Mecanica Classica - Lista Resolvida Capitulo 9 UFRN

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL DISCIPLINA MECÂNICA CLÁSSICA PROF ÁLVARO BARROCA NETO PROBLEMAS CAPÍTULO 09 PERGUNTAS PERGUNTAS 2 A Fig 924 mostra uma vista superior de quatro partículas de massas iguais que deslizam sobre uma superfície sem atrito com velocidade constante As orientações das velocidades estão indicadas os módulos são iguais Considere pares dessas partículas Que pares formam um sistema cujo centro de massa a está em repouso b está em repouso na origem e c passa pela origem Figura 924 Pergunta 2 Determinação de todos os pares de partículas possíveis analise considerando o sentido antihorário para cada ponto ab ad ac bd bc ba dc da db ca cb cd Como as repetições não interessam só os pares em amarelos devem ser considerando no problema A Pares com Centro de Massa em repouso Condição vecVCM 0 Da equação vecMVCM sumi12 mi vecvi sumi12 vecpi vecPi Sendo as massa iguais 0 mvecv1 mvecv2 Ou vecv2 vecv1 Os pares de pontos que obedecem essa equação são ac bc dc B Pares com Centro de Massa em repouso e na origem Condição vecVCM 0 e CM 00 A resposta é um subconjunto da caso A cujo os pares obedecem a segunda condição bc C Pares com Centro de Massa que passam pela origem Condição Em algum instante o CM 00 O par do ítem B bc vai estar sempre na origem Os pares do ítem A ac e dc que nunca vão estar na origem pois os seus CM estão em repouso ocupando um lugar fora da origem Basta analisar os restantes dos pares ab ad e bd cujo CM estará em algum momento na origem Par ab yCM 20 m para qualquer instante então não passa pela origem Par ad no tempo t0 s xCM 00 m e yCM 00 m CM 00 vecVCM frac1M sumi12 mi vecvi frac1M sumi12 vecpi fracvecPiM vecVCM fracmvecv1 mvecv22m vecVCM fracvecv1 vecv22 vecVCM frac vecvi vecvi2 vecVCM vecvi Portanto no instante t0 temos CM 00 e vecVCM vecvi Par bd no tempo t0 s xCM 40 m e yCM 00 m CM 400 vecvCM fracvecv1 vecv22 vecvCM fracvecvi vecvi2 vecvCM vecvi Portanto no instante t0 temos CM 400 e vecvCM vecvi Em algum instante passará pela origem por que ele caminha para a direita no eixo ox começando na posição x 40m Logo os pares são ad bd Na Fig 945a um cachorro de 45 kg está em um barco de 18 kg a uma distância D 61 m da margem O animal caminha 24 m ao longo do barco na direção da margem e para Supondo que não há atrito entre o barco e a água determine a nova distância entre o cão e a margem Sugestão veja a Fig 945b Figura 945 Problema 17 Movimento do cachorro e do barco Como todo o movimento é na horizontal e que a única força que atua na horizontal são as forças de atrito que atuam no sistema cachorrobarco Sendo estas forças internas ao sistema o Centro de Massa do sistema cachorrobarco permanece em repouso nesta direção Ou seja cachorro corre para trás empurrando o barco para frente Então Antes Depois Diminuindo a primeira da segunda segunda equação teremos Mas 0 O CM está em repouso 0 Colocando os sinais dos deslocamento de acordo com figura temos 0 Eq1 Analisando o movimento do cachorro em relação ao referencial fixo margem do rio e o referencial móvel barco temos que Utilizamos a equação do movimento relativo na direção x do cap 04 teremos Antes E depois xc xcb xb Ou diminuindo uma equação da outra Colocando os sinais correspondentes as orientações dos deslocamento de acordo com figura temos Fazendo deslocamento relativo do cachorro ficamos com Eq2 Tirando o da Eq1 e da Eq2 ficamos com Ou 1 Ou Explicitando os valores 18 45 18 24 192 Portanto o cachorro está 192 mais próximo da margem do que quando da sua posição inicial A nova posição do cachorro em relação margem será 61 192 418 Opcional Se a massa do barco for muito maior do que a massa do cachorro ou seja É o caso do cachorro está correndo em navio por exemplo O que se pode esperar 1 1 1 1 deslocamento absoluto do cachorro Sabendose que deslocamento relativo do cachorro Ou seja Ou pela Eq2 0 0 Conclusão Neste caso o deslocamento relativo do cachorro em relação ao barco é aproximadamente igual ao seu deslocamento absoluto em relação a margem Isto faz com que o deslocamento absoluto do barco em relação a margem seja nulo Em resumo o cachorro não consegue empurrar o navio para frente como faz com o barco devido a massa desse ser muito maior do que a daquele Hipótese Devemos considerar uma colisão inelástica Opcional A Cálculo do Movimento do centro de massa depois da colisão VCMmbalav1mblocov2mbala Explicitando os valores para VCM VCM52 g4280 ms7000 g181 ms52 g7000 kg496 ms Portanto VCMantesVCMdepois B verificação do Princípio da conservação do momento linear P1mbalav152 g6720 ms34944 gms P2mbalav1mblocov252 g4280 ms7000 g181 ms34944 gms P1P2Princípio da conservação do momento linear C Verifique se o Princípio da conservação da conservação da energia cinética é respeitado K112mbalav1i21200052 kg6720 ms211741 J K212mbalav1 212mblocov22 K2 1 2 00052 kg 4280 ms2 1 2 0700 kg 181 ms2 47742 J Portanto K1 K2 Como a energia cinética do sistema não se conserva a colisão é realmente do tipo Inelástica Hipótese Devemos considerar uma colisão perfeitamente inelástica No entanto já que não há perda de energia mecânica por calor não tem atrito e que a únicas força que realiza trabalho no sistema balamolacanhão é a força da mola que é conservativa e interna ao sistema A massa do sistema é constante O sistema balamolacanhão é isolado e fechado A Energia Mecânica do sistema e o seu momento linear se conservam quando o sistema muda de configuração Dois instantes do movimento do sistema Neste caso Emec 0 í çã â E 0 Logo Na Fig 963 o bloco 1 com uma massa de 20 kg está se movendo para a direita com uma velocidade escalar de 10 ms e o bloco 2 com uma massa de 50 kg está se movendo para a direita com uma velocidade escalar de 30 ms A superfície não tem atrito e uma mola com uma constante elástica de 1120 Nm está presa no bloco 2 Quando os blocos colidem a compressão da mola é máxima no instante em que os blocos têm a mesma velocidade Determine a máxima compressão da mola Três instantes 1 2 e 3 do movimento do sistema configurações Já que não há perda de energia mecânica por calor e a força da mola é conservativa o sistema blocosmola é isolado e fechado Então A massa do sistema é constante O sistema balamolacanhão é isolado e fechado A Energia Mecânica do sistema e o seu momento linear se conservam quando o sistema muda de configuração De acordo com o enunciado temos para o sistema das partículas que Fresext0Pconstanteprincípio da coservação do momento linear do sistema ΔEmec0princípio da coservação da energia mecânica do sistema Aplicando essas condições aos instantes 1 e 2 quando a amola atinge a sua máxima compressão Por hipótese adotaremos uma colisão inelástica com conservação da Energia Mecânica do sistema P1P2Princípio da conservação do momento linear m1v1im2v2im1m2v vm1v1im2v2im1m2 Explicitando 20 kg 100 ms 50 kg 30 ms 20 kg 50 kg 500 A velocidade do conjunto m1 m2 no instante 2 é igual a velocidade do centro de massa do sistema blocosmola durante a colisão Emec 0 í çã â A variação da energia cinética do sistema é dada por 2 1 1 2 m1 m2 2 1 2 m11i 2 1 2 m22i 2 Substituindo o valor de obtido anteriormente temos que m11i m22i 2 2 m1 m2 1 2 m11i 2 1 2 m22i 2 Explicitando os valores 20 kg 100 ms 50 kg 30 ms 2 2 20 kg 50 kg 1 2 20 kg 100 ms2 1 2 50 kg 30 ms2 3500 A variação da energia potencial do sistema é dada por 2 1 1 2 k d2 0 1 2 k d2 Logo pelo í çã â 0 Ou 1 2 k d2 d 2 k Explicitando os valores d 2 35 J 1120 Nm 025 m 25 cm Opcional Quais são as velocidades dos blocos após a mola ser totalmente descomprimidas novamente Aplicando essas condições aos instantes 2 e 3 quando a amola atinge a sua máxima compressão até a descompressão máxima posição relaxada Por hipótese adotaremos uma colisão inelástica com conservação da Energia Mecânica do sistema Temos P2P3Princípio da conservação do momento linear m1m2vm1v1fm2v2f Substituindo o valor de v obtido anteriormente temos que m1m2m1v1im2v2im1m2m1v1fm2v2f m1v1im2v2im1v1fm2v2f Eq 1 A variação da energia potencial do sistema agora é dada por ΔUU3U2012kd212kd2 Do ítem anterior temos que 12kd2ΔK Então em termos dos valores no instante 1 antes da colisão ΔUΔKΔK A variação da energia cinética do sistema é dada por ΔKK3K2 ΔK12m1v1f212m2v2f212m1m2v2 ΔK12m1v1f212m2v2f2m1v1im2v2i22m1m2 Logo pelo Princípio da conservação da energia mecânica ΔKΔU0ΔKΔK0ΔKΔK Ou 12m1v1f212m2v2f2m1v1im2v2i22m1m2m1v1im2v2i22m1m212m1v1i212m2v2i2 Ou 12 m1 v1i2 12 m2 v2i2 12 m1 v1f2 12 m2 v2f2 Eq 2 As equações Eq 1 e Eq 2 são as equações para colisões elásticas frontaldiretas em um dimensão logo v1f m1 m2m1 m2 v1i 2m2m1 m2 v2i v2f 2m1m1 m2 v1i m2 m1m1 m2 v2i Os blocos se comportam como se tivessem em uma colisão com um tempo de impulso Δt maior do que de uma colisão frontal e direta sem a mola E além disso a energia que se conserva é a mecânica e não só a cinética durante o tempo de colisão No entanto a energia cinética se conserva antes instante 1 e depois instante 3 da suposta colisão Agora considerada como colisão elástica Ou seja a mola apenas torna a colisão mais macia aumentando o seu tempo Ela armazena energia do sistema na colisão e depois a devolve ao sistema novamente Explicitando os valores v1f 20 kg 50 kg20 kg 50 kg 10 ms 2 50 kg20 kg 50 kg 30 ms 00 ms v2f 2 20 kg20 kg 50 kg 10 ms 50 kg 20 kg20 kg 50 kg 30 ms 700 ms Verificando a velocidade do centro de massa após a colisão Vcm m1 v1f m2 v2fm1 m2 Explicitando Vcm Vcm 20 kg 00 ms 50 kg 70 ms20 kg 50 kg 500 ms Ok Verificação O momento linear e a energia mecânica do sistema se conservam em todos os instantes Momento linear na direção x P1 m1 v1i m2 v2i 20 kg 100 ms 50 kg 30 ms 3500 kgms P2 m1 m2 v 20 kg 50 kg 50 ms 3500 kgms P3 m1 v1f m2 v2f 20 kg 00 ms 50 kg 70 ms 3500 kgms Energia mecânica Emec1 Km1 Km2 Emec1 12 m1 v1i2 12 m2 v2i2 12 20 kg 100 ms2 12 50 kg 30 ms2 12250 J Emec2 Km1m2 Um Emec2 12 m1 m2 v2 12 k d2 12 20 kg 50 kg 12 1120 Nm 025 m2 12250 J Emec3 Km1 Km2 Emec3 12 m1 v1f2 12 m2 v2f2 12 20 kg 00 ms2 12 50 kg 70 ms2 12250 J Podemos ver que nos instante 1 antes e 3 depois da suposta colisão a energia cinética se conserva caracterizando a colisão como sendo elástica Movimento do centro de massa P M Vcm Como o P e M são constantes Vcm é constante durante todo o movimento Vcm v 500 ms Considerando como um problema de colisão determine o impulso sofrido pelos blocos durante a colisão J ΔP mΔv Impulso sofrido pelo bloco m1 na direção x J1 m1 v1f v1i 20 kg 00 ms 1000 ms 2000 kgms Impulso sofrido pelo bloco m2 na direção x J2 m2 v2f v2i 50 kg 70 ms 300 ms 2000 kgms Seção 910 Colisões Elásticas em Uma Dimensão 60 Na Fig 964 o bloco A com uma massa de 16 kg desliza em direção ao bloco B com uma massa de 24 kg ao longo de uma superfície sem atrito Os sentidos de três velocidades antes i e depois f da colisão estão indicados as velocidades escalares correspondentes são vAi 55 ms vBi 25 ms e vBf 49 ms Determine a o módulo e b o sentido para a esquerda ou para a direita da velocidade vAf c A colisão é elástica Figura 964 Problema 60 60 a Seja mA a massa do bloco da esquerda seja vAi a velocidade inicial desse bloco e seja vAf a velocidade final desse bloco Seja mB a massa do bloco da direita seja vBi a velocidade inicial desse bloco e seja vBf a velocidade final desse bloco Como o momento do sistema de dois blocos é conservado mA vAi mB vBi mA vAf mB vBf e vAf mA vAi mB vBi mB vBfmA 16 kg55 ms 24 kg25 ms 24 kg49 ms16 kg 19 ms b O bloco continua a se mover para a direita após a colisão c Para verificar se a colisão é elástica comparamos a energia cinética total antes da colisão com a energia cinética total após a colisão A energia cinética total antes da colisão é Ki 12 m1 v1i2 12 m2 v2i2 12 16552 12 24252 317 J A energia cinética total após a colisão é Kf 12 m1 v1f2 12 m2 v2f2 12 16192 12 24492 317 J Como Ki Kf a colisão é elástica Hipótese Colisões em série todas elástica do tipo projétil alvo A O objetivo é calcular a velocidade do alvo após as colisões Utilizando a equação Eq 968 temos Primeira colisão entre os blocos de massas m1 e m2 com m2 1 2 m1 Fazendo nas equações 2f 2 2f 2m1 m1 m2 1i fm121i 2 fm121i segunda colisão entre os blocos de massas m2 e m3 com m3 1 2 m2 Fazendo nas equações 2i 2f 2 e 3f 3 3f 2m2 m2 m3 2i fm232i 3 fm232 Substituindo as expressões de 2 em 3 3 fm12fm231i Neste caso fm12 fm23 Ou seja fm12 2m1 m1 m2 2m1 m1 05m1 2 15 4 3 fm23 2m2 m2 m3 2m2 m2 05m2 2 15 4 3 Logo 3 4 3 2 1i 3 16 9 1i Explicitando os valores para 1i 3 4 3 2 40 ms 711 ms B A velocidade do terceiro bloco é maior que a do primeiro E também maior que a do segundo bloco C A energia cinética final do do terceiro bloco é dada por K3f 1 2 m33 2 Sendo m3 1 2 m2 1 2 1 2 m1 1 2 2 m1 E 3 fm12fm231i 3 4 3 2 1i Substituindo as expressões de m3 e 3 K3f 1 2 1 2 2 m1 4 3 2 1i 2 K3f 1 2 2 4 3 4 1 2 m11i 2 Ou K3f 1 2 2 4 3 4 K1i K3f 64 81 K1i Portanto a Energia cinética do terceiro bloco é menor que a do primeiro E também menor que a do segundo bloco Devido a conservação da energia cinética do sistema formado pelos blocos a energia cinética na situação inicial é compartilhada com os três blocos na situação final D O momento linear final do terceiro bloco é dada por p3 m33 Substituindo as expressões de m3 e 3 encontradas p3f 1 2 2 m1 4 3 2 1i p3f 1 2 2 4 3 2 m11i p3f 1 2 2 4 3 2 pif p3f 4 9 pif Portanto O momento linear final do terceiro bloco é menor que o do primeiro Como as colisões sucessivas não alteram o momento linear do sistema dos blocos Então ele é compartilhado pelos blocos a medida que vão havendo as colisões 64 Em primeiro lugar calculamos a velocidade v da bola imediatamente antes da colisão ou seja no ponto mais baixo da trajetória De acordo com a lei de conservação da energia mecânica temos m1gh 12 m1 v2 v 2gh 37 ms a Vamos agora analisar a colisão elástica usando a Eq 967 v1f m1 m2 m1 m2 v 05 kg 25 kg 05 kg 25 kg 37 ms 247 ms o que significa que a velocidade escalar final da bola é 247 ms b Finalmente usamos a Eq 968 para calcular a velocidade final do bloco v2f 2 m1 m1 m2 v 205 kg 05 kg 25 kg 37 ms 123 ms Movimento Pendular E1 U1 K1 U1 h E2 U2 K2 K2 v1f 0 v1f V Representação esquemática de uma colisão elástica Antes Depois REVISÃO E RESUMO Centro de Massa O centro de massa de um sistema de n partículas é definido como o ponto cujas coordenadas são dadas por xCM 1M Σ mi xi yCM 1M Σ mi yi zCM 1M Σ mi zi 95 ou rCM 1M Σ mi ri 98 onde M é a massa total do sistema Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas O movimento do centro de massa de qualquer sistema de partículas é governado pela segunda lei de Newton para um sistema de partículas expressa pela equação Fres M aCM 914 onde Fres é a resultante de todas as forças externas que agem sobre o sistema M é a massa total do sistema e aCM é a aceleração do centro de massa do sistema Momento Linear e a Segunda Lei de Newton No caso de uma partícula isolada definimos p o momento linear através da equação p m v 922 em função do qual podemos escrever a segunda lei de Newton na forma Fres d p dt 923 Para um sistema de partículas essas relações se tornam P M VCM e Fres d P dt 925 927 Colisão e Impulso A aplicação da segunda lei de Newton a um corpo que se comporta como uma partícula envolvido em uma colisão leva ao teorema do impulso e momento linear pf pi Δ p J 931 932 onde pj pi Δ p é a variação do momento linear do corpo e J é o impulso produzido pela força Ft exercida sobre o corpo pelo outro corpo envolvido na colisão J Ft dt 930 Se Fméd é o módulo médio de Ft durante a colisão e Δt é a duração da colisão para um movimento unidimensional temos J Fméd Δt 935 Quando uma série de projéteis de massa m e velocidade v colide com um corpo fixo a força média que age sobre o corpo fixo é dada por Fméd n Δ p Δ t n Δ t m Δ v 937 onde nΔt é a taxa com a qual os corpos colidem com o corpo fixo e Δv é a variação da velocidade de cada corpo que colide Esta força média também pode ser escrita na forma Fmec Δm Δt Δvf 940 onde ΔmΔt é a taxa com a qual a massa colide com o corpo fixo Nas Eqs 937 e 940 Δv v se os corpos param no momento do impacto e Δv 2v se ricocheteiam sem mudança da velocidade escalar Conservação do Momento Linear Se um sistema está isolado de tal forma que nenhuma força resultante externa atua sobre o sistema o momento linear P do sistema permanece constante P constante sistema fechado e isolado 942 Esta equação também pode ser escrita na forma Pi Pf sistema fechado e isolado 943 onde os índices se referem aos valores de P em um instante inicial e em um instante posterior As Eqs 942 e 943 são expressões equivalentes da lei de conservação do momento linear Colisões Inelásticas em Uma Dimensão Em uma colisão inelástica de dois corpos a energia cinética do sistema de dois corpos não é conservada Se o sistema é fechado e isolado o momento linear total do sistema é conservado o que podemos expressar em forma vetorial como Pi1 Pi2 Pf1 Pf2 950 onde os índices i e f se referem a valores imediatamente antes e imediatamente depois da colisão respectivamente Se o movimento dos corpos ocorre ao longo de um único eixo a colisão é unidimensional e podemos escrever a Equação 950 em termos das componentes das velocidades em relação a esse eixo m1v1i m2v2i m1v1f m2v2f 951 Se os dois corpos se movem juntos após a colisão a colisão é perfeitamente inelástica e os corpos têm a mesma velocidade final V já que se movem juntos Movimento do Centro de Massa O centro de massa de um sistema fechado e isolado de dois corpos que colidem não é afetado pela colisão Em particular a velocidade vCM do centro de massa é a mesma antes e depois da colisão Colisões Elásticas em Uma Dimensão Uma colisão elástica é um tipo especial de colisão em que a energia cinética de um sistema de corpos que colidem é conservada Se o sistema é fechado e isolado o momento linear também é conservado Para uma colisão unidimensional na qual o corpo 2 é um alvo e o corpo 1 é um projétil a conservação da energia cinética e a conservação do momento linear levam às seguintes expressões para as velocidades imediatamente após a colisão v1f m1 m2 m1 m2 v1i 967 e v2f 2m1 m1 m2 v1f 968 Colisões em Duas Dimensões Se dois corpos colidem e não estão se movendo ao longo de um único eixo a colisão não é frontal a colisão é bidimensional Se o sistema de dois corpos é fechado e isolado a lei de conservação do momento se aplica à colisão e pode ser escrita como Pi1 Pi2 Pf1 Pf2 977 Na forma de componentes a lei fornece duas equações que descrevem a colisão uma equação para cada uma das duas dimensões Se a colisão é elástica um caso especial a conservação da energia cinética na colisão fornece uma terceira equação K1i K2i K1f K2f 978 Sistemas de Massa Variável Na ausência de forças externas a aceleração instantânea de foguete obedece à equação Rvrel Ma primeira equação do foguete 987 onde M é a massa instantânea do foguete que inclui o combustível ainda não consumido R é a taxa de consumo de combustível e vrel é a velocidade dos produtos de exaustão em relação ao foguete O termo Rvrel é o empuxo do motor do foguete Para um foguete com R e vrel constantes cuja velocidade varia de vi para vf quando a massa varia de Mi para Mf vf vi vrel ln Mi Mf segunda equação do foguete 988