Atividade

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL Matemática Financeira Turma 136 Professora Márcia Bein Trabalho 3 G1 Nomes 1 20 Determine o preço à vista de um produto pago através do seguinte esquema uma entrada de R 85000 3 prestações de R 52000 pagas nos meses seguintes sendo a primeira delas 30 dias após a compra 7 prestações de R 68000 pagas na sequência Considere que a loja utiliza uma taxa de juros de 2 amm para compras efetuadas pelo crediário 2 20 Uma loja coloca à venda uma mercadoria cujo preço à vista é R 930000 na seguinte condição uma entrada de R 150000 mais 10 prestações mensais e iguais ocorrendo o primeiro pagamento 120 dias após a compra Determine o valor destas prestações sabendo que a taxa de juros cobrada pela loja é de 25 amm 3 20 Um carro custa à vista R 5800000 mas pode ser financiado de acordo com o seguinte plano uma entrada e o saldo restante em 24 prestações mensais de R 189000 cada sendo que a primeira prestação vence 90 dias após a data da compra Sendo de 15 amm a taxa de juros na operação determine o valor da entrada 4 20 Um investidor efetuou 12 depósitos mensais de R 102000 durante 2023 de janeiro a dezembro e um extra de R 70000 em julho de 2023 Calcular o montante obtido em março de 2024 sendo a taxa de juros de 5 abm 5 20 Um produto financiado será pago em 9 prestações mensais antecipadas sendo que as 5 prestações iniciais serão de R 32000 e as demais de R 45000 Calcule o preço à vista deste produto se a taxa de juros utilizada será de 2 amm Para determinar o preço à vista de um produto que é pago através de um esquema de pagamento com prestações precisamos trazer todas as parcelas futuras ao valor presente utilizando a taxa de juros fornecida A taxa de juros mensal é de 2 Aqui está o esquema de pagamento Entrada R 85000 3 prestações de R52000 pagas a 30 60 e 90 dias 7 prestações de R68000 pagas a partir do 4º mês 120 150 180 210 240 270 e 300 dias Primeiro vamos determinar a fórmula do valor presente para as prestações A fórmula do valor presente PV de uma série de pagamentos futuros é 𝑃𝑉 𝑃 1𝑖 𝑛 onde P é o valor da prestação i é a taxa de juros por período n é o número de períodos até o pagamento 3 Prestações de R 52000 𝑃𝑉1 520 1002 1 520 102 1 509 80 𝑃𝑉1 520 1002 2 520 102 2 499 80 𝑃𝑉1 520 1002 3 520 102 3 490 00 7 Prestações de R 68000 𝑃𝑉4 520 1002 4 520 102 4 629 44 𝑃𝑉5 520 1002 5 520 102 5 617 10 𝑃𝑉6 520 1002 6 520 102 6 605 00 𝑃𝑉7 520 1002 7 520 102 7 593 14 𝑃𝑉8 520 1002 8 520 102 8 581 52 𝑃𝑉9 520 1002 9 520 102 9 570 12 𝑃𝑉10 520 1002 10 520 102 10 558 96 𝑃𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃𝑉1 𝑃𝑉2 𝑃𝑉3 𝑃𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 6005 88 Para determinar o valor das prestações vamos considerar o valor presente das parcelas descontadas para o tempo zero data da compra utilizando a fórmula do valor presente de uma anuidade A fórmula para calcular o valor das prestações PMT de uma anuidade ordinária pagamentos no final de cada período é 𝑃𝑀𝑇 𝑃𝑉𝑖 11𝑖 𝑛 Onde PV é o valor presente da anuidade i é a taxa de juros por período n é o número de períodos Neste problema PV é o valor presente das 10 prestações i0025 taxa de juros mensal de 25 n10 número de prestações Primeiro precisamos calcular o valor presente das 10 prestações descontado para o momento zero O preço à vista da mercadoria é R930000 sendo que a entrada é R150000 Assim o valor financiado ou seja o valor presente das prestações é 𝑃𝑉 9 300 1500 7 800 Considerando que os pagamentos começam 120 dias após a compra precisamos descontar esse valor para o tempo zero No caso 120 dias equivalem a 4 meses Portanto o valor presente das prestações no momento zero é 𝑃𝑉 7800 10025 4 Calculando o valor das prestações PMT 𝑃𝑀𝑇 𝑃𝑉0025 110025 10 7 066 42 Portanto cada uma das 10 prestações mensais será de R80740 Para determinar o valor da entrada precisamos calcular o valor presente das 24 prestações de R 189000 cada descontadas para o momento da compra e subtrair esse valor do preço à vista do carro Vamos usar a fórmula do valor presente de uma anuidade para calcular o valor presente das prestações A fórmula do valor presente PV de uma anuidade ordinária é 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇 1 1𝑖 𝑛 𝑖 Onde PMT é o valor da prestação mensal R189000 i é a taxa de juros mensal 15 ou 0015 n é o número de prestações 24 𝑃𝑉 1 890 1 10015 24 0015 Depois de encontrar o valor presente das prestações na data da primeira prestação 90 dias após a compra ou 3 meses precisamos descontar esse valor para o momento da compra 𝑃𝑉 𝑃𝑉 10015 3 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 58 000 𝑃𝑉 O valor presente das 24 prestações de R189000 cada é aproximadamente R3785747 Descontando esse valor para o momento da compra 3 meses antes da primeira prestação obtemos aproximadamente R3620374 Portanto o valor da entrada será 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 58 000 36 203 74 21 796 26 O valor da entrada então é aproximadamente R 2179626 Para calcular o montante obtido pelo investidor em março de 2024 levando em consideração os depósitos mensais e a taxa de juros anual precisamos aplicar a fórmula do montante acumulado com depósitos periódicos e compor os juros ao longo do tempo Passo a Passo 1 Identificar os parâmetros Taxa de juros mensal iii a partir da taxa anual de 5 𝑖 1 0 05 112 1 0 00407 Número total de meses entre cada depósito e março de 2024 2 Calcular o montante acumulado para cada depósito Os depósitos mensais são feitos de janeiro a dezembro de 2023 Um depósito extra é feito em julho de 2023 O montante acumulado MMM é a soma dos valores futuros de todos os depósitos capitalizados até março de 2024 Para cada depósito calculamos o valor futuro usando a fórmula do valor futuro de uma soma única 𝐹𝑉 𝑃𝑉 1 𝑖 𝑛 Determinar o número de meses para cada depósito até março de 2024 Janeiro de 2023 15 meses Fevereiro de 2023 14 meses Março de 2023 13 meses Abril de 2023 12 meses Maio de 2023 11 meses Junho de 2023 10 meses Julho de 2023 9 meses Agosto de 2023 8 meses Setembro de 2023 7 meses Outubro de 2023 6 meses Novembro de 2023 5 meses Dezembro de 2023 4 meses Extra em julho de 2023 9 meses Some todos os valores futuros para obter o montante total Para calcular o preço à vista de um produto que será pago em 9 prestações mensais antecipadas sendo que as 5 prestações iniciais serão de R 32000 e as demais de R 45000 com uma taxa de juros de 2 am vamos descontar cada uma das prestações ao seu valor presente A fórmula do valor presente PV para uma prestação P antecipada em um período t com taxa de juros i é dada por 𝑃𝑉 𝑃 1𝑖 𝑛 Aqui i é a taxa de juros mensal 2 ou 002 P é o valor da prestação e t é o número de períodos Para os pagamentos de R 32000 Primeiro pagamento t0 Segundo pagamento t1 Terceiro pagamento t2 Quarto pagamento t3 Quinto pagamento t4 Para os pagamentos de R 45000 Sexto pagamento t5 Sétimo pagamento t6 Oitavo pagamento t7 Nono pagamento t8 Vamos calcular o valor presente de cada pagamento e somar todos para encontrar o preço à vista do produto 𝑃𝑉1 320 102 0 320 𝑃𝑉2 320 102 1 313 73 𝑃𝑉3 320 102 2 307 58 𝑃𝑉4 320 102 3 301 56 𝑃𝑉5 320 102 4 295 65 𝑃𝑉6 320 102 5 406 75 𝑃𝑉7 320 102 6 398 77 𝑃𝑉8 320 102 7 390 87 𝑃𝑉9 320 102 8 383 14 Somando todos os valores presentes 𝑃𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 320 31373 30758 30156 29565 40675 39877 39087 38314 𝑃𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 321805 Portanto o preço à vista do produto é de aproximadamente R321805