Modelagem e Simulação

Projeto de MS Considere o guindaste de movimentação de cargas esquematizado na figura por um sistema carro pêndulo O carro desliza sobre trilhos e a carga de massa m é fixada rigidamente na extremidade da barra rígida e delgada de comprimento L 2 SI As cargas movimentadas têm peso elevado de forma que o conjunto barracarga tem CG localizado aproximadamente no centro da massa m Um sistema de controle não representado aqui consegue impor arbitrariamente a cinemática desejada do carro de tal forma que sua aceleração ut pode ser considerada como a entrada do sistema A saída do sistema é o ângulo t O modelo do sistema é dado pela seguinte equação diferencial em que c 17 SI é o coeficiente equivalente de atrito com o ar e com mancal 𝐿 𝑑2 𝑡 𝑑𝑡2 𝑐 𝑑 𝑡 𝑑𝑡 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑢𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 Determine 1 A classificação do modelo conforme suas caraterísticas 2 A representação do modelo não linear no espaço de estados 3 A resposta do sistema não linear para o carro fixo em x 0 com a entrada nula e barra abandonada em repouso em 0 30º Utilize o Excel para implementar o método de Euler 4 A resposta do sistema não linear a uma entrada ut tipo degrau de amplitude 10 SI aplicada no instante 𝑡 0 para 0 0 e 0 0 Selecione um solver adaptativo do Matlab e justifique sua escolha Varie as tolerâncias absoluta e relativa do solver de forma exploratória e discuta os resultados 5 A resposta do sistema não linear a uma entrada ut tipo degrau de amplitude 10 SI aplicada no instante t 0 para 0 0 e 0 0 Utilize o Simulink para a solução e selecione nele o mesmo solver do item 4 6 Linearize o sistema nas proximidades do ponto dado por 0 0 e 0 0 e para u 0 Apresente as matrizes no espaço de estados 7 Determine a função de transferência Gs do sistema considerando ut como entrada e 𝑡 como saída Determine também seus polos e seus zeros 8 Inclua uma dinâmica de primeira ordem associada à malha de controle que impõe a aceleração ut a partir de uma referência rt Para que ut e rt sejam iguais em regime permanente utilize um ganho 𝑘𝑔 1 A constante de tempo deste sistema é 𝜏 107𝑠 Obtenha a nova representação de estado do sistema completo 9 Repita o item 4 ou 5 para o sistema com a dinâmica do item 7 para a uma entrada rt tipo degrau de amplitude 10 SI aplicada no instante 𝑡 0 para 0 0 e 0 0 Discuta Entregáveis Vídeo privado no Youtube de até 10 min com a participação de todos os membros do grupo Arquivos Excel e Matlab Desafio Faça uma animação no MATLAB da movimentação da barra no plano 𝑧 𝑓𝑥 Questão 1 Analisando a equação do modelo podemos observar os seguintes aspectos são eles O sistema é não linear pois os termos sin φ t e cos φ t leva o sistema à essa característica O sistema é de ordem 2 pois temos d 2φ t dt 2 É um sistema dinâmico e contínuo no tempo pois temos como parâmetro da função o tempo t Portanto o modelo pode ser classificado como um sistema dinâmico contínuo não linear e de segunda ordem Questão 2 Definindo as equações de espaço de estados como x1φ t e x2dφ t dt Reescrevendo a equação diferencial temos d x2 dt 1 L u t cos x1c x2gsin x1 As equações de estado são d x1 dt x2e d x2 dt 1 L u t cosx1c x2gsin x1 Portanto temos a representação no espaço de estado assim x1x2e x21 L u t cosx1c x2gsin x1 Questão 3 Temos os seguintes dados φ 0 30π 6 rad φ 0 0 O passo de tempo escolhido foi de t001 s As equações discretizadas são φn1φnt φn φn1 φnt 1 L c φngsin φn Utilizando a planilha foi possível obter o valor máximo de 321378 no instante t159 s Questão 4 Foi utilizado o solver ode45 que é baseado no método de RungeKutta de quarta e quinta ordem Este método é preciso e eficiente e durante a integração ele ajusta automaticamente o passo de tempo para manter a precisão dentro das tolerâncias especificadas Foi utilizada uma tolerância padrão de 1e6 uma relaxada de 1 e uma rigorosa de 1e9 Analisando o gráfico podemos perceber que as três configurações de tolerância possuem um comportamento inicial parecido mas após o instante 2 um atraso maior é perceptível no gráfico da tolerância relaxada Questão 5 Questão 6 Para a linearização nos pontos mencionados temos a seguinte equação de estado x1x2e x21 L uc x2g x1 Na forma matricial x1 x2 0 1 g L c L x1 x2 0 1 L u A 0 1 49050 085 B 0 050C0 1D0 Questão 7 Sabendo que sen φφe cos φ 1 Temos d 2φ t d t 2 c L dφ t dt g L φ t u t L Aplicando Laplace s 2ϕ s c L sϕ s g L ϕsU s L Reorganizando G s ϕ s U s 1L s 2 c L s g L G s 05 s 2085s4905 Portanto os polos são 0425 j21736 e0425 j21736 Não há zeros Questão 8 A equação diferencial de primeira ordem para impor a aceleração será τ du t dt u t k grt O sistema anterior pode ser representado assim x1 x2 0 1 g L c L x1 x2 0 1 L u Inserindo a nova equação em que x3u x1 x2 x3 0 1 0 g L c L 1 L 0 0 1 τ x1 x2 x3 0 0 1 τ rt A saída é φ t x1 y1 0 0 x1 x2 x3 As matrizes de espaço de estado são A 0 1 0 49050 085 05 0 0 110 7 B 0 0 110 7 C1 0 0 D0 Questão 9