Determinantes e Cofatores de Matrizes

Mas podemos escrever esta soma como a11a22a33 a23a32 a12a21a33 a23a31 a13a21a32 a22a31 Ou ainda a11 beginvmatrix a22 a23 a32 a33 endvmatrix a12 beginvmatrix a21 a23 a31 a33 endvmatrix a13 beginvmatrix a21 a22 a31 a32 endvmatrix Observe que o determinante da matriz inicial 3 X 3 pode ser expresso em função dos determinantes de submatrizes 2 X 2 isto é det A a11A11 a12A12 a13A13 onde Aij é a submatriz do determinante A onde a iésima linha e a jésima coluna foram retiradas Além disso se chamamos Deltaij 1ijAij obtemos a expressão det A a11Delta11 a12Delta12 a13Delta13 Esta propriedade continua sendo válida para matrizes de ordem n e assim podemos expressar det An imes n a11Delta11 an1Deltan1 sumj1n aijDeltaij sumj1n aijDeltaij No número Deltaij que é o determinante afetado pelo sinal 1ij da submatriz Aij obtida de A retirandose a iésima linha e a jésima coluna chamamos cofactor ou complemento algebraico do elemento aij Observe que na fórmula dada o determinante foi desenvolvido pela iésima linha Uma forma análoga é válida para as colunas 341 Exemplos Exemplo 1 A 1 22 1 cdot 8 1 cdot 7 Note que na primeira passagem usamos a sétima propriedade ao somarmos a segunda coluna multiplicada por 2 à primeira coluna Nosso intuído foi o de obter uma segunda linha com apenas um elemento não nulo e então abaixar a ordem do determinante usando menos cálculos Segundo este raciocínio você pode também obter o determinante inicial por exemplo igualando o último elemento da primeira linha a zero 35 MATRIZ ADJUNTA MATRIZ INVERSA Dada uma matriz A lembramos que o cofactor Deltaij do elemento aij da matriz é 1ij det Aij onde Aij é a submatriz de A obtida extraindose a iésima linha e a jésima coluna Com estes cofatores podemos formar uma nova matriz A denominada matriz dos cofatores de A A Deltaij Exemplo A beginpmatrix 2 1 0 3 1 4 6 5 1 endpmatrix Delta11 111 beginvmatrix 4 5 1 1 endvmatrix 4 cdot 1 5 cdot 1 1 Delta12 112 beginvmatrix 3 4 6 1 endvmatrix 3 24 21 etc Então A beginpmatrix 19 19 19 5 10 11 4 8 5 endpmatrix 351 Dada uma matriz quadrada A de ordem n chamamos de inversa de A uma matriz B tal que A cdot B B cdot A In onde In é a matriz identidade de ordem n Escrevemos A1 para a inversa de A Se todos os elementos de uma linha coluna de uma matriz A são nulos então A 0 A razão disso é que pela observação ii em cada termo que aparece no cálculo do determinante há um dos elementos da linha coluna nula e portanto todos os termos se anulam e o determinante é zero ii det A det A Dai inferimos que as propriedades que são válidas para linhas também o são para colunas A prova desta propriedade é a seguinte se A aij sabemos que A bij onde bij aji Então pela definição de determinante temos det bij sumrho 1rho b1jb2j ldots bnj sumrho 1j a1ja2j ldots anj det aij pela observação iii iii Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante o determinante se fica multiplicado por esta constante Para verificarmos isto chamemos de A a matriz original e B a matriz obtida de A multiplicando uma linha de A por uma constante k Então ao calcularmos o determinante de B pela observação ii em cada termo aparece um elemento da linha que foi multiplicada por k Podemos colocar k em evidência e o que permanece é exatamente o cálculo do determinante de A Portanto det B k cdot det A