Pêndulo Físico - Momento de Inércia e Segunda Lei de Newton para Rotações

Pêndulo físico prof Dr ArianeBraga Momento de Inércia O momento de inércia expressa o graudedificuldade em se alterar oestado demovimentode um corpo em rotação Omomento de inérciadependeda distribuição damassa do corpo em torno de um eixo derotaçãoespecífico Em umadistribuiçãocontínuade massa o momento de inércia édado pela seguinte integral Osmomentosdeinércia I r dm dealgunscorposextensos Jáestão tabelados PênduloFísico Entendemosqueum pêndulofísico ou composto équalquersistema deoscilação queconsiste em umcorporígidoquepodebalançar ao redor de umponto de suspensão fixa Diferente dopêndulosimples ondeseconsidera um pontode massa suspenso porum fio sem massa o pendulofísico leva emcontaadistribuiçãode massa doob Fofênitófísico tem a massa distribuída ao longodocorpo Vamos apresentar um pêndulode barra com m e momento de inércia I preso a um pontocujadistância ao centro de massa é d Pararesolverconsideramosque a massa distribuídaaolongodocorpo estivesse concentrada no centrodemassado corpo SegundaleideNewtonpararotações E Torque É uma grandezavetorialassociada E f f asforçasqueproduzemrotaçãoem umcorpo Emalgunslivrosessagran ΔFI dezaéchamadatambémdemomento oquepodeconfundircommomento li É unidade near momentoangular ou momentode eixoderotação N m inércia torqueresultante Eres É 6 É fitaforçatangencial Fit Mi diz aceleraçãotangencial Gres TE rimidie É rimilari α Emir TEMOmentode Tres I α Inércia Segunda Leide Newton Translação F m a Rotação É Éá Vamos analisar o pêndulo físico Utilizando o diagramados corpos livres no pêndulo e apontar as forças atuantes Figura como estamos tratando de um corpo girando em torno de um corpo utilizaremos a lei de Newton pararotações E Eminiiiiiiiiiiana N EEE Me Py up m Vamos calcular o torque em relação ao ponto do eixo mas primeiro decompor o peso em duasdireçõespoisapenas uma de suas componentes geraotorque A forçanormal está atuando no ponto derotação e a distância é zero logo nãogeratorque A forçaPy atua nadireção da barra logo também não geratorque A únicaforçaquegeraalgumtorque é o Pxque faz 90ºem relação a barra é dada por P Tjjãôntrário do sentido referencial Torque é G F d E Pseno d E Pd seno Aplicando a segunda lei de Newton para rotações E Ix α É Pd seno I Ó seno o I Pd O O Ó PIO 0 comparando com aequaçãodeMAS Ótão o temos wFI velocidade angular é w 217T logo F FE E 21TFE A frequênciaserá f EFE Vamos fazer um exemplo com a barra presa ser sua extremidade e oscila em torno destepontoPodemos calcular a freq angular e o período se a barra possui 3m e tem 5kg a FE Enecessáriopara a frequência encontrar I Como a oscilaçãonão acontece no centro de massa seránecessário utilizar o teorema doseixos paralelos I EM Toda massa docorpo e adistância ateCM momento deinérciadocorpono CM O Icm de uma barra homogêneaé A Icm F assim I II M E ME EI Para este caso 1 51 Para o cálculo desteexemplo I BI 5732 15kgm A frequênciaangularserá W FI MP 221 rad s Operíodo EI EI 284s Exercício 01 Umahasterígida decomprimento L e massa M estásuspensa em um pontoque dista do centro de gravidadeda haste No instante t o a haste é abandonada a partir do repouso de um ângulo com a direção vertical Considere o limite deoscilações com ângulos pequenos Momento de inércia da haste Ia ME a Obtenha a equação diferencial que descreve o movimento de rotação da haste É PF0 0 é FEITO É 1211 I Ia md I ME my 1 7 2 b Determine o período de oscilação To da haste nessas circunstâncias ω ω0²θ 0 ω0² 12g7L ω0 12g7L ω0 2πT To 2π7L12g c Obtenha a solução θt da equação diferencial θt a cosωt b senωt θt a w senωt b w cosωt Sistema parta do repouso e de um ângulo θ0 logo θ0 a cos 0 b sen 0 θ0 θ0 a θ0 a w0 sen0 b w0 cos0 0 b 0 θt θ0 coswt θ0 cos12g7L t d Determine a razão TeTo onde Te é o período de oscilação quando suspensa por sua extremidade θ PdI θ 0 θ PdmL²3 θ 0 θ mg 34L mL²3 θ 0 θ 392L θ 0 I Icm md² mL²12 mL2² mL²12 mL²4 mL²12 3mL²12 4mL²12 mL²3 ω 392L T 2π 2L39g TeTo 2π 2L38 2π 7L128 2L38 7L128 2L128387L 87 Exercício 02 Cada um dos dois pêndulos mostrados na figura abaixo consiste em uma esfera sólida uniforme de massa M sustentada por uma corda de massa desprezível porém a esfera do pêndulo A é muito pequena enquanto a esfera do pêndulo B é bem maior Sejam TA e TB os tempos que cada pêndulo demora em completar uma oscilação Para deslocamentos pequenos qual a relação entre TATB Pêndulo A TA 2π Lg Pêndulo B TB 2π IPd I Icm md² 25 m L2² mL² 25 m L4² mL² 220 mL² mL² 2 mL² 20mL² 20 2220 mL² 1110 mL² TB 2π 1110 mL² mgk 2π 1110 Lg TATB 2π Lg 2π 1110 Lg 1011 Exercício 03 Uma roda pode girar livremente em torno do eixo fixo Uma mola de constante k é presa a um dos raios a uma distância R do eixo Suponha que a roda é um anel de massa m e raio R cujo momento de inércia é igual a I mR² a Calcule a frequência angular w das pequenas oscilações desse sistema em termos de m R r e k b Suponha que o deslocamento angular máximo de um ponto do anel seja θ0 e que em t 0s o deslocamento angular deste ponto seja metade deste valor Escreva a equação do movimento angular do anel θt θ0 sen wt ϕ θ02 θ0 sen ϕ sen ϕ 12 ϕ π6 θ θ0 kr²mR² t π6 c Se o anel tem uma massa m 3 kg a constante da mola é k 100 Nm θ0 001 rad e r R2 calcule a velocidade angular de um ponto do anel em t 0s w dθdt θ w θ0 coswt π6 θ0 001 100 R2² 3 R² cos π6 θ0 001 10012 cos π6 θ0 0025 rads