EDO - Aplicações e Datação por Carbono 14 - Resolução de Problemas

EDO Aplicações parte 2 terçafeira 15 de setembro de 2020 1643 5 xy 2y x² x y 2x y x p q Fator integrante px dx 2x dx 2 1x dx 2 lnx μx epx dx e2x dx e2 1x dx e2 ln x e μx x² Assim y 2x y x x² x² y 2x²x y x x² x² y 2x³ y x¹ ddx x² y 1x ddx x² y dx 1x dx x² y ln x c y ln x x² c x² y x² ln x c x² y x² ln x c Datação Por Carbono 14 A proporção de carbono 14 radioativo em relação ao carbono 12 presente nos seres vivos é constante Quando um organismo morre a absorção de carbono 14 cessa e a partir de então o carbono 14 vai se transformando em carbono 12 a uma taxa que é proporcional a quantidade presente Podemos descrever o problema de encontrar a quantidade de carbono 14 em função do tempo yt como o problema de valor inicial dcdt kC k 0 C0 C₀ C Ct C kC C kC 0 Fator integrante μt eptdt ekdt ekt Logo C kC 0 x μt ekt C k ekt C 0 ddt ekt Ct 0 ddt ekt Ct dt 0 dt ekt Ct a em que a ekt Ct a ekt Ct a ekt PVI diz C0 C0 logo C0 a ek 0 C0 a e0 a C0 Portanto Ct C0 ekt y at a 1 y at 0 a 1 Ct C0 ekt C0 e1kt C0 1ekt e 272 1e 037 C0 C0 e como t 0 então o gráfico de Ct C0 ekt é Sabemos que a meia vida do carbono 14 é 5400 então C5400 C0 2 C0 ek5400 C0 2 e5400k 12 ln e5400k ln 12 5400k ln e ln 21 k 15400 ln 21 k ln 215400 Substituindo em Ct temos Ct c0 ekt Ct c0 eln 215400t Ct c0 et ln 215400 Ct c0 eln 2t5400 Ct c0 2t5400 Ct c0 21t5400 Ct c0 05t5400 Questão 1 Santo Sudário O Santo Sudário de Turim mostra a imagem em negativo do corpo de um homem que aparentemente foi crucificado em que muitos acreditavam ser de jesus de Nazaré Veja na figura acima Em 1998 o Vaticano deu permissão para datar por carbono 14 o Sudário Três laboratórios científicos e independentes analisaram o tecido e concluíram que o sudário tinha aproximadamente 660 anos idade consistente com seu aparecimento histórico Usando essa idade e a meia vida do carbono 14 que é 5400 anos determine a porcentagem da quantidade original de C14 remanescente no tecido de 1998 Para isso você deve justificar matematicamente cada etapa pautando seus argumentos em equações diferenciais modelagem resolução e conclusão C0 t0 C1 660 t0 Como Ct C0 05t5400 então C660 C0 056605400 C1 C0 0566540 C1 0919 C0 C1 Logo C1 hoje 0919 C0 9188 C0 92 C0 0 C0 092 C0 t0 Ct C0 05t5400 Ct0 C0 05t05400 092 C0 Vamos supor que façamos uma aplicação de uma quantia S0 em um banco e que a taxa de variação do investimento dSdt é proporcional ao saldo em cada instante St Podemos descrever o problema de encontrar St como o problema de valor inicial dSdt rS S0 S0 r 0 e uma constante S0 C er0 Fn So 1 in n integro So ent So 1 in ent 1 in t n