Simulação Estática e Métodos de Monte Carlo: Geração de Cenários e Avaliação de Resultados

Simulação Estática Representação do sistema em um momento específico O tempo não influencia no estado da simulação Inputs Xi Outputs Y Velocidade Vento Energia Produzida Demanda Receita Chegada de pacientes Capacidade de atendimento Tamanho da Fila Distribuição de Probabilidade Simulação Estocástica Simulação Estática Consumo de Cerveja fTemperatura Consumo 15000 36437 Temperatura Consumo 15000 36437 Temperatura ε ε Normal0 250 Simulação Estática Avaliar o comportamento do sistema outputs a partir de diferentes valores de entrada inputs Diferentes aplicações Geração de Cenários Estimação de parâmetros ex média de variáveis aleatórias Avaliação de funções matemáticas ex integrais complexas É necessário conhecer a distribuição dos dados de input e a relação deles com o outputs Geração de Números Aleatórios Identificar uma distribuição de probabilidade para os dados de entrada A partir da distribuição podemos simular os valores de acordo com a frequência Geração de Variáveis Aleatórias Geradores de números pseudoaleatórios Sob condições conseguem imitar aleatoriedade dos dados Porém são construídos para gerar valores Ui U 01 Geração de Números Aleatórios Vimos alguns métodos de geração de números aleatórios Método do Quadrato Médio Método Congruente Linear Método da Transformada Inversa Simulação de Monte Carlo Métodos de Monte Carlo Inputs Outputs Definição Distribuição de Probabilidade Operação com os dados de Entrada Avaliação dos Resultados Métodos de Monte Carlo Métodos de Reamostragem Modelagem do Problema O tempo não influencia Métodos de Monte Carlo requerem que alguma distribuição de probabilidade seja conhecida alvo ou proposta A escolha da distribuição pode ser feita a partir de Conhecimento sobre o fenômeno Literatura Sugestão de um especialista Uma amostra representativa da população Em muitos casos temos uma amostra de dados e utilizamos testes de aderência goodness of fit para um conjunto de distribuições de probabilidade Métodos de Monte Carlo Exemplo Reserva de passagens de uma cia aérea Uma companhia aérea oferece um voo diário entre o Rio de Janeiro e São Paulo O preço da passagem é de R15000 e o avião tem apenas 19 lugares Cada bilhete vendido tem probabilidade de 10 de noshow Distribuição de probabilidade da demanda demanda por passagens 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 probabilidade 003 005 007 009 011 015 018 014 008 005 003 002 Demanda por passagens e noshows são as variáveis aleatórias do problema O noshow representa uma perda de oportunidade para a companhia aérea por esta razão a gerência pensa em fazer overbooking No caso de overbooking a companhia desembolsa R 32500 em vouchers que incluem um jantar um lugar no próximo voo e uma noite em um hotel Questões O overbooking pode aumentar o lucro da empresa Quantas reservas a companhia pode aceitar Métodos de Monte Carlo Exemplo Modelo Passagens vendidas V Mínimo demanda Cenário de Oferta Receita com a venda das passagens R 150 x V Custo de overbooking C 325 x Máximo 0 V noshows 19 Lucro Receita Custo de overbooking Distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias demanda e noshows Distribuição de probabilidade da Demanda demanda por passagens 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 probabilidade 003 005 007 009 011 015 018 014 008 005 003 002 Distribuição de probabilidade do Noshow Cada bilhete vendido tem probabilidade de 01 de noshow Variável aleatória noshow segue distribuição de probabilidade binomial BinV 01 Métodos de Monte Carlo Exemplo Formulação do problema Variáveis de entrada Nº de passagens oferecidas variável de decisão Demanda por passagens variável aleatória X₁ Nº de noshows variável aleatória X₂ Variáveis de saída Receita Y₁ Custo de overbooking Y₂ Lucro Y₃ Modelo do sistema estudado Variáveis de decisão Variáveis aleatórias Métodos de Monte Carlo Exemplo Quantas passagens devem ser ofertadas para maximizar o Lucro esperado E para minimizar o risco de lucros inferiores a R 285000 O overbooking possibilita aumento no Lucro Lucro R Passagens reservadas 19 20 21 22 23 24 25 média R 272537 R 278145 R 279264 R 278668 R 277438 R 277023 R 276697 desvio padrão R 20553 R 25459 R 28544 R 29778 R 30307 R 30640 R 30704 máximo R 285000 R 300000 R 315000 R 330000 R 345000 R 360000 R 375000 mínimo R 210000 R 210000 R 210000 R 210000 R 210000 R 197500 R 180000 Plucro 2850 346 404 482 476 506 503 507 21 passagens maximiza o Lucro esperado Métodos de Monte Carlo Exemplo Quantas passagens devem ser ofertadas para maximizar o Lucro esperado E para minimizar o risco de lucros inferiores a R 285000 O overbooking possibilita aumento no Lucro Lucro R Passagens reservadas 19 20 21 22 23 24 25 média R 272537 R 278145 R 279264 R 278668 R 277438 R 277023 R 276697 desvio padrão R 20553 R 25459 R 28544 R 29778 R 30307 R 30640 R 30704 máximo R 285000 R 300000 R 315000 R 330000 R 345000 R 360000 R 375000 mínimo R 210000 R 210000 R 210000 R 210000 R 210000 R 197500 R 180000 Plucro 2850 346 404 482 476 506 503 507 19 passagens minimiza o risco de lucros inferiores a R285000 Métodos de Monte Carlo Exemplo Quantas passagens devem ser ofertadas para maximizar o Lucro esperado E para minimizar o risco de lucros inferiores a R 285000 O overbooking possibilita aumento no Lucro Lucro R Passagens reservadas 19 20 21 22 23 24 25 média R 272537 R 278145 R 279264 R 278668 R 277438 R 277023 R 276697 desvio padrão R 20553 R 25459 R 28544 R 29778 R 30307 R 30640 R 30704 máximo R 285000 R 300000 R 315000 R 330000 R 345000 R 360000 R 375000 mínimo R 210000 R 210000 R 210000 R 210000 R 210000 R 197500 R 180000 Plucro 2850 346 404 482 476 506 503 507 20 passagens é uma boa opção para balancear o Lucro esperado e o risco de lucros inferiores a R285000 Métodos de Monte Carlo Exemplo Quantas passagens devem ser ofertadas para maximizar o Lucro esperado E para minimizar o risco de lucros inferiores a R 285000 O overbooking possibilita aumento no Lucro Lucro R Passagens reservadas 19 20 21 22 23 24 25 média R 272537 R 278145 R 279264 R 278668 R 277438 R 277023 R 276697 desvio padrão R 20553 R 25459 R 28544 R 29778 R 30307 R 30640 R 30704 máximo R 285000 R 300000 R 315000 R 330000 R 345000 R 360000 R 375000 mínimo R 210000 R 210000 R 210000 R 210000 R 210000 R 197500 R 180000 Plucro 2850 346 404 482 476 506 503 507 Não faz sentido ofertar 22 ou mais passagens gera pior desempenho nos indicadores comparado com 21 passagens Método Bootstrap Amarrar as botas ou pull yourself up by your bootstraps Utilizar o próprio esforço para resolver os problemas Bastante utilizado para obter e avaliar estimativas a partir da simulação da distribuição de probabilidade delas Obtenção de estimativas intervalares Intervalo de confiança Lidar com nãonormalidade método nãoparamétrico Método Bootstrap Consiste em a cada iteração Amostrar n observações com resposição do conjunto de dados Calcular a estimativa Ti desejada com o novo conjunto de dados Repetir o processo B vezes Assim obtémse uma distribuição de estimadores T1 T2 T3 Tn1 Tn da qual podese obter θboot 1B i1 to B Ti Método Bootstrap A estimativa Ti pode ser um estimador qualquer Suponha que Ti seja a média amostral Considere uma amostra de tamanho n x1 x2 x3 xn2 xn1 xn b1 x1 x1 xn1 xn x3 x2 b2 x3 x1 x3 x2 x1 x3 b3 xn x2 xn1 xn2 x1 x3 bB2 x4 xn1 x3 x5 x6 xn bB1 x10 x22 x5 x1 x2 xn bB xn xn xn xn xn xn T1 x1 x1 xn1 xn x3 x2 n T2 x3 x1 x3 x2 x1 x3 n T3 xn x2 xn1 xn2 x1 x3 n TB2 x4 xn1 x3 x5 x6 xn n TB1 x10 x22 x5 x1 x2 xn n TB xn xn xn xn xn xn n θboot 1B i1 to B Ti VARθboot 1B1 i1 to B Ti θboot2 Método Bootstrap O que acontece com a distribuição de θboot Teorema Central do Limite Central Limit Theorem X μ σ²n N01 Bootstrap θ gX₁ Xₙ Considerando uma amostra representativa da população A distribuição de θ amostral converge para a verdadeira distribuição de θ populacional Método Bootstrap A partir da distribuição obtida podese obter intervalos de confiança da estimativa como Percentile boostrap θbootα2 θboot1α2 θboot25 θboot975 Empirical bootstrap 2θboot θboot1α2 2θboot θbootα2 Normal interval bootstrap θboot Zα2 SE α Nível de significância SE Standard Error Erro Padrão Método Bootstrap LimitaçõesPonto de Atenção É mais computacionalmente intensivo comparado ao jackknife As amostras geradas são diferentes entre si mas dentro de um conjunto finito Variações podem servir para dados com dependência sob determinadas condições Bootstrapping and Permutation Testing Shiny app Geração de Números Aleatórios Aplicações em R Geração de Números Aleatórios Aplicações em R Geração de Números Aleatórios Método do Congruente Linear MCL Ex Gerar uma lista de 100 números aleatórios usando MCL com a 13 c 65 m 100 x₀35 a 75 c 65 m 2311 x₀ 35 Plotar o histograma das sequências geradas Para gerar uma lista de números aleatórios Escolher a c e m Definir uma semente x₀ xᵢ₁ a xᵢ c modm i 012 p a xᵢ c modpm p m floorpm para y 0 modxy x para y 0 Gerar os números de maneira iterativa sendo que Uᵢ xᵢm é o número aleatório Geração de Números Aleatórios Aplicações em R Geração de Variáveis Aleatórias Método da Transformada Inversa Para gerar uma lista de variáveis aleatórias Definir a VA a ser gerada Fx e obter F¹x Sortear um número aleatório Uᵢ U01 Calcular F¹U Gerar os valores de maneira iterativa Geração de Números Aleatórios Aplicações em R Geração de Variáveis Aleatórias Método da Transformada Inversa Ex Gerar uma lista de 100 variáveis aleatórias Função Rampa fx x 2 Distribuição Uniforme U1 30 Distribuição Exponencial lambda 3 Plotar o histograma das sequências geradas Monte Carlo e Reamostragem Aplicações em R Métodos de Monte Carlo Simulação de Monte Carlo Exemplo Durante último ano foram coletadas informações diárias de um sobre a quantidade de pacientes que chegaram e que foram atendidos em um consultório EADdadospacientesmontecarlocsv A diferença entre capacidade e demanda representa a quantidade de pacientes não atendidos em caso positivo ou a folga negativo Com isso Simule a distribuição da ocorrência de filas e do tamanho das filas usando Monte Carlo Qual o quantidade média de pacientes nãoatendidos em cada dia Qual probabilidade de terem pacientes nãoatendidos em cada dia