Derivadas Parciais e Análise de Continuidade de Funções

DERIVADAS PARCIAIS 811 2526 Determine hx y g fx y 0 conjunto no qual é continua 3941 Utilize coordenadas polares para determinar o limite Se r 8 sAo as coordenadas polares do ponto x y com r 0 observe 25 gtP Vt fy 2x 3y 6 que r 0 quando x y 0 0 I xy ety t 39 1 2 g1tint fxy 1 xy 900 x24 y as 40 lim x y Inx y FY 2128 Trace o grafico da fungdo e observe onde ela é descontinua 29 O9 Em seguida utilize a férmula para explicar 0 que vocé observou e1 41 lim 1 ny 00 x y 27 fxy el 28 fx y a 1xy O82 No inicio desta segiio consideramos a fungdo 2938 Determine o maior conjunto no qual a fungao é continua fxy senx y x y 29 Pls y oy 30 Fx y cos 1 x y ety oe e conjecturamos que f x y 1 quando x y 0 0 com base 31 Fny ltxy 32 Hxy ete em evidéncias numéricas Utilize coordenadas polares para com 1xy e1 Fg provar o valor do limite Em seguida faca o grafico da funcao 43 Trace o grafico e analise a continuidade da fun4o 33 Gx y InQ y 4 sen xy se xy 0 34 GO y tg at y fxy xy 1 se xy 0 35 fx y z arcsen x7 y 2 44 Seja 0 sey 0 or yx Fa 1 seQyx 36 FOO vy In a Mostre que fx y 0 quando x y 0 0 por qualquer ca xy minho da forma y mx passando por 0 0 coma 4 Ts se x y 0 0 os 37 fxy 4 2x y b Independentemente do item a mostre que f é descontinua 1 se x y 0 0 em 0 0 c Mostre que f é descontinua em duas curvas inteiras xy 38 fxy4 xe tayty se x y 0 0 45 Mostre que a funcdo f dada por f x x é continua em R tage 4 2 0 se xy 00 Dica Considere x al x a x a SS 46 Sec V mostre que a fungao f dada por fx x conti nua em R cy Derivadas Parciais Em um dia quente a umidade muito alta aumenta a sensacAo de calor ao passo que se 0 ar est4 muito seco temos a sensa4o de temperatura mais baixa que a indicada no termémetro O Servico Meteorologico do Canada introduziu o humidex ou indice de temperaturaumi dade para descrever os efeitos combinados da temperatura e umidade O humidex J é a tem peratura aparente do ar quando a temperatura real for T e a umidade relativa for H Desse modo 7 é uma fungao de T e H e podemos escrever J f 7 H A tabela de valores de Ja seguir a parte de uma tabela compilada pelo Servico Meteorolégico Umidade relativa Nsssso fs f a fa afar a fs oe fas as or oe rogeone 0 as fas ae e fe fo 1 C0 TABLA fetete fe fests eis Boece temperatura e umidade 812 CALCULO Se nos concentrarmos na coluna assinalada da tabela que corresponde a umidade relati va de H 60 estaremos considerando 0 humidex como uma fungado de uma Unica varia vel T para um valor fixado de H Vamos escrever gT f T 60 Entao gT descreve como o humidex J aumenta 4 medida que a temperatura real T aumenta quando a umidade relativa 60 A derivada de g quando T 30 C a taxa de variagdo de J com relagdo a T quando T 30C g30 h 930 30 h 60 f30 60 g30 kim AMAA 5s d ITT a0 h h0 h Podemos aproximar seu valor usando a Tabela 1 e tomando h 2 e 2 g32 g30 f32 60 f3060 42 38 g30 5 2 2 2 2 28 g30 28 60 f30 60 35 38 10 228 980 F28 60 30 60 45 2 2 2 Calculando a média desses valores podemos dizer que a derivada g30 é aproximadamen te 175 Isso significa que quando a temperatura real é 30 C e a umidade relativa 60 a temperatura aparente humidex aumenta cerca de 175 C para cada grau que a temperatu ra real sobe Olhemos agora para a linha sombreada da Tabela 1 que corresponde a temperatura fixa de T 30 C Os ntmeros nesta linha sao valores da fungao GH f 30 H que descreve como o humidex aumenta a medida que a umidade relativa H aumenta quando a temperatu ra real T 30 C A derivada dessa fungao quando H 60 a taxa de variagao de J com relacao a H quando T 60 G60 h G60 30 60 h f30 60 G60 tim LOOM 60 fl 30 60 a0 h h0 h Tomando h 5 e 5 aproximamos o valor de G60 usando os valores tabelados G65 G60 30 65 f30 60 40 38 G60 G69 G60 f30 65 F30 60 o4 5 5 5 G55 G60 30 55 f30 60 37 38 G60 295 G60 F130 55 F30 60 02 5 5 5 Ao calcularmos média desses valores obtemos a estimativa G60 03 Isso nos diz que quando a temperatura é de 30 C e a umidade relativa é de 60 o humidex aumenta em cerca de 03 C para cada ponto percentual que a umidade relativa aumenta Em geral se f é uma funcao de duas varidveis x e y suponha que deixemos somente x variar enquanto mantemos fixo o valor de y por exemplo fazendo y b onde b é uma cons tante Estaremos entéo considerando realmente uma fungao de uma Unica varidvel x a saber gx f x b Se g tem derivada em a nds a chamaremos derivada parcial de fem relacéo a x em a b e a denotaremos por fa b Assim 1 fila b gia onde gx f x b Pela definigao de derivada temos a lim gla h ga g h0 h e assim a Equagao tornase h b fla b a fila b fim LEA RO LG DERIVADAS PARCIAIS 813 Da mesma forma a derivada parcial de f em relacao a y em a b denotada por fa b é obtida mantendose x fixo x a e determinandose a derivada em b da funcio GW fa y flab h fa b 3 fa b lim h Com essa notacao para as derivadas parciais podemos escrever as taxas de variacao do humidex J com relag4o a temperatura real T e umidade relativa H quando T 30 Ce H 60 como segue F130 60 175 fu30 60 03 Se agora deixamos 0 ponto a b variar nas Equacées 2 e 3 f e fy se tornam fungGdes de duas variaveis Se fé uma funga4o de duas variaveis suas derivadas parciais sao as funcoes f e Jy definidas por 4 fx h y fx y fGs y lim fy h fxy Existem diversas notag6es alternativas para as derivadas parciais Por exemplo em vez de f podemos escrever f ou D f para indicar a derivagdo em relacdo a primeira variavel ou dfox Mas aqui dfdx nao pode ser interpretada como uma razao de diferenciais Notacées para as Derivadas Parciais Sez f x y escrevemos ofa az fx y fe 57 fly fi Dif Dif Ox Ox Ox ofa az Als f 5 fly 2 f Dif Daf yoy dy Para calcularmos as derivadas parciais tudo 0 que temos a fazer é nos lembrarmos a par tir da Equacao 1 que a derivada parcial com relacao a x é a derivada ordindria da funcao g de uma Unica varidvel obtida mantendose fixo o valor de y Entéo temos a seguinte regra Regra para Determinar as Derivadas Parciais de z fx y 1 Para determinar f trate y como uma constante e derive f x y com relagao a x 2 Para determinar f trate x como uma constante e derive f x y com relagao a y EIR Se f y xy 2y encontre f2 1 e f2 1 SOLUCAO Mantendo y constante e derivando em relacao a x obtemos FAX Y 3x7 2xy e assim f2 1 3222P16 Mantendo x constante e derivando em relacgao a y obtemos AQ y 3xy 4y fp2 1 32 2 418 814 CALCULO z r MH Interpretagdes das Derivadas Parciais Para darmos uma interpretag4o geométrica para as derivadas parciais lembremonos de que a equacao z f x y representa uma superficie S 0 grafico de f Se f a b c entao o C ponto Pa b c esta em S Ao fixar y b estamos restringindo nossa atengado a curva C na qual o plano vertical y b intersecciona S Em outras palavras C é 0 corte de S no plano y b Dessa maneira o plano vertical x a intersecciona S em uma curva C As curvas UI y C e Cy passam pelo ponto P Veja a Figura 1 b 0 Observe que a curva C é 0 grafico da fungao gx f x b de modo que a inclinacao da tangente 7 em P é ga fa b A curva C2 é 0 grafico da fungio Gy fa y de FIGURA 1 modo que a inclinagao da tangente T em P é Gb fa b As derivadas parciais de f em a 5 Entao as derivadas parciais fa b e fa b podem ser interpretadas geometricamente sao as inclinagGes das retas tangentes como as inclinagées das retas tangentes em Pa b c aos cortes C e C de S nos planos aC eC ybexa Z Como vimos no caso da funa4o humidex as derivadas parciais podem ser interpretadas 74x72y como taxas de variacdo Se z f x y entéo dzdx representa a taxa de variagdo de z com relagéo a x quando y é mantido fixo Da mesma forma 0zdy representa a taxa de variag4o de z em relagao a y quando x é mantido fixo SOY Se fx y 4 x 2y determine f1 1 e fC 1 e interprete esses nimeros y1 como inclinacées SOLUCAO Temos Si y 2x Six y 4y fl 1 2 fr 1 4 1 1 2 O grafico de f é 0 paraboloide z 4 x 2y e o plano vertical y 1 interceptao na pard bola z 2 x y 1 Como na discussfo anterior rotulamos C na Figura 2 A inclina FIGURA 2 4o da reta tangente a essa parabola no ponto 1 1 1 éf1 1 2 Da mesma forma a curva C na qual o plano x intercepta o paraboloide é a pardbola z 3 2y x 1 ea inclinacdo da reta tangente em 1 1 1 éf 1 1 4 Vejaa Figura 3 i z472y A Figura 4 nos mostra o grafico desenhado pelo computador correspondente 4 Figura 2 O item a exibe 0 plano y interceptando a superficie para formar a curva C e o item b mostra C e 7 Usamos as equacdes vetoriais rt ft 1 2 f para Ci e Cy iN rf 1 4 1 1 22 para T Do mesmo modo a Figura 5 corresponde 4 Figura 3 x1 i 1 1 1 Se 4 4 y 3 LAY 3 2 i i Y i A 11 ALROKL FIGURA 3 ALY AX 1 AX 1 0 0 9 ee 9 i y 1 2 y 1 2 FIGURA 4 a b Zz SS 4 4 3 LAR 3 22 RU 1 XK 1 0 ee 0 0 0 1 x 0 1 x FIGURA 5 y 1 2 y 1 2 DERIVADAS PARCIAIS 815 x 0 0 EXEMPLO 3 ys fx y sen calcule ff ly ox ody SOLUCAO Usando a Regra da Cadeia para fungdes de uma varidvel temos of x 0 x x 1 cos cos Ox ly ox 1lty ly ly of x 0 x x x cos cos Ba oy ly dy 1ly lty 1 y Boy Determine dzdx Azdy se z definido implicitamente como uma fungdo dex jguns sistemas de computagéio algébrica y pela equagao podem tracar superficies definidas por 34 y3 4 73 4 equagées implicitas com trés variaveis A y Oxyz Figura 6 mostra o desenho da superficie SOLUCAO Para determinarmos 0zdx diferenciando implicitamente em relacdo a x tomando crerala inplctamente pela equacao do o cuidado de tratar y como constante Oz 0z 3x 327 6yz Oxy 0 é ox ox i Resolvendo essa equacao para 0zdx obtemos Oz x 2yz Ox z 2xy a Da mesma forma derivando implicitamente em relagao a y temos dz y 2xz FIGURA 6 oy z 2xy M8 Funcées de Mais de Duas Variaveis As derivadas parciais também podem ser definidas para fungées de trés ou mais variaveis Por exemplo se f é uma fungao de trés varidveis x y e z entao sua derivada parcial em rela cao a x é definida como fx hyyz fy 2 0 52 a AA fas y 2 Tim 7 e determinada olhandose y e z como constantes e derivando f x y z em relagdo a x Se w f x y z entéo f dwdx pode ser interpretada como a taxa de variagao de w com relagéo a x quando y e z sao mantidos fixos Entretanto nao podemos interpretala geome tricamente porque o grafico de f pertence ao espaco de dimens4o quatro Em geral se u é uma fungao de n varidveis u f 11 2 Xn Sua derivada parcial em relagao a iésima variavel x é ou i S1 oo Minty HEF A X41 Xn fl 6 Xig ee es Xn hn rom Ox ho h e podemos também escrever mT Mp a p DS Ox Ox SQM Determine f f f se f x y 2 e Inz SOLUCAO Mantendo y e z constantes e derivando em relacéo a x temos i ye ln z e Da mesma forma fy xe Inz e Zz 816 CALCULO MM Derivadas de Ordem Superior Se fé uma fungao de duas variaveis suas derivadas parciais f e f sao fungdes de duas varia veis de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais fi Soy fx e fy chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f Se z f x y usamos a seguinte notagao ad of ef az fox fa f Hea ea ox ox Ox Ox a of of az fo fo f 52 Fras Gran ry ox Oy Ox oy Ox a of of Oz hs fu f 50 a aw ox dy Ox Oy ox Oy a of Of 2 fy fy fa Fa 5 a y dy dy dy Portanto a notaco fi ou dfdy dx significa que primeiro derivamos com relagao a x e depois em relacgado a y ao passo que no calculo de f a ordem é invertida 232005 Determine as derivadas parciais de fa y x xy 2y SOLUCAO No Exemplo 1 descobrimos que fix y 3x7 2xy3 AO y 3xy 4y Portanto d 2 3 3 d 2 3 2 foe Bx 2xy 6x 2y Sov 3x 2xy 6xy Ox oy d 22 2 d 22 2 Sox Bxy 4y 6xy fy Bxy 4y 6xy 4 ax dy A Figura 7 mostra 0 grafico da fungao f do 20 ws Exemplo 6 e os graficos de suas derivadas eer parciais de primeira e segunda ordens para z 0 SS 2x22y 2 Observe que esses 20 graficos sao consistentes com nossas interpretacdes de f ef como inclinagdes das 40 2 linhas das tangentes para os cortes do grafico 2 0 i 5 1 0 x de f Por exemplo o grafico de f decresce se y 2 comegarmos em 0 2 nos movemos na diregdo x positiva Isso é refletido nos valores f negativos de f Vocé deveria comparar os graficos de f fyy com f para ver as relagdes eo wh iy 40 LM z 0 IS 2 90 Mh 0 Ss SON LO LL 0 LL 20 fo a a 2 1 0 x 2 1 0 x lr 0 1 22 ro 1 22 y y FIGURA 7 f f DERIVADAS PARCIAIS 817 20 20 20 42 40 2 40 2 0 0 0 2 0 1 72 x 20 4 0 1 72 x 2 0 1 72 x y y y fx fey fox fy y Observe que fiy fix no Exemplo 6 Isso nao é s6 uma coincidéncia As derivadas parciais mistas fi e fix S40 iguais para a maioria das fungdes que encontramos na pratica O préximo teorema do matematico francés Alexis Clairaut 17131765 fornece condigG6es sob as quais podemos afirmar que fy fix A demonstra4o é feita no Apéndice F Clairaut Teorema de Clairaut Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contenha 0 ponto a b Se as fungoées fry e fx forem ambas continuas em D entao Alexis Clairaut foi uma crianca prodigio na area da matematica aos 10 anos leu o texto a b fa b de calculo de IHéspital e aos 13 apresentou Fol foal um artigo sobre geometria na Academia Francesa de Ciéncias Aos 18 anos Clairaut Derivadas parciais de ordem 3 ou maior também podem ser definidas Por exemplo publicou Recherches sur les courbes a double courbure 0 primeiro tratado sistematico em f 0 of of geometria analitica tridimensional em que Feyy Fry y FT incluiu o calculo de curvas espaciais oy dy 0x oy 0x e usando o Teorema de Clairaut podemos mostrar que fy fixy fryx Se essas fungdes forem continuas SiS et Calcule fay se fx y Z sen3x yz SOLUCAO fc 3 cos3x yz tx 9 sen3x yz Soy 9z cos3x yz foo 9 cos3x yz 9yz sen3x yz M8 Equacoes Diferenciais Parciais As derivadas parciais ocorrem em equaées diferenciais parciais que exprimem certas leis fisicas Por exemplo a equacgdo diferencial parcial ou 4 ou 0 dx ay é denominada equacao de Laplace em homenagem a Pierre Laplace 17491827 As solu 6es dessa equacao séo chamadas fundes harmOnicas e sAo muito importantes no estudo de condugao de calor escoamento de fluidos e potencial elétrico 952008 Mostre que a funcao ux y e sen y é solugao da equagao de Laplace SOLUCAO Primeiro calcularemos as derivadas parciais necessdrias de segunda ordem ux e sen y uy e cosy Ux esen y Uy eseny Assim Ux Wy eseny eseny 0 Portanto u satisfaz a equacgao de Laplace A equacao da onda ou 2 ou at ax descreve 0 movimento de uma onda que pode ser do mar de som luminosa ou se movendo em uma corda vibrante Por exemplo se ux t representa o deslocamento da corda vibran 818 CALCULO fu te de violino no instante e 4 distancia x de uma das extremidades da corda como na Figu aan ra 8 entao ux f satisfaz a equagao da onda A constante a depende da densidade da corda x e da tensdo aplicada nela FIGURA 8 32005 Verifique se a fungao ux ft senx af satisfaz a equacao de onda SOLUGAO Ux cosx af u acosx at Ux senx at Un asenx at aux Entao u satisfaz a equacdo de onda As equacées diferenciais parciais que envolvem as funcGes de trés varidveis também sao muito importantes na ciéncia e na engenharia A equacao tridimensional de Laplace é ou du eu 5 TT ay az 0 ox oy 0z e um lugar em que ocorre é na geofisica Se ux y z representa a forga do campo magnéti co na posicao x y z entéo ela satisfaz a Equac4o 5 A forga do campo magnético indica a distribuigéo de minerais ricos em ferro e reflete diferentes tipos de rochas e a localizac4o de falhas A Figura 9 mostra um mapa de contorno do campo magnético da Terra que foi regis trado de uma aeronave transportando um magnetémetro que voava a 200 m acima da super ficie do solo O mapa de contorno é intensificado pela codificacao por cores das regides entre as curvas de nivel FIGURA 9 Forga do campo magnético da Terra 3 pean Tene A Figura 10 mostra um mapa de contorno para a derivada parcial de segunda ordem de u na direcao vertical ou seja u Verificase que os valores das derivadas parciais u Uyy S40 mensurados de maneira relativamente facil a partir de um mapa do campo magnético Entao os valores de u podem ser calculados a partir da equac4o de Laplace 5 a if a a a FIGURA 10 5 Segunda derivada vertical ur do campo magnético a Marea Toles DERIVADAS PARCIAIS 819 Ml A Funcao de Produgao de CobbDouglas No Exemplo 3 da Secao 141 descrevemos 0 trabalho de Cobb e Douglas na modelagem da produgao total P de um sistema econdmico como fungao da quantidade de trabalho L e do capital investido K Usaremos agora as derivadas parciais para mostrar como a forma parti cular desse modelo deriva de certas hipéteses que eles fizeram sobre a economia Se a funa4o de producao denotada por P PL K a derivada parcial 0PdL a taxa de variagdo da produgao em relacdo a quantidade de trabalho Os economistas chamam isso de produ4o marginal em relacao ao trabalho ou produtividade marginal do trabalho Da mesma forma a derivada parcial 0P0K a taxa de variagao da producado em relacao ao capi tal investido e é denominada produtividade marginal do capital Nesses termos as hip6 teses feitas por Cobb e Douglas podem ser enunciadas da seguinte forma i Se ou 0 trabalho ou o capital se anulam o mesmo acontece com a producao ii A produtividade marginal do trabalho é proporcional 4 quantidade de produgAo por uni dade de trabalho iii A produtividade marginal do capital é proporcional a quantidade de produg4o por uni dade de capital Como a producao por unidade de trabalho é PL a hipstese ii diz oP P q aL L para alguma constante a Se mantivermos K constante K Ko entéo essa equacao dife rencial parcial se transforma na equacao diferencial ordinaria 6 dP P ge dL L Se resolvermos essa equacao diferencial separavel pelos métodos da Secao 93 veja também o Exercicio 85 obteremos PUL Ko CKoL Observe que escrevemos a constante C como funcao de Ko porque ela pode depender do valor de Ko Analogamente a hipétese iii diz que oP ae 0K K e podemos resolver essa equacao diferencial obtendo PLo K C2Lo K Comparando as Equacées 7 e 8 temos 9 PL K bLK onde b é uma constante independente de L e K A hipotese i mostra quea Oe B 0 Observe que pela Equaao 9 se o trabalho e o capital sio ambos aumentados por um fator m temos PmL mK bmLmK m8bLK8 m8PL K Se a B 1 entéo PmL mK mPL K 0 que significa que a producdo também é aumentada pelo fator m Essa é a raza4o pela qual Cobb e Douglas supuseram que a B 1 portanto PL K bLK Essa é a funcao de producgao de CobbDouglas discutida na Seao 141 820 CALCULO ce Exercicios 1 A temperatura T em Cde uma localidade do Hemisfério Norte a Qual o significado das derivadas parciais dhdu e dhdt depende da longitude x da latitude y e do tempo ft de modo que b Estime os valores de f80 15 e f80 15 Quais sao as in podemos escrever T f x y ft Vamos medir 0 tempo em horas terpretacgGes praticas desses valores a partir do inicio de janeiro c Qual parece ser o valor do seguinte limite a Qual o significado das derivadas parciais 0Tdx dTdy e ah OTdt lim Or tox b Honolulu tem longitude de 158 W e latitude de 21 N Su 58 Determine os sinais das derivadas parciais da fungao f cujo gra ponha que as 9 horas em 1 de janeiro esteja ventando para fico esta mostrado noroeste uma brisa quente de forma que a Oeste e a Sul 0 ar esteja quente e a Norte e Leste o ar esteja mais frio Vocé es aw peraria que f 158 21 9 f 158 21 9 ef 158 21 9 fos 1 im t 4 WY sem positivos ou negativos Explique ray a Th se ee MASE 2 No inicio desta sec4o discutimos a fungao J fT H onde J era Vg SSS LX o humidex T a temperatura e H a umidade relativa Utilize a LIFES NY ya os AF WSS Tabela para estimar fr 34 75 e fz 34 75 Quais sao as in Wey terpretacgGes praticas desses valores ay 3 O indice de sensacao térmica W é a temperatura sentida quando Uy i yp a temperatura real é T e a velocidade do vento v Portanto po demos escrever W fT v A tabela de valores a seguir foi ex 5 a fe1 2 b ACL 2 traida da Tabela 1 da Secdo 141 6 a f1 2 b f 1 2 Velocidade do vento kmh 7 a fo1 2 b f 1 2 8 a fo1 2 b f 1 2 sff sf pa bee omcie L 9 As seguintes superficies rotuladas a b ec sio graficos de uma 5 fungao fe de suas derivadas parciais f e f Identifique cada su ban es ae as a 7 w OA eee gee a Estime os valores de fr 15 30 e f 15 30 Quais sao as 4 RE ROY interpretagdes praticas desses valores WY Hy b Em geral 0 que se pode dizer sobre o sinal de dWdT e 8 0 72 aWiav 321 0 7 5 G72 4 c Qual parece ser o valor do seguinte limite y ow lim vox OV 4 A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do Be vento v e do tempo durante o qual o vento se manteve naquela 4 Ve intensidade Os valores da funcg4o h f v t sio apresentados oN Y Wt na seguinte tabela 7 0 fv SSS Duragao horas 4 2 Pee Serpe y z 2 06 06 06 06 06 06 06 fo taf tal is as as ei S és SN 3 4 ESN see eee go 3 z 0 MES eee ar 95 em 1a g Fw ae as oe 3 a 3 2 0 19 2 x Sia e as a rs E necessério usar uma calculadora grafica ou computador E necessério usar um sistema de computagiio algébrica 1 As Homework Hints esto disponiveis em wwwstewartcalculuscom DERIVADAS PARCIAIS 821 10 Um mapa de contorno de uma fungao f apresentado Utilize 4546 Use a definicao de derivadas parciais como limites para O para estimar f2 1 ef2 1 encontrar FAX y e fix y y x TL tree a moate J xy Vy 6 8 4750 Use a derivagao implicita para encontrar 0zdx e dzdy 7 107 2 2 2 2424 295 weAw Ae A 242P4321 48 Pyt2274 At 14 C xyz yztxInyz 7 ML 49 y 50 y Iny2 16 WALL 5152 Determine 0zdx e dzdy 3 7 18 TELYIELE LANA es0949 rmF0y 52 az fxgy b z f xy 11 Sef x y 16 4x y determine f1 2 ef 1 2 e inter cz fly prete esses nimeros como inclinagées Ilustre ou com um es eo boco A mao ou utilizando o computador 5358 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem 12 Se fxy V4 x2 4y2 determine f1 0 e f1 0 e in 53 fxy xy t 2x4ty 5A fx y senmx ny terprete esses nimeros como inclinagées lustre ou com um es pao xy bogo 4 mao ou utilizando o computador Sw vue 0 56 9 xy fH 1314 Determine f e f e faga os graficos f fc e fr com dominios e xty oe pontos de vista que lhe permitam ver a relacfo entre eles 57 arctg 1x Bue y ee 243 13 y xy 14 fy 1xy 5962 Verifique se a concluséo do Teorema de Clairaut é valida isto ee 6 Uxy Uyx 1540 Determine as derivadas parciais de primeira ordem da fung4o 59 uw xtyi 4 60 v esen y 15 fxy y 3xy 16 fxy xty 8xy 61 uw cos xy 62 uw In 2y 17 f xt ecos mx 18 fx1 vk int 6370 Determine as derivadas parcialis indicadas 2 34 19 2x 3y 20 tgxy 63 FO Y PY Ys fom fon 64 fxy 2x Sy fray a fay 2 fxy PO YS SEMEL S 29 Sow y ry 65 fy e foe by e 23 fxy 24 w Psy cx dy u Uv 66 g rs t esenst Gust 3 25 g u v wou v 26 fx 1 arctgxyt 67 u e sen re r 27 w senacos B 28 fx y x 93 Zz ox p 68 2zusjvw 29 Fx y fcos e dt 30 F a B Ve 1d FUN OS on av Ow 3 3 31 fx y z xz Sxyzt 32 f x y Z x seny z 69 w ow ow yt2z dzdydx dxdy 33 w Inx 2y 32 34 w ze 96 70 uxy2 1 5 35 u xy sen7yz 36 u x Ox dy dz 5 1 Se fx y z xy2z3 arcsen x z determine Suzy Dica Qual 37 AG yz y cosz 1 ordem de diferenciagao é a mais facil 38 j By PO YZ y dy 72 Se gx yz V1 xz V1 xy determine gy Dica Use uma ordem de diferenciagao diferente para cada termo 39 w Vxp tap tes HHP 73 Use a tabela de valores de fx y para estimar os valores de 40 u senx 2x nXx FB 2 FB 22 fy 2 4144 Determine as derivadas parciais indicadas S22 M fxy Inet Ve Fy 64 PSS 2 flsy ateayiv23 3 fx y0 fQ21D 44 fx yz senx seny senz 0 0 774 822 CALCULO 74 As curvas de nivel so mostradas para uma fungao f Determine 84 Mostre que a funcgdo produgio de CobbDouglas P bLK sa se as seguintes derivadas parciais sAo positivas ou negativas no tisfaz a equacéo ponto P af b f pee ee BP os h Ofe aL OKO d fry fy x x 85 Mostre que a fungao produgao de CobbDouglas satisfaz y J PL Ko CiKoL resolvendo a equacao diferencial 10 8 6 Jo ai 42 dL L Veja a Equacao 6 P 86 Cobb e Douglas usaram a equacio PL K 101L K para o modelo de economia norteamericana de 1899 a 1922 onde L é a quantidade de trabalho e K a quantidade de capital Veja o Exemplo 3 na Secao 141 75 Verifique se a fung4o u et sen kx solugao da equacdao de a Calcule P Px 9 b Encontre a produtividade marginal de trabalho e a produti conducdo do calor u a7 Ux vidade marginal de capital no ano de 1920 quando L 194 76 Determine se cada uma das seguintes fung6es é solugao da equa e K 407 em comparagéo com os valores atribuidos cao de Laplace uy uy 0 L 100e K 100 em 1899 Interprete os resultados ajux y buxy c No ano de 1920 o que trouxe mais beneficios para a produ c u 8 3x7 duInVJx2 y co um aumento no capital de investimento ou um aumento nos gastos com mAo de obra e u senx cosh y cos x senh y f u e cosy e cosx 87 A equacdo de van der Waals para n mols de um gas é 77 Verifique se a fungao uu 1x2 y2 z uma solucio P nwa V nb aRT da equagao de Laplace tridimensional u uy uz 0 Vv nb n 78 Mostre que cada uma das seguintes fungdes é uma solugdo da onde P a pressao V 0 volume e T a temperatura do gas A equacao da onda uy aux constante R é a constante universal de gas e a e b so constantes a u senkx senakt positivas que sao caracteristicas de um gas em particular Calcule OT0P e OPaV b u Ha x c u x at x at 88 A lei dos gases para uma massa fixa m de um gas ideal 4 tem d u senx at Inx af peratura absoluta 7 pressio P e volume V é PV mRT onde R oo é a constante do gas Mostre que 79 Se feg sao fungdes duas vezes diferenciaveis de uma tnica va ridvel mostre que a fungao OP OV OT 1 ux 1 f x at gx at dV OT OP é solucao da equacao de onda dada no Exercicio 78 oe 89 Para o gas ideal do Exercicio 88 mostre que 80 Seu etext tax onde a az a 1 mos oP aV tre que T R eu eu au or or yt aa tt TSU Oxi x2 Xn 90 O indice de sensagao térmica é modelado pela funcao 81 Verifique que a funcio z Ine e é uma solucao das equa W 1312 06215T 1137v 03965Tv Ses dif OCS OE ES onde T é a temperatura C e vu a velocidade do vento kmh Oz Oz Quando T 15 C ev 30 kmh quanto vocé espera que a ox dy temperatura aparente W caia se a temperatura real decrescer em e 1C Ese a velocidade do vento aumentar em 1 kmh a ax dy ax dy 91 A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade vu é K 5 mv Mostre que 82 A temperatura em um ponto x y de uma chapa de metal é dada por Tx y 601 x y onde T é medido em C ex yem OK aK K metros Determine a taxa de variag4o da temperatura no ponto am ove 2 1 em a a diregao xe b a diregao y 92 Sea bec sao os lados de um triangulo e A B e C sao os angu 83 A resisténcia total R produzida por trés condutores com resis los opostos determine dAda dAb e dAdc pela derivagao im téncia R R2 e R3 conectados em paralelo em um circuito elé plicita da Lei dos Cossenos trico dada pela formula 93 Disseramlhe que existe uma funga4o f cujas derivadas parciais so i i 4 i 4 i Sax y x Ay eff y 3x y Vocé deve acreditar nisso R R R R3 Determine 0R0R DERIVADAS PARCIAIS 823 4 94 Oparaboloide z 6 x x 2y intercepta o plano x 1 em 98 a Quantas derivadas parciais de nésima ordem tém uma fun uma parabola Determine as equacg6es paramétricas para a reta ao de duas variaveis tangente a essa parabola no ponto 1 2 4 Use um computa b Se essas derivadas parciais forem continuas quantas delas dor para fazer o grafico do paraboloide da parabola e da reta podem ser distintas tangente em uma mesma tela c Responda a parte a da questao para uma fungao de trés va Tlavels 95 O elipsoide 4x 2y z 16 intercepta o plano y 2 em 5 uma elipse Determine as equac6es paramétricas da reta tangente 99 a Se fx y x0 y Mere determine f1 0 a essa elipse no ponto 1 2 2 Dica Em vez de determinar fx y primeiro observe que é mais facil utilizar a Equagao 1 ou a Equacio 2 96 No estudo de penetrag4o do congelamento descobriuse que a sf Ln temperatura T no instante t medido em dias a uma profundi 100 a Se fx y va y determine 0 0 dade x medida em metros pode ser modelada pela fungao 101 a Seja dx 3 3 Tx t Ty Tie senwt Ax xy se xy 00 onde w 277365 e A é uma constante positiva fuyly xy a Determine 07dx Qual seu significado fisico 0 se x y 0 0 b Determine 07dt Qual seu significado fisico FY a Use um computador para tragar o grafico de f c Mostre que T satisfaz a equacgao do calor T kT para uma b Determine fx y e fx y quando x y 0 0 certa constante k c Determine f0 0 ef0 0 usando as Equacoes 2 e 3 AE d Se A 02 To 0 e T 10 use um computador para tra d Mostre que f0 0 1 efx0 0 1 car o grafico de Tx t e O resultado da parte d contradiz o Teorema de Clairaut e Qual é o significado fisico do termo Ax na expressio Use os graficos de f e fx para ilustrar sua resposta senwt Ax 97 Utilize o Teorema de Clairaut para mostrar que se as derivadas parciais de terceira ordem de f forem continuas entao Soy fry fyx co Planos Tangentes e Aproximacoes Lineares Uma das ideias mais importantes em calculo de fungdes com uma Unica variavel é que 4 me dida que damos zoom em torno de um ponto no grafico de uma fungao diferenciavel esse gra fico vai se tornando indistinguivel de sua reta tangente e podemos aproximar a fungao por uma funcAo linear veja a Secao 310 no Volume I Desenvolveremos ideias semelhantes em trés dimensdes A medida que damos zoom em torno de um ponto na superficie que é 0 gra fico de uma fungao diferenciavel de duas variaveis essa superficie parece mais e mais com um plano seu plano tangente e podemos aproximar a fun4o nas proximidades do ponto por uma fungao linear de duas variaveis Estenderemos também a ideia de diferencial para as fung6es de duas ou mais variaveis M8 Planos Tangentes Suponha que uma superficie S tenha a equacao z f x y onde ftenha derivadas parciais con z tinuas de primeira ordem e seja PXo yo Zo um ponto em S Como na se4o anterior sejam Ce Cz as curvas obtidas pela interseccdo dos planos verticais y yo e x xo com a superfi qT cie S Entao o ponto P fica em Ce C2 Sejam T e T2 as retas tangentes 4 curva C e C2 no ponto VC P Entao o plano tangente a superficie S no ponto P é definido como o plano que contém as a retas da tangente T e T veja a Figura 1 37 AP G Veremos na Secao 146 que se C é outra curva qualquer que esteja contida na superficie a S e que passe pelo ponto P entao sua reta tangente no ponto P também pertence ao plano tan we gente Portanto podemos pensar no plano tangente a Sem P como o plano que contém todas oF as retas tangentes a curvas contidas em S que passam pelo ponto P O plano tangente em P é y o plano que melhor aproxima a superficie S perto do ponto P x Sabemos da Equacao 1257 que qualquer plano passando pelo ponto Pxo yo Zo tem equacao da forma FIGURA 1 O plano tangente contém Ae 0 By yo CE 20 0 as retas tangentes T eT Dividindo essa equagaéo por C e tomando a AC e b BC podemos escrevéla como 824 CALCULO 1 Z Z ax Xo bly yo Se a Equacao representa o plano tangente em P sua intersecg4o com o plano y yo pre cisa ser a reta T Impondo y yo na Equacéo 1 obtemos Z Z ax Xo onde y yo e reconhecemos isso como a equac4o na forma pontoinclinagéo de uma linha com a incli nacao a Mas a partir da Secdo 143 sabemos que a inclinacAo da tangente T é fxo0 yo Por tanto a fiXo yo Da mesma forma tomando x x9 na Equagao 1 obtemos z z by yo que pre cisa representar a reta tangente 7 e portanto b fXo yo 2 Suponha que f tenha derivadas parciais continuas Uma equacao do plano tan Observe a semelhanga entre a equagao do gente a superficie z fx y no ponto PX yo Zo dada por plano tangente e a equacao da reta tangente y yo f Cadre x0 Z Zo felon YoNX Xo fio YoY Yo S70 Determine o plano tangente ao paraboloide elfptico z 2x y no ponto d 1 3 SOLUCAO Sejaf x y 2x y Entéio Si y 4x Six y 2y fe 1 4 AC 1 2 Portanto por 2 temos a equagao do plano tangente em 1 1 3 como z34a120 ou z4x2y3 7 0 Visual 1444 mostra uma A Figura 2a mostra 0 paraboloide eliptico e seu plano tangente em 1 1 3 que encontra animacdio das Figuras 2 e 3 mos no Exemplo 1 Nas partes b e c damos zoom em direcao ao ponto 1 1 3 restringindo o dominio da fungiio f x y 2x y Observe que quanto mais ampliamos a regiao préxima ao ponto mais plano parece o grafico da superficie e mais se parece com o plano tangente 40 hL 40 40 20 at 20 20 SSE SL z 0 SSS oz z 0 zo s SSS 20 SSS 4 20 20 4 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 y 2 4 2 4 44 22 y 22 a b c FIGURA 2 O paraboloide eliptico z 2x y parece coincidir com o plano tangente quando damos zoom em torno de1 1 3 Na Figura 3 reforgamos essa impressao dando zoom em torno de 1 1 no mapa de con torno da funcao f x y 2x y Observe que quanto mais ampliamos mais as curvas de nivel parecem retas igualmente espagadas o que caracteriza uma regido plana 15 12 105 FIGURA 3 Dando zoom em torno do ponto 1 1 no mapa de contorno de flxy 2x7 y 05 15 og 12 095 105 DERIVADAS PARCIAIS 825 MM Aproximacoes Lineares No Exemplo 1 descobrimos que uma equac4o do plano tangente ao grafico da fungao f y 2x yno ponto 1 1 3 6 z 4x 2y 3 Portanto em vista da evidéncia visual nas Figuras 2 e 3 a funcdo linear de duas varidveis Lx y 4x 2y 3 é uma boa aproximacao de f x y quando x y esta proximo de 1 1 A fungao L é cha mada linearizacdo de f em 1 1 e a aproximacao S y 4x 2y 3 é denominada aproximacdo linear ou aproximagdo pelo plano tangente de f em 1 1 Por exemplo no ponto 11 095 a aproximagao linear fornece fC1 095 411 2095 3 33 que esta bastante préximo do valor verdadeiro de f 11 095 211 095 33225 Se entretanto tomarmos um ponto longe de 1 1 como 2 3 nao teremos mais uma boa aproximagao De fato L2 3 11 ao passo que f 2 3 17 Em geral sabemos de 2 que uma equacao do plano tangente ao grafico de uma funcao f de duas varidveis que tem derivadas parciais continuas em um ponto a b f a b é zf a b fila bx a fa by b A fung4o linear cujo grafico é esse plano tangente a saber 3 Lx y fa b fila bx a fila bly b y Z ZZELEI é denominada linearizacao de f em a b e a aproximagao tee RRC KX Me fxy fa b fila Bx a fila bly b BY Ley é chamada aproximagao linear ou aproximacao pelo plano tangente de f em a D Definimos o plano tangente para as superficies z f x y onde f tem derivadas parciais x de primeira ordem continuas O que acontece se f e f nado sao continuas A Figura 4 apre senta uma tal fungao Sua equacgao é x se x y 0 0 fy yx ty FIGURA 4 0 se xy 00 oxy fxy xy se x y 0 0 Podemos verificar veja o Exercicio 46 que suas derivadas parciais existem na origem e sao f0 0 0 f0 0 0 e f0 0 0 mas f e f nao sao continuas A aproximacao linear seria f y 0 mas f x y 5 em todos os pontos na reta y x Portanto a funcgao de duas variaveis pode comportarse mal mesmo se ambas as derivadas parciais existirem Para evi tar esse comportamento introduzimos a ideia de fun4o diferencidvel de duas variaveis Lembremonos de que para uma fungao de uma varidvel y f x se x varia de a para a Ax definimos o incremento de y como Ayfa Axf No Capitulo 3 no Volume I mostramos que se f é diferencidvel em a entio 5 AyfajAxt eAx onde e 0 quando Ax0 Esta é a Equactio 347 Considere agora uma fungao de duas variaveis z f x y e suponha que x varie de a paraa Axe y varie de b para b Ay Entao o incremento correspondente de z é 6 AzfatAxb Ay fab Portanto o incremento A z representa a variagdo de valor de f quando x y varia de a b para a Ax b Ay Por analogia a 5 definimos a diferenciabilidade de uma funcdo de duas varidveis como segue 826 CALCULO 7 Definigdéo Sez f x y entio fé diferenciavel em a b se A z puder ser ex presso na forma Azfa Ax fia Ay eAxt eAy onde e 2 0 quando A x A y 0 0 A Definig4o 7 diz que uma fungao diferenciavel é aquela para a qual a aproximagao linear é uma boa aproximaao quando x y esta proximo de a b Em outras palavras o plano tangente aproxima bem o grafico de f perto do ponto de tangéncia Algumas vezes é dificil usar a Definigéo 7 diretamente para verificar a diferenciabilida de da fungao mas 0 préximo teorema nos dé uma condicAo suficientemente conveniente para a diferenciabilidade 0 Teorema 8 est demonstado no Apénic Teorema Se as derivadas parciais f ef existirem perto do ponto a b e forem con tinuas em a b entaio f é diferenciavel em a b a Set0y Mostre que f x y xe é diferencidvel em 1 0 e encontre sua linearizacao pig 5 mostra o grafico da funcio fe sua linearizactio L no ali Em seguida use a linearizac4o para aproximar f 11 01 Exemplo 2 ae SOLUCGAO As derivadas parciais sao SX y e xye fi y xe oT fC 0 1 AC 0 1 4 Tanto f quanto f séo fungdes continuas portanto f é diferenciavel pelo Teorema 8 A linea z s rizacdo é dada por SS Lx y fC 0 fC Oe 1 fC Oy 0 wh 0 1 A aproximagao linear correspondente é xev xy FIGURA 5 Assim f1 01 1101 1 Compare esse valor com o valor real de f 11 01 11 e 098542 Sie80e No inicio da Secao 143 discutimos o humidex temperatura aparente J como uma fungao da temperatura real T e da umidade relativa H e fornecemos a seguinte tabela de valores Umidade relativa ok EE er eee Csescsceceeeeseseees Escseseeceeerseseses Temperatura Sil ao y e e ee lao sliaielels sissies iw as ele Determine uma aproximagao linear para o humidex J f 7 H quando T esta proximo de 30C e H esta préximo de 60 Use essa estimativa do humidex quando a temperatura esti ver a 31C e a umidade relativa for 62 SOLUCAO Lemos na tabela que f 30 60 38 Na Secao 143 usamos os valores tabelados para estimar f730 60 175 e f30 60 03 Assim a aproximacao linear é DERIVADAS PARCIAIS 827 ST A f 30 60 fr30 60T 30 fx30 60H 60 38 175T 30 03H 60 Em particular f Gl 62 38 1751 032 4035 Portanto quando T 31 C e H 62 o humidex é I 404 C 7 MS Diferenciais Para uma fungao de uma tinica variavel y f x definimos a diferencial dx como uma varia y vel independente ou seja dx pode valer qualquer nimero real A diferencial de y é definida Y FX como 3 dy fx dx ay Veja a Secao 310 A Figura 6 mostra as relag6es entre 0 incremento Ay e a diferencial dy dx Ax dy Ay representa a variacdo de altura da curva y f x e dy representa a variagdo de altura da reta tangente quando x varia da quantidade dx Ax tes ee 0 a atAx x Para uma fungao de duas variaveis z f x y definimos as diferenciais dx e dy como reta tangente variaveis independentes ou seja podem ter qualquer valor Entao a diferencial dz também yfla flalxa chamada de diferenciagao total definida por FIGURA 6 dz fxy de flaydy ax Za iz fx x y y y ay ax ay y Compare com a Equacao 9 Algumas vezes a notacao df é usada no lugar de dz Se tomamos dx Ax x ae dy Ay y b na Equacao 10 entao a diferencial de zé dz fa bx a fa by b E assim com a notacao de diferencial a aproximagao linear 4 pode ser escrita como f fla b dz A Figura 7 uma correspondente tridimensional da Figura 6 e mostra a interpretacdo geo métrica da diferencial dz e o incremento A zdz representa a alterac4o da altura do plano tan gente ao passo que Az representa a alteracgaéo da altura da superficie z f x y quando x y varia de a b para a Ax b Ay 2 a Ax b Ay fa Ax b Ay superficie z fx y Jf a Az p dz a b fa b de y a Ax b Ay 0 x a b 0 Ay dy plano tangente FIGURA 7 z fa b fa bx a fya by b Een a Sez f x y x 3xy y determine a diferencial dz b Se x varia de 2 para 205 e y varia de 3 a 296 compare os valores de Az e dz 828 CALCULO No Exemplo 4 dz estd proximo de Az porque o plano tor SOLUCAO gente é uma boa aproximacdo da superficiez x 3xy a Da Definicdo 10 vem y perto do ponto 2 3 13 Veja a Figura 8 Oz Oz dz dx dy 2x 3y dx x 2y dy ox oy ao b Tomando x 2 dx Ax 005 y 3 edy Ay 004 obtemos 0 SK 40 SS dz 22 33005 32 23004 065 z 20 SS Se O incremento de z é SS 20 y 7 Az f 205 296 f 2 3 5 4 3 2 1 6 4 5 205 3205296 296 27 323 37 FIGURA 8 06449 Observe que Az dz mas dz mais simples de calcular 3520 Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obti vemos 10 cm e 25 cm respectivamente com possivel erro nessas medidas de no maximo 01 cm Utilize a diferencial para estimar 0 erro maximo cometido no calculo do volume do cone SOLUCAO O volume V do cone com raio da base r e altura h é V mrh3 Logo a diferen cial de Vé ov ov 2arh ur dV dr dh dr dh or oh 3 3 Como cada erro é de no maximo 01 cm temos Ar 01 AA 01 Para estimarmos 0 maior erro no volume tomamos o maior erro na mensuragao de r e de h portanto toma mos dr 01 edh 01 parar 10 h 25 Isso da 500 100 dv 01 1 207 3 3 Assim 0 erro maximo cometido no cdlculo do volume é de cerca de 2077 cm 63 cmE M5 Funcoes de Trés ou Mais Variaveis Aproximacoes lineares diferenciabilidade e diferenciais podem ser definidas de maneira ana loga para as fung6es de mais que duas variaveis Uma funcao diferencidvel é definida por uma expressao semelhante aquela da Definicao 7 Para essas fungdes a aproximagao linear é LO ys z f a b c fla b cx a fa b cy b fa b cz c e a linearizagao Lx y z o lado direito dessa expressao Se w f x y Z entéo o incremento de w é Aw fx Axy Ay z Az f y 2 A diferencial dw é definida em termos das diferenciais dx dy e dz das variaveis indepen dentes por ow ow ow dw dx dydz Ox oy Oz Siets As dimensdes de uma caixa retangular so medidas como 75 cm 60 cm e 40 cm e cada medida foi feita com precisdo de 02 cm Use diferenciais para estimar 0 maior erro possivel quando calculamos o volume da caixa usando essas medidas SOLUCAO Se as dimensGes da caixa sao x y e z seu volume é V xyz portanto OV oV aV dV dx dy dzyzdx xzdy xy dz Ox oy Oz DERIVADAS PARCIAIS 829 Foinos dado que Ax 02 Ay 02 e Az 02 Para estimarmos 0 maior erro no volume utilizamos portanto dx 02 dy 02 e dz 02 junto com x 75 y 60e z 40 AV dV 604002 754002 756002 1980 Portanto um erro de apenas 02 cm nas medidas de cada dimensao pode nos levar a um erro da ordem de 1980 cm no calculo do volume Isso pode parecer um erro muito grande mas na verdade é um erro de apenas cerca de 1 do volume da caixa co Exercicios 16 Determine uma equac4o do plano tangente 4 superficie no 19 Dado que fé uma funcao diferenciavel f 2 5 6 f2 5 1 ponto especificado e f2 5 1 use uma aproximagao linear para estimar f 22 49 10 7 3y 2x x 2 1 3 4 20 Determine a aproximacio linear da funcao f x y 1 xy cos 20 2 31 20 3P 7 2 2 12 ay em 1 1 e usea para aproximar o numero f102 097 3 7H Jy LD Ilustre tragando o grafico de fe do plano tangente oy 21 Determine a aproximagao linear da funcgao 40 c xe 2 0 2 Sxy Zz Vx y 2 em 3 2 6 e usea para aproxi 5 zxsenxy 1 10 mar o numero 302 197 599 6 z Inx 2y 3 1 0 22 A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do ooo vento v e do tempo durante o qual o vento se manteve naquela f4 78 Desenhe a superficie e o plano tangente no ponto dado Esco intensidade Os valores da funcgao h f vu t siéo apresentados lha 0 dominio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superficie na seguinte tabela Use a tabela para determinar uma aproxima quanto o plano tangente Em seguida dé zoom até que a superficie co linear da fungao altura da onda quando vu esté préximo de e o plano tangente se tornem indistinguiveis 80 kmh e esté proximo de 20 horas Em seguida estime a al tura das ondas quando esta ventando por 24 horas a 84 kmh 1 7x xy 3y qd 1 5 Duragao horas 8 arctgxy 11 74 tscomwh du NS es 2 sl 910 Desenhe o grafico de fe de seu plano tangente no ponto dado e Utilize um sistema de computacao algébrica tanto para calcular as S derivadas parciais quanto para tragar os graficos da fungao e de seu 5 plano tangente Em seguida dé zoom até que a superficie e 0 plano S eur aren ie eee oy Se Zim ss 99 no 22 3s 47 sa 9 y 1 10 110 100 58 89 110 122 138 147 153 FEM Tyra ye 10 1 1 0 8 1 flay Ve VF Vi 1 3 1116 Explique por que a fungao é diferenciavel no ponto dado A ae oo sn 23 Utilize a tabela do Exemplo 3 para encontrar a aproximagao li seguir encontre a linearizag4o Lx y da fungéo naquele ponto is De near da fung4o humidex quando a temperatura esta prdxima de 1 fy 14x Inay 5 2 3 32 C e a umidade relativa do ar é de aproximadamente 65 Estime também o humidex quando a temperatura é de 33 C ea 12 fxy xy 1 1 umidade relativa 63 x 13 fxy Tey 2 1 24 O indice de sensacdo térmica W é a temperatura sentida quando xy a temperatura real é T e a velocidade do vento v Portanto po 14 fxy Vx e 3 0 demos escrever W fT v A tabela de valores a seguir foi ex 5 fye x 0 traida da Tabela 1 da Segao 141 Use essa tabela para determinar Gy e cos y 7 a aproximagao linear da fun4o de sensagao térmica quando T 16 fxy y senxy 0 3 estiver a15Cev estiver proximo de 50 kmh Estime a se OT guir a sensag4o térmica quando a temperatura estiver a 17 C 1718 Verifique a aproximacao linear em 0 0 e a velocidade do vento for de 55 kmh 2x 3 17 Tt 3 4 2x y 1 Vy costx 1 4y y E necessario usar uma calculadora grafica ou computador E necessario usar um sistema de computagio algébrica 1 As Homework Hints estao disponiveis em wwwstewartcalculuscom