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Geometria Analítica
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Seja A(x₁,y₁,z₁) um ponto pertencente ao plano π e n̄=(a,b,c), n̄≠0, um vetor normal (ortogonal) ao plano (Figura 6.1).\n\nComo n̄⊥π, n̄ é ortogonal a todo vetor representado em π. Então, um ponto P(x,y,z) pertence a π se, e somente se, o vetor \u2190AP é ortogonal a n̄, ou seja,\n\nn̄·(P−A)=0\n\n(a,b,c)·(x−x₁,y−y₁,z−z₁)=0\n\na(x−x₁)+b(y−y₁)+c(z−z₁)=0\n\nax+by+cz−ax₁−by₁−cz₁=0\n\nFazendo −ax₁−by₁−cz₁=d, obtemos\n\nax+by+cz+d=0 Observações\n\na) Assim como n̄=(a,b,c) é um vetor normal a π, qualquer vetor k̄, k≠0, é também vetor normal ao plano.\n\nb) É importante notar que os três coeficientes a, b e c da equação (1) representam as componentes de um vetor normal ao plano.\n\nPor exemplo, se um plano π é dado por π: 3x+2y−z+1=0 um de seus vetores normais é n̄=(3,2,−1).\n\nc) Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral, basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcular o valor da outra na equação dada.\n\nAssim, por exemplo, se na equação anterior fizermos x=4 e y=−2, teremos:\n\n3(4)+2(−2)−z+1=0\n12−4−z+1=0\nz=9\n\ne, portanto, o ponto A(4,−2,9) pertence a este plano. Exemplos \\n 1. Obter uma equação geral do plano \\u03C0 que passa pelo ponto A(2, -1, 3) e tem \\u007B\\u00B5\\u007D=(3,2,-4) como um vetor normal. \\n\\n Solução \\n Como \\u007B\\u00B5\\u007D é normal a \\u03C0, sua equação é do tipo \\n 3x+2y-4z+d=0 \\n e sendo A um ponto do plano, suas coordenadas devem verificar a equação, ou seja, \\n 3(2)+2(-1)-4(3)+d=0 \\n 6-2-12+d=0 \\n d=8 \\n Logo, uma equação geral do plano \\u03C0 é \\n 3x+2y-4z+8=0 2. Escrever uma equação geral do plano \\u03C0 que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e é paralelo ao plano \\u03C0_{1}: 3x-4y-2z+5=0. \\n\\n Solução \\n É imediato que \"um vetor normal a um plano é também normal a qualquer plano paralelo a este\". \\n\\n Então, como \\u03C0 // \\u03C0_{1}, o vetor \\u007B\\u00B5\\u007D_{1}=(3,-4,-2) normal a \\u03C0_{1} é também normal a \\u03C0. \\n Logo, uma equação de \\u03C0 é da forma \\n 3x-4y-2z+d=0 \\n Tendo em vista que A \\u2208 \\u03C0, suas coordenadas devem verificar a equação: \\n 3(2)-4(1)-2(3)+d=0 \\n 6-4-6+d=0 \\n e d=4; portanto, uma equação de \\u03C0 é \\n 3x-4y-2z+4=0 3. A reta r: \\n x=5+3t \\n y=-4+2t \\n z=1+t \\n é ortogonal ao plano \\u03C0 que passa pelo ponto A(2, 1, -2). Determinar uma equação geral de \\u03C0 e representá-la graficamente. \\n\\n Solução \\n Como r \\u22A5 \\u03C0, qualquer vetor diretor de r é um vetor normal ao plano. Sendo \\u007B\\u00B5\\u007D=(3,2,1) um desses vetores, uma equação de \\u03C0 é da forma \\n 3x+2y+z+d=0 \\n\\n Como A \\u2208 \\u03C0, deve-se ter \\n 3(2)+2(1)+(-2)+d=0 \\n e=d-6; portanto, uma equação de \\u03C0 é \\n 3x+2y+z-6=0 \\n\\n Para a representação gráfica do plano, obteremos três de seus pontos. Se nessa equação fizermos y = 0 e z = 0, vem x = 2\nx = 0 e z = 0, vem y = 3\nx = 0 e y = 0, vem z = 6\n\nObtivemos, assim, os pontos A₁(2,0,0), A₂(0,3,0) e A₃(0,0,6) nos quais o plano intercepta os eixos coordenados. A Figura 6.2 mostra o referido plano. Se um plano π intercepta os eixos coordenados nos pontos (p, 0, 0), (0, q, 0) e (0, 0, r) com p·q·r≠0, então, π admite a equação\n\n x y z\n - + - = 1\n p q r\n\ndenominada equação segmentária do plano π.\n\nPara o caso do problema anterior, em que os pontos são A₁(2,0,0), A₂(0,3,0) e A₃(0,0,6), a equação segmentária do plano é\n\n x y z\n - + - = 1\n 2 3 6\n\nque é equivalente a equação 3x + 2y + z - 6 = 0, ao eliminarmos os denominadores e ordenarmos os termos.\n\nReciprocamente, se escrevermos esta última equação como 3x + 2y + z = 6 e dividirmos ambos os membros por 6, voltaremos a ter a equação segmentária (2). Seja A(x₀,y₀,z₀) um ponto pertencente a um plano π e ū = (a₁,b₁,c₁) e v̄ = (a₂,b₂,c₂) dois vetores paralelos a π (Figura 6.3), e ū e v̄ não paralelos.\n\nPara todo ponto P do plano, os vetores ĀP, ū e v̄ são coplanares. Um ponto P(x, y, z) pertence a π se, e somente se, existirem números reais h e t tais que\n\n P = A + h ū + t v̄\n ou, em coordenadas:\n\n (x,y,z)=(x₀,y₀,z₀)+h(a₁,b₁,c₁)+t(a₂,b₂,c₂),\nh,t ∈ ℝ\n\nEssa equação é denominada equação vetorial do plano π. Os vetores ū e v̄ são vetores diretores de π. Da equação vetorial do plano π.\n(x,y,z)=(x₀+a₁h+a₂t,\ny₀+b₁h+b₂t,\nz₀+c₁h+c₂t)\nque, pela condição de igualdade, vem\n{ x=x₀+a₁h+a₂t\n y=y₀+b₁h+b₂t\n z=z₀+c₁h+c₂t,\nh,t∈ℝ\n}\nEssas equações são chamadas equações paramétricas de π, e h e t são variáveis auxiliares denominadas parâmetros.
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Seja A(x₁,y₁,z₁) um ponto pertencente ao plano π e n̄=(a,b,c), n̄≠0, um vetor normal (ortogonal) ao plano (Figura 6.1).\n\nComo n̄⊥π, n̄ é ortogonal a todo vetor representado em π. Então, um ponto P(x,y,z) pertence a π se, e somente se, o vetor \u2190AP é ortogonal a n̄, ou seja,\n\nn̄·(P−A)=0\n\n(a,b,c)·(x−x₁,y−y₁,z−z₁)=0\n\na(x−x₁)+b(y−y₁)+c(z−z₁)=0\n\nax+by+cz−ax₁−by₁−cz₁=0\n\nFazendo −ax₁−by₁−cz₁=d, obtemos\n\nax+by+cz+d=0 Observações\n\na) Assim como n̄=(a,b,c) é um vetor normal a π, qualquer vetor k̄, k≠0, é também vetor normal ao plano.\n\nb) É importante notar que os três coeficientes a, b e c da equação (1) representam as componentes de um vetor normal ao plano.\n\nPor exemplo, se um plano π é dado por π: 3x+2y−z+1=0 um de seus vetores normais é n̄=(3,2,−1).\n\nc) Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral, basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcular o valor da outra na equação dada.\n\nAssim, por exemplo, se na equação anterior fizermos x=4 e y=−2, teremos:\n\n3(4)+2(−2)−z+1=0\n12−4−z+1=0\nz=9\n\ne, portanto, o ponto A(4,−2,9) pertence a este plano. Exemplos \\n 1. Obter uma equação geral do plano \\u03C0 que passa pelo ponto A(2, -1, 3) e tem \\u007B\\u00B5\\u007D=(3,2,-4) como um vetor normal. \\n\\n Solução \\n Como \\u007B\\u00B5\\u007D é normal a \\u03C0, sua equação é do tipo \\n 3x+2y-4z+d=0 \\n e sendo A um ponto do plano, suas coordenadas devem verificar a equação, ou seja, \\n 3(2)+2(-1)-4(3)+d=0 \\n 6-2-12+d=0 \\n d=8 \\n Logo, uma equação geral do plano \\u03C0 é \\n 3x+2y-4z+8=0 2. Escrever uma equação geral do plano \\u03C0 que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e é paralelo ao plano \\u03C0_{1}: 3x-4y-2z+5=0. \\n\\n Solução \\n É imediato que \"um vetor normal a um plano é também normal a qualquer plano paralelo a este\". \\n\\n Então, como \\u03C0 // \\u03C0_{1}, o vetor \\u007B\\u00B5\\u007D_{1}=(3,-4,-2) normal a \\u03C0_{1} é também normal a \\u03C0. \\n Logo, uma equação de \\u03C0 é da forma \\n 3x-4y-2z+d=0 \\n Tendo em vista que A \\u2208 \\u03C0, suas coordenadas devem verificar a equação: \\n 3(2)-4(1)-2(3)+d=0 \\n 6-4-6+d=0 \\n e d=4; portanto, uma equação de \\u03C0 é \\n 3x-4y-2z+4=0 3. A reta r: \\n x=5+3t \\n y=-4+2t \\n z=1+t \\n é ortogonal ao plano \\u03C0 que passa pelo ponto A(2, 1, -2). Determinar uma equação geral de \\u03C0 e representá-la graficamente. \\n\\n Solução \\n Como r \\u22A5 \\u03C0, qualquer vetor diretor de r é um vetor normal ao plano. Sendo \\u007B\\u00B5\\u007D=(3,2,1) um desses vetores, uma equação de \\u03C0 é da forma \\n 3x+2y+z+d=0 \\n\\n Como A \\u2208 \\u03C0, deve-se ter \\n 3(2)+2(1)+(-2)+d=0 \\n e=d-6; portanto, uma equação de \\u03C0 é \\n 3x+2y+z-6=0 \\n\\n Para a representação gráfica do plano, obteremos três de seus pontos. Se nessa equação fizermos y = 0 e z = 0, vem x = 2\nx = 0 e z = 0, vem y = 3\nx = 0 e y = 0, vem z = 6\n\nObtivemos, assim, os pontos A₁(2,0,0), A₂(0,3,0) e A₃(0,0,6) nos quais o plano intercepta os eixos coordenados. A Figura 6.2 mostra o referido plano. Se um plano π intercepta os eixos coordenados nos pontos (p, 0, 0), (0, q, 0) e (0, 0, r) com p·q·r≠0, então, π admite a equação\n\n x y z\n - + - = 1\n p q r\n\ndenominada equação segmentária do plano π.\n\nPara o caso do problema anterior, em que os pontos são A₁(2,0,0), A₂(0,3,0) e A₃(0,0,6), a equação segmentária do plano é\n\n x y z\n - + - = 1\n 2 3 6\n\nque é equivalente a equação 3x + 2y + z - 6 = 0, ao eliminarmos os denominadores e ordenarmos os termos.\n\nReciprocamente, se escrevermos esta última equação como 3x + 2y + z = 6 e dividirmos ambos os membros por 6, voltaremos a ter a equação segmentária (2). Seja A(x₀,y₀,z₀) um ponto pertencente a um plano π e ū = (a₁,b₁,c₁) e v̄ = (a₂,b₂,c₂) dois vetores paralelos a π (Figura 6.3), e ū e v̄ não paralelos.\n\nPara todo ponto P do plano, os vetores ĀP, ū e v̄ são coplanares. Um ponto P(x, y, z) pertence a π se, e somente se, existirem números reais h e t tais que\n\n P = A + h ū + t v̄\n ou, em coordenadas:\n\n (x,y,z)=(x₀,y₀,z₀)+h(a₁,b₁,c₁)+t(a₂,b₂,c₂),\nh,t ∈ ℝ\n\nEssa equação é denominada equação vetorial do plano π. Os vetores ū e v̄ são vetores diretores de π. Da equação vetorial do plano π.\n(x,y,z)=(x₀+a₁h+a₂t,\ny₀+b₁h+b₂t,\nz₀+c₁h+c₂t)\nque, pela condição de igualdade, vem\n{ x=x₀+a₁h+a₂t\n y=y₀+b₁h+b₂t\n z=z₀+c₁h+c₂t,\nh,t∈ℝ\n}\nEssas equações são chamadas equações paramétricas de π, e h e t são variáveis auxiliares denominadas parâmetros.