Valores Máximos e Mínimos de Funções de Duas Variáveis

850 CALCULO co Valores Maximo e Minimo Z Maximo Como vimos no Capitulo 4 no Volume I um dos principais usos da derivada ordinaria é na g absoluto determinacao dos valores maximo e minimo valores extremos Nesta segao veremos como Maximo AN usar as derivadas parciais para localizar os pontos de maximo e minimo de uma fungao de loca ANN duas variaveis Em particular no Exemplo 6 veremos como maximizar o volume de uma AREER caixa sem tampa se tivermos uma quantidade limitada de cartolina para trabalhar Se pr y Olhe os picos e vales no grafico de f mostrado na Figura 1 Existem dois pontos a b nos NN WN cs Y quais f tem um mdximo local ou seja onde f a b é maior que os valores proximos de Minimo WW Minimo f x y O maior destes dois valores é 0 mdximo absoluto Do mesmo modo f tem dois mini absoluto mos locais onde f a b menor que os valores proximos O maior destes dois valores é 0 minimo absoluto FIGURA 1 1 Definigao Uma fungao de duas varidveis tem um maximo local em a b se f y f q b quando x y esta préximo de a b Isso significa que f x y f a b para todos os pontos x y em alguma bola aberta com centro a b O nimero f a b chamado valor maximo local Se f x y f a b quando x y esta pr6ximo a b entéo f tem um minimo local em a b e f a b um valor minimo local Se as inequagoes da Definicao 1 valerem para todos os pontos x y do dominio de f entao f tem um maximo absoluto ou minimo absoluto em a b Observe que a conclusdo do Teorema 2 2 Teorema Se f tem um maximo ou minimo local em a b e as derivadas parciais pode ser enunciada na notacdo de vetores oo a gradientes como Vf a b 0 de primeira ordem de f existem nesses pontos entao fa b Oe fa b 0 DEMONSTRACAO Seja gx f x b Se f tem um maximo ou minimo local em a b entao g tem um maximo ou minimo local em a portanto ga 0 pelo Teorema de Fermat veja o Teorema 414 Mas ga fa b veja a Equagao 1431 e portanto fa b 0 Da mesma forma pela aplicagéo do Teorema de Fermat a funcio Gy f a y obtemos Sia b 0 Se impusermos fa b 0 e fa b O na equacao do plano tangente Equacao 1442 obteremos z Zo Assim a interpretagdo geométrica do Teorema 2 é que 0 grafico de f tem um plano tangente em um maximo ou minimo local portanto o plano tangente deve ser horizontal Um ponto a b é chamado ponto critico ou ponto estaciondrio de f se fa b Oe Jia b 0 ou se uma das derivadas parciais nao existir O Teorema 2 diz que se f tem um maximo ou minimo local em a b entéo a b é um ponto critico de f No entanto como no calculo varidvel tnico nem todos os pontos criticos originam maximos ou minimos Em um ponto critico a funao pode ter um maximo local ou um minimo local ou ainda nenhum dos dois Z Seja f x y x7 y 2x 6y 14 Entio Six y 2x 2 Si y 2y 6 Essas derivadas parciais sao nulas quando x e y 3 portanto o tinico ponto critico é 34 1 3 Completando os quadrados achamos 0 fy41 3P Ja que x 1 0e y 3 O temos f x y 4 para todos os valores de x e y Logo x y fC 3 4um minimo local e de fato o minimo absoluto de f Isso pode ser confirma do geometricamente a partir do grafico de f que 0 paraboloide eliptico com vértice 1 3 FIGURA 2 4 mostrado na Figura 2 zxy2x6y14 Determine os valores extremos de f x y y x DERIVADAS PARCIAIS 851 SOLUCAO Como f 2x ef 2y 0 tinico ponto critico é 0 0 Observe que para os pon z tos sobre 0 eixo x temos y 0 portanto fx y x 0 se x 0 Entretanto para os ffi pontos sobre 0 eixo y temos x 0 portanto f x y y 0 se y 0 Logo todo disco fi com centro 0 0 contém pontos onde a fungéo tem valores positivos assim como pontos y ff onde f tem valores negativos Entao f 0 0 0 nao pode ser um valor extremo de f por I Hi i y tanto f nao tem valor extremo O Exemplo 2 ilustra 0 fato de que uma fungao pode nfo ter nem maximo nem minimo em um ponto critico A Figura 3 mostra como isso é possivel O grafico de f é 0 paraboloide hiperbélico z y x que tem plano horizontal tangente z 0 na origem E possivel FIGURA 3 observar que f 0 0 0 um maximo na diregdo do eixo x mas um minimo na diregéo do z y x eixo y Proximo a origem do grafico existe o formato de uma sela e portanto 0 0 é cha mado ponto de sela de f Uma montanha tem um formato de sela Conforme a fotografia da formacao geolégica ilustra para as pessoas que escalam em uma direcAo 0 ponto de sela é 0 ponto mais baixo na rota enquanto para aqueles que viajam em uma direcdo diferente 0 ponto de sela é 0 ponto mais alto Precisamos ser capazes de determinar se uma fungdo tem um valor extremo em um ponto critico O teste a seguir que sera demonstrado no fim desta segéo é andlogo ao Teste da Segunda Derivada para as funcdes de uma tnica variavel 3 Teste da Segunda Derivada Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam continuas em uma bola aberta com centro em a b e suponha que fa b Oe fia b 0 ou seja a b um ponto critico de f Seja D Da b fea b fa b foa 6P 5 a SeD Oe fila b 0 entaéo f a b é um minimo local 5 b Se D Oe fxa b 0 entao f a b um maximo local 5 c Se D 0 entio f a b n4o é minimo local nem maximo local OBSERVAGAO 1 No caso c 0 ponto a b chamado ponto de sela de f e 0 grafico de f cruza seu plano tangente em a b OBSERVAGAO 2 Se D 0 nao dé nenhuma informagado f pode ter um méximo local ou minimo local em a b ou a b pode ser um ponto de sela de f OBSERVAGAO 3 Para lembrar a férmula de D é util escrevéla como um determinante fx fey 2 D fasfiy fe fe x fi y yy y SGVRME Determine os valores méximos e minimos locais e os pontos de sela de fy x4 yt 4xy 1 SOLUCAO Primeiro localizamos os pontos criticos fc 40 4y fr 4 40 Igualando essas derivadas parciais a zero obtemos as equagdes RL Wary Tm NNANY AN IV 1 ih Para resolvélas substituimos y x da primeira equacao na segunda Isso da at i 0x x x08 1 x04 DOF DY x0 DN DOs 1 Wilt e existem trés raizes reais x 0 1 1 Os trés pontos criticos sao 0 0 1 1 e 1 1 M4 Agora vamos calcular as segundas derivadas parciais e Dx y y f 12 fy 4 fy 129 FIGURA 4 Dx y forfy fo 144xy 16 zaxityldxyt1 852 CALCULO Como D0 0 16 0 segue do caso c do Teste da Segunda Derivada que a origem é um ponto de sela ou seja fnao tem nem maximo local nem minimo local em 0 0 Como Dd 1 128 Oe fC 1 12 0 vemos do caso a do teste que f1 1 1 é um minimo local Da mesma forma temos D1 1 128 Oe fi1 1 12 0 por tanto f1 1 1 é também um minimo local Um mapa de contorno da fungao fdo O grafico de f mostrado na Figura 4 i Exemplo 3 é6 mostrado na Figura 5 As curvas de nivel perto de 1 1 e 1 1 tém forma oval e indicam que y quando nos movemos para longe de 1 1 LZ ou 1 1 em qualquer diregdo os 7 valores de f crescem As curvas de nivel Vy perto de 0 0 por outro lado parecem J hipérboles Elas revelam que quando nos Yy movemos para longe da origem onde o y valor de fé 1 os valores de f decrescem em algumas diregdes mas crescem em Fy outras Portanto o mapa de contornos x sugere a presenca dos minimos e do ponto J de sela que encontramos no Exemplo 3 Yf Yj 3 Y Y Ye FIGURA 5 Em Module 147 é possivel utilizar S520 Determine e classifique os pontos criticos da fungao os mapas de contorno para estimar as localizagées dos pontos criticos fxy 10x y Sx 4y x Dy Determine também o ponto mais alto do grafico de f SOLUCAO As derivadas parciais de primeira ordem sao fc 20xy 10x 4x3 fy 10x 8y By Para acharmos os pontos criticos precisamos resolver as equagdes 4 2x10y 5 2x2 0 5 5x2 4y 4y 0 Da Equagao 4 vemos que x0 ou 10y 5 2x0 No primeiro caso x 0 a Equacao 5 fica 4y1 y 0 assim y 0 e temos um ponto critico 0 0 No segundo caso 10y 5 2x 0 temos 6 5y 25 e substituindo na Equagao 5 temos 25y 125 4y 4y 0 Logo temos de resolver a equacao cuibica 7 4y 2ly 125 0 Utilizando uma calculadora grafica ou um computador para tragar o grafico da funcgado gy 4y 21ly 125 LN como na Figura 6 vemos que a Equacao 7 tem trés raizes reais Dando zoom podemos achar 3 IN 27 as raizes com quatro casas decimais T7 Como alternativa podemos usar 0 método de Newton ou um programa para localizar raizes FIGURA 6 para determinalas Da Equagao 6 os valores x correspondentes sao dados por x V5y 25 DERIVADAS PARCIAIS 853 Se y 25452 entaéo x nao tem valor real correspondente Se y 06468 entao x 08567 Se y 18984 entao x 26442 Assim temos o total de cinco pontos cri ticos que séo analisados na tabela a seguir Todos os valores esto arredondados para duas casas decimais 0 0 000 1000 8000 maximo local 264 190 850 5593 248872 maximo local 086 065 148 587 18764 ponto de sela As Figuras 7 e 8 mostram o grafico de f sob dois pontos de vista diferentes e vemos que a superficie se abre para baixo Isso pode ser visto da express4o de f x y os termos domi nantes sio x 2y quando x e y sao grandes Comparando os valores de f nos maxi mos locais vemos que 0 maximo absoluto de f é f 264 190 850 Em outras palavras os pontos mais altos do grafico de f so 264 190 850 Z Z TX KN fii A ih ih of IM lI VY y K ALY MTV iM ANY KNVY f Hl in HAN Ni Visual 147 mostra diversas LN familias de superficies A superficie nas Figuras 7 e 8 6 um membro de uma dessas familias FIGURA 7 FIGURA 8 y Y y Os cinco pontos criticos da fungao f do 2 A fe Exemplo 4 estao destacados em azul no LSS mapa de contorno de f na Figura 9 SKS 08 148 C o x we FIGURA 9 SGM Determine a menor distancia entre 0 ponto 1 0 2 e o plano x 2y z 4 SOLUCAO A distancia entre um ponto qualquer x y z e 0 ponto 1 0 2 é d Jx 1 y 2 2 Mas se x y Z pertence ao plano x 2y z 4 entéao z 4 x 2y e assim temos d Jx 1 y 6 x 2y Podemos minimizar d minimizando a expressao mais simples afxy 1 y 6 x 2y Resolvendo as equacg6es fe 2x 1 2066 x 2y 4x 4y 140 fy 2y 46 x 2y 4x 10y 24 0 854 CALCULO achamos que o Unico ponto critico é 2 5 Como fx 4 fy 4 e fy 10 temos Dx y fa fy fy 24 Oe fix 0 portanto pelo Teste da Segunda Derivada f tem um minimo local em 2 Intuitivamente podemos ver que esse minimo local é na verda 0 Exemplo 5 poderia ser resolvido de um minimo absoluto porque precisa haver um ponto no plano dado que esteja mais pr6 utilizandose vetores Compare com os ximo de 1 0 2 Sex a ey 2 entaéo métodos da Segdo 125 a V I ty 65 Dy VO HO FO ive A menor distancia de 1 0 2 ao planox 2y z46é 246 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m de papelao Deter mine o volume maximo dessa caixa Le SOLUCAO Sejam x ye zo comprimento a largura e a altura da caixa em metros como mos a7 trado na Figura 10 Entaéo o volume da caixa é y Vxyz FIGURA 10 Podemos expressar V como fungao sé de x e y usando o fato de que a area dos quatro lados e do fundo da caixa é 2xz 2yz xy 12 Isolando z nessa equagao obtemos z 12 xy2x y e V fica v 12xy 1l2xy xy e y Ae y Calculamos as derivadas parciais dV y12 2xy x dV x12 2xy y ax 2x yP ay 2x y Se V é um maximo entao dVdx dVdy 0 mas x 0 ou y 0 da V 0 de modo que precisamos resolver as equagdes 12 2xy 0 12 2xyy0 Isso implica que x y e portanto x y Observe que ambos devem ser positivos neste problema Se colocarmos x y em qualquer uma das equagGes obtemos 12 3x 0 0 que d4x2y2ez 122 2202 2 1 Podemos usar o Teste da Segunda Derivada para mostrar que 0 ponto obtido é um maxi mo local de V ou podemos argumentar que a natureza fisica do problema exige a existéncia de um maximo absoluto que deve ocorrer em um ponto critico de V portanto esse maximo pode ocorrer quando x 2 y 2 z 1 Assim V 221 4e0 volume maximo da caixa é 4 m M5 Valores Maximo e Minimo Absolutos Para uma fungao f de uma variavel o Teorema do Valor Extremo diz que se f é continua em um intervalo fechado a b entéo ftem um valor minimo absoluto e um valor maximo absolu to De acordo com o Método dos Intervalos Fechados da Seao 41 no Volume I achamos esses valores calculando f nao somente nos pontos criticos mas também nas extremidades a e b a Conjuntos fechados Para as fungGes de duas variaveis a situagao é semelhante Do mesmo modo que os inter valos fechados contém suas extremidades um conjunto fechado de IR contém todos os seus a pontos da fronteira Um ponto da fronteira de D é um ponto a b tal que qualquer bola aberta ff com centro em a b contém pontos de D e pontos nao pertencentes a D Por exemplo o disco Vy Dxylety1 constitufdo de todos os pontos sobre e dentro da circunferéncia x y 1 um conjunto b Conjuntos que nao sao fechados fechado porque contém todos os seus pontos da fronteira que so os pontos sobre a circun FIGURA 11 feréncia x y 1 Mas se um tinico ponto da fronteira for omitido 0 conjunto deixa de ser fechado veja a Figura 11 Um conjunto limitado em R é aquele que est contido em alguma bola aberta Em outras palavras ele é finito em extens4o Entéo em termos de conjuntos fechados e limita dos podemos enunciar 0 correspondente ao Teorema do Valor Extremo para duas dimenso6es DERIVADAS PARCIAIS 855 Teorema do Valor Extremo para as Fungoes de Duas Variaveis Se f é continua em um conjunto fechado e limitado D em R entéo f assume um valor maximo absoluto fa y1 e um valor minimo absoluto f x2 y2 em alguns pontos x1 y1 2 y2 de D Para acharmos os pontos extremos cuja existéncia é garantida pelo Teorema 8 observa mos que pelo Teorema 2 se ftem um valor extremo em x1 y1 entao x1 yi ou um ponto critico de f ou um ponto da fronteira de D Portanto temos a seguinte extensao do Método dos Intervalos Fechados 9 Para determinar os valores maximo e minimo absolutos de uma funcao continua fem um conjunto fechado e limitado D 1 Determine os valores de f nos pontos criticos de fem D 2 Determine os valores extremos de fna fronteira de D 3 O maior dos valores dos passos e 2 0 valor maximo absoluto o menor des ses valores é 0 valor minimo absoluto S5i2h0y Determine os valores m4ximo e minimo absolutos da fungao f y x 2xy 2y no reténgulo D 7 yy Ox 30y 2 SOLUCAO Como fé um polinémio é continua no retangulo fechado e limitado D portanto 0 Teorema 8 nos diz que existem tanto 0 maximo absoluto quanto o minimo absoluto De acordo com o passo de 9 inicialmente devemos calcular os pontos criticos Eles ocorrem quando fr 2x 2y 0 fp 2x20 e assim 0 nico ponto critico existente é 1 1 e o valor de fai é f 1 1 1 No passo 2 olhamos para os valores de f na fronteira de D que é constituido por quatro segmentos de reta L L L3 e L4 mostrados na Figura 12 Em L temos y Oe y L 22 02 2 9 a f 0 x O0x3 Isso corresponde a uma fungao crescente de x que tem valor minimo f 0 0 0 e maximo Ly L f 0 9 Em Ln temos x 3 e fG3y 9 Ay Oy2 0 0 L 3 0 x Essa é uma fungao decrescente de y portanto seu maximo é f 3 0 9 e seu minimo é FIGURA 12 f G 2 1 Em Ls temos y 2e f 2 39 4x 4 Oxsx3 Pelos métodos do Capitulo 4 no Volume I ou simplesmente observando que f x 2 x 2 vemos que 0 minimo valor dessa funcao f 2 2 0 e seu valor maximo é f 0 2 9 4 Finalmente em Ls temos x Oe fO y 2y Osys2 com valor maximo f 0 2 4 e valor minimo f 0 0 0 Portanto na fronteira o valor BO minimo de f é 0 e o maximo 9 g SSS No passo 3 comparamos esses valores com 0 valor f 1 1 1 no ponto criticoe con 9 SZ cluimos que o valor maximo absoluto de fem D é f 30 9 e o valor minimo absoluto é L osN f 0 0 f 2 2 0 A Figura 13 mostra 0 grafico de f 2 Concluimos esta seao com a demonstracao da primeira parte do Teste da Segunda Deri 0 L vada As partes b e c tém demonstragdes semelhantes FIGURA 13 DEMONSTRACAO DO TEOREMA 3 PARTE a Vamos calcular a derivada direcional de segunda f y x 2xy2y ordem de f na diregdo de u h k A derivada de primeira ordem é dada pelo Teorema 1463 Du f f fik 856 CALCULO Aplicando esse teorema uma segunda vez temos 0 0 Dif DuDuf Daf h Daf k Ox oy fh foxkh feyh fiykk fx 2feyhk foyk 2 pelo Teorema de Clairaut Se completarmos os quadrados na express4o obteremos 2 fos Kk Dif AC k fohy 5 Sx Sex Foinos dado que fixa b 0 e Da b 0 Mas fix e D fix fy fe S40 fungdes conti nuas portanto ha uma bola aberta B com centro a b e raio 6 0 tal que fix y Oe Dx y 0 sempre que x y esta em B Logo ao olhar na Equacao 10 vemos que Dj f x y O sempre que x y pertencer a B Isso significa que se C é a curva obtida pela inter secgao do grafico de f com o plano vertical que passa por Pa b f a b na direcgao de u entao C é c6ncava para cima no intervalo do comprimento 26 Isso é verdadeiro na diregao de cada vetor u portanto se restringirmos x y para ficar em B o grafico de f fica acima de seu plano horizontal tangente em P Assim f x y fa b sempre que x y estiver em B Isso mostra que f a b é um minimo local ca Exercicios 1 Suponha que 1 1 seja um ponto critico de uma fungao f com 4 fxy 3xx2y yt derivadas de segunda ordem continuas Em cada caso 0 que se pode dizer sobre f y fll D4 fol D1 fl 2 fl SQ FZ fel D4 fol D3 fo 1 2 2 Suponha que 0 2 seja um ponto critico de uma fungao g com derivadas de segunda ordem continuas Em cada caso 0 que se pode dizer sobre g WW a gxO 2 1 gx0 2 6 gy0 2 1 b gxx0 21 9x0 2 2 gry0 2 8 c gxO 2 4 gx0 2 6 Gy0 2 9 C 34 Utilize as curvas de nivel da figura para predizer a localizagao SX a SN dos pontos criticos de fe se f tem um ponto de sela ou um maximo ou minimo local em cada um desses pontos Explique seu racioci a nio Em seguida empregue o Teste da Segunda Derivada para con 518 Determine os valores mAximos e minimos locais e pontos de firmar suas predi6es sela da fungao Se vocé tiver um programa de computador para desenhar em trés dimens6es trace 0 grafico da fung4o usando um 3 fa y 4 424 y 3xy ae ponto de vista e dominio convenientes para mostrar os aspectos y importantes da fungao 5 fy 92x 4y 4 1 6 fy xy 12x By 32 7 fy y I xy 37 4 8 fxy xe 1 37 42 1 x IN 32 5 9 fxy y 3xy 6x 6y 2 2 o 10 fxy xy1xy SS M1 fxy 28 12xy 8y3 E necessério usar uma calculadora grafica ou computador 1 As Homework Hints estao disponiveis em wwwstewartcalculuscom DERIVADAS PARCIAIS 857 12 fluyay 34 fxy D x ylx0y 022 y 3 xy 13 fx y ecos y 35 fxy 23y4 DQ yePy1 14 fxy ycosx 36 fxy 3xy 12y Do quadrildtero cujos vérti 1 ces sao 2 3 2 3 2 2 e 2 2 15 fxy 2 yer Se 16 fxy e FY 37 Para as fungGes de uma varidvel é impossivel uma funcio con LO y er x tinua ter dois pontos de maximo local e nenhum de minimo 17 fxy y 2y cos x l1x7 local Para as fung6es de duas varidveis esse caso existe Mos tre que a funcgao 18 fx y sen x sen y TxXT aTWyT7 fy G2 12 Gy x 19 19 Mostre que f x y x2 4y2 4xy 2 em um numero infi s6 tem dois pontos criticos ambos de maximo local Em se nito de pontos criticos e que D 0 em cada um A seguir mos guida utilize um computador com uma escolha conveniente de tre que f tem um minimo local e absoluto em cada ponto dominio e ponto de vista para ver como isso possivel critico to 4 38 Se uma fungdo de uma variavel é continua em um intervalo e 20 Mostre que f x y xye tem valores madximos em tem um Unico ponto critico entéo um maximo local tem de ser 1 1V2 e valores maximos em 1 12 Mostre tam um maximo absoluto Mas isso nao é verdadeiro para as fungdes bém que f tem infinitos outros pontos criticos e que D 0 em de duas variaveis Mostre que a fun4o cada um deles Quais deles dao origem a valores maximos E a fe y 3xe 8 valores minimos E a pontos de sela y i 7 tem exatamente um ponto critico onde f tem um maximo local Ay 2124 Utilize um grafico eou curvas de nivel para estimar os valo porém este nao é um maximo absoluto Em seguida utilize um Tes maximos munimos locais e pontos de sela da fungao Em computador com uma escolha conveniente de dominio e ponto seguida use o calculo para determinar esses valores de modo preciso de vista para ver como isso possivel 21 fy e yt xty 39 Determine a menor distancia entre 0 ponto 2 0 3 e o plano 22 fxy xye thy tz 23 fxy senx seny senx y 40 Determine 0 ponto do plano x 2y 3z 6 que esta mais pr6 0x270y27 ximo do ponto 0 1 1 24 fxy senx sen y cosx y 41 Determine os pontos do cone z x y que estao mais pr6xi 0x740y74 mos do ponto 4 2 0 4 2528 Utilize uma ferramenta grdfica como no Exemplo 4 ou o 42 Determine os pontos da superficie y 9 xz que estao mais Método de Newton ou um determinador de raizes para encontrar os proximos da origem pontos criticos de f com precisfo de trés casas decimais Em seguida classifique 0 ponto critico e determine o valor mais alto e o 43 Determine trés numeros positivos cuja soma 100 e cujo pro mais baixo do grafico se houver duto é maximo 25 fy at y 4xy 2y 44 Encontre trés nimeros positivos cuja soma é 12 e cuja soma dos 26 fxy yo 2ytx2yty quadrados é a menor possivel 27 fa yyax y3ry4x2y1 45 Encontre o volume maximo de uma caixa retangular que esta 28 fxy 20e sen 3x cos 3y IxlLlyl1 inscrita em uma esfera de raio r 2936 Determine os valores maximo e minimo absolutos de f no 46 Encontre as dimensGes de uma caixa com volume de 1000 cm conjunto D que tenha a area de sua superficie minima 29 fxy 22 y 2x D éa regiao triangular fechada com 47 Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro oc vértices 2 0 0 2 e 0 2 tante com trés faces nos planos coordenados e com um vértice no plano x 2y 3z 6 30 fyxyxy Déaregiao triangular fechada com vértices 0 0 0 2 e 4 0 48 Determine as dimensGes da caixa retangular de maior volume se a drea total de sua superficie é dada por 64 cm 31 fy Hrtytxry 4 D x yIlxl 1 ly 1 49 Determine as dimensGes de uma caixa retangular de volume ma bo ximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja 32 fxy 4x by x y uma constante c Dx ylOx40y 5 93 fxy x yt Any 2 50 A base de um aquario com volume V é feita de ardésia eos lados sao de vidro Se o prego da ardésia por unidade de area equi Dx yOx30y 2 vale a cinco vezes o prego do vidro determine as dimensGes do aquario para minimizar o custo do material 858 CALCULO 51 Uma caixa de papelaio sem tampa deve ter um volume de 32000 me de b O cientista realiza uma experiéncia e coleta os dados na cm Determine as dimensdes que minimizem a quantidade de forma de pontos x1 y1 2 y2 s Xns Yn entéo colocaos em papelao utilizado um grafico Os pontos nao estao todos alinhados de modo que o 52 Um prédio retangular esta sendo projetado para minimizar a crentista quer determinar as constantes 7m bp ara que a relay mx b ajuste os pontos tanto quanto possivel veja a figura perda de calor As paredes leste e oeste perdem calor a uma taxa de 10 unidadesm por dia as paredes norte e sul a uma taxa de y 8 unidadesm por dia 0 piso a uma taxa de unidadem por dia e o teto a uma taxa de 5 unidadesm por dia Cada parede m9 deve ter pelo menos 30 m de comprimento a altura deve ser no d minimo 4 m e 0 volume exatamente 4 000 m Xp ye 8 5 a Determine e esboce 0 dominio da perda de calor como uma x mx b fung4o dos comprimentos dos lados b Encontre as dimens6es que minimizam a perda de calor Analise tanto os pontos criticos como os pontos sobre a 0 x fronteira do dominio c Vocé poderia projetar um prédio com precisamente menos Seja di y mx b 0 desvio vertical do ponto x y da perda de calor ainda se as restrigGes sobre os comprimentos reta O método dos minimos quadrados determina m e b de das paredes fossem removidas modo a minimizar d a soma dos quadrados dos desvios 53 Seo comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser Mostre que de acordo com esse método a reta de melhor ajuste L qual é o maior volume possivel obtida quando 54 Trés alelos vers6es alternativas de um gene A B e O determinam m S x bn S yi os quatro tipos de sangue A AA ou AO B BB ou BO O OO il il e AB A Lei de HardyWeinberg afirma que a proporao de indi n n n viduos em uma populagao que carregam dois alelos diferentes é m x xi b x xi x XiVi i i i P 2pq 2pr 2rq Dessa forma a reta é determinada ao resolver essas duas equa onde pPqger sao as proporoes de A Be Ona populagao Use oes nas incégnitas meb Veja a Secao 12 no Volume I para o fato de que p gq r 1 para mostrar que P é no maximo 2 mais discussdes e aplicagdes do método dos quadrados mini mos 55 Suponha que um cientista tenha razGes para acreditar que duas quantidades x e y estejam relacionadas linearmente ou seja 56 Determine uma equacao do plano que passa pelo ponto 1 2 3 y mx b pelo menos aproximadamente para algum valor de e que corta o menor volume do primeiro octante ns PROJETO APLICADO PROJETO DE UMA CACAMBA Para esse projeto inicialmente localizamos uma cagamba de entulho retangular para estudar sua forma e construgaéo Tentaremos entéo determinar as dimens6es de um recipiente de forma similar e que minimize o custo de construgao 1 Primeiro localize uma cagamba de entulho Estude e descreva cuidadosamente todos os detalhes de sua construgao e determine seu volume Inclua um esbogo do recipiente 2 Mantendo a mesma forma geral e o método de construgao determine as dimensGes que tal recipiente deveria ter para minimizar o custo de construgao Utilize as seguintes hipdteses para sua andlise Os lados a parte de tras e a da frente devem ser feitos com folhas de aco de tipo 12 2657 mm de espessura que custam 800 por metro quadrado incluindo quaisquer cortes ou dobras necessarios A base deve ser feita de uma folha de aco de tipo 10 3416 mm de espessura que custa 1000 por metro quadrado As tampas custam aproximadamente 5000 cada independentemente das dimensGes A soldagem custa aproximadamente 060 por metro para material e servigo combinados Dé sua justificativa para qualquer hipdtese adicional ou simplificagdo feita dos detalhes de construgao 3 Descreva como qualquer hipotese ou simplificagao feita pode afetar o resultado 4 Se vocé fosse contratado como consultor nessa pesquisa quais seriam suas conclusdes Vocé recomendaria a alteragdo do projeto da cagamba Se sim descreva a economia resultante DERIVADAS PARCIAIS 859 a PROJETO DE DESCOBERTA APROXIMACAO QUADRATICA E PONTOS CRITICOS A aproximacao por polindmio de Taylor de uma fungao de uma variavel discutida no Capitulo 11 pode ser estendida para as fungdes de duas ou mais varidveis Estudaremos aqui a aproxi macao quadratica para as funcées de duas varidveis e usaremos esse estudo para melhor enten der o Teste da Segunda Derivada para classificar pontos criticos Na Secao 144 discutimos a linearizagao de uma fungao f de duas varidveis em um ponto a b Lx y f a b fila bx a fila byy b Lembrese de que o grafico de L é o plano tangente a superficie z fx y em a b f a b e a aproximagao linear correspondente é f x y Lx y A linearizacao L também é chamada polinémio de Taylor de primeiro grau de f em a D 1 Sef tiver derivadas parciais de segunda ordem continuas em a b entéio o polindmio de Taylor de segundo grau de f em a b é Ox y fa b fla bx a fa by b 3 fesla byw a fora BY ally b 3fla by bY e a aproximagao f x y Qx y é denominada aproximagao quadratica de f em a b Verifique que Q tem as mesmas derivadas parciais de primeira e segunda ordens que f em a b 2 a Determine os polindmios de Taylor de primeiro e segundo graus L e Q de fx y e em 0 0 b Esboce 0 grafico de f L e Q Comente o quanto L e Q se aproximam de f 3 a Determine os polindmios de Taylor de primeiro e segundo graus L e Q para Ff y xe em 1 0 b Compare os valores de L Q e f em 09 01 c Esboce 0 grafico de f L e Q Comente o quanto L e Q se aproximam de f 4 Nesse problema analisaremos o comportamento do polinémio f x y ax bxy cy sem utilizar o Teste da Segunda Derivada identificando 0 grafico como um paraboloide a Completando os quadrados mostre que se a 0 entiio b 4ac b fx y ax bxy t cy ol x a 45 a 2a 4a b Seja D 4ac b Mostre que se D 0 e a 0 entao f tem um minimo local em 0 0 c Demonstre que se D Oe a 0 ento f tem um maximo local em 0 0 d Demonstre que se D 0 entao 0 0 um ponto de sela 5 a Suponha que f seja uma fungao qualquer com derivadas parciais de segunda ordem con tinuas tal que f 0 0 0 e que 0 0 seja um ponto critico de f Escreva uma expres so para o polindmio de Taylor de segundo grau Q de fem 0 0 b O que vocé conclui sobre Q usando os resultados do Problema 4 c Em vista da aproximagao quadratica f x y Qx y o que a parte b sugere sobre f E necessario usar uma calculadora grafica ou computador 860 CALCULO ce Multiplicadores de Lagrange y No Exemplo 6 da Sec4o 147 maximizamos a fungaéo volume V xyz sujeita a restriado 2xz 2yz xy 12 que expressa a condiao de a drea da superficie ser de 12 m Nesta U secao apresentaremos o método de Lagrange para maximizar uma fungao genérica f x y Z foxy sujeita a uma restriao ou vinculo da forma gx y Z k Fx y 10 E facil explicar a base geométrica do metodo de Lagrange para as fungGdes de duas varia fx y 9 veis Entéo vamos comegar tentando determinar os valores extremos de f x y sujeita a uma gx yk Flor y8 restrigdo da forma gx y k Em outras palavras queremos achar os valores extremos de Flor y7 SG y quando ponto x y pertencer a curva de nivel gx y k A Figura mostra essa 7 curva junto de diversas curvas de nivel de f Estas tém as equacoes f x y c onde c 7 8 9 10 11 Para maximizar f x y sujeita a gx y k é preciso determinar o maior valor de c tal que a curva de nivel f x y c intercepte gx y k Parece da Figura 1 que isso FIGURA 1 acontece quando essas curvas se tocam ou seja quando essas curvas tém uma reta tangente comum Caso contrdario poderiamos aumentar o valor de c Isso significa que as retas nor mais ao ponto Xo Yo onde as duas curvas se tocam devem ser as mesmas Logo os vetores Visual 148 mostra uma animagao gradientes sao paralelos ou seja Vf xo yo AVgXo yo para algum escalar A da Figura 1 para as curvas de nivel e Esse tipo de argumento também se aplica ao problema de achar os valores extremos de superticies de nivel f y Z sujeita a restricAo gx y z k Assim 0 ponto x y z esta restrito a pertencer a superficie S com equacao gx y z k Em vez das curvas de nivel na Figura 1 devemos considerar as superficies de nivel f x y z c e argumentar que se o valor maximo de f é F Xo Yo Zo c entao a superficie de nivel f x y z c é tangente a superficie de nivel gx y Z k e entao os correspondentes gradientes sao paralelos Esse argumento intuitivo pode se tornar preciso da seguinte forma Suponha que uma funcao f tenha um valor extremo no ponto PX yo Zo sobre a superficie S e seja C uma curva com equacao vetorial r xt yt zt que pertenca a S e passe pelo ponto P Se tf 0 valor do parametro correspondente ao ponto P entao rto Xo Yo Zo A funao composta ht f yO z representa os valores que f assume sobre a curva C Como f tem um valor extremo em Xo yo Zo Segue que A tem um valor extremo em fo portanto Ato 0 Porém se f for diferencidvel usando a Regra da Cadeia podemos escrever 0 ht filo Yo Z0Xto fro Yo Zoy to feo5 Yo Z0z to Vf Xo Yo Zo to Isso mostra que o vetor gradiente Vf Xo yo Zo ortogonal ao vetor da tangente rf para todas as curvas C Mas ja sabemos da Secfo 146 que o vetor gradiente de g Vgo yo Zo também é ortogonal a rf para todas as curvas Veja a Equacao 14618 Isso significa que os vetores Vf Xo yo Zo VgXo Yo Zo precisam ser paralelos Logo se Vgxo Yo 20 0 exis te um numero A tal que Multiplicadores de Lagrange tém esse 1 nome em homenagem ao matematico francoitaliano JosephLouis Lagrange 17361813 O numero A na Equacéo 1 é chamado multiplicador de Lagrange O procedimento baseado na Equacio 0 seguinte Metodo dos Multiplicadores de Lagrange Para determinar os valores maximo e minimo Ao deduzirmos o Método de Lagrange de f x y z Sujeitos a restriao gx y z k supondo que esses valores extremos exis supusemos que Vg 0 Em cada um de tam e que Vg 0 sobre a superficie gx y z k nossos exemplos vocé pode verificar que a Determine todos os valores de x y ze A tais que Vg 0 em todos os pontos onde gx y Z k Veja o Exercicio 23 para Vf x yzla Vgx ys 2 descobrir 0 que pode sair errado e GX yz k se Vg 0 b Calcule fem todos os pontos x y z que resultaram do passo a O maior desses valores sera 0 valor maximo de f e o menor sera 0 valor minimo de f DERIVADAS PARCIAIS 861 Se escrevermos a equacio vetorial Vf A Vg em termos de suas componentes as equa ges do passo a ficarao fe Age Sy Ags f Ag GX Y2 k Isso um sistema de quatro equacg6es a quatro incégnitas x y ze A Mas nao é necessario calcular de modo explicito valores para A Para as fung6es de duas varidveis o método dos multiplicadores de Lagrange é anélogo aquele que acabamos de descrever Para acharmos os valores extremos de f x y sujeitos a restrigao gx y k olhamos para todos os valores de x y e A tais que Vf x y A Vgx y e gx y k Isso leva 4 solugdo de um sistema de trés equag6es a trés incdgnitas Sc Age Sy Agy gx y k Nosso primeiro exemplo de método de Lagrange é reconsiderar 0 problema dado no Exemplo 6 da Secao 147 SGM Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m de papelao Deter mine o volume maximo dessa caixa SOLUCAO Como no Exemplo 6 na Segao 147 sejam x y e z 0 comprimento a largura e a altura respectivamente da caixa em metros Queremos maximizar V xyz sujeita a restrigao gx y Z 2xz 2yz xy 12 Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange olhamos para os valores de x y z A tais que VV AVge gx y z 12 Isso gera as equacgdes V AQx V Ag V Ag 2xz 2yz xy 12 ou seja 2 yz A2z y 3 xz A2z x xy A2x 2y 5 Qxz 2yz xy 12 Nao ha regras gerais de como resolver esse sistema de equagdes Algumas vezes precisamos de certa engenhosidade No presente caso vocé pode observar que se multiplicarmos 2 por x 3 por y e 4 por z os lados esquerdos dessas equag6es ficam idénticos Fazendo isso temos 6 xyz A2xz xy Outro método de resolver o sistema de EquagGes 25 é isolar A em cada uma das 7 xyz Aye xy Equacdes 2 3 e 4 para A e depois igualar xyz A2xz 2yz as express6es resultantes Observamos que A 0 porque A 0 implicaria yz xz xy 0 de 2 3 e 4 e isso contradiz 5 Logo de 6 e 7 temos 2xz xy 2yz xy que nos fornece xz yz Mas z O uma vez que z 0 daria V 0 portanto x y De e temos 2yz xy 2xz 2yz que dé 2xz xy e assim como x 0 y 2z Se colocarmos x y 2z em 5 obtemos 47 47 47 12 862 CALCULO Como x y e z todos sao positivos teremos z e portanto x 2 e y 2 Isso concorda com nossa resposta na Secao 147 7 Em termos geométricos o Exemplo 2 pede os pontos mais altos e os pontos mais baixos da Sat Determine os valores extremos da funcgao f x y x 2y no circulo curva C da Figura 2 que pertence ao paraboloide e y 1 z x 2y e que esta diretamente acima do to rs circulo de restrigdo x2 y 1 SOLUCAO Foinos pedido para determinar os valores extremos de f sujeita 4 restrido 2 gx y x7 y 1 Usando os multiplicadores de Lagrange resolvemos as equacGes zx2y Vf AVg e gx y 1 que podem ser escritas como RAVAN Y if Fe Ags fy AY gxy 1 Wp ou MUN 9 2x 2xA NOON CAAT ty A Wen a On a vee a De 9 temos x Q0oudA 1 Sex 0 entao I leva a y 1SeA 1 entéo y 0 de J y 10 e assim 11 dé x 1 Dessa forma os valores extremos possiveis de f s40 os pontos 0 2 2 ty al 1 0 1 C1 0 e 1 0 Calculando f nesses quatro pontos achamos FIGURA 2 fOV2 fOYD2 fat f101 A geometria por tras do uso de multiplicadores Portanto o valor méximo de f no circulo x7 y 1 f 0 1 2 e o valor minimo é de Lagrange no Exemplo 2 mostrada na Figura 1 1 Verificando na Figura 2 vemos que esses valores sao razodveis 3 Os valores extremos de f x y x 2y correspondem as curvas de nivel que tocam a 5 5 5 5 circunferéncia x2 y 1 9520 Determine os valores extremos de f x y x 2y no disco x y 1 SOLUGAO De acordo com o procedimento em 1479 comparamos os valores de f nos pon y Pe 2y2 tos criticos com os pontos na fronteira Uma vez que f 2x e f 4y 0 unico ponto critico é 0 0 Comparamos o valor de fno ponto com os valores extremos no limite do Exemplo 2 aS f0 0 0 f410 1 fO 1 2 7T Assim 0 valor maximo de f no disco x7 yw 1 éf 0 1 2 e 0 valor minimo é WS ey x f00 0 SE SS 209 Determine os pontos da esfera x y z 4 que estdo mais préximos e mais distantes do ponto 3 1 1 x 4 2y1 SOLUCAO A distancia de um ponto x y z ao ponto 3 1 1 é FIGURA 3 d x 3 y 1 z 1 mas a Algebra fica mais simples se maximizarmos e minimizarmos o quadrado dessa distan cia Pfay230 1 1P A restrigao que 0 ponto x y z pertenga a esfera ou seja gxy2gartyt74 De acordo com 0 método dos multiplicadores de Lagrange resolvemos Vf AVg g 4 Isso da 12 2x 3 2xA 13 Ay 1 2yA 2z 1 22d 15 Pyte4 O modo mais simples de resolver essas equagdes determinar x y e z em termos de A de 12 e 14 e substituir esses valores em 15 De 12 temos DERIVADAS PARCIAIS 863 3 x3xdr ou x11 A 3 ou x 1A yas A Figura 4 mostra a esfera e 0 ponto mais Observe 1 A 4 0 porque A 1 é impossivel a partir de I2 Da mesma forma 13 e 14 dao proximo P do Exemplo 4 Vocé pode pensar 1 1 em um modo de calcular as coordenadas de y z P sem usar 0 calculo 1A 1A Portanto de 15 temos 2 3 1 1P A lae Gap 7 7 4 LoS PS SSL SSN Rees MSO EEE A OX XA KRSSRSEFEEE que nos dé 1 Av 4 1 A y112 logo ISSSSER EEE V SS 277 yay wv a RSSSEE ta SSS 7 y Esses valores de A entao fornecem os pontos correspondentes x y z 31 1 FIGURA 4 6 2 2 6 2 2 Fs fa A e a TT vll V1 Vv 11 v1l1 vill 11 E facil ver que f tem valor menor no primeiro desses pontos dessa forma 0 ponto mais proxi mo 611 2V11 211 e o mais distante é 611 211 211 mm MN Duas Restricées Suponha agora que queiramos determinar os valores maximo e minimo de f x y z sujeita a duas restrigdes vinculos da forma gx y z k e hx y z c Geometricamente isso significa que estamos procurando pelos valores extremos de f quando x y z esta restrito a hc Da pertencer 4 curva C obtida pela intersecg4o das superficies de nivel gx y z ke hx y z c Veja a Figura 5 Suponha que f tenha um tal valor extremo no ponto Le A PXo Yo Zo Sabemos que do inicio dessa secio que Vf é ortogonal a C em P Mas também L sabemos que Vg é ortogonal a gx y z k e VA é ortogonal a hx y z c portanto Vg e Vh sao ortogonais a C Isso significa que 0 vetor gradiente Vf Xo yo Zo est4 no plano deter a minado por Vgo yo Zo e VAxo Yor Zo Presumimos que esses vetores gradientes nao sdo FIGURA 5 nulos nem paralelos Portanto existem nimeros A e mw chamados multiplicadores de Lagrange tais que Vf Xo Yo Z0 A Vgxo0 Yo Zo w VAXo Yo Zo Nesse caso 0 método de Lagrange nos leva a procurar por valores extremos ao resolver cinco equagoes nas cinco incégnitas x y z A e w Essas equacg6es sao obtidas ao escrever a Equa cao 16 em termos de seus componentes e ao utilizar as equacgées de restriao fe Agx phy fy Agy phy Fi Ag ph gx yz k Ax y Z SQ RH Determine o valor maximo da funcio f x y z x 2y 3z na curva da in terseccao do plano x y z 1 como cilindro x y 1 864 CALCULO Ocilindro x y 1 intercepta o plano SOLUCAO Maximizamos a funcao fx y z x 2y 3z sujeita as restricdes xyzLemumaclipseFigura60 gy yz x y z Le hx yz x y 1 A condicao de Lagrange é Exemplo 5 questiona o valor maximo de f Vf AVg pVhA de modo que devemos resolver as equagdes quando x y z pertence a essa elipse 1 2xp Listen J 2 2m 4 sarang EEE EEE A 19 BREE 19 3A 3 REE HEH raat xytcl EEE EHH 2 BEE 2 2 Yt 21 rtyl eS a zo i yy Substituindo A 3 de 19 em 17 obtemos 2xu 2 e entao x 1p Analogamente by HWA oe 0 Hy sitet da y 52u Substituindo em 21 temos Oy fee WY H Wye i 1 25 1 1 EHH He we ae 1 0 1 y ew 2 292 Entio x 229 y 529 e de 20 FIGURA 6 z1xy1 729 Os valores correspondentes de f sao 2 5 7 a t 2 S J 3 1 t KH 3 V9 29 29 29 Portanto o valor maximo de fna curva dada é 3 29 cy Exercicios 1 Na figura estéo um mapa de contorno de fe a curva de equacao 3 fxy yHxrty xy1 gx y 8 Estime os valores maximo e minimo de f sujeita a restriao gx y 8 Explique suas razGes 4 fy3xty xrty10 y 5 fmyvx etyl 6 fay e e y 16 gxy 8 1 fxy Q2et2y wtyYZ9 40 50 8 faygHrtyr7 xtytz12 9 fxy 2 xyz V 2y 326 RG tena sen SSE 1 fy dPtyre tty ttl 12 fy 2jxettyit 2 VPytZl 4 2 a Use uma calculadora grafica ou um computador para tragar tte o circulo x y 1 Na mesma tela trace diversas curvas da 3 fyYaoaxtytetn xy rerrad 2 s 6 forma x y c até que vocé encontre duas que apenas to 14 fix y x tate ta quem o circulo Qual o significado dos valores de c dessas D1 2D xo xtes tx 1 duas curvas a b Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os 1518 Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restri valores extremos de f x y x y sujeita a restricgéo Coes 2 2 x y 1 Compare sua resposta com a da parte a 15 fuyd x 2 xtyz1 yt24 314 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os 16 fx yz 3xy3z xtyz0 271 valores maximo e minimo da fungo sujeita as restrigdoGes 7 fy yz 49 xy1 21 adas 8 fy 2gartryt 2 xy1 y271 E necessério usar uma calculadora grafica ou computador E necessério usar um sistema de computagiio algébrica 1 As Homework Hints estéo disponiveis em wwwstewartcalculuscom