Cointegração-Conceitos-e-Aplicações

1 Cointegração No text 3 3 Cointegração Definição Suponha um vetor nx1 de variáveis xt x1t x2t xnt onde cada variável é Id Se existe uma combinação linear dessas variáveis que é integrada de ordem d b onde b 0 xt β x1t 1 xnt n Idb então tais variáveis são cointegradas de ordem db x1t x2t xnt CIdb O vetor β é o vetor de cointegração O caso mais interessante e comum em economia ocorre quando a combinação linear das variáveis é estacionária isto é quando db 4 Exemplo Suponha duas variáveis nãoestacionárias que podem ser decompostas num passeio aleatório mais um componente irregular estacionário Yt t Zt t ut vt onde t t1 t ut vt t distúrbios ruídos brancos independentes As variáveis Y e Z são ambas nãoestacionárias pois contém uma tendência estocástica Mas observe que existe uma combinação linear das variáveis que é estacionária et Yt Zt t ut t vt ut vt Logo Y e Z são cointegradas CI11 5 Isso ocorre porque as duas variáveis têm a mesma tendência estocástica o que implica que elas tendem a moverse juntas conforme mostram os gráficos a seguir para uma realização dos processos Simulação de variáveis com tendência estocástica comum 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Ytmt ut Ztmt vt 6 etYtZt 4 3 2 1 0 1 2 3 4 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Observações 1 A teoria econômica estabelece a existência de diversas relações de equilíbrio de longo prazo quando tais relações envolvem variáveis integradas isso implica a existência de relações de cointegração Testar a existência de cointegração pode ser equivalente portanto a testar a validade de hipóteses teóricas Ex Segundo a teoria da paridade do poder de compra no longo prazo a taxa de câmbio deve ser dada por s p p 7 onde as variáveis definidas em logs são I1 O teste da hipótese de que a taxa de câmbio real q s p p é estacionária ou seja de que a taxa de câmbio nominal o preço doméstico e o preço externo são cointegrados com vetor de cointegração 1 1 1 equivale a testar a hipótese de PPC 2 Cointegração referese a combinações lineares entre as variáveis 3 Todas as variáveis devem ser integradas da mesma ordem Podem ocorrer porém casos como o seguinte X1 I1 X2 I2 X3 I2 X2 X3 CI21 com vetor de cointegração b2 b3 b2 X2 b3 X3 X1 CI11 Logo existe uma combinação b1 X1 b2 X2 b3 X3 que é estacionária 8 4 Entre n variáveis pode haver no máximo n1 vetores de cointegração linearmente independentes No de vetores de cointegração é o posto de cointegração 5 Geralmente usase o termo cointegração para indicar o caso particular CI11 isto é combinações de variáveis I1 que sejam I0 6 Variáveis cointegradas guardam uma relação média constante no longo prazo mas não necessariamente uma distância constante variáveis podem divergir desde que guardando uma relação constante em média 9 4 Cointegração e Mecanismo de Correção de Erro Definição Um vetor n x 1 de variáveis xt x1t x2t xnt tem uma representação de correção de erro se pode ser expresso da seguinte forma Δx 1t Δx 2t 11Δx 1t1 1nΔx nt1 1 x1t1 12 x2t1 1n xnt1 u1t 21Δx 1t1 2nΔx nt1 2 x1t1 22 x2t1 2n xnt1 u2t Δx nt n1Δx 1t1 nnΔx nt1 n x1t1 n2 x2t1 nn xnt1 unt 13 isto é como um sistema de equações onde as variáveis dependentes são as primeiras diferenças de cada elemento de xt as variáveis explicativas são as diferenças correntes ou defasadas das variáveis de xt até uma defasagem máxima k no exemplo acima supomos apenas 1 defasagem mas em geral podemos ter mais defasagens as variáveis originais de xt defasadas de 1 período x1t1 x2t1 etc 10 De acordo com esse sistema a variação de cada variável no período t depende portanto de dois fatores básicos 1 mudanças nas outras variáveis e na própria variável defasadas 2 desvios em relação a uma relação de longo prazo Os termos x1t 1 12 x2t 1 1n xnt 1 são denominados termos de correção de erro Os coeficientes são os parâmetros de longo prazo Os coeficientes 1 2 n são denominados coeficientes de ajustamento Segundo o Teorema da Representação de Granger TRG um vetor de variáveis cointegradas CI11 sempre tem uma representação de correção de erro Alternativamente para que um vetor de variáveis I1 tenha uma representação de correção de erro é necessário que as variáveis sejam cointegradas 11 Qual é a intuição por trás do TRG Observe que se as variáveis em xt são I1 então x1t xnt x1t 1 xnt 1 são I0 Sabemos também que os distúrbios u1t u2t etc são I0 Logo para que 13 seja uma equação balanceada isto é tenha variáveis da mesma ordem de integração dos dois lados é necessário que os termos entre parênteses que envolvem combinações lineares das variáveis em xt sejam estacionários Ou seja é necessário que os elementos de xt sejam cointegrados com vetores de cointegração dados por cada um desses termos Por exemplo na primeira equação temos 1 x1t 1 12 x2t 1 1n xnt 1 Logo o vetor 112 1n é um vetor de cointegração para xt O coeficiente 1 mede a velocidade de ajustamento de x1t rumo a seu equilíbrio de longo prazo isto é o efeito que desvios de x1t em relação a seu valor de longo prazo têm sobre a evolução de x1t no curto prazo 12 Qual é a significância do TRG O Teorema da Representação de Granger tem duas implicações básicas 1 Se um vetor de variáveis I1 é cointegrado não é correto estimar o sistema em primeiras diferenças pois isso equivale a jogar fora as informações relativas ao equilíbrio de longo prazo Estimar 13 sem o termo de correção de erro equivale a omitir uma variável relevante no caso de cointegração 2 A existência de cointegração pode ser testada a partir da significância do termo de correção de erro numa regressão como 13 Entretanto não é correto usar a estatísticat usual para este teste 13 O teste de cointegração pode ser realizado a partir de uma única equação ou a partir da estimação de um sistema de equações Para testar a existência de cointegração entre um conjunto de variáveis integradas a partir de uma única equação podese seguir dois caminhos básicos 1 Estimação do modelo de correção de erro Estimar uma regressão na forma de correção de erro Testar a significância do termo de correção de erro Mas não é correto usar a estatísticat usual Pode ser mais conveniente estimar um ADL que é uma reparametrização do modelo de correção de erro Testes de Cointegração 14 1 2 Regressão estática teste de EngleGranger Estimar uma regressão estática de uma variável nas demais yt 0 1xt ut 14 Tal equação equivale à relação de longo prazo entre as variáveis Calcular o resíduo da equação uˆt yt ˆ0 ˆ xt Realizar teste de raiz unitária DFADF no resíduo obs valor crítico diferente do teste ADF usual Se as variáveis forem cointegradas MQO em 14 é um estimador superconsistente dos parâmetros de longo prazo Se as variáveis forem cointegradas o resíduo da equação que é uma combinação linear de yt e xt deve ser estacionário Logo o teste da hipótese nula de raiz unitária no resíduo equivale a um teste de cointegração entre yt e xt 15 t 1 Observações a Se há apenas duas variáveis é necessário que ambas tenham a mesma ordem de integração b Se há mais de duas variáveis é necessário que a ordem de integração da variável dependente em 14 não seja maior do que a ordem de integração de qualquer uma das variáveis independentes c Se há mais de duas variáveis é possível que haja mais de um vetor de cointegração entre elas nesse caso a regressão estática não é o método adequado de estimação da relação de longo prazo A regressão estática estará estimando provavelmente uma combinação linear dos vetores de cointegração entre as variáveis O correto seria adotar métodos sistêmicos de estimação ex Johansen d Após estimar a equação de longo prazo podese usar o resíduo dessa equação num modelo de correção de erro e então estimar a dinâmica de curto prazo yt 0 1yt1 2xt1 yt1 ˆ0 ˆ x e Este método de estimação denominase Método de EngleGranger em dois passos 1 t Como estimar adequadamente a relação entre X e Y As três perguntas são respondidas com testes de raiz unitária ADF e similares X e Y são estacionárias Não Tendência determinística ou estocástica Estocástica X e Y são cointegradas Sim É válido regredir Yt contra Xt sem defasagens para obter a relação de LP entre as variáveis A relação dinâmica é capturada por um modelo de correção de erro que pode ser escrito como uma regressão de ΔY contra ΔX possivelmente com defasagens MAIS um termo que representa o mecanismo de correção de erro MCE Sim Modelos usuais regressão de Y em X possivelmente com defasagens sujeitos aos problemas de viés e possivelmente inconsistência dos estimadores de MQO Determinística Acrescentase t como regressor de Y Equivale a 1 regredir Y contra t 2 regredir X contra t e 3 regredir o resíduo da regressão 1 contra o resíduo da regressão 2 Não Passamos a buscar uma relação entre ΔY e ΔX 17 Notas sobre não estacionariedade em modelos VAR Transformação das variáveis Na presença de variáveis nãoestacionárias devese transformálas de modo a especificar um modelo apenas com variáveis estacionárias Existem opiniões diferentes sobre essa questão Por um lado na presença de variáveis integradas a realização de testes de hipótese não pode basearse na distribuiçãot padrão como vimos o que sugere que as variáveis deveriam ser estacionárias ou seja as variáveis integradas deveriam ser diferenciadas 18 Por outro lado há argumentos contrários à transformação das variáveis nãoestacionárias 1 Estimar um modelo em diferenças significa ignorar possíveis relações de longo prazo entre as variáveis como vimos cuja existência requer a estimação de um modelo de correção de erro 2 Se não estivermos interessados em testar hipóteses não há problema em estimar a regressão das variáveis em nível 3 Ainda que haja interesse em testar hipóteses sob certas condições é possível usar as estatísticas padrão da regressão das variáveis em nível Logo dependendo da situação pode ser mais adequado estimar um modelo o VAR em nível o VAR em primeira diferença o VAR na forma de correção de erro 19 Cointegração em modelos VAR O processo VAR xt A0 A1xt1 A2 xt2 Apxtp et 1 pode ser reescrito da seguinte forma xt xt1 1xt1 2xt2 p1xtp1 et 2 Seja r o posto da matriz Casos possíveis r n todas as variáveis do VAR são I0 e o processo é estacionário 0 r n o VAR não é estacionário pois contém variáveis I1 mas há r relações de cointegração no sistema r 0 o VAR contém variáveis I1 não cointegradas xt Φ1 xt1 εt Subtraindo por xt1 em ambos os lados Δxt Πxt1 εt Π αβ 2 2 2 11 2 21 No caso de cointegração a especificação 2 é a mais adequada para representar o sistema Esta representação é dita modelo de correção de erro vetorial VECM na sigla em inglês No caso de variáveis I1 não cointegradas r 0 o termo xt1 some do modelo e a especificação adequada é um VAR para as variáveis em primeira diferença Para testar a existência de cointegração e inferir o número de relações de cointegração em um modelo VAR o procedimento padrão é o teste de Johansen Duas versões do teste I Teste do traço II Teste do máximo autovalor 22 logPIBIDl3 logPIBSDl3 logPIBIDd 031036216 7348125e06 logPIBSDd 005285311 2926987e05 Exemplo no R libraryurca zcbindlogPIBIDlogPIBSD acajoztypetraceK3 summarya JohansenProcedure Test type trace statistic with linear trend Eigenvalues lambda 1 0134981905 0000259185 Values of teststatistic and critical values of test r 0 1566 52 Eigenvectors normalised to first column These are the cointegration relations logPIBIDl3 logPIBSDl3 logPIBIDl3 10000000 100000 logPIBSDl3 07047745 2244961 Weights W This is the loading matrix Rejeitada a 5 19611795 Logo H0 r 1 Não rejeitada Logo r 1 Há cointegração 818 1165 5pct 1pct test 10pct r 1 003 650 há 1 vetor de H0 r 0 cointegração Vetor de cointegração logPIBID 0705 logPIBSD 1795 23 1961