o deslocamento máximo para fora na direção radial Em qualquer instante as frentes de onda são circunferências concêntricas cujo centro coincide com a posição da fonte a Qual é a distância ao longo do eixo x entre as frentes de onda vizinhas Suponha que a fonte passe a se mover ao longo do eixo x com uma velocidade de 110 ms Qual será a distância ao longo do eixo x entre as frentes de onda b na frente e c atrás da fonte 99 Você está parado a uma distância D de uma fonte sonora pontual isotrópica Você caminha 500 m em direção à fonte e observa que a intensidade do som dobrou Calcule a distância D 100 O tubo A é aberto em apenas uma extremidade o tubo B é quatro vezes mais comprido e é aberto nas duas extremidades Dos 10 menores números harmônicos nB do tubo B determine a o menor b o segundo menor e c o terceiro menor valor para o qual uma frequência harmônica de B coincide com uma das frequências harmônicas de A 101 Um tubo de 060 m de comprimento fechado em uma extremidade está cheio de um gás desconhecido A frequência do terceiro harmônico do tubo é 750 Hz a Qual é a velocidade do som no gás desconhecido b Qual é a frequência fundamental do tubo quando está cheio do gás desconhecido 102 Uma onda sonora se propaga uniformemente em todas as direções a partir de uma fonte pontual a Justifique a seguinte expressão para o deslocamento s do meio transmissor a uma distância ρ da fonte em que b é uma constante Considere a velocidade o sentido de propagação a periodicidade e a intensidade da onda b Qual é a dimensão da constante b 103 Um carro de polícia persegue um Porsche 911 por excesso de velocidade Suponha que a velocidade máxima do Porsche é 800 ms e a do carro de polícia é 540 ms No instante em que os dois carros atingem a velocidade máxima que frequência o motorista do Porsche escuta se a frequência da sirene do carro de polícia é 440 Hz Considere a velocidade do som no ar como 340 ms 104 Suponha que um altofalante esférico emite sons isotropicamente com uma potência de 10 W em uma sala com paredes piso e teto cobertos de material que absorve totalmente o som uma câmara anecoica a Qual é a intensidade do som a uma distância d 30 m da fonte b Qual é a razão entre as amplitudes da onda em d 40 m e em d 30 m 105 Na Fig 1735 S1 e S2 são duas fontes sonoras pontuais isotrópicas que emitem ondas em fase com um comprimento de onda de 050 m e estão separadas por uma distância D 160 m Se movermos um detector de som ao longo de uma grande circunferência com o centro no ponto médio entre as fontes em quantos pontos as ondas chegam ao detector a com a mesma fase e b com fases opostas 106 A Fig 1750 mostra um instrumento com um transmissor e um receptor de ondas usado para medir a velocidade u de um alvo Suponha que o alvo se move na direção do instrumento e que a parte do alvo que reflete as ondas se comporta como uma placa plana Qual é o valor de u se a frequência das ondas emitidas é 180 kHz e a frequência das ondas detectadas depois de serem refletidas pelo alvo é 222 kHz Figura 1750 Problema 106 107 O método de Kundt para medir a velocidade do som Na Fig 1751 uma barra B está presa pela parte central um disco D na extremidade direita da barra está no interior de um tubo de vidro cheio de gás que também contém pedacinhos de cortiça Existe um êmbolo E na outra extremidade do tubo A barra B está acoplada a um vibrador mecânico que produz ondas longitudinais de frequência f no interior do tubo e a posição do êmbolo é ajustada para que seja criada uma onda estacionária Quando a onda estacionária é criada o movimento do gás faz com que os pedacinhos de cortiça formem pequenos montes nos pontos em que o deslocamento é nulo Se f 446 103 Hz e a distância entre montes vizinhos é 920 cm qual é a velocidade do som no gás Figura 1751 Problema 107 108 Uma fonte F e um detector D de ondas de rádio estão a uma distância d em um terreno plano Fig 1752 Ondas de rádio de comprimento de onda λ chegam ao detector D de duas formas diretamente e depois de serem refletidas em certa camada da atmosfera que sobe gradualmente Quando a camada está a uma altura H as ondas chegam em fase ao detector D quando a camada atinge a altura H h as ondas têm fases opostas Expresse λ em termos de d h e H Figura 1752 Problema 108 109 Na Fig 1753 uma fonte pontual S de ondas sonoras está nas proximidades de uma parede AB As ondas produzidas pela fonte chegam a um detector D de duas formas diretamente raio R1 e depois de serem refletidas pela parede com um ângulo de incidência θi igual ao ângulo de reflexão θr raio R2 Suponha que a reflexão do som na parede causa um deslocamento de fase de 0500λ Se as distâncias são d1 250 m d2 200 m e d3 125 m determine a a menor frequência e b a segunda menor frequência para a qual os raios R1 e R2 estão em fase ao chegarem ao detector D Figura 1753 Problema 109 110 Um músico que está viajando de trem toca um trompete com uma frequência de 440 Hz O trem está se aproximando de um muro a uma velocidade de 200 ms Determine a frequência do som a ao chegar à parede e b ao chegar de volta ao músico depois de ser refletido pelo muro 111 Uma pessoa que está em repouso em relação ao ar e em relação ao solo ouve um som de frequência f1 produzido por uma fonte que se aproxima a uma velocidade de 15 ms Se a pessoa começa a se mover a uma velocidade de 25 ms na direção da fonte ela passa a ouvir uma frequência f2 Se a diferença entre f2 e f1 é 37 Hz qual é a frequência da fonte Suponha que a velocidade do som no ar é 340 ms 1 Na verdade a unidade de volume sonoro é o bel B e o decibel é um submúltiplo 1 dB 01 B mas o decibel é muito mais usado na prática que o bel NT CAPÍTULO 18 Temperatura Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica 181 TEMPERATURA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1801 Saber o que significa a temperatura mais baixa da escala Kelvin zero absoluto 1802 Conhecer a lei zero da termodinâmica 1803 Saber o que é o ponto triplo de uma substância 1804 Explicar como é medida uma temperatura usando um termômetro de gás a volume constante 1805 Conhecer a relação entre a pressão e volume de um gás em um dado estado e a pressão e temperatura do gás no ponto triplo IdeiasChave Temperatura é uma grandeza relacionada com as nossas sensações de calor e frio É medida usando um instrumento conhecido como termômetro que contém uma substância com uma propriedade mensurável como comprimento ou pressão que varia de forma regular quando a substância é aquecida ou resfriada Quando um termômetro e outro objeto são postos em contato eles atingem depois de algum tempo o equilíbrio térmico Depois que o equilíbrio térmico é atingido a leitura do termômetro é considerada como a temperatura do outro objeto O processo é coerente por causa da lei zero da termodinâmica Se dois objetos A e B estão em equilíbrio térmico com um terceiro objeto C o termômetro os objetos A e B estão em equilíbrio térmico entre si A unidade de temperatura do SI é o kelvin K Por definição a temperatura do ponto triplo da água é 27316 K Outras temperaturas são definidas a partir de medidas executadas com um termômetro a gás de volume constante no qual uma amostra de gás é mantida a volume constante para que a pressão do gás seja proporcional à temperatura A temperatura T medida por um termômetro a gás é definida pela equação Nessa equação T é a temperatura em kelvins p é a pressão do gás à temperatura T e p3 é a pressão do gás no ponto triplo da água O que É Física Um dos principais ramos da física e da engenharia é a termodinâmica o estudo da energia térmica também conhecida como energia interna dos sistemas Um dos conceitos centrais da termodinâmica é o de temperatura Desde a infância temos um conhecimento prático dos conceitos de temperatura e energia térmica Sabemos por exemplo que é preciso tomar cuidado com alimentos e objetos quentes e que a carne e o peixe devem ser guardados na geladeira Sabemos também que a temperatura no interior de uma casa e de um automóvel deve ser mantida dentro de certos limites e que devemos nos proteger do frio e do calor excessivos Os exemplos de aplicação da termodinâmica na ciência e na tecnologia são numerosos Os engenheiros de automóveis se preocupam com o superaquecimento dos motores especialmente no caso dos carros de corrida Os engenheiros de alimentos estudam o aquecimento de alimentos como o de pizzas em fornos de microondas e o resfriamento como no caso dos alimentos congelados Os meteorologistas analisam a transferência de energia térmica nos eventos associados ao fenômeno El Niño e ao aquecimento global Os engenheiros agrônomos investigam a influência das condições climáticas sobre a agricultura Os engenheiros biomédicos estão interessados em saber se a medida da temperatura de um paciente permite distinguir uma infecção viral benigna de um tumor canceroso O ponto de partida de nossa discussão da termodinâmica é o conceito de temperatura Temperatura A temperatura é uma das sete grandezas fundamentais do SI Os físicos medem a temperatura na escala Kelvin cuja unidade é o kelvin K Embora não exista um limite superior para a temperatura de um corpo existe um limite inferior essa temperatura limite é tomada como o zero da escala Kelvin de temperatura A temperatura ambiente está em torno de 290 kelvins 290 K A Fig 181 mostra a temperatura em kelvins de alguns objetos estudados pelos físicos Quando o universo começou há 137 bilhões de anos sua temperatura era da ordem de 1039 K Ao se expandir o universo esfriou e hoje a temperatura média é de aproximadamente 3 K Aqui na Terra a temperatura é um pouco mais alta porque vivemos nas vizinhanças de uma estrela Se não fosse o Sol também estaríamos a 3 K ou melhor não existiríamos Figura 181 As temperaturas de alguns objetos na escala Kelvin Nessa escala logarítmica a temperatura T 0 corresponde a 10 e portanto não pode ser indicada A Lei Zero da Termodinâmica As propriedades de muitos objetos mudam consideravelmente quando são submetidos a uma variação de temperatura Eis alguns exemplos quando a temperatura aumenta o volume de um líquido aumenta uma barra de metal fica um pouco mais comprida a resistência elétrica de um fio aumenta e o mesmo acontece com a pressão de um gás confinado Quaisquer dessas mudanças podem ser usadas como base de um instrumento que nos ajude a compreender o conceito de temperatura A Fig 182 mostra um instrumento desse tipo Um engenheiro habilidoso poderia construílo usando quaisquer das propriedades mencionadas no parágrafo anterior O instrumento dispõe de um mostrador digital e tem as seguintes características quando é aquecido com um bico de Bunsen digamos o número do mostrador aumenta quando é colocado em uma geladeira o número diminui O instrumento não está calibrado e os números não têm ainda um significado físico Esse aparelho é um termoscópio mas não é ainda um termômetro Suponha que como na Fig 183a o termoscópio que vamos chamar de corpo T seja posto em contato com outro corpo corpo A O sistema inteiro está contido em uma caixa feita de material isolante Os números mostrados pelo termoscópio variam até finalmente se estabilizarem digamos que a leitura final seja 13704 Vamos supor na verdade que todas as propriedades mensuráveis do corpo T e do corpo A tenham assumido após certo tempo um valor constante Quando isso acontece dizemos que os dois corpos estão em equilíbrio térmico Embora as leituras mostradas para o corpo T não tenham sido calibradas concluímos que os corpos T e A estão à mesma temperatura desconhecida Suponha que em seguida o corpo T seja posto em contato com o corpo B Fig 183b e a leitura do termoscópio seja a mesma quando os dois corpos atingem o equilíbrio térmico Isso significa que os corpos T e B estão à mesma temperatura ainda desconhecida Se colocarmos os corpos A e B em contato Fig 183c eles já estarão em equilíbrio térmico Experimentalmente verificamos que sim O fato experimental ilustrado na Fig 183 é expresso pela lei zero da termodinâmica Se dois corpos A e B estão separadamente em equilíbrio térmico com um terceiro corpo T então A e B estão em equilíbrio térmico entre si Figura 182 Um termoscópio Os números aumentam quando o dispositivo é aquecido e diminuem quando o dispositivo é resfriado O sensor térmico pode ser entre outras coisas um fio cuja resistência elétrica é medida e indicada no mostrador Em uma linguagem menos formal o que a lei zero nos diz é o seguinte Todo corpo possui uma propriedade chamada temperatura Quando dois corpos estão em equilíbrio térmico suas temperaturas são iguais e viceversa Podemos agora transformar nosso termoscópio o terceiro corpo T em um termômetro confiantes de que suas leituras têm um significado físico Tudo que precisamos fazer é calibrálo Figura 183 a O corpo T um termoscópio e o corpo A estão em equilíbrio térmico O corpo S é um isolante térmico b O corpo T e o corpo B também estão em equilíbrio térmico e produzem a mesma leitura do termoscópio c Se a e b são verdadeiros a lei zero da termodinâmica estabelece que o corpo A e o corpo B também estão em equilíbrio térmico Figura 184 Uma célula de ponto triplo na qual gelo sólido água líquido e vapor gás estão em equilíbrio térmico Por acordo internacional a temperatura da mistura foi definida como 27316 K O bulbo de um termômetro de gás a volume constante é mostrado no centro da célula Usamos a lei zero constantemente no laboratório Quando desejamos saber se os líquidos em dois recipientes estão à mesma temperatura medimos a temperatura de cada um com um termômetro não precisamos colocar os dois líquidos em contato e observar se estão ou não em equilíbrio térmico A lei zero considerada uma descoberta tardia foi formulada apenas na década de 1930 muito depois de a primeira e a segunda leis da termodinâmica terem sido descobertas e numeradas Como o conceito de temperatura é fundamental para as duas leis a lei que estabelece a temperatura como um conceito válido deve ter uma numeração menor por isso o zero Medida da Temperatura Vamos primeiro definir e medir temperaturas na escala Kelvin para em seguida calibrar um termoscópio e transformálo em um termômetro O Ponto Triplo da Água Para criar uma escala de temperatura escolhemos um fenômeno térmico reprodutível e arbitrariamente atribuímos a ele uma temperatura Poderíamos por exemplo escolher o ponto de fusão do gelo ou o ponto de ebulição da água mas por questões técnicas optamos pelo ponto triplo da água A água o gelo e o vapor dágua podem coexistir em equilíbrio térmico para apenas um conjunto de valores de pressão e temperatura A Fig 184 mostra uma célula de ponto triplo na qual este chamado ponto triplo da água pode ser obtido em laboratório Por acordo internacional foi atribuído ao ponto triplo da água o valor de 27316 K como a temperaturapadrão para a calibração dos termômetros ou seja em que o índice 3 significa ponto triplo O acordo também estabelece o valor do kelvin como 127316 da diferença entre o zero absoluto e a temperatura do ponto triplo da água Note que não usamos o símbolo de grau ao expressar temperaturas na escala Kelvin Escrevemos 300 K e não 3008 K e devemos ler a temperatura como 300 kelvins e não como 300 graus kelvin Os prefixos usados para as outras unidades do SI podem ser usados assim 35 mK significa 00035 K Não há nomenclaturas distintas para temperaturas na escala Kelvin e diferenças de temperatura de modo que podemos escrever a temperatura de fusão do enxofre é 7178 K e a temperatura do líquido sofreu um aumento de 85 K Figura 185 Um termômetro de gás a volume constante com o bulbo imerso em um líquido cuja temperatura T se pretende medir O Termômetro de Gás a Volume Constante O termômetropadrão em relação ao qual todos os outros termômetros são calibrados se baseia na pressão de um gás em um volume fixo A Fig 185 mostra um termômetro de gás a volume constante ele é composto por um bulbo cheio de gás ligado por um tubo a um manômetro de mercúrio Levantando ou abaixando o reservatório R é sempre possível fazer com que o nível de mercúrio no lado esquerdo do tubo em U fique no zero da escala para manter o volume do gás constante variações do volume do gás afetariam as medidas de temperatura Figura 186 Temperaturas medidas por um termômetro de gás a volume constante com o bulbo imerso em água fervente Para calcular a temperatura usando a Eq 185 a pressão p3 foi medida no ponto triplo da água Três gases diferentes no bulbo do termômetro fornecem resultados diferentes para diferentes pressões do gás mas quando a quantidade de gás é reduzida o que diminui o valor de p3 as três curvas convergem para 373125 K A temperatura de qualquer corpo em contato térmico com o bulbo como por exemplo o líquido em torno do bulbo na Fig 185 é definida como em que p é a pressão exercida pelo gás e C é uma constante De acordo com a Eq 1410 a pressão p é dada por em que p0 é a pressão atmosférica ρ é a massa específica do mercúrio e h é a diferença entre os níveis de mercúrio medida nos dois lados do tubo O sinal negativo é usado na Eq 183 porque a pressão p é medida acima do nível no qual a pressão é p0 Se o bulbo for introduzido em uma célula de ponto triplo Fig 184 a temperatura medida será em que p3 é a pressão do gás Eliminando C nas Eqs 182 e 184 obtemos uma equação para a temperatura em função de p e p3 Ainda temos um problema com esse termômetro Se o usamos para medir digamos o ponto de ebulição da água descobrimos que gases diferentes no bulbo fornecem resultados ligeiramente diferentes Entretanto quando usamos quantidades cada vez menores de gás no interior do bulbo as leituras convergem para uma única temperatura seja qual for o gás utilizado A Fig 186 mostra essa convergência para três gases Assim a receita para medir a temperatura com um termômetro de gás é a seguinte De acordo com a receita uma temperatura T desconhecida deve ser medida da seguinte forma Encha o bulbo do termômetro com uma quantidade arbitrária de qualquer gás nitrogênio por exemplo e meça p3 usando uma célula de ponto triplo e p a pressão do gás na temperatura que está sendo medida Mantenha constante o volume do gás Calcule a razão pp3 Repita as medidas com uma quantidade menor do gás no bulbo e calcule a nova razão Repita o procedimento usando quantidades cada vez menores de gás até poder extrapolar para a razão pp3 que seria obtida se não houvesse gás no bulbo Calcule a temperatura T substituindo essa razão extrapolada na Eq 186 A temperatura é chamada de temperatura de gás ideal 182 AS ESCALAS CELSIUS E FAHRENHEIT Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1806 Converter uma temperatura de kelvins para graus Celsius e de graus Celsius para graus Fahrenheit e viceversa 1807 Saber que uma variação de um kelvin é igual a uma variação de um grau Celsius IdeiasChave A temperatura em graus Celsius é definida pela equação TC T 27315 em que TC é a temperatura em graus Celsius e T é a temperatura em kelvins A temperatura em graus Fahrenheit é definida pela equação em que TF é a temperatura em graus Fahrenheit e TC é a temperatura em graus Celsius As Escalas Celsius e Fahrenheit Até agora consideramos apenas a escala Kelvin usada principalmente pelos cientistas Em quase todos os países do mundo a escala Celsius chamada antigamente de escala centígrada é a escala mais usada no dia a dia As temperaturas na escala Celsius são medidas em graus e um grau Celsius tem o mesmo valor numérico que um kelvin Entretanto o zero da escala Celsius está em um valor mais conveniente que o zero absoluto Se TC representa uma temperatura em graus Celsius e T a mesma temperatura em kelvins Quando expressamos temperaturas na escala Celsius usamos o símbolo de grau Assim escrevemos 2000C que se lê como 2000 graus Celsius para uma temperatura na escala Celsius mas 29315 K que se lê como 29315 kelvins para a mesma temperatura na escala Kelvin A escala Fahrenheit a mais comum nos Estados Unidos utiliza um grau menor que o grau Celsius e um zero de temperatura diferente A relação entre as escalas Celsius e Fahrenheit é em que TF é a temperatura em graus Fahrenheit A conversão entre as duas escalas pode ser feita com facilidade a partir de dois pontos de referência pontos de congelamento e de ebulição da água mostrados na Tabela 181 As escalas Kelvin Celsius e Fahrenheit são comparadas na Fig 187 A posição do símbolo de grau em relação às letras C e F é usada para distinguir medidas e graus nas duas escalas Assim 0C 32F Figura 187 Comparação entre as escalas Kelvin Celsius e Fahrenheit de temperatura Tabela 181 Correspondência entre Algumas Temperaturas Temperatura C F Ponto de ebulição da águaa 100 212 Temperatura normal do corpo 370 986 Temperatura confortável 20 68 Ponto de congelamento da águaa 0 32 Zero da escala Fahrenheit 18 0 Coincidência das escalas 40 40 aEstritamente falando o ponto de ebulição da água na escala Celsius é 99975C e o ponto de congelamento é 000C Assim existem pouco menos de 100C entre os dois pontos significa que uma temperatura de 08 na escala Celsius equivale a uma temperatura de 328 na escala Fahrenheit enquanto 5 C 9 F significa que uma diferença de temperatura de graus Celsius observe que nesse caso o símbolo de grau aparece depois do C equivale a uma diferença de temperatura de 9 graus Fahrenheit Teste 1 A figura mostra três escalas lineares de temperatura com os pontos de congelamento e ebulição da água indicados a Ordene os graus dessas escalas de acordo com o tamanho em ordem decrescente b Ordene as seguintes temperaturas em ordem decrescente 50X 50W e 50Y Exemplo 1801 Conversão de uma escala de temperatura para outra Suponha que você encontre anotações antigas que descrevem uma escala de temperatura chamada Z na qual o ponto de ebulição da água é 6508Z e o ponto de congelamento é 140Z A que temperatura na escala Fahrenheit corresponde uma temperatura T 980Z Suponha que a escala Z é linear ou seja que o tamanho de um grau Z é o mesmo em toda a escala Z IDEIACHAVE Como as duas escalas são lineares o fator de conversão pode ser calculado usando duas temperaturas conhecidas nas duas escalas como os pontos de ebulição e congelamento da água O número de graus entre as temperaturas conhecidas em uma escala é equivalente ao número de graus entre elas na outra escala Cálculos Começamos por relacionar a temperatura dada T a uma das temperaturas conhecidas da escala Z Como T 980Z está mais próximo do ponto de congelamento 140Z que do ponto de ebulição 6508Z escolhemos o ponto de congelamento Observamos que T está 140Z 2 980Z 8408Z abaixo do ponto de congelamento Essa diferença pode ser lida como 840 graus Z O passo seguinte consiste em determinar um fator de conversão entre as escalas Z e Fahrenheit Para isso usamos as duas temperaturas conhecidas na escala Z e as correspondentes temperaturas na escala Fahrenheit Na escala Z a diferença entre os pontos de ebulição e de congelamento é 6508Z 140Z 790Z Na escala Fahrenheit é 212F 320F 180F Assim uma diferença de temperatura de 79Z equivale a uma diferença de temperatura de 180F Fig 188 e podemos usar a razão 180F790Z como fator de conversão Figura 188 Comparação entre uma escala de temperatura desconhecida e a escala Fahrenheit Como T está 840Z abaixo do ponto de congelamento deve estar abaixo do ponto de congelamento Como o ponto de congelamento corresponde a 320F isso significa que 183 DILATAÇÃO TÉRMICA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1808 No caso de uma dilatação térmica unidimensional conhecer a relação entre a variação de temperatura ΔT a variação de comprimento ΔL o comprimento inicial L e o coeficiente de dilatação térmica α 1809 No caso de uma dilatação térmica bidimensional usar a dilatação térmica unidimensional para determinar a variação de área 1810 No caso de uma dilatação térmica tridimensional conhecer a relação entre a variação de temperatura ΔT a variação de volume ΔV o volume inicial V e o coeficiente de dilatação volumétrica β IdeiasChave Todos os objetos variam de tamanho quando a temperatura varia No caso de uma variação de temperatura ΔT uma variação ΔL de qualquer dimensão linear L é dada por ΔL Lα ΔT em que α é o coeficiente de dilatação linear A variação ΔV do volume V de um sólido ou líquido é dada por ΔV Vβ ΔT em que β 3α é o coeficiente de dilatação térmica do material Dilatação Térmica Às vezes para conseguir desatarraxar a tampa metálica de um pote de vidro basta colocar o pote debaixo de uma torneira de água quente Tanto o metal da tampa quanto o vidro do pote se dilatam quando a água quente fornece energia aos átomos Com a energia adicional os átomos se afastam mais uns dos outros atingindo um novo ponto de equilíbrio com as forças elásticas interatômicas que mantêm os átomos unidos em um sólido Entretanto como os átomos do metal se afastam mais uns dos outros que os átomos do vidro a tampa se dilata mais do que o pote e portanto fica frouxa A dilatação térmica dos materiais com o aumento de temperatura deve ser levada em conta em muitas situações da vida prática Quando uma ponte está sujeita a grandes variações de temperatura ao longo do ano por exemplo ela é dividida em trechos separados por juntas de dilatação para que o concreto possa se expandir nos dias quentes sem que a ponte se deforme O material usado nas obturações dentárias deve ter as mesmas propriedades de dilatação térmica que o dente para que o paciente possa beber um café quente ou tomar um sorvete sem sofrer consequências desagradáveis Quando o jato supersônico Concorde Fig 189 foi construído o projeto teve que levar em conta a dilatação térmica da fuselagem provocada pelo atrito com o ar durante o voo As propriedades de dilatação térmica de alguns materiais podem ter aplicações práticas Alguns termômetros e termostatos utilizam a diferença na dilatação dos componentes de uma tira bimetálica Fig 1810 Os termômetros clínicos e meteorológicos se baseiam no fato de que líquidos como o mercúrio e o álcool se dilatam mais do que os tubos de vidro que os contêm Hugh ThomasBWP MediaGetty Images Inc Figura 189 Quando um Concorde voava mais depressa que a velocidade do som a dilatação térmica produzida pelo atrito com o ar aumentava o comprimento da aeronave de 125 cm A temperatura aumentava para 128C no nariz e 90C na cauda Era possível sentir com a mão o aquecimento das janelas Dilatação Linear Se a temperatura de uma barra metálica de comprimento L aumenta de um valor ΔT o comprimento aumenta de um valor Figura 1810 a Uma tira bimetálica formada por uma tira de latão e uma tira de aço soldadas à temperatura T0 b Quando a temperatura é maior que a temperatura de referência a tira se enverga para baixo como na figura Quando a temperatura é menor que a temperatura de referência a tira se enverga para cima Muitos termostatos funcionam com base nesse princípio fazendo ou desfazendo um contato elétrico de acordo com a temperatura em que se encontram em que α é uma constante chamada coeficiente de dilatação linear A unidade do coeficiente α é o C1 ou K1 Embora α varie ligeiramente com a temperatura na maioria dos casos pode ser considerado constante para um dado material A Tabela 182 mostra os coeficientes de dilatação linear de alguns materiais Note que a unidade C que aparece na tabela poderia ser substituída pela unidade K A dilatação térmica de um sólido é como a ampliação de uma fotografia exceto pelo fato de que ocorre em três dimensões A Fig 1811b mostra a dilatação térmica exagerada de uma régua de aço A Eq 189 se aplica a todas as dimensões lineares da régua como as arestas a espessura as diagonais e os diâmetros de uma circunferência desenhada na régua e de um furo circular aberto na régua Se o disco retirado do furo se ajusta perfeitamente ao furo continua a se ajustar se sofrer o mesmo aumento de temperatura que a régua Tabela 182 Alguns Coeficientes de Dilatação Lineara Substância α 106C Gelo a 0C 51 Chumbo 29 Alumínio 23 Latão 19 Cobre 17 Concreto 12 Aço 11 Vidro comum 9 Vidro Pyrex 32 Diamante 12 Invarb 07 Quartzo fundido 05 aValores à temperatura ambiente exceto no caso do gelo bEssa liga foi projetada para ter um baixo coeficiente de dilatação O nome é uma abreviação de invariável Dilatação Volumétrica Se todas as dimensões de um sólido aumentam com a temperatura é evidente que o volume do sólido também aumenta No caso dos líquidos a dilatação volumétrica é a única que faz sentido Se a temperatura de um sólido ou de um líquido cujo volume é V aumenta de um valor ΔT o aumento de volume correspondente é em que β é o coeficiente de dilatação volumétrica do sólido ou do líquido Os coeficientes de dilatação volumétrica e de dilatação linear de um sólido estão relacionados pela equação O líquido mais comum a água não se comporta como os outros líquidos Acima de 4C a água se dilata quando a temperatura aumenta como era de se esperar Entre 0 e 4C porém a água se contrai quando a temperatura aumenta Assim por volta de 4C a massa específica da água passa por um máximo Esse comportamento da água é a razão pela qual os lagos congelam de cima para baixo e não o contrário Quando a água da superfície é resfriada a partir de digamos 10C ela fica mais densa mais pesada que a água mais abaixo e afunda Para temperaturas menores que 4C porém um resfriamento adicional faz com que a água que está na superfície fique menos densa mais leve que a água mais abaixo e portanto essa água permanece na superfície até congelar Assim a água da superfície congela enquanto a água mais abaixo permanece líquida Se os lagos congelassem de baixo para cima o gelo assim formado não derreteria totalmente no verão pois estaria isolado pela água mais acima Após alguns anos muitos mares e lagos nas zonas temperadas da Terra permaneceriam congelados o ano inteiro o que tornaria impossível a vida aquática Figura 1811 A mesma régua de aço em duas temperaturas diferentes Quando a régua se dilata a escala os números a espessura e os diâmetros da circunferência e do furo circular aumentam no mesmo fator A dilatação foi exagerada para tornar o desenho mais claro Teste 2 A figura mostra quatro placas metálicas retangulares cujos lados têm comprimento L 2L ou 3L São todas feitas do mesmo material e a temperatura aumenta do mesmo valor nas quatro placas Ordene as placas de acordo com o aumento a da dimensão vertical e b da área em ordem decrescente Exemplo 1802 Dilatação volumétrica de um líquido Em um dia de calor em Las Vegas o motorista de uma transportadora carregou um caminhãotanque com 37000 L de óleo diesel Ele encontrou tempo frio ao chegar a Payson Utah onde a temperatura estava 230 K abaixo da temperatura de Las Vegas e onde entregou toda a carga Quantos litros foram entregues O coeficiente de dilatação volumétrica do óleo diesel é 950 104C e o coeficiente de dilatação linear do aço de que é feito o tanque do caminhão é 11 106C IDEIACHAVE O volume do óleo diesel é diretamente proporcional à temperatura Como a temperatura diminuiu o volume do combustível também diminuiu de acordo com a Eq 1810 ΔV VβΔT Cálculos Temos ΔV 37 000 L950 104C230 K 808 L Assim o volume entregue foi Note que a dilatação térmica do tanque de aço nada tem a ver com o problema Pergunta Quem pagou pelo óleo diesel que desapareceu 184 ABSORÇÃO DE CALOR Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1811 Saber que a energia térmica está associada ao movimento aleatório de partículas microscópicas no interior de um objeto 1812 Saber que o calor Q é a quantidade de energia transferida da energia térmica ou para a energia térmica de um objeto em consequência da diferença de temperatura entre um objeto e o ambiente 1813 Conhecer as diferentes unidades usadas para medir a energia térmica 1814 Saber que a unidade de energia térmica do SI é a mesma usada para medir outras formas de energia como a energia mecânica e a energia elétrica 1815 Conhecer a relação entre a variação de temperatura ΔT de um objeto o calor transferido Q e a capacidade térmica C do objeto 1816 Conhecer a relação entre a variação de temperatura ΔT de um objeto o calor transferido Q o calor específico c e a massa m do objeto 1817 Conhecer as três fases da matéria 1818 No caso da transformação de fase de uma substância conhecer a relação entre o calor transferido Q o calor de transformação L e a massa transformada m 1819 Se um calor transferido Q produz uma transformação de fase saber que a transferência de calor produz três efeitos distintos a a variação de temperatura até a substância atingir a temperatura da transformação de fase b a transformação de fase propriamente dita c a variação de temperatura sofrida pela substância na nova fase IdeiasChave O calor Q é a energia transferida de um sistema para o ambiente ou do ambiente para um sistema por causa de uma diferença de temperatura O calor é medido em joules J calorias cal ou British thermal units Btu entre essas unidades existem as seguintes relações 1 cal 3968 103 Btu 41868 J Se um calor Q é absorvido por um objeto a variação de temperatura ΔT do objeto é dada por Q CTf Ti em que C é a capacidade térmica do objeto Tf é a temperatura final e Ti é a temperatura inicial Se o objeto tem massa m Q cmTf Ti em que c é o calor específico do material de que é feito o objeto O calor específico molar de uma substância é a capacidade térmica por mol ou seja a capacidade térmica de 602 1023 unidades elementares da substância O calor absorvido por um material pode produzir uma mudança de fase do material da fase sólida para a fase líquida por exemplo A energia por unidade de massa necessária para mudar a fase mas não a temperatura de um material é chamada de calor de transformação L Assim Q Lm O calor de vaporização LV é a energia por unidade de massa que deve ser fornecida para vaporizar um líquido ou que deve ser removida para condensar um gás O valor de fusão LF é a energia por unidade de massa que deve ser fornecida para fundir um sólido ou para solidificar um líquido Temperatura e Calor Se você pega uma lata de refrigerante na geladeira e a deixa na mesa da cozinha a temperatura do refrigerante aumenta a princípio rapidamente e depois mais devagar até que se torne igual à do ambiente ou seja até que os dois estejam em equilíbrio térmico Da mesma forma a temperatura de uma xícara de café quente deixada na mesa diminui até se tornar igual à temperatura ambiente Generalizando essa situação descrevemos o refrigerante ou o café como um sistema à temperatura TS e as partes relevantes da cozinha como o ambiente à temperatura TA em que se encontra o sistema O que observamos é que se TS não é igual a TA TS varia TA também pode variar um pouco até que as duas temperaturas se igualem e o equilíbrio térmico seja estabelecido Essa variação de temperatura se deve a uma mudança da energia térmica do sistema por causa da troca de energia entre o sistema e o ambiente Lembrese de que a energia térmica é uma energia interna que consiste na energia cinética e na energia potencial associadas aos movimentos aleatórios dos átomos moléculas e outros corpos microscópicos que existem no interior de um objeto A energia transferida é chamada de calor e simbolizada pela letra Q O calor é positivo se a energia é transferida do ambiente para a energia térmica do sistema dizemos que o calor é absorvido pelo sistema O calor é negativo se a energia é transferida da energia térmica do sistema para o ambiente dizemos que o calor é cedido ou perdido pelo sistema Essa transferência de energia está ilustrada na Fig 1812 Na situação da Fig 1812a na qual TS TA a energia é transferida do sistema para o ambiente de modo que Q é negativo Na Fig 1812b em que TS TA não há transferência de energia Q é zero e portanto não há calor cedido nem absorvido Na Fig 1812c na qual TS TA a transferência é do ambiente para o sistema e Q é positivo Figura 1812 Se a temperatura de um sistema é maior que a temperatura do ambiente como em a certa quantidade Q de calor é perdida pelo sistema para o ambiente para que o equilíbrio térmico b seja restabelecido c Se a temperatura do sistema é menor que a temperatura do ambiente certa quantidade de calor é absorvida pelo sistema para que o equilíbrio térmico seja restabelecido Chegamos portanto à seguinte definição de calor Calor é a energia trocada entre um sistema e o ambiente devido a uma diferença de temperatura Linguagem Lembrese de que a energia também pode ser trocada entre um sistema e o ambiente por meio do trabalho W realizado por uma força Ao contrário da temperatura pressão e volume o calor e o trabalho não são propriedades intrínsecas de um sistema eles têm significado apenas quando descrevem a transferência de energia para dentro ou para fora do sistema Para fazer uma analogia a expressão uma transferência de R 60000 pode ser usada para descrever a transferência de dinheiro de uma conta bancária para outra mas não para informar o saldo de uma conta já que o que se guarda em uma conta é dinheiro e não uma transferência No caso do calor é apropriado dizer Durante os últimos três minutos 15 J de calor foram transferidos do sistema para o ambiente ou Durante o último minuto um trabalho de 12 J foi realizado pelo ambiente sobre o sistema Entretanto não faz sentido dizer Este sistema possui 450 J de calor ou Este sistema contém 385 J de trabalho Unidades Antes que os cientistas percebessem que o calor é energia transferida o calor era medido em termos da capacidade de aumentar a temperatura da água Assim a caloria cal foi definida como a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de 1 g de água de 145C para 155C No sistema inglês a unidade de calor era a British thermal unit Btu definida como a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de 1 libra de água de 638F para 648F Em 1948 a comunidade científica decidiu que uma vez que o calor como o trabalho é energia transferida a unidade de calor do SI deveria ser a mesma da energia ou seja o joule A caloria é hoje definida como igual a 41868 J exatamente sem nenhuma referência ao aquecimento da água A caloria usada pelos nutricionistas às vezes chamada de Caloria Cal é equivalente a uma quilocaloria 1 kcal As relações entre as unidades de calor são as seguintes A Absorção de Calor por Sólidos e Líquidos Capacidade Térmica A capacidade térmica C de um objeto é a constante de proporcionalidade entre o calor Q recebido ou cedido pelo objeto e a variação de temperatura ΔT do objeto ou seja em que Ti e Tf são as temperaturas inicial e final do objeto respectivamente A capacidade térmica C é medida em unidades de energia por grau ou energia por kelvin A capacidade térmica C de uma pedra de mármore por exemplo pode ser 179 calC que também podemos escrever como 179 calK ou como 749 JK A palavra capacidade nesse contexto pode ser enganadora pois sugere uma analogia com a capacidade que um balde possui de conter certa quantidade de água A analogia é falsa você não deve pensar que um objeto contém calor ou possui uma capacidade limitada de absorver calor É possível transferir uma quantidade ilimitada de calor para um objeto contanto que uma diferença de temperatura seja mantida É claro porém que o objeto pode fundir ou se vaporizar no processo Calor Específico Dois objetos feitos do mesmo material mármore digamos têm uma capacidade térmica que é proporcional à massa Assim é conveniente definir a capacidade térmica por unidade de massa ou calor específico c que se refere não a um objeto mas a uma massa unitária do material de que é feito o objeto Nesse caso a Eq 1813 se torna Experimentalmente podemos observar que a capacidade térmica de uma pedra de mármore tem o valor de 179 calC ou 749 JK ou outro valor qualquer mas o calor específico do mármore nessa pedra ou em qualquer outro objeto feito de mármore é sempre 021 calg C ou 880 Jkg K De acordo com as definições de caloria e Btu o calor específico da água é A Tabela 183 mostra o calor específico de algumas substâncias à temperatura ambiente Note que o calor específico da água é o maior da tabela O calor específico de uma substância varia um pouco com a temperatura mas os valores da Tabela 183 podem ser usados com precisão razoável em temperaturas próximas da temperatura ambiente Tabela 183 Alguns Calores Específicos e Calores Específicos Molares à Temperatura Ambiente Substância Calor Específico Calor Específico Molar calg K Jkg K Jmol K Sólidos Elementares Chumbo 00305 128 265 Tungstênio 00321 134 248 Prata 00564 236 255 Cobre 00923 386 245 Alumínio 0215 900 244 Outros Sólidos Latão 0092 380 Granito 019 790 Vidro 020 840 Gelo a 10C 0530 2220 Líquidos Mercúrio 0033 140 Etanol 058 2430 Água do mar 093 3900 Água doce 100 4187 Teste 3 Uma quantidade de calor Q aquece 1 g de uma substância A de 3 C e 1 g de uma substância B de 4 C Qual das duas substâncias tem o maior calor específico Calor Específico Molar Em muitas circunstâncias a unidade mais conveniente para especificar a quantidade de uma substância é o mol definido da seguinte forma 1 mol 602 1023 unidades elementares de qualquer substância Assim 1 mol de alumínio significa 602 1023 átomos de Al o átomo é a unidade elementar e 1 mol de óxido de alumínio significa 602 1023 fórmulas moleculares de Al2O3 a fórmula molecular é a unidade elementar do composto Quando a quantidade de uma substância é expressa em mols o calor específico deve ser expresso na forma de quantidade de calor por mol e não por unidade de massa nesse caso é chamado de calor específico molar A Tabela 183 mostra o calor específico molar de alguns sólidos elementares formados por um único elemento outros sólidos e alguns líquidos à temperatura ambiente Um Ponto Importante Para determinar e utilizar corretamente o calor específico de uma substância é preciso conhecer as condições em que ocorre a transferência de calor No caso de sólidos e líquidos em geral supomos que a amostra está submetida a uma pressão constante normalmente a pressão atmosférica durante a transferência Entretanto também podemos imaginar que a amostra seja mantida com um volume constante durante a absorção de calor Para isso a dilatação térmica da amostra deve ser evitada pela aplicação de uma pressão externa No caso de sólidos e líquidos isso é muito difícil de executar experimentalmente mas o efeito pode ser calculado e verificase que a diferença entre os calores específicos a pressão constante e a volume constante é relativamente pequena No caso dos gases por outro lado como vamos ver no próximo capítulo os valores do calor específico a pressão constante e a volume constante são muito diferentes Calor de Transformação Quando o calor é transferido para uma amostra sólida ou líquida nem sempre a temperatura da amostra aumenta Em vez disso a amostra pode mudar de fase ou de estado A matéria pode existir em três estados principais No estado sólido os átomos ou moléculas do material formam uma estrutura rígida por meio da atração mútua No estado líquido os átomos ou moléculas têm mais energia e maior mobilidade Formam aglomerados transitórios mas o material não tem uma estrutura rígida e pode escoar em um cano ou se acomodar à forma de um recipiente No estado gasoso os átomos ou moléculas têm uma energia ainda maior não interagem a não ser por meio de choques de curta duração e ocupam todo o volume de um recipiente Fusão Fundir um sólido significa fazêlo passar do estado sólido para o estado líquido O processo requer energia porque os átomos ou moléculas do sólido devem ser liberados de uma estrutura rígida A fusão de um cubo de gelo para formar água é um bom exemplo Solidificar um líquido é o inverso de fundir e exige a retirada de energia do líquido para que os átomos ou moléculas voltem a formar a estrutura rígida de um sólido Tabela 184 Alguns Calores de Transformação Substância Fusão Ebulição Ponto de Fusão K Calor de Fusão LF kJkg Ponto de Ebulição K Calor de Vaporização LV kJkg Hidrogênio 140 580 203 455 Oxigênio 548 139 902 213 Mercúrio 234 114 630 296 Água 273 333 373 2256 Chumbo 601 232 2017 858 Prata 1235 105 2323 2336 Cobre 1356 207 2868 4730 Vaporização Vaporizar um líquido significa fazêlo passar do estado líquido para o estado gasoso Esse processo como o de fusão requer energia porque os átomos ou moléculas devem ser liberados de aglomerados Ferver a água para transformála em vapor é um bom exemplo Condensar um gás é o inverso de vaporizar e exige a retirada de energia para que os átomos ou moléculas voltem a se aglomerar A quantidade de energia por unidade de massa que deve ser transferida na forma de calor para que uma amostra mude totalmente de fase é chamada de calor de transformação e representada pela letra L Assim quando uma amostra de massa m sofre uma mudança de fase a energia total transferida é Quando a mudança é da fase líquida para a fase gasosa caso em que a amostra absorve calor ou da fase gasosa para a fase líquida caso em que a amostra libera calor o calor de transformação é chamado de calor de vaporização e representado pelo símbolo LV Para a água à temperatura normal de vaporização ou condensação Quando a mudança é da fase sólida para a fase líquida caso em que a amostra absorve calor ou da fase líquida para a fase sólida caso em que a amostra libera calor o calor de transformação é chamado de calor de fusão e representado pelo símbolo LF Para a água à temperatura normal de solidificação ou de fusão A Tabela 184 mostra o calor de transformação de algumas substâncias Exemplo 1803 Equilíbrio térmico entre cobre e água Um lingote de cobre de massa mc 75 g é aquecido em um forno de laboratório até a temperatura T 312C Em seguida o lingote é colocado em um béquer de vidro contendo uma massa ma 220 g de água A capacidade térmica Cb do béquer é 45 calK A temperatura inicial da água e do béquer é Ti 12C Supondo que o lingote o béquer e a água são um sistema isolado e que a água não é vaporizada determine a temperatura final Tf do sistema quando o equilíbrio térmico é atingido IDEIASCHAVE 1 Como o sistema é isolado a energia total do sistema não pode mudar e apenas transferências internas de energia podem ocorrer 2 Como nenhum componente do sistema sofre uma mudança de fase as transferências de energia na forma de calor podem apenas mudar as temperaturas Cálculos Para relacionar as transferências de calor a mudanças de temperatura usamos as Eqs 1813 e 1814 para escrever Como a energia total do sistema é constante a soma das três transferências de energia é zero Substituindo as Eqs 1819 a 1821 na Eq 1822 obtemos As temperaturas aparecem na Eq 1823 apenas na forma de diferenças Como as diferenças nas escalas Celsius e Kelvin são iguais podemos usar qualquer uma dessas escalas Explicitando Tf obtemos Usando temperaturas em graus Celsius e os valores de cc e ca da Tabela 183 obtemos para o numerador 00923 calg K75 g312C 45 calK12C 100 calg K220 g12C 53398 cal e para o denominador 100 calg K220 g 45 calK 00923 calg K75 g 2719 calC Assim temos Substituindo os valores conhecidos nas Eqs 1819 a 1821 obtemos Qa 1670 cal Qb 342 cal Qc 22020 cal A não ser pelos erros de arredondamento a soma algébrica dessas três transferências de energia é realmente nula como estabelece a Eq 1822 Exemplo 1804 Mudança de temperatura e de fase a Que quantidade de calor deve absorver uma amostra de gelo de massa m 720 g a 10C para passar ao estado líquido a 15C IDEIASCHAVE O processo de aquecimento ocorre em três etapas 1 O gelo não pode fundirse a uma temperatura abaixo do ponto de congelamento assim a energia transferida para o gelo na forma de calor apenas aumenta a temperatura do gelo até a temperatura chegar a 0C 2 A temperatura não pode passar de 0C até que todo o gelo tenha se fundido assim quando o gelo está a 0C toda a energia transferida para o gelo na forma de calor é usada para fundir o gelo 3 Depois que todo o gelo se funde toda a energia transferida para a água é usada para aumentar a temperatura Aquecimento do gelo O calor Q1 necessário para fazer a temperatura do gelo aumentar do valor inicial Ti 10C para o valor final Tf 0C para que depois o gelo possa se fundir é dado pela Eq 1814 Q cm ΔT Usando o calor específico do gelo cg da Tabela 183 obtemos Q1 cgmTf Ti 2220 Jkg K0720 kg0C 10C 15 984 J 1598 kJ Fusão do gelo O calor Q2 necessário para fundir todo o gelo é dado pela Eq 1816 Q Lm em que L nesse caso é o calor de fusão LF com o valor dado na Eq 1818 e na Tabela 184 Temos Q2 LFm 333 kJkg0720 kg 2398 kJ Aquecimento da água O calor Q3 necessário para fazer a temperatura da água aumentar do valor inicial Ti 0C para o valor final Tf 15C é dado pela Eq 1814 com o calor específico da água ca Q3 camTf Ti 41868 Jkg K0720 kg15C 0C 45 217 J 4522 kJ Total O calor total Qtot necessário é a soma dos valores calculados nas três etapas Note que o calor necessário para fundir o gelo é muito maior que o calor necessário para aumentar a temperatura do gelo e da água b Se fornecermos ao gelo uma energia total de apenas 210 kJ na forma de calor quais serão o estado final e a temperatura da amostra IDEIACHAVE Os resultados anteriores mostram que são necessários 1598 kJ para aumentar a temperatura do gelo até o ponto de fusão O calor restante Qr é portanto 210 kJ 1598 kJ ou aproximadamente 194 kJ Os resultados anteriores mostram que essa quantidade de calor não é suficiente para derreter todo o gelo Como a fusão do gelo é incompleta acabamos com uma mistura de gelo e água a temperatura da mistura é a do ponto de fusão do gelo 0C Cálculos Podemos determinar a massa m do gelo que se transforma em líquido a partir da energia disponível Qr usando a Eq 1816 com LF Assim a massa restante de gelo é 720 g 580 g 140 g e acabamos com 185 A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1820 Se um gás confinado se expande ou se contrai calcular o trabalho W realizado pelo gás integrando a pressão do gás em relação ao volume do recipiente 1821 Conhecer a relação entre o sinal algébrico do trabalho W e a expansão ou contração do gás 1822 Dado um gráfico pV da pressão em função do volume para um processo localizar o ponto inicial o estado inicial e o ponto final o estado final e usar uma integração gráfica para calcular o trabalho realizado 1823 Dado um gráfico pV da pressão em função do volume para um processo conhecer a relação entre o sinal algébrico do trabalho e o sentido do processo no gráfico para a direita ou para a esquerda 1824 Usar a primeira lei da termodinâmica para relacionar a variação ΔEint da energia interna de um gás à energia Q fornecida ou recebida pelo gás na forma de calor e ao trabalho W realizado pelo gás ou sobre o gás 1825 Conhecer a relação entre o sinal algébrico do calor transferido Q e a transferência de calor do gás ou para o gás 1826 Saber que a energia interna ΔEint de um gás tende a aumentar se o gás recebe calor e tende a diminuir se o gás realiza trabalho 1827 Saber que quando um gás é submetido a um processo adiabático não há troca de calor entre o gás e o ambiente 1828 Saber que quando um gás é submetido a um processo a volume constante o trabalho realizado pelo gás ou sobre o gás é nulo 1829 Saber que quando um gás é submetido a um processo cíclico a energia interna do gás não varia 1830 Saber que quando um gás é submetido a uma expansão livre não há transferência de calor nenhum trabalho é realizado e a energia interna do gás não varia IdeiasChave Um gás pode trocar energia com o ambiente por meio do trabalho O trabalho W realizado por um gás ao se expandir ou ao se contrair de um volume inicial Vi para um volume final Vf é dado por A integração é necessária porque a pressão p pode variar durante a variação de volume No caso dos processos termodinâmicos a lei de conservação da energia assume a forma da primeira lei da termodinâmica que pode ser enunciada de dois modos diferentes ΔEint Eintf Einti Q W primeira lei ou dEint dQ dW primeira lei Nestas equações Eint é a energia interna do material que depende apenas do estado do material temperatura pressão e volume Q é a energia trocada com o ambiente na forma de calor Q é positivo se o sistema absorve calor e negativo se o sistema cede calor W é a energia trocada com o ambiente na forma de trabalho W é positivo se o sistema realiza trabalho sobre o ambiente e negativo se o ambiente realiza trabalho sobre o sistema Q e W dependem dos estados intermediários do processo ΔEint depende apenas dos estados inicial e final A primeira lei da termodinâmica pode ser aplicada a vários casos especiais processos adiabáticos Q 0 ΔEint W processos a volume constante W 0 ΔEint Q processos cíclicos ΔEint 0 Q W expansões livres Q W ΔEint 0 Calor e Trabalho Vamos agora examinar de perto o modo como a energia pode ser transferida na forma de calor e trabalho de um sistema para o ambiente e viceversa Vamos tomar como sistema um gás confinado em um cilindro com um êmbolo como na Fig 1813 A força para cima a que o êmbolo é submetido pela pressão do gás confinado é igual ao peso das esferas de chumbo colocadas sobre o êmbolo mais o peso do êmbolo As paredes do cilindro são feitas de material isolante que não permite a transferência de energia na forma de calor A base do cilindro repousa em um reservatório térmico uma placa quente por exemplo cuja temperatura T pode ser controlada O sistema gás parte de um estado inicial i descrito por uma pressão pi um volume Vi e uma temperatura Ti Desejase levar o sistema a um estado final f descrito por uma pressão pf um volume Vf e uma temperatura Tf O processo de levar o sistema do estado inicial ao estado final é chamado de processo termodinâmico Durante o processo energia pode ser transferida do reservatório térmico para o sistema calor positivo ou viceversa calor negativo Além disso o sistema pode realizar trabalho sobre as esferas de chumbo levantando o êmbolo trabalho positivo ou receber trabalho das esferas de chumbo trabalho negativo Vamos supor que todas as mudanças ocorrem lentamente de modo que o sistema está sempre aproximadamente em equilíbrio térmico ou seja cada parte do sistema está em equilíbrio térmico com todas as outras partes Suponha que algumas esferas de chumbo sejam removidas do êmbolo da Fig 1813 permitindo que o gás empurre o êmbolo e as esferas restantes para cima com uma força que produz um deslocamento infinitesimal d Como o deslocamento é pequeno podemos supor que é constante durante o deslocamento Nesse caso o módulo de é igual a pA em que p é a pressão do gás e A é a área do êmbolo O trabalho infinitesimal dW realizado pelo gás durante o deslocamento é dado por em que dV é a variação infinitesimal do volume do gás devido ao movimento do êmbolo Quando o número de esferas removidas é suficiente para que o volume varie de Vi para Vf o trabalho realizado pelo gás é Durante a variação de volume a pressão e a temperatura do gás também podem variar Para calcular diretamente a integral da Eq 1825 precisaríamos saber como a pressão varia com o volume no processo pelo qual o sistema passa do estado i para o estado f Um Caminho Na prática existem muitas formas de levar o gás do estado i para o estado f Uma delas é mostrada na Fig 1814a que é um gráfico da pressão do gás em função do volume conhecido como diagrama pV Na Fig 1814a a curva mostra que a pressão diminui com o aumento do volume A integral da Eq 1825 e portanto o trabalho W realizado pelo gás é representada pela área sombreada sob a curva entre os pontos i e f Independentemente do que fizermos exatamente para levar o gás do ponto i ao ponto f esse trabalho será sempre positivo já que o gás só pode aumentar de volume empurrando o êmbolo para cima ou seja realizando trabalho sobre o êmbolo Figura 1813 Um gás confinado a um cilindro com um êmbolo móvel Certa quantidade Q de calor pode ser adicionada ou removida do gás regulando a temperatura T do reservatório térmico ajustável Certa quantidade de trabalho W pode ser realizada pelo gás ou sobre o gás levantando ou abaixando o êmbolo Figura 1814 a A área sombreada representa o trabalho W realizado por um sistema ao passar de um estado inicial i para um estado final f O trabalho W é positivo porque o volume do sistema aumenta b W continua a ser positivo mas agora é maior c W continua a ser positivo mas agora é menor d W pode ser ainda menor trajetória icdf ou ainda maior trajetória ighf e Neste caso o sistema vai do estado f para o estado i quando o gás é comprimido por uma força externa e o volume diminui o trabalho W realizado pelo sistema é negativo f O trabalho total Wtot realizado pelo sistema durante um ciclo completo é representado pela área sombreada Outro Caminho Outra forma de levar o gás do estado i para o estado f é mostrada na Fig 1814b Nesse caso a mudança acontece em duas etapas do estado i para o estado a e do estado a para o estado f A etapa ia deste processo acontece a uma pressão constante o que significa que o número de esferas de chumbo sobre o êmbolo da Fig 1813 permanece constante O aumento do volume de Vi para Vf é conseguido aumentando lentamente a temperatura do gás até um valor mais elevado Ta O aumento da temperatura aumenta a força que o gás exerce sobre o êmbolo empurrandoo para cima Durante essa etapa a expansão do gás realiza um trabalho positivo levantar o êmbolo e calor é absorvido pelo sistema a partir do reservatório térmico quando a temperatura do reservatório térmico é aumentada lentamente Esse calor é positivo porque é fornecido ao sistema A etapa af do processo da Fig 1814b acontece a volume constante de modo que o êmbolo deve ser travado A temperatura do reservatório térmico é reduzida lentamente e a pressão do gás diminui de pa para o valor final pf Durante essa etapa o sistema cede calor para o reservatório térmico Para o processo global iaf o trabalho W que é positivo e ocorre apenas durante o processo ia é representado pela área sombreada sob a curva A energia é transferida na forma de calor nas etapas ia e af com uma transferência de energia líquida Q Processos Inversos A Fig 1814c mostra um processo no qual os dois processos anteriores ocorrem em ordem inversa O trabalho W nesse caso é menor que na Fig 1814b e o mesmo acontece com o calor total absorvido A Fig 1814d mostra que é possível tornar o trabalho realizado pelo gás tão pequeno quanto se deseje seguindo uma trajetória como icdf ou tão grande quanto se deseje seguindo uma trajetória como ighf Resumindo Um sistema pode ser levado de um estado inicial para um estado final de um número infinito de formas e em geral o trabalho W e o calor Q têm valores diferentes em diferentes processos Dizemos que o calor e o trabalho são grandezas que dependem da trajetória Trabalho Negativo A Fig 1814e mostra um exemplo no qual um trabalho negativo é realizado por um sistema quando uma força externa comprime o sistema reduzindo o volume O valor absoluto do trabalho continua a ser igual à área sob a curva mas como o gás foi comprimido o trabalho realizado pelo gás é negativo Processo Cíclico A Fig 1814f mostra um ciclo termodinâmico no qual o sistema é levado de um estado inicial i para um outro estado f e depois levado de volta para i O trabalho total realizado pelo sistema durante o ciclo é a soma do trabalho positivo realizado durante a expansão com o trabalho negativo realizado durante a compressão Na Fig 1814f o trabalho total é positivo porque a área sob a curva de expansão de i a f é maior do que a área sob a curva de compressão de f a i Teste 4 O diagrama pV da figura mostra seis trajetórias curvas ligadas por trajetórias verticais que podem ser seguidas por um gás Quais são as duas trajetórias curvas que devem fazer parte de um ciclo fechado ligadas às trajetórias verticais para que o trabalho total realizado pelo gás tenha o maior valor positivo possível A Primeira Lei da Termodinâmica Com vimos quando um sistema passa de um estado inicial para um estado final tanto o trabalho W realizado como o calor Q transferido dependem do modo como a mudança é executada Os experimentos porém revelaram algo interessante A diferença Q W depende apenas dos estados inicial e final e não da forma como o sistema passou de um estado para o outro Todas as outras combinações das grandezas Q e W como Q apenas W apenas Q W e Q 2W dependem da trajetória apenas Q W é independente Esse fato sugere que a grandeza Q W é uma medida da variação de uma propriedade intrínseca do sistema Chamamos essa propriedade de energia interna Eint e escrevemos A Eq 1826 é a expressão matemática da primeira lei da termodinâmica Se o sistema sofre apenas uma variação infinitesimal podemos escrever a primeira lei na forma A energia interna Eint de um sistema tende a aumentar se acrescentamos energia na forma de calor Q e a diminuir se removemos energia na forma de trabalho W realizado pelo sistema No Capítulo 8 discutimos a lei de conservação da energia em sistemas isolados ou seja em sistemas nos quais nenhuma energia entra no sistema ou sai do sistema A primeira lei da termodinâmica é uma extensão dessa lei para sistemas que não estão isolados Nesse caso a energia pode entrar no sistema ou sair do sistema na forma de trabalho W ou calor Q No enunciado da primeira lei da termodinâmica que foi apresentado estamos supondo que o sistema como um todo não sofreu variações de energia cinética e energia potencial ou seja que ΔK ΔU 0 Convenção Antes deste capítulo o termo trabalho e o símbolo W sempre significaram o trabalho realizado sobre um sistema Entretanto a partir da Eq 1824 e nos próximos dois capítulos sobre termodinâmica vamos nos concentrar no trabalho realizado por um sistema como o gás da Fig 1813 O trabalho realizado sobre um sistema é sempre o negativo do trabalho realizado pelo sistema logo se reescrevemos a Eq 1826 em termos do trabalho Ws realizado sobre o sistema temos ΔEint Q Ws Isso significa o seguinte A energia interna de um sistema tende a crescer se fornecemos calor ao sistema ou realizamos trabalho sobre o sistema Por outro lado a energia interna tende a diminuir se removemos calor do sistema ou se o sistema realiza trabalho Teste 5 A figura mostra quatro trajetórias em um diagrama pV ao longo das quais um gás pode ser levado de um estado i para um estado f Ordene em ordem decrescente as trajetórias de acordo a com a variação ΔEint da energia interna do gás b com o trabalho W realizado pelo gás c com o valor absoluto da energia transferida na forma de calor Q entre o gás e o ambiente 1 2 Figura 1815 Uma expansão adiabática pode ser realizada removendo esferas de chumbo do êmbolo O processo pode ser invertido a qual quer momento acrescentando novas esferas Alguns Casos Especiais da Primeira Lei da Termodinâmica Vamos agora examinar quatro processos termodinâmicos diferentes para verificar o que acontece quando aplicamos a esses processos a primeira lei da termodinâmica Os processos e os resultados correspondentes estão indicados na Tabela 185 Processos adiabáticos Processo adiabático é aquele que acontece tão depressa ou em um sistema tão bem isolado que não há trocas de calor entre o sistema e o ambiente Fazendo Q 0 na primeira lei Eq 1826 obtemos De acordo com a Eq 1828 se o sistema realiza trabalho sobre o ambiente ou seja se W é positivo a energia interna do sistema diminui de um valor igual ao do trabalho realizado Se por outro lado o ambiente realiza trabalho sobre o sistema ou seja se W é negativo a energia interna do sistema aumenta de um valor igual ao trabalho realizado A Fig 1815 mostra um processo adiabático Como o calor não pode entrar no sistema ou sair do sistema por causa do isolamento a única troca possível de energia entre o sistema e o ambiente é por meio de trabalho Se removemos esferas de chumbo do êmbolo e deixamos o gás se expandir o trabalho realizado pelo sistema o gás é positivo e a energia interna diminui Se em vez disso acrescentamos esferas e comprimimos o gás o trabalho realizado pelo sistema é negativo e a energia interna do gás aumenta Processos a volume constante Se o volume de um sistema um gás em geral é mantido constante 3 4 o sistema não pode realizar trabalho Fazendo W 0 na primeira lei Eq 1826 obtemos Assim se o sistema recebe calor ou seja se Q é positivo a energia interna do sistema aumenta Se por outro lado o sistema cede calor ou seja se Q é negativo a energia interna do sistema diminui Processos cíclicos Existem processos nos quais após certas trocas de calor e de trabalho o sistema volta ao estado inicial Nesse caso nenhuma propriedade intrínseca do sistema incluindo a energia interna pode variar Fazendo ΔEint 0 na primeira lei Eq 1826 obtemos Assim o trabalho total realizado durante o processo é exatamente igual à quantidade de energia transferida na forma de calor a energia interna do sistema permanece a mesma Os processos cíclicos representam uma trajetória fechada no diagrama pV como mostra a Fig 1814f Esses processos serão discutidos com detalhes no Capítulo 20 Expansões livres São processos nos quais não há troca de calor com o ambiente e nenhum trabalho é realizado Assim Q W 0 e de acordo com a primeira lei A Fig 1816 mostra de que forma esse tipo de expansão pode ocorrer Um gás cujas moléculas se encontram em equilíbrio térmico está inicialmente confinado por uma válvula fechada em uma das duas câmaras que compõem um sistema isolado a outra câmara está vazia A válvula é aberta e o gás se expande livremente até ocupar as duas câmaras Nenhum calor é transferido do ambiente para o gás ou do gás para o ambiente por causa do isolamento Nenhum trabalho é realizado pelo gás porque ele se desloca para uma região vazia e portanto não encontra nenhuma resistência pressão na segunda câmara Figura 1816 O estágio inicial de um processo de expansão livre Quando a válvula é aberta o gás passa a ocupar as duas câmaras e após algum tempo atinge um estado de equilíbrio Tabela 185 A Primeira Lei da Termodinâmica Quatro Casos Especiais A Lei ΔEint Q W Eq 1826 Processo Restrição Consequência Adiabático Q 0 ΔEint W Volume constante W 0 ΔEint Q Ciclo fechado ΔEint 0 Q W Expansão livre Q W 0 ΔEint 0 Uma expansão livre é diferente dos outros processos porque não pode ser realizada lentamente de forma controlada Em consequência durante a expansão abrupta o gás não está em equilíbrio térmico e a pressão não é uniforme Assim embora os estados inicial e final possam ser mostrados em um diagrama pV não podemos desenhar a trajetória da expansão Teste 6 Para o ciclo fechado mostrado no diagrama pV da figura a a energia interna ΔEint do gás e b a energia Q transferida na forma de calor é positiva negativa ou nula Exemplo 1805 Trabalho calor e variação de energia interna Suponha que 100 kg de água a 100C tenha sido convertido em vapor a 100C A água estava inicialmente contida em um cilindro com um êmbolo móvel de massa desprezível sujeito à pressão atmosférica padrão 100 atm 101 105 Pa como mostra a Fig 1817 O volume da água variou de um valor inicial de 100 103 m3 como líquido para 1671 m3 como vapor a Qual foi o trabalho realizado pelo sistema IDEIASCHAVE 1 O trabalho realizado pelo sistema foi positivo já que o volume aumentou 2 Podemos calcular o trabalho W integrando a pressão em relação ao volume Eq 1825 Cálculo Como a pressão é constante podemos colocar p do lado de fora do sinal de integração Temos portanto b Qual foi a energia transferida na forma de calor durante o processo IDEIACHAVE Como o calor provocou apenas uma mudança de fase a temperatura é a mesma nos estados inicial e final ele é dado integralmente pela Eq 1816 Q Lm Cálculo Como a mudança é da fase líquida para a fase gasosa L é o calor de vaporização LV da água cujo valor aparece na Eq 18 17 e na Tabela 184 Temos c Qual foi a variação da energia interna do sistema durante o processo IDEIACHAVE A variação da energia interna do sistema está relacionada ao calor no caso a energia transferida para o sistema e ao trabalho no caso a energia transferida para fora do sistema pela primeira lei da termodinâmica Eq 1826 Cálculo A primeira lei pode ser escrita na forma Como esse valor é positivo a energia interna do sistema aumentou durante o processo de ebulição Essa energia foi usada para separar as moléculas de H2O que se atraem fortemente no estado líquido Vemos que quando a água se transformou em vapor cerca de 75 169 kJ2260 kJ do calor foi transferido para o trabalho de fazer o êmbolo subir O resto do calor foi transferido para a energia interna do sistema Figura 1817 Água fervendo a pressão constante A energia é transferida do reservatório térmico na forma de calor até que toda a água se transforme em vapor O gás se expande e realiza trabalho ao levantar o êmbolo 186 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1831 No caso da condução de calor através de uma placa conhecer a relação entre a taxa de transferência de energia Pcond e a condutividade térmica k área da placa A a espessura da placa L e a diferença de temperatura ΔT entre os lados da placa 1832 No caso de uma placa composta com duas ou mais camadas no regime estacionário no qual as temperaturas não estão mais variando saber que de acordo com a lei de conservação da energia as taxas de transferência de energia são iguais em todas as camadas 1833 No caso da condução de calor através de uma placa conhecer a relação entre a resistência térmica R a espessura L e a condutividade térmica k 1834 Saber que a energia térmica pode ser transferida por convecção fenômeno associado ao fato de que um fluido mais quente gás ou líquido tende a subir e um fluido mais frio tende a descer 1835 No caso da emissão de radiação térmica por um objeto conhecer a relação entre a taxa de transferência de energia Prad e a emissividade ε a área A e a temperatura T em kelvins da superfície do objeto 1836 No caso da absorção de radiação térmica por um objeto conhecer a relação entre a taxa de transferência de energia Prad e a emissividade ε a área A e a temperatura T em kelvins do ambiente 1837 Calcular a taxa líquida de transferência de energia Pliq de um objeto que emite e absorve radiação térmica IdeiasChave A taxa Pcond de transferência de energia térmica por condução através de uma placa na qual um dos lados é mantido a uma temperatura mais alta TQ e o outro é mantido a uma temperatura mais baixa TF é dada por em que k é a condutividade térmica do material A é a área da placa e L é a espessura da placa A transferência de energia térmica por convecção acontece quando diferenças de temperatura fazem com que as partículas mais quentes de um fluido subam e as partículas mais frias desçam A taxa Prad de emissão de energia térmica por radiação é dada por Prad σεAT4 em que σ 56704 108 Wm2 K4 é a constante de StefanBoltzmann ϕ é a emissividade A é a área e T é a temperatura em kelvins da superfície do objeto A taxa Pabs de absorção de energia térmica por radiação é dada por Pabs σεAT4 amb em que Tamb é a temperatura do ambiente em kelvins Mecanismos de Transferência de Calor Já discutimos a transferência de energia na forma de calor mas ainda não falamos do modo como essa transferência ocorre Existem três mecanismos de transferência de calor condução convecção e radiação Figura 1818 Condução de calor A energia é transferida na forma de calor de um reservatório à temperatura TQ para um reservatório mais frio à temperatura TF através de uma placa de espessura L e condutividade térmica k Condução Se você deixa no fogo por algum tempo uma panela com cabo de metal o cabo da panela fica tão quente que pode queimar sua mão A energia é transferida da panela para o cabo por condução Os elétrons e átomos da panela vibram intensamente por causa da alta temperatura a que estão expostos Essas vibrações e a energia associada são transferidas para o cabo por colisões entre os átomos Dessa forma uma região de temperatura crescente se propaga em direção ao cabo Considere uma placa de área A e de espessura L cujos lados são mantidos a temperaturas TQ e TF por uma fonte quente e uma fonte fria como na Fig 1818 Seja Q a energia transferida na forma de calor através da placa do lado quente para o lado frio em um intervalo de tempo t As experiências mostram que a taxa de condução Pcond a energia transferida por unidade de tempo é dada por em que k a condutividade térmica é uma constante que depende do material de que é feita a placa Um material que transfere facilmente energia por condução é um bom condutor de calor e tem um alto valor de k A Tabela 186 mostra a condutividade térmica de alguns metais gases e materiais de construção Tabela 186 Algumas Condutividades Térmicas Substância kWm K Metais Aço inoxidável 14 Chumbo 35 Ferro 67 Latão 109 Alumínio 235 Cobre 401 Prata 428 Gases Ar seco 0026 Hélio 015 Hidrogênio 018 Materiais de Construção Espuma de poliuretano 0024 Lã de pedra 0043 Fibra de vidro 0048 Pinho 011 Vidro de janela 10 Resistência Térmica Se você está interessado em manter a casa aquecida nos dias de inverno ou conservar a cerveja gelada em um piquenique você precisa mais de maus condutores de calor do que de bons condutores Por essa razão o conceito de resistência térmica R foi introduzido na engenharia O valor de R de uma placa de espessura L é definido como Quanto menor a condutividade térmica do material de que é feita uma placa maior a resistência térmica da placa Um objeto com uma resistência térmica elevada é um mau condutor de calor e portanto um bom isolante térmico Note que a resistência térmica é uma propriedade atribuída a uma placa com certa espessura e não a um material A unidade de resistência térmica no SI é o m2 KW Nos Estados Unidos a unidade mais usada embora raramente seja indicada é o pé quadrado grau Fahrenheit hora por British thermal unit ft2 F hBtu Agora você sabe por que a unidade é raramente indicada Condução Através de uma Placa Composta A Fig 1819 mostra uma placa composta formada por dois materiais de diferentes espessuras L1 e L2 e diferentes condutividades térmicas k1 e k2 As temperaturas das superfícies externas da placa são TQ e TF As superfícies das placas têm área A Vamos formular uma expressão para a taxa de condução através da placa supondo que a transferência de calor acontece no regime estacionário ou seja que as temperaturas em todos os pontos da placa e a taxa de transferência de energia não variam com o tempo No regime estacionário as taxas de condução através dos dois materiais são iguais Isso é o mesmo que dizer que a energia transferida através de um dos materiais em um dado instante é igual à energia transferida através do outro material no mesmo instante Se isso não fosse verdade as temperaturas na placa estariam mudando e não teríamos um regime estacionário Chamando de TX a temperatura da interface dos dois materiais podemos usar a Eq 1832 para escrever Explicitando TX na Eq 1834 obtemos Substituindo TX por seu valor em uma das expressões da Eq 1834 obtemos Podemos generalizar a Eq 1836 para uma placa composta por um número n de materiais O símbolo de somatório no denominador indica que devemos somar os valores de Lk de todos os materiais Figura 1819 O calor é transferido a uma taxa constante através de uma placa composta feita de dois materiais diferentes com diferentes espessuras e diferentes condutividades térmicas A temperatura da interface dos dois materiais no regime estacionário é TX Teste 7 A figura mostra as temperaturas das faces e das interfaces no regime estacionário de um conjunto de quatro placas de mesma espessura feitas de materiais diferentes através das quais o calor é transferido Ordene os materiais de acordo com a condutividade térmica em ordem decrescente Figura 1820 Um termograma em cores falsas mostra a taxa com a qual a energia é irradiada por um gato O branco e o vermelho corres pondem às maiores taxas o azul nariz às menores Convecção Quando olhamos para a chama de uma vela ou de um fósforo vemos a energia térmica ser transportada para cima por convecção Esse tipo de transferência de energia acontece quando um fluido como ar ou água entra em contato com um objeto cuja temperatura é maior que a do fluido A temperatura da parte do fluido que está em contato com o objeto quente aumenta e na maioria dos casos essa parte do fluido se expande ficando menos densa Como o fluido expandido é mais leve do que o fluido que o cerca que está mais frio a força de empuxo o faz subir O fluido mais frio escoa para tomar o lugar do fluido mais quente que sobe e o processo pode continuar indefinidamente A convecção está presente em muitos processos naturais A convecção atmosférica desempenha um papel fundamental na formação de padrões climáticos globais e nas variações do tempo a curto prazo Tanto os pilotos de asadelta como os pássaros usam térmicas correntes de convecção de ar quente para se manterem por mais tempo no ar Grandes transferências de energia ocorrem nos oceanos pelo mesmo processo Finalmente no Sol a energia térmica produzida por reações de fusão nuclear é transportada do centro para a superfície através de gigantescas células de convecção nas quais o gás mais quente sobe pela parte central da célula e o gás mais frio desce pelos lados Radiação Um sistema e o ambiente também podem trocar energia através de ondas eletromagnéticas a luz visível é um tipo de onda eletromagnética As ondas eletromagnéticas que transferem calor são muitas vezes chamadas de radiação térmica para distinguilas dos sinais eletromagnéticos como por exemplo os das transmissões de televisão e da radiação nuclear ondas e partículas emitidas por núcleos atômicos Radiação no sentido mais geral é sinônimo de emissão Quando você se aproxima de uma fogueira você é aquecido pela radiação térmica proveniente do fogo ou seja sua energia térmica aumenta ao mesmo tempo em que a energia térmica do fogo diminui Não é necessária a existência de um meio material para que o calor seja transferido por radiação O calor do Sol por exemplo chega até nós através do vácuo A taxa Prad com a qual um objeto emite energia por radiação eletromagnética depende da área A da superfície do objeto e da temperatura T dessa área em kelvins e é dada por em que σ 56704 108 Wm2K4 é uma constante física conhecida como constante de Stefan Boltzmann em homenagem a Josef Stefan que descobriu a Eq 1838 experimentalmente em 1879 e Ludwig Boltzmann que a deduziu teoricamente logo depois O símbolo ϕ representa a emissividade da superfície do objeto que tem um valor entre 0 e 1 dependendo da composição da superfície Uma superfície com a emissão máxima de 10 é chamada de radiador de corpo negro mas uma superfície como essa é um limite ideal e não existe na natureza Note que a temperatura da Eq 1838 deve estar em kelvins para que uma temperatura de zero absoluto corresponda à ausência de radiação Note também que todo objeto cuja temperatura está acima de 0 K como o leitor por exemplo emite radiação térmica Veja a Fig 1820 A taxa Pabs com a qual um objeto absorve energia da radiação térmica do ambiente que supomos estar a uma temperatura uniforme Tamb em kelvins é dada por A emissividade ε que aparece na Eq 1839 é a mesma da Eq 1838 Um radiador de corpo negro ideal com ε 1 absorve toda a energia eletromagnética que recebe em vez de refletir ou espalhar parte da radiação Como um objeto irradia energia para o ambiente enquanto está absorvendo energia do ambiente a taxa líquida Plíq de troca de energia com o ambiente por radiação térmica é dada por Plíq é positiva se o corpo absorve energia e negativa se o corpo perde energia por radiação A radiação térmica também está envolvida em muitos casos de pessoas que foram picadas na mão por uma cobra cascavel morta Pequenos furos entre os olhos e as narinas da cobra cascavel Fig 1821 funcionam como sensores de radiação térmica Quando um pequeno animal como um rato por exemplo se aproxima de uma cascavel a radiação térmica emitida pelo animal dispara esses sensores provocando um ato reflexo no qual a cobra morde o animal e injeta veneno Mesmo que a cobra esteja morta há quase meia hora a radiação térmica da mão que se aproxima de uma cobra cascavel pode causar esse ato reflexo porque o sistema nervoso da cobra ainda está funcionando Assim recomendam os especialistas se você tiver que remover uma cobra cascavel morta recentemente use uma vara comprida em lugar das mãos David A NorthcottCorbis Images Figura 1821 A cabeça de uma cobra cascavel possui detectores de radiação térmica que permitem ao réptil localizar uma presa mesmo na escuridão total Exemplo 1806 Condução térmica em uma parede feita de vários materiais A Fig 1822 mostra a seção reta de uma parede feita com uma camada interna de madeira de espessura La uma camada externa de tijolos de espessura Ld 20La e duas camadas intermediárias de espessura e composição desconhecidas A condutividade térmica da madeira é ka e a dos tijolos é kd 50ka A área A da parede também é desconhecida A condução térmica através da parede atingiu o regime estacionário as únicas temperaturas conhecidas são T1 25C T2 20C e T5 10C Qual é a temperatura T4 Figura 1822 Uma parede de quatro camadas através da qual existe transferência de calor IDEIASCHAVE 1 A temperatura T4 aparece na equação da taxa Pd com a qual a energia térmica atravessa os tijolos Eq 1832 Entretanto não temos dados suficientes para calcular o valor de T4 usando apenas a Eq 1832 2 Como o regime é estacionário a taxa de condução Pd através dos tijolos é igual à taxa de condução Pa através da madeira Isso nos dá uma segunda equação Cálculos De acordo com a Eq 1832 e a Fig 1822 temos Fazendo Pa Pd e explicitando T4 obtemos Fazendo Ld 20La kd 50ka e substituindo T1 T2 e T5 por seus valores obtemos Exemplo 1807 A radiação térmica de um repolhodegambá pode derreter a neve Ao contrário da maioria das plantas o repolhodegambá pode regular a temperatura interna até 22C alterando a taxa de geração de energia Quando é coberto pela neve o repolhodegambá aumenta a taxa de geração de energia para que a radiação térmica derreta a neve e a planta possa novamente captar a luz solar Suponha que a planta possa ser modelada por um cilindro de altura h 50 cm e raio R 15 cm e suponha que esteja coberta de neve a uma temperatura Tamb 30C Fig 1823 Se a emissividade é ε 080 qual é a taxa líquida de transferência de energia da superfície lateral da planta para a neve Figura 1823 Modelo de um repolhodegambá que derreteu a neve para ter acesso à luz solar IDEIASCHAVE 1 No regime estacionário uma superfície de área A e emissividade ε que está a uma temperatura T emite radiação térmica a uma taxa fornecida pela Eq 1838 Prad sεAT4 2 Ao mesmo tempo a superfície absorve radiação do ambiente que está a uma temperatura Tamb a uma taxa fornecida pela Eq 1839 Pamb σεAT4 amb Cálculos Para calcular a taxa líquida de energia irradiada subtraímos a Eq 1838 da Eq 1839 o que nos dá A área da superfície lateral do cilindro é A 2πRh As temperaturas do ambiente e da planta em kelvins são Tamb 273 K 3 K 270 K e T 273 K 22 K 295 K Substituindo A pelo seu valor na Eq 1841 e substituindo os valores numéricos obtemos Isso significa que a planta irradia energia a uma taxa de 048 W que equivale à taxa de energia produzida por um beijaflor em voo Revisão e Resumo Temperatura Termômetros A temperatura é uma das grandezas fundamentais do SI e está relacionada às nossas sensações de quente e frio É medida com um termômetro instrumento que contém uma substância com uma propriedade mensurável como comprimento ou pressão que varia de forma regular quando a substância se torna mais quente ou mais fria Lei Zero da Termodinâmica Quando são postos em contato um termômetro e um objeto entram em equilíbrio térmico após certo tempo Depois que o equilíbrio térmico é atingido a leitura do termômetro é tomada como a temperatura do objeto O processo fornece medidas úteis e coerentes de temperatura por causa da lei zero da termodinâmica Se dois corpos A e B estão separadamente em equilíbrio térmico com um terceiro corpo T o termômetro então A e B estão em equilíbrio térmico entre si A Escala Kelvin de Temperatura No SI a temperatura é medida na escala Kelvin que se baseia no ponto triplo da água 27316 K Outras temperaturas são definidas pelo uso de um termômetro de gás a volume constante no qual uma amostra de gás é mantida a volume constante de modo que a pressão é proporcional à temperatura Definimos a temperatura T medida por um termômetro de gás como em que T está em kelvins e p3 e p são as pressões do gás a 27316 K e na temperatura que está sendo medida respectivamente As Escalas Celsius e Fahrenheit A escala Celsius de temperatura é definida pela equação com T em kelvins A escala Fahrenheit de temperatura é definida pela equação Dilatação Térmica Todos os objetos variam de tamanho quando a temperatura varia Para uma variação de temperatura ΔT uma variação ΔL de qualquer dimensão linear L é dada por em que α é o coeficiente de dilatação linear A variação ΔV do volume V de um sólido ou de um líquido é dada por em que β 3α é o coeficiente de dilatação volumétrica Calor Calor Q é a energia que é transferida de um sistema para o ambiente ou viceversa em virtude de uma diferença de temperatura O calor pode ser medido em joules J calorias cal quilocalorias Cal ou kcal ou British thermal units Btu entre essas unidades existem as seguintes relações Capacidade Térmica e Calor Específico Se uma quantidade de calor Q é absorvida por um objeto a variação de temperatura do objeto Tf Ti está relacionada a Q pela equação em que C é a capacidade térmica do objeto Se o objeto tem massa m em que c é o calor específico do material de que é feito o objeto O calor específico molar de um material é a capacidade térmica por mol Um mol equivale a 602 103 unidades elementares do material Calor de Transformação A matéria existe em três estados sólido líquido e gasoso O calor absorvido por um material pode mudar o estado do material fazendoo passar por exemplo do estado sólido para estado o líquido ou do estado líquido para o estado gasoso A quantidade de energia por unidade de massa necessária para mudar o estado mas não a temperatura de um material é chamada de calor de transformação L Assim O calor de vaporização LV é a quantidade de energia por unidade de massa que deve ser fornecida para vaporizar um líquido ou que deve ser removida para condensar um gás O calor de fusão LF é a quantidade de energia por unidade de massa que deve ser fornecida para fundir um sólido ou que deve ser removida para solidificar um líquido Trabalho Associado a uma Variação de Volume Um gás pode trocar energia com o ambiente por meio do trabalho O trabalho W realizado por um gás ao se expandir ou se contrair de um volume inicial Vi para um volume final Vf é dado por A integração é necessária porque a pressão p pode variar durante a variação de volume Primeira Lei da Termodinâmica A lei de conservação da energia para processos termodinâmicos é expressa pela primeira lei da termodinâmica que pode assumir duas formas ou Eint é a energia interna do material que depende apenas do estado do material temperatura pressão e volume Q é a energia trocada entre o sistema e o ambiente na forma de calor Q é positivo se o sistema absorve calor e negativo se o sistema libera calor e W é o trabalho realizado pelo sistema W é positivo se o sistema se expande contra uma força externa e negativo se o sistema se contrai sob o efeito de uma força externa Q e W são grandezas dependentes da trajetória ΔEint é independente da trajetória Aplicações da Primeira Lei A primeira lei da termodinâmica pode ser aplicada a vários casos especiais processos adiabáticos Q 0 ΔEint W processos a volume constante W 0 ΔEint Q processos cíclicos ΔEint 0 Q W expansões livres Q W ΔEint 0 Condução Convecção e Radiação A taxa Pcond com a qual a energia é conduzida por uma placa cujos lados são mantidos nas temperaturas TQ e TF é dada pela equação em que A e L são a área e a espessura da placa e k é a condutividade térmica do material A convecção é uma transferência de energia associada ao movimento em um fluido produzido por diferenças de temperatura A radiação é uma transferência de energia por ondas eletromagnéticas A taxa Prad com a qual um objeto emite energia por radiação térmica é dada por em que σ 56704 108 Wm2 K4 é a constante de StefanBoltzmann ϕ é a emissividade da superfície do objeto A é a área da superfície e T é a temperatura da superfície em kelvins A taxa Pabs com a qual um objeto absorve energia da radiação térmica do ambiente quando este se encontra a uma temperatura uniforme Tamb em kelvins é dada por Perguntas 1 O comprimento inicial L a variação de temperatura ΔT e a variação de comprimento ΔL de quatro barras são mostrados na tabela a seguir Ordene as barras de acordo com o coeficiente de expansão térmica em ordem decrescente Barra Lm ΔT C ΔL m a 2 10 4 104 b 1 20 4 104 c 2 10 8 104 d 4 5 4 104 2 A Fig 1824 mostra três escalas de temperatura lineares com os pontos de congelamento e ebulição da água indicados Ordene as três escalas de acordo com o tamanho do grau de cada uma em ordem decrescente Figura 1824 Pergunta 2 3 Os materiais A B e C são sólidos que estão nos respectivos pontos de fusão São necessários 200 J para fundir 4 kg do material A 300 J para fundir kg do material B e 300 J para fundir 6 kg do material C Ordene os materiais de acordo com o calor de fusão em ordem decrescente 4 Uma amostra A de água e uma amostra B de gelo de massas iguais são colocadas em um recipiente termicamente isolado e se espera até que entrem em equilíbrio térmico A Fig 1825a é um gráfico da temperatura T das amostras em função do tempo t a A temperatura do equilíbrio está acima abaixo ou no ponto de congelamento da água b Ao atingir o equilíbrio o líquido congela parcialmente congela totalmente ou não congela c O gelo derrete parcialmente derrete totalmente ou não derrete 5 Continuação da Pergunta 4 Os gráficos b a f da Fig 1825 são outros gráficos de T em função de t dos quais um ou mais são impossíveis a Quais são os gráficos impossíveis e por quê b Nos gráficos possíveis a temperatura de equilíbrio está acima abaixo ou no ponto de congelamento da água c Nas situações possíveis quando o sistema atinge o equilíbrio o líquido congela parcialmente congela totalmente ou não congela O gelo derrete parcialmente derrete totalmente ou não derrete Figura 1825 Perguntas 4 e 5 6 A Fig 1826 mostra três arranjos diferentes de materiais 1 2 e 3 para formar uma parede As condutividades térmicas são k1 k2 k3 O lado esquerdo da parede está 20C8 mais quente que o lado direito Ordene os arranjos de acordo a com a taxa de condução de energia pela parede no regime estacionário e b com a diferença de temperatura entre as duas superfícies do material 1 em ordem decrescente Figura 1826 Pergunta 6 7 A Fig 1827 mostra dois ciclos fechados em diagramas pV de um gás As três partes do ciclo 1 têm o mesmo comprimento e forma que as do ciclo 2 Os ciclos devem ser percorridos no sentido horário ou antihorário a para que o trabalho total W realizado pelo gás seja positivo e b para que a energia líquida transferida pelo gás na forma de calor Q seja positiva Figura 1827 Perguntas 7 e 8 8 Para que ciclo da Fig 1827 percorrido no sentido horário a W é maior e b Q é maior 9 Três materiais diferentes de massas iguais são colocados um de cada vez em um congelador especial que pode extrair energia do material a uma taxa constante Durante o processo de resfriamento cada material começa no estado líquido e termina no estado sólido a Fig 1828 mostra a temperatura T em função do tempo t a O calor específico do material 1 no estado líquido é maior ou menor que no estado sólido Ordene os materiais de acordo b com a temperatura do ponto de fusão c com o calor específico no estado líquido d com o calor específico no estado sólido e e com o calor de fusão em ordem decrescente Figura 1828 Pergunta 9 10 Um cubo de lado ρ uma esfera de raio ρ e um hemisfério de raio ρ todos feitos do mesmo material são mantidos à temperatura de 300 K em um ambiente cuja temperatura é 350 K Ordene em ordem decrescente os objetos de acordo com a taxa com a qual a radiação térmica é trocada com o ambiente 11 Um objeto quente é jogado em um recipiente termicamente isolado cheio dágua e se espera até que o objeto e a água entrem em equilíbrio térmico O experimento é repetido com dois outros objetos quentes Os três objetos têm a mesma massa e a mesma temperatura inicial A massa e a temperatura inicial da água são iguais nos três experimentos A Fig 1829 mostra os gráficos da temperatura T do objeto e da água em função do tempo t para os três experimentos Ordene os gráficos de acordo com o calor específico do objeto em ordem decrescente Figura 1829 Pergunta 11 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 181 Temperatura 1 A temperatura de um gás é 37315 K quando está no ponto de ebulição da água Qual é o valor limite da razão entre a pressão do gás no ponto de ebulição e a pressão no ponto triplo da água Suponha que o volume do gás é o mesmo nas duas temperaturas 2 Dois termômetros de gás a volume constante são construídos um com nitrogênio e o outro com hidrogênio Ambos contêm gás suficiente para que p3 80 kPa a Qual é a diferença de pressão entre os dois termômetros se os dois bulbos estão imersos em água fervente Sugestão Veja a Fig 186 b Em qual dos dois gases a pressão é maior 3 Um termômetro de gás é constituído por dois bulbos com gás imersos em recipientes com água como mostra a Fig 1830 A diferença de pressão entre os dois bulbos é medida por um manômetro de mercúrio Reservatórios apropriados que não aparecem na figura mantêm constante o volume de gás nos dois bulbos Não há diferença de pressão quando os dois recipientes estão no ponto triplo da água A diferença de pressão é de 120 torr quando um recipiente está no ponto triplo e o outro está no ponto de ebulição da água e é de 900 torr quando um recipiente está no ponto triplo da água e o outro em uma temperatura desconhecida a ser medida Qual é a temperatura desconhecida Figura 1830 Problema 3 Módulo 182 As Escalas Celsius e Fahrenheit 4 a Em 1964 a temperatura na aldeia de Oymyakon na Sibéria chegou a 71C Qual é o valor dessa temperatura em graus Fahrenheit b A temperatura mais alta registrada oficialmente nos Estados Unidos foi 1348F no Vale da Morte Califórnia Qual é o valor dessa temperatura em graus Celsius 5 Para qual temperatura o valor em graus Fahrenheit é igual a a duas vezes o valor em graus Celsius e b a metade do valor em graus Celsius 6 Em uma escala linear de temperatura X a água congela a 1250X e evapora a 3750X Em uma escala linear de temperatura Y a água congela a 7000Y e evapora a 23000Y Uma temperatura de 5000Y corresponde a que temperatura na escala X 7 Em uma escala linear de temperatura X a água evapora a 535X e congela a 170X Quanto vale a temperatura de 340 K na escala X Aproxime o ponto de ebulição da água para 373 K Módulo 183 Dilatação Térmica 8 A 20C um cubo de latão tem 30 cm de aresta Qual é o aumento da área superficial do cubo quando é aquecido de 20C para 75C 9 Um furo circular em uma placa de alumínio tem 2725 cm de diâmetro a 0000C Qual é o diâmetro do furo quando a temperatura da placa é aumentada para 1000C 10 Um mastro de alumínio tem 33 m de altura De quanto o comprimento do mastro aumenta quando a temperatura aumenta de 15C8 11 Qual é o volume de uma bola de chumbo a 3000C se o volume da bola é 5000 cm3 a 6000C 12 Uma barra feita de uma liga de alumínio tem um comprimento de 10000 cm a 20000C e um comprimento de 10015 cm no ponto de ebulição da água a Qual é o comprimento da barra no ponto de congelamento da água b Qual é a temperatura para a qual o comprimento da barra é 10009 cm 13 Determine a variação de volume de uma esfera de alumínio com um raio inicial de 10 cm quando a esfera é aquecida de 00C para 100C 14 Quando a temperatura de uma moeda de cobre é aumentada de 100C8 o diâmetro aumenta de 018 Determine com precisão de dois algarismos significativos o aumento percentual a da área b da espessura c do volume e d da massa específica da moeda e Calcule o coeficiente de dilatação linear da moeda 15 Uma barra de aço tem 3000 cm de diâmetro a 2500C Um anel de latão tem um diâmetro interno de 2992 cm a 2500C Se os dois objetos são mantidos em equilíbrio térmico a que temperatura a barra se ajusta perfeitamente ao furo 16 Quando a temperatura de um cilindro de metal é aumentada de 00C para 100C o comprimento aumenta de 023 a Determine a variação percentual da massa específica b De que metal é feito o cilindro Consulte a Tabela 182 17 Uma xícara de alumínio com um volume de 100 cm3 está cheia de glicerina a 22C Que volume de glicerina é derramado se a temperatura da glicerina e da xícara aumenta para 28C O coeficiente de dilatação volumétrica da glicerina é 51 104C 18 A 20 C uma barra tem exatamente 2005 cm de comprimento de acordo com uma régua de aço Quando a barra e a régua são colocadas em um forno a 270C a barra passa a medir 2011 cm de acordo com a mesma régua Qual é o coeficiente de expansão linear do material de que é feita a barra 19 Um tubo de vidro vertical de comprimento L 1280 000 m está cheio até a metade com um líquido a 20000 000C De quanto a altura do líquido no tubo varia quando o tubo é aquecido para 30000 000C Suponha que avidro 1000 000 105K e blíquido 4000 000 105K 20 Em certo experimento uma pequena fonte radioativa deve se mover com velocidades selecionadas extremamente baixas O movimento é conseguido prendendo a fonte a uma das extremidades de uma barra de alumínio e aquecendo a região central da barra de forma controlada Se a parte aquecida da barra da Fig 1831 tem um comprimento d 200 cm a que taxa constante a temperatura da barra deve variar para que a fonte se mova a uma velocidade constante de 100 nms Figura 1831 Problema 20 21 Como resultado de um aumento de temperatura de 32C8 uma barra com uma rachadura no centro dobra para cima Fig 1832 Se a distância fixa L0 é 377 m e o coeficiente de dilatação linear da barra é 25 106C determine a altura x do centro da barra Figura 1832 Problema 21 Módulo 184 Absorção de Calor 22 Uma forma de evitar que os objetos que se encontram no interior de uma garagem congelem em uma noite fria de inverno na qual a temperatura cai abaixo do ponto de congelamento da água é colocar uma banheira velha com água na garagem Se a massa da água é 125 kg e a temperatura inicial é 20C a que energia a água deve transferir para o ambiente para se transformar totalmente em gelo e b qual é a menor temperatura possível da água e do ambiente até que isso aconteça 23 Para preparar uma xícara de café solúvel um pequeno aquecedor elétrico de imersão é usado para esquentar 100 g de água O rótulo diz que se trata de um aquecedor de 200 watts essa é a taxa de conversão de energia elétrica em energia térmica Calcule o tempo necessário para aquecer a água de 230C para 100C desprezando as perdas de calor 24 Uma substância tem uma massa de 500 gmol Quando 314 J são adicionados na forma de calor a uma amostra de 300 g da substância a temperatura sobe de 250C para 450C a Qual é o calor específico e b qual é o calor específico molar da substância c Quantos mols estão presentes na amostra 25 Um nutricionista aconselha as pessoas que querem perder peso a beber água gelada alegando que o corpo precisa queimar gordura para aumentar a temperatura da água de 000C para a temperatura do corpo 370C Quantos litros de água gelada uma pessoa precisa beber para queimar 500 g de gordura supondo que ao ser queimada essa quantidade de gordura 3500 Cal são transferidas para a água Por que não é recomendável seguir o conselho do nutricionista Um litro 103 cm3 A massa específica da água é 100 gcm3 26 Que massa de manteiga que possui um valor calórico de 60 Calg 6000 calg equivale à variação de energia potencial gravitacional de um homem de 730 kg que sobe do nível do mar para o alto do Monte Everest a 884 km de altura Suponha que o valor médio de g durante a escalada é 980 ms2 27 Calcule a menor quantidade de energia em joules necessária para fundir 130 g de prata inicialmente a 150C 28 Que massa de água permanece no estado líquido depois que 502 kJ são transferidos em forma de calor a partir de 260 g de água inicialmente no ponto de congelamento 29 Em um aquecedor solar a radiação do Sol é absorvida pela água que circula em tubos em um coletor situado no telhado A radiação solar penetra no coletor por uma cobertura transparente e aquece a água dos tubos em seguida a água é bombeada para um tanque de armazenamento Suponha que a eficiência global do sistema é de 20 ou seja 80 da energia solar incidente é perdida Que área de coleta é necessária para aumentar a temperatura de 200 L de água no tanque de 20C para 40C em 10 h se a intensidade da luz solar incidente é 700 Wm2 30 Uma amostra de 0400 kg de uma substância é colocada em um sistema de resfriamento que remove calor a uma taxa constante A Fig 1833 mostra a temperatura T da amostra em função do tempo t a escala do eixo horizontal é definida por ts 800 min A amostra congela durante o processo O calor específico da substância no estado líquido inicial é 3000 Jkg K Determine a o calor de fusão da substância e b o calor específico da substância na fase sólida Figura 1833 Problema 30 31 Que massa de vapor a 100C deve ser misturada com 150 g de gelo no ponto de fusão em um recipiente isolado termicamente para produzir água a 50C 32 O calor específico de uma substância varia com a temperatura de acordo com a equação c 020 014T 0023T2 com T em C e c em calgK Determine a energia necessária para aumentar a temperatura de 20 g da substância de 50C para 15C 33 Versão não métrica a Quanto tempo um aquecedor de água de 20 105 Btuh leva para elevar a temperatura de 40 galões de água de 70F para 100F Versão métrica b Quanto tempo um aquecedor de água de 59 kW leva para elevar a temperatura de 150 litros de água de 21C para 38C 34 Duas amostras A e B estão a diferentes temperaturas quando são colocadas em contato em um recipiente termicamente isolado até entrarem em equilíbrio térmico A Fig 1834a mostra as temperaturas T das duas amostras em função do tempo t A amostra A tem uma massa de 50 kg a amostra B tem uma massa de 15 kg A Fig 1834b é um gráfico do material da amostra B que mostra a variação de temperatura ΔT que o material sofre quando recebe uma energia Q na forma de calor a variação ΔT está plotada em função da energia Q por unidade de massa do material e a escala do eixo vertical é definida por ΔTs 40C Qual é o calor específico do material da amostra A Figura 1834 Problema 34 35 Uma garrafa térmica contém 130 cm3 de café a 800C Um cubo de gelo de 120 g à temperatura de fusão é usado para esfriar o café De quantos graus o café esfria depois que todo o gelo derrete e o equilíbrio térmico é atingido Trate o café como se fosse água pura e despreze as trocas de energia com o ambiente 36 Um tacho de cobre de 150 g contém 220 g de água e ambos estão a 200C Um cilindro de cobre de 300 g muito quente é jogado na água fazendo a água ferver e transformando 50 g da água em vapor A temperatura final do sistema é de 100C Despreze a transferência de energia para o ambiente a Qual é a energia em calorias transferida para a água na forma de calor b Qual é a energia transferida para o tacho c Qual é a temperatura inicial do cilindro 37 Uma pessoa faz chá gelado misturando 500 g de chá quente que se comporta como água pura com a mesma massa de gelo no ponto de fusão Suponha que a troca de energia entre a mistura e o ambiente é desprezível Se a temperatura inicial do chá é Ti 90C qual é a a temperatura da mistura Tf e b qual a massa mf do gelo remanescente quando o equilíbrio térmico é atingido Se Ti 70C qual é o valor c de Tf e d de mf quando o equilíbrio térmico é atingido 38 Uma amostra de 0530 kg de água e uma amostra de gelo são colocadas em um recipiente termicamente isolado O recipiente também contém um dispositivo que transfere calor da água para o gelo a uma taxa constante P até que o equilíbrio térmico seja estabelecido As temperaturas T da água e do gelo são mostradas na Fig 1835 em função do tempo t a escala do eixo horizontal é definida por τs 800 min a Qual é a taxa P b Qual é a massa inicial de gelo no recipiente c Quando o equilíbrio térmico é atingido qual é a massa do gelo produzido no processo Figura 1835 Problema 38 39 O álcool etílico tem um ponto de ebulição de 780C um ponto de congelamento de 114C um calor de vaporização de 879 kJkg um calor de fusão de 109 kJkg e um calor específico de 243 kJkg K Quanta energia deve ser removida de 0510 kg de álcool etílico que está inicialmente na forma de gás a 780C para que se torne um sólido a 114C 40 Calcule o calor específico de um metal a partir dos dados a seguir Um recipiente feito do metal tem uma massa de 36 kg e contém 14 kg de água Um pedaço de 18 kg do metal inicialmente à temperatura de 180C é mergulhado na água O recipiente e a água estão inicialmente a uma temperatura de 160C e a temperatura final do sistema termicamente isolado é 180C 41 a Dois cubos de gelo de 50 g são misturados com 200 g de água em um recipiente termicamente isolado Se a água está inicialmente a 25C e o gelo foi removido de um congelador a 15C qual é a temperatura final em equilíbrio térmico b Qual será a temperatura final se for usado apenas um cubo de gelo 42 Um anel de cobre de 200 g a 0000C tem um diâmetro interno D 2540 00 cm Uma esfera de alumínio a 1000C tem um diâmetro d 2545 08 cm A esfera é colocada acima do anel Fig 1836 até que os dois atinjam o equilíbrio térmico sem perda de calor para o ambiente A esfera se ajusta exatamente ao anel na temperatura do equilíbrio Qual é a massa da esfera Figura 1836 Problema 42 Módulo 185 A Primeira Lei da Termodinâmica 43 Na Fig 1837 uma amostra de gás se expande de V0 para 40V0 enquanto a pressão diminui de p0 para p040 Se V0 10 m3 e p0 40 Pa qual é o trabalho realizado pelo gás se a pressão varia com o volume de acordo a com a trajetória A b com a trajetória B e c com a trajetória C Figura 1837 Problema 43 44 Um sistema termodinâmico passa do estado A para o estado B do estado B para o estado C e de volta para o estado A como mostra o diagrama pV da Fig 1838a A escala do eixo vertical é definida por ps 40 Pa e a escala do eixo horizontal é definida por Vs 40 m3 ag Complete a tabela da Fig 1838b introduzindo um sinal positivo um sinal negativo ou um zero na célula indicada h Qual é o trabalho realizado pelo sistema no ciclo ABCA Figura 1838 Problema 44 45 Um gás em uma câmara fechada passa pelo ciclo mostrado no diagrama pV da Fig 1839 A escala do eixo horizontal é definida por Vs 40 m3 Calcule a energia adicionada ao sistema na forma de calor durante um ciclo completo Figura 1839 Problema 45 46 Um trabalho de 200 J é realizado sobre um sistema e uma quantidade de calor de 700 cal é removida do sistema Qual é o valor incluindo o sinal a de W b de Q e c de ΔEint 47 Quando um sistema passa do estado i para o estado f seguindo a trajetória iaf da Fig 1840 Q 50 cal e W 20 cal Ao longo da trajetória ibf Q 36 cal a Quanto vale W ao longo da trajetória ibf b Se W 13 cal na trajetória de retorno fi quanto vale Q nessa trajetória c Se Einti 10 cal qual é o valor de Eintf Se Eintb 22 cal qual é o valor de Q d na trajetória ib e e na trajetória bf Figura 1840 Problema 47 48 Um gás em uma câmara fechada passa pelo ciclo mostrado na Fig 1841 Determine a energia transferida pelo sistema na forma de calor durante o processo CA se a energia adicionada como calor QAB durante o processo AB é 200 J nenhuma energia é transferida como calor durante o processo BC e o trabalho realizado durante o ciclo é 150 J Figura 1841 Problema 48 49 A Fig 1842 mostra um ciclo fechado de um gás a figura não foi desenhada em escala A variação da energia interna do gás ao passar de a para c ao longo da trajetória abc é 200 J Quando passa de c para d o gás recebe 180 J na forma de calor Mais 80 J são recebidos quando o gás passa de d para a Qual é o trabalho realizado sobre o gás quando passa de c para d Figura 1842 Problema 49 50 Uma amostra de gás passa pelo ciclo abca mostrado no diagrama pV da Fig 1843 O trabalho realizado é 12 J Ao longo da trajetória ab a variação da energia interna é 30 J e o valor absoluto do trabalho realizado é 50 J Ao longo da trajetória ca a energia transferida para o gás na forma de calor é 25 J Qual é a energia transferida na forma de calor ao longo a da trajetória ab e b da trajetória bc Figura 1843 Problema 50 Módulo 186 Mecanismos de Transferência de Calor 51 Uma esfera com 0500 m de raio cuja emissividade é 0850 está a 270C em um local onde a temperatura ambiente é 770C A que taxa a esfera a emite e b absorve radiação térmica c Qual é a taxa de troca de energia da esfera 52 O teto de uma casa em uma cidade de clima frio deve ter uma resistência térmica R de 30 m2KW Para isso qual deve ser a espessura de um revestimento a de espuma de poliuretano e b de prata 53 Considere a placa da Fig 1818 Suponha que L 250 cm A 900 cm2 e que o material é o cobre Se TQ 125C TF 100C e o sistema está no regime estacionário determine a taxa de condução de calor pela placa 54 Se você se expusesse por alguns momentos ao espaço sideral longe do Sol e sem um traje espacial como fez um astronauta no filme 2001 Uma Odisseia no Espaço você sentiria o frio do espaço ao irradiar muito mais energia que a absorvida do ambiente a A que taxa você perderia energia b Quanta energia você perderia em 30 s Suponha que sua emissividade é 090 e estime outros dados necessários para os cálculos 55 Uma barra cilíndrica de cobre de 12 m de comprimento e 48 cm2 de seção reta é bem isolada e não perde energia pela superfície lateral A diferença de temperatura entre as extremidades é 100C8 já que uma está imersa em uma mistura de água e gelo e a outra em uma mistura de água e vapor a A que taxa a energia é conduzida pela barra b A que taxa o gelo derrete na extremidade fria 56 A vespa gigante Vespa mandarinia japonica se alimenta de abelhas japonesas Entretanto caso uma vespa tenta invadir uma colmeia centenas de abelhas formam rapidamente uma bola em torno da vespa para detêla As abelhas não picam não mordem nem esmagam nem sufocam a vespa limitam se a aquecêla aumentando sua temperatura do valor normal de 35C para 47C ou 48C o que é mortal para a vespa mas não para as abelhas Fig 1844 Suponha o seguinte 500 abelhas formam uma bola de raio R 20 cm durante um intervalo de tempo t 20 min o mecanismo principal de perda de energia da bola é a radiação térmica a superfície da bola tem uma emissividade ϕ 080 e a temperatura da bola é uniforme Qual é a quantidade de energia que uma abelha precisa produzir em média durante 20 min para manter a temperatura da bola em 47C Dr Masato Ono Tamagawa University Figura 1844 Problema 56 57 a Qual é a taxa de perda de energia em watts por metro quadrado por uma janela de vidro de 30 mm de espessura se a temperatura externa é 20F e a temperatura interna é 72F b Uma janela para tempestades feita com a mesma espessura de vidro é instalada do lado de fora da primeira com um espaço de 75 cm entre as duas janelas Qual é a nova taxa de perda de energia se a condução é o único mecanismo importante de perda de energia 58 Um cilindro maciço de raio r1 25 cm comprimento h1 50 cm e emissividade ε 085 a uma temperatura Tc 30C está suspenso em um ambiente de temperatura Ta 50C a Qual é a taxa líquida P1 de transferência de radiação térmica do cilindro b Se o cilindro é esticado até que o raio diminua para r2 050 cm a taxa líquida de transferência de radiação térmica passa a ser P2 Qual é a razão P2P1 59 Na Fig 1845a duas barras retangulares metálicas de mesmas dimensões e feitas da mesma substância são soldadas pelas faces de menor área e mantidas a uma temperatura T1 0C do lado esquerdo e a uma temperatura T2 100C do lado direito Em 20 min 10 J são conduzidos a uma taxa constante do lado direito para o lado esquerdo Que tempo seria necessário para conduzir 10 J se as placas fossem soldadas pelas faces de maior área como na Fig 1845b Figura 1845 Problema 59 60 A Fig 1846 mostra uma parede feita de três camadas de espessuras L1 L2 0700L1 e L3 0350L1 As condutividades térmicas são k1 k2 0900k1 e k3 0800k1 As temperaturas do lado esquerdo e do lado direito da parede são TQ 300C e TF 150C respectivamente O sistema está no regime estacionário a Qual é a diferença de temperatura ΔT2 na camada 2 entre o lado esquerdo e o lado direito da camada Se o valor de k2 fosse 110k1 b a taxa de condução de energia pela parede seria maior menor ou igual à anterior c Qual seria o valor de ΔT2 Figura 1846 Problema 60 61 Uma placa de gelo com 50 cm de espessura se formou na superfície de uma caixa dágua em um dia frio de inverno Fig 1847 O ar acima do gelo está a 10C Calcule a taxa de formação da placa de gelo em cmh Suponha que a condutividade térmica do gelo é 00040 calscmC e que a massa específica é 092 gcm3 Suponha também que a transferência de energia pelas paredes e pelo fundo do tanque pode ser desprezada Figura 1847 Problema 61 62 Efeito Leidenfrost Quando se deixa cair uma gota dágua em uma frigideira cuja temperatura está entre 100C e 200C a gota dura menos de 1 s Entretanto se a temperatura da frigideira é mais alta a gota pode durar vários minutos um efeito que recebeu o nome de um médico alemão que foi um dos primeiros a investigar o fenômeno O efeito se deve à formação de uma fina camada de ar e vapor dágua que separa a gota do metal Fig 1848 Suponha que a distância entre a gota e a frigideira é L 0100 mm e que a gota tem a forma de um cilindro de altura h 150 mm e área da base A 400 106 m2 Suponha também que a frigideira é mantida a uma temperatura constante Tf 300C e que a temperatura da gota é 100C A massa específica da água é ρ 1000 kgm3 e a condutividade térmica da camada que separa a gota da frigideira é k 0026 Wm K a A que taxa a energia é conduzida da frigideira para a gota b Se a condução é a principal forma de transmissão de energia da frigideira para a gota quanto tempo a gota leva para evaporar Figura 1848 Problema 62 63 A Fig 1849 mostra uma parede feita de quatro camadas de condutividades térmicas k1 0060 Wm K k3 0040 Wm K e k4 012 Wm K k2 não é conhecida As espessuras das camadas são L1 15 cm L3 28 cm e L4 35 cm L2 não é conhecida As temperaturas conhecidas são T1 30C T12 25C e T4 10C A transferência de energia está no regime estacionário Qual é o valor da temperatura T34 Figura 1849 Problema 63 64 Aglomerações de pinguins Para suportar o frio da Antártica os pinguinsimperadores se aglomeram em bandos Fig 1850 Suponha que um pinguim pode ser modelado por um cilindro circular de altura h 11 m e com uma área da base a 034 m2 Seja Pi a taxa com a qual um pinguim isolado irradia energia para o ambiente pelas superfícies superior e lateral nesse caso NPi é a taxa com a qual N pinguins iguais e separados irradiam energia Se os pinguins se aglomeram para formar um cilindro único de altura h e área da base Na o cilindro irradia a uma taxa Pu Se N 1000 determine a o valor da razão PuNPi e b a redução percentual da perda de energia devido à aglomeração Alain TorterototPeter ArnoldPhotolibrary Figura 1850 Problema 64 65 Formouse gelo em um pequeno lago e o regime estacionário foi atingido com o ar acima do gelo a 50C e o fundo do lago a 40C Se a profundidade total do gelo água é 14 m qual é a espessura do gelo Suponha que a condutividade térmica do gelo é 040 e a da água é 012 calm C s 66 Resfriamento de bebidas por evaporação Uma bebida pode ser mantida fresca mesmo em um dia quente se for colocada em um recipiente poroso de cerâmica previamente molhado Suponha que a energia perdida por evaporação seja igual à energia recebida em consequência da troca de radiação pela superfície superior e pelas superfícies laterais do recipiente O recipiente e a bebida estão a uma temperatura T 15C a temperatura ambiente é Tamb 32C e o recipiente é um cilindro de raio r 22 cm e altura h 10 cm Suponha que a emissividade é ε 1 e despreze outras trocas de energia Qual é a taxa dmdt de perda de massa de água do recipiente em gs Problemas Adicionais 67 Na extrusão de chocolate frio por um tubo o êmbolo que empurra o chocolate realiza trabalho O trabalho por unidade de massa do chocolate é igual a pr em que p é a diferença entre a pressão aplicada e a pressão no local em que o chocolate sai do tubo e r é a massa específica do chocolate Em vez de aumentar a temperatura esse trabalho funde a manteiga de cacau do chocolate cujo calor de fusão é 150 kJkg Suponha que todo o trabalho vai para a fusão e que a manteiga de cacau constitui 30 da massa do chocolate Que porcentagem da manteiga de cacau é fundida durante a extrusão se p 55 MPa e ρ 1200 kgm3 68 Os icebergs do Atlântico Norte constituem um grande perigo para os navios por causa deles as distâncias das rotas marítimas sofrem um aumento da ordem de 30 durante a temporada de icebergs Já se tentou destruir os icebergs usando explosivos bombas torpedos balas de canhão aríetes e cobrindo os com fuligem Suponha que seja tentada a fusão direta de um iceberg por meio da instalação de fontes de calor no gelo Que quantidade de energia na forma de calor é necessária para derreter 10 de um iceberg com uma massa de 200000 toneladas métricas 1 tonelada métrica 1000 kg 69 A Fig 1851 mostra um ciclo fechado de um gás A variação da energia interna ao longo da trajetória ca é 160 J A energia transferida para o gás na forma de calor é 200 J ao longo da trajetória ab e 40 J ao longo da trajetória bc Qual é o trabalho realizado pelo gás ao longo a da trajetória abc e b da trajetória ab Figura 1851 Problema 69 70 Em casa com aquecimento solar a energia proveniente do Sol é armazenada em barris com água Em cinco dias seguidos no inverno em que o tempo permanece nublado 100 106 kcal são necessárias para manter o interior da casa a 220C Supondo que a água dos barris está a 500 C e que a água tem uma massa específica de 100 103 kgm3 que volume de água é necessário 71 Uma amostra de 0300 kg é colocada em uma geladeira que remove calor a uma taxa constante de 281 W A Fig 1852 mostra a temperatura T da amostra em função do tempo t A escala de temperatura é definida por Ts 30C e a escala de tempo é definida por ts 20 min Qual é o calor específico da amostra Figura 1852 Problema 71 72 A taxa média com a qual a energia chega à superfície na América do Norte é 540 mWm2 e a condutividade térmica média das rochas próximas da superfície é 250 WmK Supondo que a temperatura da superfície é 100C determine a temperatura a uma profundidade de 350 km perto da base da crosta Ignore o calor gerado pela presença de elementos radioativos 73 Qual é o aumento de volume de um cubo de alumínio com 500 cm de lado quando o cubo é aquecido de 100C para 600C 74 Em uma série de experimentos um bloco B é colocado em um recipiente termicamente isolado em contato com um bloco A que tem a mesma massa que o bloco B Em cada experimento o bloco B está inicialmente à temperatura TB mas a temperatura do bloco A varia de experimento para experimento Suponha que Tf representa a temperatura final dos dois blocos ao atingirem o equilíbrio térmico A Fig 1853 mostra a temperatura Tf em função da temperatura inicial TA para um intervalo de valores de TA de TA1 0 K até TA2 500 K a Qual é a temperatura TB e b qual a razão cBcA entre os calores específicos dos blocos Figura 1853 Problema 74 75 A Fig 1854 mostra um ciclo fechado a que um gás é submetido De c até b 40 J deixam o gás na forma de calor De b até a 130 J deixam o gás na forma de calor e o valor absoluto do trabalho realizado pelo gás é 80 J De a até c 400 J são recebidos pelo gás na forma de calor Qual é o trabalho realizado pelo gás de a até c Sugestão Não se esqueça de levar em conta o sinal algébrico dos dados Figura 1854 Problema 75 76 Três barras retilíneas de mesmo comprimento feitas de alumínio Invar e aço todas a 200C formam um triângulo equilátero com pinos articulados nos vértices A que temperatura o ângulo oposto à barra de Invar é 59958 As fórmulas trigonométricas necessárias estão no Apêndice E e os dados necessários estão na Tabela 182 77 A temperatura de um cubo de gelo de 0700 kg é reduzida para 150C Em seguida é fornecido calor ao cubo mantendoo termicamente isolado do ambiente A transferência total é de 06993 MJ Suponha que o valor de cgelo que aparece na Tabela 183 é válido para temperaturas de 150C a 0C Qual é a temperatura final da água 78 Pingentes de gelo A água cobre a superfície de um pingente de gelo ativo em processo de crescimento e forma um tubo curto e estreito na extremidade do eixo central Fig 1855 Como a temperatura da interface águagelo é 0C a água do tubo não pode perder energia para os lados do pingente ou para a ponta do tubo porque não há variação de temperatura nessas direções A água pode perder energia e congelar apenas transferindo energia para cima através de uma distância L até o alto do pingente em que a temperatura Tr pode ser menor que 0C Suponha que L 012 m e Tr 5C Suponha também que a seção reta do tubo e do pingente é A Determine em termos de A a a taxa com a qual a energia é transferida para cima e b a taxa com a qual a massa é convertida de água para gelo no alto do tubo central c Qual é a velocidade com que o pingente se move para baixo por causa do congelamento da água A condutividade térmica do gelo é 0400 WmK e a massa específica da água é 1000 kgm3 Figura 1855 Problema 78 79 Uma amostra de gás se expande de uma pressão inicial de 10 Pa e um volume inicial de 10 m3 para um volume final de 20 m3 Durante a expansão a pressão e o volume estão relacionados pela equação p aV2 em que a 10 Nm8 Determine o trabalho realizado pelo gás durante a expansão 80 A Fig 1856a mostra um cilindro com gás fechado por um êmbolo móvel O cilindro é mantido submerso em uma mistura de gelo e água O êmbolo é empurrado para baixo rapidamente da posição 1 para a posição 2 e mantido na posição 2 até que o gás esteja novamente à temperatura da mistura de gelo e água em seguida o êmbolo é erguido lentamente de volta para a posição 1 A Fig 1856b é um diagrama pV do processo Se 100 g de gelo são derretidos durante o ciclo qual é o trabalho realizado sobre o gás Figura 1856 Problema 80 81 Uma amostra de gás sofre uma transição de um estado inicial a para um estado final b por três diferentes trajetórias processos como mostra o diagrama pV da Fig 1857 em que Vb 500Vi A energia transferida para o gás em forma de calor no processo 1 é 10piVi Em termos de piVi qual é a a energia transferida para o gás em forma de calor no processo 2 e b qual é a variação da energia interna do gás no processo 3 Figura 1857 Problema 81 82 Uma barra de cobre uma barra de alumínio e uma barra de latão todas com 600 m de comprimento e 100 cm de diâmetro são colocadas em contato pelas extremidades com a barra de alumínio no meio A extremidade livre da barra de cobre é mantida no ponto de ebulição da água e a extremidade livre da barra de latão é mantida no ponto de congelamento da água Qual é a temperatura no regime estacionário a da junção cobrealumínio e b da junção alumíniolatão 83 A temperatura de um disco de Pyrex varia de 100C para 600C O raio inicial do disco é 800 cm e a espessura inicial é 0500 cm Tome esses dados como exatos Qual é a variação do volume do disco Veja a Tabela 182 84 a Calcule a taxa com a qual o calor do corpo atravessa a roupa de um esquiador em regime estacionário a partir dos seguintes dados a área da superfície do corpo é 18 m2 a roupa tem 10 cm de espessura a temperatura da pele é 33C a temperatura da superfície externa da roupa é 10C a condutividade térmica da roupa é 0040 WmK b Se após uma queda a roupa do esquiador fica encharcada de água cuja condutividade térmica é 060 WmK por qual fator a taxa de condução é multiplicada 85 Um lingote de 250 kg de alumínio é aquecido até 920C e mergulhado em 800 kg de água a 500C Supondo que o sistema amostraágua está termicamente isolado qual é a temperatura de equilíbrio do sistema 86 Uma vidraça tem 20 cm por 30 cm a 10C De quanto aumenta a área da vidraça quando a temperatura aumenta para 40C supondo que ela pode se expandir livremente 87 Um novato só pode entrar para o semissecreto clube 300 F1 da Estação Polar AmundsenScott no Polo Sul quando a temperatura do lado de fora está abaixo de 70C Em um dia como esse o novato tem que fazer uma sauna e depois correr ao ar livre usando apenas sapatos Naturalmente fazer isso é muito perigoso mas o ritual é um protesto contra os riscos da exposição ao frio Suponha que ao sair da sauna a temperatura da pele do novato seja 102F e que as paredes teto e piso da base estejam a uma temperatura de 30 C Estime a área da superfície do novato e suponha que a emissividade da pele é 080 a Qual é a taxa líquida Plíq com a qual o novato perde energia pela troca de radiação térmica com o aposento Em seguida suponha que ao ar livre metade da área da superfície do recruta troca energia térmica com o céu à temperatura de 25C e que a outra metade troca radiação térmica com a neve e o solo à temperatura de 80C Qual é a taxa líquida com a qual o recruta perde energia através da troca de radiação térmica b com o céu e c com a neve e o solo 88 Uma barra de aço a 250C é fixada nas duas extremidades e resfriada A que temperatura a barra se rompe Use a Tabela 121 89 Um atleta precisa perder peso e decide puxar ferro a Quantas vezes um peso de 800 kg deve ser levantado a uma altura de 100 m para queimar 050 kg de gordura supondo que essa quantidade de gordura equivale a 3500 Cal b Se o peso for levantado uma vez a cada 200 s quanto tempo será necessário 90 Logo depois que a Terra se formou o calor liberado pelo decaimento de elementos radioativos aumentou a temperatura interna média de 300 para 3000 K valor que permanece até hoje Supondo que o coeficiente de dilatação volumétrica médio é 30 105 K1 de quanto o raio da Terra aumentou desde que o planeta se formou 91 É possível derreter um bloco de gelo esfregandoo em outro bloco de gelo Qual é o trabalho em joules necessário para derreter 100 g de gelo 92 Uma placa retangular de vidro mede inicialmente 0200 m por 0300 m O coeficiente de expansão linear do vidro é 900 106K Qual é a variação da área da placa se a temperatura aumenta de 200 K 93 Suponha que você intercepte 50 103 da energia irradiada por uma esfera quente que tem um raio de 0020 m uma emissividade de 080 e uma temperatura de 500 K na superfície Qual é a quantidade de energia que você intercepta em 20 min 94 Um termômetro com 00550 kg de massa e calor específico de 0837 kJkg K indica 150C O termômetro é totalmente imerso em 0300 kg de água por tempo suficiente para ficar à mesma temperatura que a água Se o termômetro indica 444C qual era a temperatura da água antes da introdução do termômetro 95 Uma amostra de gás se expande de V1 10 m3 e p1 40 Pa para V2 40 m3 e p2 10 Pa seguindo a trajetória B do diagrama pV da Fig 1858 Em seguida o gás é comprimido de volta para V1 seguindo a trajetória A ou a trajetória C Calcule o trabalho realizado pelo gás em um ciclo completo ao longo a da trajetória BA e b da trajetória BC Figura 1858 Problema 95 96 A Fig 1859 mostra uma barra de comprimento L L1 L2 formada por dois materiais O trecho de comprimento L1 é feito de um material com um coeficiente de dilatação linear a1 o trecho de comprimento L2 é feito de um material com um coeficiente de dilatação linear a2 a Qual é o coeficiente de dilatação α da barra como um todo Se L 524 cm o material 1 é aço o material 2 é latão e α 13 105C qual é o valor a de L1 e b de L2 Figura 1859 Problema 96 97 Você descobre que o forno de microondas não está funcionando e resolve esquentar a água para fazer chá agitando uma garrafa térmica Suponha que a água da torneira está a 19C a água cai 32 cm a cada sacudida e você dá 27 sacudidas por minuto Supondo que a perda de energia térmica pelas paredes e pela tampa da garrafa térmica é desprezível de quanto tempo em minutos você precisa para aquecer a água até 100C 98 O diagrama pV da Fig 1860 mostra duas trajetórias ao longo das quais uma amostra de gás pode passar do estado a para o estado b no qual Vb 30V1 A trajetória 1 requer que uma energia igual a 50p1V1 seja transferida ao gás em forma de calor A trajetória 2 requer que uma energia igual a 55p1V1 seja transferida ao gás em forma de calor Qual é a razão p2p1 Figura 1860 Problema 98 99 Um cubo de 60 106 m de aresta e emissividade 075 à temperatura de 100C flutua no espaço sideral onde a temperatura é 150C Qual é a taxa líquida de transferência da radiação térmica do cubo 100 O calorímetro de fluxo é um dispositivo usado para medir o calor específico dos líquidos O líquido que passa pelo calorímetro com uma vazão conhecida recebe energia na forma de calor a uma taxa conhecida A medida da diferença de temperatura resultante entre os pontos de entrada e de saída do líquido permite determinar o calor específico do líquido Suponha que um líquido de massa específica 085 gcm3 passa por um calorímetro de fluxo com uma vazão de 80 cm3s Quando um aquecedor elétrico é usado para fornecer energia ao líquido a uma taxa de 250 W uma diferença de temperatura de 15C8 é estabelecida no regime estacionário entre os pontos de entrada e de saída Qual é o calor específico do líquido 101 Um objeto com massa de 600 kg desce de uma altura de 500 m e por meio de uma ligação mecânica faz girar uma hélice que agita 0600 kg de água Suponha que a energia potencial gravitacional inicial do objeto é totalmente transferida para a energia térmica da água que está inicialmente a 150C Qual é o aumento de temperatura da água 102 O espelho de vidro Pyrex de um telescópio tem um diâmetro de 170 polegadas A temperatura do local onde o telescópio foi instalado varia de 16C a 32C Qual é a maior variação do diâmetro do telescópio supondo que o vidro pode se dilatar e se contrair livremente 103 A área A de uma placa retangular é ab 14 m2 e o coeficiente de dilatação linear do material da placa é α 32 106C Quando a temperatura da placa sofre um aumento ΔT de 89C8 o comprimento do lado a aumenta de Δa e o comprimento do lado b aumenta de Δb Fig 1861 Determine o valor aproximado do aumento ΔA da área Sugestão Despreze a parcela ΔaΔb Figura 1861 Problema 103 104 Considere o líquido de um barômetro cujo coeficiente de dilatação volumétrica é 66 104C Determine a variação relativa da altura do líquido se a temperatura variar de 12C e a pressão permanecer a mesma Despreze a dilatação do tubo de vidro 105 Um relógio de pêndulo com um pêndulo feito de latão indica a hora correta a uma temperatura de 23C Suponha que se trata de um pêndulo simples constituído por um peso na extremidade de uma haste de latão de massa desprezível suspensa pela outra extremidade Se a temperatura cair para 00C a relógio irá adiantar ou atrasar b Qual será o valor absoluto do erro em segundos por hora 106 Uma sala é iluminada por quatro lâmpadas incandescentes de 100 W A potência de 100 W é a taxa com a qual uma lâmpada converte energia elétrica em luz e calor Supondo que 73 da energia é convertida em calor qual é a quantidade de calor que a sala recebe em um período de 69 h 107 Um atleta vigoroso pode consumir toda a energia que recebe em uma dieta de 4000 Caldia Se usasse essa energia de forma contínua qual seria a razão entre a potência dissipada pelo atleta e a potência dissipada por uma lâmpada de 100 W 108 Um automóvel de 1700 kg que estava a uma velocidade de 83 kmh freia até parar com uma desaceleração uniforme e sem derrapar em uma distância de 93 m Qual é a taxa média com a qual a energia mecânica é transformada em energia térmica no sistema de freios Vamos usar como unidade de pressão o pascal Pa definido no Módulo 141 cuja relação com outras unidades comuns de pressão é a seguinte 1 atm 101 105 Pa 760 torr 147 lbin2 Na Eq 1827 as grandezas dQ e dW ao contrário de dEint não são diferenciais verdadeiras ou seja não existem funções do tipo Qp V e Wp V que dependam apenas do estado do sistema As grandezas dQ e dW são chamadas de diferenciais inexatas e costumam ser representadas pelos símbolos δQ e δW Para nossos propósitos podemos tratálas simplesmente como transferências de energia infinitesimais 1O nome se refere a uma diferença de 300F entre a temperatura da sauna e a temperatura do lado de fora da base NT CAPÍTULO 19 A Teoria Cinética dos Gases 191 O NÚMERO DE AVOGADRO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1901 Conhecer o número de Avogadro NA 1902 Conhecer a relação entre o número de mols n o número de moléculas N e o número de Avogadro NA 1903 Conhecer a relação entre a massa m de uma amostra a massa molar M das moléculas da amostra o número n de mols da amostra e o número de Avogadro NA IdeiasChave A teoria cinética dos gases relaciona as propriedades macroscópicas de um gás como por exemplo pressão e temperatura às propriedades microscópicas das moléculas do gás como por exemplo velocidade e energia cinética Um mol de uma substância contém NA número de Avogadro unidades elementares em geral átomos ou moléculas da substância o valor experimental de NA é NA 602 1023 mol1 número de Avogadro Uma massa molar M de qualquer substância é a massa de um mol da substância A massa molar M de uma substância está relacionada à massa m das unidades elementares da substância e ao número de Avogadro NA pela equação M mNA O número de mols n em uma amostra de massa Ma que contém N moléculas de massa m é dado por O que É Física Um dos tópicos principais da termodinâmica é a física dos gases Um gás é formado por átomos isolados ou unidos em moléculas que ocupam totalmente o volume do recipiente em que se encontram e exercem pressão sobre as paredes Em geral podemos atribuir uma temperatura a um gás confinado Essas três propriedades dos gases volume pressão e temperatura estão relacionadas ao movimento dos átomos O volume é uma consequência da liberdade que os átomos têm para se espalhar por todo o recipiente a pressão é causada por colisões dos átomos com as paredes do recipiente e a temperatura está associada à energia cinética dos átomos A teoria cinética dos gases que é o foco deste capítulo relaciona o volume a pressão e a temperatura de um gás ao movimento dos átomos A teoria cinética dos gases tem muitas aplicações práticas Os engenheiros automobilísticos estudam a queima do combustível vaporizado um gás no motor dos carros Os engenheiros de alimentos medem a produção do gás de fermentação que faz o pão crescer quando está sendo assado Os engenheiros da indústria de bebidas procuram entender de que forma o gás produz um colarinho em um copo de chope e arranca a rolha de uma garrafa de champanha Os engenheiros biomédicos tentam calcular o tempo mínimo que um mergulhador deve levar para subir à superfície para não correr o risco de que bolhas de nitrogênio se formem no sangue Os meteorologistas investigam os efeitos das trocas de calor entre os oceanos e a atmosfera sobre as condições do tempo O primeiro passo em nossa discussão da teoria cinética dos gases tem a ver com a medida da quantidade de gás presente em uma amostra que envolve o número de Avogadro O Número de Avogadro Quando estamos lidando com átomos e moléculas faz sentido medir o tamanho das amostras em mols Fazendo isso temos certeza de que estamos comparando amostras que contêm o mesmo número de átomos ou moléculas O mol uma das sete unidades fundamentais do SI é definido da seguinte forma Um mol é o número de átomos em uma amostra de 12 g de carbono 12 A pergunta óbvia é a seguinte Quantos átomos ou moléculas existem em um mol A resposta foi obtida experimentalmente em que mol1 representa o inverso do mol ou por mol e mol é o símbolo da unidade mol O número NA é chamado de número de Avogadro em homenagem ao cientista italiano Amedeo Avogadro 1776 1856 um dos primeiros a concluir que todos os gases que ocupam o mesmo volume nas mesmas condições de temperatura e pressão contêm o mesmo número de átomos ou moléculas O número de mols n contidos em uma amostra de qualquer substância é igual à razão entre o número de moléculas N da amostra e o número de moléculas NA em 1 mol Atenção Como os três símbolos da Eq 192 podem ser facilmente confundidos certifiquese de que você compreendeu bem o que significam tais símbolos para evitar problemas futuros Podemos calcular o número de mols n em uma amostra a partir da massa Ma da amostra e da massa molar M a massa de um mol ou da massa molecular m a massa de uma molécula Na Eq 193 usamos o fato de que a massa M de 1 mol é o produto da massa m de uma molécula pelo número de moléculas NA em 1 mol 192 GASES IDEAIS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1904 Saber por que um gás ideal é chamado de ideal 1905 Conhecer as duas formas da lei dos gases ideais uma em termos do número n de mols e outra em termos do número N de moléculas 1906 Conhecer a relação entre a constante dos gases ideais R e a constante de Boltzmann k 1907 Saber que a temperatura da lei dos gases ideais deve estar expressa em kelvins 1908 Desenhar um diagrama pV para a expansão e a contração de um gás a temperatura constante 1909 Definir o termo isoterma 1910 Calcular o trabalho realizado por um gás incluindo o sinal algébrico durante uma expansão e uma contração isotérmica 1911 No caso de um processo isotérmico saber que a variação da energia interna ΔE é zero e que a energia Q transferida em forma de calor é igual ao trabalho W realizado 1912 Desenhar o diagrama pV de um processo a volume constante e definir o trabalho realizado em termos de uma área do gráfico 1913 Desenhar o diagrama pV de um processo a pressão constante e definir o trabalho realizado em termos de uma área do gráfico IdeiasChave Em um gás ideal a pressão p o volume V e a temperatura T estão relacionados pela equação pV nRT lei dos gases ideais em que n é o número de mols do gás e R é uma constante 831 Jmol K conhecida como constante dos gases perfeitos A lei dos gases perfeitos também pode ser escrita na forma pV NkT em que k é a constante de Boltzmann cujo valor é O trabalho realizado por um gás ideal durante uma transformação isotérmica a temperatura constante é dado por gás ideal processo isotérmico em que Vi é o volume inicial e Vf é o volume final Gases Ideais Nosso objetivo neste capítulo é explicar as propriedades macroscópicas de um gás como por exemplo pressão e temperatura em termos das moléculas que o constituem Surge porém um problema De que gás estamos falando Seria hidrogênio oxigênio metano ou talvez hexafluoreto de urânio São todos diferentes As medidas mostram porém que se colocarmos 1 mol de vários gases em recipientes de mesmo volume e os mantivermos à mesma temperatura as pressões serão quase iguais Se repetimos as medidas com concentrações dos gases cada vez menores as pequenas diferenças de pressão tendem a desaparecer Medidas muito precisas mostram que em baixas concentrações todos os gases reais obedecem à relação em que p é a pressão absoluta e não a manométrica n é o número de mols do gás e T é a temperatura em kelvins O fator R é chamado de constante dos gases ideais e tem o mesmo valor para todos os gases A Eq 195 é a chamada lei dos gases ideais Contanto que a concentração do gás seja baixa a lei se aplica a qualquer gás ou mistura de gases No caso de uma mistura n é o número total de mols da mistura Podemos escrever a Eq 195 de outra forma em termos de uma constante k chamada constante de Boltzmann definida como A Eq 197 nos dá R kNA De acordo com a Eq 192 n NNA temos Substituindo essa relação na Eq 195 obtemos uma segunda expressão para a lei dos gases ideais Atenção Observe a diferença entre as duas expressões da lei dos gases ideais A Eq 195 envolve o número de mols n enquanto a Eq 199 envolve o número de moléculas N O leitor pode estar se perguntando O que é afinal um gás ideal e o que ele tem de especial A resposta está na simplicidade da lei Eqs 195 e 199 que governa as propriedades macroscópicas de um gás ideal Usando essa lei como veremos em seguida podemos deduzir muitas propriedades de um gás real Embora não exista na natureza um gás com as propriedades exatas de um gás ideal todos os gases reais se aproximam do estado ideal em concentrações suficientemente baixas ou seja em condições nas quais as moléculas estão tão distantes umas das outras que praticamente não interagem Assim o conceito de gás ideal nos permite obter informações úteis a respeito do comportamento limite dos gases reais A Fig 191 mostra um exemplo chocante do comportamento de um gás ideal Um tanque de aço inoxidável com um volume de 18 m3 foi carregado com vapor dágua a uma temperatura de 110C por meio de um registro Fig 191a Em seguida o registro foi fechado e o tanque foi molhado com uma mangueira Em menos de um minuto o tanque de grossas paredes foi esmagado Fig 191b como se tivesse sido pisado por alguma criatura gigantesca de um filme de ficção científica classe B Na verdade foi a atmosfera que esmagou o tanque Quando o tanque foi resfriado pela água o vapor esfriou e a maior parte se condensou o que significa que o número N de moléculas de gás e a temperatura T do gás no interior do tanque diminuíram Com isso o lado direito da Eq 199 diminuiu como o volume V continuou o mesmo a pressão p do lado esquerdo da equação também diminuiu A pressão do gás diminuiu tanto que a pressão atmosférica foi suficiente para esmagar o tanque de aço No caso da Fig 19 1 tudo não passou de uma demonstração planejada mas casos semelhantes ocorreram várias vezes de forma acidental fotos e vídeos podem ser encontrados na internet Cortesia de wwwdoctorslimecom Figura 191 Imagens de um tanque de aço a antes e b depois de ser esmagado pela pressão atmosférica quando o vapor do interior esfriou e se condensou Trabalho Realizado por um Gás Ideal a Temperatura Constante Suponha que um gás ideal seja introduzido em um cilindro com um êmbolo como o do Capítulo 18 Suponha também que permitimos que o gás se expanda de um volume inicial Vi para um volume final Vf mantendo constante a temperatura T do gás Um processo desse tipo a uma temperatura constante é chamado de expansão isotérmica e o processo inverso é chamado de compressão isotérmica Em um diagrama pV uma isoterma é uma curva que liga pontos de mesma temperatura Assim é o gráfico da pressão em função do volume para um gás cuja temperatura T é mantida constante Para n mols de um gás ideal é o gráfico da equação A Fig 192 mostra três isotermas cada uma correspondendo a um valor diferente constante de T Observe que os valores de T das isotermas aumentam para cima e para a direita A expansão isotérmica do gás do estado i para o estado f a uma temperatura constante de 310 K está indicada na isoterma do meio Para determinar o trabalho realizado por um gás ideal durante uma expansão isotérmica começamos com a Eq 1825 A Eq 1911 é uma expressão geral para o trabalho realizado durante qualquer variação de volume de um gás No caso de um gás ideal podemos usar a Eq 195 pV nRT para eliminar p o que nos dá Como estamos supondo que se trata de uma expansão isotérmica a temperatura T é constante de modo que podemos colocála do lado de fora do sinal de integração e escrever Calculando o valor da expressão entre colchetes nos limites indicados e usando a identidade ln a 2 ln b lnab obtemos Figura 192 Três isotermas em um diagrama pV A trajetória mostrada na isoterma central representa uma expansão isotérmica de um gás de um estado inicial i para um estado final f A trajetória de f para i na mesma isoterma representa o processo inverso ou seja uma compressão isotérmica Lembrese de que o símbolo ln indica que se trata de um logaritmo natural de base e No caso de uma expansão Vf é maior do que Vi de modo que a razão VfVi na Eq 1914 é maior que 1 O logaritmo natural de um número maior do que 1 é positivo e portanto como era de se esperar o trabalho W realizado por um gás ideal durante uma expansão isotérmica é positivo No caso de uma compressão Vf é menor que Vi de modo que a razão entre os volumes na Eq 1914 é menor que 1 Assim como era de se esperar o logaritmo natural nessa equação e portanto o trabalho W é negativo Trabalho Realizado a Volume Constante e a Pressão Constante A Eq 1914 não permite calcular o trabalho W realizado por um gás ideal em qualquer processo termodinâmico ela só pode ser aplicada quando a temperatura é mantida constante Se a temperatura varia a variável T da Eq 1912 não pode ser colocada do lado de fora do sinal de integração como foi feito na Eq 1913 de modo que não é possível obter a Eq 1914 Entretanto podemos voltar à Eq 1911 para determinar o trabalho W realizado por um gás ideal ou um gás real durante qualquer processo como os processos a volume constante e a pressão constante Se o volume do gás é constante a Eq 1911 nos dá Se em vez disso o volume varia enquanto a pressão p do gás é mantida constante a Eq 1911 se torna Teste 1 Um gás ideal tem uma pressão inicial de 3 unidades de pressão e um volume inicial de 4 unidades de volume A tabela mostra a pressão final e o volume final do gás nas mesmas unidades em cinco processos Que processos começam e terminam na mesma isoterma Exemplo 1901 Variações de temperatura volume e pressão de um gás ideal Um cilindro contém 12 L de oxigênio a 20C e 15 atm A temperatura é aumentada para 35C e o volume é reduzido para 85 L Qual é a pressão final do gás em atmosferas Suponha que o gás é ideal IDEIACHAVE Como o gás é ideal a pressão o volume a temperatura e o número de mols estão relacionados pela lei dos gases ideais tanto no estado inicial i como no estado final f Cálculos De acordo com a Eq 195 temos piVi nRTi e pfVf nRTf Dividindo a segunda equação pela primeira e explicitando pf obtemos Observe que não há necessidade de converter os volumes inicial e final de litros para metros cúbicos já que os fatores de conversão são multiplicativos e se cancelam na Eq 1917 O mesmo se aplica aos fatores de conversão da pressão de atmosferas para pascals Por outro lado a conversão de graus Celsius para kelvins envolve a soma de constantes que não se cancelam Assim para aplicar corretamente a Eq 1917 as temperaturas devem estar expressas em kelvins Ti 273 20 K 293 K e Tf 273 35 K 308 K Substituindo os valores conhecidos na Eq 1917 obtemos Exemplo 1902 Trabalho realizado por um gás ideal Um mol de oxigênio trateo como um gás ideal se expande a uma temperatura constante T de 310 K de um volume inicial Vi de 12 L para um volume final Vf de 19 L Qual é o trabalho realizado pelo gás durante a expansão IDEIACHAVE Em geral calculamos o trabalho integrando a pressão do gás em relação ao volume usando a Eq 1911 Neste caso porém como o gás é ideal e a expansão é isotérmica sabemos que a integração leva à Eq 1914 Cálculo Podemos escrever A expansão está indicada no diagrama pV da Fig 193 O trabalho realizado pelo gás durante a expansão é representado pela área sob a curva if É fácil mostrar que se a expansão for revertida com o gás sofrendo uma compressão isotérmica de 19 L para 12 L o trabalho realizado pelo gás será 21180 J Isso significa que uma força externa teria que realizar um trabalho de 1180 J sobre o gás para comprimilo até o volume inicial Figura 193 A área sombreada representa o trabalho realizado por 1 mol de oxigênio ao se expandir de Vi para Vf a uma temperatura constante de 310 K 193 PRESSÃO TEMPERATURA E VELOCIDADE MÉDIA QUADRÁTICA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1914 Saber que a pressão que um gás exerce sobre as paredes de um recipiente se deve às colisões das moléculas do gás com as paredes 1915 Conhecer a relação entre a pressão que um gás exerce sobre as paredes de um recipiente o momento das moléculas do gás e o intervalo de tempo médio entre as colisões 1916 Saber o que é o valor médio quadrático vrms da velocidade das moléculas de um gás ideal 1917 Conhecer a relação entre a pressão de um gás ideal e a velocidade média quadrática vrms das moléculas do gás 1918 No caso de um gás ideal conhecer a relação entre a temperatura T do gás e a massa molar M e a velocidade média quadrática vrms das moléculas IdeiasChave A pressão exercida por um gás ideal sobre as paredes de um recipiente é dada por em que n é o número de mols M é a massa molar é a velocidade média quadrática das moléculas e V é o volume do recipiente A velocidade média quadrática das moléculas de um gás ideal é dada pela equação R é a constante dos gases perfeitos T é a temperatura do gás e M é a massa molar Pressão Temperatura e Velocidade Média Quadrática Vamos passar agora ao nosso primeiro problema de teoria cinética dos gases Considere n mols de um gás ideal em uma caixa cúbica de volume V como na Fig 194 As paredes da caixa são mantidas a uma temperatura T Qual é a relação entre a pressão p exercida pelo gás sobre as paredes da caixa e a velocidade das moléculas Figura 194 Uma caixa cúbica de aresta L contendo n mols de um gás ideal Uma molécula de massa m e velocidade está prestes a colidir com a parede sombreada de área L2 Uma reta perpendicular à parede também é mostrada As moléculas de gás no interior da caixa estão se movendo em todas as direções e com várias velocidades colidindo umas com as outras e ricocheteando nas paredes como bolas de squash Vamos ignorar por enquanto as colisões das moléculas umas com as outras e considerar apenas as colisões elásticas com as paredes A Fig 194 mostra uma molécula de gás típica de massa m e velocidade v que está prestes a colidir com a parede sombreada Como estamos supondo que as colisões das moléculas com as paredes são elásticas quando a molécula colide com a parede a única componente da velocidade que muda é a componente x que troca de sinal Isso significa que a única componente do momento que muda é a componente x que sofre uma variação Δpx mvx mvx 2mvx Assim o momento Δpx transferido para a parede pela molécula durante a colisão é 2mvx Como neste livro o símbolo p é usado para representar tanto o momento como a pressão precisamos tomar cuidado e observar que neste caso p representa o momento e é uma grandeza vetorial A molécula da Fig 194 se choca várias vezes com a parede sombreada O intervalo de tempo Δt entre colisões é o tempo que a molécula leva para se deslocar até a parede oposta e voltar percorrendo uma distância 2L movendose a uma velocidade vx Assim Δt é igual a 2Lvx Note que o resultado é válido mesmo que a molécula colida com as paredes laterais já que essas paredes são paralelas a x e portanto não podem mudar o valor de vx Portanto a taxa média com a qual o momento é transmitido para a parede sombreada é dada por De acordo com a segunda lei de Newton dpdt a taxa com a qual o momento é transferido para a parede é a força que age sobre a parede Para determinar a força total devemos somar as contribuições de todas as moléculas que colidem com a parede levando em conta a possibilidade de que tenham velocidades diferentes Dividindo o módulo da força total Fx pela área da parede L2 temos a pressão p a que é submetida a parede a partir da Eq 1918 a letra p será usada para representar pressão Assim usando a expressão de ΔpxΔt podemos escrever a pressão na forma em que N é o número de moléculas que existem na caixa Como N nNA o segundo fator entre parênteses da Eq 1918 possui nNA parcelas Podemos substituir a soma por nNAv2 xméd em que v2 xméd é o valor médio do quadrado da componente x da velocidade de todas as moléculas Nesse caso a Eq 1918 se torna Entretanto mNA é a massa molar M do gás ou seja a massa de 1 mol do gás Como além disso L3 é o volume do gás temos Para qualquer molécula v2 v2 x v2 y v2 z Como há muitas moléculas se movendo em direções aleatórias o valor médio do quadrado das componentes da velocidade não depende da direção considerada e portanto v2 x v2 y v2 z Assim a Eq 1919 se torna Tabela 191 Algumas Velocidades Médias Quadráticas à Temperatura Ambiente T 300 Ka Gás Massa Molar 103 kgmol vrms ms Hidrogênio H2 202 1920 Hélio He 40 1370 Vapor dágua H2O 180 645 Nitrogênio N2 280 517 Oxigênio O2 320 483 Dióxido de carbono CO2 440 412 Dióxido de enxofre SO2 641 342 a Por conveniência a temperatura ambiente muitas vezes é tomada como 300 K 27C que é uma temperatura relativamente elevada A raiz quadrada de v2méd é uma espécie de velocidade média conhecida como velocidade média quadrática das moléculas e representada pelo símbolo vrms1 Para calcular a velocidade média quadrática elevamos a velocidade das moléculas ao quadrado obtemos a média de todas as velocidades ao quadrado e extraímos a raiz quadrada do resultado Fazendo podemos escrever a Eq 1920 como A Eq 1921 representa bem o espírito da teoria cinética dos gases mostrando que a pressão de um gás uma grandeza macroscópica depende da velocidade das moléculas que o compõem uma grandeza microscópica Podemos inverter a Eq 1921 e usála para calcular vrms Combinando a Eq 1921 com a lei dos gases ideais pV nRT obtemos A Tabela 191 mostra algumas velocidades médias quadráticas calculadas usando a Eq 1922 As velocidades são surpreendentemente elevadas Para moléculas de hidrogênio à temperatura ambiente 300 K a velocidade média quadrática é 1920 ms ou 6900 kmh maior que a de uma bala de fuzil Na superfície do Sol onde a temperatura é 2 106 K a velocidade média quadrática das moléculas de hidrogênio seria 82 vezes maior que à temperatura ambiente se não fosse pelo fato de que em velocidades tão altas as moléculas não sobrevivem a colisões com outras moléculas Lembrese também de que a velocidade média quadrática é apenas uma espécie de velocidade média muitas moléculas se movem muito mais depressa e outras muito mais devagar que esse valor A velocidade do som em um gás está intimamente ligada à velocidade média quadrática das moléculas Em uma onda sonora a perturbação é passada de molécula para molécula por meio de colisões A onda não pode se mover mais depressa que a velocidade média das moléculas Na verdade a velocidade do som deve ser um pouco menor que a velocidade média das moléculas porque nem todas as moléculas estão se movendo na mesma direção que a onda Assim por exemplo à temperatura ambiente a velocidade média quadrática das moléculas de hidrogênio e de nitrogênio é 1920 ms e 517 ms respectivamente A velocidade do som nos dois gases a essa temperatura é 1350 ms e 350 ms respectivamente O leitor pode estar se perguntando Se as moléculas se movem tão depressa por que levo quase um minuto para sentir o cheiro quando alguém abre um vidro de perfume do outro lado da sala A resposta é que como discutiremos no Módulo 195 apesar de terem uma velocidade elevada as moléculas de perfume se afastam lentamente do vidro por causa de colisões com outras moléculas que as impedem de seguir uma trajetória retilínea Exemplo 1903 Valor médio e valor médio quadrático São dados cinco números 5 11 32 67 e 89 a Qual é o valor médio nméd desses números Cálculo O valor médio é dado por b Qual é o valor médio quadrático nrms desses números Cálculo O valor médio quadrático é dado por O valor médio quadrático é maior que o valor médio porque os números maiores ao serem elevados ao quadrado pesam mais no resultado final 194 ENERGIA CINÉTICA DE TRANSLAÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1919 Conhecer a relação entre a energia cinética média e a velocidade média quadrática das moléculas de um gás ideal 1920 Conhecer a relação entre a energia cinética média das moléculas e a temperatura de um gás ideal 1921 Saber que a medida da temperatura de um gás é equivalente à medida da energia cinética média das moléculas do gás IdeiasChave A energia cinética de translação média das moléculas de um gás ideal é dada por A energia cinética de translação média das moléculas de um gás ideal está relacionada à temperatura do gás pela equação Energia Cinética de Translação Vamos considerar novamente uma molécula de um gás ideal que se move no interior da caixa da Fig 19 4 mas agora vamos supor que a velocidade da molécula varia quando ela colide com outras moléculas A energia cinética de translação da molécula em um dado instante é A energia cinética de translação média em certo intervalo de observação é em que estamos supondo que a velocidade média da molécula durante o tempo de observação é igual à velocidade média das moléculas do gás Para que essa hipótese seja válida é preciso que a energia total do gás não esteja variando e que a molécula seja observada por um tempo suficiente Substituindo vrms pelo seu valor dado pela Eq 1922 obtemos Entretanto Mm a massa molar dividida pela massa de uma molécula é simplesmente o número de Avogadro Assim De acordo com a Eq 197 k RNA podemos escrever A Eq 1924 leva a uma conclusão inesperada Em uma dada temperatura T as moléculas de qualquer gás ideal independentemente da massa que possuam têm a mesma energia cinética de translação média Assim quando medimos a temperatura de um gás também estamos medindo a energia cinética de translação média das moléculas do gás Teste 2 Uma mistura de gases contém moléculas de três tipos 1 2 e 3 com massas moleculares m1 m2 m3 Ordene os três tipos de moléculas de acordo a com a energia cinética média e b com a velocidade média quadrática em ordem decrescente 195 LIVRE CAMINHO MÉDIO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1922 Saber o que significa livre caminho médio 1923 Conhecer a relação entre o livre caminho médio o diâmetro das moléculas e o número de moléculas por unidade de volume IdeiaChave O livre caminho médio λ da molécula de um gás é a distância média entre colisões e é dado por em que d é o diâmetro das moléculas e NV é o número de moléculas por unidade de volume Livre Caminho Médio Vamos continuar o estudo do movimento das moléculas de um gás ideal A Fig 195 mostra como se move uma molécula típica de um gás sofrendo mudanças abruptas tanto do módulo como da direção da velocidade ao colidir elasticamente com outras moléculas Entre duas colisões a molécula se move em linha reta com velocidade constante Embora a figura mostre as outras moléculas como se estivessem paradas todas naturalmente estão se movendo Figura 195 Movimento de uma molécula em gás uma sequência de trajetórias retilíneas interrompidas por colisões com outras mo léculas Embora as outras moléculas sejam mostradas como se estivessem paradas elas estão se movendo de forma semelhante Um parâmetro útil para descrever esse movimento aleatório é o livre caminho médio λ das moléculas Como o nome indica λ é a distância média percorrida por uma molécula entre duas colisões Esperamos que λ varie inversamente com NV o número de moléculas por unidade de volume ou concentração de moléculas Quanto maior o valor de NV maior o número de colisões e menor o livre caminho médio Também esperamos que λ varie inversamente com algum parâmetro associado ao tamanho das moléculas como o diâmetro d por exemplo Se fossem pontuais como supusemos até agora as moléculas não sofreriam colisões e o livre caminho médio seria infinito Assim quanto maiores forem as moléculas menor deve ser o livre caminho médio Podemos até prever que λ deve variar inversamente com o quadrado do diâmetro da molécula já que é a seção de choque de uma molécula e não o diâmetro que determina sua área efetiva como alvo Na verdade o livre caminho médio é dado pela seguinte expressão Para justificar a Eq 1925 concentramos a atenção em uma única molécula e supomos que como a Fig 195 sugere a molécula está se movendo com velocidade constante v e todas as outras moléculas estão em repouso Mais tarde vamos dispensar essa última hipótese Supomos ainda que as moléculas são esferas de diâmetro d Uma colisão ocorre portanto se os centros de duas moléculas chegam a uma distância d um do outro como na Fig 196a Outra forma de descrever a situação é supor que o raio e não o diâmetro da nossa molécula é d e todas as outras moléculas são pontuais como na Fig 196b Isso não muda o critério para que uma colisão ocorra e facilita a análise matemática do problema Figura 196 a Uma colisão acontece quando os centros de duas moléculas ficam a uma distância d em que d é o diâmetro das moléculas b Uma representação equivalente porém mais conveniente é pensar na molécula em movimento como tendo um raio d e em todas as outras moléculas como se fossem pontos A condição para que aconteça uma colisão é a mesma Figura 197 Em um intervalo de tempo Δt a molécula em movimento varre um cilindro de comprimento vΔt e raio d Ao ziguezaguear pelo gás nossa molécula varre um pequeno cilindro de seção reta pd2 entre colisões sucessivas Em intervalo de tempo Δt a molécula percorre uma distância vΔt em que v é a velocidade da molécula Alinhando todos os pequenos cilindros varridos no intervalo Δt formamos um cilindro composto Fig 197 de comprimento vΔt e volume πd2vΔt o número de colisões que acontecem em um intervalo de tempo Δt é igual ao número de moléculas pontuais no interior desse cilindro Como NV é o número de moléculas por unidade de volume o número de moléculas no interior do cilindro é NV vezes o volume do cilindro ou NVπd2vΔt Esse é também o número de colisões que acontecem no intervalo Δt O livre caminho médio é o comprimento da trajetória e do cilindro dividido por esse número A Eq 1926 é apenas uma aproximação porque se baseia na hipótese de que todas as moléculas exceto uma estão em repouso Na verdade todas as moléculas estão em movimento quando esse fato é levado em consideração o resultado é a Eq 1925 Note que ela difere da Eq 1926 aproximada apenas por um fator de A diferença entre as Eqs 1925 e 1926 é causada pelo fato de que para obter a Eq 1926 cancelamos dois símbolos v um no numerador e outro no denominador que na verdade representam grandezas diferentes O v do numerador é vméd a velocidade média das moléculas em relação ao recipiente O v do denominador é vrel a velocidade média de nossa molécula em relação às outras moléculas que também estão se movendo É essa segunda velocidade média que determina o número de colisões Um cálculo detalhado levando em conta a distribuição de velocidades das moléculas nos dá essa é origem do fator O livre caminho médio das moléculas de ar ao nível do mar é cerca de 01 μm A uma altitude de 100 km o ar é tão rarefeito que o livre caminho médio chega a 16 cm A 300 km o livre caminho médio é da ordem de 20 km Um problema enfrentado pelos cientistas que estudam a física e a química da atmosfera superior em laboratório é a falta de recipientes suficientemente grandes para conter amostras dos gases de interesse como freon dióxido de carbono e ozônio nas condições a que estão submetidos na atmosfera superior Teste 3 Um mol de um gás A cujas moléculas têm um diâmetro 2d0 e uma velocidade média v0 é colocado em um recipiente Um mol de um gás B cujas moléculas têm diâmetro d0 e velocidade média 2v0 as moléculas do gás B são menores e mais rápidas é colocado em um recipiente igual Qual dos gases tem a maior taxa média de colisões Exemplo 1904 Livre caminho médio velocidade média e frequência de colisões a Qual é o livre caminho médio λ de moléculas de oxigênio a uma temperatura T 300 K e a uma pressão p 10 atm Suponha que o diâmetro das moléculas é d 290 pm e que o gás é ideal IDEIACHAVE Cada molécula de oxigênio se move entre outras moléculas de oxigênio em movimento descrevendo uma trajetória em zigue zague por causa das colisões Assim o livre caminho médio é dado pela Eq 1925 Cálculo Para aplicar a Eq 1925 precisamos conhecer o número de moléculas por unidade de volume NV Como estamos supondo que se trata de um gás ideal podemos usar a lei dos gases ideais na forma da Eq 199 pV NkT e escrever NV pkT Substituindo esse valor na Eq 1925 obtemos Esse valor corresponde a cerca de 380 vezes o diâmetro de uma molécula de oxigênio b A velocidade média das moléculas de oxigênio à temperatura de 300 K é v 445 ms veja o Exemplo 1906 Qual é o tempo médio t entre colisões para qualquer molécula Qual é a frequência f das colisões IDEIASCHAVE 1 Entre colisões a molécula percorre em média o livre caminho médio λ com velocidade v 2 A frequência das colisões é o inverso do tempo t entre colisões Cálculos De acordo com a primeira ideiachave o tempo médio entre colisões é Isso significa que em média uma molécula de oxigênio passa aproximadamente um quarto de nanossegundo sem sofrer colisões De acordo com a segunda ideiachave a frequência das colisões é Isso significa que em média uma molécula de oxigênio sofre 4 bilhões de colisões por segundo 196 A DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES DAS MOLÉCULAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1924 Obter uma expressão para a fração de moléculas cujas velocidades estão em certo intervalo a partir da distribuição de velocidades de Maxwell 1925 Desenhar um gráfico da distribuição de velocidades de Maxwell e indicar as posições relativas da velocidade média vméd da velocidade mais provável vP e da velocidade média quadrática vrms 1926 Obter expressões para a velocidade média a velocidade mais provável e a velocidade média quadrática a partir da distribuição de velocidades de Maxwell 1927 Dadas a temperatura T e a massa molar M calcular a velocidade média vméd da velocidade mais provável vP e da velocidade média quadrática vrms IdeiasChave A distribuição de velocidades de Maxwell Pv dada pela equação é uma função tal que Pvdv é a fração de moléculas com velocidades no intervalo dv no entorno da velocidade v Três medidas da distribuição de velocidades das moléculas de um gás são e A Distribuição de Velocidades das Moléculas A velocidade média quadrática vrms nos dá uma ideia geral das velocidades das moléculas de um gás a uma dada temperatura Em muitos casos porém estamos interessados em informações mais detalhadas Por exemplo qual é a fração de moléculas com velocidade maior que vrms Qual é a fração de moléculas com velocidade maior que o dobro de vrms Para responder a esse tipo de pergunta precisamos saber de que forma os possíveis valores da velocidade estão distribuídos pelas moléculas A Fig 198a mostra essa distribuição para moléculas de oxigênio à temperatura ambiente T 300 K na Fig 198b a mesma distribuição é comparada com a distribuição de velocidades a uma temperatura menor T 80 K Em 1852 o físico escocês James Clerk Maxwell calculou a distribuição de velocidades das moléculas de um gás O resultado que ele obteve conhecido como distribuição de velocidades de Maxwell foi o seguinte Aqui M é a massa molar do gás R é a constante dos gases ideais T é a temperatura do gás e v é a velocidade da molécula Gráficos dessa função estão plotados nas Figs 198a e 198b A grandeza Pv da Eq 1927 e da Fig 198 é uma função distribuição de probabilidade Para uma dada velocidade v o produto Pvdv uma grandeza adimensional é a fração de moléculas cujas velocidades estão no intervalo dv no entorno de v Como está mostrado na Fig 198a essa fração é igual à área de uma faixa de altura Pv e largura dv A área total sob a curva da distribuição corresponde à fração das moléculas cujas velocidades estão entre zero e infinito Como todas as moléculas estão nessa categoria o valor da área total é igual à unidade ou seja A fração frac de moléculas com velocidades no intervalo de v1 a v2 é portanto Figura 198 a A distribuição de velocidades de Maxwell para moléculas de oxigênio a uma temperatura T 300 K As três velocidades características estão indicadas b A distribuição de velocidades para 300 K e 80 K Note que as moléculas se movem mais devagar quando a temperatura é menor Como se trata de distribuições de probabilidade a área sob cada curva é igual à unidade Velocidade Média Velocidade Média Quadrática e Velocidade Mais Provável Em princípio podemos determinar a velocidade média vméd das moléculas de um gás da seguinte forma Em primeiro lugar ponderamos cada valor de v na distribuição ou seja multiplicamos v pela fração Pvdv de moléculas cujas velocidades estão em um intervalo infinitesimal dv no entorno de v em seguida somamos todos esses valores de vPvdv O resultado é vméd Na prática isso equivale a calcular Substituindo Pv pelo seu valor dado pela Eq 1927 e usando a integral 20 da lista de integrais do Apêndice E obtemos Analogamente a média dos quadrados das velocidades v2méd pode ser calculada usando a equação Substituindo Pv pelo seu valor dado pela Eq 1927 e usando a integral 16 da lista de integrais do Apêndice E obtemos A raiz quadrada de v2méd é a velocidade média quadrática vrms Assim o que está de acordo com a Eq 1922 A velocidade mais provável vP é a velocidade para a qual Pv é máxima veja a Fig 198a Para calcular vP fazemos dPdv 0 a inclinação da curva na Fig 198a é zero no ponto em que a curva passa pelo máximo e explicitamos v o que nos dá É mais provável que uma molécula tenha uma velocidade vP do que qualquer outra velocidade mas algumas moléculas têm velocidades muito maiores que vP Essas moléculas estão na cauda de altas velocidades de uma curva de distribuição como a da Fig 198a Devemos ser gratos por essas poucas moléculas de alta velocidade já que são elas que tornam possíveis a chuva e a luz solar sem as quais não existiríamos Vejamos por quê Chuva A distribuição das moléculas de água em um lago no verão pode ser representada por uma curva como a da Fig 198a A maioria das moléculas não possui energia cinética suficiente para escapar da superfície Entretanto algumas moléculas muito rápidas com velocidades na cauda de altas velocidades da curva de distribuição podem escapar São essas moléculas de água que evaporam tornando possível a existência das nuvens e da chuva Quando as moléculas de água muito rápidas deixam a superfície de um lago levando energia com elas a temperatura do lago não muda porque este recebe calor das vizinhanças Outras moléculas velozes produzidas por colisões ocupam rapidamente o lugar das moléculas que partiram e a 1 2 3 distribuição de velocidades permanece a mesma Luz solar Suponha agora que a função de distribuição da Eq 1927 se refira a prótons no centro do Sol A energia do Sol se deve a um processo de fusão nuclear que começa com a união de dois prótons Todavia os prótons se repelem já que possuem cargas elétricas de mesmo sinal e prótons com a velocidade média não possuem energia cinética suficiente para vencer a repulsão e se aproximar o suficiente para que a fusão ocorra Entretanto prótons muito rápidos na cauda de altas velocidades da curva de distribuição podem se fundir e é por isso que o Sol brilha Exemplo 1905 Distribuição de velocidades das moléculas de um gás Um cilindro de oxigênio é mantido à temperatura ambiente 300 K Qual é a fração das moléculas cuja velocidade está no intervalo de 599 a 601 ms A massa molar M do oxigênio é 00320 kgmol IDEIASCHAVE As velocidades das moléculas estão distribuídas em uma larga faixa de valores com a distribuição Pv da Eq 1927 A fração de moléculas cuja velocidade está em um intervalo infinitesimal dv é Pvdv No caso de um intervalo maior a fração teria de ser determinada integrando Pv ao longo do intervalo mas como o intervalo proposto no enunciado Δv 2 ms é muito pequeno em comparação com a velocidade v 600 ms no centro do intervalo isso não é necessário Cálculos Como Δv é pequeno podemos evitar a integração usando para a fração o valor aproximado O gráfico da função Pv aparece na Fig 198a A área total entre a curva e o eixo horizontal representa a fração total de moléculas igual à unidade A área da faixa amarela sombreada representa a fração que queremos calcular Para determinar o valor de frac escrevemos em que e 231 Substituindo A e B na Eq 1936 obtemos Exemplo 1906 Velocidade média velocidade média quadrática e velocidade mais provável A massa molar M do oxigênio é 00320 kgmol a Qual é a velocidade média vméd das moléculas de oxigênio a uma temperatura T 300 K IDEIACHAVE Para calcular a velocidade média devemos ponderar a velocidade v com a função de distribuição Pv da Eq 1927 e integrar a expressão resultante para todas as velocidades possíveis ou seja de 0 a Cálculo Isso nos leva à Eq 1931 segundo a qual Esse resultado está indicado na Fig 198a b Qual é a velocidade média quadrática vrms a 300 K IDEIACHAVE Para determinar vrms precisamos primeiro calcular v2méd ponderando v2 com a função de distribuição Pv da Eq 1927 e integrando a expressão para todas as velocidades possíveis Em seguida calculamos a raiz quadrada do resultado Cálculo Isso nos leva à Eq 1934 segundo a qual Esse resultado indicado na Fig 198a é maior que vméd porque as velocidades mais altas influenciam mais o resultado quando integramos os valores de v2 do que quando integramos os valores de v c Qual é a velocidade mais provável vP a 300 K IDEIACHAVE A velocidade vP corresponde ao máximo da função de distribuição Pv que obtemos fazendo dPdv 0 e explicitando v Cálculo Isso nos leva à Eq 1935 segundo a qual Esse resultado está indicado na Fig 198a 197 OS CALORES ESPECÍFICOS MOLARES DE UM GÁS IDEAL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1928 Saber que a energia interna de um gás ideal monoatômico é a soma das energias cinéticas de translação dos átomos do gás 1929 Conhecer a relação entre a energia interna Eint de um gás monoatômico o número n de mols e a temperatura T 1930 Saber a diferença entre um gás monoatômico um gás diatômico e um gás poliatômico 1931 Calcular o calor específico molar a volume constante e o calor específico molar a pressão constante de um gás monoatômico diatômico e poliatômico 1932 Calcular o calor específico molar a pressão constante Cp somando R ao calor específico molar a volume constante CV e explicar fisicamente por que Cp é maior 1933 Saber que a energia transferida a um gás na forma de calor em um processo a volume constante é convertida inteiramente em energia interna ao passo que em um processo a pressão constante parte da energia é convertida no trabalho necessário para expandir o gás 1934 Saber que para uma dada variação de temperatura a variação da energia interna de um gás ideal é a mesma para qualquer processo e pode ser calculada com mais facilidade no caso de um processo a volume constante 1935 Conhecer a relação entre o calor Q o número de mols n o calor específico molar a pressão constante Cp e a variação de temperatura ΔT 1936 Desenhar um processo a volume constante e um processo a pressão constante entre duas isotermas de um diagrama p V e em cada caso representar o trabalho realizado em termos de uma área do gráfico 1937 Calcular o trabalho realizado por um gás ideal em um processo a pressão constante 1938 Saber que o trabalho realizado é zero nos processos a volume constante IdeiasChave O calor específico molar de um gás ideal a volume constante CV é definido pela equação em que Q é a energia transferida do gás ou para o gás na forma de calor n é o número de mols ΔT é a variação de temperatura e ΔEint é a variação de energia interna do gás No caso de um gás ideal monoatômico O calor específico molar de um gás ideal a pressão constante Cp é definido pela equação e Cp está relacionado a CV pela equação Cp Cv R No caso de um gás ideal Eint nCvT gás ideal em que Eint é a energia interna do gás n é o número de mols CV é o calor específico a volume constante e T é a temperatura Se um gás ideal confinado sofre uma variação de temperatura ΔT devido a qualquer processo a variação da energia interna do gás é dada por ΔEint nCvΔT gás ideal qualquer processo Os Calores Específicos Molares de um Gás Ideal Neste módulo vamos obter a partir de considerações a respeito do movimento das moléculas uma expressão para a energia interna Eint de um gás ideal Em outras palavras vamos obter uma expressão para a energia associada aos movimentos aleatórios dos átomos ou moléculas de um gás Em seguida usaremos essa expressão para calcular os calores específicos molares de um gás ideal Energia Interna Eint Vamos inicialmente supor que o gás ideal é um gás monoatômico formado por átomos isolados e não por moléculas como o hélio o neônio e o argônio Vamos supor também que a energia interna Eint do gás é simplesmente a soma das energias cinéticas de translação dos átomos De acordo com a teoria quântica átomos isolados não possuem energia cinética de rotação A energia cinética de translação média de um átomo depende apenas da temperatura do gás e é dada pela Eq 1924 Uma amostra de n mols de um gás monoatômico contém nNA átomos A energia interna Eint da amostra é portanto De acordo com a Eq 197 k RNA a Eq 1937 pode ser escrita na forma A energia interna Eint de um gás ideal é função apenas da temperatura do gás não depende de outras variáveis A partir da Eq 1938 podemos calcular o calor específico molar de um gás ideal Na verdade vamos deduzir duas expressões uma para o caso em que o volume do gás permanece constante e outra para o caso em que a pressão permanece constante Os símbolos usados para esses dois calores específicos molares são CV e CP respectivamente Por tradição a letra C maiúscula é usada em ambos os casos embora CV e CP sejam tipos de calor específico e não de capacidade térmica Figura 199 a A temperatura de um gás ideal é aumentada de T para T ΔT em um processo a volume constante É adicionado calor mas nenhum trabalho é realizado b O processo em um diagrama pV Calor Específico Molar a Volume Constante A Fig 199a mostra n mols de um gás ideal a uma pressão p e a uma temperatura T confinados em um cilindro de volume V fixo Esse estado inicial i do gás está assinalado no diagrama pV da Fig 199b Suponha que adicionamos uma pequena quantidade de energia Q ao gás na forma de calor aumentando lentamente a temperatura do recipiente A temperatura do gás aumenta para T ΔT e a pressão aumenta para p Δp levando o gás ao estado final f Nesse tipo de experimento observamos que o calor Q está relacionado à variação de temperatura ΔT pela equação em que CV é uma constante chamada calor específico molar a volume constante Substituindo essa expressão de Q na primeira lei da termodinâmica dada pela Eq 1826 ΔEint Q W obtemos Como o volume do recipiente é constante o gás não pode se expandir portanto não pode realizar trabalho Assim W 0 e a Eq 1940 nos dá De acordo com a Eq 1938 a variação da energia interna é Substituindo esse resultado na Eq 1941 obtemos Como se pode ver na Tabela 192 essa previsão da teoria cinética para gases ideais concorda muito bem com os resultados experimentais para gases monoatômicos reais o caso que estamos considerando Os valores teóricos e experimentais de CV para gases diatômicos com moléculas de dois átomos e gases poliatômicos com moléculas de mais de dois átomos são maiores que para gases monoatômicos por motivos que serão discutidos no Módulo 198 Por enquanto vamos apenas adiantar que os valores de CV são maiores nos gases diatômicos e poliatômicos porque as moléculas ao contrário dos átomos isolados podem girar e portanto além da energia cinética de translação também possuem energia cinética de rotação Assim quando o calor Q é transferido para um gás diatômico ou poliatômico apenas parte do calor se transforma em energia cinética de translação e contribui para aumentar a temperatura No momento vamos ignorar a possibilidade de que parte do calor se transforme em oscilação das moléculas Tabela 192 Calores Específicos Molares a Volume Constante Molécula Exemplo CV Jmol K Monoatômica Ideal R 125 Real He 125 Ar 126 Diatômica Ideal R 208 Real N2 207 O2 208 Poliatômica Ideal 3R 249 Real NH4 290 CO2 297 Figura 1910 Três trajetórias representando três processos diferentes que levam um gás ideal de um estado inicial i à temperatura T a um estado final f à temperatura T ΔT A variação ΔEint da energia interna do gás é a mesma para os três processos e para quaisquer outros que resultem na mesma variação de temperatura Podemos agora generalizar a Eq 1938 para a energia interna de qualquer gás ideal substituindo 3R2 por CV para obter A Eq 1944 se aplica não só a um gás ideal monoatômico mas também a gases diatômicos e poliatômicos desde que seja usado o valor correto de CV Como na Eq 1938 a energia interna do gás depende da temperatura mas não da pressão ou da densidade De acordo com a Eq 1941 ou a Eq 1944 quando um gás ideal confinado em um recipiente sofre uma variação de temperatura ΔT a variação resultante da energia interna é dada por De acordo com a Eq 1945 A variação da energia interna Eint de um gás ideal confinado depende apenas da variação de temperatura não depende do tipo de processo responsável pela variação de temperatura Considere por exemplo as três trajetórias entre as duas isotermas no diagrama pV da Fig 1910 A trajetória 1 representa um processo a volume constante A trajetória 2 representa um processo a pressão constante que será discutido a seguir A trajetória 3 representa um processo no qual nenhum calor é trocado com o ambiente esse caso será discutido no Módulo 199 Embora sejam diferentes os valores do calor Q e do trabalho W associados a essas três trajetórias o que também acontece com pf e Vf os valores de ΔEint associados às três trajetórias são iguais e são dados pela Eq 1945 uma vez que envolvem a mesma variação de temperatura ΔT Assim independentemente da trajetória seguida entre T e T ΔT podemos sempre usar a trajetória 1 e a Eq 1945 para calcular ΔEint com mais facilidade Figura 1911 a A temperatura de um gás ideal é aumentada de T para T ΔT em um processo a pressão constante É adicionado calor e é realizado trabalho para levantar o êmbolo b O processo em um diagrama pV O trabalho pΔV é dado pela área sombreada Calor Específico Molar a Pressão Constante Vamos supor agora que a temperatura de nosso gás ideal aumenta do mesmo valor ΔT mas agora a energia necessária o calor Q é fornecida mantendo o gás a uma pressão constante Uma forma de fazer isso na prática é mostrada na Fig 1911a o diagrama pV do processo aparece na Fig 1911b A partir de experimentos como esse constatamos que o calor Q está relacionado à variação de temperatura ΔT pela equação em que Cp é uma constante chamada de calor específico molar a pressão constante O valor de Cp é sempre maior que o do calor específico molar a volume constante CV já que nesse caso a energia é usada não só para aumentar a temperatura do gás mas também para realizar trabalho levantar o êmbolo da Fig 1911a Para obter uma relação entre os calores específicos molares Cp e CV começamos com a primeira lei da termodinâmica Eq 1826 Em seguida substituímos os termos da Eq 1947 por seus valores O valor de Eint é dado pela Eq 1945 O valor de Q é dado pela Eq 1946 Para obter o valor de W observamos que como a pressão permanece constante W pΔV Eq 1916 Assim usando a equação dos gases ideais pV nRT podemos escrever Fazendo essas substituições na Eq 1947 e dividindo ambos os membros por n ΔT obtemos CV Cp R Figura 1912 Valores relativos de Q para um gás monoatômico lado esquerdo e para um gás diatômico lado direito submetidos a processos a pressão constante e a volume constante A transferência de energia para trabalho W e energia interna ΔEint está indicada esquematicamente e portanto Essa previsão da teoria cinética dos gases está de acordo com os resultados experimentais não só para gases monoatômicos mas para gases em geral desde que estejam suficientemente rarefeitos para poderem ser tratados como ideais O lado esquerdo da Fig 1912 mostra os valores relativos de Q para um gás monoatômico submetido a um aquecimento a volume constante e a uma pressão constante Observe que no segundo caso o valor de Q é maior por causa de W o trabalho realizado pelo gás durante a expansão Observe também que no aquecimento a volume constante a energia fornecida na forma de calor é usada apenas para aumentar a energia interna enquanto no aquecimento a pressão constante a energia fornecida na forma de calor é repartida entre a energia interna e o trabalho Teste 4 A figura mostra cinco trajetórias de um gás em um diagrama pV Ordene as trajetórias de acordo com a variação da energia interna do gás em ordem decrescente Exemplo 1907 Calor energia interna e trabalho para um gás monoatômico Uma bolha de 500 mols de hélio está submersa em água a uma dada profundidade quando a água e portanto o hélio sofre um aumento de temperatura ΔT de 200C a pressão constante Em consequência a bolha se expande O hélio é monoatômico e se comporta como um gás ideal a Qual é a energia recebida pelo hélio na forma de calor durante esse aumento de temperatura acompanhado por expansão IDEIACHAVE A quantidade de calor Q está relacionada à variação de temperatura ΔT pelo calor específico molar do gás Cálculos Como a pressão p é mantida constante durante o processo de aquecimento devemos usar o calor específico molar a pressão constante Cp e a Eq 1946 para calcular Q Para calcular Cp usamos a Eq 1949 segundo a qual para qualquer gás ideal Cp CV R Além disso de acordo com a Eq 1943 para qualquer gás monoatômico como o hélio neste caso Assim a Eq 1950 nos dá b Qual é a variação ΔEint da energia interna do hélio durante o aumento de temperatura IDEIACHAVE Como a bolha se expande não se trata de um processo a volume constante No entanto o hélio está confinado à bolha Consequentemente a variação ΔEint é a mesma que ocorreria em um processo a volume constante com a mesma variação de temperatura ΔT Cálculo Podemos calcular facilmente a variação ΔEint a volume constante usando a Eq 1945 c Qual é o trabalho W realizado pelo hélio ao se expandir contra a pressão da água em volta da bolha durante o aumento de temperatura IDEIASCHAVE O trabalho realizado por qualquer gás que se expande contra a pressão do ambiente é fornecido pela Eq 1911 segundo a qual devemos integrar o produto pdV Quando a pressão é constante como neste caso a equação pode ser simplificada para W pΔV Quando o gás é ideal como neste caso podemos utilizar a lei dos gases ideais Eq 195 para escrever pΔV nRΔT Cálculo O resultado é Outra solução Como já conhecemos Q e ΔEint podemos resolver o problema de outra forma A ideia é aplicar a primeira lei da termodinâmica à variação de energia do gás escrevendo As transferências de energia Vamos acompanhar as transferências de energia Dos 20775 J transferidos ao hélio como calor Q 831 J são usados para realizar o trabalho W envolvido na expansão e 12465 J são usados para aumentar a energia interna Eint que para um gás monoatômico envolve apenas a energia cinética dos átomos em movimentos de translação Esses vários resultados estão indicados no lado esquerdo da Fig 1912 198 GRAUS DE LIBERDADE E CALORES ESPECÍFICOS MOLARES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1939 Saber que existe um grau de liberdade associado a cada forma de que um gás dispõe para armazenar energia translação rotação e oscilação 1940 Saber que a cada grau de liberdade está associada uma energia de kT2 por molécula 1941 Saber que toda a energia interna de um gás monoatômico está na forma de energia de translação 1942 Saber que em baixas temperaturas toda a energia interna de um gás diatômico está na forma de energia de translação mas em altas temperaturas parte da energia interna está na forma de energia de rotação e em temperaturas ainda mais elevadas parte da energia pode estar na forma de energia de oscilação 1943 Calcular o calor específico molar de um gás ideal monoatômico e o calor específico molar de um gás ideal diatômico em um processo a volume constante e em um processo a pressão constante IdeiasChave Podemos calcular o valor teórico de CV a partir do teorema de equipartição da energia segundo o qual a cada grau de liberdade de uma molécula ou seja a cada modo independente de que a molécula dispõe para armazenar energia está associada em média uma energia kT2 por molécula RT2 por mol Se f é o número de graus de liberdade então No caso de gases monoatômicos f 3 três graus de translação no caso de gases diatômicos f 5 três graus de translação e dois graus de rotação Graus de Liberdade e Calores Específicos Molares Como mostra a Tabela 192 a previsão de que é confirmada pelos resultados experimentais no caso dos gases monoatômicos mas não no caso dos gases diatômicos e poliatômicos Vamos tentar explicar a diferença considerando a possibilidade de que a energia interna das moléculas com mais de um átomo exista em outras formas além da energia cinética de translação Tabela 193 Graus de Liberdade de Várias Moléculas Graus de Liberdade Calor Específico Molar Teórico Molécula Exemplo De Translação De Rotação Total f CV Eq 1951 Cp CV R Monoatômica He 3 0 3 R R Diatômica O2 3 2 5 R R Poliatômica CH4 3 3 6 3R 4R A Fig 1913 mostra as configurações do hélio uma molécula monoatômica com um único átomo do oxigênio uma molécula diatômica com dois átomos e do metano uma molécula poliatômica De acordo com esses modelos os três tipos de moléculas podem ter movimentos de translação movendose por exemplo para a esquerda e para a direita e para cima e para baixo e movimentos de rotação girando em torno de um eixo como um pião Além disso as moléculas diatômicas e poliatômicas podem ter movimentos oscilatórios com os átomos se aproximando e se afastando como se estivessem presos a molas Para levar em conta todas as formas pelas quais a energia pode ser armazenada em um gás James Clerk Maxwell propôs o teorema da equipartição da energia Figura 1913 Modelos de moléculas usados na teoria cinética dos gases a hélio uma molécula monoatômica típica b oxigênio uma molécula diatômica típica c metano uma molécula poliatômica típica As esferas representam átomos e os segmentos de reta representam ligações químicas Dois eixos de rotação são mostrados para a molécula de oxigênio Toda molécula tem um número f de graus de liberdade que são formas independentes pelas quais a molécula pode armazenar energia A cada grau de liberdade está associada em média uma energia de por molécula ou por mol Vamos aplicar o teorema aos movimentos de translação e rotação das moléculas da Fig 1913 Os movimentos oscilatórios serão discutidos no próximo módulo Para os movimentos de translação referimos as posições das moléculas do gás a um sistema de coordenadas xyz Em geral as moléculas possuem componentes da velocidade em relação aos três eixos Isso significa que as moléculas de gases de todos os tipos têm três graus de liberdade de translação três formas independentes de se deslocarem como um todo e em média uma energia correspondente de 3 kT por molécula Para analisar o movimento de rotação imagine que a origem do sistema de coordenadas xyz está no centro de cada molécula da Fig 1913 Em um gás cada molécula deveria poder girar com uma componente da velocidade angular em relação a cada um dos três eixos de modo que cada gás deveria 1 2 3 4 possuir ter três graus de liberdade de rotação e em média uma energia adicional de 3 kT por molécula Entretanto os experimentos mostram que isso é verdade apenas para moléculas poliatômicas De acordo com a teoria quântica a física que lida com os movimentos e energias permitidos de átomos e moléculas uma molécula de um gás monoatômico não gira e portanto não possui energia de rotação um átomo isolado não pode girar como um pião Uma molécula diatômica pode girar como um pião em torno de eixos perpendiculares à reta que liga os dois átomos esses eixos são mostrados na Fig 1913b mas não em torno da reta que liga os dois átomos Assim uma molécula diatômica tem apenas dois graus de liberdade de rotação e uma energia rotacional de 2 kT apenas por molécula Para estender nossa análise de calores específicos molares CP e CV no Módulo 197 a gases ideais diatômicos e poliatômicos é necessário substituir a Eq 1938 Eint nRT por Eint nRT em que f é o número de graus de liberdade indicado na Tabela 193 Fazendo isso obtemos a equação que se reduz como seria de se esperar à Eq 1943 no caso de gases monoatômicos f 3 Como mostra a Tabela 192 os valores obtidos usando essa equação também estão de acordo com os resultados experimentais no caso de gases diatômicos f 5 mas são menores que os valores experimentais no caso de gases poliatômicos f 6 para moléculas como CH4 Exemplo 1908 Calor temperatura e energia interna para um gás diatômico Transferimos 1000 J na forma de calor Q para um gás diatômico permitindo que o gás se expanda com a pressão mantida constante As moléculas do gás podem girar mas não oscilam Que parte dos 1000 J é convertida em energia interna do gás Dessa parte que parcela corresponde a ΔKtran energia cinética associada ao movimento de translação das moléculas e que parcela corresponde a ΔKrot energia cinética associada ao movimento de rotação IDEIASCHAVE A transferência de energia na forma de calor a um gás a pressão constante está relacionada ao aumento de temperatura pela Eq 1946 Q nCpΔT De acordo com a Fig 1912 e a Tabela 193 como o gás é diatômico e as moléculas não oscilam O aumento ΔEint da energia interna é o mesmo que ocorreria em um processo a volume constante que resultasse no mesmo aumento de temperatura ΔT Assim de acordo com a Eq 1945 ΔEint nCV ΔT De acordo com a Fig 1912 e a Tabela 193 Para os mesmos valores de n e ΔT ΔEint é maior para um gás diatômico que para um gás monoatômico porque é necessária uma energia adicional para fazer os átomos girarem Aumento da energia interna Vamos primeiro calcular a variação de temperatura ΔT devido à transferência de energia em forma de caloρ De acordo com a Eq 1946 com Cp R temos Em seguida calculamos ΔEint a partir da Eq 1945 usando o calor específico molar a volume constante e o mesmo valor de ΔT Como se trata de um gás diatômico vamos chamar essa variação de ΔEintdia De acordo com a Eq 1945 temos Assim cerca de 71 da energia transferida para o gás é convertida em energia interna O resto é convertido no trabalho necessário para aumentar o volume do gás Aumento da energia cinética Se aumentássemos a temperatura de um gás monoatômico com o mesmo valor de n do valor dado pela Eq 1952 a energia interna aumentaria de um valor menor que vamos chamar de ΔEintmon porque não haveria rotações envolvidas Para calcular esse valor menor podemos usar a Eq 1945 mas agora devemos usar o valor de CV para um gás monoatômico Assim Substituindo o valor de ΔT dado pela Eq 1952 obtemos No caso de um gás monoatômico toda essa energia está associada à energia cinética de translação dos átomos que é a única energia cinética presente O importante a notar é que no caso de um gás diatômico com os mesmos valores de n e ΔT a mesma quantidade de energia é transferida para o movimento de translação das moléculas O resto de ΔEintdia 7143 2 4286 2857 J vai para o movimento de rotação das moléculas Assim no caso do gás diatômico Efeitos Quânticos Podemos melhorar a concordância da teoria cinética dos gases com os resultados experimentais incluindo as oscilações dos átomos nos gases de moléculas diatômicas ou poliatômicas Assim por exemplo os dois átomos da molécula de O2 da Fig 1913b podem oscilar aproximandose e afastandose um do outro como se estivessem unidos por uma mola Os experimentos mostram porém que essas oscilações ocorrem apenas em temperaturas elevadas ou seja o movimento oscilatório é ligado apenas quando a energia das moléculas do gás atinge valores relativamente altos Os movimentos de rotação apresentam um comportamento semelhante só que em temperaturas mais baixas A Fig 1914 ajuda a visualizar esse comportamento dos movimentos de rotação e oscilação A razão CVR do hidrogênio H2 um gás diatômico está plotada em função da temperatura com a temperatura em uma escala logarítmica para cobrir várias ordens de grandeza Abaixo de 80 K CVR 15 Esse resultado sugere que apenas os três graus de liberdade de translação do hidrogênio contribuem para o calor específico Quando a temperatura aumenta o valor de CVR aumenta gradualmente para 25 o que sugere que dois graus de liberdade adicionais estão envolvidos A teoria quântica mostra que esses dois graus de liberdade estão associados ao movimento de rotação das moléculas do hidrogênio e que o movimento requer certa quantidade mínima de energia Em temperaturas muito baixas abaixo de 80 K as moléculas não têm energia suficiente para girar Quando a temperatura passa de 80 K primeiro algumas poucas moléculas e depois mais e mais moléculas ganham energia suficiente para girar e CVR aumenta até que todas estejam girando e CVR 25 Figura 1914 Curva de CVR em função da temperatura para o hidrogênio um gás diatômico Como existe uma energia mínima para as rotações e oscilações apenas as translações são possíveis em temperaturas muito baixas Quando a temperatura aumenta começam as rotações As oscilações começam em temperaturas ainda maiores A teoria quântica também mostra que o movimento oscilatório das moléculas requer uma quantidade mínima de energia maior que no caso das rotações Essa quantidade mínima não é atingida até que as moléculas cheguem a uma temperatura por volta de 1000 K como mostra a Fig 1914 Quando a temperatura passa de 1000 K mais e mais moléculas têm energia suficiente para oscilar e CVR aumenta até que todas estejam oscilando e CVR 35 Na Fig 1914 a curva do gráfico é interrompida em 3200 K porque a essa temperatura os átomos de uma molécula de hidrogênio oscilam tanto que a ligação entre os átomos se rompe e a molécula se dissocia dando origem a dois átomos independentes As rotações e oscilações não acontecem em baixas temperaturas porque as energias desses movimentos são quantizadas ou seja podem ter apenas certos valores Existe um valor mínimo permitido para cada tipo de movimento A menos que a agitação térmica das moléculas vizinhas forneça esse valor mínimo de energia uma molécula simplesmente não pode girar ou oscilar 199 A EXPANSÃO ADIABÁTICA DE UM GÁS IDEAL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 1944 Desenhar uma expansão ou contração adiabática em um diagrama pV e mostrar que não há troca de calor com o ambiente 1945 Saber que em uma expansão adiabática o gás realiza trabalho sobre o ambiente o que diminui a energia interna do gás e que em uma contração adiabática o ambiente realiza trabalho sobre o gás o que aumenta a energia interna do gás 1946 No caso de uma expansão ou contração adiabática conhecer a relação entre a pressão e o volume iniciais e a pressão e o volume finais 1947 No caso de uma expansão ou contração adiabática conhecer a relação entre a temperatura e o volume iniciais e a pressão e o volume finais 1948 Calcular o trabalho realizado em um processo adiabático integrando a pressão em relação ao volume 1949 Saber que a expansão livre de um gás no vácuo é adiabática mas que como o trabalho realizado é nulo de acordo com a primeira lei da termodinâmica a energia interna e a temperatura do gás não variam IdeiasChave Se um gás ideal sofre uma variação de volume lenta e adiabática uma variação na qual Q 0 pVγ constante processo adiabático em que γ CpCV é a razão entre o calor específico molar a pressão constante e o calor específico molar a volume constante No caso de uma expansão livre pV constante A Expansão Adiabática de um Gás Ideal Vimos no Módulo 172 que as ondas sonoras se propagam no ar e em outros gases como uma série de compressões e expansões essas variações do meio de transmissão ocorrem tão depressa que não há tempo para que a energia seja transferida de um ponto do meio a outro na forma de calor Como vimos no Módulo 185 um processo para o qual Q 0 é um processo adiabático Podemos assegurar que Q 0 executando o processo rapidamente como no caso das ondas sonoras ou executandoo rapidamente ou não em um recipiente bem isolado termicamente A Fig 1915a mostra nosso cilindro isolado de sempre agora contendo um gás ideal e repousando em uma base isolante Removendo parte da massa que está sobre o êmbolo podemos permitir que o gás se expanda adiabaticamente Quando o volume aumenta tanto a pressão como a temperatura diminuem Provaremos a seguir que a relação entre a pressão e a temperatura durante um processo adiabático é dada por em que γ CpCV a razão entre os calores específicos molares do gás Em um diagrama pV como o da Fig 1915b o processo ocorre ao longo de uma curva chamada adiabática cuja equação é p constanteVγ Como o gás passa de um estado inicial i para um estado final f podemos escrever a Eq 1953 como Para escrever a equação de um processo adiabático em termos de T e V usamos a equação dos gases ideais pV nRT para eliminar p da Eq 1953 o que nos dá Como n e R são constantes podemos escrever essa equação na forma em que a constante é diferente da que aparece na Eq 1953 Quando o gás passa de um estado inicial i para um estado final f podemos escrever a Eq 1955 na forma O estudo dos processos adiabáticos permite explicar a formação de uma névoa quando é aberta uma garrafa de champanha ou outra bebida com gás Na parte superior do recipiente de qualquer bebida gasosa existe uma mistura de dióxido de carbono e vapor dágua Como a pressão do gás é maior que a pressão atmosférica o gás se expande para fora do recipiente quando este é aberto Assim o volume do gás aumenta mas isso significa que o gás deve realizar trabalho contra a atmosfera Como a expansão é rápida ela é adiabática e a única fonte de energia para o trabalho é a energia interna do gás Como a energia interna diminui a temperatura do gás também decresce o que faz o vapor dágua presente no gás se condensar em gotículas Figura 1915 a O volume de um gas ideal e aumentado reduzindo o peso aplicado ao embolo O processo e adiabatico Q 0 b O processo se desenvolve de i para f ao longo de uma adiabatica no diagrama pV Demonstração da Eq 1953 Suponha que você remova algumas poucas esferas do êmbolo da Fig 1915a permitindo que o gás ideal empurre ligeiramente para cima o êmbolo e as esferas restantes Com isso o volume do gás aumenta de um pequeno valor dV Como a variação de volume é pequena podemos supor que a pressão p do gás sobre o êmbolo permanece constante durante a variação Essa suposição permite dizer que o trabalho dW realizado pelo gás durante o aumento de volume é igual a pdV De acordo com a Eq 1827 a primeira lei da termodinâmica pode ser escrita na forma Como o gás está termicamente isolado e portanto a expansão é adiabática podemos fazer Q 0 De acordo com a Eq 1945 podemos também substituir dEint por nCVdT Com essas substituições e após algumas manipulações algébricas obtemos De acordo com a lei dos gases ideais pV nRT temos Substituindo R por CP CV na Eq 1959 obtemos Igualando as Eqs 1958 e 1960 e reagrupando os termos obtemos Substituindo a razão entre os calores específicos molares por γ e integrando veja a integral do Apêndice E obtemos lnp γlnV constante Escrevendo o lado esquerdo como ln pVγ e tomando o antilogaritmo de ambos os membros obtemos Expansões Livres Como vimos no Módulo 185 uma expansão livre de um gás é um processo adiabático que não envolve trabalho realizado pelo gás ou sobre o gás nem variação da energia interna do gás Uma expansão livre é portanto diferente do tipo de processo adiabático descrito pelas Eqs 1953 a 1961 em que trabalho é realizado e a energia interna varia Essas equações não se aplicam a uma expansão livre embora a expansão seja adiabática Lembrese também de que em uma expansão livre o gás está em equilíbrio apenas nos pontos inicial e final assim podemos plotar esses pontos em um diagrama pV mas não podemos plotar a trajetória da expansão Além disso como ΔEint 0 a temperatura do estado final é a mesma do estado inicial Assim os pontos inicial e final em um diagrama pV devem estar na mesma isoterma e em vez da Eq 1956 temos Se supusermos também que o gás é ideal de modo que pV nRT como não há variação de temperatura o produto pV não varia Assim em vez da Eq 1953 uma expansão livre envolve a relação Exemplo 1909 Trabalho realizado por um gás em uma expansão adiabática A pressão e o volume iniciais de um gás diatômico ideal são pi 200 105 Pa e Vi 400 1026 m3 Qual é o trabalho W realizado pelo gás e qual é a variação ΔEint da energia interna se o gás sofre uma expansão adiabática até atingir o volume Vf 800 1026 m3 Suponha que as moléculas giram mas não oscilam durante o processo IDEIACHAVE 1 Em uma expansão adiabática não há troca de calor entre o gás e o ambiente a energia para o trabalho vem exclusivamente da energia interna 2 A pressão e o volume finais estão relacionados à pressão e ao volume iniciais pela Eq 1954 piVγ i pfVγ f 3 O trabalho realizado por um gás em qualquer processo pode ser calculado integrando a pressão em relação ao volume neste caso o trabalho que o gás realiza ao deslocar as paredes do recipiente para fora Cálculos Queremos calcular o trabalho usando a integral mas para isso precisamos de uma expressão para a pressão em função do volume que será integrada em relação ao volume Assim vamos explicitar pf na Eq 1954 e substituir os valores fixos pf e Vf pelos valores variáveis p e V O resultado é o seguinte Na Eq 1965 os valores iniciais são constantes mas a pressão p é função do volume variável V Substituindo essa expressão na Eq 1964 e calculando a integral temos 1 2 3 Resta apenas calcular o valor de γ a razão dos calores específicos de um gás diatômico cujas moléculas giram mas não oscilam De acordo com a Tabela 193 temos Substituindo as constantes da Fig 1966 por valores numéricos obtemos De acordo com a primeira lei da termodinâmica Eq 1826 ΔEint Q W Como Q 0 nos processos adiabáticos Como a variação da energia interna é negativa tanto a energia interna como a temperatura do gás são menores depois da expansão Exemplo 1910 Expansão adiabática e expansão livre Inicialmente 1 mol de oxigênio considerado um gás ideal está a uma temperatura de 310 K com um volume de 12 L Permitimos que o gás se expanda para um volume final de 19 L a Qual será a temperatura final se o gás se expandir adiabaticamente O oxigênio O2 é um gás diatômico e neste caso as moléculas giram mas não oscilam IDEIASCHAVE Ao se expandir contra a pressão do ambiente um gás realiza trabalho Quando o processo é adiabático não há troca de calor com o ambiente a energia para o trabalho vem exclusivamente da energia interna do gás Como a energia interna diminui a temperatura T também diminui Cálculos Podemos relacionar as temperaturas e os volumes iniciais e finais usando a Eq 1956 Como as moléculas são diatômicas e giram mas não oscilam podemos usar os calores específicos molares da Tabela 193 Assim Explicitando Tf na Eq 1968 e substituindo os valores conhecidos obtemos b Quais serão a temperatura final e a pressão final se o gás se expandir livremente para o novo volume a partir de uma pressão de 20 Pa IDEIACHAVE A temperatura não varia em uma expansão livre porque não há nada para mudar a energia cinética das moléculas Cálculo Como a temperatura não varia Podemos calcular a nova pressão usando a Eq 1963 que nos dá Táticas para a Solução de Problemas Um Resumo Gráfico de Quatro Processos em Gases Neste capítulo discutimos quatro processos especiais aos quais um gás ideal pode ser submetido Um exemplo de cada um desses processos é mostrado na Fig 1916 e algumas características associadas aparecem na Tabela 194 incluindo dois nomes de processos isobárico e isocórico que não são usados neste livro mas que o leitor talvez encontre em outros textos Teste 5 Ordene em ordem decrescente as trajetórias 1 2 e 3 da Fig 1916 de acordo com a quantidade de energia transferida para o gás na forma de calor Figura 1916 Quatro processos especiais representados em um diagrama pV para o caso de um gás ideal Tabela 194 Quatro Processos Especiais Alguns Resultados Especiais Trajetória na Fig 1916 Grandeza Constante Nome do Processo ΔEint Q W e ΔEint nCv ΔT para todas as trajetórias 1 P Isobárico Q nCpΔT W pΔV 2 T Isotérmico Q W nRT lnVfVi ΔEint 0 3 pVγ pVγ121 Adiabático Q 0 W ΔEint 4 V Isocórico Q ΔEint nCVΔT W 0 Revisão e Resumo Teoria Cinética dos Gases A teoria cinética dos gases relaciona as propriedades macroscópicas dos gases como por exemplo pressão e temperatura às propriedades microscópicas das moléculas do gás como por exemplo velocidade e energia cinética Número de Avogadro Um mol de uma substância contém NA número de Avogadro unidades elementares átomos ou moléculas em geral em que NA é uma constante física cujo valor experimental é A massa molar M de uma substância é a massa de um mol da substância e está relacionada à massa m de uma molécula da substância pela equação O número de mols n em uma amostra de massa Ma que contém N moléculas é dado por Gás Ideal Um gás ideal é um gás para o qual a pressão p o volume V e a temperatura T estão relacionados pela equação em que n é o número de mols do gás e R é uma constante 831 Jmol K chamada constante dos gases ideais A lei dos gases ideais também pode ser escrita na forma em que k é a constante de Boltzmann dada por Trabalho em uma Variação de Volume Isotérmica O trabalho realizado por um gás ideal durante uma variação isotérmica a uma temperatura constante de um volume Vi para um volume Vf é dado por Pressão Temperatura e Velocidade Molecular A pressão exercida por n mols de um gás ideal em termos da velocidade das moléculas do gás é dada por em que é a velocidade média quadrática das moléculas do gás De acordo com a Eq 195 Temperatura e Energia Cinética A energia cinética de translação média Kméd por molécula em um gás ideal é dada por Livre Caminho Médio O livre caminho médio λ de uma molécula em um gás é a distância média percorrida pela molécula entre duas colisões sucessivas e é dado por em que NV é o número de moléculas por unidade de volume e d é o diâmetro da molécula Distribuição de Velocidades de Maxwell A distribuição de velocidades de Maxwell Pv é uma função tal que Pv dv é a fração de moléculas com velocidades em um intervalo dv no entorno da velocidade v Três medidas da distribuição de velocidades das moléculas de um gás são e a velocidade média quadrática definida pela Eq 1922 Calores Específicos Molares O calor específico molar CV de um gás a volume constante é definido como em que Q é o calor cedido ou absorvido por uma amostra de n mols de um gás ΔT é a variação de temperatura resultante e ΔEint é a variação de energia interna Para um gás ideal monoatômico O calor específico molar CP de um gás a pressão constante é definido como em que Q n e ΔT têm as mesmas definições que para CV CP também é dado por Para n mols de um gás ideal Se n mols de um gás ideal confinado sofrem uma variação de temperatura ΔT devido a qualquer processo a variação da energia interna do gás é dada por Graus de Liberdade e CV Podemos determinar CV usando o teorema de equipartição da energia segundo o qual a cada grau de liberdade de uma molécula ou seja cada forma independente de armazenar energia está associada em média uma energia de KT por molécula RT por mol Se f é o número de graus de liberdade Eint nRT e Para gases monoatômicos f 3 três graus de liberdade de translação para gases diatômicos f 5 três graus de translação e dois de rotação Processo Adiabático Quando um gás ideal sofre uma variação de volume adiabática uma variação de volume na qual Q 0 a pressão e o volume estão relacionados pela equação em que γ CPCV é a razão entre os calores específicos molares do gás A exceção é uma expansão livre na qual pV constante Perguntas 1 A tabela mostra para quatro situações a energia Q absorvida ou cedida por um gás ideal na forma de calor e o trabalho Wp realizado pelo gás ou o trabalho Ws realizado sobre o gás todos em joules Ordene as quatro situações em termos da variação de temperatura do gás em ordem decrescente 2 No diagrama pV da Fig 1917 o gás realiza J de trabalho quando percorre a isoterma ab e 4 J de trabalho quando percorre a adiabática bc Qual é a variação da energia interna do gás quando percorre a trajetória retilínea ac Figura 1917 Pergunta 2 3 Para que haja um aumento de temperatura ΔT1 certa quantidade de um gás ideal requer 30 J quando o gás é aquecido a volume constante e 50 J quando o gás é aquecido a pressão constante Qual é o trabalho realizado pelo gás na segunda situação 4 O ponto na Fig 1918a representa o estado inicial de um gás e a reta vertical que passa pelo ponto divide o diagrama pV nas regiões 1 e 2 Determine se é positivo negativo ou nulo o trabalho W realizado pelo gás nos seguintes processos a o estado final do gás está na reta vertical acima do estado inicial b o estado final do gás está na reta vertical abaixo do estado inicial c o estado final do gás está em um ponto qualquer da região 1 d o estado final do gás está em um ponto qualquer da região 2 Figura 1918 Perguntas 4 6 e 8 5 Certa quantidade de calor deve ser transferida para 1 mol de um gás ideal monoatômico a a pressão constante e b a volume constante e para 1 mol de um gás diatômico c a pressão constante e d a volume constante A Fig 1919 mostra quatro trajetórias de um ponto inicial para um ponto final em um diagrama pV Que trajetória corresponde a que processo e As moléculas do gás diatômico estão girando Figura 1919 Pergunta 5 6 O ponto da Fig 1918b representa o estado inicial de um gás e a isoterma que passa pelo ponto divide o diagrama pV em duas regiões 1 e 2 Para os processos a seguir determine se a variação ΔEint da energia interna do gás é positiva negativa ou nula a o estado final do gás está na mesma isoterma acima do estado inicial b o estado final do gás está na mesma isoterma abaixo do estado inicial c o estado final do gás está em um ponto qualquer da região 1 d o estado final do gás está em um ponto qualquer da região 2 7 a Ordene em ordem decrescente as quatro trajetórias da Fig 1916 de acordo com o trabalho realizado pelo gás b Ordene da mais positiva para a mais negativa as trajetórias 1 2 e 3 de acordo com a variação da energia interna do gás 8 O ponto da Fig 1918c representa o estado inicial de um gás e a adiabática que passa pelo ponto divide o diagrama pV nas regiões 1 e 2 Para os processos a seguir determine se o calor Q correspondente é positivo negativo ou nulo a o estado final do gás está na mesma adiabática acima do estado inicial b o estado final do gás está na mesma adiabática abaixo do estado inicial c o estado final do gás está em um ponto qualquer da região 1 d o estado final do gás está em um ponto qualquer da região 2 9 Um gás ideal diatômico cujas moléculas estão girando mas não oscilam perde energia Q na forma de calor A diminuição de energia interna do gás é maior se a perda acontece em um processo a volume constante ou em um processo a pressão constante 10 A temperatura de um gás ideal aumenta diminui ou permanece a mesma durante a uma expansão isotérmica b uma expansão a pressão constante c uma expansão adiabática e d um aumento de pressão a volume constante Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 191 O Número de Avogadro 1 Determine a massa em quilogramas de 750 1024 átomos de arsênio que tem massa molar de 749 gmol 2 O ouro tem massa molar de 197 gmol a Quantos mols de ouro existem em uma amostra de 250 g de ouro puro b Quantos átomos existem na amostra Módulo 192 Gases Ideais 3 Uma amostra de oxigênio com um volume de 1000 cm3 a 400C e 101 105 Pa se expande até um volume de 1500 cm3 a uma pressão de 106 105 Pa Determine a o número de mols de oxigênio presentes na amostra e b a temperatura final da amostra 4 Uma amostra de um gás ideal a 100C e 100 kPa ocupa um volume de 250 m3 a Quantos mols do gás a amostra contém b Se a pressão for aumentada para 300 kPa e a temperatura for aumentada para 300C que volume o gás passará a ocupar Suponha que não há vazamentos 5 O melhor vácuo produzido em laboratório tem uma pressão de aproximadamente 100 1018 atm ou 101 1013 Pa Quantas moléculas do gás existem por centímetro cúbico nesse vácuo a 293 K 6 Garrafa de água em um carro quente Nos dias de calor a temperatura em um carro fechado estacionado no sol pode ser suficiente para provocar queimaduras Suponha que uma garrafa de água removida de uma geladeira à temperatura de 500C seja aberta fechada novamente e deixada em um carro fechado com uma temperatura interna de 750C Desprezando a dilatação térmica da água e da garrafa determine a pressão ao ar contido no interior da garrafa A pressão pode ser suficiente para arrancar uma tampa rosqueada 7 Suponha que 180 mol de um gás ideal seja comprimido isotermicamente a 30C de um volume inicial de 300 m3 para um volume final de 150 m3 a Qual é a quantidade de calor em joules transferida durante a compressão b O calor é absorvido ou cedido pelo gás 8 Calcule a o número de mols e b o número de moléculas em 100 cm3 de um gás ideal a uma pressão de 100 Pa e a uma temperatura de 220 K 9 Um pneu de automóvel tem um volume de 164 102 m3 e contém ar à pressão manométrica pressão acima da pressão atmosférica de 165 kPa quando a temperatura é 000C Qual é a pressão manométrica do ar no pneu quando a temperatura aumenta para 270C e o volume aumenta para 167 102 m3 Suponha que a pressão atmosférica é 101 105 Pa 10 Um recipiente contém 2 mols de um gás ideal que tem massa molar M1 e 05 mol de um segundo gás ideal que tem massa molar M2 3M1 Que fração da pressão total sobre a parede do recipiente se deve ao segundo gás A explicação da teoria cinética dos gases para a pressão leva à lei das pressões parciais para uma mistura de gases que não reagem quimicamente descoberta experimentalmente A pressão total exercida por uma mistura de gases é igual à soma das pressões que os gases exerceriam se cada um ocupasse sozinho o volume do recipiente 11 O ar que inicialmente ocupa 0140 m3 à pressão manométrica de 1030 kPa se expande isotermicamente até atingir a pressão de 1013 kPa e em seguida é resfriado a pressão constante até voltar ao volume inicial Calcule o trabalho realizado pelo ar Pressão manométrica é a diferença entre a pressão real e a pressão atmosférica 12 Salvamento no fundo do mar Quando o submarino americano Squalus enguiçou a 80 m de profundidade uma câmara cilíndrica foi usada para resgatar a tripulação A câmara tinha um raio de 100 m e uma altura de 400 m era aberta no fundo e levava dois operadores Foi baixada ao longo de um caboguia que um mergulhador havia fixado ao submarino Depois que a câmara completou a descida e foi presa a uma escotilha do submarino a tripulação pôde passar para a câmara Durante a descida os operadores injetaram ar na câmara a partir de tanques para que a câmara não fosse inundada Suponha que a pressão do ar no interior da câmara era igual à pressão da água à profundidade h dada por p0 rgh em que p0 1000 atm na superfície e ρ 1024 kgm3 é a massa específica da água do mar Suponha uma temperatura constante de 200C na superfície e uma temperatura da água de 3080C na profundidade em que se encontrava o submarino a Qual era o volume de ar na câmara na superfície b Se não tivesse sido injetado ar na câmara qual seria o volume do ar na câmara à profundidade h 800 m c Quantos mols adicionais de ar foram necessários para manter o volume inicial de ar na câmara 13 Uma amostra de um gás ideal é submetida ao processo cíclico abca mostrado na Fig 1920 A escala do eixo vertical é definida por pb 75 kPa e pac 25 kPa No ponto a T 200 K a Quantos mols do gás estão presentes na amostra Qual é b a temperatura do gás no ponto b c qual é a temperatura do gás no ponto c e d qual a energia adicionada ao gás na forma de calor ao ser completado o ciclo Figura 1920 Problema 13 14 No intervalo de temperaturas de 310 K a 330 K a pressão p de certo gás não ideal está relacionada ao volume V e à temperatura T pela equação Qual é o trabalho realizado pelo gás se a temperatura aumenta de 315 K para 325 K enquanto a pressão permanece constante 15 Suponha que 0825 mol de um gás ideal sofre uma expansão isotérmica quando uma energia Q é acrescentada ao gás na forma de calor Se a Fig 1921 mostra o volume final Vf em função de Q qual é a temperatura do gás A escala do eixo vertical é definida por Vfs 030 m3 e a escala do eixo horizontal é definida por Qs 1200 J Figura 1921 Problema 15 16 Uma bolha de ar com 20 cm3 de volume está no fundo de um lago com 40 m de profundidade em que a temperatura é 40C A bolha sobe até a superfície que está à temperatura de 20C Considere a temperatura da bolha como a mesma que a da água em volta Qual é o volume da bolha no momento em que ela chega à superfície 17 O recipiente A da Fig 1922 que contém um gás ideal à pressão de 50 105 Pa e à temperatura de 300 K está ligado por um tubo fino e uma válvula fechada a um recipiente B cujo volume é quatro vezes maior que o de A O recipiente B contém o mesmo gás ideal à pressão de 10 105 Pa e à temperatura de 400 K A válvula é aberta para que as pressões se igualem mas a temperatura de cada recipiente é mantida Qual é a nova pressão nos dois recipientes Figura 1922 Problema 17 Módulo 193 Pressão Temperatura e Velocidade Média Quadrática 18 A temperatura e a pressão da atmosfera solar são 200 106 K e 00300 Pa Calcule a velocidade média quadrática dos elétrons livres de massa igual a 911 1031 kg na superfície do Sol supondo que eles se comportam como um gás ideal 19 a Calcule a velocidade média quadrática de uma molécula de nitrogênio a 200C A massa molar da molécula de nitrogênio N2 é dada na Tabela 191 A que temperatura a velocidade média quadrática é b metade desse valor e c o dobro desse valor 20 Calcule a velocidade média quadrática de átomos de hélio a 1000 K A massa molar do átomo de hélio é dada no Apêndice F 21 A menor temperatura possível no espaço sideral é 27 K Qual é a velocidade média quadrática de moléculas de hidrogênio a essa temperatura A massa molar da molécula de hidrogênio H2 é dada na Tabela 191 22 Determine a velocidade média quadrática de átomos de argônio a 313 K A massa molar do argônio é dada no Apêndice F 23 Um feixe de moléculas de hidrogênio H2 está direcionado para uma parede e faz um ângulo de 558 com a normal à parede As moléculas do feixe têm uma velocidade de 10 kms e uma massa de 33 10 24 g O feixe atinge a parede em uma área de 20 cm2 a uma taxa de 1023 moléculas por segundo Qual é a pressão do feixe sobre a parede 24 A 273 K e 100 102 atm a massa específica de um gás é 124 1025 gcm3 a Determine vrms para as moléculas do gás b Determine a massa molar do gás e c identifique o gás Sugestão O gás aparece na Tabela 191 Módulo 194 Energia Cinética de Translação 25 Determine o valor médio da energia cinética de translação das moléculas de um gás ideal a a 000C e b a 100C Qual é a energia cinética de translação média por mol de um gás ideal c a 000C e d a 100C 26 Qual é a energia cinética de translação média das moléculas de nitrogênio a 1600 K 27 A água a céu aberto a 320C evapora por causa do escape de algumas moléculas da superfície O calor de vaporização 539 calg é aproximadamente igual a en em que e é a energia média das moléculas que escapam e n é o número de moléculas por grama a Determine e b Qual é a razão entre e e a energia cinética média das moléculas de H2O supondo que a segunda está relacionada à temperatura da mesma forma que nos gases Módulo 195 Livre Caminho Médio 28 Para que frequência o comprimento de onda do som no ar é igual ao livre caminho médio das moléculas de oxigênio a uma pressão de 10 atm e uma temperatura de 000C Tome o diâmetro de uma molécula de oxigênio como 30 1028 cm 29 A concentração de moléculas na atmosfera a uma altitude de 2500 km está em torno de 1 moléculacm3 a Supondo que o diâmetro das moléculas é 20 1028 cm determine o livre caminho médio previsto pela Eq 1925 b Explique se o valor calculado tem significado físico 30 O livre caminho médio das moléculas de nitrogênio a 00C e 10 atm é 080 1025 cm Nessas condições de temperatura e pressão existem 27 1019 moléculascm3 Qual é o diâmetro das moléculas 31 Em certo acelerador de partículas prótons se movem em uma trajetória circular de 230 m de diâmetro em uma câmara evacuada cujo gás residual está a uma temperatura de 295 K e a uma pressão de 100 1026 torr a Calcule o número de moléculas do gás residual por centímetro cúbico b Qual é o livre caminho médio das moléculas do gás residual se o diâmetro das moléculas é 200 1028 cm 32 A uma temperatura de 20C e uma pressão de 750 torr o livre caminho médio do argônio Ar é λAr 99 1026 cm e o livre caminho médio da molécula de nitrogênio N2 é λN2 275 1026 cm a Determine a razão entre o diâmetro de um átomo de Ar e o diâmetro de uma molécula de N2 Qual é o livre caminho médio do argônio b a 20C e 150 torr e c a 240C e 750 torr Módulo 196 A Distribuição de Velocidades das Moléculas 33 As velocidades de 10 moléculas são 20 30 40 11 kms Determine a a velocidade média e b a velocidade média quadrática das moléculas 34 As velocidades de 22 partículas são mostradas a seguir Ni é o número de partículas que possuem velocidade vi Ni 2 4 6 8 2 vi cms 10 20 30 40 50 Determine a vméd b vrms e c vP 35 Dez partículas estão se movendo com as seguintes velocidades quatro a 200 ms duas a 500 ms e quatro a 600 ms Calcule a a velocidade média e b a velocidade média quadrática das partículas c vrms é maior que vméd 36 A velocidade mais provável das moléculas de um gás quando está a uma temperatura T2 é igual à velocidade média quadrática das moléculas do gás quando está a uma temperatura T1 Calcule a razão T2T1 37 A Fig 1923 mostra a distribuição de velocidades hipotética das N partículas de um gás note que Pv 0 para qualquer velocidade v 2v0 Qual é o valor de a av0 b vmédv0 e c vrmsv0 d Qual é a fração de partículas com uma velocidade entre 15v0 e 20v0 Figura 1923 Problema 37 38 A Fig 1924 mostra a distribuição de probabilidade da velocidade das moléculas de uma amostra de nitrogênio A escala do eixo horizontal é definida por vs 1200 ms Determine a a temperatura do gás e b a velocidade média quadrática das moléculas Figura 1924 Problema 38 39 A que temperatura a velocidade média quadrática a do H2 hidrogênio molecular e b do O2 oxigênio molecular é igual à velocidade de escape da Terra Tabela 132 A que temperatura a velocidade média quadrática c do H2 e d do O2 é igual à velocidade de escape da Lua onde a aceleração da gravidade na superfície tem um módulo de 016g Considerando as respostas dos itens a e b deve existir muito e hidrogênio e f oxigênio na atmosfera superior da Terra onde a temperatura é cerca de 1000 K 40 Dois recipientes estão à mesma temperatura O primeiro contém gás à pressão p1 de massa molecular m1 e velocidade média quadrática vrms1 O segundo contém gás à pressão 20p1 de massa molecular m2 e velocidade média vméd2 20vrms1 Determine a razão m1m2 41 Uma molécula de hidrogênio cujo diâmetro é 10 1028 cm movendose à velocidade média quadrática escapa de um forno a 4000 K para uma câmara que contém átomos muito frios de argônio cujo diâmetro é 30 1028 cm em uma concentração de 40 1019 átomoscm3 a Qual é a velocidade da molécula de hidrogênio b Qual é a distância mínima entre os centros para que a molécula de hidrogênio colida com um átomo de argônio supondo que ambos são esféricos c Qual é o número inicial de colisões por segundo experimentado pela molécula de hidrogênio Sugestão Suponha que os átomos de argônio estão parados Nesse caso o livre caminho médio da molécula de hidrogênio é dado pela Eq 1926 e não pela Eq 1925 Módulo 197 Os Calores Específicos Molares de um Gás Ideal 42 Qual é a energia interna de 10 mol de um gás ideal monoatômico a 273 K 43 A temperatura de 300 mols de um gás diatômico ideal é aumentada de 400C sem mudar a pressão do gás As moléculas do gás giram mas não oscilam a Qual é a energia transferida para o gás na forma de calor b Qual é a variação da energia interna do gás c Qual é o trabalho realizado pelo gás d Qual é o aumento da energia cinética de rotação do gás 44 Um mol de um gás ideal diatômico vai de a a c ao longo da trajetória diagonal na Fig 1925 A escala do eixo vertical é definida por pab 50 kPa e pc 20 kPa a escala do eixo horizontal é definida por Vbc 40 m3 e Va 20 m3 Durante a transição a qual é a variação da energia interna do gás e b qual é a energia adicionada ao gás na forma de calor c Que calor é necessário para que o gás vá de a a c ao longo da trajetória indireta abc Figura 1925 Problema 44 45 A massa da molécula de um gás pode ser calculada a partir do calor específico a volume constante cV Note que não se trata de CV Tome cV 0075 calg C para o argônio e calcule a a massa de um átomo de argônio e b a massa molar do argônio 46 A temperatura de 200 mols de um gás ideal monoatômico é aumentada de 150 K a pressão constante Determine a o trabalho W realizado pelo gás b a quantidade Q de calor transferido para o gás c a variação ΔEint da energia interna do gás e d a variação ΔK da energia cinética média por átomo 47 A temperatura de 200 mols de um gás ideal monoatômico é aumentada de 150 K a volume constante Determine a o trabalho W realizado pelo gás b a quantidade Q de calor transferido para o gás c a variação ΔEint da energia interna do gás e d a variação ΔK da energia cinética média por átomo 48 Quando 209 J foram adicionados na forma de calor a certo gás ideal o volume do gás variou de 500 cm3 para 100 cm3 enquanto a pressão permaneceu em 100 atm a De quanto variou a energia interna do gás Se a quantidade de gás presente era 200 103 mol determine b CP e c CV 49 Um recipiente contém uma mistura de três gases que não reagem entre si 240 mols do gás 1 com CV1 120 Jmol K 150 mol do gás 2 com CV2 128 Jmol K e 320 mols do gás 3 com CV3 200 Jmol K Qual é o CV da mistura Módulo 198 Graus de Liberdade e Calores Específicos Molares 50 Fornecemos 70 J de calor a um gás diatômico que se expande a pressão constante As moléculas do gás giram mas não oscilam De quanto a energia interna do gás aumenta 51 Quando 10 mol de gás oxigênio O2 é aquecido a pressão constante a partir de 0C que quantidade de calor deve ser adicionada ao gás para que o volume dobre de valor As moléculas giram mas não oscilam 52 Suponha que 120 g de gás oxigênio O2 são aquecidos de 250C a 125C à pressão atmosférica a Quantos mols de oxigênio estão presentes A massa molar do oxigênio está na Tabela 191 b Qual é a quantidade de calor transferida para o oxigênio As moléculas giram mas não oscilam c Que fração do calor é usada para aumentar a energia interna do oxigênio 53 Suponha que 400 mols de um gás ideal diatômico com rotação molecular mas sem oscilação sofrem um aumento de temperatura de 600 K em condições de pressão constante Determine a a energia Q transferida na forma de calor b a variação ΔEint da energia interna do gás c o trabalho W realizado pelo gás e d a variação ΔK da energia cinética de translação do gás Módulo 199 A Expansão Adiabática de um Gás Ideal 54 Sabemos que pVγ constante nos processos adiabáticos Calcule a constante para um processo adiabático envolvendo exatamente 20 mols de um gás ideal que passa por um estado no qual a pressão é exatamente p 10 atm e a temperatura é exatamente T 300 K Suponha que o gás é diatômico e que as moléculas giram mas não oscilam 55 Um gás ocupa um volume de 43 L a uma pressão de 12 atm e uma temperatura de 310 K O gás é comprimido adiabaticamente para um volume de 076 L Determine a a pressão final e b a temperatura final supondo que o gás é ideal e que γ 14 56 Suponha que 100 L de um gás com γ 130 inicialmente a 273 K e 100 atm é comprimido adiabaticamente de forma brusca para metade do volume inicial Determine a a pressão final e b a temperatura final c Se em seguida o gás é resfriado para 273 K a pressão constante qual é o volume final 57 O volume de uma amostra de gás ideal é reduzido adiabaticamente de 200 L para 743 L A pressão e a temperatura iniciais são 100 atm e 300 K A pressão final é 400 atm a O gás é monoatômico diatômico ou poliatômico b Qual é a temperatura final c Quantos mols do gás existem na amostra 58 Abrindo uma garrafa de champanha Em uma garrafa de champanha o bolsão de gás dióxido de carbono principalmente que fica entre o líquido e a rolha está a uma pressão pi 500 atm Quando a rolha é removida da garrafa o gás sofre uma expansão adiabática até que a pressão se torne igual à pressão ambiente 100 atm Suponha que a razão entre os calores específicos molares é γ 43 Se a temperatura inicial do gás é Ti 500C qual é a temperatura do gás no fim da expansão adiabática 59 A Fig 1926 mostra duas trajetórias que podem ser seguidas por um gás de um ponto inicial i até um ponto final f A trajetória 1 consiste em uma expansão isotérmica o módulo do trabalho é 50 J uma expansão adiabática o módulo de trabalho é 40 J uma compressão isotérmica o módulo do trabalho é 30 J e uma compressão adiabática o módulo do trabalho é 25 J Qual é a variação da energia interna do gás quando vai do ponto i ao ponto f seguindo a trajetória 2 Figura 1926 Problema 59 60 Vento adiabático Normalmente o vento nas Montanhas Rochosas é de oeste para leste Ao subir a encosta ocidental das montanhas o ar esfria e perde boa parte da umidade Ao descer a encosta oriental o aumento da pressão com a diminuição da altitude faz a temperatura do ar aumentar Esse fenômeno conhecido como vento chinook pode aumentar rapidamente a temperatura do ar na base das montanhas Suponha que a pressão p do ar varia com a altitude y de acordo com a equação p p0e2ay em que p0 100 atm e a 116 1024 m1 Suponha também que a razão entre os calores específicos molares é γ 43 Certa massa de ar a uma temperatura inicial de 2500C desce adiabaticamente de y1 4267 m para y 1567 m Qual é a temperatura do ar após a descida 61 Um gás pode ser expandido de um estado inicial i para um estado final f ao longo da trajetória 1 ou da trajetória 2 de um diagrama pV A trajetória 1 é composta de três etapas uma expansão isotérmica o módulo do trabalho é 40 J uma expansão adiabática o módulo do trabalho é 20 J e outra expansão isotérmica o módulo do trabalho é 30 J A trajetória 2 é composta de duas etapas uma redução da pressão a volume constante e uma expansão a pressão constante Qual é a variação da energia interna do gás ao longo da trajetória 2 62 Um gás ideal diatômico com rotação mas sem oscilações sofre uma compressão adiabática A pressão e o volume iniciais são 120 atm e 0200 m3 A pressão final é 240 atm Qual é o trabalho realizado pelo gás 63 A Fig 1927 mostra o ciclo a que é submetido 100 mol de um gás ideal monoatômico As temperaturas são T1 300 K T2 600 K e T3 455 K Determine a o calor trocado Q b a variação de energia interna ΔEint e c o trabalho realizado W para a trajetória 1 2 Determine d Q e ΔEint e f W para a trajetória 2 3 Determine g Q h ΔEint e i W para a trajetória 3 1 Determine j Q k ΔEint e l W para o ciclo completo A pressão inicial no ponto 1 é 100 atm 1013 105 Pa Determine m o volume e n a pressão no ponto 2 e o o volume e p a pressão no ponto 3 Figura 1927 Problema 63 Problemas Adicionais 64 Calcule o trabalho realizado por um agente externo durante uma compressão isotérmica de 100 mol de oxigênio de um volume de 224 L a 0C e 100 atm para um volume de 168 L 65 Um gás ideal sofre uma compressão adiabática de p 10 atm V 10 106 L T 00C para p 10 105 atm V 10 103 L a O gás é monoatômico diatômico ou poliatômico b Qual é a temperatura final c Quantos mols do gás estão presentes Qual é a energia cinética de translação por mol d antes e e depois da compressão f Qual é a razão entre os quadrados das velocidades médias quadráticas antes e após a compressão 66 Uma amostra de um gás ideal contém 150 mol de moléculas diatômicas que giram mas não oscilam O diâmetro das moléculas é 250 pm O gás sofre uma expansão a uma pressão constante de 150 105 Pa com uma transferência de 200 J na forma de calor Qual é a variação do livre caminho médio das moléculas 67 Um gás ideal monoatômico tem inicialmente uma temperatura de 330 K e uma pressão de 600 atm O gás se expande de um volume de 500 cm3 para um volume de 1500 cm3 Determine a a pressão final e b o trabalho realizado pelo gás se a expansão é isotérmica Determine c a pressão final e d o trabalho realizado pelo gás se a expansão é adiabática 68 Em uma nuvem de gás interestelar a 500 K a pressão é 100 1028 Pa Supondo que os diâmetros das moléculas presentes na nuvem são todos iguais a 200 nm qual é o livre caminho médio das moléculas 69 O invólucro e a cesta de um balão de ar quente têm um peso total de 245 kN e o invólucro tem uma capacidade volume de 218 103 m3 Qual deve ser a temperatura do ar no interior do invólucro quando este está totalmente inflado para que o balão tenha uma capacidade de levantamento força de 267 kN além do peso do balão Suponha que o ar ambiente a 200C tem um peso específico de 119 Nm3 uma massa molecular de 0028 kgmol e está a uma pressão de 10 atm 70 Um gás ideal a uma temperatura inicial T1 e com um volume inicial de 20 m3 sofre uma expansão adiabática para um volume de 40 m3 depois uma expansão isotérmica para um volume de 10 m3 e finalmente uma compressão adiabática de volta para T1 Qual é o volume final 71 A temperatura de 200 mol de um gás ideal monoatômico sofre um aumento de 150 K em um processo adiabático Determine a o trabalho W realizado pelo gás b o calor Q transferido c a variação ΔEint da energia interna do gás e d a variação ΔK da energia cinética média por átomo 72 A que temperatura os átomos de hélio têm a mesma velocidade média quadrática que as moléculas de hidrogênio a 200C As massas molares são dadas na Tabela 191 73 Com que frequência as moléculas de oxigênio O2 colidem à temperatura de 400 K e a uma pressão de 200 atm Suponha que as moléculas têm 290 pm de diâmetro e que o oxigênio se comporta como um gás ideal 74 a Qual é o número de moléculas por metro cúbico no ar a 20C e a uma pressão de 10 atm 101 105 Pa b Qual é a massa de 10 m3 desse ar Suponha que 75 das moléculas são de nitrogênio N2 e 25 são de oxigênio O2 75 A temperatura de 300 mols de um gás com CV 600 calmol K é aumentada de 500 K Se o processo é conduzido a volume constante determine a o calor Q transferido b o trabalho W realizado pelo gás c a variação ΔEint da energia interna do gás e d a variação ΔK da energia cinética de translação Se o processo é conduzido a pressão constante determine e Q f W g ΔEint e h ΔK Se o processo é adiabático determine i Q j W k ΔEint e l ΔK 76 Durante uma compressão a uma pressão constante de 250 Pa o volume de um gás ideal diminui de 080 m3 para 020 m3 A temperatura inicial é 360 K e o gás perde 210 J na forma de calor a Qual é a variação da energia interna do gás e b qual a temperatura final do gás 77 A Fig 1928 mostra a distribuição hipotética de velocidades das partículas de certo gás Pv Cv2 para 0 v v0 e Pv 0 para v v0 Determine a uma expressão para C em termos de v0 b a velocidade média das partículas e c a velocidade média quadrática das partículas Figura 1928 Problema 77 78 a Um gás ideal inicialmente à pressão p0 sofre uma expansão livre até que o volume seja 300 vezes maior que o volume inicial Qual é a razão entre a nova pressão e p0 b Em seguida o gás sofre uma lenta compressão adiabática até o volume inicial A pressão após a compressão é 30013p0 O gás é monoatômico diatômico ou poliatômico c Qual é a razão entre a energia cinética média por molécula no estado final e no estado inicial 79 Um gás ideal sofre uma compressão isotérmica de um volume inicial de 400 m3 para um volume final de 300 m3 Existem 350 mols do gás e a temperatura do gás é 100C a Qual é o trabalho realizado pelo gás b Qual é a energia trocada na forma de calor entre o gás e o ambiente 80 Uma amostra de oxigênio O2 a 273 K e 10 atm está confinada em um recipiente cúbico com 10 cm de aresta Calcule ΔUgKméd em que ΔUg é a variação da energia potencial gravitacional de uma molécula de oxigênio que cai de uma altura igual à altura da caixa e Kméd é a energia cinética de translação média da molécula 81 Um gás ideal é submetido a um ciclo completo em três etapas expansão adiabática com um trabalho de 125 J contração isotérmica a 325 K e aumento de pressão a volume constante a Plote as três etapas em um diagrama pV b Qual é a quantidade de calor transferido na etapa 3 c O calor é absorvido ou cedido pelo gás 82 a Qual é o volume ocupado por 100 mol de um gás ideal nas condições normais de temperatura e pressão CNTP ou seja 100 atm 101 105 Pa e 273 K b Mostre que o número de moléculas por metro cúbico nas CNTP é 269 109 Esse número é chamado de número de Loschmidt 83 Uma amostra de um gás ideal sofre uma expansão de uma pressão e volume iniciais de 32 atm e 10 L para um volume final de 40 L A temperatura inicial é 300 K Se o gás é monoatômico e a expansão é isotérmica qual é a a pressão final pf b a temperatura final Tf e c o trabalho W realizado pelo gás Se o gás é monoatômico e a expansão é adiabática determine d pf e Tf e f W Se o gás é diatômico e a expansão é adiabática determine g pf h Tf e i W 84 Uma amostra com 300 mols de um gás ideal está inicialmente no estado 1 à pressão p1 200 atm e volume V1 1500 cm3 Primeiro o gás é levado ao estado 2 com pressão p2 150p1 e volume V2 200V1 Em seguida é levado ao estado 3 com pressão p3 200p1 e volume V3 0500V1 Qual é a temperatura do gás a no estado 1 e b no estado 2 c Qual é a variação da energia interna do gás do estado 1 para o estado 3 85 Um tanque de aço contém 300 g de amônia NH3 a uma pressão de 135 106 Pa e uma temperatura de 77C a Qual é o volume do tanque em litros b Mais tarde a temperatura é 22C e a pressão é 87 105 Pa Quantos gramas do gás vazaram do tanque 86 Em um processo industrial o volume de 250 mols de um gás ideal monoatômico é reduzido a uma taxa uniforme de 0616 m3 para 0308 m3 em 200 h enquanto a temperatura é aumentada a uma taxa uniforme de 270C para 450C Durante o processo o gás passa por estados de equilíbrio termodinâmico Determine a o trabalho cumulativo realizado sobre o gás b a energia cumulativa absorvida pelo gás como calor e c o calor específico molar para o processo Sugestão Para resolver a integral envolvida no cálculo do trabalho use a relação uma integral indefinida Suponha que o processo seja substituído um processo de duas etapas que leva ao mesmo estado final Na etapa 1 o volume do gás é reduzido a temperatura constante na etapa 2 a temperatura é aumentada a volume constante Para esse processo qual é d o trabalho cumulativo realizado sobre o gás e a energia cumulativa absorvida pelo gás como calor e f o calor específico molar para o processo 87 A Fig 1929 mostra um ciclo composto de cinco trajetórias AB é isotérmica a 300 K BC é adiabática com um trabalho de 50 J CD é a uma pressão constante de atm DE é isotérmica e EA é adiabática com uma variação da energia interna de 80 J Qual é a variação da energia interna do gás ao longo da trajetória CD Figura 1929 Problema 87 88 Um gás ideal inicialmente a 300 K é comprimido a uma pressão constante de 25 Nm2 de um volume de 30 m3 para um volume de 18 m3 No processo 75 J são perdidos pelo gás na forma de calor a Qual é a variação da energia interna do gás e b qual é a temperatura final do gás 89 Um cano de comprimento L 250 m aberto em uma das extremidades contém ar à pressão atmosférica O cano é introduzido verticalmente em um lago de água doce até que a água atinja metade da altura do tubo Fig 1930 Qual é a profundidade h da extremidade inferior do tubo Suponha que a temperatura da água é a mesma do ar e não varia quando o cano é introduzido na água Figura 1930 Problema 89 90 Em um motor de motocicleta um pistão é empurrado para baixo na direção do virabrequim quando o combustível que está no cilindro entra em ignição e a mistura de gases da combustão se expande adiabaticamente Determine a potência média a em watts e b em horsepower desenvolvida durante a expansão se o motor estiver funcionando a 4000 rpm supondo que a pressão manométrica imediatamente após a explosão é 15 atm o volume inicial é 50 cm3 e o volume máximo do cilindro é 250 cm3 Suponha que os gases são diatômicos e que o tempo gasto na expansão é metade do ciclo total 91 Em um processo adiabático envolvendo um gás ideal a mostre que o módulo de elasticidade volumétrico é dado por em que γ CpCV Veja a Eq 172 b Mostre que a velocidade do som no gás é dada por em que ρ é a massa específica T é a temperatura e M é a massa molar do gás Veja a Eq 173 92 A massa específica do ar a uma temperatura de 0000C e a uma pressão de 100 atm é 129 1023 gcm3 e a velocidade do som no ar nessas condições é 331 ms Calcule a razão γ entre os calores específicos do ar Sugestão Veja o Problema 91 93 A velocidade do som em gases diferentes à mesma temperatura depende da massa molar de cada gás Mostre que em que v1 é a velocidade do som em um gás de massa molar M1 e v2 é a velocidade do som em um gás de massa molar M2 Sugestão Veja o Problema 91 94 A partir da informação de que CV o calor específico molar a volume constante de um gás em um recipiente é 50R calcule a razão entre a velocidade do som no gás e a velocidade média quadrática das moléculas Sugestão Veja o Problema 91 95 A massa molar do iodo é 127 gmol Quando um som com uma frequência de 1000 Hz é introduzido em um tubo contendo gás de iodo a uma temperatura de 400 K uma onda acústica estacionária se forma no interior do tubo com os nós separados por uma distância de 957 cm Qual é o valor de γ para o gás Sugestão Veja o Problema 91 96 No caso do ar a 0C qual é a variação da velocidade do som para cada aumento de 1C da temperatura do ar Sugestão Veja o Problema 91 97 Os gases de dois recipientes estão à mesma temperatura O gás do primeiro recipiente está a uma pressão p1 e tem moléculas de massa m1 que se movem a uma velocidade média quadrática vrms1 O gás do segundo recipiente está a uma pressão p2 2p1 e tem moléculas de massa m2 que se movem a uma velocidade média vméd2 2vrms1 Determine a razão m1m2 entre as massas das moléculas dos dois gases CAPÍTULO 20 Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica 201 ENTROPIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2001 Conhecer a segunda lei da termodinâmica Se um processo acontece em um sistema fechado a entropia do sistema aumenta se o processo for irreversível e permanece a mesma se o processo for reversível 2002 Saber que a entropia é uma função de estado o valor da entropia para o estado em que um sistema se encontra não depende do modo como esse estado foi atingido 2003 Calcular a variação de entropia associada a um processo integrando o inverso da temperatura em kelvins em relação ao calor Q transferido durante o processo 2004 No caso de uma mudança de fase sem variação de temperatura conhecer a relação entre a variação de entropia ΔS o calor transferido Q e a temperatura T em kelvins 2005 No caso de uma variação de temperatura ΔT que seja pequena em relação à temperatura T conhecer a relação entre a variação de entropia ΔS o calor transferido Q e a temperatura média Tméd em kelvins 2006 No caso de um gás ideal conhecer a relação entre a variação de entropia ΔS e os valores inicial e final da pressão e do volume 2007 Saber que se um processo é irreversível a integração para determinar a variação de entropia deve ser feita para um processo reversível que leve o sistema do mesmo estado inicial para o mesmo estado final 2008 No caso de um elástico de borracha submetido a um alongamento relacionar a força elástica à taxa de variação da entropia da borracha com o alongamento IdeiasChave Um processo irreversível é aquele que não pode ser desfeito por meio de pequenas mudanças do ambiente O sentido de um processo irreversível é definido pela variação ΔS do sistema que sofre o processo A entropia S é uma propriedade de estado ou função de estado do sistema ou seja depende do estado do sistema mas não da forma como o estado foi atingido O postulado da entropia afirma em parte o seguinte Se um processo irreversível acontece em um sistema fechado a entropia do sistema aumenta A variação de entropia ΔS de um processo irreversível que leva um sistema de um estado inicial i para um estado final f é exatamente igual à variação de entropia ΔS de qualquer processo reversível que leva o sistema do mesmo estado inicial para o mesmo estado final Podemos calcular a variação de entropia de um processo reversível mas não a de um estado irreversível usando a equação em que Q é a energia transferida do sistema ou para o sistema na forma de calor durante o processo e T é a temperatura do sistema em kelvins No caso de um processo isotérmico reversível a expressão da variação de entropia se reduz a Se a variação de temperatura ΔT de um sistema é pequena em comparação com a temperatura em kelvins no início e no final do processo a variação de entropia é dada aproximadamente por em que Tméd é a temperatura média do sistema durante o processo Se um gás ideal passa reversivelmente de um estado inicial com temperatura Ti e volume Vi para um estado final com temperatura Tf e volume Vf a variação de entropia é dada por De acordo com a segunda lei da termodinâmica que é uma extensão do postulado da entropia se um processo ocorre em um sistema fechado a entropia do sistema aumenta se o processo for irreversível e permanece a mesma se o processo for reversível Em forma de equação ΔS 0 O que É Física O tempo possui um sentido o sentido no qual envelhecemos Estamos acostumados com processos unidirecionais que ocorrem apenas em certa ordem a ordem correta e nunca na ordem inversa a ordem errada Um ovo cai no chão e se quebra uma pizza é assada um carro bate em um poste as ondas transformam pedras em areia todos esses processos unidirecionais são irreversíveis ou seja não podem ser desfeitos por meio de pequenas mudanças no ambiente Um dos objetivos da física é compreender por que o tempo possui um sentido e por que os processos unidirecionais são irreversíveis Embora possa parecer distante das situações do dia a dia essa física tem na verdade uma relação direta com qualquer motor como o motor dos automóveis porque é usada para calcular a eficiência máxima com a qual um motor pode funcionar O segredo para compreender a razão pela qual os processos unidirecionais não podem ser invertidos envolve uma grandeza conhecida como entropia Processos Irreversíveis e Entropia A associação entre o caráter unidirecional dos processos e a irreversibilidade é tão universal que a aceitamos como perfeitamente natural Se um desses processos ocorresse espontaneamente no sentido inverso ficaríamos perplexos Entretanto nenhum desses processos no sentido errado violaria a lei da conservação da energia Por exemplo você ficaria muito surpreso se colocasse as mãos em torno de uma xícara de café quente e suas mãos ficassem mais frias e a xícara mais quente Esse é obviamente o sentido errado para a transferência de energia mas a energia total do sistema fechado mãos xícara de café seria a mesma que se o processo acontecesse no sentido correto Para dar outro exemplo se você estourasse um balão de hélio levaria um susto se algum tempo depois as moléculas de hélio se reunissem para assumir a forma original do balão Esse é obviamente o sentido errado para as moléculas se moverem mas a energia total do sistema fechado moléculas aposento seria a mesma que para um processo no sentido correto Assim não são as mudanças de energia em um sistema fechado que determinam o sentido dos processos irreversíveis o sentido é determinado por outra propriedade que será discutida neste capítulo a variação de entropia ΔS do sistema A variação de entropia de um sistema será definida mais adiante mas podemos enunciar desde já a propriedade mais importante da entropia frequentemente chamada de postulado da entropia Todos os processos irreversíveis em um sistema fechado são acompanhados por aumento da entropia A entropia é diferente da energia no sentido de que a entropia não obedece a uma lei de conservação A energia de um sistema fechado é conservada ele permanece constante Nos processos irreversíveis a entropia de um sistema fechado aumenta Graças a essa propriedade a variação de entropia é às vezes chamada de seta do tempo Assim por exemplo associamos a explosão de um milho de pipoca ao sentido positivo do tempo e ao aumento da entropia O sentido negativo do tempo um filme passado ao contrário corresponde a uma pipoca se transformando em milho Como esse processo resultaria em uma diminuição de entropia ele jamais acontece Existem duas formas equivalentes de definir a variação da entropia de um sistema 1 em termos da temperatura do sistema e da energia que o sistema ganha ou perde na forma de calor e 2 contando as diferentes formas de distribuir os átomos ou moléculas que compõem o sistema A primeira abordagem é usada neste módulo a segunda no Módulo 204 Variação de Entropia Vamos definir o que significa variação de entropia analisando novamente um processo que foi descrito nos Módulos 185 e 199 a expansão livre de um gás ideal A Fig 201a mostra o gás no estado de equilíbrio inicial i confinado por uma válvula fechada ao lado esquerdo de um recipiente termicamente isolado Quando abrimos a válvula o gás se expande para ocupar todo o recipiente atingindo depois de certo tempo estado de equilíbrio final f mostrado na Fig 201b Tratase de um processo irreversível as moléculas do gás jamais voltam a ocupar apenas o lado esquerdo do recipiente O diagrama pV do processo na Fig 202 mostra a pressão e o volume do gás no estado inicial i e no estado final f A pressão e o volume são propriedades de estado ou seja propriedades que dependem apenas do estado do gás e não da forma como chegou a esse estado Outras propriedades de estado são a temperatura e a energia Vamos agora supor que o gás possui mais uma propriedade de estado a entropia Além disso vamos definir a variação de entropia Sf Si do sistema durante um processo que leva o sistema de um estado inicial i para um estado final f pela equação Figura 201 A expansão livre de um gás ideal a O gás está confinado no lado esquerdo de um recipiente isolado por uma válvula fechada b Quando a válvula é aberta o gás ocupa todo o recipiente O processo é irreversível ou seja não ocorre no sentido inverso com o gás espontaneamente voltando a se concentrar no lado esquerdo do recipiente Q é a energia transferida do sistema ou para o sistema na forma de calor durante o processo e T é a temperatura do sistema em kelvins Assim a variação de entropia depende não só da energia transferida na forma de calor mas também da temperatura na qual a transferência ocorre Como T é sempre positiva o sinal de ΔS é igual ao sinal de Q De acordo com a Eq 201 a unidade de entropia e de variação de entropia no SI é o joule por kelvin Existe porém um problema para aplicar a Eq 201 à expansão livre da Fig 201 Enquanto o gás se expande para ocupar todo o recipiente a pressão a temperatura e o volume do gás flutuam de forma imprevisível Em outras palavras as três variáveis não passam por uma série de valores de equilíbrio bem definidos nos estágios intermediários da mudança do sistema do estado de equilíbrio inicial i para o estado de equilíbrio final f Assim não podemos plotar uma trajetória pressãovolume da expansão livre no diagrama pV da Fig 202 e mais importante não podemos escrever uma relação entre Q e T que nos permita realizar a integração da Eq 201 Entretanto se a entropia é realmente uma propriedade de estado a diferença de entropia entre os estados i e f depende apenas desses estados e não da forma como o sistema passa de um estado para o outro Suponha que a expansão livre irreversível da Fig 201 seja substituída por um processo reversível que envolva os mesmos estados i e f No caso de um processo reversível podemos plotar uma trajetória no diagrama pV e podemos encontrar uma relação entre Q e T que nos permita usar a Eq 201 para obter a variação de entropia Vimos no Módulo 199 que a temperatura de um gás ideal não varia durante uma expansão livre Ti Tf T Assim os pontos i e f da Fig 202 devem estar na mesma isoterma Um processo substituto conveniente é portanto uma expansão isotérmica reversível do estado i para o estado f que ocorra ao longo dessa isoterma Além disso como T é constante durante uma expansão isotérmica reversível a integral da Eq 201 fica muito mais fácil de calcular A Fig 203 mostra como é possível produzir essa expansão isotérmica reversível Confinamos o gás a um cilindro isolado que se encontra em contato com uma fonte de calor mantida à temperatura T Começamos colocando sobre o êmbolo uma quantidade de esferas de chumbo suficiente para que a pressão e o volume do gás correspondam ao estado inicial i da Fig 201a Em seguida removemos lentamente as esferas uma por uma até que a pressão e o volume do gás correspondam ao estado final f da Fig 201b A temperatura do gás não varia porque o gás permanece em contato com a fonte de calor durante todo o processo A expansão isotérmica reversível da Fig 203 é fisicamente bem diferente da expansão livre irreversível da Fig 201 Entretanto os dois processos possuem o mesmo estado inicial e o mesmo estado final e portanto a variação de entropia é a mesma nos dois casos Como o chumbo é removido lentamente os estados intermediários do gás são estados de equilíbrio e podem ser representados em um diagrama pV Fig 204 Figura 202 Diagrama pV mostrando o estado inicial i e o estado final f da expansão livre da Fig 201 Os estados intermediários do gás não podem ser mostrados porque não são estados de equilíbrio Para aplicar a Eq 201 à expansão isotérmica colocamos a temperatura constante T do lado de fora da integral o que nos dá Como dQ Q em que Q é a energia total transferida como calor durante o processo temos Para manter constante a temperatura T do gás durante a expansão isotérmica da Fig 203 uma quantidade de calor Q deve ser transferida da fonte de calor para o gás Assim Q é positivo e a entropia do gás aumenta durante o processo isotérmico e durante a expansão livre da Fig 201 Em resumo Figura 203 Expansão isotérmica de um gás ideal realizada de forma reversível O gás possui o mesmo estado inicial i e o mesmo estado final f que no processo irreversível das Figs 201 e 202 Para determinar a variação de entropia que ocorre em um processo irreversível substituímos esse processo por um processo reversível que envolva os mesmos estados inicial e final e calculamos a variação de entropia para esse processo reversível usando a Eq 201 Quando a variação de temperatura ΔT de um sistema é pequena em relação à temperatura em kelvins antes e depois do processo a variação de entropia é dada aproximadamente por em que Tméd é a temperatura média do sistema em kelvins durante o processo Teste 1 Aquecese água em um fogão Ordene as variações de entropia da água quando a temperatura aumenta a de 20C para 30C b de 30C para 35C e c de 80C para 85C em ordem decrescente A Entropia como uma Função de Estado Supusemos que a entropia como a pressão a energia e a temperatura é uma propriedade do estado de um sistema e não depende do modo como esse estado é atingido O fato de que a entropia é realmente uma função de estado como costumam ser chamadas as propriedades de estado pode ser demonstrado apenas por meio de experimentos Entretanto podemos provar que é uma função de estado para o caso especial muito importante no qual um gás ideal passa por um processo reversível Para que o processo seja reversível devemos executálo lentamente em uma série de pequenos passos com o gás em um estado de equilíbrio ao final de cada passo Para cada pequeno passo a energia absorvida ou cedida pelo gás na forma de calor é dQ o trabalho realizado pelo gás é dW e a variação da energia interna é dEint Essas variações estão relacionadas pela primeira lei da termodinâmica na forma diferencial Eq 1827 dEint dQ dW Como os passos são reversíveis com o gás em estados de equilíbrio podemos usar a Eq 1824 para substituir dW por p dV e a Eq 1945 para substituir dEint por nCV dT Fazendo essas substituições e explicitando dQ obtemos dQ p dV nCV dT Figura 204 Diagrama pV para a expansão isotérmica reversível da Fig 203 Os estados intermediários que são agora estados de equilíbrio estão indicados por uma curva Usando a lei dos gases ideais podemos substituir p nessa equação por nRTV Dividindo ambos os membros da equação resultante por T obtemos Em seguida integramos os termos dessa equação de um estado inicial arbitrário i para um estado final arbitrário f o que nos dá De acordo com a Eq 201 o lado esquerdo dessa equação é a variação de entropia ΔS Sf Si Fazendo essa substituição e integrando os termos do lado direito obtemos Observe que não foi preciso especificar um processo reversível em particular para realizar a integração Assim o resultado da integração é válido para qualquer processo reversível que leve o gás do estado i para o estado f Isso mostra que a variação de entropia ΔS entre os estados inicial e final de um gás ideal depende apenas das propriedades do estado inicial Vi e Ti e do estado final Vf e Tf ΔS não depende do modo como o gás passa do estado inicial para o estado final Teste 2 Um gás ideal está à temperatura T1 no estado inicial i mostrado no diagrama pV O gás está a uma temperatura maior T2 nos estados finais a e b que pode atingir seguindo as trajetórias mostradas na figura A variação de entropia na trajetória do estado i para o estado a é maior menor ou igual à variação de entropia na trajetória do estado i para o estado b Exemplo 2001 Variação de entropia de dois blocos de cobre para atingirem o equilíbrio térmico A Fig 205a mostra dois blocos de cobre iguais de massa m 15 kg o bloco E a uma temperatura TiE 60C e o bloco D a uma temperatura TiD 20C Os blocos estão em uma caixa isolada termicamente e estão separados por uma divisória isolante Quando removemos a divisória os blocos atingem depois de algum tempo uma temperatura de equilíbrio Tf 40C Fig 205b Qual é a variação da entropia do sistema dos dois blocos durante esse processo irreversível O calor específico do cobre é 386 Jkg K IDEIACHAVE Para calcular a variação de entropia devemos encontrar um processo reversível que leve o sistema do estado inicial da Fig 205a para o estado final da Fig 205b Podemos calcular a variação de entropia ΔSrev do processo reversível utilizando a Eq 201 a variação de entropia para o processo irreversível é igual a ΔSrev Cálculos Para o processo reversível precisamos de uma fonte de calor cuja temperatura possa ser variada lentamente girando um botão digamos Os blocos podem ser levados ao estado final em duas etapas ilustradas na Fig 206 Figura 205 a No estado inicial dois blocos E e D iguais a não ser por estarem a temperaturas diferentes estão em uma caixa isolada separados por uma divisória isolante b Quando a divisória é removida os blocos trocam energia na forma de calor e chegam a um estado final no qual ambos estão à mesma temperatura Tf 1a etapa Com a temperatura da fonte de calor em 60C colocamos o bloco E na fonte Como o bloco e a fonte estão à mesma temperatura eles já se encontram em equilíbrio térmico Em seguida diminuímos lentamente a temperatura da fonte e do bloco para 40C Para cada variação de temperatura dT do bloco uma energia dQ é transferida na forma de calor do bloco para a fonte Usando a Eq 1814 podemos escrever a energia transferida como dQ mc dT em que c é o calor específico do cobre De acordo com a Eq 201 a variação de entropia ΔSE do bloco E durante a variação total de temperatura da temperatura inicial TiE 60C 333 K para a temperatura final Tf 40C 313 K é Figura 206 Os blocos da Fig 205 podem passar do estado inicial para o estado final de uma forma reversivel se usarmos uma fonte de temperatura controlavel a para extrair calor reversivelmente do bloco E e b para adicionar calor reversivelmente ao bloco D Substituindo os valores conhecidos obtemos 2a etapa Com a temperatura da fonte agora ajustada para 20C colocamos o bloco D na fonte e aumentamos lentamente a temperatura da fonte e do bloco para 40C Com o mesmo raciocínio usado para determinar ΔSE é fácil mostrar que a variação de entropia ΔSD do bloco D durante o processo é A variação de entropia ΔSrev do sistema de dois blocos durante esse processo reversível hipotético de duas etapas é portanto ΔSrev ΔSE ΔSD 3586 JK 3823JK 24 JK Assim a variação de entropia ΔSirrev para o sistema dos dois blocos durante o processo irreversível real é Esse resultado é positivo o que está de acordo com o postulado da entropia do Módulo 202 Exemplo 2002 Variação de entropia na expansão livre de um gás Suponha que 10 mol de nitrogênio esteja confinado no lado esquerdo do recipiente da Fig 201a A válvula é aberta e o volume do gás dobra Qual é a variação de entropia do gás neste processo irreversível Trate o gás como ideal IDEIASCHAVE 1 Podemos determinar a variação de entropia para o processo irreversível calculandoa para um processo reversível que resulte na mesma variação de volume 2 Como a temperatura do gás não varia durante a expansão livre o processo reversível deve ser uma expansão isotérmica como a das Figs 203 e 204 Cálculos De acordo com a Tabela 194 a energia Q adicionada ao gás na forma de calor quando ele se expande isotermicamente à temperatura T de um volume inicial Vi para um volume final Vf é em que n é o número de mols do gás De acordo com a Eq 202 a variação de entropia durante esse processo reversível é Fazendo n 100 mol e VfVi 2 obtemos Assim a variação de entropia para a expansão livre e para todos os outros processos que ligam os estados inicial e final mostrados na Fig 202 é Como o valor de ΔS é positivo a entropia aumenta o que está de acordo com o postulado da entropia A Segunda Lei da Termodinâmica O uso de um processo reversível para calcular a variação de entropia de um gás envolve uma aparente contradição Quando fazemos com que o processo reversível da Fig 203 ocorra da situação representada na Fig 203a para a situação representada na Fig 203b a variação de entropia do gás que tomamos como nosso sistema é positiva Entretanto como o processo é reversível podemos fazêlo ocorrer no sentido inverso acrescentando lentamente esferas de chumbo ao êmbolo da Fig 203b até que o volume original do gás seja restabelecido Nesse processo inverso devemos extrair energia do gás na forma de calor para evitar que a temperatura aumente Assim Q é negativo e de acordo com a Eq 202 a entropia do gás diminui Essa diminuição da entropia do gás não viola o postulado da entropia segundo o qual a entropia sempre aumenta Não porque o postulado é válido somente para processos irreversíveis que ocorrem em sistemas fechados O processo que acabamos de descrever não satisfaz esses requisitos O processo não é irreversível e como energia é transferida do gás para a fonte na forma de calor o sistema que é apenas o gás não é fechado Por outro lado quando consideramos a fonte como parte do sistema passamos a ter um sistema fechado Vamos examinar a variação na entropia do sistema ampliado gás fonte de calor no processo que o leva de b para a na Fig 203 Nesse processo reversível energia é transferida na forma de calor do gás para a fonte ou seja de uma parte do sistema ampliado para outra Seja Q o valor absoluto desse calor Usando a Eq 202 podemos calcular separadamente as variações de entropia do gás que perde Q e para a fonte que ganha Q Obtemos e A variação da entropia do sistema fechado é a soma dos dois valores ou seja zero Com esse resultado podemos modificar o postulado da entropia para que se aplique tanto a processos reversíveis como a processos irreversíveis Se um processo ocorre em um sistema fechado a entropia do sistema aumenta se o processo for irreversível e permanece constante se o processo for irreversível Embora a entropia possa diminuir em uma parte de um sistema fechado sempre existe um aumento igual ou maior em outra parte do sistema de modo que a entropia do sistema como um todo jamais diminui Essa afirmação constitui uma das formas de enunciar a segunda lei da termodinâmica e pode ser representada matematicamente pela equação em que o sinal de desigualdade se aplica a processos irreversíveis e o sinal de igualdade a processos reversíveis A Eq 205 se aplica apenas a sistemas fechados No mundo real todos os processos são irreversíveis em maior ou menor grau por causa do atrito da turbulência e de outros fatores de modo que a entropia de sistemas reais fechados submetidos a processos reais sempre aumenta Processos nos quais a entropia do sistema permanece constante são sempre aproximações Força Associada à Entropia Para compreendermos por que a borracha resiste ao ser esticada vamos escrever a primeira lei da termodinâmica dE dQ dW para um elástico que sofre um pequeno aumento de comprimento dx quando o esticamos com as mãos A força exercida pelo elástico tem módulo F aponta no sentido contrário ao do aumento de comprimento e realiza um trabalho dW F dx durante o aumento de comprimento dx De acordo com a Eq 202 ΔS QT pequenas variações de Q e S a temperatura constante estão relacionadas pela equação dS dQT ou dQ T dS Assim podemos escrever a primeira lei na forma Se a dilatação total do elástico não for muito grande podemos supor que a variação dE da energia interna do elástico é praticamente nula Fazendo dE 0 na Eq 206 obtemos a seguinte expressão para a força exercida pelo elástico Figura 207 Um pedaço de elástico a relaxado e b distendido mostrando uma cadeia polimérica do material a enrolada e b esticada De acordo com a Eq 207 F é proporcional à taxa dSdx com a qual a entropia do elástico varia quando o comprimento do elástico sofre uma pequena variação dx Assim podemos sentir o efeito da entropia nas mãos quando esticamos um elástico Para entender por que existe uma relação entre força e entropia considere um modelo simples da borracha de que é feito o elástico A borracha é formada por longas cadeias poliméricas com ligações cruzadas que lembram ziguezagues tridimensionais Fig 207 Quando o elástico se encontra no estado relaxado essas cadeias estão parcialmente enroladas e orientadas aleatoriamente Devido ao alto grau de desordem das moléculas esse estado possui um alto valor de entropia Quando esticamos um elástico de borracha desenrolamos muitas moléculas e as alinhamos na direção do alongamento Como o alinhamento diminui a desordem a entropia do elástico esticado é menor Isso significa que a derivada dSdx da Eq 207 é negativa já que a entropia diminui quando dx aumenta Assim a força que sentimos ao esticar um elástico se deve à tendência das moléculas de voltar ao estado menos ordenado para o qual a entropia é maior 202 ENTROPIA NO MUNDO REAL MÁQUINAS TÉRMICAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2009 Saber que uma máquina térmica é um dispositivo que extrai energia do ambiente na forma de calor e realiza trabalho útil e que em uma máquina térmica ideal todos os processos são reversíveis o que significa que não há desperdício de energia 2010 Desenhar um diagrama pV de um ciclo de Carnot mostrando o sentido em que o ciclo é percorrido a natureza dos processos envolvidos o trabalho realizado incluindo o sinal algébrico em cada processo o trabalho líquido realizado e o calor transferido incluindo o sinal algébrico em cada processo 2011 Desenhar o ciclo de Carnot em um diagrama temperaturaentropia indicando as transferências de calor 2012 Determinar a variação de entropia em um ciclo de Carnot 2013 Calcular a eficiência εC de uma máquina de Carnot em termos das transferências de calor e também em termos da temperatura das fontes de calor 2014 Saber que não existem máquinas térmicas perfeitas nas quais a energia Q transferida da fonte quente na forma de calor é transformada totalmente em trabalho W realizado pela máquina 2015 Desenhar um diagrama pV de um ciclo de Stirling mostrando o sentido em que o ciclo é percorrido a natureza dos processos envolvidos o trabalho realizado incluindo o sinal algébrico em cada processo o trabalho líquido realizado e o calor transferido incluindo o sinal algébrico em cada processo IdeiasChave Uma máquina térmica é um dispositivo que operando de forma cíclica extrai energia na forma de calor QQ de uma fonte quente e realiza um trabalho W A eficiência de uma máquina térmica é dada pela equação Em uma máquina térmica ideal todos os processos são reversíveis e as transferências de energia são realizadas sem as perdas causadas por efeitos como o atrito e a turbulência A máquina térmica de Carnot é uma máquina térmica ideal que executa o ciclo mostrado na Fig 209 A eficiência da máquina de Carnot é dada pela equação em que TQ e TF são as temperaturas da fonte quente e da fonte fria respectivamente A eficiência das máquinas térmicas reais é menor que a de uma máquina de Carnot A eficiência das máquinas térmicas ideais que não são máquinas de Carnot também é menor que a de uma máquina de Carnot Uma máquina térmica perfeita é uma máquina imaginária na qual a energia extraída de uma fonte quente na forma de calor é totalmente convertida em trabalho Uma máquina desse tipo violaria a segunda lei da termodinâmica que também pode ser enunciada da seguinte forma Não existe uma série de processos cujo único resultado seja a conversão total em trabalho da energia contida em uma fonte de calor Entropia no Mundo Real Máquinas Térmicas Uma máquina térmica é um dispositivo que extrai energia do ambiente na forma de calor e realiza um trabalho útil Toda máquina térmica utiliza uma substância de trabalho Nas máquinas a vapor a substância de trabalho é a água tanto na forma líquida quanto na forma de vapor Nos motores de automóvel a substância de trabalho é uma mistura de gasolina e ar Para que uma máquina térmica realize trabalho de forma contínua a substância de trabalho deve operar em um ciclo ou seja deve passar por uma série fechada de processos termodinâmicos chamados tempos voltando repetidamente a cada estado do ciclo Vamos ver o que as leis da termodinâmica podem nos dizer a respeito do funcionamento das máquinas térmicas A Máquina de Carnot Como vimos é possível aprender muita coisa a respeito dos gases reais analisando um gás ideal que obedece à equação pV nRT Embora não existam gases ideais na natureza o comportamento de qualquer gás real se aproxima do comportamento de um gás ideal para pequenas concentrações de moléculas Analogamente podemos compreender melhor o funcionamento das máquinas térmicas estudando o comportamento de uma máquina térmica ideal Figura 208 Os elementos de uma máquina de Carnot As duas setas pretas horizontais no centro representam uma substância de trabalho operando ciclicamente como em um diagrama pV Uma energia QQ é transferida na forma de calor da fonte quente que está a uma temperatura TQ para a substância de trabalho uma energia QF é transferida na forma de calor da substância de trabalho para a fonte fria que está à temperatura TF Um trabalho W é realizado pela máquina térmica na realidade pela substância de trabalho sobre o ambiente Em uma máquina térmica ideal todos os processos são reversíveis e as transferências de energia são realizadas sem as perdas causadas por efeitos como o atrito e a turbulência Vamos examinar um tipo particular de máquina térmica ideal chamada máquina de Carnot em homenagem ao cientista e engenheiro francês N L Sadi Carnot que a imaginou em 1824 De todas as máquinas térmicas a máquina de Carnot é a que utiliza o calor com maior eficiência para realizar trabalho útil Surpreendentemente Carnot foi capaz de analisar o desempenho desse tipo de máquina antes que a primeira lei da termodinâmica e o conceito de entropia fossem descobertos A Fig 208 mostra de forma esquemática o funcionamento de uma máquina de Carnot Em cada ciclo da máquina a substância de trabalho absorve uma quantidade QQ de calor de uma fonte de calor a uma temperatura constante TQ e fornece uma quantidade QF de calor a uma segunda fonte de calor a uma temperatura constante mais baixa TF A Fig 209 mostra um diagrama pV do ciclo de Carnot ou seja do ciclo a que é submetida a substância de trabalho na máquina de Carnot Como indicam as setas o ciclo é percorrido no sentido horário Imagine que a substância de trabalho é um gás confinado em um cilindro feito de material isolante e com um êmbolo submetido a um peso O cilindro pode ser colocado sobre duas fontes de calor como na Fig 206 ou sobre uma placa isolante A Fig 209a mostra que quando colocamos o cilindro em contato com a fonte quente à temperatura TQ uma quantidade de calor QQ é transferida da fonte quente para a substância de trabalho enquanto o gás sofre uma expansão isotérmica do volume Va para o volume Vb Quando colocamos o cilindro em contato com a fonte fria à temperatura TF uma quantidade de calor QF é transferida da substância de trabalho para a fonte fria enquanto o gás sofre uma compressão isotérmica do volume Vc para o volume Vd Fig 209b Figura 209 Diagrama pressãovolume do ciclo seguido pela substância de trabalho da máquina de Carnot da Fig 208 O ciclo é formado por duas isotermas ab e cd e duas adiabáticas bc e da A área sombreada limitada pelo ciclo é igual ao trabalho W por ciclo realizado pela máquina de Carnot Na máquina térmica da Fig 208 supomos que as transferências de calor para a substância de trabalho ou para a fonte de calor ocorrem apenas durante os processos isotérmicos ab e cd da Fig 209 Assim os processos bc e da nessa figura que ligam as isotermas correspondentes às temperaturas TQ e TF devem ser processos adiabáticos reversíveis ou seja processos nos quais nenhuma energia é transferida na forma de calor Para isso durante os processos bc e da o cilindro é colocado sobre uma placa isolante enquanto o volume da substância de trabalho varia Durante os processos ab e bc da Fig 209a a substância de trabalho está se expandindo realizando trabalho positivo enquanto eleva o êmbolo e o peso sustentado pelo êmbolo Esse trabalho é representado na Fig 209a pela área sob a curva abc Durante os processos cd e da Fig 209b a substância de trabalho está sendo comprimida o que significa que está realizando trabalho negativo sobre o ambiente ou o que significa o mesmo que o ambiente está realizando trabalho sobre a substância de trabalho enquanto o êmbolo desce Esse trabalho é representado pela área sob a curva cda O trabalho líquido por ciclo que é representado por W nas Figs 208 e 209 é a diferença entre as duas áreas e é uma grandeza positiva igual à área limitada pelo ciclo abcda da Fig 209 Esse trabalho W é realizado sobre um objeto externo como uma carga a ser levantada A Eq 201 ΔS dQT nos diz que qualquer transferência de energia na forma de calor envolve uma variação de entropia Para ilustrar as variações de entropia de uma máquina de Carnot podemos plotar o ciclo de Carnot em um diagrama temperaturaentropia TS como mostra a Fig 2010 Os pontos indicados pelas letras a b c e d na Fig 2010 correspondem aos pontos indicados pelas mesmas letras no diagrama pV da Fig 209 As duas retas horizontais na Fig 2010 correspondem aos dois processos isotérmicos do ciclo de Carnot pois a temperatura é constante O processo ab é a expansão isotérmica do ciclo Enquanto a substância de trabalho absorve reversivelmente um calor QQ à temperatura constante TQ durante a expansão a entropia aumenta Da mesma forma durante a compressão isotérmica cd a substância de trabalho perde reversivelmente um calor QF à temperatura constante TF e a entropia diminui As duas retas verticais da Fig 2010 correspondem aos dois processos adiabáticos do ciclo de Carnot Como nenhum calor é transferido durante os dois processos a entropia da substância de trabalho permanece constante O Trabalho Para calcular o trabalho realizado por uma máquina de Carnot durante um ciclo vamos aplicar a Eq 1826 a primeira lei da termodinâmica ΔEint Q W à substância de trabalho A substância deve retornar repetidamente a um estado do ciclo escolhido arbitrariamente Assim se X representa uma propriedade de estado da substância de trabalho como pressão temperatura volume energia interna ou entropia devemos ter ΔX 0 para o ciclo completo Seguese que ΔEint 0 para um ciclo completo da substância de trabalho Lembrando que Q na Eq 1826 é o calor líquido transferido por ciclo e W é o trabalho líquido resultante podemos escrever a primeira lei da termodinâmica para o ciclo de Carnot na forma Variações de Entropia Em uma máquina de Carnot existem duas e apenas duas transferências de energia reversíveis na forma de calor e portanto duas variações da entropia da substância de trabalho uma à temperatura TQ e outra à temperatura TF A variação líquida de entropia por ciclo é dada por Nesta equação ΔSQ é positiva já que uma energia QQ é adicionada à substância de trabalho na forma de calor o que representa um aumento de entropia e ΔSF é negativa pois uma energia QF é removida da substância de trabalho na forma de calor o que representa uma diminuição de entropia Como a entropia é uma função de estado devemos ter ΔS 0 para o ciclo completo Fazendo ΔS 0 na Eq 209 obtemos Figura 2010 O ciclo de Carnot da Fig 209 mostrado em um diagrama temperaturaentropia Durante os processos ab e cd a temperatura permanece constante Durante os processos bc e da a entropia permanece constante Note que como TQ TF temos QQ QF ou seja mais energia é extraída na forma de calor da fonte quente do que é fornecida à fonte fria Vamos agora usar as Eqs 208 e 2010 para deduzir uma expressão para a eficiência de uma máquina de Carnot Figura 2011 Os elementos de uma máquina térmica perfeita ou seja uma máquina que converte calor QQ de uma fonte quente em trabalho W com 100 de eficiência Eficiência de uma Máquina de Carnot No uso prático de qualquer máquina térmica existe interesse em transformar em trabalho a maior parte possível da energia disponível QQ O êxito nessa empreitada é medido pela chamada eficiência térmica e definida como o trabalho que a máquina realiza por ciclo energia utilizada dividido pela energia que a máquina recebe em forma de calor por ciclo energia consumida No caso de uma máquina de Carnot podemos substituir W pelo seu valor dado pela Eq 208 e escrever a Eq 2011 na forma Combinando as Eqs 2012 e 2010 obtemos em que as temperaturas TF e TQ estão em kelvins Como TF TQ a máquina de Carnot tem necessariamente uma eficiência térmica positiva e menor que a unidade ou seja menor que 100 Este fato está ilustrado na Fig 208 em que podemos ver que apenas parte da energia extraída como calor da fonte quente é usada para realizar trabalho o calor que resta é transferido para a fonte fria Mostraremos no Módulo 203 que nenhuma máquina real pode ter uma eficiência térmica maior que a prevista pela Eq 2013 Os inventores estão sempre procurando aumentar a eficiência das máquinas térmicas reduzindo a quantidade de energia QF que é desperdiçada em cada ciclo O sonho dos inventores é produzir a máquina térmica perfeita mostrada esquematicamente na Fig 2011 na qual QF é zero e QQ é convertido totalmente em trabalho Se fosse instalada em um navio por exemplo uma máquina desse tipo poderia extrair o calor da água e usálo para acionar as hélices sem nenhum consumo de combustível Um automóvel equipado com um motor desse tipo poderia extrair calor do ar e usálo para movimentar o carro novamente sem nenhum consumo de combustível Infelizmente a máquina perfeita é apenas um sonho Examinando a Eq 2013 vemos que só seria possível trabalhar com 100 de eficiência ou seja com e 1 se TF 0 ou TQ condições impossíveis de conseguir na prática Na verdade a experiência levou à seguinte versão alternativa da segunda lei da termodinâmica que em última análise equivale a dizer que nenhuma máquina térmica é perfeita Richard Ustinich Figura 2012 A usina nuclear de North Anna perto de Charlottesville Virginia que gera energia elétrica a uma taxa de 900 MW Ao mesmo tempo por projeto ela descarrega energia em um rio próximo a uma taxa de 2100 MW Essa usina e todas as usinas semelhantes descartam mais energia do que fornecem em forma útil São versões realistas da máquina térmica ideal da Fig 208 Não existe uma série de processos cujo único resultado seja a conversão total em trabalho da energia contida em uma fonte de calor Resumindo A eficiência térmica dada pela Eq 2013 se aplica apenas às máquinas de Carnot As máquinas reais nas quais os processos que formam o ciclo da máquina não são reversíveis têm uma eficiência menor Conforme a Eq 2013 se o seu carro fosse movido por uma máquina de Carnot a eficiência seria de 55 aproximadamente na prática a eficiência é provavelmente da ordem de 25 Uma usina nuclear Fig 2012 considerada como um todo é uma máquina térmica que extrai energia em forma de calor do núcleo de um reator realiza trabalho por meio de uma turbina e descarrega energia em forma de calor em um rio ou no mar Se uma usina nuclear operasse como uma máquina de Carnot teria uma eficiência de cerca de 40 na prática a eficiência é da ordem de 30 No projeto de máquinas térmicas de qualquer tipo é simplesmente impossível superar o limite de eficiência imposto pela Eq 20 13 Figura 2013 Diagrama pV da substância de trabalho de uma máquina de Stirling ideal supondo por conveniência que a substância de trabalho é um gás ideal A Máquina de Stirling A Eq 2013 não se aplica a todas as máquinas ideais mas somente às que funcionam segundo um ciclo como o da Fig 209 ou seja às máquinas de Carnot A Fig 2013 mostra por exemplo o ciclo de operação de uma máquina de Stirling ideal Uma comparação com o ciclo de Carnot da Fig 209 revela que embora as duas máquinas possuam transferências de calor isotérmicas nas temperaturas TQ e TF as duas isotermas do ciclo da máquina de Stirling não são ligadas por processos adiabáticos como na máquina de Carnot mas por processos a volume constante Para aumentar reversivelmente a temperatura de um gás a volume constante de TF para TQ processo da da Fig 2013 é preciso transferir energia na forma de calor para a substância de trabalho a partir de uma fonte cuja temperatura possa variar suavemente entre esses limites Além disso uma transferência no sentido inverso é necessária para executar o processo bc Assim transferências reversíveis de calor e variações correspondentes da entropia ocorrem nos quatro processos que formam o ciclo de uma máquina de Stirling e não em apenas dois processos como em uma máquina de Carnot Assim a dedução que leva à Eq 2013 não se aplica a uma máquina de Stirling ideal a eficiência de uma máquina de Stirling ideal é menor do que a de uma máquina de Carnot operando entre as mesmas temperaturas As máquinas de Stirling reais possuem uma eficiência ainda menor A máquina de Stirling foi inventada em 1816 por Robert Stirling A máquina que foi ignorada durante muito tempo hoje está sendo aperfeiçoada para uso em automóveis e naves espaciais Uma máquina de Stirling com uma potência de 5000 hp 37 MW já foi construída Como são muito silenciosas as máquinas de Stirling são usadas em alguns submarinos militares Teste 3 Três máquinas de Carnot operam entre fontes de calor a temperaturas de a 400 e 500 K b 600 e 800 K e c 400 e 600 K Ordene as máquinas de acordo com a eficiência em ordem decrescente Exemplo 2003 Eficiência potência e variações de entropia de uma máquina de Carnot Uma máquina de Carnot opera entre as temperaturas TQ 850 K e TF 300 K A máquina realiza 1200 J de trabalho em cada ciclo que leva 025 s a Qual é a eficiência da máquina IDEIACHAVE A eficiência e de uma máquina de Carnot depende apenas da razão TFTQ das temperaturas em kelvins das fontes de calor às quais está ligada Cálculo De acordo com a Eq 2013 b Qual é a potência média da máquina IDEIACHAVE A potência média P de uma máquina é a razão entre o trabalho W realizado por ciclo e o tempo de duração t de cada ciclo Cálculo Para essa máquina de Carnot temos c Qual é a energia QQ extraída em forma de calor da fonte quente a cada ciclo IDEIACHAVE Para qualquer máquina térmica incluindo as máquinas de Carnot a eficiência ε é a razão entre o trabalho W realizado por ciclo e a energia QQ extraída em forma de calor da fonte quente por ciclo e WQQ Cálculo Explicitando QQ obtemos d Qual é a energia QF liberada em forma de calor para a fonte fria a cada ciclo IDEIACHAVE Em uma máquina de Carnot o trabalho W realizado por ciclo é igual à diferença entre as energias transferidas em forma de calor ou seja QQ QF como na Eq 208 Cálculo Explicitando QF obtemos e De quanto varia a entropia da substância de trabalho devido à energia recebida da fonte quente De quanto varia a entropia da substância de trabalho devido à energia cedida à fonte fria IDEIACHAVE A variação de entropia ΔS durante a transferência de energia em forma de calor Q a uma temperatura constante T é dada pela Eq 202 ΔS QT Cálculos Para a transferência positiva de uma energia QQ da fonte quente a uma temperatura TQ a variação de entropia da substância de trabalho é Para a transferência negativa de uma energia QF para a fonte fria a uma temperatura TF temos Note que a variação líquida de entropia da substância de trabalho para um ciclo completo é zero como já foi discutido na dedução da Eq 2010 Exemplo 2004 Eficiência de um motor Um inventor afirma que construiu um motor que apresenta uma eficiência de 75 quando opera entre as temperaturas de ebulição e congelamento da água Isso é possível IDEIACHAVE Não existe nenhuma máquina térmica real cuja eficiência seja maior ou igual à de uma máquina de Carnot operando entre as mesmas temperaturas Cálculo De acordo com a Eq 2013 a eficiência de uma máquina de Carnot que opera entre os pontos de ebulição e congelamento da água é Assim a eficiência alegada de 75 para uma máquina real operando entre as temperaturas dadas não pode ser verdadeira 203 REFRIGERADORES E MÁQUINAS TÉRMICAS REAIS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2016 Saber que um refrigerador é um dispositivo que utiliza trabalho para transferir energia de uma fonte fria para uma fonte quente e que um refrigerador ideal executa essa transferência usando processos reversíveis 2017 Desenhar um diagrama pV do ciclo de Carnot de um refrigerador mostrando o sentido em que o ciclo é percorrido a natureza dos processos envolvidos o trabalho realizado incluindo o sinal algébrico em cada processo o trabalho líquido realizado e o calor transferido incluindo o sinal algébrico em cada processo 2018 Calcular o coeficiente de desempenho K de um refrigerador em termos das transferências de calor e também em termos da temperatura das fontes de calor 2019 Saber que não existe um refrigerador ideal no qual toda a energia extraída da fonte fria é transferida para a fonte quente 2020 Saber que a eficiência de uma máquina térmica real é menor que a de uma máquina térmica que funciona no ciclo de Carnot IdeiasChave Um refrigerador é um dispositivo que operando ciclicamente utiliza um trabalho W para extrair uma energia QF na forma de calor de uma fonte fria O coeficiente de desempenho K de um refrigerador é dado por O refrigerador de Carnot é uma máquina de Carnot operando no sentido inverso O coeficiente de desempenho do refrigerador de Carnot é dado por Um refrigerador perfeito é uma máquina imaginária na qual a energia extraída de uma fonte fria na forma de calor é totalmente transferida para uma fonte quente sem necessidade de realizar trabalho Um refrigerador perfeito violaria a segunda lei da termodinâmica que também pode ser enunciada da seguinte forma Não existe uma série de processos cujo único resultado seja a transferência de energia na forma de calor de uma fonte a certa temperatura para uma fonte a uma temperatura mais elevada sem necessidade de realizar trabalho Figura 2014 Os elementos de um refrigerador As duas setas pretas horizontais no centro representam uma substância de trabalho operando ciclicamente como em um diagrama pV Uma energia QF é transferida em forma de calor da fonte fria que está à temperatura TF para a substância de trabalho uma ener Entropia no Mundo Real Refrigeradores O refrigerador é um dispositivo que utiliza trabalho para transferir energia de uma fonte fria para uma fonte quente por meio de um processo cíclico Nos refrigeradores domésticos por exemplo o trabalho é realizado por um compressor elétrico que transfere energia do compartimento onde são guardados os alimentos a fonte fria para o ambiente a fonte quente Os aparelhos de ar condicionado e os aquecedores de ambiente também são refrigeradores a diferença está apenas na natureza das fontes quente e fria No caso dos aparelhos de ar condicionado a fonte fria é o aposento a ser resfriado e a fonte quente supostamente a uma temperatura mais alta é o lado de fora do aposento Um aquecedor de ambiente é um aparelho de ar condicionado operado em sentido inverso para aquecer um aposento nesse caso o aposento passa a ser a fonte quente e recebe calor do lado de fora supostamente a uma temperatura mais baixa Considere um refrigerador ideal Em um refrigerador ideal todos os processos são reversíveis e as transferências de energia são realizadas sem as perdas causadas por efeitos como o atrito e a turbulência A Fig 2014 mostra os elementos básicos de um refrigerador ideal Note que o sentido de operação é o inverso do sentido de operação da máquina de Carnot da Fig 208 Em outras palavras todas as transferências de energia tanto em forma de calor como em forma de trabalho ocorrem no sentido oposto ao de uma máquina de Carnot Podemos chamar esse refrigerador ideal de refrigerador de Carnot O projetista de um refrigerador está interessado em extrair a maior quantidade de energia QF possível da fonte fria energia utilizada usando a menor quantidade possível de trabalho W energia consumida Uma medida da eficiência de um refrigerador é portanto em que K é chamado de coeficiente de desempenho No caso de um refrigerador de Carnot de acordo com a primeira lei da termodinâmica W QQ QF em que QQ é o valor absoluto da energia transferida como calor para a fonte quente Nesse caso a Eq 2014 assume a forma Como um refrigerador de Carnot é uma máquina de Carnot operando no sentido inverso podemos combinar a Eq 2010 com a Eq 2015 depois de algumas operações algébricas obtemos Figura 2015 Os elementos de um refrigerador perfeito ou seja um refrigerador que transfere energia de uma fonte fria para uma fonte quente sem necessidade de trabalho Para os aparelhos domésticos de ar condicionado K 25 para as geladeiras domésticas K 5 Infelizmente quanto menor a diferença de temperatura entre a fonte fria e a fonte quente maior o valor de K É por isso que os aquecedores de ambiente funcionam melhor nos países de clima temperado que nos países de clima frio nos quais a temperatura externa é muito menor do que a temperatura interna desejada Seria ótimo que tivéssemos um refrigerador que não precisasse de trabalho ou seja que funcionasse sem estar ligado na tomada A Fig 2015 mostra outro sonho de inventor um refrigerador perfeito que transfere energia na forma de calor Q de uma fonte fria para uma fonte quente sem necessidade de trabalho Como o equipamento opera em ciclos a entropia da substância de trabalho não varia durante um ciclo completo Entretanto as entropias das duas fontes variam a variação de entropia da fonte fria é QTF e a variação de entropia da fonte quente é QTQ Assim a variação líquida de entropia para o sistema como um todo é Como TQ TF o lado direito da equação é negativo e portanto a variação líquida da entropia por ciclo para o sistema fechado refrigerador fonte também é negativa Como essa diminuição de entropia viola a segunda lei da termodinâmica Eq 205 não existe um refrigerador perfeito Uma geladeira só funciona se estiver ligada na tomada Esse resultado nos leva a outra formulação da segunda lei da termodinâmica Não existe uma série de processos cujo único resultado seja transferir energia na forma de calor de uma fonte fria para uma fonte quente Em suma não existem refrigeradores perfeitos Teste 4 Um refrigerador ideal funciona com certo coeficiente de desempenho Quatro mudanças são possíveis a operar com o interior do aparelho a uma temperatura ligeiramente mais alta b operar com o interior do aparelho a uma temperatura ligeiramente mais baixa c levar o aparelho para um aposento ligeiramente mais quente e d levar o aparelho para um aposento ligeiramente mais frio Os valores absolutos das variações de temperatura são os mesmos nos quatro casos Ordene as mudanças em ordem decrescente de acordo com o valor do novo coeficiente de desempenho A Eficiência de Máquinas Térmicas Reais Seja εC a eficiência de uma máquina de Carnot operando entre duas temperaturas dadas Vamos mostrar agora que nenhuma máquina térmica real operando entre as mesmas temperaturas pode ter uma eficiência maior do que eC Se isso fosse possível a máquina violaria a segunda lei da termodinâmica Suponha que um inventor trabalhando na garagem de casa tenha construído uma máquina X que segundo ele possui uma eficiência eX maior do que eC Vamos acoplar a máquina X a um refrigerador de Carnot como na Fig 2016a Ajustamos os tempos do refrigerador de Carnot para que o trabalho necessário por ciclo seja exatamente igual ao realizado pela máquina X Assim não existe nenhum trabalho externo associado à combinação máquina térmica refrigerador da Fig 2016a que tomamos como nosso sistema Figura 2016 a A máquina térmica X alimenta um refrigerador de Carnot b Se como alega o inventor a máquina X é mais eficiente que a máquina de Carnot a combinação mostrada em a é equivalente ao refrigerador perfeito mostrado em b Como isso viola a segunda lei da termodinâmica concluímos que a máquina X não pode ser mais eficiente que uma máquina de Carnot Se a Eq 2017 for verdadeira conforme a definição de eficiência Eq 2011 devemos ter em que a plica indica a máquina X e o lado direito da desigualdade é a eficiência do refrigerador de Carnot quando funciona como uma máquina térmica Essa desigualdade exige que Como o trabalho realizado pela máquina X é igual ao trabalho realizado sobre o refrigerador de Carnot temos segundo a primeira lei da termodinâmica dada pela Eq 208 QQ QF QQ QF que pode ser escrita na forma De acordo com a Eq 2018 o valor de Q na Eq 2019 deve ser positivo De acordo com a Eq 2019 e a Fig 2016 o efeito da máquina X e do refrigerador de Carnot trabalhando em conjunto é transferir uma energia Q na forma de calor de uma fonte fria para uma fonte quente sem necessidade de realizar trabalho Assim a combinação age como o refrigerador perfeito da Fig 2015 cuja existência viola a segunda lei da termodinâmica Algo deve estar errado com uma ou mais de nossas suposições e a única que foi tomada arbitrariamente é expressa pela Eq 2017 A conclusão é que nenhuma máquina real pode ter uma eficiência maior que a de uma máquina de Carnot operando entre as mesmas temperaturas Na melhor das hipóteses a máquina real pode ter uma eficiência igual à de uma máquina de Carnot Nesse caso a máquina real é uma máquina de Carnot 204 UMA VISÃO ESTATÍSTICA DA ENTROPIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2021 Saber o que é a configuração de um sistema de moléculas 2022 Calcular a multiplicidade de uma configuração 2023 Saber que todos os microestados são igualmente prováveis mas configurações com um número maior de microestados são mais prováveis que configurações com um número menor de microestados 2024 Usar a equação de entropia de Boltzmann para calcular a entropia associada a uma multiplicidade IdeiasChave A entropia de um sistema pode ser definida em termos das distribuições possíveis de moléculas No caso de moléculas iguais cada distribuição possível de moléculas é chamada de microestado do sistema Todos os microestados equivalentes constituem uma configuração do sistema O número W de microestados de uma configuração é chamado de multiplicidade da configuração No caso de um sistema de N moléculas que podem ser distribuídas entre dois compartimentos iguais de uma caixa a multiplicidade é dada por em que n1 é o número de moléculas no compartimento da direita e n2 é o número de moléculas no compartimento da esquerda Uma hipótese básica da mecânica estatística é que todos os microestados são igualmente prováveis Assim as configurações com maior multiplicidade ocorrem com maior frequência Quando N é muito grande N 1022 moléculas digamos as moléculas estão quase sempre na configuração na qual n1 n2 A multiplicidade W da configuração de um sistema e a entropia S do sistema nessa configuração estão relacionadas pela equação de entropia de Boltzmann S k ln W em que k 138 1023 JK é a constante de Boltzmann Quando N é muito grande o caso mais comum podemos substituir ln N pela aproximação de Stirling Ln N Nln N N Figura 2017 Uma caixa isolada contém seis moléculas de um gás Cada molécula tem a mesma probabilidade de estar no lado esquerdo ou no lado direito da caixa O arranjo mostrado em a corresponde à configuração III da Tabela 201 e o arranjo mostrado em b corresponde à configuração IV Uma Visão Estatística da Entropia Como vimos no Capítulo 19 as propriedades macroscópicas de um gás podem ser explicadas em termos do comportamento das moléculas do gás Essas explicações fazem parte de um campo de estudo conhecido como mecânica estatística Vamos agora concentrar nossa atenção em apenas um problema o da distribuição das moléculas de um gás entre os dois lados de uma caixa isolada Esse problema é razoavelmente fácil de analisar e permite usar a mecânica estatística para calcular a variação de entropia durante a expansão livre de um gás ideal Como vamos ver a mecânica estatística fornece o mesmo resultado que a termodinâmica A Fig 2017 mostra uma caixa que contém seis moléculas iguais e portanto indistinguíveis de um gás Em um instante qualquer uma dada molécula está no lado esquerdo ou no lado direito da caixa como os dois lados têm o mesmo volume a probabilidade de que a molécula esteja no lado esquerdo é 05 e a probabilidade de que esteja no lado direito também é 05 A Tabela 201 mostra as sete configurações possíveis das seis moléculas identificadas por algarismos romanos Na configuração I por exemplo as seis moléculas estão no lado esquerdo n1 6 e nenhuma está no lado direito n2 0 É fácil ver que em vários casos uma configuração pode ser obtida de várias formas diferentes Esses diferentes arranjos das moléculas são chamados de microestados Vejamos como é possível calcular o número de microestados que correspondem a uma dada configuração Suponha que tenhamos N moléculas n1 em um lado da caixa e n2 no outro Naturalmente n1 n2 N Imagine que as moléculas sejam distribuídas manualmente uma de cada vez Se N 6 podemos selecionar a primeira molécula de seis formas diferentes ou seja podemos escolher qualquer das seis moléculas para colocar na primeira posição Podemos selecionar a segunda molécula de cinco formas diferentes escolhendo uma das cinco moléculas restantes e assim por diante O número total de formas pelas quais podemos escolher as seis moléculas é o produto dessas formas independentes 6 4 3 2 1 720 Usando uma notação matemática escrevemos esse produto como 6 720 em que 6 é lido como seis fatorial A maioria das calculadoras permite calcular fatoriais Para uso futuro você precisa saber que 0 1 Verifique na sua calculadora Como as moléculas são indistinguíveis os 720 arranjos não são todos diferentes No caso em que n1 4 e n2 2 a configuração III na Tabela 201 por exemplo a ordem em que as quatro moléculas são colocadas em um dos lados da caixa é irrelevante pois após as quatro moléculas terem sido colocadas é impossível determinar a ordem em que foram colocadas O número de formas diferentes de ordenar as quatro moléculas é 4 24 Analogamente o número de formas de ordenar as duas moléculas no outro lado da caixa é 2 2 Para determinar o número de arranjos diferentes que levam à divisão 4 2 que define a configuração III devemos dividir 720 por 24 e também por 2 Chamamos o valor resultante que é o número de microestados que correspondem a uma configuração de multiplicidade W da configuração Assim para a configuração III Tabela 201 Seis Moléculas em uma Caixa Configuração Multiplicidade W número de microestados Cálculo de W Eq 2020 Entropia 1023 JK Eq 2021 Número n1 n2 I 6 0 1 66 0 1 0 II 5 1 6 65 1 6 247 III 4 2 15 64 2 15 374 IV 3 3 20 63 3 20 413 V 2 4 15 62 4 15 374 VI 1 5 6 61 5 6 247 VII 0 6 1 60 6 1 0 Total 64 Figura 2018 Gráfico do número de microestados em função da porcentagem de moléculas do lado esquerdo da caixa para um número grande de moléculas Quase todos os microestados correspondem a um número aproximadamente igual de moléculas nos dois lados da caixa esses microestados formam o pico central do gráfico Para N 1024 o número aproximado de moléculas contidas em um mol de qualquer gás o pico central seria tão estreito que na escala do gráfico ficaria reduzido a uma reta vertical É por isso que de acordo com a Tabela 201 existem 15 microestados independentes que correspondem à configuração III Note que como também pode ser visto na tabela o número total de microestados para as sete configurações é 64 Extrapolando de seis moléculas para o caso geral de N moléculas temos O leitor pode verificar que a Eq 2020 fornece as multiplicidades de todas as configurações que aparecem na Tabela 201 A hipótese fundamental da mecânica estatística é a seguinte Todos os microestados são igualmente prováveis Em outras palavras se tirássemos muitas fotografias das seis moléculas enquanto elas se movem na caixa da Fig 2017 e contássemos o número de vezes que cada microestado aconteceu verificaríamos que os 64 microestados aconteceram com a mesma frequência Assim o sistema passa em média a mesma quantidade de tempo em cada um dos 64 microestados Como todos os microestados são igualmente prováveis e configurações diferentes podem ter um número diferente de microestados nem todas as configurações são igualmente prováveis Na Tabela 20 1 a configuração IV com 20 microestados é a configuração mais provável com probabilidade de 2064 0313 Isso significa que o sistema se encontra na configuração IV 313 do tempo As configurações I e VII nas quais todas as moléculas estão no mesmo lado da caixa são as menos prováveis com uma probabilidade 164 0016 ou 16 cada uma Não é de espantar que a configuração mais provável seja aquela em que as moléculas estão igualmente divididas entre os dois lados da caixa pois é o que esperamos que aconteça em equilíbrio térmico Entretanto é surpreendente que exista uma probabilidade finita embora pequena de que as seis moléculas se juntem em um lado da caixa deixando o outro lado vazio Para grandes valores de N existe um número extremamente grande de microestados mas praticamente todos os microestados como mostra a Fig 2018 pertencem à configuração na qual as moléculas estão divididas igualmente entre os dois lados da caixa Mesmo que os valores medidos da temperatura e pressão do gás permaneçam constantes o gás está em constante agitação com as moléculas visitando todos os microestados com a mesma probabilidade Entretanto como poucos microestados estão fora do pico central da Fig 2018 podemos supor que as moléculas do gás se dividem igualmente entre os dois lados da caixa Como vamos ver daqui a pouco essa é a configuração para a qual a entropia é máxima Exemplo 2005 Microestados e multiplicidade Suponha que existem 100 moléculas indistinguíveis na caixa da Fig 2017 Qual é o número de microestados da configuração n1 50 e n2 50 e da configuração n1 100 e n2 0 Discuta os resultados em termos das probabilidades das duas configurações IDEIACHAVE A multiplicidade W de uma configuração de moléculas indistinguíveis em uma caixa fechada é o número de microestados possíveis com essa configuração dado pela Eq 2020 Cálculos Para a configuração 50 50 temos Para a configuração 100 0 temos Discussão Comparando os dois resultados vemos que uma distribuição 5050 é mais provável que uma distribuição 1000 por um fator enorme da ordem de 1 1029 Se pudéssemos contar à taxa de um por nanossegundo o número de microestados que correspondem à distribuição 5050 levaríamos cerca de 3 1012 anos um tempo 200 vezes maior que a idade do universo Isso para apenas 100 moléculas Imagine qual seria a diferença entre as probabilidades se usássemos um número mais realista para o número de moléculas como N 1024 É por isso que o leitor não precisa se preocupar com a possibilidade de que todas as moléculas do ar se acumulem de repente do outro lado da sala deixandoo sufocado Probabilidade e Entropia Em 1877 o físico austríaco Ludwig Boltzmann o mesmo da constante de Boltzmann k encontrou uma relação entre a entropia S de uma configuração de um gás e a multiplicidade W dessa configuração A relação é a seguinte Essa fórmula famosa está gravada no túmulo de Boltzmann É natural que S e W estejam relacionadas por uma função logarítmica A entropia total de dois sistemas independentes é a soma das entropias individuais A probabilidade de ocorrência de dois eventos independentes é o produto das probabilidades individuais Como ln ab ln a ln b o logaritmo é a forma lógica de estabelecer uma ligação entre as duas grandezas A Tabela 201 mostra as entropias das configurações do sistema de seis moléculas da Fig 2017 calculadas usando a Eq 2021 A configuração IV que possui a maior multiplicidade possui também a maior entropia Quando usamos a Eq 2020 para determinar o valor de W a calculadora exibe uma mensagem de erro se tentamos obter o fatorial de um número maior que algumas centenas Felizmente existe uma aproximação muito boa conhecida como aproximação de Stirling não para N mas para ln N que é exatamente o que precisamos na Eq 2021 A aproximação de Stirling é a seguinte O Stirling dessa aproximação não é Robert Stirling o inventor da máquina de Stirling e sim um matemático escocês chamado James Stirling Teste 5 Uma caixa contém 1 mol de um gás Considere duas configurações a cada lado da caixa contém metade das moléculas e b cada terço da caixa contém um terço das moléculas Qual das configurações possui mais microestados Exemplo 2006 Cálculo do aumento de entropia associado a uma expansão livre usando microestados Como foi visto no Exemplo 2002 se n mols de um gás ideal passam a ocupar o dobro do volume em uma expansão livre o aumento de entropia do estado inicial i para o estado final f é Sf Si nR ln 2 Mostre que esse resultado está correto usando os métodos da mecânica estatística IDEIACHAVE Podemos relacionar a entropia S de qualquer configuração das moléculas de um gás à multiplicidade W dos microestados dessa configuração utilizando a Eq 2021 S k ln W Cálculos Estamos interessados em duas configurações a configuração final f com as moléculas ocupando todo o volume do recipiente da Fig 201b e a configuração inicial i com as moléculas ocupando o lado esquerdo do recipiente Como as N moléculas contidas nos n mols do gás estão em um recipiente fechado podemos calcular a multiplicidade W dos microestados usando a Eq 2020 Inicialmente com todas as moléculas no lado esquerdo do recipiente a configuração n1 n2 é N 0 e de acordo com a Eq 2020 Com as moléculas distribuídas por todo o volume a configuração n1 n2 é N2 N2 De acordo com a Eq 2020 temos De acordo com a Eq 2021 as entropias inicial e final são Si k ln Wi k ln 1 0 e Para chegar à Eq 2023 usamos a relação Aplicando a aproximação de Stirling Eq 2022 à Eq 2023 obtemos De acordo com a Eq 198 podemos substituir Nk por nR em que R é a constante universal dos gases Nesse caso a Eq 2024 se torna Sf nR ln 2 A variação de entropia do estado inicial para o estado final é portanto como queríamos demonstrar No Exemplo 2002 calculamos esse aumento de entropia para uma expansão livre a partir dos princípios da termodinâmica encontrando um processo reversível equivalente e calculando a variação de entropia para esse processo em termos da temperatura e da transferência de calor Neste exemplo calculamos a mesma variação de entropia a partir dos princípios da mecânica estatística usando o fato de que o sistema é formado por moléculas Essas duas abordagens muito diferentes fornecem exatamente a mesma resposta Revisão e Resumo Processos Unidirecionais Um processo irreversível é aquele que não pode ser desfeito por meio de pequenas mudanças no ambiente O sentido no qual um processo irreversível ocorre é determinado pela variação de entropia ΔS do sistema no qual ocorre o processo A entropia S é uma propriedade de estado ou função de estado do sistema ou seja uma função que depende apenas do estado do sistema e não da forma como o sistema atinge esse estado O postulado da entropia afirma em parte o seguinte Se um processo irreversível acontece em um sistema fechado a entropia do sistema sempre aumenta Cálculo da Variação de Entropia A variação de entropia ΔS em um processo irreversível que leva um sistema de um estado inicial i para um estado final f é exatamente igual à variação de entropia ΔS em qualquer processo reversível que envolva os mesmos estados Podemos calcular a segunda mas não a primeira usando a equação em que Q é a energia absorvida ou cedida pelo sistema na forma de calor durante o processo e T é a temperatura do sistema em kelvins durante o processo No caso de um processo isotérmico reversível a Eq 201 se reduz a Se a variação de temperatura ΔT de um sistema é pequena em relação à temperatura em kelvins antes e depois do processo a variação de entropia é dada aproximadamente por em que Tméd é a temperatura média do sistema durante o processo Quando um gás ideal passa reversivelmente de um estado inicial à temperatura Ti e volume Vi para um estado final à temperatura Tf e volume Vf a variação ΔS da entropia do gás é dada por A Segunda Lei da Termodinâmica Essa lei que é uma extensão do postulado da entropia afirma o seguinte Se um processo ocorre em um sistema fechado a entropia do sistema aumenta se o processo for irreversível e permanece constante se o processo for reversível Em forma de equação Máquinas Térmicas Uma máquina térmica é um dispositivo que operando ciclicamente extrai uma energia térmica QQ de uma fonte quente e realiza certa quantidade de trabalho W A eficiência ε de uma máquina térmica é definida como Em uma máquina térmica ideal todos os processos são reversíveis e as transferências de energia são realizadas sem as perdas causadas por efeitos como o atrito e a turbulência A máquina de Carnot é uma máquina ideal que segue o ciclo da Fig 209 Sua eficiência é dada por em que TQ e TF são as temperaturas da fonte quente e da fonte fria respectivamente As máquinas térmicas reais possuem sempre uma eficiência menor que a dada pela Eq 2013 As máquinas térmicas ideais que não são máquinas de Carnot também possuem uma eficiência menor Uma máquina perfeita é uma máquina imaginária na qual a energia extraída de uma fonte na forma de calor é totalmente convertida em trabalho Uma máquina que se comportasse dessa forma violaria a segunda lei da termodinâmica que pode ser reformulada da seguinte maneira Não existe uma série de processos cujo único resultado seja a conversão total em trabalho da energia contida em uma fonte de calor Refrigeradores Um refrigerador é um dispositivo que operando ciclicamente usa trabalho para transferir uma energia QF de uma fonte fria para uma fonte quente O coeficiente de desempenho K de um refrigerador é definido como Um refrigerador de Carnot é uma máquina de Carnot operando no sentido oposto Para um refrigerador de Carnot a Eq 2014 se torna Um refrigerador perfeito é um refrigerador imaginário no qual a energia extraída de uma fonte fria na forma de calor é totalmente transferida para uma fonte quente sem a necessidade de realizar trabalho Um refrigerador que se comportasse dessa forma violaria a segunda lei da termodinâmica que pode ser reformulada da seguinte maneira Não existe uma série de processos cujo único resultado seja a transferência de energia na forma de calor de uma fonte fria para uma fonte quente Uma Visão Estatística da Entropia A entropia de um sistema pode ser definida em termos das possíveis distribuições das moléculas do sistema No caso de moléculas iguais cada distribuição possível de moléculas é chamada de microestado do sistema Todos os microestados equivalentes são agrupados em uma configuração do sistema O número de microestados de uma configuração é a multiplicidade W da configuração Para um sistema de N moléculas que podem ser distribuídas nos dois lados de uma caixa a multiplicidade é dada por em que n1 é o número de moléculas em um dos lados da caixa e n2 é o número de moléculas no outro lado Uma hipótese básica da mecânica estatística é a de que todos os microestados são igualmente prováveis Assim as configurações de alta multiplicidade ocorrem com maior frequência A multiplicidade W de uma configuração de um sistema e a entropia S do sistema nessa configuração estão relacionadas pela equação de entropia de Boltzmann em que k 138 10223 JK é a constante de Boltzmann Perguntas 1 O ponto i da Fig 2019 representa o estado inicial de um gás ideal a uma temperatura T Levando em conta os sinais algébricos ordene as variações de entropia que o gás sofre ao passar sucessiva e reversivelmente do ponto i para os pontos a b c e d em ordem decrescente Figura 2019 Pergunta 1 2 Em quatro experimentos os blocos A e B inicialmente a temperaturas diferentes foram colocados juntos em uma caixa isolada até atingirem uma temperatura final comum As variações de entropia dos blocos nos quatro experimentos possuem não necessariamente na ordem dada os valores a seguir em joules por kelvin Determine a que valor de A corresponde cada valor de B Bloco Valores A 8 5 3 9 B 3 8 5 2 3 Um gás confinado em um cilindro isolado é comprimido adiabaticamente até metade do volume inicial A entropia do gás aumenta diminui ou permanece constante durante o processo 4 Um gás monoatômico ideal a uma temperatura inicial T0 em kelvins se expande de um volume inicial V0 para um volume 2V0 por cinco processos indicados no diagrama TV da Fig 2020 Em qual dos processos a expansão é a isotérmica b isobárica a pressão constante e c adiabática Justifique suas respostas d Em quais dos processos a entropia do gás diminui Figura 2020 Pergunta 4 5 Em quatro experimentos 25 mols de hidrogênio sofrem expansões isotérmicas reversíveis começando com o mesmo volume mas a temperaturas diferentes Os diagramas pV correspondentes são mostrados na Fig 2021 Coloque em ordem decrescente as situações de acordo com a variação da entropia do gás Figura 2021 Pergunta 5 6 Uma caixa contém 100 átomos em uma configuração na qual existem 50 átomos em cada lado da caixa Suponha que você usando um supercomputador pudesse contar os diferentes microestados associados a essa configuração à taxa de 100 bilhões de estados por segundo Sem realizar nenhum cálculo por escrito estime quanto tempo seria necessário para executar a tarefa um dia um ano ou muito mais que um ano 7 A entropia por ciclo aumenta diminui ou permanece constante para a uma máquina térmica de Carnot b uma máquina térmica real e c uma máquina térmica perfeita que obviamente não pode ser construída na prática 8 Três máquinas de Carnot operam entre as temperaturas de a 400 e 500 K b 500 e 600 K e c 400 e 600 K Cada máquina extrai a mesma quantidade de energia por ciclo da fonte quente Coloque em ordem decrescente os valores absolutos dos trabalhos realizados por ciclo pelas máquinas 9 Um inventor afirma que inventou quatro máquinas todas operando entre fontes de calor a temperaturas constantes de 400 K e 300 K Os dados sobre cada máquina por ciclo de operação são os seguintes máquina A QQ 200 J QF 175 J e W 40 J máquina B QQ 500 J QF 200 J e W 400 J máquina C QQ 600 J QF 200 J e W 400 J máquina D QQ 100 J QF 90 J e W 10 J Quais das máquinas violam a primeira lei da termodinâmica Quais violam a segunda Quais violam as duas leis Quais não violam nenhuma 10 A entropia por ciclo aumenta diminui ou permanece a mesma a para um refrigerador de Carnot b para um refrigerador real e c para um refrigerador perfeito que obviamente não pode ser construído na prática Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 201 Entropia 1 Suponha que 400 mols de um gás ideal sofram uma expansão reversível isotérmica do volume V1 para o volume V2 200V1 a uma temperatura T 400 K Determine a o trabalho realizado pelo gás e b a variação de entropia do gás c Se a expansão fosse reversível e adiabática em vez de isotérmica qual seria a variação da entropia do gás 2 Um gás ideal sofre uma expansão reversível isotérmica a 770C na qual o volume aumenta de 130 L para 340 L A variação de entropia do gás é 220 JK Quantos mols de gás estão presentes 3 Uma amostra de 250 mols de um gás ideal se expande reversível e isotermicamente a 360 K até que o volume seja duas vezes maior Qual é o aumento da entropia do gás 4 Quanta energia deve ser transferida na forma de calor para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal a 132C para que a entropia do gás aumente de 460 JK 5 Determine a a energia absorvida na forma de calor e b a variação de entropia de um bloco de cobre de 200 kg cuja temperatura aumenta reversivelmente de 250C para 100C O calor específico do cobre é 386 Jkg K 6 a Qual é a variação de entropia de um cubo de gelo de 120 g que se funde totalmente em um balde de água cuja temperatura está ligeiramente acima do ponto de congelamento da água b Qual é a variação de entropia de uma colher de sopa de água com uma massa de 500 g que evapora totalmente ao ser colocada em uma placa quente cuja temperatura está ligeiramente acima do ponto de ebulição da água 7 Um bloco de cobre de 500 g cuja temperatura é 400 K é colocado em uma caixa isolada junto com um bloco de chumbo de 100 g cuja temperatura é 200 K a Qual é a temperatura de equilíbrio do sistema de dois blocos b Qual é a variação da energia interna do sistema do estado inicial para o estado de equilíbrio c Qual é a variação da entropia do sistema Sugestão Consulte a Tabela 183 8 Em temperaturas muito baixas o calor específico molar CV de muitos sólidos é dado aproximadamente por CV AT3 em que A depende da substância considerada Para o alumínio A 315 1025 Jmol K4 Determine a variação de entropia de 400 mols de alumínio quando a temperatura aumenta de 500 K para 100 K 9 Um cubo de gelo de 10 g a 10C é colocado em um lago cuja temperatura é 15C Calcule a variação da entropia do sistema cubolago quando o cubo de gelo entra em equilíbrio térmico com o lago O calor específico do gelo é 2220 Jkg K Sugestão O cubo de gelo afeta a temperatura do lago 10 Um bloco de 364 g é colocado em contato com uma fonte de calor O bloco está inicialmente a uma temperatura mais baixa do que a da fonte Suponha que a consequente transferência de energia na forma de calor da fonte para o bloco seja reversível A Fig 2022 mostra a variação de entropia ΔS do bloco até que o equilíbrio térmico seja alcançado A escala do eixo horizontal é definida por Ta 280 K e Tb 380 K Qual é o calor específico do bloco Figura 2022 Problema 10 11 Em um experimento 200 g de alumínio com um calor específico de 900 Jkg K a 100C são misturados com 500 g de água a 200C com a mistura isolada termicamente a Qual é a temperatura de equilíbrio Qual é a variação de entropia b do alumínio c da água e d do sistema alumínioágua 12 Uma amostra de gás sofre uma expansão isotérmica reversível A Fig 2023 mostra a variação ΔS da entropia do gás em função do volume final Vf do gás A escala do eixo vertical é definida por ΔSs 64 JK Quantos mols de gás existem na amostra Figura 2023 Problema 12 13 No processo irreversível da Fig 205 as temperaturas iniciais dos blocos iguais E e D são 3055 e 2945 K respectivamente e 215 J é a energia que deve ser transferida de um bloco a outro para que o equilíbrio seja atingido Para os processos reversíveis da Fig 206 quanto é ΔS a para o bloco E b para a fonte de calor do bloco E c para o bloco D d para a fonte de calor do bloco D e para o sistema dos dois blocos e f para o sistema dos dois blocos e as duas fontes de calor 14 a Para 10 mol de um gás monoatômico ideal submetido ao ciclo da Fig 2024 em que V1 400V0 qual é o valor de Wp0V0 quando o gás vai do estado a ao estado c ao longo da trajetória abc Quanto é o valor de ΔEintp0V0 quando o gás b vai de b a c e c descreve um ciclo completo Quanto é o valor de ΔS quando o gás d vai de b a c e e descreve um ciclo completo Figura 2024 Problema 14 15 Uma mistura de 1773 g de água e 227 g de gelo está inicialmente em equilíbrio a 0000C A mistura é levada por um processo reversível a um segundo estado de equilíbrio no qual a razão águagelo em massa é 100100 a 0000C a Calcule a variação de entropia do sistema durante esse processo O calor de fusão da água é 333 kJkg b O sistema é levado de volta ao estado de equilíbrio inicial por um processo irreversível usando por exemplo um bico de Bunsen Calcule a variação de entropia do sistema durante esse processo c As respostas dos itens a e b são compatíveis com a segunda lei da termodinâmica 16 Um cubo de gelo de 80 g a 10C é colocado em uma garrafa térmica com 100 cm3 de água a 20C De quanto varia a entropia do sistema cuboágua até o equilíbrio ser alcançado O calor específico do gelo é 2220 Jkg K 17 Na Fig 2025 em que V23 300V1 n mols de um gás diatômico ideal passam por um ciclo no qual as moléculas giram mas não oscilam Determine a p2p1 b p3p1 e c T3T1 Para a trajetória 1 2 determine d WnRT e QnRT f ΔEintnRT1 e g ΔSnR Para a trajetória 2 3 determine h WnRT1 i QnRT1 j ΔEintnRT1 e k ΔSnR Para a trajetória 3 1 determine l WnRT1 m QnRT1 n ΔEintnRT1 e o ΔSnR Figura 2025 Problema 17 18 Uma amostra de 20 mols de um gás monoatômico ideal é submetida ao processo reversível da Fig 2026 A escala do eixo vertical é definida por Ts 4000 K e a escala do eixo horizontal é definida por Ss 200 JK a Qual é a energia absorvida pelo gás na forma de calor b Qual é a variação da energia interna do gás c Qual é o trabalho realizado pelo gás Figura 2026 Problema 18 19 Suponha que 100 mol de um gás monoatômico ideal inicialmente à pressão p1 e ocupando um volume V1 seja submetido sucessivamente a dois processos 1 uma expansão isotérmica até um volume 200V1 e 2 um aumento de pressão a volume constante até uma pressão 200p1 Qual é o valor de Qp1V1 a para o processo 1 e b para o processo 2 Qual é o valor de Wp1V1 c para o processo 1 e d para o processo 2 Para o processo completo qual é o valor e de ΔEintp1V1 e f de ΔS O gás retorna ao estado inicial e é levado ao mesmo estado final mas desta vez pelos seguintes processos sucessivos 1 uma compressão isotérmica até a pressão 200p1 e 2 um aumento de volume até 200V1 a pressão constante Qual é o valor de Qp1V1 g para o processo 1 e h para o processo 2 Qual é o valor de Wp1V1 i para o processo 1 e j para o processo 2 Quais são os valores de k ΔEintp1V1 e l ΔS para o processo completo 20 Expandese 100 mol de um gás monoatômico ideal inicialmente a 500 kPa e 600 K do volume inicial Vi 100 m3 para o volume final Vf 200 m3 Em qualquer instante durante a expansão a pressão p e o volume V do gás estão relacionados por p 500 expVi Va com p em kPa Vi e V em m3 e a 100 m3 Qual é a a pressão e b a temperatura final do gás c Qual é o trabalho realizado pelo gás durante a expansão d Qual é o valor de ΔS para a expansão Sugestão Use dois processos reversíveis simples para determinar ΔS 21 É possível remover energia na forma de calor de água à temperatura de congelamento 00C à pressão atmosférica ou mesmo abaixo dessa temperatura sem que a água congele quando isso acontece dizemos que a água está superresfriada Suponha que uma gota dágua de 100 g seja super resfriada até que a temperatura seja a mesma do ar nas vizinhanças 2500C Em seguida a gota congela bruscamente transferindo energia para o ar na forma de calor Qual é a variação da entropia da gota Sugestão Use um processo reversível de três estágios como se a gota passasse pelo ponto normal de congelamento O calor específico do gelo é 2220 Jkg K 22 Uma garrafa térmica isolada contém 130 g de água a 800C Um cubo de gelo de 120 g a 0C é introduzido na garrafa térmica formando um sistema gelo água original a Qual é a temperatura de equilíbrio do sistema Qual é a variação de entropia da água que originalmente era gelo b ao derreter e c ao se aquecer até a temperatura de equilíbrio d Qual é a variação de entropia da água original ao esfriar até a temperatura de equilíbrio e Qual é a variação total de entropia do sistema gelo água original ao atingir a temperatura de equilíbrio Módulo 202 Entropia no Mundo Real Máquinas Térmicas 23 Uma máquina de Carnot cuja fonte fria está a 17C tem uma eficiência de 40 De quanto deve ser elevada a temperatura da fonte quente para que a eficiência aumente para 50 24 Uma máquina de Carnot absorve 52 kJ na forma de calor e rejeita 36 kJ na forma de calor em cada ciclo Calcule a a eficiência da máquina e b o trabalho realizado por ciclo em quilojoules 25 Uma máquina de Carnot opera com uma eficiência de 220 entre duas fontes de calor Se a diferença entre as temperaturas das fontes é 750C qual é a temperatura a da fonte fria e b da fonte quente 26 Em um reator de fusão nuclear hipotético o combustível é o gás deutério a uma temperatura de 7 108 K Se o gás pudesse ser usado para operar uma máquina de Carnot com TF 100C qual seria a eficiência da máquina Tome as duas temperaturas como exatas e calcule a resposta com sete algarismos significativos 27 Uma máquina de Carnot opera entre 235C e 115C absorvendo 630 104 J por ciclo na temperatura mais alta a Qual é a eficiência da máquina b Qual é o trabalho por ciclo que a máquina é capaz de realizar 28 No primeiro estágio de uma máquina de Carnot de dois estágios uma energia Q1 é absorvida na forma de calor à temperatura T1 um trabalho W1 é realizado e uma energia Q2 é liberada na forma de calor à temperatura T2 O segundo estágio absorve essa energia Q2 realiza um trabalho W2 e libera energia na forma de calor Q3 a uma temperatura ainda menor T3 Mostre que a eficiência da máquina é T1 2 T3T1 29 A Fig 2027 mostra um ciclo reversível a que é submetido 100 mol de um gás monoatômico ideal Suponha que p 2p0 V 2V0 p0 101 105 Pa e V0 00225 m3 Calcule a o trabalho realizado durante o ciclo b a energia adicionada em forma de calor durante o percurso abc e c a eficiência do ciclo d Qual é a eficiência de uma máquina de Carnot operando entre a temperatura mais alta e a temperatura mais baixa do ciclo e A eficiência calculada no item d é maior ou menor que a eficiência calculada no item c Figura 2027 Problema 29 30 Uma máquina de Carnot de 500 W opera entre fontes de calor a temperaturas constantes de 100C e 600C Qual é a taxa com a qual a energia é a absorvida pela máquina na forma de calor e b rejeitada pela máquina na forma de calor 31 A eficiência de um motor de automóvel é 25 quando o motor realiza um trabalho de 82 kJ por ciclo Suponha que o processo é reversível Determine a a energia Qganho que o motor ganha por ciclo em forma de calor graças à queima do combustível e b a energia Qperdido que o motor perde por ciclo em forma de calor por causa do atrito Se uma regulagem do motor aumenta a eficiência para 31 qual é o novo valor c de Qganho e d de Qperdido para o mesmo valor do trabalho realizado por ciclo 32 Uma máquina de Carnot é projetada para realizar certo trabalho W por ciclo Em cada ciclo uma energia QQ na forma de calor é transferida para a substância de trabalho da máquina a partir da fonte quente que está a uma temperatura ajustável TQ A fonte fria é mantida à temperatura TF 250 K A Fig 2028 mostra o valor de QQ em função de TQ A escala do eixo vertical é definida por QQs 60 kJ Se TQ é ajustada para 550 K qual é o valor de QQ Figura 2028 Problema 32 33 A Fig 2029 mostra um ciclo reversível a que é submetido 100 mol de um gás monoatômico ideal O volume Vc 800Vb O processo bc é uma expansão adiabática com pb 100 atm e Vb 100 103 m3 Determine para o ciclo completo a a energia fornecida ao gás na forma de calor b a energia liberada pelo gás na forma de calor e c o trabalho líquido realizado pelo gás d Calcule a eficiência do ciclo Figura 2029 Problema 33 34 Um gás ideal 10 mol é a substância de trabalho de uma máquina térmica que descreve o ciclo mostrado na Fig 2030 Os processos BC e DA são reversíveis e adiabáticos a O gás é monoatômico diatômico ou poliatômico b Qual é a eficiência da máquina Figura 2030 Problema 34 35 O ciclo da Fig 2031 representa a operação de um motor de combustão interna a gasolina O volume V3 400V1 Suponha que a mistura de admissão gasolinaar é um gás ideal com γ 130 Qual é a razão a T2T1 b T3T1 c T4T1 d p3p1 e e p4p1 f Qual é a eficiência do motor Figura 2031 Problema 35 Módulo 203 Refrigeradores e Máquinas Térmicas Reais 36 Qual deve ser o trabalho realizado por um refrigerador de Carnot para transferir 10 J na forma de calor a de uma fonte de calor a 70C para uma fonte de calor a 27C b de uma fonte a 73C para uma a 27C c de uma fonte a 173C para uma a 27C e d de uma fonte a 223C para uma a 27C 37 Uma bomba térmica é usada para aquecer um edifício A temperatura externa é 50C e a temperatura no interior do edifício deve ser mantida em 22C O coeficiente de desempenho da bomba é 38 e a bomba térmica fornece 754 MJ por hora ao edifício na forma de calor Se a bomba térmica é uma máquina de Carnot trabalhando no sentido inverso qual deve ser a potência de operação da bomba 38 O motor elétrico de uma bomba térmica transfere energia na forma de calor do exterior que está a 50C para uma sala que está a 17C Se a bomba térmica fosse uma bomba térmica de Carnot uma máquina de Carnot trabalhando no sentido inverso que energia seria transferida na forma de calor para a sala para cada joule de energia elétrica consumida 39 Um condicionador de ar de Carnot extrai energia térmica de uma sala a 708F e a transfere na forma de calor para o ambiente que está a 968F Para cada joule da energia elétrica necessária para operar o condicionador de ar quantos joules são removidos da sala 40 Para fazer gelo um refrigerador que é o inverso de uma máquina de Carnot extrai 42 kJ na forma de calor a 15C durante cada ciclo com um coeficiente de desempenho de 57 A temperatura ambiente é 303C a Qual é a energia por ciclo fornecida ao ambiente na forma de calor e b qual o trabalho por ciclo necessário para operar o refrigerador 41 Um condicionador de ar operando entre 938F e 708F é especificado como tendo uma capacidade de refrigeração de 4000 Btuh O coeficiente de desempenho é 27 do coeficiente de desempenho de um refrigerador de Carnot operando entre as mesmas temperaturas Qual é a potência do motor do condicionador de ar em horsepower 42 O motor de um refrigerador tem uma potência de 200 W Se o compartimento do congelador está a 270 K e o ar externo está a 300 K e supondo que o refrigerador tem a mesma eficiência que um refrigerador de Carnot qual é a quantidade máxima de energia que pode ser extraída na forma de calor do compartimento do congelador em 100 min 43 A Fig 2032 mostra uma máquina de Carnot que trabalha entre as temperaturas T1 400 K e T2 150 K e alimenta um refrigerador de Carnot que trabalha entre as temperaturas T3 325 K e T4 225 K Qual é a razão Q3Q1 Figura 2032 Problema 43 44 a Durante cada ciclo uma máquina de Carnot absorve 750 J na forma de calor de uma fonte quente a 360 K com a fonte fria a 280 K Qual é o trabalho realizado por ciclo b A máquina é operada no sentido inverso para funcionar como um refrigerador de Carnot entre as mesmas fontes Que trabalho é necessário durante um ciclo para remover 1200 J da fonte fria na forma de calor Módulo 204 Uma Visão Estatística da Entropia 45 Construa uma tabela como a Tabela 201 para oito moléculas 46 Uma caixa contém N moléculas iguais de um gás igualmente divididas nos dois lados da caixa Determine para N 50 a a multiplicidade W da configuração central b o número total de microestados e c a porcentagem do tempo que o sistema passa na configuração central Determine para N 100 d a multiplicidade W da configuração central e o número total de microestados e f a porcentagem do tempo que o sistema passa na configuração central Determine para N 200 g a multiplicidade W da configuração central h o número total de microestados e i a porcentagem do tempo que o sistema passa na configuração central j O tempo que o sistema passa na configuração central aumenta ou diminui quando N aumenta 47 Uma caixa contém N moléculas de um gás A caixa é dividida em três partes iguais a Por extensão da Eq 2020 escreva uma fórmula para a multiplicidade de qualquer configuração dada b Considere duas configurações a configuração A com números iguais de moléculas nas três divisões da caixa e a configuração B com números iguais de moléculas em cada lado da caixa dividida em duas partes iguais em vez de em três Qual é a razão WAWB entre a multiplicidade da configuração A e a da configuração B c Calcule WAWB para N 100 Como 100 não é divisível por 3 ponha 34 moléculas em uma das três partes da configuração A e 33 moléculas nas duas outras partes Problemas Adicionais 48 Quatro partículas estão na caixa isolada da Fig 2017 Determine a a menor multiplicidade b a maior multiplicidade c a menor entropia e d a maior entropia do sistema de quatro partículas 49 Uma barra cilíndrica de cobre com 150 m de comprimento e 200 cm de raio é isolada para impedir a perda de calor pela superfície lateral Uma das extremidades é colocada em contato com uma fonte de calor a 300C a outra é colocada em contato com uma fonte de calor a 300C Qual é a taxa de aumento de entropia do sistema barrafontes 50 Suponha que 0550 mol de um gás ideal seja expandido isotérmica e reversivelmente nas quatro situações da tabela a seguir Qual é a variação de entropia do gás para cada situação Situação a b c d Temperatura K 250 350 400 450 Volume inicial cm3 0200 0200 0300 0300 Volume final cm3 0800 0800 120 120 51 Quando uma amostra de nitrogênio N2 sofre um aumento de temperatura a volume constante a distribuição de velocidades das moléculas se altera ou seja a função distribuição de probabilidade Pv da velocidade das moléculas se torna mais larga como mostra a Fig 198b Uma forma de descrever esse alargamento de Pv é medir a diferença Δv entre a velocidade mais provável vP e a velocidade média quadrática vrms Quando Pv se estende para velocidades maiores Δv aumenta Suponha que o gás é ideal e que as moléculas de N2 giram mas não oscilam Para 15 mol de N2 uma temperatura inicial de 250 K e uma temperatura final de 500 K a qual é a diferença inicial Δvi b qual é a diferença final Δvf e c qual é a variação de entropia ΔS do gás 52 Suponha que 10 mol de um gás monoatômico ideal inicialmente ocupando um volume de 10 L e a uma temperatura de 300 K seja aquecido a volume constante até 600 K liberado para se expandir isotermicamente até a pressão inicial e finalmente contraído a pressão constante até os valores iniciais de volume pressão e temperatura Durante o ciclo a qual é a energia líquida introduzida no sistema o gás na forma de calor e b qual o trabalho líquido realizado pelo gás c Qual é a eficiência do ciclo 53 Suponha que um poço profundo seja cavado na crosta terrestre perto de um dos polos onde a temperatura da superfície é 40C até uma profundidade onde a temperatura é 800C a Qual é o limite teórico para a eficiência de uma máquina térmica operando entre as duas temperaturas b Se toda a energia liberada na forma de calor na fonte fria for usada para derreter gelo que se encontra inicialmente a 40C a que taxa água líquida a 0C poderá ser produzida por uma usina de energia elétrica de 100 MW tratada como uma máquina térmica O calor específico do gelo é 2220 Jkg K o calor de fusão da água é 333 kJkg Observe que nesse caso a máquina térmica passará a operar entre 0C e 800C já que a temperatura da fonte fria aumentará para 0C 54 Qual é a variação de entropia para 320 mols de um gás monoatômico ideal que sofrem um aumento reversível de temperatura de 380 K para 425 K a volume constante 55 Um lingote de cobre de 600 g a 800C é colocado em 700 g de água a 100C em um recipiente isolado Os calores específicos estão na Tabela 183 a Qual é a temperatura de equilíbrio do sistema cobreágua Que variação de entropia b o cobre c a água e d o sistema cobreágua sofrem até atingirem a temperatura de equilíbrio 56 A Fig 2033 mostra o módulo F da força em função do alongamento x de um elástico com a escala do eixo F definida por Fs 150 N e a escala do eixo x definida por xs 350 cm A temperatura é 200 C Quando o elástico é alongado de x 170 cm qual é a taxa de variação da entropia do elástico com o alongamento para pequenos alongamentos Figura 2033 Problema 56 57 A temperatura de 100 mol de um gás monoatômico ideal é elevada reversivelmente de 300 K para 400 K com o volume mantido constante Qual é a variação da entropia do gás 58 Repita o Problema 57 supondo que é a pressão do gás que é mantida constante 59 Uma amostra de 0600 kg de água está inicialmente na forma de gelo à temperatura de 20C Qual será a variação de entropia da amostra se a temperatura aumentar para 40C 60 Um ciclo de três etapas é realizado por 34 mols de um gás diatômico ideal 1 a temperatura do gás é aumentada de 200 K para 500 K a volume constante 2 o gás é expandido isotermicamente até a pressão original 3 o gás é contraído a pressão constante de volta ao volume original Durante o ciclo as moléculas giram mas não oscilam Qual é a eficiência do ciclo 61 Um inventor construiu uma máquina térmica X que segundo ele possui uma eficiência εX maior que a eficiência ε de uma máquina térmica ideal operando entre as mesmas temperaturas Suponhamos que a máquina X seja acoplada a um refrigerador de Carnot Fig 2034a e os tempos do refrigerador de Carnot sejam ajustados para que o trabalho necessário por ciclo seja igual ao que é realizado pela máquina X Trate o conjunto máquina Xrefrigerador como um único sistema e mostre que se a alegação do inventor fosse verdadeira ou seja se εX ε o conjunto se comportaria como um refrigerador perfeito Fig 2034b transferindo energia na forma de calor do reservatório frio para o reservatório quente sem necessidade de realizar trabalho Figura 2034 Problema 61 62 Suponha que 200 mols de um gás diatômico ideal sejam submetidos reversivelmente ao ciclo mostrado no diagrama TS da Fig 2035 em que S1 600 JK e S2 800 JK As moléculas não giram nem oscilam Qual é a energia transferida na forma de calor Q a na trajetória 1 2 b na trajetória 2 3 e c no ciclo completo d Qual é o trabalho W para o processo isotérmico O volume V1 no estado 1 é 0200 m3 Qual é o volume e no estado 2 e f no estado 3 Figura 2035 Problema 62 Qual é a variação ΔEint g na trajetória 1 2 h na trajetória 2 3 e i no ciclo completo Sugestão O item h pode ser resolvido em uma ou duas linhas de cálculos usando os resultados do Módulo 197 ou em uma página de cálculos usando os resultados do Módulo 199 j Qual é o trabalho W para o processo adiabático 63 Um ciclo de três etapas é executado reversivelmente por 400 mols de um gás ideal 1 uma expansão adiabática que dá ao gás 200 vezes o volume inicial 2 um processo a volume constante 3 uma compressão isotérmica de volta ao estado inicial do gás Não sabemos se o gás é monoatômico ou diatômico se for diatômico não sabemos se as moléculas estão girando ou oscilando Qual é a variação de entropia a para o ciclo b para o processo 1 c para o processo 3 e d para o processo 2 64 a Uma máquina de Carnot opera entre uma fonte quente a 320 K e uma fonte fria a 260 K Se a máquina absorve 500 J da fonte quente por ciclo na forma de calor qual é o trabalho realizado por ciclo b Se a máquina opera como um refrigerador entre as mesmas fontes que trabalho por ciclo deve ser fornecido para remover 1000 J da fonte fria na forma de calor 65 Dois mols de um gás diatômico inicialmente a 300 K realizam o seguinte ciclo o gás é 1 aquecido a volume constante até 800 K 2 liberado para se expandir isotermicamente até a pressão inicial 3 contraído a pressão constante para o estado inicial Supondo que as moléculas do gás nem giram nem oscilam determine a a energia líquida transferida para o gás em forma de calor b o trabalho líquido realizado pelo gás e c a eficiência do ciclo 66 Um refrigerador ideal realiza 150 J de trabalho para remover 560 J do compartimento frio na forma de calor a Qual é o coeficiente de desempenho do refrigerador b Qual é a quantidade de energia liberada para a cozinha por ciclo na forma de calor 67 Suponha que 260 J sejam conduzidos de uma fonte à temperatura constante de 400 K para uma fonte a a 100 K b a 200 K c a 300 K e d a 360 K Qual é a variação líquida da entropia das fontes ΔSliq em cada caso e Quando a diferença entre as temperaturas das fontes diminui ΔSliq aumenta diminui ou permanece a mesma 68 Um liquefator de hélio está em uma sala mantida a 300 K Se a temperatura do hélio no interior do aparelho é 40 K qual é o valor mínimo da razão QsalaQHe em que Qsala é a energia fornecida à sala na forma de calor e QHe é a energia removida do hélio na forma de calor 69 Uma barra de latão está em contato térmico com uma fonte de calor a uma temperatura constante de 130C em uma extremidade e com uma fonte de calor a uma temperatura constante de 240C na outra extremidade a Calcule a variação total da entropia do sistema barrafontes quando 5030 J de energia são transferidos de uma fonte para a outra por meio da barra b A entropia da barra varia 70 Um bloco de tungstênio de 450 g a 300C e um bloco de prata de 250 g a 120C são colocados juntos em um recipiente isolado Os calores específicos estão na Tabela 183 a Qual é a temperatura de equilíbrio Que variação de entropia b o tungstênio c a prata e d o sistema tungstênioprata sofrem até atingirem a temperatura de equilíbrio 71 Uma caixa contém N moléculas Considere duas configurações a configuração A com uma divisão igual de moléculas entre os dois lados da caixa e a configuração B com 600 das moléculas no lado esquerdo e 400 no lado direito Para N 50 a determine a multiplicidade WA da configuração A b a multiplicidade WB da configuração B e c a razão fBA entre o tempo que o sistema passa na configuração B e o tempo que o sistema passa na configuração A Para N 100 d determine WA e WB e f fBA Para N 200 g determine WA h WB e i fBA j Com o aumento de N fBA aumenta diminui ou permanece a mesma 72 Calcule a eficiência de uma usina de combustível fóssil que consome 380 toneladas métricas de carvão por hora para produzir trabalho útil à taxa de 750 MW O calor de combustão do carvão calor produzido pela queima do carvão é 28 MJkg 73 Um refrigerador de Carnot extrai 350 kJ na forma de calor durante cada ciclo operando com um coeficiente de desempenho de 460 a Qual é a energia transferida para o ambiente por ciclo e b qual o trabalho realizado por ciclo 74 Uma máquina de Carnot cuja fonte quente está a 400 K tem uma eficiência de 300 De quanto deve mudar a temperatura da fonte fria para que a eficiência aumente para 400 75 O sistema A de três partículas e o sistema B de cinco partículas estão em caixas isoladas como as da Fig 2017 Qual é a menor multiplicidade W a do sistema A e b do sistema B Qual é a maior multiplicidade c do sistema A e d do sistema B Qual é a maior entropia e do sistema A e f do sistema B 76 A Fig 2036 mostra um ciclo de Carnot em um diagrama TS A escala do eixo horizontal é definida por Ss 060 JK Determine a a transferência líquida de calor por ciclo e b o trabalho líquido realizado pelo sistema por ciclo Figura 2036 Problema 76 77 Determine a relação entre a eficiência de uma máquina térmica ideal reversível e o coeficiente de desempenho de um refrigerador reversível obtido operando a máquina térmica no sentido inverso 78 Uma máquina de Carnot opera com uma potência de 500 W entre fontes de 100C e 600C Calcule a a taxa de entrada de calor e b a taxa de saída de calor 79 Em um refrigerador real as serpentinas de baixa temperatura estão a 13C e o gás comprimido no condensador está a 26C Qual é o coeficiente de desempenho teórico do refrigerador APÊNDICE A O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SI Tabela 1 As Unidades Fundameo SI Grandeza Nome Símbolo Definição comprimento metro m a distância percorrida pela luz no vácuo em 1299792458 de segundo 1983 massa quilograma kg este protótipo um certo cilindro de platinairídio será considerado daqui em diante como a unidade de massa 1889 tempo segundo s aduração de 9192631770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133 1967 em repouso a 0 K 1997 corrente elétrica ampère A a corrente constante que se mantida em dois condutores paralelos retos de comprimento infinito de seção transversal circular desprezível e separados por uma distância de 1 m no vácuo produziria entre esses condutores uma força igual a 2 107 newton por metro de comprimento 1946 temperatura termodinâmica kelvin K a fração 127316 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água 1967 quantidade de matéria mol mol a quantidade de matéria de um sistema que contém um número de entidades elementares igual ao número de átomos que existem em 0012 quilograma de carbono 12 1971 intensidade luminosa candela cd a intensidade luminosa em uma dada direção de uma fonte que emite radiação monocromática de frequéncia 540 1012 hertz e que irradia nesta direção com uma intensidade de 1683 watt por esferorradiano 1979 Tabela 2 Algumas Unidades Secundárias do SI Grandeza Nome da Unidade Símbolo área metro quadrado m2 volume metro cúbico m3 frequência hertz Hz s1 massa específica quilograma por metro cúbico kgm3 velocidade metro por segundo ms velocidade angular radiano por segundo rads aceleração metro por segundo ao quadrado ms2 aceleração angular radiano por segundo ao quadrado rads2 força newton N kg ms2 pressão pascal Pa Nm2 trabalho energia quantidade de calor joule J N m potência watt W Js quantidade de carga elétrica coulomb c As diferença de potencial força eletromotriz volt V WA intensidade de campo elétrico volt por metro ou newton por coulomb Vm NC resistência elétrica ohm Ω VA capacitância farad F AsV fluxo magnético weber Wb Vs indutância henry H VsA densidade de fluxo magnético tesla T Wbm2 intensidade de campo magnético ampère por metro Am entropia joule por kelvin JK calor específico joule por quilogramakelvin Jkg K condutividade térmica watt por metrokelvin Wm K intensidade radiante watt por esferorradiano Wsr Tabela 3 As Unidades Suplementares do SI Grandeza Nome da Unidade Símbolo ângulo plano radiano rad ângulo sólido esferorradiano sr Adaptado de The International System of Units SI Publicação Especial 330 do National Bureau of Standards edição de 2008 As definições acima foram adotadas pela Conferência Nacional de Pesos e Medidas órgão internacional nas datas indicadas A candela não é usada neste livro APÊNDICE B ALGUMAS CONSTANTES FUNDAMENTAIS DA FÍSICA Constante Símbolo Valor Prático Melhor Valor 2010 Valora Incertezab Velocidade da luz no vácuo c 300 108 ms 2997 924 58 exata Carga elementar e 160 1019C 1602 176 565 0022 Constante gravitacional G 667 1011 m3s2 kg 6673 84 120 Constante universal dos gases R 831 Jmol K 8314 462 1 091 Constante de Avogadro NA 602 1023 mol1 6022 141 29 0044 Constante de Boltzmann k 138 1023 JK 1380 648 8 091 Constante de StefanBoltzmann σ 567 108 Wm2K4 5670 373 36 Volume molar de um gás ideal nas CNTPC Vm 227 102 m3mol 2271 095 3 091 Constante elétrica ɛ0 885 1012 Fm 8854 187 817 exata Constante magnética μ0 126 106 Hm 1256 637 061 exata Constante de Planck h 663 1034 J s 6626 06957 0044 Massa do elétrond me 911 1031 kg 9109 382 91 0044 549 104 u 5485 799 094 6 40 104 Massa do prótond mp 167 1027 kg 1672 621 777 0044 10073 u 1007 276 466 812 89 105 Razão entre a massa do próton e a massa do elétron mpme 1840 1836152 67245 41 104 Razão entre a massa e a carga do elétron eme 176 1011 Ckg 1758 820 088 0022 Massa do nêutrond mn 168 1027kg 1674 927 351 0044 10087 u 1008 664 916 00 42 104 Massa do átomo de hidrogêniod m1H 10078 u 1007 825 032 07 10 104 Massa do átomo de deutériod m2H 20136 u 2014 101 778 040 40 105 Massa do átomo de héliod m4He 40026 u 4002 603 254 131 15 105 Massa do múon mμ 188 10 28 kg 1883 531 475 0051 Momento magnético do elétron μe 928 1024 JT 9284 764 30 0022 Momento magnético do próton μp 141 1026 JT 1410 606 743 0024 Magnéton de Bohr μB 927 1024 JT 9274 009 68 0022 Magnéton nuclear μN 505 1027 JT 5050 783 53 0022 Raio de Bohr a 529 1011 m 5291 772 109 2 32 104 Constante de Rydberg R 110 107m1 1097 373 156 853 9 50 106 Comprimento de onda de Compton do elétron λC 243 1012 m 2426 310 238 9 65 104 aOs valores desta coluna têm a mesma unidade e potência de 10 que o valor prático bPartes por milhão cCNTP significa condições normais de temperatura e pressão 0C e 10 atm 01 MPa dAs massas dadas em u estão em unidades unificadas de massa atómica 1 u 1660 538 782 1027 kg Os valores desta tabela foram selecionados entre os valores recomendados pelo Codata em 2010 wwwphysicsnistgov APÊNDICE C ALGUNS DADOS ASTRONÔMICOS Algumas Distâncias da Terra Á Lua 382 108 m Ao centro da nossa galáxia 22 1020 m Ao Sol 150 1011 m À galáxia de Andrômeda 21 1022 m À estrela mais próxima Proxima Centauri 404 1016 m Ao limite do universo observável 1026 m Distância média O Sol a Terra e a Lua Propriedade Unidade Sol Terra Lua Massa kg 199 1030 598 1024 736 1022 Raio médio m 696 108 637 106 174 106 Massa específica média kgm3 1410 5520 3340 Aceleração de queda livre na superfície ms2 274 981 167 Velocidade de escape kms 618 112 238 Período de rotaçãoa 37 d nos polosb 26 d no equadorb 23 h 56 min 273 d Potência de radiaçãoc W 390 1026 aMedido em relação às estrelas distantes bO Sol uma bola de gás não gira como um corpo rígido cPerto dos limites da atmosfera terrestre a energia solar é recebida a uma taxa de 1340 Wm2 supondo uma incidência normal Algumas Propriedades dos Planetas Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno Plutãod Distância média do Sol 106 km 579 108 150 228 778 1430 2870 4500 5900 Período de revolução anos 0241 0615 100 188 119 295 840 165 248 Período de rotaçãoa dias 587 243b 0997 103 0409 0426 0451b 0658 639 Velocidade orbital kms 479 350 298 241 131 964 681 543 474 Inclinação do eixo em relação à órbita 28 3 234 250 308 267 979 296 575 Inclinação da órbita em relação à órbita da Terra 700 339 185 130 249 077 177 172 Excentricidade da órbita 0206 00068 00167 00934 00485 00556 00472 00086 0250 Diâmetro equatorial km 4880 12 100 12 800 6790 143 000 120 000 51 800 49 500 2300 Massa Terra 1 00558 0815 1000 0107 318 951 145 172 0002 Densidade água 1 560 520 552 395 131 0704 121 167 203 Valor de g na superfíciec ms2 378 860 978 372 229 905 777 110 05 Velocidade de escapec kms 43 103 112 50 595 356 212 236 13 Satélites conhecidos 0 0 1 2 67 anel 62 anéis 27 anéis 13 anéis 4 aMedido em relação às estrelas distantes bVénus e Urano giram no sentido contrário ao do movimento orbital cAceleração gravitacional medida no equador do planeta dPlutão é atualmente classificado como um planeta anão APÊNDICE D FATORES DE CONVERSÃO Os fatores de conversão podem ser lidos diretamente das tabelas a seguir Assim por exemplo 1 grau 2778 103 revoluções e portanto 167 167 2778 103 revoluções As unidades do SI estão em letras maiúsculas Adaptado parcialmente de G Shortley and D Williams Elements of Physics 1971 PrenticeHall Englewood Cliffs NJ Ângulo Plano o RADIANOS rev 1 grau 1 60 3600 1745 102 2778 103 1 minuto 1667 102 1 60 2909 104 4630 105 1 segundo 2778 104 1667 102 1 4848 106 7716 107 1 RADIANO 5730 3438 2063 105 1 01592 1 revolução 360 216 104 1296 106 6283 1 Ângulo Sólido 1 esfera 4π esferorradianos 1257 esferorradianos Comprimento cm METROS km polegadas pés milhas 1 centímetro 1 102 105 03937 3281 102 6214 106 1 METRO 100 1 103 3937 3281 6214 104 1 quilômetro 105 1000 1 3937 104 3281 06214 1 polegada 2540 2540 102 2540 105 1 8333 102 1578 105 1 pé 3048 03048 3048 104 12 1 1894 104 1 milha 1609 105 1609 1609 6336 104 5280 1 1 angström 1010m 1 milha marítima 1852 m 1151 milha 6076 pés 1 fermi 1015 m 1 anoluz 9461 1012 km 1 parsec 3084 1013 km 1 braça 6 pés 1 raio de Bohr 5292 1011 m 1 jarda 3 pés 1 vara 165 pés 1 mil 103 polegadas 1 nm 109 m Área METROS2 cm2 pés2 polegadas2 1 METRO QUADRADO 1 104 1076 1550 1 centímetro quadrado 104 1 1076 103 01550 1 pé quadrado 9290 102 9290 1 144 1 polegada quadrada 6452 104 6452 6944 103 1 1 milha quadrada 2788 107 pés2 640 acres 1 barn 1028 m2 1 acre 43560 pés2 1 hectare 104 m2 2471 acres Volume METROS3 cm3 L pés3 polegadas3 1 METRO CÚBICO 1 106 1000 3531 6102 104 1 centímetro cúbico 106 1 1000 103 3531 105 6102 102 1 litro 1000 103 1000 1 3531 102 6102 1 pé cúbico 2832 102 2832 104 2832 1 1728 1 polegada cúbica 1639 105 1639 1639 102 5787 104 1 1 galão americano 4 quartos de galão americano 8 quartilhos americanos 128 onças fluidas americanas 231 polegadas3 1 galão imperial britânico 2774 polegadas3 1201 galão americano Massa As grandezas nas áreas sombreadas não são unidades de massa mas são frequentemente usadas como tais Assim por exemplo quando escrevemos 1 kg 2205 lb isso significa um quilograma é a massa que pesa 2205 libras em um local em que g tem o valorpadrão de 980665 ms2 g QUILOGRAMAS slug u onças libras toneladas 1 grama 1 0001 6852 105 6022 1023 3527 102 2205 103 1102 106 1 QUILOGRAMA 1000 1 6852 102 6022 1026 3527 2205 1102 103 1 slug 1459 104 1459 1 8786 1027 5148 3217 1609 102 unidade de massa atômica u 1661 1024 1661 1027 1138 1028 1 5857 1026 3662 1027 1830 1030 1 onça 2835 2835 102 1943 103 1718 1025 1 6250 102 3125 105 1 libra 4536 04536 3108 102 2732 1026 16 1 00005 1 tonelada 9072 105 9072 6216 5463 1029 32 104 2000 1 1 tonelada métrica 1000 kg Massa Específica As grandezas nas áreas sombreadas são pesos específicos e como tais dimensionalmente diferentes das massas específicas Veja a nota na tabela de massas slugpé3 QUILOGRAMASMETRO3 gcm3 lbpé3 lbpolegada3 1 slug por pé3 1 5154 05154 3217 1862 102 1 QUILOGRAMA por METRO3 1940 103 1 0001 6243 102 3613 105 1 grama por centímetro3 1940 1000 1 6243 3613 102 1 libra por pé3 3108 102 1602 1602 102 1 5787 104 1 libra por polegada3 5371 2768 104 2768 1728 1 Tempo ano d h min SEGUNDOS 1 ano 1 36525 8766 103 5259 105 3156 107 1 dia 2738 103 1 24 1440 8640 104 1 hora 1141 104 4167 102 1 60 3600 1 minuto 1901 106 6944 104 1667 102 1 60 1 SEGUNDO 3169 108 1157 105 2778 104 1667 102 1 Velocidade péss kmh METROSSEGUNDO milhash cms 1 pé por segundo 1 1097 03048 06818 3048 1 quilômetro por hora 09113 1 02778 06214 2778 1 METRO por SEGUNDO 3281 36 1 2237 100 1 milha por hora 1467 1609 04470 1 4470 1 centímetro por segundo 3281 102 36 102 001 2237 102 1 1 nó 1 milha marítimah 1688 pés 1 milhamin 8800 péss 6000 milhash Força O gramaforça e o quilogramaforça são atualmente pouco usados Um gramaforça 1 gf é a força da gravidade que atua sobre um objeto cuja massa é 1 grama em um local onde g possui o valorpadrão de 980665 ms2 dinas NEWTONS libras poundals gf kgf 1 dina 1 105 2248 106 7233 105 1020 103 1020 106 1 NEWTON 105 1 02248 7233 1020 01020 1 libra 4448 105 4448 1 3217 4536 04536 1 poundal 1383 104 01383 3108 102 1 1410 1410 102 1 gramaforça 9807 9807 103 2205 103 7093 102 1 0001 1 quilogramaforça 9807 105 9807 2205 7093 1000 1 1 tonelada 2000 libras Pressão atm dinascm2 polegadas de água cm Hg PASCALS libraspolegada2 libraspé2 1 atmosfera 1 1013 106 4068 76 1013 105 1470 2116 1 dina por centímetro2 9869 107 1 4015 104 7501 105 01 1405 105 2089 103 1 polegada de águaa a 4C 2458 103 2491 1 01868 2491 3613 102 5202 1 centímetro de mercúrioa a 0C 1316 102 1333 104 5353 1 1333 01934 2785 1 PASCAL 9869 106 10 4015 103 7501 104 1 1450 104 2089 102 1 libra por polegada2 6805 102 6895 104 2768 5171 6895 103 1 144 1 libra por pé2 4725 104 4788 01922 3591 102 4788 6944 103 1 aOnde a aceleração da gravidade possui o valorpadrão de 980665 ms2 1 bar 106 dinacm2 01 MPa 1 milibar 103 dinascm2 102 Pa 1 torr 1 mm Hg Energia Trabalho e Calor As grandezas nas áreas sombreadas não são unidades de energia mas foram incluídas por conveniência Elas se originam da fórmula relativística de equivalência entre massa e energia E mc2 e representam a energia equivalente a um quilograma ou uma unidade unificada de massa atómica u as duas últimas linhas e a massa equivalente a uma unidade de energia as duas colunas da extremidade direita Potência Btuh péslibrass hp cals kW WATTS 1 Btu por hora 1 02161 3929 104 6998 102 2930 104 02930 1 pélibra por segundo 4628 1 1818 103 03239 1356 103 1356 1 horsepower 2545 550 1 1781 07457 7457 1 caloria por segundo 1429 3088 5615 103 1 4186 103 4186 1 quilowatt 3413 7376 1341 2389 1 1000 1 WATT 3413 07376 1341 103 02389 0001 1 Campo Magnético gauss TESLAS miligauss 1 gauss 1 104 1000 1 TESLA 104 1 107 1 miligauss 0001 107 1 1 tesla 1 webermetro2 Fluxo Magnético maxwell WEBER 1 maxwell 1 108 1 WEBER 108 1 APÊNDICE E FÓRMULAS MATEMÁTICAS Geometria Círculo de raio r circunferência 2πr área πr2 Esfera de raio r área 4πr2 volume πr3 Cilindro circular reto de raio r e altura h área 2πr2 2πrh volume πr2h Triângulo de base a e altura h área ah Fórmula de Báskara Se ax2 bx c 0 então Funções Trigonométricas do Ângulo θ Teorema de Pitágoras Neste triângulo retângulo a2 b2 c2 Triângulos Ângulos A B C Lados opostos a b c A B C 180 c2 a2 b2 2ab cos C Ângulo externo D A C Sinais e Símbolos Matemáticos igual a aproximadamente igual a da ordem de grandeza de diferente de idêntico a definido como maior que muito maior que menor que muito menor que maior ou igual a não menor que menor ou igual a não maior que mais ou menos proporcional a Σ somatório de xméd valor médio de x Identidades Trigonométricas sen90 θ cos θ cos90 θ sen θ sen θcos θ tan θ sen2 θ cos2 θ 1 sen2 θ tan2 θ 1 csc2 θ cot2 θ 1 sen 2θ 2 sen θ cos θ cos 2θ cos2 θ sen2 θ 2 cos2 θ 1 1 2sen2 θ senα β sen α cos β cos α sen β cosα β cos α cos β sen α sen β sen α sen β 2 sen α β cos α θ cos α cos β 2 cos α β cos α θ cos α cos β 2 sen α β sen α θ Teorema Binomial Expansão Exponencial Expansão Logarítmica Expansões Trigonométricas θ em radianos Regra de Cramer Um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas x e y a1x b1y c1 e a2x b2y c2 tem como soluções e Produtos de Vetores Sejam î ĵ e vetores unitários nas direções x y e z respectivamente Nesse caso Qualquer vetor de componentes ax ay e az ao longo dos eixos x y e z pode ser escrito na forma Sejam e vetores arbitrários de módulos a b e c Nesse caso Seja θ o menor dos dois ângulos entre e Nesse caso Derivadas e Integrais Nas fórmulas a seguir as letras u e v representam duas funções de x e a e m são constantes A cada integral indefinida devese somar uma constante de integração arbitrária O Handbook of Chemistry and Physics CRC Press Inc contém uma tabela mais completa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 APÊNDICE F PROPRIEDADES DOS ELEMENTOS Todas as propriedades físicas são dadas para uma pressão de 1 atm a menos que seja indicado em contrário Elemento Símbolo Número Atômico Z Massa Molar gmol Massa Específica gcm3 a 20C Ponto de Fusão C Ponto de Ebulição C Calor Específico Jg c a 25C Actínio Ac 89 227 1006 1323 3473 0092 Alumínio A1 13 269815 2699 660 2450 0900 Amerício Am 95 243 1367 1541 Antimônio Sb 51 12175 6691 6305 1380 0205 Argônio Ar 18 39948 16626 103 1894 1858 0523 Arsênio As 33 749216 578 817 28 atm 613 0331 Astatínio At 85 210 302 Bário Ba 56 13734 3594 729 1640 0205 Berílio Be 4 90122 1848 1287 2770 183 Berquélio Bk 97 247 1479 Bismuto Bi 83 208980 9747 27137 1560 0122 Bóhrio Bh 107 26212 Boro B 5 10811 234 2030 111 Bromo Br 35 79909 312 líquido 72 58 0293 Cádmio Cd 48 11240 865 32103 765 0226 Cálcio Ca 20 4008 155 838 1440 0624 Califórnio Cf 98 251 Carbono c 6 1201115 226 3727 4830 0691 Cério Ce 58 14012 6768 804 3470 0188 Césio Cs 55 132905 1873 2840 690 0243 Chumbo Pb 82 20719 1135 32745 1725 0129 Cloro Cl 17 35453 3214 103 0C 101 347 0486 Cobalto Co 27 589332 885 1495 2900 0423 Cobre Cu 29 6354 896 108340 2595 0385 Copernício Cn 112 285 Criptônio Kr 36 8380 3488 103 15737 152 0247 Cromo Cr 24 51996 719 1857 2665 0448 Cúrio Cm 96 247 133 Darmstádtio Ds 110 271 Disprósio Dy 66 16250 855 1409 2330 0172 Dúbnio Db 105 262114 Einstêinio Es 99 254 Enxofre S 16 32064 207 1190 4446 0707 Érbio Er 68 16726 915 1522 2630 0167 Escândio Sc 21 44956 299 1539 2730 0569 Estanho Sn 50 11869 72984 231868 2270 0226 Estrôncio Sr 38 8762 254 768 1380 0737 Európio Eu 63 15196 5243 817 1490 0163 Férmio Fm 100 237 Ferro Fe 26 55847 7874 15365 3000 0447 Fleróvio F1 114 289 Flúor F 9 189984 1696 103 0C 2196 1882 0753 Fósforo P 15 309738 183 4425 280 0741 Frâncio Fr 87 223 27 Gadolínio Gd 64 15725 790 1312 2730 0234 Gálio Ga 31 6972 5907 2975 2237 0377 Germânio Ge 32 7259 5323 93725 2830 0322 Háfnio Hf 72 17849 1331 2227 5400 0144 Hássio Hs 108 265 Hélio He 2 40026 01664 103 2697 2689 523 Hidrogênio H 1 100797 008375 103 25919 2527 144 Hólmio Ho 67 164930 879 1470 2330 0165 Índio In 49 11482 731 156634 2000 0233 Iodo I 53 1269044 493 1137 183 0218 Irídio Ir 77 1922 225 2447 5300 0130 Itérbio Yb 70 17304 6965 824 1530 0155 Ítrio Y 39 88905 4469 1526 3030 0297 Lantânio La 57 13891 6189 920 3470 0195 Laurêncio Lr 103 257 Lítio Li 3 6939 0534 18055 1300 358 Livermório Lv 116 293 Lutécio Lu 71 17497 9849 1663 1930 0155 Magnésio Mg 12 24312 1738 650 1107 103 Manganês Mn 25 549380 744 1244 2150 0481 Meitnério Mt 109 266 Mendelévio Md 101 256 Mercúrio Hg 80 20059 1355 3887 357 0138 Molibdênio Mo 42 9594 1022 2617 5560 0251 Neodímio Nd 60 14424 7007 1016 3180 0188 Neônio Ne 10 20183 08387 103 248597 2460 103 Netúnio Np 93 237 2025 637 126 Níquel Ni 28 5871 8902 1453 2730 0444 Nióbio Nb 41 92906 857 2468 4927 0264 Nitrogênio N 7 140067 11649 103 210 1958 103 Nobélio No 102 255 Ósmio Os 76 1902 2259 3027 5500 0130 Ouro Au 79 196967 1932 106443 2970 0131 Oxigênio O 8 159994 13318 103 21880 1830 0913 Paládio Pd 46 1064 1202 1552 3980 0243 Platina Pt 78 19509 2145 1769 4530 0134 Plutônio Pu 94 244 198 640 3235 0130 Polônio Po 84 210 932 254 Potássio K 19 39102 0862 6320 760 0758 Praseodímio Pr 59 140907 6773 931 3020 0197 Prata Ag 47 107870 1049 9608 2210 0234 Promécio Pm 61 145 722 1027 Protactínio Pa 91 231 1537 estimada 1230 Rádio Ra 88 226 50 700 Radônio Rn 86 222 996 103 0C 71 618 0092 Rênio Re 75 1862 2102 3180 5900 0134 Ródio Rh 45 102905 1241 1963 4500 0243 Roentgênio Rg 111 280 Rubídio Rb 37 8547 1532 3949 688 0364 Rutênio Ru 44 101107 1237 2250 4900 0239 Rutherfórdio Rf 104 26111 Samário Sm 62 15035 752 1072 1630 0197 Seabórgio Sg 106 263118 Selênio Se 34 7896 479 221 685 0318 Silício Si 14 28086 233 1412 2680 0712 Sódio Na 11 229898 09712 9785 892 123 Tálio T1 81 20437 1185 304 1457 0130 Tântalo Ta 73 180948 166 3014 5425 0138 Tecnécio Tc 43 99 1146 2200 0209 Telúrio Te 52 12760 624 4495 990 0201 Térbio Tb 65 158924 8229 1357 2530 0180 Titânio Ti 22 4790 454 1670 3260 0523 Tório Th 90 232 1172 1755 3850 0117 Túlio Tm 69 168934 932 1545 1720 0159 Tungstênio W 74 18385 193 3380 5930 0134 Ununóctio Uuo 118 294 Ununpêntio Uup 115 288 Ununséptio Uus 117 Ununtrio Uut 113 284 Urânio U 92 238 1895 1132 3818 0117 Vanádio V 23 50942 611 1902 3400 0490 Xenônio Xe 54 13130 5495 103 11179 108 0159 Zinco Zn 30 6537 7133 41958 906 0389 Zircônio Zr 40 9122 6506 1852 3580 0276 Os números entre parênteses na coluna das massas molares são os números de massa dos isótopos de vida mais longa dos elementos radioativos Os pontos de fusão e pontos de ebulição entre parênteses são pouco confiáveis Os dados para os gases são válidos apenas quando eles estão no estado molecular mais comum como H2 He O2 Ne etc Os calores específicos dos gases são os valores a pressão constante Fonte Adaptada de J Emsley The Elements 3a edição 1998 Clarendon Press Oxford Veja também wwwwebelementscom para valores atualizados e possivelmente novos elementos Nome provisório APÊNDICE G TABELA PERIÓDICA DOS ELEMENTOS RESPOSTAS dos Testes e das Perguntas e Problemas Ímpares Capítulo 12 T 1 c e f 2a não b no ponto de aplicação de 1 perpendicular ao plano da figura c 45 N 3 d P 1 a 1 e 3 2 b todas iguais c 1 e 3 2 zero 3 a e c as forças e os torques se equilibram 5 a 12 kg b 3 kg c 1 kg 7 a em C para eliminar da equação do torque as forças aplicadas a esse ponto b positivo c negativo d igual 9 aumenta 11 A e B empatadas depois C PR 1 a 100 m b 200 m c 0987 m d 197 m 3 a 94 N b 44 N 5 792 kN 7 a 28 102 N b 88 102 N c 71 9 744 g 11 a 12 kN b para baixo c 17 kN d para cima e o de trás f o da frente 13 a 27 kN b para cima c 36 kN d para baixo 15 a 50 N b 30 N c 13 m 17 a 064 m b aumentar 19 87 N 21 a 663 kN b 574 kN c 596 kN 23 a 192 N b 961 N c 555 N 25 136 N 27 a 19 kN b para cima c 21 kN d para baixo 29 a 80 Nî 13 102 Nĵ b 80 Nî 13 102 Nĵ 31 220 m 33 a 600 b 300 N 35 a 445 N b 050 c 315 N 37 034 39 a 211 N b 534 N c 320 N 41 a desliza b 31 c tomba d 34 43 a 65 106 Nm2 b 11 l05 m 45 a 080 b 020 c 025 47 a 14 109 N b 75 49 a 866 N b 143 N c 0165 51 a 12 102 N b 68 N 53 a 18 107 N b 14 107 N c 16 55 029 57 76 N 59 a 801 kN b 365 kN c 566 kN 61 717 N 63 a L2 b L4 c L6 d L8 e 25L24 65 a 88 N b 30î 1 97ĵ N 67 24 109 Nm2 69 60 71 a μ 057 b μ 057 73 a 35î 200ĵ N b 45î 200ĵ N c 19 102 N 75 a BC CD DA b 535 N c 757 N 77 a 138 kN b 180 N 79 a a1 L2 a2 5L8 h 9L8 b bl 2L3 b2 L2 h 7L6 81L4 83 a 106 N b 640 85 18 102 N 87 a 244 N b 160 N c 375o Capítulo 13 T 1 todos iguais 2 a 1 2 e 4 3 b da horizontal 3 a aumenta b negativo 4 a 2 b 1 5 a a trajetória 1 a redução de E tornandoa mais negativa reduz o valor de a b menor a redução de a resulta em uma redução de T P 1 3Gm2d2 para a esquerda 3 Gm2r2 para cima 5 b e c a zero 7 1 2 e 4 3 9 a y b sim gira no sentido antihorário até apontar para a partícula B 11 b d e f os três empatados e c a PR 1 12 3 19 m 5 08 m 7 500d 9 260 105 km 11 a M m b 0 13 831 109 N 15 a 188d b 390d c 0489d 17 a 17 N b 24 19 26 106 m 21 5 1024 kg 23 a 76 ms2 b 42 ms2 25 a 30 107 Nkgm b 33 107 Nkgm c 67 107 Nkg m mr 27 a 983 ms2 b 984 ms2 c 979 ms2 29 50 109 J 31 a 074 b 38 ms2 c 50 kms 33 a 00451 b 285 35 482 1013 J 37 a 050 pJ b 050 pJ 39 a 17 kms b 25 105 m c 14 kms 41 a 82 kms b 18 104 kms 43 a 782 kms b 875 min 45 65 1023 kg 47 5 1010 estrelas 49 a 19 1013 m b 64RP 51 a 664 103 km b 00136 ano 53 58 l06 m 57 071 ano 59 GML05 61 a 319 103 km b a energia para fazer o satélite subir 63 a 28 anos b 10 104 65 a r15 b rl c r05 d r05 67 a 75 kms b 97 min c 41 102 km d 77 kms e 93 min f 32 103 N g não h sim 69 11 s 71 a GMmxx2 R232 b 2GMR1 R2 x21212 73 a 10 103 kg b 15 kms 75 32 107 N 77 037ĵ μN 79 2πr15G05M m405 81 a 22 107 rads b 89 kms 83 a 215 104 s b 123 kms c 120 kms d 217 1011 J e 453 1011 J f 235 1011 J g 404 107 m h 122 103 s i a elíptica 85 25 104 km 87 a 14 106 ms b 3 106 ms2 89 a 0 b 18 1032 J c 18 1032 J d 099 kms 91 a Gm2Ri b Gm22Ri c GmRi05 d 2GmRi05 e Gm2Ri f 2GmRi05 g O referencial do centro de massa é um referencial inercial e nele a lei de conservação da energia pode ser aplicada como no Capítulo 8 o referencial ligado ao corpo A é não inercial e a lei de conservação da energia não pode ser aplicada como no Capítulo 8 A resposta correta é do item d 93 24 104 ms 95 0044ĵ μN 97 GMTm12RT 99 a 151 1012 N b 0 101 34 105 km Capítulo 14 T 1 são todas iguais 2 a são todas iguais a força gravitacional a que o pinguim está submetido é a mesma b 095ρ0 ρ0 llρ0 3 13 cm3s para fora 4 a todas iguais b 1 2 e 3 4 quanto mais larga mais lenta c 4 3 2 1 quanto mais larga e mais baixa maior a pressão P 1 a desce b desce 3 a desce b desce c permanece o mesmo 5 b a e d empatados zero c 7 a 1 e 4 b 2 c 3 9 B C A PR 1 0074 3 11 105 Pa 5 29 104 N 7 b 26 kN 9 a 10 103 torr b 17 103 torr 11 a 94 torr b 41 102 torr c 31 102 torr 13 108 103 atm 15 226 104 Pa 17 72 105 N 19 469 105 N 21 0635 J 23 44 km 25 73926 torr 27 a 79 km b 16 km 29 850 kg 31 a 67 102 kgm3 b 74 102 kgm3 33 a 204 102 m3 b 157 kN 35 cinco 37 573 cm 39 a 12 kg b 13 103 kgm3 41 a 010 b 0083 43 a 6378 cm3 b 5102 m3 c 5102 103 kg 45 0126 m3 47 a 180 m3 b 475 m3 49 a 30 ms b 28 ms 51 81 ms 53 66 W 55 14 105 J 57 a 16 103 m3s b 090 m 59 a 25 ms b 26 105 Pa 61 a 39 ms b 88 kPa 63 11 102 ms 65 b 20 102 m3s 67 a 74 N b 15 102 m3 69 a 00776 m3s b 698 kgs 71 a 35 cm b 30 cm c 20 cm 73 15 gcm3 75 511 107 kg 77 442 g 79 60 102 kgm3 81 453 cm3 83 a 32 ms b 92 104 Pa c 103 m 85 107 103 g 87 263 m2 89 a 566 109 N b 254 atm Capítulo 15 T 1 plote x em função de t a xm b xm c 0 2 c a deve ter a forma da Eq 158 3 a F deve ter a forma da Eq 1510 4 a J b 2 J c J 5 são todos iguais na Eq 1529 I é proporcional a m 6 1 2 3 a razão mb faz diferença mas não o valor de k P 1 a e b 3 a 2 b positiva c entre 0 e xm 5 a entre D e E b entre 3π2 rad e 2π rad 7 a são todas iguais b 3 e depois 1 e 2 empatadas c 1 2 3 zero d 1 2 3 zero e 1 3 2 9 b período infinito não oscila c a 11 a maior b igual c igual d maior e maior PR 1 a 050 s b 20 Hz c 18 cm 3 378 ms2 5 a 10 mm b 075 ms c 57 102 ms2 7 a 498 Hz b maior 9 a 30 m b 49 ms c 27 102 ms2 d 20 rad e 15 Hz f 067 s 11 396 Hz 13 a 0500 s b 200 Hz c 126 rads d 790 Nm e 440 ms f 276 N 15 a 018A b no mesmo sentido 17 a 558 Hz b 0325 kg c 0400 m 19 a 25 cm b 22 Hz 21 54 Hz 23 31 cm 25 a 0525 m b 0686 s 27 a 075 b 025 c 205xm 29 37 mJ 31 a 225 Hz b 125 J c 250 J d 866 cm 33 a 11 ms b 33 cm 35 a 31 ms b 40 ms c 0080 J d 80 N e 40 N 37 a 22 Hz b 56 cms c 010 kg d 200 cm 39 a 395 rads b 342 rads c 124 rads2 41 a 0205 kg m2 b 477 cm c 150 s 43 a 164 s b igual 45 877 s 47 0366 s 49 a 0845 rad b 00602 rad 51 a 053 m b 21 s 53 00653 s 55 a 226 s b aumenta c permanece o mesmo 57 60 59 a 143 s b 527 61 a Fmbω b Fmb 63 50 cm 65 a 28 103 rads b 21 ms c 57 kms2 67 a 11 Hz b 50 cm 69 72 ms 71 a 790 Nm b 119 cm c 200 Hz 73 a 13 102 Nm b 062 s c 16 Hz d 50 cm e 051 ms 75 a 166 cm b 123 77 a 12 J b 50 79 153 m 81 a 030 m b 028 s c 15 102 ms2 d 11 J 83 a 123 kNm b 760 N 85 16 kg 87 a 0735 kg m2 b 00240 N m c 0181 rads 89 a 35 m b 075 s 91 a 035 Hz b 039 Hz c 0 não há oscilações 93 a 245 Nm b 0284 s 95 0079 kg m2 97 a 811 105 kg m2 b 314 rads 99 140 101 a 32 Hz b 026 m c x 026 m cos20t π2 com t em segundos 103 a 044 s b 018 m 105 a 045 s b 010 m acima e 020 m abaixo c 015 m d 23 J 107 7 102 Nm 109 0804 m 111 a 030 m b 30 ms2 c 0 d 44 s 113 a Fm b 2FmL c 0 115 254 m Capítulo 16 T 1 a 2 b 3 c 1 compare com a fase da Eq 162 e veja a Eq 165 2 a 2 3 1 veja a Eq 1612 b 3 e depois 1 e 2 empatados determine a amplitude de dydt 3 a permanece igual é independente de f b diminui λ vf c aumenta d aumenta 4 020 e 080 empatados 060 045 5 a l b 3 c 2 6 a 75 Hz b 525 Hz P 1 a 1 4 2 3 b 1 4 2 3 3 a para cima b para cima c para baixo d para baixo e para baixo f para baixo g para cima h para cima 5 intermediária mais próxima de destrutiva 7 a 0 02 comprimento de onda 05 comprimento de onda zero b 4Pméd1 9 d 11 c a b PR 1 11 ms 3 a 349 m1 b 315 ms 5 a 0680 s b 147 Hz c 206 ms 7 a 64 Hz b 13 m c 40 cm d 50 m1 e 40 102 s1 f π2 rad g negativo 9 a 30 mm b 16 m1 c 24 102 s1 d negativo 11 a negativa b 40 cm c 031 cm1 d 063 s1 e π rad f negativo g 20 cms h 25 cms 13 a 117 cm b π rad 15 a 012 mm b 141 m1 c 628 s1 d positivo 17 a 15 ms b 0036 N 19 129 ms 21 263 m 23 a 50 cm b 40 cm c 12 ms d 0033 s e 94 ms f 16 m1 g 19 102 s1 h 093 rad i positivo 27 32 mm 29 020 ms 31 141ym 33 a 90 mm b 16 m1 c 11 103 s1 d 27 rad e positivo 35 50 cm 37 a 329 mm b 155 rad c 155 rad 39 84 41 a 820 ms b 168 m c 488 Hz 43 a 791 Hz b 158 Hz c 237 Hz 45 a 105 Hz b 158 ms 47 260 Hz 49 a 144 ms b 600 cm c 241 Hz 51 a 050 cm b 31 m1 c 31 102 s1 d negativo 53 a 025 cm b 12 102 cms c 30 cm d 0 55 025 m 57 a 200 Hz b 200 m c 400 ms d 500 cm e 150 cm f 250 cm g 0 h 100 cm i 200 cm 59 a 324 Hz b oito 61 36 N 63 a 75 Hz b 13 ms 65 a 20 mm b 95 Hz c 30 ms d 31 cm e 12 ms 67 a 031 m b 164 rad c 22 mm 69 a 083y1 b 37 71 a 377 ms b 123 N c 0 d 464 W e 0 f 0 g 050 cm 73 12 rad 75 a 300 ms b não 77 a k Δℓℓ Δℓm05 79 a 144 ms b 300 m c 150 m d 480 Hz e 960 Hz 81 a 100 cm b 346 103 s1 c 105 m1 d positivo 83 a 2πymλ b não 85 a 240 cm b 120 cm c 80 cm 87 a 133 ms b 188 ms c 167 ms2 d 237 ms2 89 a 052 m b 40 ms c 040 m 91 a 016 m b 24 102 N c yx t 016 m sen157 m1x sen314 s1t 93 c 20 ms d x 95 a b 10 c 40 Capítulo 17 T 1 começando a diminuir por exemplo desloque mentalmente as curvas da Fig 176 para a direita a partir do ponto x 42 m 2 a 1 e 2 empatados 3 veja a Eq 1728 b 3 e depois 1 e 2 empatados veja a Eq 1726 3 o segundo veja as Eqs 1739 e 1741 4 a maior b menor c indefinido d indefinido e maior f menor P 1 a 0 02 comprimento de onda 05 comprimento de onda zero b 4Pméd1 3 C e depois A e B empatados 5 E A D C B 7 1 4 3 2 9 150 Hz e 450 Hz 11 505 507 508 Hz ou 501 503 508 Hz PR 1 a 79 m b 41 m c 89 m 3 a 26 km b 20 102 5 19 103 km 7 407 m 9 023 ms 11 a 762 μm b 0333 mm 13 960 Hz 15 a 23 102 Hz b maior 17 a 143 Hz b 3 c 5 d 286 Hz e 2 f 3 19 a 14 b 14 21 a 343 Hz b 3 c 5 d 686 Hz e 2 f 3 23 a 0 b construtiva c aumenta d 128 m e 630 m f 412 m 25 368 nm 27 a 10 103 b 32 29 150 mW 31 2 μW 33 076 μm 35 a 597 105 Wm2 b 448 nW 37 a 034 nW b 068 nW c 14 nW d 088 nW e 0 39 a 405 ms b 596 N c 440 cm d 373 cm 41 a 833 Hz b 0418 m 43 a 3 b 1129 Hz c 1506 Hz 45 a 2 b l 47 124 m 49 453 N 51 225 ms 53 0020 55 a 526 Hz b 555 Hz 57 0 59 a 1022 kHz b 1045 kHz 61 41 kHz 63 155 Hz 65 a 20 kHz b 20 kHz 67 a 4858 Hz b 5000 Hz c 4862 Hz d 5000 Hz 69 a 42 b 11 s 71 1 cm 73 21 m 75 a 397 μWm2 b 171 nm c 0893 Pa 77 025 79 a 210 m b 147 m 81 a 597 b 281 104 83 a para a direita b 090 ms c menor 85 a 11 ms b 38 m 87 a 97 102 Hz b 10 kHz c 60 Hz não 89 a 21 nm b 35 cm c 24 nm d 35 cm 91 a 770 Hz b 770 Hz 93 a 52 kHz b 2 95 a 10 W b 0032 Wm2 c 99 dB 97 a 0 b 0572 m c 114 m 99 171 m 101 a 36 102 ms b 150 Hz 103 400 Hz 105 a 14 b 12 107 821 ms 109 a 393 Hz b 118 Hz 111 48 102 Hz Capítulo 18 T 1 a são todos iguais b 50X 50Y 50W 2 a 2 e 3 empatados 1 4 b 3 2 e em seguida 1 e 4 empatados por analogia com as Eqs 189 e 1810 suponha que a variação da área é proporcional à área inicial 3 A veja a Eq 1814 4 c e e maximizam a área limitada por um ciclo no sentido horário 5 a são todas iguais ΔEint não depende da trajetória mas apenas de i e f b 4 3 2 1 comparando as áreas sob as curvas c 4 3 2 1 veja a Eq 1826 6 a nula ciclo fechado b negativa Wtot é negativo veja a Eq 1826 7 b e d empatados a c mesmo valor de Pcond veja a Eq 1832 P 1 c e depois a b e d empatados 3 B e depois A e C empatados 5 a f porque a temperatura do gelo não pode aumentar até o ponto de congelamento e depois diminuir b b e c no ponto de congelamento da água d acima e abaixo c em b o líquido congela parcialmente e o gelo não derrete em c o líquido não congela e o gelo não derrete em d o líquido não congela e o gelo derrete totalmente em e o líquido congela totalmente e o gelo não derrete 7 a ambos no sentido horário b ambos no sentido horário 9 a maior b 1 2 3 c 1 3 2 d 1 2 3 e 2 3 1 11 c b a PR 1 1366 3 348 K 5 a 320F b 123F 7 921X 9 2731 cm 11 4987 cm3 13 29 cm3 15 360C 17 026 cm3 19 013 mm 21 75 cm 23 160 s 25 946 L 27 427 kJ 29 33 m2 31 33 g 33 30 min 35 135C 37 a 53C b 0 c 0C d 60 g 39 742 kJ 41 a 0C b 25C 43 a 12 102 J b 75 J c 30 J 45 230 J 47 a 60 cal b 43 cal c 40 cal d 18 cal e 18 cal 49 60 J 51 a 123 kW b 228 kW c 105 kW 53 166 kJs 55 a 16 Js b 0048 gs 57 a 17 104 Wm2 b 18 Wm2 59 050 min 61 040 cmh 63 42C 65 11 m 67 10 69 a 80 J b 80 J 71 45 102 Jkg K 73 0432 cm3 75 31 102 J 77 795C 79 23 J 81 a 11p1V1 b 6plVl 83 483 102 cm3 85 105C 87 a 90 W b 23 102 W c 33 102 W 89 a 187 104 b 104 h 91 333 J 93 86 J 95 a 45 J b 45 J 97 40 103 min 99 61 nW 101 117C 103 80 103 m2 105 a adianta b 079 sh 107 19 Capítulo 19 T 1 todos menos c 2 a são todos iguais b 3 2 1 3 o gás A 4 5 a maior variação de T e depois 1 2 3 e 4 empatados 5 1 2 3 Q3 0 Q2 é produzido pelo trabalho W2 mas Q1 é produzido por um trabalho maior W1 e aumenta a temperatura do P 1 d depois a e b empatados depois c 3 20 J 5 a 3 b 1 c 4 d 2 e sim 7 a 1 2 3 4 b 1 2 3 9 a volume constante PR 1 0933 kg 3 a 00388 mol b 220C 5 25 moléculascm3 7 a 314 103 J b cedido 9 186 kPa 11 560 kJ 13 a 15 mol b 18 103 K c 60 102 K d 50 kJ 15 360 K 17 20 105 Pa 19 a 511 ms b 200C c 899C 21 18 102 ms 23 19 kPa 25 a 565 1021 J b 772 1021 J c 340 kJ d 465 kJ 27 a 676 l020 J b 107 29 a 6 109 km 31 a 327 1010 moléculascm3 b 172 m 33 a 65 kms b 71 kms 35 a 420 ms b 458 ms c sim 37 a 067 b 12 c 13 d 033 39 a 10 104 K b 16 105 K c 44 102 K d 70 103 K e não f sim 41 a 70 kms b 20 l08 cm c 35 1010 colisõess 43 a 349 kJ b 249 kJ c 997 J d 100 kJ 45 a 66 1026 kg b 40 gmol 47 a 0 b 374 J c 374 J d 311 1022 J 49 158 JmolK 51 80 kJ 53 a 698 kJ b 499 kJ c 199 kJ d 299 kJ 55 a 14 atm b 62 102 K 57 a diatômico b 446 K c 810 mol 59 15 J 61 20 J 63 a 374 kJ b 374 kJ c 0 d 0 e 181 kJ f 181 kJ g 322 kJ h 193 kJ i 129 kJ j 520 J k 0 1 520 J m 00246 m3 n 200 atm o 00373 m3 p 100 atm 65 a monoatômico b 27 104 K c 45 104 mol d 34 kJ e 34 102 kJ f 0010 67 a 200 atm b 333 J c 0961 atm d 236 J 69 349 K 71 a 374 J b 0 c 374 J d 311 1022 J 73 703 109 s1 75 a 900 cal b 0 c 900 cal d 450 cal e 1200 cal f 300 cal g 900 cal h 450 cal i 0 j 900 cal k 900 cal 1 450 cal 77 a 3v3 0 b 0750v0 c 0775v0 79 a 237 kJ b 237 kJ 81 b 125 J c absorvida 83 a 80 atm b 300 K c 44 kJ d 32 atm e 120 K f 29 kJ g 46 atm h 170 K i 34 kJ 85 a 38 L b 71 g 87 30 J 89 228 m 95 140 97 471 Capítulo 20 T 1 a b c 2 menor Q é menor 3 c b a 4 a d c b 5 b P 1 b a c d 3 permanece constante 5 a e c empatados e depois b e d empatados 7 a permanece a mesma b aumenta c diminui 9 A primeira B primeira e segunda C segunda D nenhuma PR 1 a 922 kJ b 231 JK c 0 3 144 JK 5 a 579 104 J b 173 JK 7 a 320 K b 0 c 172 JK 9 076 JK 11 a 570C b 221 JK c 249 JK d 28 JK 13 a 710 mJK b 710 mJK c 723 mJK d 723 mJK e 13 mJK f 0 15 a 943 JK b 943 JK c sim 17 a 0333 b 0215 c 0644 d 110 e 110 f 0 g 110 h 0 i 0889 j 0889 k 110 1 0889 m 0 n 0889 o 0 19 a 0693 b 450 c 0693 d 0 e 450 f 230 JK g 0693 h 750 i 0693 j 300 k 450 1 230 JK 21 118 JK 23 97 K 25 a 266 K b 341 K 27 a 236 b 149 104 J 29 a 227 kJ b 148 kJ c 154 d 750 e maior 31 a 33 kJ b 25 kJ c 26 kJ d 18 kJ 33 a 147 kJ b 554 J c 918 J d 624 35 a 300 b 198 c 0660 d 0495 e 0165 f 340 37 440 W 39 20 J 41 025 hp 43 203 47 a W Nn1n2n3 b N2N2N3N3N3 c 42 1016 49 0141 JK s 51 a 87 ms b 12 102 ms c 22 JK 53 a 78 b 82 kgs 55 a 409C b 271 JK c 305 JK d 34 JK 57 1359 JK 59 118 103 JK 63 a 0 b 0 c 230 JK d 230 JK 65 a 255 kJ b 473 kJ c 185 67 a 195 JK b 0650 JK c 0217 JK d 0072 JK e diminui 69 a 445 JK b não 71 a 126 1014 b 471 1013 c 037 d 101 109 e 137 108 f 014 g 905 1058 h 164 1057 i 0018 j diminui 73 a 426 kJ b 761 kJ 75 a l b l c 3 d 10 e 15 1023 JK f 32 1023 JK 77 e 1 1 K1 79 67 FÓRMULAS MATEMÁTICAS Equação do Segundo Grau Se ax2 bx c 0 Teorema Binomial Produtos de Vetores Seja θ o menor dos dois ângulos entre e Nesse caso Identidades Trigonométricas Derivadas e Integrais Regra de Cramer Um sistema de duas equações com duas incógnitas x e y a1x b1y c1 e a2x b2y c2 tem como soluções e Uma lista mais completa está no Apêndice E PREFIXOS DO SI Fator Prefixo Símbolo Fator Prefixo Símbolo 1024 yotta Y 101 deci d 1021 zetta Z 102 centi c 1018 exa E 103 mili m 1015 peta P 106 micro μ 1012 tera T 109 nano n 109 giga G 1012 pico P 106 mega M 1015 femto f 103 quilo k 1018 atto a 102 hecto h 1021 zepto z 10 deca da 1024 yocto y ALGUMAS CONSTANTES FÍSICAS Velocidade da luz c 2998 108 ms Constante gravitacional G 6673 1011 N m2kg2 Constante de Avogadro NA 6022 1023 mol1 Constante universal dos gases R 8314 Jmol K Relação entre massa e energia c2 8988 1016 Jkg 93149 MeVu Constante de permissividade ε0 8854 1012 Fm Constante de permeabilidade μ0 1257 106 Hm Constante de Planck h 6626 1034J s 4136 1015 eV s Constante de Boltzmann k 1381 1023 JK 8617 105 eVK Carga elementar e 1602 1019C Massa do elétron me 9109 1031 kg Massa do próton mv 1673 1027 kg Massa do néutron mn 1675 1027 kg Massa do déuteron md 3344 1027 kg Raio de Bohr a 5292 1011 m Magnéton de Bohr μB 9274 1024 JT 5788 105 eVT Constante de Rydberg R 1097 373 107m1 Uma lista mais completa que mostra também os melhores valores experimentais está no Apêndice B ALFABETO GREGO Alfa A α Iota I ι Rô P ρ Beta B β Capa K κ Sigma Σ σ Gama Γ γ Lambda Λ λ Tau Τ τ Delta Δ δ Mi M μ Ípsilon Y υ Epsílon E ε Ni N υ Fi Φ ϕ φ Zeta Z ζ Csi Ξ ξ Qui X χ Eta H η Ömicron O o Psi Ψ ψ Teta θ θ Pi Π π Ômega Ω ω ALGUNS FATORES DE CONVERSÃO Massa e Massa Específica 1 kg 1000 g 602 1026 u 1 slug 1459 kg 1 u 1661 1027 kg 1 kgm3 103 gcm3 Comprimento e Volume 1 m 100 cm 394 in 328 ft 1 mi 161 km 5280 ft 1 in 254 cm 1 nm 109 m 10 Å 1 pm 1012 m 1000 fm 1 anoluz 9461 X 1015 m 1 m3 1000 L 353 ft3 264 gal Tempo 1 d 86 400 s 1 ano 365 d 6h 316 X 107 s Ângulos 1 rad 573 0159 rev π rad 180 rev Velocidade 1 ms 328 fts 224 mih 1 kmh 0621 mih 0278 ms Força e Pressão 1 N 105 dina 0225 lb 1 lb 445 N 1 t 2000 lb 1 Pa 1 Nm2 10 dinacm2 145 X 104 lbin2 1 atm 101 X 105 Pa 147 lbin2 760 cm Hg Energia e Potência 1 J 107 erg 02389 cal 0738 ft lb 1 kW h 36 X 106 J 1 cal 41868 J 1 eV 1602 X 1019 J 1 hp 746 W 550 ft lbs Magnetismo 1 T 1 Wbm2 104 gauss Uma lista mais completa está no Apêndice D A unidade de potência hp é uma abreviatura do inglês horsepower que não corresponde exatamente ao cavalovapor cv que é igual a 7355 W NT