Álgebra Linear - 3ª Edição

ÁLGEBRA LINEAR 3ª edição GOLDRINICOSTA FIGUEIREDOWETZLER A383 3 ed 800969 CIPBrasil CatalogaçãonaFonte Câmara Brasileira do Livro SP Álgebra linear I José Luiz Boldrini et al 3 ed São Paulo Harper Row do Brasil 1980 Bibliografia l Álgebra linear I Boldrini José Luís 17 CDD512897 18 5125 Índices para catálogo sistemático l Álgebra linear 512897 17 5125 18 UFPEL 1111111111111111111111111111 241600 ALGEBRA LINEAR 3 edição ampliada e revista JOSÉ LUIZ BOLDRINI SUELI I RODRIGUES COSTA VERA LÚCIA FIGUEIREDO HENRY G WETZLER Depto de Matemática da Universidade Estadual de Campinas UNICAMP J V editora HARBRA ltda Biblioteca de f Ciência Tacnoa UFPef Jass l5 IJ4 Jgd iÜ43 3J025 l ata B 1 OéJ I Jvrara IXJ r 1b33 o312 Sl2Zo Estante Obra Registro Reg lnt 5125 A3943ED 51280 C Tecnol 0102454 14333 Direção Geral Supeni1ão Editorial Coordenação Editorial Julio E Em6d Maria Pia Castiglia Maria Elizabeth Santo Composição e Artes Fotolitos Capa AM Produções Gráficas Ltda Ferrari Studio e Artes Gráficas Ltda Maria Paula Santo Impressão e Acabamento Donnelley Cochrane Gráfica Editora do Brasil Ltda Fotografia da Capa Néstor E Massa A fotografia da capa ilustra a seção 55 Para obtêla utilizouse o laser de argônio do Departamento de Eletrônica Quântica do Instituto de Física da UNICAMPSP ÁLGEBRA LINEAR 3 edição Copyright 1986 por editora HARBRA ltda Copyright 1984 1980 1978 por Editora Harper Row do Brasil Ltda Rua Joaquim Távora 629 Vila Mariana 04015001 São Paulo SP Promoção OI I 50842482 e 5711122 Fax OI I 5756876 Vendas 0 li 5492244 e 5710276 Fax OI I 5719777 Reservados todos os direitos É terminantemente proibido reproduzir esta obra total ou parcialmente por quaisquer meios sem a permissão expressa dos editores Impresso no Brasil Printed in Brazil CONTEUDO Prefácio à terceira edição CAPITULO 1 MATRIZES 1 11 Introdução 1 12 Tipos especiais de matrizes 3 13 Operações com matrizes 5 14 Exercícios 11 15 Processos aleatórios cadeias de Markov 14 16 Exercícios 26 I 7 Respostas 28 CAPITULO 2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 29 21 Introdução 29 22 Sistemas e matrizes 33 23 Operações elementares 35 24 Forma escada 37 25 Soluções de um sistema de equações lineares 41 26 Exercícios 49 2 7 Demonstrações 60 CAPÍTULO 3 DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA 64 31 32 33 34 35 36 37 38 39 310 Introdução 64 Conceitos preliminares 65 Determinante 66 Desenvolvimento de Laplace 69 Matriz adjunta matriz inversa 72 Regra de Cramer 77 Cálculo do posto de uma matriz através de determinantes 80 Matrizes elementares Um processo de inversão de matrizes 82 Procedimento para a inversão de matrizes 86 Exercícios 90 CAPfrULO 4 ESPAÇO VETORIAL 97 41 Vetores no plano e no espaço 97 42 Espaços vetoriais 103 43 Subespaços vetoriais lOS 44 Combinação linear 112 45 Dependência e independtncia linear 14 46 Base de um espaço vetorial 16 4 7 Mudança de base 123 48 Exercícios 129 49 Respostas 135 CAPlrULO S TRANSFORMAÇÕES LINEARES 142 51 Introdução 142 52 Transformações do plano no plano 147 53 Conceitos e teoremas ISO 54 Aplicações lineares e matrizes I 57 55 Aplicações à óptica 167 56 Exercícios 171 CAPITULO 6 AUTOVALORES E AUTOVETORES 178 61 Introdução 178 62 Polinômio característico ISS 63 Exercícios 194 CAPITuLO 7 DIAGONAUZAÇÃO DE OPERADORES 199 71 Base de autovetores 199 72 Polinômio minimal 206 73 Diagonalização simultânea de dois operadores 210 74 Forma de Jordan 211 7 S Exercícios 213 CAPITULO 8 PRODUTO INTERNO 219 81 Introdução 219 82 Coeficientes de Fourier 225 83 Norma 226 84 Processo de ortogonalização de GrarnSchmidt 230 85 Complemento ortogonal 234 86 Espaços vetoriais complexos produto interno 235 87 Produto interno e estatística 236 88 O ajuste de curvas e o método dos mínimos quadrados 239 89 Exercícios 247 CAPITULO 9 TIPOS ESPECIAIS DE OPERADORES LINEARES 253 91 Introdução 253 92 Operadores autoadjuntos e ortogonais 258 93 Diagonalização de operadores autoadjuntos e caracterização dos operadores ortogonais 261 94 Exercícios 264 CAPITULO 10 FORMAS LINEARES BILINEARES E QUADRÁTICAS 269 101 Formas lineares 269 102 Formas bilineares 270 103 Matriz de uma forma bilinear 272 I 04 Forma bilinear simétrica 274 105 Formas quadráticas 274 106 Diagonalização da forma quadrática 277 107 Exercícios 278 CAPITULO 11 CLASSIFICAÇÃO DE CONICAS E QUÁDRICAS 285 111 In tradução 285 112 Retas no plano 287 I 13 Planos no espaço 288 114 Cônicas no plano 289 I 15 Quádricas em R 3 298 I 16 Exercícios 305 I 17 Propriedades geométricas das cônicas 308 CAPIrUW 12 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES 316 121 Introdução 316 I 22 Equações diferenciais 317 123 Resolução de sistemas de n equações lineares homogêneas de I ordem e coeficientes constantes 327 124 Exercícios 346 CAPIrUW 13 PROCESSOS ITERATIVOS E ÁLGEBRA LINEAR 332 131 Introdução 332 132 Seqüências de matrizes 333 I 33 Resolução de sistemas lineares processo iterativo 337 134 Método de Jacobi 344 3 5 Processo de GaussSeidel 345 136 Estimativa de erro 345 37 Exercícios 348 CAPIrUW 14 CONJUNTOS CONVEXOS E PROGRAMAÇÃO LINEAR 350 141 Introdução 350 42 Conjuntos convexos 351 143 Introdução à programação linear PL 362 144 Exercícios 371 145 Método simplex 374 146 Exercícios 398 I 4 7 Respostas 402 Bibliografia geral 406 Jiulice remissivo 407 PREFÁCIO À TERCEIRA EDIÇÃO Este livro teve como origem o texto de um curso de Álgebra linear oferecido para alunos de Engenharia Física Matemática Estatística e Computação da Universidade Estadual de Campinas O programa foi estabelecido tendo em vista que seria o único curso de Álgebra Linear que a maioria dos alunos receberia Por isso procuramos englobar os assuntos que seriam indispensáveis aos cursos que estes alunos seguissem posteriormente Ele foi ministrado numa disciplina de segundo semestre que é seqüência de um curso também semestral de Geometria Analítica Os prérequisitos para a leitura deste texto são os tópicos de Matemática normalmente vistos até o curso Colegial A partir destes introduzimos e desenvolvemos razoavelmente os conceitos básicos de Álgebra linear procurando sempre indicar aos alunos as fontes às quais eles podem recorrer para aprofundar seus conhecimentos Alunos que cursam pela primeira vez esta disciplina freqüentemente julgamna muito abstrata e não vêem como podem utilizar os conceitos básicos E normaJmente muitos cursos tenninam sem que se mostre aos alunos uma aplicação concreta de tudo o que aprenderam Procuramos então dar aos tópicos uma abordagem com dois objetivos I Conseguir uma exposição da matéria de tal forma que a ênfase seja colocada no uso dos conceitos Neste sentido optamos por uma exposição em que estes sejam introduzidos na medida do possível dentro de um contexto onde surja a necessidade de sua apresentação Algumas demonstrações são propostas na forma de exercícios o que permite uma maior fluência do texto e possibilita ao aluno desenvolvêlas dentro do seu raciocínio lógico 2 Encaminhar os conceitos para a solução de problemas nos quais os alunos já tenham sentido dificuldade Desta forma é conveniente fixar qualquer um dos capítulos Cap I I Classificação de Cônicas e Quádricas Cap 12 Resolução de Sistelrllls de Equações Diferenciais Cap 13 Processos Iterativos Cap I 4 Conjuntos Convexos e Progra1r111ção Linear como chave ou seja um capítulo que englobe os diversos conceitos apresentados no livro Na busca das soluções para os problemas que colocamos nestes capítulos recorremos à maioria dos conceitos incorporados em um curso tradicional de Álgebra linear noções de espaço vetorial autovalores e autovetores diagonalização de operadores de modo que os alunos possam perceber a interrelação entre eles e a aplicação conjunta dos mesmos Dentro desta perspectiva poderíamos sugerir algumas seqüências para o desenvolvimento de um curso de Álgebra Linear I Capítulos 1 a 11 2 Capítulos I a8e 12 3 Capítulos 1 a 8 e 13 4 Capítulos 1 a 8 e 14 Uma outra sugestão é a de que o conteúdo deste livro seja desenvolvido como já vem sendo feito em disciplinas que integrem os tradicionais cursos de Cálculo Álgebra Linear e Equações Diferenciais Quanto aos aspectos didáticos gostaríamos de ressaltar que os exercícios são importantes inclusive como extensão de cada capítulo O conteúdo foi elaborado de modo a se enquadrar em diversos programas podendose deixar de estudar as seções assinaladas com asterisco sem prejuízo do entendimento dos tópicos abordados Por exemplo seções como Cadeia de Markov seção 15 e Ajuste de Curvas 88 que são tópicos especiais podem ou não ser incluídas de acordo com o interesse de cada aluno grupo ou classe Nesta terceira edição a antiga seção 49 foi ampliada e transformada no atual Capítulo 14 Conjuntos Convexos e Programação Linear A relativa simplicidade deste assunto e seu grande número de aplicações práticas são responsáveis por sua difusão e interesse nos últimos anos Anexamos a este novo capítulo uma seção de autoria do Prof Antonio Carlos Moretti que descreve o algoritmo do método simplex para programação linear e indica as etapas para a programação por microcomputadores deste método A nossa experiência assim como a de outros professores tem mostrado que o núcleo de um curso introdutório de Álgebra Linear e portanto o deste livro corresponde à matéria exposta nos Capítulos de I a 8 podendo ser excluídas as seções 72 a 7 4 dependendo dos objetivos a atingir Recomendamos especial atenção aos capítulos introdutórios principalmente ao que trata de Sistemas Lineares e que fornecerão a base técnica indispensável para a boa compreensão dos demais capítulos além de conterem em si métodos fundamentais aplicáveis a muitas situações Acreditamos que as seções e capítulos alternativos permitam opções para trabalhar com os conceitos de Álgebra Linear em diferentes áreas Queremos agradecer a todas as pessoas que leram e utilizaram o livro enviando sugestões e de modo especial aos professores Antonio Carlos Gilli Martins e João Frederico C A Meyer Os Autores MATRIZES 11 INTRODUÇÃO Nesta seção apresentamos os conceitos básicos sobre matrizes Estes conceitos aparecem naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas e são essen ciais não apenas porque eles ordenam e simplificam o problema mas tam bém porque fornecem novos métodos de resolução Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e co lunas Por exemplo ao recolhermos os dados referentes a altura peso e idade de um grupo de quatro pessoas podemos dispôlos na tabela Altura m Peso kg Idade anos Pessoa I 170 70 23 Pessoa 2 175 60 45 Pessoa 3 160 52 25 Pessoa 4 I 81 72 30 2 ÁLGEBRA LINEAR Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas temos a matriz 170 175 160 181 70 60 52 72 23 45 25 30 Observe que em um problema em que o número de variáveis e de observações é muito grande essa disposição ordenada dos dados em forma de matriz tornase abso lutamente indispensável Outros exemplos de matrizes são 3 o I 1 Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos funções ou ainda outras matrizes Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por a a1 a an Am xn aijlm x n am1 am amn Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes e quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A isto é o número de linhas e colunas escreveremos Am x n Também são utilizadas outras notações para matriz além de colchetes como parênteses ou duas barras Por exemplo Não obstante neste livro as matrizes aparecerão sempre entre colchetes Para localizar um elemento de uma matriz dizemos a linha e a coluna nesta ordem em que ele está Por exemplo na matriz o 3 o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é 4 isto é a 13 4 Ainda neste exemplo temos a 11 l a 12 O a21 4 a 22 3 e a23 2 Matrizes 3 111 Definição Duas matrizes Amxn ajlmxn e Brxs bj1rxs são iguais A B se elas têm o mesmo número de linhas m r e colunas n s e todos os seus elementos correspondentes são iguais aj bj Exemplo I 2 lo 1 12 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES sen 90 4 Ao trabalhar com matrizes observamos que existem algumas que seja pela quantidade de linhas ou colunas ou ainda pela natureza de seus elementos têm propriedades que as diferenciam de uma matriz qualquer Além disso estes tipos de matrizes aparecem freqüentemente na prática e por isso recebem nO mes especiais Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por Amxn 121 Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas m n Exemplos e 8 No caso de matrizes quadradas Am x m costumamos dizer que A é uma matriz de ordem m 122 Matriz Nula é aquela em que aj O para todo i e j Exemplos eBxs n o o o Azxz o o o o o o 123 MatrizColuna é aquela que possui uma única coluna n 1 Exemplos Analogamente temos 4 ÁLGEBRA UNEAR 124 MatrizLinha é aquela onde m Exemplos 3 O 1 e I O O 125 Matriz Diagonal é uma matriz quadrada m n onde aj O para i 1 j isto é os elementos que não estão na diagonal são nulos Exemplos Um exemplo importante de matriz diagonal vem a seguir 126 Matriz Identidade Quadrada é aquela em que a I e a ij O para i i j Exemplos I o I o 127 Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos isto é m n e aii O para i i Exemplos 128 Matriz Triangular Inferior é aquela em que m n e aij O para i j Exemplos o I 2 o o o 2 5 o o 129 Matriz Simétrica é aquela onde m n e aj ap Exemplos Matrizes S Observe que no caso de uma matriz simétrica a parte superior é uma refle xão da parte inferior em relação à diagonal 13 OPERAÇOES COM MATRIZES Ao utilizar matrizes surge naturalmente a necessidade de efetuarmos certas ope rações Por exemplo consideremos as tabelas que descrevem a produção de grãos em dois anos consecutivos Produção de grãos em millulres de toneladas durante o primeiro ano soja feijão arroz milho Região A 3000 200 400 600 Região B 700 350 700 100 Região C 1000 100 soo 800 Produção de grãos em millulres de toneladas durante o segundo ano soja feijão arroz milho Região A 5000 50 200 o Região B 2000 100 300 300 Região C 2000 100 600 600 Se quisermos montar uma tabela que dê a produção por produto e por região nos dois anos conjWitamente teremos que somar os elementos corresponden tes das duas tabelas anteriores 6 ÁLGEBRA UNEAR 3000 200 400 700 350 700 1000 100 500 600 5000 100 2000 800 2000 50 200 100 300 100 600 30l 1 60J 3000 200 1100 600 400 1400 Ou seja Produção de grãos em milhares de toneladas durante os dois anos soja feijão arroz milho Região A 8000 250 600 600 Região B 2700 450 1000 400 Região C 3000 200 1100 1400 Podemos considerar agora a seguinte situação Existem muitos incentivos para se incrementar a produção condições climáticas favoráveis etc de tal forma que a previsão para a safra do terceiro ano será o triplo da produção do primeiro Assim a matriz de estimativa de produção deste último será soja feijão arroz milho 000 200 3 700 350 1000 100 400 600 9000 600 1200 1800 Região A 700 100 2100 1050 2100 300 Região B 500 800 3000 300 1500 2400 Região C Acabamos de efetuar neste exemplo duas operações com matrizes soma e multiplicação por um número que serão definidas formalmente a seguir 131 Adição A soma de duas matrizes de mesma ordem Am x n ai I e Bm x n bil é uma matriz m x n que denotaremos A B cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B Isto é A B a hlmxn Exemplo Observe que pela forma com que foi definida a adição de matrizes tem as mesmas propriedades que a adição de números reais Matrizes 7 Propriedades Dadas as matrizes A B e C de mesma ordem m x n temos i A B B A comutatividade ii A B C A B C associatividade iii A O A onde O denota a matriz nula m x n Poderá ser usada a notação Om x n para a matriz nula quando houver perigo de confusão com o número zero A operação que definiremos a seguir é a multiplicação de uma matriz por um número real ou complexo também chamada multiplicação por esca lar 132 Multiplicação por Escalar Seja A almxn e k um número então definimos uma nova matriz k A kalm Xn Exemplo 10 3 Propriedades Dadas matrizes A e B de mesma ordem m x n e números k k1 e k 2 temos i kA B kA kB ii k 1 k 2 A k 1 A k 2 A iii O A O isto é se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A teremos a matriz nula iv k 1k2 A k 1k 2A Às vezes é conveniente considerarmos as linhas de uma dada matriz como colunas de uma nova matriz 133 Transposição Dada uma matriz A aijlm xn podemos obter uma outra matriz A h1n xm cujas linhas são as colunas de A isto é h Oji A é denominada transposta de A 134 Exemplos Exemplo 1 A o 3 I 4 2 X3 8 ÁLGEBRA UNEAR Exemplo 2 B B Exemplo 3 I 2 Propriedades i Uma matriz é simétrica se e somente se ela é igual à sua transposta isto é se e somente se A A Observe a matriz B acima ii Au A Isto é a transposta da transposta de uma matriz é ela mesma iii A B A 8 Em palavras a transposta de uma soma é igual à so ma das transpostas iv kA kA onde k é qualquer escalar Antes de definir uma outra operação a multiplicação de matrizes veja mos um exemplo do que pode ocorrer na prática Suponhamos que a seguinte matriz forneça as quantidades das vitaminas A B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e 11 A Alimento I 4 5 Alimento li B 3 o c Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento 11 quanto consumiremos de cada tipo de vitamina Podemos representar o consumo dos alimentos I e 11 nesta ordem pela matriz consumo 5 2 A operação que vai nos fornecer a quantidade ingerida de cada vitamina é 0 produto 5 2 3 o 5 4 2 5 5320 5 o 2 I I 30 15 2 Isto é serão ingeridas 30 unidades de vitamina A 15 de B e 2 de C Matrizes 9 Outro problema que poderemos considerar em relação aos dados anteriores é o seguinte Se o custo dos alimentos depender somente do seu contéudo vitamínico e soubermos que os preços por unidade de vitamina A B e C são respectivamente 15 3 e 5 ucp quanto pagaríamos pela porção ae alimentos indicada anterior mente 30 15 15 2 3015 153 25 100 Ou seja pagaríamos 100 ucp Observamos que nos produtos de matrizes efetuados em e cada um dos elementos da matrizresultado é obtido a partir de uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda Além disso com relação às ordens das matrizes en volvidas temos Em Em l1x2 l x l x Jx hx l hx1 O exemplo anterior esboça uma definição de multiplicação de matrizes A e B quando A é uma matriz linha Esta noção de produto pode ser estendida para o caso mais geral e os elementos da matrizproduto serão obtidos pela soma de produ tos dos elementos de uma linha da primeira matriz pelos elementos de uma coluna da segunda matriz Por exemplo Sejam A2X2 au a 12 a 13 a21 a22 a23 r11 bJ e B3X2 b21 b b31 b A matrizproduto AB é a matriz 2 X 2 definida como Agora passemos para a definiào geral l 0 ÂLGEBRA LINEAR 135 Multiplicação de Matrizes Sejam A aijlm xn e B blnxp Definimos AB kuvlm x p onde Cuv f Oukbkv Outbtv Ounbnv kl Observações i Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Am x n e B1xp se o nú mero de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda isto é n 1 Além disso a matrizresultado C AB será de ordem i i m xp O elemento cj iésima linha e jésima coluna da matrizproduto é obti do multiplicando os elementos da iésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da jésima coluna da segunda matriz e soman do estes produtos 136 Exemplos Exemplo 1 4 2 2 1 5 3 3 X2 0 Exemplo 2 1 4 2 X2 2 I 1 O 4120 5130 U n b 2 4 2 X2 2 1 I 4 4124 5 I 3 4 3 X2 Não é possível efetuar esta multiplicação porque o número de colunas da primeira é diferente do número de linhas da segunda Exemplo 3 6 8 6 12 62 8 I 8 3 2 4X3 Matrizes ll Propriedades i Em geral AB BA podendo mesmo um dos membros estar definido e o outro não Exemplo Sejam A I i e B 2 n 2 4 2 2 Então AB o o 11 6 1 o O e BA 22 12 2 o o 11 6 I Note ainda que AB O sem que A O ou B O Desde que sejam possíveis as operações as seguintes propriedades são válidas ii AI IA A Isto justifica o nome da matriz identidade iii AB C AB AC distributividade à esquerda da multiplicação em re lação à soma iv A BC AC BC distributividade à direita da multiplicação em relação à soma v ABC ABC associatividade vi AB B A Observe a ordem vii OAOeAOO 14 EXERCfCIOS l Sejam A D 2 3l 2 IjB 3 Encontre a A B b A C c B C d C D e D A f D B g A h D o o 12 ÁLGEBRA LINEAR 2 Seja A 2x 2 1 xJ Se A A então x 3 Se A é uma matriz simétrica então A A 4 Se A é uma matriz triangular superior então A é 5 Se A é uma matriz diagonal então A 6 Verdadeiro ou falso a A A b A 8 8 A c Se A8 O então A O ou 8 O d k 1A k28J k 1k2A8 e A 8 A8 f Se A e 8 são matrizes simétricas então A8 8A g Se A 8 O então 8 A O h Se podemos efetuar o produto A A então A é uma matriz quadrada 2 2 7 Se A2 A A então 3 2 8 Se A é uma matriz triangular superior então A2 é 9 Ache x y z w se JD b l 10 Dadas A i 3 2 I 4 ne c n I I 2 I 3 B 2 I 2 I I 3 1 I 2 5 I o mostre que AB AC 11 Suponha que A O e AB AC onde A B C são matrizes tais que a multiplica ção esteja defmida a 8 C b Se existir uma matriz Y tal que YA I onde I é a matriz identidade então 8C 12 Explique por que em geral A B2 A 2 2AB 82 e A B A B Al 82 13 Dadas A 3 5 2 2 4 3 5 e C I 3 4 3 5 I 2 3 Matrizes 13 a Mostre que AB 8A O AC A e CA C b Use os resultados de a para mostrar que AC8 CBA A2 82 A 8 A 8 e A 82 A2 82 14 Se A ache 8 de modo que B2 A 15 Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa moderno medi terrâneo e colonial A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo Moderno 5 20 16 7 17 Mediterrâneo 7 18 12 9 21 Colonial 6 25 8 5 13 Qualquer semelhança dos números com a realidade é mera coincidência a Se ele vai construir 5 7 e 12 casas dos tipos moderno mediterrâneo e colonial respectivamente quantas unidades de cada material serão empregadas b Suponha agora que os preços por unidade de ferro madeira vidro tinta e ti joio sejam respectivamente 15 8 5 I e lO ucp Qual é o preço unitârio de cada tipo de casa c Qual o custo total do material empregado 16 Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas Estabelecemos que aii I na matriz abaixo significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j aii O significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j Observe que a diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma o I I o I o A o o o o o I o I o o o o Qual seria o significado da matriz A2 A A Seja A2 ciil Calculemos o elemento c42 L a4kflk 2 O O I O O I kl Note que a única parcela não nula veio de a43 a32 1 1 Isto significa que a estação 4 transmite para a estação 2 através de uma retransmissão pela estação 3 embora não exista uma transmissão direta de 4 para 2 14 ÁLGEBRA UNEAR a Calcule A2 b Qual o significado de c 2 c Discuta o significado dos termos nulos iguais a e maiores que l de modo a justificar a afirmação A matriz A 2 representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a outra com uma única retransmissão d Qual o significado das matrizes A A2 A3 e A A2 A 3 e Se A fosse simétrica o que significaria 17 Existem três marcas de automóveis disponíveis no mercado o Jacaré o Piranha e o Urubu O termo ai da matriz A abaixo é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j quando comprar um carro novo Para J p u T 02 o De p 03 05 02 u 04 04 02 Os termos da diagonal dão a probabilidade a de se comprar um carro novo da mesma marca A 2 representa as probabilidades de se mudar de uma marca para outra depois de duas compras Você pode verificar isto a partir dos conceitos básicos de probabilidade consulte 5 e produto de matrizes Calcule A 2 e interprete 18 Tente descobrir outras situações concretas que possam ser analisadas de modo similar ao de cada um dos problemas 15 16 e 17 15 PROCESSOS ALEATORIOS CADEIAS DE MARKOV Muitos dos processos que ocorrem na natureza e na sociedade podem ser estu dados pelo menos em primeira aproximação como se o fenômeno estudado passasse a partir de um estado inicial por uma seqüência de estados onde a transição de um determinado estado para o seguinte ocorreria segundo uma certa probabilidade Suporemos nesta secção um conhecimento mínimo sobre probabilidades No caso em que esta probabilidade de transição depende ape nas do estado em que o fenômeno se encontra e do estado a seguir o proces so será chamado processo de Markov e uma seqüência de estados seguindo este processo será denominada uma cadeia de Markov Evidentemente ao se supor tal restrição estaremos simplificando talvez demasiadamente uma vez Matrizes IS que as probabilidades podem se modificar com o tempo Mas assim mesmo a informação que obtivermos com este modelo já nos servirá de auxJ1io para uma previsão do comportamento de certos fenômenos Suponhamos por exemplo que em uma determinada região observase que se chover bastante durante um ano a probabilidade de que chova bastante no ano seguinte é e que a probabilidade de que faça seca é de f Ainda se houver seca em um ano no ano seguinte a probabilidade de haver seca ou chuva suficiente será a mesma e igual a t Suponhamos também para simplificar o que não ocorre na prática embora possamos usar como recurso para ter um indicador da situação que estas probabilidades não mudem com o decorrer do tempo Os estados possíveis para este processo são chuva e seca Podemos ter então as seguintes seqüências de acontecimentos árvore de probabilidades Assim sabendo que no primeiro ano houve seca a probabilidade de que chova bastante no terceiro ano é Conforme o número de anos aumenta as contas se tornam mais complicadas e se estivermos interessa dos em previsões a longo prazo sobre o clima da região temos que procurar um outro procedimento Isto pode ser feito se introduzirmos a noção de matriz das probabilidades de transição e a de vetor de probabilidades A matriz T das probabilidades de transição é obtida da tabela de probabilidades onde o elemen to na iésima linha e jésima coluna indica a probabilidade de transição do jési mo para o iésimo estado 19 ano 29 ano 39 ano 1 cc Pl 1 s s 1 s 3c 2 s Figura 151 2 C chuva S seca Bibliote Ciência ftifih UFPe1 16 ÁLGEBRA LINEAR c s I c 4 2 S 3 I 4 2 O vetor de probabilidades é a matriz pn Pn s cuja primeira linha dá a probabilidade de que haja chuva no nésimo ano e a segunda linha dá a probabilidade de que haja seca no nésimo ano Analisando a árvore de probabilidades vemos que p2 I pl I pl c 4 c 2 s p2 lpI I pl s 4 c 2 s Observamos que e portanto O mesmo ocorre do segundo para o terceiro ano deste para o quarto etc Temos então a seqüência 1 ano 2 ano 3 ano pl Pl T pl pl T pl T pl pl pl pl pl pl pjl nésimo ano Matrizes 17 Portanto o comportamento do clima desta região a longo prazo isto é quando n aumenta poderá ser previsto se soubermos que os elementos das matrizes rz n 1 2 se aproximam dos elementos de uma matriz ftxa P pois neste caso pn p 1 e Pn P2 quando n 00 com Tal previsão é importante pois se chegarmos por exemplo à conclusão que PÍ I quando n a longo prazo a região se tornará um deserto Se Tn não se aproxima de uma matriz P então não poderemos fazer ne nhuma previsão a longo prazo pois o processo se modificará bastante a cada passo Assim um dos problemas que devemos resolver é quais são as condições sobre a matriz T das probabilidades de transição para que suas potências se aproximem de uma determinada matriz Antes de resolver isto porém vamos formalizar a situação anterior 151 Definição Um processo aleatório de Markov é um processo que po de assumir estados a1 a2 a de tal modo que a probabilidade de transição de um estado ai para um estado a seja Pij um número que só depende de ai e aj A matriz das probabilidades de transição matriz estocásticaj é dada por Pu P12 P21 P22 Pr1 Pn Pn Observe que Pii O e que a soma de cada coluna deve ser 1 O vetor de probabilidades é aquele cuja iésima linha dá a probabilidade de ocorrência do estado a após n transações n p n Pr 18 ÁLGEBRA LINEAR Seguindo o raciocínio do exemplo anterior vemos que após n passos 152 Previsões a Longo Prazo Para podermos fazer previsões a longo prazo a matriz T deve cumprir certas condições Assim introduzimos a definição a seguir 153 Definição Uma matriz das probabilidades de transição é regular se aguma de suas potências tem todos os elementos não nulos A importância da matriz regular para as previsões a longo prazo é dada pelo teorema abaixo 154 Teorema Se a matriz Trxr das probabilidades de transição é regular então i As potências Tn aproximamse de uma matriz P no sentido de que cada elemento de Tn aproximase do elemento correspondente em P iz Todas as colunas de P são iguais sendo dadas por um vetorcoluna V com p 1 O p O Pr O iil Para qualquer vetor de probabilidades inicial o vetor de probabilidades TV1 aproximase de V dado no item anterior iv O vetor V é o único vetor que satisfaz V TV Matrizes 19 O que este teorema nos diz é que se a matriz das probabilidades de tran sição é regular então é possível fazer previsão a longo prazo e esta não depen de das probabilidades iniciais V1 Além disso o item iv nos indicará como achar as probabilidades depois de um longo prazo O processo utilizado para se encontrar o vetor final de probabilidades usando o item iv corresponde à procura de autovetor associado ao autovalor um da matriz T segundo as deno minações que veremos no Capítulo 6 Não faremos a prova deste teorema por que isto nos desviará demais de nossos objetivos 155 Exemplos Exemplo 1 No problema sobre previsão de clima que estávamos estudan do na introdução T t tJ é regular pois sua primeira potência isto é ela mesma já tem todos os elemen tos estritamente positivos e assim podemos concluir usando o item iv que quaisquer que sejam as probabilidades iniciais as probabilidades a longo prazo são dadas por I I Pc 4 Pc 2 Ps ou 3 I Ps 4 Pc 2 Ps 2p 3pc ou 2p 3pc 3 p s 2 p c Como devemos ter Pc Ps 1 que é a probabilidade total temos Pc tPc 1 ou Pc e portanto p f Assim a longo prazo a probabilidade de um ano de chuva é i enquanto que a probabilidade de um ano de seca é f dentro das hipóteses simplificadoras e portanto a região tenderá a uma ligeira aridez 20 ÁLGEBRA LINEAR Exmplo 2 Suponhamos que em uma determinada região a cada ano tres por cento da população rural migra para as cidades enquanto que apenas um por cento da população urbana migra para o meio rural Se todas as de mais condições permanecerem estáveis as condições polfticas não mudarem e estas porcentagens de migração continuarem as mesmas qual deve ser a relação entre as populções urbana e rural desta regiao a longo prazo mo tres por cento da população rural migra para o meio urbano a probab1hdade e migração do meio rural para o meio urbano é 003 enquanto que a probab1hdade de não migração é 097 Como um por cento da população urbana m1gra para o meio rural a probabilidade de migração do meio urbano para o rural é 001 e a de não migração é 099 Denotando por U o meio ur bano e por R o meio rural temos a matriz das probabilidades de transição R U R 097 001 u 003 099 Como a matriz é regular a longo prazo as probabilidades PR de viver no meio rural e Pu de viver no meio urbano devem satisfazer 097 003 OOll PRl PR 099 puJ Pu donde Pu 3pR e como devemos ter Pu PR I temos PR 025 e Pu 075 Ou seja a longo prazo e se não houver modificações nas tendênci as de migração teremos 25 da população no meio rural e 75 da população no meio urbano Exemplo 3 Observase experimentalmente que em condições naturais e se ser sbmetida à pesca industrial a quantidade de uma certa espécie de pees vana da eguinte forma se em um determinado ano a população dimi num a probab1hdade de que diminua ainda mais no ano seguinte é de 0 6 e se em um determinado ano a população aumenta a probabilidade de qu dii nua no ano seguinte é de apenas 03 Entretanto observase que sendo subme tida à pesca industrial quando a população aumenta num determinado ano a probabilidade de qe iminua no ano seguinte se altera para 05 enquanto que se a populaçao dmunm num ano a probabilidade de que diminua no ano se Matrizes 21 guinte continua sendo de 06 Desejase saber como a longo prazo a pesca in dustrial estará afetando os peixes dessa espécie para ver se é necessário diminuir a intensidade de pesca ou se ao contrário é possível aumentála Os estados deste processo são diminuição da população D e aumento da população A Então sem haver pesca industrial a matriz de probabilidades de transição é D A D 06 03 A 04 07 Como é uma matriz regular as probabilidades Pn da população diminuir e PA da população aumentar a longo prazo são Uadas por 06 04 03 PD Pn 07 PA PA que sendo resolvida lembrando que Pn PA 1 fornece Pn te PA Portanto como a probabilidade de a população aumentar é maior em condi ções naturais a espécie tem a sobrevivência razoavelmente garantida Com a pesca industrial a matriz se altera para D A D 06 04 A 05 05 Como é uma matriz regular a longo prazo Pn e PA são dadas por Assim temos Pn e PA Como a probabilidade de a população dimi nuir é maior se a espécie for submetida à pesca industrial sua sobrevivência será ameaçada e portanto a pesca deve ser diminuída Exemplo 4 Duas substâncias distintas estão em contato e trocam íons de sódio entre si Sabese por dedução teórica ou experimentação que um íon de sódio do meio I tem probabilidade 07 de passar ao meio 2 enquanto que um íon de sódio que esteja no meio 2 tem probabilidade 01 de passar ao meio 1 Colocandose dois moles de sódio no meio 1 quais serão as con 22 ÁLGEBRA LINEAR meio 1 meio 2 Figura 152 centraçôes de sódio em cada um dos meios após um longo período de tempo Os estados deste processo são o íon está no meio 1 e o íon está no meio 2 A matriz de probabilidades de transição é meio I meio 03 meio 2 07 meio 2 01 09 Sejam p 1 e p2 as probabilidades de estar no meio I e 2 respectivamente Então inicialmente quando todo o sódio foi colocado no meio 1 p 1 1 e pI O Como a matriz de probabilidades é regular a longo prazo as proba bilidades não dependem das probabilidades iniciais e devem satisfazer Resolvendo lembrando sempre que p1 p 1 temos p 1 fr e p2 f Logo as concentrações finais em cada meio são i 2 025 moles no meio l e f 2 175 moles no meio 2 156 Previsões em Genética Com pequenas modificações das idéias usadas nos processos de Markov podemos estudar vários problemas genéticos Sabemos que o tipo mais simples de transmissão de herança genética é efetuado através de pares de genes os quais podem ser ambos dominantes recessivos ou um dominante e outro recessivo Chamemos G o gene dominante e g o gene reces sivo Um indivíduo será chamado dominante se tiver genes GG htbrido se tiver genes Gg e recessivo caso os genes sejam gg Um indivíduo herda os genes ao acaso um deles de seu pai e o outro de sua mãe Assim nos vários tipos de cruzamento temos probabilidades distintas de transmissão de herança genética No caso de cruzamento de indivíduos dominantes teremos somente fillios de genótipos dominantes GG cruzado com GG com probabilidade I GG Gg com probabilidade O gg com probabilidade O No caso de cruzamento de indivíduos recessivos teremos GG com probabilidade O gg cruzado com gg Gg com probabilidade O gg com probabilidade I Matrizes 23 No caso do cruzamento de um indivíduo dominante com um recessivo temos GG com probabilidade O GG cruzado com gg Gg com probabilidade 1 gg com probabilidade O No caso do cruzamento de um indivíduo dominante com um híbrido temos GG cruzado com Gg GG com probabilidade 05 Gg com probabilidade 05 gg com probabilidade O No caso recessivo e htbrido temos GG com probabilidade O gg cruzado com Gg Gg com probabilidade 05 gg com probabilidade 05 E finalmente no caso de dois indivíduos htbridos temos GG com probabilidade 025 Gg cruzado com Gg Gg com probabilidade 05 gg com probabilidade 025 Denotando por d dominante r recessivo e h htbrido e os respectivos cruza mentos por d X d d X r etc colocando as probabilidades em colunas pode mos montar a seguinte matriz T dXd r X r d X r dXh r X h h X h d o o 05 o 025 h o o 05 05 05 r o o o 05 025 Biblioteca de Ciência Tecnol g 1 UFP 24 ÁLGEBRA LINEAR Além disso numa população numerosa composta por uma porcentagem p 1 de indivíduos de características dominantes p 1 de indivíduos h1bridos e p 1 de indivíduos de características recessivas a probabilidade de cruzamento de genes de um individuo dominante com outro dominante é p 1 pl Se quizermos calcular a probabilidade de um cruzamento onde um dos indivíduos é dominante e o outro é híbrido temos que somar pl ph1 considerando que o primeiro é dominante e o segundo é h1brido a Pht p 1 Assim a probabilidade é de 2p 1 PÁ1 Os outros casos seguem o mesmo raciocínio e temos então Cruzamento dXd r X r d X r d X h r X h h X h Probabilidade Estamos supondo que a característica genética analisada seja tal que não inter fira no cruzamento natural Então podemos ter as porcentagens de indivíduos dominantes p 2 de indivíduos htbridos Ph e de indivíduos recessivos pl da segunda geração multiplicando as matrizes pl pl pl pt I o o 05 o l r r Ph2l O o 05 05 05 2pfil ptl pl o o o 05 025 2pl Phtl 2ptl Ph1 Ph1l Ph1l Supondo que não haja novo cruzamento de indivíduos da primeira gera ção o que em geral ocorre com populações de insetos etc uma vez obtidas as porcentagens de indivíduos da segunda geração podemos obter as porcenta gens da terceira geração multiplicando novamente a matriz T pelos novos da Matrizes 2S dos e assim sucessivamente Dessa forma obtemos o perfil genético de qualquer geração Evidentemente os cálculos tornamse demorados mas podem ser feitos facilmente se usarmos calculadoras Este tipo de análise é muito simples de mais talvez mas é importante em muitos campos como em Agricultura para se ter uma idéia da propagação da resistência genética a certos tipos de doença da resistência de insetos a tipos de inseticidas etc Exemplo Aplicase um certo tipo de inseticida em uma plantação para se combater uma determinada espécie de insetos Após a aplicação verifi case que dos poucos insetos sobreviventes 60 eram resistentes ao inseticida e os outros 40 não o eram e haviam sobrevivido por razões casuais Sabese que o ciclo de vida desses insetos é de um ano e que eles se cruzam apenas uma vez em cada geração Além disso ficou comprovada que a resistência ao inseticida é uma característica dominante e que o inseticida não foi aplicado novamente Tendo estes dados em mente perguntamos qual é a porcentagem de insetos resistentes ao inseticida a pós dois anos Como a resistência é uma caracterstica dominante os insetos resistentes podem ter genótipo GG ou Gg na relação I 2 e assim 20 dos insetos resis tentes são dominantes e 40 são h1bridos Temos portanto p 1 l 02 p 1 l 04 e p 1 04 e assim a distribuição da porcentagem dos insetos após um ano é dada por 02 02 I j o o 05 o j 04 04 202 04 Ph2l O o 05 05 05 202 04 pl o o o 05 025 204 04 04 04 ou seja p 2 016 Ph 048 e pl 036 Após mais um ano a distribui ção de insetos será dada por 016 016 o o 05 o 036 036 2016 036 Phl O o 05 05 05 2016 048 pl o o o 05 025 2036 048 048 048 ou seja p 3 016 Ph 048 e pl 036 Assim após dois anos a por centagem dos insetos resistentes ao inseticida será p3 pÁ3 016 048 064 ou seja 64 da população é resistente Dessa forma se for necessária 26 ÁLGEBRA LINEAR uma nova aplicação de inseticida não será conveniente aplicar o mesmo tipo pois ele matará no máximo 36 do insetos Observe que a distribuição dos insetos quanto ao genótipo GG Gg ou gg permaneceu a mesma na segunda e terceira gerações p2 p 3 016 Ph pil 048 e p 2 p 3 036 Calcule as probabilidades para a quarta geração de insetos depois de três anos O resultado que você obteve não é uma casualidade Existe uma lei ge nética muito conhecida que estabelece sob condições ideais que depois da se gunda geração a distribuição entre os genótipos permanece a mesma Assim se partirmos de uma população onde a formação inicial é dada por freqüências p 1 u Ph v e Pil w temos Genótipo Geração inicial Gerações seguintes GG u u 2 v v Gg v 2u 2 w 2 gg w w 2 Você pode mostrar esta relação através do produto de matrizes No modelo genético considerado neste parágrafo é assumida uma situa çãopadrão não existe migração os encontros são ao acaso não ocorrem muta ções nem seleção os dois sexos aparecem sempre em quantidades iguais Esta relação de estabilidade genética aqui apresentada foi mostrada inde pendentemente pelo matemático G H Hardy e o genético W Weinberg em 1908 16 EXERCICIOS L Suponha que um corretor da Bolsa de Valores faça um pedido para comprar ações na segundafeira como segue 400 quotas de ação A 500 quotas da ação B e 600 quotas da ação C As ações A B e C custam por quota Cr 50000 Cr 40000 e Cr 25000 respectivamente a Encontre o custo total de ações usando multiplicação de matrizes MatriZes 27 b Qual será o ganho ou a perda quando as ações forern vendidas seis meses mais tarde se as ações A B e C custam Cr 60000 Cr 35000 e Cr 30000 por quota respectivamente 2 É observado que as probabilidades de um time de futebol ganhar perder e empatar urna partida depois de consegmr uma vttóna são 5 e 1 3 0 respec tivamente e depois de ser derrotado são 1 3 0 1 3 0 e f respectivamente e d d t l 2 2 t s epots e empa ar sao 5 5 e 5 respec tvamente e o tlme na o melhorar nem piorar conseguirá mais vitórias que derrotas a longo prazo 3 Numa pesquisa procurase estabelecer uma correlação entre os nlveis de esco laridade de pais e filhos Estabelecendo as letras P para os que concluíram o curso primário S para o curso secundário e U para o curso universitário a probabilidade de um filho pertencer a um destes grupos dependendo do gru po em que o pai está é dada pela matriz p s u p 2 o 3 3 s l l 3 3 3 u o l 2 3 3 Qual é a probabilidade de um neto de um indivíduo que realizou o curso secundário ser um universitário 4 Numa cidade industrial os dados sobre a qualidade do ar são classificados como satisfatório S e insatisfatório 1 Assuma que se num dia é registrado S a probabilidade de se ter S no dia seguinte é de e que uma vez regis trado I temse de probabilidade de ocorrer S no dia seguinte a Qual é a probabilidade do quarto dia ser S se o primeiro dia é I h O que se pode dizer a longo prazo sobre a probabilidade de termos dias s ou 1 S Numa ilha maravilhosa verificouse que a cor azul ocorre em borboletas de genótipo aa e não ocorre em A a e AA Suponha que a proporção de bor boletas azuis seja t Depois de algumas gerações qual será a porcentagem das borboletas não azuis mas capazes de ter filhotes azuis 28 ÁLGEBRA LINEAR 17 RESPOSTAS 171 Respostas de 14 2 X I 4 Triangular inferior 6 a V b V c F d V e F f F g F h V 8 Triangular superior 12 Porque em geral o produto de matrizes não é comutativo 15 a 146 526 260 158 388 b 1 465 c Cr 1173600 16 a I I 2 3 I o 2 2 2 2 o 2 I I o I o 2 o o o I o 17 028 J 044 039 017 048 036 016 172 Respostas de 16 2 As probabilidades de ganhar perder ou empatar a longo prazo são aproxi madamente iguais a 13 sendo a probabilidade de ganhar ligeiramente ma10r 3 A probabilidade é 13 4 a 31125 b A longo prazo a probabilidade de termos dias satisfatórios é I 4 e de termos dias insatisfatórios é 34 Leituras Sugeridas e Referências 1 Herstein I N Tópicos de Algebra Editora Polígono São Paulo 1970 2 Lipschutz S Ãlgebra Linear McGrawHill do Brasil Ltda Rio de Janeiro 1971 3 SMSG Matemática Curso Colegial vol 3 Yale University Press New Haven 1965 4 Campbell H G Linear Algebra with Applications Meredith Corporation New York 1971 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 21 INTRODUÇÃO Na natureza as coisas estão sempre mudando se transformando e o ser huma no para garantir sua sobrevivência e melhorar sua existência precisa conhecer e dominar estes processos de mudança Um dos métodos encontrados para se descrever estas transformações foi o de procurar nestas o que permanece cons tante durante a mudança Por exemplo sabemos que o hidrogênio H 2 reage com o oxigênio 02 para produzir água H20 Mas quanto de hidrogênio e de oxigênio precisamos Esta é uma mudança que podemos descrever do seguin te modo x moléculas de H2 reagem com y moléculas de 0 2 produzindo z mo léculas de H20 ou esquematicamente xH2 y0 2 zH20 O iue permanece constante nessa mudança Como os átomos não são modificados o número de átomos de cada elemento no início da reação deve ser igual ao número de átomos desse mesmo elemento no fim da reação Assim para o hidrogênio devemos ter 2x 2z e para o oxigênio 2y z Portanto as as nossas incógnitas x y e z devem satisfazer as equações 2x 2z o 2y z o 30 ÁLGEBRA LINEAR Se conseguirmos descobrir quais são os números x y z que satisfazem simul taneamente estas relações teremos aprendido um pouco mais sobre como se comporta a natureza Este procedimento que consiste em identificarmos o que permanece cons tante na mudança leva a um sistema de equações que precisa ser resolvido e em muitos casos as equações envolvidas são lineares como no exemplo ante rior da reação de H2 com 0 2 Evidentemente você já sabe um pouco como resolver este tipo de sistema mas quando o número de equações se torna muito grande ou temos menos eGuações do que incógnitas como no caso anterior podem surgir muitas dúvidas até mesmo sobre a existência ou não de solução para o sistema Por outro lado em sistemas que apresentam mais do que uma solução é necessário terse uma forma clara de se expressar todas elas Por exemplo no sistema anterior você pode encontrar duas soluções distintas para x y z faça isto mas só o terá resolvido se conseguir expressar o conjunto de todas as soluções Por isso nosso objetivo neste capítulo é estudar um método para a resolução de sistemas lineares em geral A técnica que será utilizada pode não ser a melhor no caso de sistemas muito simples mas tem a vantagem de poder ser aplicada sempre e ser facilmente mecanizada É particularmente útil em sis temas com grande número de incógnitas onde o uso de calculadoras é inevitá vel Em síntese este método consiste em substituir o sistema inicial por siste mas cada vez mais simples sempre equivalentes ao original Comecemos com o seguinte exemplo Para efeito de visualização coloca remos ao lado de cada sistema urna matriz a ele associada x 4x2 3x3 1 I I 2x 5x2 4x3 4 2 x 1 3x 2 2x3 5 3 4 3 5 4 3 2 I Passo Eliminamos x 1 das equações 2 e 3 Para isto multiplicamos a equação 1 por 2 e somamos a equação obtida com a equação 2 obtendo uma nova equação 2 Da mesma maneira produziremos a equação 3 obti da ao multiplicarmos a equação 1 por 1 somando esta nova equação ã equa ção 3 Isto resulta no seguinte sistema x 1 4x2 3x3 1 1 11 üx 1 3x2 2x3 2 2 üx 1 7x2 5x3 4 3 4 3 7 3 2 5 i Sistemas de Equações Lineares 31 1 Passo Tornamos o coeficiente de x2 da equação 2 igual a 1 Para isto multiplicamos a equação 2 por 13 O sistema resultante é 2 3 4 7 3 2 3 5 l 3 Passo Eliminamos x 2 das equações 1 e 3 Para isto multiplicamos a equação 2 por 4 e somamos a esta a equação 1 obtendo 1 De ma neira análoga obtemos 3 multiplicando a equação 2 por 7 e somando a esta nova equação a equação 3 Ox2 1 11 1 o I 11 x 3x3 3 3 3 2 2 2 o 2 2 lV Ox 1 x 3x3 3 3 I 2 3 o o 1 2 Ox1 Ox 3 x3 3 3 3 4 Passo Tornamos o coeficiente de x 3 na equação 3 igual a 1 Para isto multiplicamos a equação 3 por 3 Isto resulta no seguinte sistema Ox 1 ll 1 iv o 1 11 x 3 x3 3 3 3 2 2 2i o 2 2 V üx x 3x3 3 T T Ox1 Ox2 x 2 3iv o o 2 5o Passo Eliminamos x 3 das duas primeiras equações do sisiJma V Multiplica mos a equação 3iv por 13 e somamos a esta nova equação a equação 1 De modo análogo multiplicamos a equação 3 por 23 e a esta nova equa ção somamos a equação 2iv Sistema resultante x Ox2 IV Ox 1 x Ox 1 Ox ou ainda r 3 x 2 XJ 2 Ox 3 u Ox3 2 x3 2 o o o o n Biblioteca de Í Ciência Tecnolçlia UFPel 32 ÁLGEBRA UNEAR Assim cada sistema foi obtido a partir do sistema anterior por opera ções que preservaram as igualdades Por isto cada terna xlt x 2 x 3 que é so lução do sistema I também será solução dos sistemas seguintes Deste modo uma vez encontradas as soluções do sistema VI as soluções do sistema I se existirem devem estar entre estas isto é toda solução do sistema I também é solução do sistema VI O ponto fundamental deste procedimento é que as etapas são todas re verslveis Por exemplo partindo do sistema 11 podemos obter o sistema I da seguinte maneira I i 2 2 12 3 It3J Com esta notação estamos querendo indicar que por exemplo a segunda linha 2 do sistema I é obtida multiplicandose por dois a primeira linha I do sis tema li e somandose a segunda linha 2 do sistema li isto é 2 2 1 2 De modo análogo você pode obter o sistema V a partir de VI IV a par tir de V 111 a partir de IV e 11 a partir de UI Usando o mesmo argumento anterior podemos dizer que toda solução de VI também é solução de I A par tir das duas afirmações destacadas acima concluímos que os sistemas I 11 III IV V e VI têm as mesmas soluções e portanto x 1 3 x 2 2 e x 3 2 que é a solução de VI é a única solução do sistema inicial I Você pode ve rificar por substituição direta que esta é uma solução mas apenas como ga rantia de que não erramos nos cálculos Podemos afirmar que no exemplo anterior os sistemas I li III IV V e VI são equivalentes segundo a definição dada a seguir Observe que no exemplo anterior as únicas operações que efetuamos são dos seguintes tipos z Multiplicar uma equação por um número diferente de zero ii Adicionar a equação a outra Existe ainda uma outra operação que às vezes precisaremos efetuar neste procedimento e ela também é reversível iii Permutar duas equações Por exemplo no sistema x 2 3x3 5 I x 1 3x2 x 3 2 2 2x1 4x 2 x 3 I 3 Sistemas de Equações Lineares 33 nosso primeiro passo seria permutar as equações e 2 de modo a obter o coeficiente de Xt diferente de zero na primeira equação Estas operações num sistema produzem sempre sistemas com mesmo conjuntosolução como vimos no exemplo anterior Uma demonstração formal deste fato usando matrizes elementares será vista em 385 Agora iremos usar matrizes para apresentar uma maneira organizada de resolver sistemas de equa ções seguindo a idéia do exemplo anterior Antes porém vamos formalizar alguns conceitos 22 SISTEMAS E MATRIZES 221 Conceitos Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo a11 x 1 a12x 2 atnxn b1 a21xl a22x2 a2nXn b2 com Oij I i m 1 j n números reais ou complexos Uma solução do sistema é uma nupla de númerqs x1 x 2 Xn que satisfaça simultaneamente estas m equações Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se e somente se toda solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro 222 Sistemas e Matrizes Podemos escrever o sistema numa forma matricial an l x l b l a2n x 2 b2 Omn Xn bm ou A X B onde 34 ÂLGEBRA UNEAR é a matriz dos coeficientes a matriz das incógnitas e a matriz dos termos independentes 1 Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é a12 Otn a21 a22 a2n b2 Omt Om2 Omn bm que chamamos matriz ampliada do sistema Cada linha desta matriz é simples mente uma representação abreviada da equação correspondente no sistema Observe que no exemplo dado em 21 ao lado de cada sistema escrevemos sua matriz ampliada Assim no sistema dado temos a forma matricial x 4x 3x3 I 2x 5x 4x3 4 x 1 3x2 2x 3 5 Em termos de matrizes ampliadas na resolução do sistema partimos de 4 5 3 3 4 2 l e chegamos a o I o o o Sütemas de Equações Lineares 3S n que é a matriz ampliada do sistema VI através de operações equivalentes às efetuadas nas equações dos sistemas Estas que serão definidas a seguir são as operações elementares sobre as linhas de uma matriz 23 OPERAÇÓES ELEMENTARES São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz i Permuta das iésima e iésirna linhas L Lj Exemplo L2 L l 3 4 4 1 ii Multiplicação da iésima linha por um escalar não nulo k L kL Exemplo L 2 3L 2 1 3 4 3 4 iii Substituição da iésima linha pela iésirna linha mais k vezes a ésirna Ji nha L L kLj Exemplo L 3 L 3 2L 1 l 3 4 1 4 36 ÁLGEBRA UNEAR Se A e B são matrizes m X n dizemos que B é linha equivalente a A se B for obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A Notações A B ou A B Por exemplo D J é linha equivalente aG n pois u 1 o o 1 4 L L 4L 1 3 L 3 4L 3 3L 1 u 1 o ol I 4 L 2 lL O LL4L r J Já comentamos em 21 que as operações com linhas de um sistema pro duzem outro sistema equivalente ao inicial Em termos de matrizes podemos enunciar este resultado como 231 Teorema Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes A demonstração deste teorema usandose matrizes elementares está em 385 Como vimos o processo utilizado para se resolver sistemas por elimina ção de incógnitas corresponde a passar a matriz ampliada do sistema inicial para matrizeslinha equivalentes a esta até que cheguemos a uma matriz conve niente que indique a splução do sistema original Você pode observar em 22 que a matriz final associada ao sistema VI tem uma forma especial Ela é um exemplo do que chamaremos matrizlinha reduzida à forma escada O método que apresentamos aqui consiste em obter por linharedução estas matrizes por meio das quais chegamos à solução do sistema de uma forma explícita Um outro método conhecido como o Método de Gauss reduz por linha equivalência a matriz ampliada do sistema a uma matriz triangular Você te rá a oportunidade de resolver sistemas por este método que é muito usado por suas vantagens computacionais no Exercício 17 de 26 Não perca Sistemas de Equações Lineares 37 24 FORMA ESCADA 241 Definição Uma matriz m X n é linha reduzida à forma escada O 1 se a pnmetro e ementa não nulo de uma linha não nula é 1 b Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero c Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas isto é daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo d Se as linhas 1 r são as linhas não nulas e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna k então k 1 k 2 k Esta última condição impõe a forma escada à matriz Figura 24 1 Isto é o número de zeros precedendo o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada linha até que sobrem somente linhas nulas se hou ver 242 Exemplos Exemplo 1 G o o J I I Não é a forma escada pois a segunda o condição não é satisfeita Exemplo 2 2 il Não é a forma escada pois não o satisfaz a o primeira e a quarta condições Exemplo 3 3 o J o o o Não satisfaz a primeira nem a o o 1 terceira condição Exemplo 4 I 3 o n É a forma escada pois todas as o o I o o o condições são satisfeitas 38 ÁLGEBRA LINEAR 243 Teorema Toda matriz Amxn é linhaequivalente a urna única ma trizlinha reduzida à forma escada Para a demonstração veja a secção 27 Este teorema permitenos definir os conceitos abaixo que serão relacionados a seguir com o número real de equa ções e o número de soluções de um sistema 244 Definição Dada uma matriz Amxn seja Bmxn a matrizlinha re duzida à fonna escada linha equivalente a A O posto de A denotado por p é o número de linhas não nulas de B A nulidade de A é o número n p Observamos que dada uma matriz A qualquer para achar seu posto neces sitamos encontrar primeiro sua matrizlinha reduzida à forma escada e depois contar suas linhas não nulas Este número é o posto de A A nulidade é a di ferença entre colunas de A e o posto 245 Exemplos Exemplo 1 Desejamos encontrar o posto e a nulidade de A onde A 2 o 3 2 l Assim efetuamos as seguintes operações com matrizes 1 2 n G 2 I lJ 2 l 1 o 3 2 4 2 2 4 o 4 o o o 7 o 3 J o 3 1 se 2 2 o o I o 4 2 o 8 li o o li o 11 8 8 O posto de A é 3 e a nulidade de A é 4 3 I Observação Se interpretarmos a matriz A dada acima como sendo a matriz ampliada de um sistema linear teremos Sistemas de Equações Lineares 39 Xt 2x2 X3 O XI ÜX2 3x 3 5 Xt lx2 x 3 I A matrizlinha reduzida à forma escada é linha equivalente à matriz A Assim o sistema que ela representa 7 x2 4 ll x 8 é equivalente ao sistema inicial possuindo a mesma solução que este Exemplo 2 Desejamos encontrar o posto e a nulidade de B onde Assim efetuamos as seguintes operações matriciais l 1 1j 4 1l 4 4 1 9 5 5 9 16 16 o i 4 f o l 9 o I o 9 o o o o o o o O posto de B é 2 e a nulidade é I Repare que a matriz B i 1 4 1 o 40 ÁLGEBRA LINEAR tem o mesmo posto e nulidade que B Reinterpretando as matrizes acima como sistemas de equações diremo que o sistema de quatro equações associado à matriz inicial 2x y3 X 4y 2 x Sy I 4x J6y 8 é equivalente ao sistema de duas equações X Oy 14 Oxy9 associado à matrizlinha reduzida à forma escada Este é um caso de sistema com equações redundantes A terceira e a quarta equações que se tornam nu las no final do processo podem ser desprezadas Isto significa que o sistema inicial é equivalente ao sistema associado à matriz Bt 2xy3 X 4y 2 Usamos dizer também que neste caso as duas primeiras equações são independentes e que as demais são dependentes destas Você vai se fami liarizar com estas denominações no Capítulo 4 Ainda segundo esta terminolo gia denominamos vasto de uma matriz ao número de linhas independentes desta Você pode observar que uma linha será dependente de outras isto é será igual a zero no final do processo de redução se ela puder ser escrita co mo soma de produtos destas outras linhas por constantes Costumamos dizer também que esta linha é uma combinação linear das outras Por exemplo na matriz B podemos dizer que a primeira e a segunda linhas são independentes enquanto que a terceira e a quarta são combinações lineares das duas primeiras linhas Você viu assim que um posto da matriz ampliada de um sistema nos dá o número de equações independentes deste Na próxima secção veremos 4ue o posto também está relacionado com o número de soluções de um sistema Sistemas de Equações lineares 41 25 SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES O objetivo desta secção é estudar detalhadamente todas as situações que po dem ocorrer na resolução de um sistema linear 25 1 Se tivermos um sistema de uma equação e uma incógnita ax b existirão três possibilidades i a O Neste caso a equação tem uma única soluçlio b X a ii a O e b O Então temos Ox O e qualquer número real será soluçlio da equação iiiJ o bo T a e emos Ox b Não existe solução para esta equação Para analisar sistemas de duas equações e duas incógnitas vejamos alguns exemplos 252 Exemplos Exemplo 1 2x x 5 x 3x2 6 Lembramos que o conjunto de pontos x 1 x2 E R X R que satisfaz cada equação deste sistema representa uma reta no plano Para resolver este sistema devemos então encontrar os pontos comuns a estas duas retas Figura 251 Deste modo 3 1 é a única solução A matriz ampliada do sistema é Transformandoa em matrizlinha reduzida à forma escada 42 ÁLGEBRA LINEAR obtemos o l que é a matriz ampliada do sistema x 1 3 x 1 Jçãox 3e equivalente ao sistema inicial O Sistema tem uma umca so u 1 1 x I como foi analisado graficamente Observamos que o posto da ma nz O d t iz ampliada dos coeficientes do sistema reduz1do 0 1 e o a ma r 3 é 2 1 o Exemplo 2 3 1 As duas retas que formam este sistema são coincidentes Figura 252 Neste caso vemos geometricamente que qualquer ponto de uma das retas é t soluçao deste SIS ema A matriz ampliada do sistema e a matriZ reduzida por linhas à forma escada são I 3 Portanto o sistema acima é equivalente ao sistema x lox Sistemas de Equações lineares 43 onde a segunda equação pode ser simplesmente ignorada pois não estabelece nenhuma condição sobre Xt ou x 2 Ela é verdadera para quaisquer números Xt e x2 O conjunto de soluções deste sistema será dado atribuindose valores arbitrários para a incógnita x 2 e tomando x 1 tx2 Assim para x 2 À temos 5 1 x 2 2À x À Atribuindo diversos valores para À obtemos várias soluções para o sistema Por exemplo para À O temos x 1 2 e x 2 O Para À 1 temos x 1 2 e 2 x 2 1 etc Este sistema admite infinitas soluções Observe que a matriz ampliada e também a matriz dos coeficientes do sistema têm posto 1 pois uma vez transformadas em matrizeslinha reduzidas na forma escada elas possuem uma linha não nula A nulidade da matriz dos coeficientes é 2 1 I que é também chamada o grau de liberdade do siste ma Isto quer dizer que o nosso sistema apresenta uma variável livre Exemplo 3 2x 1 x2 5 6x 1 3x2 10 Geometricamente temos duas retas no plano que não possuem nenhum ponto em comum pois são paralelas e portanto este sistema não tem solução Isto é mostrado na Figura 25 3 Figura 253 A matriz ampliada deste sistema duzida à forma escada I 3 é equivalente à matrizlinha re 44 ÁLGEBRA LINEAR Portanto o sistema inicial é equivalente a r X1 X2 Ü lox Ox 1 Não existe nenhum valor de x 1 ou x 2 capaz de satisfazer a segunda equação Assim o sistema inicial não tem solução Dizemos que ele é incompatível im possível Vamos comparar a matriz de coeficientes e a ampliada reduzidas à forma escada do sistema Observe que o posto da matriz dos coeficientes do sistema inicial é 1 e o pos to de sua matriz ampliada é 2 253 Caso Geral Consideremos um sistema de m equações lineares com n incógnitas x 1 Xn cujos coeficientes Oij e termos constantes bi são números reais ou complexos Este sistema poderá ter i uma única solução fx 1 lxn ii infinitas soluções iii nenhuma solução No primeiro caso dizemos que o sistema é possivel compatível e determinado No segundo caso dizemos que o sistema é possivel e indeterminado E no ter ceiro caso dizemos que o sistema é impossivel incompatível Consideremos a matriz ampliada do sistema anterior e tomemos sua ma trizlinha reduzida à forma escada 1 i i r I l an b mxnI am amn o Sistemas de Equações Lineares 45 o o Ck I I I I Cm mxnI Procure entender e demonstrar ções do teorema abaixo L VJ a secçao 27 cada uma das afirma 2 5 2 se a h ea com atençao e volte aos exemplos dados em c ar convemente 254 Teorema i sia dde m equaçõe e n incógnitas admite solução se e somente p a matriZ ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes ii Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p 1 n a so uçao será umca iii Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p n d n po emas escolher p mcogrutas e as outras p mcognitas serão dadas em função destas Pa lfinbalizarmos este assunto convém ilustrálo Dizemos no caso üi que 0 grau e 1 erdade do sistema é n p Emli cdaada exemplo é dada a matrizlinha reduzida à forma escada da ma triz amp a Usamos a notação p Pc posto da matriz dos coeficientes e Pa posto da matriz ampliada Se Pc Pa denotamos simplesmente por 255 Exemplos Exemplo 1 o 1 o o o n P ntão a solução é única e x 1 3 x 2 2 e x 3 2 m 3 n 3 e 3 E Exemplo 2 b o 7 1 5 Pc Pa 2 46 ÁLGEBRA LINEAR m 2 n 3 e p 2 Temos um grau de liberdade x 10 7x ex 6 Sx3 Exemplo 3 o 1 o 7 5 o lO 6 2 m 3 n 3 Pc 2 e Pa 3 O sistema é impossível e portanto não existe solução Exemplo 4 o 1 o 10 2 7 o o 1 Pc Pa 2 d lib d d x 10 lOx 2x m 3 n 4 e p 2 Temos dois graus e er a e 1 e x2 4 7x3 x4 256 Agora depois de termos mostrado como é possível resolver sistemas de equações lineares através de matrizes podemos voltar ao problema qe ha víamos proposto no início do capítulo relativo à quantidade de hidrogemo e oxigênio necessária para se formar a água Sabemos que xH2 y0 2 zH20 onde x y z devem satisfazer 2x2z0 2y z o A matriz ampliada associada ao sistema é que reduzida à forma escada dá o o 2 2 1 1 I 2 SUtemas de Equações Uneam 47 ou seja z é uma variável livre e assim se tomannos z À teremos X À0 yÀO z À ou i m Note o significado de termos um grau de liberdade na solução deste sistema Temos apenas estabelecida a proporção com que os elementos devem entrar na ração e para diferentes valores de À teremos quantidades diferentes de reagentes produzindo quantidades diferentes de água Por exemplo se À 2 tererros 2H2 0 2 2H20 se À 4 teremos 4H 2 202 4H20 257 Exemplos Exemplo 1 Resolver o sistema X 2y Z t 0 x3yz2t0 A matriz associada ao sistema é 2 3 que reduzida à forma escada fornece b o I I 5 2 l 2 1 Reinterpretando o sistema vemos que z e t são variáveis livres grau de liber dade 2 Chamando z À1 e t À2 obtemos X 5 À1 À2 y 2 À À z À t À 48 ÁLGEBRA LINEAR ou na forma matricial Observe que 5 2 I O e I I O I são soluções do sistema ob tidas da seguinte forma a primeira fazendo Àt I e Àz O e a segunda À1 O e À2 I Elas são chamadas soluções básicas do sistema porque geram todas as outras Todo sistema homogêneo tem solução que pode ser escrita desta forma Basta reduzir o sistema observar as variáveis livres e atribuir valores I para uma delas e zero para as outras obtendo as soluções básicas tantas quanto o grau de liberdade A solução será uma soma destas soluções multiplicadas por constantes Exemplo 2 Resolver o sistema A matriz associada é u que reduzida tornase X 3y Z 0 2x 6y 2z O X 3y Z 0 3 I 6 2 3 I 3 I o o o o Reinterpretando vemos que y e z são variáveis livres Fazendo y À1 e z À2 temos x 3À 1 Àz y Àt z Àz As soluções básicas são então x 3 y I z O ex 1 y O z I Assim Exemplo 3 Resolver o sistema x2yz ti X 3y Z 2t 3 Siotemas de Equações Lineares 49 A matriz associada é 2 3 I 5 2 I 2 J que reduzida à forma escada tomase I O O I 1 I 3 2 Remterpretando vemos que z e t são livres Fazendo z À1 e t Àz obtemos X 5À1 Àz 3 y 2À1 À2 2 z Àt t À2 00 J i H l Compare com o exemplo I O que você nota 26 EXERCICIOS 1 Resolva o sistema de equações escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas 2x y 3z 11 4x 3y 2z O xyz6 3x y z 4 2 Descreva todas as possíveis matrizes 2 X 2 que estão na forma escada redu zida por linhas 3 Reduza as ma trizes à forma escada reduzida por linhas a n 2 3 u c l 2 1 I 2 2 4 3 b 3 J 4 3 2 I 50 ÁLGEBRA LINEAR 4 Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questão 3 S Dado o sistema 3x 5y 1 2x z3 5xyz0 escreva a matriz ampliada associada ao sistema e reduzaa à forma escada reduzida por linhas para resolver o sistema original 6 Determine k para que o sistema admita solução r 4x 3y 2 Sx 4y O 2x yk 7 Encontre todas as soluções do sistema f x 1 3x2 2x 3 3x4 7x5 14 ZX1 6x 2 x 3 2x4 5x5 2 x 1 3x2 x 3 2x5 1 8 Explique por que a nulidade de uma matriz nunca é negativa 9 Foram estudados três tipos de alimentos Fixada a mesma quantidade 1 g determinouse que i O alimento I tem 1 unidade de vitamina A 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C ii O alimento 11 tem 2 3 e 5 unidades respectivamente das vitaminas A B e C iii O alimento lii tem 3 unidades de vitaminas A 3 unidades de vitamina C e não contém vitamina B Se são necessárias 11 unidades de vitamina A 9 de vitamina B e 20 de vita mina C a Encontre todas as possíveis quantidades dos alimentos I 11 e III que for necem a quantidade de vitaminas desejada b Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10 existe uma solução custando exatamente Cr I 00 Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos os postos das matrizes dos coeficientes e se o sistema for possível o grau de liberdade 11 X Y Z 4 2x 5y 2z 3 12 f X y Z 4 2x Sy 2z 3 x 7y 7z 5 13 x 2y 3z O 2x 5y 6z O 14 XI X2 X3 X4 0 x 1 x 2 x 3 X4 4 x x 2 x 3 X4 4 x 1 x2 x 3 X4 2 15 x 2y 3z O 2x y 3z O 3x 2y z O 16 3x 2y 4z xyz3 x y 3z 3 3x 3y 5z O X y Z Sistemas de Equações Lineares 51 17 O método de Gauss para resolução de sistemas é um dos mais adotados quando se faz uso do computador devido ao menor número de operações que envolve Ele consiste em se reduzir a matriz ampliada do sistema por linhaequivalência a uma matriz que só é diferente da linha reduzida à forma escada na condição b de 241 que passa a ser b Cada coluna que con tém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os elementos abaixo desta linha iguais a zero As outras condições a c e d são idênticas Uma vez reduzida a matriz ampliada a esta forma a solução final do siste ma é obtida por substituição Exemplo 5 6 52 ÁLGEBRA LINEAR 3 a última matriz corresponde ao sistema l 5 Xt 2 x2 2 x2 1 5 Por substituição x 1 2 2 ou seJa Xt 2 Resolva pelo método de Gauss os Exercícios 14 15 e 16 e compare as res postas 18 a Mostre a proposição 243 para matrizes 2 X 2 quaisquer b Sinta a dificuldade que você terá para formalizar o resultado para matri zes n X m mas convençase de que é só uma questão de considerar to dos os casos possíveis e escreva a demonstração Consulte 27 19 Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incógnitas aquele siste ma cujos termos independentes bi são todos nulos a Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução Qual é ela b Encontre os valores de k E R tais que o sistema homogêneo 2x 5y 2z O x y zO 2x kzO tenha uma solução distinta da solução trivial x y z UJ 20 Considere o sistema f x 6y Bz I tx 6y 4z O Note que podemos escrevêlo na forma matricial 21 6 6 Sistemas de Equações Lineares 53 v x rn fi o b Resolva o sistema e verifique que toda matrizsolução é da forma onde À E R c Verifique 4 4À À 2 2À l À é a solução do sistema homogêneo associado ao sistema 6 6 d Conclua dos itens a b e c que o conjuntosolução do sistema é o conjuntosolução do sistema somado a uma solução particular do sis tema 21 Dado o sistema 2 o o 2 2 2 4 4 a Encontre uma solução dele sem resolvêlo Atribua valores para x y z e w b Agora resolva efetivamente o sistema isto é encontre sua matrizsnução c Resolva também o sistema homogêneo associado d Verifique que toda matrizsolução obtida em b é a soma de uma matriz solução encontrada em c com a solução particular que você encontrou em a 22 Altamente motivado pelos Exercícios 20 e 21 mostre que toda matrizsolu ção de um sistema linear AX 8 é a soma de uma solução do sistema ho 54 ÁLGEBRA LINEAR mogêneo associado AX O com uma solução particular de AX B Suges tão siga as etapas seguintes usando somente propriedades de matrizes 1 Mostre que se X é uma solução do sistema AX O e X1 é uma solução de AX B então X0 X1 é solução de AX B ii Se X e X2 são soluções de AX B então X1 X2 é solução de AX O üi Use z e il para chegar à conclusão desejada 23 Faça o balanceamento das reações a N20 5 N02 0 2 b HF Si02 SiF4 H20 c NHC03 NH3 H20 C02 24 Dado o sistema linear decomposição térmica do N20 5 dissolução do vidro em HF 3x 5y 12z w 3 x y 4zw6 2y 2zw 5 a Discuta a solução do sistema b Acrescente a equação 2z kw 9 a este sistema encontre um valor de k que tome o sistema incompatível 25 Sabese que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades de vitamina A 180 unidades de vitamina B 140 unidades de vitamina C 180 unidades de vitamina D e 350 unidades de vitamina E Com o objetivo de descobrir como deverá ser uma refeição equilibrada foram estudados cinco alimentos Fixada a mesma quantidade I g de cada alimento determinouse que i O alimento I tem I unidade de vitamina A I O unidades de vitamina B I unidade de vitamina C 2 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E ii O alimento li tem 9 unidades de vitamina A I unidade de vitamina B O unidades de vitamina C I unidade de vitamina D e I unidade de vitamina E iii O alimento IIJ tem 2 unidades de A 2 unidades de B 5 unidades de C I unidade de D e 2 unidades de E iv O alimento IV tem I unidade de A I unidade de B I unidade de C 2 unidades de D e 13 unidades de E v O alimento V tem I unidade de A I unidade de B I unidade de C 9 unidades de D e 2 unidades de E Quantos gramas de cada um dos alimentos I li III IV e V devemos ingerir diariamente para que nossa alimentação seja equilibrada Sistemas de Equações Llneue 55 26 Necessitase adubar um terreno acrescentando a cada 10m 140 g de nitrato 190 g de fosfato e 205 g de potássio Dispõese de quatro qualidades de adubo com as seguintes características i Cada quilograma do adubo I custa 5 ucp e contém lO g de nitrato I O g de fosfato e I 00 g de potássio il Cada quilograma do adubo 11 custa 6 ucp e contém lO g de nitrato 100 g de fosfato e 30 g de potássio ii Cada quilograma do adubo II1 custa 5 ucp e contém 50 g de nitrato 20 g de fosfato e 20 g de potássio iv Cada quilograma do adubo IV custa 15 ucp e contém 20 g de nitra to 40 g de fosfato e 35 g de potássio Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar 54 ucp a cada lO m2 com a adubação 27 Desejase construir um circuito como o mostrado na figura v I R v r R R4 ti o v I onde v 280 v v 100 V V3 50 V R 20n R 30n R son R4 40n R won Dispõese de uma tabela de preços de vários tipos de resistências assim como as correntes máximas que elas suportam sem queimar resistências 20n 3on 4on son IOOn em OSA 1000 1000 1500 1500 2000 o á r x IOA 500 2000 1500 1500 2500 r i 30A 2000 2200 2000 2000 2800 m a 50A 3000 3000 3400 3400 3700 De que tipo devemos escolher cada resistência para que o circuito funcione com segurança e a sua fabricação seja a de menor custo possível Biblioteca de li Ciêca S6 ÁLGEBRA LINEAR 28 Uma placa quadrada de material homogêneo é mantida com os bordos AC e BD à temperatura de 20C o bordo AB a 40C e CD a i0C com o uso de isolantes ténnicos em A B C e D vide figura y 40C A 8 20C 20C c D 10C X Após ser atingido o equihbrio ténnico qual é a temperatura aproximada em cada ponto da placa 29 Consideremos uma unidade de produção muito simplificada de um proces so de produção industrial de um determinado composto C a partir de certos compostos A e B segundo a reação química A B C A o Bo Co At Bt Ct A 3 83 C3 a I imantação AB te resfriador filtro reator t reciclagem s c pro duto final A 0 100 kgh B0 100 kgh C0 I O kgh são os fluxos de alimentação isto é a quantidade de material jogada dentro da unidade de produção por hora enquanto que Ai Bi e q são os fluxos em cada estágio da produção Sabese ainda que z No reator a reação processase em condições tais que a quantidade de A após a reação é 0487 da sua quantidade antes da reação enquanto a de B é 0266 e a de C é 4675 de suas respectivas quantidades antes da reação ii Baseado no fato do ponto de ebulição de C ser inferior ao de A e B o filtro constituise de um destilador Dessa forma o vapor dentro do filtro tem maior concentração de C do que A e B e é continuamente retirado do filtro sendo levado para um resfriador do qual obtemos o produto final Enquanto isso a parte não vaporizada no destilador é levada de volta ao reator para ser reciclada Temse a infonnação de Sistel11liS de Equações Lineares S7 que a quantidade de A em fonna de vapor dentro do filtro é em um detenninado instante 05854 da quantidade de A presente naquele instante na parte não vaporizada enquanto que para B e C estas rela ções são 150 e 107 respectivamente Desejase saber qual é o grau de concentração de C no produto final se a unidade opera em condição estacionária isto é os fluxos de A B e C não mudam com o tempo em cada estágio sabendo que a concentração de C1 na mistura que passa do reator para o filtro é de 68 261 Respostas lx1 y 2 z 5 3 a o o c j o 1 I o o I o o o 7 l 2 I 3 o o 7 I 17 S X 16 y 16 Zg 7 x I 3x2 x5 x 2 x x 3 lx 9 a Sejam x y e z as quantidades de alimentos I 11 e III respectivamente Então 5 8 x 5 3z y 8 3z onde 3 z 3 b Sim x I y 2 z 2 17 7 5 4 llx33z y33z Pa 2 Pc gl I 13 Pa 2 Pc g I X 3z Y O S Pa 3 Pc gl O x y z 0 19a xi O b k 2 58 ÁLGEBRA UNEAR 21 a x O y z I w O l t l l 1 l t H1 H l 23 a 2 N2 0 5 4 N02 0 2 b 4 HF Si02 SiF4 2 H2 0 c NH2 C03 2 NH3 H2 0 CO 27 Sugestão Calcule as várias correntes que circulam no circuito para depois fazer a escolha dos tipos de resistência Para isto use as Leis de Kirchoff i A soma das correntes que entram em um nó de um circuito é igual à soma das correntes que saem deste nó ii A partir de um ponto qualquer de uma malha se a percorrermos em um sentido qualquer ao voltarmos ao mesmo ponto a soma algébrica das quedas de potencial é nula Leve em conta as observações i ii R A r s Neste caso ao irmos do ponto A ao ponto B há uma queda de poten cial dada por Ri Se fôssemos do ponto B ao ponto A haveria uma queda de potencial de Ri ou seja um aumento de potencial de Ri A I 8 Neste caso ao irmos do ponto A ao ponto B há um aumento de po tencial de V ou seja uma queda de potencial de V Se fôssemos de B até A teríamos uma queda de potencial de V Aplique então as leis de Kirchoff ao circuito obtendo um sistema linear Generalizações do problema podem ser obtidas nas situações i Circuitos de Corrente Alternada obtemos sistemas com coeficientes complexos ii Projetos de Circuito cálculo das características dos componentes para que o circuito tenha certas especificações SiJtemas de Equaçie Lineazel 59 28 Sugestão Sabese que a equação que rege o fluxo de calor é dada por I onde T é a temperatura num ponto x y e no instarite de tempo t e c O é uma constante característica do material de que é feita a placa aT No equilíbrio térmico T não varia mais com o tempo e portanto ar O a equação se torna JI õ2 T õT 0 õx2 õy 2 e o problema se converte em achar Tx y satisfazendo 11 e tal que T tem um valor préfixado no bordo da placa Modelo Aproximado Substituímos a placa por uma aproximação discreta que consiste em uma malha esperase que quanto mais fma a malha melhor seja a aproximação veja a figura abaixo 2 0C 20C nó 14 3 t nó 13 21 h I fh e procuramos as temperaturas Tq nos i i da malha que devem satisfazer a condição dada nos bordos e uma equação que é uma aproximação de 11 Para obter a aproximação de 11 temos num ponto i J do interior da malha aTI Ti 1 2Tq Tii õx2 i j h aT I õy i J Tj t 2 Tq Tijt h 60 ÁLGEBRA UNEAR substituindo em I e simplificando obtemos então III Tq Tit i Ttf TJt TJt 4 Observe que a temperatura num ponto do interior da malha deve ser a média aritmética das temperaturas dos seus vizinhos mais próximos Impondo a condição 111 nos pontos do interior da malha na figura acima obtemos um sistema linear Resolvao O que seria modificado se a abertura da malha na vertical fosse diferente da abertura na horizontal Seriam necessárias mais informações sobre a placa E se o formato da placa fosse diferente Sugestão O modelo teórico é construído baseado no seguinte fato a massa que entra em um detenninado estágio deve ser igual à massa que sai Usando este fato em cada estágio assim como as informações dadas no pro blema obtemos um sistema linear Resolvao e interprete os resultados Você acredita neles Os dados são reais 27 DEMONSTRAÇÕES Nesta seção faremos com detalhes as provas dos teoremas 243 e 25 4 que omitimos anteriormente para não prejudicar a seqüência de exposição do assun to Estas demonstrações são apresentadas como matéria adicional podendo ser estudadas ou não dependendo de seu interesse 2 71 Demonstração do Teorema 243 Toda matriz é linha equivalente a uma única matrizlinha reduzida à forma escada Demonstração 1 Parte Seja A uma matriz m X ll qualquer Se todo elemento da primeira linha de A é zero então a condição a está satisfeita no que diz respeito a esta linha Se a primeira linha tem algum elemento não nulo seja k o menor inteiro j tal que aj O Multiplicamos a primeira linha por 1aj e a condição a ficará satisfeita Agora para cada i 2 somemos ak vezes a primeira linha ã iésima linha Como resultado teremos uma matriz cujo primeiro ele mento da primeira linha é I e ocorre na coluna k Além disto todos os outros elementos da coluna k são nulos Sistemas de Equações Lineares 61 Consideremos agora a matriz B obtida acima Se a segunda linha desta matriz for nula nada fazemos Se houver elementos não nulos nesta linha seja a coluna k a primeira a conter um destes Multip1icamos a segunda linha por 1bzk e a seguir somando múltiplos adequados desta nova segunda linha às de mais linhas obtemos uma matriz cujo primeiro elemento não nulo da segunda linha é I e todos os outros elementos da coluna em que este elemento I se encontra são nulos O importante é que neste processo não foram alterados os elementos bu b 1k e nem a késima coluna da matriz B Por quê Repetindo o procedimento acima em relação às demais linhas 3a 4 mésima obteremos no final uma matriz M que é linha equivalente à inicial A e que satisfaz as condições a e b da definição 241 As condições c e d serão satisfeitas através de um número finito de permutações de linhas da matriz M Parte Assim mostramos nesta primeira parte que toda matriz A é linha equivalente a uma matrizlinha reduzida à forma escada Para mostrarmos que só existe uma única matrizlinha reduzida à forma escada linha equivalente a A observamos primeiramente que duas matrizeslinha reduzidas à forma escada que são linhas equivalentes só podem ser iguais De fato você pode observar que nenhuma das três operações com linhas exceto a multiplicação de uma linha pela constante I pode ser efetuada numa matrizlinha reduzida à forma escada sem que ela perca esta condição Pense nisto Agora suponhamos que por operações com linhas partimos de uma ma triz M e podemos chegar a duas matrizeslinha reduzidas à forma escada N e P Teremos então M N e M P Como as operações com linhas são reversíveis isto significará que N será linhaequivalente a P e portanto da afirmação desta cada acima N P 272 Demonstração do Teorema 254 1 Parte Se o posto da matriz ampliada for maior que o da matriz dos coefi cientes menor não pode ser então esta matriz reduzida à forma escada deve ter pelo menos uma linha do tipo 00 Oq com Ck O Isto significa que o sistema associado a esta matriz que é equivalente ao inicial tem uma equa ção do tipo Ox 1 Oxn Ck O e portanto não admite solução 21 Parte Por outro lado se o posto da matriz ampliada P for igual ao da ma triz dos coeficientes temos dois casos a considerar 62 ÁLGEBRA LINEAR a se p n teremos a matrizlinha reduzida à forma escada o o o o A solução do sistema será x 1 c1 Xn Cn portanto o sistema admi te uma única solução b se p i n então p n pois p não pode ser maior que n veja o Exer cício 8 de 26 Neste caso devemos considerar as yárias possibilidades para a matrizlinha reduzida à forma escada Podemos analisar inicialmente quando esta matriz de posto p n tem a forma I I 1 0 0 I OtpI OkO ol Otn Ct I I I o QQ lJ appl Opn Cp o o o o o o o o o o o Teremos neste caso xt c a1plxpl Xp Cp OpptXpl OtnXn e o sistema terá portanto infinitas soluções sendo Xpl Xn variáveis li vres 2 Sistemas de Equaçõei Lineares 63 Uma segunda forma a ser considerada para a matriz reduzida é então o k o o o o o o I 0 0 0 l I o o o o o o o o o a o X2 Ct alp 2 Xp 2 OtnXn x3 c2 a2p 2 Xp 2 a2nXn XpI Cp OpXpl apJlXn sendo x 1 Xp 2 Xn variáveis livres c o E assim podemos prosseguir de uma maneira sistemática e ver que e111 to das as possibilidades para a matrizlinha reduzida à forma escada de posto p n teremos um sistema com infmitas soluções e n p variáveis livres Observe que na 1 parte mostramos usando contrarecíproca que a igualdade de postos entre as matrizes ampliada e dos coeficientes é uma con dição necessária para a existência de solução do sistema Na 2a parte mostra mos que esta condição também é suficiente considerando as possibilidades a e b Ficou assim demonstrada a afirmação i de 254 Note ainda que também as condições ii e izi foram demonstradas em a e b respectivamente Leituras Sugeridas e Referências 1 Lipschutz S Ãlgebra Linear McGrawHill do Brasil Ltda Rio de Janeiro 1971 2 SMSG Matemática Curso Colegial vol 3 Yale University Press New Haven 1965 DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA 31 INTRODUÇÃO Já em 250 AC havia exemplos da resolução de sistemas de equações através de matrizes no livro chinês Nove Capítulos sobre a Arte Matemática CUJO autor é desconhecido Também algumas noções ligadas a determinantes o assunto que será objeto de estudo neste Capítulo já eram conhecidas na China antiga Mas se por um lado já se utilizava a noção de determinantes no mundo Oriental há tanto tempo no Ocidente este assunto começou a ser tratado espo radicamente a partir do século XVII Nesta época surgem trabalhos de G W Leibniz 16461716 de G Cramer I 7041 75 2 que desenvolveu um método de resolução de sistemas através de determinantes conhecido por Regra de Cramer e foi publicado em 1750 provavelmento já conhecido por C Maclaurin 16981746 em 1729 e alguns resultados simétricos de J L Lagrange 1736 1813 Só no século XIX é que os determinantes passaram a ser estudados mais sistematicamente a começar pelo longo tratado de A L Cauchy 17891857 em 1812 tendo sido realizados em seguida trabalhos de C G Jacobi 1804 1851 Determinante e Matriz Invena 65 A partir de então o uso de determinantes difundiuse muito e este con ceito de um número associado a uma matriz quadrada mostrouse extremamen te útil para caracterizar muitas situações como a de saber se uma matrz é inversível se um sistema admite ou não solução o que veremos nas proxtmas secções 32 CONCEITOS PRELIMINARES b Consideremos o sistema ax b com a o A solução deste SIStema e X a Observe que 0 denominador está associado à matriz dos coeficientes do sistema ou seja la Num sistema 2 X 2 a11 x 1 a 12x 2 b1 a 21 x 1 a22 X 2 b2 resolvendo desde que sejam possíveis as operações encontramos Observe que os denominadores são iguais e estão associados à matriz dos coe ficientes do sistema Num sistema 3 X 3 a x 1 a 12x2 a13X3 b1 ax 1 a22X2 a23X3 b2 a 31x1 a32X2 a33X3 b3 desde que sejam possíveis as operações ao procurarmos os valores de x x2 ex vemos que eles têm o mesmo denominador a1a22a33 a11a23a32 a a a a a a 1 a32 a13 a22a31 que também está associado à ana21 33 12 23 3t 13 2 matriz dos coeficientes do sistema aJ a a aparecem nos denominadores associados às casos particulares do que é chamado Vamos rever estes números que matrizes quadradas Estes números são determinante de uma matriz quadrada Bibioteca de Ciência Tecnol 66 ÁLGEBRA LINEAR 33 DETERMINANTE Quando nos referirmos ao determinante isto é ao número associado a uma matriz quadrada A auJ como na secção anterior escreveremos Então detA ou IAI ou deta det a a det JI a22 a21 I a aua22 a12a21 a a det a21 a a23 a aua22a33 aua23a32 Dt2a21a33 a at2a23a31 atJa21a32 a3a23a31 Talvez seja conveniente avisálo de que o conceito de determinante no caso geral envolve muitos símbolos o que dificulta a leitura Para tornar a discussão mais sim ples e organizada vamos introduzir algumas definições necessárias Comecemos lembrando o que significa uma permutação Dados n objetos distintos a 1 an uma permutação destes objetos consiste em dispôlos em uma determinada ordem Por exemplo I 2 3 é uma permutação dos números I 2 e 3 2 I 3 é outra permutação etc A quantidade de permutações de n objetos é dada por n que é lido n fatorial e n nnin2 2 I se n 0 Por exemplo 3 3 2 I 6 Definese ainda O I 331 Definição Dada uma permutação dos inteiros I 2 n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele Consideremos as permutações de I 2 3 e vejamos em cada permutação o número de inversões Permutação Número de inversões I 2 3 o I 3 2 I 2 I 3 I 2 3 I 2 3 I 2 2 3 2 I 3 I I Determinante e Matriz Inversa 67 Como um outro exemplo podemos tomar duas das 4 24 permutações de I 2 3 4 Assim 3 2 I 4 tem 3 inversões e 4 3 2 I possui 6 inversões Voltemos ao determinante Observe que aparecem todos os produtos a Ih a2 a 3 3 onde j 1 h i são as per mutações de 1 2 e 3 Além disso vemos que o sinal do termo é negalvo se a permutação tiver um número ímpar de inversões Veja a tabela acnna para verificar os sinais Como generalização o determinante de uma matriz quadrada a ln xn é dado pela definição a seguir 332 Definição det a I iaha2J nin onde J Jj in p é o número de inversões da permutação id2 in e p indica que a soma é estendida a todas as n permutações de I 2 n Em relação a esta definição podemos fazer três observações i Se a permutação i1 i 2 in tem um número par de invrsões o coe ficiente 1 do termo correspondente na somatória terá smal poSJhvo caso contrário terá sinal negativo ii Em cada termo da somatória existe um e apenas um elemento de cada linha e um e apenas um elemento de cada coluna da matriz iil Através de uma reordenação conveniente dos termos mostrase que tam bém é possível definir um determinante por det a I I h a inn p variando os primeiros e deixando fixos os segundos índices Verifique no caso 3 X 3 isto 68 ÁLGEBRA LINEAR Propriedades i Se todos os elementos de uma linha coluna de uma matriz A são nulos det A O A razão disto é que pela observação ü em cada termo que aparece no cálcu lo do determinante há um dos elementos da linha coluna nula e portanto todos os termos se anulam e o determinante é zero ii det A det A Daí inferimos que as propriedades que são válidas para linhas também o são para colunas A prova desta propriedade é a seguinte se A aj sabemos que A bj onde bij aji Então pela definição de determinante temos detbj L 11bihb2j bnjn p L IJahah2 afnn p det aj pela observação iii iii Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante o determinan te fica multiplicado por esta constante Para verificarlllOS isto chamemos de A a matriz original e B a matriz obti da de A multiplicando uma linha de A por uma constante k Então ao calcular mos o determinante de B pela observação ii em cada termo aparece um ele mento daquela linha que foi multiplicada por k Podemos colocar k em evidên cia e o que permanece é exatamente o cálculo do determinante de A Portanto det 11 k det A iv Uma vez trocada a posição de duas linhas o determinante troca de sinal A razão disto é imediata se observarmos que ao trocar duas linhas de uma matriz alteramos a paridade do número de inversões dos índices e portanto trocamos o sinal dos termos v O determinante de uma matriz que tem duas linhas colunas iguais é zero Isto é verdade porque se trocarmos as posições das linhas que são iguais a matriz e portanto o determinante permanecerão os mesmos Por outro lado pela propriedade anterior o determinante deve trocar de sinal e portanto a única possibilidade é que o determinante seja nulo Determinante e Matriz Inversa 69 vi ali a in ali a in 11 a in btl Cjt bin cin bit bin Cjt Cfn anl nn Uni nn ani Unn Para mostrar esta propriedade usamos a definição de determinante c a distributividade Mas cuidado Observe que aqui temos a soma numa linha e não uma soma de matrizes De um modo geral o determinante de uma soma de duas matrizes não é igual à soma dos determinantes das matrizes Ou seja detA B i det A det B Veja o Exercício 4 da secção 310 vii O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha mui tiplicada por urna constante Exemplo 3 2 3 2 1 2 5 o 2 5 o 2 4 2 8 o o Aqui à terceira linha somamos a primeira linha multiplicada por 2 Para pro var esta propriedade usamos as propriedades vi iii e v viii det A B det A det B Mostre inicialmente esta propriedade para matrizes 2 X 2 Sinta a difi culdade que se teria para demonstrála já em matrizes 3 X 3 A demonstração deste resultado para matrizes n X 11 é bem mais elaborada mas você terá con dições de fazêla usando matrizes elementares veja a seção 38 A próxima propriedade é tão importante e útil no cálculo de um deter minante que destacamos sua importância apresentandoa numa seção separada 34 DESENVOLVIMENTO DE LAPLACE Na seção 32 vimos que a 11 a 12 a 13 IA I a 21 a22 a23 a31 a32 a33 70 ÁLGEBRA LINEAR Mas podemos escrever esta soma como aua 22a 33 a23 a32 a 12 a21 a33 anaJd a13a21a 32 a22a31 Ou ainda I Observe que o determinante da matriz inicial 3 X 3 pode ser expresso em fun ção dos determinantes de submatrizes 2 X 2 isto é det A a 11 IA 11 1 aIA12I a13IA131 onde A1y é a submatriz da inicial de onde a iésima linha e a jésima coluna foram retiradas Além disso se chamarmos obtemos a expressão Esta propriedade continua sendo válida para matrizes de ordem n1 e assim po demos expressar n L aj11det Aij j I n I Uijtlij jI Ao número 6ij que é o determinante afetado pelo sinal lii da submatriz Atj obtida de A retirandose a iésima linha e a iésima coluna chamamos cofator ou complemento algébrico do elemento Ofj Observe que na fórmula da da o determinante foi desenvolvido pela iésima linha Uma forma análoga é válida para as colunas 341 Exemplos Exemplo 1 IAI rr 2 1 3 2 i I 1 2612 16 632 2 i I i 2 L J I Para uma demonstração veja por exemplo Lípschutz SÂlgebra Linear MrawHill do Brasil Ltda Rio de Janeiro 1971 onde Portanto 612 I 2 2 6 I I 2 632 Determinante e Matriz Inversa 71 IAI 22 I 8 17 5 O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n 1 Em grande parte dos casos ele sim plifica muito o cálculo de determinantes principalmente se for utilizado um conjunto com outras propriedades dos determinantes Exemplo 2 I 2 2 2 1 3 I 2 vil 21 I I 2 o I O índice acima da igualdade indica o número somamos a segunda linha à terceira Exemplo 3 I 2 3 4 5 4 2 o o vj o I 2 3 o 5 2 5 3 8 5 3 4 5 3 21 5 3 o 2 5 3 8 3 8 3 2 o 3 I 145 da propriedade usada Neste caso 2 2 2 5 4 o I 3 4 o o 3 o 3 ii 2 ro 5 13 o 4 3 o o 1 2312 10 13 1 610 52 372 72 ÁLGEBRA liNEAR Note que na primeira passagem usamos a sétima propriedade ao somarmos a se gunda coluna multiplicada por 2 à primeira coluna Nosso intuito foi o de obter uma segunda linha com apenas um elemento não nulo e então abaixar a ordem do determinante usando menos cálculos Seguindo este raciocínio você pode também obter o determinante inicial por exemplo igualando o último elemento da primeira linha a zero 35 MATRIZ ADJUNTA MATRIZ INVERSA Dada uma matriz A lembramos que o cofator lltj do elemento aij da matriz é lii det Aj onde Aii é a submatriz de A obtida extraindose a iésima linha e jésima coluna Com estes cofatores podemos formar uma nova matriz A de nominada matriz dos cofatores de A à Lj Exemplo A I 6 Ln I I I I 19 Ln 1121 4 5 1 19 etc l19 19 19 Então à 5 lO li 4 8 5 35 1 Dada uma matriz quadrada A chamaremos de matriz adjunta de A à transposta da matriz dos cofatores de A adj A à No exemplo anterior 19 5 adj A 19 lO 19 11 Determinante e Matriz Inversa 73 Vamos efetuar neste exemplo A A l lg 1 1 l 19 u n 19 I Além disto podemos verificar que det A 19 Então A A det AI3 Este resultado não foi obtido por acaso mas é válido para toda matriz quadrada A de ordem n 352 Teorema A à A adj A det AIn Para demonstrarmos eta proposição usamos a propriedade v segundo a qual o determinante de uma matriz que tem duas linhas colunas iguais é zero e o desenvolvimento de Laplace Vamos fazêla esquematicamente para matrizes 3 X 3 A demonstração é a mesma para matrizes n X n Prova n 3 ali A adj A a21 al Calculando os elementos Cij achamos que c 11 a6 11 a 12Ll12 a136 13 det A c12 a 11 Ll21 a 12622 a 13623 Usando o desenvolvimento de Laplace em relação à segunda linha temos pois duas linhas são iguais Analogamente cii det A e Cij O se i j Então A L et A adjA o det A o JdetAI 3 det A 353 Definição Dada uma matriz quadrada A de ordem n chamamos de inversa de A a uma matriz B tal que A B B A In onde In é a matriz identidade de ordem ll Escrevemos A I para a inversa de A 74 ÁLGEBRA LINEAR 354 Exemplos Exemplo 1 Seja A D A 12 e A l o A 12 Verifique pois A o Exemplo 2 Seja A G Procuremos sua inversa isto é B J tal que A o B l2 e B o A l2 Impondo a primeira condição Portanto c A B 2 f6a 2c lJ la 4c 6b 2do c llb 4d o 6a2cl la 4c O 6b2dO e llb4dl Resolvendo os sistemas temos Teremos então a 2 ll c T b l d 3 ou seja A o B I Também 2 lJ 11 3 2 ou seja 8 A I e portanto é a inversa da matriz A B A I Observações Detezminante e Matriz Inversa 7S i Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem ambas inversíveis isto é existem A e B então A o B é inversível e ABr B o A De fato basta observar que ABB1 A1 ABB1A1 AIA1 AA I e que analogamente B A AB I ii Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal que BA I então A é inversível ou seja A I existe e além disso B A I Em outras palavras basta verificar uma das condições para a inversa de uma matriz e esta será única A prova da primeira parte ou seja de que A I existe será feita em 386 Por ora mostraremos apenas que B A De fato se A I existe temos a seguinte seqüência B Bl BAA BAA IA A l iiz Nem toda matriz tem inversa Por exemplo para mostrar que J não tem inversa é suficiente mostrar que a equação matricial J J Q não tem solução Isto é verdade pois implica que 2c e c O e não podemos ter estas igualdades simultanea mente 76 ÁLGEBRA LINEAR Suponhamos agora que Anxn tenha inversa isto é existe A 1 tal que A A t In Usando o determinante temos detA A 1 detA detA1 e detln I Então det A det A I I Desse produto concluímos que se A tem inversa i det A O I e ii det A 1 det A Ou seja det A 1 O é uma condição necessária para que A tenha uma inversa Vamos ver que esta condição também é suficiente Já vimos em 352 que I A A det Al Se det A O A det A A I e como a inversa é úni I ca então A 1 detA A Em resumo 355 Teorema Uma matriz quadrada A admite uma inversa se e somente se det A i O Neste caso A I 1 adj A det A Este resultado nos fornece um novo método de calcular a inversa de uma matriz Consideremos a matriz do Exemplo 2 anterior det A 24 22 2 O e portanto existe a inversa de A Calculemos sua inversa pela relação A I de A adj A A 4 2 11 4 2 6 e adJ A li 6 Então I I I 4 det A adJ AJ Tlll Determinante e Matriz Invetsa 77 36 REGRA DE CRAMER O cálculo da inversa de uma matriz fornece um outro método de resolução de sistemas lineares de equações Este só se aplica a sistemas lineares em que o nú mero de equações é igual ao número de incógnitas Suponhamos que desejásse mos resolver o sistema linear de nequações e nincógnitas Podemos escrever este sistema na fomm matricial ou onde A a11 aIn é a matriz dos coeficientes e ant ann o úJ oo x o J a matriz das incógnitas Para esta equação suponhamos que det A i O e por tanto que A tenha a inversa A t Então A1 AX A1 8 A I AX A I 8 lnX A 1 8 X A 1 8 Na forma matricial 78 ÁLGEBRA UNEAR Usando a relação para matriz inversa dada em 354 temos tll de A t n Então Mas note que o numerador desta fração é igual ao determinante da mtriz que obtemos de A substituindo a primeira coluna pela matriz dos termos mdepen dentes De fato usando o desenvolvimento de Laplace obtemos Ou seja b an bn Unn x au Unn Fazendo deduções análogas obtemos b Unn Xj au Unn para i 1 2 n Observe que no denominador temos o determinante da matriz dos coeficientes det A 0 e no numerador aparece o determinante da matriz obtida de A Determinante e Matriz In 79 substituindo a iésima couna pela coluna dos termos independentes Este méto do de reluçao de um Sistema linear de n equações e n incógnitas que só po de ser aplicado quando o deternunante da matriz dos coeficientes for não nulo é chamado Regra de Cramer 361 Exemplo Dado o sistema de 3 equações e 3 incógnitas temos 2x 3y 7z 1 x 3z 5 2y z o 3 o 2 L 1 o d Portanto podemos usar a Regra de Cramer Então 3 7 5 o 3 o 2 1 X 1 2 1 7 5 3 o o 1 y 1 2 3 o 5 o 2 o z 1 49 9 18 Cabe aqui um comentário sobre a Regra de Cramer Embora seja muito útil pois dá uma forma explícita das soluções de um sistema ela não é muito usada para cálculos numéricos Isto porque o número de operações que ela envolve é muito grande quando trabalhamos com muitas equações No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n temos que calcular n produtos de n fatores e depois somálos Veja a definição Efetuamos então nn 1 1 nn 1 operações Como para resolver um sistema n X n pela 80 ÁLGEBRA LINEAR Regra de Cramer precisamos calcular n 1 determinantes de ordem n o núme ro de operações se elevaria a n lnn 1 cue é maior que n 2 n Como um exemplo para resolvermos um sistema de 10 equações e 10 incógnitas pela Regra de Cramer teríamos um número de operações superior a 102 10 362880000 operações enquanto que pelo método de redução de li nhas não chegaríamos a 14000 Muitos dos problemas que aparecem em Engenharia Economia Biologia etc costumam envolver um grande número de incógnitas de ordem 100 ou 1000 por exemplo Nestes casos mesmo os métodos de eliminação e redução por linhas podem não ser adequados Então nos meios computacionais prefere se usar métodos numéricos iterativos como por exemplo o de GaussSeidel Estes processos iterativos serão nosso objeto de estudo no capítulo 13 37 CALCULO DO POSTO DE UMA MATRIZ ATRAVES DE DETERMINANTES Muitas vezes é suficiente saber apenas se um sistema de equações lineares tem solução sem precisar resolvêlo isto é sem explicitar as soluções Por exemplo ao estudar a posição relativa de duas retas no plano dadas pelas equações y 2x 3 e y 3x 2 podemos estar interessados em saber apenas se elas se interceptam ou não sem determinar seu ponto de intersecção Ou seja que remos saber se o sistema admite ou não solução y2x3 y 3x 2 Como já vimos em 25 a existência e o número de soluções estão relacio nados com o posto da matriz dos coeficientes e o posto da matriz ampliada Vamos ver agora uma maneira de obter o posto de uma matriz usando deter minantes 371 Teorema O posto característica de uma matriz A quadrada ou não é dado pela maior ordem possível das submatrizes quadradas de A com determinantes diferentes de zero Para uma demonstração deste teorema veja os exercícios 18 19 e 20 da seção 310 Determinante e Matriz Inversa 81 372 Exemplos Exemplo 1 Dada a matriz 4 X 5 i 3 2 5 j 11 15 19 1 7 1 2 3 25 7 o podemos verificar que cada submatriz de ordem 4 há 5 tem determinante O Também o determinante de cada submatriz de ordem 3 há 40 é zero Mas det Q I J 8 O Então o posto é 2 Exemplo 2 Dado o sistema linear x2y3z I 2x y z O 6x 3y 3z 1 vamos dizer se ele é possível ou não sem resolvêlo A matriz dos coeficientes A i J 6 3 3 tem determinante O pois a terceira linha é igual à segunda multiplicada por 3 Portanto o posto de A é menor que 3 Se det A O o posto seria 3 pois A é submatriz dela mesma Como n 5 A tem uma submatriz quadrada de ordem 2 com determinante diferente de zero portanto seu posto é 2 Tomemos agora a matriz ampliada do sistema 2 3 I Como tiO 3 3 1 2 1 3 3 1 3 1 o posto de B é 3 Concluímos assim que o sistema Biblioteca de Ciência 8 TecnolbQiE 82 ÁLGEBRA LINEAR não admite solução pois o posto da matriz dos coeficientes é diferente do pos to da matriz ampliada Observação Num sistema de n equações e n incógnitas onde o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de O existe uma única solução 38 MATRIZES ELEMENTARES Um processo de inversão de matrizes O cálculo da inversa de uma matriz usando determinante envolve um núme ro muito grande de operações O processo prático de inversão que vamos apresentar nesta seção é baseado nas operações com as linhas de uma matriz e em termos de cálculos é muito vantajoso O conceito de matrizes elemen tares que introduziremos aqui será utilizado para mostrar a validade deste pro cesso e ainda para demonstrar vários resultados já enunciados em seções ante riores Observemos inicialmente que cada operação triz corresponde a uma multiplicação dessa matriz 381 Exemplos com as linhas de uma ma por uma matriz especial Exemplo 1 Ao multiplicarmos a primeira linha da matriz por 2 obtemos a matriz que é exatamente o produto Detetminante e Matriz lnveisa 83 Exemplo 2 Ao trocarmos a primeira e a segunda linha da matriz A acima obtemos Este resultado é o mesmo que o produto Exemplo 3 Ao somarmos à primeira linha multiplicada por 2 obtemos 4 4 que é o mesmo que o produto 2 o da ma triz A a segunda linha Observando mais cuidadosamente estes exemplos vemos que aplicar urna operação elementar nas linhas da matriz A é o mesmo que aplicar esta opera ção elementar na matriz identidade e em seguida multiplicar esta nova matriz por A Vejamos isto em outros exemplos Exemplo 4 Se tomarmos a matriz identidade 13 e trocarmos a primeira e a terceira linha obteremos a matriz Se multiplicarmos esta matriz pela matriz A do exemplo 1 teremos b J J L o o 2 4 I 2 4 wjo resultado é exatamente a troca da primeira e terceira linha da matriz A 84 ÁLGEBRA LINEAR Exemplo 5 Se tomarmos 13 e somarmos à terceira linha a segunda multi plicada por 3 obteremos Se multiplicarmos esta matriz pela matriz A do Exemplo I teremos G n 2 n J Este resultado é exatamente aquele que obtemos se somarmos à terceira linha de A a segunda multiplicada por 3 Através desses exemplos podemos perceber que existe uma relação íntima entre as operações com linhas de uma matriz e certas matrizes especiais con truídas a partir da matriz identidade Estas matrizes serão denommadas matn zes elementares 382 Definição Uma matriz elementar é uma matriz obtida a partir da identidade através da aplicação de uma operação elementar com linhas 0 relacionamento entre matrizes elementares e operações com linhas é dado pelo teorema abaixo 383 Teorema Se A é uma matriz o resultado da aplicação de uma ope ração com as linhas de A é o mesmo que o resultado da multiplicação da ma triz elementar E correspondente à operação com linhas pela matriZ A A prova deste resultado poderá ser feita por você Consiste apenas em escrever a matriz E efetuar o produto E A e verificar que o resultado obti do é 0 esperado Este procedimento deve ser efetuado para cada tipo de opera ção com linhas Uma conseqüência importante da proposição anterior é 384 Corolário Uma matriz elementar E1 é inversível e sua inversa é a matriz elementar E2 4ue corresponde à operação com linhas inversa da opera ção efetuada por E1 Por exemplo se E1 é a matriz elementar cuja operação consiste em mul tiplicar uma determinada linha por k a matriz inversa de E1 será a matriz ele mentar E2 que corresponde à operação de multiplicar a mesma linha por A prova deste corolário é deixada a seu encargo Determinante e Matriz Inversa 85 Como conseqüência do resultado anterior podemos mostrar agora o teo rema 231 385 Teorema Sistemas associados a matrizes linha equivalentes são equi valentes Prova Sejam A e A matrizeslinha equivalentes Por 383 A MA onde M é um produto de matrizes elementares e portanto inver sível veja 384 e i de 354 Os sistemas I e 11 que têm A e A como matrizes ampliadas podem ser escritos respectivamente N X B e NX B onde N é a submatriz de A da qual se retirou a última coluna e ll é esta coluna Idem para N A e B Além disto você po de verificar que N M N e B M B Portanto NX B MNX MB NX B Isto significa que os sistemas 1 e 11 são equivalentes pois toda matriz X que seja a solução do I será solução de Jl e viceversa 386 Usando os resultados 383 e 384 podemos também completar agora a demonstração da observação ii de 35 4 Repetindoa da maneira co mo foi enunciada Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz 8 tal que BA I então A é inversível ou seja A I existe e 8 A Já havíamos mos trado que se A é inversível então B A t Mostremos agora que A é realmen te inversível Comecemos analisando o sistema de equações lineares que corresponde a AX O onde X é um vetor coluna e O é o vetorcoluna cujos elementos são nulos Observamos que a única solução possível para esse sistema é X O pois multiplicando AX O por B temos O B O BAX BAX IX X Por outro lado se resolvermos o sistema AX O através de operações com li nhas obteremos um sistema equivalente RX O onde R é a forma escada li nha reduzida de A e portanto R EkEk t E A Mas como o sistema RX O é equivalente a AX O a sua única solução é X O e como R está na forma escada linha reduzida a única possibilidade é R I Então I EkEk 1 E1 A e multiplicando sucessivamente por E Ei 1 E que são matrizes elementares como vimos na seção 384 teremos A E1 E 1 Ek1 ou seja A é um produto de matrizes elementares e pela observação i de 35 4 é inversível 86 ÁLGEBRA LINEAR 39 PROCEDIMENTO PARA A INVERSÃO DE MATRIZES Com argumentos análogos aos usados em 385 você pode provar o teorema enun ciado a seguir 391 Teorema Se A é uma matriz inversível sua matrizlinha reduzida à forma escada R é a identidade Além disso A é dada por um produto de ma trizes elementares A recíproca deste resultado irá fornecer um novo processo para se calcular a inversa de uma matriz A Suponhamos que ao reduzir A à forma escada linha reduzida a matriz identidade seja obtida como resultado Neste caso como a ca da operação com linhas corresponde uma multiplicação por uma matriz elementar Ei teremos então I Ek Ek 1 E E1 A Ek Ek1 E2 E IA Mas isto quer dizer que Ek Ek E2 E1 I A que podemos colocar em palavras através do teorema abaixo 392 Teorema Se uma matriz A pode ser reduzida à matriz identidade por uma seqüência de operações elementares com linhas então A é inversível e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz identidade aplicandose a mesma seqüência de operações com linhas Na prática operamos simultaneamente com as matrizes A e I através de operações elementares até chegarmos à matriz I na posição correspondente à matriz A A matriz obtida no lugar correspondente à matriz I será a inversa de A Vejamos como este procedimento pode ser colocado em prática 393 Exemplos Exemplo I Seja A 1 1 o 1 o o 1 1 o l Determinante e Matriz Inversa 87 Coloquemos a matriz junto com a matriz identidade e apliquemo s as operaçoes com linhas para reduzir a parte esquerda que corresponde a A f a arma esca da linha reduZida lmbrando que cada operação deve ser efetuada simultanea mente na parte duetta 11 1 o o I o o o 1 o 1 o I I o o I o o 3 o o o Trocando a primeira e segunda linhas obtemos o 1 I o I o o o I o o I o o I o o 3 o o o Agora somamos à quarta a primeira e à segunda a primeira linha multiplicada por 2 o 1 o I o 2 2 I o 2 o o I o I 4 o o Subtraímos a segunda linha da terceira obtendo o I o 1 o 1 2 2 2 o o 1 3 1 2 1 o 1 4 o o Trocamos o sinal da terceira linha e subseqüentemente terceira coluna u o o 2 1 I I o 4 I 2 2 o 1 3 1 2 1 o o 1 1 anulamos o resto da 1 Biblioteca de Ciência TecnoliÍia UFPet 88 ÁLGEBRA LINEAR Finalmente obtemos a identidade ã esquerda e a inversa de A à direita o o o 3 3 3 il 1 o o 5 6 2 o 1 o 4 5 4 o o 1 1 Portanto r 3 3 i A t 6 2 5 4 1 1 Exemplo 2 Seja o i A 2 2 Partimos de o 1 o J 2 o 1 2 o o o e fazemos operações com linhas para converter a parte esquerda que ponde a A à forma escada linha reduzida Obtemos então o o o o 1 T 1 1 o o o 1 Como a forma escada não é a identidade a matriz A não tem inversa 394 Agora iremos demonstrar a propriedade det AB det A det B confonne nos propusemos a fazer em 33 viil corres Determinante e Matriz lnYelsa 89 Para isso queremos que você descubra qual é o detenninante de uma matriz elementar E nos seguintes casos i E é obtida de I por uma permutação de linhas ii E é obtida de I pela multiplicação de uma das linhas por uma constante k k 0 iii E é obtida de I pela substituição da ié si ma linha por k vezes a iésima mais a fésima linha Agpra você deverá provar o seguinte resultado 395 Teorema Se E for uma matriz elementar e A uma matriz qualquer da mesma ordem que E então det EA det E det A Para provar este teorema considere as três possibilidades para a matriz E i ii e iii dadas acima Tudo ficará realmente simples se vocé tiver chegado à conclusão que em i temos det E 1 em i i det E k e em iii det E 1 Finalmente podemos demonstrar a propriedade do determinante do pro duto 396 Teorema Se A e B são matrizes n X n quaisquer então detA B det A det B Prova Jl caso Se A ou B são não inversíveis temos A B não inversível veja o Exerci cio 10 da seção 310 Neste caso detAB O e como det A O ou det B O a igualdade se verifica 2 caso Se A e B são inversíveis usando 391 temos det AB det E EkB Após sucessivas aplicações do teorema 395 chegamos a det AB det E 1 det E EkB det E det E det Ek det B det E det Ekt Ek det B det E 1 E Ek det B det A det B 90 ÁLGEBRA LINEAR 310 EXERCfCIOS l Dê o número de inversões das seguintes permutações de 1 2 3 4 5 a 3 5 4 1 2 b 2 1 4 3 5 c 5 4 3 2 d No determinante de uma matriz 5 X 5 que sinal negativo ou posi tivo precederia os termos a13a25a34a41as2 e a1sa24a33a42ast 2 Quantas inversões tem a permutação n n 1 2 1 dos números 1 2 n 1 n 3 Calcule det o o 3 a pela definição b em relação à segunda coluna usando o desenvolvimento de Laplace 4 Dadas as matrizes A D J e B D calcule a det A det B bdetAB S Sejam A e B matrizes do tipo n X n Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas a det AB det BA b det A det A c det 2A 2 det A d det A2 det A 2 e det Aj det A Se A é uma matriz 3 X 3 então a11ll a12612 anÓt3 a2162t a22Ll22 a23623 Oh A o 3 3 calcule I 2 1 2 a A23 c b JA23 J d det A i Determinante e Matriz Inversa 91 7 Propriedade O determinante de uma matriz triangular An xn é igual ao pro duto dos elementos de sua diagonal a Prove esta propriedade no caso em que A é uma matriz triangular supe rior genérica 5 X 5 Sugestão Use e abuse do desenvolvimento de La place b O que você pode dizer sobre o número de soluções dos sistemas abaixo 5x1 2x 2 3x3 9x4 O 3x2 l I 9x 3 x4 0 2x x o x4 1 3x5 2x4 x o x x x 5 il 9x3 x 9x 1 o 3x2 x o x o 8 Calcule det A onde l l I 5 c 3 2 i A O 2 o i 1 2 o 1 A 1 I 2 o b 3 o o o o 19 18 o o o A 6 n 5 o o 4 v2 3 o o 8 3 5 6 I 9 Encontre A t onde l 1 2 b u i 2 A 3 1 o A 1 2 3 1 o 7 c i o A 1 2 x 92 ÁLGEBRA LINEAR 10 Se A ou B é uma matriz não inversível então A B também não é Prove isto sem usar determinantes 11 Mostre que 1 2x 1 X U 2 d 1 dx 0 OJ x x 3 O 2 o X 2x X X 2 X J d 3 J x 3x2 I 2 o X 2x 1 Observe atentamente a igualdade acima e enuncie a propriedade que ela ilustra 12 Dada a matriz A a adj A b det A c A det a 13 Mostre que G 2 lcu1e b b J a bb c c a c 14 Dizemos que A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que B p AP Mostre que det A det B se A e B são semelhantes 15 Verdadeiro ou falso a Se det A I então A A b Se A é uma matriz triangular superior e A existe então também A será uma matriz triangular superior c Se A é uma matriz escalar n X n da forma kln então det A kn d Se A é uma matriz triangular então det A all ann 16 Resolva o sistema usando a Regra de Cramer x2yzl 2xy 3 y 5z 4 17 Dado o sistema Determinante e Matriz Inversa 93 y z y z w 3 x y 2w I a Calcule o posto da matriz dos coeficientes b Calcule o posto da matriz ampliada c Descreva a solução deste sistema d Considere um sistema homogêneo AX O onde A é uma matriz 11 X 11 Que condição você deve impor sobre A para que o sistema admita solu ções diferentes da solução trivial X O Compare com 36 e o Exer cício 18 do Capítulo 2 18 Prove que Uma matriz A com ordem n tem posto n se e somente se A é inversível 19 A partir do exeiCício acima você pode concluir que uma matriz A de ordem n possui determinante diferetlit ae zero se e somente se A tem n linhas linearmente independentes Por quê Veja o final da secção 24 20 Agora prove a propriedade 371 usando o exercício anterior 21 Mostre que a área do triângulo na figura é dada pelo determinante 2 22 a Mostre que a1 ai a ai a 2 a 1 a3 a 1 a 3 a2 a3 a b Se a 1 a2 an são números mostre por indução finita que a a n1 a n t a n1 On On n xi x i i O símbolo à direita significa o produto de todos os termos x x com i i e i i inteiros variando de 1 a n 94 ÁLGEBRA LINEAR Sugestão Para efetuar facilmente a indução multiplique cada coluna por x e subtraia o mesmo da coluna imediatamente à direita partindo do lado esquerdo obtendo então Vn xn x x2 x Vn Tal determinante é chamado determinante de Vandermonde 23 Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes Vamos associar as letras do alfabeto aos números segundo a correspondência abaixo AIBICIDIEIFIGIHII I 1 I L IM IN I 0 IPI Ql R I sI T lu lv lw lx IY lz I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Suponhamos que a nossa mensagem seja PUXA VIDA Podemos formar uma matriz 3 X 3 assim u que usando a D correspondência numérica fica 20 o 4 Agora seja C uma matriz qualquer 3 X 3 inversível por exemplo ti o C 3 I Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C obtendo M c 20 23 I o I 5 83 58 o 2 b 3 I I 21 22 4 I I 5 13 14 Transmitimos esta nova matriz na prática enviase a cadeia de números 5 83 58 I 21 22 5 13 14 Quem recebe a mensagem decodificaa através da multiplicação pela inversa M C ct M e posterior transcrição dos números para letras C é chamada matriz chave para o código a Vocé recebeu a mensagem 12 48 23 2 42 26 I 42 29 Utilizando a mesma chave traduza a mensagem Determinante e Matriz Inversa 95 b Aconteceu que o inimigo descobriu sua chave O seu comandante manda vocé substituir a matriz chave por i I o I Vocé transmite a mensagem CRETINO a ele codificada naturalmente Por que não será possível a ele decodificar sua mensagem c Escolha uma matrizchave que dê para codificar palavras até 16 letras Codifique e descodifique à vontade 31 01 Respostas I a 5 3 a 21 S a V b 2 b 21 b v c 10 d e c F d v e F f V 7 a Seja A uma matriz triangular superior e desenvolvase o determinante através da primeira coluna IAI a 11 1A11 1 mas A11 é triangular superior também IA 11 1 aIA11 11 I etc Então lA I au a22 Onn b i única ü nenhuma 9 a I 4 3 4 12 6 li 14 43 22 10 14 41 21 b I I jJ I i l 2T I 2i i 1 i 3 i 2 i 3 i 2 i c 2 X X I l 2 l X X 2 l x 96 ÂLGEBRA LINEAR 11 A derivada do determinante é a soma dos determinantes das matrizes obti das da original diferenciando as linhas uma por uma 15 a F 17 a 3 b 3 b v c V dF c Possível e indetemtinado d As linhas de A como vetores são LD 21 Considere as áreas do trapézio AXYC e dos triángulos AXB e CYB A j71 c I I I I I X L 8 I I I I I Jy 23 b A matrizchave não tem inversa Leituras Sugeridas e Referências 1Herstein TN Tópicos de Ãlgebra Editora Polígono São Paulo 1970 2Hoffman K e Kunze R Álgebra Linear Editora Polígono São Paulo 1971 3Lipschutz S Álgebra Linear McGrawHill do Brasil Ltda Rio de Janeiro 1971 ESPAÇO VETORIAL 41 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO Imagine uma força atuando sobre um corpo Você conseguirá precisála deter minando sua intensidade e direção Força é um exemplo típico de grandeza que será representada por um vetor Outros exemplos são velocidade e deslo camento Neste capítulo desenvolveremos o conceito de vetor de uma forma bem ampla de modo que por exemplo soluções de sistemas de equações li neares ou de equações diferenciais também possam ser representadas por ve tores WYâjwML F Figura 411 98 ÁLGEBRA LINEAR 411 Vetores no Plano Inicialmete introduziremos a idéia de vetor restringindonos ao plano Para tsto constderemos o plano cartesiano que consiste de um sistema de coordendas dado por um par de retas ortogonais com orientação Fixada wna umdade de comprimento um ponto P do plano pode ser identificado com o par a b de números reais que são suas coordenadas b p I a Figura 412 Dados doispontos P e Q do plano podemos considerar o segmento de reta orientado PQ com ponto inicial P e ponto final Q Note que embora co rn conjunto de pontos os segmentos PQ e QP sejam iguais como segmentos onentados eles são distintos Diremos que eles são segmentos opostos Vamos estabelecer que dois segmentos orientados são equivalentes se tive rem o mesmo comprimento e direção Por exemplo na figura Q p 1 s z K w R T Figura 4 13 7 Pf KL RS tem a mesma dueção RT e KL têm o mesmo compnmento PQ RS e ZW têm o mesm comprimento mas os únicos segmentos com orienta ções equivalentes são PQ e RS Para qualquer segmento orientado no plano exis te outro eqUivalente a este cujo ponto inicial é a origem Por exemplo Espaço Vetorial 99 Q I I I I o I I I Figura 414 Vamos passar a considerar agora apenas os segmentos orientados com ponto inicial na origem denominados vetores 1w plano É importante notar que vetores no plano são determinados exclusivamente pelo seu ponto final pois o ponto inicial é fixo na origem Assim para cada ponto do plano Pa b está associado um único vetor v OP e reciprocamente dado um vetor associamos um único ponto do plano que é o seu ponto final Isto é a correspondência entre pontos do plano e vetores é biunívoca Usando esta correspondência entre vetores e pontos do plano costumamos representar um vetor v OP pelas coordenadas do seu ponto final Pa b Usamos a notação da matrizcoluna v ou mesmo a identificação v a b Por exemplo v ou v I 3 Observe que deste modo à origem do plano ficará associado um vetor que tem os pontos inicial e final coincidentes com esta Denominaremos tal vetor que é só um ponto de vetor nulo e este será representado por 0 0 O oposto de um vetor v OP é o vetor w OQ que tem o mesmo comprimento e direção ovosta Em termos de coordenadas se v a b então w a b e por essa razão denotamos w v 412 Operações com Vetores no Plano a Multiplicação de um vetor por um número Multiplicar um vetor v por um número k O é considerar um novo ve tor w kv que possui a mesma direção de v e tem como comprimento k ve zes o comprimento de v Se k O o vetor w kv será igual ao oposto do vetor lkl v Se k O w kv será o vetor nulo 100 ÁLGEBRA LINEAR w 25 v I I I I figura 415 Observe que a multiplicação de vetor por um número corresponde à multipli cação da matrizlinha ou coluna por esse número Assim se v a b e w kv então w ka kb Por exemplo para v 2 5 w 3v 6 15 b Adição de dois vetores Para introduzir a soma de vetores vamos voltar ao exemplo de forças atuando num corpo Uma força que atua num ponto pode ser representada por um vetor de comprimento igual à intensidade da força com a mesma direção em yue a força atua Estamos supondo que a origem do sistema de coordena das está no ponto onde a força atua Suponhamos agora que temos duas forças F 1 e F2 atuando no mesmo objeto Podemos representar o resultado destas duas forças por uma única for ça R Em outras palavras o que é a soma de duas forças Figura 41 6 A experiência mostra que a força resultante é representada pelo vetor diagonal do paralelogramo construí do a partir dos vetores F 1 e F 2 Chamamos a força resultante de soma de F 1 com F2 e denotamos R F 1 F 2 Agora pensemos em tennos de coordenadas Se F 1 a b e F 2 c d Uais são as coordena das de R bd d I I c I I I a ac d Figura 417 Espaço Vetorial 101 Usando congruência de triângulos você pode notar que as coordenadas de R são a c b d Foram resultados como este que motivaram a definição formal de soma de dois vetores no plano Se v a b e w c d então o vetorsoma será v w a c b d Observe que somar vetores corresponde simplesmente a somar as matrizes que os representam As operações entre vetores herdam por tanto todas as propriedades das operações correspondentes para matrizes Podemos ainda observar que a soma de um vetor v a b com seu oposto wva b é o valor nulo Isto é v wv va a b b 0 0 Por diferença entre dois vetores v e w entendemos a soma do primeiro com 0 oposto do segundo vetor v w v w Isto é mostrado geometrica mente pela Figura 411 w Figura 418 413 Vetores no Espaço Da mesma forma que fizemos no plano podemos considerar vetores no espaço Teremos então um sistema de coordenadas dado por três retas orientadas per pendiculares duas a duas e uma vez fixada uma unidade de comprimento cada ponto P do espaço estará identificado com a terna de número reais x y z que dá suas coordenadas X z p x y z I I y v Figura 419 102 ÁLGEBRA LINEAR Também aqui os vetores são dados por segmentos orientados com ponto inicial na origem e existe uma correspondência biunívoca entre vetores e pon tos do espaço que a cada vetor OP associa seu ponto final P a b c Deste modo o vetor v OP costuma ser denotado pelas coordenadas de P Exemplo v ou v a b c V122 I I I I Figura 4110 A origem fixada para o espaço representará o vetor nulo 0 O 0 Assim se chamarmos de V o conjunto de vetores no espaço podemos identificar V xh x 2 x3 X E R R X R X R R3 414 Operações com Vetores no Espaço A soma de dois vetores e o produto de um vetor por um número escalar também são definidos da mesma forma que no plano Seu x 1 x2 x3 e v yJ y YJ uvX1 y 1x2 y2X3 y3 e ku kx 1 kx2 kx 3 Por exemplo seu 2 3 5 e v 1 2 0 u v 3 1 5 e 2u 4 6 10 Como já observamos no caso do plano estas operações correspondem exa tamente às respectivas operações das matrizeslinha que representam os vetores e gozam de uma série de propriedades decorrentes daquelas relativas às ope rações com números reais Propriedades i u v w u v w ii uvvu Espaço Vetorial 103 iil Existe O E V tal que u O u O é chamado vetor nulo iv Existe u E V tal que u u o v au v au av vi a bv av bv vil abv abv viil lu u Estas propriedades servirão para caracterizar certos conjuntos que apesar de terem natureza diferente dos vetores no espaço comportamse como eles Estes conjuntos receberão o nome de espaços vetoriais 42 ESPAÇOS VETORIAIS 421 Definção Um espaço vetrtal real é um conjunto V não vazio com duas operaçoes soma V X V lo V e multiplicação por escalar R X V V tais que para quaisquer u v w E V e a b E R as proprieda des de i a viii sejam satisfeitas Se na definição acima ao invés de termos como escalares números reais tivennos números complexos V será um espaço vetorial complexo Usaremos doravante a palavra vetor para designar um elemento de um espaço vetorial Assim por exemplo se considerarmos o espaço vetorial V M2 2 os vetores serão matrizes Mostre que M2 2 realmente é um espaço vetorial verificando as condições indicadas na definição 421 Lembre que os vetores u v e w deste espaço vetorial são matrizes 2 X 2 e os escalares ainda números reais Agora convém introduzir alguns exemplos de espaços vetoriais 422 Exemplos Exemplo 1 O conjunto dos vetores do espaço V R3 xt x x 3 x E R é evidentemente um espaço vetorial real veja 413 104 ÁLGEBRA LINEAR Exemplo 2 No lugar de ternas de números reais consideremos como ve tores nuplas de números reais V R x x 2 Xn Xj E R e se u x 1 x 2 Xn v y 1 y 2 Yn e a E R u v x 1 y 1 x 2 y 2 Xn Yn e au ax 1 aXz axn Neste caso perdemos é claro a visão geométrica de vetores pois saímos de um espaço de dimensão 3 da geometria e passamos a um espaço de dimen são n Apesar disto podemos trabalhar com estes espaços da mesma maneira que em R 3 Subexemplo n 5 V R 5 V x1 x 2 x 3 x 4 x 5 xi E R Se u I O 2 3 4 e vOll25 então u 2v 1 O 2 3 4 20 1 1 2 5 1 O 2 3 4 0 2 2 4 10 1 2 O 1 6 Observe que neste caso o vetor nulo é 0 O O O 0 As nuplas de números reais ou equivalentemente matrizeslinha 1 X n ou matrizescoluna n X 1 aparecem naturalmente na descrição de muitos pro blemas que envolvem várias variáveis Como um exemplo para determinar a po sição de uma barra no espaço precisamos dar as coordenadas de suas duas extremidades A ao a 2 a 3 e B b 1 b2 b 3 Assim sua coordenada será dada por a 1 a2 a 3 b 1 b2 b 3 e estaremos trabalhando com o espaço veto rial R6 Exemplo 3 V Mm n o conjunto das matrizes reais m X n com a soma e produto por escalar usuais Subexempos i V M2 2 I a b c dE R Qual é o vetor nulo deste espaço vetorial Veja o Exercício 1 da secção 48 ii V Ml 11 la 11 a 12 a 1nl ali E R Observe que este espaço vetorial pode ser identificado com V R veja o Exemplo 2 desta seção Espaço Vetorial lOS Exemplo 4 V Pn 0 conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n incluindo o zero As 0 d li peraçoes sao soma e po nomms e multtphcaçao destes por números reais Subexemplo n 2 P2 a 0 a1x a2x 2 a E R Tods os exemplos anteriores foram de espaços vetoriais reais 0 próximo exemplo e de um espaço vetorial complexo Exemplo 5 V é o conjunto das matrizes 2 X 2 cujos elementos são nú meros complexos As operações são adição de matrizes e multiplicação destas por numeras complexos Exemplificando c i i l I i i J 1 2 2 Os espaços complexos aparecem por exemplo no estudo de sistemas de equações diferenciais Veja o Capítulo 12 Salvo menção em contrário todos os espaços vetoriais que abordaremos a seguir serão espaços vetoriais reis 43 SUBESPAÇOS VETORIAIS Às vezes é necessário detectar dentro de um espaço vetorial V subconjuntos W que SeJam eles própnos espaços vetoriais menores Tais conjuntos serão chamado subespaços de V Isto acontece por exemplo em V R 2 0 plano onde W e uma reta deste plano que passa pela origem w Figura 431 106 ÁLGEBRA LINEAR Veja que a reta W funciona sozinha como espaço vetorial pois ao somarmos dois vetores de W obtemos um outro vetor em W Da mesma forma se mul tiplicarmos um vetor de W por um número o vetor resultante ainda estará em W Isto é o subconjunto W é fechado em relação à soma de vetores e à multiplicação destes por escalar Estas são as condições exigidas para que um subconjunto W de um espaço vetorial V seja um subespaço 43 1 Definição Dado um espaço vetorial V um subconjunto W não va zio será um subespaço vetorial de V se i Para quaisquer u v E W tivermos u v E W ii Para quaisquer a E R u E W tivermos au E W Podemos fazer três observações a As condições da definição acima garantem que ao operarmos em W soma e multiplicação por escalar não obteremos um vetor fora de W Isto é suficiente para afimar que W é ele próprio um espaço vetorial pois assim as operações ficam bem definidas e além disso não precisamos verificar as propriedades de i a viii de espaço vetorial porque elas são válidas em V lJUe contém W b Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo por causa da condição ii quando a 0 c Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços que são chama dos subespaços triviais o conjunto formado somente pelo vetor nulo ve rifique i e ii e o próprio espaço vetorial 432 Exemplos Exemplo 1 V R 3 e W L V um plano passando pela origem w Figura 432 Veja geometricamente a validade de i e ii Observe que se W não passasse pela origem não seria um subespaço Note que na verdade os úni Espaço Vetorial 107 cos subespaços de R 3 são a origem as retas e planos que passam pela ori gem e o próprio R Exemplo 2 V R e W O x 2 x x x x E R I t é W é 3 4 s l s o o conJunto dos vetores de R cua J pnmeua coordenada é nula Verifiquemos as condições i e ii l u 0 x x x x v 0 y y Y4 Ys E W Então u v X2 Y2 X3 YJ X4 Y4 X 5 y 5 que ainda pertence a W pms tem a primeira coordenada nula ii ku 0 kx kx kx kx E W pois a primeira coordenada é nula para todo k E R Portanto W é um subespaço vetorial de R Exemplo 3 V Mn n e W é o subconjunto das matrizes triangula s suenores W suespaço pois a soma de matrizes triangulares superiores amda e uma matnz tnangular supenor assim como o produto de uma matriz triangular superior por um escalar Exemplo 4 Uma situação importante em que aparece um subespaço é pbbda ao resolvermos um sistema linear homogêneo Por exemplo 2x 4y z o x y2zO X 3y Z 0 Observe que se colocarmos este sistema na forma matricial teremos Desta forma estamos procurando dentro do espaço vetorial M3 s matnzescoluna de 3 linhas aqueles vetores que satisfazem a relação isto é aqueles vetoressolução do sistema Queremos saber se o conjunto dos veoressolução é um subespaço de M3 Para isto teremos que toma doiS vetoressolução J e nn e verificar se sua soma J UJ 108 ÁLGEBRA liNEAR Isto é a soma é solução Além disso se multiplicarmos por uma cons tante k teremos il 1 Isto é 0 produto de uma constante por uma solução amda é uma soluça Por tanto o conjunto W dos vetoressolução de e um subespaço de M3 t M 3 I mo R W pode ser dado geome ri Considerando a denllf1caçao co camente pela intersecção dos três planos no espaço descritos por cada uma das equações de Exemplo 5 0 conjuntosolução de um sistema linear homogêneo de n incógnitas é um subespaço vetorial deMn 1 Tente provr 1sto Alguns exemplos em CtUe W não é subespaço de V sao os segUintes Exemplo 6 v R onde W é uma reta deste plano que não passa pela origem w u v d w f I I I I v figura 433 Espaço Vetorial 109 W não é subespaço de V pois existem u e v em W tal que u v 1 W Outra maneira de ver que W não é subespaço de V é notar que o vetor nulo não pertence a W Veja a observação bem 431 Este último fato é usado freqüentemente para determinarmos que U C V não é subespaço de V isto é sempre que O fi U podemos afirmar que U não é subespaço de V Mas cuidado Não vale a recíproca pois podemos ter O E U sem que U seja subespaço como mostra o exemplo seguinte Exemplo 7 V R 2 e W x x 2 x E R Se escolhermos u I I e v 2 4 temos u v 3 5 fi W Assim W não é subespaço vetorial de V pois caso contrário a condição i deveria ser satisfeita para quaisquer u e v E E W e isto não ocorre neste exemplo w 0 O E W Figura 434 Exemplo 8 V Mn n e W é o subconjunto de todas as matrizes em que a 11 O Mostre que a condição i é satisfeita mas ii não é portanto W não é um subespaço Exemplo 9 Se um sistema linear não for homogêneo o que acontece com seu conjuntosolução Considere o exemplo 2x 4y z X y 2z l X 3y Z 0 Prove que a soma de dois vetoressolução nem sempre é um vetorsolução e assim o conjuntosolução não é um subespaço de M3 1 Veja o Exercício 17 da secção 48 Embora nus Exemplos 6 e 9 W não seja subespaço ainda assim ele é um subconjunto especial que recebe o nome de variedade linear Estudaremos me lhor este tipo de subconjunto em 49 O Exemplo 7 não é uma variedade linear Agora veremos as principais propriedades dos subespaços Biblioteca de Ciência Tecnol 110 ÁLGEBRA LINEAR 433 Teorema Intersecção de subespaços Dados W1 e W subespaços de um espaço vetorial V a intersecção W n W2 ainda é um subespaço de V Prova Observamos inicialmente que W1 n W2 nunca é vazio pois ambos os subespaços contêm o vetor nulo de V É necessário verificar então as condições i e ii para mostrar que W1 n W2 também é subespaço vetorial de V i Dados X y E wl n w X e y pertencem a w e também a w Então x y E W 1 e x y E W sendo W1 e W2 subespaços de V Portanto X y E W1 n W2 ii Agora você deverá provar a segunda condição como um exercício 434 Exemplos Exemplo 1 V R3 w n w2 é a reta de interseção dos planos w e w1 Figura 435 Exemplo 2 V Mn n W1 matrizes triangulares superiores W2 matrizes triangulares inferiores Então W1 n W2 matrizes diagonais Uma vez que a interseção de dois subespaços ainda é um subespaço veto rial poderíamos esperar o mesmo da reunião Mas isto não acontece como po demos ver no próximo exemplo Exemplo 3 V R 3 w Figura 436 Espaço Vetorial 111 W1 e W são retas que passam pela origem Então W n W O e W 1 U W2 ff dI 1 2 e o etxe orma o pe as duas retas que não é subespaço vetorial de R 3 De fato se somarmos os dois vetores u e v pertencentes a W1 u W2 vemos que u v está no plano que contém W1 e W2 mas u v fi W1 u W2 Assim W1 U W2 não é subespaço de V Entretanto podemos construir um conjunto W jue contém W1 e W e é subespaço de V W será formado por todos os vetores de V que forem a soma de vetores de W com vetores de I W2 W Wt W2 sera chamado soma de W1 e W2 Será conveniente colocar mos esta afirmação de forma mais precisa 435 Teorema Soma de subespaços Sejam W1 e w subespaços de um espaço vetorial V Então o conjunto W1 W v E V v w1 w2 w1 E W 1 e w2 E W2 é subespaço de V Prova Veja o Exercício 23 da secção 48 436 Exemplos Exemplo 4 No exemplo anterior W W1 W2 é o plano que contém as duas retas Figura 437 Exemplo 5 Se W1 c R 3 é um plano e W é uma reta contida neste pia no ambos passando pela origem W1 W2 W1 Figura 438 112 ÁLGEBRA LINEAR Exemplo 6 W1 e W2 l onde a b c dE R Então W1 W2 M2 2 Quando W1 n W2 O então W1 W2 é chamado soma direta de W1 com W2 denotado por W1 8 W2 Os Exemplos 4 e 6 são exemplos de soma direta e um contraexemplo é dado no Exemplo S ObseVe que tanto no Exem plo 1 como no 2 temos que o espaço todo V W 1 W2 mas a soma não é direta 44 COMBlNAÇAO LINEAR Vamos comentar agora uma das caracteristicas mais importantes de um espaço vetorial que é a obtenção de novos vetores a partir de vetores dados 441 Definição Sejam V um espaço vetorial real ou complexo Vt Vz Vn E V e a1 an números reais ou complexos Então o vetor v a 1 v1 a 2 v2 GnVn é um elemento de V ao que chamamos combinação linear de v1 Vn Uma vez fixados vetores v1 Vn em V o conjunto W de todos os ve tores de V que são combinação linear destes é um subespaço vetorial Mostre isto como exercício W é chamado subesXlço gerado por Vt Vn e usamos a notação Note que formalmente podemos escrever W v1 vnl v E Vva 1 v1 Uma outra caracterização de subespaço gerado é a seguinte W v vnl é o menor subespaço de V que contém o conjunto de vetores v1 vn no senti do de que qualquer outro subespaço W de V que contenha v vn satis fará W J W Mostre também esta afirmação como exercício 442 Exemplos Exemplo VR3vE VvO Então v av a E R isto é v é a reta que contém o vetor v Espaço Vetorial 113 Figura 441 Exemplo 2 Se v1 v2 E R 3 são tais que av1 v2 para todo a E R então v1 v2 será o plano que passa pela origem e contém v1 e v2 Figura 442 Observe que se v3 E lv v2 l então lv1 v2 v3 v1 v2l pois todo vetor que Ftgura 443 pode ser escrito como combinação linear de v1 v2 v3 é uma combinação linear apenas de v1 e v2 pois v3 é combinação linear de v1 e v2 Exemplo 3 V R 2 v1 I 0 v2 O 1 Logo V v v2 pois da do v x y E V temos x y xl O yO 1 ou seja v xv yv2 Exemplo 4 v ü v Então v1 v2 a b E R 114 ÁLGEBRA UNEAR 45 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Em Álgebra Linear é fundamental sabermos se um vetor é uma combinação li near de outros No Exemplo 2 da seção anterior o espaço gerado por v v2 v3 é o mesmo que o espaço gerado por v1 v2 A razão disso é que v3 é um vetor supérfluo para descrever o subespaço pois é uma combinação linear de v1 e v2 No caso geral dados os vetores v1 v2 vn queremos saber se não existem vetores supérfluos isto é se algum desses vetores não é uma combi nação linear dos outros Para chegarmos a urna conclusão precisamos começar definindo dependência e independência linear 451 Definição Sejam V um espaço vetorial e v Vn E V Dizemos que o conjunto v1 vn é linearmente independente LI ou que os vetores v1 Vn são LI se a equação aiv1 anVn O implica que a1 a2 an O No caso em que exista algum ai F O dize mos que v Vn é linearmente dependente LD ou que os vetores VI Vn são LD Vetores linearmente dependentes podem ser caracterizados de uma outra maneira 452 Teorema vi vn é LD se e somente se um destes vetores for uma combinação linear dos outros Prova Sejam v1 vn LD e a 1Vt ajVj anVn O Segundo a definição dada um dos coeficientes deve ser diferente de zero Su ponhamos que ai O Então I Vj a 1v1 Oj 1Vjl aj 1Vjl OnVn Espaço Vetorial 11 S temos b1 Vt l Vj bnvn O com bj 1 e portanto v1 Vn é LD se e Esta proposição também é equivalente a Um conjunto de vetores é LI somente se nenhum deles for uma combinação linear dos outros 453 Exemplos Exemplo I V R 3 Sejam v1 v2 E V vh 2 é LD se e somete se v1 e v2 estiverem na mesma reta que passa pe la ongem v1 v2 VeJa a F1gura 451 Figura 45 1 Exemplo 2 V R 3 Sejam v1 v2 v3 E V vi v2 v3 é LD se estes três vetores estiverem no mesmo plano que passa pela origem Veja a Figura 452 aj e portanto Figura 452 Exemplo 3 V R2 e 1 I O e e2 O 1 et e e2 são LI pois a1 an Vj Vt Vn ai ai Logo Vj é uma combinação linear dos outros vetores Por outro lado se tivermos v 1 Vj vn tal que para algum j Vj b 1V1 bjtVjl bjtVjl bnVn a 1ei a2e2 O a1J O a20 I O O a 1 a2 O O a1 O e a2 O ll6 ÁLGEBRA LINEAR Exemplo 4 De modo análogo vemos que para V R3 e1 1 O 0 e2 0 I O e e 3 O O 1 Então e 1 e2 e e 3 são LI Exemplo 5 V R2 1 1 1 0 1 I é LD pois 1 1 11 O 1 I 0 O 46 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL Agora estamos interessados em encontrar dentro de um espaço vetorial V um conjunto finito de vetores tais que qualquer outro vetor de V seja uma combinação linear deles Em outras palavras queremos determinar um conjun to de vetores que gere V e tal que todos os elementos sejam realmente ne cessários para gerar V Se pudermos encontrar tais vetores teremos os alicerces de nosso espaço com estes vetores fazendo o mesmo papel que i j k na Geo metria Analítica no espaço Denominaremos um conjunto de vetores desse tipo de base 461 Definição Um conjunto v vnlde vetores de V será uma ba sedeVse i v v é LI ii v1 vnlV 462 Exemplos Exemplo 1 V R 2 e 1 1 O e e2 O 1 te 1 e 2 é base de V conhecida como base canônica de R Veja o Exemplo 3 da seção 442 e o Exemplo 3 da seção 45 3 O conjunto 1 1 0 1 também é uma base de V R De fato Se 0 O al 1 bO 1 a a b então a b O Isto é 1 1 0 1 é LI Ainda ll 1 0 1 V pois dado v x y E V temos x y xl 1 y xO 1 ou seja todo vetor de R é uma combinação linear dos vetores 1 1 e O 1 Veja a Figura 461 lO 11 11 1 Figura 461 Espaço Vetorial 117 Exemplo 2 0 1 0 2 não é base de R pois é um conjunto LO Se 0 O aO 1 bO 2 ten1os a 2b e a e b não são necessariamente zero Veja a Figura 462 lO 21 Figura 462 0 1 Exemplo 3 V R3 l O 0 0 1 0 0 O I é uma base de R 3 Esta é a base canônica de R 3 Podemos mostrar que i e 1 e 2 e 3 é LI e ii x y z xe ye 2 ze 3 Exemplo 4 1 O 0 0 I O não e base de R 3 É LI mas não 6era todo R 3 isto é 1 O 0 0 1 OJ R 3 Exelllplo 5 V M2 2 D n IT ü é uma base de v Veja o Exercício 9 da secção 48 Existem espaços que não têm base finita Isto acontece principalmente quando trabalhamos com espaços de funções Nestes casos precisaremos de um conjunto infinito de vetores para gerar o espaço Isto não quer dizer que esta mos trabalhando com combinações lineares infinitas mas sim que cada vetor do espaço é uma combinação linear finita daquela base infmita Ou seJa pa ra cada vetor podemos escolher uma quantidade finita de vetores da base para com eles escrever o vetor dado veja o Exercício 16 da secção 48 Nes te texto consideraremos sempre espaços vetoriais que tenham uma base finita Para obter propriedades acerca das bases de um espaço consideremos as proposições seguintes 118 ÁLGEBRA LINEAR 463 Teorema Sejam v1 v2 Vn vetores não nulos que geram um es paço vetorial V Então dentre estes vetores podemos extrair uma base de V Prova Se v v2 Vn são linearmente independentes então eles cumprem as condições para uma base e não temos mais nada a fazer Se v v2 Vn são linearmente dependentes então existe uma combinação linear deles com algum coeficiente não zero dando o vetor nulo Seja por exemplo Xn F O Então podemos escrever XnJ Vn1 Xn ou seja vn é uma combinação linear de v1 Vnt e portanto Vt v2 vnt ainda geram V Se v1 Vnt for LD então existe uma combinação linear de les dando o vetor nulo e com algum coeficiente diferente de zero portanto poderemos extrair aquele vetor que corresponde a este coeficiente Seguindo desta forma após uma quantidade finita de estágios chegaremos a um subcon junto de v1 vn formado por rr n vetores LI v1 1 v12 v que ainda geram V ou seja formaremos uma base 464 Teorema Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1 v2 Vn Então qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD e portanto qualquer conjunto LI tem no máximo n veto res Prova Como lvi Vn V pela proposição anterior podemos extrair uma base para V de vi Vn Seja v1 v r n esta base para não complicar a notação Consideremos agora w1 w2 Wm m vetores de V com m n Existem então constantes aij tais que Wt tluVt a12V2 alfvr w2 a21 Vt anv2 auVr I Consideremos agora uma combinação linear de w1 Wm dando zero 2 O X 1w 1 x 2w2 XmWm Espaço Vetorial 119 Substituindo as relações 1 em 2 e coletando os termos obtemos O allxl a21X2 am1Xmv1 a12XJ llnX2 am2Xmv2 atx 1 aux 2 amrXmv Como Vt v2 v são LI então ax a 21x 2 am 1Xm O tltrXt a2rx2 OmrXr O Temos então um sistema linear homogêneo com r equações e m incógnitas Xt Xm e como r ll m ele admite uma solução não trivial ou seja extste uma solução com algum X i não nulo Portanto w1 wm são LO 465 Corolário Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mes mo número de elementos Este número é chamado dimensão de V e denotado dim V Prova Sejam vi Vn e w 1 Wm duas base de V Como v1 Vn geram V e w1 Wm são LI pela proposição anterior m n Por outro lado como wi Wm geram V e v1 Vn são LI ainda pe lo teorema anterior n m Portanto n m 466 Exemplos Exemplo 1 V R2 1 0 O 1 e 1 1 0 1 são bases de V Então dim V 2 Exemplo 2 dim R 3 3 Exemplo 3 V M2 2 Como vimos no Exemplo 5 da seção 462 uma base tem 4 elementos Então dim V 4 Quando um espaço vetorial V admite uma base finita dizemos que V é um espaço vetorial de dimensão finita 467 Teorema Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V Prova Seja dim V n e v1 v vetores LI Observe que pelo teorema 464 r n Se vi v V então v1 v forma uma base e não temos mais nada a fazer neste caso n r Biblioteca de Ciência Tecnc IICD 120 ÁLGEBRA LINEAR Se existe v E V tal que v 1 lv 1 v isto é v não é uma combinação linear de v1 v então v 1 2 v v1 é LI prove isto Se v1 v2 v v 1 V então v 1 v 1 é a base procurada Caso con trário existe v 2 f v 1 v e então v 1 vl v 2 é LI prove isto Se lv 1 Vrl v 2 nossa prova está concluída Se não prosseguimos usando o mesmo argumento Como não podemos ter mais do que n vetores LI em V veja o teorema 464 após um número finito de passos teremos obti do uma base de V que contém os vetores dados Um corolário muito aplicado desta proposição é 468 Corolário Se dim V n qualquer conjunto de n vetores LI forma rá uma base de V Prova Se não formasse uma base poderíamos completar o conjunto até formá la e dessa forma teríamos uma base com mais do que n vetores em V o 4ue é absurdo veja 465 Por exemplo se você souber que a dim V 2 e encontrar um conjunto de dois vetores LI você pode afirmar que ele é uma base e portanto gera V Uma proposição que relaciona as dimensões de subespaços de um espaço vetorial é dada a seguir 469 Teorema Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita então dim U dim V e dim W dim V Além disso dimU W dim U dim W dimU n W A demonstração desta proposição é feita tomandose bases para U e W juntan doas obtendo um conjunto de vetores que gera U W e depois estudando quantos são necessários extrair para se obter uma base para U W Deixamos você fazer esta prova recomendando que resolva primeiro os problemas 27 e 28 da secção 48 B um bom exercício O resultado a seguir nos permitirá falar em coordenadas de um vetor 4610 Teorema Dada uma base v1 v2 vnl de V cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de Vt V2 Vn Prova De fato v E V v a 1v1 UnVn pois vi Vn V e co mo vi vn é LI os ai an são univocamente determinadosVerifique Estamos supondo aqui que foi fixada uma ordem para os elementos da base Espaço Vetorial 121 4611 Definição Sejam vi vn base de V e v E V onde v ai Vt OnVn Chamamos estes números a1 an de coordenadas de v em relação à base e denotamos por Exemplo V R2 1 0 0 1 4 3 41 O 30 1 Portanto 4 3J J Se il 1 0 1 então 4 3 xl 1 yO 1 resultando x 4 e y 1 Então 4 3 41 1 10 1 donde 4 3 Observação É importante notar que a ordem dos elementos de uma base tam bém influi na matriz das coordenadas de um vetor em relação a esta base Por exemplo se tivermos 1 1 0 0 1 e 2 0 1 1 0 então 4 3 1 mas 4 3 2 J Em virtude disto doravante ao considerarmos uma base 3 v 1 v2 vn estaremos sempre subentendendo que a base seja ordenada isto é que os veto res estão Ordenados na ordem em iUe aparecem Outras situações onde a ordem dos vetores é de suma importância são apresentados em 47 e nos Capítulos 5 e 10 4612 Exemplo Considere V x y z x y z O W xyz x y 122 ÁLGEBRA LINEAR Detennine V W Observe que V 1 O I O I I W I O O O I Então z X V W O I O I I 1 I O 0 O Veja 469 Como dado x y z E R3 podemos escrever x y z a I O I O I I 11 I O oO O I Com a x y 1 o ozxy Portanto V W R3 Usando 469 Observe que a solução deste sistema não é t1nica uma vez que 4 vetores no R3 é necessariamente LD dim R3 dim V dim W dim V n W temos que dim v n W Vamos detemunar V n W V n W x y z x y z O e x y xyzxyz2 I 12 Confira com o Exercício 25 Para concluir esta secção gostaríamos de recomendar mais fortemente alguns exercícios Os espaços vetoriais mais usados na prática são os Rn e seus subespaços e por isso é bom saber obter suas bases de modo rápido Um pro cesso para tal fim é delineado nos Exercícios 17 e 18 da secção 48 Volte ao Exemplo 4 da seção 432 Se quisermos explicitar o espaçoso lução teremos que resolver o sistema Fazendo isto verificamos que o espaço solução é o espaço gerado por Espaço Vetorial 123 m e portanto é um subespaço de dimensão I Observe ainda que o grau de li berdade do sistema é I Faça o Exercício 2ib e c da secção 48 47 MUDANÇA DE BASE Você já deve ter visto uma situação em que a resolução de um problema de Física de cinemática ou estática por exemplo tornase muito mais simples se for escolhido um referencial conveniente para descrever o movimento Por exem plo num problema em que um corpo se move no plano xy cuja trajetória é uma elipse de equação x 2 xy y 2 3 O veja a Figura 471 a descrição do movimento tornase muito simplificada se ao invés de trabalharmos com os eixos x e y isto é o referencial determinado pela base formada por f e utilizamos um referencial que se apóia nos eixos principais da elipse y Y X ai b Figura 4 71 Neste novo referencial a equação da trajetória será mais simples 3xi2yi6 Depois vocé verá no Capítulo 11 como foi encontrada esta equação Numa situação desse tipo temos duas questões a resolver 1 Como escolher o novo referencial 2 Uma vez escolhido qual a relação entre as coordenadas de um ponto no antigo referencial e suas coordenadas no novo 124 ÁLGEBRA LINEAR A primeira questão é mais delicada e será estudada no Capítulo 11 Agora veremos como solucionar a segunda Passando a um contexto mais amplo esta mos interessados na seguinte situação 471 Sejam u 1 un e w 1 wnl duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V Dado um vetor v E V podemos escrevêlo como e V XI Ut XnUn v YtWt YnWn Como podemos relacionar as coordenadas de v em relação à base 3 com as coordenadas do mesmo vetor v em relação à base 3 Já que u1 un é base de V podemos escrever os vetores Wi como combi nação linear dos Uj isto é Wt Ottllt a21U2 antn W2 Ot2llt a22U2 an2lln Substituindo em temos V YtWt YnWn YtOullt amun YnOtnUJ amun auYt OnYnUl antYt OnnYnUn Mas v XtUt XnUn e como as coordenadas em relação a uma base são únicas temos Espaço Vetorial 125 Em forma matricial Isto é denotando ali ai aln aI a an anl ann temos v I lv A matriz é chamada matriz de mudança da base para a base Compare ufa com e observe que esta matriz é obtida colocando as coordenadas em relação a 3 de wi na iésima coluna Note que uma vez obtida podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor v em relação à base 3 multiplicando a matriz pelas coordenadas de v na base 3 supostamente conhe cidas O exemplo a seguir esclarece melhor o papel da matriz de mudança de base Exemplo Sejam 2 1 3 4 e 1 0 0 1 bases de R2 Procuremos inicialmente I w1 I 0 att2 1 at3 4 donde 1 O 2all 3aoa 1 t 4atl 4 I Isto implica que a11 U e a21 11 w2 0 1 a12 2 I a22 3 4 3 Resolvendo a 12 lT e a22 126 ÁLGEBRA LINEAR Portanto Podemos usar esta matriz para encontrar por exemplo vp para v 5 8 Isto é 5 8 42 1 13 4 É claro que se o nosso problema fosse só encontrar as coordenadas de 5 8 em relação à base poderíamos simplesmente resolver o sistema 5 8 a2 1 b3 4 O cálculo feito através da matriz de mudança de base é operacionalmente van tajoso quando trabalharmos com mais vetores pois neste caso não teremos que resolver um sistema de equações para cada vetor 472 A Inversa da Matriz de Mudança de Base Se em 4 71 começarmos escrevendo os u em função dos Wj chegaremos à relação vp f v Um fato importante é que as matrizes e são inversíveis e Clir u Veja o Exercício 34 da secção 48 473 Exemplos Exemplo 1 No exemplo anterior podemos obter li a partir de Espaço Vetorial 127 Note que é fácil de ser calculada pois é a base canônica 2 1 21 O 10 I 3 4 31 O 40 I donde f i Então li 2 3 fi i 1 4 I 2 TI TI Exemplo 2 Consideremos em R 2 a base e e2 e a base p f 1 f2 obtida da base canônica pela rotação de um ângulo a Dado um vetor v E R2 de coordenadas lvlp em relação à base 3 quais são as coordenadas em relação à base 3 Temos então e queremos calcular Figura 47 2 v x 1e 1 X2e2 yf yf lvlp J vlp v ou seja temos que achar a matriz li Para isto devemos escrever e 1 função de f 1 e f2 Veja as Figuras 473 e 474 Biblioteca de lf Ciência TecnoiQia 1nc 1 128 ÁLGEBRA LINEAR Portanto Ifn I cos 8 lsen 8 donde cosO Lscn J sen l cos ou seja Y1 x 1 cosO x 2 senO Yz x1 senO x 2 cose C05 Como subexemplo quando 8 para v 2 3 isto é v 2e 3e2 temos vl n Figura 4 75 Figura 474 e queremos determinar as coordenadas de v na base 3 1 f1 f 2 paço Vetorial 129 Como vimos v onde y 1 x 1 cos e x 2 sen O 2 cos 3 sen n n y 2 x 1 sen x2 cosO 2 sen 3 3 cos J l2 3vJJ donde v 3 2 3 2 2 3vJr 3 2 v3lr ou seja v 2 1 2 2 48 EXERCICIOS l a Seja V o espaço vetorial R definido no Exemplo 2 de 422 Qual é o vetor nulo de V e o que é x x 2 Xn b Seja W M2 2 veja 422 Exemplo 3 i descreva o vetor nulo e vetor oposto 2 Mostre que os seguintes subconjuntos de R 4 são subespaços a W x y Z t E R4 i X y 0 e Z t 0 b U x y z t E R4 i 2x y t O e z O 3 Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M 2 2 Em caso afirmativo exiba geradores a V com a b c dE R e b c bW com abcdE Rebc 4 Considere dois vetores a b e c d no plano Se ad bc O mostre que eles são LD Se ad bc O mostre que eles são LI S Verifique se os conjuntos abaixo são espaço vetoriais reais com as opera ções usuais No caso afirmativo exiba uma base e dê a dimensão a Matrizes diagonais n X n b Matrizes escalares n X n 130 ÁLGEBRA LINEAR d V a a a E R a E R e 1 a b a b E R f A reta x x 3 x E R g a 2a 3a a E R 6 Considere o subespaço de R4 s 1 1 2 4 1 1 1 2 1 4 4 8 2 a O vetor 3 1 1 2 pertence a SI b O vetor 0 O 1 1 pertence a SI 7 Seja W o subespaço de M2 2 defmido por w 2l E W Ij a 2bl abjab b n 8 Seja W o subespaço de M3 2 gerado por E W J l e l O vetor pertence a W o o 1 oj o J 5 o 9 Mostre que é base de M2 2 10 Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes n X n Qual a dimen são deste espaço 11 Quais são as coordenadas de x I O O em relação à base 1 1 1 1 1 0 1 O 1 Espaço Vetorial 131 12 Qual seria uma base natural para Pn Veja o Exemplo 4 de 422 Dê a di mensão deste espaço vetorial 13 Mostre que os polinômios 1 t 3 1 t2 1 t e I geram 0 espaço dos polinômios de grau 3 14 Considere Ia a um intervalo simétrico e C a a o conjunto das funções reais de fim das no mtervalo a a que possuem derivadas contínuas no intervalo Sejam ainda os subcojuntos V 1 fix E C1 a alfixfix Vx E a a e V lfxEC laalfixfix VxEaa a Mostre que C1 a a é um espaço vetorial real b Mostre que V 1 e V2 são subespaços de C1 a a c Mostre que V 1 i V C1 a a 15 Seja V o espaço das matrizes 2 X 2 sobre R e seja W o subespaço gerado por li 5 1 2 li 7l L 4 2 I 5J 5 7J L 5 1 Encontre uma base e a dimensão de W 16 Seja P o conjunto de todos os polinômios de qualquer grau com coeficien tes reais Existe uma base finita para este espaço Encontre uma base para P e justifique então por que P é conhecido como um espaço de dimensão infinita 17 a Dada uma matriz A de ordem m X n você pode considerar as m linhas como vetores do Rn e o subespaço V de Rn gerado por estes m vetores Da mesma forma para a matriz B linha reduzida à forma escada de A podemos considerar o subespaço W gerado pelos m vetores dados por suas linhas Observando que cada linha de B é obtida por combinação linear das linhas de A e viceversa basta reverter as operações com as linhas justifique que V W b Mostre ainda que os vetores dados pelas linhas não nulas de uma matriz linha reduzida à forma escada são LI 18 Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 1 1 O O v2 0 O I 1 v3 2 2 I I e v 1 O O 0 a O vetor 2 3 2 2 E v 1 v v v Justifique b Exiba uma base para v 1 r v vJ Qual é a dimensão c v 1 v2 v v4 R 4 Por quê 132 ÁLGEBRA LINEAR 19 Considere o subespaço de R 3 gerado pelos vetores v1 1 I 0 v2 0 1 I e v3 1 I 1 v 1 v2 v3 RPor quê 20 Use o exercício 17 para exibir uma base para o subespaço S definido no Exercício 6 Qual é a dimensão de S 21 Considere o sistema linear 2x 1 4x2 6x 3 a x 1 x 2 4x 3 b 6x2 14x3 c Seja W x x 2 x 3 E R 3 x 1 x 2 x 3 é solução de Isto é W é o conjuntosolução do sistema a Que condições devemos impor a a b e c para que W seja subespaço ve torial de R 3 b Nas condições determinadas em a encontre uma base para W c Que relação existe entre a dimensão de W e o grau de liberdade do siste ma Seria este resultado válido para quaisquer sistemas homogêneos 22 Seja U o subespaço de R 3 gerado por 1 O O e W o subespaço de R3 ge rado por I I O e 0 I 1 Mostre que R3 U W 23 Demonstre o teorema 435 isto é mostre que dados u w 1 w2 E E Wt W2 e v w w E W1 W2 onde Wt w E W1 e w 2 w E W2 então u v E W1 W2 e ku E W1 W2 para todo k E R 24 Mostre que se V W1 W2 e v1 vkl é a base de W1 3 wl w é a base de W2 então v Vk w w é base de V Mostre com um exemplo que o resultado não continua verdadeiro se a soma de subespaços não for uma soma direta 25Sejam W1 xy ztJIER4 1xyOezt0 e W x y z t E R4 I x y z t O subespaços de R4 a Determine W1 n W2 bExiba uma base para W n W2 c Determine W W 2 d W1 W2 é soma direta Justifique e W1 W2 R4 Espaço Vetorial 133 26 Sejam w b d tats que ad e bc e W b d tats que ac e bd subespaços de M 2 2 a Determine W1 n W2 e exiba uma base b Determine W1 W2 É soma direta W1 W2 M2 2 27 a Dado o subespaço V x y z E R3 I x 2y z O ache um subespaço V2 tal que R3 V 1 c V2 b Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de R 3 tais que VI v2 R3 A soma é direta 28 Ilustre com um exemplo a proposição Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita então dimU W dim U dim W dimU n W 29 Sejam P 1 0 O 1 P1 1 1 1 1 p2 v3 1 v3 1 e P3 2 O 0 2 bases ordenadas de R 2 a Ache as matrizes de mudaça de base i 1 1 ií 11 iii 2 iv 1 3 b Quais são as coordenadas do vetor v 3 2 em relação à base i P ii 1 iii P2 iv P3 c As coordenadas de um vetor v em relação à base P são dadas por vp 1 Quais são as coordenadas de v em relação à base i p ii p iii p 1 l I O 1 30 Se ache a v onde v U j b via onde v J 134 ÁLGEBRA LINEAR 31 Se é obtida de a base canônica de R2 pela rotação por um ângulo 3 ache a I b I 32 Sejam 1 1 0 0 2 2 1 0 1 1 e 1 1 0 1 três bases ordenadas de R 2 a Ache i I il I iii I iv I I b Se for possível dê uma relação entre estas matrizes de mudança de base 33 Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 X 2 triangulares superiores Sejam l e n ü duas bases de V Ache I 1 34 Volte a 472 e mostre efetivamente que I r I 35 Se a é base de um espaço vetorial qual é a matriz de mudança de base I Espaço Vetorial 135 49 RESPOSTAS 491 Rpos1as de 48 I O O O O e x1 Xn x x 2 a Façamos os testes lembrandonos que o que define W são as condições dentro dos parênteses i Sejam v x Yl z 1 rd E W e v2 x2 y 2 z2 r2 E W Então v1 v2 está ainda em W Vejamos V1 V2 xt X2Y1 Y2 Zt z2 1 12 Testemos se este novo vetor satisfaz as condições que defmem W x 1 xy y x 1 Ylx 2 y 2 O O O z 1 z2r1 r2 z 1 rdz 2 r2 O O O pois v 1 e v2 estão em W e satisfazem as condições implicando que v1 v2 também o faça Portanto v1 v2 E W ii Seja v x y z r E W e À E R Então À v ÀX Ày Àz At Testemos as condições ÀX À x y À O O Az At À z r À O O Assim Àv E W Portanto W é subespaço b O mecanismo é análogo 3 a Façamos os testes para V Sejam J e J vetores em V e À E R Então a2 b2 a 1 a2 bbe c d c c d d vale que b1 b2 c1 c2 pois b c e b2 c2 J e vale Ab Àc pois b 1 c1 Portanto W é subespaço de M 2 2 b Façamos os testes para W Supondo os vetores acima em W ao fazermos a soma teremos que testar se bt b2 Ct c2 1 que é a propriedade que caracteriza W Porém bt Ct 1 e b2 c2 1 e portanto bt b2 Ct 1 c2 1 c C2 2 Assim W não é subespaço 136 ÁLGEBRA LINEAR Poderíamos ter a resposta mais rapidamente se observássemos que não está em W pois não satisfaz a propriedade que o caracteriza V existe este conceito em Vamos exibir geradores apenas para Ja que nao f ldeumvetordeVé Wnão é subespaço Observe que a orma mrus gera que pode ser escrita como a 1 b e o lt 01 ro 1 Alem disso v L 0 0 v Lt 1 e v3 01 1 estao em V Portanto todo vetor de V é combinação linear de v v e v ou seja v1 v2 v3 são os geradores procurados V vt Vz v3 k 0 o 0 o o J S a Sim O oO O kOO O 01 n b Sim kJ c Sim n J 2 á Sim 1 I I e Não 7 a Pertence e os vetores são LI 11 xp I 3 I 3 I 3 f Não g Sim I 2 3 I b Não pertence Espaço Vetorial 137 13 Seja at 3 bt 2 ct d i t3 pi 12 yi 1 6 Então a a P b 2P Y c p Y 6 d Portanto 2 P b Y 2b c 6 a b c d 14 c Note que toda função fx E C1 a a pode ser escrita como fx Fx F2 x com F 1x fx fx e F2 x fx fx Além disso F 1x F1x e F2 x F2 x e portanto F 1x E V1 e Fx E V2 Assim V1 V2 C1 a a Ainda que gxE V1 1 V2 devemos ter ao mesmo tempo gx gx gx donde gx O para todo X Portanto v 1 v O e C 2 a vJv I 6 Não I t t 2 t 18 a Temos que saber se existem x y z e t E R tais que 2 3 2 2 xilOOyOO I lz22 I ltlOOO ou seja temos que saber se o sistema r y z 2 y z 2 é possível ou impossível Utilizando as técnicas operações com linhas do Capítulo 2 obtemos que o sistema não somente é possível como admite infinitas soluções Portanto 2 3 2 2 pertence a v 1 v2 v3 v4 b Já pelo item a poderíamos afirmar que v 1 v2 v3 v4 não formam uma base pois uma das propriedades de uma base é o fato de qualquer vetor poder ser escrito de modo único como combinação linear dos vetores da base e pelo item a como o sistema é indeterminado existem infinitas maneiras de se fazer isto Não utilizaremos isto entretanto no raciocínio que se segue Coloquemos os vetores um sob o outro obtendo a matriz l I o 2 o o I o l Operações com as linhas desta matriz são equivalentes no espaço vetorial a fazer combinações lineares e portanto as novas linhas serão ainda vetores do subespaço Além disso sendo as operações com as linhas reversíveis as novas linhas gerarão os mesmos vetores que as linhas Biblioteca d c 1ência Tecr ano 138 ÁLGEBRA LINEAR originais Assim ao operarmos com as linhas da matriz para conseguila na forma escada não estaremos alterando o subespaço e na forma escada as novas linhas não nulas representarão vetores linearmente independentes e que geram o subespaço ou seja uma base veja o exercício 17 No nosso caso obtemos 1 o 2 o o 1 1 o tH l l ll Pelo raciocínio anterior sendo w1 1 O O 0 w 0 1 O O e w3 0 O 1 v 1 v v3 v4 w 1 w2 w3 e w w w é a base procurada A dimensão sendo o número de vetores da base é 3 c v v v v4 não é igual a R4 pois dim v v v vl 3 e dim R4 4 20 1 O O 0 0 I 1 2 2 21 a a b c O b Resolva o sistema operando com as linhas como no Capitulo 2 Venfique 0 grau de liberdade e quais são as variáveis livres Atribua valor 1 para uma delas e zero para as Outras e vá repetindo o processo para obter as soluções básicas veja 257 Cada solução básica fornecerá um vetor da base de W por quê c A dimensão de W é exatamente o grau de liberdade pois ada grau determina uma solução básica do sistema O resultado é válido para qualquer sistema homogêneo 22 diml O O I e diml I O O I I 2 Os três vetores são LI e portanto geram o R3 Como dim R3 3 pela proposição 469 dim 1 O O n 1 I O O I O Então a soma é direta 24 Sugestão Suponha que Y não seja base de V Então ou v k w w não geram V ou não são U As duas situações resultam nma contradiçao Exemplo Sejam w o plano xy e W o plano xz em R A soma nao e di reta Uma base de W1 e 1 O 0 1 I O e uma de W é O 1 3 O O 1 Mas 1 O O 1 1 0 I O 1 0 O I não é base de R 25 Inicie achando os geradores de W1 e W observando que eles são dados por sistemas lineares e portanto devemos procurar as soluções fundamentais para tais sistemas veja o exercício 21 e sua resposta Para W teremos xy 0 z t o Espaço Vetorial 139 Portanto x y e z t e teremos dois graus de liberdade faendo y 1 e t O e depois y O e t I teremos os vetores w1 1 I O O e w 0 O I I que são LI verifique Assim W1 w1 w2 Para W teremos x y z t O que fornece x y z t com três graus de liberdade Fazendo y I z O e t O depois y O z I e t O e depois Y O z O e t I teremos w3 1 I O 0 w4 i O I O e w5 1 O O I que são LI verifique Portanto W w3 w4 w5 Por outro lado W1 n W x y z t I x y O z t O e x y z t 0 Para achar W1 n W resolvemos o sistema xy 0 z t o xyztO Operando com as linhas como no Capítulo 2 obtemos X y z t o Portanto um grau de liberdade na variável t Fazendo t I teremos a solução x O y O z I e t I ou seja o vetor v 0 O I Portanto a w n W O 011 b Uma base para Wn W2 é 0011 unidimensional c W W 1 1 O 0 O O I 1 1 I O 0 1 O 1 0 1 O O 1 d W W não é soma direta pois W1 n W f O e Para responder se W1 W R4 vamos exibir uma base de W1 W Para isto considere seus geradores e opere com eles como no exercício 18 para obter novos geradores linearmente independentes 1 I o o I I o 1 o o o I I o o 1 o o I O O O O I O O O O I O O O O I o o o o Portanto W1 W I O O 0 O 1 O 0 0 O I O 0 O o I e dim W1 W 4 e portanto W1 W4 R4 27 a Vamos calcular inicialmente os geradores de V1 Observe que o sistema linear x 2y z O tem dois graus de liberdade Então x 2y z Fazendo y 1 e z O obtemos a solução x 2 y 1 z O ou seja 140 ÁLGEBRA LINEAR o vetor v1 2 1 0 Por outro lado fazendo y O e z 1 obemos 0 vetor v 1 O 1 Como toda solução do sistema é combma5ao linear dessas soluções fundamentais todo vetor de V1 é combmaçao linear de v1 e v Portanto V1 v v veja exercícios 21 e 25 Observe ainda que como v1 e v2 são LI V1 é de dimensão dois Lembre agora que se temos subespaços W w 1 w wd e w wk w então W1 W sendo formado pelos vetores que são obtidos por somas de vetores de W 1 e vetores de W pode ser escnto w w w1 w Wk Wkt w Portanto para obter V tal que v f V R3 V deve ser gerado por apens um terceiro vetor v LI com v 1 e v 2 para completar a dimensão de R e tal que V n v 0 Podemos tomar por exemplo v3 0 O 1 e v 0 O 1 x y z 1 x O y O e z E R A disposição geométrica deste exercício é 29 a i 1 1 i i t tl iii JJ w l J b i n il l iii ivj c i J il J iii 30 a J I JJ b 1 2 33 u I n I o Espaço Vetorial 141 Procure outras soluções b Um exemplo seria V1 I O O 0 I O e v 0 1 O O o Neste caso a soma não seria direta pois V1 n V 0 I O Note ainda que V c V poderiam ser escritos como V1 x y z 1 z O x c Y reais quaisquer e V x y z I x O e y e z reais quaisquer Procure outros exemplos mas note que em nenhum exemplo a soma pode ser direta porque senão a dimensão de R 3 seria 4 veja o exercício 29 35 A matriz identidade Leituras Sugeridas e Referências uerstein I N Tópicos di Álgebra Editora Polígono São Paulo 1970 3 Hoffman K e Kunze R Álgebra Linear Editoa Polígono São Paulo 1971 Kemeny J Snell J e Thompson G lntroductron to Finite MatheiTUltics Prentice Hall Englewood Cliffs 1957 4Leithold L O Cálculo com Geometria Analttica HARBRA São Paulo 1977 TRANSFORMAÇÕES LINEARES 51 INTRODUÇÃO d t 0 mais simples de dependência entre variáveis Funçoes lineares escrevem o lp 1 S Muitos problemas podem ser representados por tais funções Por exemp o e de um quilograma de soja são extraídos 02 litros de óleo de uma roduço de x kg de soja seriam extraídos 02x litros de óleo Escrevendo na orma e função teremos Qs 02s onde Q quantidade em litros de óleo de soja e s quantidade em kg de soja Estes dados podem ser colocados graficamente o Q 02s Figura 511 Transfonnações Uneares 143 Vamos analisar neste exemplo simples duas caracterlsticas importantes 1 Para calcular a produção de óleo fornecida por si s2 kg de soja pode mos tanto multiplicar s 1 s2 pelo fator de rendimento 02 como calcular as produções de óleo de cada uma das quantidades s1 e s2 e somálas isto é Qs 1 s2 02s 1 s2 02s1 02s 2 Qs 1 Qs 2 2 Se a quantidade de soja for multiplicada por um fator k a produção de óleo será multiplicada por este mesmo fator isto é Qks 02ks k02s k Qs Estas duas propriedades que neste caso são óbvias servirão para caracte rizar o que denominaremos transfonnaçâo linear Vejamos ainda um segundo exemplo de uma situação envolvendo mais fatores e que apresenta o mesmo comportamento A quantidade em litros de óleo extraí da por quilograma de cereal segundo um determinado processo pode ser descrita pela tabela Soja Milho Algodão Amendoim Oleo 02 006 013 032 A quantidade total de óleo produzido por x kg de soja y kg de milho z kg de algodão e w kg de amendoim é dada por Q 02x 006y 013z 032w Observe que a quantidade de óleo pode ser dada pela multiplicação da matriz rendimento pelo vetor quantidade W z I Q 02 006 013 032 02x 006y 013z 032w Formalmente estamos trabalhando com a função Q A C R4 R 144 ÁLGEBRA LINEAR que como no exemplo anterior goza das propriedades Você deve verificar e interpretar estas propriedades Pensemos agora em termos de espaços vetoriais Uma função entre espa ços vetoriais satisfazendo as condições 1 e 2 é a mais natural possível pois respeita toda a estrutura de espaço vetorial 511 Definição Sejam V e W dois espaços vetoriais Uma transformação linear aplicação linear é uma função de V em W F V W que satisfaz as seguintes condições i Quaisquer que sejam u e v em V Fu v Fu Fv i Quaisquer que sejam k E R e v E V Fkv kFv 512 Exemplos Exemplo 1 As funções apresentadas ao introduzirmos este capítulo uma vez que as variáveis são positivas são restrições das seguintes aplicações lineares i V W R e Q R R x02x il V R4 W R e QR4 R Exemplo 2 VR e WR F R R definida por u XU ou Fu XU Transformações Lineares 145 Como Fu vJ Xu v etu F etv u Fv F satisfaz a primeira cond1çao e como Fku Xku ketu kF F c d L u satistaz a segun a condl çao ogo F e uma transformação linear Mais ainda toda transformação linear de R em R só d d t t D f t F F po e ser es e 1po e a o X X 1 e como F é uma transformação linear e x um esca lar Fx l x Fl Chamando Fl temos Fx ax O nom transomação linear certamente foi inspirado neste caso v W R pois o grafico de Fx ax é uma reta que passa pela origem Exemplo 3 FR R UU2 ou Fuu 2 Você já pode concluir que F não é linear pelo que foi mostrado no exemplo anterior Se você desconhecesse o resultado dado teria que mostrar a não linea ridade de F diretamente Portanto Fu v u v 2 u2 2uv v e Fu Fv u2 v2 Fu v Fu Fv Exemplo 4 V R2 e W R3 FR2 R 3 x y 2x 0 x y ou Fx y 2x 0 x y Por exemplo F I 2 2 O 3 E R 3 Dados u v E R2 sejam u x 1 YI e v x 2 y onde x Yi E R Temos Fu v Fx 1 y 1 x2 y 2 Fx 1 x 2 y 1 y 2x 1 x 1 O x 1 x 2 y1 y 2x 1 O x 1 y 1 2x2 O x2 y Fu Fv Logo a primeira condição é satisfeita Mais ainda Fku Fkx y Fkx ky 2kx O kx ky k2x O x y kFu e a segunda condição é satisfeita Então F é uma transformação linear 146 ÁLGEBRA LINEAR Observação Decorre da definição que uma transformação linear TV W leva 0 vetor nulo de V no vetor nulo de W isto é se O E V TO O E W Isto nos ajuda a detectar transformações não lineares Se TO oi O T não é linear veJa o Exercício 1 da secção 56 Mas cuidado TO O não é sufie1ente para que T seja linear veja o Exemplo 3 acima Assim por exemplo TR R onde Tx y z x 1 y z não é linear Exemplo 5 Sejam y w p polinômios de grau n e DPn Pn a aplicação derivada n rr que a cada polinômio f associa sua derivada a qual també um polinômio com 1 grau a menos Como para quaisquer funções denvavets Df g Df Dg e DkfJ kDfJ D é uma aplicação linear Exemplo 6 A aplicação nula F v v uO é linear Seria conveniente que você demonstrasse esta afirmação pois assim você poderia compreender melhor a definição 5 11 o próximo exemplo é muito importante O que motra este exemlo é que a toda matriz m X n está associada uma transforaçao hnear de R em Rm Em outras palavras podemos dizer que uma matnz produz uma transfor mação linear A implicação inversa também é verdadeira isto é uma transfor mação linear de Rn em Rm pode ser representada por uma matriz m X n Isto será mostrado posteriormente Exemplo 7 V R e W Rm Seja A uma matriz m X n Definimos LARn Rm por VtA v r XXn l onde v é tomado como vetor coluna v l j Transformações Lineares 14 7 Das propriedades de operações de matrizes LAu v Au v Au Av LAu LAv e LAku Aku kAu kLAu e portanto LA é uma transformação linear Como caso particular suponhamos que A Então LAx1 x 2 2x1 O x 1 x 2 Surpresa Esta é a aplicação linear do Exemplo 4 Seria interessante que você também notasse o relacionamento que existe entre o Exemplo 1 e o Exemplo 7 52 TRANSFORMAÇOES DO PLANO NO PLANO Agora iremos apresentar uma visão geométrica das transformações lineares dan do alguns exemplos de transformações do plano R2 no plano Você verá assim que por exemplo uma expansão uma rotação e certas deformações podem ser descritas por transformações lineares 521 Expansão ou Contração Uniforme TR 2 R 2 aER V H a v Por exemplo TR 2 R 2 v 2v ou Tx y 2x y Esta função leva cada vetor do plano num vetor de mesma direção e sentido de v mas de módulo maior TI vi v T Figura 521 148 ÁLGEBRA LINEAR Observe que escrevendo na forma de vetorescoluna 2 2 l t Se tomássemos F R R tal que Fx y 2 x y F seria uma con raçao 522 Reflexão em Torno do Eixox FR2 R x y x y F Fv Figura 522 523 Reflexão na Origem TR2 R VV ou seja Tx y x y T Figura 523 Escrevendo na forma de vetorescoluna temos Transformações Lineares 149 524 Rotação de um Ângulo U no sentido antihorário y v X Figura 524 x r cos a fJ r cosa cos V r sen a sen O Mas r cos x e r sen H y Então x X coso y sen e Analogamente y r sen a O rsen a cos coso sen 8 y cose xsenO Assim Rex y x cose y seno y cose X sen 0 ou na forma coluna x o x cose y seno coso Y Y COS e X sen e sen e senO x cose y Consideremos o caso particular onde e Neste caso cosO 0 e sen e I Então Relvl Figura 525 Biblioteca de Ciência Tecnol I llba 150 ÁLGEBRA LINEAR 525 Cisalhamento horizontal Tx y x ay y a E R Por exemplo Tx y x 2y y T Figura 526 Como já ressaltamos as transformações do plano no plano apresentadas através dos exemplos anteriores são lineares pois são dadas por v A v onde A é uma matriz 2 X 2 A aplicação a seguir não é linear 526 Translação Tx y x a y b Esta é uma translação do plano segundo o vetor a b e a menos que a b O T não é linear Por quê Veja a observação depois do Exemplo 4 53 CONCEITOS E TEOREMAS Separamos nesta secção os resultados que darão uma estrutura para um estudo mais fecundo das transformações lineares Um fato importante sobre aplicações lineares é que elas são perfeitamente determinadas conhecendose apenas seu valor nos elementos de uma base Transfonnações Lineares 151 531 Teorema Dados dois espaços vetoriais reais V e W e uma base de V v vn sejam Wt Wn elementos arbitrários de W Então existe uma única aplicação linear T V W tal que Tv1 w1 Tvn Wn Esta aplicação é dada por se v a1v1 anvn Tv a1 Tv1 anTvn 0 1W 1 OnWn Verifique que T assim definida é linear e que é a única que satisfaz as condições exigidas 532 Problemas Problema 1 Qual é a transformação linear TR2 R 3 tal que Tl O 2 1 O e TO 1 O O 1 Solução Temos neste caso e 1 1 O e e2 O 1 basedeR2 ew 1 2lO e w 2 O O 1 Dado v x 1 x 2 arbitrário v x 1e1 x 2 e2 e Tv x 1Te 1 x 2 Te2 x 12 1 O x 20 O 2x 1 x 1 x 2 Problema 2 Qual é a transformação linear TR2 R 3 tal que Tl 1 3 2 I e TO 2 0 1 O Resolva o problema como exercício mas cuidado Aqui não temos base canô nica Veja o Exercício 4a da secção 56 Vamos analisar mais profundamente as transformações lineares obtendo alguns resultados úteis e ao mesmo tempo interessantes Para começar necessita mos definir imagem e núcleo que são dois subconjuntos especiais dos espaços vetoriais envolvidos na definição da transformação linear 533 Definição Seja T V W uma aplicação linear A imagem de T é 0 conjunto dos vetores w E W tais que existe um vetor v E V 4ue satisfaz Tv w Ou seja ImT w E W Tv w para algum v E V Observe que lmT é um subconjunto de W e além disso é um subespaço ve torial de W Veja o Exercício 16 da secção 56 Às vezes Im1 é escrito co mo TV 52 ÁLGEBRA LINEAR 534 Definição Seja T V W uma transformação linear O conjunto de todos os vetores v E V tais que Tv O é chamado núcleo de T sendo deno tado por kerT Isto é kerTJ v E V Tv O Observe que kerT c V é um subconjunto de V e ainda mais é um subes paço vetorial de V Veja o Exercício I6 da secção 56 T w s Figura 531 535 Exemplos Exemplo 1 TR 2 R x y x y Neste caso temos ker T x y E R2 x y O isto é ker T é a reta y x Podemos dizer ainda que kerT x x x E R xI I x E R I I lm T R pois dado w E R w Tw O y X y X Figura 5 32 lmT R o Transfonnações Lineares 153 Exemplo 2 Seja a transformação linear T R3 R 3 dada por Tx y z x 2y 0 Então a imagem de T lmT ix 2y 0 x y E R xI O O yO 2 O x y E R I O 0 0 2 0 Observe que dim ImT 2 O núcleo de T é dado por kerT x y z Tx y z O O O x y z x 2y O O O O 0 O z z E R zO O 1 z E R O O I Observe que dim kerT 1 Vamos recordar agora as noções de função injetora e sobrejetora e posterior mente estabelecer o relacionamento entre estes conceitos e os de núcleo e ima gem quando a função é uma transformação linear 536 Definição Dada uma aplicação ou função T V W diremos que T é injetora se dados u E V v E V com Tu Tv tivermos u v Ou equi valentemente T é injetora se dados u v E V com u v então Tu Tv Em outras palavras T é injetora se as imagens de vetores distintos são distintas vw T Figura 533 537 Definição A aplicacão T V W será sobrejetora se a imagem de T coincidir com W ou seja T V W Em outras palavras T será sobrejetora se dado w E W existir v E V tal que Tv w vw Figura 534 I 54 ÁLGEBRA LINEAR Exemplo TRR 2 x x 0 Mostremos agora que se T é injetora então ker T O Seja v E kerD isto Então x O y O implicando que x y Logo T é injetora Mas T não é sobrejetora uma vez que ImT R2 A transformação do Exemplo I de 535 é sobrejetora mas não é injetora e a do Exemplo 2 de 535 não é nem injetora nem sobrejetora Um bom exer cício seria você examinar os exemplos de transformações lineares dados até aqui e decidir se são injetoras ou sobrejetoras O próximo teorema afirma que uma transformação linear injetora só tem o vetor nulo no seu núcleo E por outro lado se uma transformação linear ti ver somente O no núcleo então quaisquer dois vetores distintos devem ter ima gens distintas também 538 Teorema Seja T v W uma aplicação linear Então kerT 0 se e somente se T é injetora Prova Mostremos primeiro que se ker T O então T é injetora Suponhamos que u v E V tais que Tu Tv Então Ju Tv Tu v O isto é u v E kerD Mas por hipótese o único elemento do núcleo é O Então u v O isto é u v Em resumo como Tu Tv implica que u v T é injetora Mostremos agora que se T é injetora então ker I O Seja v E kerD isto é Tv O Como necessariamente TO O Tv TO Logo v O pois T é injetora Portanto o único elemento do núcleo é O ou seja kerD O Voltando ao Exemplo de 537 observe que podemos dizer se T é injeto ra simplesmente calculando o seu núcleo Para que x O seja o vetor nulo de vemos ter x O e portanto ker T O donde concluímos que T é injetora Uma conseqüência da proposição 5 38 é que uma aplicação linear injeto ra leva vetores LI em vetores LI Veja o Exercício 9 da secção 56 Um resultado importante que relaciona as dimensões do núcleo e imagem de uma transformação linear T V W com a dimensão de V é dado pela se guinte proposição 539 Teorema Seja F V W uma aplicação linear Então dim ker T dim Im T dim V Transformações Lineares 155 Prova Considere v1 Vrz uma base de ker T Como ker T c V é subespaço de V podemos completar este conjunto de modo a obter uma base de V Seja então vJ Vrz W1 wm a base de V Queremos mostrar que Tw Twm é uma base de lm T isto é i TwJ Twml Im T ii Tw Twm é linearmente independente Provemos i Dado w E Im T existe u E V tal que Tu w Se u E V então u a1v1 anvn b1w1 bmwm Mas w Tu Ta 1v1 av t bw bmwm aTv aTv b 1Tw b Tw 1 m m Como os vetores v1 Assim v pertencem ao ker T Tv O para i 1 n w b Tw t t bmTwm e a imagem de T é gerada pelos vetores Tw 1 Twml ií Consideremos agora a combinação linear aTw 1 a2 Tw 2 amTwm O e mostremos que os ai são nulos Como T é linear Ta 1w 1 a2w 2 amwm O Logo a 1w1 OmWm E ker T Então a1w1 OmWm pode ser escrito como combinação linear da base v v de kerT isto é existem b 1 b tais que awl OmWm htVt bnvn ou ainda a1w1 OmWm b1v 1 bflvn O Mas vi Vn w 1 wm é urna base de V e temos então a 1 a 2 Om b1 bn O Decorrem desta proposição dois resultados 5310 Corolário Se dim V dim W então Tlinear é injetora se e somente se T é sobrejetora Faça a demonstração como exerclcio 5311 Corolário Seja T V W uma aplicação linear injetora Se dim V dim W então T leva base em base 156 ÁLGEBRA LINEAR Prova Considere v1 vn base de V O conjunto Tvl Tvn C W é LI pois dados escalares ko kn tais que k1 Tv1 knTvn O temos Tk1v1 knvn O Logo k1v1 knVn O Mas v1 Vn é LI Logo k1 kn O Desde que dim V dim W n Tvl Tvn é base de W Veja 468 53 12 Quando uma transformação linear T V W for injetora e sobreje tora ao mesmo tempo dáse o nome de isomorfismo Quando há uma tal trans formação entre doi espaços vetoriais dizemos que estes são isomorfos Sob o ponto de vista de Algebra Linear espaços vetoriais isomorfos são por assim di zer idênticos Observe que devido à proposição 539 espaços isomorfos devem ter a mesma dimensão Portanto pelo corolário 5311 um isomorfismo leva base em base Além disso um isomorfismo T V W tem uma aplicação in ver sa r1 W V que é linear como você poderia provar e também é um isomor fismo Exemplo Seja T R3 R dada por Tx y z x 2y z x y Va mos mostrar que T é um isomorfismo e calcular sua inversa rt Se pudermos mostrar que T é injetora teremos que T é um isomorfismo pelo corolário 5310 Isto equivale a mostrar que ker T 0 O O Mas ker T x y z Tx y z O O O e Tx y z O O O se e somen te se x 2y z x y O 00 Resolvendo o sistema de equações lineares X 2y 0 z o X y 0 achamos que x y z O é a única solução e portanto T é um isomorfismo Tomando a base canônica de R3 sua imagem pela Té TI O 0 TO I O TO O I 1 O 1 2 O 1 0 I O que é ainda uma base de R É conveniente que você verifique isto Calculemos agora a aplicação inversa de T Como Tl O O 1 O 1 TO I O 2 O i e TO O I 0 I O temos que T11 O i i O 0 T12 O I O I O e T10 i O O O 1 Queremos calcular T1x y z Para isto escrevemos x y z em relação à base 1 O 1 2 O 1 0 1 O obtendo x2z zx x y z 3 i O 1 3 2 O l yO I 0 Então r 1x y z x 3 22 T11 0 I z x r 12 O I yr10 10 Ou seja ri x 2z X y z 3 3 y Transformações Lineares 1 57 54 APLICAÇÕES LINEARES E MATRIZES Nesta seção veremos que num certo sentido o estudo das transformações linea res pode ser reduzido ao estudo das Glatrizes Você já viu no Exemplo 7 de 51 que a toda matriz m X n está associada uma transformação linear TRn Rm Vamos formalizar a seguir este resultado para espaços vetoriais V e W e também estabelecer o seu recíproco isto é veremos que uma vez tixadas as bases a toda transformação linear T V W estará associada uma única matriz inicialmente veremos como dados dois espaços vetoriais V e W com bases 3 e 3 e uma matriz A podemos obter uma transformação linear 541 Consideremos R2 e as bases 0 0 e i 1 1 I e a matriz A n Queremos associar a esta matriz A uma aplicação linear que depende de A e das bases dadas e isto é TAR 2 R 2 V T Av Considere v x y Seja X v l AX n TAv Figura 54 1 Então TAv 2xl I y1 I 2x y 2x y Por exemplo se v 2 1 então TA2 l 3 5 Note que se tivéssemos partido de i O 0 i teríamos obtido TAv 2x y Av Figura 542 158 ÁLGEBRA LINEAR De um modo geral fixadas as bases v 1 Vn e w wm à matriz I a11 A am podemos associar TAR Rm V r TA v como Seja X v XXn 1 I a11 AX am1 Então TAv y 1w1 YmWm onde y A X e A é a iésima linha de A Em geral dada uma matriz Am xn ela é encarada como uma aplicação linear TARnRm em relação às bases canônicas de Rn e Rm Exemplo A I 0 0 I e 1 O 0 O I 0 0 O TA R 3 R 2 Encontremos esta transformação linear 3 4 Seja X 5 X l X 3y 5z l 1 y 2x 4y z z Então TAx y z x 3y 5z O 2x 4y zO I x 3y 5z 2x 4y z Transformações Lineares I 59 542 Agora iremos encontrar a matriz associada a uma transformação linear Seja T V W lmear v1 vn base de V e w1 Wm base de W Então Tv 1 Tvn são vetores de We portanto Tvt a 11w 1 UmJWm A transposta da matriz de coeficientes deste sistema anotada por T é cha mada matriz de T em relação às bases 3 e f3 A Observe que T passa a ser a aplicação linear associada à matriz A e bases 3 e isto é T TA 543 Exemplos Exemplo 1 Seja TR3 R2 tal que Tx y z 2x y z 3x 2y 4z Sejam I 1 I I 0 O O e 3 1 4 Procuremos l T Calculando T nos elementos da base temos Então Tl I I 2 5 31 3 11 4 Tl I O 3 I 111 3 81 4 T O O 2 3 51 3 31 4 li 8 Observe que se fixarmos outras bases 3 e 13 teremos uma outra matriz para a transformação r Exemplo 2 Seja Ta transformação linear do Exemplo I e sejam 1 O O 0 I 0 0 O I e 1 0 O 1 160 ÁLGEBRA LINEAR Calculemos T Então Tl O O 2 3 2 O 30 l TO I O l 2 11 O 20 l TO O I 1 4 11 O 40 l T l Observação Usase denotar simplesmente por T à matriz de uma trans formação linear TRm Rn em relação às bases canônicas Assim no Exemplo 2 T T Também é comum usarse a notação simplificada Tv Tv Exemplo 3 Seja T V V V V Isto é T é a identidade Sejam v o vn e vo v bases de V Calculemos T Como a matriz mudança de base Veja 47 Exemplo 4 Dadas as bases I l 0 I de R2 e JO 3 0 1 O 0 0 l l de R3 encontremos a transformação linear TR2 R 3 cuja matriz é T l 3 Interpretando a matriz temos Tl l 00 3 O l1 O O 10 I I l 1 1 TO I 20 3 O 0l O O 30 I l 0 9 3 Devemos encontrar agora Tx y Para isto escrevemos x y em relação à ba se x y xl I y xO I Transformações Lineares 161 Aplicando T e usando a linearidade temos Tx y xTl I y xTO l xl 1 I y xO 9 3 x 9y I Ox 3y Ax O resultado a seguir Já o significado da matriz de uma transformação linear 544 Teorema Sejam V e W espaços vetoriais a base de V base de W e T V W uma aplicação linear Então para todo v E V vale TvJ T lvJ o T V W Figura 543 Para ficar mais fácil a compreensão faremos a demonstração no caso dim V 2 e dim W 3 O caso geral é totalmente análogo e pode ser feito como exercí cio Prova Sejam a v v2 base de V e w w2 w 3 base de W e Da matriz T sabemos que Tv1 a 11 w 1 a21W2 031W3 Tv2 a 12w 1 a 22W2 a32w3 Além disso v x 1v1 x 2 v2 e como T é linear Tvx 1Tv 1 x2Tv2 x 1auw 1 a 21w2 a3w3 xianwt 022w2 a 32w 3 a 11 x 1 a 12 x 2w 1 a2xt a22X2w2 a31X1 a 32 x 2w 3 Mas Tv y 1w 1 y 2w2 y 3w3 e como as coordenadas em relação à base 3 são únicas temos y 1 atxt a12x2 i2 a2Xt a22x2 J a3X1 a32X2 Bibioteca de Ciência Tecno llln 162 ÁLGEBRA LINEAR ou seja E Isto é Tv Tv Através deste teorema o estudo de transformações lineares entre espaços de dimensão finita é reduzido ao estudo de matrizes Quando V W e T I observe que o resultado é o mesmo da matriz de mudança de base dado em 471 Exemplo Seja a transformação linear TR2 R3 dada por 1 1 T O I 2 3 onde a 0 0 i é base de R2 O 1 2 O 1 0 I O é base de R 3 Queremos saber qual é a iinagem do vetor v 2 3 pela aplica ção T Para isto achamos as coordenadas do vetor v em relação à base o obtendo v la a seguir usando o teorema temos ou seja Tv Tvla I b l r l2 3 l13 Tv 51 O I 32 O I 130 1 O 11132 O relacionamento entre as dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear e o posto de uma matriz a ela associada é dado no teore ma a seguir cuja demonstração deixamos ao seu encargo 545 Teorema Seja T V W uma aplicação linear e a e bases de V e W respectivamente Então dim lmT posto de T dim kerT nulidade de T número de colunas posto de T Transformações Lineares 163 546 Teorema Sejam T 1 V W e T2 W u transformações lineares e n r bases de V W e U respectivamente Então a composta de T1 com T2 T2o T1 V U é linear e T2oT1 T T1 0 w 8 v rorl u 8 Figura 544 A demonstração desse teorema é direta mas bastante trabalhosa Por esta razão não a faremos aqui indicando apenas suas etapas Podemos efetuála sim plesmente lembrando a construção das matrizes das transformações T1 e T2 obtendo desta forma suas atuações sobre as bases respectivas A seguir por composição achamos o que T2oT1 faz na base de V e chegamos então à matriz TJT1 observando que esta é exatamente o produto das matrizes anteriores 547 Exemplos Exemplo 1 Consideremos uma expansão do plano R2 dada por T1x y 2x y e um cisalhamento dado por T2x y x 2y y Ao efetuarmos primeiro a expansão e depois o cisalhamento teremos a seqüência T1 Figura 545 164 ÁLGEBRA LINEAR As matrizes em relação à base canônica de R2 O das transformações são Então a matriz em relação à base canônica de R2 da aplicação que expande e cisalha que é justamente a composta T2nTJ será Exemplo 2 Sejam as transformações lineares T1R2 o R 3 e T2 R 3 o R 2 cujas matrizes são I o em relação às bases 1 0 0 2 t O 3 I 15 2 O 5 e y 2 O I 1 Queremos encontrar a transformação linear composta T o T1 R2 R ou seja precisamos achar T2oT1 x y Para isto usamos o teorema anterior para achar a matriz da composta o T2oT1 O I o Il 01 o J l b o Escrevemos agora as coordenadas do vetor x y em relação à base o x y l f l Então usando o teorema 5 46 temos T2oT1x yy Portanto T2JT1x y x y2 O 01 I 2x 2y 0 Transfonnações Lineares 165 548 Corolário Se T V o W é uma transformação linear inversível T é um isomorfismo e o e são as bases de V e W então r 1 W V é um ope mdor linear e T Figura 546 Prova A matriz identidade I ruTfa r TW 549 Corolário Seja T V W uma transformação linear e a e 3 bases de V e W Então T é inversível se e somente se det I T O Exemplo Seja TR2 R 2 uma transformação linear dada por T l onde é a base canônica de R2 Como det T I o corolário 549 afirma que T é inversível Pelo corolário 5 48 sabemos que 4l 3 3 2 x 3 Então rx yt T 1 2 c y ou seja rx y 3x 4y 2x 3y Se T V W é uma aplicação linear a bases de V e bases de W podemos relacionar as matrizes T e T do seguinte modo 166 ÁLGEBRA LINEAR 541 O Corolário 8T v w c v IOTOIT w Figura 547 a a B a a lT o IoToiJ liip lTJ I Em palavras conhecendo a matriz de uma transformação linear em relação a certas bases a e 3 e as matrizes de mudança de base para novas bases ex e 3 podemos achar a matriz da mesma transformação linear desta vez em relação às novas bases a e 3 Como caso particular da situação anterior temos Se T V V é uma transformação linear e a e são bases de V então v T 8 C v IOTOIT v Figura 548 T lJoToi li Tfcli Lembrando que li lir e chamando I A vem que lT A TJ A 1 Dizemos neste caso que as matrizes T e T são semelhantes Pelo corolário anterior observamos através de mudanças convenientes de bases qual a modificação que a matriz de uma transformação linear sofre Transformações Linearei 16 7 Exemplo Seja a transformação linear TR3 R3 cuja matriz em relação à base canônica é T 3 6 5 Calculemos a matriz desta transformação em relação à base 0 1 1 1 O 1 1 I IH Para Isto usamos a relação T IJ Ti I onde I I n 2 J o e I I Jr I I Então n o T 2 o Isto nos sugere a pergunta Dada uma transformação linear há um proce dimento prático para se calcular uma base em que a matriz desta transformação seja a mais simples posstvel A resposta a esta pergunta será um dos nossos objetivos nos próximos dois capítulos 55 APLICAÇÕES A ÕPTICA Consideraremos nesta secção o caso de um feixe de luz de raios paralelos cuja direção pode portanto ser dada por um vetor que se reflete em espelhos planos Iniciamos observando a situação mais simples possível a propagação se dá no R2 isto é estamos observando o fenômeno de perfil e o espelho está co locado no eixo horiwntal veja a Figura 551 raio de luz incidente na direção la bl Figura 551 y raio de luz refletido na direção c dJ r espelho 168 ÁLGEBRA LINEAR Dado um ralo de luz incidente na direção do vetor a b perguntamos em que direção c d estará o raio refletido Para responder a esta pergunta devemos recordar um pouco sobre as leis que regem a reflexão da luz em um espelho São elas i O raio de luz incidente a normal ao espelho no ponto de incidência e o raio refletido estão no mesmo plano ii O ângulo entre o raio incidente e a normal ao espelho é o mesmo que o ângulo entre a normal e o raio refletido iii Supondo que o espelho é perfeito isto é não há absorção da luz a luz se reflete com a mesma intensidade que tinha na incidência No caso simples que temos não precisamos nos preocupar com i pois as propagações se dão no mesmo plano Se o comprimento do vetor indicar a intensidade da luz iii indica que o vetor refletido terá o mesmo tamanho que o incidente Estes resultados juntamente com ii implicam que c a e d b ou em forma de matriz Podemos concluir portanto que um espelho plano atua sobre os raios luminosos como uma transformação linear E compare com 522 Passemos agora a estudar qual é a matriz associada a um espelho numa posição um pouco mais geral veja a Figura 552 isto é formando um ângulo O com a horizontal y y c d Figura 552 X X Podemos fazer este caso cair na situação anterior considerando uma mu dança de base Tomamos a base le1 e2 onde e 1 cose senO está na direção de x espelho e e2 cos e sen O senO cosO está na direção normal ao espelho Em relação a esta base E Transfonnaç6es Lineares 169 Portanto em relaçao à base ca nomca temos verifique calculando ICon can 3 E e portanto 55I Efl Jean cus 20 can sen 20 sen 20 cus 20 c cus 20 Ú 5Cll 20 sen 20 J cos 20 h A matriz E poderia ser obtida diretamente simplesmente observando o que a transformação linear o espelho faz nos vetores da b ase canomca rams lummosos na direção do eixo dos x e dos y V F y cos 20 sen 20 lO 11 Figura 553 Ja a tgura 553 y espelho 1 o 2 cos 28 sen f 28 sen 28 cos 28 Note que ao colocarmos as componentes dos vetores refletidos em coluna obteremos a mesma matriz que antes Como podemos tratar o problema em que hajam vários espelhos e con sequenemete reflexões sucessivas Simplesmente pela composição das trans formaoes lineares associadas a cada espelho na ordem em que ocorrem as reflexoes ou em termos de matriz pelo produto das matrizes na ordem correta veja 546 Vamos exemplificar analisando a situação seguinte um feixe de luz se propagando na direção do vetor I I e refletindo nos espelhos da figura Em que direção estará o feixe após as reflexões 170 ÁLGEBRA LINEAR 1T Para responder a isto basta utilizar a matriz de 551 com O 6para a primeira reflexão e O 5 para a segunda Temos então verifique c t f3 JÇllll 11 J3 1 J3 1 10 d 2 2 2 2 1 2 c I f d d I Y3 onc utmos entao que o elXe estara na ueçao e 2 lY3 2 O mesmo raciocínio poderá ser feito quando estamos com espelhos planos no espaço Façamos um exemplo Vamos mostrar que se tivermos 3 espelhos colocados dois a dois perpendiculares qualquer feixe de luz de raios paralelos que incide sobre o conjunto sairá paralelo à direção de incidência após as refle xões veja a Figura 554 Figure 554 As matrizes associadas a cada espelho podem ser obtidas observando o que ele faz com cada um dos vetores da base canônica Obtemos então para os espelhos I li e III respectivamente verifique Se o feixe de luz incidente está na direção a b c a direção do feixe refletido pelo conjunto será O mesmo resultado será obtido se as reflexões se derem em outra ordem M2 M3M M1M2 M3 etc Podemos concluir portanto que a direção de saída é paralela e contrária à de entrada A reflexão da luz ou som feita em espelhos não planos não é descrita por transformaç6es lineares Vooê verá alguns exemplos de espelhos não planos em 11 7 Aguarde Transformações Lineares I 71 56 EXERCíCIOS I Seja T V W uma função Mostre que a Se T é uma transformação linear então TO O b Se TO O então T não é uma transforma I çao mear 2 Determine quais das seguintes funções são aplica li çoes neares a R2 R2 x y x y x y bgRR xyxy c hM2 R d k P2 P ax2 bx c 1 ax 3 bxl ex e MR3 R2 x y z r x y z u n NRR xrlxl 3 a Ache a transformação linear TR3 R2 tal que TI O O 2 O TO I O I I e TO O I 0 1 b Encontre v de R 3 tal que Tv 3 2 4 a Qual é a transformação linear TR 2 R tal que Ti i 3 2 I e TO 2 0 I O b Ache TI O e TO 1 c SQu 0 al é transformação linear SRR tal que S3 2 I 1 I I O O 2 e SO O I 0 O d Ache a transformação linear PR2 R tal que P SoT S a Ache a transformação T do plano no plano que é uma reflexão em torno da reta x y b Escrevaa em forma matricial 6 No plano uma rotação antihorária de 45 é seguida por uma dilatação de 2 Ache a aplicação A que representa esta transformação do plano 172 ÁLGEBRA UNEAR 7 Qual é a aplicação A que representa uma contração de r seguida por uma rotação horária de 45 f 8 Verifique qual o nucleo e unagem e suas respec tvas dimensões das transfor mações dadas nos exemplos do parágrafo 5 l 9 Dados TU V linear e mJetora e u u2 Uk vetores LI em U mostre que TuJ Tuk é LI 10 Sejam R S e T três transformações lineares de R em R 2 S i 11 ache 1 2 T tal que R SoT 11 Sejam a l 1 0 2 e p 1 O 1 0 l 2 1 2 O bases de R2 e R 3 respectivamente e a Ache T b Se Sx y 2y x y x ache S c Ache uma base r de R 3 tal que T l l 12 Se R I J ache R oS I o 13 Se Rx y 2x x y y e Sx y z y z z x a Ache RoS b Ache SoR Transfonnações Lineares I 73 14 Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 X 2 com base Se T V R 2 é dada por T a d b c a Ache rPa onde a é a base canônica de R 1 i l b AcheS e se for possível a b tal que Sa b 15 Seja TR2 R 2 tal que T b 2 1 Ache os vetores u v tal que a Tu u b Tv v 16 Mostre que se T v W é uma transformação linear a ImT é um subespaço de W b ker1 é um subespaço de V 17 Sejam S e T aplicações lineares de V em W Definimos S T como S Tv Sv Tv para todo v E V e definimos aS como aSv a Sv para todo a E R e v E V a Mostre que S T é uma transformação linear de V em W b Mostre que aS é uma transformação linear de V em W c Mostre que X T I T V W é um espaço vetorial sobre R d Suponha que dim V 2 e dim W 3 Tente procurar dim X 18 No Exercício li determine ker T Im T lm S ker Se comprove a validade dos teoremas 5 39 e 545 para estas transformações 19 Considere a transformação linear TR3 R3 dada por Tx y z z x y z a Determine uma base do núcleo de T b Dê a dimensão da imagem de T c T é sobrejetora Justifique d Faça um esboço de ker T e m T Biblioteca de rr Ciência TecnolõQia UFPel 174 ÁLGEBRA LINEAR 20 Dê quando possível exemplos de transformações lineares T S L M e H satisfazendo a T R 3 R 2 sobrejetora bS R3 R 2 com kerS 0 O O c L R3 R2 com lmL O O dMR 2 R2 com kerMxy E R 2 x y e HR R3 com kerll xyz E R 3 z x 21 Seja P3 conjunto dos polinômios com grau menor ou igual a 3 e TP3 P3 f derivada a Mostre que P é um espaço vetorial de dimensão 4 b Mostre que T é uma transformação linear c Determine ker T e m T e encontre uma base para cada um destes subespaços vetoriais 22 Seja D P3 P3 t f derivada segunda Mostre que D é linear e determine uma base para ker D 23 Sejam 0 2 2 1 e I 0 0 O 1 1 O I bases de R2 e R3 S o 4 Dê a expressão para Sx y 24 Seja Encontre ker TA lm TA ker T8 lm T8 ker T8 o TA lmT8 o TA Determi ne bases para estes seis subespaços 25 26 Transformações Lineares 175 S T R 2 eJa R uma reflexão através da reta y 3x a Encontre Tx y b Encontre a base de R tal que T l O J o 1 Seja T R R3 onde Tv é a projeção do vetor v no plano 3x 2y z O a Encontre Tx y z b Encontre uma base ordenada de R3 tal que o o o 27 Seja L R3 R onde L é a reflexão através do plano 3x2yzO a Encontre Lx y z b Encontre uma base ordenada Y de R tal que TJ Y r I o o 28 Encontre a expressão da transformação linear T R3 R3 que é uma rotação de 3 em tomo da reta que passa pela origem e tem a direção do vetor I O 29 Um espelho plano está apoiado em uma parede vertical formando um ân gulo de 30 com ela Se um feixe de luz de raios paralelos for emitido ver ticalmente do teto para o chão determine a direção dos raios refletidos 176 ÁLGEBRA LINEAR t d uma sala da forma des 30 Um espelho plano triangular e apmado no can o e crita na figura abaixo z y X Em que direção será refletido um feixe de luz de raios paralelos emitidos verticalmente de cima para baixo 561 Respostas 3 a Tx y z 2x y Y z b v x 3 2x I 2x S a Tx y y x X y X Y 7 Ax y 2 2 xy xy 11 Tx y 2 2 2x YJ 13 a R oS r l1 o 1 b SoR 15 a v x x b v x O 17 d dim X 3 X 2 6 19 a ker T 1 I O base 1 l O bdimlmT3dimkerT2 Veja539 c Não dim Im T 2 Transfonnações Lineares 177 d lm T y X ker T 21 a Veja Exemplo 4 de 422 base deste espaço lxx2x3 b Veja Exemplo 5 de 512 c ker T Px k constante base 1 Im T Px ax bx c a b c E R base I i xx 3 X 23 Sxy Y 2 x y 2 3x2y 24 kerT8 xyzE R3 x O e z 2y base 012 ImT8 010 011 base 010 011 ker TA 1 O Im TA l 2 1 kerT8 oTA 10 ImT8 oTA 001 1 25 aTxy s4x3y3x4y b pode ser qualquer base v o v2 tal que v1 pertença à reta e v1 e v2 sejam perpendiculares por exemplo 1 3 3 I 27 aTxyz T2x6y3z6x3y2z3x2y6z b r pode ser qualquer base v 1 v2 v3 do R3 tal que v 1 e v2 pertençam ao plano e v3 seja normal ao plano dado Por exemplo r 1 O 3 O I 2 3 2 Leituras Sugeridas e Referências 1Gelfand I M Lectures in LineOJ Algebra Interscience Publishers New York 1961 2Hoffman K e Kunze R Ãgebra Linear Editora Polígono São Paulo 1971 Bibioteca de f C1ência Tecnallijle UFPel AUTOVALORES E AUTOVETORES 61 INTRODUÇAO Dada uma transformação linear de um espaço vetorial nele mesmo T V V gostaríamos de saber que vetores seriam levados neles mesmos por esta trans formação Isto é dada T V V quais são os vetores v E V tais que Tv v v é chamado vetor fixo Tentaremos elucidar esta questão considerando algumas transformações que já foram estudadas no capítulo anterior 611 Exemplos Exemplo 1 R2 R2 Aplicação identidade xy x y Neste caso todo R é fixo uma vez que Ixy xy para todo xyER 2 Exemplo 2 rx R2 R2 Reflexão no eixox x y x y ou Autovalores e Autovetores 179 Geometricamente x w rxVv v Ftgura 611 Intuitivamente podemos notar que todo vetor pertencente ao eixox é mantido fixo pela transformação rx De fato ou seja rx x O x O Ainda mais estes vetores são os únicos com esta propriedade visto que procurando vetores J tais que caímos no seguinte sistema ou X Oy X Ox yY X X y y As únicas soluções deste sistema são vetores do tipo x O ou seja são os vetores pertencentes ao eixox 180 ÁLGEBRA LINEAR Exemplo 3 NR 2 R 2 Aplicação nula xy0 O Neste caso o único vetor que é fixo pela aplicação dada é o vetor nulo NO O 0 O Passaremos agora para o seguinte problema Dada uma transformação linear de um espaço vetorial T V V estamos interessados em saber quais vetores são levados em um múltiplo de si mesmo isto é procuramos um ve tor v E V e um escalar À E R tais que Tv ÀV Neste caso Tv será um vetor de mesma direção que v Por vetores de mes ma direção estaremos entendendo vetores sobre a mesma reta suporte Como v O satisfaz a equação para todo À estaremos interessados em determinar vetores v F O satisfazendo a condição acima O escalar À será cha mado autovalor ou valor caracterstico de T e o vetor v um autovetor ou ve tor caracterstico de T Vamos formalizar este conceito Passaremos doravante a dar a designação usual de operador linear para uma transformação linear T V Vde um espaço vetorial nele mesmo 612 Definição Seja TV V um operador linear Se existirem v E V v I O e À E R tais que Tv Àv À é um autovalor de Te v um autovetor de T associado a À Observe que À pode ser o número O embora v não possa ser o vetor nulo Daremos a seguir exemplos de como calcular autovalores e autovetores usando a definição 613 Eemplos Exemplo 1 TR2 R2 v r 2v Neste caso 2 é um autovalor de T e qualquer x y cf O O é um autovetor de T associado ao autovalor 2 Observe geometricamente T v Figura 612 De um modo geral toda transformação TR2 R 2 VCV C cf 0 Autovalores e Autovetores 181 Tv 2v tem como autovalor e qualquer x y 0 O como autovetor corresponden te Observe que Tv é sempre um vetor de mesma direção que v Ainda mais se i O T inverte o sentido do vetor ii I I I T dilata o vetor iii I I I T contrai o vetor iv l T é a identidade Exemplo 2 x R R2 Reflexão no eixox xy x y Os vetores da forma J são tais que Assim todo vetor O y y O é autovetor de x com autovalor À I Como já vimos no Exemplo 2 da seção 611 os vetores x O são fixos por esta transformação rxx O lx O ou seja x O são autovetores corres pondentes ao autovalor 1 182 ÁLGEBRA LINEAR v x u Figura 613 Exemplo 3 TR2 R2 Rotação de 90 em torno da origem xyyx rxlvl v Note que nenhum vetor diferente de zero é levado por T num núltiplo de si mesmo Logo T não tem nem autovalores nem autovetores Este é um exemplo de que nem todo operador linear possui autovalores e autovetores Este fato será comentado melhor posteriormente veja o Exemplo 2 de 622 Seja Exemplo 4 A 2 o n Então A n 2x 2 Y J e TA x y 2x 2y y Para procurar os autovetores e autovalores de TA resolvemos a equação TAv Àv ou Assim temos o sistema de equações 2x2yfx y ty Autovalores e Autovetores 183 Consideremos os casos quando i y O e ii y o i Se y O então da segunda equação À 1 Logo 2x 2y x e Y t x Obtemos assim para o autovalor I X I os autovetores do ltpo x 2 x x O Em outras palavras T I I como x 2 x ix 2 x os vetores sobre a reta x 2y são mantidos fixos pela transformação T ii Se y O x deve ser diferente de O pois senão o autovalor x yl seria nulo o que não pode acontecer pela definição de autovetor Da primei ra equação 2x O tx ou À 2 Portanto outro autovalor é 2 e qual quer vetor não nulo x O é um autovetor correspondente Então todos os vetores sobre o eixox são levados em vetores de mesma direção Tx O 2x O ou Tv 2v Temos assim para esta transformação T autovetores x 4 x x I O associados ao autovalor 1 e autovetores x O x 1 O associados ao autovalor 2 Todos os outros vetores do plano são levados por T em ve tores de direções diferentes 614 Teorema Dada uma transformação T V V e um autovetor v associado a um autovalor À qualquer vetor w av O também é autove tor de T associado a Observe isto nos exemplos e mostre que em geral isto é yálido Mais ainda mostre que o conjunto formado pelos autovetores associados a um auto valor À e o vetor nulo é um subespaço vetorial de V isto é Vx v E VTv v é subespaço de V Veja o Exercício 20 da secção 63 Vamos dar um nome a este subespaço 615 Definição O subespaço Vt v E VTv h é chamado o subespaço associado ao autovalor À As noções de autovetor e autovalor de uma transformação linear ou matn são fundamentais por exemplo em Física Atômica porque os níveis de energta dos átomos e moléculas são dados por autovalores de determinadas ma trizes Também o estudo dos fenômenos de vibração análise de estabilidade de um avião e muitos outros problemas de Física levam à procura de autovalores e autovetores de matrizes 184 ÁLGEBRA LINEAR No Capítulo 12 você terá uma déia de como as noções de espaço veto rial autovalores e autovetores são utilizadas na resolução de sistemas de equa ções diferenciais e muitas situações físicas são descritas por um sistema de equações diferenciais Veja o Exemplo 3 de 1221 e os Exercícios de 124 Outra aplicação importante que estamos visando é a classificação de côni cas e quádricas que será vista no Capítulo 11 Nela autovalores e autovetores serão usados para normalizar formas quadráticas Mais especificamente eles serão usados para encontrar mudanças de referencial que permitam identificar quais as figuras geométricas que representam certas equações no plano e no espaço 616 Autovalores e Autovetores de uma Matriz Dada uma matriz quadrada A de ordem n estaremos entendendo por autovalor e autovetor de A autovalor e autovetor da transformação linear TA Rn Rn associada à matriz A em relação à base canônica isto é TA v A v na forma coluna Assim um autovalor À E R de A e um autovetor v E R são soluções da equação A v ÀV v O Exemplo Dada a matriz diagonal au A O o I o o e dados os vetores e1 1 O O e2 O I O 0 en 0 O O 1 temos e em geral A e ae Então estes vetores da base canônica de Rn são autovetores para A e o autovetor e é associado ao autovalor a Veremos na próxima secção que dada uma transformação linear T V V e fixada uma base podemos reduzir o problema de encontrar autovalores e autovetores para T à determinação de autovalores para a matriz T Autovalores e Autovetores 185 62 POLINOMIO CARACTERISTICO Observamos nos exemplos da ções de autovalor e autoveto seçao ante nor que se nos basearmos nas defini r para efetuar 0 1 1 d valores estaremos adotand 0 um procedtment s ca cu os que eterminam seus 1 mos procurar um método 0 mutto comp tcado Por isto va pra ttco para en uma matriz real A de arde F centrar autovalores e autovetores de m n aremos um 1 n 3 e em seguida generaliz exemp o para o caso em que aremos para n qualquer Exemplo A lr 2 J Procuramos vetores v E R 3 e e 1 sca ares 1 E R tais que A que se I for a matriz identidade de d 3 v 1V Observe ar em entao a e escnta na forma Av XIv 0 d quaçao ac1ma pode ser Escrevendo explicitamente u am a A Àlv O r n n mrHJ Temos então a seguinte equação matricial 4X I o 2 I X Se esceverms explicitamente o sistema de equações lineare equaçao matncial iremos obter um sistema de t s eqmvalente a esta Se d res equaçoes e três in c 0 etermmante da matnz dos coeficientes df ogmtas 1or 1 erente de ze b que este ststlma tem uma única solução que 1 ro sa eremos e a so uyao nula ou sea Y z O Veja a observaçao fmal de 372 Mas esta J x calcular os autovetores de A isto é vetores v O t mos Interessados em Ne aiS que A XI O ste caso detA Àl deve ser zero ou seja v l 4 À I o 2 I À o 2 À 186 ÁLGEBRA LINEAR E portanto À3 72 16À 12 O Vemos que detA Ài é um polinômio em À Este polinômio é chama do o polinômio característico de A Continuando a resolução temos À 22 À 3 o Logo À 2 e À 3 são as raízes do polinômio característico de A e portanto os autovalores da matriz A são 2 e 3 Conhecendo os autovalores podemos encontrar os autovetores correspondentes Resolvendo a equação Av Xv para os casos i À 2 ii 4x 2y X y y 2z 2x 2y 2z A terceira equação implica que y O e por isso vemos na segunda que x O Como nenhuma equação impõe uma restrição em z os autovetores associados a À 2 são do tipo O O z ou seja pertencem ao subespaço O O 1 À 3 Resolvendo a equação Av 3v temos 4x 2y 3x X y 3y y2z3z Tanto da primeira equação quanto da segunda vemos que x 2y e da terceira vem z y Os autovetores associados ao autovalor À 3 são do tipo 2y y y ou seja pertencem ao subespaço 2 1 1 621 O que fizemos neste exemplo com uma matriz A de ordem 3 po de ser generalizado Seja A uma matriz de ordem n Quais são os autovalores e autovetores correspondentes de A São exatamente aqueles que satisfazem a equação Av ÀV ou Av ÀIv ou ainda A Àiv O Escrevendo esta equação explicitamente temos Escrevendo esta tquação explicitamente temos au À an x o a22 À x o Onn À Xn o Autovalores e Autovetores 187 b Chamemos de B a primeira matriz acima Então B v O Se det B O emos que o posto da matriz B sa homo d d e n e portanto o ststema de equações lineares gen 0 eo In tca 0 actma tem uma única solução Ora como x 1 x X n ou v O sem 1 2 únl 1 pre e so uçao de um ststema homogêneo então esta ca so uçao sena a nula As res l stm a umca maneira de encontrarmos autoveto v so uçoes nao nulas da equação acima é termos detB O ou se Ja detA Àl O sat t Impondo esta condição determinamos priPleiramente os autovalores À que IS azem a equação e depois os autovetores a eles associados Obser vamos que ali À PÀ detA ÀI det On é um polinômio em À de grau n an J Onn À PÀ a 11 À ann À termos de grau n e os auto v 1 procurados são as raízes deste polinômio PÀ é ch d a ores tico da matriz A ama 0 po momw caracterzs vida Conideremos mais alguns exemplos para fixar melhor o processo envol tico no calculo de autovalores e autovetores através do polinômio caracterís 622 Exemplos Exemplo 1 A 3 1 detA ÀI det 13 À 4 J L 1 2 À 3 À 2 À 4 À 2 À 2 Pà PÀ o À 1 À 2 o ou À 1 ou À 2 Então os autovalores de A 1 2 P ciados sao e rocuramos agora os autovetores asso Biblioteca de Ciência Tecnolgl 188 ÁLGEBRA LINEAR i À 1 Temos Logo 3x 4yl x 4x 4y O x 2y J y x y O Então temos que x y Portanto os autovetores associados a X 1 são os vetores v x x X i 0 ii À 2 3 1 Então 4 X r X 3X 4y 2x 2 y 2lY ou x 2y 2y X 4y 0 OU X 4y X 4y 0 Os autovetores correspondentes ao autovalor À 2 são da forma I v 4y y y O ou v x 4x Figura 621 As retas acima são invariantes em relação a esta aplicação Autovalores e Autovetores 189 Exemplo 2 A v h PÀ detA Ài de À 1 J VJÀ VJ X 1 X2 2 V3 À 4 PÀ O não admite raiz real LI 4 logo a matriz A não admite autova lores nem autovetores Isto significa que a transformação dada pela matriz A não preserva a direção de nenhum vetor TA v À v v O Geometricamente como A v nT O J cos30 2 sen 30 sen 30 J cos30 a transformação TA dada pela matriz A é uma rotação de 30 composta com uma dilatação TAx y VJ X y X VJ y TAl O VJ I e TAO I 1 VJ TI011 Tl1 OI 11 OI Figura 622 190 ÁLGEBRA LINEAR 623 Observação Observe que se estivéssemos trabalhando com um espaço vetorial complexo isto é os escalares são números complexos o polinômio característico Pl 12 2J3 À 4 do exemplo anterior teria as raízes À vJ i e À J3 i Os autovetores encontrados da mesma maneira que no caso real são do tipo x ix e x ix respectivamente Assim toda aplicação linear so bre espaços vetoriais complexos sempre admite autovalores uma vez que seu polinômio característico sempre admite raiz Neste caso não se tem a visão geométrica de autovetor como vetor que tem sua direção preservada pelo ope rador Veremos no Capítulo 12 que autovalores e autovetores complexos apa recem na resolução de um sistema de equações diferenciais provindo de uma situação real 624 Vamos apresentar agora duas matrizes que têm o mesmo polinômio característico e portanto os mesmos autovalores porém com autovetores di ferentes Além disso vamos resolver os sistemas de equações lineares que nos dão os autovetores usando matrizes escalonadas 625 Exemplos Exemplo 1 A l o 3 o 4J 3 À 5 eAXI O 1 o Então PX dctA XI 3 X 1 X Os autovalores de A são X1 3 e X2 1 i Autovetores associados a À1 3 l o n u1 1 3 o rx 4z 3x 3y 5z 3y t4z o 5z O z 3z 4z O Matriz ampliada do sistema o 3À o u o 4 J l o u o 5 o 5 o 4 o 4 o o o o o Autovalores e Autovetores 191 A solução é z O e x y quaisquer Portanto os autovetores são do tipo v X y 0 ii Autovetores associados a À2 1 3 4l X X 3X 4z X 0 I 3y5zY z z fx 4y Matriz ampliada do sistema o 4 o 4 5 o o 4 o 4z O Sz O o o 1 5 o o 1 5 4 o o Solução x z y z z qualquer Os autovetores são do tipo v zi z z z O Exemplo 2 3 À PX 3 3À o 3 3 o I 4 J 5 3X 2 IX 1 À Observe que este polinômio é o mesmo que o do exemplo anterior Então os autovalores são À 3 e À2 1 192 ÁLGEBRA LINEAR i Para I 3 003 JlJ 3lJ 3x O 1 z z z 3z 3 o o 4 5 4 3y 4z O 5z O 4z O y O z O x qualquer Os autovetores são do tipo v x O O x O ii Para X2 1 o o 3x 3y 4z x 3y 5z y z z 4x 3y 4z O 4y 5z O o o 3 4 o 4 5 o 31 5 x 16 z y 4 z z qualquer Os autovetores são do tipo v z z z z O Autovalores e Autovetores 193 626 Nesta secção definimos polinômio característico de uma matriz ou seja da transformação linear T R R a ela associada como em 616 Podemos estender este conceito para qualquer transformação linear T V V partindo do seguinte argumento Seja l uma base de V então temos as equivalências Tv ÀV Tvjl Xvl TMJvlO det T M O Observamos que a última condição é dada por PX O onde PX é o poli nômio característico da matriz T conforme o conceito dado em 621 Neste caso PX também será chamado polinômio caracteristico da transforma ção T e suas raízes serão os autovalores de 1 O fator fundamental nesta defi nição é sua independência da base l escolhida De fato seja uma outra base de V e A Entãoveja 5410 de T M dct A T A1 MIA 1 detA T M A 1 det A dct T M dct A1 det 1 M PX 627 Exemplos Exemplo I Seja TR2 R2 dada por Txy3x4yx2y Procuremos seus autovalores e autovetores Notemos que se a é a base canô nica de R2 T J e portanto podemos dar o polinômio característico de T como PX det T M Você pode agora concluir o exemplo copiando de 622 Exemplo Exemplo 2 Seja P1 o espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a um e seja TP 1 P1 a transformação linear que Jeva o polinômio I x em 5 2x e o polinômio 4 x em 2 4 x Note que w1 I x e w2 4 x são vetores LI e portanto formam uma base a de P1 e portanto Testá bem definida Observe ainda que TwJ w 1 w 2 e Tw 2 2w2 194 ÁLGEBRA LINEAR Portanto T O polinômio característico é PÀ I À2 À e os autovalores serão por tanto À1 I e À2 2 Calculemos os autovetores associados i T vla lvla o que implica va 3 a E R ii T v la 2va o que implica v la b E R Assim os autovetores associados a À1 1 são da forma v aw1 3aw2 13a 4ax lfa Ainda os autovetores associados a À2 2 são da forma v O w1 bw2 4b bx 628 Vamos aproveitar os exemplos de 625 para introduzir o conceito de multiplicidade de um autovalor Chamamos de multiplicidade algébrica de um autovalor a quantidade de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico No Exemplo I de 625 o autovalor À1 3 tem multiplicidade algébrica igual a 2 Ou ainda 3 é uma raiz dupla do polinômio característico No Exemplo 2 o autovalor À 3 tem multiplicidade algébrica 2 Observe que no Exemplo 1 encontramos para o autovalor À1 3 autove tores do tipo v x y O Note que x y O E R3 x y E R xl O O yO I Oxy E R 1 O O 0 I O e portanto a dimensão deste subespaço associado ao autovalor À 1 3 é 2 dois vetores LI Neste caso dizemos que a multiplicidade geométrica de À1 3 é 2 Mais pre cisamente a multiplicidade geqmétrica de um autovalor À é a dimensão do subespaço VÀ de autovetores associados a À No Exemplo 2 o auto valor À 3 tem multiplicidade geométrica I visto que a dimensão de x O O x E R xl O O x E R O O é I Observe ainda que se a multiplicidade algébrica de um autovalor for I a multiplicidade geo métrica será necessariamente igual a 1 63 EXERCfCIOS I Seja TR2 R x yc y 2y Mostre que À 2 é um autovalor de Te vetores da forma x 2x são os autovetores correspondentes Autovalores e Autovetores 195 Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações linea res dadas 2 T R2 R2 tal que Tx y c 2y x 3 T R 2 R 2 tal que Tx y o x y 2x y 4 T R 3 R tal que x y z c x y x y 2z 2x y z 5 TP P tal que Tax 2 bx c ax 2 ex b 6 T ll42 M2 tal que A A 1 Isto é T é a transformação que leva uma matriz na sua transposta 7 T R R4 tal que Tx y z w x x y x y z x y z w 8 Encontre a transformação linear T R2 R2 tal que T tenha autovalores 2 e 3 associados aos autovetores 3y y e 2y y respectivamente Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes 9 A b J 10 A 15 A n I liA 2 n o I I o o 16 A b 3 n 12 A 3 4 3 3 3 o I 1 4 14 13 A o n 17 A 7 14 o 4 li A o I 14 A i I J 2 o 2 o 3 o I o Biblioteca de Ciência Tecnol 196 ÁLGEBRA LINEAR 19 Seja A L Quais são os autovalores e autovetores de A de um espaço vetorial a Real b Complexo 20 Se X é autovalor da transformação linear T V V e v é um autovetor asso ciado a ele mostre que a kv é outro autovetor associado a À se k O h O conjunto formado pelos autovetores associados a À e o vetor nulo é subespaço de V 21 Suponha que X1 e À2 sejam autovalores distintos e diferentes de zero de T R 2 R2 Mostre que a Os autovetores v1 e v2 correspondentes são LI b nv1 e nv são LI 22 Seja A n a Ache os autovalores de A e de A 1 b Quais são os autovetores correspondentes 23 Suponha que À seja autovalor de T V V com autovetor v e a um número não nulo Ache os autovalores e autovetores de aT 24 Suponha que v E V seja autovetor de T V V e S V V ao mesmo tempo com autovalores X1 e X2 respectivamente Ache autovetores e auto valores de a S T bSoT 25 Seja T V V linear a Se À O é autovalor de T mostre que T não é injetora h A recíproca é verdadeira Ou seja se T não é injetora À O é autova lor de T 26 Sejam A e B i matrizes inversíveis a Calcule AB e BA e observe que estes produtos são distintos b Encontre os autovalores de AB e os de BA O que você observa Autovalores e Autovetores 197 c Encontre os autovetores de AB e os de BA O que você nota d Motivado pelos itens anteriores mostre que se A e B são matrizes in versíveis de mesma ordem os autovalores de AB e BA são os mesmos Mostre mais ainda se X1 é um autovalor de AB com autovetor v então À1 é autovalor de BA com autovetor Bv Da mesma fonna se X2 é um autovalor de BA com autovetor w então X2 é autovalor de AB com autovetor Aw 63 1 Respostas 3 À1 I vi v1 x V2x À I 2 v2 x fi S À I v ax 2 bx b 7 À I v O O O w 8 nx y 6y x y 9 À1 I V1 x O À2 1 v y y 11 À I v x O O 13 À1 1 v1 y y O À2 1 v2 x 2x x À3 3 v3 x O x 16 À1 4 v1 y z y z À2 2 v2 x O x ou À1 4 v 1 y y O À2 4 v2 z O z À3 2 v3 x O x 17 À1 3 v1 2y 7z y z À2 9 v x x x 18 À1 I v1 0 y O y À2 1 v x O 2x O À 6 v3 x O 4x O 19 a À 2 v 2x x x b À1 2 V1 2x X x À2 i V2 J 1y y I ly À i v 1ly y I ly 22 a Os de A são 1 e 2 os de A 1 1 e t b Os de B são 2y y e x 2x os de A1 2y y e x x 23 Autovalor aX com autovetor v 198 ÁLGEBRA LINEAR 25 a Como X O autovalor existe v O tal que Tv O v O Então TO O e Tv O Portanto T não é injetora b Como T não é injetora existe v w tal que Tv Tw Então Tv Tw Tv w O O v w Portanto O é autovalor de T com autovetor v w 26 b São iguais 11 I X 2 13 3 c São diferentes v1 x O 0 v2 y y O v t z 2z z Leituras Sugeridas e Referências I Herstein I N Tópicos de Álgebra Editora Polígono São Paulo 1970 2 Hoffman K e Kunze R Algebra Linear Editora Polígono São Paulo 1971 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES No Capitulo 5 foram introduzidas as aplicações lineares e as matrizes a elas associadas Nosso objetivo neste capítulo será encontrar uma base do espaço vetorial na qual a matriz de um determinado operador linear seja a mais sim ples possvel e fácil deduzir as conveniências práticas de se trabalhar com os operadores usando tais matrizes Por muitos motivos como você verá a me lhor situação possível é aquela em que conseguimos uma matriz diagonal asso ciada a um operador 71 BASE DE AUTOVETORES Dado um operador linear T V 1 V nosso objetivo é conseguir uma base 13 de V na qual a matriz do operador nesta base TZ seja uma matriz diagonal que é a forma mais simples possivel de se representar um operador Observe mos inicialmente a seguinte propriedade dos autovetores 711 Teorema Autovetores associados a autovalores distintos são linear mente independentes 200 ÁLGEBRA LINEAR Prova Este teorema será provado para o caso de dois autovalores distintos Sejam 1 1 12 autovalores À 1 i X2 e v1 v2 autovetores associados aos autovalores i 1 e X2 respectivamente Provaremos que v1 e v2 são LI Seja a1 v1 a 2 v2 O Apliquemos a esta equação a transformação T À2 Usando a linearidade de T e lembrando que Tv ÀtVf e v v para i I 2 resulta ou Como v 1 O e À 1 f i2 determinamos que a 1 O Voltando à equação original e aplicando T q temos ou Isto é a1 O Portanto v1 e v2 são LI A demonstração deste teorema para o caso geral em que temos À1 i2 Àr autovalores distintos é feita de maneira análoga Partimos da igualdade a v a2 v2 av O e aplicamos os operadores T À para mostrar que a1 a2 a O Por exemplo para mostrarmos que a2 O aplicamos sucessivamente à equação original os operadores T A 1 T A2f T A 3J T A4f T AJ Uma conseqüência deste teorema que nos interessará particularmente é dada a seguir 712 Corolário Se V é um espaço vetorial de dimensão n e T V V é um operador linear que possui n autovalores distintos então V possui Uma base cujos vetores são todos autovetores de T Em outras palavras se conseguirmos encontrar tantos autovalores distintos quanto for a dimensão do espaço podemos garantir a existência de uma base de autovetores 713 Exemplos Exemplo 1 Seja T R2 R2 a transformação linear definida por nx v 3x 4y x 2y cuja matriz em relação à base canônica a é Diagonalização de Operadores 201 T 3 4 1 2 Veja o Exemplo I de 622 Queremos encontrar uma base 3 de autovetores se possível e ainda observar de que tipo é a matriz T Desde que 1 2 3 J e 12 e portanto Àt o À2 podemos garantir pelo corolário anterior a existência de urna base de autovetores De fato ois autovetores associados a X1 e x2 são v1 1 1 e v2 4 1 respectivamente os quais formam uma base de R2 Isto é 0 espaço admtte uma base 3 Vt v2 formada por autovetores de T Calculemos agora rnff Como Tv IV I v Ov e Tv 2v ÜVt 2v2 Observe que a matriz de T em relação à base de autovetores é uma ma triz diagonal Exemplo 2 Seja T R3 R3 uma transformação linear uja matriz em relação à base canônica a é T J Lo o 3 o PA det T Jj 3 A 2 I A l I Os autovalores são À1 3 e 2 1 Associado a 1 3 ternos auto vetores do tipo x y O Portanto obtemos dois autovetores LI v1 I O 0 e v2 O I O Associado a À2 1 temos um autovetor LI u 4 5 4 Então 3 Vt v2 u é uma base de R3 constituída de autovetores de Te 202 ÁLGEBRA LINEAR Observe que em relaçao a esta base de autovetores a matriz de T é uma matriz diagonal f obtidas nos Exemplos É claro que as matrizes dtagonats T 1 que oram f 0 linear qualquer l 2 não 0 foram por acaso Dada uma trans ormaça t e formada por autove ores T v V se conseguirmos uma base 1 V1 Vn de T então como Tvd À v Ov Ovn Tv2 Ov 1 À2 v2 Ovn Ov Ov2 ÀnVn Vn 1 a matriz r Tg será uma matriz diagonal onde pal são os autovalores À isto é os elementos da diagonal princi o À o lJ Não precisamos ter necessariamente os I i d r tos veja o Exemplo 2 ts m f d I tantas vezes quantas orem os Na verdade um autovalor aparecera na mgona autovetores LI a ele associados é uma base de V tal que Por outro lado se f u Un a rJ o f o i1 o a o de T com autovalores que U u são necessariamente autovetores note r n d T temos respectivamente De fato da defimçao e a 1 an 1 Diagonalização de Operadores 203 Concluímos então que um operador T V V admite uma base J em re lação à qual sua matriz T é diagonal se e somente se essa base for forma da por autovetores de T e este o motivo da definição que se segue 714 Definição Seja T V V um operador linear Dizemos que T é um operador diagonaizáve se existe uma base de V cujos elementos são autoveto res de T Os operadores dos Exemplos 1 e 2 são portanto diagonalizáveis Vamos dar a seguir um exemplo de um operador não diagonalizável Exemplo Seja T R 3 R 3 a transformação linear cuja matriz em relação à base canônica a é 3 3 o Como PÀ 3 À2 I À os autovalores são À1 3 e À2 l Associado a 3 conseguimos apenas um autovetor LI por exemplo v 1 O O Associado a À 2 1 temos o autovetor LI u 1 20 16 Neste caso temos apenas dois autovetores LI para T e portanto não existe uma base de R 3 constituída só de autovetores Isto significa que em nenhuma base a matriz de T é uma matriz diagonal ou seja T não é diagonaizáve 715 Aplicação ao Estudo de Vibrações Consideremos dois corpos de dimensões desprezíveis e massas m 1 e m 2 res pectivamente presos a 3 molas de constantes elásticas k k2 e k3 conforme mostra a Figura 711 Supondo que o movimento só ocorra na horizontal como podemos estudar a posição dos dois corpos em função do tempo a partir de uma posição diferente da de equil1brio posição de equilfbrio posição em um instante t 204 ÁLGEBRA LINEAR Chamando de x e y os deslocamentos horizontais em relação à posição de equilfbrio de m 1 e m2 e lembrando que o produto da massa pela acelera ção é igual à força aplicada e que a força que uma mola exerce em primeira aproximação é igual menos o produto da sua constante de elasticidade pelo deslocamento em relação à posição de equilfbrio podemos escrever onde x e Y indicam a derivada segunda em relação ao tempo m1x k 1x k2 y x mY k2 y x t k 3y ou em termos de matriz XI kk X k2 k2 k3 y y m2 m2 Devemos achar então como x e y variam em função do tempo ou seja resolver o sistema de equações diferenciais anterior Observe que uma das difi culdades de resolver o sistema é o fato dele ser acoplado isto é em ambas as equações aparecem ambas as variáveis Urna possível tentativa de resolver o problema é a de tentar desacoplar as equações isto é obter duas novas equa ções equivalentes às anteriores de tal forma que em cada uma delas apareça apenas uma incógnita Resolvemos então cada uma destas equações e volta mos para as incógnitas originais No Capítulo 12 você poderá ver outros mé todos para tentar resolver tais sistemas Observe que em uma situação deste tipo teríamos um sistema da forma ou na forma matricial Isto nos dá a pista para tentar desacoplar o sistema original devemos diagonalizar se possfvel a matriz do sistema original Façamos isto no caso particular em que m 1 m2 m e k 1 k 2 k 3 k As equações tornamse então na forma matricial I ik Diagonalização de Operadores 205 Podemos pensar na matriz cmo a matriz de um operador linear de R2 em R2 em I b mca e X e y re açao a ase cano r d como as componentes de um vetor em relação à base canônica entemos tagonalizar tal operador 2k PA det À Portanto os autovalores são À k e À 3k I m 2 m e OS aUtovalores aSSOCiadOS a eles são I I e v 1 I nica 2 respectivamente Chamando a a base canô v v a base composta por tais autovetores e v Uemos u k Jg A I onde I J Além disso por simples derivação rn rtJ Substituindo estes resultados na equação original vem t A I UJ 206 ÁLGEBRA LINEAR ou ou Portanto t UJr A ln J k XX m y 3k y m Podemos resolver separadamente cada uma dessas equações obtendo XA 1senjfr8d 3k Y A2sen Jm t 82 que são os chamados modos normais de vibração do sistema Voltando para as variáveis originais temos x A1 sen jfr e A2senJlr e0 y A1 senfr e A2senfl t e0 72 POLINOMIO MINIMAL Nos exemplos anteriores nós mostramos que os operadores era o ão diago nalizáveis exibindo uma base de autovetores ou mostrando a mexistencia desta base Em casos de espaços vetoriais de baixa dimensão como os dos exemplos é este o procedimento conveniente Entretanto podemos estar interessados principalmente no caso de espaços vetoriais de dimensão alta onde os cálculos são longos em saber se um operador linear é diagonalizável ou não se calcular os autovetores Já sabemos a resposta para este problema na segumte situação se dim V n e o operador linear T tem n autovalores disntos então ele é diagonalizável veja 712 No caso geral a resposta esta hgada ao aspecto de um polinômio que chamaremos de polinômio minimal do opeador T Para isto vamos introduzir a noção de polinômios calculados em matnzes Diagonalização de Operadores 207 uma 721 Definição Seja px a x x n ai ao matnz quadrada Então pA é a matriz um polinômio e A pA anA aiA aol Quando pA O dizemos que o polinômio anula a matriz A Exemplo Sejam px x 9 e qx 2x 3 Se A 1 4 1 1 9 o e qA 2 1 2 Fntão px anula A e qx não anula A 722 Definição Seja A uma matriz quadrada O polinômio minima de A é um polinômio tal que i mA O isto é mx anula a matriz A ii mx é o polinômio de menor grau entre aqueles que anulam A Observe que o coeficiente do termo xk do polinômio minimal é ak I A seguir apresentaremos alguns resultados envolvendo polinômio minimal que vão nos levar a descobrir um procedimento que nos possibilite determinar se um operador linear é diagonalizável ou não sem calcular os autovetores As demonstrações desses resultados são em geral muito elaboradas abrangendo outros conceitos como o de decomposição de um espaço vetorial em soma di reta de subespaços e que fogem aos objetivos deste textol 723 Teorema Sejam T V V um operador linear e a uma base qual quer de V de dimensão n Então T é diagonalizável se e somente se 0 polinô mio minimal de T é da forma 1 Você pod encontrála por ewmplo em Hoffman K e Kunze R Álgebra Linear bJitora Polgono SJo Paulo 1971 208 ÁLGEBRA LINEAR mx x À x À1 x À com q X2 X distintos O nosso problema que consiste em determinar se T é diagonalizávcl rcduzse então ao de saber achar o polinômio minimal de T Os teoremas que nos ajudarão a fazer isto são 724 Teorema de CayleyHamilton Seja T V V um operador linear a uma base de V e px o polinômio caracteristico de T Então pT O Isto significa que o polinômio característico é um candidato ao polinômio minima1 porque ele satisfaz a condição i da definição 7 22 Exemplo Demonstração do teorema no caso 2 x 2 Seja r b c d Então o polinômio característico é pÀdet b J aÀdÀbc Então pT b J J b n J bb 725 Teorema As raízes do polinômio minimal são as mesmas raízes distintas do polinômio característico Estes dois teoremas juntos nos dizem como achar o polinômio minimal de um operador linear T V o V O polinômio mini mal deve ser de grau menor ou no máximo igual ao do polinômio característico 724 e ainda deve ter as mesmas raízes 7 25 Por exemplo seja T V 4 V um operador linear e a uma base de V Su ponhamos que o polinômio característico de T seja pÀ À 3 2 À 1 3 À 5 Então o seu polinômio mini mal será um dos polinômios Diagonalização de Operadores 209 p x x 3 x 1 x 5 px x 3 x I x 5 px x 3 x 12 x 5 px x 3 x 13 x 5 Psx 32 x I 2 x 5 px x 32 x 13 x 5 Como o polinômio minimal é o de menor grau que anula T verifica mos primeiramente se p 1 T O Em caso afirmativo p 1 x será o polinô mio minimal Se p 1 T O testamos p 2 T e assim sucessivamente Na pior das hipóteses o polinômio minimal será pA isto é o polinômio caracte rlstico Volte agora ao teorema 723 O operador acima só será diagonalizável se o seu polinômio minimal for p 1 x Esse argumento nos motiva a reinterpretar o teorema 723 126 Teorma Sejam À2 À r os autovalores distintos de um ope rador lmear T Então T será diagonalizável se e somente se o polinômio x À x À2 x À anular a matriz de T Exemplo O operador linear TR4 R4 definido por Tx y z t 3x 4z 3y 5z z t é diagona1izável Resolução Seja a 1 O O O 0 I O O O O I 0 0 O O I a base canônica Então a matriz rJ o o o 3 o o 4 5 1 o J Calculemos o polinômio caracterlstico pÀ dctT J 3 À 2 1 À 2 Os autovalores são À1 3 e À2 1 ambos com multiplicidade 2 Então os candidatos para o polinômio minimal são px x 3 x I p 2x x 32 x 1 p 3 x x 3 x 12 p 4 x x 32 x 12 Biblioteca de C1ência Tecno UFPE 210 ÁLGEBRA LINEAR Notamos que p 1 r O e é dentre os candidatos o de menor grau Então p 1 xx 3x I é o polinômio minimal Portanto T é diagonalizável isto é existe de autovetores e nesta base o 3 o o o o I o jl uma base 3 73 DIAGONALIZAÇAO SIMULTÀNEA DE DOIS OPERADORES Suponhamos que sejam dados T1 V o V e T1 V 4 V operadores lineares am bos diagonalizáveis Isto significa que existem bases a 1 e a2 de V tais que r ex e r 12 são diagonais No entanto não podemos garantir que ex a 1 a2 isto é não podemos garantir sempre que existe uma mesma base a de V em relação à qual as matrizes de T 1 e T2 admitem o mesmo conjunto de autove tores LI Em que situação vale tal relação entre T e T21 Mostrase 2 que dados T 1 e T2 operadores diagonalizáveis então T e T2 são simultaneamente diago nalizáveis se e somente se T 1 e T 2 comutam T oT2 T 2oT Na prática dados T 1 e T2 tomamos uma base j qualquer de V e verifi camos se r e r são diagonalizáveis Se isto acontecer e além disto rr2 r r então podemos concluir que r e r são simultaneamente dia gonalizá v eis Exemplo Sejam T1 T2 R3 R3 operadores lineares cujas matrizes em relação à base canônica são respectivamente Calculando os autovalores de T1 temos À1 1 X2 2 e À3 2 Observamos que o polinômio mx x I x 2 anula r e portanto r é diagonali 2Veja por exemplo Hoffman K c Kunze R op ut pág 190 Diagonalização de Operadores 211 zável veja 726 Calculando os autovalores de T2 temos X1 1 À2 3 e À 4 Como eles são distintos r é diagonalizável veja 712 Além dio 115 l o T I T I 25 25 r r2 70 I O 25 2Ç o o Portanto T e T2 são simultaneamente diagonalizáveis Poderíamos ter observado isto calculando os autovetores Para r com X1 1 obtemos os autovetores x 2x O e com À2 2 os autovetores 2y y z Para r À 1 I é associado ao autovetor x 2x 0 À 3 a 2y y O e À3 4 a O O z Então I 2 0 2 1 O O O I são simultaneamente autovetores LI de T1 cT2 e desse modo na base 3 formada por estes vetores rd u o J o l 2 e r 3 o o 74 FORMA DE JORDAN Já sabemos que nem todo operador é diagonalizável Por exemplo T V V onde V é um espaço vetorial real de dimensão dois cuja matriz em relação a uma base a é ex rlex O IJ 1 O a qual não é diagonalizável pois o seu polinômio característico é Ã2 1 que não possui raízes reais Assim este operador não possui autovetores e portanto não possui autovalores Entretanto se o espaço vetorial V for complexo isto é se permitirmos que os escalares sejam números complexos quaisquer e consi derarmos a mesma matriz o polinômio característico passará a ter duas raízes distintas i e i e portanto o operador será diagonalizável De fato um autove tor associado ao autovalor i é I i e um associado a i é l i Se j f o r a base destes autovetores então r Vemos assim que com relação 212 ÁLGEBRA LINEAR ao fato de um operador linear ser diagonalizável ou não o conjunto dos esca lares no qual trabalhamos desempenha um papel importante Ainda assim mesmo permitindo valores complexos nem todo operador linear é diagonalizável Por exemplo seja T V V onde V é um espaço veto rial complexo de dimensão 4 e T o o o o o O I o o onde a é uma base de V Então o polinômio característico de T é pÀ À i À i À 12 e portanto seus autovalores são À1 i À i X3 1 com multiplicidade 2 Não é possível entretanto encontrar dois auto vetores LI tente para X3 1 c assim T não é diagonalizável Porém quando T V V for um operador linear não diagonalizável e V um espaço vetorial complexo poderemos achar sempre uma base 3 de V tal que T assuma uma forma especial chamada forma de Jordan Esta forma é obtida por blocos do tipo À I À I o o À i I Ài ou À colocados na diagonal Exemplo 2 o I o o o o o o o I 2 I o o o o o o o I o o o o o 0 0 1 2 0 o o u2Lo o o o o o o o o L2 I o o o o o o o o ors1 o o o L1 o o o o o o 3 o o o o o o o o I 3 o o o o o o o o 3 Diagonalização de Operadores 213 A demonstração deste fato é um tópico especial que deve fazer parte de um estudo mais avançado de Álgebra Linear3 75 EXERCfCIOS I Entre os operadores dos exercícios 2 a 8 da secção 63 verifique quais são diagonalizávcis 2 Dizemos que uma matriz An x n é diagonalizável se seu operador associado TA Rn 4 Rn for diagonalizável ou seja A é diagonalizável se e somente se A admitir n autovetores LI Baseado nisto verifique quais das matrizes dos Exercícios 9 a 18 da secção 63 são diagonalizáveis 3 Dada a ma triz A li o 2 o o o 2 o o o a A é diagonalizável use a definição do exercício anterior b Encontre seu polinômio mínima 4 Seja A uma matriz 3 x 3 triangular superior com todos os seus elementos acima da diagonal distintos e não nulos a Quais são os autovalores e autovetores de A b Qual é o polinômio mini mal de A 5 Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis JParil LktalhL conulll Lipthut7 S Álgebra Linear Me GrawHill do Brasil Ltda Rio de Janeiro 1971 ou Jloffman K l KunL R Álgebra Linear Editora Poltgono São Paulo 1971 ou lfomJ I M Lectures in Linear Afgebra Intcrscicnce Publishers Ncw Yor1 1961 214 ÁLGEBRA LINEAR 6 Sejam T R R3 linear a I O 0 O I O 0 O a base ca nônica de R3 0 I 1 0 1 1 1 O 1 e T l a Encontre o polinômio característico de T os autovalores de T e os auto vetores correspondentes b Ache T e o polinômio característico Que observação você faz a este respeito c Encontre uma base r de R3 se for possível tal que T seja diagonal 7 a Sejam T V V um operador linear V de dimensão finita e e bases distintas de T Mostre que det T det T Sugestão veja a relação entre T e T no Capítulo 6 b Se An xm é diagonalizável mostre que o determinante de A é o produ to de seus autovalores Sugestão considere TA R R observando que a matriz de TA na base canônica é exatamente A Use então o resultado do item a consi derando como a a base canônica e 3 a base de autovetores 8 Mostre que a matriz A J é semelhante à matriz J 9 a Mostre que um operador linear T num espaço de dimensão finita que comuta com qualquer operador linear diagonalizável é diagonalizâvel b Nas condições do item a mostre que na verdade T é um múltiplo esca lar do operador identidade isto é existe um número r tal que T r I 10 Dizse que um operador linear T V V é nilpotente se existir um número inteiro positivo n tal que T O isto é ToToToToToTü oTv O para todo v E V a Seja T nilpotente Encontre seus autovalores 2 2 iltt b Encontre uma matriz A2 x 2 O tal que TA R R seJa n po en e c Mostre que um operador linear nilpotente não nulo não é diagonalizável Diagonalização de Operadores 21 5 11 Dizse que um operador linear T V V é idempotente se T 2 T isto é se ToTv Tv para todo v E V a Seja T idempotente Ache seus autovalores b Encontre uma matriz A2 x 2 O tal que TA R 2 R2 seja idempotente c Mostre que um operador linear idempotente é diagonalizável 12 Mostre que A o 2 não é diagonalizável No entanto se A repre 2 sentar numa certa base um operador linear T V V onde V é um espaço vetorial complexo então T é diagonalizável Verifique este fato ou equiva lentemente que existe uma matriz com elementos complexo P 3 x 3 inversí vel tal que p1 A p G o i o 13 Problemapesquisa M a a a a Seja a M a a a A a a M a a a a a M a a a a onde M e a 1 O são números reais Mostre que a Os autovalores de A são À M a com multiplicidade n I e u M n I a b det A M a1 M n a a M nxn Este é um caso particular da situação estudada no artigo sobre uma classe de matrizes cujo problema de autovalores é facilmente solucionável de Odelar Leite Linhares publicado na revista Ciência e Cultura SBPC volume 29 número 8 de agosto de 1977 natural Você pode generalizar o seu procedimento para o caso de uma matriz qua drada qualquer Quais são as condições Biblioteca de Í C1ência Tecnoign IUrtl 216 ÁLGEBRA LINEAR tS Considere o sistema mecânico mostrado na figura abaixo corpo 1 corpo 2 d b Utilizando os procedimentos da secção 7 15 estu e a vt raça o d sistema o quando ele é tirado da posição de equilíbrio Resolva completamente descre vendo o comportamento do sistema no caso em que m 1 05 kg m2 o 5 k k 1 2 k 1 8 N Os deslocamentos iniciais dos corpos g m 2 m e 2 são respectivamente O I m para cima e 02 m para baixo 7 51 Respostas 1 632 633 634 e 638 são diagonalizáveis 2 639 6310 6313 6314 6316 e 6317 são diagonalizáveis 3 a Não b px 2 x 3 x S a a I b a O 6 a pÀ 2 X 3 X X1 2 v1 x O O X 3 v O y 0 b 3 T o 4 O polinômio característico é independente da base c Não existe Diagonalização de Operadores 21 7 8 10 a À O b c Se T fosse diagonalizável existiria uma base f3 tal que os autovalores esti vessem na diagonal de TJ uma matriz diagonal Mas os únicos autova lores de T são O veja a e logo T O E dizer T seria nulo o que não está de corda com a hipótese llaÀO ou b I J I c Como T2 v Tv T2 Tv O ou seja T T O Seja px x 2 x xx I Então pT O Como os autovalores de T são O e I o polinômio caracterstico de T é da forma pÀ X I Àm Então px é o polinômio minimal de T e como os fatores lineares são distintos T é diagonalizável d I t À O n 14 a Note que se temos uma matnz 1agona en ao 0 À 2 X7 n Diagonalize então a matriz A calculando os autovalores o À e autovetores respectivos é possível fazer isto bem como a matriz de mudança de base Utilizando 5410 podese escrever Portanto A u I 41 01 4 A I I O 2 I I 4 zn2 4 zn b É similar ao anterior 218 ÁLGEBRA LINEAR No caso geral o procedimento poderá ser o mesmo se A for uma matriz diagonalizável Isto é sendo B a fonna diagonal de A A CBC 1 e então A C B C 1 CBC 1 CBC 1 CBC 1 CBC n vezes Assim temos um processo bem mais simples que o usual para se obter a potência de uma matriz diagonalizável uma por ser B uma matriz dia gonal B é calculada diretamente Leituras Sugeridas e Referências 1 Gelfond I M Lectures in Linear Algebra Interscience Publishers New York 1961 2 Hoffman K e Kunze R Álgebra Linear Editora Polígono São Paulo 1971 3 Lipschutz S Álgebra Linear McGrawHill do Brasil Ltda Rio de Janeiro 1971 PRODUTO INTERNO 81 INTRODUÇÃO Estaremos interessados neste capítulo em formalizar os conceitos de com primento de um vetor e de ângulo entre dois vetores Com isto teremos pro cessos para que se possa medir num espaço vetorial da mesma forma pela qual se mede o plano ou no espaço E é a noção de medida que nos leva a precisar conceitos como o de aproximação área volume etc y 1 y t A P lx y d r r r I r kX Figura 811 X 220 ÁLGEBRA LINEAR Consideremos inicialmente o plano R2 munido de um referencial carte siano ortogonal eixos perpendiculares e um ponto P de coordenadas x y Vamos calcular a distância deste ponto P à origem Observando a figura e utili zando o teorema de Pitágoras temos que d J x 2 y 2 Podemos também interpretar este resultado dizendo que o comprimento que passaremos a chamar de norma do vetor x y é J x y 2 Denotaremos isto por li x yll x y 2 Analogamente a distância d entre dois pontos x 1 yd e x 2 y 2 é a norma do vetor diferença isto é d Vx x 2 2 y 1 y2 y Yt xJ YI I F x2Y2 I I Y2 I X Figura 812 Consideremos agora um corpo no plano R2 que se desloca em linha reta da origem até um ponto x 1 y 1 por ação de uma força constante F x 2 y 2 Queremos saber qual é o trabalho realizado Dos conceitos da física sabemos que o trabalho é dado pela equação T 11 F 11 li v 11 cos 8 onde 8 é o ângulo entre v x 1yd e F x 2 y2 as cosO cose e X2 X1 Y2 Yt p cos ecos e sen Osen o m M m M ortanto T x 1x 2 y 1y 2 Ou seja o trabalho produzido é um produto dos vetores v e F denotado por v F e dado pela regra v F x 1 y x 2 y 2 x 1x2 YtY2 Este produto recebe o nome de produto escalar ou produto interno e tem uma relação importante com a norma de um vetor v x y li vil V x y 2 Vx x y y Se ao invés de trabalharmos no plano R2 estivéssemos trabalhando no espaço R3 munidos de um referencial cartesiano ortogonal teríamos encon trado uma expressão similar para o produto escalar xtYt z x2Y2 z2 xx2 YtY2 zz2 e a mesma relação com a norma de um vetor v x y z li vil VT y 2 z VV Produto Interno 221 Voltando ao caso do plano se tivéssemos trabalhado com um referencial não ortogonal eixos não perpendiculares e quiséssemos calcular a distância da origem até um ponto P cujas coordenadas em relação ao referencial fossem xy teríamos usando o teorema de Pitágoras d llx yll V x Y cos 2 y sen a x 2cos axy y y p I I d 1y sen a X Figura 813 f l vcosQ Observe que se usássemos o produto escalar x yd x y 2 x 1x 2 y 1y 2 X neste caso não valeria a relação li v 11 JVV mas ela passaria a valer se usássemos a seguinte regra para o produto x 1 yd x2 y 2 x 1x 2 cosax 1y cosax 2y 1 y 1y pois v v x y x y x cos xy cos yx y 2 li vil Portanto novamente a noção de distância poderia ser dada a partir de um pro duto interno de vetores Concluímos destes exemplos que o processo usado para se determinar medidas num espaço pode variar e em cada caso precisamos ser bem claros so bre que produto interno e conseqüentemente sobre que norma estamos tra balhando Estes produtos no entanto gozam de propriedades que são utilizadas para definir produto interno num espaço vetorial real qualquer 811 Definição Seja V um espaço vetorial real Um produto interno so bre V é uma função que a cada par de vetores v1 e v2 associa um número real denotado v1 v2 satisfazendo as propriedades 222 ÁLGEBRA LINEAR i v v O para todo vetor v c v v O se e somente se v O ii ov1 v2 ov 1 Vz para todo real a iii v1 v2 v3 v1 v3 v2 v3 iv v1 v2v2vt 812 Exemplos Exemplo 1 O produto escalar usual de vetores do espaço R 3 Para v x 1 x 2 x 3 e w CYt y y v w XtYt X2Y2 XJYJ De modo análogo definese o que chamamos produto interno usual para o es paço R Dados vx1x2 Xn e wyty yn v w XtYt X2Y2 XnYn Veremos em 911 que uma vez escolhido um tipo especial de base todo pro duto interno tem uma expressão como esta Exemplo 2 V R2 v1 xt Yt e V2 x2 y v1 v2 2xtx2 X1Y2 X2Y1 Y1Y2 Exemplo 3 Se V é o espaço de funções contínuas no intervalo 0 1 dadas f 1 e f2 E V definimos f f ft tf21 dt Poderemos verificar que as quatro condições da definição são satisfeitas em cada exemplo e portanto é um produto interno A 11 1 3 B 2 3 21 c 12 2 1 I Figura 814 Produto Interno 223 Exemplo 4 Um campo elétrico uniforme induz uma força constante dada pelo vetor f 10 2 5 em uma partícula carregada eletricamente Vamos calcular o trabalho realizado quando a partícula se move na trajetória que co meça e termina em A dada pela Figura 814 O trabalho total é T TAB Tsc TcA onde TAB é o trabalho realizado de A a B etc Ainda AB 2 3 2 I I 3 1 2 1 BC 0 1 1 e CA 1 1 2 Como foi mos trado na introdução o trabalho é o produto interno da força pelo vetor que dá o deslocamento Então TAB f AB 10 2 5 1 2 1 19 TcA 22 Portanto T O Exemplo 5 Uma fábrica produz um determinado componente eletrônico Devido a variações na linha de produção qualidade de material etc verificase que os componentes não têm todos a mesma durabilidade Fazendose experiên cias com relação ao número de horas de uso efetivo obtémse a seguinte tabela que relaciona durabilidade com a respectiva probabilidade durabilidadeh 2000 2500 2700 3000 probabilidade 13 15 15 415 Queremos saber a durabilidade média dos componentes Temos então a durabilidade média ou valor médio ou valor esperado que é 200013 250015 270015 3000415 2520 horas O que queremos observar no entanto é que a expressão da durabilidade média é exatamente a do produto interno canônico em R 4 do vetor probabilidade f i 1 pelo vetor durabilidade 2000 2500 2700 3000 isto é 2000 2500 2700 3000 35515 De modo geral se uma grandeza pode assumir valores x 1 x 2 Xn com probabilidades p 1 p2 Pn respectivamente então o valor médio da grandeza também chamado valor esperado é dado pelo produto interno canônico em R Biblioteca de Ciência TecnotbQii UFPel 224 ÁLGEBRA LINEAR Na seção 87 você poderá ver uma outra versao deste fato juntamente com ou tras aplicações estatísticas do produto interno O produto interno é usado para caracterizar a noção de perpendicularis mo ou ortogonalidade de vetores Formalmente 813 Definição Seja V um espaço vetorial com prudutu interno Dizse que dois vetores v e w de V são ortogonais em relação a este produto interno se v w O No caso em que v e w são ortogonais escrevemos V 1 W Propriedades i O 1 v para todo v E V ii v 1 w implica que w 1 v iii Se v 1 w para todo w E v então v O i v Se v1 1 w e v2 1 w então V1 v2 1 w v Se v 1 w e À é um escalar Ãvl w Vamos demonstrar a primeira delas e voce poderá provar facilmente as outras usando as propriedades do produto interno i Para mostrar que O é ortogonal a todo vetor v lembremos que O O v e portanto 0 v O v v Ov v O A noção de ortogonalidade tem uma aplicação interessante na verificação da honestidade de apostas Vejamos isto em um exemplo Exemplo Duas pessoas A e B fazem a seguinte aposta elas vão jogar duas moedas simultaneamente e se o resultado for duas caras A ganha dez cruzeiros se for duas coroas A ganha sete cruzeiros e se for uma cara e uma coroa B ganha 9 cruzeiros Queremos saber se esta aposta é justa isto é se A não tem mais probabilidade de ganhar do que B ou viceversa Para isto vamos calcular o valor esperado por A e B Observamos então que a probabilidade de dar duas caras é I 4 de dar duas coroas é I 4 e de dar uma cara e uma coroa é 12 O vetor probabilidade é então 14 14 12 e o vetor aposta do ponto de vista de A é 10 7 9 e do ponto de vista de B é 10 7 9 onde o sinal menos indica a perda da aposta O valor esperado por A é dado pelo produto interno I I I I 14 14 12 10 7 9 4 10 4 7 2 9 4 enquanto que o valor esperado por B é I 14 14 12 10 7 9 4 Produto Interno 225 O valor esperado por é positivo indicando que ele tem vantagem na aposta enquanto que o valor esperado por A é negativo indicando que ele tem maior probabilidade de perder a aposta Esta só seria justa se não houvesse vantagem para nenhum dos apostadores isto é se o valor esperado para ambos fosse nulo ou seja o vetor probabilidade fosse ortogonal ao vetor aposta O resultado a seguir estabelece uma relação entre ortogonalidade e inde pendência linear 814 Teorema Seja vi V2 Vn um conjunto de vetores não nulos dois a dois ortogonais isto é v vi O para i j Então v1 vn é linearmente independente Prova Seja ai V1 a2V2 anvn O Fazendo o produto interno dos dois membros da igualdade acima por v temos ai VI anVn Vj Q Vj e portanto ai v1 Vj atvi v an vn v O Como vi v O para j i e v v O temos a v v O e assim ai O Como isto vale para todo i I n temos a 1 O an O logo v1 Vn é LI Você já deve ter notado que quando se trabalha no espaço R3 em ge ral é mais simples usarmos a base canônica i j k Isso se deve em grande parte à característica de que estes vetores são dois a dois ortogonais A conve niência de bases desse tipo se mantém para espaços vetoriais quaisquer como você verá em 82 815 Definição Dizse que uma base v1 Vn de V é base ortogonal se v vi O para i I j isto é os vetores da base são dois a dois ortogonais Observe que pelo teorema anterior se obtivermos um conjunto de n ve tores dois a dois ortogonais num espaço de dimensão n este conjunto será uma base ortogonal 82 COEFICIENTES DE FOURIER Bases ortogonais são importantes porque existe um procedimento padrão para se encontrar as coordenadas de um vetor qualquer em relação a elas Seja V um espaço vetorial com produto interno 3 v 1 vn uma base orto gonal de V e w um vetor qualquer de V Vamos calcular as coordenadas de w 226 ÁLGEBRA LINEAR em relação a 3 Sabemos que w x 1 v 1 x 2 v2 XnVn e queremos deter minar a iésima coordenada x Para isto façamos o produto interno dos dois membros da igualdade acima por v Então w v xv v donde x w v Esta coordenada é chamada coeficiente de Fourier de w v v em relação a Vj 821 Exemplos Exemplo 1 Seja V R2 com produto interno usual e 1 1 1 ll Observamos que é uma base ortogonal pois 1 1 11 11 O Calculemos 2 3 Existem x 1 e x 2 tais que 2 3 x 11 I x 2I 1 onde x 1 e x 2 são as coordenadas do vetor 2 3 em relação à base 3 que esta mos procurando 2 3 1 x 11 I x 2l 1 1 i x 11 1 1 i x2 1 1 1 I x 11 1 1 i x 2 l 1 1 O segundo termo x 2 1 1 i é nulo e assim Analogamente Portanto 2 3 1 i 5 x 1 1 1 2 2 3 1 i I x 1 1 1 2 2 3 52 12 Vamos formalizar agora a noção de comprimento de um vetor num es paço vetorial Faremos isto de tal forma que seja verdadeira a relação vista em 81 entre produto escalar e norma 83 NORMA 831 Definição Seja V um espaço com produto interno Definimos a norma ou comprimento de um vetor v em relação a este produ Produto Interno 227 to interno por llvll Se llvll 1 isto é v v I v é chamado ve tor unitário Dizemos também neste caso que v está normalizado Observe que todo vetor não nulo v E V pode ser normalizado tornando u llll Se considerarmos por exemplo V R e o produto interno usual então se v x x2 x 3 E R3 li vil J x xi x que é o comprimento do vetor v Assim para v 1 2 1 teremos o vetor nor malizado 121 u llvll v I 2 2 12 A noção de norma formaliza o conceito de comprimento Exemplo Vamos calcular a força que é um vetor de atração entre dois corpos de massas 2 e 5 unidades colocados nos pontos 1 3 5 e 2 I 0 respectivamente sabendo que a intensidade da atração entre eles é dada pela relação m 1 m2 onde m 1 é a massa do primeiro corpo m2 a do segundo e d a distância entre eles e sabendo ainda que a força age na direção da reta que une os dois pontos 1 3 51 F 2 1 OI Figura 831 Vemos que F deve ser um vetor na direção e sentido de d d 2 5 2 1 O I 3 5 I 2 5 e eve ter mtensi ade 2 11025111 10 1 30 3 ou seja F u onde u é um vetor unitário na direção de 1 2 5 Por tanto 228 ÁLGEBRA LINEAR u 1 2 5 r li 2 5211 lv 30 2v 30 5v 30 1 e F 3 JvTo 2vTo 5JJõ 13 f30 23 V3o 53vTo Vejamos agora que a definição formal de norma tem realmente todas as propriedades que esperamos de uma noção de comprimento Propriedades Seja V um espaço vetorial com produto interno Para quais quer v w em V e o E R i llvll O e li vil O se e somente se v O ii 1111 lalllvll iil lv wl llvllllwll Desigualdade de Schwarz iv llv wll llvll llwll Desigualdade triangular Prova Você pode mostrar i e ii a partir das propriedades do produto interno iii Sejam v e w em V com v O Para v O vale a igualdade lv wl llvllllwll 0 Para qualquer t E R tv w tv w O isto é v vt2 2v wt w w O Temos então um trinômio do 2 grau que deve ser positivo para qualquer va lor de t Como o coeficiente v v de t2 é sempre positivo v I 0 o discri minante L deve ser negativo L 4v w2 4v vw w O Isto é 4v w2 411vll2 llwll2 O o que implica que lv wl llvllllwll iv A desigualdade triangular você pode fazer como exercício 832 Ângulo entre dois vetores A desigualdade de Schwarz nos dá a possibilidade de definir ângulo entre dois vetores não nulos em um espaço vetorial V munido de um produto inter no Sejam v w E V não nulos Então 831 iit pode ser escrito como lv wl I v w I 1 ou seJa o 1 e portanto extste um angulo entre llvllllwll llvllllwll v w E 1 e h d 1 O e n radianos tal que cos ste angu o e c ama o angu o en llvllllwll tre v e w Observe que esta noção é compatível com a noção de ortogonalida de pois se v w O então cose O logo e n2 Seria muito interessante se você verificasse agora que se considerarmos o plano R2 ou o espaço R3 com o produto interno usual o conceito geral de ângulo aqui definido coincidirá com o conceito geométrico de ângulo entre dois vetores Produto Interno 229 Exemplo Sejam V M2 2 as matrizes quadradas de ordem 2 reais e o produto interno dado pela expressão comprove que realmente é um produto interno testando as propriedades H J ae 2bf 3cg dh Vamos calcular o ângulo entre as matrizes te produto interno Então 1 I li li 2 e li Jll fJQ le2 IJ 1 1 1 Portanto cos 8 12 fJQ e assim 8 arccos 12 v10 segundo es Em 87 você poderá ver que a noção de correlação usada em estatística provém do conceito de ângulo entre dois vetores Também utilizase o conceito de norma para caracterizar o tipo de base que em geral é mais conveniente quando se trabalha com um determinado produto interno Numa base deste tipo as coordenadas de um vetor são dadas por um produto interno 833 Definição Seja V um espaço vetorial com produto interno Dizse que uma base v1 Vn de V é ortononnal se for ortogonal e cada ve tor for unitário isto é v v 0 z 1 l se i f se i j Observe que se tivermos uma base ortonormal v1 v r n os coe Cien tes X de um vetor w x 1 v1 XnVn são dados por w vi xi w vi Vj Vj Exemplo Seja V R e o produto interno usual e I 0 O J uma base ortonormal temos x 1 v e ex v e2 230 ÁLGEBRA LINEAR Figura 832 84 PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÀO DE GRAMSCHMIDT A partir de uma base qualquer de um espaço vetorial existe um processo para se obter uma base ortonormal Inicialmente vamos dar uma descrição deste pro cesso de ortonormalização para uma base 3 vi v2 Seja v v1 Precisamos encontrar a partir de v2 um novo vetor v2 or togonal a v isto é v v O Para isto tomamos v V2 cv onde c é o o um número escolhido de modo que v2 v1 Isto e v2 cvt Vt v2 v Isto stgmfica que c Ficamos então com Vt Vt I I I I I I I I I I I I Ar CVt vl I I I I I I I Figura 841 Observe que v foi obtido de v2 subtraindose deste a projeção do vetor v2 na direção de v1 Produto Interno 231 v2 v v v e que v e v são vetores ortogonais não nulos Podemos então normalizálos vi v u1 ITVil e u 11v11 obtendo uma base J ui u2 que é ortonormal Como você pode afirmar que u1 e u2 são LI Veja 815 841 Exemplo Exemplo 1 Seja 2 I I I J uma base do R2 Vamos obter a partir de J uma base ortonormal em relação ao produto interno usual Sejam v1 2 1 c v2 1 1 v v 2 1 V2 v 2 CV1 Como já vimos a condição de que v seja ortogonal implica que e portanto Normalizando estes vetores obtemos v 2 1 u llv 11 Vs Vs e u l 2 l 2 l 2 l 2 l L 1 2 llvll Vs Ts Então u 1 u2 é uma base ortonormal O procedimento de ortogonalização de dois vetores pode ser generalizado para uma base J v 1 vJ Tomemos como no caso anterior Então v é ortogonal a v Vamos procurar agora um vetor v que seja ortogonal ao mesmo tempo a v e v Por analogia ao caso anterior vamos estabelecer que v v3 mv2 kv e determinar os valores de m e k tais que v v2 O e v v2 O Desenvolvendo estas duas condições obtemos 232 ÁLGEBRA LINEAR v v O C v3 mv kvi v O C v 3 v1 mv v kv v O Assim como ví v O temos v ví O se e somente se k v3 v v v1 Da mesma forma v ví O se e somente se v 3 vl m v v2 E portanto v3 ví v3 v v V3 Vz V1 v2 v2 vv1 Observe que k e m são os coeficientes de Fourier de v3 com relação a v e a v respectivamente ou seja v3 é obtido de v3 subtraindose suas projeções sobre V 1 1 e v Procedendo de maneira análoga obtemos os vetores V4 Vn Assim a partir de uma base f3 v1 vn de um espaço vetonal V construímos a base ortogonal v v dada por VI Vt v v2 vt Vz VI v v v v 3 ví v3 v VJ Vz I VI v2 Vz VI VI v Vn Este procedimento é conhecido como processo de ortogonalização de GramSchmidt Se quisermos agora obter uma base ortonormal basta normalizarmos os vetores vj Isto é tomando u L obtemos a base u 1 u2 un de vetores ortonormais 11v11 Jxempo 2 Seja l I I O 2 1 0 O I uma base de R Vamos obter a partir de tl uma base ortonormal em relação ao produto usual Sejam v I I 1 v2 O 2 1 v3 0 O 1 Produto Interno 233 v v 1 l 1 1 v v v vl vl O I 0 2 I I I I I vi VI I I 1 1 I I I 1 3 0 2 I 3 I 1 1 1 I O 001110 O O 1 I 1 0 I I 0 1 I O 0 O 1 I I I 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 O O I O 3 1 I I 1 I 2 333 Então os vetores normalizados são UI 11v 11 1 I I 333 u v 1gj1 Ao v 6h2 u 3 11v311 e tlr u 1 u2 u3 é uma base ortonormal Observe no exemplo que dos vetores originais da base 3 o único que foi preservado pelo menos em sua direção foi o vetor v1 a partir do qual foi ini ciado o processo de ortogonalização Vale a pena notar que partindo da mesma base 3 v1 v2 v3 poderemos obter uma outra base ortogonal t iniciando por exemplo o processo de ortogonaiização a partir de v3v v3 O O I Neste caso os cálculos seriam simplificados pois v3 já é um vetor unitário Obteremos assim 3rr w 1 w2 w 3 Londe o vetor cuja direção é preservada é v3 e não mais v1 Exemplo 3 Seja I 0 0 I a base canônica de R2 Vamos obter a partir de 3 uma base ortonormal em relação ao produto interno de R2 defi nido por x 1 yi x2 y 2x1x2 X1Y2 x 2y 1 y 1y Sejam v1 1 O e v2 O 1 v v1 I 0 234 ÁLGEBRA LINEAR O 1 O I 1 O I O O 1 1010 Normalizando estes vetores obtemos Assim u 1 u2 é uma base ortonormal em relação ao produto interno definido acima Observe que a base inicial 3 é uma base ortonormal em relação ao produto interno usual de R2 mas não em relação ao produto aqui definido 85 COMPLEMENTO ORTOGONAL Consideremos um espaço vetorial V munido de um produto interno e um subconjunto não vazio S de V S não é necessariamente um subespaço Con sideremos então o subconjunto de V sl v E V v é ortogonal a todos os vetores de S Valem os seguintes resultados com relação a S i sl é subespaço de v mesmo que s não o seja De fato se v1 e v2 pertencem a s1 e w é um vetor qualquer de S en tao v1 1 w e v2 1 w e de 814 iv v1 v2 1 w ou seja vi v2 E si Analogamente usando 814 v v 1 w para qualquer À E R ii Se S é subespaço de V então V SGJ S1 veja 435 e sl é chamado complemento ortogonal de S Para mostrar isto basta tomar uma base ortogonal de S v1 v2 Vk veja 84 estendêla a uma base de V v 1 vkwkI wn e aplicar o processo de GramSclunidt observando que vi vk não mudam no processo Obtémse assim uma base ortonormal de V v 1 vk Vk 1 Vn Note que Vk I Vnl é uma base de s1 verifique Assim Produto Interno 235 86 ESPAÇOS VETORIAIS COMPLEXOS PRODUTO INTERNO No Capítulo 4 quando ntroduzimos espaços vetoriais reais comentamos que se os escalares fossem numeros complexos C teríamos um espaço vetorial complexo O que queremos nesta secção é ressaltar um fato importante que ocorre com o produto interno num espaço vetorial complexo Observe o que ocorreria se tivéssemos V um espaço vetorial sobre C mu nid de um produto interno segundo a definição 811 e quiséssemos dado v nao nulo em V calcular o produto w w onde w iv Então por um lado pela condição i de 811 temos w w O Por outro lado w w i i v iv i v iiv v i 2 v v I v v O pois v v O Entao w w deve ser ao mesmo tempo maior que O e menor que O o que é absurdo lsto quer dizer que as duas condições i v v O para todo v e iv v w w v para quaisquer v w são incompatíveis quando estamos tra balhando com espaços vetoriais complexos Sendo assim precisamos de uma nova definição 861 Definição Seja V um espaço vetorial complexo Um produto inter no sobre V é uma aplicação VXV C u v u v que satisfaz as seguintes condições i v v O para todo v E V e v v O se e somente se v O ii au v au v para todo a E C e u v E V iii u 1 u2 v u 1 v u2 v para todo u1 u2 v E V iv u v v u para todo u v E V Observe que a condição iv foi mudada em relação ao produto interno definido sobre R Ela nos diz que u v é o conjugado de v u Exemplo Sejam V C3 v1 v2 E V com vi x 1 x2 x 3 e v2 y 1 y 2 y 3 A expressão v v2 xiYt x2Y2 X3ji3 define um produto interno em C3 Verifiquemos a condição iv v2 vt Yix Y2X2 y3x3 YIX Y2X2 y3X3 yx Y2X2 53X3 xYt x2Y2 x3Y3 v V2 Um exemplo importante de espaço vetorial complexo é dado pelo con junto das soluções de um sistema de equações diferenciais lineares Ele será apresentado no Capítulo 12 236 ÁLGEBRA LINEAR Do mesmo modo que definimos os conceitos fundamentais norma dis tância ortogonalidade etc num espaço vetorial real com um produto interno podemos definilos num espaço vetorial complexo Por exemplo a norma de um vetor v x 1 x 2 x 3 E C3 em relação ao produto interno dado no exem plo anterior é li vil v x 1x 1 x 2x 2 x 3x 3 V lx 1 i lx2 12 lxl Não vamos tratar mais detalhadamente sobre este assunto porque neste livro estamos mais interessados em espaços vetoriais reais 87 PRODUTO INTERNO E ESTATfSTICA Urna situação que aparece freqüentemente na análise de experimentos é a se guinte verificase que o fenômeno estudado tem n possibilidades distintas S 1 S2 Sn de se manifestar cada uma delas com probabilidades p 1 p Pn respectivamente O conjuntoS S1 Snl é chamado espaço amostrai e o vetor p p Pn é chamado vetor de probabilidades Por exemplo no lançamento de uma moeda podemos considerar S cara coroa e p l2 12 no lançamento simultâneo de duas moedas S cara cara coroa coroa cara coroa e p 14 14 12 num grupo de 3 pessoas podemos considerar S pessoa 1 pessoa 2 pessoa 3 e p 13 13 13 se cada uma delas tiver a mesma probabilidade de ser escolhi da ao acaso Se em um espaço amostrai S S1 Sn com respectivo vetor de pro babilidade p p1 Pn associarmos a cada elemento Si do espaço amos tra um valor X1 teremos o vetor X X1 Xn que chamaremos de variá vel aleatória Vejamos alguns exemplos 871 Exemplos txemplo 1 Se duas pessoas A e B fazem a seguinte aposta lançam uma moeda e se der cara A ganhará 1 O fichas e se der coroa B ganhará 10 fi chas Então teremos S cara coroa p 12 12 a variável aleatória do ponto de vista de A será X 10 10 e a variável aleatória do ponto de vista de B será Y 10 10 txemplo 2 Num grupo de três pessoas A B C que pesam 70 kg 80 kg e 50 kg respectivamente podemos considerar S A B C p 13 13 13 e a variável aleatória X 70 80 50 Produto Interno 23 7 Exemplo 3 À situação escr1t E a no xemplo de 81 3 podemos assoc1ar o espaço amostra S cara cara b bTd d coroa coroa cara coroa o vetor de Pdo a 11 a es P 04 l4 12 e as variáveis aleatórias X lO 7 9 que a a aposta de A e Y 10 7 9 que d d B a a aposta e Dado um espaço amostra S I s p 1 S o vetor de probabilidades P 1 Pn e uma vanavel aleatória X X X d d I d d X 1 n enommamos e va o r me w e ou valor esperado ao número X pX pX PnXn de variança de X ao número VX p 1 X X 2 PnXn e de desvio padrão de X ao número DX V VX A ligação destes conceitos com o conceito de produto interno é estabele Ctda da segmte forma nas condições anteriores consideremos em Rn te produto Interno o seguin x Xn y Yn pxy PnXnYn Temos então que em relação a este produto interno X X 1 I VX X Xl 1 X X I 1 DX IIX X 111 Você pode verificar tranqüilamente estas igualdades 8 72 Exemplos Exemplo 1 O produto interno associado é 1 1 x y x 2 y 2 2xx 2 ly 1y 2 1 I Entao X 10 10 I 2 lO 1 2 10 1 o e DX 1110 10 01 111 1110 1011 Vl2102 1210 10 Faça 0 mesmo para a variável aleatória Y Exemplo 2 O produto interno é 238 ÁLGEBRA LINEAR 1 1 1 EntãoX7080501 1 1 3 70 1 3 80 1 3 501 2 0 isto é o valor médio da função aleatória peso o peso médio é 2003 e o desvio padrão é DX 1170 80 50 1 1 111 11103 403 50311 J 131032 134032 13503 2 1 vi4 Exemplo 3 O produto interno é 1 x1 y 1 z x 2 y z2 4x1x2 I I 1 1 EntaoXlO 7 9 1 1 1 10 1 7 191 4 4 2 4 I 41 29 35 DX 1110 7 9 4 1 I 111 11 4 4 4lll 153 Compare com o Exemplo de 813 Consideremos agora uma situação em que a um dado fenômeno associa mos o espaço amostraiS S1 Sn o vetor probabilidade p p1 Pnl e dois aspectos do fenômeno são representados por duas variáveis aleatórias X X1 Xnl e Y Y1 Ynl Estamos interessados em descobrir qual é a relação entre X e Y Sejam X e Y os valores médios correspondentes a X e Y Considerando os vetores X Xl 1 X X Xn X e Y Yl 1 Y1 Y Yn l Vejamos o que acontece se existir um número À tal que Y Y Yn l XX1 X Xn X Neste caso podemos concluir que se X mudar Y mudará proporcionalmente ou seja chegaremos à conclusão que os aspectos X e Y estudados estão forte mente relacionados Mas a existência deste número À é equivalente à condição de que os vetores tenham a mesma direção ou seja o ângulo J entre eles é O ou rr e portanto cos J 1 ou 1 Assim chegamos à conclusão que o valor do coseno do ângulo entre os vetores X Xl 1 e Y Yl I é uma medida da relação entre X e Y A este valor os estatísticos chamam de coeficiente de correlação linear entre Produto Interno 239 X e Y e denotamse por rX Y Aplicando a fórmula do coseno do ângulo entre dois vetores temos X Xl rX Y l Y Yl 1 IIXXl lIIIIY Yl 111 Observamos q o produto interno indicado é aquele montado a partir do ve tor de probab1hdades e que quanto mais próximo rX Y estiver de 1 ou I mais podemos d1zer que X e Y estão correlacionados linearmente Exemplo 4 Consideremos um grupo de 1 O alunos d a1 h o qu con ecemos as notas de Matematica e Física dadas pela tabela abaixo Aluno I 2 3 4 5 6 7 8 9 lO Matemática 2 8 5 7 7 5 3 I 9 9 o z Física I 9 7 2 7 4 6 3 9 7 ueremos saber qual é a correlação entre os resultados nas duas matérias Para Isto consideremos como espaço amostrai o conjunto dos alunos numerados de I a 10 S 1 2 10 Como a probabilidade de se considerar as notas de qualquer aluno é igual o vetor probabilidade é então p totoa variável aleatória que dá as notas de Matemática é X 2 8 5 7 7 5 3 1 9 9 e a qlle dá as nots de Física é Y 19 72 74639 7J Calul do temos X 56 e Y 55 X1 1 36 24 06 46 34 34 Y Yl 1 45 35 15 25 35 15 XXl 1 Y Yl 149 li X X 1 1112 7 4 e IIY Y 1 111 2 7 2 e o coeficiente de correlação é rX Y 067 88 O AJUSTE DE CURVAS E O MÉTODO DOS MfNIMOS QUADRADOS Considremos a experiência na qual se utilizou o circuito abaixo para determmar o valor da resistência R de um resisto r 240 ÁLGEBRA LINEAR amperfmetro bateria R Feitas as medidas de corrente para vários valores de voltagem os dados foram tabelados i corrente Ampere 003 006 010 016 V voltagem Volts 100 180 320 400 e a seguir colocados em um gráfico v 40 I 32 I I I I I I I 18 I I I I I 10 I I I I I I I 003 006 010 016 A partir destes dados se quisermos obter a relação entre corrente e voltagem inclusive para pontos intermediários ou exteriores aos tabelados deveremos propor uma curva uma função que se ajuste aos pontos tabelados A proposta de tal função deverá levar em consideração que i Qualquer medida contém um erro inerente ao aparelho de medição falh do operador etc li Pode já existir algum argumento teórico ou de bom senso que nos indique qual deve ser o aspecto analítico da função O item i nos mostra que exigir que a curva procurada passe por todos os pontos não é somente desnecessário mas provavelmente errado enquanto que o item ii nos mostra que deveremos ter alguma argumentação convin cente para fazer previsões Juntos estes itens mostram que entre todas as funções com um determinado aspecto analítico deveremos procurar aquela que em um certo sentido melhor se ajuste aos pontos da tabela Na experiência que estamos considerando por exemplo existe uma fundamentação Produto Interno 241 teórica que relaciona a corrente com a voltagem v R i isto é o gráfico de V e função de i deve ser uma reta passando pela origm e com certa mclmaao R que mede a rsistência Devemos portanto estabelecer um mecamsmo que forneça o melhor ajuste aos dados de que dispomos Como fazer isto Uma idéia é a de que a reta procurada deve ser tal que torne pequenos os desvios isto é a diferença entre 0 valor dado na tabela e 0 alo dad pela reta em cada um dos pontos da tabela Mas como garantir Isto O metodo que escolheremos será exposto na secção seguinte 40 32 18 10 v 003 006 010 016 881 O Método dos Mlnimos Quadrados reta a ser procurada Observemos inicialmente que se temos funções tabeladas de forma que os valores da variável independente x 1 x 2 Xn são sempre os mesmos cada uma dessas funções pode ser considerada como um vetor de um spaço vetorial ondas funções definidas nos pontos x 1 x 2 x Tal espaço e ISomorfo ao R veja 53 12 e nele é que trabalharemos Vamos generalizar um pouco a situação da introdução para podermos utilizar a linguagem da Álgebra Linear é resolver o problema Suponhamos que conhecemos o aspecto analítico de duas funções g 1 x e Kzx e que queremos aproximar uma dada função fx por uma combinação linear de g1 x e g 2x isto é quereMos achar coeficientes c e c2 trus que a função gx c1gx Czg2x seja uma boa aproximação para fx Por exemplo se g 1x 1 e Kzx x estaremos aproximando jx por uma função afim gx c c2x se gx senx e g2 x cosx estaremos aproximando por gx c 1 sen x c2 cos x etc 242 ÁLGEBRA LINEAR Vamos introduzir agora uma noção de distância entre funções Para isto lembramos que se tivermos um produto interno num espaço vetorial podemos construir uma noção de distância entre dois elementos v1 e V2 como a norma da diferença entre eles distância entre v e v llv vll vv v v v Definimos então o seguinte produto interno verifique se realmente é um no espaço vetorial definido no início da secção n L f 1 x f 2x j 1 Com relação a tal produto interno a distância entre duas funções é dada pela expressão n 883 llf 11 L 1 x f x 2 i 1 Observe que a expressão dentro do radical é exatamente a soma dos quadrados dos desvios que existem entre f 1x e f 2 x em cada ponto x da tabela Lembrando que se sabemos que a soma de certos números positivos é pequena então podemos concluir que cada um desses números é pequeno teremos a chave para descobrir os coeficientes c 1 e c2 devemos calcular a distância entre fx e gx c1g1x c2g2x a qual evidentemente será função de c 1 e c2 e então minimizála seguindo os procedimentos normais de minimização de funções de várias variáveis consulte Leithold L O Cálculo com Geometria Analítica Edit Harper Row SP 1977 Seguindo este caminho teremos a distância entre fx e gx dada por Achando o ponto c1 c2 que minimiza tal função isto é achamos os pontos an an cnt1cos O e O etc teremos que os valores c1 e c que acl uCz fornecem a função gx c1g1 x c2g2 x que melhor aproxima fx devem satisfazer o sistema linear Produto Interno 243 t gxgx c tl gxgx c t gxfx t gxgx c i gxgx c J1 11 n L g2 xfx il ou lembrando a definição do produto interno 882 884 g g c g g c g f g g c gg c gf Como conhecemos a expressão de g1x e g2x os valores de fx nos pontos x da tabela e os produtos internos só dependem dos valores das funções nestes pontos podemos resolver o sistema e obter os valores de c 1 e c Este procedimento é chamado o método dos mnimos quadrados para ajuste de curvas Exemplo Ajustar uma função do tipo gx a bx aos pontos da tabela X 0 2 fx 11 01 31 Temos gx a 1 b x 2 ou seja g1x 1 e g2x x 2 Então g1g1 1 1 I 1 1 1 3 gggg 1 o 1 1 1 22 5 g g o o 12 1 2 2 11 Daí gf 1 11 1 01 1 3 119 gf 02 111 2 0122 31123 3a Sb 1 9 5a17b123 Resolvendo temos a 112 e b 105 Portanto entre as funções do tipo a bx 2 a que melhor se ajusta aos dados da tabela é 0912 0927x 2 Trace os gráficos Podemos interpretar intuitivamente a fórmula 883 na verdade a argumentação a seguir pode ser demonstrada rigorosamente Observe a Figura 881 onde f representa a função tabelada g 1 e g2 as funções cujo aspecto analítico conhecemos e o plano representa o subespaço 244 ÁLGEBRA LINEAR gerado por g1 e g2 A função g c1g1 c2g2 procurada é o ponto do plano que está à menor distáncia de f i f Figura 881 Intuitivamente sabese que tal ponto é o pé da perpendicular ao plano isto pode ser provado rigorosamente Portanto o vetor f g é perpendicular a g 1 e g2 que estão no plano Devemos ter então o gg c g g c g g g o g g c g g c g g g r que são exatamente as relações de 883 Toda a argumentação anterior pode ser facilmente repetida no caso de termos um número k k I 2 3 de funções gx ao invés de apenas duas Formalmente 885 Se quisermos achar coeficientes c 1 c2 Ck tais que a função gx c1g 1x c2g2 x CkKkx é aquela que melhor aproxima uma função tabelada fx no sentido do método dos minimos quadrados tais coeficientes satisfazem o sistema linear a1c 1 a12c2 akck OktCt Ok2C2 OkkCk bk onde ai g Ki b g f e é o produto interno dado por 882 Produto Interno 245 886 Exemplos Exemplo 1 Vamos resolver o problema do início da secção Nesse problema a corrente i faz o papel de x k I e g 1i i Segundo o resultado de 885 R deve satisfazer Como Portanto V g1 R g1 g1 g g 0032 0062 0102 0162 00401 v g 10 003 18 00632 01040 016 1098 1098 R 0 0401 27381 ohms Exemplo 2 Sabendo que a população de uma certa localidade variou com o tempo segundo a tabela Ano 1940 1950 1960 1970 População X 104 10 15 18 20 aproximando os pontos da tabela por uma função do tipo 1 tempo gl a bl c12 qual será a população em 1990 No contexto de 885 teremos k 3 g 11 I g2 t 1 g31 12 Além disso para os números se tomarem menores identificaremos t 4 com 1940 I 5 com 1950 etc Dessa forma 1990 será representado com t 9 Então g1 g 1 a g1 g2 b g1 g3 c g1 f g2 g1 a g2 g2 b g2 g 3 c g2 g3 g 1 a g 3 g2 b g 3 g3 c g3 f onde gg 4 gg gg 22 gg 126 gg gg 26gggg748 gg 4578 gf 63 g 363 g 2163 Substituindo e resolvendo o sistema temos a 2415 b 1155 e c 0075 Assim gl 2415 11551 00751 2 e a população prevista para 1990 será dada por g9 1905 ou seja 1905 104 19050 pessoas Uma vez entendido o ponto de vista técnico vamos discutir a confiabi lidade dos resultados obtidos Em particular você confia no resultado do último exemplo Por que foi proposta uma função do tipo gt a bt ct para aproximar a tabela e não outra A resposta a esta questão é dada no item ii discutido no início da secção isto é devemos ter alguma funda 246 ÁLGEBRA LINEAR mentação teórica sobre o fenômeno que estamos estudando no caso nâmica populacional para então propor o tipo de função Na verdade a funçao quadrática proposta no exemplo não satisfaz a este requisito ela fm proposta apenas para exercitar a técnica Um tipo de função que descreve um puco melhor a dinâmica ftopulacional apesar de não levar em conta uma séne de fatores é gt a e 1 com a e b a serem determinados Vamos refazer problema nesta nova condição lembrandonos que nos problemas de prevtsao a não confiabilidade dos resultados não é devida a Matemática mas sim a quem propôs o modelo teórico Exemplo 3 No exemplo anterior prever a população aproximando os pontos da tabela utilizando uma função do tipo gt aeb1 Notamos que na forma como foi apresentado o problema nao poderemos usar diretamente 885 pois a função gt proposta par aprmumar não é uma combiUição linear de funções conhecidas Vamos colocala noutra forma Utilizando o símbolo para aproximadamente observamos que o problema original é achar a e b tais que ft a ebt Aplicando o logaritmo neperiano a ambos os membros temos Ft inft In a bt Chamando c 1 In a c2 b g1 t I e g2 t t temos lnft c 1g 1t c2g2t Isto é o problema fica no contexto de 885 se aproximarmos não a tabela original mas a tabela modificada Ano t 4 1940 t 5 1950 t 6 1960 t 7 1970 F r In ft 00 0405 0588 0693 Assim Kto g 1 4 g 1 g 2 g 2 g 1 22 gz g 2 126 g 1 F 1686 g2 F 10404 Temos então o sistema 4c 1 22c2 1686 22c 1 126c2 10404 que resolvido fornece c1 0226 c2 0822 Donde a é 0439 e b c 0226 Assim gt 0439e0226t e g9 3356 A população prevtsta será de cerca de 3356 104 33 560 pessoas Produto Interno 24 7 Compare este resultado com o do Exemplo anterior Qual deles vocé acha melhor Por quê Em geral sempre que temos uma proposta para aproximarmos uma tabela por uma função não linear fazemos certas modificações para obter uma situação linear e então usamos 885 Uma palavra final deve ser dada com relação à nomenclatura Os estatísticos ao utilizarem o método dos mínimos quadrados chamamno de análise de regressão Assim fazer regressão linear quadrática ou exponencial significa aproximar os dados de uma tabela por uma função do tipo a bx a bx ex 2 ou a ebx res pectivamente utilizando o método dos mínimos quadrados 885 89 EXERCCJOS I Comprove que as funções definidas nos exemplos do parágrafo 81 são pro dutos internos 2 Seja V R 2 Sejam v x 1 yd e v2 x 2 y 2 Se fv1 v2 2xtx2 X1Y2 X2Y1 Y1Y2 mostre que f é um produto interno 3 Mostre a desigualdade triangular Veja 832 iv Sugestão llv wll 2 v w v w desenvolva e use a desigualdade de Schwarz 832 iii 4 Seja p 2 2 Use o processo de GramSchmidt para achar uma base ortonormal 13 de R2 em relação ao produto interno usual 5 Seja p I 0 1 O O 2 O Ache uma base ortonormal p de R3 em relação ao produto interno usual 6 Seja p 1 1 Ache uma base ortonormal p de R2 em relação ao produto interno definido no Exercício 2 7 Determine uma base ortonormal em relação ao produto interno canônico para o seguinte subespaço de R3 V x y z E R3 x y z 0 8 Seja W C R3 o subespaço gerado por I O I e I I 0 a Considere wl em relação ao produto interno canônico Encontre uma base para wl b A mesma pergunta anterior se wl é considerado em relação ao produto 0 0 2x I I I interno xyz xyz X Yy zz Biblioteca de C1é0cía Tecnr 248 ÁLGEBRA LINEAR 9 SejaTR3 R3 dadaporTxyzzxyzesejaWkerT a Encontre uma base ortonormal para wlem relação ao produto interno canônico de R3 b O mesmo em relação ao produto interno x y z x y z bc x y y 4z z 10 Considere o subespaço W de R 3 gerado por v1 1 O O v2 0 I 1 e v3 1 I Sendo o produto interno canônico a Ache W1 b Exiba uma transformação linear T R3 R3 tal que Im1 W e ker1 wl 11 Considere em R3 o produto interno x y z x y z x x 5y y 2z z a Verifique se realmente é um produto interno b A partir da base 1 O 0 0 I 0 0 O I ache uma base orlo normal 12 Seja P2 o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a dois Definimos em P 2 g J ft gtdt Considere W o subespaço de P2 gerado pelos vetores pt I e qt I t a g é um produto interno b Se a resposta de a for afirmativa determine uma base ortogonal para W 13 Seja V R3 e S O 1 1 I 0 2 I a Encontre S1 b Encontre uma base ortogonal para S e S1 c Se S fosse 1 O 1 1 I O 2 I 1 qual seria S1 Neste caso en contre uma base ortogonal para s e sl 14 Seja A ailn x n uma matriz quadrada Definimos o traço de A TrA n por aü i 1 a Calcule Tr 2 51 3 b TrA B TrB A c TrA TrA d TrA TrAW e TrA B TrA TrB 15 Sejam A e B matrizes de M2 2 Definese A B TrB A a Verifique que A B é um produto interno Produto Interno 249 b Exiba ma iase ortonormal segundo este produto interno a partir da base I I I O I I 01001111 16 Um corpo é deslocado em linha reta do ponto 1 3 até 0 ponto 5 2 por uma força constante F 3 2 Qual é o trabalho realizado 17 Podemos definir uma distância entre dois pontos p x y e Q x2 y do plano por dP Q lx2 x 1 1 ly y 1 1 veja a Figura 891 Venfique se a aplicação dada por xyJ x 2 y dP Q define um produto interno no plano Figura 891 fp I I I I I I I I L Q lx2xtl 18 Uma partícula percorre a trajetória OABO onde O A e B são os pontos O O 0 I O e O I I respectivamente a unidade de comprimento é o metro com velocidade constante de I mseg Se um campo elétrico induz uma força na partícula dada por 1 111 se Otl 111 se lt2 f 111 se 213 111 se 3t4 1 1 1 se t 4 calcule o trabalho realizado para percorrer esta trajetória uma vez 19 Em relação ao produto interno do Exemplo de 832 calcule x de modo que o ângulo entre e tenha uma medida de 90 250 ÁLGEBRA LINEAR 20 Duas pessoas A e B fazem a seguinte aposta A joga uma moeda até que apalça cara Se ela ocorrer na primeira jogada B pagará l ficha se não aparecer cara na primeira e sim na segunda jogada B pagará 2 fichas se ocorrer cara pela primeira vez no terceiro lance B pagará 4 fichas etc Em geral se os primeiros n lances forem coroas e o n lésimo lance for cara B pagará 2n fichas onde n 5 supondose que 5 seja o limite má ximo de lances Se todos os cinco lances forem coroa B pagará 50 fichas Antes de começar A paga a B 5 fichas Quem levará vantagem neste jogo Quanto A deveria pagar a B no início do jogo para tomálo justo 21 Dez pares de observações foram feitas das variáveis X e Y resultando no gráfico abaixo 70 60 50 40 30 20 10 X Figura 892 2 3 4 5 6 a Qual é a correlação entre as duas variáveis b Se as unidades do eixox fossem 10 20 etc qual seria a correlação 22 A tabela seguinte lista o número de acidentes em veículos motorizados na Grande São Paulo em alguns anos entre 1960 e 1978 Ano Total de acidentes Acidentes por 10 000 veículos 1960 16 600 1988 1965 19 800 1587 1970 20 800 1429 1975 26400 1693 1976 27 200 1718 1977 27 400 1697 1978 29 200 1746 Produto Interno 251 a Cmpute a regressão linear de acidentes no tempo Usea para prever 0 numero de actdentes em 1980 Isto recebe 0 nome de análise de série temporal ie regressão no tempo para prognóstico futuro b Compute a regressão quadrática do número de acidentes por 10 000 veí culos no tempo Use esta nova regressão para prognosticar 0 número de acidentes em 1980 c Compe estes resultados Em qual você está propenso a acreditar e por que Sugestão utilize os resultados de 88 23 Os dados abaixo representam a produção de soja durante vários anos em wn determinado terreno Ano Produção toneladas 1969 962 1970 920 1971 901 1972 890 1973 868 1974 826 Utilizand eus conhecimentos teóricos experimentais e bom senso faça uma previSao da produção em 1980 Supondose que a produção é economicamente inviável se for inferior a 66 o toneladas anuais a partir de que ano deveremos mudar a espécie plantada Faça uma crítica da sua proposta Sugestão utilize os resultados de 88 891 Respostas 5 I I I 1 1 I 1 1 VT v2 O v6 v6 vb v3 V3 y3l 6 1 1 O I 10 a W1 é formado pelos vetores ortogonais a todos os vetores de W Para saber se um vetor está em wl é suficiente porém que ele seja ortogonal aos vetores de uma base de W por quê Achamos então uma base de W obtendo W 1000 I i 252 ÁLGEBRA LINEAR Portanto wl X y z I x y z I O O O e x y z 0 I I O Mas xyzlOO x O xyzOII yz O Assim wl x y z I x O e y z 0 z z z E R z 01 1 zER O 1 I b Para que ker T wl devemos ter TO I I 0 O 0 Por outro lado para que Im T W cada um dos vetores 1 O O e 0 I I deve ser imagem Observando que 0 1 1 1 O 0 0 I I formam uma base de R3 por quê e que uma transformação linear fica determi nada pelo o que ele faz numa base podemos escolher T tal que T011 OOOTIOO lOOeTOII 011 A seguir achamos a expressão de Tx y z 13 a s1 1 I IJ b S não é subespaço c s 1 o 1 1 2 1 e s1 1 I I 14 a 7 b sim 15 16 T 16 18 T lO 7 2 19x15 c sim 20 B leva vantagem 369 fichas 21 OB2 Leituras Sugeridas e Referências d não e não 1 Hoffman K e Kunzc R Álgebra Linear Editora Polígono São Paulo 1971 2Kemcny J Snell J e Thompson G Jntroduction to Finite Mathematics Prentice Hall Fnglewood Cliffs 1957 3Tctra Álgebra Unea Harla México DF1976 4Leithold L O Cálculo com Geometria Anatica HARBRA São Paulo 1977 TIPOS ESPECIAIS DE OPERADORES LINEARES 91 INTRODUÇÃO Neste capítulo vamos estudar dois tipos especiais de operadores Tais operado res são importantes não apenas pelas propriedades interessantes que eles possu em mas também por serem os que mais aparecem em aplicações práticas e assim sendo merecem um estudo um pouco mais apurado Os operadores auto adjuntos aparecem naturalmente em problemas que envolvam simetria e em outras situações como em Mecânica Quântica onde estão normalmente associa dos a considerações sobre energia do sistema Outro tipo de operadores os or togonais aparecem na Dinâmica de Corpos Rígidos ligados a problemas de ro tação e translação No Capitulo 1 O você verá o uso desses operadores no estu do de cônicas e quádricas Iniciamos o estudo desses operadores fazendo algumas observações A primeira delas diz que ao trabalharmos com base ortonormal o produ to interno poderá ser expresso numa forma canônica teorema 911 As outras versarão sobre propriedades de certos tipos especiais de matrizes que caracterizarão os operadores a serem estudados 254 ÁLGEBRA LINEAR 91 1 Teorema Sejam V um espaço vetorial real com produto interno e O u1 Un base ortonormal de V Então se v e w são vetores de V com Em outras palavras ao trabalharmos com uma base ortonormal para efe tuar o produto interno de dois vetores basta multiplicar as coordenadas corres pondentes e somar Prom v x 1 u1 x 2u 2 XnUn e WYtllt y2u2 ynUn u w xt llt XnUn Y1 llt YnUn Xtlli XnllnYtlltxtul x 1 u 1 XnUn YnUn n u u1 L xY u u2 i 1 f f xY u u i I i d o se 1 se i i i j os únicos termos não nulos são aqueles onde i j Logo u w XtYI X2Y1 XnYn n 2 x 1yn u un i 1 A seguir introduziremos as matrizes que estarão associadas aos operadores a serem estudados 912 Definição Seja A uma matriz n x n real e A sua transposta a Se A A dizemos que A é uma matriz simétrica b Se A A A A I ou seja a inversa de A é A dizemos que A é uma matriz ortogonal No Capítulo 1 já vimos exemplos de matrizes simétricas Quanto à se gunda definição as matrizes ortogonais determinam um subconjunto das matri Tipos Especiais de Operadores Lineares 2SS zes inversíveis Efetivamente a relação entre matrizes simétricas inversíveis e ortogonais é indicada pela figura abaixo Figura 911 M matrizes MI matrizes inversíveis MO matrizes ortogonais MS matrizes simétricas Como exemplos de matrizes ortogonais temos Exemplo cosO sen 8 cos e sen 8 o sen cos 8 o Para verificar isto basta multiplicar cada uma pela sua transposta obtendo assim a matriz identidade Calculando temos no primeiro caso cos e sen 8 sen 8 J cos cos o sen e sen J cos cos2 sen2 O O sen 2 O cos2 Observe que a transformação associada à primeira matriz é uma rotação Veja 524 Consideremos agora três propriedades das matrizes ortogonais 913 Teorema Seja A uma matriz ortogonal Então detA 1 Prova Como A é ortogonal A A I Então det A A det I e det A det A Mas det A det A Assim det A 2 1 ou seja det A 1 256 ÁLGEBRA LINEAR 914 Teorema Uma matriz é ortogonal se e somente se as colunas ou as linhas são vetores ortonormais Prova Seja ar 1 A ar an an anl an2 ann Na primeira parte da prova queremos mostrar que se A é ortogonal isto im plica que são ortonormais o mesmo vale para as linhas Para isto façamos o produto de A pela sua transposta pois A A I Observamos que ai 1 a 1 I Mas isto quer dizer que 011 é unitário lani Da mesma forma percorrendo a diagonal principal vemos que cada vetorco luna da matriz A é unitário O que encontramos saindo desta diagonal O elemento na posição i j i Fj é a 1a 1i Gmtlnj e seu valor deve ser zero Mas isto diz que o produto interno de ar por 011 é nulo ou seja os Onz anJ Tipos Especiais de Operadores Lineares 257 vetorescoluna são dois a dois ortogonais quando i 1 j Está terminada então a primeira parte da prova Ainda falta provar que se os vetorescoluna linha de uma matriz forem ortonormais a matriz será ortogonal Vamos deixar esta prova para você já que ela é apenas uma adapta ção da prova dada acima Veja o Exercício 4 da secção 94 Apresentaremos agora uma situação onde as matrizes ortogonais ocorrem naturalmente Exemplo Seja V R 2 e a 1 O O I e cose senO sen cos O bases ortonormais Calculemos a matriz de mudança de base Veja 47 Como é uma base ortonormal podemos encontrar as coor denadas dos elementos da base a em relação a 3 por meio dos coeficientes de Fourier I O cos O sen 0 1 O cose sen e cose senO cosO senO O sen O c os 0 e e sen cos scn O c os 0 sen O c os e cosO cosO senO scn O scn O cosO Analogamente 0 I sen e cos e scn O cos O sen O cos O Assim cos e sen O sen e cos Observe que esta matriz é ortogonal veja o Exemplo de 912 Tal resultado vale em geral 915 Teorema Se V é um espaço vetorial com produto interno e a e 3 são bases ortonormais de V então a matriz de mudança de base IJ é uma matriz ortogonal ProvaSejam nv1 vn e Wr wn e 258 ÁLGEBRA LINEAR Como 3 é base existem números a tais que Mas o é ortonormal e por isso cada vi é unitário Isto é 1 v v Além disso 3 é ortonormal e assim podemos encontrar v v1 multiplicando as coor denadas Veja 911 Portanto 1 aT a Em outras palavras cada vetorcoluna de U é unitário Mostraremos agora que estes vetores são orto gonais e portanto é ortogonaL Veja 914 Como v e Yj são ortogonais quando i Fj O v v ata1 amani aJ aij ou seja e são ortogonais sempre que i f j am anJ Assim a afirmação de que lp é ortogonal é verdadeira Observamos então que nesta situação I ou seja e ainda mais IJl Isto facilita o processo seguido para se encontrar conhecendo 1l onde e são bases ortonormais é nada mais que a transposta de IlíJ Estamos agora em condições de introduzir os conceitos de operador ortogonal e autoadjunto 92 OPERADORES AUTOADJUNTOS E ORTOGONAIS Agora definiremos os operadores associados às matrizes estudadas em 91 esta beleceremos relações entre estes e o produto interno e descobriremos as parti cularidades de seus autovalores Isto nos permitirá chegar a importantes resul tados sobre diagonalização na próxima secção 921 Definição Seja V um espaço vetorial com produto interno a uma base ortonormal e T V V um operador linear Então Tipos Especiais de Operadores Lineares 259 a T é chamado um operador autoadjunto se Ta é uma matriz simé trica a b T é chamado um operador ortogonal se T é uma matriz ortogonal Os operadores autoadjuntos ou ortogonais estão bem definidos no senti do de que o fato de um operador ser autoadjunto ou ortogonal não depende da base ortonormal escolhida isto é se T for simétrica ou ortogonal numa determinada base ortonormal o então T também será simétrica ou ortogo nal para qualquer outra base ortonormal 3 Mostremos este fato no caso do operador ser autoadjunto O caso ortogonal é demonstrado de maneira simi lar Sejam a e 1 bases ortonormais e suponhamos que T seja simétrica Queremos mostrar que T também é simétrica isto é Tll Tl Observamos que T d t T 11 a a a Também adl ndr pois e são ortonormais Veja 915 Então T IlJ TJ I 11 a a a Tomando a transposta temos T T T T pois e e T é simétrica 922 Exemplos Exemplo 1 Consideremos T R 3 R 3 a rotação de um ângulo 8 em torno do eixoz Podemos expressar T por Tx y z x cos 8 y sen 8 x sen 8 Y cos 8 z Verifique 260 ÁLGEBRA LINEAR z v y X Figura 921 Tomando a base canônica a e calculando a matriz de T nesta base temos cos e T Lse e sen O cos o o Já vimos que esta matriz é ortogonal e portanto T é um operador ortogonal Exemplo 2 Seja T R2 R2 onde Tx y 2x 2y 2x Sy Se a é a base canônica de R 2 a matriz de T é T J uma ma triz simétrica e portanto T é operador autoadjunto Estudemos agora as propriedades destes operadores 923 Teorema Seja V um espaço vetorial com produto interno e T V V linear Então T autoadjunto implica que Tv w v Tw para todo v w E V Prova caso n 2 Sejam o v1 v2 uma base ortonormal v x 1 v1 y 1 v2 e w X2V1 Y2V2 ou v x e w x a y 1 a Yl Como T é autoadjunto T é simétrica oab Sep Ta b c Tipos Especiais de Operadores Lineares 261 Então Tva J J ax 1 by 1 c Tw a bx y 1 a b b X2 c Y2 ax 2 byJ bx 2 cy 2 Assim Tv w ax 1 by 1 x2 bx 1 cyy 2 e v Tw x 1ax 2 by y 1bx 2 cy e portanto Tv w v Tw 924 Teorema Seja T V V autoadjunto e q t 2 autovalores distintos de Te v e v2 os autovetores associados a t e f 2 respectivamente Então v 1 v2 Prova À v v2 À 1 v1 v2 Tv1 v2 v1 Tv2 v1 À2 v2 À2 v1 v2 Então À 1 X2 v1 v2 O Como À1 À2 F O vem que v1 v2 O ou v1 1 v 2 As propriedades dadas a seguir são conseqüências dos resultados anteriores mas são tão importantes que as destacaremos numa secção especial 93 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES AUTOADJUNTOS E CARACTERIZAÇÃO DOS OPERADORES ORTOGONAIS O teorema 924 nos dá uma idéia de que com relação à diagonalização os operadores autoadjuntos comportamse de uma maneira especial Por exemplo se T V V for autoadjunto dim V n e T admitir n autovalores distintos portanto uma base de autovetores então T é diagonalizável e os autovetores são automaticamente dois a dois ortogonais e após a normalização podem ser transformados em ortonormais Isto é T além de ser diagonalizável admite uma base ortonormal de autovetores Tal propriedade continua valendo em ge ral e é característica dos operadores autoadjuntos Temos assim 931 Teorema Seja T V V um operador autoadjunto Então existe uma base ortonormal de autovetores de r Se você está interessado na demonstração desse teorema siga cuidadosa mente as etapas enunciadas nos Exerdcios 10 11 e 12 da secção 94 262 ÁLGEBRA LINEAR 932 Exemplos Exemplo I Seja T R 3 R 3 o operador linear cuja matriz em relação à base canônica é T u l Podemos exibir uma base ortonormal de autovetores para este operador Inici almente observamos que T é um operador autoadjunto pois a base canônica é ortonormal em relação ao produto interno canônico e a matriz é simétrica O teorema 931 garante então a existência de uma base ortonormal de autoveto res Calculando os autovalores e autovetores associados ternos Para tq 2 v1 1 O O para 2 7 v2 0 I I e para À 5 v3 c011 Como estes autovetores provêm de autovalores distintose T é autoadjun to o teorema 924 garante que eles são ortogonais Então I O 00 I 1 0 I 1 é uma base ortogonal de autovetores Basta agora normalizálos para obtermos a base procurada I I 1 O O Vz 0 I 1 y2 O I 1 Exemplo 2 Seja o operador linear T R 3 R3 cuja matriz em relação à base canônica é Exibamos uma base ortonormal de autovetores para este operador Procedendo de modo análogo ao anterior vemos que T é autoadjunto e portanto tal base existe Calculando os autovalores e autovetores associados temos Para X1 O os autovetores são do tipo y y y e o subespaço destes autovetores tem di mensão 1 Para X2 3 os autovetores são do tipo y z y z e o subespaço associado tem dimensão 2 Vamos construir uma base de autovetores escolhendo um autovetor do subespaço associado a X1 O e dois autovetores LI do subespaço associado a 2 3 Suponhamos que v1 1 I 1 tenha sido tomado no primeiro subes paço Como todos os autovetores no segundo são da forma y z y z obser vamos que o produto interno de 1 I I com qualquer da forma y z y z Tipos Especiais de Operado Lineares 263 é O Mas não é garantido que quaisquer dois vetores de y z y z são orto gonais mesmo que sejam LI Por exemplo I 1 O e I o 1 são LJ mas não ortogonais Contudo podemos usar 0 vetor 1 1 O e procurar outro ve tor do tipo y z y z que seja ortogonal a 1 1 O isto é o produto in terno destes deve ser nulo Ou seja y z y 2y z o ou z 2y Um vetor que satisfaça estas relações deve ser do tipo y y 2y Por exem plo 1 I 2 Ficamos assim com a base mada de autovetores dois a dois a base procurada 1 1 1 1 I 0 1 I 2 que é for ortogonais Normalizando estes vetores temos Suponhamos que a seja uma base ortonormal qualquer de V e 3 a base ortonormal de autovetores dada pelo teorema 931 Observemos a relação entre T e T Temos T T 1 T e portanto T T pois a e são ortonormais Isto será utilizado na classificação das cônicas O teorema seguinte caracteriza as transformações ortogonais 933 Teorema Seja T V V um operador linear num espaço vetorial V com produto interno Então as condições abaixo são equivalentes a T é ortogonal b T transforma bases ortonormais em bases ortonormais Isto é se v Vn é base ortonormal de V então Tv1 Tvn é uma base orto normal c T preserva o produto interno isto é Tu Tv u v d T preserva a norma isto é 11 Tv 11 llv 11 Prova A demonstração é deixada como exercício O item d dá uma caracterização geométrica dos operadores ortogonais Estes são entre os operadores lineares os que estão associados a movimentos rígidos Por exemplo se nos restringirmos às transformações lineares do plano no plano estes operadores serão as rotações de um ângulo e e as reflexões em relação a uma reta pela origem ou composições delas 264 ÁLGEBRA LINEAR 94 EXERCfCIOS 1 Seja a w1 w2 w3 uma base de V um espaço vetorial real com pro duto interno lula ln e v la UJ Se u v 2 a base a é ortonormal I t x Y0 seJa uma matriz ortogonal 2 Ache va ores para x e y ats que 1 3 Sejam a 1 1 2 O e 1 O 2 1 A partir das bases a e 3 construa bases ortonormais usando o método de GramSchmtdt Se estas novas bases forem ex e 3 respectivamente mostre que a matriz de mudança de base é ortogonal 4 Dada uma matriz A cujas colunas são vetores ortonormais prove que A é ortogonal s Seja Tx y z 2x y x y z y 3z de R 3 em R 3 com produto interno canônico a Mostre que T é um operador autoadjunto mas não ortogonal b Se v 2 1 5 e w 3 O 1 verifique que Tv w v Tw c Exiba uma base de autovetores de T e verifique que é uma base ortogo nal A partir desta base escreva uma base ortonormal a o OJ 6 Dada a matriz A L a Mostre que os autovalores são a b c e b c b Ache uma base de autovetores 7 Seja o operador linear T R 3 R 3 cuja matriz em relação à base canônica é Exiba uma base ortonormal de autovetores Tipos Especiais de Operadores Lineares 265 8 Motr qe uma trasformação ortogonal do plano no plano deixa invariante a distancia entre dms pontos isto é dados u e v vetores quaisquer do pla no IITu Tvll llu vil Sugestão use o teorema 933 d 9 a Mostre que se é uma transormação ortogonal do plano no plano matnz em relaçao a base canonica só pode ser da forma ou da forma Sugestão 933 d A cos a sen a B cos o sen o sen a cos a sen a cos a sua b Observe que se a matriz de T for da forma dada por A T será uma ro tação de um ângulo a veja 524 Mostre que B A J onde J J J é a matriz em relação à base canônica de reflexão no eixox Veja 522 Conclua finalmente usando composição de funções que se a transformação T toe dada por H T será uma reflexão através de uma reta do plano que passa pela origem 10 Sejam V um espaço vetorial real de dimensão n com produto interno e T V 7 V um operador linear autoadjunto Se a for uma base ortonormal de V chamemos de A a matriz T Consideremos a transformação linear TA C C dada por onde Xi E C C conjunto dos números complexos e o produto interno canônico em cn dado por v wc xJI1 x 2Y2 XnYn 266 ÁLGEBRA LINEAR para v l J e w lJ Veja 86 a Mostre que TA tem sempre autovalores Sugestão Lembrese de que um polinômio sempre tem raízes se estivermos trabalhando sobre os números complexos b Mostre que TA v w v TA w para quaisquer v w E cn Sugestão Siga a idéia do teorema 923 c Mostre que os autovalores de TA são necessariamente reais Sugestão Chame de À um autovalor de TA com autovetor v Lembre que para um número complexo I ser real basta que ele seja igual ao seu conjugado Desenvolva então TA v v de dois modos distintos utilizando o item b e as propriedades de produto interno sobre um espaço vetorial complexo Veja 86 d Mostre que os autovalores de Te TA são os mesmos e Utilizando os resultados anteriores conclua que um operador linear auto adjunto tem autovalores e eles são necessariamente reais 11 Seja V um espaço vetorial real de dimensão n T V V um operador linear autoadjunto e v E V um autovetor de T a Mostre que v o espaço gerado por v é invariante por aplicação do ope rador T isto é se w E v então Tw E v b Mostre que vl o complemento ortogonal de v veja 85 é invariante por aplicação do operador T isto é se w E v1 então Tw E vl e por tanto T induz um operador linear T1 v1 v1 w Tw c Mostre que o operador T1 definido no item b é autoadjunto d Mostre que todo autovetor w de T1 com autovalor 8 também é autove tor de T com o mesmo autovalor ó 12 Demonstre o teorema 931 isto é se T V V um operador linear autoad junto então existe uma base ortonormal de autovetores de T Sugestão Faça por indução finita sobre a dimensão de V utilizando os Exercícios 10 e I L 13 a Dê a transformação linear que descreve o movimento rígido que leva o segmento de extremos 6 2 e 1 2 no segmento de extremos 2 6 e l 2 respectivamente b Mostre que esta transformação é uma rotação e encontre seu ângulo 14 a Use a definição 921 e o teorema 931 para mostrar que um operador é autoadjunto se e somente se existir uma base 13 de vetores ortonormais em relação à qual T é diagonaL Tipos peciais de Operadores Lineares 267 b Use agora o resultado acima para dar uma caracterização geométrica das transformações autoadjuntas do plano no plano Observe que J J J e note o efeito geométrico de cada uma destas duas últimas matrizes c Analise separadamente em b os casos i a i O e b i O ii a O e b O iii a O e b O d Seja a a base canônica e T 1 3 i Diagonalize o operador T Escolha uma base ortonormaL ii Interprete geometricamente T usando b iii Teste sua interpretação geométrica verificando qual é a imagem por T de um quadrado de vértices O O l 1 O 2 e 1 1 941 Respostas L Não pois u v i 2 5 1 2 3 3 I 3 a c I t J I I I J2 J2 J2 I 0 0 I t I I I 5 T u 1 é 3 simétrica Logo T é autoadjunto Como as colunas de T não são vetores ortonormais T não é ortogonal 7 9 À À 3 v1 1 2 1 v2 1 O 1 v3 l I I I 2 1 I I I I 1 J6 J6 J6 JT o J2 J3 J3 J3 J 9 a Sejam T ac db J e v x y qualquer T ortogonal 268 ÁLGEBRA LINEAR m sistema de equações llvll etc escolhendo vários vetores v para gerar u que fornece a b c e d r ção de O Ache a b Sugestão a inclinação da reta pela ongem tem me ma z d e mostre que esta imagem e imagem do ponto x y on e v x y exatamente B l ou seja Tv 11 a w E v lu E R tal que w uv M Tw Tuv uTv u Àv onde À é o autovalor associado a v as uÀv E v e portanto Tw E v b Seja w E v f Então w v O C orno iw v w Tv pois T é autoadJunto e 0 Tv Àv Tw v w Àv À w v Portanto Tw E v1 S a l v v uma base ortonormal de V C eJa llvll 2 n Então 1 v vn é uma base de v f T é simétrica pois T é autoadjunto e da forma aoou a Então T1 1 1 é simétrica e TI é autoadjunto On2 ann d Tw Tw pois w E v1 e T1w õw Então é autovalor de T e w um autovetor associado 13 Seja T 1 Então 1 1 t J Logo T 3 onde a ar ecos 5 Leituras Sugeridas e Refêrencias cos sen J cosa p bl hers New York 1961 t Gelfand L M Lectures in Linear Algebra lntersctence undtcinhotd Compny 2 Halmos P Finite Dimensional Vector Spaces Van Nostra New York 1958 s p lo 1971 3 Hoffman K Kunze R Algebra Linear Editora Pohgono ao au li FORMAS LINEARES BILINEARES E QUADRÁTICAS 101 FORMAS LINEARES Suponha que uma pessoa necessite comprar ferro chumbo e cobre a cinco seis e quatro cruzeiros o quilo respectivamente Se esta pessoa compra x quilos de ferro y quilos de chumbo e z quilos de cobre podemos representar esta com pra pelo vetor x y z e o custo total é dado pela expressão Sx 6y 4z Observe que a função custo c R3 R x y z Sx 6y 4z é uma transformação linear verifique cujo contradomínio é um espaço vetorial muito particular pois é o conjunto dos números reais Transformações lineares deste tipo aparecem muito e por isso recebem um nome especial 1011 Definição Seja V um espaço vetorial real Uma forma linear é uma transformação linear f V R 270 ÁLGEBRA LINEAR 1012 Exemplos Exemplo 1 f R2 R x y x y ou na forma matricial Exemplo 2 g R3 R x y z 2x y z ou na forma matricial 2 I Se f V R é uma forma linear a v vn é base de V e w é base de R então f a 1 a anl1xn Se v E V é tal que v n 102 FORMAS BILINEARES Consideremos agora funções associadas a espaços vetoriais que se comportam mais ou menos como produtos internos isto é funções que a cada par de ve tores associam um número de tal forma que uma vez fixado o primeiro vetor a função seja uma forma linear em relação ao segundo vetor e viceversa Fun ções deste tipo estão muito relacionadas com considerações acerca da energia de um corpo veja 105 e portanto com toda a Física Nesta secção definire mos estas funções que serão denominadas formas bilineares e estudaremos al guns aspectos técnicos principalmente o seu relacionamento com matrizes que é o mais importante na prática Formas Lineares Bilineares e Quadráticas 271 1021 Definição Seja V um espaço vetorial real Uma forma bilinear é uma aplicação B V X V R definida por v w Bv w tal que i Para todo w fixado Bv w é uma forma linear em v isto é Bv1 v w Bv 1 w Bv2 w e Bav w aBv w ii Para todo v fixado Bv w é uma forma linear em w isto é Bv w w Bv w Bv w2 e Bv aw aBv w 1022 Exemplos Exemplo 1 O produto usual de números reais p R X R R x y e px y xy Verificando i e ii px y z xy z xy xz px y px z pax y ax y axy apx y Analogamente mostramse as outras propriedades Exemplo 2 B R2 X R2 R dada por Bx1 y 1 x 2 y 2 x 1x 2 2y1y 2 é bilinear De fato Bx y x 2 y x 3 y Bx1 y x 2 x 3 y y xx2 x 3 2y 1y 2 y 3 x 1x 2 2y 1y x 1x 3 2y 1y Bx1 y 1 x2 y Bx 1 y x3 y As outras propriedades são verificadas de modo análogo Exemplo 3 Seja V um espaço vetorial com produto interno Podemos definir a forma bilinear V X V R por Bv w v w O fato de B ser bilinear é uma conseqüência das propriedades de produto interno Vamos considerar agora um exemplo importante Exemplo 4 Seja M 272 ÁLGEBRA LINEAR Podemos associar a M uma forma bilinear B R3 X R3 R definida por Bx 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 2 o 2 o 2x 1y 1 4x2y 1 2x2y 2 2x 3y A bilinearidade de B decorre das propriedades do produto e da soma de matri zes txemplo 5 Sejam V um espaço vetorial de dimensão n e a uma base de V De modo análogo ao que foi feito no exemplo anterior dada uma matriz qualquer Mnxn podemos associar uma forma bilinear B V X V R defini da por se SeBVXV em geral temos R é uma forma bilinear e dados v1 v2 w 1 w2 em V pois Bv1 v2 w1 w2 Bv1 w Bv2 w2 Bv 1 v2 w1 w2 Bv1 w1 w2 Bv2 w 1 w2 Bv1 w Bv 1 w2 Bv2 w Bv2 w Bv w v M w Observe ainda que no Exemplo 4 temos V R3 e a base canônica A seguir veremos que na verdade toda forma bilinear pode ser escrita na forma do Exemplo 5 dado acima 103 MATRIZ DE UMA FORMA BILINEAR Sejam V um espaço vetorial e B V X V R uma forma bilinear Dada uma base o v 1 vn de V associamos a B uma matriz B chamada matriz da forma bilinear B na base a do seguinte modo Se v x 1 v1 XnVn e W Yt v1 YnVn n Bv w Bx 1 v1 XnVn y 1 v1 YnVn L XiYjBv Vj i j Formas Lineares Bilineares e Quadráticas 273 v Bw 1 031 Exemplos Exemplo I Seja B R X R R a forma bilinear dada por Bv w xy 2xY Sxy onde v x 1 x 2 e w y1 y 2 Então se a le 1 e 2 e a base canoruca de R2 temos Be 1 e2 2 1 o 5 Be2 e2 Com isto podemos escrever a forma bilinear dada na forma matricial Bv w x 1 x 2 r ou seja Bv w v B w Exemplo 2 Seja B R3 X R3 R a forma bilinear definida por Bx x x yyy 2x 1y 1 4x2y 1 2x 2y 2x 3y Procure mos B onde e1 e2 e é base canônica de R3 Be 1 e B Be2 e 1 Be3 e Be 1 e2 Be2 e2 Be3 e2 Be e 3 Be2 e3 Be3 e 3 Nesta matriz determinamos por exemplo Be2 e BO l O l o O 2 O l 4 l l 2 l O 2 O O 4 Calculando os outros elementos obtemos B n J Compare com o Exemplo 4 de 1022 Como não poderia deixar de ser B M 274 ÁLGEBRA LINEAR 104 FORMA BILINEAR SIMIÕTRICA 104 1 Definição A forma bilinear B V X V R é simétrica se Bv w Bw v para todo v w E V 1 042 Exemplos Exemplo I Seja um produto interno em V Então a forma bilinear Bv w v w é simétrica pois v w w v Exemplo 2 B R X R R dada por Bv w x 1y 1 3x2y 1 3xy 2xy onde v x 1 x 2 e w y 1 y Calculando Bw v temos Bw v y 1 y x 1 x 2 y 1x 1 3y2x 1 3y2x 1 2y2x Como Bv w Bw v B é simétrica Observe que B é uma matriz simétrica De fato Bv w x 1 x 2 1 3 y 3 2 y Este resultado vale em geral podendo ser enunciado no teorema abaixo 1043 Teorema Uma forma bilinear B V X V R é simétrica se e somente se B é uma matriz simétrica Prova Veja o Exercício 7 de 107 105 FORMAS OUADRATICAS Consideremos uma partícula de massa m deslocandose no espaço com veloci dade V vx vy Vz A energia cinética que esse corpo possui é dada pela expressão E mllvll m Vv vy vz 2 2 X Portanto Formas Lineares Bilineares e Quadráticas E m m 2 m v 2 v Vy X 2 2 m2 o J2 lvx Vy Vz m2 o Dessa forma a energia cinética pode ser interpretada como uma função que não é linear da velocidade X z Figura 1051 ER3 R y m 2 m 2 m 2 vx vy vz 2 vx 2 vy 2 Vz Se considerarmos agora a aplicação bilinear simétrica B R3 X R R cuja expressão é fm2 Bvx Vy Vz wx Wy Wz vx Vy v l o m2 o observamos que Evx Vy Vz Bvx Vy v vx Vy Vz 275 Expressões que se comportam como a da energia cinética isto é que pro vêm de formas bilineares simétricas recebem o nome de formas quadráticas Agora poderemos formalizar este conceito 105 1 Definição Seja V um espaço vetorial real e B V X V R uma forma bilinear simétrica A função Q V R definida por Qv Bv v é chamada forma quadrática associada a B Biblioteca de Ciência Tecnolgil I 276 ÁLGEBRA LINEAR Observe que de 1042 em relação a uma base a de V Q pode ser ex pressa na seguinte forma Qv v B v onde B é uma matriz simétrica 1052 Exemplos Exemplo 1 QR2 R Qv x 10xy y 2 onde v x y Sabemos que Qv x y ax 2bxy cy2 Então ax2 2bxy cy2 x 2 10xy y 2 Logo a I 2b 10 c I Substituindo Qv x y J Observe ainda que Q é a forma quadrática associada à forma bilinear Bv w x 1 y 1 n onde v wl e B a é a base canônica de R O procedimento adotado no exemplo anterior pode ser aplicado a uma forma quadrática genérica Q R2 R onde Qx y Ax Bxy Çy2 Concluímos então que sua forma matricial é A Qx y x y o o Formas Lineares Bilinearese Quadráticas 277 Exemplo 2 Q R3 R Qx y z 3x2 2xy 4y2 Syz Em relação à base canônica de R3 Q é dada na seguinte forma matricial Compare com o exemplo anterior e extraia um resultado análogo para formas quadráticas Q R3 R Qx y z Ax By 2 Cz 2 Dxy Eyz Fxz Exemplo 3 Q R3 R Qx y z 2x2 y 2 3z2 o o 10o6 DIAGONALIZAÇÃO DA FORMA QUADRÁTICA Veremos a seguir que qualquer que seja a forma quadrática Q V R sempre existe uma base ortonormal de V em relação a qual a matriz de Q é diagonal ou seja Q terá uma forma parecida com a do Exemplo 3 de 1052 Antes de formalizar este resultado no teorema 1061 vamos diagonalizar a forma qua drática do Exemplo I de 10o5o2Qv x 2 10xy Y2 onde v x y Pro curemos uma base de modo que se v xy ou ainda 278 ÁLGEBRA LINEAR Temos Qx y x y ou Qx y v B v base canônica do R Como a matriz B é simétrica ela é diagonalizável admitindo um conjunto de autovetores ortonor mais Os autovalores de B são Àt 6 e À2 4 Procurando os autovetores encontramos para À1 6 v1 x ex e para À2 4 v2 x x Verifique Assim uma base ortonormal 3 de autovetores será dada por I I I I Vj f V2 e v Cz v2 Seja a matriz de mudança de base Então B I Bg I onde Bg J Substituindo em Qv v B v temos Qv v I Bg I v Como I é ortogonal pois e são bases ortonormais veja 915 I IIl donde Isto é onde Qv I v Bg I v v Bg v Qv xi Y1l l 6x2 2 1 4yl vll l Formas Lineares Bilineares e Quadráticas 279 1061 Teorema Seja Qv Bv v uma forma quadrática em V Existe uma base ortonormal 3 de V tal que se v IYI Yn entào Qv À1Y ÀnY Prova Seja uma base ortonormal qualquer de V Então Qv Bv v v B v Logo a matriz B é uma matriz si métrica e portanto corresponde a um operador autoadjunto T V V que tem como matriz T B Como um operador autoadjunto pode ser dia gonalizado mediante uma base 3 de autovetores ortonormais então B T I O Àn Àl o O Àn I 3 pois e ll são bases ortonormais e portanto Ili é uma matriz ortogonal 280 ÁLGEBRA LINEAR Então À o Qv v IlpJ Ilp v O Àn À o Ilp v O Àn o v v Àn y Ynl O 2 Ày 2 Ày 2 ÀnYn 1062 Exemplos Exemplo J Seja a forma quadrática em R Se v x 1 x Qv 4x 6x 1x 2 6x 2 4xi 3x 1x 2 3x 1x2 6x 2 4 3 Ip v dada por Calculemos os autovalores PÀ det 4 À 3 J34 3 À2 2À 33 6À e À2 I J34 Então existe uma base 3 que é aquela de autovetores da matriz tal que se Fonnas Lineares Bilineares e Quadráticas 281 v então I J34 0 34 O Qv y y Y I J34 y isto é Qv I J34 y I J34 y Esta diagonalização das formas quadráticas forma normal tem muitas aplicações e uma delas será vista na classificação das cônicas que apresentare mos no próximo capítulo 107 EXERCICIOS I Seja f uma forma linear de R2 em R tal que fx y x 2y Sejam 1 1 2 O e bases de R2 e R respectivamente Se v calcule f v 2 Verifique se as aplicações abaixo são formas bilineares aBR2 X R2 RdefinidaporBx 1y1x2 yx 1 y b B V X V R definida por Bu v u v 3 Em 2b você deve ter mostrado que todo produto interno é uma forma bi linear A recíproca é verdadeira 4 Se M 2 3 2 ache a forma bilinear B R2 X R2 R associada à matriz M Esta forma bilinear é simétrica S Qual é a matriz M2 x 2 associada à forma bilinear de R2 X R2 R que dá o produto interno usual de R2 6 a Seja A R 3 X R 3 R definida por Ax y z x y z xy xz yx zy zz Ache a matriz de A em relação às bases i canô nica ii I I 1 I I 0 0 1 O b Seja A R2 X R2 R definida por Ax y x y xy yx e I 1 1 1 Ache A Biblioteca de Ciêca nol 282 ÁLGEBRA LINEAR 7 Mostre o resultado afirmado em 1 042 e use este fato para dar exemplos de formas bilineares simétricas B R5 X R5 R 8 a Seja Ax y x y 3xx yy Ache a forma quadrática Q R2 R associada a A b Seja Qx y 2x2 4xy y 2 Ache a matriz da forma bilinear associa da 9 Seja Qx y x 2 12xy 4y2 Determine uma base tal que v e Qv ax by 10 Se A é uma forma bilinear simétrica e Q a forma quadrática associada a ela mostre que I I Av w 4 Qv w 4 Qv w 11 Uma forma quadrática Q é chamada positiva deFmida se para todo v O Qv O a Como devem ser os autovalores da matriz de uma forma quadrática posi tiva definida Pense na matriz diagonalizada b A forma quadrática Q R2 R dada pela matriz em relação à base canônica J é positiva definida 12 Mostre que se Bv w é uma forma bilinear simétrica cuja forma quadrática associada é positiva definida então B v w é um produto interno Compare com o Exercício 3 13 Considere o conjunto V formado por todas as formas lineares T V R onde V é um espaço vetorial de dimensão n e V é chamado de espaço dual de V a Mostre que V é um espaço vetoriaL b Mostre que dada uma base v 1 Vn de V 1 as formas T V R de finidas por Tvj O se i i e Tvj I se i i formam uma base de V c Conclua finalmente que V e V são espaços vetoriais isomorfos Formas Lineares Bilineares e Quadráticas 283 1071 Respostas I fv I 3 Não pois Bu v Bv u e o produto interno é comutativo ou seja u v v u 5 7 Seja B simétrica B Seja u x 1 xnl v y Yn n n a a On 1 Onn Então Bu v L L ajXiYj it il n n onde a a e Bv u L aYx Como a adição é comutativa e Oji a temos it l 1 depois de trocar os índices i e j jn n Bv u L L ajXiYj Bu v il il Agora seja B simétrica Então Bu v Bv u n n n Daí obtemos L L axY I il il il Invocando índices à direita temos n n n n L L axY L I OjXY iI il j1 it Como isto é válido para todos os vetores u e v a a e B é simétrica 284 ÁLGEBRA LINEAR Exemplo Seja o o o I o 2 o o B o 2 I o o o o o o o I o o o 3 9 a L 3 3 1L Então va ryx vl3 vl3 vl3 v13f L e Qv 8x sy 11 a Os autovalores são todos não negativos b Não pois os autovalores são 3 v4l 2 Leituras Sugeridas e Referências 1 Halmos P Finite Dimensional Vector Spaces Van Nostrand Reinhold Company New York 1958 2 Hoffman K e Kunze R Álgebra Linear Editora Polígono São Paulo 1971 CLASSIFICAÇÃO DE CÔNICAS E QUÁDRICAS 1111NTRODUÇÃO Neste capítulo estaremos interessados em figuras do plano R2 ou do espaço R3 isto é em conjuntos de pontos no plano ou no espaço cujas coordenadas satisfazem certas propriedades Por exemplo o subconjunto x y E R 2 x y I pode ser representado graficamente como mostra a Figura 1111 y 10 1 rx 1 O Figura 1111 286 ÁLGEBRA LINEAR Outro exemplo é x y z E R 3 x 2 e y I cuja representação gráfica é z 2 X Figura 1112 Estaremos particularmente interessados em estudar subconjuntos de R2 da for ma S x y E R2 F1x y O Fkx y O e subconjuntos de R3 da forma S x y z E R 3 F1x y z O Fkx y z O As equações F 1 x y O Fkx y O ou F 1 x y z O Fkx y z O no caso do espaço R3 são chamadas equações cartesianas da figura que o conjunto determina Observe que estas equações relacionam as coordenadas canônicas isto é coordenadas em relação à base canônica de R 2 ou R3 Freqüentemente dáse apenas as equações cartesianas da figura 1111 Exemplos Exemplo 1 Podemos desenhar a figura no plano cuja equação cartesiana em relação à base canônica é y x O A figura pedida é o subconjuntoS x y E R2 y x 2 0 consti tuído pelos pontos do plano da forma x x 2 Portanto y r s Figura1113 Oassificação de Cônicas e Quádricas 287 Exemplo 2 Para desenhar a figura no espaço cuja equação cartesiana é y x 2 O devemos saber que a figura pedida é o subconjunto S x y z E R 3 y x Note que z pode assumir qualquer valor s y X Figura 1114 Observe ainda que as equações cartesianas dos dois exemplos anteriores são aparentemente as mesmas Analisemos agora o que acontece quando as equações cartesianas são de tipos especiais Comecemos com o tipo mais simples ou seja as equações Fx y O ou Fx y z 0 de primeiro grau 112 RETAS NO PLANO 1121 Definição Uma reta no plano é o conjunto dos pontos x y do plano cujas coordenadas em relação à base canônica satisfazem a equação car tesiana AxByC onde A O ou B O Temos as seguintes possibilidades y COC8 i A O e B O Ax By C Figura 1121 ii A O e B O By C y OC81 X Figura 1122 288 ÁLGEBRA LINEAR iii A O e B O Ax C y 113PLANOS NO ESPAÇO Figura 1123 ICAOI X 1131 Definição Um plano no espaço é o conjunto dos pontos x y z do espaço cujas coordenadas em relação à base canônica satisfazem à equação AxByCzDO onde A O ou B O ou C O claro que esta definição algébrica deve coincidir com a definição geo métrica de plano Consideremos um ponto qualquer x0 y 0 z0 tal que Ax 0 By0 Cz 0 D O sempre exista Então a equação Ax By Cz D O pode ser escrita subtraindose a primeira da segunda O A x X o By Yo Cz zo A B C x Xo Y Yo Z Zo onde representa o produto interno canônico em R 3 Os pontos x y z que satisfazem a equação são x y z de tal modo que o vetor diferença v x x 0 y y 0 z z0 seja ortogonal ao vetor A B C Veja a Figura 113 Isto corresponde à definição geométrica de um plano que passa pelo ponto x 0 y 0 z0 e tem A B C como vetor normal z X Figura 1131 Passemos agora a analisar o que acontece quando a equação cartesiana é de segundo grau Oassificação de Cônicas e Quádricas 289 114 CONICAS NO PLANO Para tratar das cônicas no plano de forma adequada procederemos estudando figuras padrão e através da diagonalização de formas quadráticas associadas mostraremos que as equações representam uma das figuras padrão centrada possivelmente em outro referencial 1141 Definição Uma cônica em R 2 é um conjunto de pontos cujas coordenadas em relação à base canônica satisfazem a equação Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F O onde A ou B ou C O Observe que a equação da cônica envolve uma forma quadrática Qx y Ax2 Bxy Cy 2 uma forma linear Lx y Dx Ey e um termo cons tante F Isto é a equação que define a cônica é 1142 Exemplos Circunferência Elipse Qx y Lx y F O A C I BDEO F r2 x 7 I l A a C b a O b O BDEO F l 290 ÁLGEBRA LINEAR Hipérbole I 1 A C b a O b O BDEO F I Parábola Temos ainda os casos chamados degenerados Par de retas concoentes hipérbole degenerada v X x2 y2 i h o a O bO Par de retas paralelas parábola degenerada v A X ax 2 bo aO bO b y x a Uma reta parábola degenerada v X Um ponto elipse degenerada v Vazio elipse ou parábola degenerada Qassificação de Cônicas e Quádricas 291 x 2 O ax 2 by2 O a O bO ax 2 by2 r2 O aO bO r O As equações das cônicas aqui apresentadas estão na forma reduzida isto é B O se A O D O e se C O E O Veremos a seguir através de uma mudança de referencial conveniente que toda cônica toma uma das formas colocadas acima Estamos interessados aqui nas cônicas definidas algebricamente No en tanto cada cônica pode ser perfeitamente caracterizada por propriedades geo métricas por exemplo a elipse é o lugar dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos focos é uma constante O tratamento geomé trico das cônicas que é a forma como elas foram introduzidas pelos gregos será dado em 11 7 O estudo das cônicas feito a partir de suas propriedades geomé tricas é muito bonito e tem muitas aplicações Vale a pena ver Biblioteca de 292 ÁLGEBRA LINEAR 1143 Exemplos Exemplo 1 2x2 5y2 7 O 2x2 5y2 7 2x Sy 7 7 y2 7 7 1 A A 1 que é uma hipérbole Exemplo 2 x 2 y 2 6x 2y 8 O x 3 y 12 2 xi Yi 2 onde x 1 x 3 e y y 1 circunferencia de raio v2 e centro 3 1 Consideremos agora um exemplo mais complicado Exemplo 3 Dada a equação na base canônica a de R2 2x 2 2y2 4xy 4v2x 12Vly 8 O nosso objetivo mais uma vez será determinar que figura esta cônica representa no plano Para isto precisamos inicialmente eliminar os termos mistos do tipo xy através da diagonalização da forma quadrática JC Passo Escrevendo a equação anterior na forma matricial ternos 2C Passo Vamos calcular os autovalores e os autovetores ortonormais da ma triz U 2 J 2 À2 4 4À À 2 2À Classificação de Cônicas e Quádricas 293 Então os autovalores são O e 4 Para À1 O J n e v Para À2 4 J J donde v2 Sabemos de 1061 que nesta nova base de autovetores il v1 v2 a f erma quadrática Qv x y J J onde v J se reduz a JO Passo Agora precisamos determinar a relação que existe entre J e J e substltuu o resultado na parte linear da equação dada Lv4Vl 12v21 Mas X I autvtores X 1 J y canomca Yt 4C Passo A equação original se reduz a 294 ÁLGEBRA LINEAR üxl 4yj 4Vl x Yd 12vl 0x 0 y 8 O 4yJ 4x 1 4y 1 12x 1 12y1 8 O 4yj 8x 1 16y1 8 O yj 2x 4y 2 o Esta última equação representa a cônica em relação ao novo referencial forma do pelas retas suporte de v1 e v2 como mostra a Figura 1141 Figura 1141 Vamos ainda introduzir uma nova mudança de coordenadas para identificar a cônica Ela será dada por uma translação do referencial acima 5 Passo Para eliminar os termos lineares onde isto é possível À i 0 agru pamos os termos de Yi 2x 1 4y 1 2 O convenientemente yj 4y 4 4 2x 1 2 0 y 1 22 2x 1 3 O Tomando x 2 x 1 3 e y 2 y 1 2 obtemos y 2x 2 6 O ou fmalmente I 2 X2 2 y Assim a equação acima representa a cônica em relação a um novo refe rencial R 3 obtido por translação e podemos finalmente identificála como sendo uma parábola conforme indica a Figura 1142 Veja I 142 i v A ori gem deste último referencialR3 seráx 2 O ey2 0 istoéx 1 3 O e y 2 o Classificação de Cônicas e Quádricas 295 Vl y Y X Figura 1142 Agora iremos formular o procedimento geral de classificação das cônicas estabelecendo em ddahes o que deve ser feito em cada passo 1144 Procedimento Geral de Classificação das Cônicas Dada a equação em coordenadas canônicas de R 2 Ax Bxy Cy 2 Dx Ey F O A ou B ou C i O para achar que figura ela representa no plano devemos proceder do seguinte modo JC Passo Escrevemos a equação na forma matricial z Passo Diagonalizamos a forma quadrática para eliminar os termos mistos Para isto precisamos encontrar os autovalores À1 e À2 e os autovetores orto A Bl normais v1 e v2 de j JC Passo Obtemos as novas coordenadas Para isto precisamos para substituir na equação de autovetores canônica 296 ÁLGEBRA LINEAR d 0 obtendo a equação 4C Passo Substituimos as novas coordena as na equaça na nova base Vt V2 O x J autovetores x 1 D E I y Àl Yt canomca 1 FO 2 2ax by FO OU SeJa 1iXt I2Y1 I I Si Passo Eliminamos os termos lineares das coordenadas cujos autovalores são não nulos Temos então três casos i À1 e À2 O À xi ax 1 À2Yi by F 0 b2 a 2 a 2 À y b 2 F O Àx 2À 4À 2 2À2 4À2 a y temos então Àxi À2Yi f O Sejax2 X lÀ e Y2 1 2À2 que é uma das equações típicas onde a2 b2 f F 4À 4À2 Tornando xl Xt 2t e Y2 Yt temos À 1xi by f O que é uma das equações típicas onde iii À 0 e À2 o similar ao anterior Como vimos este procedimento permitenos através de uta mança de f ma de uma das equaçoes t1p1cas referencial colocar qualquer omca na o damos suas dimensões e posi 1142 Neste processo clasSificamos a comca ções no plano os interessados apenas em cassi 11 4 5 Muitas vezes entretanto estarem 2 D E F O A 2 Bxyxy ficar a cônica dada por uma equaçao x Classificação de Cônicas e Quádricas 297 sem determinar suas dimensões e localização Visando solucionar este problema de uma forma mais rápida vamos discutir as possibilidades que temos em fun ção dos sinais dos autovalores associados à forma quadrática Consideremos portanto os autovalores À1 e À de Como já vimos obteremos depois da eliminação do termo misto uma equação da forma Àx À2yl ax 1 by F O I Vamos analisar inicialmente a situação em que À1 O e À2 O Neste caso através de uma translação que é feita no 5 passo de 1144 obtemos Àxl À2YJ f O Note que se i À1 e À2 forem ambos positivos teremos para f O uma elipse para f O teremos um ponto x 2 y 2 O e para f O teremos o conjunto vazio compare com 1142 ii Se À1 e À2 forem ambos negativos também teremos uma elipse um ponto ou vazio conforme f seja positivo nulo ou negativo iii Se À1 e À2 tiverem sinais opostos poderemos ter uma hipérbole quando f i O ou um par de retas concorrentes se f O 11 Consideremos agora a situação em que À O e portanto À2 0 Como vimos partindo da equação chegamos a uma equação À2Yl ax 2 f O Note que i se a O teremos uma parábola ii se a O poderemos ter um par de retas paralelas uma reta ou o vazio Analise em função dos valores de f em que situações isto ocorre Ill O caso em que À2 O é discutido de maneira análoga ao 11 Podemos resumir os resultados até aqui obtidos no seguinte teorema 1146 Teorema Dada uma cônica defmida pela equação Ax 2 Bxy Cy2 Dx Ey F O Sejam À1 e À2 os autovalores associados à sua forma quadrática então i Se q Ã2 O esta equação representa uma elipse ou suas degenerações um ponto ou o vazio 298 ÁLGEBRA LINEAR ii Se i X2 O esta equação representa uma hipérbole ou sua degenera ção par de retas concorrentes iii Se X1 X2 O esta equação representa uma parábola ou suas degenera ções par de retas paralelas uma reta ou o vazio Podemos afirmar que o determinante associado à forma quadrática é igual ao produto de seus autovalores À Veja o Exercício 7 de 7 5 Assim o sinal de À1 À é o mesmo de 8 2 4 AC que por sua vez tem o mesmo sinal de B 2 4AC Podemos assim reescrever o teorema anterior em função do discriminante B 2 4AC 1147 Teorema Dada a equação Ax Bxy Cy 2 Dx Ey F O esta equação no plano representará i uma elipse ou suas degenerações se B 2 4A C O ii uma parábola ou suas degenerações se B 2 4AC O iii uma hipérbole se B2 4AC O 115 QUÁDRICAS EM R 1151 Definição Uma quádrica em R 3 é um conjunto de pontos cujas coordenadas em relação à base canônica satisfazem a equação Ax By2 Cz2 Dxy Eyz Fxz Gx Hy Iz J O com A ou B ou C ou D ou E ou F O 1152 Exemplos Elipsóide X y Hipeibolóide de uma folha X Hiperbolóide de duas folhas z X Parabolóide eiptico z X Oassificação de Cônicas e Quádricas y y y x2 L 2 cz a b2 299 300 ÁLGEBRA LINEAR Parabolóide hiperbólico X Cone quadrático v X Cilindro Se nenhum termo com z aparece na equação da quádrica temos o cilin dro O cilindro padrão é formado por retas ortogonais ao plano z O que passam por uma cônica neste plano Por exemplo a Cilindro eiptico z I t1 v X Classificação de Cônicas e Quádricas 301 b Cilindro hiperbólico z X c Cilindro parabólico z v X ky 2 X A equação que define a quádrica pode representar o conjunto vazio x 2 1 um ponto x 2 y 2 z2 0 uma reta x 2 y 2 O um plano z 2 0 dois planos paralelos z 2 I ou dois planos que se interceptam xy 0 Estes casos são denominados degenerados Da mesma forma que foi feito para cônica mostramos através de uma mudança de referencial convenien te que toda quádrica é de um dos tipos descritos em 1121 Ou seja quando nos é dada uma equação do 2 grau em x y z e precisamos saber que figura ela representa em R 3 classificar a quádrica procedemos de modo análogo à situação em R 2 reduzindo a equação e interpretandoa no final 302 ÁLGEBRA LINEAR 1153 Exemplos Exemplo 1 Para classificar a quádrica x 2yz z y 100 escrevemos a equação acima na forma matricial obtendo Calculando os autovalores e os autovetores já normalizados da matriz obtemos 1 1 para À 1 1 v1 1 O O e v2 0 fi fi e 1 1 para À 1 v3 O Ji Ji Temos ainda x I autvetores 1 y amomca z can z 1 aut onde o 1 canomca n o 1 n n Então a equação da quádrica em relação a o referencial dado pelos autovetores será 1 o J O o o n 100 x z 1 I I o 1 1 Yt J2 n o oA 1 n Oassificação de Cônicas e Quádricas 303 Isto é xl yJ zl J2 y 100 Faremos agora uma nova mudança de coordenadas para eliminar os ter mos lineares onde isto é possível zi xi y 1 I 100 O V2 2 1 Seja X2 X1 Y2 Yt v2 c z2 Zt assim temos a seguinte equação que representa a quádrica em relação ao referencial obtido por translação a partir daquele dos autovetores cuja origem é dada por x 2 O y 2 O e z 2 O Então I x O y 1 V2 O e z 1 O Comparando a equação obtida com as equações das quadráticas indicadas em üi de 1121 vemos que esta quádrica é um hiperbolóide de duas folhas X Xt z I I I I Yt Y2 Biblioteca de Ciência TecnoiQ I I 304 ÁLGEBRA LINEAR Exemplo 2 Para achar a figura dada pela equação 2x2 2y 2 2z 2 2xy 2xz 2yz 81 devemos resolver Calculando os autovalores e autovetores respectivos Gá normalizados obtemos q 1 v fi Vz O 2 2 I v2 6 V6 6 6 V6 3 4 V3 3 V3 3 3 3 3 Ainda l xl auttores j y canonzca z z 1 autovetores J2 13 J3 2 6 3 d autovetores J2 J6 J3 00 e canonzca 2 6 3 J6 JJ o 6 3 Então a equação se torna ou x yi 4zi 81 que é um elipsóide Oassificação de Cônicas e Quádricas 305 z Y X Corno não aparecem os termos lineares se não estivermos interessados na posição dos novos eixos mas apenas no formato da figura bastaria calcular os autovalores escrever a equação xi Yi 4zi 81 e já teramos identificado a quádrica Também no estudo das quádricas em geral se tivermos problemas onde somente a classificação destas seja importante não interessando suas dimensões ou posição no espaço poderemos resolvêlos apenas estudando os sinais dos autovalores associados à forma quadrática Seria muito interessante que você discutisse todas as possibilidades de modo análogo ao que foi feito em 1145 para cônicas 116 EXERCfCIOS Identifique a figura e ache sua posição quando a sua equação é I 3x2 2xy 3y2 V2 x O 2 4x2 4xy y 2 x O 3 xy x y O 4 x 2 xy y 2 3 O S 3x2 43 xy y 2 20y 25 O 6 4xy 3y2 2Vsx 4Vsy O 7 5y2 2xy 8xz 2yz O 306 ÁLGEBRA LINEAR 8 y 2 2z2 2vJ yz O 9 9x2 16y2 25z 2 24xy 40x 30y O Identifique a figura Não é necessário dar a posição 10 3x2 2y2 3z2 2xz 2 11 y 2 2z2 2VJ yz O 1161 Respostas x 2 I Elipse 11 3 3 3 1 em relação ao referencial de centro no ponto 8v2 sv2 64 TI e eixos x 2 na direção de Jz Jz e y na direção de Jz 2 Y2 y Vi x X2 X 2 2 3 Hipérbole 2 Y2 2 1 em relação ao referencial de centro no ponto x 1y yZO e eixosx2 na direção de ey 2 na direção de I I 2 YÍ Y2 Vi Oassificação de Cônicas e Quádricas 307 2 S Hipérbole xi Y5 2 1 em relação ao referencial com centro no ponto 3 xy leeixosx2 na direção de V ey2 na direção 13 2 2 7 Hiperbolóide de 2 folhas de equação 3xl 6yl 4zl l em relação ao referencial com centro no ponto 0 O O e eixos x 1 na direção de 1 I l di I 2 1 di d j3 JJ 3 y 1 na reçao y6 0 V6 e z 1 na reçao e I I v2 o 72 z X 9 Elipsóide de equação l25xl l2Syj l 06zl 3125 em relação ao refe rencial com centro no ponto x y 1 z 1 O 1 54 O e eixos x 2 na 3 4 25 direção de O O ly na direção de 5 5 O e z2 na direção de 4 3 5 5 O 308 ÁLGEBRA LINEAR 117 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS CONICAS Flgura1171 As cônicas ou secções cônicas foram estudadas pelos gregos e desenvol vidas a partir das suas propriedades geométricas Muitos resultados aparecem resumidos nos trabalhos de Apollonius 2601 70 A C Para apresentar estas propriedades e definir as cônicas a partir delas vamos estudar alguns pontos e retas especiais Consideremos as cônicas na forma padrão x2 y2 1 elipse E a b 2 x2 Y2 a2 b2 y 4ax hipérbole parábola Suponhamos ainda a b O H P Para a elipse e a hipérbole definimos os pontos F1 c O e F2 c O denominamos focos à esquerda e à direita Na elipse tomamos a distância focal c V a b2 e para a hipérbole c V a2 b 2 Na parábola definimos o foco como sendo Fa O ie c a veja 1171 1171 a xe a a X X e e Oassificação de Cônicas e Quádricas 309 a x e Figura 1172 X a c A excentricidade e é defmida pela relação e a Então O e I para uma elipse e O para a circunferência e para a hipérbole e e 1 para a parábola As diretrizes da elipse E ou da hipérbole H são as retas a x e a xe e O círculo não tem diretriz A diretriz da parábola P é única e é a reta x a Se na elipse ou hipérbole tivermos b a a distância focal fica sendo c V b 2 a e c V a2 b 2 respectivamente e os focos F 1 O c e c d b F 20 c A extremidade passa a ser e b e as tretnzes y e 1172 Exercícios 1 Esboce o gráfico das cônicas a seguir determinando seus focos diretrizes e excentricidade Observe depois o papel geométrico da excentricidade ax 2 4y 2 100 dxy 2 4 b 2x2 y 2 100 e x 4y 100 x f x 2y 2 I 00 cL 1 25 9 310 ÁLGEBRA LINEAR k y 2 4x ly216x m 3x 2 4y2 O 2 Determine as cônicas representadas pelas equações abaixo encontrando também os seus focos diretrizes e excentricidade a 25x2 9y 2 72y 81 O b 9x2 18y 2 54x 36 O c X 4y2 16y f 6 3 Dê as equações da elipse parábola e hipérbole centradas em um ponto Pm n do plano e com eixos paralelos aos eixos coordenados Encontre também os seus focos diretrizes e excentricidade 4 Mostre que qualquer que seja o ponto Px y sobre a elipse dada no exercício Ic a soma das distâncias deste ponto aos dois focos é igual a Podemos agora estabelecer as propriedades geométricas das cônicas 1173 I Elipse dP Fd dP F2 2a 3 dF P edP Q na parábola e I dF P dP Q 2 Hipérbole dF1 P dF2 P 2a dF1 Q dF2 Q 2a 10 Gassificação de Cônicas e Quádricas 311 1174 Teorema Considere uma cônica padriio E H ou P de excen tricidade e Então 1 Se O e 1 elipse então para todo ponto da cônica a soma das distãncias deste aos focos tem o mesmo valor 2a Fig 1 2 Se e 1 hipérbole então para todo o ponto da cônica a diferença das distãncias deste aos dois focos tem o mesmo valor absoluto Fig 2 3 Se e O então para todo ponto sobre a cônica a distância deste ao foco é igual a e vezes a distância deste à diretriz Focos direitos com diretrizes direitas focos esquerdos com diretrizes esquerdas Fig 3 Além disto o que é fundamental é que cada uma destas propriedades caracteriza as cônicas isto é I um conjunto de pontos do plano que satisfaça a propriedade 1 será uma elipse dada pela equação E em relação a algum referencial 2 um conjunto de pontos que verifique a propriedade 2 será uma hipérbole H e 3 um conjunto de pontos do plano que satisfaça 3 será uma cônica que satisfará E H ou P Assim como subproduto desta proposição podemos dar as definições geométricas das cônicas Corolário I A elipse pode ser definida como o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos focos é igual a uma cons tante Note que esta constante será igual a medida do eixo maior da elipse Por quê Exemplo Encontre a equação da elipse de focos em O O e O 8 e eixo maior medindo 5 Deixamos agora espaço para você i Definir hipérbole pela propriedade 2 ii Definir parábola pela propriedade 3 Corolário 2 Exemplo Corolário 3 Exemplo Finalmente dê a definição geral geométrica de cônica pela propriedade 3 312 ÁLGEBRA LINEAR Corolário 4 Discuta e A demonstração da proposição 117 4 ou dos corolários que ela engloba inclusive os que você enunciou é feita a partir do cálculo das distâncias Tente fazêlas 1 1175 Exercícios 1 Se você fosse jardineiro e quizesse arrumar canteiros elípticos como faria 2 Volte ao exercício 4 de 1172 O que observa 3 Encontre a equação da elipse com focos em 1 O e 5 O e semieixo maior 2YJ 4 Encontre a equação da elipse com focos em 0 0 0 I O e semieixo maior 5Vs 5 Encontre a equação da elipse com centro em 1 1 semieixo maior 6 excentricidade e e semieixo maior vertical 6 Encontre a equação da hipérbole com focos em 0 O e 6 O e e 7 Encontre a equação da hipérbole com focos em 0 3 e 0 5 e um vértice em 0 I jo 8 Encontre a equação da parábola com vértice em 2 I e diretriz x O 21 9 Três postos de escuta estão localizados nos pontos AO 0 80 4 e C 2i O sendo a unidade I quilômetro Os microfones localizados nestes pontos mostram que um revólver está km mais próximo de A do que de C e t km mais próximo de B do que de A Localize a posição do revólver A resolução deste problema lhe dará idéia por exemplo de como se loca liza o epicentro de um terremoto São sempre necessários os dados de três observatórios sísmicos 1 Para consultas veja Leithold L O Cálculo com Geometria Analítica volume 1 HARBRA São Paulo 1977 p 491 e 497 ou Bers L Calculus Holt Rinehart and Winston Inc New York 1967 Oassificação de Cônicas e Quádricas 313 10 Encontre as retas tangentes às cônicas abaixo nos pontos indicados use derivação implícita I a 9y 2 x em I J c 25x 2 y 2 100 em 3 5 5 b x 25y 2 100 em 61 d y 2 25x em 9 15 11 Cônicas em Coordenadas Polares Usando coordenadas polares r O no plano x r cosO y r senO e a definição de cônica dada por 11 74 parte 3 você pode deduzir de mod sunples as equações polares das cônicas tomando o pólo num foco e o etxo polar e sua extensão ao longo do eixo principal2 a Mostre que nestas condições a equação polar das cônicas é dada por ed r 71ecos0 7 O sinal ou é dado conforme a diretriz correspondente ao foco no pólo esteja à esquerda ou à direita deste b Dê exemplos d elipses parábolas e hipérboles com suas formas polares c Um cometa esta se movendo em uma órbita parabólica em torno do sol no foco F da parábola Fazse uma observação do cometa quando ele está no ponto P a 15 milhões de quilômetros do Sol uma segunda ob servação é feita quando ele está no ponto P2 a 5 milhões de quilômetros do Sol Os segmentos de reta FP1 e FP2 são perpendiculares Com estas informa ções há duas órbitas possíveis para o cometa Encontre a distância mais próxima que o cometa passa do Sol em cada órbita d A órbita do planeta Mercúrio em torno do Sol é elíptica com 0 Sol em um dos focos tendo o semieixo maior 36 milhões de quilômetros e ex centrcidade 0206 Encontre a qual é a distáncia mais próxima que Mercuno passa do Sol e b a maior distância possível entre Mercúrio e o Sol 12 Equações Paramétricas da Elipse a Mostre que as equações paramétricas x a cos t e y b sen t a o b O e O t 2rr definem uma elipse cuja equação em coordenadas x2 y2 cartesianas é 1 a2 b2 b Mostre que as equações x a cos 2t e y b cos 21 o r rr definem a mesma elipse dada em a Encontre os vetoresvelocidade 2Comultc Lcithold L op cit cap J 1 c 11 314 ÁLGEBRA LINEAR dx t dy nos casos a e b V dt z dt i c Use o item a para traçar a partir de duas circunferências concêntricas x2 y2 de raios a e b a elipse 1 a2 b2 13 Propriedade Reflexiva das Cônicas Um exemplo de aplicação da propriedade reflexiva das cônicas é dado pelos espelhos parabólicos cujo formato é obtido pela rotação de uma parábola em torno do seu eixo de simetria Tais espelhos transformam uma fonte luminosa colocada no foco em um feixe de raios paralelos como num holo fote ou reciprocamente podem concentrar um feixe de raios paralelos em um único ponto como no telescópio Estas propriedades são explicadas por dois fatores i A lei física que governa o movimento das ondas o ângulo de incidên cia é igual ao ângulo de reflexão ii O teorema a seguir Teorema Sejam P um ponto de uma parábola e 2 a reta tangente à parábola em P Sejam 21 a reta ligando o foco a P e 22 a reta que passa por P e é paralela ao eixo então os ângulos O e a seguir são iguais Demonstre este teorema a âng entre 2 e 22 8 âng entre Q e 2t 14 Num espelho com a forma de um elipsóide de revolução toda luz que emana de um dos focos se reflete sobre o outro faço Este fenômeno é explicado por dois fatores i Lei física da reflexão ângulo de incidência igual ao ângulo de reflexão ii Propriedade reflexiva da elipse que você mostrará a seguir Oassificação de Cônicas e Quádricas 31 S Esta propriedade pode ter usos sérios como por exemplo num laser ou JOCosos como uma sala de cochichos Se estivermos numa sala elipsoidal todo o som que também é onda emanado de um foco será perfeitamente audível no outro foco Teorema Sejam P um ponto da elipse e 2 a reta tangente a esta em P Sejam 2 a reta ligando o foco F 1 a P e 22 a reta ligando o outro foco F a P Então os ângulos O entre as retas R e R e a entre 22 e Q são iguais Demonstre este teorema Leituras Sugeridas e Referências Bers L Calculur Holt Rinehart and Winston Inc New York 1967 Kemeny J Snell J e Thompson G lntroduction to Finite Mathematics Prentice Hall Englewood Cliffs 1957 3 Pitombeira de Carvalho J Introdução à Algebra Linear Impa Rio de Janeiro 1972 4 Lcithold L O Cálculo com Geometria Analftica HARBRA São Paulo 1977 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES 121 INTRODUÇÃO Considere a seguinte situação Um foguete está subindo verticalmente a partir do solo sujeito à força gravitacional que é de cima para baixo e supomos constante e igual a mg a uma força constante para cima e a um impulso adi cional para cima proporcional ao tempo t decorrido depois do lançamento Que altura ele atinge t segundos após o lançamento Denotando por x a altura e usando o princípio de que força é igual a massa vezes aceleração segunda lei de Newton podemos escrever d 2x m dt 2 a bt mg Ao resolvermos esta equação teremos solucionado o nosso problema 1 Este exemplo ilustra como somos levados a utilizar equações envolvendo derivadas Assim como este muitos outros fenômenos em Física Química Bio logia Economia etc são descritos por equações diferenciais 1 A resolução do problema é simples bastando integrar duas vezes a equação e impor as condições iniciais xO O e vO dx O O sendo vO a velocidade inicial dt Resolução de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 317 Neste capítulo presumiremos um conhecimento sobre derivadas de uma fnção de uma variável Estaremos particularmente interessados na resolução de ststemas de equações diferenciais onde são amplamente utilizados os conceitos de espaço vetorial base autovalores e autovetores 122 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Equações diferenciais são aquelas que relacionam uma função e suas derivadas Por exemplo as equações i dx di 2t o ii dx 3x dt iii d 2x l dx dt 2 dt são equações diferenciais Para resolver uma equação algébrica por exemplo x 2 3x 2 O procuramos números 1 e 2 no caso Para resolver uma equação diferencial va mos procurar funções que satisfaçam a equação Por exemplo x t2 é uma solução da equação i Uma outra solução de i é x t2 5 O conjunto de todas as soluções de i é expresso por x t 2 c c constante 31 I d de 3 31 U x e e uma so uçao e u pOis e ma outra solução de ii é x 2e 3t Podemos mostrar ainda que as soluções de ii são exatamente as funções da forma x ke 3t sendo k uma constante Ternos portanto infinitas soluções para ii assim como em i Suponhamos agora que precisamos de uma solução de ii tal que xO 5 Temos então xt ke e como xO 5 devemos ter 5 ke o o que implica k 5 lsto é a única solução para o problema 3x xO 5 condição inicial 318 ÁLGEBRA LINEAR De modo geral as equações do tipo de ii ou seja dx ax 1t são chamadas de equações diferenciais lineares homogêneas de primeira ordem a coeficientes constantes e admitem como solução gera2 X keat Isto é a expressão acima determina o conjunto de todas as soluções da equa ção variandose o valor de k Para comprovarmos que realmente é solução geral devemos considerar as equivalências dx a x dx ax O dx axe dt dt dt dx etax eat O dx eat O dt dt x eat kconstante x ke k E R Agora ao invés de uma única equação diferencial podemos considerar sistemas de equações diferenciais Estaremos então procurando um conjunto de funções que satisfaçam simultaneamente várias equações diferenciais Chamamos tal conjunto de funções de solução do sistema de equações diferenciais Vamos procurar também o que chamamos de solução geral do sistema que é uma ex pressão que gera toda solução do sistema Resolução de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 319 1221 Exemplos Exemplo 1 Encontre todas as funções reais diferenciáveis x 1 x 1t e x 2 x2t que satisfaçam o sistema isto é encontre a solução geral do sistema r l dx 2 dt Resolução Se denotarmos Escrevendo o sistema na forma matricial temos ou ainda dX di 3 AX onde A 1 Uma solução deste sistema é então uma matriz X x 1tJ x 2t cujos elementos são funções que solucionam o sistema de equações Com base na solução geral da equação ax que é x ke veja u tlnal da secção 122 vamos ver se exite para o sistema uma solução do tipo 320 ÁLGEBRA LINEAR dX Neste caso calculando temos dt Para que X seja solução devemos ter dX AX e dessa forma ficamos com dt ou seja Pensando em J v como um vetor de R2 a última equação se torna Av À v que é exatamente a equação de autovalores e autovetores da matriz A Concluímos então que X veÀt é solução do sistema se e somente se À é autovalor e v é autovetor da matriz A Procurando os autovalores e autovetores de A resolvemos det 31 À 4 J 2 À o Resolução de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 321 Isto implica que X2 À 2 O ou seja X 1 e X2 2 Para À1 I obte mos o autovetor v e portanto uma solução para o sistema será Para X2 2 obtemos o autovetor v2 e teremos outra solução x2 X e21 Como À 1 I Ã2 vemos que X 1 não é múltiplo de X2 ou viceversa e dizemos então que X 1 e X 2 são soluções independentes do sistema Além disto como veremos em 1231 o conjunto das soluções do sistema é um espaço vetorial V de dimensão 2 e portanto duas solu ções independentes geram V Isto é qualquer outra solução X é combinação li near de X1 e X2 Portanto a solução geral do sistema é sendo c1 e c2 constantes Na verdade V é um espaço vetorial complexo veja a secção 1231 e assim c 1 e c2 são números complexos Dependendo do in teresse porém podese considerar apenas as soluções reais tomando c 1 e c2 reais Ou ainda como as funções soluções do sistema são x 1 1 c1e1 4ce 21 x 2t ce ce21 Biblioteca de Ciência Tecnol UFPe 322 ÁLGEBRA LINEAR sendo c 1 e c2 arbitrários Se impusermos ao Exemplo 1 colocado acima as condições iniciais x 10 1 e x 2 0 2 temos 4c2e2t c2 e2t paratO 1 Ct 2 c1 4c c que implica que Ct 3 e c2 1 Portanto substituindo x t 3et 4e2t x 2 3e1 e 21 Esta é a única solução de dxl dt 3x 1 4x dx Xt 2x dt tal que x 1 O 1 e x 2 0 2 No exemplo anterior obtivemos dois autovalores reais distintos O sistema se resolve da mesma maneira no caso de autovalores complexos distintos como foi colocado no exemplo abaixo Exemplo 2 Resolução de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 323 Temos A n Àt 2i e Vt e Portanto a solução geral e Ainda se faz necessário indicar outro exemplo importante onde ocorrem auto valores complexos Exemplo 3 oscilador harmônico simples r u 1 I I I I I I m Figura 1221 Consideremos um corpo rígiao de massa m preso a uma mola cuja cons tante de elasticidade é k k 0 Suponhamos que não haja atrito e que a massa da mola seja desprezível em relação a m Sejam u o deslocamento do corpo e v sua velocidade Inicialmente quando t O o corpo apresentase des locado de u 0 e parado v 0 0 Usando a segunda lei de Newton montamos o sistema u du V dt 324 ÁLGEBRA LINEAR cujas condições iniciais são uO u0 vO O Na forma matricial Os autovalores e autovetores da matriz são À i Jf e v1 x i e v2 A solução geral do sistema é então i i v i fkJ ifkimt i vkjm iJT7TiT u Ct 1 e c2 1 e Impondo as condições iniciais obtemos uo ou seja c1 c2 2 Portanto a solução procurada é li i fk i fk i eJm e Jm v l u0 m u 2 i fk t i fkt e Jm e 1m Resolução de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 325 Usando as relações de números complexos cose ei8 eiO 2 senO eif eiO 2i temos finalmente a solução v u0 f sen Jf t u u0 cos f t 1222 Restanos ainda analisar o caso de sistemas de 2 que a matriz A admite apenas um autovalor X Temos então i A admite dois autovetores v1 e v2 LI ii A admite apenas um autovetor v LI No caso i obtemos duas soluções LI X1 A solução geral é então Àt N Xc 1v1e c2 v2e equações em duas situações No caso ii obtemos somente uma solução do tipo velv Entretanto podemos mostrar que existe uma outra solução Ll com a anterior do tipo Substituindoa no sistema encontramos os valores para c 1 c2 d 1 e d2 e então a solução geral é Este método usado para obtermos uma segunda solução é conhecido como mé todo da variação dos parâmetros 2 Para maiores detalhes consulte por exemplo Pais leme PJS Notas de Equaç6es Diferenciais Ordin4rios Impa Rio 1972 e Leighton W EquaçiJes Diferenciais Ordi n4rias Uvros Técnicos e Cientfficos Rio 1970 326 ÁLGEBRA LINEAR Você entenderá melhor este método ao resolVer o EXercício 5 da secção 124 1223 Caso Geral Só resolvemos até aqui sistemas de duas equações Po rém tudo o que fizemos pode ser extrapolado para n equações com as adapta ções necessárias Também neste caso a resolução é mais simples quando obte mos fi autovetores LI Exemplo dx di 4x 66y 42z dy 4x 24y 14z dt dz dt Ox 55y 33z A matriz é 66 24 55 42 14 33 Calculando os autovalores e autovetores LI associados temos À1 2 com v1 11 2 O e v2 7 O 2 À2 I com v3 6 2 7 Portanto a solução geral é Vamos analisar agora os casos em que num sistema de três equações não conseguimos três autovetores Ll para a matriz A i Se o polinômio caractenstico é da forma À a 2 À b e associado ao autovalor a conseguirmos apenas um autovetor LI procuramos uma ter ceira solução independente da forma l Resolução de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 327 ii Se o polinômio caractenstico é da forma À a3 então podemos ter duas situações a ao autovalor a estão associados dois autovetores LI v1 e v2 Neste caso temos duas soluções LI v 1e01 e v2c1 e existe como em i a terceira solução LI exatamente como a dada acima b ao autovalor a está associada apenas um autovetor v LI Temos então uma única solução LI da forma X1 ve0t Neste caso mostramos que existem mais duas soluções LI da forma Aqui como nos itens anteriores as constantes c d m etc são deter minadas substituindose as soluções no sistema 123 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE n EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS DE 1 ORDEM A COEFICIENTES CONS TANTES Esta seção envolve um problema genérico que consiste em procurar um con junto de n funções reais que satisfaça ao sistema dx 1 dt dx dt dxn dt alnxn onde os aii s são constantes reais Na forma matricial temos dxn dt ann Xn 328 ÁLGEBRA LINEAR dX ou dt AX U fu X o oo solucionam o Slstema O fato essencial que relaciona sistemas deste tipo com a Álgebra Linear é dado pelo teorema seguinte 1231 Teorema O conjunto S de todas as soluções do sistema AX é um espaço vetorial complexo de dimensão n X l y sistema então X Y e kX k E C são soluções pois dX Y dX dY AX AY AX Y dt dt dt Isto é X Y é solução Um procedimento análogo é usado para mostrar que kX é solução do sistema Vemos assim que S é um espaço vetorial complexo subespaço do espaço vetorial das funções definidas em R com valores complexos Para mostrarmos que a dimensão de S é n isto é que existem n e não mais que n soluções linearmente independentes precisamos do Teorema da existência e unicidadede solução de um sistema de equações diferenciais com condição inicia3 1232 A proposição anterior pode ser utilizada para se achar a solução geral de um sistema Assim se encontrarmos n soluções linearmente independen tes do sistema dX AX X v dXi AX dt 1 tsto e dt 1 3 A demonstração deste teorema não será feita aqui mas se você estiver interessado em estudála veja por exemplo Paes Leme op cit p 56 Resolução de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 329 podemos gerar todas as soluções do sistema e qualquer uma delas será da for ma Note que cada solução X1 é uma matriz n X 1 de funções Xii tl X xt 124 EXERCfCIOS 1 Uma colônia de bactérias cresce a uma razão diretamente proporcional ao número de bactérias presentes Se chamarmos de Bt a quantidade de bactérias depois de um tempo t isto significa que r Bt k Bt k constante Se o número de bactérias triplica em duas horas quanto tem po será necessário para que tenhamos cinqüenta vezes a quantidade inicial Nos Exercícios de 2 a 5 dê a solução dos sistemas lineares 21 4x 3y dy Sx 4y dt l dx 3 Sx dt dy Sy dt 4 com condição inicial xO I yO 2 dx dt 9x 19y 4z dy 3x 7y z dt dz dt 7x iy 2z sl x y dy X 3y dt Biblioteca de Ç Ciéncrotb u el 330 ÁLGEBRA LINEAR 6 Num circuito LC seja um indutor de indutância L ligado em série com um capacitar de capacitância C Seja i a corrente que circula no circuito e q a carga no capacitar L Suponhamos inicialmente que a corrente no circuito seja i0 e o capacitar tenha uma carga q0 Sabendo que a diferença de potencial no indutor é L di e no capacitar é Cq temos o sistema de equações diferenciais dt l LO dq i dt Encontre as expressões da carga e da corrente em função do tempo 1241 Respostas I 2 Qn 50 Qn 3 2 xt c 1e1 3c2e1 yt c1e1 5c2 e1 3 xt e51 yt 2est 4 xt c 9 4iÜ c29 4ieit 3c3 yt c 3 iÜ c2 3 ieit c3 zt c 1 7 2ieit c2 7 2ieit 2c3 S Solução A matriz associada é A J À 2 e v o único LI Uma solução é X I Resolução de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 331 Então dX AX dt 2 Como i dX2 dt e ii AX2 Igualando i e ii temos 2c 1t 2d1 c c 1 c2 t d 1 d2 2c2t 2d2 d 3c2 cit 3d2 d Como isto é uma identidade de polinômios igualando os coeficientes temos c1 c2 O d1 d2 c 1 c 1 c2 O e d1 d 2 c2 Portanto c lc2 ld1 O e d 2 I e X2 Je21 A solução geral é xt k 1e21 k 2te21 yt k 1e21 k 2t le21 6 it aké1 Jkekt qt aekt Jekt onde a Leituras Sugeridas e Referências io kqo 2k I e k fd IBentley D e Cooke K Linear Algebra with Differential Equations Holt Rinehart and Winston Inc New York 1973 2Leighton W Equações Diferenciais Ordinárias Livros Técnicos e Científicos Rio 1970 3Pais Leme PJS Notas de Equações Diferenciais Ordinárias Impa Rio 1972 PROCESSOS ITERATIVOS E ÁLGEBRA LINEAR 131 INTRODUÇÃO Em qualquer problema concreto é necessário não apenas saber que uma solução existe mas também chegar a esta solução em termos numéricos Os problemas que aparecem na prática no entanto envolvem tantas variáveis ou são tão difí ceis que tornamse praticamente impossíveis de serem resolvidos sem o uso de recursos como calculadoras computadores etc Tente por exemplo resolver um sistema linear de 100 equações e 100 incógnitas Há necessidade então de desenvolver processos numéricos que possam ser usados em computação eletrô nica Estes processos podem ser divididos em dois grupos processos exatos e processos iterativos Por um processo exato entendemos um processo através do qual se obtém a solução numérica de um problema por meio de um número finito de opera ções elementares O método de resolução de sistemas lineares por redução da matriz que vimos no Capítulo 2 é um exemplo de processo numérico exato que pode ser programado e usado em computadores embora para este fim existam outros métodos exatos de resolução de sistemas lineares que são me lhores como o método de Gauss que utiliza uma quantidade menor de opera Processos Iterativos e Álgebra Linear 333 ções reduzindo o tempo de uso do computador e possibilitando conseqüente mente uma maior economia Um processo iterativo de resolução de um problema é um processo em que se obtém uma seqüência de soluções aproximadas do problema tal que cada termo da seqüência é obtido a partir dos anteriores por um processo bem determinado e que num certo sentido está cada vez mais perto da solução correta do problema A escolha de um ou outro processo quando houver esta possibilidade vai depender de uma série de fatores da precisão desejada dos resultados e aqui devemos ressaltar que a expressão processo exato não quer dizer que se encontre a resposta correta sem erro algum Este erro quase sempre aparece na prática pois as máquinas calculadoras têm apenas um número finito de dí gitos e assim em cada operação haverá um erro de arredondamento da capa cidade de memória do computador empregado do tempo despendido em com putação do problema em particular Por exemplo o processo iterativo é me lhor quando as matrizes envolvidas são esparsas isto é com muitos zeros ou quando existe uma fórmula para calcular os elementos da matriz evitando que seja necessário o armazenamento etc Por razões técnicas durante vários anos houve preferência generalizada pelos processos iterativos mas com o desenvol vimento de computadores em grande capacidade de memória e rapidez os pro cessos exatos voltaram a ser interessantes do ponto de vista prático e atual mente são competitivos com os processos iterativos Estes últimos no entanto continuam a ser muito importantes e serão os que estudaremos aqui através de sua conexão com Álgebra Linear Suporemos que você saiba um pouco não muito sobre limites e seqüên cias de números 132 SEOUENCIAS DE MATRIZES Começaremos considerando uma seqüência infinita de matrizes de ordem r x s A 1 A2 An Ant onde 1 l 2 ali a a ali a A til A 2 2 2 a a as Ors an 12 An n an ai a r2 334 ÁLGEBRA LINEAR k com todos os aj números reais ou complexos Representamos tal seqüência por AnnEN 1321 Definição Dizemos que a seqüência AnnEN de matrizes con verge para ou se aproxima de ou ainda tem como limite a matriz A aij de mesma ordem se os elementos das matrizes An se aproximam dos elemen tos correspondentes da matriz A isto é n lim aj n Neste caso usaremos a notação i aj para i I 2 r 1 2 s lim An A ou An A Exemplo Seja a seqüência AnnEN onde An I 2 5 l 3n n 1 2n Então A l A2 l etc e lim An O 1 noo 3 2 Um caso particular importante da definição anterior é quando as matrizes são vetorescoluna Xn Neste caso x X n x n se lim Xt x para i 1 2 r n 1322 Definição Usando as notações da definição 1321 dizemos que a série de matrizes soma de infinitas matrizes At A2 An An t tem como soma uma matriz S e escrevemos S A 1 A2 se a seqüência BnnEN onde Bn A1 An tem como limite a matriz S isto é lim A1 A2 An S n Processos Iterativos e Álgebra Linear 335 Como o limite de uma seqüência de matrizes é formado pelos limites dos elementos certas propriedades de limites de seqüências de números também são válidas para seqüências de matrizes Por exemplo constantes multiplicativas podem ser colocadas fora do limite em seqüências numéricas isto é lim k a71 k lim a71 o mesmo valendo para matrizes Isto é se QI e noo noo Q2 são matrizes constantes então lim Q 1 An Q lim An e lim An Q2 lim An Q2 rJlOO rJOO rJlOO riJOO desde que sejam possíveis as operações Os resultados que vêm a seguir mostram outras situações em que sob certos aspectos as seqüências de matrizes comportamse como seqüências de números A primeira delas é que dado um número real ou complexo a com la I I as potências de la I são números cada vez mais próximos de zero isto é lim lalk O e portanto lim é O Além disso se lal I lim ak não kloo kloo kloo é zero Você deve conhecer ainda que se tivermos uma seqüência de números que é uma progressão geométrica de primeiro termo 1 e razão a com I a I 1 então a soma dos termos infinitos desta progressão existe e é dada por 2 k I aa a 1 a Estes dois resultados também são válidos com certas modificações para seqüências de matrizes como veremos nos teoremas 1324 1325 e 1337 No que se segue estaremos considerando todos os autovalores de uma matriz quadrada A inclusive os complexos mesmo que A tenha apenas elemen tos reais 1323 Teorema Seja A uma matriz quadrada r x r Então lim Ak O k matriz nula r x r se e somente se todos os autovalores de A têm módulo me nor que I Prova Suponhamos que A seja diagonalizável Existe então uma matriz inversí vel Q tal que o À onde os Ài são os autovalores de A isto é 336 ÁLGEBRA LINEAR o À r Vêse facilmente por indução que o k l o o o I À o o À o E portanto lim Ak lim O koo koo 1 0 Ul D Como IÀ1 1 I IÀ2 1 I IÀI I então lim À1 O para i I r k e portanto lim Ak 0 O o O k Vamos mostrar agora que se lim Ak O então IÀI I para i I r k Suponhamos por absurdo que um dos autovalores por exemplo o À1 tem módulo maior ou igual a I Então lim Àk O Dessa forma k lim Ak o um Y J o o koo koo Q Àk r o que contradiz o fato inicial de que lim Ak O Portanto todos os autova k lares devem ter módulo menor que 1 O caso geral isto é quando A não é diagonalizável é feito de modo aná logo só que no lugar da forma diagonal é usada a forma de Jordan Depois tente fazer esta demonstração como exercício A dificuldade estará em se esta belecer a expressão da nésima potência da forma de Jordan da matriz A Vejamos mais uma situação em que as seqüências de matrizes apresentam um comportamento semelhante às seqüências de números Processos Iterativos e Álgebra Linear 337 1324 Teorema Seja A uma matriz quadrada r x r Então lim Ak O k se e somente se I A é uma matriz inversível e I A A2 Ak I A1 onde I é a matriz identidade r x r Prova Suponhamos primeiro que I A A Ak I A isto é que lim I A Ak I A 1 k Portanto lim I A Ak Ak 1 I A 1 k Subtraindo as duas igualdades temos O I A 1 I A lim I A Ak AkI lim I A Ak koo koo lim AkI lim Ak koo koo Suponhamos por outro lado que lim Ak O Pelo teorema anterior vemos k que os autovalores de A têm módulo menor que 1 e portanto o número 1 não é autovalor o que implica det A l I O Então a matriz A 1 I é inversível Assim I A também é inversível e I A 1 existe Vale ainda a identidade I A A2 Ak I A I Ak 1 Multiplicando pela direita por I A 1 temos I A A Ak I A 1 Ak 11 A1 Então I A A2 Ak lim I A Ak lim I A 1 Ak 1 I A 1 koo koo I A 1 pois lim Ak 1 O k Reunindo os resultados dos dois teoremas anteriores obtemos 1325 Corolário Se A é uma matriz quadrada então os autovalores de A têm todos módulo menor que 1 se e somente se a matriz I A é inversível e vale I A A Ak I A 133 RESOLUÇAO DE SISTEMAS LINEARES PROCESSO ITERATIVO Vejamos agora como esses fatos podem ser usados para resolver sistemas lineares Consideremos o sistema 338 ÁLGEBRA LINEAR 1 03x 002y 7 OOlx 090y 52 Observamos que ele pode ser colocado na forma ou na forma matricial x 003x 002y 7 y OOlx 010y 52 003 001 OQ2l x 7 OlOj y 52 X QQ3 002 7 J Chamando X Y M OOl OlO e N 52 vemos que uma so lução do sistema é exatamente um vetorcoluna X que satisfaça X MX N Queremos saber se existe algum processo iterativo para determinar tal X Iniciemos o processo com um vetor qualquer X 1 Por exemplo tomemos Xt J Se calcularmos ro 03 X MX N l001 e se usarmos o vetor obtido para obter X3 teremos 0 03 X3 MX2 N ool 002 697 7 010 521 52 Analogamente se usarmos X3 para obter X4 teremos lo 03 X MX N lool 002 66867 J 7 J 010 57907 52 697 521 66867 57907 6683585 5845937 Se em cada passo procedermos analogamente isto é uma vez obtido Xn obte mos Xnt pela fórmula Xnt MXn N teremos montada uma seqüência XnnEN de vetorescoluna Será que estes vetores Xn estão se aproximando de um vetor X que seja solução do sistema Verifiquemos isto Naturalmente o sistema pode ser resolvido de forma usual por exemplo por substituição e a solução é 650788 6056 x 97541 e y 947 Processos Iterativos e Álgebra Linear 339 Efetuando as divisões teremos x 66824849 e y 58520276 Compare esses resultados com os obtidos em X4 Surge uma pergunta natural em que condições teremos a repetição do que parece acontecer neste exemplo Em outras palavras quando a seqüência Xn se aproxima de um vetor X que é solução do sistema O próximo teore ma nos dará uma resposta a esta pergunta fornecendo um método iterativo de resolução de sistemas lineares que satisfaça determinadas condições Antes de enunciálo e demonstrálo precisamos estudar a relação entre as formas AX B e X MX N de um sistema Normalmente um sistema vem dado na forma AX B Entretanto se quisermos aplicar um procedimento semelhante ao usado no exemplo anterior esta forma não é satisfatória IÔ preciso colocálo na forma X MX N Isto pode ser feito de várias maneiras Uma delas é a que foi usada no exemplo AX I A IX X A IX B ou seja X I AX B e então tomamos M I A e N B O modo como são escolhidos M e N em função de A e B é importante na prática e em 1339 voltaremos a comentar este assunto No momento estamos apenas interessados na situação em que M e N já foram obtidos e então começando com um vetorcoluna qualquer X1 montamos uma seqüência Xn n EN itera tivamente pela fórmula Xn 1 M Xn N Queremos saber então em que condições a seqüência obtida se aproxima de uma solução do sistema Como já dissemos a resposta é dada pelo teorema a seguir 1331 Teorema Se um sistema linear é dado na forma X MX N onde M é uma matriz quadrada tal que todos os seus autovalores tenham mó dulo menor que 1 então iniciando por um vetorcoluna qualquer X 1 a se qüência de vetorescoluna obtida pela fórmula Xn 1 MXnN tem como limite um vetorcoluna X que é solução do sistema X MX N Dizemos neste caso que a seqüência converge para uma solução do sistema Prova Temos X2 MX1 N X3 MX2 N MMX 1 N N M2 X I MN X4 MX3 N MM2 X1 I MN N M3 X1 I M M2 N e procedendo por indução obtemos Xn MX I M M2 M2 N Como M tem todos os autovalores com módulo menor que 1 pelo corolário 1325 e pelo teorema 1324 temos 340 ÁLGEBRA LINEAR lim I M M2 I M 1 n lim MnI O n Portanto lim Xn lim M 1 X1 I M MN noo nooo I MN Concluímos então que lim Xn existe e chamemos n X I MN lim Xn n Tomemos agora o limite quando n oo dos dois membros da igualdade Xn 1 MXn N Temos lim Xn 1 lim MXn N M lim Xn N ou nOQ noo noo seja X MX N e portanto X lim Xn é solução do sistema n O teorema que acabamos de ver é típico dos teoremas que aparecem em processos iterativos Ele fornece um processo de construção mecânica de uma seqüência que sob certas condições aproximase da solução do problema Não é vantajoso aplicar manualmente estes processos mas estes parecem bastante razoáveis quando se dispõe de uma calculadora automática programável Entretanto este teorema apresenta uma limitação muito séria na prática Como verificar concretamente se uma dada matriz geralmente de ordem alta tem autovalores com módulo menor que 1 Calcular os autovalores seria uma resposta óbvia mas não temos meios práticos e rápidos de fazer isto com ma trizes de ordem alta a não ser talvez por outros pwcessos numéricos iterati vos Vamos ver então se conseguimos dar urna resposta bem simples e rápi da apenas examinando os elementos da matriz Para isto definimos 1332 Definição Seja A ajlr xs uma matriz Chamamos de norma da matriz A e denotamos por IIAil o número não negativo s IIAII máx lajl lir i I Exemplo Se A I o então li Ali máx 121 1JI 181 I OI máx 3 8 8 O caso particular da definição anterior em que a matriz é um vetorcoluna n x 1 é muito importante e por isso vamos repetir a definição neste caso parti cular dando um nome especial Processos Iterativos e Álgebra Linear 341 1333 Definição Seja um vetorcoluna Chamamos de norma do máximo do vetorcoluna X ao núme ro li XII máx lx 1 I lx2 1 lxn I Observação No Capítulo 8 ao lidarmos com espaços vetoriais munidos de um produto interno demos o nome de norma de um vetor v ao núme ro livli v v A noção que estamos apresentando aqui não provém de um produto interno mas continua recebendo o nome de norma porque possui vá rias propriedades em comum com o conceito introduzido no Capítulo 8 Vejamos algumas propriedades d A n 1334 Teorema Consideremos uma seqUencta e matnzes n aij r x s e uma matriz A a1x tais que lim IIAn Ali O Então lim An A O noo noo ou seja lim An A n oo Prova Temos lim IIAn Ali lim máx n oo noo lir Entã para todo i 1 r temos lim noo L i I I n I laii aj O il Mas se a soma de termos positivos tende a zero cada uma das parcelas também tende a zero Logo para todo i I r e j I s temos lim la ir ajl O n ou seja lim alj aij O Assim lim An A O noo noo 1335 Teorema Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem e À um número i li Ali O se e somente se A O ii liA Bll IIAII IIBII iii li Mil 11 li Ali Prova Faça como exercício Ao provar i i lembre que se a e b são números então la bl la I lbl Bibliotec Ciência 8 T1 11r 342 ÁLGEBRA LINEAR Observe que as propriedades do teorema anterior são três das proprieda des da norma definida no Capítulo 8 A norma definida aqui embora não pro venha de um produto interno tem também essas propriedades Vamos precisar ainda de mais uma propriedade desta norma para de monstrar os resultados seguintes 1336 Teorema Se A aiklrxs e B bklsxt são duas matrizes então liA Bll IIAII 11811 s Prova Temos A B cijlr xt onde cij I aikj kl t t Então liA Bll máx I li Ç L lciil máx I lir t s máx I I lalk I lbrql tir i i kl s t máx I I aik I I lbrql Itr kl il s t máx tir I kl laik I máx tks I il s t máx Iir I laikl ki máx tks I i I IIAII IIBII s I aikbk I kl lbkl I brql Uma situação particular desta proposição é quando B é um vetorcoluna X Temos então liA XII liA li li XII Vamos ver agora qual é a ligação que existe entre a norma de uma matriz e seus autovalores 1337 Teorema Se A é uma matriz quadrada tal que IIAII I então todos os seus autovalores têm módulo menor que 1 Prova Pelo teorema 1336 temos liA li liA Ali IIAII IIAII IIAII2 e indutivamente IIAkll IIAIIk Como IIAII I temos O lim IIAkll lim IIAIIk O koo koo Processos Iterativos e Álgebra Linear 343 ou seja lim IIAkll O e portanto pelo teorema 1334 lim Ak O koo koo Usando então o teorema 1323 vemos que os autovalores de A têm módulo menor que 1 Incluindo este último resultado no teorema 1331 obtemos o seguinte teorema que fornece um critério para determinar se um sistema tem solução obtida através do processo iterativo 1338 Teorema SeM bilrxr é uma matriz tal que IIMII r máx I I bijl I e N é um vetorcoluna r x I então qualquer que lir L il seja o vetorcoluna inicial X a seqüência de vetorescoluna dada pela fórmula iterativa Xn 1 M Xn N aproximase de um vetorcoluna X que é solução do sistema linear X M X N Como este último resultado pode ser usado na prática Como já comen tamos um sistema que normalmente aparece na forma A X B sempre pode ser colocado de vários modos na forma X M X N A resolução do teo rema anterior pelo processo iterativo é viável desde que esteja satisfeita deter minada condição sobre M Dependendo da maneira como colocamos o sistema na forma X M X N esta condição suficiente sobre M vai se refletir de maneira diferente sobre A Por exemplo na escolha sugerida isto é M I A e N B se A ailr xr a condição li Mil I é a de que li I Ali máx 11 ai I la2 I la I I Isto significa em termos intuitivos que para esta es colha de M e N o processo iterativo converge se a matriz de coeficientes A do sistema for razoavelmente próxima da identidade Para conseguirmos convergência em outras situações precisamos fazer outras escolhas para M e N Nos meios computacionais estas outras escolhas para M e N são feitas seguindo o princípio enunciado abaixo 1339 Princípio Dado o sistema A X B escrevemos A P Q onde P é urna matriz inversível Então A X P QX P X Q X B ou P X Q X B ou ainda X P QX p B Então M p Q e N p B Este princípio pode ser ilustrado desenvolvendo um processo que denominamos Método de Jacobi 344 ÁLGEBRA LINEAR 134 METODO DE JACOBI Se A a 11 a 1 com a ii O i I r a a podemos escrever A a 0 u Como au O a matriz diagonal é inversível e sua inversa é o a o a I I au o Podemos tomar então em 1339 l a O l P e Q O a a ri a a a o o I a Com esta escolha o processo iterativo obtido é chamado método de Jacobi Neste caso o a12 a au au a2 o a2r M a a a a2 o a a A condição IIMII 1 para a convergência do processo iterativo é então que ou seja 1an au 1 a I a Processos Iterativos e Álgebra Linear 345 1al au a I a r I ra I I I I I al31 I a I I 11 I I a I I a I larr I I a I Em outras palavras no Método de Jacobi a condição de convergência do pro cesso é a de que cada elemento da diagonal seja em módulo maior que a so ma dos módulos dos elementos que estejam na mesma linha 135 PROCESSO DE GAUSSSEIDEL Um outro processo muito usado na prática é o chamado processo de Gauss Seidel Considerando uma matriz A aijr xr com diagonal sem zeros au 1 O i 1 r escrevemos o a12 o o o o a J a em seguida tomamos o e Q o a a O O Note que P é inversível pois os elementos da diagonal são não nulos e ela é triangular inferior Neste processo é um pouco mais difícil escrever M e N mas você deve tentar Como você poderá verificar também a condição li M li I é 346 ÁLGEBRA LINEAR muito mais complicada de se expressar em termos da matriz A Costumase assim trabalhar com uma outra condição suficiente critério de Sassenfield n Mas você pode verificar que a condição lal L lal para i l 2 n ji tio i estabelecida no método de Jacobi também é uma condição suficiente para a convergência no processo de GaussSeidel Você encontrará a prova destes cri terias bem como um grande número de exemplos na bibliografia citada no final do Capítulo O método de GaussSeidel costuma ser muito vantajoso nos casos onde a matriz é de ordem elevada e há poucos elementos diferentes de zero 136 ESTIMATIVA DE ERRO Dado um processo iterativo Xn 1 MXn N com li M li l sabemos que o processo converge isto é a seqüência XnnEN aproximase de um vetorcolu na X que é solução da equação X MX N Resta entretanto um problema prático uma vez que não conhecemos a priori a solução X na verdade é isto que queremos achar como saberemos quando os Xn estão suficientemente próximos de X Intuitivamente a resposta é calculamos os termos Xn Xn 1 etc e em cada passo comparamos o valor obtido com o anterior isto é Xnl com Xn Quando Xnl estiver próximo de Xn é porque provavelmente os termos não se alteram muito a cada passo e podemos dizer que Xn 1 está próximo de X Esta resposta intuitiva apresenta problemas sérios Primeiro o que signifi ca exatamente a palavra próximo Como podemos medir isso de forma que uma calculadora automática possa nos responder quando estamos próximos Segundo como podemos justificar a nossa intuição Terceiro na prática pre cisamos saber exatamente qual é o erro cometido ao pararmos o processo ite rativo num determinado passo e não apenas saber que estamos próximos Quanto ao primeiro problema podemos solucionálo utilizando a noção de norma Por exemplo se x 1 l e Xn 1 n 1 x 11 11 I n1 nl I n1 nl entao Xn 1 Xn max x 1 Xt X r Xr e portanto Processos Iterativos e Álgebra Linear 34 7 se a norma da diferença de Xn 1 Xn for pequena os elementos correspon dentes dos vetorescoluna estão próximos Os dois outros problemas serão resolvidos de uma forma conjunta Quere mos saber qual o erro cometido ao pararmos o processo iterativo num certo passo Vamos calcular então 11Xn 1 XII onde X é a solução do problema X MX N Para isto sabemos que Xn 1 M Xn N e X M X N Subtraindo termo a termo obtemos Xn 1 X M Xn M X Subtraindo M Xn 1 dos dois membros da última igualdade obtemos Xn 1 X M Xn 1 M Xn M X M Xn 1 ou Xn 1 X M Xn 1 M X M Xn M Xn 1 ou ainda I M Xn 1 X MXn Xn 1 Com a hipótese li Mil l para o processo convergir aplicando o mesmo ra ciocinio que em 1325 vemos que I M é inversivel e que a I M1 I M M2 Então Xn 1 X I M1 MXn Xn 1 Tomando as normas dos dois membros e lembrando 1336 chegamos a b 11Xn 1 XII 111 M1 11 IIMII IIXn Xn 111 Usando 1335 ii e 1336 em a obtemos 111 Mt 1 11 111 M M2 11 1 IlM II IIMII2 I IIMII Colocando esta expressão em b temos o teorema seguinte 1361 Teorema Consideremos o processo iterativo Xn 1 MXn N com IIMII l Então a seqüência XnnEN converge para a solução X do problema X MX N de tal modo que li li IIMII li Xni X I IIMII Xn1 Xnll Assim o teorema justifica o nosso procedimento intuitivo e nos dá um meio dê calcular o erro cometido ao pararmos o processo em um determinado passo Por exemplo se quisermos achar X com uma precisão de deveremos a partir de um X0 qualquer seguir o processo iterativo até que IlM II 11Xn 1 XII jITMfi 11Xn1 Xnll isto é até que a norma da diferença de um termo com o seguinte llx 11 W IIMIIJ n 1 Xn seja menor que IIMII 348 ÁLGEBRA LINEAR 137 EXERCfCIOS l 2 01 I Seja A a Calcule IIAII h Ao resolvermos o sistema A n H podemos garantir que o processo iterativo dado por Xn MX N onde M I A e N converge para uma solução do sistema 2 SeM é uma matriz quadrada tal que IIMII I sabemos que seus autovalo res têm módulo menor que 1 A recíproca é verdadeira Isto é se os auto valores têm módulo menor que I então necessariamente li M li 1 3 O sistema linear 5x 2y z 2 X 7y Z 2 X y 5z 2 pode ser resolvido pelo Método de Jacobi Se puder calcule X 3 a partir de 4 Resolva o sistema linear 6x 2y 3z 5 x 8y 3z I O x 4y 12z 12 pelo a Método de Jacobi b Método de GaussSeidel a partir de X 1 isto é ache X4 e faça uma estimativa do erro IIX4 XII onde X é a solução correta do problema O que você pode dizer sobre as veloci dades de convergência dos dois métodos S Prove o teorema 1335 Processos Iterativos e Álgebra Linear 349 1371 Respostas I a IIAII 9 b Não podemos garantir pois IlM II I I 22 2 Não vale pois M 6 3Jr 32 6J3 32 10 é urna matnz com JIT li Mil 1011875 e no entanto seus autovalores são 0875 e 0125 aproximadamente 3 Pode pois o módulo de cada elemento da diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos que estão na mesma linha 4 a 191 96 x I OI e IIX 4 XII 185 64 21 16 b 2317 1152 x 13829 e IIX 4 XII 0151 9216 12281 9216 O processo de GaussSeidel converge mais rapidamente que o de Jacobi Leitura Sugeridas e Referências I Barros L Q Introdução ao Cálculo Numérico Edgard Blücher Ltda São Paulo 1972 2 Conte S D Elementos de Análise Numérica McGrawHill New York 1972 3 Isaacson E e Keller H Analysis of Numerical Methods Wiley New York 1966 4 Protter M e Morrey C College Calculus with Analytic Geometry Addison Wesley Publishing Company Inc Reading 1965 CONJUNTOS CONVEXOS E PROGRAMAÇÃO LINEAR 141 INTRODUÇAO Um problema de otimização envolve maximizar ou minimizar uma função restrita a certas condições Estamos sempre interessados em minimizar custos maximizar lucro rendimento etc A programação linear é uma técnica que permite a resolução destes problemas no caso específico em que as funções a serem analisadas são funções afins lineares mais constante e as restrições são dadas por desigualdades lineares regiões poliedrais convexas Neste capítulo introduziremos os conjuntos convexos e analisaremos os máximos e mínimos que as funções afins assumem nestes conjuntos traduziremos problemas concretos para esta linguagem e procuraremos resolvêlos Isto será feito de uma maneira mais conceitual e geométrica nas seções 142 e 143 e de uma maneira algorítmica e programável na seção 145 escrita pelo professor Antonio Carlos Moretti que vem trabalhando em muitos problemas nesta área e que nos deu valiosas sugestões para esta nova versão Os resultados de conjuntos convexos e programação linear começaram a ser organizados no final do século passado e início deste século a partir de trabalhos de matemáticos como H Minkowski A Haar H Weyl A partir dos anos 40 tivemos Conjuntos Convexos e Programação Linear 351 um rápido desenvolvimento dessa área principalmente no que se refere ao desenvolvimento de algoritmos que permitiram programar e resolver inúmeros problemas aplicados envolvendo muitas variáveis A grande difusão da programação linear nos últimos anos devese ao fato de que embora ela trate de um problema específico ela é uma técnica simples e muitos problemas do cotidiano podem ser fonnulados segundo esta linguagem 142 CONJUNTOS CONVEXOS As noções que introduziremos a seguir visam wna caracterização de regíões convexas especiais O conceito de variedade linear de um espaço vetorial é algo que abrange seus subespaços e as translações destes 1421 Definição Um subconjunto A de um espaço vetorial V é uma variedade linear de V se existe um subespaço W de V e um vetor v0 de V tal que A j v E V v v0 w para w E W f Usaremos a notação A v0 W para indicar a variedade linear Observe que se v0 O então A não é um subespaço Por dimensão de A denotada dim A entendemos a dimensão de W 1422 Exemplos Exemplo 1 Um exemplo de uma variedade linear de dimensão I no R 2 é uma reta que passe ou não pela origem como indica a Figura 1421 Figura 1421 Bibhoteca de Ciéncra Tecncl UFPe 352 ÁLGEBRA LINEAR Um ponto do plano é uma variedade linear de dimensão zero Exemplo 2 Todo subespaço é em particular uma variedade linear v0 0 Exemplo 3 Como já vimos Exemplo 9 de 432 o conjuntosolução de 2x4y Zl x y2z1 X 3y Z 0 não é um subespaço vetorial de M3 1 Resolvendo o sistema vemos que os vetoressolução são da forma Note ainda que os vetores do tipo sendo solução do sistema homogêneo associado Exercícios 20 e 22 da secção 26 formam um subespaço W de M3 1 de dimensão 1 Portanto o con junto dos vetoressolução do nosso sistema descrito em é uma variedade linear de dimensão 1 Exemplo 4 De modo geral se um sistema de equações lineares é compa tível isto é admite solução seu conjuntosolução é uma variedade linear de dimensão igual ao grau de liberdade do sistema Verifique isto Compare com o Exercício 21 da secção 26 No caso particular do Exemplo 4 acima em que temos apeas uma equação linear a variedade linear determinada por esta equação será chamada hiperplano Conjuntos Convexos e Programação Linear 353 Por exemplo em R 3 observe que estamos identificando M3 1 com R 3 o hi perplano determinado pela equação 2x 3y 3z 2 O é o plano z X Figura 1422 No caso de R2 um hiperplano é uma reta faça um exemplo Um hiperplano divide o espaço vetorial em 2 semiespaços Por exemplo ao considerarmos o hiperplano em R3 descrito por 2x 3y 3z 2 O teremos o espaço dividido em uois semiespaços que são os pontos x y z que satisfazem 2x 3y 3z 2 O ou 2x 3y 3z 2 O respectivamente Na figura Figura 1423 a região hachureada representa o semiespaço 2x 3y 3z 2 O Se considerarmos agora o hiperplano x y 1 O no R2 que é uma reta no plano qual é o semiespaço descrito por x Y 1 Q Note que como aqui o espaço vetorial é o R2 o semiespaço será dado geometricamente por um semiplano Para resolvermos este problema uma vez traçado o hiper plano no caso a reta x y 1 O escolhemos um ponto de R 2 por exem plo a origem 0 O e verificamos se ele satisfaz ou não a desigualdade Neste caso como para x O y O x y 1 I n o ponto 0 O não está no semiespaço procurado este será aquele que não contém a origem 354 ÁLGEBRA LINEAR Figura 1424 Usase ainda aistinguir entre semiespaço fechado o que contém o hi perplano e semiespaço aberto o que não contém o hiperplano No último exemplo o semiespaço aberto descrito por x y I O será o semiplano assinalado excluindose a reta x y I O Para hiperplanos defmidos por uma equação de mais do que três variáveis não teremos uma visão geométrica dos semiespaços vetoriais como nos exem plos anteriores mas estes conceitos são abordados da mesma maneira Hiperplano H x 1 xn E R a 1x 1 anxn b é uma variedade afim de dimensão n I que divide o Rn em dois subespaços feciuJdos 1423 Vamos agora apresentar um problema que nos guiará nos itens a seguir Suponhamos que um agricultor queira adubar a sua plantação e dispo nha de dois tipos de adubo O primeiro contém 3 g de fósforo I g de nitrogê nio e 8 g de potássio e custa I O ucp por quilograma O segundo tipo contém 2 g de fósforo 3 g de nitrogênio e 2 g de potássio e custa 8 ucp por quilograJJia Sabemos que um quilograma de adubo dá para I O m2 de terra e que o solo em 4ue estão suas plantações necessita de pelo menos 3 g de fósfo ro I 5 g de nitrogênio e 4 g de potássio a cada I O m2 Quanto o agricultor de ve comprar de cada adubo para cada I O m2 de terra de modo a conseguir ter o mínimo custo Conjuntos Convexos e Programação Linear 3SS X y Necessidades Tipo A Tipo B minimas de adubo Fósforo 3 2 3 Nitrogênio I 3 I 5 Potássio 8 2 4 Custo 10 ucp Custo 8 ucp Chamemos de x a quantidade em kg de adubo do primeiro tipo e y a do segundo tipo Evidentemente x e y não podem assumir qualquer valor pois de vemos ter x O e y O e além disso x kg do primeiro adubo fornece 3x g de fósforo enquanto que y kg do segundo tipo fornece 2y g de fósforo Então se usarmos x kg do primeiro e y kg do segundo estaremos adicionando 3x 2y gramas e pela exigência mínima do solo devemos ter 3x 2y 3 Analogamente para o nitrogênio e o potássio deveremos ter x 3y I 5 e 8x 2y 4 Então os valores x e y devem satisfazer simultaneamente x 0 y 0 3x 2y 3 x 3y 15 8x 2y 4 Colocando num gráfico as quantidades x como abscissa e como ordenada como mostra a Figura 1425 observamos que estas restrições nos conduzem a Bx 2v 4 O x 3v 15 o Figura 1425 Biblioteca de 1 Ciécla nolgta 356 ÁLGEBRA LINEAR Isto é para que os valores x e y satisfaçam simultaneamente todas as desigual dades o ponto x y deve estar na região hachureada A Note que esta região A é dada por uma intersecção de semiespaços fechados do R2 Além disso queremos que o custo dado pela função xy 10x8y seja mínimo isto é estamos procurando na região hachureada qual é o ponto x y no qual fx y tem o menor valor Para resolver este problema devemos então estudar um pouco mais as propriedades dos conjuntos do tipo de A e das funções do tipox y Para isto precisamos das definições dadas a seguir 1424 Definição Sejam A e B dois pontos do R O segmento de extre mos A e B é o conjunto AB de pontos R dado por AB 1 tA tB O t 1 Esta definição corresponde exatamente à nossa intuição de segmento em dimensão dois e três Observe que no segmento AB o ponto que corresponde a t O é o pon to A o ponto que corresponde a t 1 é B e a qualquer ponto P do segmen to existe t 1 E R tal que O 11 1 e P 1 t 1A t 1B Tomemos por exemplo A 1 2 e B 3 1 em R2 Dado o ponto P 7 O sobre o 7 2 2 3 segmento podemos escrever 3 O I J I 2 3 3 1 ou seja existe t t O t 1 tal que P I tA tB Por outro lado se to mamos t 1 tal que O t 1 1 por exemplo 11 i e fazemos P 1 I tJA t 1B 2 1 verificamos facilmente que P1 está sobre o seg mento AB 2 A 3 1 8 Figura 1426 1425 Definição Um subconjunto S do Rn é chamado convexo se para quaisquer dois pontos A e B de S o segmento AB está inteiramente contido em S Conjuntos Convexos e Programação Linear 357 Exemplo não é convexo la b é convexo não é convexo lei d lei f Figura 1427 358 ÁLGEBRA LINEAR 1426 Teorema Um semiespaço fechado é convexo Prom Mostremos isso no caso de R2 O caso geral é feito usando o mesmo argumento No caso de R2 um semiespaço fechado é constituído por pontos x y que satisfazem uma expressão do tipo ax by c O Precisamos mostrar que se tomarmos dois pontos quaisquer do semiespaço o segmento que une estes pontos está contido no semiespaço Sejam A x0 y 0 e B x yd dois pontos quaisquer do semiespaço e seja P um ponto qual quer de AB Existe então r 1 E R com O r 1 I tal que P I rx0 y 0 rx y 1 Ir 1x0 r1x 1 I ry0 ry e temos que verificar se aIrx0 r1x bI ry0 ryj c O que é a condição para P estar no semiespaço Mas aI r 1x0 r1x 1 bI r1y0 ry c I rax0 t 1ax 1 I t 1byo t 1 by 1 I r 1 c r1c I t 1ax0 by0 c 11ax 1 by c e como ax0 by 0 c O e ax 1 by 1 c O pois A e B estão no semi espaço e I 11 O e r O pois O r 1 a relação é satisfeita Assim como P está no semiespaço e P era um ponto arbitrário de AB então o segmento AB está inteiramente contido no semispaço e portanto este é convexo 1427 Teorema A intersecção de conjuntos convexos é um conjunto convexo Prova Sejam S 1 e S2 dois conjuntos convexos Precisamos mostrar que se A e B são dois pontos quaisquer de S 1 n S2 então AB C S 1 n S2 Mas se A B E S n S2 então A B E S 1 e como S é convexo AB E S 1 Analogamente se A 8 E sI n s2 então A B E sl e como s2 é convexo AB E S2 Como AB está contido simultaneamente em S 1 e S2 então AB E s n S2 Portanto SI n sl é convexo 1428 Definição Uma região poliedral convexa fechada em R é uma intersecção de uma quantidade finita de semiespaços fechados do Rn Devido aos dois teoremas anteriores uma região poliedral convexa é um conjunto convexo 1429 Um conjunto A c Rn é dito limitado se existirem constantes ki 1 ntaisquesex 1 xnEA então X ki i 1 n Conjuntos Convexos e Programação Linear 359 14210 Exemplos Exemplo ai lei região convexa limitada do R3 Fjgura 1428 b di Note que da maneira como foi definida uma região poliedral convexa fechada é sempre obtida por um sistema de desigualdades lineares uma desigualdade para cada semiespaço Como exemplo veja de 1423 e Figura 1425 Numa região poliedral convexa procuramos pontos especiais os vértices Na região poliedral convexa do exemplo 1423 eles são os pontos P O 2 P t t P fr e P4 f O Note que estes pontos são dados por intersecção de duas das retas que definem os semiespaços Assim por exemploP2 é dado pela solução do sistema 360 ÁLGEBRA LINEAR 3x 2y 3 8x 2y 4 o o Note porém que o ponto O que é solução do sistema 3x 2Y x3 O o não pertence à região A Este comentário nos leva a 14211 Definição Dada uma região poliedral convexa fechada do R de terminada por um sistema de inequações lineares os vértices dessa região são os pontos da região que satisfazem um dos posslveis sistemas de n equações lineares independentes obtidas substituindose as desigualdades por igualdades Observação Depois de resolver um sistema a fim de verificar se o ponto está na região testamos para ver se ele satisfaz todas as desigualdades 14212 Caracterização Geométrica dos Vértices Os vértices que aqui foram definidos algebricamente são os pontos extremos da região poliedral convexa R Com isto queremos dizer que eles são os pontos da região que não estão contidos no interior de nenhum segmento contido na região Mais fonnalmente Pé vértice de R se e somente se P está num segmento AB contido em R então P A ou P B Prove este fato Sugestão Se PER satisfaz uma igualdade a 1x 1 anxn b Ohiperplanoentão pv e pvsatisfazem a desigualdade correspondente se e somente se v satisfaz a igualdade a 1 x 1 anxn O lembrese depois disto que a única solução de um sistema homogêneo de nequações LI é o vetor nulo 14213 Exemplo I A região A do problema 1423 é descrita pelas desigualdades xO yO 3x 2y 3 X 3y I 5 8x 2y 4 Ao substituinnos por igualdades e tomarmos os sistemas de duas equações obtemos 10 f Dentre estes determinaremos os vértices verificando quais satisfazem o sistema de inequações que defmem a região A Neste caso teremos apenas os pontos P 1 P 2 P 3 e P 4 nestas condições Verifique i Conjuntos Convexos e Programação Linear 361 Exemplo 2 Considere pelo sistema de in os a regtao poliedral convexa fechada de R 3 dada equaçoes lmeares X y Z 3 yz2 X x2y 1 O Então os possíveis vértices sao da dos pelos sistemas de t x y z 3 res equações y z 2 3 I I á x 2y I est na região pois satisfaz todas as in e quaçoes f yz2 X 2y I X 0 X y Z 3 y z 2 X 0 X y Z 3 X 2y I X 0 E a região é o 1 s 2 2 está na região O está na região o 1 1 2 2J está na região z 1 5 1022 Figura 1429 v X 362 ÁLGEBRA LINEAR Agora estamos em condições de caracterizar problemas como o introduzido em 1423 e que podem ser resolvidos pela técnica específica que é a programação linear 143 INTRODUÇÃO A PROGRAMAÇÃO LINEAR PL A programação linear trata do problema específico de Maximizar ou minimizar uma função do tipo fx1 Xn a1x1 nXn b restrita a um subconjunto A poliedral convexo de Rn Note que f R R é uma transfonnação afim isto é fx L x b onde L é uma transfonnação linear b E R Na linguagem de programação linear PLfé chamada função objetivo fo e A é denominada região factível No exemplo da seção 1423 fo é dada por fx y Ox 8y e a região factível é a região A descrita por xO yO 3x 2y 3 X 3y I 5 8x2y4 Nosso problema é minimizar f restrita a A 1431 Método Geométrico Vamos finalmente resolver o problema proposto em 1423 O procedimento que vamos seguir é conhecido como método geométrico de resolução em PL Vamos reescrever a fo acima utilizando produto interno do R 2 fx y 10 8 x y c 10 8 é denominado vetor gradiente e xxy Observação 1 f é constante nas retas perpendiculares ao vetor c I O 8 De fato Uma reta perpendicular a C pode ser escrita na fonna paramétrica do seguinte modo Conjuntos Convexos e Programação Linear 363 figura 14310 x y x y À 8 lO ou seja x x À c J 10x8y727 10x av O onde x x y é o vetor deslocamento que podemos tomar na direção de c Portantofx y c x c x ÀC 1 c x c x cosa e neste caso cos o I Observação 2 Da observação I você pode notar que f será tão menor quanto menor for o deslocamento x ou seja fx y assume seu mínimo no ponto ou pontos da região factível que estiver na letalerpendicular a c mais próximo da ongem Em nosso problema o ponto e P3 que é um vértice da região factível 7 14 1432 Exemplo Uma fábrica produz dois tipos de geradores tipo A e tipo B e cada um deles deve passar por duas máquinas C e D Para fazer um gerador do tipo A a máquina C deve trabalhar 2 horas e a máquina D deve trabalhar 4 horas Para fazer uma unidade do tipo 8 as máquinas C e D devem trabalhar respectivamente 4 e horas As máquinas podem trabalhar 24 horas por dia Sabese que a fábrica tem um lucro de 3000 ucp por um gerador do tipo A e um lucro de 5000 ucp por um do tipo B Além disso ela vende toda a sua produção Sendo assim perguntamos quantos geradores de cada tipo a fábrica deve produzir para que seu lucro seja máximo 364 ÁLGEBRA LINEAR Chamemos x a quantidade do tipo A e y a do tipo B e observemos as restrições sobre x e y Se são fabricados x geradores do tipo A o tempo gasto pela máquina C é 2x e se são fabricados y geradores do tipo B o tempo gas to pela máquina C é 4y ou seja o tempo total usado pela máquina C é 2x 4y que deve ser menor que 24 horas Analogamente temos uma restri ção para a máquina D Devemos ter então X Ü y o 2x 4y 24 4x 2y 24 que nos fornece a região mostrada na Figura 14311 cujos vértices são 0 O 6 0 4 4 e 0 6 A função que queremos maximizar é a função lucro y Figura 14311 fx y 3 OOOx 5000y Use o método geométrico descrito no exemplo anterior para detenninar o máximo de observando que para obter o máximo você deve caminhar na região por retas perpendiculares ao vetor gradiente da fo e no mesmo sentido dele 1433 Tipos de Solução Baseado no método geométrico que descrevemos na seção anterior já se pode intuir vários tipos de solução de problemas de programação linear de duas variáveis Conjuntos Convexos e Programação Linear 36S Vamos considerar todos os tipos possíveis de regiões poliedrais convexas no R e pesquisar os máximos e mínimos de uma função fx y ax by t c Na Figura 14312 tomamos a 1 e b 2 a Regiões ilimitadas sem vértices b Regiões ilimitadas com vértices 366 ÁLGEBRA LINEAR c Região limitada portanto com pelo menos três vértices d Casos degenerados reta semireta I ponto segmento Figura 14312 Conjuntos Convexos e Programação Linear 367 Podemos observar portanto que a função fx y x 2y c na região R 1 assume mínimo em toda reta fronteira de R 1 e não assume máximo R 2 não assume máximo nem mínimo R 3 não assume máximo nem mínimo R4 assume mínimo nos vértices A e B portanto assume mínimo em todo segmento AB e não assume máximo R 5 assume mínimo no vértice A e máximo no vértice C R 6 não assume máximo nem mínimo R 1 assume máximo no vértice A e não assume mínimo R8 assume mínimo no vértice B e máximo no vértice A R 9 tem o valor máximo igual ao valor mínimo e igual afA Exercicioa Descreva através de inequações as regiões Rt R 2 R 9 acima b Faça um estudo semelhante ao que foi feito acima para determinar os máximos e mínimos de fx y 2x y c nas regiões R 1 R 2 R 9 1434 Resolução do Problema para nvariáveis Podemos estender o método geométrico descrito no Exemplo 1431 para problemas de PL em geral Teremos então para fx 1 xn a 1 x 1 anxn b o vetor gradiente c a 1 a2 an E Rn Em termos de produto interno temosfx x c b x x 1 xnJ A função objetivo será portanto constante nos hiperplanos perpendiculares a c Para as noções de perpendicularismo e coseno do ângulo entre vetores do Rn consulte se necessário o Capítulo 8 No caso de problema envolvendo três variáveis ainda é possível visualizar geometricamente Os pontos de mínimo ou máximo da fo serão procurados varrendose a região factível por planos perpendiculares ao vetor gradiente ca 1a2a3 ER3 Exerccio Para fixar melhor este procedimento considere a função f x y z 4 x 2y z Determine o valor máximo e o valor mínimo que assume na região descrita no Exemplo 2 de 14213 Observe os pontos onde isto ocorre Fica difícil trabalhar na prática com este procedimento geométrico para quatro ou mais variáveis Mas esta noção de procurar máximos em ínimos da funçao objetivo por uma varredura de hiperplanos perpendiculares ao gradiente nos permite intuir dois fatos cruciais na programação linear 368 ÁLGEBRA LINEAR i A função objetivo assume necessariamente um valor máximo e um valor minimo quarulo a região poliedral convexa factível for limitada ii Os vértices desempenham um papel fundamental na procura de máximos e mínimos para a função objetivo Volte aos exemplos anteriores de PL tente observar o porquê deste fato Na próxima seção vamos fonnalizar esta última observação estabelecendo o resultado que é fundamental na resolução de problemas de PL 1435 Teorema Fundamental da Programação Linear O primeiro resultado nos diz que os valores extremos de uma função afim são assumidos nos pontos extremos dos segmentos LemalSejafx 1 xa1x 1 a2x 2 anxnb esejaPumponto interior a um segmento AB do R isto é P ÀA I À B O À I Então teremosfA fP fB ou fB fPfA Prova Como P À A I À B e f é uma transfonnação afim fxLx b ondeLxLx 1 xa 1x 1 a2x 2 anxn élinear f P L P b L À A I À B b U A I À L B b SuponhafA fB L A L B ComofP L A I ÀL B b temos U A I À L A b fP U B I À L B b L A b f P L B b Portanto fAfPfB Da mesma forma se tivennosfB fA mostramos que fB fP fA Uma conseqüência deste resultado é o lema a seguir que você poderá provar como exercício Lema 2 Sejafx 1 x a 1x 1 a2x 2 anxn b Se dentre os valores que f assumir num segmento AB do Rn o valor máximo mínimo for assumido num ponto P interior deste segmento então f será constante em AB Analisando os enunciados dos lemas 1 e 2 e a natureza de uma região poliedral convexa estamos em condição de enunciar o principal resultado da PL Conjuntos Convexos e Programação Linear 369 Teorema Fundamental da Programação Linear Sejafx xax anxn b definidanumaregiãopoliedral convexa A do R Suponha que f assuma um valor mjximo mínimo nesta região Então se A possui vértices este valor máximo mínimo será assumido num vértice Prova Para regiões A do R2 Suponhamos que o valor máximo mínimo de f seja assumido num ponto P de A Considerando todas as regiões poliedrais convexas possíveis do R 2 veja 1433 podemos ter i Pé um vértice Neste caso o teorema já estará provado ii P está numa aresta Do lema 2 f assumira este valor máximo mínimo em toda aresta Como a região A possui vértices esta aresta conterá um vértice v obrigatoriamente Por quê Portanto f P f v iii P está no interior de A Neste caso f será constante em toda região A De fato Q p a Figura 14412 Seja Q um outro ponto interior de A Como A é poliedral convexa o segmento QP está contido em A além disso como Pé interior podemos considerar um prolongamento Q Q deste ainda contido em A Do lema 2 segue que f é constante em QQ e portanto fP f Q Observação 1 A prova deste teorema para nvariáveis vai envolver um número maior de possibilidades o ponto inicial de máximo mínimo poderá estar i num vértice ii numa aresta solução de n I equações Neste caso o máximo mínimo será assumido em toda a aresta qtte é um subconjunto de dimensão 1 Biblioteca de Ciência Tecnc I uc 370 ÁLGEBRA LINEAR iii numa face solução de n 2 equações Neste caso o máximo mínimo será asswnido em toda a face que é um subconjunto de dimensão 2 ni num ponto interior da região A que tem dimensão n Neste caso a função será constante em toda região Podese mostrar que em todos estes casos quando a região tem vértices conseguimos um vértice v onde a função assume seu máximo mínimo fv fP Observação 2 É este teorema que permite nos casos em que pela natureza da função já sabemos que ela assume máximo mínimo encontrálo apenas determinando seus valores nos vértices da região poliedral convexa Exemplo No problema proposto na seção 1423 temos f x y I Ox 8y O pois x O e y O f é portanto limitada inferiormente o que nos permite concluir que ela asswnirá um mínimo na região que é fechada Para encontrálo bastará portanto calcular o valor da função nos vértices da região Regiões Limitadas Uma situação onde para qualquer função objetivo temos necessariamente máximo e mfuimo acontece quando a região A for limitada Para mostrar este fato você deve voltar para a solução geométrica dos problemas de PL 143 Note que ao varrermos o R por hiperplanos perpendiculares ao vetor gradiente da fo sempre tocaremos a região A uma primeira e uma última vez Além disto uma região poliedral convexa limitada claramente possui vértices por quê Isto nos permite reescrever o teorema fundamental PL para este caso Teorema Seja fx 1 x 2 xn a 1x 1 anxn b definida numa região poliedral convexa limitada A Então f assume seus valores máximo e mínimo nos vértices de A Algoritmos para Resolver Problemas de PL Vimos nesta seção que grande parte dos problemas de programação linear se resolve analisandose apenas os valores da função objetivo nos vértices da região factível Tanto a determinação dos vértices resolução de sistemas lineares quanto o cálculo da fo nestes são possíveis de algoritmos e de programação para calculadoras microcomputadores e computadores Na próxima seção introduziremos um destes métodos conhecido por método simplex Conjuntos Convexos e Programação Linear 371 Programação Linear Inteira Muitos problemas práticos podem ser formulados como maximizar ou minimizar uma função do tipo fxt xn a 1x 1 anxn b numa região poliedral convexa com a restrição adicional que as variáveis são inteiros Este é o caso por exemplo do problema proposto em 1432 Na resolução de um problema de PL nem sempre o máximo ou mínimo ocorrem em pontos cujas coordenadas são números inteiros condição indispensável na formulação de certos problemas Existem técnicas para se determinar soluções inteiras ótimas máximo ou mínimo isto é soluções mais próximas dos vértices de máximo ou mínimo Em alguns problemas você poderá fazer isto intuitivamente veja Exercício 16 de 144 No caso geral estes problemas são tratados na subárea de PL denominada Programação Linear Inteira veja referências ao final do capítulo 144 EXERCICIOS I Na definição de variedade linear em 1421 prove que v0 E A O vetor v0 é único W é único Interprete geometricamente 2 Desenhe a região em R definida pelas desigualdades Quais são seus vértices 2x y90 x 3y 6 O x2y30 3 Desenhe a região definida em R 3 pelas desigualdades anteriores 4 Quais são os vértices da região poliedral convexa em R 2 definida por Desenhe esta região xO 2x 3y 2 3x 2y 2 X y I 5 Se duas regiões poJiedrais convexas são definidas por dois conjuntos de desi gualdades lineares a intersecção destas regiões é defmida por qual conjunto de desigualdades 6 A união de dois conjuntos convexos é convexa 372 ÁLGEBRA LINEAR 7 Sejam A 1 2 3 e B O I 1 dois pontos de R 3 O ponto 0 O O está sobre o segmento AB 8 Uma região poliedral convexa fechada de R tem vértices 2 0 3 4 1 O e 1 1 Ache um conjunto de desigualdades que defina esta região 9 Ache os pontos de máximo e os pontos de núnimo da função x y 7x 5y 2 definida na região determinada pelas desigualdades 2x y90 X 2y 6 0 xO x y40 10 Uma máquina produz dois tipos A e B de frascos de vidro mas não simul taneamente Ao produzir um frasco do tipo A ela gasta 02 horas e ao pro duzir um tipo B gasta 04 horas Sabendo que a máquina pode trabalhar no máximo 16 horas por dia e que o fabricante tem um lucro de 2 ucp com um frasco tipo A e 3 ucp com um frasco tipo B quantos frascos de cada tipo devem ser produzidos para que o lucro seja máximo 11 Uma companhia de transportes dispõe de 4 caminhões com capacidade para transportar 5000 kg 4 caminhões de I 0000 kg de capacidade e 2 caminhões de 20000 kg de capacidade O custo por hora dos caminhões do primeiro tipo é 200 ucp do segundo 300 ucp e do terceiro 400 ucp Como devem ser usados os caminhões para transportar uma carga de 80000 kg para que o custo seja mtnimo 12 Uma indústria produz porcas parafusos e pregos podendo usar dois métodos distintos mas não sirnultaneamen te para produzilos O primeiro método pro duz 3000 porcas 2000 parafusos e 2500 pregos por hora enquanto o se gundo produz 4000 parafusos e 4000 pregos por hora mas nenhuma porca A indústria trabalha 18 horas por dia e tem uma encomenda de 5000 por cas 5000 parafusos e 5000 pregos Durante quantas horas ela deve empre gar cada método para fazer a entrega o mais rapidamente posslvel 13 Seja x y 3x 3y definida na região poliedral convexa abaixo a Qual o valor máximo e núnimo de f b Calcule os valores A fB e fP onde P é um ponto no segmento AB c Use a e b para determinar os pontos onde I atinge o máximo e os pontos onde assume o mínimo Conjuntos Convexos e Programação Linear 373 1 A E B D C Figura 14413 14 Numa indústria química há uma caldeira cuja margem de segurança é tal que a pressão P medida em atmosferas e a temperatura T medida em graus Celsius devem ser reguladas de maneira que I O P T 400 Querse usar a caldeira para que seja processada uma detenninada reação Para que isto ocorra da forma desejada a temperatura deve estar entre 80C e 300C e a pressão entre I e 20 atmosferas A que temperatura e pressão deve trabalhar a caldeira para que a reação se processe no menor tempo possível se sabemos que a velocidade da reação é dada por v 2 T 30 P 20 15 Mostre que uma região poliedral convexa limitada A do R 3 pode ser caracterizada pelos seus vértices v1 vn da seguinte maneira A xER3 xÀtVl ÀnVn oÀl i l n f 16 Construção de Casas Populares Problema coletado pelo Prof Rodney Bassanezzi em GuarapuavaPR Tipo de Casa A B c Número de pessoas 6 4 3 que abriga Custo de construção 1200 1000 800 em UPC Demanda 50 200 250 nl de fami1ias que solicitaram 374 ÁLGEBRA LINEAR Verba total disponível 2000000 UPC a Determine quantas casas de cada tipo devem ser construídas de modo a atender o maior número de pessoas possível b Resolva o item a supondo que o custo da casa do tipo B passou para 1040 UPC c Estabeleça um critério que leve em conta o número de pessoas e o número de famtlias que solicitaram as casas Determine o número de casas de cada tipo a serem construídas de modo a otimizar o critério que você adotou 145 METODO SIMPLEX 1451 Introdução O método gráfico apresentado na seção anterior é utilizado apenas para problemas com duas ou três variáveis Para problemas maiores o método gráfico tomase impraticável neste caso nós precisamos de uma técnica eficiente para resolver problemas de programação linear com mais de três variáveis Esta técnica é o método simplex O método simplex nada mais é do que um algoritmo de busca isto é ele começa num vértice da região factível e movese de um vértice factível a outro até encontrar o vértice ótimo Foi desenvolvido em 1947 por George B Dantzig e após sua concepção houve um crescimento espantoso da programação linear com centenas de livros e artigos publicados nos círculos acadêmicos Antes de 1947 a programação linear era praticamente desconhecida havendo entretanto algumas exceções por exemplo Fourier 1823 de la Poussin 1911 Kantorovich 1939 A pouca utilização da programação linear antes de 194 7 era devida à grande dificuldade computacional de se resolver problemas lineares pelo fato de existir um grande número de combinações factíveis e nãofactíveis a serem pesquisadas Com o método simplex essa dificuldade foi otimizada pois o algoritmo simplex realiza uma busca apenas nos vértices factíveis que pertencem à região factível Nesta seção introdUziremos o método simplex através da resolução de um modelo simples de programação linear Uma visão algébrica do método simplex também será apresentada para que o leitor verifique que atrás do procedimento mecânico do método simplex existe toda uma base algébrica Por último será apresentado um programa na linguagem Basic que resolve problemas de programação linear e pode facilmente ser implementado em qualquer microcomputador existente no mercado Conjuntos Convexos e Programação Linear 375 1452 Exemplo do Fabricante de Móveis Problema Vamos considerar um fabricante de móveis que fabrica apenas mesas e cadeiras Ele tem um lucro de Cr450000 em cada cadeira e de Cr 800000 em cada mesa vendida Supõese que devido à forte demanda desses itens conseguese vender toda a produção da fábrica Mas a produção da firma é limitada em dois aspectos 1 Cada cadeira produzida utiliza 5 unidades de jacarandá Da mesma forma cada mesa de jacarandá produzida utiliza 20 unidades de jacarandá Dispomos de um total de 400 unidades de jacarandá 2 Cada cadeira produzida gasta O homenshoras e cada mesa produzida gasta 15 homenshoras Dispomos de um total de 450 homenshoras O objetivo do fabricante é descobrir qual a quantidade ótima de cadeiras e mesas a serem fabricadas de tal modo que o lucro total seja o maior possível 1453 Modelando o Problema Matematicamente Em primeiro lugar vamos identificar as variáveis do modelo Vamos chamar de x 1 número total de cadeiras fabricadas e de x 2 número total de mesas fabricadas Uma vez identificadas as nossas variáveis na tenninologia de programação linear chamadas de variáveis de decisão fica fácil estabelecer o modelo matemático do problema do fabricante de móveis O lucro do fabricante pode ser expresso da seguinte maneira L 4500x 1 BOOOx e as restrições do problema 5x 1 20x2 400 restrição de disponibilidade da matériaprima 1 Ox J5x2 450 restrição de disponibilidade de mãodeobra 0 restrições de nãonegatividade x o Lucro é defmido como o preço de venda meoos o custo de fabricação 376 ÁLGEBRA LINEAR E assim o modelo de programação linear do problema do fabricante de móveis pode ser estabelecido fonnahnente da seguinte maneira Max L 4500x 1 8000x2 sa 5x 1 20x 2 400 R 10x1 15x2 450 R 2 x o R x O R 4 1454 Solução Geométrica Desenhando as restrições descritas na seção 1453 obtemos a seguinte região factível mesas Figura 14513 x 1 cadeiras Portanto utilizando o método gráfico verificamos que o vértice C é o vértice ótimo e corresponde à fabricação de 24 cadeiras e 14 mesas com um lucro de 24 4500 14 8000 Cr 22000000 1455 Forma Padrão do Problema do Fabricante de Móveis Como foi visto nas seções anteriores a solução ótima para qualquer problema de programação linear ocorre num dos vértices da região factível Esses vértices ocorrem onde retas se cruzam Portanto antes de resolver um Conjuntos Convexos e Programação Linear 377 problema de programação linear pelo método simplex devemos transf01mar o sistema de inequações Urrares geradas pelas restrições do problema em um sistema de equações lineares ou seja devemos transformar o problema de programação linear original na forma padrão Problema do fabricante de móveis Max L 4500x1 8000x2 sa 5x1 20x2 400 Ox 1 15x2 450 x o Xz o Nós devemos transformar a inequação 5x 1 20x 400 em equação para isto basta associar uma variável x 3 que é chamada de variável de folga na inequação 5x 20x x 400 Usando o mesmo raciocínio para a 2t restrição obtemos Ox 1 5x2 x4 450 Logo o problema na forma padrão fica Max L 4500x1 8000x2 sa 5x1 20x2 x 3 400 10x 1 15x2 x 4 450 x 1x2 x3x4 O 1456 Algumas Definições Considere o seguinte sistema linear auxl atzXz alnXn b1 OztXI a2zXz aznxnbz que escrito na forma matricial tomase Axb Suponha que o posto de A seja igual a m e que n m 378 ÁLGEBRA LINEAR a Solução Básica Dado um conjunto de m equações lineares com m incógnitas conforme definido em D vamos chamar de B qualquer submatriz m X m nãosingular formada por m colunas independentes de A se A tem posto igual a m então tal submatriz existe Por quê Veja 371 e seja Na submatriz m X n m formada pelas n m colunas restantes aquelas que não pertencem a B Portanto Ax b pode ser escrito da seguinte maneira Bx8 NxN b pois A foi particionada em B e N A 8 N e x em x8 e xN x xN onde x8 vetor de m componentes formado pelas variáveis associadas às colunas de B e xN vetor de n m componentes formado pelas variáveis associadas a N Então se todos os componentes de xN forem fixos iguais a zero a solução para o conjunto resultante Bx8 b é dito ser uma solução básica para CD com respeito à base B Os componentes de x8 são chamados de variáveis básicas e os componentes de xN de variáveis nãobásicas b Solução Básica Degenerada Se uma ou mais variáveis básicas em uma solução básica tem valor zero esta solução é dita ser solução básica degenerada Do ponto de vista geométrico isto ocorre quando temos um vértice determinado pela intersecção de mais de duas retas Vamos considerar agora o seguinte sistema o qual representa as restrições de um problema de programação linear na forma padrão c Solução Factível Um vetor x satisfazendo todas as restrições deé dito ser factível para este sistema Uma solução factível para que também é básica é chamada de solução básica factível Se esta solução também for uma solução básica degenerada ela será chamada de solução básica factível degenerada Considere agora o problema de programação linear na forma padrão Min ex sa Ax b j xO Conjuntos Convexos e Programação Linear 379 d Solução Básica Factível Otima É a solução básica factível que dentre todas as soluções básicas factíveis de nos dá o valor ótimo no caso o valor mínimo para a função objetivo Teorema Fundamental da Programação Linear Dado um problema de programação linear na forma padrão onde A é uma matriz m X n m de posto m i se há uma solução factível há uma solução básica factível ii se há uma solução factível ótima há uma solução básica factível ótima Do teorema anterior e da equivalência entre solução básica factível e vértice temos que o método simplex é finito pois um sistema linear de m equações com n m incógnitas tem no máximo m n mn soluções básicas nmm Logo o método simplex efetua um número menor que iterações para encontrar a solução ótima pois o algoritmo simplex é um procedimento de busca isto é movese de vértice factível em vértice factível ou seja de solução básica factível em solução básica factível até encontrar o ótimo Considere agora o problema do fabricante de móveis na forma padrão conforme estabelecido na seção 1455 e sua resolução geométrica na seção 1454 Temos que A 20 15 I o c 4500 8000 O O b 400 450T São soluções básicas I O ponto A Neste caso a base B é formada pelas colunas de x 3 e x4 na matriz A Portanto 380 ÁLGEBRA LINEAR e x8 vetor das variáveis básicas x3 x4 B Xs 1 b J x81 x3 x4 400 450 Fixando x 1 x 2 O temos que a solução basica associada à base B1 é x x 1 x 2 x 3 x 4 O O 400 450 2 O ponto B Tomando a base B2 r2o L21 temos BxB b 20 0 x 15 I x4 400 450 Portanto fixando x 1 x3 O temos que a solução básica associada à base B2 é x x 1 x 2 x 3 x 4 0 20 O 150 3 O ponto C B 5 10 x8 x 1x2 24 14 A solução básica associada à base 8 3 é x x 1 x 2 x 3 x 4 24 14 O O 4 O ponto D B4 15 Il x8 x 1x3 45 175 o oJ A solução básica associada à base B4 é x x 1 x 2 x 3 x 4 45 O 175 0 5 O ponto E Bs 20 IJ x8 x 2 x 3 30 200 15 o A solução básica associada à base 8 5 é x x 1 x 2 x 3 x O 30200 O 6 O ponto F B6 5 O x 8 x 1x4 80350 10 I Conjuntos Convexos e Programação Linear 381 A solução básica associada à base 8 6 é x x 1 x 2 x 3 x 4 80 O O 350 São soluções básicas factíveis vértices I o ponto A 2 o ponto B 3 o ponto C 4 o ponto D 1457 Tableau Simplex Vamos reescrever o problema do fabricante de móveis da seguinte forma Max L sa 4500x 1 8000x2 Ox Ox4 O 5x 1 20x 2 0xOx4 400 10x 1 J5x 2 0xOx4 450 x 1x2x3x4 o O método simplex sempre começa com uma base inicial fac tive Como no problema do fabricante de móveis todas as restrições são do tipo temos uma base óbvia que é a identidade referente às colunas das variáveis de folga x 3 e x 4 Portanto B x 8 x3 x4 400 450 ex 1 x 2 O se você não entendeu o porquê disso leia novamente a definição de solução básica factível E o tableau simplex associado a esta base inicial é Colunas Unhas da função objetivo Variáveis básicas L x x 2 3 x x 4500 8000 5 20 10 15 4 5 6 x x o o o I o 400 o I 450 Valor atual da função objetivo b b Biblioteca de Ciência TecnoOgi UFPel 382 ÁLGEBRA LINEAR O tableau simplex acima consiste de J 6 colunas A primeira contém informação sobre a base atual você lê na 1 coluna a função objetivo L e as variáveis x 3 e x 4 que são a nossa solução básica inicial As colunas 2 3 4 e 5contêm informação a respeito das variáveis x 1 x 2 x 3 e x4 respectivamente E a última coluna contém na I linha o valor atual da função objetivo e nas duas últimas os valores atuais das variáveis básicas x 3 e X4 2 3 linhas A primeira referese à linha da função objetivo os valores na linha da função objetivo excetuandose a última coluna são chamados pela terminologia da programação linear de custo reduzido As duas últimas linhas referemse às duas restrições do problema Para verificannos se o tableau expressa uma solução básica factível basta verificar se os valores das variáveis básicas são a O O tableau simpleX nos diz que a nossa base B é composta pelas colunasx3 e x 4 da matriz A veja a I coluna do tableau e os valores das variáveis básicas são lidos na última coluna O tableau nos diz também se a solução básica factível associada à base B é ótima ou não Para sabennos se a solução básica factível é ótima ou não basta verificar se existe alguma variável nãobásica que entrando na base melhore o valor da função objetivo 1458 Verificando quem Entra na Base As duas variáveis nãobásicas no tableau simplex são x 1 e X2 A coluna de x 1 no tableau simplex diz que Se aumentarmos a variável x 1 em uma unidade nós utilizamos 5 unidades de x 3 e 1 O unidades de X4 com um acréscimo no valor da função objetivo de Cr 450000 repare que temos 4500 porque passamos o custo de x 1 para o lado esquerdo da equação A coluna de x 2 diz que Ao aumentannos a variável X2 em uma unidade nós utilizamos 20 unidades de x 3 e 15 unidades de X4 e teremos um acréscimo de Cr 800000 no valor da função objetivo Como o nosso problema é maximizar nós não estamos no ótimo pois se entrarmos na base com uma das variáveis nãobásicas x 1 ou x 2 nós teremos um acréscimo no valor da função objetivo Há vários critérios de entrada na base mas o mais comum deles é fazer entrar na base a variável nãobásica que tiver o custo reduzido mais negativo pois assim nós teremos um acréscimo maior no valor da função objetivo isto não quer dizer que necessariamente chegaremos ao ótimo mais rápido Conjuntos Convexos e Programação Linear 383 Se seguirmos o critério acima a variável x 2 entra na base pois ela nos dá um acréscimo de Cr 800000 no valor da função objetivo se x 1 entrasse nós teríamos um aumento de apenas Cr 450000 Para x 2 entrar na base alguém precisa sair para manter o posto de B Quem sai da base Se uma unidade de x contribui em Cr 800000 para o lucro então nós devemos aumentar x 2 o máximo possível ou seja nós devemos aumentar x 2 até que ele não viole as restrições de matériaprima e mãodeobra Para a restrição de matériaprima nós temos 40020 20 indica que como nós temos um total de 400 unidades disponíveis de matériaprima e cada unidade de x 2 gasta 20 unidades de x 3 então 20 unidades de x 2 podem ser processadas sem que a variável x 3 tomese negativa Para a restrição de mãodeobra temos 450 30 indica que podemos processar 30 unidades de x 2 sem que 15 x4 tomese negativa Portanto nós devemos fabricar 20 unidades de x 2 pois se fabricarmos mais de 20 unidades a restrição de matériaprima será violada Observe que quando a variável x 2 aumenta a variável x 3 vai diminuindo e quando x 2 atinge 20 unidades a variável x 3 assume o valor zero Portanto a variável x 2 entra na base com valor 20 e x 3 sai da base porque zerou Observação Se houver mais de uma variável básica que assuma valores nulos então devese escolher apenas uma delas para deixar a base as demais ficam na base com valores iguais a zero solução degenerada 1459 Pivoteamento O tableau simplex deve expressar a nova base que é formada pelas colunas de x 2 e x 4 A primeira modificação a ser feita no tableau é trocar x 3 por x 2 na primeira coluna do tableau Agora a fim de que o tableau expresse a nova base é necessário isolar x 2 na sua coluna ou seja x o x1 0 384 ÁLGEBRA LINEAR Para transformar x2 na fonna acima nós devemos realizar operações no tableau de tal maneira que o elementopivô elemento que se encontra na intersecção da coluna da variável que entra na base com a linha da variável que sai da base se tome I e os demais elementos da coluna sejam transfonnados em zero Tal procedimento se chama pivoteamento e nada mais é do que realizar operações elementares veja secção 23 no tableau que é equivalente ao sistema gerado pelas restrições do problema na forma padrão com o intuito de transformar a coluna x2 na forma citada acima Portanto após efetuado o pivoteamento o tableau simplex tomase Tableau 2 x1 Xz X3 x L 2500 o 400 o 160000 Xz 14 I 120 o 20 x 254 o 1520 I 50 que corresponde à seguinte base r coluna original de x 4 J xB x2 x4 20 150 B 20 15 I coluna original de x 2 e temos a seguinte solução básica factível xx1x2 x3x0200 150 E o tableau 2 expressa o seguinte problema Max L 2500x 1 sa l4x1 254x 1 Ox 2 ox Ox 2 400x3 l20x3 1520x3 Ox 4 160000 ox 20 ox 50 que é equivalente ao problema original pois foram efetuadas operações elementares no problema original para se chegar ao problema acima A pergunta que nos surge é Estamos no ótimo De novo precisamos verificar se ao entrarmos com alguma variável nãobásica na base haverá um acréscimo melhoria no valor da função objetivo Conjuntos Convexos e Programação Linear 385 As nossas variáveis nãobásicas atuais são x 1 e x3 por quê Vamos verificar o que cada urna dessas colunas expressa A coluna de x 1 nos diz que Ao aumentarmos a variável x 1 em uma unidade sacrificamos 14 unidades de x 2 e 254 unidades de x4 e ao fazermos isto temos um acréscimo de Cr 250000 no valor atual da função objetivo A coluna de x3 nos diz Ao aumentarmos a variável x3 em uma unidade usamos I 20 unidades de x 2 e ganhamos 1520 unidades de x4 com decréscimo de Cr 40000 na função objetivo Portanto se a variável x1 entrar na base será um negócio lucrativo Enquanto que se a variável x 3 entrar na base será um mal negócio pois o valor da função objetivo diminuirá Logo a variável x 1 entra na base E quem sai da base Sai a variável que zerar primeiro Quando x 1 aumenta x 2 diminui em 14 portanto nós podemos aumentar x 1 até o valor de i4 80 sem que a variável x 2 se tome negativa E nós podemos aumentar x 1 até 4 6 25 24 sem que a variável x4 se tome negativa Assim a variável que zera primeiro é a variável x4 e portanto ela deixa a base Assim devemos pivotear sobre o elementopivô que fica na intersecção da coluna x 1 com a linha da variável básica x4 Após efetuadas as operações de pivoteamento sobre o tableau atual temos um novo tableau Tabeau 3 x1 Xz x3 x L o o 100 400 220000 Xz o I 425 125 14 x I o 325 425 24 Estamos no ótimo Para responder essa pergunta precisamos verificar o que as colunas das variáveis nãobásicas nos dizem 386 ÁLGEBRA LINEAR A coluna de x 3 nos diz que Ao aumentannos x 3 em uma unidade nós gastamos 425 unidades da variável x 2 e ganhamos 325 unidades de x 1 e esta ação nos leva a um decréscimo de Cr 10000 no valor da função objetivo Como o problema é de maximização seria um mal negócio fazer a variável x 3 entrar na base A coluna de x4 nos diz Ao aumentannos x4 em uma unidade nós ganhamos 125 unidades de x 2 e gastamos 425 unidades de x 1 ocasionando um decréscimo de Cr 40000 no valor da função objetivo Esta ação também não é lucrativa Como as variáveis nãobásicas atuais x 3 e x4 do problema não podem entrar na base pois se isso ocorresse nós teríamos um decréscimo no valor da função objetivo nós estamos no ótimo A base ótima é e a solução básica factível ótima correspondente a esta base é x x 1 x 2 x 3 x 4 I 24 14 O O solução única e finita O valor ótimo L 4500x 1 8000x2 CrS 22000000 Agora olhando no gráfico da região factível apresentado em 1454 verificamos o caminho feito pelo método simplex até alcançar o ponto ótimo x Tableau Solução Pontos correspondentes no gráfico 1 inicial x 0 0 400 450 A 2 x 0 20 0 150 B 3 x241400 c A tabela acima serve simplesmente para verificarmos que o método simplex caminha de vértice solução básica factível em vértice até alcançar o ponto ótimo 14510 Método Simplex Uma Visão Algébrica Considere o problema de programação linear dado baixo na fonna padrão onde Conjuntos Convexos e Programação Linear 387 Min z ex sa Ax b CD X 0 AE Rm x n m x E RI x n m bE Rlxm c E Rn m x I O que nós vamos fazer agora é particionar a matriz A em duas submatrizes B e N que chamaremos de submatriz básica e submatriz nãobásica respectivamente Da mesma forma faremos isto com os vetores xx8 XNJ e cc8 cN Uma vez feito isto nós podemos reescrever o problema expresso em CD da seguinte maneira sa Se expressarmos SxB NxN b na forma XB s b s Nx e substituirmos este resultado na linha da função objetivo obtemos N z Min sa z Ox8 c8 B 1 N cNxN as b x8 B 1NxN S 1 b x8 0 N 0 O problema acima é expresso na fonna de tableau da seguinte maneira o as b I Este tableau nos dá a representação da linha da função objetivo z e das variáveis básicas em termos das variáveis nãobásicas Quando temos uma solução básica factível ou seja uma solução do tipo x x 8 x N x 8 O nós 388 ÁLGEBRA LINEAR obtemos o valor atual de z pode ser lido diretamente do tableau na intersecção da linha z com a coluna mais à direita do tableau e os valores atuais das variáveis básicas na coluna mais à direita logo abaixo da linha dez Sempre que temos uma solução básica factível nós desejamos saber se esta solução é ótima ou não Para sabermos se estamos no ótimo basta verificarmos qual é o efeito produzido no valor da função objetivo quando fazemos uma variável nãobásica digamos x sair do nível zero e passar para um nível positivo se ao fazermos isto ocorrer uma nelhoria no valor da função objetivo então é interessante x entrar na base Para compreendermos melhor vamos expressar a equação z 1 c8 B 1 b c8 B 1 N cliXN de outra maneira z z0 z cx para todo x pertencente à submatriz N I I I I onde z0 c8 B 1 b valor atual da função objetivo zi c8 B1 ai z c custo reduzido da variável x I I I Como o problema é minimizar então é interessante que xj entre na base quando o seu custo reduzido z c for maior do que zero porque assim I I quando X cresce o valor da função objetivo decresce Se I z c s O então o valor da função objetivo aumentara ou permanecera I I I d o mesmo quando x1 aumentar Portanto para um prob ema e mzmmzzaçao as nossas candidatas a entrar na base serão as variáveis nãobásicas cujo custo reduzido z c for maior do que zero Quando uma ou mais variáveis nãobásicas satisfizerem z1 c1 O usase como critério de desempate escolher aquela variável nãobásica que tiver o custo reduzido mais positivo Suponha que a variável nãobásica x k entre na base z k c k O Portanto a variável nãobásica xk sairá do seu nível zero e passará a ter um valor positivo mudança que acarretará um efeito nas variáveis básicas dado pela equação XB h ykxk onde b B I b valor atual das variáveis básicas Y B 1 ak coluna da variável X atualizada que pode ser reescrita da seguinte maneira XB1 b1 1k xn b yk xk xn m bm Ymk l i i Conjuntos Convexos e Programação Linear 389 ou ainda Quando a variável xk cresce podem ocorrer 3 casos Se Yk O então a variável x0 diminui à medida que xk cresce ou seja dd l x8 e can 1 ata a sair da base I 2 Se Yk O então x B não se altera quando xk cresce I 3 Se Yk O então x B cresce à medida que xk cresce Nós só devemos nos preocupar com o caso 1 yik O pois quando xk cresce x 8 i diminui e nós devemos tomar o cuidado de não deixar que x 8 i se tome negativo Cada variável básica que tem seu componente em yk maior do que zero é uma candidata a deixar a base e deixa a base aquela que zerar primeiro 14511 Tipos de Solução Nós podemos verificar através do tableau sirnplex soluções do tipo a Alternativa Se no tableau simplex tivermos o ótimo e existir uma variável nãobásica digamos xk com seu custo reduzido zk ck igual a zero então nós temos soluções alternativas Isso é fácil de ver pois então xk pode entrar na base que o valor da função objetivo z não se altera ou seja mudamos de uma solução básica factível vértice para outra sem alterar a função objetivo isto ocorre quando temos soluções alternativas b Ilimitada z a Se no tableau existir alguma variável nãobásica candidata a entrar na base digamos xk e Yk tem todos os seus componentes menores ou iguais a zero casos 2 e 3 da seção anterior então nós temos solução ótima infinita pois xk pode crescer que nenhuma variável básica sairá da base porque crescerá junto com xk mas se as variáveis básicas crescerem sem limite z que é função dessas variáveis crescerá sem limite também Observação Compare estas observações com 1433 Biblioteca de c 1ência TecnoiÕji UFPe 390 ÁLGEBRA LINEAR 14512 Resumo do Método Simplex Passos do Algoritmo Simplex Problema de Minimização Passo I Ache uma solução básica factível com base B Forme o tableau simplex inicial XB XN z o CsB 1NcN as b XB I sN sb Passo 2 Calcule zk ck máximo j zi ci para todas as variáveis nãobásicas xi f Passo 3 critério de otimalidade Se zk ck O então pare a solução atual é ótima Caso contrário vá para o passo 4 Passo 4 Se yk O então pare a solução ótima é ilimitada Caso contrário vá para o passo 5 Passo 5 teste da razão Determine o índice r como se segue br mínimo y lism rk para apenas os y ik O Yk Observação i ré sim o componente do vetor b R b r Passo 6 Pivote em Yrk Pivoteamento em Yrk é definido como a Dividaalinharporyrk b Para i l 2 me i I r atualize a ié sim a linha da seguinte maneira multiplique a nova linha r por Yk e some a linha resultante à linha i c Atualize a linha da função objetivo da seguinte maneira multiplique a nova linha r por ck zk e some a linha resultante com a linha da função objetivo Passo 7 Atualize as variáveis básicas e nãobásicas onde xk entra na base e x 8 deixa a base e volte para o passo 2 r Observação 1 Se o problema for maximizar apenas o passo 3 critério de otimalidade sofrerá por quê Conjuntos Convexos e Programação Linear 391 Passo 3 critério de otimalidade Se zk ck O então pare a solução atual é ótima Caso contrário vá para o passo 4 Observação 2 O método simplex traballia apenas com variáveis nãonegativas ou seja x O Na prática isso nem sempre acontece nestes casos precisamos fazer uma transformação de variáveis para garantir que todas as variáveis sejam nãonegativas veja bibliografia para maiores detalhes 14513 Método das 2 Fases Como foi dito na seção anterior o método simplex sempre começa com uma solução básica factível iniciaL Quando nós temos um problema linear com todas as restrições do tipo nós temos uma base factível inicial óbvia que é a identidade formada pelas colunas das variáveis de folga Mas nem sempre isso é possível neste caso precisamos de um método que nos dê uma solução básica factível inicial Um desses métodos é o método das 2 fases O método das 2 fases começa com a fase 1 que é a minimização da soma das variáveis artificiais sujeita a restrições Ax x0 b x O e x O Se o problema original Ax b x O tem solução factível então o valor a ótimo para a função objetivo da fase 1 é zero pois todas as variaveis artificiais acopladas ao problema original tendem a zero ou seja elas deixam a a base após eliminarmos as colunas pertencentes às variáveis artificiais nãobásicas começamos a fase 2 que é resolver o problema original com a base factível encontrada na fase I 14514 Resumo do Método das 2 Fases Fase 1 Para cada restrição do tipo ou associe uma variável artificial Resolva o problema abaixo começando com a solução básica factível x O e X0 b Min z a Jx a s a Ax xa b xo xao Se no ótimo o valor de z0 F O então pare o seu problema original não tem solução factível Caso contrário elimine todas as colunas artificiais e a linha da função objetivo artificial Vá para a fase 2 392 ÁLGEBRA LINEAR Fase 2 Acople a função objetivo linear original e resolva o problema com a solução básica factível x8 B t b e x N O Observe que x8 contém as variáveis legítimas do problema original uma vez que assumimos que as variáveis artificiais deixaram a base Portanto nós devemos resolver o seguinte problema Mín sXB cN sa x8 B 1 NB 1 b x8 0 XN 0 14515 ProgramaExemplo Nesta seção apresentamos um programa escrito em linguagem Basic que resolve problemas de programação linear do tipo Max z sa ex xO O programa foi escrito com o objetivo de permitir seu uso em qualquer microcomputador existente no mercado Nos micros do tipo Sinclair TK82C TK85 CP200 devese fazer certas alterações i Usar o comando de atribuição LET em todas as atribuições do programa ii Desprezar a entrada dos dados através do comando DATA e utilizar apenas a entrada através do teclado veja o exemplo da rodada a Listagem do Programa lO 20 30 Este PrD9JaIT13 resolve 40 froblen1as de Prugrmacao 50 líniar do tiPO 60 70 Ma c 80 S2 90 fi b 100 o 110 120 130 140 150 160 L70 180 190 200 no 220 230 40 250 260 270 80 90 300 310 320 330 340 350 360 370 38 390 40 41 o 420 430 440 450 4ó0 470 480 490 500 510 520 530 4ü 550 Conjuntos Convexos e Programação Linear 393 ArraYs utilizados I 1 ITI Vetor Clue ten1 os índice con da variave1s basicas 1 A 1T11nmt1 MatiL tc F n 1T1 I Cl C nnr nologica am Pl ia da inclui t vetor b VPtor custo Vetor de cus tos reduidos I t Oservacao Se a entrada de dados for atraves do comando DATA deve s i colocar a Partir da linha t l850 os dados da seguinte f o r111õ Restricao 1 RPstricao 2 Rest ricaD 1T1 b 1 b 2 b ITI c 1 c 2 i c n I Print Numero de restricoes Print Numero de variaveis l60 Jmut fl 570 Nl N t 580 N N t M 394 ALGEBRA LINEAR 590 600 610 620 630 640 650 660 b70 680 690 700 710 720 730 740 70 760 770 7 80 790 tlOO 810 820 830 840 850 860 870 880 890 900 910 920 930 940 950 960 970 980 990 1000 1010 1020 1030 1040 N3 N H 1 Rem Chamada da rot1na de Leitura GosJb 650 Rem Chamada da rotina SimPlex Gosub 1200 Errd Rem Rotina de Leitura Rem Declaracao dos arraYs Re lim IlMAMN3FN21N2J Rem O comentaria acima indica a Rem dimensoes minimas dos arraYs Dim 1110A1031lF30C130 I For I Nl to N2 1 I t J TlI1J 1t J For I 1 tr1 M For J N1 tn N2 lf J Mtl Then AIJ Net J Ned I For I Nl to N2 F I O 1 Else AlJ 0 NeHt I Frint Prirrt InPut If RS For I For J Read A Net I Entrada teclado R da matriz de restricoes Pelo T ou Pelo DATA D Next I r Then 1 to H 1 to N r J For I 1 to H Read A IN3 l Net I For I to N Read F Net I RetrJ rn 1000 Frint Entrada da matriz de restricoes For I 1 to H For J 1 to N Frint ArJ InPrJt A IJ 1050 1060 1070 1080 1090 1100 1110 1120 1130 1140 1150 L 160 1170 1180 1190 1200 1210 1220 1230 140 I 250 1260 1270 1280 1290 1300 1310 1320 J330 1340 L350 1360 1370 1380 1390 l400 1410 1420 1430 1440 L450 1460 1470 1480 L490 1 00 Next J Ned I frint For I Conjuntos Convexos e Programação Linear 395 Entrada do Vetor b 1 to M Print biH lnPut A I N3 Net I Frint Print For I Entrada do Vetor Custo nao inclua folgas 1 to N Print cr lnPut f I Next I Return Rem Rotina SimPlex z o Kl O K1 K1 1 51 Inf For L 1 to N2 For I 1 to H If L 11 I Then 1370 Net I s For I 1 to H JIlI 5 S F J A IL Net I Cl L F L 5 If Cll L 51 Then 1370 SlClLl K L Net l For L 1 to H I21L Cl I2 0 Net l P Ers If 51 f Then 1700 12 ü V I rrf For L 1 to M T A LK l If T O Then 1530 Q A LN3 lT If Q V Then 1530 396 ÁLGEBRA LINEAR 1i10 K2 L 1520 v Q 1530 Net L 1540 If K2 O Then 1730 1550 Il K2 l K 1560 1570 1580 1590 1600 1610 1620 1630 1640 1650 1660 1670 1680 3690 1700 110 170 1730 1740 1750 1760 1770 l780 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 T tOAC K2K J For L 1 to N3 A K2L AC K2rl l T Next L For L 1 to M If L K2 Then 1660 D r AC LrK For J 1 to N3 AC LJ A LrJ AC K2rJ l D Net J Net L z z v 51 GOSIJb 1750 Gato 1220 Print Solucao otima Gosub 1780 Return Print Solucao Ilimitada RetJrn Re Rotina de ImPressao Print Print Print Iteracao n Kl Print Valores das variaveis basicas Print For L 1 to M Print XCIlCUil iAC LrN3 i Net L Print Print Valor da funcao obJetivo z 18b0 Return Existem duas funções prédefinidas í Eps linha 1390 menor número representado pela máquina e ii lnflinha 1200 maior número representado pela máquina que foram utilizadas no programa Caso o seu micro não contenha essas funções atribua valores a Eps e Inf talvez o manual do micro contenha informações a esse respeito Conjuntos Convexos e Programação Linear 397 b Exemplo de uma Rodada Vamos utilizar o problema do fabricante de móveis proposto em 1452 para ilustrar uma rodada do programa NUTtf de restncoes I NU112IO de vanave1s 2 Entrada da Matnz de restncoes pelo teclado f ou pelo DAlAI D tntrada da atnz de Jestncoes Hl 1 I 5 fr 1 2 20 RI I 10 RI 2 2 I 15 Entrada do Vetor b D I J 400 b 2 450 Entrada llo Vetor Custo nao 1nclua folsas c 1 4500 28000 Valores das varlaV15 bas1cas X 2 f 20 X 150 ValGi da funcao obJetlvo 160000 Iteracao n Valores das vanave1s tlasicas X 2 o 14 Xl 24 398 ÁLGEBRA LINEAR 220000 14 X 24 220000 Caso o leitor deseje rodar o programa utilizando o comando DATA devese acoplar as linhas abaixo ao programa 1So0 Data 50 1860 Data 10 15 1 SíO Da ta 400 r 40 1880 Dta 4J008000 146 EXERCICJOS Restnao n estnciw n 2 I Vetor b 1 Vetr Lusto I A Cia VT produz televisores em cores e em preto e branco Uma pesquisa de mercado indicou que mensalmente podem ser vendidos no máximo 4000 unidades de aparelhos em cores e 1000 unidades em preto e branco O setor de produção informou que o número de homenshoras disponíveis por mês é de 50000 e um aparelho colorido requer 20 homenshoras e um aparelho preto e branco requer 15 homenshoras O Departamento de Vendas infonnou que para atender os pedidos já efetuados este mês deverãp ser produzidos no mínimo 800 aparelhos coloridos Os aparelhos são embalados em caixas de papelão e o departamento de matériaprima informou que por uma falha de previsão existem disponíveis somente 4200 caixas para a embalagem dos aparelhos e para este mês não está prevista nova compra deste material Os lucros unitários dos aparelhos são Cr 5000000 colorido e Cr 2800000 preto e branco Desejase estabelecer o plano de produção que produzirá o lucro máximo para esta indústria 2 Arley Tão cria porcos para vender e ele deseja detenninar as quantidades de cada alimento que deverão ser dadas a cada porco para obter os requerimentos utricionais a um custo mínimo O número de unidades de cada tipo de mgredente nutricional básico encontrado num quilo de cada alimento é dado na tabela abaixo juntamente com os requerimentos diários e o custo Conjuntos Convexos e Programação Linear 399 Ingrediente Quilo de Quilo de Quilo de Minimo requerido nutricional milho cereais alfafa diariamente Carboidratos 90 20 40 200 Proteínas 30 80 60 180 Vitaminas 10 20 60 50 Custo Cr 254000 236000 200000 3 A Cia Sovina de Investimentos possui Cr 600000000 quantia esta que deverá ser aplicada em 5 tipos de investimento sendo que os retornos para cada investimento são investimento I 11 10 investimento 2 12 8 investimento 3 13 6 investimento 4 14 5 investimento 5 15 9 O gerente desta Cia deseja diversificar os investimentos para obter o máximo rendimento possível Dado o elemento de risco envolvido o gerente restringiu a quantia aplicada no 11 a não mais que a quantia total que irá investir em 13 14 e 15 em conjunto A quantia total aplicada em 12 e 15 deve ser pelo menos igual à quantia aplicada em 13 O 12 deve estar limitado a um nível que não exceda a quantia aplicada em 14 É preciso determinar a alocação ótima de investimento entre as 5 categorias de fonna que o retomo ao final do ano seja o máximo possível 4 Um fazendeiro quer comprar as seguintes quantidades de fertilizantes fertilizante I 185 ton fertilizante 2 50 ton fertilizante 3 50 ton fertilizante 4 200 ton Ele pode comprar estes fertilizantes em 3 lojas diferentes sendo a disponibilidade de cada loja e os custos dos vários tipos de fertilizantes nas várias lojas fornecidos nas tabelas abaixo Disponibilidade Fertilizante Loja I 2 3 4 I 70 60 50 2 100 30 100 3 100 40 35 70 400 ÁLGEBRA LINEAR Custo Crfton Fertilizante Loja 3 4 I 2 I 450 300 319 2 425 180 350 3 480 200 240 325 Como o fazendeiro pode preencher suas necessidades de fertilizante a um custo mínimo 5 A Cia ZigZag possui fábricas em Campinas e Belo Horizonte Esta Cia produz e distribui máquinas de costura a comerciantes de várias cidades Numa determinada semana a Cia possui 30 unidades em Campinas e 40 unidades em BH Nesta mesma semana esta Cia deve atender os pedidos dos comerciantes das seguintes cidades São Paulo 20 unidades Rio de Janeiro 25 unidades e Vitória 25 unidades O problema consiste em distribuir as máquinas aos comerciantes de fonna a atender os pedidos a um custo mínimo de transporte Os custos unitários são m SP RJ Vitória Campinas 700 1300 2000 BH 2200 1800 1700 6 Uma refinaria mistura 4 tipos de gasolina e produz 3 tipos de combustível Os dados são fornecidos nas tabelas abaixo Tipo de Taxa de NQ de barris disponíveis gasolina octano diariamente I 68 4000 2 86 5050 3 91 7100 4 99 4300 Conjuntos Convexos e Programação Linear 401 Combustível Taxa mínima Lucro Demanda diária deoctano I 95 7200 ucp no máximo 10000 2 90 6000 ucp 3 85 5000 ucp pelo menos 15000 A refinaria vende a gasolina não usada para produzir combustível a 4900 ucp se sua taxa de octano for acima de 90 e a 3800 ucp se sua taxa de octano for menor que 90 Como pode a refinaria maximizar o lucro total diário 7 a Resolva o problema dos televisores Exercício i pelo método gráfico b Escreva o problema na forma padrão c Através da solução obtida no item a calcule o valor das variáveis de folga na solução ótima d Interprete os valores das variáveis de folga 8 Um aluno do curso de MS415 quer aproveitar o que já aprendeu a respeito da Programação Linear para resolver um problema particular muito grave Atualmente ele possui duas namoradas Maria e Luísa Ele faz alguns cálculos e estudos dos quais concluiu que a Maria muito elegante e sofisticada prefere freqüentar bares e boites mais requintados de modo que uma saída de 3 horas custará Cr 150000 b Luísa é mais simples e prefere divertimentos mais populares de modo que uma saída de 3 horas custará Cr 80000 c Após pagar as contas da república onde mora e outros gastos restam para ele Cr 500000 mensais para diversão d Seus afazeres escolares são muitos lista de exercícios programas etc e consomem muito do seu tempo e energia de tal forma que lhe sobram mensalmente 30 horas e 40000 calorias para as atividades sociais e Cada saída com Maria consome 3000 calorias mas com Luísa mais alegre e extrovertida gasta o dobro fJ É importante colocar que ele gosta das duas com a mesma intensidade Tomando como base as conclusões acima ele quer planejar sua vida social de modo a obter o número máximo de saídas Formule o problema e resolvao Após conseguir o resultado comuniqueo à classe para que este aluno que prefere que seu nome não seja revelado por razões que parecem óbvias possa conferir com a solução ótima por ele obtida 402 ÁLGEBRA LINEAR 9 A Cia KISORVETEBOM produz dois tipos de sorvetes picolé e copinho Nesta Cia o único ponto crítico é a mãodeobra disponível O copinho consome 50 a mais de mãodeobra que o picolé Sabese também que se todo o sorvete produzido fosse do tipo picolé a Cia produziria 400 toneladas por dia O mercado limita a produção diária do copinho e picolé em I 50 e 300 toneladas respectivamente O lucro por tonelada de copinho e picolé produzidos é Cr 500000 e Cr 350000 por tonelada respectivamente Formular e resolver o problema que permita determinar a quantidade a ser produzida de cada tipo de sorvete Discuta a solução ótima obtida e verifique os valores das variáveis de folga 10 Resolva todos os exercícios que você achar interessante incluindo aqueles propostos na solução geométrica e os desta seção que podem ser resolvidos pelo método simplex sem usar o método das 2 fases li Resolva o Exercício 2 desta seção usando o método das 2 fases Repare que como as restrições são do tipo então é necessário subtrair variáveis neste caso chamadas de variáveis de excesso para colocar o problema na forma padrão 147 RESPOSTAS 1471 Respostas de 144 2 6 Não Conjuntos Convexos e Programação Linear 403 8 x y20 x2yJo zx Y 2o 4x 5y 8 O I O 80 do tipo A e nenhum de B 12 O primeiro método 100 minutos e o segundo 25 minutos 14 T 200C e P 20 atmosferas 1472 Respostas de 146 I Sugestão faça X1 quantidade de televisores coloridos produzidos x quantidade de televisores branco e preto produzidos 3 Seja X quantidade aplicada no investimento 1 I Max z Olx 1 008x2 006x 3 005x4 009x s a x 1 x x x 4 x 6000000 Xt X3 X4 Xs X2 x5 3 x2 x4 e x O I 4 xii quantidade em toneladas de fertilizante i comprado na lojaj Min z 450x 11 425x 12 480x 13 180x 22 200x23 300x 240x 33 319x41 350x42 325x43 s a x 11 x 12 x 13 185 X22 X23 50 X31 X33 50 X41 X42 X43 200 Xn 70 Xn 100 x 13 100 X21 30 X23 40 X31 60 xn 35 X41 150 x I 00 X43 70 5 Sugestão xii número de máquinas de costura transportadas da cidade j para a c1dade i i I 2 i I 2 3 404 ÁLGEBRA LINEAR 6 xii barris de gasolina i usados na produção do combustível j 4 4 4 x i 1 13 Max z 7200 x 6000 x 5000 jl li it l2 4900 7100 3800 4000 s a 3 x 3i 4300 i I 4 3 xJ i I I Ot x 11 086x21 091x 31 099x41 o95 E x 1 l 1 4 068x 12 086x22 091x32 099x42 090 i 1 x 2 4 068x 13 086x23 091x33 099x43 085 x 3 i 1 3 x 4000 i I I 3 1 x 2i 5050 1 3 1 x41 4300 1 Leituras Sugeridas e Referências x 11 x 21 x 31 x41 10000 x 13 x23 x 33 x43 15000 1 Bazaraa MS e Jarvis J J LinearProgramming and Network Flows John Wiley Sons USA 1977 2 Campbell HG Linear Algebra with Applications AppletonCenturyCrofts lJSA 19 71 3 Herstein lN Tópicos de Algebra Editora Polígono São Paulo 1971 Conjuntos Convexos e Programação Linear 405 4 Hoffman K e Kunzc R Algebra Linear Editora Polígono São Paulo 1971 5 Kemeny L Snell J e Thompson G Introduction to Finite Mathematics Prentice Hall Englewood Cliffs 1975 6 Leithold L O Cálculo com Geometria Analitica HARBRA São Paulo 1982 7 8 Maculao N e Pererra MVF Programaçao Lmazr Editora Atlas São Paulo 1980 9 Murty K Linearand Combinatorl Programming John Wiley Sons USA 1976 Solodovmkov A S Systems o f Lmear Jnequalities Mir Rússia 1979 BIBLIOGRAFIA GERAL Boycr CB História da Matemática Editora Edgar Blücher Ltda Editora da USP São Paulo 1974 Bentley D e Cooke K Linear Agebra with Differential Equations Holt Rinehart and Winston Inc New York 1973 Bers L Calculus Holt Rinehart and Winston Inc New York 1967 Campbell HG Linear Algebra with Applications AppletonCenturyCrofts New York 1971 Gelfand IM Lectures in Linear Algebra lnterscience Publishers New York 1961 Halmos P Finite Dimensional Vector Spaces Van Nostrand Reinhold Company Ncw York 1958 Herstein IN Tópicos de Ãlgebra Editora Polígono São Paulo 1970 Hoffman K e Kunze RÂigebra Linear Editora Polígono São Paulo 1971 Lang S Ãlgehra Linear Editora Edgar Blüchcr Ltda São Paulo 1971 lsaacson E c Kcller H Analysis o Numerical Methods Wiley New York 1966 Kemeny J Snell J c Thompson G Introduction to Finite Mathematics PrenlJce Hall Englewood Cliffs 1957 Lipschutz S Âlgebra Linear McGrawHill do Brasil Ltda Rio de Janeiro 1971 Notie B c Daniel J Applied Linear Algebra Prentice HallEnglewood Cliffs New Jersey 1977 Paes Leme PJSNotas de Equações Diferenciais Ordináriizs lrnpa Rio 1972 Protter M e Morrey C College Calculus with Analytic Geometry Addison Wesley Publishing Cornpany Inc Reading 1965 SMSG MatemátictJ Curso Colegial vol 3 Yale University Press New Haven 1965 Struik DJ A Concise History of Mathematics Dover New York 1967 ÍNDICE REMISSIVO A Adição de matrizes 6 Adjunta matriz 72 Aleatória variável 236 Amostrai espaço 236 Ângulo entre dois vetores 219 Aplicação identidade 178 injetora 151152 nula 195 sobrejetora 152 Autoadjunto operador 253 25 8 diagonalização 26126 2 Autovalor 16 180335 de uma matriz 184 multiplicidade algébrica de 194 multiplicidade geométrica de 194 subespaço associado 183 Autovalores de operadores autodjuntos 262 Autovetor 16180 de uma matriz 184 B Base 116118203 de um subespaço 131 matriz mudança de 125126 mudança de15 por rotação 17 ortonormal 229 Bilinear forma 270 matriz de uma forma 272 c Cadeia de Markov 14 Característico polinômio 1 84 valor 180 vetor fixo 180 Cartesianas equações 286 Cilindro 300 elíptico 300 hiperbólico 301 parabólico 301 Circunferência 289 Cisalhamento 150 Classificação das cônicas procedimento geral 296 297298 das quadráticas 299304 Coeficientes de Fourier 225226 matrizde65 Cofator 70 Cbfatores matriz de 72 Coluna matriz 3 Complemento algébrico 70 ortogonal 234 Cone quadrático 300 Conjuntos convexos 350374 Cônicas classificação 296297298 forma reduzida das 291 no plano 2 89 Cbntração uniforme 147 Correlação linear coeficiente de 238 Uamer Regra de 77 408 ÁLGEBRA LINEAR D Degenerada hipérbole 290 Degenerada parabola 290 291 Degeneradas quádricas 301 Dependência e independência linear 114 Desenvolvimento de Laplace69 Desigualdade de Schwarz 228 Desigualdade trangular 228 Desvio padrão 237 Determinante 66 Diagonal matriz 4 Diagonalização de formas quadráticas 277278 Diagonalização de operadores 199 Diagonalização de operadores auto adjuntos 261 262 Diagonalização simultânea de opera dores 209 Diagonalizável matriz 213 Dimensão de um espaço vetorial 119 Dual espaço 282 E Elementar matriz 82 Elipse 289 Elipse degenerada 291 Elipsóide 298 Elíptico cilindro 300 Elíptico parabolóide 299 Equação diferencial 317 Equação diferencial linear homogênea 319 Equações cartesianas 286 Equações diferenciais sistemas linea res 316 Erro estimativa de 346 Escalar multiplicação por 7 produto 220221 Escalonada matriz 190 Espaço amostrai 236 Espaço dual 282 Espaço vetorial 103 complexo 103 105 dos polinômios 105 real 103 R 104 Espaços vetoriais isomorfos 156 Esperado valor veja valor médio Exato processo 332 Expansão uniforme 14 7 F Forma bilinear 270 matriz de 272 Forma bilinear simétrica 274 Forma de Jordan 210 Forma escada matrizlinha reduzida à 3438 Forma linear 269 Forma quadrática 274 diagonalização 277278 positiva definida 282 Forma reduzida das cônicas 291 Função objetivo 362 G Gauss método de 3651 GaussSeidel processo de 345 GrarnSchmidt processo de 229230 veja processo de ortogonalização Grau de liberdade de sistemas de equações lineares 4546 H Hipérbole 290 Hipérbole degenerada 290 Hiperbólico cilindro 301 Hiperbólico parabolóide 300 Hiperbolóide de duas folhas 299 Hiperbolóide de uma folha 299 Homogênea equação diferencial linear 319 Identidade matriz 4 Imagem 151155 lmpolveis sistemas de equações li neares 29 Indeterminados sistemas de equações lineares 44 Injetora 196 aplicaçãol51154 Intersecção de 110 Invesa matriz 73 Inversível matriz 335337 Inversão 66 Isomorfismol56 Iterativo processo 333 J Jacobi método de 344 Jordan forma de 210 L Une ar homogênea equação diferencial 319 operador 180 variedade 109 Unha matriz 4 Unha equivalente matriz 36 Linha reduzida à forma escada matriz 3638 M Markov cadeia de 14 processo de 14 Matriz 1 adjunta 72 coluna 3 das probabilidades de transição 15 de coeficientes 65 de cofatores 72 diagonal 4 elementar 82 escalonada 190 identidade 4 inversa 73 inversível 184185335337 fndice Remissivo linha 4 linha equivalente 36 linha reduzida à forma escada 3638 linhas independentes de uma 40 norrnade188 189340 nula 3 nulidade38 ortogonal 254 posto de 3945 produto 10 quadrada 3 simétrica 5 7 254 transposta 7 triangular 91 triangular inferior 4 triangular superior 4 Matriz de uma transformação com posta 163 Matriz de uma transformação inversa 165 Matriz de uma transformação linear 157 Matriz diagonalizável 213 Matriz mudança de base 125 126 Matrizes adição de 6 iguais 3 linha equivalentes 85 multiplicação de 9 semelhantes 92 seqüência de 12 178 333 série del80 334 Matrizes semelhantes 166 Máximos e mínimosvalores 109 Médio valor 223 254 Método da variação dos parâmetros 3 25 das duas fases 391 de Gauss 36 51 simplex 374404 pivoteamento 383 solução geométrica 376 tableau simplex 381 visão algébrica 3 86 Minimal polinômio 206 207 Mudança de base 125 Mudança de base por rotação 127 Multiplicação por escalar 7 409 410 ÁLGEBRA LINEAR N Norma 219221 de matriz 340 do máximo 341 Normalizado vetor 227 veja vetor unitátio Núcleo 151155 Nula matriz 3 Nolidade 162 matriz 38 Número de soluções de sistemas de equações lineares 29 o Operações elementares sobre as linhas de uma matriz 35 Operador autoadjunto 253 258 diagonalizável 203 idempotente 215 linear 180 nilpotente 214 ortogonal 253 caracterização 261262 Ortogonal matriz 254 Ortogonal operador 253 Ortogonais vetores 224225 Ortogonalização processo de 229 230 Ortonormal base 229 p Parábola 290 Parabolóide elptico 299 hiperbólico 300 Parâmetros método de variação dos 325 Permutação 66 Perpendiculares vetores 224225 Planono espaço 288 Plano retas oo 288 vetores no 97 Polinômio calculacIo em matriz 203 característico 185 minimal 206207 Polinômios espaço vetorial dos 105 Possíveis sistemas de equações lineares 29 Posto 162 187 de matriz 39 45 80 Probabilidades de transição matriz das 15 vetor de 15 Processo aleatório 14 de Markov 14 exato 232 iterativo 232 Produto escalar 220221 interno 220221 em espaços vetoriais com plexos 234 usual 222 matriz 10 Programação linear 362 método geométrico 362 simplex374404 programaexemplo 392 teorema fundamental da 368379 Q Quadrada matriz 3 Quádricas classificação das 298301 degeneradas 301 no espaço 298 R Reflexão 148 178 181 Região factível 362 poliedral convexa fechada 358 Reta no plano 287 Rotação 149 182 Segmento 356 Semipaço s aberto 354 fechado 3 54 Simétrica matriz 5 7 Sistemas de equações lineares 29 equivalentes 3236 grau de liberdade de 4546 impossíveis ou incompatveis 44 indeterminados 44 número de soluções de 44 possíveis ou incompatveis 44 resolução de 29 solução de 3341 Sistemas equivalentes 85 Solução de um sistema de equações difcrcn ciais318319 geral de uma equação diferencial 318 geral de um sistema de equações diferenciais 318 Subconjunto convexo 356 Subespaços vetoriais 105 gerados 112 intersecção de 110 soma de 111 soma direta de 11 2 Submatriz 70 80 r Tableau simplex 381 base iniciaJ factvcl 381 solução alternativa 389 ilimitada 389 Transformação linear 142 Transformações IÍtdice Remissivo do plano no plano 14 7 lineares inversíveis 165 Translação 150 Transposição 7 Transposta matriz 7 Triangular inferior matriz 4 Triangular superior matriz 4 u Unitário vetor 227 v Valor característico 180 esperado veja vUor méd1o médio 223237 Valores máximos e mnimo 109 Variação dos parâmetros método 325 Variação linear 351 Variança 237 Variável aleatória 236 Variedade linear 104 109 114 Vazio 291 Vértices lliracterização geométrica dos 360 Vetor caracterstico 180 de probabilidade 15236 fixo 178 Vetores 102 Ll 114 no epaço OI no plano 97 Vetoriais cspaçm Isomorfos 156 subespaços 105 411