Teste de Hipóteses em Amostras de Lâmpadas e Desempenho de Estudantes

Exercício avaliativo 1 Nome 1 A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas de certa marca é de 1615 horas Por similiariadade com outros processos de fabricação supomos o desvio padrão igual a 120 horas Utilizandose um nível de significância igual a 5 desejamos testar se a duração média de todas as lâmpadas dessa marca é igual ou é diferente de 1600 horas Qual é a conclusão 2 O número de pontos de um exame de inglês tem sido historicamente ao redor de 80 Sorteamos 10 estudantes que fizeram recentemente esse exame e observamos as notas 65 74 78 86 59 84 75 72 81 e 83 Especialistas desconfiam que a média diminuiu e desejam testar essa afirmação através de um teste de hipóteses com nível de significância de 5 Fazendo as suposições necessárias qual seria a conclusão do teste Quais suposições são necessárias para a realização do teste realizado 3 Um criador tem constatado uma proporção de 10 do rebanho com verminose O veterinário alterou a dieta dos animais e acredita que a doença diminuiu de itensidade Um exame em 100 cabeças do rebanho escolhidas ao acaso indicou 8 delas com verminose Ao nível de significância de 8 há indícios de que a proporção diminuiu 4 Sabese que o tempo necessário para percorrer uma determinada rota no final da tarde pode ser estudado por um modelo Normal Foram instalados sensores para controlar o tempo de abertura dos semáforos presentes na rota e desejase verificar se o tempo gasto para completar o percurso diminuiu Com os sensores desativados 11 1 veículos de mesmo ano e marca demonimados Grupo Controle tiveram o tempo gasto no percurso anotado Em seguida os sensores foram ativados e outros 13 veículos Grupo Teste também de mesmo ano e marca percorreram a mesma rota Os tempos observados em minutos foram Controle 38 26 20 70 16 26 38 32 45 49 32 Teste 17 31 28 21 50 21 20 51 10 22 18 35 29 Verifique se o uso dos sensores contribui para a diminuição do tempo médio gasto na realização do percurso através de um teste de hipóteses 5 Um modelo de automóvel é vendido em quatro versões SX LX GLX GTX Foi feita uma campanha publicitária para melhorar as vendas das versões GLX e GTX Posteriormente foi verificada a escolha das versões em 500 vendas escolhidas ao acaso Os resultados foram Versão SX LX GLX GTX soma total Unidades vendidas 210 125 105 60 500 De acordo com o fabricante a participação de cada versão nas vendas deste modelo até a realização da campanha era 40 de SX 30 de LX 20 de GLX e 10 de GTX Utilize Teste Quiquadrado com o nnível de significância de 25 para verificar se houve ou não mudanças na participação de cada versão nas vendas após a campanha 6 Os dados seguintes representam os resultados de uma investigação da distribuição do sexo das crianças de 96 famílias possuindo cada uma delas 4 crianças espero que seja claro que tratase da distribuição amostral construída com base na amostra de 96 famílias escolhidas ao acaso do universo de todas as famílias que possuam 4 crianças Número de meninos 0 1 2 3 4 soma Número de famílias 12 30 24 21 9 96 Verifique usando Teste Quiquadrado com o nnível de significância de 5 se a amostra comprova o seguinte fato o número de meninos por família no universo de famílias com 4 crianças segue a distribuição binomial com n 4 e p 0 50 7 Um estudo Anais Brasileiros de Dermatologia 2002 783 pp 283288 sobre dermatoses infeccionais em pacientes transplantados renais tem por objetivo verificar se existia uma relação entre a presença do fungo Pitiríase versicolor e o tempo transcorrido desde o transplante E conhecido que nos pacientes transplantados renais a imunossupressão crônica acarreta maior suscetibilidade as dermatoses infecciosas fato que motiva a pergunta se presença do fungo e tempo transcorrido desde transplante sejam fatores relacionados ou não Os resultados de acompanhamento de 122 pacientes estão na tabela abaixo O acompanhamento durou 12 meses e o Pitiríase versicolor declaravase presente para paciente caso esse fungo foi identificado nos exames dermatológicos do mesmo feitos no decorrer do acompanhamento caso contrário o fungo declaravase ausente Pitiríase Versicolor Tempo de transplante Total Menos que um ano De 1 a 5 anos presente 6 24 30 ausente 36 56 92 a Verifique usando Teste Quiquadrado ao nnível de significância de 05 se os dados da tabela indicam a independência entre a presença do fungo Pitiríase versicolor e o tempo transcorrido desde o transplante b Nas conclusões do estudo os pesquisadores escrevem As dermatoses infecciosas são frequentes nos pacientes transplantados renais e sua ocorrência aumenta progressivamente conforme o tempo transcorrido a partir do transplante sendo importante o acompanhamento dermatológico desses pacientes Tal conclusão poderia ser feita com base em somente o resultado da aplicação do Teste Quiquadrado na citação interprete as dermatoses infecciosas como a presença de Pitiríase versicolor Em um estudo do efeito da glicose na liberação de insulina 12 8 Em espécies de tecido pancreático idênticas foram subdivididas em três grupos de 4 espécies cada uma Três níveis baixo tratamento 1 médio tratamento 2 e alto tratamento 3 de concentração de glicose foram aleatoriamente designados aos três grupos e cada espécie dentro de cada grupo foi tratado com o nível de concentração de glicose sorteado a eles A quantidade de insulina liberada pelos tecidos pancreáticos amostrados são as seguintes aFaça a análise ANOVA e conclua se existe diferença entre os níveis com significância de 1 e 5 b Se existe diferença significativa qual o melhor o nível descreva o teste utilizado para assumir a resposta e porque 9 Ensaio de alimentação das poedeiras tratamento 5 rações A B C D e E parcela 6 aves repetição 4 blocos completos aleatorizados Com significância de α 5 variável resposta peso médio das aves g Bloco I melhores poedeiras Bloco II segunda escolha Bloco III terceira escolha Bloco IV quarta escolha Bloco V Variação peso das aves Bloco Trat1 Trat2 Trat3 Trat4 Total A 2025 2004 1809 1903 7741 B 2203 2154 2196 2105 8658 C 2107 2056 2004 1908 8075 D 2304 2256 2157 2201 8918 E 2000 1941 1805 1900 7646 TOTAIS 10639 10411 9971 10017 41038 a Teste as pressuposições de normalidade independência e aleatoriedade entre as amostras b Escreva o modelo adequado c Faça a anova do modelo d Faça análise de resíduos dos dados justifique os resultados e Houve diferença entre os tratamentos com 5 de significância f Faça o teste Tukey a 5 de significância e classifique os resultados do melhor para o pior tratamento 10 Um experimento casualizado em blocos com 4 blocos idades distintas das plantas para estudar os feitos de 5 doses de gesso 0 50 100 150 200kgha sobre diversas características do feijoeiro Para a característica peso de 1000 sementes os resultados obtidos em gramas são apresentados na Tabela Existe diferença entre as doses para a variável em estudo Teste essa hipótese ao nível de 5 de significância Qual é a melhor dose para se recomendar Faça a análise completa dos dados e apresente também o croqui do experimento Tratamentos Blocos I II III IV Total T1 1348 1397 1476 1323 5544 T1 1577 1503 1447 1567 6094 T3 1597 1727 1634 1613 6571 T4 1698 1682 1607 1610 6597 T5 1603 1502 1625 1642 6312 a Faça um estudo das pressuposições para anova b Faça a análise anova com 5 de significância e conclua se houve diferença entre os tratamentos c Houve diferença entre os blocos O que podemos concluir d Faça o teste Tukey e conclua sobre o melhor tratamento Questão 1 A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas de certa marca é de 1615 horas Por similaridade com outros processos de fabricação supomos o desvio padrão igual a 120 horas Utilizandose um nível de significância igual a 5 desejamos testar se a duração média de todas as lâmpadas dessa marca é igual ou é diferente de 1600 horas Qual é a conclusão Resposta Considerando que os valores da vida média das lâmpadas apresentam distribuição normal a estatística de teste para a média com o desvio padrão populacional σ conhecido é Zcal xμ0 σ n 1 Regra de decisão rejeitar H 0 se x RC região de crítica o que é equivalente a desigualdade Zcal Z α 2 caso contrário aceitar H 0 Diante da distribuição adotada podemos usar o teste bilateral e as hipóteses definidas são H 0 μ1600 H 1 μ1600 Logo podemos usar 1 para determinar a estatística de teste Zcal xμ0 σ n 16151600 120 100 15 12125 Como o teste é bilateral e α005 a região de não rejeição RNR é PZZ α 21α 2 1005 2 0975 logo Z α 2 196 observado na Tabela da Distribuição Normal Padrão A região de crítica RC é dada por PZZ α 2α 2 0025 Como Zcal125 temos que ZcalRNR Temos que x 1615 não pertence a região crítica portanto não rejeitamos a hipótese nula H 0 de que a média populacional seja igual a 1600 horas com 5 de risco de não rejeitarmos uma hipótese falsa Notaríamos isso também se usássemos os valores críticos xc 1μ0Z α 2 σ ne xc 2μ0Z α 2 σ n lembrando que a região crítica é dada por RCx R xxc 1ouxxc 2 Nesta atividade teríamos xc 1μ0Z α 2 σ n 1600196 120 100 157648 xc 2μ0Z α 2 σ n 1600196 120 100 162352 Notase que xxc1 e xxc2 portanto x está na RNR e não devemos descartar a hipótese nula Concluímos que a média de duração das lâmpadas dessa marca é igual a 1600 Questão 2 O número de pontos de um exame de inglês tem sido historicamente ao redor de 80 Sorteamos 10 estudantes que fizeram recentemente esse exame e observamos as notas 65 74 78 86 59 84 75 72 81 e 83 Especialistas desconfiam que a média diminuiu e desejam testar essa afirmação através de um teste de hipóteses com nível de significância de 5 Fazendo as suposições necessárias qual seria a conclusão do teste Quais suposições são necessárias para a realização do teste realizado Resposta Para resolver este problema vamos supor que a distribuição dos dados é aproximadamente normal Além disso como a amostra é pequena n 30 devemos utilizar a distribuição de tStudent A estatística de teste t cal para este tipo de distribuição é obtida por meio da equação t cal xμ0 s n 1 Os valores críticos de t devem ser retirados da tabela da Distribuição de Student visto que dependem do grau de liberdade v o qual é igual ao número de elementos da amostra menos 1 ou seja vn1 Neste exercício as hipóteses são H 0 μ80 H 1 μ80 A regra de decisão é rejeitar H 0 se x RC região de crítica o que é equivalente a desigualdade t cal t α caso contrário aceitar H 0 Inicialmente temos que calcular a média das notas x por meio de x1 n i1 n xi 1 10 65747886598475728183 757 Agora podemos calcular o desvio padrão s 1 n1 i1 n xix 2 s 1 101 65757 274757 278757 286757 259757 284757 275757 272757 281757 283757 2 s86416 Diante destes dados podemos calcular a estatística de teste t cal t cal xμ0 s n 75780 86416 10 157 Ao consultar a Tabela da Distribuição tStudent com v1019 graus de liberdade concluímos que t αt 0051833 logo t calt α o que implica que x está na RNR e não devemos descartar a hipótese nula De acordo com os resultados obtidos a um nível de significância de 5 concluímos que a média de pontos no exame de inglês se manteve Questão 3 Um criador tem constatado uma proporção de 10 do rebanho com verminose O veterinário alterou a dieta dos animais e acredita que a doença diminuiu de intensidade Um exame em 100 cabeças do rebanho escolhidas ao acaso indicou 8 delas com verminose Ao nível de significância de 8 há indícios de que a proporção diminuiu Resposta Queremos testar a afirmação do veterinário de que a proporção de gado com verminose no rebanho é inferior a 10 Diante disso as hipóteses são H 0 p010 H 1 p010 Vamos supor que a distribuição dos dados é aproximadamente normal então a estatística de teste Zcalc para este tipo de distribuição é obtida por meio da equação Zcalc Xn p0 n p01p0 1 Zcalc Xn p0 n p01p0 8100010 1000101010 2 3 0667 A regra de decisão é rejeitar H 0 se X RC região de crítica o que é equivalente a desigualdade Zcal Z1α caso contrário aceitar H 0 Como Z1α1 41 observado na Tabela da Distribuição Normal Padrão é menor que Zcal concluímos a partir da amostra que a proporção do rebanho com verminose não teve diminuição com a nova dieta Poderíamos também verificar a seguinte probabilidade PP X 8p010 PZ ZcalcP Z 067 P1H 10 67 10748602514 X é o número de cabeças de gados com verminose no rebanho dentre as 100 avaliadas Como α 008 e o valor P02514 Pα então não podemos rejeitar H 0 ou seja não há evidência no nível de significância de 8 que a proporção de gado com verminose seja inferior a 10 Questão 4 Sabese que o tempo necessário para percorrer uma determinada rota no final da tarde pode ser estudado por um modelo Normal Foram instalados sensores para controlar o tempo de abertura dos semáforos presentes na rota e desejase verificar se o tempo gasto para completar o percurso diminuiu Com os sensores desativados 11 veículos de mesmo ano e marca denominados Grupo Controle tiveram o tempo gasto no percurso anotado Em seguida os sensores foram ativados e outros 13 veículos Grupo Teste também de mesmo ano e marca percorreram a mesma rota Os tempos observados em minutos foram Controle 38 26 20 70 16 26 38 32 45 49 32 Teste 17 31 28 21 50 21 20 51 10 22 18 35 29 Verifique se o uso dos sensores contribui para a diminuição do tempo médio gasto na realização do percurso através de um teste de hipóteses Respostas Inicialmente vamos definir como C a variável que descreve o comportamento das medidas do grupo de Controle e T a variável que descreve o comportamento das medidas do grupo de Teste Dados do grupo controle NC11 C 1 NC i1 N C ci 1 11 38262070162638324549323564 sC 1 NC1 i1 NC ciC 21517 Dados do grupo teste NT13 T 1 NT i1 NT T i 1 13 173128215021205110221835292715 sT 1 NT1 i1 NT TiT 21227 Na etapa seguinte temos que verificar se igualdade de variância entre os dois grupos comparados As nossas hipóteses são H 0 σC 2σT 2 H 1σC 2 σT 2 Agora vamos calcular a estatística de teste F como a seguir W sC 2 sC 2 1517 2 1227 2 153 Nestas situações os grupos C e T apresentam vCNc110 e vTNT112 graus de liberdade Então podemos olhar a Tabela da Distribuição unilateral de F de Snedecor a 25 para definir F 10123374 e F 1210 1 36210276 A região crítica é RCW 0276 ouW 3374 Como W RC não aceitamos a hipótese nula Podemos definir a variável D como a diferença entre antes e depois da ativação dos sensores ou seja DCT Então as hipóteses podem ser escritas como H 0 μCμT μCμT0μD0 H 1 μCμT μCμT0μD0 Para testarmos essas hipóteses vamos calcular a estatística de teste t calc e para isso consideraremos a distribuição normal dos dados t cal DμD σC 2 NC σ T 2 NT 356427150 1517 2 11 1227 2 13 849 5701489 A região crítica com α 5 e usando a tabela da t com 22 graus de liberdade Rc T 1 71 Ao consultar a Tabela da Distribuição tStudent com v23122 graus de liberdade concluímos que t αt 0051717 logo t calt α o que implica que x está na RNR e não devemos descartar a hipótese nula Concluímos com um nível de significância de 5 que de acordo com os resultados obtidos a média de tempo da rota com os sensores ligados não diminuiu Questão 5 Um modelo de automóvel é vendido em quatro versões SX LX GLX GTX Foi feita uma campanha publicitária para melhorar as vendas das versões GLX e GTX Posteriormente foi verificada a escolha das versões em 500 vendas escolhidas ao acaso Os resultados foram Versão SX LX GLX GTX soma total Unidades vendidas 210 125 105 60 500 De acordo com o fabricante a participação de cada versão nas vendas deste modelo até a realização da campanha era 40 de SX 30 de LX 20 de GLX e 10 de GTX Utilize Teste Qui quadrado com o nível de significância de 25 para verificar se houve ou não mudanças na participação de cada versão nas vendas após a campanha Resposta Diante do problema apresentado teremos as seguintes hipóteses H 0 a campanha publicitária não teve efeito nas vendas das versões desse modelo de automóvel H 1 a campanha publicitária teve efeito nas vendas das versões desse modelo de automóvel Podemos reescrever essas hipóteses como H 0 pSX040 pLX030 pGLX020 pGTX010 H 1 pelo menosuma das desigualdadesacima nãoé válida em que pSX pLX pGLX e pGTX representam a participação nas vendas da versão SX LX GLX e GTX respectivamente Estas participações são expressas em proporções e correspondem ao que acontece com a população dos compradores do referido automóvel após a campanha publicitária O passo seguinte após a determinação das hipóteses consiste no cálculo da frequência esperada a qual corresponde ao tamanho de amostra fornecida no enunciado Tabela abaixo Versão Frequência Observada Oi Proporçãoprobabilidade pi sob a validade de H 0 Frequência esperada Ei correspondente ao tamanho de amostra sob a validade de H 0 SX 210 p10 4 E1n p15000 4200 LX 125 p20 3 E2n p25000 3150 GLX 105 p302 E3n p350002100 GTX 60 p401 E4n p45000150 Total 500 1 500 O próximo passo é o cálculo do valor da estatística de teste correspondente a amostra χcalc 2 i1 k OiEi 2 Ei χcalc 2 210200 2 200 125150 2 150 105100 2 100 6050 2 50 χcalc 2 0541667025269167 Agora precisamos encontrar o limiar correspondente ao nível de significância de 25 Como se trata de um teste de aderência temos que calcular os graus de liberdade v413 e olhar o valor correspondente na Tabela de distribuição ChiSquare onde encontraremos χ0025 2 9348 o qual representa o valor do limiar procurado no presente caso Como χcalc 2 χ0025 2 não temos evidências suficientes com nível de significância de 25 que a hipótese nula deve ser rejeitada ou seja que a campanha publicitária teve efeito nas vendas desse modelo de automóvel Questão 6 Os dados seguintes representam os resultados de uma investigação da distribuição do sexo das crianças de 96 famílias possuindo cada uma delas 4 crianças espero que seja claro que se trata da distribuição amostral construída com base na amostra de 96 famílias escolhidas ao acaso do universo de todas as famílias que possuam 4 crianças Número de meninos 0 1 2 3 4 Soma Número de famílias 12 30 24 21 9 96 Verifique usando o Teste Quiquadrado com o nível de significância de 5 se a amostra comprova o seguinte fato o número de meninos por família no universo de famílias com 4 crianças segue a distribuição binomial com n 4 e p 0 50 Respostas Inicialmente vamos considerar que a probabilidade do sexo do recémnascido de uma determinada família ser masculino ou feminino não dependa do sexo das crianças já nascidas na família Diante disso podemos supor ainda que a probabilidade do sexo ser masculino ou feminino é de 050 então a distribuição do número de meninos em famílias com 4 crianças deve ser binomial 4 12 O método binomial é muito usado em situações nas quais ocorre o produto de probabilidades Se os resultados obtidos neste exercício mostrarem que essa distribuição é de fato binomial poderemos concluir que as duas suposições feitas são verdadeiras na vida real A possibilidade de se ter um menino ou uma menina são iguais logo temos as seguintes probabilidades p M 12 e p F12 Já a possibilidade de todos os filhos serem meninos ou meninas é p 4 M 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1600625 Essa também é a probabilidade de organização de cada grupo com 4 filhos Supõese que os resultados sejam igualmente prováveis Então cada combinação tem uma chance de 116 de acontecer e o modelo probabilístico para esse experimento é apresentado na Tabela 1 No entanto só estamos interessados na probabilidade teórica de uma família com 4 filhos ter k meninos ver Tabela 2 Agora podemos assumir que a hipótese nula equivale a afirmação de que o número de meninos por família em famílias com 4 crianças segue uma distribuição binomial com n 4 e p 050 Então as hipóteses seriam H 0 pk000625 pk10 25 pk20375 pk3025 pk400625 H 1 pelo menosuma dasdesigualdades acimanãoé válida onde pki representa a proporção das famílias que tem i meninos entre todas as famílias possuindo 4 crianças i0123e 4 Agora temos que aplicar o teste Quiquadrado mas antes temos que calcular a frequência esperada E0 E1E2 E3e E4 da amostra de tamanho 96 Os resultados estão na Tabela 3 Tabela 3 Frequência observada e esperada para cada situação Número de meninos k Frequência Observada Oi Proporçãoprobabilidade pi sob a validade de H 0 Frequência esperada Ei correspondente ao tamanho de amostra sob a validade de H 0 0 12 pk000625 E0n pk096006256 1 30 pk1025 E1n pk19602524 2 24 pk20375 E2n pk296037536 3 21 pk3025 E3n pk39602524 4 9 pk400625 E3n pk496006256 Total 96 1 96 O próximo passo é o cálculo do valor da estatística de teste correspondente a amostra χcalc 2 i1 k OiEi 2 Ei χcalc 2 126 2 6 3024 2 24 2436 2 36 2124 2 24 96 2 6 χcalc 2 615403751513375 O número de graus de liberdade v da distribuição Quiquadrado adequada para o caso é vq1514 Por fim consultamos a tabela de distribuição Quiquadrado considerando o nível de significância de 5 para determinar χ0 05 2 9488 Diante destes resultados obtidos notamos que χcalc 2 χ0 05 2 o que implica na rejeição da hipótese nula ou seja não há evidências suficientes para que possamos concluir com nível de significância de 5 que o número de meninos por família segue uma distribuição binomial com n4 e p005 Tabela 1 As possibilidades para o sexo das 4 crianças Sexo MMMM MMMF MMFM MFMM FMMM MMFF MFFM FFMM FMMF MFMF FMFM FMFF FFMF FFFM MFFF FFFF Freq Teórica 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 Tabela 2 Probabilidade teórica de uma família com 4 filhos ter k meninos k Freq Teóricaprobabilidade 0 1 1600625 1 1 16 4025 2 1 16 60375 3 1 16 4025 4 1 1600625 Questão 7 Um estudo Anais Brasileiros de Dermatologia 2002 783 pp 283288 sobre dermatoses infeccionais em pacientes transplantados renais tem por objetivo verificar se existia uma relação entre a presença do fungo Pitiríase versicolor e o tempo transcorrido desde o transplante E conhecido que nos pacientes transplantados renais a imunossupressão crônica acarreta maior suscetibilidade as dermatoses infecciosas fato que motiva a pergunta se presença do fungo e tempo transcorrido desde transplante sejam fatores relacionados ou não Os resultados de acompanhamento de 122 pacientes estão na tabela abaixo O acompanhamento durou 12 meses e o Pitiríase versicolor declaravase presente para paciente caso esse fungo foi identificado nos exames dermatológicos do mesmo feitos no decorrer do acompanhamento caso contrário o fungo declaravase ausente Pitiríase Versicolor Tempo de transplante Total Menos que um ano De 1 a 5 anos presente 6 24 30 ausente 36 56 92 Total 42 80 122 a Verifique usando Teste Quiquadrado ao nível de significância de 05 se os dados da tabela indicam a independência entre a presença do fungo Pitiríase versicolor e o tempo transcorrido desde o transplante b Nas conclusões do estudo os pesquisadores escrevem As dermatoses infecciosas são frequentes nos pacientes transplantados renais e sua ocorrência aumenta progressivamente conforme o tempo transcorrido a partir do transplante sendo importante o acompanhamento dermatológico desses pacientes Tal conclusão poderia ser feita com base em somente no resultado da aplicação do Teste Quiquadrado na citação interprete as dermatoses infecciosas como a presença de Pitiríase versicolor Respostas a Para aplicar o teste Quiquadrado nos dados fornecidos temos inicialmente que calcular a frequência esperada E1 E2E3e E4 da amostra de tamanho 122 Os resultados estão na Tabela abaixo Tabela Frequência observada e esperada para cada situação Situação Frequência Observada Oi Proporçãoprobabilidade pi sob a validade de H 0 Frequência esperada Ei correspondente ao tamanho de amostra sob a validade de H 0 P1 6 p1 42 122 30 12200847 E1n p1122008471033 P15 24 p2 30 122 80 12201612 E2n p2122016121967 A 1 36 p3 42 122 92 12202596 E3n p3122025963167 A1 5 56 p4 80 122 92 12204945 E4n p4122049456033 Total 122 1 122 O próximo passo é o cálculo do valor da estatística de teste correspondente a amostra χcalc 2 i1 k OiEi 2 Ei χcalc 2 61033 2 1033 241967 2 1967 363167 2 3167 566033 2 6033 367 O número de graus de liberdade v da distribuição Quiquadrado adequada para o caso é vq1k121 21 1 Por fim consultamos a tabela de distribuição Quiquadrado considerando o nível de significância de 5 para determinar χ0 05 2 3841 Diante dos resultados obtidos notamos que χcalc 2 χ0 05 2 o que implica na aceitação da hipótese nula ou seja não há evidências suficientes para que possamos concluir com nível de significância de 5 que não há independência entre a presença do fungo Pitiríase versicolor e o tempo transcorrido desde o transplante b Apesar do resultado do teste indicar que não podemos descartar a existência de independência entre a presença do fungo Pitiríase versicolor e o tempo transcorrido desde o transplante os autores poderiam ter usado outro teste para corroborar seus resultados Entretanto o teste empregado também está adequado para este tipo de dados Questão 8 Em espécies de tecido pancreático idênticas foram subdivididas em três grupos de 4 espécies cada uma Três níveis baixo tratamento 1 médio tratamento 2 e alto tratamento 3 de concentração de glicose foram aleatoriamente designados aos três grupos e cada espécie dentro de cada grupo foi tratado com o nível de concentração de glicose sorteado a eles A quantidade de insulina liberada pelos tecidos pancreáticos amostrados são as seguintes a Faça a análise ANOVA e conclua se existe diferença entre os níveis com significância de 1 e 5 b Se existe diferença significativa qual o melhor o nível descreva o teste utilizado para assumir a resposta e por que Respostas a Neste estudo foram aplicados 3 tratamentos e foram realizadas 4 medições da quantidade de insulina liberada pelo tecido pancreático repetições em cada tratamento Vamos considerar que a distribuição dos dados é normal e que os dados apresentam homogeneidade de variâncias condições necessárias para aplicação do teste ANOVA Desejamos testar a hipótese nula H 0 μBμMμ A H 1 pelo menosuma dasigualdades acimanãoé válida Para facilitar a aplicação e a interpretação dos resultados deste teste as informações serão concentradas no quadro da Análise de Variância ANOVA exibida na Tabela 1 Tabela 1 Quadro da Análise de Variância Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio Estatística F Entre Grupos SQE n jxkx 2 vj1 s1 2 SQE v Fs1 2 s2 2 Dentro do Grupo SQD grup x jxk 2 qi j s2 2 SQD q Total SQT xix 2 hqv Nesta Tabela x é a média amostral global xk é a média amostral do grupo k x j é a amostra do grupo k xi é a amostra global i x1 n i1 n xi 1 12 1591733 641973364 013492893924 823875 39339 x1 1 m j1 m x j1 4 159173364197 223 x2 1 m j1 m x j1 4 3364013492893 44 x3 1 m j1 m x j 1 4 392482387539450 SQE n jxkx 24 223339 24 344339 24 450339 210297 SQD grup x jxk 2 SQD159223 2173223 2364223 2197223 2336344 24013 44 2349344 22893 44 2392450 24 824 50 23 87450 25394 50 24979 SQT xix 2 SQT159339 2173339 2364339 2197339 2336339 2401339 2349339 2289339 23 92339 24823 39 2387339 25 39339 215276 Como existem 3 grupos e 12 amostras os graus de liberdade v q e h vj1312 qi j1239 h9211 s1 2 SQE v 10297 2 5148 s2 2 SQD q 4979 9 0553 Tabela 2 Quadro da Análise de Variância preenchido Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio Estatística F Entre Grupos 10297 2 5148 9305 Dentro do Grupo 4979 9 0553 Total 15276 11 Ao consultar as tabelas das distribuições F de FisherSnedecor ao nível de significância de 5 e 1 de temos que F290 054256 e F290 018022 respectivamente Como Fcalc9305 FcalcF290 05 e FcalcF290 01 portanto devemos rejeitar a hipótese nula H 0 independentemente do nível de significância adotado 1 ou 5 b Podemos concluir que para um nível de significância de 001 ou 1 a quantidade de insulina liberada é diferente para pelo menos dois níveis de glicose Isso reflete em um maior grau de confiança 100 1α100 100199 em termos da decisão de rejeitar a hipótese nula Podemos usar também o intervalo de confiança para selecionar o nível de significância pois esse intervalo conter o verdadeiro valor do parâmetro µ ou p com 1001 α de confiança Questão 9 Ensaio de alimentação das poedeiras tratamento 5 rações A B C D e E parcela 6 aves repetição 4 blocos completos aleatorizados Com significância de α 5 variável resposta peso médio das aves g Bloco I melhores poedeiras Bloco II segunda escolha Bloco III terceira escolha Bloco IV quarta escolha Bloco V Variação peso das aves a Teste as pressuposições de normalidade independência e aleatoriedade entre as amostras b Escreva o modelo adequado c Faça a anova do modelo d Faça análise de resíduos dos dados justifique os resultados e Houve diferença entre os tratamentos com 5 de significância f Faça o teste Tukey a 5 de significância e classifique os resultados do melhor para o pior tratamento Respostas Inicialmente gostaria de informar que há uma divergência entre as informações do problema e os dados apresentados na Tabela No texto por exemplo o tratamento 5 rações A B C D e E já na Tabela existem apenas 4 tratamentos trat1 trat2 trat3 e trat4 Além disso no texto os blocos são chamados de I II III IV e V e na Tabela de A B C D e E Por conta disso irei considerar a seguinte Tabela 1 Tabela 1 Tabela usada no estudo devido à divergência de informações do problema Bloco Tratamento I II III IV Total A 2025 2004 1809 1903 7741 B 2203 2154 2196 2105 8658 C 2107 2056 2004 1908 8075 D 2304 2256 2157 2201 8918 E 200 1941 1805 190 7646 Total 10639 10411 9971 10017 41038 a Alguns testes abaixo foram realizados no software SPSS A Tabela 2 apresenta o resultado do teste de normalidade de ShapiroWilk o qual indicou que os dados apresentam distribuição normal O valorp foi superior ao nível de significância adotado 005 Tabela 2 Resultado do Teste de ShapiroWilk Tratamento Estatística Valorp A 0918 0523 B 0902 0442 C 0976 0880 D 0985 0932 E 0983 0920 Outro teste importante é o de Levene o qual avalia a homogeneidade das variâncias dos dados A Tabela 3 exibe o resultado da aplicação deste teste nos dados desse exercício Pode ser observado que a hipótese nula há homogeneidade entre as variâncias dos dados deve ser aceita pois o valorp foi de 0551 o qual é superior a 005 Tabela 3 Resultado do teste para avaliar homogeneidade de Variâncias Levene Estatística de Levene Graus de Liberdade 1 Graus de Liberdade 2 Valorp 0788 4 15 0551 O teste de ChiQuadrado foi empregado para avaliar a independência e o resultado é apresentado na Tabela 4 Como a hipótese nula é que os grupos comparados são independentes e p valorp obtido foi de 1 podemos afirmar com confiança de 95 que as variáveis comparadas são independentes Tabela 4 Resultado do teste ChiQuadrado para avaliar independência das variáveis Value df Asymp Sig 2 sided Pearson ChiSquare 1508a 12 1000 Likelihood Ratio 1508 12 1000 LinearbyLinear Association 004 1 950 N of Valid Cases 4105 a 0 cells 00 have expected count less than 5 The minimum expected count is 18599 b Para este estudo o modelo mais adequado é o de Delineamento Casualizado em Blocos DCB pois este delineamento considera tanto a repetição e a casualização quanto o princípio do controle local Ele é adequado quando existe heterogeneidade no local ou material experimental Quando os dados são provenientes de um experimento implementado seguindo o DCB o seguinte modelo estatístico deve ser empregado nas análises estatísticas yijmb jtieij onde yij é o valor observado para a variável resposta obtido para o iésimo tratamento no jésimo bloco m é média de todos os valores possíveis da variável resposta b j é o efeito do jésimo bloco calculado como b jm jm t i é o efeito do iésimo tratamento obtido por t imim e eij é o erro experimental associado ao valor observado yij em que eijyijmbjti c As hipóteses para o teste F da análise de variância do DCB ao nível de significância de 5 para os tratamentos realizados são as seguintes H 0 μT 1μT2μT3μT4μT5todas as médiasdetratamento sãoiguais H 1 μT n μT knk existe pelo menosuma médiadetratamento queé diferentedas demais O quadro da ANOVA para a análise de um experimento executado segundo o DCB com igual número de repetições para todos os tratamentos é apresentado abaixo Tabela 5 Quadro da Análise de Variância DCB Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio FCal FTabela Bloco SQBloco vJ1 QM BlocoSQBloco v QMBloco QM Res F v I v Tratamento SQTrat qI1 QMTrat SQTrat q QMTrat QM Res F q I v Resíduo SQRes hv q QM ResSQ Res h Total SQTotal wIJ1 Os parâmetros apresentados na Tabela 5 podem ser determinados usando as equações abaixo e os dados da Tabela 1 C 1 IJ i1 I j1 J yij 2 SQBloco j1 J Bj 2 I C SQTrat i1 I T i 2 J C SQTotal i1 I j1 J yij 2C SQResSQTotalSQBlocoSQTrat d Para calcular o resíduo desses dados faremos uso das equações apresentadas anteriormente aplicadas nos dados apresentados na Tabela 1 O resíduo é fundamental para o cálculo da estatística do teste Fcalc C 1 IJ i1 I j1 J yij 2 1 45 41038 284205872 SQBloco j1 J Bj 2 I C B1 2 5 B2 2 5 B3 2 5 B4 2 5 C SQBloco10639 2 5 10411 2 5 9971 2 5 10017 2 5 84205872618024 SQTrat i1 I T i 2 J CT 1 2 4 T2 2 4 T 3 2 4 T 4 2 4 T 5 2 4 C SQTrat7741 2 4 8658 2 4 807 5 2 4 8918 2 4 764 6 2 4 84205872314556 SQT otal i1 I j1 J yi j 2 C846104784205872404598 SQ ResSQTotalSQ BlocoSQT rat SQRes404598618024314556282396 e Agora podemos substituir os dados calculados anteriormente na Tabela 5 o que resulta na Tabela 6 Tabela 6 Resultado da Análise de Variância DCB Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio FCal FTabela Bloco 618024 3 206008 8754 F 3153287 Tratamento 314556 4 78639 33416 F 416 3007 Resíduo 282396 12 23533 Total 404598 19 A partir dos dados apresentados na Tabela 6 notamos que devemos rejeitar a hipótese nula pois FcalcFTabela tanto quando o objetivo foi verificar o efeito do tratamento quanto o efeito do bloco O nível de significância adotado foi de 005 f Na Tabela 7 é apresentado o resultado da aplicação do teste de comparações múltiplas de Tukey nos dados com intuito de avaliar o efeito do tratamento Pode ser observado nesta Tabela que os pares contendo a ração D apresentaram resultados estatisticamente diferentes 3 de 4 pares Então o produtor poderia optar preferencialmente pela ração D Além disso os animais que se alimentaram dessa ração foram os que ganharam maior massa a soma do peso para todos os blocos foram 8918 kg A classificação do melhor para o pior tratamento seria D 22295 641 kg B 21645 452 kg ou A 19353 996 kg ou E 19115 820 kg e C 20188 850 kg Os valores entre parênteses representam a média e o desvio padrão da massa dessas aves Tabela 7 Resultado da aplicação do teste de Tukey nos dados deste estudo I Repetição J Repetição Diferença entre as médias IJ Erro Padrão Valorp 95 Intervalo de Confiança Limite Inferior Limite Superior A B 2292500 547852 006 398423 60077 C 835000 547852 564 252673 85673 D 2942500 547852 001 463423 125077 E 237500 547852 992 145423 192923 B A 2292500 547852 006 60077 398423 C 1457500 547852 108 23423 314923 D 650000 547852 759 234173 104173 E 2530000 547852 003 83827 422173 C A 835000 547852 564 85673 252673 B 1457500 547852 108 314923 23423 D 2107500 547852 012 379923 41577 E 1072500 547852 331 61923 276423 D A 2942500 547852 001 125077 463423 B 650000 547852 759 104173 234173 C 2107500 547852 012 41577 379923 E 3180000 547852 000 148827 487173 E A 237500 547852 992 192923 145423 B 2530000 547852 003 422173 83827 C 1072500 547852 331 276423 61923 D 3180000 547852 000 487173 148827 A diferença entre as medias é estatisticamente diferente com nível de significância de 005 Questão 10 Um experimento casualizado em blocos com 4 blocos idades distintas das plantas para estudar os feitos de 5 doses de gesso 0 50 100 150 200 kgha sobre diversas características do feijoeiro Para a característica peso de 1000 sementes os resultados obtidos em gramas são apresentados na Tabela Existe diferença entre as doses para a variável em estudo Teste essa hipótese ao nível de 5 de significância Qual é a melhor dose para se recomendar Faça a análise completa dos dados e apresente também o croqui do experimento Tratamentos Blocos I II III IV Total T 1 1348 1397 1476 1323 5544 T 2 1577 1503 1447 1567 6094 T 3 1597 1727 1634 1613 6571 T 4 1698 1682 1607 1610 6597 T 5 1603 1502 1625 1642 6312 Total 7823 7811 7789 7755 31178 a Faça um estudo das pressuposições para anova b Faça a análise anova com 5 de significância e conclua se houve diferença entre os tratamentos c Houve diferença entre os blocos O que podemos concluir d Faça o teste Tukey e conclua sobre o melhor tratamento Respostas a Para aplicar o teste ANOVA temos que nos assegurar que as amostras são independentes os erros ou desvios devido aos efeitos dos fatores não controlados devem ser independentes os grupos comparados devem apresentar homogeneidade de variâncias os erros ou desvios devido aos fatores não controlados ou acaso devem possuir uma variância comum e a distribuição deve ser normal A normalidade pode ser verificada com o teste de ShapiroWilk e a homogeneidade de variâncias pode ser conferida com o teste de Levene O software SPSS foi empregado para avaliar a normalidade e a homogeneidade de variância dos grupos comparados As Tabelas 1 e 2 exibem os resultados desses testes Tabela 1 Resultado do teste de Normalidade ShapiroWilk Tratamento ShapiroWilk Estatística Valorp T1 0942 0664 T2 0907 0465 T3 0849 0223 T4 0820 0142 T5 0845 0210 Tabela 2 Resultado do teste para avaliar homogeneidade de Variâncias Levene Estatística de Levene Graus de Liberdade 1 Graus de Liberdade 2 Valorp 0087 4 15 0985 Os valores do valorp nos dois testes foram maiores que o nível de significância adotado 005 portanto não podemos rejeitar as hipóteses nulas destes testes distribuição é normal e os dados apresentam homogeneidade de variâncias b As hipóteses para o teste F da análise de variância do DCB ao nível de significância de 5 para os tratamentos realizados são as seguintes H 0 μT 1μT2μT3μT4μT5todas as médiasdetratamento sãoiguais H 1 μT n μT knk existe pelo menosuma médiadetratamento queé diferentedas demais O quadro da ANOVA para a análise de um experimento executado segundo o DCB com igual número de repetições para todos os tratamentos é apresentado abaixo Tabela 3 Quadro da Análise de Variância DCB Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio FCal FTabela Bloco SQBloco vJ1 QM BlocoSQBloco v QMBloco QM Res F v I v Tratamento SQTrat qI1 QMTrat SQTrat q QMTrat QM Res F q I v Resíduo SQRes hv q QM ResSQ Res h Total SQTotal wIJ1 Agora podemos aplicar as equações apresentadas abaixo nos dados apresentados na Tabela fornecida na questão C 1 IJ i1 I j1 J yij 2 1 45 3117 8 2486033842 SQBloco j1 J Bj 2 I C B1 2 5 B2 2 5 B3 2 5 B4 2 5 C SQBloco7823 2 5 7811 2 5 7789 2 5 7755 2 5 48846796535 SQTrat i1 I T i 2 J CT 1 2 4 T2 2 4 T 3 2 4 T 4 2 4 T 5 2 4 C SQTrat5544 2 4 6094 2 4 6571 2 4 6597 2 4 6372 2 4 488467961900173 SQTotal i1 I j1 J yij 2C488467964860338422434118 SQResSQTotalSQBlocoSQTrat SQRes243411819001735 35528595 Agora podemos substituir os dados calculados anteriormente na Tabela 3 o que resulta na Tabela 4 Tabela 4 Resultado da Análise de Variância DCB Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio FCal FTabela Bloco 535 v413 1783 004 F 3153287 Tratamento 1900173 q514 475043 1078 F 416 3007 Resíduo 528595 h12 44050 Total 2434118 w19 Observase que Fcalc1078 e F416 0 053007 logo FcalcF4 16 005 o que indica que devemos rejeitar a hipótese nula ou seja houve diferença entre os tratamentos c Notamos na Tabela 4 que não houve diferença estatística entre os blocos pois Fcalc00 4 enquanto F3150053287 logo FcalcF315005 Diante deste resultado podemos concluir com confiança de 95 que a idade das plantas blocos não teve influência sobre a comparação dos tratamentos realizados d A Tabela 5 apresenta o resultado da aplicação do teste de comparação por pares de Tukey post hoc test sobre os dados Podemos observar que só houve diferença significativa entre o tratamento T1 e os demais Isso mostra que a aplicação da dose de gesso tem influência sobre diversas características do feijoeiro como por exemplo o peso das sementes Entretanto não houve diferença estatística entre os demais pares de tratamentos Exemplos T2T3 T2T4 ou T2T5 Por questões financeiras a escolha da menor dose 50 kghá seria viável Tabela 5 Resultado da aplicação do teste de Tukey nos dados deste estudo I Repetição J Repetição Diferença entre as médias IJ Erro Padrão Valorp 95 Intervalo de Confiança Limite Inferior Limite Superior T1 T2 1375000 421879 036 267773 7227 T3 2567500 421879 000 387023 126477 T4 2632500 421879 000 393523 132977 T5 2070000 421879 002 337273 76727 T2 T1 1375000 421879 036 7227 267773 T3 1192500 421879 081 249523 11023 T4 1257500 421879 061 256023 4523 T5 695000 421879 492 199773 60773 T3 T1 2567500 421879 000 126477 387023 T2 1192500 421879 081 11023 249523 T4 65000 421879 1000 136773 123773 T5 497500 421879 763 80523 180023 T4 T1 2632500 421879 000 132977 393523 T2 1257500 421879 061 4523 256023 T3 65000 421879 1000 123773 136773 T5 562500 421879 676 74023 186523 T5 T1 2070000 421879 002 76727 337273 T2 695000 421879 492 60773 199773 T3 497500 421879 763 180023 80523 T4 562500 421879 676 186523 74023 A diferença entre as medias é estatisticamente diferente com nível de significância de 005