Lista de Exercicios Resolvidos Mecanica Classica IFMA

Instituto Federal do Maranhao IFMA MECˆANICA CLASSICA 2 ProfKleber Anderson T da Silva FINAL Problema 1 Uma partıcula de massa m pode deslizar sem atrito dentro de um pequeno tubo que e dobrado na forma de cırculo de raio R O tubo gira em torno de um diˆametro vertical com uma velocidade angular constante ω conforme ilustra a figura Encontre i a lagrangiana do sistema e ii a equacao diferencial de movimento Problema 2 uma fina barra uniforme de massa m e comprimento l e obrigada a se mover no plano xy com a extremidade A mantendose sobre o eixo x conforme mostra figura Use como coordenadas generalizadas x θ e encontre i Energia cinetica e ii o momento genera lizado pθ 1 Problema 3 Considere um corpo rıgido na qual os eixos principais de inercia sao iguais ou seja I1 I2 I3 Diante disso encontre a energia cinetica desse corpo rıgido em termos dos ˆangulo de Euler Problema 4 Considere a lagrangiana L m 2 r2 mω2 2 r2 mgrsinωt Encontre i A equacao diferencial do movimento ii A hamiltonia iii As equacoes de hamilton vi H e a energia total do sistema v H e constante de movimento Vigiai pois porque nao sabeis o dia nem a hora em que o Filho do homem ha de virMt 2513 2 1 Apesar do movimento do partícula se dar em três dimensões temos apenas um grau de liberdade o ângulo θ Isto porque o movimento do partícula está restrito à esfera formado pelo revolução do tubo e dos três graus de liberdade em coordenados esféricos r ϕ θ dois deles possuem vínculos sendo eles r R ϕ ω t Portanto temos apenas o coordenado generalizado θ Assim podemos escrever a lagrangiana L T U Nesta caso T 12 m x² y² z² e U m g z Porometirizando o sistema em coordenados esféricos temos x R senθ cosϕ y R senθ senϕ z R cosθ no qual ϕ ω t Assim x ddt R senθ cosω t R cosθ cosω t θ R senθ senω t ω y ddt R senθ senω t R cosθ senω t θ R senθ cosω t ω z ddt R cosθ R senθ θ Então x² R² θ² cos²θ cos²ω t 2 ω R² senθ cosθ cosω t senω t θ ω² R² sen²θ sen²ω t y² R² θ² cos²θ sen²ω t 2 ω R² senθ cosθ senω t cosω t θ R² ω² sen²θ cos²ω t z² R² θ² sen²θ Assim x² y² z² R² θ² cos²θ R² ω² sen²θ R² θ² sen²θ R² θ² R² ω² sen²θ Portanto T m2 R² θ² R² ω sen²θ U mg z mg R cosθ Assim L m2 R² θ² R² ω sen²θ mg R cosθ b Acharmos agora a equação de movimento utilizando a equação de EulerLagrange ddt Lθ Lθ 0 Assim Lθ m R² ω2 sen²θθ mg R cosθθ m R² ω senθ cosθ mg R senθ E ddt Lθ ddt m R²2 θ²θ m R² θ Portanto m R² θ m R² ω senθ cosθ mg R senθ θ ω senθ cosθ gR senθ Neste caso podemos considerar que a massa do corpo se concentra em seu centro de massa Assim temos que os coordenados generalizados a serem usados neste problema são x e θ Sendo assim usamos o parametrização x x l cosθ2 y l senθ2 no qual usamos a foto de o barra ser uniforme logo seu centro de massa se encontra exatamente no centro do barra para parametrizar as variáveis adequadamente Assim L T U e T m2 x² y² U mg y Sendo x x l θ senθ2 y l θ cosθ2 x² y² x² l x θ senθ l² θ² sen²θ4 l² θ² cos²θ4 x² l x θ senθ l² θ²4 Logo T m2 x² l x θ senθ l² θ²4 O momento generalizados Pθ é definido como Lθ Pθ então sendo L m2 x² l x θ senθ l² θ²4 m g l2 senθ temos Pθ Lθ m l x2 senθ m l²4 θ 3 Para um corpo rígido girando em torno dos seus eixos principais temos T 12 Σ Iᵢ ωᵢ² sendo I₁I₂I₃I a energia cinética é dada por T I2 Σ ωᵢ² Agora devemos escrever ωᵢ em termos dos ângulos de Euler Estes são escritos como ωₓ θ cosφ ψ sinθ sinφ ωᵧ θ sinφ ψ sinθ cosφ ωz φ ψ cos θ Então ωₓ² θ² cos²φ 2 θ ψ cosφ sinφ sinθ ψ² sin²θ sin²φ ωᵧ² θ² sin²φ 2 θ ψ cosφ sinφ sinθ ψ² sin²θ cos²φ ωz² φ² 2 φ ψ cosθ ψ² cos²θ Então T I2 ωₓ² ωᵧ² ωz² I2 θ² φ² ψ² 2 φ ψ cosθ 4 Sendo as eqs de EulerLagrange ddtLqᵢ Lqᵢ 0 Lx mω²x mg sinωt então m x mg sinωt mω²x ddtLx ddtm x m x x g sinωt ω²x Para encontrar o hamiltoniano usamos Hqᵢ pᵢ Σ qᵢ pᵢ L Sendo pₓ Lx m x x pₓm assim Hx pₓ x pₓ m x²2 m ω² x²2 m g x sin ω t Hx pₓ pₓ²m m pₓ²2 m² m ω² x²2 m g x sin ω t pₓ²2m m ω² x²2 m g x sin ω t As equações de Hamilton são dadas por ṗ Hx q Hp então Hx m ω² x m g sin ω t e Hpₓ pₓm assim ṗₓ m ω² x mg sin ω t q pₓm Como existe uma dependência explícita no tempo há uma dependência temporal nas transformações das coordenadas cartesianas para as coordenadas generalizadas sendo assim H Et Além disso H não é uma constante de movimento devido a essa dependência explícita logo dHdt Ht 0