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QUESTÕES DE PROVA 1o Semestre 2020 1a Questão (24 pontos): A função de 4o grau definida por dx cx bx ax f x + + + = 2 3 4 ( ) possui três pontos críticos de coordenadas 0,0 ) 1P( , ) 5,1( 2P e 3 ( ,3 27) − P . a) (16 pontos) Determine os valores de a, b, c e d. b) (8 pontos) Especifique os intervalos de crescimento e decrescimento da função f (x) . 2a Questão (15 pontos): Um recipiente cilíndrico, com tampa, deve ter a capacidade de 320π cm3. O custo do material usado para a base e para a tampa do recipiente é de R$ 0,15 por cm2 e o custo do material usado na lateral é de R$ 0,06 por cm2. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo do material para contruí-lo e o valor do custo mínimo. 3a Questão (15 pontos): Um cabo redondo de transmissão subaquático compõe-se de um núcleo de fios de cobre envolto em um material isolante não condutor, como mostrado na figura ao lado. Se x representa a razão entre o raio do núcleo e a espessura do material isolante, sabe-se que a velocidade do sinal de transmissão é dada pela equação .ln( ) 2 2 x x v = − . Determine a velocidade média de transmissão do sinal, para x∈ ,1[ e]. 4a Questão (20 pontos): No gráfico abaixo estão representadas três funções: 3 2 ) ( 2 1 − − = x x f x , 6 4 ) ( 2 2 + − = x x x f e 2 3 3 ) ( 3 x = x + f . Determine o valor da área total indicada. 5a Questão (26 pontos): Determine o que se pede: a) (7 pontos) ( ) ln( ) 1 3 2 lim 7 x x x + →∞ b) (7 pontos) Se ) sec(3 [log(2 )] tg 2x x y = determine dx dy c) (12 pontos)  − − 3 3 2 2 4 . 8 dx x x (Fazer a substituição: x = 2 sen(θ) ⋅ ) 2o Semestre 2020 1a Questão (30 pontos): Faça o que se pede: a) (8 pontos) Calcule 2 8 2 4 lim 8 x x x x → − − b) (12 pontos) A reta de equação y x = − é tangente à curva de equação 3 6 2 8 y x x x = − + em um ponto P. Determine a abscissa e a ordenada de P. c) (10 pontos) Determine a derivada implícita da função sen 1 ( ) x y x y y   ⋅ = − ⋅     . 2a Questão (20 pontos): O trabalho das abelhas na polinização de flores nas monoculturas de frutas é de extrema importância, principalmente na cultura da maçã. As estatísticas de um determinado local têm mostrado que a quantidade de milhares de abelhas que pertencem a uma colméia pode ser aproximada pela função 2 192 ( ) ( 16) Q t t = π ⋅ + , no intervalo 0 4 t ≤ ≤ semanas. Determine o número médio de abelhas que pertencem a esta colméia, no período de 4 semanas. 3a Questão (20 pontos): Determine a área entre a reta e a parábola destacada na figura ao lado. As equações das funções representadas são 2 8 y = − x + e 2 2 4 y x x = − + . 4a Questão (30 pontos): Resolva as integrais a seguir: a) (10 pontos) 2 5 4 x dx − x  b) (10 pontos) 3 2 cos(5 ) x x dx ⋅  c) (10 pontos) 3 2 2 5 7 5 2 1 x x x dx x − + − +  1o Semestre 2021 1a Questão (20 pontos): Faça o que se pede: OBS: Mostre todos os passos para a solução. a) (8 pontos) Calcule 2 0 2 2cos (2 ) lim 3 3cos(2 ) x x x → − − b) (12 pontos) Determine a derivada implícita da função 2 sen 3 4 5 5 y x xy e y   + = −     . 2a Questão (20 pontos): Considere o polinômio de 3o grau dado por 3 2 ( ) 48 9 f x ax bx x = + − + . a) (8 pontos) Determine os valores de a e b, para que as abscissas dos pontos críticos de ( ) f x sejam 1 4 x = − e 2 x = 2 . b) (6 pontos) Faça o estudo de concavidade de ( ) f x . Especifique o intervalo em que a concavidade é para cima e o intervalo em que a concavidade é para baixo. c) (6 pontos) Determine a equação reduzida da reta tangente à função ( ) f x no ponto de abscissa x = 1. 3a Questão (22 pontos): Resolva as integrais a seguir. OBS: Mostre todos os passos para a solução. a) (10 pontos) 2 7 3 ( 1) x x dx + ⋅  . Usar a substituição 2 1 t = x + b) (12 pontos) 3 2 2 3 3 4 12 x dx x x x + − + −  4a Questão (18 pontos): Uma partícula se move ao longo do eixo x de acordo com a equação de velocidade dada por 2 ( ) t v t t e− = ⋅ em m/s. Um estudante afirmou que a velocidade média desta partícula nos 5 segundos iniciais de movimento era menor que 4 km/h. A afirmação está correta? JUSTIFIQUE. Mostre todos os passos para a solução. 5a Questão (20 pontos): Determine a área total formada pelas parábolas de equação 2 1( ) 4 f x = x − e 2 2( ) 2 f x x x = − − conforme representação na figura a seguir: 2o Semestre 2021 1a Questão (20 pontos): Determine a área total indicada no gráfico da figura abaixo, formada pelas parábolas de equação 2 1( ) 4 f x = x − , 2 2( ) 2 f x x x = − − e a reta 3( ) 2 f x x = − − . 2a Questão (10 pontos): Podemos afirmar que as retas tangentes às curvas 3 2 4 5 0 x x y x y − − + = e 4 4 3 5 0 x y x y − + + = são ortogonais, na origem do sistema de coordenadas? Justifique. 3a Questão (20 pontos): Um recipiente com a forma de um paralelepípedo de base quadrada deve ter um volume de 2000 cm3. O custo do material para a base e a tampa do recipiente é de 2 reais por cm2. E o custo do material para as paredes laterais é de 1 real por cm2. Encontre as dimensões do recipiente de menor custo. 4a Questão (50 pontos): Determine o que se pede a seguir: OBS: As soluções dadas usando aplicativo/site matemático serão desconsideradas. a) (10 pontos) 4 2 lim 2 4 12 x x x → − + − b) (10 pontos) Se 2 11 2 ln( ) 0 lim e p x x x + − − → = e sabendo que p < 0 , determine o valor de p . c) (15 pontos) 2 2 x ln ( ) x dx ⋅  d) (15 pontos)  − + + dt t t t 2 3 2 1 2 2 1o Semestre 2022 1a Questão (15 pontos): Determine o(s) ponto(s) da curva 4 3 2 3 4 12 20 y x x x = + − + no(s) qual(is) a reta tangente é horizontal. 2a Questão (15 pontos): A corrente elétrica em um circuito é definida por ( ) 2 sen(60 ) cos(120 t) I t t = ⋅ ⋅ + ⋅ π π , em que I(t) é medida em ampères e t é medido em segundos. Calcule o valor médio da corrente elétrica no intervalo 1 0 240 t ≤ ≤ segundos. 3a Questão (18 pontos): O gráfico abaixo representa as derivadas de 1ª e 2ª ordem de uma função desconhecida. Utilizando os conceitos de estudo do comportamento de uma função, analise as afirmações abaixo e assinale (V) para verdadeiro e (F) para falso. f (x) a) ( ) O ponto de abscissa x = 0 representa um máximo local da função ( ) f x . b) ( ) O ponto de abscissa x = 3 representa um mínimo local da função ( ) f x . c) ( ) A função ( ) f x é decrescente no intervalo ]0,2[ . d) ( ) A função ( ) f x é crescente no intervalo ]2, ) ∞ . e) ( ) A função ( ) f x muda de concavidade no ponto de abscissa 1 x = . f) ( ) No intervalo ]0,2[ a função ( ) f x tem concavidade para cima. g) ( ) A função ( ) f x muda de comportamento apenas no ponto de abscissa x = 3 . h) ( ) A função ( ) f x muda de concavidade três vezes. i) ( ) A função ( ) f x não possui ponto de máximo local. 4a Questão (20 pontos): Determine o valor da área indicada sabendo as funções representadas são: 2 1( ) 6 4 f x x x = − + , 2( ) 2 3 f x x = − e 3 2 7 ( ) 3 x f x − + = 5a Questão (32 pontos): Determine o que se pede a seguir: a) (8 pontos) 25 5 lim 2 14 6 x x x x → − − − b) (12 pontos) 2 ln ( ) x dx  c) (12 pontos) 2 2 1 ( 1) x dx x x − ⋅ +  RESPOSTAS 1o Semestre 2020 1) a) Os valores são: 0 18 e 16 , ,3 = = = − = d c b a . b) A função é crescente nos intervalos: ) e ,3] [1,0] ∞ . A função é decrescente nos intervalos: [3,1] (−∞ [0, e . 2) As dimensões são: 20 m 4 320 4 m e 2 = = = h R . O custo mínimo é de: 45,24 $14 4, π = R 3) 1,33 u.v. m v = − 4) 247 20,5833 u.a. S = 12 = 5) a) 2e b) ) (3 sec ).6 ).tg(3 tg[log(2 )].sec(3 ) 2 .ln(10) .2.sec(3 1 sec [log(2 )]. ) (' 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x y x − = c) 4 3 3 − 2o Semestre 2020 1) a) 0 b) P(3, 3) − c) cos '( ) sen cos x y y y x x x x x y y y   − −     =     − ⋅ +         2) 3 milhares de abelhas/semana m Q = 3) 16 5,33 u.a. A = 3 = 4) a) 2 5 4 4 x C − − + b) 3 2 6 6 sen(5 ) cos(5 ) sen(5 ) C 5 25 125 x x x x x + − + c) 5 2 7 5arctg( ) 2 x x x C − + + 1o Semestre 2021 1) a) 43 b) 2 2 3 cos 3 4 5 5 '( ) 3 cos 3 4 2 5 5 y x y y y y x x x x e y y   − −     =   − + +     2) a) 2 e 6 a b = = b) Concavidade para baixo: ( , 1) −∞ − ; Concavidade para cima: ( 1, ) − ∞ c) 30 1 y x = − − 3) a) 2 9 2 8 ( 1) ( 1) 18 16 x x C + + − + b) 2 9 1 9 ln( 4) arctg ln( 3) C 26 26 2 13 x x x   − + − + − +     4) 0,35 m/s 1,26 km/h m v = = . Sim a afirmação está correta. 5) 38 12,67 u.a. A = 3 = 2o Semestre 2021 1) 27 u.a. S = 6 2) São ortogonais. 3) As dimensões do recipiente são: 10 cm x 10 cm x 20 cm 4) a) 12 3 4 = 2 b) p = –3 c) 2 2 2 2 ln ( ) 2 2 ln( ) 4 x x x x x C   ⋅ − ⋅ − +     d) ( ) 2 3 1 ln ln( 2) 2 5 5 t t C − + + + 1o Semestre 2022 1) Os pontos serão: 1 2 3 (0,20) ; ( 2, 12) ; (1,15) P P P − − 2) 10 4 2 mI − = π ampères. 3) F V V F F F V F V 4) 44 . . 3 A u a = 5) a) – 3 b) [ ] [ ] ln( ) 2 2 ln( ) x x x x x C ⋅ − ⋅ ⋅ − + c) 2 1 ln( ) ln( 1) 2arctg( ) 2 x x x C − + + + +