Notas de Aula - Métodos Quantitativos - Problema dos Múltiplos Caixeiros Viajantes PMCV

Notas de Aula da Disciplina de Métodos Quantitativos para Tomada de Decisão Prof Edgard Pedroso Arquivo de aulas n o 07 PMCV algoritmo de designação em conjunto com a variante do método B B PMCV heurística da inserção do nó mais próximo É uma generalização do PCV onde existe mais de um caixeiro ou veículo Os M caixeiros veículos devem sair e retornar a sede da empresa Não existe restrição no número de nós que cada caixeiro deve visitar exceto que cada caixeiro deve visitar no mínimo um nó clientes CD Centro de distribuição Exemplo com quatro caixeiros 4 rotas O Problema dos Múltiplos Caixeiros Viajantes PMCV CD clientes clientes clientes 3 Suponha uma rede de quatro nós e dois veículos caixeiros Exemplo método exato 1 3 2 1 4 1 3 2 2 1 3 2 1 4 1 3 2 2 1 Criase M cópias do nó de partida cópias do nó 1 Matriz de custos da rede normal simétrico i 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 1 0 2 1 3 2 2 0 1 4 3 1 1 0 j C Matriz de custos da rede expandida C j M 2 1 e 1 i 1 1 2 3 4 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 2 1 1 0 2 1 3 2 2 2 0 1 4 3 3 1 1 0 As M cópias devem ser supostas não conectadas ou seja penalizase com custo infinito A solução é obtida aplicandose qualquer um dos métodos estudados Exemplo método exato Aqui aplicaremos o método que usa a variante de Blanch Bound Substituímos os zeros da diagonal principal por para então aplicar o algoritmo Húngaro de designação i 1 1 2 3 4 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 2 1 1 0 2 1 3 2 2 2 0 1 4 3 3 1 1 0 j i 1 1 2 3 4 1 1 2 3 1 1 2 3 2 1 1 2 1 3 2 2 2 1 4 3 3 1 1 j 1 Coloque os custos por unidade de recurso na forma de matriz matriz de eficiência Exemplo i 1 1 2 3 4 1 1 2 3 1 1 2 3 2 1 1 2 1 3 2 2 2 1 4 3 3 1 1 j i 1 1 2 3 4 1 0 1 2 1 0 1 2 2 0 0 1 0 3 1 1 1 0 4 2 2 0 0 j i 1 1 2 3 4 1 0 1 2 1 0 1 2 2 0 0 1 0 3 1 1 1 0 4 2 2 0 0 j i 1 1 2 3 4 1 0 1 2 1 0 1 2 2 0 0 1 0 3 1 1 1 0 4 2 2 0 0 j Continua a mesma Nas linhas Nas colunas 2 Subtraiaomenorcustodecadalinhaeoucolunatalqueexistanomínimo umzeroemcadalinha emcadacoluna 6 i 1 1 2 3 4 1 0 1 2 1 0 1 2 2 0 0 1 0 3 1 1 1 0 4 2 2 0 0 Não é solução 3 Marque o máximo número de designações às células zero como segue 31 Em cada linha com somente um 0 designe o 0 e elimine todos os 0s daquela coluna 32 Em cada coluna com somente um 0 designe o 0 e elimine todos os 0s daquela linha 33 Repita 31 e 32 até que todos os 0s tenham sido designados ou eliminados 34 Esteja certo de que não existe mais do que um 0 designado em cada linha e coluna 4 Se existe um 0 designado em cada linha e coluna estas serão as designações ótimas Marque as correspondentes células da matriz original e obtenha o custo total Estas são as designações de custo total mínimo 7 j i 1 1 2 3 4 1 0 1 2 1 0 1 2 2 0 0 1 0 3 1 1 1 0 4 2 2 0 0 j i 1 1 2 3 4 1 0 1 2 1 0 1 2 2 0 0 1 0 3 1 1 1 0 4 2 2 0 0 5 Se não existe um 0 designado em cada linha e em cada coluna obtenha mais 0s como segue 51 Marque todas as linhas que não tenham designação 52 Marque todas as colunas com 0s eliminados nas linhas marcadas 53 Marque todas as linhas com 0s designados nas colunas marcadas 54 Repita 52 e 53 até a exaustão 6 Risque com um traço todas as linhas não marcadas e colunas marcadas Verifique 1 Se o no de traços no de 0s designados 2 Se todos os 0s designados ou eliminados estão riscados com um traço Sim Sim 8 j i 1 1 2 3 4 1 0 1 2 1 0 1 2 2 0 0 1 0 3 1 1 1 0 4 2 2 0 0 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 3 1 1 2 0 4 2 2 1 0 72 e 73 Subtraia o menor dos não riscados e some nas intersecções dos riscos 9 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 3 1 1 2 0 4 2 2 1 0 Não é solução 3 Marque o máximo número de designações às células zero como segue 31 Em cada linha com somente um 0 designe o 0 e elimine todos os 0s daquela coluna 32 Em cada coluna com somente um 0 designe o 0 e elimine todos os 0s daquela linha 33 Repita 31 e 32 até que todos os 0s tenham sido designados ou eliminados 34 Esteja certo de que não existe mais do que um 0 designado em cada linha e coluna 4 Se existe um 0 designado em cada linha e coluna estas serão as designações ótimas Marque as correspondentes células da matriz original e obtenha o custo total Estas são as designações de custo total mínimo 10 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 3 1 1 2 0 4 2 2 1 0 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 3 1 1 2 0 4 2 2 1 0 5 Se não existe um 0 designado em cada linha e em cada coluna obtenha mais 0s como segue 51 Marque todas as linhas que não tenham designação 52 Marque todas as colunas com 0s eliminados nas linhas marcadas 53 Marque todas as linhas com 0s designados nas colunas marcadas 54 Repita 52 e 53 até a exaustão 6 Risque com um traço todas as linhas não marcadas e colunas marcadas Verifique 1 Se o no de traços no de 0s designados 2 Se todos os 0s designados ou eliminados estão riscados com um traço Sim Sim 11 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 3 1 1 2 0 4 2 2 1 0 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 2 0 3 1 1 3 0 4 1 1 1 0 72 e 73 Subtraia o menor dos não riscados e some nas intersecções dos riscos 12 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 2 0 3 1 1 3 0 4 1 1 1 0 Não é solução 3 Marque o máximo número de designações às células zero como segue 31 Em cada linha com somente um 0 designe o 0 e elimine todos os 0s daquela coluna 32 Em cada coluna com somente um 0 designe o 0 e elimine todos os 0s daquela linha 33 Repita 31 e 32 até que todos os 0s tenham sido designados ou eliminados 34 Esteja certo de que não existe mais do que um 0 designado em cada linha e coluna 4 Se existe um 0 designado em cada linha e coluna estas serão as designações ótimas Marque as correspondentes células da matriz original e obtenha o custo total Estas são as designações de custo total mínimo 13 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 2 0 3 1 1 3 0 4 1 1 1 0 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 2 0 3 1 1 3 0 4 1 1 1 0 5 Se não existe um 0 designado em cada linha e em cada coluna obtenha mais 0s como segue 51 Marque todas as linhas que não tenham designação 52 Marque todas as colunas com 0s eliminados nas linhas marcadas 53 Marque todas as linhas com 0s designados nas colunas marcadas 54 Repita 52 e 53 até a exaustão 6 Risque com um traço todas as linhas não marcadas e colunas marcadas Verifique 1 Se o no de traços no de 0s designados 2 Se todos os 0s designados ou eliminados estão riscados com um traço Sim Sim 14 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 2 0 3 1 1 3 0 4 1 1 1 0 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 3 1 3 0 0 3 0 4 0 0 1 0 72 e 73 Subtraia o menor dos não riscados e some nas intersecções dos riscos 15 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 3 1 3 0 0 3 0 4 0 0 1 0 Várias Soluções OBS Em geral na prática estamos interessados em apenas uma solução ótima 3 Marque o máximo número de designações às células zero como segue 31 Em cada linha com somente um 0 designe o 0 e elimine todos os 0s daquela coluna 32 Em cada coluna com somente um 0 designe o 0 e elimine todos os 0s daquela linha 33 Repita 31 e 32 até que todos os 0s tenham sido designados ou eliminados 34 Esteja certo de que não existe mais do que um 0 designado em cada linha e coluna 4 Se existe um 0 designado em cada linha e coluna estas serão as designações ótimas Marque as correspondentes células da matriz original e obtenha o custo total Estas são as designações de custo total mínimo i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 3 1 3 0 0 3 0 4 0 0 1 0 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 3 1 3 0 0 3 0 4 0 0 1 0 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 3 1 3 0 0 3 0 4 0 0 1 0 j 121341 1211341 1341121 134121 Juntase novamente as M cópias em uma única Como 111 temse 1211341 1211341 1341121 1341121 i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 3 1 3 0 0 3 0 4 0 0 1 0 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 3 1 3 0 0 3 0 4 0 0 1 0 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 3 1 3 0 0 3 0 4 0 0 1 0 j i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 3 1 3 0 0 3 0 4 0 0 1 0 j 121431 1211431 1431121 143121 Juntase novamente as M cópias em uma única Como 111 temse 1211431 1211431 1431121 1431121 i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 3 1 3 0 0 3 0 4 0 0 1 0 j Custo total das duas rotas 11213 8 1 3 2 1 4 3 2 1 Solução Ótima depósito 1211341 OBS Se desejássemos 3 rotas ao invés de 2 desdobraríamos o nó1 em 3 nós 1 1 e 1 2 rotas 2 veículos 2 caxeiros 1211431 Todas as opções levaram a mesma solução 1 i 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 1 0 2 1 3 2 2 0 1 4 3 1 1 0 j C Matriz inicial MIN 1000xab1xa22xa33xa41000xba1xb22xb33xb41x2a1x2b2x231x242x3a2x3b2x32 1x343x4a3x4b1x421x43 xabxa2xa3xa41 xbaxb2xb3xb41 x2ax2bx23x241 x3ax3bx32x341 x4ax4bx42x431 xa2xa3xa4xb2xb3xb41 xabxa3xa4x2bx23x241 xabxa2xa4x3bx32x341 xabxa2xa3x4bx42x431 xbaxb3xb4x2ax23x241 xbaxb2xb4x3ax32x341 xbaxb2xb3x4ax42x431 x2ax2bx24x3ax3bx341 x2ax2bx23x4ax4bx431 x3ax3bx32x4ax4bx421 xa3xa4xb3xb4x23x241 xa2xa4xb2xb4x32x341 xa2xa3xb2xb3x42x431 xabxa4x2bx24x3bx341 xabxa3x2bx23x4bx431 xabxa2x3bx32x4bx421 xbaxb4x2ax24x3ax341 xbaxb2x2ax23x4ax431 xbaxb2x3ax32x4ax421 x2ax2bx3ax3bx4ax4b1 xbax2ax3ax4a1 xabx2bx3bx4b1 xa2xb2x32x421 xa3xb3x23x431 xa4xb4x24x341 BINxabBINxa2BINxa3BINxa4BINxbaBINxb2BINxb3BINxb4BINx2aBINx2b BINx23BINx24BINx3aBINx3bBINx32BINx34BINx4aBINx4bBINx42BINx43 END LINGO 1 a 1 b 1000 Global optimal solution found Objective value 8000000 Objective bound 8000000 Infeasibilities 0000000 Extended solver steps 0 Total solver iterations 45 Model Class PILP Total variables 20 Nonlinear variables 0 Integer variables 20 Total constraints 31 Nonlinear constraints 0 Total nonzeros 180 Nonlinear nonzeros 0 Variable Value Reduced Cost XaB 0000000 1000000 Xa2 0000000 1000000 Xa3 1000000 2000000 Xa4 0000000 3000000 Xba 0000000 1000000 Xb2 1000000 1000000 Xb3 0000000 2000000 Xb4 0000000 3000000 X2a 1000000 1000000 X2b 0000000 1000000 X23 0000000 2000000 X24 0000000 1000000 X3a 0000000 2000000 X3b 0000000 2000000 X32 0000000 2000000 X34 1000000 1000000 X4a 0000000 3000000 X4b 1000000 3000000 X42 0000000 1000000 X43 0000000 1000000 a34bb2a mas a b 1 1341121 1431121 ou Resposta LINGO 20 Supondo a matriz de distâncias mínimas dada a seguir e a existência de dois caixeiros viajantes determine a solução ótima ou quase ótima do problema dos Múltiplos Caixeiros Viajantes PMCV aplicando a heurística da inserção do nó mais próximo Outro Exemplo Método Heurístico i 1 2 3 4 5 6 1 0 2 2 4 4 4 2 2 0 1 2 3 2 3 2 1 0 2 2 3 4 4 2 2 0 3 3 5 4 3 2 3 0 5 6 4 2 3 3 5 0 j C i 1 1 2 3 4 5 6 1 2 2 4 4 4 1 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 2 3 4 4 4 2 2 3 3 5 4 4 3 2 3 5 6 4 4 2 3 3 5 j 1 2 3 5 4 6 c2 c2 c4 c4 c4 c1 c2 c3 c2 c2 c2 c3 c3 c3 c5 Figura meramente ilustrativa fora de escala i 1 1 2 3 4 5 6 1 2 2 4 4 4 1 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 2 3 4 4 4 2 2 3 3 5 4 4 3 2 3 5 6 4 4 2 3 3 5 j 1Comece com um subgrafo usaremos diretamente as tabelas consistindo do nó i somente pode ser qualquer nó i 1 2Ache o nó k tal que cik seja mínimo e forme a subrota iki subrota 121 K2 escolha arbitrária 4 4 c 4 c 2 c c 2 c c 16 15 14 13 12 11 3Dada uma subrota ache o nó k que não esteja na subrota e que esteja mais próximo de qualquer nó da subrota i 1 1 2 3 4 5 6 1 2 2 4 4 4 1 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 2 3 4 4 4 2 2 3 3 5 4 4 3 2 3 5 6 4 4 2 3 3 5 K3 2 3c 2c 1 c c 2 c 4 4c 4 c 2 c c c 26 25 24 23 21 16 15 14 13 11 4 Ache o arco i j da subrota que minimize o custo de inserção ou seja mincik ckj cij Insira k entre i e j entre 2 e 1 arbritrariamente Escolhemos 1 2 1 2 c c 2 e 1 c Entre 1 1 2 2 c c 1 e 2 c Entre dos Custos com a inserção Acréscimos 21 31 23 12 32 13 subrota 1231 5Volte ao passo 3 até obter um ciclo hamiltoniano 121 1 1 2 3 4 5 6 1 2 2 4 4 4 1 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 2 3 4 4 4 2 2 3 3 5 4 4 3 2 3 5 6 4 4 2 3 3 5 i j j i 1 1 2 3 4 5 6 1 2 2 4 4 4 1 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 2 3 4 4 4 2 2 3 3 5 4 4 3 2 3 5 6 4 4 2 3 3 5 j 3Dada uma subrota ache o nó k que não esteja na sub rota e que esteja mais próximo de qualquer nó da subrota i 1 1 2 3 4 5 6 1 2 2 4 4 4 1 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 2 3 4 4 4 2 2 3 3 5 4 4 3 2 3 5 6 4 4 2 3 3 5 K1 4 Ache o arco i j da subrota que minimize o custo de inserção ou seja mincik ckj cij Insira k entre i e j entre 2 e 3 Escolhemos Não pode pois inviabiliza duas rotas 3 e 1 Entre 2 1 3 2 c c 2 e 3 c Entre Não pode pois inviabiliza duas rotas 1 e 2 Entre dos Custos com a inserção Acréscimos 23 13 21 subrota 1231 5Volte ao passo 3 até obter um ciclo hamiltoniano arbitrariamente 1 Escolhemos 3 2 c 2 c 2 c c 2 3 c 2 c 2 c c 4 4 c 4 c c c 36 35 34 31 26 25 24 21 16 15 14 11 subrota 1 2 13 1 1 2 3 1 Não junte os nós replicados i 1 1 2 3 4 5 6 1 2 2 4 4 4 1 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 2 3 4 4 4 2 2 3 3 5 4 4 3 2 3 5 6 4 4 2 3 3 5 j 3Dada uma subrota ache o nó k que não esteja na sub rota e que esteja mais próximo de qualquer nó da subrota i 1 1 2 3 4 5 6 1 2 2 4 4 4 1 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 2 3 4 4 4 2 2 3 3 5 4 4 3 2 3 5 6 4 4 2 3 3 5 K 4 4 Ache o arco i j da subrota que minimize o custo de inserção ou seja mincik ckj cij Insira k entre i e j entre 3 e 1 arbitrariamente Escolhemos 4 2 4 2 c c 3 e 1 c Entre 4 2 2 4 c c 1 e 3 c Entre 4 2 4 2 c c 2 e 1 c Entre 4 2 2 4 c c 1 e 2 c Entre dos Custos com a inserção Acréscimos 31 41 34 13 43 14 21 41 24 12 42 14 5Volte ao passo 3 até obter um ciclo hamiltoniano subrota 1 2 1 3 4 1 subrota 1 2 13 1 1 2 1 3 1 arbitrariamente 4 Escolhemos 3 2 c 2 c c 2 3 c 2 c c 4 4 c 4 c c 4 4 c 4 c c 36 35 34 26 25 24 16 15 14 16 15 14 i 1 1 2 3 4 5 6 1 2 2 4 4 4 1 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 2 3 4 4 4 2 2 3 3 5 4 4 3 2 3 5 6 4 4 2 3 3 5 j 3Dada uma subrota ache o nó k que não esteja na sub rota e que esteja mais próximo de qualquer nó da subrota i 1 1 2 3 4 5 6 1 2 2 4 4 4 1 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 2 3 4 4 4 2 2 3 3 5 4 4 3 2 3 5 6 4 4 2 3 3 5 K5 4 Ache o arco i j da subrota que minimize o custo de inserção ou seja mincik ckj cij Insira k entre i e j entre 4 e 1 arbitrariamente Escolhemos 3 4 4 3 c c 4 e 1 c Entre 3 2 3 2 c c 3 e 4 c Entre 4 2 2 4 c c 1 e 3 c Entre 5 2 4 3 c c 2 e 1 c Entre 5 2 3 4 c c 1 e 2 c Entre dos Custos com a inserção Acréscimos 41 51 45 34 54 35 13 53 15 21 51 25 12 52 15 5Volte ao passo 3 até obter um ciclo hamiltoniano subrota 1 2 1 3 4 1 subrota 1 2 1 3 4 5 1 1 2 1 3 4 1 arbitrariamente 5 Escolhemos 3 3 c c 3 2 c 2 c 3 c c 4 4 c 4 c 4 c c 46 45 36 35 26 25 16 15 16 15 i 1 1 2 3 4 5 6 1 2 2 4 4 4 1 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 2 3 4 4 4 2 2 3 3 5 4 4 3 2 3 5 6 4 4 2 3 3 5 j 3Dada uma subrota ache o nó k que não esteja na sub rota e que esteja mais próximo de qualquer nó da subrota i 1 1 2 3 4 5 6 1 2 2 4 4 4 1 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 2 3 4 4 4 2 2 3 3 5 4 4 3 2 3 5 6 4 4 2 3 3 5 K6 4 Ache o arco i j da subrota que minimize o custo de inserção ou seja mincik ckj cij Insira k entre i e j entre 2 e 1 arbitrariamente Escolhemos 5 4 4 5 c c 5 e 1 c Entre 5 3 5 3 c c 4 e 5 c Entre 4 2 3 3 c c 3 e 4 c Entre 5 2 3 4 c c 1 e 3 c Entre 4 2 4 2 c c 2 e 1 c Entre 4 2 2 4 c c 1 e 2 c Entre dos Custos com a inserção Acréscimos 51 61 56 45 65 46 34 64 36 13 63 16 21 61 26 12 62 16 óbvio 6 Escolhemos 5 3c 3c c 2 4c 4c c 56 46 36 26 16 16 subrota 1 2 1 3 4 5 1 subrota 1 2 6 1 3 4 5 1 1 2 1 3 4 5 1 i 1 1 2 3 4 5 6 1 2 2 4 4 4 1 2 2 4 4 4 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 2 3 4 4 4 2 2 3 3 5 4 4 3 2 3 5 6 4 4 2 3 3 5 j Custo total 224 2234 19 1 2 6 1 3 4 5 1 subrota 1 2 6 1 3 4 5 1 Rotas finais 1 2 6 1 1 3 4 5 1 Como 111 1 2 3 5 4 6 c2 c2 c4 c4 c4 c1 c2 c3 c2 c2 c2 c3 c3 c3 c5 i 1 2 3 4 5 6 1 0 2 2 4 4 4 2 2 0 1 2 3 2 3 2 1 0 2 2 3 4 4 2 2 0 3 3 5 4 3 2 3 0 5 6 4 2 3 3 5 0 j C Figura meramente ilustrativa fora de escala Rotas finais Alternativas 1 6 2 1 1 5 4 3 1 1 2 6 1 1 5 4 3 1 1 6 2 1 1 3 4 5 1 Notas de Aula Prof Edgard 1 Arenales M Armentano V Morabito R E Yanasse H Pesquisa Operacional para cursos de Engenharia Editora Campus Rio de Janeiro 2007 2 Bodin L Golden B Assad A and Ball M Routing and Scheduling of veicles and crews Special edition of Computer and Operations Research col 10 n2 1983 3 Bronson R Pesquisa Operacional São Paulo Schaum McGrawHill do Brasil Ltda 1985 4 Goldbarg M C e Luna H P Otimização Combinatória e Programação Linear Modelos e Algoritmos Editora Campus Rio de Janeiro 2000 5 Hillier F S e Lieberman G J Introdução à Pesquisa Operacional traduzido McGrawHill São Paulo 2006 6 Murty K Linear and Combinatorial Programming Robert E Krieger Publishing Company Malabar Florida 1985 7 Puccini A de L e Pizzolato N D Programação Linear Livros Técnicos e Científicos Ed Ltda Rio de Janeiro 1990 Importante Este material tem finalidade única e exclusivamente didática e serve apenas como notas de apoio às aulas da disciplina de Métodos Quantitativos para Tomada de Decisão do curso de Graduação de Engenharia de Produção Este material não pode ser utilizado como referência bibliográfica e muito menos comercialmente Recomendase consultar as seguintes obras