Lista de Exercicios Resolvidos - Mecanica Classica - IFMA

Instituto Federal do Maranhao IFMA MECˆANICA CLASSICA 2 ProfKleber Anderson T da Silva FINAL Problema 1 Uma partıcula de massa m pode deslizar sem atrito dentro de um pequeno tubo que e dobrado na forma de cırculo de raio R O tubo gira em torno de um diˆametro vertical com uma velocidade angular constante ω conforme ilustra a figura Encontre i a lagrangiana do sistema e ii a equacao diferencial de movimento Problema 2 uma fina barra uniforme de massa m e comprimento l e obrigada a se mover no plano xy com a extremidade A mantendose sobre o eixo x conforme mostra figura Use como coordenadas generalizadas x θ e encontre i Energia cinetica e ii o momento genera lizado pθ 1 Problema 3 Considere um corpo rıgido na qual os eixos principais de inercia sao iguais ou seja I1 I2 I3 Diante disso encontre a energia cinetica desse corpo rıgido em termos dos ˆangulo de Euler Problema 4 Considere a lagrangiana L m 2 r2 mω2 2 r2 mgrsinωt Encontre i A equacao diferencial do movimento ii A hamiltonia iii As equacoes de hamilton vi H e a energia total do sistema v H e constante de movimento Vigiai pois porque nao sabeis o dia nem a hora em que o Filho do homem ha de virMt 2513 2 1 Para encontrar a lagrangiana do sistema devemos primeiro encontrar os coordenados generalizados do mesmo Como a partícula está dentro de um tubo circular que gira em torno do seu diâmetro o movimento do partícula está restrito a um casco esférico Portanto iremos usar as coordenadas esféricas como coordenados generalizados x r sinθ cosφ y r sinθ sinφ z r cosθ Como r é fixo e igual a R e φ nesse tubo gira com velocidade angular constante logo ω ΔφΔt φ ωt temos que θ é o único coordenado generalizado Assim a energia cinética é T ½mx² ȳ² ż² m2 ddt r sinθ cosφ² ddt r sinθ sinφ² ddt r cosθ² m2 θR cosθ cosωt ωR sinθ sinωt² θR cosθ sinωt ωR sinθ cosωt² R sinθ θ² m2 R²θ² cos²θ cos²ωt 2ωθR² sinθ cosθ sinωt cosωt R²ω² sin²θ sin²ωt R²θ² cos²θ sin²ωt 2ω θ R² sinθ cosθ sinωt cosωt R²ω² sin²θ cos²ωt R²θ² sin²θ m2 R²θ² cos²θ sin²ωt cos²ωt R²ω² sin²θ sin²ωt cos²ωt R²θ² sin²θ m2 R²θ² cos²θ R²θ² sin²θ R²ω² sin²θ m2 R²θ² R²ω² sin²θ mR²2 θ² ω² sin²θ Para a energia potencial devemos levar em conta que a força que irá contribuir é a força gravitacional Isto aponta na direção contrária ao eixo z que convencionamos Assim a força deve possuir um sinal negativo Como F U U mgz mgR cosθ Portanto L T U mR²2 θ² ω² sin²θ mgR cosθ ii A equação de movimento é Lθ ddt Lθ 0 mR²ω²2 θ sin²θ mgR θ cosθ ddt mR²2 θθ 0 mR²ω² sinθ cosθ mgR sinθ mR² θ 0 R ω² sinθ cosθ g sinθ R θ 0 2 Mais uma vez devemos buscar os coordenados generalizados ideais para descrever o sistema Para isso vamos considerar o centro de massa do barrao Como isso é homogêneo o CM encontrase em L2 Assim sendo x a distância da origem do referencial ao ponto A e θ o ângulo que a barra faz com o horizontal podemos então definir as coordenadas do CM do barrao como x x L2 cosθ y L2 sinθ Assim T m2 x² ẏ² m2 ddtx L2 cosθ² ddtL2 sinθ² m2 x L2 θ sinθ² L2 θ cosθ² m2 x² 2L2 x θ sinθ L²4 θ² sin²θ L²4 θ² cos²θ m2 x² L x θ sinθ L²4 θ² sin²θ cos²θ m2 x² L x θ sinθ L²4 θ² ii Agora assim como no quesito anterior convencionamos que a gravidade aponta no sentido oposto ao eixo vertical Logo U mgy L2 mg sinθ A lagrangiana será L T U m2 x² L x θ sinθ L²4 θ² L2 mg sinθ Sendo Pθ Lθ como U não depende de θ Pθ Tθ L x sinθ L²2 θ m2 3 como é sabido 2T I1 w12 I2 w22 I3 w32 sendo I1 I2 I3 I 2T I w12 w22 w32 Sendo eq 3431 do Nivoldo wx θ cosφ ψ sinθ sinφ wy θ sinφ ψ sinθ cosφ wz φ ψ cosθ Então 2T I θ cosφ ψ sinθ sinφ2 θ sinφ ψ sinθ cosφ2 φ ψ cosθ2 I θ2 cos2φ 2 θ ψ cosφ sinθ sinφ ψ2 sin2θ sin2φ θ2 sin2φ 2 θ ψ cosφ sinθ sinφ ψ2 sin2θ cos2φ φ2 2 φ ψ cosθ ψ2 cos2θ I θ2 cos2φ sin2φ ψ2 sin2θ sin2φ cos2φ φ2 2 φ ψ cosθ ψ2 cos2θ I θ2 ψ2 φ2 2 φ ψ cosθ 4 i Para encontrar as equações de movimento usamos as equações de EulerLagrange Lqi ddtLqi 0 Como x é coordenada generalizada temos Lx ddtLx 0 xmω2 x2 2 mgx sin ωt ddtxm2 x2 0 mω2 x mg sin ωt ddtm x 0 mω2 x mg sin ωt m x 0 ω2 x g sin ωt x 0 x xω2 g sin ωt 0 ii Para encontrar a Hamiltoniana devemos fazer uma transformada de Legendre Hr Pr Pr x Lr x Sendo Pr Lx m x x Pr m Então H Pr Pr m m2 Pr m2 mω2 x2 2 mgx sin ωt Pr2 m Pr2 2m mω2 x2 2 mgx sin ωt Pr2 2m mω2 x2 2 mgx sin ωt iii As equações de Hamilton são dadas por Ṗr Hr r HPr Então Ṗr mω2 x mg sin ωt r Prm iv Para H ser a energia total H T U Sendo L T U podemos identificar no lagrangeano T m2 x2 ω2 x2 e U mgx sin ωt Então E T U m2 x2 ω2 x2 mgx sin ωt Usando x Prm E Pr2 2m m ω2 x2 2 mgx sin ωt H H não é a energia total v H não é constante de movimento pois dHdt Ht 0