EDO - Modelagem de Misturas e Taxas de Variação - Aplicações e Exercícios Resolvidos

EDO Aplicações parte 3 quintafeira 17 de setembro de 2020 1710 Mistura Vamos supor que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial de V0 litros e Q0 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de Te litros por minuto possuindo uma concentração de Ce gramas de sal por litro Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de Ts litros por minuto A taxa de variação da quantidade de sal no tanque é igual a taxa com que entra sal no tanque menos a taxa com que sai sal do tanque A taxa com que entra sal no tanque é igual a taxa com que entra a mistura Te vezes a concentração de entrada Ce E a taxa com que sai sal do tanque é igual a taxa com que sai a mistura do tanque Ts vezes a concentração de sal que sai do tanque Cs Como a solução é bem misturada esta concentração é igual a concentração de sal no tanque ou seja dQdt TeCe TsCs Qt é a quantidade de sal no instante t Observe que Cst QtVt É o volume por sua vez é Vt V0 Tet Tst Vt V0 Te Tst Te Ts Vmax Volume V0 t0 Te Ts Vmax Volume V0 t0 Feita esta analise temos dQdt TeCe TsCs I Vt V0 Tet Tst Vt V0 Te Tst Te Ts Volume V0 t0 Volume V0 t0 Te Ts Feita esta analise temos dQdt TeCe TsCs I dQdt TeCe TsQV II dQdt TeCe TsQV0 TeTst III Q0 Q0 Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro Uma solução com uma concentração de 2te15100 t gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa a Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t onde t é contado a partir do início do processo b Calcule a concentração de sal no tanque t 10 minutos após o início do processo V0 100l Ce 2tet100 gl l Te 1 lmin Ts 1 lmin dQdt TcCe Ts QV0 Te Tst Q0 Q0 dQdt 12t et100 Q100 Q0 Q0 Q Q100 2t et100 Mut eptdt e1100 dt et100 Q Q100 2t et100 x et100 et100 Q et100100 Q 2t ddt et100 Q 2t ddt et100 Q dt 2t dt et100 Qt t2 c Qt t2et100 cet100 Como Ce 1 gl e V0 100 l Q0100 l 1 gl Q0 100 l 1 gl Q0 100 g Assim Q0 100 g Logo Q0 100 Q0 100 02e0100 ce0100 100 C 100 Portanto Qt t2 et100 100 et100 Ct QtVt C10 Q10 V10 100 e10100 100 e10100 100 2 e110 C10 2 e01 gl 181 gl Lei de Resfriamento de Newton A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura Tt de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura atual do corpo Tt e a temperatura constante do meio ambiente Tm ou seja a temperatura do corpo Tt é a solução do problema de valor inicial dTdt k Tt Tm T0 To Exercício Questão 4 A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura Tt de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura atual do corpo Tt e a temperatura constante do meio ambiente Tm Um café é considerado frio se ele estiver na temperatura ambiente Suponha que o café está a 90C logo depois de coado e um minuto depois passa para 85C em uma cozinha a 25C Determine a temperatura do café em função do tempo e descubra quanto tempo levará para o café esfriar dTdt k T 25 T0 90C T1 85 T0 90C T1 85 T k T 25 k μt eptdt ek dt ekt T k T 25 k x ekt ekt T k ekt T 25 k ekt ddt ekt T 25 k ekt ddt ekt T dt 25 k ekt dt ekt T 25 k ekt k c Tt 25 c ekt T0 25 c e0 90 25 C 90 C 90 25 65 Tt 25 65 ekt No outro dado temos T1 85C T1 25 65 ek 85 25 65 ek 60 65 ek Tt1 25 65 6065t1 40 656065t 15 6065t 1565 ln6065t1 ln1565 t1 ln1565ln6065 1832 18 min 19 sec ek 6065 ln ek ln6065 k ln6065 Assim Tt 25 65 et ln6065 Tt 25 65 eln6065t Tt 25 65 6065t lim Tt 25 t fim da aula