na 2 - Vetores no Plano e no Espaço

Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares. Assim, quando dizemos que uma mesa tem 3m de comprimento, que o volume de uma caixa é de 10 dm3 ou que a temperatura ambiente é de 30ºC, estamos determinando perfeitamente estas grandezas. Existem, no entanto, grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu módulo, ou seja, pelo número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas vetoriais, que para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força, velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais. Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento (Figs. 1.3-a e 1.3-b). Se os segmentos AB e CD não pertencem à mesma reta. Fig. 1.3-b, para que AB seja equipolente a CD é necessário que AB//CD e AC/BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo. A D B C A Figura 1.3-a Figura 1.3-b Vetor de um vetor não nulo \(\vec{v}\) é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de \(\vec{v}\). Por exemplo, tomemos um vetor \(\vec{v}\) de módulo 3 (Fig. 1.4-b). Os vetores \(\vec{u}_1\) e \(\vec{u}_2\) da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto, apenas \(\vec{u}_1\) tem a mesma direção e o mesmo sentido de \(\vec{v}\). Portanto, este é o vetor de \(\vec{v}\). Vetor determinado por um segmento orientado \(\overrightarrow{AB}\) é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a \(\overrightarrow{AB}\) (Fig. 1.4-a). Sabe-se que os vetores do plano ou do espaço são representados por segmentos orientados. Todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento são representantes de um mesmo vetor. Por exemplo, no paralelogramo da Figura 1.1a, os segmentos orientados \(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{CD}\) determinam o mesmo vetor \(\vec{v}\), e escreve-se \[ \vec{v} = \overrightarrow{AB} \] Quando escrevemos \(\vec{v} = \overrightarrow{AB}\), estamos afirmando que o vetor é determinado pelo segmento orientado \(\overrightarrow{AB}\) de origem \(A\) e extremidade \(B\). Porém, qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de \(\overrightarrow{AB}\) representa também o mesmo vetor \(\vec{v}\). Assim sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado que é representante do vetor \(\vec{v}\). O comprimento ou o módulo, a direção e o sentido de um vetor \(\vec{v}\) é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. Indica-se o módulo de \(\vec{v}\) por \(|\vec{v}|\) ou \(\|\vec{v}\|\). Ainda, dados um vetor \(\vec{v} = \overrightarrow{AB}\) e um ponto \(P\), existe um só ponto \(Q\) (Figura 1.5) tal que o segmento orientado \(\overrightarrow{PQ}\) tenha o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de \(\overrightarrow{AB}\). Portanto, temos também \(\vec{v} = \overrightarrow{PQ}\), o que reforça o fato de que um representante de \(\vec{v}\) pode ter sua origem em qualquer ponto \(P\) do espaço. O módulo, a direção e o sentido de um vetor \(\vec{v}\) é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes. Indica-se o módulo de \(\vec{v}\) por \(|\vec{v}|\) ou \(\|\vec{v}\|\). a) Dois vetores u e v são paralelos, e indica-se por u // v, se os seus representantes tiverem a mesma direção. Na Figura 1.6, tem-se u // v // w, onde u e v têm o mesmo sentido, enquanto u e v, têm sentido contrário ao de w. b) Dois vetores u e v são iguais, e indica-se por u = v, se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido. c) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado por 0 ou AA' (a origem coincide com a extremidade). Pelo fato deste vetor não possuir direção e sentido definidos, considera-se o vetor zero paralelo a qualquer vetor. d) A cada vetor não-nulo v corresponde um vetor oposto -v, de mesmo módulo e mesma direção de v, porém, de sentido contrário (Figura 1.7). Se v = AB, o vetor BA é o oposto de AB, isto é, BA = -AB. e) Um vetor u é unitário se |u| = 1. A cada vetor v, v ≠ 0, é possível associar dois vetores unitários de mesma direção de v: u e -u (Figura 1.8). Nesta Figura, tem-se |v| = 3 e |u| = |-u| = 1. O vetor u que tem o mesmo sentido de v é chamado versor de v. Na verdade o vetor u não é versor só de v, mas sim de todos os vetores paralelos e de mesmo sentido de v e medidos com a mesma unidade. f) Dois vetores u e v (Figura 1.9(a)) são ortogonais, e indica-se por u ⊥ v, se algum representante de u formar ângulo reto com algum representante de v. A Figura 1.9(b) apresenta dois representantes de u e v, com origem no ponto A, formando ângulo reto. Considera-se o vetor zero ortogonal a qualquer vetor. g) Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão representados. É importante observar que dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares, pois basta considerar um ponto P no espaço e, com origem nele, traçar os dois representantes de u e v pertencendo ao plano π (Figura 1.10) que passa por aquele ponto. Três vetores poderão ser coplanares (Figura 1.11(a)) ou não (Figura 1.11(b)).