Símbolos Matemáticos e Transformações nas Variáveis

MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização SÍMBOLOS MATEMÁTICOS Sinal de igual Sinal de diferente def ou ou Sinal de igual por definição Sinal de igual por aproximação Sinal de idêntico Sinal de aproximadamente igual Sinal de menor Sinal de menor ou igual Sinal de maior Sinal de maior ou igual Sinal de pertence Sinal de não pertence Sinal de contido Sinal de não contido Sinal de contém Sinal de não contém Sinal de existe Sinal de não existe Sinal de existe único Sinal de para todo Sinal de união Sinal de intersecção ou ou Representa tal que x Sinal de teto Menor inteiro maior ou igual a x x Sinal de piso Maior inteiro menor ou igual a x x a x x x x a x Módulo de x x Fatorial de x Representa indeterminação Representa um número cardinal ou uma quantidade Representa unidade monetária 0 0 Representa percentagem 0 00 Representa permilhagem SÍMBOLOS MATEMÁTICOS Representa e lógico p and q Representa ou lógico p or q Representa não lógico not q ou Representa ou exclusivo lógico p xor q Representa equivalente lógico Representa implica lógico Representa se e somente se lógico Representa se então lógico Representa então ou portanto Representa porque TRANSFORMAÇÕES NAS VARIÁVEIS Seja y f x uma função com as variáveis x livre e y dependente Mudança de escala Scaling Modificação no eixo y f x a f x Alongamento 0 1 a Achatamento a 1 Modificação no eixo x f x f a x Dilatação 0 1 a Contração a 1 Translação Shift Translação vertical f x f x a Deslocamento para baixo a 0 Deslocamento para cima a 0 Translação horizontal f x f x a Deslocamento para esquerda a 0 Deslocamento para direita a 0 Simetria Reversal Simetria em relação ao eixo x f x f x Simetria em relação ao eixo y f x f x Simetria em relação a origem f x f x FATORIAL Definição 1 2 3 2 1 n n n n Fórmula prática de Stirling 1 2 2 n n n e n PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Seja M um conjunto com m elementos isto é 1 2 m M a a a Arranjos Simples Chamamos arranjo dos m elementos tomados r a r 1 r m a qualquer rupla ordenada sequência de r elementos formada com elementos de M todos distintos 1 2 1 m r m A m m m m r m r Arranjos com Repetição Chamamos arranjo com repetição dos m elementos tomados r a r toda rupla ordenada sequência de tamanho r formada com elementos de M não necessariamente distintos r AR m r m Permutação Simples Chamamos de permutação dos m elementos a todo arranjo em que 1 2 3 2 1 m P m m m m Permutação com Repetição m m PR Combinação Chamamos de combinação dos m elementos tomados r a r aos subconjuntos de M constituídos de r elementos m r m m C r r m r Combinação com Repetição 1 1 m r r m r m r CR C r TEOREMA BINOMIAL Binômio de Newton n n k n k k 0 n x a a x k MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização LOGARITMOS Definição log 0 1 0 c a b c a b a b a b Consequências da Definição log 1 a 0 log a a 1 alogab b log log a a b c b c Propriedades log log log 0 0 a a a A B A B A B log log log 0 0 a a a A A B A B B log log 0 c a a A c A A c 1 1 log log log 0 n n a a a b b b n b n Cologaritmo colog log a a b b Mudança de Base log log 0 0 1 0 1 log c a c b b b a c a Observação log log log 0 0 1 0 1 a c a b b c b a c Consequências 1 log log a b b a 1 log loga a b b Antilogaritmos log antilog 0 1 0 a a b c b c a b a b aloga X X e ln X X 10log X X Operador log log log n n a a b b LIMITES FUNDAMENTAIS 1 lim 1 u u e u 1 lim 1 u u u e 0 lim sin 1 u u u 0 lim tan 1 u u u 0 lim log 1 log a a u u e u 0 lim ln 1 1 u u u 0 1 lim ln u u a a u 0 1 1 lim a u u a u 0 1 lim 1 u u e u REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO Fórmula de Diferenciação Fórmula de Integração 1 d dx x dx x C d C x C dx C dx C x C d du dv u v dx dx dx u v dx u dx v dx d dv du u v u v dx dx dx u dv u v v du 1 1 1 n n d x x n dx n 1 1 1 n n x x dx C n n sin cos d x x dx cos sin x dx x C cos sin d x x dx sin cos x dx x C x x d e e dx x x e dx e C 1 ln d x dx x ln dx x C x 2 du dv v u d u dx dx dx v v d dv du u v u v dx dx dx b a f x dx F b F a Método de Integração por Partes u dv u v v du C 2 1 a u a u e u e du a u C a 2 2 2 3 2 2 a u a u e u e du a u a u C a 2 3 1 2 3 1 1 2 1 n n n a u n n a u n n n n u n n n u n e n u u e du u C a a a a a MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização SOMATÓRIOS Definição 1 2 3 1 k i k i x x x x x Propriedades dos somatórios O somatório de uma constante é igual ao produto do número de termos pela constante 1 k i a a a a a k a O somatório do produto de uma constante por uma variável que depende do somatório é igual ao produto da constante pelo somatório da variável 1 1 k k i i i i a x a x Propriedade distributiva do somatório em relação à adição algébrica 1 1 1 k k k i i i i i i i x y x y O quadrado da soma é diferente da soma de quadrados 2 2 1 1 k k i i i i x x 2 2 1 1 1 2 k k k i i i j i i i j i x x x x O produto de duas somas é diferente da soma dos produtos 1 1 1 k k k i i i i i i i x y x y 1 1 1 1 k k k k i i i i i j i i i i j i x y x y x y Número de parcelas de um somatório O número de parcelas ou de termos do somatório k i a é dado por 1 p a rcela s k a Somatórios múltiplos O somatório múltiplo de um produto é igual ao produto dos somatórios tomados separadamente A formulação dessa propriedade será feita em termos do somatório duplo 1 1 1 1 k l k l i j i j i j i j x y x y Para simplificação da representação é usual não definir os índices de início término ou ambos 1 notação indicial de Einstein k i i i i i i usual rápida definição prática x x x x x PRODUTÓRIOS Definição 1 2 3 1 k i k i x x x x x 1 2 3 log log log log 1 a a a a k k x x x x i i x a Propriedades dos produtórios O produtório de uma constante 1 k k i a a a a a a O produtório do produto de uma constante por uma variável 1 1 k k k i i i i a x a x O produtório do produto de duas variáveis 1 1 1 k k k i i i i i i i x y x y APLICAÇÃO DA IGUALDADE ENTRE SOMATÓRIOS Se 1 k i i i X x f N 1 k i i i Y y f N e 1 k i i N f então SOMA DE QUADRADOS SQ 2 2 2 1 1 k k XX i X i i i X i i S x f x f N SOMA DE PRODUTOS SP 1 1 k k XY i X i Y i i i i X Y i i S x y f x y f N RELAÇÕES DE IGUALDADE 1 1 0 n n i X i Y i i x y 1 1 1 n n n i X i Y i X i i Y i i i i x y x y y x 2 1 1 1 n n n i X i X i X i X i i i i x x x x x ALFABETO GREGO Nome Minúscula Maiúscula Latina Alpha a Bêta b Chi k Delta d Dzêta d z Epsilonn é Varepsilonn Êta ê Gamma g Iôta i Kappa k Lambda l Mu m Nu n Ômega ô Ômicronn ó Phi f Varphi Pi p Psi ps Rhô r Sigma s Varsigma Tau t Thêta t Vartheta Upsilonn u Xi x MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização ESTATÍSTICA DESCRITIVA NOMENCLATURA USUAL PARA ELEMENTOS ESSENCIAIS OU FUNDAMENTAIS Nome do Termo Parâmetro População Estatística Amostra Conjunto X X Variáveis i x i x Tamanho Quantidade de Elementos N n Frequência Absoluta if if Frequência Relativa ip ip Frequência Acumulada Crescente i F i F Amplitude Total Range R R Amplitude de Classe h h Número de Classes K K Limite Inferior de Classe i LI i LI Limite Superior de Classe i L S i L S Representação de Classe Contínuas LIi i LS LIi i LS Intervalo de Classe Contínuas i i L I X L S i i L I X L S Ponto Médio Contínuas 2 i i i LI LS x 2 i i i LI LS x Amplitude de Classe Contínuas i i h L S L I i i h L S L I Amplitude Total Range M á x M ín R X X M á x M ín R X X Nº Ideal de Classes Critério de Sturges 1 log2 K N 1 log2 K n Discrepância Padrão i i d x i i d x X Escore Reduzido Padrão i i x Z i i x X z s Proporção i i f p N i i f p n Soma de Quadrados 2 1 k XX i X i S x 2 1 k XX i i S x X OPERADORES CONCEITUAIS Nome do Operador Parâmetro População Estatística Amostra Tipo de letras como indicativo GREGAS EOU MAIÚSCULAS LATINAS EOU minúsculas Proporção ou p p ou p Média Aritmética X Variância 2 2 s Coeficiente de Correlação Linear r Coeficiente do Momento de Assimetria 3 3 a Coeficiente do Momento de Curtose 4 4 a Momentos Naturais r Momentos Centrados na Média r Mediana Md md Moda Mo mo Percentil k P k p Coeficiente de Variação CV cv Coeficiente de Variação de Thorndick T CV T cv Soma de Quadrados XX SQ S XX SQ S Soma de Produtos XY SP S XY SP S OBS É usual simplificar a representação formal da Série Estatística em particular para o tamanho n para a média aritmética X e para o desvio padrão s ou seja não distinguir a notação entre amostra e população Devese então indicar a todo momento que se está tratando de uma população ou de uma amostra Tamanho da amostra Tamanho da população Média da amostra Média da população Desvio padrão da população Desvio da amostra População e amostra são conceitualmente distintas mesmo que numericamente iguais a máxima de que todo conjunto universo o tem como subconjunto no conceito de população e amostra não vale Na persistência da dúvida considere formalmente como amostra MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos 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amostra unitária Infinitas combinações de amostras são possíveis O tamanho da amostra é vinculado a seu custo QUADROS E TABELAS versus TRABALHO E APRESENTAÇÃO O uso do termo TABELA sob o contexto formal segue normas do IBGE bem exclusivas para todas as publicações estatísticas no Brasil Já o uso do termo QUADRO sob o contexto formal segue as normas da ABNT para publicações no Brasil e no caso de dúvidas recomendase o uso de QUADRO da ABNT Vale a máxima Qualquer TABELA é um QUADRO porém nem todo QUADRO é uma TABELA Consultar as normas O formato matricial i linha e j coluna pode ser usado como orientação na construção dos somatórios de linhas e colunas de um quadro Utilizarse de apelidos para as variáveis X Y Z etc tal que simplifique o seu tratamento Controlar a notação adequada a organização e disciplina na apresentação dos dados facilita a compreensão e análise dos dados no processo Emprego de sinais convencionais nas tabelas As indicações de sinais convencionais devem figurar nas publicações estatísticas antecedendo as tabelas Aplicação Sinal Indica que o fenômeno não existe zero absoluto Indica que o dado não está à disposição Quando não se aplica dado numérico Quando o dado não atinge a unidade adotada na tabela zero por arredondamento 0 Omissão de dados com a finalidade de evitar a individualização das informações Para indicar que o dado dentro dos parênteses representa um valor negativo Indicando que o dado está sujeito à retificação Indica que o dado foi retificado Layout de Apresentação IBGE Tabela No caso ABNT Usase o termo QUADRO e o descrevese pela criatividade Tudo o que não é tabela inclusive a tabela IBGE Toda tabela é um quadro nem todo quadro é uma tabela MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização Processamento dos dados 12 12 i ordenados organizar Tabelas i depurar Análise brutos frequências rol X x i k X x i n Apresentar classificar discretos Quadro contínuos Composição dos Elementos Essenciais quadros de memória de cálculo Cabeçalho essencial para uma variável i Contagem das Categorias discretas ou das Classes contínuas ix Variável discreta i ponto real variável discreta i i LI LS Variável Contínua pertencente ao intervalo ix Ponto médio da classe i ponto estimado variável contínua if Frequência absoluta da categoria ou classe i ip Frequência relativa da categoria ou classe i i F Frequência acumulada até a categoria ou classe atual i i F Frequência acumulada até a categoria ou classe atual i 1 iF Frequência acumulada anterior a categoria ou classe i 1 if Frequência absoluta da anterior a categoria ou classe i 1 if Frequência absoluta da posterior a categoria ou classe i 1 Devemos optar por uma variável discreta na representação de uma série de valores quando o número de elementos distintos da série for pequeno pequena amplitude total i ix if ip i F 1 x1 1f 1 p 1 F 2 x2 2f 2 p 2 F k 1 xk 1 1 kf pk 1 k 1 F k xk kf k p k F 1 k i i x 1 k i i f N 1 1 k i i p 2 Devemos optar por uma variável contínua na representação de uma série de valores quando o número de elementos distintos da série for grande grande amplitude total i i i LI LS ix if ip i F 1 1 1 LI LS x1 1f 1 p 1 F 2 2 2 LI LS x2 2f 2 p 2 F k 1 1 1 k k LI LS xk 1 1 kf pk 1 k 1 F k k k LI LS xk kf k p k F 1 k i i x 1 k i i f N 1 1 k i i p 3 As variáveis X e Y poderão ser classificadas como discretas ou contínuas no caso de contínua o i x e o jy serão os respectivos pontos médios que estimam o respectivo representante dos intervalos contínuos i i LI LS e j j LI LS que no Brasil segue a notação i i L I X L S e j j LI Y LS O total de elementos segue propriedade de somatórios i j i j i j j i f x y f x y N no caso de população e i j i j i j j i f x y f x y n para amostras No caso de probabilidades 1 i j i j i j j i p x y p x y Fundamento Probabilidade Conjunta i j ij P X Y p x y p Probabilidade Marginal Referente a X i i P X p x p Probabilidade Marginal Referente a Y j j P Y p y p Vale a máxima Toda probabilidade é uma frequência relativa mas a recíproca não é necessariamente válida MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização Y 1 y 2 y 3 y n y Totais x1 1 1 p x y 1 2 p x y 1 3 p x y 1 n p x y 1 p x x2 2 1 p x y 2 2 p x y 2 3 p x y 2 n p x y 2 p x X x3 3 1 p x y 3 2 p x y 3 3 p x y 3 n p x y 3 p x xm 1 p xm y 2 p xm y 3 p xm y m n p x y m p x Totais 1 p y 2 p y 3 p y n p y 1 Composição dos elementos essenciais quadro de memória de cálculo Y 1 y 2 y 3 y n y i j j p x y x1 11 p p1 2 p1 3 p1 n 1 p x x2 p 2 1 p 2 2 p 2 3 p 2 n 2 p x X x3 p 3 1 p 3 2 p 3 3 p 3 n 3 p x xm p m 1 pm 2 pm 3 pm n m p x i j i p x y 1 p y 2 p y 3 p y n p y 1 Uso Frequência Absoluta Conjunta i j ij f X Y f x y f Frequência Absoluta Marginal Referente a X i i f X f x f Frequência Absoluta Marginal Referente a Y j j f Y f y f Y 1y 2y 3y ny i j j f x y 1x 11f 12 f 13f 1n f 1 f x 2x 21 f 22 f 23 f 2n f 2 f x X 3x 31 f 32 f 33 f 3n f 3 f x mx 1 mf 2 mf 3 mf mn f m f x i j i f x y 1 f y 2 f y 3 f y n f y i j i j f x y O quadro pode ser desconstruído e adotar parte dele para compor elementos essenciais relacionando as frequências marginais de cada variável i ix iy i f x i f y 1 1x 1y 1 f x 1 f y 2 2x 2y 1 f x 1 f y k 1 1 kx 1 ky k 1 f x k 1 f y k kx ky k f x k f y 1 k i i f N 1 k i i f N 1 k i i f N Na necessidade do cálculo conjunto considerar a tripla ordenada i j ij ij i j x y f f f x y poderá ser descrita em linhas desde que mantida as devidas informações sobre a observação O quadro obtido poderá ser otimizado pela combinação entre as variáveis envolvidas Isso valerá para múltiplas variáveis como por exemplo a quádrupla ordenada z i j k ijk ijk i j k x y f f f x y z 4 A variável X pode ser resumida pelas principais características seja a média variância assimetria e curtose independente sobre a tipologia da variável O quadro de memória de cálculo ou de trabalho serve para obtenção das técnicas estatísticas Os resultados e sua interpretação as unidades ao contexto a técnica e sua conclusão podem ser descritos em novo quadro de apresentação Apresentamos o quadro de trabalho para obter a média a variância a assimetria e a curtose i i i LI LS ix if i i x f i i d x a 2 i i d f 3 i i d f 4 i i d f 1 1 1 LI LS 1x 1f 2 2 2 LI LS 2x 2f k 1 1 1 k k LI LS 1 kx 1 kf k k k LI LS kx kf N 1 k i i i x f 2 1 k i i i d f 3 1 k i i i d f 4 1 k i i i d f a média aritmética MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização PRINCÍPAIS OPERADORES DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA OPERADOR FÓRMULA POPULAÇÃO FÓRMULA AMOSTRA DETALHES Média Aritmética 1 1 k i i i x f N 1 1 k i i i X x f n 1 k i i i x p Percentil Variável Discreta 1 1 100 k i i i k P x N i x x 1 1 100 k i i i k p x n i x x Piso Maior Inteiro 1 100 Parte Inteira eou Ordinal 1 100 k N k i N então Parte Decimal 1 100 k N i Percentil Variável Contínua 1 100 i k i i k N F P LI h f 1 100 i k i i k n F p LI h f Ordem Percentílica Variável Discreta k k P X P 100 k k P X p 100 Ordem Percentílica Variável Contínua i k i i 1 f 100 k P LI F N h i k i i 1 f 100 k p LI F N h Moda Variável Discreta i max i Mo x f i max i mo x f Moda por Czuber Variável Contínua 1 1 1 2 i i i i i i f f Mo LI h f f f 1 1 1 2 i i i i i i f f mo LI h f f f Desvio Quartílico 3 1 2 Q Q DQ 3 1 2 q q dq Semi Amplitude Quartílica Variância Definição 2 2 1 1 k i i i x f N 2 2 1 1 1 k i i i s x X f n 2 2 1 k i i i x p A variância centrada na média é a menor Variância Forma Prática 2 2 2 1 1 k i i i x f N N 2 2 2 1 1 1 k i i i s x f n X n 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 k k XX i i i i i i k k XX i i i i i i SQ S x f n x p SQ S x f x p MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização Desvio Padrão 2 2 s s Representase comumente positivo XX X S N e XX X S s onde 1 n Coeficiente de Variação CV s cv X Homogênea se o coeficiente de variação for inferior a 25 Índice relativo em Regra empírica Relação sinalruído Momentos Naturais 1 1 k r r i i i x f N 1 k r r i i i x p Momentos Centrados na Média 1 1 k r r i i i x f N Usase a relação entre momentos 1 0 1 k r r k k r r k r Momentos Centrados em a 1 1 k r r i i i m x a f N Usase a relação entre momentos 1 0 1 k r r k k r r k m m r Momentos Abstratos ou Padronizados 1 2 1 r k i r r i r i x f N 1 1 k r r i i z f N então r r r Coeficiente do Momento de Assimetria 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 1 2 1 k i i k i i i i x f x f N N 3 3 3 1 1 2 k i i i n a x X f n n s 3 3 3 3 3 3 0 0 0 a Assimetria Negativa a Simétrica a Assimetria Positiva Coeficiente do Momento de Curtose de Pearson 4 1 4 4 4 4 2 2 4 4 2 2 2 k i i i x f N 2 4 4 4 1 1 3 1 3 2 3 1 2 3 k i i i n n n a x X f n n n n n s 4 2 4 4 2 4 4 2 4 3 3 3 a Platicúrtica a Mesocúrtica a Leptocúrtica Covariância entre Duas Variáveis 1 1 k XY i i i X Y i x y f N N ou XY XY S N 1 1 1 k XY i i i X Y i s x y f n n ou 1 XY XY S s n 1 1 k XY i i i i k XY i i i i SP S x y f n X Y SP S x X y Y f Coeficiente de Correlação XY XY X Y XY XY X Y s r s s XY XX YY S S S onde 1 1 Relaciona na tendência diretamente ou inversamente proporcional MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização PROBABILIDADE Evento Simples A m p P A N Propriedades 0 P A 1 P 1 Evento Simples Complementar N m m q P A 1 1 p 1 P A N N Eventos Mutuamente não Exclusivos 1 1 1 1 n n n n n i i i j i j k i j k n i i j i j k i P A P A P A A P A A A P A A A A P A B P A P B P A B P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C P A B P A P B P A B 0 Eventos Mutuamente Exclusivos Probabilidade Condicional P A B P A B P B 0 P B Eventos Dependentes 1 2 1 3 1 2 1 1 n i n i j k n i P A P A P A A P A A A P A A A A A P A B P A P B A P A B P A P B P B P B A Eventos Independentes 1 1 n n i i i i P A P A Eventos Independentes Propriedades Se A e B são mutuamente exclusivos então A e B são dependentes P A B 1 P A B P B 1 P B P B n n i i i 1 i 1 P A B P A B Propriedades e Relações de Igualdade Propriedade Comutativa P A B P B A P A B P B A Propriedade Associativa P A B C P A B C P A B C P A B C Propriedade Distributiva P A B C P A B A C P A B C P A B A C Propriedade Idempotente P A P A A P A P A A Propriedade Absorção P A P A A B P A P A A B Propriedade da Dualidade Leis de Morgan P A B 1 P A B P A B P A B 1 P A B P A B Relações de Igualdade Envolvendo os Complementos P P 1 P P 0 P A P A Relações de Igualdade Envolvendo os Eventos Certo e Impossível P P A P A A 1 P P A P A A 0 P A P A P A Relações de Igualdade Envolvendo Eventos Exclusivos P A B P A P A B P A B A B P A B P A B Outras relações de Igualdade P A P A B A B P A B P B P A B P P A B P A B P A B P A B MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONCEITO Variável Aleatória Discreta VAD Variável Aleatória Contínua VAC i p x p x p x p x f x Função Probabilidade e Função Distribuição de Probabilidade n k i i 1 i i i i k i 1 i x x k p 1 x p p F P 0 p 1 x p x f x dx 1 x f x f t dt F t P f x 0 Função Conjunta de Probabilidade e Função Distribuição Conjunta de Probabilidade n n a b ij i 1 j 1 i j ij i j i1 j 1 ij y x p 1 x y p F xy p x y 0 p 1 xy p x y f xy dx dy 1 xy f xy F xy f uv du dv f xy 0 ESPERANÇA MATEMÁTICA i i i 1 E X x p E X x f x dx Propriedades X E X E k k E k X k E X E X Y E X E Y n n i i i 1 i 1 E X E X VARIÂNCIA 2 2 i i X i 1 Var X x p 2 X i i 1 Var X x p 2 2 X Var X x f x dx 2 X Var X x f x dx Propriedades 2 2 X Var X Var k 0 Var k X k² Var X Var X Y Var X Var Y 2 Cov XY n n n i i i j i1 i1 ij Var X Var X 2 Cov X X COVARIÂNCIA m n i j i j X Y i 1 j 1 Cov XY x y p x y μ μ m n i X j Y i j i 1 j 1 Cov XY x μ y μ p x y X Y Cov XY x y f xy dx dy X Y Cov XY x y f xy dx dy Propriedades Cov X Y XY Cov X Y Cov X kY l kl Cov k X l Y k l Cov X Y kl 0 Cov X Y Cov Y X Se Var X 0 ou Var Y 0 então Cov X Y 0 Cov X ZY Cov XY Cov ZY n n i i i 1 i 1 Cov X Y Cov X Y m n m n i j i j i 1 j 1 i 1 j 1 Cov X Y Cov X Y Se Cov X Y 0 e P X Y P X P Y então X é independente de Y Desvio padrão Coeficiente de variação Coeficiente de Correlação 2 X X X X CV XY X Y CV 025 homogênea 1 1 MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização MOMENTOS Momentos centrados em origem qualquer a 1 r r i i i r r r r m x p E X a m m x a f x d a x 0 r r r i i r i r r a E X m d x a a E x m Relação entre momentos r r 2 2 2 1 3 3 3 1 2 1 3 2 2 4 4 4 1 3 1 2 1 4 6 3 1 0 1 k r r k k r r k r Momentos naturais 1 r r i i i r r r r x p E X x f x dx 0 0 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 0 1 1 2 3 4 Q C B r E X r E X r E X r E X r E X Momentos centrados na média 1 r r i i i r r r r x p E X x f x dx 0 0 1 1 2 2 2 3 3 4 4 0 1 1 0 2 3 4 r E X r E X r E X r E X r E X Momentos padronizados ou abstratos 1 r i r i r i r r r x p X E x f x dx 0 1 2 3 3 3 4 4 4 0 1 1 0 2 1 3 4 r r r r r Coeficiente de assimetria de Fisher 3 1 3 2 3 0 1 0 Assimetria negativa Se 1 0 Simétrica 1 0 Assimetria positiva Coeficiente de curtose de Fisher 4 2 2 2 3 4 3 2 0 Platicútica Se 2 0 Mesocúrtica 2 0 Leptocúrtica Momento cruzado natural 1 1 m n p q pq i j ij i j p q pq p q pq x y p E X Y x y f x y dx dy 00 10 01 1 X Y Momento cruzado centrado nas médias 1 1 m n q p pq i X j Y ij q i j p X y pq p q pq X Y x y p E X Y x y f x y dx dy 2 20 2 02 11 X Y XY MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DISTRIBUIÇÕES CLÁSSICAS IMEDIATAS DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL x n x n f x p q x x k n k k 0 n F x p q P X x k n n x 01 n 0 p 1 q 1 p x x n x Notação prática def X B n p Média n p Variância 2 n p q Coeficiente de assimetria 1 q p Coeficiente de curtose 2 2 1 6 p q Função geratriz de momentos n t M X t p e q Função característica n i t t p e q DISTRIBUIÇÃO DE POISSON x e f x x k x k 0 e F x P X x k x 0 0 Notação prática def X P Média Variância 2 Coeficiente de assimetria 1 1 Coeficiente de curtose 2 1 Função geratriz de momentos 1 te MX t e Função característica ei t 1 t e DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL NEGATIVA x f x e 0 1 x t x F x e dt e 0 0 x Notação prática def X Exponencial Média 1 Variância 2 2 1 Assimetria 1 2 Curtose 2 6 Função geratriz de momentos MX t t Função característica X i t t i DISTRIBUIÇÃO NORMAL 2 i 2 x 2 1 f x e 2 x 0 Notação prática def 2 X X X Média x Variância 2 2 x Coeficiente de assimetria 1 0 Coeficiente de curtose 2 0 Função geratriz de momentos 2 2 2 t t MX t e Função característica 2 2 2 t ie Escore reduzido x z Uso da tabela P 0 z z e 1 2 Aproximação da Distribuição Binomial pela Normal 2 n p n p q então 0 5 X i n p z n p q Na prática a aproximação é muito boa quando n p são superiores a 5 Aproximação da Distribuição de Poisson pela Normal 2 então Xi z Teorema do Limite Central 1 2 1 n i i i n i i X z MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização TEORIA DA AMOSTRAGEM DISTRIBUIÇÃO POR AMOSTRAGEM DISTRIBUIÇÃO DE TODAS AS AMOSTRAS POSSÍVEIS AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO NORMAL DE CADA ESTATÍSTICA Conhecimento pleno da população dada pelo conjunto X e sua Distribuição Normal e sobre os comportamentos de todas as amostras possíveis n Q N com reposição e N Q n sem reposição Notação prática def 2 X X X Escore reduzido x z MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DE TODAS AS AMOSTRAS POSSÍVEIS ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÃO POR AMOSTRAGEM OBSERVAÇÃO Modelo def 2 N 2 z Frequência Absoluta def f n pn p q Ajuste a Binomial Proporção def p q p N p n Diferença entre Proporções def 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 p q p q p p N p p n n Amostra independentes Média 2 def X N n n 30 Média Sem Reposição 2 def σ N n X N μ n N 1 Diferença entre Médias 2 2 def 1 2 1 2 1 2 1 2 X X N n n Variância 4 2 def 2 2 s N n 1 n 100 ou distribuição aproximadamente normal Coeficiente de Variação 2 2 def CV 1 2 CV cv N CV 2 n s cv X Mediana 2 2 def md N N 15708 2 n n n 30 Quartil 2 def 1 1 q N Q 18567 n 2 def 3 3 q N Q 18567 n Desvio Quartílico 2 def dq N DQ06189 n 3 1 q q dq 2 3 1 Q Q DQ 2 MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização INTERVALOS DE CONFIANÇA 2 oper Parâmetro população Estatística amostra 1 limite inferior do intervalo limite superior do intervalo X P LIC LSC N LIC LSC 2 ação operador 1 Nível de confiança Nível de significância Erro padrão Erro amostral Grau de liberdade Parâmetros conhecidos Probabilidade p X N P No caso de duas amostras elas são independentes ou possuem dados nãoemparelhados salvo afirmação contraria FUNDAMENTO REPRESENTAÇÃO USUAL OBSERVAÇÃO Grau de Liberdade n 1 Grau de liberdade sempre com arredondamento para baixo Tamanho de amostra n Tamanho de amostra sempre com arredondamento para cima Tamanho eou Variância da População N 2 X Quando se conhece algum parâmetro da população ele deve ser usado no conceito Erro Amostral Quando se conhece algum parâmetro da população ele deve ser usado no conceito MODELOS DE INTERVALOS DE CONFIANÇA ESTATÍSTICA INTERVALOS DE CONFIANÇA 1 P LIC LSC OBSERVAÇÃO Proporção 2 2 1 p q p q P p z p p z n n i i f p n if p N q 1 p 2 p q z n Diferença entre Proporções 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 p q p q p q p q P p p z p p p p z n n n n 1 2 1 2 1 2 n p n p p n n q 1 p 1 1 2 2 1 2 2 p q p q z n n Média Com Reposição 2 2 1 P X z X z n n 2z n Média Com Reposição 2 2 1 s s P X t X t n n 2 s t n MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização Média Sem Reposição 2 2 1 1 1 N n N n P X z X z N N n n 2 N n z N 1 n Média Sem Reposição 2 2 1 1 1 s N n s N n P X t X t N N n n 2 s N n t N 1 n Diferença entre Médias 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 P X X z X X z n n n n 2 2 1 2 1 2 2 z n n Diferença entre Médias 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 R R n n n n P X X t s X X t s n n n n 1 2 2 2 2 1 1 2 2 R s s s 2 2 2 R R 1 2 R 1 2 1 2 2 2 s s n n t t s n n n n Diferença entre Médias 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 P X X t v v X X t v v 2 1 1 1 s v n 2 2 2 2 s v n 2 1 2 2 2 1 2 1 2 v v 2 v v n 1 n 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 s s t t v v n n Diferença entre Médias 2 2 1 2 1 d d s s P d t d t n n Dados emparelhados ou dependentes 2 1 x f x i 1 2 d x x n i i 1 1 d d n n 2 2 2 d i i 1 1 s d n d n 1 d 2 s t n n 1 Variância 2 2 2 2 2 1 2 2 1 s s P 2 2 1 2 1 2 z Quociente de Variâncias 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 s s P F F s s 1 2 2 1 1 1 Numerador Denominador Denominador Numerador F F MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização A amostra ideal seria a menor possível com o menor erro amostral empregado Apresentada uma amostra piloto e suas estatísticas Se o tamanho da amostra estimado calculado n for menor que o tamanho da amostra piloto n então a amostra piloto já é de tamanho suficiente Critério Erro Amostral Dimensionamento da amostra n Arredondamento para cima Observação Modelo 0 0 n n c Teste a ser comparado com o valor crítico V ERRO AMOSTRAL DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ERRO PADRÃO real estimado Critério da Proporção Tipo I 2 p q p p z n 2 2 z n p q 2 p p p z p q n Critério da Proporção Tipo II 2 1 p q N n p p z n N 2 2 2 2 2 1 z p q N n z p q N População finita Critério da Proporção Tipo III 2 2 z p p p q n 2 2 2 z n Caso mais utilizado Maior dimensionamento possível Pior caso Critério da Média Tipo I 2 1 X X σ N n X μ z N n 2 2 2 2 2 2 2 1 X X z N n z N População Finita Variância populacional conhecida Menor dimensionamento possível Melhor caso Critério da Média Tipo II 2 X X σ X μ z n 2 2 σX n z Variância populacional conhecida 0 0 n Critério da Média Tipo III 2 1 X X s N n X μ t N n 2 2 2 2 2 2 2 1 X X t s N n t s N População Finita Critério da Média Tipo IV 2 X X s X μ t n 2 2 sX n t 2 X X p X μ t s n 0 0 X n s 2º caso mais utilizado MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização TESTE DE SIGNIFICÂNCIA PARA O PARÂMETRO POPULACIONAL PROTOCOLO DE EXECUÇÃO DO TESTE DE SIGNIFICÂNCIA 1º Enunciar as Hipóteses 0 0 0 1 0 0 a b c H H 2º Fixar o nível de significância e graus de liberdade 1 n 3º Região crítica tabela de referência a b c 4º Calcular 0 0 teste c Teste a ser comparado com o valor crítico V ERRO AMOSTRAL DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ERRO PADRÃO real estimado 5º Conclusões a Se o teste for abaixo do valor crítico inferior ou for acima do valor crítico superior rejeitase 0 H b Se o teste for acima do valor crítico superior rejeitase 0 H c Se o teste for abaixo do valor crítico inferior rejeitase 0 H MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização MODELOS PARA OS TESTES DE SIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA TESTES DE SIGNIFICÂNCIA OBSERVAÇÃO Modelo 0 0 0 0 1 0 0 0 H teste tabela de referência H c Teste a ser comparado com o valor crítico V ERRO AMOSTRAL DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ERRO PADRÃO real estimado Proporção 0 0 0 p p z p q n i i f p n if p N q 1 p Diferença entre Proporções 1 2 1 2 1 2 p p z n n p q n n 1 2 1 2 1 2 n p n p p n n q 1 p Média Com Reposição 0 X t s n Diferença entre Médias supor 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 R R 1 2 R 1 2 1 2 X X X X t s s n n s n n n n 2 2 2 1 1 2 2 R s s s 1 2 Diferença entre Médias 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 X X X X t v v s s n n 2 1 1 1 s v n 2 2 2 2 s v n 2 1 2 2 2 1 2 1 2 v v 2 v v n 1 n 1 Diferença entre Médias 0 d d D t s n i i y f x i i i d y x n i i 1 1 d d n n 2 2 2 d i i 1 1 s d n d n 1 n 1 Dados emparelhados ou dependentes Variância 2 2 2 0 s 2 2 2 1 2 z Quociente de Variâncias 2 1 2 2 s F s 1 2 2 1 1 1 Numerador Denominador Denominador Numerador F F MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização ESTATÍSTICA RELACIONAL REGRESSÃO LINEAR SIMPLES Método dos mínimos quadrados k k i i i 1 i 1 k k k 2 i i i i i 1 i 1 i 1 a n b X Y Y a b X a X b X X Y Soma dos Quadrados dos Resíduos 2 1 n i R i i S Y Y 2 1 n R i i S 2 1 n i R i YY XY i S Y Y S b S Quadrado Médio dos Resíduos Equivale a Variância Residual 2 2 1 n i i i R Y Y S 2 2 1 n i i R S Soma de Quadrados 2 2 2 1 1 n n T i i YY i i S Y Y Y n Y S 2 2 1 n i E XX i S Y Y b S Memória de referência por fórmulas abreviadas Total de elementos k i i 1 n f Soma simples de elementos k X i i i 1 S x f ou k Y i i i 1 S y f Soma de Quadrados k 2 2 XX i i i 1 S x f n X ou k 2 2 YY i i i 1 S y f n Y Soma de Produtos n XY i i i i 1 S x y f n X Y Média SX X n ou SY Y n amostras X X S N ou Y Y S N populações Variância 2 XX X S s n 1 ou 2 YY Y S s n 1 amostras 2 XX X S N ou 2 YY Y S N populações Covariância XY XY S s n 1 amostras XY XY S N populações Equação Linear Simples Y a b X X a b Y Coeficiente Linear a Y b X a X b Y Coeficiente Angular XY XX S b S XY YY S b S Coeficiente de Determinação 2 XY YY b S R S 2 XY XX b S R S Coeficiente de Correlação 2 r R se b 0 então r 0 Consequência da definição 2 2 2 a a b X Y a b X 1 b R b b a a b X a b Y Y 1 b Intervalos de Confiança Variação Residual Estimada R n 2 i i 2 i 1 YY XY Y Y S b S S n 2 n 2 n 2 Erro Padrão da estimativa de Y para X 2 R R S S Intervalo de confiança para o coeficiente linear P a a 1 2 2 R XX 2 1 X t S n S Intervalo de confiança para o coeficiente angular P b b 1 2 R XX 2 S t S Intervalo de confiança para os valores médios previstos i f x base esperança E Y Xì i i i P Y ε f X Y ε 1 2 i 2 R XX 2 X X 1 t S n S Intervalo de confiança para valores individuais previstos base desvio i iY Y i i i P Y Y Y 1 2 i 2 R XX 2 X X 1 t S 1 n S MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização TRANSFORMAÇÕES EM MODELOS LINEARES Y a b X m Y Y a b k X X a m Y b k X b k Y X m m b a a m Y b k X b k Y X m m Y a b X MODELOS NÃOLINEARES TRANSFORMADOS EM LINEARES FUNÇÃO POTÊNCIA b Y A X ln ln b Y A X ln ln ln b Y A X ln ln ln Y A b X ln ln ln a X Y Y A b X Y a b X FUNÇÃO EXPONENCIAL TIPO I X Y A B ln ln X Y A B ln ln ln X Y A B ln ln ln Y A X B ln ln ln a b Y Y A B X Y a b X FUNÇÃO EXPONENCIAL TIPO II b X Y A e MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização TABELA POR SIMETRIA TABELA z USUAL Entrada Escore Reduzido Padrão z 4 4 1 P z Saída Probabilidade por simetria Leitura dos valores tabelados x z 0 P x x P z z 1 2 z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00 00000 00040 00080 00120 00160 00199 00239 00279 00319 00359 01 00398 00438 00478 00517 00557 00596 00636 00675 00714 00753 02 00793 00832 00871 00910 00948 00987 01026 01064 01103 01141 03 01179 01217 01255 01293 01331 01368 01406 01443 01480 01517 04 01554 01591 01628 01664 01700 01736 01772 01808 01844 01879 05 01915 01950 01985 02019 02054 02088 02123 02157 02190 02224 06 02257 02291 02324 02357 02389 02422 02454 02486 02517 02549 07 02580 02611 02642 02673 02704 02734 02764 02794 02823 02852 08 02881 02910 02939 02967 02995 03023 03051 03078 03106 03133 09 03159 03186 03212 03238 03264 03289 03315 03340 03365 03389 10 03413 03438 03461 03485 03508 03531 03554 03577 03599 03621 11 03643 03665 03686 03708 03729 03749 03770 03790 03810 03830 12 03849 03869 03888 03907 03925 03944 03962 03980 03997 04015 13 04032 04049 04066 04082 04099 04115 04131 04147 04162 04177 14 04192 04207 04222 04236 04251 04265 04279 04292 04306 04319 15 04332 04345 04357 04370 04382 04394 04406 04418 04429 04441 16 04452 04463 04474 04484 04495 04505 04515 04525 04535 04545 17 04554 04564 04573 04582 04591 04599 04608 04616 04625 04633 18 04641 04649 04656 04664 04671 04678 04686 04693 04699 04706 19 04713 04719 04726 04732 04738 04744 04750 04756 04761 04767 20 04772 04778 04783 04788 04793 04798 04803 04808 04812 04817 21 04821 04826 04830 04834 04838 04842 04846 04850 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04999 04999 04999 04999 38 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 39 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização TABELA UNILATERAIS À DIREITA TABELAS z 1 e t 2 SIMÉTRICAS com domínio ID z t TABELAS 2 3 e F 4 ASSIMETRÍCAS POSITIVAS com domínio ID 2 F Entrada Probabilidade e Graus de Liberdade e relações de igualdade Saída Escores z por simetria z t por simetria t 2 1 2 1 N D F por relação N D F MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização MQE 20222 Copyright2022 Krupechacke J E Todos os direitos 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