Matematica Discreta - Lista de Exercicios sobre Recorrencia

Peso 40 Nota 2a AVALIAC AO Curso Analise e Desenvolvimento de Sistemas Componente Curricular Matematica Discreta Professor Vinicius Weide Rodrigues Nome AnoSemestre Prazo de entrega 20222 171122 Orientacoes nao e necessario imprimir esta avaliacao vocˆe pode resolver as questoes a mao ou digitar como preferir resolva as questoes de forma clara objetiva e legıvel apresente o maximo de detalhes possıvel do seu raciocınio questoes sem justificativas nao serao pontuadas as respostas devem ser enviadas atraves do Moodle ou entregues em aula entrega fora do prazo nao sera aceita 1 10 Considere a seguinte sequˆencia 5 6 7 8 9 a Encontre a relacao de recorrˆencia que produza a sequˆencia acima b Determine uma formula explıcita para o termo geral an da sequˆencia acima c Utilize os itens a e b para encontrar a relacao de recorrˆencia que produz a seguinte sequˆencia 5 11 18 26 35 45 2 10 Considere os numeros s e t da seguinte forma s e igual ao numero de letras do seu primeiro nome t e igual ao dia do seu nascimento Monte a seguinte relacao de recorrˆencia an s an1 t a0 0 a Determine os termos a1 e a2 da sequˆencia gerada por essa relacao b Resolva a relacao de recorrˆencia fornecendo uma formula explıcita para an 3 10 Considere o numero x da seguinte forma x e igual ao mˆes do seu nascimento 1 se for janeiro 2 se for fevereiro e assim por diante Monte a seguinte relacao de recorrˆencia an 8an1 x an2 a0 1 a1 2 a Encontre os valores de r1 e r2 para escrever a forma explıcita da solucao an da forma an c1rn 1 c2rn 2 b A partir dos valores a0 e a1 monte um sistema linear para encontrar os valores de c1 e c2 Ob servacao Nao e necessario resolver esse sistema basta apenas montalo 4 10 Considere a seguinte relacao de recorrˆencia de segunda ordem an 2an1 an2 e que a0 e igual ao mˆes do seu nascimento 1 se for janeiro 2 se for fevereiro e assim por diante a1 e igual ao numero de letras do seu primeiro nome a Determine os termos a2 e a3 da sequˆencia gerada por essa relacao b Resolva a relacao de recorrˆencia fornecendo uma formula explıcita para an 2 1 a Seja an n1 a sequência Então a1 5 e an1 an 1 para n 1 b Escrevemos an an1 1 an1 an2 1 a3 a2 1 a2 a1 1 Somando todas as igualdades obtemos an a1 n 1 4 n c Seja bn n1 a sequência Então vale b1 5 a1 e bn1 bn an1 é a relação de recorrência Prosseguindo como no item b temos bn bn1 an bn1 bn2 an1 b3 b2 a3 b2 b1 a2 Somando todas as igualdades obtemos bn b1 j 2n aj a1 j2n aj j1n aj pois b1 a1 Assim bn j1n 4 j j1n 4 j1n j 4n n n1 2 n n9 2 para n 1 2 5 8 t 21 A relação de recorrência é an 8 an1 21 a0 0 a a1 8 a0 21 21 a2 8 a1 21 189 b Queremos eliminar a constante aditiva da recorrência Escreva bn an k para algum k IR Então b0 k e bn k 8 bn1 k 21 isto é bn 8 bn1 21 7 k Fazendo k 3 obtemos an bn 3 b0 3 bn 8 bn1 Então bn n1 é uma progressão geométrica logo bn 8n 3 daí an 8n 13 3 x 6 an 8 an1 6 an2 a0 1 a1 2 a O polinômio característico da recorrência é t2 8 t 6 0 cujas raízes são r1 4 10 e r2 4 10 Logo an c1 4 10n c2 4 10n para algumas constantes c1 c2 IR b Substituindo n 0 e n 1 obtemos c1 c2 a0 1 410c1 410c2 a1 2 4 a0 6 a1 8 a a2 2a1 a0 10 a3 2a2 a1 12 b O polinômio característico associado à recorrência é t2 2t 1 0 que tem raiz dupla r 1 Assim an tem a forma geral an c11n c2n1n C1 C2n para constantes c1 c2 ℝ Substituindo n 0 e n 1 obtemos c1 a0 6 c1 c2 a1 8 C1 6 e c2 2 an 6 2n Digitalizado com CamScanner