Elasticidade da Demanda e sua Análise

TRABALHO MATEMÁTICA APLICADA II ADMINISTRAÇÃO 22 PROF Lucas Viana TEXTO DE APOIO ESTUDO DIRIGIDO Como em geral a elasticidadepreço da demanda é negativa para classificar a demanda calculamos o módulo de E e o comparamos a 1 que representa 1 E 033 E 033 033 E 1 Demanda Inelástica E 3 E 3 3 E 1 Demanda Elástica E 1 E 1 1 Demanda de Elasticidade Unitária Em resumo a classificação da elasticidadepreço da demanda Se E 1 então a demanda é inelástica em relação ao preço Se E 1 então a demanda é elástica em relação ao preço Se E 1 então a demanda tem elasticidade unitária em relação ao preço ElasticidadeRenda da Demanda Podemos também analisar a variação da demanda e consequentemente sua elasticidade em relação a outros fatores como por exemplo produção custos oferta e renda Como exemplo e de maneira análoga a realizada para a demanda em função do preço podemos definir a elasticidaderenda da demanda que mede a sensibilidade da demanda mediante o aumento em 1 na renda do consumidor Se a demanda q é uma função da renda r então a elasticidaderenda da demanda será dada por E dqdr rq Para a maioria dos produtos a demanda aumenta quando a renda aumenta assim consideraremos apenas a elasticidade positiva que pode ser classificada do seguinte modo Se E 1 então a demanda é inelástica em relação à renda Se E 1 então a demanda é elástica em relação à renda Se E 1 então a demanda tem elasticidade unitária em relação à renda Relação entre Receita e ElasticidadePreço da Demanda A partir da elasticidade podemos tirar conclusões a respeito do aumento ou da diminuição da receita Vamos estabelecer a receita como função do preço e obter a derivada em relação ao preço Rp p q Rp p q Pela regra do produto Rp p q p q Rp 1 q p q Rp q p q Multiplicando o lado direito da expressão por qq Rp qq q p q Rp qq q qq p q Rp q q pq q Colocando q em evidência Rp q 1 pq q Nessa expressão usando a notação de Leibniz representando a derivada de R em relação ao preço por dRdp e a derivada da demanda em relação ao preço por dqdp temos dRdp q 1 pq dqdp E como a elasticidade é dada por E dqdp pq podemos escrever dRdp q1 E Podemos usar tal relação para estabelecer o comportamento da receita a partir dos valores da elasticidade conforme o exemplo a seguir Exemplo No problema anterior para um certo produto a demanda é dada por q 100 5p onde o preço varia no intervalo 0 p 20 Com base nesses dados conseguimos concluir que p 5 E α 033 p 10 E 1 e p 15 E 3 Sabendo que a receita em função do preço é dada por Rp p q analise o comportamento da receita a partir da elasticidadepreço da demanda Solução A derivada da receita em relação ao preço pode ser expressa por dRdp q1 E Calculando as quantidades para cada nível de preço temos p 5 q 100 5 5 q 75 p 10 q 100 5 10 q 50 p 15 q 100 5 15 q 25 Então para cada nível de preço temos p5 q75 e Eα033 dRdp 7510335025 dRdp 5025 dRdp 0 Como a derivada é positiva a receita é crescente ou seja um aumento de preço em p 5 proporciona um aumento na receita Observe que E 1 p 10 q 50 e E 1 dRdp 5011 0 dRdp 0 Como a derivada é nula a receita é constante ou seja um aumento de preço em p 10 não altera a receita Observe que E 1 p 15 q 25 e E 3 dRdp 2513 50 dRdp 50 dRdp 0 Como a derivada é negativa a receita é decrescente ou seja um aumento de preço em p 15 proporciona queda na receita Observe que E 1 Tal exemplo ilustra o fato de o comportamento da receita em função do preço depender da elasticidadepreço da demanda no nível de preço situado uma vez que em dRdp q1E as quantidades q são sempre positivas e o sinal de dRdp depende do valor de E Em resumo Considerando a receita como função do preço e E a elasticidadepreço da demanda ocorrendo um pequeno aumento no preço Se E 1 a receita aumenta Se E 1 a receita diminui Se E 1 a receita permanece constante Problema Para um certo produto a demanda q e o preço p são relacionados por q 200 2p 0 p 100 a Obtenha os intervalos de preço para os quais a demanda é inelástica elástica e tem elasticidade unitária Solução A elasticidadepreço da demanda é E dqdp pq assim calculando a derivada dqdp e substituindo q 200 2p na expressão E E ddp 200 2p p200 2p E 0 2 p200 2p 2 p200 2p E 2p200 2p p 100 A demanda terá elasticidade unitária quando E 1 E 1 2p200 2p 1 Como 0 p 100 e p 100 temos que 200 2p 0 o que significa que 2p200 2p 0 então 2p200 2p 2p200 2p 2p200 2p De um modo geral nesse tipo de problema para a resolução do módulo simplesmente mudaremos o sinal da expressão interna 2p200 2p 1 2p 200 2p 4p 200 p 50 Assim a demanda tem elasticidade unitária para p 50 A demanda será inelástica quando E 1 E 1 2p200 2p 1 2p200 2p 1 2p 200 2p p 50 Assim a demanda é inelástica para p 50 mais precisamente para 0 p 50 A demanda será elástica quando E 1 E 1 2p200 2p 1 2p200 2p 1 2p 200 2p p 50 Assim a demanda é elástica para p 50 mais precisamente para 50 p 100 b A partir dos resultados obtidos no item a descreva o comportamento da receita Considerando a receita como função do preço e E a elasticidadepreço da demanda sabemos que para um pequeno aumento no preço Para 0 p 50 temos E 1 o que indica que a receita aumenta nesse intervalo Para 50 p 100 temos E 1 indicando que a receita diminui nesse intervalo Para p 50 temos E 1 assim a receita permanece constante nesse nível de preço Associando às duas conclusões anteriores temos para p 50 a receita máxima c Obtenha a receita como função do preço e esboce os gráficos da demanda e receita Indique no gráfico da demanda os intervalos correspondentes às diferentes elasticidades Indique no gráfico da receita os intervalos de crescimento e decrescimento bem como o ponto de máximo associados à elasticidade Solução A função Receita será dada por Rp p q e como q 200 2p temos R p 200 2p R 200p 2p² Tal gráfico será uma parábola com concavidade voltada para baixo cruzando o eixo p quando R 0 ou seja 200p 2p² 0 p 0 ou p 100 e a receita será máxima para p 50 ou seja R50 200 50 2 50² 5000 R50 5000 O gráfico da demanda q 200 2p será uma reta que cruza o eixo p quando q 0 q 0 200 2p 0 p 100 o eixo q quando p 0 p 0 q 200 2 0 200 Propensão Marginal a Consumir e a Poupar Consumo c mg cy dcdy a Determine a função poupança s QUESTÕES A SEREM RESPONDIDAS E ENTREGUES As questões seguem a numeração da lista 4 Para um certo produto a demanda q e o preço p são relacionados por q 50 p com 0 p 50 a Obtenha os intervalos de preço para os quais a demanda é inelástica elástica e tem elasticidade unitária b A partir dos resultados obtidos no item a descreva o comportamento da receita c Obtenha a receita como função do preço e esboce os gráficos da demanda e receita Indique no gráfico da demanda os intervalos correspondentes às diferentes elasticidades Indique no gráfico da receita os intervalos de crescimento e decrescimento bem como o ponto de máximo associados à elasticidade Para uma certa população a função do consumo é dada por c 08y 320 onde y é a renda dos consumidores a Determine a função poupança s b Determine a Propensão Marginal a Consumir e a Propensão Marginal a Poupar e interprete os resultados c Esboce o gráfico da função c y O que tal gráfico representa d Esboce sobrepostos os gráficos das funções consumo poupança e c y interpretando o ponto em que o gráfico do consumo encontra a reta c y