Mecânica dos Solos - Notas de Aula sobre Pressões e Tensões no Solo

Notas de Aula Mecânica dos Solos 93 UNIDADE 7 PRESSÕES E TENSÕES NO SOLO 71 Introdução Em grande parte dos problemas de engenharia de solos é necessário o conhecimento do estado de tensões em pontos do subsolo antes e depois da construção de uma estrutura qualquer As tensões na massa de solo são causadas por cargas externas ou pelo próprio peso do solo As considerações acerca dos esforços introduzidos por um carregamento externo são bastante complexas e seu tratamento normalmente se dá a partir das hipóteses formuladas pela teoria da elasticidade 72 Tensões geostáticas tensões iniciais no terreno Dado o perfil geotécnico da Figura 71 no qual o nível do terreno NT é horizontal a natureza do solo não varia horizontalmente e não há carregamento externo cargas aplicadas e distribuídas próxima a região considerada caracteriza uma situação de tensões geostáticas Quando a superfície do terreno for horizontal em um elemento de solo situado a uma profundidade z da superfície não existirá tensões cisalhantes em planos verticais e horizontais portanto estes são planos principais de tensões Figura 71 Perfil geotécnico Em uma situação de tensões geostáticas portanto a tensão normal vertical inicial σvo no ponto A pode ser obtida considerando o peso do solo acima do ponto A dividido pela área z b z b A W v γ γ σ 2 2 0 onde W γ V peso do prisma V b2 z volume do prisma A b2 área do prisma γ peso específico natural do solo σh σv σh σ tensão normal perpendicular ao plano τ tensão cisalhante no plano NT Prisma A elemento de solo b b Z γ Solo seco S 0 Notas de Aula Mecânica dos Solos 94 Se o solo acima do ponto A for estratificado isto é composto de n camadas o valor de σv0 é dado pelo somatório de γi zi onde i varia de 1 a n n i z i i v 1 0 γ σ Quando o peso específico da camada não for constante e se conhecer a sua lei de variação com a profundidade a tensão poderá ser calculada dz z v z 0 0 γ σ 711 Água no solo O ingresso de água no solo através de infiltração no terreno e a ocorrência de um perfil estratificado com uma sucessão de camadas permeáveis e impermeáveis permitem a formação de lençóis freáticos ou artesianos Para entender estes fenômenos podese imaginar que no local foram instalados três tubos A B e C Figura 72 Ortigão 1993 o primeiro atravessando a camada inicial permeável seguindo por uma camada de solo impermeável e atingindo a camada inferior onde ocorre lençol confinado artesiano ou sob pressão Estes nomes se aplicam porque o nível de água NA do tubo A está acima do nível do terreno NT O tubo B encontra um lençol livre situação que é verificada pelo operador no campo pois a profundidade do nível dágua no tubo permanece estacionária Já a perfuração feita para instalar o tubo C atinge inicialmente o lençol livre Avançandoa podese observar que a água subirá no tubo indicando que se atingiu também o lençol artesiano inferior A Figura 72 apresenta também um caso de lençol pendurado ou cativo ou seja preso sobre uma fina camada de material impermeável Se uma perfuração for aí realizada ocorrerá perda dágua repentina no furo assim que a perfuração atingir a camada permeável inferior Considerando um maciço saturado com água em condições hidrostáticas isto é sem fluxo a profundidade na qual a pressão na água é atmosférica é o chamado nível dágua natural NA ou lençol freático Portanto abaixo do nível dágua a pressão na água ou poropressão ou pressão neutra u0 é positiva Sendo definida pela expressão u0 γw zw onde u0 pressão neutra ou poropressão γw peso específico da água tomado igual a 10 kNm3 1gcm3 zw profundidade em relação ao nível da água A água exerce pressão de igual valor mesma direção e sentido contrário portanto a resultante é nula A pressão na água se transmite de um ponto para outro do solo através do contato entre o líquido contido nos vazios do solo No perfil geotécnico da Figura 73 a tensão normal vertical inicial σvo no ponto A pode ser obtido considerando o peso do solo saturado acima do ponto A dividido pela área Portanto temos σv0 γ sat z Notas de Aula Mecânica dos Solos 95 Figura 72 Perfil de solo estratificado com diversos níveis de água Figura 73 Perfil geotécnico Solo saturado 712 Tensão vertical total A tensão vertical total inicial no ponto A do perfil de solo da Figura 74 é σv0 γ z1 γ sat z2 e a poropressão ou pressão neutra no mesmo ponto é u0 γw zw Figura 74 Perfil de solo NT Prisma A elemento de solo b b Z γsat Solo saturado S 100 NA NT A Z1 γsat NA γ Z2 Zw Notas de Aula Mecânica dos Solos 96 713 Princípio das tensões efetivas Em 1925 Karl Terzaghi definiu que o comportamento dos solos saturados quando à compressibilidade e à resistência ao cisalhamento depende fundamentalmente da pressão média intergranular denominado de tensão efetiva tensão grão a grão foi uma das maiores contribuições à engenharia e é considerado o marco fundamental do estabelecimento da Mecânica dos Solos com bases científicas independentes A comprovação desse princípio foi feita por Terzaghi de maneira muito simples utilizando um tanque com solo saturado e água Aumentando o nível da água no tanque a pressão total σv0 também aumenta no solo Entretanto não se observa qualquer diminuição de volume no solo o que vem comprovar que seu comportamento é totalmente independente das tensões totais Nos solos saturados S 100 parte das tensões normais é suportada pelo esqueleto sólido grãos e parte pela fase líquida água portanto temse que σ σ u onde σ tensão total σ tensão efetiva u pressão neutra Exemplo 1 Calcule as tensões total neutra e efetiva para os pontos assinalados tensões verticais Faça um gráfico da variação da tensão por profundidade 470 1352 1777 420 670 470 932 1107 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 TENSÕES kNm2 PROFUNDIDADE m Tensão total Pressão neutra Tensão efetiva Profundidade Tensão total kNm2 Pressão neutra kNm2 Tensão efetiva kNm2 Pontos m σv0 γ z1 γ sat z2 u0 γw zw σv0 σv0 u0 A 0 0 0 0 B 28 168 28 470 0 47 0 470 C 70 47 21 42 1352 42 10 420 135 42 932 D 95 135 17 25 1777 42 10 25 670 1775 675 1107 NT A 00 m γ 168 kNm3 NA 28 m 70 m 95 m B C D γ 210 kNm3 γ 170 kNm3 argila areia silte Notas de Aula Mecânica dos Solos 97 714 Solos submersos Em solos submersos portanto saturados definese o peso específico submerso γsub ou γ que permite calcular a tensão vertical efetiva σv0 em qualquer plano do solo submerso Figura 75 A tensão total σv0 é σv0 γw z1 γsat z u0 γw zw γw z1 z Desta forma a tensão efetiva será σv0 σv0 u0 σv0 γw z1 γsat z γw z1 z σv0 γw z1 γsat z γw z1 γw z σv0 γsat z γw z γsat γw z como γsub γsat γw temos σv0 γsub z Esta equação é independente de zw portanto a pressão efetiva não varia com a espessura da lâmina de água Figura 75 Perfil de solo submerso 715 Solos não saturados solos parcialmente saturados Para solos com 0 S grau de saturação 100 e que terá em seus vazios dois fluídos geralmente ar e água está situação difere da anterior em face das seguintes alterações não há uma continuidade da coluna dágua a pressão neutra total é a soma da pressão na fase gasosa mais a pressão na fase líquida e a equação σ σ u poderá ser colocada na forma proposta por Bishop 1959 σ σ uar χ uar uw onde uar pressão na fase gasosa uw pressão na fase líquida χ coeficiente que varia de 0 solos secos a 1 solos saturados O valor de χ além de ser muito influenciado pelo grau de saturação do solo sofre influência também da estrutura do ciclo de inundaçãosecamento e de alterações havidas no estado de tensões NT A Z1 γsat NA γw lâmina de água Z Zw Notas de Aula Mecânica dos Solos 98 716 Pressões efetivas em condições hidrodinâmicas As tensões efetivas verticais em condições hidrodinâmicas são calculadas pela equação σ σ u Nesta equação o valor da poropressão u é estimado ou medido in situ através de piezômetros Um desses instrumentos conhecido como o piezômetro Casagrande ou tubo aberto está esquematizado na Figura 76 O equipamento consta de uma ponta porosa vela de filtro ou tubo perfurado revestido com manta ou geossintético permeável que é instalado no terreno através de uma perfuração ao redor da qual executase um bulbo de areia Este dispositivo permite que a água flua para o interior do tubo A ponta porosa se comunica com a superfície por um tubo plástico através do qual o nível dágua é medido A diferença de cota entre o nível dágua medido e a ponta porosa corresponde à pressão neutra em metros de coluna dágua Figura 76 Piezômetro de Casagrande Lambe Whitman 1969 Notas de Aula Mecânica dos Solos 99 Exemplo 2 O perfil geotécnico abaixo apresenta um terreno onde os piezômetros de Casagrande instalados indicam artesianismo do lençol inferior Calcular as tensões totais e efetivas iniciais e a pressão neutra nos pontos assinalados 20 71 106 106 142 50 115 0 21 31 27 95 75 11 0 20 40 60 80 100 120 140 160 TENSÕES kNm2 PROFUNDIDADE m Tensão total Pressão neutra Tensão efetiva Profundidade Tensão total kNm2 Pressão neutra kNm2 Tensão efetiva kNm2 Pontos m σv0 γw z1 γsat z u0 γw zw σv0 σv0 u0 A 20 10 2 20 10 2 20 20 20 0 B 50 20 17 3 71 10 5 50 71 50 21 10 55 2 75 Argila 106 75 31 C 75 71 14 25 106 10 55 4 95 Areia 106 95 11 D 95 106 18 2 142 10 75 4 115 142 115 27 717 Tensões horizontais Até agora foram vistas as tensões verticais iniciais totais e efetivas entretanto não é suficiente para se conhecer o estado de tensão inicial pois considerando uma situação bidimensional é necessário determinar as tensões que atuam em dois planos ortogonais Devido ao peso próprio ocorrem também tensões horizontais que são uma parcela da tensão vertical atuante v h k σ σ onde o coeficiente k é denominado de coeficiente de tensão lateral que é função do tipo de solo da história de tensões etc NT 00 m γ 100 kNm3 NA 20 m 50 m 75 m A B C γ 170 kNm3 γ 140 kNm3 areia água argila 115 m D γ 180 kNm3 areia 20 m 95 m Notas de Aula Mecânica dos Solos 100 Existe uma situação em que a tensão horizontal efetiva e a tensão vertical efetiva se relacionam de maneira simples quando não há deformação lateral do depósito por exemplo extensos depósitos sedimentares Neste caso definese o coeficiente de tensão lateral no repouso ko que é a relação entre tensões efetivas iniciais 0 0 0 v h k σ σ O valor de K0 pode ser obtido através de ensaios de laboratório em que simulam condições iniciais ou seja sem deformações laterais In situ podese determinar o valor de K0 introduzindo no terreno uma célulaespada Figura 77 ou seja um medidor de pressão semelhante a uma almofada porém de pequena espessura que é cravado verticalmente no terreno como uma espada e após a estabilização permite deduzir a tensão lateral total σh0 Conhecendo o valor da pressão neutra inicial u0 e da tensão efetiva vertical σv0 obtémse o valor de K0 pela equação anterior Valores típicos de K0 em função do tipo de solo areia fofa 055 areia densa 040 argila de baixa plasticidade 050 argila de alta plasticidade 065 Há algumas relações empíricas para a determinação de K0 como as apresentadas na Tabela abaixo Tabela 71 Relações empíricas para determinação de K0 Relações Tipo de solo Autor Ano K0 1 sen φ solos granulares Jaky 1944 K0 095 sen φ argilas normalmente adensadas Brooker e Ireland 1965 K0 1 sen φ OCR argilas préadensadas Meyerhof 1976 K0 1 sen φ OCRsenφ argilas préadensadas Mayne e Kulhawy 1981 Onde φ ângulo de atrito interno do solo Unidade 9 OCR razão de préadensamento Unidade 8 0 V Vm OCR σ σ σvm tensão de préadensamento e σv0 tensão efetiva atual Figura 77 Célula espada para a determinação da tensão horizontal total Notas de Aula Mecânica dos Solos 101 Exemplo 3 Calcular tensão efetiva vertical inicial e a tensão efetiva horizontal inicial nos pontos A B C e D no perfil geotécnico da figura abaixo e traçar o diagrama de variação das tensões com a profundidade 340 340 610 610 810 810 1310 786 648 488 486 305 170 0 20 40 60 80 100 120 140 160 TENSÕES kPa PROFUNDIDADE m Tensão efetiva vertical Tensão efetiva horizontal Tensão efetiva vertical kPa Tensão efetiva horizontal kPa Pontos σvo γsub z γsat γw z σh0 k0 σv0 A 17 2 340 34 05 170 61 05 305 B 34 19 10 3 610 61 08 488 81 08 648 C 61 15 10 4 810 81 06 486 D 81 20 10 5 1310 131 06 786 718 Superfície de terreno inclinado Superfícies inclinadas geram tensões tangenciais τ nas faces horizontal e vertical de um elemento de solo Figura 78 Figura 78 Superfície do terreno inclinado NT A 0 m γ 17 e K0 05 NA 2 m 5 m 14 m B C D argila areia areia 9 m γ 19 e K0 05 γ 15 e K0 08 γ 20 e K0 06 NT γ W b0 B z N T i i γ peso específico natural i inclinação do terreno Onde W peso do solo W γ B z N W cos i tensão normal B b₀ cos i W γ b₀ cos i z T W sen i tensão tangencial Tensão total vertical inicial plano paralelo a superfície σv₀ W A W b₀ 1 m γ b₀ cos i z b₀ 1 m σv₀ γ z cos i Tensão total normal σn₀ N A W cos i b₀ 1 m γ b₀ cos i z cos i b₀ 1 m σn₀ γ z cos² i Tensão cisalhante τ TA W sen i b₀ 1 m γ b₀ cos i z sen i b₀ 1 m τ γ z sen i cos i 719 Capilaridade É um processo de movimentação dágua contrária à ação gravitacional ascensão capilar A água se eleva por entre os interstícios de pequenas dimensões deixados pelas partículas sólidas vazios ou poros acima do nível dágua O nível dágua ou freático é a superfície em que atua a pressão atmosférica e na Mecânica dos Solos é tomada como origem do referencial para as poropressões e no nível freático a poropressão é igual a zero Os fenômenos de capilaridade estão associados diretamente à tensão superficial sendo a que atua em toda a superfície de um líquido como decorrência da ação da energia superficial livre O perfil geotécnico da Figura 79 mostranos a distribuição típica da umidade do solo e da poropressão u₀ Figura 79 Distribuição do teor de umidade e poropressão em um perfil de solo Notas de Aula Mecânica dos Solos 103 Na Figura 79 temse o diagrama de poropressões verificase que graças à ascensão capilar a poropressão acima do nível dágua é negativa u 0 O solo apresenta às vezes seus poros interligados e formando canalículos que funcionam como tubos capilares Assim podese explicar dentro da massa a ocorrência de zonas saturadas de solos que estão situadas acima do nível dágua Para melhor compreensão do fenômeno da capilaridade é possível partir da idéia de que poros entre os grãos dos solos formam canalículos capilares verticais Um modelo físico disso é emergir a ponta de um tubo capilar em água Figura 710 A água subirá até uma altura de ascensão capilar tanto maior esta altura quanto menor o diâmetro do tubo tal que a componente vertical da força capilar Fc 2πrTs seja igual ao peso da coluna dágua suspensa Figura 710 Modelo físico do fenômeno da capilaridade Onde Ts tensão superficial da água 00764 gcm α ângulo de contato que dependem do fluído e do sólido de contato Portanto para que ocorra o equilíbrio temos que 2π r Ts cos α π r2 γw hc cos 2 hc w r Ts γ α ou cos 4 hc w d Ts γ α verificase que a altura de ascensão capilar é inversamente proporcional ao diâmetro Nos solos como estimativa da ascensão capilar máxima α 0 0 306 hc d com d em cm Onde d é o diâmetro dos poros Portanto nos solos arenosos e pedregulhosos onde os poros são maiores a altura de ascensão capilar na prática está entre 30cm e 1m Já nos solos siltosos e argilosos onde os poros são menores a altura de ascensão capilar chega a dezenas de metros A água em contato com o solo também tenderá a formar meniscos Nos pontos de contato dos meniscos com os grãos Figura 711 evidentemente agirão pressões de contato tendendo a comprimir os grãos Estas pressões de contato pressões neutras negativas somamse as tensões totais σ σ u σ u α TUBO CAPILAR φ d MENISCO Patm h0 NA Ts cos α Ts Ts u γw hc P0 Notas de Aula Mecânica dos Solos 104 fazendo com que a tensão efetiva realmente atuante seja maior que a total Esse acréscimo de tensão proporciona um acréscimo de resistência conhecido como coesão aparente ver Unidade 9 responsável por exemplo pela estabilidade de taludes em areia úmida Uma vez eliminada a ação das forças capilares saturação do solo desaparece este ganho de resistência coesão aparente tende a zero Figura 711 Pressões de contato em uma amostra de solo Exemplo 4 Dado o perfil geotécnico abaixo admitindo que na zona da franja capilar o solo esteja completamente saturado qual o valor da pressão neutra e efetiva nos pontos A e B 20 5 71 41 15 5 5 15 25 35 45 55 65 75 TENSÕES kPa PROFUNDIDADE m Pressão neutra Tensão efetiva Tensão total kNm2 Pressão neutra kNm2 Tensão efetiva kNm2 Pontos σv0 γ z1 γsat z u0 γw zw σv0 σv0 u0 A 18 2 36 10 05 5 36 5 41 B 36 22 25 91 10 2 20 91 20 71 72 Propagação de tensões no solo devido a carregamentos externos São as tensões decorrentes das cargas estruturais aplicadas tensões induzidas resultantes de fundações aterros pavimentos escavações etc A lei de variação das modificações de tensões em função da posição dos elementos do terreno chamase distribuição de pressões Existem várias teorias sobre a distribuição de pressões mas vamos estudar a teoria simples ou antiga e a teoria da elasticidade MENISCOS GRÃOS DE SOLO NT NA areia fina franja capilar A 20 m 25 m 45 m γ 18 kNm2 γ 22 kNm2 A B Notas de Aula Mecânica dos Solos 105 A distribuição de tensões comporta duas análises 1ª as tensões induzidas no interior do maciço 2ª as tensões de contato 721 Tensões induzidas no interior do maciço São usualmente calculadas pela teoria da elasticidade 722 Efeito de sobrecarga Quando se aplica uma sobrecarga ao terreno no caso da Figura 712 a sobrecarga vertical Q foi aplicada à superfície o elemento A x z tem seu estado de tensões original modificado ou seja Figura 712 Efeito de uma sobrecarga em um perfil de solo a tensão vertical inicial efeito do peso próprio σv0 final após aplicação da sobrecarga σv0 σv b tensão horizontal inicial σh0 final σh0 σh c tensão cisalhante inicial zero final τ x Q σhσh0 σh0σh σv σv0 τ τ σv σv0 z NT σv0 σz σh0 σx Notas de Aula Mecânica dos Solos 106 723 Teoria de distribuição de pressões no solo por efeito de sobrecarga Quando se aplica uma sobrecarga ao terreno ela produz modificações nas tensões até então existentes Teoricamente tais modificações acarretando aumento ou diminuição das tensões existentes ocorrem em todos os pontos do maciço solicitado Dependendo da posição do ponto elemento do terreno em relação ao ponto ou lugar de aplicação da sobrecarga as modificações serão de acréscimo ou decréscimo maiores ou menores 724 Hipótese simples ou antiga A distribuição de pressões ou tensões pela hipótese simples ou antiga admitese que a carga Q aplicada à superfície se distribui em profundidade segundo um ângulo ϕ0 chamado ângulo de espraiamento ou de propagação A Figura 713 apresenta a distribuição de tensões no interior do maciço segundo a hipótese simples A propagação das pressões restringese à zona delimitada pelas linhas de espraiamento MN Figura 713 Distribuição de pressões pela hipótese simples Kogler e Scheidig 1948 sugerem valores para o ângulo de espraiamento segundo a tabela abaixo Tipo de solo ϕ 0 Solos muito moles 40 Areias puras coesão nula 40 a 45 Argilas de coesão elevada rijas e duras 70 Rochas 70 Para fins práticos a propagação de pressões devido à sobrecarga restringe à zona delimitada pelas linhas de espraiamento A hipótese simples contraria todas as observações experimentais feitas através de medições no interior do subsolo pelas quais se verificou que a pressão distribuída em profundidade não é uniforme mas sim variável em forma de sino A propagação das pressões restringese à zona delimitada pelas linhas de espraiamento MN Notas de Aula Mecânica dos Solos 107 A faixa de validade para esta teoria restringese a a sobrecargas provenientes de fundações muito rígidas eou estruturas rígidas chaminés torres obeliscos blocos de máquinas com tendência de recalques uniformes as pressões tendem à uniformidade b profundidades muito grandes achatamento do diagrama de pressões c valor de ϕ0 a adotar quanto mais resistente for o solo tanto maior será o valor de ϕ0 725 Teoria da elasticidade A teoria matemática da elasticidade fundamentase nos estudos entre outros de Cauchy Navier Lamé e Poisson tendo suas equações fundamentais sido estabelecidas na década de 1820 O estudo sobre a possível distribuição das tensões no solo resultado da aplicação da teoria de Boussinesq baseiase na teoria da elasticidade A teoria de elasticidade linear é baseada no comportamento elástico dos materiais ou seja na proporcionalidade entre as tensões σ e deformações ε segundo a lei de Hooke A razão σ ε E denominase módulo de elasticidade ou módulo de Young A correspondente expansão lateral do material terá valor ε µ σ E onde µ é o coeficiente de Poisson para solos e rochas varia entre 02 e 04 Em resumo a teoria da elasticidade admite a material seja homogêneo propriedades constantes na massa do solo b material seja isotrópico em qualquer ponto as propriedades são as mesmas independente da direção considerada c material seja linearelástico tensão e deformação são proporcionais Existem soluções para uma grande variedade de carregamentos 7251 Carga concentrada Solução de Boussinesq O estudo do efeito de cargas sobre o terreno foi estudado inicialmente por Boussinesq 1885 através da teoria da elasticidade Estudou o efeito da aplicação de uma carga concentrada sobre à superfície de um semiespaço infinito Figura 714 Expressões 3 5 2 3 z R P v π σ z R R R z r P h µ π σ 2 1 3 2 5 2 2 5 2 3 r z R P π τ onde z r 2 2 R µ coeficiente de Poisson Figura 714 Carga concentrada x r P Q σh σv τ R z NT z x σv σz σh σx A Notas de Aula Mecânica dos Solos 108 Exemplo 5 Foi aplicado no perfil abaixo uma sobrecarga de 1500 kN na superfície do terreno Determine as tensões iniciais os acréscimos de tensões devido à sobrecarga e as tensões finais no ponto A Tensões iniciais σv0 γ z 19 3 570 kPa σh0 k0 σv0 05 57 285 kPa τ0 0 Acréscimo de tensão devido à sobrecarga 3 5 3 4 24 2 3 1500 π σ v 141 kPa 3 4 24 4 24 502 1 4 24 3 3 3 2 1500 5 2 π σ h 141 kPa 2 5 3 3 4 24 2 3 1500 π τ 141 kPa Tensões finais σvf σv0 σv 57 141 711 kPa σhf σh0 σh 285 141 426 kPa τf τ0 τ 0 141 141 kPa É importante observar que os solos de modo geral afastamse das condições ideais de validade da teoria de Boussinesq Não são materiais elásticos nem homogêneos nem isotrópicos Entretanto as diferenças entre os solos reais e o material ideal de Boussinesq não são de molde a impedir a aplicação da teoria da elasticidade aos solos desde que observados certos requisitos Requisitos para aplicabilidade da solução de Boussinesq BARATA 1993 a Devese haver compatibilidade nas deformações do solo Portanto as cargas aplicadas e distribuídas não se aproximem da máxima resistência ao cisalhamento do solo Fator de segurança no mínimo igual a 3 para haver proporcionalidade entre as tensões e deformações b A resistência do solo deve ser constante ao longo da profundidade E módulo de elasticidade Nas argilas solos coesivos esse aspecto é mais viável Nas areias solos incoerentes menos viável c Solos muito heterogêneos com presença de camadas de origem constituição e resistência muito diferentes em contatos afastamse muito do material de Boussinesq Usar a solução de Westergaard item 726 d Somente cargas na superfície Cargas abaixo da superfície teoria de Mindlin r 3 m P 1500 kN R NT z γ 19 kNm3 µ 05 K0 05 R 424 m 3 m A Notas de Aula Mecânica dos Solos 109 e Teoria admite que o material solicitado tenha resistência à tração e ao cisalhamento ϕo 90o Nos solos argilosos o erro é menor f A solução de Boussinesq é para carga concentrada que na prática não ocorre nas fundações reais A teoria só se aplica sem erros grosseiros quando Carga sobre área circular z 3 d d diâmetro Carga sobre área retangular z 25 lado menor 7252 Carga linear Solução de Melan A partir das expressões de Boussinesq para carga concentrada usando o princípio da superposição o efeito do conjunto considerado como a soma dos efeitos de cada um dos componentes e por meio de integração matemática foi possível que vários pesquisadores chegassem a expressões para o cálculo da distribuição causada por cargas lineares e áreas carregadas As seguintes expressões foram propostas por Melan Figura 715 2 2 2 3 2 x z q z v σ 2 2 2 2 2 x z z q x h σ 2 2 2 2 2 x z x z q xy τ Figura 715 Solução de Melan 7253 Área carregada Carga uniforme sobre uma placa retangular de comprimento infinito Em placas retangulares em que uma das dimensões é muito maior que a outra os esforços induzidos na massa de solo podem ser determinados através das expressões propostas por Carothers e Terzaghi conforme o esquema da Figura 716 σv P α sen α cos α 2δπ σh P α sen α cos α 2δπ τ P sen α sen α 2δπ P carga distribuída por unidade de área Figura 716 Solução de Carothers q z σv A x σh τ δ α P qs x z A x z B 2b σh σv Notas de Aula Mecânica dos Solos 110 O bulbo de pressões correspondentes a esse tipo de carregamento é apresentado na Figura 717 onde b semilargura z profundidade vertical x distância horizontal do centro qs P carregamento σ1 σv tensão vertical efetiva σ3 σh tensão horizontal efetiva Para determinar as tensões induzidas obtémse do ábaco o fator de influência I Valor este que multiplicado pelo carregamento na superfície nos dará o acréscimo de tensão no ponto desejado conforme as expressões σv P I1 e σh P I3 Figura 717 Carregamento uniformemente distribuído sob uma área retangular de comprimento infinito Notas de Aula Mecânica dos Solos 111 Exemplo 6 Determine os acréscimos de tensão vertical e horizontal nos pontos assinalados da figura abaixo Pontos xb zb I1 σv I3 σh A 0 1 082 164 018 36 B 1 1 064 128 008 16 C 2 1 028 56 D 0 2 055 110 E 1 2 047 94 F 2 2 033 66 G 0 3 039 78 H 1 3 037 74 I 2 3 028 56 7254 Área carregada Carregamento uniformemente distribuído sobre uma placa retangular Para o caso de uma área retangular de lados a e b uniformemente carregada as tensões em um ponto situado a uma profundidade z na mesma vertical do vértice Na Figura 718 são dados segundo Holl 1940 as expressões para a determinação das tensões induzidas 2 2 2 1 3 3 2 R R R a b z z R arctg a b P v π σ 3 2 2 3 2 R R a b z z R arctg a b P h π σ 3 2 2 2 1 2 R R a z R a P π τ Figura 718 Placa retangular Podese utilizar o ábaco da Figura 719 a fim de determinar o acréscimo de tensão vertical σv σz no vértice de uma placa retangular carregada uniformemente Onde m bz n az temos σz σv P I qs P 200kPa x A B C D E F G H I 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m P z σv σz A x σh σx b a 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 z b a R z b R z a R Notas de Aula Mecânica dos Solos 112 m 01 m 02 m 03 m 04 m 05 m 06 m 07 m 08 m 09 m 10 m 12 m 14 m 16 m 18 m 20 m 25 m 30 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 01 10 100 n Coeficiente de influência I P σv σz b a z A σh x mbz n az σz PI Figura 719 Carregamento uniformemente distribuído sob uma área retangular Notas de Aula Mecânica dos Solos 113 Exemplo 7 Calcular o acréscimo de carga na vertical do ponto A a profundidade de 50 m A placa superficial tem 40 m x 100 m e esta submetida a uma pressão uniforme de 340 kPa a 10m z 5 m b 4m ábaco m 45 08 I 0181 n 105 2 σv P x I 340 x 0181 615 kPa Utilizando a expressão para o acréscimo de tensão vertical temos R1 102 52 05 1118 R2 42 52 05 640 R3 102 42 5205 1187 46 1118 1187 10 4 5 5 1187 10 4 2 340 2 2 arctg v π σ 0 546 0 674 2 340 π arctg rad rad v 0 546 0 593 2 340 π σ kPa v 615 0181 340 σ 7255 Área carregada Carregamento uniformemente distribuído sobre uma área circular tanques e depósitos cilíndricos fundações de chaminés e torres As tensões induzidas por uma placa uniformemente carregada na vertical que passa pelo centro da placa podem ser calculadas por meio da integração da equação de Boussinesq para toda área circular Esta integração foi realizada por Love e na Figura 719 têmse as características geométricas da área carregada O acréscimo de tensão efetiva vertical induzida no ponto A situado a uma profundidade z é dada pela expressão 2 3 2 1 1 1 R z P z v σ σ Onde R raio da área carregada z distância vertical x distância horizontal a partir do centro da área carregada P qs carregamento Figura 720 Área circular z σv σz A x σh σx 10 m 4 m 340 KPa P qs x z σv R z A Notas de Aula Mecânica dos Solos 114 Para pontos situados fora da vertical que passa pelo centro da placa o acréscimo de tensão efetiva vertical poderá ser calculado pelo ábaco da Figura 721 que fornece isóbaras de σvP em função do afastamento e da profundidade relativa xR e zR respectivamente Figura 721 Carregamento uniformemente distribuído sob uma área circular Notas de Aula Mecânica dos Solos 115 Exemplo 8 Calcular o acréscimo de tensão vertical nos pontos A e B transmitido ao terreno por um tanque circular de 60 m de diâmetro cuja pressão transmitido ao nível do terreno é igual a 240 kPa Utilizando o ábaco temos Ponto XR ZR I σv kPa A 0 1 064 1535 B 1 1 033 792 A tensão final no ponto A será σvfA 165 3 1535 2030 kPa 7256 Área carregada Carregamento Triangular Possui grande aplicação na estimativa de tensões induzidas no interior de massa de solo por aterros barragens etc Existem soluções para diversos tipos de carregamento triângulos retângulos escaleno trapézios etc Gráfico de Osterberg determina a tensão vertical σv devido a uma carga em forma de trapézio de comprimento infinito Figura 722 1 I v σ σ a z I1 Coeficiente de Influência b z Gráfico de Carothers determina a tensão vertical e horizontal σ1 σv σ3 σh devido a uma carga em forma de triângulo isósceles de comprimento infinito Figura 723 x a v 1 σ σ z a h 3 σ σ P qs x z σv b z a P qs x z σv a z a P 240 x z σvfA R 3 m 3 m σvfB A B γ 165 kPa Notas de Aula Mecânica dos Solos 116 Gráfico de Fadum determina a tensão vertical σv sob um carregamento trinagular de comprimento finito Figura 724 m b1 z Iz Coeficiente de Influência n a1 z Figura 722 Carregamento trapezoidal de comprimento infinito Gráfico de Osterberg x σv a1 z σ b1 Notas de Aula Mecânica dos Solos 117 Figura 723 Carregamento triangular de comprimento infinito Gráfico de Carothers Figura 724 Carregamento triangular de comprimento finito Gráfico de Fadun Notas de Aula Mecânica dos Solos 118 7257 Área carregada Carregamento uniformemente distribuído sobre uma superfície de forma irregular gráfico circular de Newmark O gráfico circular de Newmark é baseado na equação de Love 2 3 2 1 1 1 R z P z v σ σ P I z σ P z I σ A Figura 725 apresenta a construção gráfica de Newmark que atribui valores para I e calcula se o raio da placa necessário para produzir o acréscimo de pressões à profundidade z I σzP Rz 00 0000 01 0270 02 0400 03 0518 04 0637 05 0766 06 0918 07 1110 08 1387 09 1908 10 Figura 725 Ábaco circular de Newmark Dividindo cada círculo em 20 partes iguais têmse σz 01 P z 01 P 20 0005 P Desenhase a planta da superfície carregada na escala do gráfico AB z O ponto onde se quer determinar o acréscimo de pressão deve coincidir com o centro do gráfico O acréscimo de tensão vertical na profundidade z será P N I z v σ σ onde P carregamento externo N número de fatores de influência quadradinhos I unidade de influência R 0400 z R 0270 z INFLUÊNCIA 0005p Notas de Aula Mecânica dos Solos 119 Exemplo 9 Com os dados da figura abaixo calcule pelo gráfico de Newmark a pressão vertical a 3 m de profundidade abaixo do ponto M para a placa a e a 2 m de profundidade para a placa b σ v A 3 30 0005 045 kgcm2 45 kNm2 σ v B 1 83 0005 042 kgcm2 42 kNm2 726 Solução de Westergaard Alguns terrenos devido a condições especiais de sua origem por exemplo o caso de certas argilas sedimentares apresentam dispersas em sua massa intrusões ou lentes de material diverso de granulometria mais grossa siltes areias pedregulhos etc que acarretam aumento de resistência a deformações laterais Soluções desse tipo tornam inaplicáveis as expressões de Boussinesq em seu aspecto original pois esses terrenos se afastam ponderavelmente das hipóteses que servem de base ao desenvolvimento teórico Westergaard 1938 resolveu este problema específico aplicando a teoria da elasticidade mas imaginando que o solo estudado se constituísse de numerosas N 30 p 3 kgcm3 300 300 M a 150 300 z 3 m Escala 150 Valor da unidade de influência 0005 A B AB z 3m 300 300 200 100 M p 1 kgcm3 b z 2 m 200 100 Escala 1100 Valor da unidade de influência 0005 A B AB z 2m N 83 Notas de Aula Mecânica dos Solos 120 membranas horizontais finas muito juntas uma das outras e de grande resistência a deformações horizontais sem inferir todavia na deformabilidade vertical do solo ensanduichado Em outras palavras supôs em sua análise um material anisótropo mas homogêneo e com um coeficiente de Poisson muito baixo chegando à seguinte expressão para a tensão vertical num ponto qualquer da massa de solo devido à ação de uma carga pontual Q 2 3 2 2 2 1 2 x z C z C Q z v π σ σ onde µ µ 2 2 2 1 C Para µ 0 solo indeformável no sentido horizontal obtémse C ½ e os valores de σz de pontos diretamente sob a carga são os maiores possíveis Comparase com a expressão de Boussinesq temos N z Q z v 2 σ σ Esta expresão e a de Westergaard estão representadas na Figura 726 A expressão de Westergaard integrada e fazendose µ 0 permite obter as tensões causadas no solo abaixo de uma área carregada uniformemente A Figura 727 apresenta o ábaco para o cálculo dessas tensões Para condições do terreno semelhantes às supostas no desenvolvimento téorico de Westergaard darseá preferência à sua expressão Notese que para cargas pontuais sendo xz menor que 08 e para áreas uniformementes carregadas com az e bz menores que a unidade considerando µ 0 as expressões de Westergaard dão resultados 23 das de Boussinesq 00 01 02 03 04 05 00 05 10 15 20 25 30 R z N N z Q Z 2 σ 2 32 1 2 3 z R N B π 2 32 2 1 1 z R NW π N B N W Figura 726 Ábaco de Boussinesq curva NB e Ábaco de Westergaard curva NW Notas de Aula Mecânica dos Solos 121 Figura 727 Ábaco de Westergaard 73 Bulbo de Pressões Um aspecto interessante da distribuição de tensões pode ser observado com a noção do chamado bulbo de pressões A distribuição ao longo de planos horizontais em diversas profundidades tem a forma de sino O lugar geométrico de pontos de igual pressão em qualquer profundidade é uma superfície de revolução cuja seção vertical pelo eixo da carga tem o aspecto mostrado na Figura 728 É possível traçarse um número infinito de isóbaras desse tipo cada qual correspondendo a uma pressão σv σz constante A tensão em qualquer ponto no interior da massa limitada pela isóbara é maior que σz qualquer ponto fora da isóbara tem tensão menor que σz Para efeitos práticos considerase que valores menores que 01 p0 não têm efeito na deformabilidade do solo de fundação E portanto a isóbara σv σz 01 p0 como que limitaria a zona do solo sujeita às deformações A figura formada por essa isóbara denominase bulbo de pressões Figura 728 Bulbo de pressões Notas de Aula Mecânica dos Solos 122 731 Aplicações práticas do conceito de bulbo de pressões BARATA 1993 Pelos resultados experimentais e pelas expressões de σv σz para o caso de áreas carregadas podese depreender que quanto maiores às dimensões da fundação maiores serão as tensões a uma dada profundidade ou em outras palavras quanto maiores às dimensões da placa carregada maior a massa de terra afetada pelo bulbo de pressões Inicialmente convém que se saiba que o bulbo de pressões atinge uma profundidade Zo α B conforme esta representado na figura 729 sendo B a largura menor dimensão da área carregada e α um fator que depende da forma desta área Valores de α são fornecidos na tabela na mesma figura calculados pela teoria da elasticidade para o caso de base à superfície do terreno no caso de base abaixo da superfície os valores de α serão menores que os da tabela deles não diferindo substancialmente todavia Em solos arenosos os valores da tabela deverão ser acrescidos de aproximadamente 20 Figura 729 Aplicação do bulbo de pressões Exemplo 10 Num terreno como visto na figura abaixo típico dos existentes no centro da cidade do Rio de Janeiro é interessante observar a diferença entre os efeitos de uma pequena construção área quadrada de 45 m x 45 m e os de uma construção maior área quadrada de 10 m x 10 m O bulbo de pressões da pequena construção fica restrito à camada de areia ou seja praticamente não provocaria recalques sensíveis o bulbo da grande construção por outro lado influenciaria a camada de argila mole pressão no topo seria 30 de Po acarretando adensamento e recalques consequentes Forma de área carregada α Circular ou quadrada LB1 20 15 25 2 30 3 354 Retangular 4 40 L B 5 425 10 525 20 550 Infinitamente longa 650 Planta D ou B D ou B L2 S S L2 L NT Seção SS P0 010 P0 z0 α B B Notas de Aula Mecânica dos Solos 123 74 Pressão de Contato São as pressões sob a fundação e sobre o solo Portanto são muito complexas a sua distribuição e interferem a natureza do solo argiloso ou arenoso a rigidez da fundação expressa pelo produto E I do módulo de elasticidade pelo momento de inércia a profundidade Sob fundações flexíveis Devido à flexibilidade das fundações as pressões de contato são uniformes e idênticas às que são transmitidas pelas fundações a fundação acomodase perfeitamente às deformações do solo Se as pressões são uniformes os recalques ao contrário não são uniformes Verificase na Figura 730 que os solos coesivos argilas recalcam mais no centro da área carregada e menos nas bordas o que se justifica tendose em vista os valores dos recalques dados pelas expressões da teoria da elasticidade onde as tensões são maiores no centro da área carregada Os solos coesivos são os que mais se aproximam dos materiais ideais da teoria da elasticidade homogêneo isotrópico e elástico Para os solos não coesivos areias o módulo de elasticidade aumenta com o confinamento e portanto cresce da zona das bordas para a zona central da área carregada daí os recalques serem menores mo centro e maiores na bordas Para fundações flexíveis é usual admitir que a distribuição de pressões se faça proporcionalmente às deformações Figura 730 Distribuição das pressões de contato sob fundações flexíveis a solos coesivos b solos não coesivos Sob fundações rigídas São indeformáveis em relação ao solo impondo uma deformação contante ao solo sob a superfície de carga As pressões de contato nesta situação não poderão ser uniformes Ao compararse com o que ocorre sob fundações flexíveis verificase que para se obter um recalque uniforme terá que haver uma redistribuição das pressões como esta representado na Figura 731 com diminuição no centro e aumento nas bordas para solos coesivos e ao contrário aumento no centro e diminuição na periferia para solos não coesivos Figura 731 Distribuição das pressões de contato sob fundações rigídas a solos coesivos b solos não coesivos Notas de Aula Mecânica dos Solos 124 75 Exercícios 1 Dado o perfil geotécnico abaixo calcule a as tensões devidas ao peso próprio do solo σv e σv e as pressões neutras b adotando o valor de k0 igual a 05 para todas as camadas determine as tensões horizontais efetivas e totais c faça um diagrama da variação das tensões calculadas nos itens a e b com a profundidade 2 Para o perfil geotécnico abaixo determine a o acréscimo de tensão vertical para um depósito circular nas profundidades indicadas b a tensão efetiva final final aos 75m e aos 900 m de profundidade 3 Calcular a tensão induzida por uma carga pontual de 1500 t a um ponto situado a 5 m de profundidade afastado 53 m da aplicação da carga 4 Calcular a tensão induzida pressão transmitida por uma carga circular raio de 5 m com 100 kNm2 a pontos situados a 5 m de profundidade sob o centro da placa e afastado a 6m do centro da placa NT A 00 m γ 150 kNm3 NA 20 m 30 m 45 m B C D γ 170 kNm3 γ 150 kNm3 60 m E γ 175 kNm3 P qs 25 tonm2 45 m 75 m 150 m 225 m 300 m 450 m 600 m 750 m 900 m NT γ 2 tonm2 Notas de Aula Mecânica dos Solos 125 5 Calcular o acréscimo de tensão produzida pela placa da figura abaixo carregada com 78 kNm2 a um ponto situado a 5 m de profundidade abaixo do ponto O indicado na figura sabendose que a1 3 m a2 4 m b1 1 m b2 2 m 6 Dada a situação da planta abaixo calcule o acréscimo de tensão devido a sapata carregada com 480 kNm2 a 5 m de profundidade no ponto A 7 Dado o perfil geotécnico abaixo traçar o diagrama das pressões totais efetivas e neutras A 1 m 3 m 9 m 4 m y x a1 a2 b1 b2 z II I III IV NT A 50 m NA 20 m 20 m 70 m B C D 60 m E Argila mole γSAT 174 kNm3 Areia grossa γ SAT 238 kNm3 Argila dura γ SAT 205 kNm3 Rocha Areia fina γ 194 kNm3 Notas de Aula Mecânica dos Solos 126 8 Traçar o diagrama das pressões totais efetivas e neutras relativo ao perfil geotécnico abaixo 9 Determinar no perfil abaixo a cota ou profundidade em que teremos σv 777 tm2 777 kNm2 10 Calcular o acréscimo de pressão causado por uma placa crcular com 5 m de diâmetro carregada com 20 tm2 em pontos situados sob o seu eixo a 25 50 e 100 m de profundidade e traçar o respectivo diagrama NT A 20 m NA 10 m 60 m B C D 120 m Argila saturada γs 250 kNm3 e 08 Areia média saturada γ s 266 kNm3 w 11 Rocha Areia fina argilosa γd 132 kNm3 Sr 100 γs 264 kNm3 NT A 00 m NA 10 m 30 m B C D 100 m Areia fina γs 260 kNm3 e 08 Argila preta γ s 266 kNm3 Sr 100 e 108 Rocha Argila cinza arenosa γd 152 kNm3 60 m C Areia grossa saturada γ SAT 198 kNm3 Notas de Aula Mecânica dos Solos 127 11 Dada a placa circular em forma de anel abaixo representada calcular o acréscimo de pressão nos pontos A B C e D indicados situados a 25m de profundidade 12 Determinar a variação de pressão à profundidade de 40 m provocada por uma placa circular com 80 m de diâmetro carregada com 724 toneladas conforme indica esquema abaixo e traçar o respectivo diagrama 13 Calcular a pressão transmitida ao ponto A pelo atero dado no esquema abaixo A B C D 2m 3m 4m EM PLANTA A B C D Prof m 25 EM PERFIL 2m 2m 4m 4m A B C D E Q 724 t x 0 m 4 m δ α hat z A γ 22 kNm3 9 m 0 m 3 m α 285º β 560º δ 420º β Notas de Aula Mecânica dos Solos 128 14 Dada a situação em planta de um ponto A calcular a influência da sapata carregada com 480 kNm2 a 5 metros de profundidade 15 Calcular o acréscimo de pressão sob os pontos A B C e D abaixo indicados devido à construção do aterro dado e traçar o respectivo diagrama 16 Três pilares afastados 60 m de eixo a eixo transmitem as cargas indicadas no perfil abaixo Considerando as ditas cargas como puntiformes calcular as pressões transmitidas ao meio da camada de argila sob cada pilar A 9 m 4m 1m 3m 3m 12m 3m A B C D 0 m 6 m γ 22 kNm3 3m 3m 3 m 6m 6m 15 m Areia grossa compacta 0 m P1 48 t P1 64 t P3 80 t 35 m 75 m Areia fina medianamente compacta Argila cinza média Notas de Aula Mecânica dos Solos 129 17 Calcular a pressão vertical nos pontos A B e C abaixo indicados devido a uma estaca carregada com 500 kN sendo que 350 kN são transmitidos pela ponta da estaca e 150 kN pelo seu atrito lateral A B C 15 m x 5m 5m c z C 15 m z 20 m x 5 m