Lista de Exercícios Resolvida - Gravitação - Física

Lista de exercícios 2 Gravitação 1 Dado o seguinte conjunto de forças a seguir determine quais delas são conservativas e determine a energia potencial associada onde a b e c são constantes arbitrárias a Fr ayz bx cî axz bzĵ axy byk b Fr zex î j ln z ex yzk c Fr arr 2 Do capítulo 10 do Moysés vol 1 Mecânica problema 16 3 Do capítulo 10 do Moysés vol 1 Mecânica problema 17 4 Se o vetor campo gravitacional for independente da distância radial em uma esfera Mostre que a função que descreve a densidade de matéria ρr é dada por dica utilize as coordenadas esféricas devido a simetria do problema ρr C2πGr 5 Problema 57 do livro texto 6 Suponha que a Lua seja uma esfera de densidade uniforme de raio RL e massa ML Imagine um túnel reto cavado através da Lua passando por seu centro Mostre que se uma partícula de massa m é solta em queda livre através do túnel a a força sobre a partícula será Fr GmML RL3 r b O período será T 2π RL3 GML 7 Considere o potencial gravitacional a seguir Φr G M r2 a2 Determine a distribuição de massa ρr correspondente a esse potencial 1 Para verificarmos se F é conservativa precisamos checar se xF 0 a Temos xF Fzy Fyzî Fxz Fzxĵ Fyx Fxyk Logo xF ax b ax bî ay ayĵ az azk xF 0 e F é conservativa Vamos buscar uma energia potencial Queremos Ur tal que F U logo Ux ayz bx c Ur ayzx bx22 cx gyz Uy agx gy axz bz g bzy hz Uz ayx by hz ayx by hz constante Logo Ur ayzx bx22 cx bzy constante b Aqui xF 1z 1zî ex exĵ 0k Logo xF 0 e F é conservativa Vamos calcular Ur Temos Ux zex Ur zex gyz Uy gy ln z g y ln z hz Uz ex yz hz ex yz hz constante Logo Ur zex y ln z constante c Temos xF 0 pois o rotacional de qualquer campo central é nulo Logo F é conservativo e calcularemos Ur Temos Ur F d r a d rr Ur a lnrr0 onde r0 é uma constante 4 O potencial gravitacional satisfaz a equação de Poisson ²Ø4πGρr Temos simetria esférica no problema logo ²Ø 1r² r r² Ør 4πGρr Mas como o campo independe de r portanto Ør c onde c é constante Portanto 1r² r r² 2cr 4πGρr ρr c 2πG r 5 Deixa a configuração Temos dØ Gλ dy r onde λ ML Ainda r R² y² e temos Ø GML dy R²y² from L2 to L2 GML lny R²y² from L2 to L2 Ø GML lnL2 L²4 R² L2 L²4 R² 6 a Suponha que o objeto está a uma distância r do centro da Lua Temos F Gmr² 4π r³3 Ml 4π Rl³3 r 6m Ml Rl³ r onde 4π r³3 Ml 4π Rl³3 é a porção da massa da Lua contida no raio r b Pela segunda lei de Newton 6m Ml Rl³ r m d²rdt² d²rdt² 6Ml Rl³ r 0 Synopsis This chapter begins with Mahapadma Desodara and the other sons of Rakshsiraja trying to find out Gorakhnaths whereabouts since he had disappeared after the death of a mysterious demon in the hills of the Himalayas Once he had disappeared a strange illness spread throughout the empire and many Yakshas and Gandharvas came to Mahapadma for help all of whom were cured by the boon of Gorakhnath He warns Desodara that only he can liberate the world from hunger and famine One day a stranger arrives at the door of Mahapadma and has a dream which leads them both on a spiritual quest for truth Essa é a equação de um oscilador harmônico com frequência ω 6Ml Rl³ de modo que d²rdt² ω² r 0 Logo o período é T 2πω 2π Rl³ 6 Ml 7 Sabemos que ²Ø 4πGρr Logo ρr ²Ø 4πG Mas ²Ø 1r² r r² Ør 6M r² r r² r 1r² a² Ou seja ²Ø 6M r² r r³ r² a²32 6M r² 3a² x² r² a²52 Logo ²Ø 3a² 6M r² a²52 e ρr 3a² M 4π r² a²52