Medição de ângulos em levantamentos topográficos - Aula Teórica

9 AULA TEÓRICA 03 MEDIÇÃO DE ÂNGULOS Levantamento topográfico é definido como conjunto de operações no campo e no escritório por meio de métodos e instrumentos adequados a finalidade do trabalho destinados à obtenção de elementos necessários para representação do terreno Operações realizadas no campo medidas de ângulos e distâncias e No trabalho de campo os pontos são os elementos necessários para representação do terreno Estes pontos são definidos pela medição de ângulos e distâncias Desta forma os instrumentos utilizados em levantamentos topográficos são divididos em duas partes instrumentos para medição de ângulos e instrumentos para medição de distâncias Os instrumentos que medem ângulos são chamados de goniômetros Em topografia trabalhase com os seguintes ângulos horizontal e de inclinação do terreno 1 Ângulos horizontais Ângulo horizontal é qualquer ângulo medido no plano horizontal plano normal à vertical que passa pelo ponto topográfico Figura 1 Os pontos A B e C da Figura 1 são chamados de pontos topográficos O ponto A onde instala o instrumento de medição é chamado de Estação A materialização de um ponto topográfico é feita por meio de um piquete e de uma estaca geralmente de madeira O piquete a ser cravado no terreno deve ter sua parte superior a uma altura de 1 a 2 cm em relação a superfície A estaca é utilizada para identificação do ponto Na medição do ângulo utilizase ainda uma baliza para assinalar o ponto sobre o piquete Figura 2 Figura 1 Ângulo horizontal Figura 2 Materialização de um ponto topográfico Os ângulos horizontais que têm origem na ponta norte do meridiano e são contados no sentido horário da graduação de 0º a 360º do limbo são chamados de azimutes Figura 3 Os ângulos horizontais que têm origem tanto na ponta norte como na ponta sul do meridiano e são contados em quadrantes 0º a 90º são chamados de rumos Figura 4 Figura 3 Azimutes Figura 4 Rumos Os azimutes são empregados para orientar plantas topográficas em relação ao eixo de rotação da Terra ou seja em relação ao Norte As bússolas são instrumentos que medem azimutes e rumos magnéticos 10 diretamente mas estão em desuso para fins topográficos A tendência atual é utilizar receptores de sinais de satélites de navegação GPS para determinarem coordenadas de dois pontos e a partir destas obter o azimute geográfico ou verdadeiro O cálculo de ângulos horizontais horários ou antihorários entre alinhamentos a partir de azimutes tarefa bastante comum em topografia pode ser generalizado da seguinte forma Ângulos horários se o ângulo for menor que 0º somar 360º Ângulos antihorários se o ângulo for menor que 0º somar 360º Embora a tendência seja padronizar o uso de azimutes rumos ainda são empregados e se torna necessário conhecer a relação entre eles A Figura 5 mostra para cada quadrante a equação que relaciona azimutes e rumos Figura 5 Relação entre rumos e azimutes 1º quadrante RAB AZAB NL ou NE AZAB RAB 3º quadrante RAD AZAD 180º SO AZAD 180º RAD 11 2º quadrante RAC 180º AZAC SL ou SE AZAC 180º RAC 4º quadrante RAE 360º AZAE NO AZAE 360º RAE Resumo Ângulo horizontal Origem Sentido Graduação Azimute ponta Norte Horário 0º a 360º Rumo ponta Norte 1º e 4º quadrante ponta Sul 2º e 3º quadrante horário 1º e 3º quadrante antihorário 2º e 4º quadrante 0º a 90º Exercício 1 Dados a Figura e a caderneta a seguir calcular os ângulos internos a partir dos azimutes lidos Transformar o azimute lido em rumo Preencher a caderneta e identificar sobre a Figura os Azimutes e os ângulos internos Estações Pontos visados Azimutes Rumos Ângulos internos A B 101º0402 C 149º5555 B C 234º1442 A 281º0405 C A 329º5552 B 54º1445 2 Ângulos de inclinação do terreno Ângulo de inclinação do terreno é qualquer ângulo medido no plano vertical plano que contém a vertical que passa pelo ponto topográfico ele define a altimetria do mesmo ponto e serve de elemento básico para redução da distância inclinada ao horizonte distância horizontal Figura 6 Quando a origem de contagem do ângulo de inclinação do terreno é no plano horizontal o ângulo é denominado vertical Figura 7 Quando a origem de contagem corresponde a vertical do ponto o ângulo é chamado de zenital Figura 8 Figura 6 Ângulo de inclinação Figura 7 Ângulo vertical Figura 8 Ângulo zenital Conversão dos ângulos zenitais para verticais V 90º Z Exercícios 1 Transforme o ângulo vertical 07º3305 em ângulo zenital 2 Transforme o ângulo zenital 8º2555 em ângulo vertical 7 AULA TEÓRICA 02 SISTEMAS DE COORDENADAS Os sistemas de coordenadas são necessários para representar a posição dos pontos sobre uma superfície seja ela um elipsóide uma esfera ou um plano Em uma região pequena num raio de aproximadamente 30 km campo de atuação da topografia podese admitir a Terra como uma superfície plana superfície topográfica Para uma região um pouco maior podese admitir um modelo esférico para a forma da Terra Para a Terra como um todo o modelo que mais se adapta à Terra é o elipsóide de revolução obtido girando uma elipse em torno de seu eixo menor Todos estes são modelos matemáticos figuras exatas para a forma da Terra Em verdade ela se diferencia de todos eles O modelo físico para a Terra é o Geóide superfície de mesmo potencial gravitacional à altura do nível médio dos mares Figura 1 Para uma superfície plana ou seja superfície topográfica um sistema de coordenadas retangulares X e Y é usualmente empregado Para a esfera terrestre usualmente empregamos um sistema de coordenadas geográficas representado pelos meridianos e paralelos Figura 2 Figura 1 Superfícies que se aproximam da forma da Terra Figura 2 Sistema de coordenadas geográficas Os meridianos são planos que passam pelo eixo da Terra e interceptam sua superfície segundo um círculo supondoa esférica O meridiano de origem é o Greenwich 0º Os paralelos são planos perpendiculares ao eixo terrestre O paralelo de origem é o equador terrestre Os planos meridianos definem a longitude e os paralelos a latitude Coordenadas geográficas de Florestal Latitude 195255 S Longitude 442509 W Altitude 776 m altura do ponto em relação ao geóide ou elipsóide 8 Plano topográfico Em Topografia como as áreas são relativamente pequenas as projeções dos pontos são feitas em um plano topográfico também conhecida como superfície topográfica O plano topográfico é um plano horizontal tangente à superfície terrestre num ponto que esteja situado dentro da área a ser levantada Ao substituir a forma da Terra considerada esférica pelo plano topográfico cometese erro denominado de erro de esfericidade Figura 3 Figura 3 Determinação do erro de esfericidade O erro de esfericidade corresponde a diferença entre os comprimentos do segmento AB e do arco AF erro AB AF Determinação do segmento AB do triângulo retângulo ABC temos AB Rtgα em que R é o raio da Terra Determinação do arco AF regra de três 2πR 360º AF α AF πRα180º Assim erro Rtgα πRα180º Se fizermos o ângulo central igual a 30 entrar na calculadora α 00º3000 e utilizando um raio médio de 6366193 m qual seria o erro de esfericidade Resposta AB 555569 m AF 555555 m e 14 m Em topografia o erro de 14 m para a distância em torno de 55 km pode ser considerada insignificante Por essa razão em vez de corrigir o erro ocasionado pela esfericidade terrestre procurase limitar a extensão do terreno a ser levantado pelos recursos da Topografia a uma área correspondente à de um círculo de raio inferior a 50 km Considerando esse raio a extensão é de aproximadamente 785398 hectares As propriedades agrícolas em geral não atingem essa área Exercícios 1 Se fizermos o ângulo central igual a 1º α 1º e utilizando um raio médio de 6366193 m qual seria o erro de esfericidade Resposta AB 111122 m AF 111111 m e 11 m 2 Se fizermos o ângulo central igual a 2º α 2º qual seria o erro de esfericidade 3 Se fizermos o ângulo central igual a 3º α 3º qual seria o erro de esfericidade 4 Se fizermos o ângulo central igual a 4º α 4º qual seria o erro de esfericidade 5 Se fizermos o ângulo central igual a 5º α 5º qual seria o erro de esfericidade 15 AULA TEÓRICA 05 MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS As medições de distâncias e ângulos possibilitam o posicionamento de pontos em um determinado sistema de referência X e Y A distância entre dois pontos Distância Inclinada DI pode ser decomposta em Figura 1 Distância Horizontal DH também conhecida como distância reduzida É a distância entre dois pontos medida em um plano horizontal Esta distância é a que por força de lei consta em escrituras imobiliárias por isso é também denominada distância legal Distância Vertical DV ou Diferença de Nível DN é a distância entre dois pontos medida ao longo da vertical Figura 1 Distância inclinada horizontal e vertical entre dois pontos Processos de medição de distâncias direto e indireto 1 Processo direto a distância entre dois pontos pode ser determinada percorrendo o alinhamento do início ao fim medindo diretamente a grandeza procurada Entretanto obstáculos como lagos rios construções etc entre os extremos do seguimento a ser medido impedem o emprego desse processo Instrumentos ou diastímetros mais utilizados Trena de invar liga de aço e níquel 36 de níquel Trena de aço constituise de uma lâmina de aço inoxidável devidamente graduada Comprimentos disponíveis no mercado 1 2 3 5 10 20 e 50 metros Trena de fibra de vidro feita de material bastante resistente produto inorgânico obtido do próprio vidro por processos especiais Comprimentos disponíveis no mercado 20 e 50 metros Trena de lona feita de pano oleado ao qual estão ligados fios de arame muito finos que lhe dão alguma consistência e invariabilidade de comprimento Comprimentos disponíveis no mercado 20 e 50 metros Roda Contadora instrumento utilizado para medir distâncias curvas Quando a distância a ser medida é maior que a trena utilizada ou o terreno é muito íngreme dividese o alinhamento em seções de comprimento menor ou no tamanho da trena Figura 2 Os extremos de cada seção devem ser alinhados com os extremos do alinhamento com auxílio de um teodolito O operador posicionado em A visa uma baliza colocada em B e em seguida prende o movimento do limbo horizontal movimentando a luneta verticalmente orientase o balizeiro para marcar o primeiro ponto da seção e os próximos pontos 16 Figura 2 Fontes de erros na medição direta de distâncias horizontais com trenas a Erros de leitura embora seja muito simples fazer leituras em uma trena é bom tomar cuidado principalmente para não inverter a origem da trena e não misturar leitura no sistema métrico com leitura em polegadas sistema EUA e Inglaterra b Dilatação depende do material de composição e do comprimento da trena e da diferença entre a temperatura ambiente e a de aferição Se houver dilatação o valor lido VL será menor que o valor procurado VP c Elasticidade depende do material de composição do comprimento da espessura e da largura da trena e da diferença entre a tensão aplicada na medição e na aferição Com a distensão da trena o valor lido torna se menor que procurado VL VP d Catenária curvatura ou barriga que se forma ao tencionar a trena É função do seu peso do seu comprimento e da tensão aplicada Figura 3a Devido à catenária o valor lido é sempre maior que o procurado VL VP e Falta de verticalidade da baliza qualquer inclinação na baliza na direção do alinhamento provocará um aumento ou diminuição na distância que está sendo medida caso esteja incorretamente posicionada para trás ou para frente respectivamente Este tipo de erro só poderá ser evitado se for feito uso do nível de cantoneira ou substituindo a baliza por um fio de prumo Figura 3b f Falta de horizontalidade da trena com a trena inclinada o valor lido será sempre maior que o procurado VL VP Figura 3c Uma forma de eliminar esse erro é oscilar a trena em torno da linha de referência por exemplo uma baliza e anotar o menor valor g Erro de alinhamento das seções ocorre quando as seções não estão alinhadas com os pontos extremos Figura 3d Neste caso VL VP 17 a b Vista superior c d Figura 3 Principais fontes de erros na medição com trenas catenária a falta de verticalidade da trena b falta de horizontalidade da trena c e erro de alinhamento entre as seções d Medir distâncias horizontais pelo processo direto pode ser muito demorado e impreciso se a equipe de trabalho não estiver bem treinada e o relevo for muito acidentado Caso haja algum obstáculo no alinhamento devese empregar o processo indireto 2 Processo indireto a distância entre dois pontos pode ser determinada a partir de observações que estejam implícita ou explicitamente ligadas à distância procurada Instrumentos e métodos a Teodolito mira horizontal ou mira vertical Taqueometria ou Estadimetria b Estação total refletor Dependendo do tipo de estação total e da distância a ser medida o refletor pode ser dispensado c Satélites de navegação receptor antena não há necessidade da intervisibilidade entre as estações d Quasares antenas parabólicas VLBI Very Long Baseline Interferometry Para distâncias longas como a distância entre a América e a África por exemplo É atualmente a técnica que propicia maior precisão na medição de tais distâncias a Taqueometria ou Estadimetria O goniômetro que além de medir ângulos horizontais e de inclinação do terreno é dotado de fios estadimétricos ou fios do retículo pode ser chamado de taqueômetro ou simplesmente teodolito A Figura 4 mostra os fios estadimétricos de um teodolito com o qual se pode também determinar as distâncias horizontal e vertical 18 Figura 4 Fios estadimétricos fio superior FS fio médio FM fio inferior FI e fio vertical FV Princípio de funcionamento Existem taqueômetros denominados normais e autoredutores trataremos aqui dos taqueômetros normais 1 Medição com a luneta na horizontal ângulo zenital 90º ou ângulo vertical 0º A Figura 5 realça o centro do teodolito e a posição dos fios estadimétricos A razão entre a distância da localização dos fios ao centro do aparelho distância Ob e a distância do fio superior ao inferior distância ac é conhecida como constante estadimétrica g A constante estadimétrica na maioria dos instrumentos é igual a 100 esta informação encontrase no manual do instrumento ou seja ac é cem vezes menor que Ob Figura 5 A Figura 6 esquematiza a medição de uma distância horizontal DH por taqueometria com a luneta na posição horizontal O teodolito está num dos extremos do seguimento a ser medido e no outro está uma régua graduada denominada mira perfeitamente na vertical FS FM e FI são as leituras realizadas na mira observando pela ocular as posições dos fios superior médio e inferior respectivamente Da Figura 6 verificase que o triângulo Oac é semelhante ao triângulo OAC e portanto Mas Obac é a constante estadimétrica do teodolito e de acordo com a Figura 6 Sendo FS FI conhecida com leitura estadimétrica e representada pela letra m Assim Se as observações forem realizadas com a luneta na horizontal a Equação utilizada para calcular distância horizontal DH será 19 Figura 6 Fontes de erro a Leitura na mira é função da refração atmosférica da capacidade de aumento da luneta de defeitos na graduação da mira da paralaxe etc Para minimizar os erros devido à refração atmosférica recomendase não realizar medidas na mira abaixo de 05 m principalmente em dias eou lugares quentes Erros devido à paralaxe são evitados se as leituras FS FM e FI são feitas de uma única vez sem que o observador altere seu ponto de vista de leitura O problema com a capacidade de aumento da luneta é resolvido evitando medir distâncias grandes acima de 70 m b Imprecisão na constante estadimétrica c Não verticalidade da mira A verticalidade da mira pode ser garantida empregando um nível de cantoneira ou um fio de prumo Para minimizar o erro recomendase não realizar leituras na parte mais alta da mira 2 Medição com a luneta inclinada Neste caso devido a diferença de nível entre os extremos do seguimento a ser medido para visar a mira há necessidade de inclinar a luneta para cima ou para baixo de um ângulo vertical V ou ângulo zenital Z em relação ao plano horizontal como indicado na Figura 7 Se o ângulo de inclinação do terreno lido é o vertical temse que a distância horizontal DH e distância vertical DV são calculadas por Se o ângulo de inclinação do terreno lido é o zenital temse que a distância horizontal DH e distância vertical DV são calculadas por observe que a Equação para calcular a distância vertical não se alterou i altura do instrumentos 20 Figura 7 Além daquelas que ocorrem quando a luneta está na horizontal têmse como fontes de erro a Leitura do ângulo vertical e b A hipótese simplificativa adotada para se chegar à Equação não demonstrada aqui Exercícios 1 De uma estação A foi visada com a luneta na horizontal uma mira colocada em um ponto B Foram feitas as seguintes leituras fio inferior 0855 m e fio superior 2005 m Calcule a distância horizontal entre os pontos AB E se a leitura no fio superior fosse 2000 m em vez de 2005 qual seria a nova distância Calcule a diferença entre as distâncias encontradas em centímetros 2 Foram visados a partir do ponto A os pontos B e C e feitas as seguintes leituras Em B FI 2000 FM2504 FS 3008 ângulo vertical 01º06 Em C FI 1000 FM 1478 FS 1956 ângulo vertical 02º12 Sabendose que a altura do teodolito era 155 m calcule c As distâncias horizontais entre A e B e entre A e C d O valor máximo e mínimo que pode ter a distância horizontal entre os pontos B e C e As diferenças de nível ou distâncias verticais entre A e B A e C e entre B e C 3 REVISÃO DE MATEMÁTICA Nesta nota é realizada uma revisão de unidades de medida e trigonometria necessário para o estudo das próximas aulas Unidades de medidas 1 De medida linear 11 Sistema métrico decimal SMD O metro é a unidade básica para representação de medidas no Sistema Internacional SI O metro m e seus derivados quilômetro km hectômetro hm decâmetro dam decímetro dm centímetro cm e milímetro mm 1 km 1000 m 1 hm 100 m 1 dam 10 m 1 dm 01 m 1 cm 001 m 1 mm 0001 m 1 m 0001 km 1 m 001 hm 1 m 01 dam 1 m 10 dm 1 m 100 cm 1 m 1000 mm 12 Sistema antigo brasileiro de pesos e medidas 1 légua 3000 braças 6600 m 1 quadra 60 braças 132 m 1 corda 15 braças 33 m 1 braça 2 varas 22 m 1 vara 5 palmos 11 m 1 palmo 22 cm 13 Nos EUA e na Inglaterra 1 pé 3048 cm 1 polegada 254 cm 1 milha 1609344 m 2 De medida angular 21 Radianos Radiano rad corresponde ao ângulo central subtendido por um arco de circunferência de comprimento igual ao raio desta mesma circunferência Figura 1 Existem 2πrad numa circunferência completa portanto 2πrad 360º Meia circunferência πrad 180º Figura 1 22 Sistema sexagesimal graus minutos e segundos Uma circunferência completa tem 360º grau º minuto segundo 1º 60 1 60 1º 3600 4 23 Sistema centesimal grados Uma circunferência completa tem 400 grados grado g minuto segundo 1g 100 1 100 1g 10000 3 De superfície 31 Sistema métrico decimal m2 Unidades agrárias hectare are e centiare 1 hectare ha 10000 m2 1 are a 100 m2 1 centiare ca 1 m2 32 Sistema antigo brasileiro de pesos e medidas SABPM Neste sistema a unidade principal é o alqueire que é derivado da braça e tem variações regionais Utilizase ainda a quarta 14 do alqueire o prato 968 m2 e o litro 605 m2 Principais tipos de alqueires Dimensões braças SABPM SMD m2 Unidade agrária ha 50 x 50 20 litros 12100 12100 100 x 100 mineiro ou geométrico 80 litros 48400 48400 50 x 75 30 litros 18500 18500 80 x 80 32 pratos 30976 30976 50 x 100 paulista 40 litros 24200 24200 200 x 200 320 litros 193600 193600 Exercícios 1 Transforme os seguintes ângulos em graus minutos e segundos a 304560 graus b 3552559 graus 2 Transforme os seguintes ângulos em graus a 30º4530 b 183º4359 3 Calcule os ângulos a 30º2030 20º5233 b 28º4115 393945 c 42º3045 204014 4 Transforme a área de 21005 m2 em hectare Transforme a área de 51 ha em m2 5 Transformar a área de 21 alqueires mineiro 3 quartas e 15 litros em hectare 6 Transformar a área de 21 alqueires paulista 3 quartas e 15 litros em hectare Geometria plana relações trigonométricas 1 Triângulo retângulo É um triângulo que possui um ângulo reto isto é um dos seus ângulos mede 90º Figura 2 Figura 2 ângulo cateto oposto cateto adjacente α b c β c b Propriedades α β 90º 180º α β 90º 5 A partir da Figura 2 podem ser estabelecidas as seguintes relações seno cosseno tangente Exercício 1 A partir da Figura 2 faça as relações trigonométricas para o ângulo β 2 Teorema de Pitágoras O quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos Exercícios 1 No triângulo abaixo determinar as relações 2 Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem segundo um ângulo de 56º Afastandose de 20 m o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de 35º Calcule a largura do rio d 2 Triângulo qualquer a Lei dos senos Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita 6 b Lei dos cossenos Num triângulo qualquer o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam Exercícios 1 Faça a mesma relação da lei dos cossenos para os lados b e c 2 Um topógrafo a partir dos pontos A e B distantes de 20 m realiza a medição dos ângulos horizontais a duas balizas colocadas em D e C com o auxílio de um teodolito Calcule a distância entre as balizas 21 AULA TEÓRICA 06 LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO Feito os estudos dos métodos e instrumentos empregados na medição dos ângulos e das distâncias é necessário agora que utilizamos bem deste estudo no levantamento topográfico Levantamento topográfico de uma determinada região consiste em obter com precisão informações necessárias para o desenho da sua planta em escala conveniente Essas informações são as coordenadas ângulos e distâncias que definirão no desenho as posições tanto planimétrica como altimétrica dos pontos topográficos Assim definimos levantamento topográfico como conjunto de operações realizadas no campo e no escritório por meio de métodos e instrumentos adequados a finalidade do trabalho destinados à obtenção de elementos necessários para representação gráfica do terreno ou seja parte da superfície terrestre Operações realizadas no campo medidas de ângulos e distâncias e Operações realizadas no escritório processamento dos dados obtidos em campo e desenho da planta topográfica O procedimento básico para levantar uma determinada área é instalar o instrumento em um determinado ponto devidamente materializado cravando no local um piquete de madeira ou de concreto e proceder à medição dos ângulos e distâncias Este ponto materializado é chamado de ponto de apoio ou Estação Os pontos mapeados em torno dele são chamados de pontos de interesse pontos de detalhes ou pontos temáticos Etapas de um levantamento planimétrico 1 Planejamento no planejamento devese definir principalmente a finalidade construção de um pátio de secagem de grãos construção de um viveiro para criação de peixes projeto de irrigação e de drenagem de conservação de solo e água de saneamento básico etc a escala máxima os equipamentos e os métodos de levantamento 2 Reconhecimento da área e elaboração de croqui consiste em percorrer a área a ser levantada através de um mapa em escala pequena por ex 150000 de uma foto aérea ou de imagens orbitais e fazer um croqui da área definindo a posição dos pontos de apoio e dos pontos de interesse que caracterizam o contorno do terreno e a posição dos acidentes naturais lagos rios mata relevo etc e artificiais benfeitorias pontes estradas cercas etc que deverão ser levantados 3 Levantamento da poligonal básica consiste na materialização e levantamento dos pontos de apoio empregando método adequado poligonação triangulação trilateração triangulateração ou levantamento por satélites de posicionamento Desses métodos somente poligonação e levantamento por satélites de posicionamento serão enfatizados nesta disciplina 4 Levantamento dos pontos de detalhes consiste em definir os acidentes naturais e artificiais na área a ser levantada empregando os diferentes métodos ordenadas irradiação e interseção 5 Processamento dos pontos de apoio e detalhes consiste em corrigir os erros fechamento angular altimétrico etc avaliar a qualidade do levantamento se está dentro da tolerância e determinar as coordenadas 6 Desenho da planta topográfica transformar a descrição numérica do terreno em descrição gráfica uma forma de visualizar a área levantada e possibilitar a concepção de projetos 7 Redação do memorial descritivo texto que descreve o limite do lote urbano ou rural levantado É o documento legal que possibilita a confecção da escritura do terreno 8 Redação do relatório técnico texto que descreve a finalidade do levantamento bem como os métodos e instrumentos empregados 1 Métodos de levantamento topográfico a Levantamento por irradiação b Levantamento por interseção c Levantamento por ordenadas d Poligonação e Levantamento por satélites de posicionamento 22 a Levantamento por irradiação Este método consiste em escolher um ponto no interior do terreno a ser levantado e a partir deste ponto determinar os elementos necessários ângulos e distâncias para definir a posição dos pontos topográficos A posição escolhida para instalar o instrumento deve permitir a visada de todos os pontos que caracterizam o perímetro contorno e os acidentes naturais e artificiais do terreno Deste modo este método é empregado para levantamento de áreas pequenas regulares e descampadas Geralmente o método irradiação é empregado como auxiliar ao método poligonação para levantamento de pontos de detalhes As direções das linhas de visada podem ser obtidas com a bússola ou a partir da medição de ângulos horizontais tomando como referência a primeira linha de visada primeiro alinhamento As distâncias podem ser obtidas por processo direto e indireto Figura 1 A seguir é apresentada uma caderneta de campo típica de um levantamento por irradiação a bússola e medição direta de distâncias Caderneta de campo Estação Pontos visados Azimute Distância m Observações A 0 1 2 3 4 5 6 b Levantamento por interseção Neste método os pontos topográficos serão definidos pelas interseções dos lados de ângulos horizontais medidos das extremidades de uma base estabelecida no terreno A única distância a ser medida em campo neste método é aquela correspondente ao comprimento da base por exemplo a base AB da Figura 2 geralmente obtida com uma trena As distâncias entre as extremidades da base e os pontos topográficos por exemplo as distâncias AP AQ BP e BQ da Figura 2 podem ser determinadas por relações trigonométricas 23 Figura 2 Este método é empregado para levantamento de áreas pequenas regulares e descampadas Geralmente o método de levantamento por interseção é empregado como auxiliar ao método poligonação para levantamento de pontos de difícil acesso ou muito distantes Exemplo 1 Determinar a distância da extremidade A ao ponto I Dados AB 5000 m αA 40º e αB 85º Resposta αA αB αC 180º αC 180º αA αB αC 180º 40º 85º 55º Então Figura 3 Exemplo 2 Dada a Figura 2 mostrar como encontrar a distância do ponto P ao ponto Q onde P é um ponto de difícil acesso do outro lado da margem do rio Resposta Do triângulo ABP temos que Mas Portanto Do triangulo ABQ temos que Do triangulo AQP temos que c Levantamento por ordenadas Neste método a posição do ponto topográfico é definida pela medição de suas respectivas coordenadas retangulares abscissas e ordenadas Assim o ponto P7 da Figura 4 será determinado medindose no campo a abscissa A1 x1 e a ordenada 1P7 y1 As distâncias são obtidas pelo método direto com trenas Os ângulos normais às abscissas serão definidos por meio de goniômetros 24 Este método é também empregado como auxiliar ao método poligonação para levantamento de detalhes sinuosos como linhas divisórias cercas cursos de água estradas etc Figura 4 d Poligonação É um método para levantamento de pontos de apoio também conhecido como levantamento por caminhamento consiste na medição sucessiva de ângulos e distâncias entre pontos consecutivos de uma poligonal Figura 5 Existem outros métodos de levantamentos de pontos de apoio como triangulação somente ângulos trilateração somente distâncias e triangulateração ângulos e distâncias Desses métodos somente poligonação será enfatizado nesta disciplina Procedimentos para coleta de dados em campo Levantamento por caminhamento poligonação como próprio nome diz consiste em um caminhamento onde instalado o instrumento em um ponto de apoio é necessário que sejam visíveis dois outros pontos de apoio um anterior chamado de ré e um posterior chamado de vante Os vértices e os lados da poligonal são utilizados para levantamento dos pontos de detalhes acidentes naturais e artificiais no terreno com emprego de métodos auxiliares Na Figura 5 os pontos de apoios ou as estações são identificados com números variando de 0 a 4 O ponto 0 é o ponto de referência ou inicial ele pode ter coordenadas conhecidas ou ser simplesmente um ponto onde fez a leitura do azimute Os ângulos horizontais horários com origem a ré são identificados com a letra α e com o número da estação subscrito As distâncias entre a estação e ponto de vante são identificadas com a letra d e com o número da estação subscrito Inicialmente instalase o instrumento no ponto de referência estação 0 e observase o ângulo horizontal horário α0 com origem no ponto 4 ré e término no ponto 1 vante Observase a distância horizontal entre pontos 0 e 1 d0 Mudase o instrumento para a estação 1 e observase α1 e d1 Mudase para 2 e observase α2 e d2 E assim por diante Verificase que é necessário passar pelo ponto 1 mesmo que seja possível medir da estação 0 o ângulo e a distância até a estação 2 25 a b Figura 5 Método poligonação caminhamento sentido horário a e caminhamento sentido antihorário b O método caminhamento poligonação é caracterizado pela natureza dos ângulos que se mede daí classifica se em i Caminhamento pelos ângulos horários ii Caminhamento pelos ângulos de deflexões iii Caminhamento à bússola i Caminhamento pelos ângulos horários Ângulos horários são ângulos horizontais medidos sempre no sentido horário Dependendo do sentido do caminhamento os ângulos horários podem ser internos ou externos Quando o caminhamento é feito no sentido horário os ângulos horários são externos ver Figura 5a Quando o caminhamento é feito no sentido antihorário os ângulos horários são internos ver Figura 5b Fórmula para cálculo dos azimutes Azimutecalculado Azimuteanterior ângulo horário menor que 180º 180º maior que 180º e menor que 540º 180º maior que 540º 540º Exemplo 1 Dados a caderneta de campo e o croqui obtidos utilizando o levantamento por caminhamento pelos ângulos horários para levantar pontos de apoio vértices da poligonal e o método auxiliar irradiação para levantar pontos de detalhes quina de uma casa determinar os azimutescalculados dos outros pontos verificar o erro angular de fechamento e se o erro tiver dentro da tolerância fazer a correção do erro angular de fechamento Observação o azimute do ponto de referência inicial é lido no instrumento em campo Croqui 26 Caderneta de campo Estação Pontos visados Ângulo horário Azimutes OBS Ré Vante lido Calculados 0 5 1 267º40 145º00 1 0 2 116º00 2 1 3 295º00 3 2 4 263º30 3 2 a 310º45 casa 4 3 5 227º30 5 4 0 270º30 Resposta a Azimute calculado Azimutecalculado Azimuteanterior ângulo horário Azimute01 145º00 lido em campo Azimute12 Azimute01 ângulo horário12 Azimute12 145º00 116º00 261º00 180º e 540º 180º 261º00 180º00 81º00 Azimute23 81º00 295º00 376º00 180º e 540º 180º 376º00 180º00 196º00 Azimute34 196º00 263º30 459º30 180º e 540º 180º 459º30 180º00 279º30 Azimute3a 196º00 310º45 506º45 180º e 540º 180º 506º45 180º00 326º45 Azimute45 279º30 227º30 507º00 180º e 540º 180º 507º00 180º00 327º00 Azimute50 327º00 270º30 597º30 540º 540º 597º30 540º00 57º30 Azimute01 57º30 267º40 325º10 180º e 540º 180º 325º10 180º00 145º10 Estação Pontos visados Ângulo horário Azimutes OBS Ré Vante lido Calculados 0 5 1 267º40 145º00 145º10 1 0 2 116º00 81º00 2 1 3 295º00 196º00 3 2 4 263º30 279º30 3 2 a 310º45 326º45 casa 4 3 5 227º30 327º00 5 4 0 270º30 57º30 b Verificação do erro angular de fechamento I Método 1 A soma dos ângulos externos de um polígono 180ºn2 em que nnúmero de lados ou vértices do polígono Então soma dos ângulos externos de um polígono 180º62 1440º00 soma dos ângulos externos de um polígono 267º40 116º 295º 263º30 227º30 270º30 1440º10 erro angular de fechamento 1440º10 1440º00 10 II Método 2 erro angular de fechamento Azimute01 calculado Azimute01 lido erro angular de fechamento 145º10 145º00 10 c Tolerância do erro angular de fechamento T então 121485 Conclusão o erro angular de fechamento cometido durante as operações de campo igual a 121485 é permito Nesse caso o erro deve ser distribuído para a seqüência do trabalho de escritório 27 d Correção do erro angular de fechamento O erro angular de fechamento do polígono igual a 10 deverá ser distribuído nos últimos lados A correção é cumulativa sendo somada ou subtraída de acordo com o azimute lido e calculado do alinhamento 01 Não se corrige os azimutes dos pontos levantados por processos auxiliares ou seja os pontos de detalhes Estação Pontos visados Azimutes OBS Ré Vante Lido calculados Corrigidos 0 5 1 145º00 145º10 145º10 10 145º 1 0 2 81º00 81º00 2 1 3 196º00 196º00 2 195º58 3 2 4 279º30 279º30 4 279º26 3 2 a 326º45 326º45 casa 4 3 5 327º00 327º00 6 326º54 5 4 0 57º30 57º30 8 57º22 OBS se o caminhamento fosse no sentido antihorário o procedimento seria o mesmo porém os ângulos medidos no campo seriam ângulos internos do polígono ii Caminhamento pelos ângulos de deflexões Ângulo de deflexão é o ângulo formado pelo prolongamento do alinhamento anterior à estação do instrumento e o alinhamento seguinte O ângulo de deflexão varia de 0º a 180º à direita ou à esquerda do prolongamento do alinhamento Figura 6 Operações para medição do ângulo de deflexão do alinhamento 12 1 Centralizar e nivelar o teodolito na estação 1 2 Inverter a luneta e visar a estação à ré estação 0 zerar o limbo horizontal 3 Voltar a luneta à posição normal 4 Soltar o movimento do limbo horizontal e visar a vante estação 2 5 Ler o ângulo de deflexão no limbo horizontal do instrumento Controle do erro de medição angular O levantamento por caminhamento pelos ângulos de deflexões permite o controle de medição angular quando o teodolito é dotado de bússola Podese calcular o rumo ou azimute de um alinhamento a partir do ângulo de deflexão do mesmo e do rumo ou azimute do alinhamento anterior O ângulo calculado é comparado com aquele lido no limbo da bússola Caso a diferença entre eles seja significativa as medidas devem ser repetidas 28 1 Caso de bússola graduada para medição de rumos Não existe fórmula para calcular o rumo sempre teremos que desenhar R23 R12 D R23 R12 E 2 Caso de bússola graduada para medição de azimutes Azimutecalculado Azimuteanterior D Azimutecalculado Azimuteanterior E 29 Verificação do erro angular de fechamento A verificação do erro angular de fechamento é feita com bases nas estações da poligonal Dessa forma os pontos levantados por processos auxiliares não são incluídos Considerando a poligonal da Figura 7 podese escrever Figura 7 D1 β1 180º D2 β 2 180º D3 β 3 180º D4 β 4 180º D5 β 5 180º D6 β 6 180º Equação 01 θ1 E1 180º θ 2 E2 180º Equação 02 k número do vértice Fazendo Equação 01 Equação 02 temos n número de lados ou vértices do polígono Então Equação 04 Exemplo 1 De um levantamento por caminhamento pelos ângulos de deflexões foram anotados os seguintes dados D1 76º10 D2 108º30 D3 92º10 D4 34º00 D5 111º04 E1 62º05 Fazer o cálculo do erro angular de fechamento e verificar se o erro está dentro da tolerância Resposta 76º10 108º30 92º10 34º00 111º04 421º54 62º05 421º54 62º05 359º49 Erro angular 360º00 359º49 11 então 121485 Neste caso o erro angular de fechamento cometido durante as operações de campo igual a 11 é permito Nesse caso o erro deve ser distribuído para a seqüência do trabalho de escritório Observação o erro angular obtido no levantamento deve coincidir com a diferença entre o primeiro rumo lido e o calculado Caso contrário há erros no cálculo 30 iii Caminhamento à bússola Neste método de levantamento os alinhamentos da poligonal são definidos por meio de rumos ou azimutes além das distâncias Para locais sujeitos a interferências magnéticas o presente método não é indicado tornandoo de baixíssima precisão Controle da medição angular a Bússolas graduadas com rumos Os rumos deverão ter o mesmo valor numérico porém em quadrantes opostos b Bússolas graduadas com azimutes O valor do azimute de ré deve diferir de 180º em relação ao azimute da primeira estação Figura 8 Figura 9 Exercícios 1 Dada a caderneta de campo abaixo obtida por um levantamento por caminhamento pelos ângulos horários internos calcular os azimutescalculados o erro angular de fechamento e se o erro angular estiver no limite de tolerância os azimutescorrigidos Estação Pontos visados Ângulo interno Azimutes Ré Vante lidos calculados corrigidos 0 5 1 89º59 127º30 1 0 2 89º59 2 1 3 89º59 3 2 4 269º59 4 3 5 89º59 5 4 0 89º59 2 Dada a caderneta de campo abaixo obtida por um levantamento por caminhamento pelos ângulos horários externos calcular os azimutescalculados o erro angular de fechamento e se o erro angular estiver no limite de tolerância os azimutescorrigidos Estação Pontos visados Ângulo interno Azimutes Ré Vante lidos calculados corrigidos 0 5 1 270º01 137º30 1 0 2 270º01 2 1 3 270º00 3 2 4 90º02 4 3 5 270º01 5 4 0 270º01 Pedido 8iS1IPVKX Assunto Topografia Guru José Itamar F Sá AULA TEÓRICA 03 MEDIÇÃO DE ÂNGULOS Exercício 01 Resolução Estações Pontos Visados Azimutes Rumos Ângulos internos A B 1010402 785558 SE 485153 C 1495555 300405 SE B C 2341442 541442 SO 464923 A 2810405 785555 NO C A 3295552 300408 NO 861037 B 541445 541445 NE Exercício 02 Resolução 1 Z9007 33 05 82 26 55 2 Z9008 25 55 8134 05 Exercício 03 Resolução 1 AB 111122 m AF 111111 m e 11 m 2 AB 2223124 m AF 2222221 m e 903 m 3 AB 333638 m AF 3333331 m e 30495 m 4 AB 4451676 m AF 4444441 m e 72347 m 5 AB 5569697 m AF 5555551 m e 141457 m Exercício 04 Resolução 1 Considerando a constante estadimétrica g igual a 100 segue Para FS 2005 m DH 120050855 100115m Para FS 2000 m DH 2200008551001145m Logo a diferença é d DH1DH 2115114505m50cm 2 Distâncias horizontais Entre A e B DH30082000100co s 201 06 10076m Entre A e C DH19561000 100co s 2 02 12 95 46m Entre B e C BC 210076 295 46 221007695 46cos0106 BC31635m 3 Distâncias verticais Entre A e B D V 30082000 100sen 201 06 2 15525040981m Entre A e C DV 19561000 100sen20212 2 15514783739m Entre B e C DV 19561000 100sen20212 2 15514783739m Exercício 05 Resolução sen β3 2 0866 cos β1 20500 tg β3 1 1732 Exercício 05 Resolução Para o primeiro momento α 56 temse tg56h d h1482d Para o segundo momento α 35 segue tg 35 h d20 071482d d20 07d141482d d 14 0782 d17 9m Exercício 06 Resolução 1 b 2a 2c 22accos β c 2a 2b 22abcos θ 2 Exercício 07 Resolução Estação Pontos Visados Ângulo interno Azimutes Ré Vante Lidos Calculados Corrigidos 0 5 1 8959 12730 12724 12724 612730 1 0 2 8959 3729 372913730 2 1 3 8959 30728 30728230730 3 2 4 26959 3727 372733730 4 3 5 8959 30726 30726430730 5 4 0 8959 21725 21725521730 Erro angular de fechamento erro127 24 127 30 6 Tolerância T5 612 14 85 Conclusão oerroé tolerável edeve ser distribuído Exercício 08 Resolução Estação Pontos Visados Ângulo interno Azimutes Ré Vante Lidos Calculados Corrigidos 0 5 1 27001 13730 13736 13736 613730 1 0 2 27001 22731 22731122730 2 1 3 27001 31732 31731231730 3 2 4 9002 22733 22733322730 4 3 5 27001 31734 31734431730 5 4 0 27001 4735 473554730 Erro angular de fechamento erro137 36 13730 6 Tolerância T5 612 14 85 Conclusão oerroé tolerável edeve ser distribuído Pedido 8iS1IPVKX Assunto Topografia Guru José Itamar F Sá AULA TEÓRICA 03 MEDIÇÃO DE ÂNGULOS Exercício 01 Resolução Estações Pontos Visados Azimutes Rumos Ângulos internos A B 1010402 785558 SE 485153 C 1495555 300405 SE B C 2341442 541442 SO 464923 A 2810405 785555 NO C A 3295552 300408 NO 861037 B 541445 541445 NE Exercício 02 Resolução 1 𝑍 90 073305 822655 2 𝑍 90 082555 813405 Exercício 03 Resolução 1 AB 111122 m AF 111111 m e 11 m 2 AB 2223124 m AF 2222221 m e 903 m 3 AB 333638 m AF 3333331 m e 30495 m 4 AB 4451676 m AF 4444441 m e 72347 m 5 AB 5569697 m AF 5555551 m e 141457 m Exercício 04 Resolução 1 Considerando a constante estadimétrica g igual a 100 segue Para FS 2005 m 𝐷𝐻1 2005 0855 100 115 𝑚 Para FS 2000 m 𝐷𝐻2 2000 0855 100 1145 𝑚 Logo a diferença é 𝑑𝐷𝐻1𝐷𝐻2 115 1145 05 𝑚 50 𝑐𝑚 2 Distâncias horizontais Entre A e B 𝐷𝐻 3008 2000 100 𝑐𝑜𝑠20106 10076 𝑚 Entre A e C 𝐷𝐻 1956 1000 100 𝑐𝑜𝑠20212 9546 𝑚 Entre B e C 𝐵𝐶2 100762 95462 2 10076 9546 cos0106 𝐵𝐶 31635 𝑚 3 Distâncias verticais Entre A e B 𝐷𝑉 3008 2000 100 𝑠𝑒𝑛2 0106 2 155 2504 0981 𝑚 Entre A e C 𝐷𝑉 1956 1000 100 𝑠𝑒𝑛2 0212 2 155 1478 3739 𝑚 Entre B e C 𝐷𝑉 1956 1000 100 𝑠𝑒𝑛2 0212 2 155 1478 3739 𝑚 Exercício 05 Resolução 𝑠𝑒𝑛 𝛽 3 2 0866 𝑐𝑜𝑠 𝛽 1 2 0500 𝑡𝑔 𝛽 3 1 1732 Exercício 05 Resolução Para o primeiro momento α 56 temse 𝑡𝑔 56 ℎ 𝑑 ℎ 1482𝑑 Para o segundo momento α 35 segue 𝑡𝑔 35 ℎ 𝑑 20 07 1482𝑑 𝑑 20 07𝑑 14 1482𝑑 𝑑 14 0782 𝑑 179 𝑚 Exercício 06 Resolução 1 𝑏2 𝑎2 𝑐2 2 𝑎 𝑐 cos𝛽 𝑐2 𝑎2 𝑏2 2 𝑎 𝑏 cos𝜃 2 Exercício 07 Resolução Estação Pontos Visados Ângulo interno Azimutes Ré Vante Lidos Calculados Corrigidos 0 5 1 8959 12730 12724 12724 612730 1 0 2 8959 3729 372913730 2 1 3 8959 30728 30728230730 3 2 4 26959 3727 372733730 4 3 5 8959 30726 30726430730 5 4 0 8959 21725 21725521730 Erro angular de fechamento 𝑒𝑟𝑟𝑜 12724 12730 6 Tolerância 𝑇 5 6 121485 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠ã𝑜 𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑜 é 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟á𝑣𝑒𝑙 𝑒 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢í𝑑𝑜 Exercício 08 Resolução Estação Pontos Visados Ângulo interno Azimutes Ré Vante Lidos Calculados Corrigidos 0 5 1 27001 13730 13736 13736 613730 1 0 2 27001 22731 22731122730 2 1 3 27001 31732 31731231730 3 2 4 9002 22733 22733322730 4 3 5 27001 31734 31734431730 5 4 0 27001 4735 473554730 Erro angular de fechamento 𝑒𝑟𝑟𝑜 13736 13730 6 Tolerância 𝑇 5 6 121485 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠ã𝑜 𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑜 é 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟á𝑣𝑒𝑙 𝑒 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢í𝑑𝑜