Econometria - Modelagem de Processos Não Estacionários e Modelo ARIMA

Econometria III Aula 10 Processos Univariados não Estacionários 3 Samira Schatzmann 2022 Até aqui vimos Modelagem de processos não estacionários Propriedades de processos não estacionários EstacionarizaçãoIntegraçãoRemoção de tendências O que vamos ver ARIMA Testes de Raiz Unitária O que vamos ver Processos univariados não estacionários Definição de algumas particularidades de não estacionariedade distinguindo os tipos de tendências que podemos encontrar Integração e modelo ARIMA Estacionarização e remoção de tendência Testes de raiz unitária Sazonalidade e Quebra de série temporal Formalizar o conceito de regressão espúria começando a trabalhar com 2 ou mais variáveis depois avançaremos para modelo multivariado cointegração Bibliografia da aula Bueno Cap 4 Gujarati seções 214 a 2110 e 222 Wooldridge seções 182 e 183 HGJ seção 164 Sartoris seções 103 104 Modelo ARIMA Estacionarizacao em diferencas Integracao Relembrando nao estacionario ru i do branco estacionario y t p y t n u t p 1 y t y t1 u t Δ y t e e estacionario y t e estacionario em 1a diferenca ou integrado de ordem 1 ARIMA p d q ordens A medias moveis Integrac autocorrelac n não estacionarill dependência temporal os dados tem memória ARIMA p d q ordens médias móveis integração autocorrelação se yt é não estacionário mas Δyt yt yt1 é a série é I1 se yt é não estacionário Δyt é não estacionário mas Δ²yt ou yt yt1 yt2 é a série é I2 Arima 1 1 1 p1 1ϕ1 MA1 AR1 RB I1 Δyt c ϕ Δ yt1 εt Θ εt1 desvio estacionário ARIMA 210 Δyt c ϕ1Δyt1 ϕ2Δyt2 εt ARIMA 012 Δyt δ εt Θ1εt1 Θ2 εt2 ARIMA 120 ϕ1 Δ2yt c ϕΔ2yt1 εt ΔΔyt yt Δyt1 yt yt1 yt2 Passo a passo para identificação Seja 𝑦𝑡uma série temporal não estacionária 1º identificar a ordem de integração se utilizando dos testes de raiz unitária que veremos a seguir 2º estacionarizar a série 3º identificar qual processo estacionário está presente como fizemos na primeira parte do curso OBS dá para ter um resultado mais direto pela própria interpretação dos testes para raiz unitária como veremos Testes de Raiz Unitária Processo estocástico de raiz unitária Vamos escrever o modelo de passeio aleatório como 𝑦𝑡 𝜌𝑦𝑡1 𝑢𝑡 Se 𝜌 1 modelo autorregressivo de primeira ordem estacionário Se 𝜌 1 modelo de passeio aleatório puro sem deslocamento Problema de Raiz Unitária situação de não estacionariedade Não estacionariedade passeio aleatório e raiz unitária sinônimos usando operador defasagem yt ρ yt1 ut yt ρ L yt ut a x2 bx c 0 cobrando em evidência yt ρ L yt ut yt 1 ρ L ut 1 ρ z 0 incógnita ρ z 1 1 ρ 1 z z 1 Processo estocástico de raiz unitária Dizemos que um processo I2 possui duas raízes unitárias Testes de raiz unitária A inspeção visual de uma série raramente permite distinguila como tendência estocástica ou determinística e frequentemente quando se age assim incorrese em equívocos Por isso foram desenvolvidos testes para a verificação de existência de raízes unitárias e identificação aproximada do processo DickeyFuller e Augmented DickeyFuller DF e ADF PhillipsPerron KPSS ERS NG e Perron Sazonalidade e quebra estrutural Sobre testes de hipótese Equação de teste Estatística de teste valores críticos Interpretação do resultado rejeiçãonão rejeição da hipótese nula Potencialidades e limitações de cada teste Teste DickeyFuller O ponto de partida é o processo estocásticode raiz unitária 𝑦𝑡 𝜌𝑦𝑡1 𝑢𝑡 onde 𝑢𝑡é ruído branco Sabemos que quando 𝜌 1 isto é no caso de raiz unitária o processo se torna um modelo de passeio aleatório sem deslocamento Por que não fazemos simplesmente uma regressão de 𝑦𝑡 em relação ao seu valor defasado de um período 𝑦𝑡1 e verificamos se o 𝜌 estimado é estatisticamente igual a 1 Essa é a ideia geral do teste yt α β1X1t β2X2t Eε RB Teste t de significância individual dos parâmetros H0 β1 0 H1 β1 0 tcalc β βH0 epβ β 0 epβ tcalc 147764 0917244 161 25 α 5 196 161 401 25 Teste DickeyFuller Manipulando algebricamente temos que 𝑦𝑡 𝜌𝑦𝑡1 𝑢𝑡 𝑦𝑡 𝑦𝑡1 𝜌𝑦𝑡1 𝑦𝑡1 𝑢𝑡 𝑦𝑡 𝜌 1 𝑦𝑡1 𝑢𝑡 que pode ser escrita alternativamente como 𝑦𝑡 𝛿𝑦𝑡1 𝑢𝑡 onde δ 𝜌 1 Na prática portanto testamos a hipótese nula de que δ 0 pois isso implica que 𝜌 1 isto é a série tem raiz unitária Por que simplesmente não usamos a estatística t Sob a hipótese nula a distribuição do teste não é convencional Ou seja não é igual à estatística t pois 𝑦𝑡 é não estacionário Distribuição da estatística tStudent sob 𝐻0 é assimétrica viesada para a esquerda na hipótese do teste DF Implicaria cometer o erro tipo I rejeitar a nula quando ela é verdadeira com muito mais frequência Exercício 10 da lista 1 0 20 40 60 80 100 120 140 084 086 088 090 092 094 096 098 100 102 Series Y1 Sample 1 1000 Observations 1000 Mean 0984257 Median 0992799 Maximum 1032754 Minimum 0838192 Std Dev 0028720 Skewness 1796593 Kurtosis 7015389 JarqueBera 1209764 Probability 0000000 0 20 40 60 80 100 070 075 080 085 090 095 100 Series Y09 Sample 1 1000 Observations 1000 Mean 0883373 Median 0892372 Maximum 0992908 Minimum 0680902 Std Dev 0050281 Skewness 0950776 Kurtosis 3940886 JarqueBera 1875485 Probability 0000000 0 20 40 60 80 100 120 140 02 03 04 05 06 07 Series Y05 Sample 1 1000 Observations 1000 Mean 0488767 Median 0492737 Maximum 0734991 Minimum 0154325 Std Dev 0089950 Skewness 0260002 Kurtosis 3060491 JarqueBera 1141930 Probability 0003314 𝜙 10 𝜙 09 𝜙 05 A Figura 43 mostra a distribuição empírica dessa estatística em que T 100 n 50 S 10000 e y0 0 Note que a distribuição é assimétrica concentrada em valores negativos Figura 43 Distribuição da estatística tStudent sob H0 φ 1 Teste DF Estatística de teste Dickey e Fuller 1979 recalcularam o valor da estatística t para este teste 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝜏 tau O valor dessa estatística se altera conforme se define a equação de regressão e segundo o tamanho da amostra O procedimento concreto de aplicar um teste DF envolve várias decisões os valores críticos do teste para verificar a hipótese de raiz unitária diferem para cada uma das especificações do teste DF Teste DF Equações de teste Equações de estimação do teste depende da consideração da existência ou não de drift eou tendência determinística no processo 𝑦𝑡 𝛿𝑦𝑡1 𝑢𝑡 𝜏 𝑦𝑡 𝜇 𝛿𝑦𝑡1 𝑢𝑡 𝜏𝜇 𝑦𝑡 𝜇 𝛼𝑡 𝛿𝑦𝑡1 𝑢𝑡 𝜏𝜏 Testar 𝐻0 𝛿 0 isto é há uma raiz unitária a série temporal é não estacionária contra a alternativa 𝐻1 𝛿 0 isto é a série temporal é estacionária yt μ αt ρ yt1 ut Passo Aleatório ρ 1 Estacionário memória dissipa no tempo ρ 1 ñ estacionário memória acumula no tempo drift tend determinístico yt ρ yt1 ut ρ 1 H0 ρ 1 H0 δ 0 δ ρ 1 H0 δ 0 série tem raiz unitária ρ 1 H1 δ 0 série é estacionária ρ 1 Teste DF Formas funcionais Se as hipóteses nula for rejeitada isso significa que 𝑌𝑡 é respectivamente uma série temporal estacionária com média zero uma série temporal estacionária com média diferente de zero 𝜇1 𝜌 uma série temporal estacionária em torno de uma tendência determinística Não há maneira de conhecer desde o início qual é a especificação correta Algum procedimento de tentativa e erro é inevitável Exemplos Gujarati p 654 655 658 662 663 e 664 Delosso p 121 122 e 123 TABELA D7 VALORES CRÍTICOS DE t τ DE DICKEYFULLER A 1 E 5 E VALORES DE F PARA TESTES DE RAIZ UNITÁRIA Tamanho da amostra tnc tc tct F F 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 25 266 195 375 300 438 360 1061 724 821 568 50 262 195 358 293 415 350 931 673 702 513 100 260 195 351 289 404 345 873 649 650 488 250 258 195 346 288 399 343 843 634 622 475 500 258 195 344 287 398 342 834 630 615 471 258 195 343 286 396 341 827 625 609 468 Os índices nc c e ct denotam respectivamente que não há constante qua há uma constante e que há uma constante e um termo de tendência na regressão 2195 Os valores críticos de F são para as hipóteses conjuntas de que os termos constante e δ em 2195 são simultaneamente iguais a zero Os valores críticos de F são para a hipótese conjunta de que os termos constante de tendência e δ em 2195 são simultaneamente iguais a zero Fonte adaptado de Fuller W A Introduction to Statistical Time Series Nova York John Wiley Sons 1976 p 373 para o teste τ e Dickey D A e Fuller W A Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series with a Unit Root Econometrica vol 49 1981 p 1063 2500 3000 3500 4000 4500 5000 1970 1975 1980 1985 1990 GDP gretl Arquivo Ferramentas Dados Ver Acrescentar Amostra Variável Modelo Ajuda Table211gdt nº ID Nome da variável Descrição 0 const 1 GDP Gross Domestic Product Billions of 2 PDI Personal Disposable Income Billion 3 PCE Personal Consumption Expenditure 4 PROFITS Corporate Profits After Tax Billions 5 DIV Net Corporate Dividends Payments Trimestral Intervalo completo Mostrar valores Editar características Definir código para valores ausentes Estatísticas descritivas Teste de normalidade Distribuição de frequência Gráfico de densidade estimada Diagrama de caixa Gráfico QQ Normal Coeficiente de Gini Gráfico amplitudemédia Testes de raiz unitária Correlograma Periodograma Filtro X13ARIMA analysis Análise TRAMO Expoente de Hurst Teste de nãolinearidade BDS Desagregação Teste de DickeyFuller aumentado Teste ADFGLS Teste KPSS Teste LevinLinChu Integração fracional gretl gretl teste ADF Arquivo Ferramentas Da Ordem de defasagem para o teste ADF 0 testar para baixo a partir da ordem máxima de defasagem critério AIC teste sem constante com constante com constante e tendência com constante tendência e quadrado da tendência incluir dummies sazonais mostrar resultados da regressão usar nível da variável usar a primeira diferença da variável Ajuda Cancelar OK Trimestral Intervalo completo 19701 19914 Também é possível rodar diretamente a regressão por MQO mas usar a tabela do teste DF para comparar o valor da estatística de teste para o componente da raiz unitária Teste de DickeyFuller para GDP tamanho da amostra 87 hipótese nula de raiz unitária a 1 teste sem constante modelo 1Ly a1y1 e valor estimado de a 1 000576538 estatística de teste taunc1 579808 pvalor 1 coeficiente de 1ª ordem para e 0325 Regressão de DickeyFuller MQO usando as observações 1970219914 T 87 Variável dependente dGDP coeficiente erro padrão razãot pvalor GDP1 000576538 0000994361 5798 10000 AIC 872417 BIC 874882 HQC 87341 Teste DF Especificação 1 passeio aleatório puro 𝑦𝑡 𝛿𝑦𝑡1 𝑢𝑡 teste com constante modelo 1Ly b0 a1y1 e valor estimado de a 1 000136792 estatística de teste tauc1 0219165 pvalor 0931 coeficiente de 1ª ordem para e 0317 Regressão de DickeyFuller MQO usando as observações 1970219914 T 87 Variável dependente dGDP coeficiente erro padrão razãot pvalor const 282054 243653 1158 02503 GDP1 000136792 000624153 02192 09310 AIC 873056 BIC 877987 HQC 875042 Teste DF Especificação 2 passeio aleatório com constante 𝑦𝑡 𝜇 𝛿𝑦𝑡1 𝑢𝑡 reject 5 nor reject Ho 95 0 93 021 Δyt δyt1 uc δ p 1 H0 δ 0 H1 δ 0 t δ epδ 000136792 000624153 0219 pValue 093 Teste DF Especificação 3 passeio aleatório com constante e tendência determinística com constante e tendência modelo 1Ly b0 b1t a1y1 e valor estimado de a 1 00603169 estatística de teste tauct1 16253 pvalor 0775 coeficiente de 1ª ordem para e 0338 Regressão de DickeyFuller MQO usando as observações 1970219914 T 87 Variável dependente dGDP coeficiente erro padrão razãot pvalor const 188906 102634 1841 00692 GDP1 00603169 00371113 1625 07750 time 147764 0917244 1611 01109 AIC 872408 BIC 879806 HQC 875387 𝑦𝑡 𝜇 𝛼𝑡 𝛿𝑦𝑡1 𝑢𝑡 V ou F 1 O modelo é passeio aleatório puro 2 O valor estimado para o parâmetro 𝜌 é de 09986 para a especificação com drift 3 O parâmetro de tendência determinística não é estatisticamente significante DickeyFuller Aumentado O problema do teste anterior é que DF consideraram o erro um ruído branco Mas frequentemente o erro é um processo estacionário qualquer um ARp por exemplo Esse problema pode causar distorções no poder de teste 𝑦𝑡 𝜇 𝛼𝑡 𝛿𝑦𝑡1 𝑖1 𝑝1 𝜆𝑖Δ𝑦𝑡𝑖 𝑢𝑡 Exercício Delosso 42 João M Queines possuía uma série com tendência quadrática pela forma como estimou a série Ele queria verificar se tal série possuía uma única raiz unitária segundo Phillips e Perron 1988 mas não tinha disponível a tabela apropriada para esse teste No entanto observou que a estatística t calculada era maior que o valor crítico da tabela com tendência apenas A série possui uma raiz unitária Por quê PhillipsPerron Faz uma correção não paramétrica ao teste ADF permitindo que ele seja consistente mesmo que haja variáveis defasadas dependentes e correlação serial nos erros Esse teste torna desnecessária assim a especificação de um modelo com ordem suficientemente autorregressivo para expurgar a correlação serial dos resíduos Dessa forma a interpretação é análoga ao teste DF teste DF pode ser considerado um caso especial do teste de Phillips e Perron ver Bueno 2012 p 124 Críticas aos testes de raiz unitária Tamanho e potência dos testes Tamanho nível de significância probabilidade de cometer erro tipo I Potência probabilidade de rejeitar H0 quando ela for falsa 1 probabilidade do erro tipo II não rejeitar H0 falsa H0 série tem raiz unitária não estacionária Outros testes de raiz unitária Um dos problemas do teste de RU desenvolvido por DF é seu baixo poder particularmente ante a presença de um componente de médias móveis perto do círculo unitário Isso significa que o teste de RU não consegue rejeitar a nula de que a série tem RU para uma infinidade de séries econômicas Por essa razão outros testes vêm sendo desenvolvidos inclusive com o uso de machine learning artigo Kaue A seguir teço alguns comentários sobre alguns desses os outros testes KPSS H0 é de estacionaridade isto é H0 yt I0contra H1 yt I1 A ideia é usar o teste complementando os testes de RU O argumento é que se pode assim distinguir a RU de séries cujos dados não são suficientemente conclusivos A forma de desenvolver o teste segue a literatura de modelos estruturais cuja preocupação é dar uma interpretação econômica aos vários componentes de uma série temporal Tem um poder baixo se o modelo se trata de um ARIMAp 1 1 Ver seção 455 Bueno 2012 Elliot Rothemberg e Stock ERS Os autores argumentam que o poder do teste ADF pode ser aumentado se de alguma forma os termos determinísticos forem expurgados da regressão do teste Eles sugerem então uma modificação no teste ADF Raizes unitárias sazonais A maneira mais direta de tratar raízes sazonais ocorre com o uso de variáveis dummies para captálas Imaginando dados trimestrais podese estimar a seguinte regressão COLOCAR REGRESSAO PAG 144 Experimentos de Monte Carlo demonstram que a distribuição do teste sobre alpha não se altera na presença de sazonalidade determinística mesmo na presença de tendência temporal t Se não é possível usar dummies e há raiz unitária sazonal o teste muda consideravelmente Consultar 459 Bueno 2012 para ver detalhes do procedimento Quebra estrutural Na presença de quebra estrutural os testes são viesados na direção da não rejeição da hipótese de RU Nesse caso no entanto devemse consultar os valores tabelados para teste com quebra estrutural por Perron 1989 em que se assume uma única e conhecida quebra estrutural para toda a amostra disponível Tópico adicional decomposição em ciclos econômicos e tendências de longo prazo Múltiplas raizes Na prática é difícil encontrar uma série temporal com mais de duas raízes unitárias