Modelagem do Motor de Indução

MODELAGEM DO MOTOR DE INDUC AO Romeu Reginatto 16 de fevereiro de 2006 Relatorio Tecnico Departamento de Engenharia Eletrica Universidade Federal do Rio Grande do Sul Porto Alegre RS Brasil Romeu Reginatto Professor do Departamento de Engenharia Eletrica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul Rua Osvaldo Aranha 103 Bairro Centro Porto Alegre RS BR 90010190 email romeueceufrgsbr Segunda edicao revisada e ampliada Impresso em Porto Alegre Brasil Trabalho digitado em latex pelo autor Impresso em papel A4 75gm2 com impressora laser 600dpi Sumario OBJETIVO 4 INTRODUC AO 4 1 MODELO FISICO DO MOTOR DE INDUC AO 5 11 ALGUNS ASPECTOS CONSTRUTIVOS 5 12 FORCA MAGNETOMOTRIZ NO ENTREFERRO 6 13 OBTENC AO DAS INDUTˆANCIAS 12 131 Indutˆancias Proprias 12 132 Indutˆancias Mutuas 13 133 Indutˆancias Mutuas EstatorRotor 14 14 GENERALIZAC AO PARA P POLOS 14 15 EQUAC AO DOS FLUXOS 16 16 EQUAC AO DAS TENSOES 18 17 EQUAC AO DO TORQUE ELETROMAGNETICO 19 18 EQUAC AO MECˆANICA 19 19 MODELO FISICO COMPLETO 20 2 MODELO DQ PARA O MOTOR DE INDUC AO 21 21 SISTEMA DE COORDENADAS ARBITRARIO 22 22 INTERPRETAC AO FISICA 24 23 VARIAVEIS DQO EM REGIME PERMANENTE 27 24 EQUAC OES DO MOTOR DE INDUC AO NO SISTEMA DE COORDE NADAS DQO 28 241 Equacao dos Fluxos 30 242 Equacao das Tensoes 32 243 Equacao do Torque Eletromagnetico 34 25 SISTEMAS DE COORDENADAS NORMALMENTE UTILIZADOS 34 26 MODELO DO MOTOR DE INDUC AO NOS VARIOS SISTEMAS DE COORDENADAS 35 27 TRANSFORMAC AO T 37 2 3 OUTROS MODELOS E NOTAC OES 38 31 MODELO EM VARIAVEIS DE ESTADO 38 311 Fluxos Ligados como Variaveis de Estado 38 312 Correntes como Variaveis de Estado 40 313 Correntes e Fluxos como Variaveis de Estado 41 32 VARIAVEIS COMPLEXAS 42 321 Vetores Complexos 42 322 Vetores Espaciais 43 33 MODELOS APROXIMADOS 45 331 Modelo Linearizado 45 332 Modelo para Regime Permanente 46 333 Imposicao de Correntes 49 CONCLUSAO 51 BIBLIOGRAFIA 52 3 OBJETIVO Este trabalho visa estudar o motor de inducao a nıvel de modelagem com o intuito de ser uma introducao ao estudo da literatura de controle do motor de inducao apresentando as diversas formas e notacoes com que este e abordado nesta literatura INTRODUC AO O motor de inducao e sem duvida o motor mais utilizado na industria para as mais va riadas aplicacoes Caracterısticas como robustez baixo custo baixa relacao pesopotˆencia e pouca necessidade de manutencao e que o tornam bastante atrativo para a mesma 5 Com a introducao da teoria de controle vetorial tem sido possıvel a aplicacao do motor de inducao em acionamentos de alta performance em substituicao ao motor DC muito utilizado para este fim Na literatura de estudo do controle do motor de inducao o modelo deste e apresentado de diversas formas diferentes baseadas principalmente na notacao vetorialmatricial e na notacao vetorial complexa Nesta mesma literatura o modelo no sistema de coordenadas dq e muito utilizado e de fundamental importˆancia para o entendimento do controle vetorial Neste trabalho o motor de inducao e estudado a nıvel de modelamento partindo de uma compreensao fısica do mesmo Por um procedimento simples e conciso um primeiro modelo e obtido consistindo basicamente na obtencao das indutˆancias proprias e mutuas do motor e no estabelecimento de suas relacoes VI Durante este desenvolvimento sao analisados os efeitos das aproximacoes mais importantes que sao introduzidas Posteriormente e introduzido o conceito de sistema de coordenadas e e apresentado o sistema de coordenadas arbitrario A mudanca de variaveis que permite chegarse a este sistema e apresentada e aplicada ao modelo fısico do motor de inducao Com isto um modelo muito mais simples e obtido caracterizado por ser invariante no tempo Finalmente o modelo do motor de inducao no sistema de coordenadas arbitrario e apresentado de diversas formas diferentes e equivalentes E introduzida a notacao vetorial complexa e o modelo com esta notacao e desenvolvido Tambem sao apresentadas apro ximacoes para o modelo para situacoes especıficas como regime permanente e pequenas perturbacoes em torno de um ponto de operacao 4 Capıtulo 1 MODELO FISICO DO MOTOR DE INDUC AO 11 ALGUNS ASPECTOS CONSTRUTIVOS O motor de inducao e uma montagem concˆentrica do estator e do rotor O estator e montado internamente a carcaca que possui uma base ou flange para fixacao O rotor e montado sobre um eixo preso as laterais do motor O estator e o rotor sao compostos de material magnetico lˆaminas de acosilıcio etc de alta permeabilidade relativa para formar um circuito magnetico de baixa relutˆancia O espaco existente entre o estator e o rotor e chamado de entreferro e e onde se concentra praticamente toda a relutˆancia do caminho magnetico Nas superfıcies do estator e do rotor sao feitas ranhuras nas quais sao montadas as bobinas que compoem os enrolamentos do estator e do rotor respectivamente Estes enrolamentos quando percorridos por uma corrente eletrica produzem campos magneticos de cuja interacao e produzido o torque motor O enrolamento do estator e constituıdo de trˆes conjuntos de bobinas cada um cor respondendo a uma fase Cada conjunto sera chamado de enrolamento da fase a b ou c representando a fase a que se refere Os enrolamentos das fases a b e c sao montados defasados geometricamente de 120 graus Geralmente estes enrolamentos sao iguais entre si ou seja apresentam a mesma resitˆencia e o mesmo numero de espiras Um enrolamento semelhante ao do estator pode ser montado sobre o rotor caracte rizando um motor com rotor bobinado Outra forma mais comum na pratica e a de se ter o enrolamento do rotor constituıdo de barras de alumınio previamente fundidas nele e curtocircuitadas nas suas extremidades Este ultimo caso caracteriza o motor de inducao com rotor em gaiola de esquilo ou simplesmente em gaiola Esta ultima forma apresenta algumas vantagens sobre a primeira em relacao ao custo ao peso e a robustez embora nao permita o acesso as variaveis eletricas do rotor A distˆancia entre os extremos de uma bobina e conhecida como passo de bobina e a distˆancia entre os extremos de um polo como passo polar Ambos sao geralmente medidos 5 em radianos ou em numero de ranhuras Um passo polar corresponde a π radianos eletricos independentemente do numero de polos da maquina 2 Quando o passo de bobina for igual ao passo polar ele e chamado de pleno quando for menor de fracionario O passo fracionario e frequentemente utilizado para diminuir o conteudo harmˆonico das tensoes e correntes do motor 1 12 FORC A MAGNETOMOTRIZ NO ENTREFERRO A teoria generalizada de maquinas eletricas introduz uma serie de consideracoes com o objetivo de simplificar a analise e por consequˆencia a obtencao de um modelo Equi vale a dizer que as maquinas sao consideradas ideais As hipoteses que sao geralmente consideradas sao 2 a A saturacao magnetica e negligenciada E considerada valida a superposicao dos fluxos e todas as indutˆancias sao consideradas indepententes da magnitude das correntes b As forcas magnetomotrizes e os fluxos no entreferro sao representados pela componente fundamental de sua distribuicao espacial que e considerada simetrica em relacao ao eixo magnetico dos enrolamentos c As distorcoes no fluxo introduzidas pelo efeito das ranhuras sao ignoradas Os enrola mentos sao considerados constituıdos de uma distribuicao senoidal de condutores de diˆametro desprezıvel d As perdas por histerese e por correntes de Foucalt no material magnetico sao despre zadas Todas estas simplificacoes serao introduzidas ao longo do desenvolvimento deste capıtulo e seus efeitos serao discutidos No desenvolvimento do modelo consideraremos um motor de inducao trifasico de dois polos ligado em estrela com rotor bobinado constituıdo de um enrolamento estatorico simetrico ou seja composto de trˆes enrolamentos idˆenticos e defasados geometricamente de 120 graus e de um erolamento rotorico semelhante A figura 11 mostra de forma simplificada e esquematica um motor de inducao com tais caracterısticas As fases sao simbolizadas pelas letras a b e c Os ındices s e r indicam que as grandezas sao referentes ao estator e ao rotor respectivamente Os sımbolos e indicam o sentido positivo da corrente saindo e entrando na pagina respectivamente O eixo as representa a direcao na qual a forca magnetomotriz FMM produzida pela fase a do estator e maxima no instante em que a corrente nesta fase e maxima no sentido indicado na figura Os demais eixos sao definidos de forma analoga Para o proposito de obter uma equacao para a FMM e conveniente utilizar uma repre sentacao planar para o motor de inducao como mostra a figura 12 Esta representacao facilita o desenvolvimento e a analise Nas figuras 11 e 12 αs e medido em relacao a 6 Figura 11 Representacao simplificada de um motor de inducao com 2 polos Os enrola mentos das fases sao representados por 3 bobinas contendo n condutores cada um referencial fixo no estator αr em relacao a um referencial fixo no rotor e θr mede o deslocamento do rotor em relacao ao estator E facil de se obter a equivalˆencia αs αr θr 11 A permeabilidade do material magnetico e em geral muito maior que a permeabilidade do ar Por isto e razoavel supor que ela seja infinita Isto equivale a supor que toda a relutˆancia esta concentrada no entreferro ou tambem que o campo magnetico no interior do material magnetico e zero E importante notar que assumindo permeabilidade infinita para o material magnetico estamos na verdade supondo que O sistema magnetico e linear A saturacao magnetica nao existe Nao existem perdas no material magnetico por histerese e correntes de Foucalt 7 eixo as eixo bs elXO CS elxO as elxo ar eixo br elxo cr boy Og O43 As1 As2 As3lCy1 Cod Cog O51 Os2 Osd Aey Ady Gea Cs1 Cs2 Cs QO GOO 8 6 VIO GO O8 1O GOO sc Y WO OO I1 C10 OO BIW WlO OO b b b a b b b a C 72 Cr39p1 Ong Op3 Art r2 Ard Cp Cpe Cp3 Ori Pr2 Ir3 41 apg Ap3 Cri 0 r Wy Oy As Figura 12 Representacao planar da figura 11 Negligenciar a saturagao magnética pode levar a erros apreciaveis entre os resultados do modelo e os valores reais correspondentes Por isto em muitas situagoes é necessario considerar seu efeito Contudo esta hipdtese simplifica enormemente a obtencao do modelo e sera considerada aqui No final deste trabalho algumas modificagoes no modelo serao introduzidas para considerar o efeito da saturacaéo magnética Desprezandose o efeito das ranhuras e considerando que a largura do entreferro g é constante e muito menor que o raio do rotor r podemos considerar que as linhas de fluxo no entreferro sao radiais Assim os vetores intensidade de campo magnético H e densidade de campo magnético B tem componente apenas na direcao a e magnitude como funcgao espacial apenas do angulo ag Hrasz HG 12 Brasz BG uoHG 13 Para uma mais facil visualizacao a figura 12 foi reproduzida na figura 13 suprimindose a representacao das fases b e c Aplicando a Lei de Ampére idl i ao longo do caminho de integracao abcd indicado na figura obtemos rg r rg r T Hil dt HZ al 0 14 r r E logo 1 r Tr Has3 H0 15 8 elxo as elxO as eixo ar a be p as As2 53 Oey Ag Aes S WS QO Oe 7 oS OMOMO ald 4 Ar Ar2 Arg A dy Ag r Wp Oy As Figura 13 Representacao planar somente da fase a Aplicando agora a Lei de Ampére sobre 0 caminho de integracao aefd obtemos AT ni Hi7 H70 16 g onde n é o nimero de espiras envolvidas pelo caminho de integragao Como F ni 1g as relacoes acima podem ser escritas para a FMM Assim 7 Fas3 Fi50 17 4a Fas Fas0 n 18 Relagoes para a FMM Fa podem ser obtidas em fungdéo de F0 para outros valores de a Lembrando que o fluxo liquido ao longo de um passo polar deve ser zero ou seja Ba0 S F4s0 pode ser facilmente obtida Chamando de 0 comprimento ttil do rotor ligH rl da 0 Fda 0 19 0 0 de onde obtémse bri nt F0 3 110 A figura 14 mostra o grafico de F em funcao do angulo a juntamente com a sua primeira harmonica Na teoria generalizada de maquinas elétricas a onda de forga magneto motriz 6 aproximada por sua primeira harmonica No exemplo analisado esta aproximagao 9 dag a3 ni 25 ni in Gs 13 ni 25 Ti Figura 14 Forma de onda da FMM no entreferro produzida pela fase a aparenta ser um pouco grosseira Contudo para uma situacao real onde os enrolamen tos sao distribuidos em um nimero bem superior de ranhuras esta aproximacgao é menos grosseira Na verdade supor que a forga FMM no entreferro é senoidal equivale a supor que a distribuigao dos condutores dos enrolamentos é senoidal Na pratica devido ao numero finito de ranhuras uma distribuicao senoidal de condutores nao pode ser obtida Contudo os condutores dos enrolamentos podem ser distribuidos em ntimero desigual nas ranhuras de forma a aproximarse de uma distribuigdo senoidal 1 Considerando que os condutores da fase a sao senoidalmente distribuidos o numero de condutores como funcgao de a sera dado por Nsinas O a 7 Nas Nsinas a 20 111 De 111 podemos obter o nimero total de condutores que compoem o enrolamento N Nas day 2N 112 0 Com esta distribuicao de condutores a FMM no entreferro produzida pela fase a que pode ser obtida por um procedimento semelhante ao utilizado sera Ng Fas Flas cosas 113 A figura 15 ilustra a distribuicéo dos condutores e a onda de FMM resultante Considerando que os enrolamentos das tres fases do estator sao iguais e simétricos a forga magnetomotriz produzida pelas fases b e c pode ser também equacionada As equacodes 114 a 116 apresentam as expressoes assim obtidas 10 Nas i x as Np 0 tn Os 0 Hq am Gs a fh Figura 15 a Distribuicaéo senoidal de condutores b FMM resultante Ns Fas FZ las cosas 114 N 21 Fos lbs coss 115 2 3 Ng 20 Fn Mein cosay 22 116 2 3 A forga magnetomotriz total no entreferro produzida pelas correntes do estator sera entao N 9 9 F i cosas ips cosas tes COSAs 117 Uma expressao semelhante pode ser obtida para a forga magnetomotriz produzida pelas correntes do rotor utilizando o mesmo procedimento Em regime permanente as correntes podem ser expressas por jas V2I coswet 118 2 ins V2 I coswet 119 2 ies V2I coswet 120 Nesta situagao a FMM total no entreferro produzida pelas correntes do estator sera N3 F I cosut as 121 22 A expressao obtida mostra que a FMM consiste de uma onda de amplitude constante que se desloca no entreferro com uma velocidade angular w Para um dado instante de tempo ela é cossenoidal no espaco a e para um dado ponto do entreferro ela é cossenoidal no tempo 11 13 OBTENCAO DAS INDUTANCIAS Das equacoes 114 a 116 e de 13 podemos obter diretamente as expressoes para as den sidades de fluxo magnético Ng Mo Bas Zas COSAs 122 Dg as 122 Ns Lo 20 Bus ats Ho cosa 123 g 9 3 Ns Mo Qn Bes ics coSAs 124 9 9 3 Para determinar as indutancias é necessario obter uma expressao para o fluxo magnético O fluxo magnético pode ser obtido de Bas S onde S é a superficie de integracao O fluxo produzido pela fase a que corta o espaco ocupado por um enrolamento passo de bobina no caso 7 radianos pode ser obtido pela expressao Ost Nerl as BEd Bas 45 losis Sin 5 125 Qs g Este fluxo é aquele que se concatenaria com apenas uma espira que estivesse ocupando o espacgo A AAs 7 131 Indutancias Proprias A indutancia propria da fase a é obtida pela relacdo entre o fluxo que se concatena com o enrolamento da fase a produzido pela corrente que nela circula e esta corrente O fluxo ligado com fase a produzido pela corrente que circula nesta fase Agsas pode ser obtido pela integragao de 125 ao longo do enrolamento desta fase E importante ressaltar que o fluxo assim obtido é aquele que se concatena com a fase a e que também circula pelo entreferro Contudo nem todo fluxo produzido pela corrente que circula no enrolamento da fase a e que se concatena com esta circula pelo entreferro A parcela deste fluxo que nao circula no entreferro é chamada de fluxo de dispersdo Xigg deve também ser considerada na determinagao da indutancia propria Assim asas las J Nass Bas das Liastas f NasQs Bas Qs das 0 Ng porrl Liastas pa las 2 9 Lias Lmastas 126 Lgsastas 127 12 onde e lias 6 a indutancia de dispersao da fase a do estator Limas a indutancia de magnetizacao da fase a do estator Losas indutancia propria da fase a do estator e Ng Mot Linas PO 128 2 9 De forma semelhante podem ser obtidas as indutancia prdprias para as fases b e c do estator Fazendo isto notaremos que as indutancias proprias de todas as fases sao iguais Isto era de se esperar pois estamos assumindo que a maquina é simétrica Assim de forma resumida Linas Lins Lies Lis 129 Ng porrl Linas Linds Lines Lins a GC 130 2 9 Loasas Losbs cecses Lis Lins 131 Da mesma forma podem ser obtidas as indutancias proprias para o rotor dadas por Lnar Livy Lier Ly 132 N7 worl Liar Linbr Liner Linr a a 133 2 9 coarar Lorbr Llerer Ly Line 134 132 Indutancias Mutuas A indutancia mutua entre as fases a e b do estator pode ser obtida da relacao entre o fluxo produzido pela fase a que corta o enrolamento da fase 6 e a corrente que produziu o fluxo da fase a Assim asbs J Nosers ass das LN uorrl 22s Boll 135 22 g Tonsil 136 7Lmstas 2 O fluxo de dispersao da fase a nao se liga aos enrolamentos das outras fases 13 Por questoes de simetria todas as outras indutancias mtituas entre as fases do estator devem ser iguais ou seja 1 Loasbs Losas Lases Lecsas Loses Leesbs abs 137 De forma andloga podemos obter as indutancias mutuas para o rotor 1 Loror Lorar Larer Lerar Lorer Lervr 5 bmr 138 133 Indutancias Mutuas EstatorRotor A indutancia mttua entre a fase a do estator e a fase a do rotor pode ser obtida da relacao entre o fluxo produzido pela fase a do estator que corta o enrolamento da fase a do rotor e a corrente que produziu o fluxo da fase a do estator Assim Aasar J No0rr Bass das 139 Usando a relacgao 11 obtemos asar J Ninlas 6 Bas Qs das NN botrl cos4 Jigs 140 Me cos 140 Lcos0ias 141 Pelo mesmo procedimento as outras indutancias mutuas estatorrotor podem ser obtidas Assim Lasar Laras Losbr Lorbs cecser Lleres Lsy cos6 142 20 Lasbr Loras Loser Lerbs ceesar Lares Lisp cos6 3 143 20 Laser ceras Losar Larbs Leesbr Loves Lisp cos6 3 144 14 GENERALIZACAO PARA P POLOS Todo o desenvolvimento feito até aqui foi baseado num motor de dois pdlos Contudo no caso geral os motores sao constituidos de P polos Portanto tornase necessario generalizarse as expressoes até agora obtidas Esta gereralizagao pode ser facilmente entendida pela analise de um motor com 4 pélos A figura 16 ilustra um motor de 4 pdlos onde somente os condutores da fase a do esta tor estao representados Embora os condutores do enrolamento estejam representados de forma concentrada estamos assumindo que os mesmos sao senoidalmente distribuidos As 14 setas na figura indicam o sentido do vetor intensidade de campo magnetico H e por consequˆencia o sinal da forca magnetomotriz F Note que nesta situacao a forca magne tomotriz no entreferro e uma funcao de 2αs e nao mais de αs simplesmente No caso geral de P polos temos 1 Figura 16 Representacao Simplificada de um Motor de Inducao de 4 Polos Somente os condutores da fase a do estator estao representados Fas Ns P ias cosP 2 αs 145 Fbs Ns P ibs cosP 2 αs 2π 3 146 Fcs Ns P ics cosP 2 αs 2π 3 147 onde Ns e o numero de condutores por fase Todas as expressoes das indutˆancias proprias e mutuas estatorestator e rotorrotor permanecem inalteradas desde que Ns e Nr sejam entendidos como o numero de condutores por fase e nao por polo do estator e do rotor respectivamente As expressoes para as indutˆancias mutuas estatorrotor no entanto terao o argumento do termo em cosseno modificado No caso geral a indutˆancia mutua entre as fases a do 15 estator e do rotor sera dada por P Lasar Lr cos Om 148 onde On wn t dt é o Angulo mecanico que mede o deslocamento do rotor em relacao ao estator Note no entanto que se definirmos P 0 Om 149 2 a equacao 148 fica igual a equacgéo 142 Chamaremos 6 de angulo elétrico do rotor 1 Podemos desta maneira sempre pensar o motor como se ele fosse de 2 pdlos e desenvolver as equacoes em termos de angulos elétricos A equacaéo 149 permitira no final modificar as equagoes para o caso geral 15 EQUACAO DOS FLUXOS Tendo obtido as expressoes para as indutancias proprias e muituas é direta a obtencao das expressoes para os fluxos ligados Nas expressoes apresentadas abaixo Ag representa o fluxo total que corta as espiras do enrolamento da fase a do estator ou seja o fluxo ligado com esta fase Os outros fluxos sao definidos da mesma forma Como o sistema magnético é linear os fluxos ligados podem ser obtidos por super posicao Assim em forma matricial temos As L L6 i rr Li6 Ly i 150 onde Nas Nar As Abs Ar Aor 151 Nes Ver las lar i ts i tor 152 les ler 153 Lis Lins Limns2 Lims2 L Lims2 List Iims Lms2 154 Lims2 Lms2 Lis Lins 16 Lip Limr Limr 2 Linr 2 L Liny2 Lip Lime Lim 2 155 Liny 2 L ny 2 Lis Limr cos0 cos4 2 cos0 L56 LsV Ls cos6 2 cos6 cos4 2 156 cos4 2 cos6 cos6 Definindose a relagao de espiras n como N it 157 n 157 podemos referir as grandezas do rotor ao estator Introduzindo a relagao de transformagao na equacao 150 obtemos 1 As Li L0 ni 158 n 1 1 1 r Li6is SL ni 159 n n n Denotando as variaveis rotéricas referidas ao estator pelo indice superescrito definidas como ol A Ar i ni 160 n 1 Li aa br Li0 L59 161 162 obtemos As Leis Li0i 163 XN LiGis Li 164 E importante notar que a partir das definigdes acima obtemos algumas identidades impor tantes L L Lams T 165 2 165 Ins Li Li 166 L2 LinsL 167 Com estas relacoes podemos reescrever 163 e 164 da seguinte forma As Lis 0 i M V1 i Ex or ag fem Y fe as 17 onde 14 M 3 1 3 169 i 1l 1 2 2 Lis diagLis 170 Li diagLi 171 166 EQUACAO DAS TENSOES Apos termos obtido as expressoes para os fluxos ligados estamos em condicées de obter as relagoes VI para o motor de indugao As tenses nos terminais dos enrolamentos de cada fase sao dadas por Vas Rstas Pras 172 Vbs Rstos DAbs 173 Ves Rstes Pres 174 Vor Rete Dra 175 Upp Rytiy Pop 176 Up Rete Drow 177 Levando o resultado obtido das equacdes 163 e 164 em 172 a 177 obtemos na forma matricial v R O i 4 L Li4 i vi oO RIL Li6 Lh JPL O L Li i tore thay fie ue Ou de forma mais compacta OL v RiLpiwi 179 06 onde R O n 9 10 L Li9r bs Li0 U 81 w 6 182 Vas Up Vs 1 v iE 183 Vv Ves Vor e as correntes ficam definidas da mesma forma 18 17 EQUAC AO DO TORQUE ELETROMAGNETICO O torque e produzido pela interacao dos fluxos do estator e do rotor Esta interacao se manifesta na variacao da indutˆancia mutua estatorrotor em funcao da posicao do eixo A expressao para o torque eletromagnetico pode ser obtida da expressao da energia armazenada no circuito magnetico We atraves da relacao 2 1 Te We θm 184 A expressao da energia armazenada no circuito magnetico para o motor de inducao e 3 2 1 We it sLsis i t r L ri r it sL srθri r 185 Levando 185 em 184 obtemos a expressao para o torque eletromagnetico Te it s L srθr θm i r P 2 it s L srθr θr i r 186 18 EQUAC AO MECˆANICA A equacao mecˆanica relaciona as variaveis eletricas do motor com a carga Ela descreve a evolucao da velocidade mecˆanica ou tambem da posicao do eixo em funcao do torque eletromagnetico e dos parˆametros da carga Em termos de velocidade podemos escrever 3 2 Jpωm Bωm Tc Te 187 onde J e o momento de inercia do motor mais carga B e o coeficiente de amortecimento do motor mais carga Tc e o torque da carga Podemos reescrever 187 em temos da velocidade angular eletrica do rotor ωr Deri vando 149 e levando em 187 obtemos ωr P 2 ωm 188 Jpωr Bωr P 2 Te Tc 189 19 19 MODELO FISICO COMPLETO Podemos agora escrever 0 modelo completo para o motor de indugao composto pela equacao das tensdes 178 e pela equagao mecanica 189 onde o torque eletromagnético é dado por 186 De forma resumida temos Vs Re O i 4 L L6 i vi 0 RI lt Li6 Li i O L Li i Ferg Li U Li 190 P OU10 T it ety 191 2 s 00 Tr P Jpw Bw 7 Fe Tc 192 Este modelo descreve 0 comportamento de um motor de inducao trifasico de rotor bobinado com P péolos ligado em estrela e alimentado pelas tensoes vUgsUer onde todas as aproximacoes introduzidas na secao 12 foram consideradas O modelo foi obtido supondose um motor de indugao com rotor bobinado Contudo a suposicao de que o rotor é constituido de um enrolamento trifasico simétrico também é razoavel para o caso do rotor em gaiola de esquilo 1 2 3 Com esta consideracao o modelo para o caso do rotor em gaiola de esquilo pode ser obtido simplesmente adotando as tensdes nos terminais do rotor nulas ou seja um curtocircuito nos terminais do rotor na equagao 190 E importante ressaltar algumas caracteristicas importantes do modelo que obtivemos I O modelo é constitufdo de 7 equagdes 6 equagoées de tensao mais a equagao mecanica II O modelo é nao linear dados os produtos de correntes na equacao do torque e o produto pela velocidade angular do rotor na equacao das tensdes III O modelo é variante no tempo dado que a indutancia mutua estatorrotor varia com a posicao do eixo 6 Estas caracteristicas revelam a complexidade deste modelo e impoém a necessidade de buscar modelos mais simplificados que permitam um tratamento analitico mais facil No proximo capitulo obteremos um modelo para o motor de inducao que é invariante no tempo e de quinta ordem Veremos também que isto nao implicaré em aproximacoes constituindo apenas uma mudanga de variadveis 20 Capıtulo 2 MODELO DQ PARA O MOTOR DE INDUC AO No desenvolvimento do capıtulo 1 obtivemos a relacao VI para o motor de inducao trifasico Para tanto todas as variaveis da maquina foram escritas tendo em mente a referˆencia formada pelos eixos magneticos das fases do estator e do rotor Assim vas tinha como significado a tensao aplicada ao enrolamento da fase cujo eixo magnetico era o as Ao conjunto dos eixos a b e c do estator e do rotor denominaremos de sistema de coordenadas abc e ao modelo que obtivemos neste sistema de modelo do motor de induaao no sistema de coordenadas abc ou simplesmente modelo abc A introducao do conceito de sistema de coordenadas e adequada para a compreensao da notacao vetorialmatricial que utilizamos no capıtulo 1 Assim vs e entendido como o vetor da tensao do estator que possui como componentes as tensoes vas vbs e vcs Mudanca de Variaveis ou Transformacao de Coordenadas e como se chama o processo de referir as variaveis do motor correntes tensoes e fluxos escritas em um sistema de coordenadas a outro sistema de coordenadas tomado como referˆencia A fundamentacao deste processo esta baseada no princıpio da similaridade eletro magnetica introduzido por Kron 7 De uma forma resumida equivale a dizer que se nos pudermos reproduzir as condicoes magneticas no entreferro da maquina e as distribuicoes de correntes em ambos os lados do entreferro nos teremos o mesmo comportamento inde pendente das condicoes em que foram produzidas 7 A primeira mudanca de variaveis foi introduzida por R H Park 8 1920 Park referiu as variaveis estatoricas da maquina sıncrona em um sistema de coordendas fixo no rotor Esta mudanca de variaveis eliminou as indutˆancias variantes no tempo da relacao VI da maquina sıncrona 1 H C Stanley 9 1930 introduziu uma mudanca de variaveis que eliminou as in dutˆancias variantes no tempo das equacoes do motor de inducao Esta mudanca de variaveis referia as variaveis rotoricas a um sistema de coordenadas fixo no estator 1 G Kron eliminou as indutˆancias variantes no tempo do modelo da maquina simetrica trifasica referindo todas as variaveis da maquina em um sistema de coordenadas girando em sincronismo com o campo magnetico girante 1 21 D S Brereton et alli 10 também eliminou as indutancias variantes no tempo da maquina simétrica trifasica referindo todas as varidveis da maquina em um sistema de coordenadas fixo no rotor Basicamente 0 mesmo desenvolvimento de Park apenas que aplicado ao motor de indugao 1 Posteriormente as mudangas de varidveis relativas ao motor de indugao foram genera lizadas em uma tinica mudanga de varidveis que elimina as indutancias variantes no tempo pela introdugéo de um sistema de coordenadas que foi chamado de arbitrario 11 Neste capitulo apresentaremos o sistema de coordenadas arbitrario e a mudanca de varidveis que permite chegarse a ele Pela aplicacao desta mudanga de varidveis ao modelo abc obteremos o modelo do motor de inducao escrito no sistema de coordenadas arbitrario 21 SISTEMA DE COORDENADAS ARBITRARIO O sistema de coordenadas arbitrario é formado pelos eixos que denominaremos de q d e o Uma transformacao ou mudanga de variaveis é representada por uma relagao biunivoca entre as varidveis dos dois sistemas de coordenadas como abaixo fodo K fate 21 onde t fodo fa fa fo é um vetor de varidveis no sistema de coordenadas dqo t e fi fa fo fe é um vetor de varidveis no sistema de coordenadas abc e K éa relacao entre as varidveis dos dois sistemas de coordenadas Existem na literatura diversas formas diferentes de definir a transformacao K que dao origem a interpretacgoes um pouco diferentes para as varidveis no sistema de coordenadas dgo Abordaremos aqui duas transformacoes e discutiremos as suas diferengas A primeira transformagao é apresentada em 1 da seguinte forma fodo K fate 22 onde ta ta fodo fa fobe to 23 fo te 9 cos9 cos cos6 K 3 sin sin sin 24 1 1 1 2 2 2 22 wt dt 25 e a transformagao inversa Lobe K7fado 26 onde cos0 sin 1 K cos 3 sin6 1 27 cos sin 1 A segunda transformacao esta deduzida em 2 e 3 Ela pode ser escrita da seguinte forma fugo T fave 28 onde fa fa fugo ta fabe fo 29 fo fe 5 cos cos cos4 T sin sinO sin0 210 3 va va va 2 2 2 fo dt 211 e a transformagao inversa Lobe TO fade 212 onde 5 cos sin0 TC 3 cos 3 sin 3 213 cos9 sin Em ambas transformacoes nenhuma restricao é feita sobre as variaveis f fy e f que podem ser quaisquer funcoes do tempo A unica restricao feita é sobre o Angulo que deve ser uma fungdo continua 1 11 O angulo na definicao das transformacoes de coordenadas define o referencial em que as varidveis dqo serao vistas Como versea adiante ha referenciais especificos de interesse no caso do motor de inducao Assim vale a pena expressar aqui também a relacaéo de transformacao entre distintos referenciais Considere 2 referenciais distintos definidos como abaixo Fodo Ky fave 214 Sito Ky fabe 215 Reescrevendo Siac em fungao de fig obtémse Sito Ky Ky 1 fqdo KY Sado 216 23 onde foi definido Ay como a relagao entre os referenciais y e x a qual pode ser expressa como cos sin66 0 Ky siny2 cosAy Or 0 217 0 0 1 22 INTERPRETACAO FISICA Embora as transformacoes K e T constituam apenas mudangas de varidveis entre os sis temas de coordenadas abc e dgo e possam ser aplicadas sem necessidade de nenhuma conotagao fisica é interessante compreender fisicamente os seus efeitos A figura 21 apresenta o sistema de coordenadas abc composto pelos eixos magnéticos das fases a be c Nesta figura também estao mostrados os eixos g e d que compoem o sistema de coordenadas dqgo Estes eixos estao defasados de 90 graus geométricos e a posicao do eixo q esta a radianos do eixo a onde g wtdt 218 A FMM no entreferro é fungao da posicao angular a ver capitulo 1 Podemos deter minar a expressao da FMM segundo os eixos q e d a partir da expressao desta segundo os eixos a bec Fazemos isto pela projecao destes ultimos sobre os primeiros como se fossem vetores donde obtemos 20 20 Fy Fcos0 Fy cosé 3 Fcos 3 219 20 20 Fy Fsin Fysin 3 Fsin 3 220 Definindo 1 Fy 3Fat Fy Fo 221 e lembrando que F ni onde podemos definir a relacao de espiras entre os dois sistemas de coordenadas como 23 obtemos bg 9 cos cos 2 cos ta ia sin sinQ sin 2 ip 222 1 1 1 0 2 2 2 Ye A equacgaéo 222 estabelece a mesma relagao entre as varidveis dos sistemas abc e dgo da equacao 24 Note que a definicao de F completa a biunivocidade da relagao Posterior mente veremos porque esta definicao é bastante adequada A obtencao da transformacaéo T é completamente andloga ao desenvolvimento anterior Contudo existem tres diferengas para a otencao desta que sao 10s eixos a b e compoem um conjunto de eixos de referéncia por isso também chamados de sistema de coordenadas Nao é necessdrio aqui associdlos ao estator ou rotor 24 fb oO 9 fa fa fc Figura 21 Sistema de Coordenadas abc e Eixos q e d do Sistema de Coordenadas Arbitrario e Os eixos g e d sao girados de 90 graus e o angulo 6 é medido em relacao ao eixo d como mostra a figura 22 e F é definida como F BF Fy Fe e A relagao de espiras é escolhida como 2 Como resultado das diferentes definicdes temos as seguintes relagdes entre as varidveis d q e o obtidas pelas transformagoes K e T T 3 6K fl 54 223 T 3 6K ir 3 fl 224 fr V3 fo 225 25 Figura 22 Sistema de coordenadas abc e Eixos q e d do Sistema de Coordenadas Arbitrario Transformaccao T A transformacao T e uma transformacao ortogonal ou seja T1 Tt 226 Isto significa que a potˆencia e mantida sob a aplicacao desta ou seja P vaia vbib vcic vdid vqiq voio 227 Esta relacao nao e mantida pela transformacao K Pela aplicacao desta obtemse P vaia vbib vcic 3 2vqiq vdid 2voio 228 A transformacao K e mais utilizada na literatura por isto sera utilizada aqui No final deste capıtulo serao discutidas as diferencas no modelo do motor de inducao que resultam pela aplicacao da transformacao T 26 23 VARIAVEIS DQO EM REGIME PERMANENTE Para uma melhor compreensao das varidveis do sistema de coordenadas arbitrario dqo obteremos nesta segao as varidveis dgo em regime permanente Seja o conjunto de tensdes simétricas trifasicas dado por Va V2V cos6 229 2 vy V2V cosO 230 2 Ve V2V cos 231 232 onde 0 wet 233 Aplicando a transformagao K obtemos Vqdo Kote 234 2 2 2 MY 3 E cos6 vy cos6 v cos V2V cos6 0 235 2 2 2 Ww 3 E sin vp sin vu sin6 V2V sin6 0 236 2 E us up 4 Yo 3 pat et ve 9 237 Com o sistema de coordenadas arbitrario dgo girando a velocidade constante w 6 wt 60 238 e as varidveis dgo podem ser reescritas como Ug V2V coswe wt 60 239 va V2V sinw wt 00 240 Uo 0 241 Das equagdes 239 a 241 podemos facilmente verificar algumas das propriedades das varidves no sistema de coordenadas arbitrario dqo 27 e Da equacgao 241 podemos ver que a varidvel correspondente ao eixo o no sistema de coordenadas arbitrario é zero para um conjunto simétrico de varidveis abc Esta propriedade é muito importante como simplificacao do modelo do motor de inducao uma vez que se assumirmos que o mesmo é alimentado por tenses simétricas que é normalmente o caso ele fica representado apenas pelas varidveis dos eixos de q Isto equivale a dizer que o motor de indugao foi transformado de trifasico para bifasico e Das equacoes 239 e 240 vemos que a amplitude das varidveis correspondentes aos eixos de q é mantida Este nao é 0 caso para a transformacao T como veremos e Se we w va esta adiantada em 90 graus de vg e Se we w vg esta atrasada em 90 graus de vy e Se we W Vg Ug Sao continuas Esta é uma propriedade muito importante do sistema de coordenadas dgo do ponto de vista do controle do motor de indugao Isto porque nos permite controlar o motor de indugao com tensdes continuas como normalmente é um sistema de controle Nesta situacdo as tensdes nos eixos d e q sao dadas por Ug Vocos60 242 va Vosin60 243 Se o eixo q estiver alinhado com o eixo da fase a ou seja 00 0 teremos 24 EQUACOES DO MOTOR DE INDUCAO NO SISTEMA DE COORDENADAS DQO Aplicaremos agora a transformacao K as equacdes do modelo abc do motor de indugao Veremos que como resultado obteremos um modelo para o motor de inducao muito mais simples daquele principalmente pela eliminacao das indutancias que dependem de 6 Na figura 23 estao representados os eixos abc fixos no estator os eixos abc fixos no rotor e os eixos dq do sistema de coordenadas arbitrario A posicao do eixo ar relativa ao eixo as é representada pelo angulo 6 dado por 0 wt dt 246 Esta situacdo dé origem ao chamado sistema de coordenadas sincrono como veremos mais tarde 28 onde ωr e a velocidade angular eletrica do rotor Figura 23 Sistemas de Coordenadas abc e dqo Para as variaveis estatoricas a situacao e idˆentica a apresentada na figura 21 Desta forma as variaveis estatoricas da maquina no sistema de coordenadas arbitrario serao dadas por fqdos Ksfabcs 247 onde f e v i ou λ e fqdos fqs fds fos fabcs fas fbs fcs 248 Ks K 249 K1 s K1 250 Ja para as variaveis rotoricas uma pequena modificacao deve ser introduzida para recair se na situacao apresentada na figura 21 Esta pequena modificacao esta no ˆangulo entre o eixo q e o eixo de referˆencia ar que passa a ser θ θr ao inves de simplesmente θ Com esta consideracao as variaveis rotoricas da maquina no sistema de coodenadas arbitrario serao dadas por fqdor Krfabcr 251 29 onde f e v i ou λ e fqdor fqr fdr for fabcr far fbr fcr 252 Kr 2 3 cosθ θr cosθ θr 2π 3 cosθ θr 2π 3 sinθ θr sinθ θr 2π 3 sinθ θr 2π 3 1 2 1 2 1 2 253 K1 r cosθ θr sinθ θr 1 cosθ θr 2π 3 sinθ θr 2π 3 1 cosθ θr 2π 3 sinθ θr 2π 3 1 254 241 Equacao dos Fluxos Com as transformacoes Ks e Kr podemos agora obter a equacao dos fluxos ligados do motor de inducao no sistema de coordenadas dqo As equacoes 163 e 164 descrevem os fluxos ligados no sistema de coordenadas abc Aplicando as mudancas de variaveis Ks e Kr obtemos K1 s λqdos LsK1 s iqdos L srθrK1 r i qdor 255 K1 r λ qdor Lt srθrK1 s iqdos L rK1 r i qdor 256 e daı λqdos KsLsK1 s iqdos KsL srθrK1 r i qdor 257 λ qdor KrLt srθrK1 s iqdos KrL rK1 r i qdor 258 Definido as novas variaveis Lqdos KsLsK1 s 259 Lqdor KrL rK1 r 260 L qdosr KsL srθrK1 r 261 L qdors KrLt srθrK1 s Lt qdosr 262 Realizando os produtos matriciais e utilizando algumas identidades trigonometricas obtemos 30 Lqdos Lls 3 2Lms 0 0 0 Lls 3 2Lms 0 0 0 Lls Ls 0 0 0 Ls 0 0 0 Lls 263 L qdor L lr 3 2L mr 0 0 0 L lr 3 2L mr 0 0 0 L lr L r 0 0 0 L r 0 0 0 L lr 264 L qdosr 3 2L sr 0 0 0 3 2L sr 0 0 0 0 Lm 0 0 0 Lm 0 0 0 0 265 L qdors Lt qdosr 266 onde Lm 3 2Lms 3 2L mr 3 2L sr 267 Ls Lls 3 2Lms Lls Lm 268 L r L lr 3 2L mr L lr Lm 269 As equacoes 263 a 265 mostram a primeira grande simplificacao no modelo do motor de inducao introduzida pelo uso do sistema de coordenadas arbitrario que e a diagonalizacao das matrizes de indutˆancias Isto significa que o fluxo produzido pelas correntes correspon dentes a um dado eixo do sistema de coordenadas arbitrario nao se liga aos demais eixos deste sistema ou seja os fluxos nos eixos q d e o estao desacoplados A naointeracao entre os eixos q e d fica clara de sua ortogonalidade Porem este fato sugere que o eixo o tambem e ortogonal aos eixos q e d Deste fato e que surge a interpretacao de que os eixos qdo formam um sistema de coordenadas tridimensional e ortogonal ou seja o eixo o e ortogonal ao plano da folha na figura 23 Utilizando estes resultados temos as seguintes equacoes para o fluxos ligados do motor de inducao no sistema de coordenadas arbitrario λqs λds λos Ls 0 0 0 Ls 0 0 0 Lls iqs ids ios Lm 0 0 0 Lm 0 0 0 0 i qr i dr i or 270 λ qr λ dr λ or Lm 0 0 0 Lm 0 0 0 0 iqs ids ios L r 0 0 0 L r 0 0 0 L lr i qr i dr i or 271 Ou de forma mais compacta λqdos Lqdos iqdos L dqosr i dqor 272 λ qdor L qdosr iqdos L dqor i qdor 273 31 Figura 24 Circuito Equivalente para o Motor de Inducao no Sistema de Coordenadas Arbitrario 242 Equacao das Tensoes O mesmo procedimento da secao anterior pode ser aplicado as equacoes das tensoes para obtermos suas correspondentes no sistema de coordenadas arbitrario Representando as equacoes 172 a 177 na forma vetorial obtemos vabcs Rsiabcs pλabcs 274 v abcr R ri abcr pλ abcr 275 Aplicando as mudancas de variaveis Ks e Kr em 274 e 275 obtemos vqdos KsRsK1 s iqdos KspK1 s λqdos 32 KsRsK1 s iqdos KspK1 s λqdos pλqdos 276 v abcr KrR rK1 r i qdor KrpK1 r λ qdor KrR rK1 r i qdor KrpK1 r λ qdor pλ qdor 277 E facil de obterse que KsRsK1 s Rs 278 KrR rK1 r R r 279 KspK1 s ω 0 1 0 1 0 0 0 0 0 280 KrpK1 r ω ωr 0 1 0 1 0 0 0 0 0 281 Com isto as equacoes das tensoes para o motor de inducao no sistema de coordenadas dqo ficam vqs vds vos Rs 0 0 0 Rs 0 0 0 Rs iqs ids ios p ω 0 ω p 0 0 0 0 λqs λds λos 282 v qr v dr v or R r 0 0 0 R r 0 0 0 R r i qr i dr i or p ω ωr 0 ω ωr p 0 0 0 0 λ qr λ dr λ or 283 As equacoes 282 e 283 estao apresentadas em termos de fluxos e correntes Utilizando as equacoes para os fluxos que obtivemos na secao anterior eq 270 e 271 podemos reescrevˆelas em funcao somente das correntes Assim vqs vds vos v qr v dr v or Rs pLs ωLs 0 pLm ωLm 0 ωLs Rs pLs 0 ωLm pLm 0 0 0 Rs pLls 0 0 0 pLm ω ωrLm 0 R r pL r ω ωrL r 0 ω ωrLm pLm 0 ω ωrL r R r pL r 0 0 0 0 0 0 R r pL lr iqs ids ios i qr i dr i or 284 Comparandose esta equacao com a equacao das tensoes no sistema de coordenadas abc eq 190 e facil de notar a maior simplicidade da primeira Esta simplicidade advem prin cipalmente do fato da indutˆancia mutua ser invariante no tempo Porem a nao interacao dos fluxos de eixos diferentes tambem introduz uma grande simplificacao que se traduz na naoexistˆencia de tensoes transformacionais entre eixos diferentes Somente tensoes ro tacionais aparecem acoplando as equacoes do eixo q as do eixo d sendo que nao existe acoplamento nenhum entre as equacoes do eixo o com as dos eixos q e d Veremos que devido a este ultimo fato sob certas condicoes podemos desconsiderar as equacoes no eixo o sem incorrer na introducao de erros no modelo A figura 24 mostra o circuito equivalente do motor de inducao no sitema de coordenadas arbitrario que representa a equacao 284 33 243 Equacao do Torque Eletromagnetico Aplicando as mudancas de variaveis Ks e Kr na equacao do torque eletromagnetico do motor de inducao eq 191 e utilizando 270 e 271 obtemos Te 3 2 P 2 Lmi driqs i qrids 285 3 2 P 2 k2 σLm λ drλqs λ qrλds 286 3 2 P 2 i drλqs i qrλds 287 3 2 P 2 λdsiqs λqsids 288 3 2 P 2 Lm L r λ driqs λ qrids 289 3 2 P 2 Lm Ls i drλqs i qrλds 290 onde k2 L2 m LsLr 291 σ 1 k2 292 Estas sao algumas formas possıveis de se obter o torque eletromagnetico produzido pelo motor de inducao no sistema de coordendas arbitrario dqo 25 SISTEMAS DE COORDENADAS NORMALMENTE UTILIZADOS O modelo que obtivemos para o motor de inducao no sistema de coordenadas arbitrario que passaremos a chamar de modelo dq simplesmente e sem duvida muito mais simples do que o modelo abc Contudo como dissemos no inıcio deste capıtulo sistemas de coor denadas especıficos foram inicialmente desenvolvidos e posteriormente generalizados para o sistema de coordenadas arbitrario Queremos agora particularizando este ultimo obter os primeiros Estes sao obtidos pela escolha de ω Quatro situacoes sao comuns na literatura ω generico e o proprio sistema de coordenadas arbitrario ω 0 e o sistema de coordenadas fixo no estator desenvolvido por Stanley E conhe cido como sistema de coordenadas estacionario Muitos autores seguem a notacao introduzida por Stanley que representa as variaveis pelos ındices α β e 0 ao inves 34 dos ındices d q e o Por isto este sistema tambem e muito conhecido como sistema de coordenadas αβo ω ωr e o sistema de coordenadas fixo no rotor E pouco utilizado na literatura para o motor de inducao Contudo e de muita importˆancia para o controle do motor sıncrono E o sistema de coordenadas que foi introduzido por Park ω ωe e conhecido como sistema de coordenadas sıncrono Ele tem a importante propriedade de que as variaveis neste sistema de coordenadas sao contınuas Por esta razao e o mais utilizado na literatura de controle do motor de inducao As transformacoes que levam do sistema de coordenadas abc para cada um destes sistemas podem ser facilmente obtidas de 24 pela escolha adequada do valor de θ 26 MODELO DO MOTOR DE INDUC AO NOS VARIOS SISTEMAS DE COORDENADAS O modelo do motor de inducao nos varios sistemas de coordenadas descritos e obtido da equacao 284 pela escolha do valor correspondente de ω Assim teremos ω 0 sistema de coordenadas estacionario ω ωr sistema de coordenadas fixo no rotor ω ωe sistema de coordenadas sıncrono Como pode ser visto das equacoes dos fluxos 270 e 271 as correntes do estator e rotor no eixo o produzem somente fluxos de dispersao ou seja o fluxo no eixo o nao gera tensoes rotacionais nos eixos d e q Por isto na equacao 284 as tensoes no eixo o sao completamente independentes de todas as variaveis dos eixos d e q e viceversa Considerando ainda que o motor de inducao e alimentado por tensoes simetricas que e normalmente o caso as grandezas vos e vor sao nulas Por essas razoes o motor de inducao pode ser representado apenas pelas equacoes nos eixos d e q considerandose todas as variaveis no eixo o como nulas Isso nos permite reduzir o numero de equacoes do modelo de 7 para 5 Apresentamos abaixo de forma compacta o modelo dq completo do motor de inducao nos varios sistemas de coordenadas Modelo do motor de inducao no sistema de coordenadas arbitrario vqs Rs pLsiqs ωLsids Lmpi qr ωLmi dr vds Rs pLsids ωLsiqs Lmpi dr ωLmi qr v qr R r pL ri qr ω ωrL ri dr Lmpiqs ω ωrLmids v dr R r pL ri dr ω ωrL ri qr Lmpids ω ωrLmiqs Te 3 2 P 2 Lmi driqs i qrids 35 Jpωr Bωr P 2 Te Tc 293 Modelo do motor de inducao no sistema de coordenadas estacionario vs qs Rs pLsis qs Lmpis qr vs ds Rs pLsis ds Lmpis dr vs qr R r pL ris qr ωrL ris dr Lmpis qs ωrLmis ds vs dr Rr pL ris dr ωrL ris qr Lmpis ds ωrLmis qs Te 3 2 P 2 Lmis dris qs is qris ds Jpωr Bωr P 2 Te Tc 294 Modelo do motor de inducao no sistema de coordenadas fixo no rotor vr qs Rs pLsir qs ωrLsir ds Lmpir qr ωrLmir dr vr ds Rs pLsir ds ωrLsir qs Lmpir dr ωrLmir qr vr qr R r pL rir qr Lmpir qs vr dr R r pL rir dr Lmpir ds Te 3 2 P 2 Lmir drir qs ir qrir ds Jpωr Bωr P 2 Te Tc 295 Modelo do motor de inducao no sistema de coordenadas sıncrono ve qs Rs pLsie qs ωeLsie ds Lmpie qr ωeLmie dr ve ds Rs pLsie ds ωeLsie qs Lmpie dr ωeLmie qr ve qr R r pL rie qr ωe ωrL rie dr Lmpie qs ωe ωrLmie ds ve dr R r pL rie dr ωe ωrLrie qr Lmpie ds ωe ωrLmie qs Te 3 2 P 2 Lmie drie qs ie qrie ds Jpωr Bωr P 2 Te Tc 296 E importante notar que a forma de onda da potˆencia instantˆanea a resposta do torque e da velocidade do rotor sao independentes do sistema de coordenadas escolhido Isto significa que nao importando qual sistema de coordenadas se escolha nem se uma troca de sistemas de coordenadas e feita durante uma simulacao a resposta que obteremos em termos de potˆencia torque e velocidade do motor sera a mesma O modelo que obtivemos e facilmente adaptado ao caso do motor de inducao com rotor em gaiola de esquilo pela simples realizacao de um curtocircuito nos terminais do rotor ou seja fazer vdr vqr 0 36 27 TRANSFORMAC AO T Todo o desenvolvimento que fizemos neste capıtulo pode ser repetido utilizandose a trans formacao T ao inves da K Fazendose isso obteremos exatamente as mesmas equacoes para os fluxos e as tensoes e a diferenca de uma constante na equacao do torque eletro magnetico As equacoes das tensoes e dos fluxos nao mudam porque a defasagem entre os eixo d e q e a mesma em ambas as transformacoes Notese que embora as equacoes sejam as mesmas isto nao significa que as variaveis sejam as mesmas e realmente nao sao Ou seja as formas de onda das tensoes correntes e fluxos sao diferentes mas as relacoes entre elas sao as mesmas A diferenca na equacao do torque aparece porque a transformacao T mantem a potˆencia invariante enquanto que a transfomacao K nao mantem Assim na equacao do torque eletromagnetico obtida pela aplicacao da transformacao T a constante 32 nao aparece ou seja TeK 3 2TeT 297 Em resumo as unicas equacoes que ficam alteradas usandose transformacao T sao A equacao da potˆencia A equacao do torque Sendo assim os modelos 293 296 295 e 294 sao os que seriam obtidos pelo uso da transformacao T a menos da constante 32 na equacao do torque eletromagnetico 37 Capıtulo 3 OUTROS MODELOS E NOTAC OES No capıtulo 2 obtivemos o modelo para o motor de inducao no sistema de coordenadas ar bitrario Pela consideracao de que o motor e alimentado por tensoes simetricas eliminamos as equacoes relativas ao eixo o reduzindo o numero total de equacoes de 7 para 5 Neste capıtulo desenvolveremos outras formas para o modelo do motor de inducao que sao comuns na literatura de estudo do controle do motor de inducao para aplicacoes em acionamentos de alta performance Tambem apresentaremos modelos de ordem reduzida que embora sejam aproximacoes permitem obter bons resultados em muitas situacoes com a vantagem de serem mais simples e por consequˆencia exigirem menor tempo computacional em simulacoes Tambem neste capıtulo todas as variaveis rotoricas serao consideradas referidas ao estator e por questoes de facilidade de notacao nao serao denotadas por 31 MODELO EM VARIAVEIS DE ESTADO Varias formas para o modelo do motor de inducao no sistema de coordenadas arbitrario dqo podem ser obtidas por escolhas diferentes de variaveis de estado A escolha das variaveis de estado depende do interesse da analise que por sua vez depende da aplicacao Apre sentaremos aqui duas escolhas diferentes de variaveis de estado que acreditamos serem de interesse principalmente para simulacao 311 Fluxos Ligados como Variaveis de Estado A escolha dos fluxos ligados como variaveis de estado e melhor que a escolha das correntes do ponto de vista da estabilidade numerica durante simulacoes 6 1 Isto pode ser enten dido intuitivamente do fato de que em 282 e 283 temos apenas um termo derivativo em cada equacao enquanto que em 284 temos dois Nao obstante a este fato o modelo obtido com a escolha dos fluxos ligados como variaveis de estado e sensivelmente mais simples que o obtido com as correntes como veremos em seguida 38 O modelo com fluxos como variaveis de estado pode ser obtido das equacoes 270 e 271 As equacoes 270 e 271 sao reescritas abaixo em uma forma mais conveniente onde as equacoes relativas ao eixo o foram desconsideradas λqs λqr λds λdr Ls Lm 0 0 Lm Lr 0 0 0 0 Ls Lm 0 0 Lm Lr iqs iqr ids idr 31 Obtendose a relacao inversa de 31 iqs iqr ids idr 1 σ 1Ls k2Lm 0 0 k2Lm 1Lr 0 0 0 0 1Ls k2Lm 0 0 k2Lm 1Lr λqs λqr λds λdr 32 onde k2 L2 m LsLr e o coeficiente de acoplamento total estator rotor σ 1 k2 e o coeficiente de dispersao total estator rotor Levando 32 em 282 e 283 e adicionandose a equacao mecˆanica 189 obtemos o modelo completo com os fluxos ligados como variaveis de estado λqs Rs σLs λqs ωλds k2 σ Rs Lm λqr vqs 33 λds Rs σLs λds ωλqs k2 σ Rs Lm λdr vds 34 λqr Rr σLr λqr ω ωrλdr k2 σ Rr Lm λqs vqr 35 λdr Rr σLr λdr ω ωrλqr k2 σ Rr Lm λds vdr 36 ωr B J ωr P 2 1 J Te Tc 37 Te 3 2 P 2 k2 σLm λdrλqs λqrλds 38 ωm 2 P ωr 39 O parˆametro do motor que mais varia com a saturacao e a indutˆancia mutua Lm Uma das formas de considerar o efeito da saturacao e considerar Lm variante no tempo em 39 funcao da amplitude dos fluxos Um modelo mais adequado ao apresentado nas equacoes 33 a 39 pode ser obtido em funcao dos fluxos no entreferro Adm Lin tas tar 310 Nam Lintgs tgr 311 Reestruturando as equagoes 33 a 39 em fungao de 310 e 311 obtemos 11 R Ags ZT Aan Ags WAds Vas 312 ls Rg Nis 7 am Xs WAgs Vas 313 ls R Ng Taam Agr W Wy Agr Vgr 314 Ir R ar ZT Aam Nar w Wy Agr Var 315 Ir B Pil Wp yer a 7Fe Tc 316 3P 1 Te Xarrgs AgrAds 317 9 9 L drq qr Ad Nie Le 38 448 835 Ngs Agr Nm Le 2 92 319 1 L 320 Tn tT Ty 2 321 Un Wy P 312 Correntes como Variadveis de Estado Por conveniéncia reescrevemos a equacao 284 abaixo de outra forma Vas lgs tgs Vas las lds oe fT AL Ge Be ie 322 Var lar tar Onde Rs wl 0 WL wl Rs wLlm 0 A 0 Ww Wy Lim R w w Ly 323 w wy Lim 0 w wy Dy R 40 L O Lm 0 0 L O L B m 324 Lm 0 L 0 0 Lm OO L Pela inversao da matriz B é facil obter de 322 tgs tgs Uqs a a 1 UV p B TA Bt 325 lor lar Var lar lar Vdr E dai Re Rn wrk Ded ke 326 gs ols as o Lim ar oO ds o Lm rtdr ols as oLm Yar 5 Ba RR wh PL ke 327 lds oL lds a L 0 wW a tas a Lyon ob oL 2 Ry k Rs Wr Lm 1 k lq GL cL tdr OL OL oL 328 Ry k Rs Wr Lm 1 k tdr OL cL tgr OL oL oL 329 B Pil Or Fw 3 7 Fe Tc 330 3 P Te Lmiarigs igrids 331 22 2 Wm Ber 332 313 Correntes e Fluxos como Variaveis de Estado Uma forma alternativa para apresentacao do modelo do motor de inducao em varidveis de estado é pela escolha das correntes de estator e os fluxos de rotor como varidveis de estado Este modelo é interessante pois as correntes de estator sao varidvies mais facilmente men suraveis do que os fluxos de estator e o modelo resultante fica em forma mais simples em comparacao ao modelo com correntes como varidveis de estado A partir das relagoes entre fluxos e correntes 31 e 32 podese obter Lim Ags OLsigs 7 fe 333 Tr Lim Xds OLsids up 334 L Lin 1 lgr lgs Ar 335 qr L qs L qr Lin 1 lay las A 336 dr L ds L dr Al Utilizando as relagoes 333 e 334 substituindoas no modelo do motor de indugao expresso com os fluxos como varidveis de estado 33 a chegase a seguinte repre sentacao para o modelo do motor de indugao digg 1 k R k 1 k dt 7 48 Wilds oLy L oL or Nr cL cL 337 dias 1 k R k 1 k HFT 74 Wtgs cL L oLr cL oL 338 R RLim Agr Tn w wr Adr TL 4 Var 339 R RLim Ndr FAar w Wr Xgr Zz as Vdr 340 B Pi w Te T Al w ze 5 7 e c 341 3P Lm Te 22 L ata Agrids 342 2 Wm Ber 343 1 1 RrLi onde 7 GLe R Bere 32 VARIAVEIS COMPLEXAS 321 Vetores Complexos Uma forma muito comum de apresentacgao do modelo do motor de inducao é em termos de varidveis complexas Esta notacao permite representar as quatro equacdes do modelo dq em apenas duas Isto é conseguido definindose os vetores no plano complexo ads Ags jras 344 Nedr Agr JAdr 345 Ugds Ugs JVs 346 Ugdr Ugr JVar 347 lgds tgs Jtds 348 igdr tgr Sar 349 E facil de obterse de 31 que Nads Ltqas Linigar 350 Near Lmigas Lyigar 351 Das equagoes 282 e 283 escrevendo em termos dos vetores complexos temos Ugds Rsigas p jw ads 352 Vgar Retgar p JW wr Agar 353 42 Usando agora as equacoes 350 e 351 obtemos vqds Rsiqds p jωLsiqds p jωLmiqdr 354 vqdr Rriqdr p jω ωrLriqdr p jω ωrLmiqds 355 A expressao para o torque e obtida levandose as definicoes dos vetores complexos na equacao 289 Te 3 2 P 2 Lm Lr iqds λqdr 356 3 2 P 2 Lm Lr Imiqds λ qdr 357 3 2 P 2 Lm Imiqdsi qdr 358 onde representa o complexo conjugado e Im representa a parte imaginaria do argumento E importante nao confundir os vetores complexos com fasores Os vetores complexos sao funcoes complexas do tempo e portanto representam valores instantˆaneos das grandezas no domınio tempo 322 Vetores Espaciais Uma outra forma de apresentacao do modelo do motor de inducao comum principalmente na literatura europeia e em termos dos chamados vetores espaciais ou tambem fasores espaciais 5 Este modelo pode ser obtido diretamente do modelo que obtivemos no sistema de co ordenadas abc simplesmente pela aplicacao da definicao dos vetores espaciais No entanto preferimos apresentar a deducao a partir do modelo com vetores complexos com o objetivo de mostrar a interrelacao destas duas diferentes definicoes Utilizando a definicao da transformacao que leva ao sistema de coordendas arbitrario eq 24 e a relacao de Euler ejθ cos θ j sin θ podemos escrever os vetores complexos em funcao das variaveis originais da maquina Assim λqds λqs j λds 2 3λas λbsej 2π 3 λcsej 2π 3 ejθ 2 3λsejθ 359 λqdr λqr j λdr 2 3λar λbrej 2π 3 λcrej 2π 3 ejθθr 2 3λrejθθr 360 43 vqds vqs j vds 2 3vas vbsej 2π 3 vcsej 2π 3 ejθ 2 3vsejθ 361 vqdr vqr j vdr 2 3var vbrej 2π 3 vcrej 2π 3 ejθθr 2 3vrejθθr 362 iqds iqs j ids 2 3ias ibsej 2π 3 icsej 2π 3 ejθ 2 3isejθ 363 iqdr iqr j idr 2 3iar ibrej 2π 3 icrej 2π 3 ejθθr 2 3irejθθr 364 onde λs λr vs vr is e ir sao os vetores espaciais definidos pelas expressoes entre parˆenteses Levandose estas expressoes em 350 e 351 obtemos λs Lsis Lmirejθr 365 λr Lrir Lmisejθr 366 Levandose agora em 354 obtemos vsejθ Rsisejθ Lspisejθ Lmpirejθθr jωLsisejθ jωLmirejθθr 367 Expandindo as derivadas e usando a relacao θ ω podemos cancelar alguns termos Assim vsejθ Rsisejθ Lsejθpis Lmejθθrpir j θrejθθrLmir 368 Cancelando ejθ obtemos vs Rsis Lspis Lmejθrpir j θrejθrir 369 Rsis Lspis Lmpirejθr 370 Analogamente podemos obter a expressao para as variaveis do rotor e para o torque eletromagnetico De forma resumida temos a seguinte forma para o modelo do motor de inducao em termos de vetores espaciais vs Rsis Lspis Lmpirejθr 371 vr Rrir Lrpir Lmpisejθr 372 Te 2 3 P 2 Imisirejθr 373 44 33 MODELOS APROXIMADOS 331 Modelo Linearizado O modelo do motor de inducao tratado até aqui é altamente naolinear Varios produtos aparecem de correntes ou fluxos pela velocidade w além da equacao do torque eletro magnético onde aparecem produtos de correntes ou fluxos Se considerarmos que o motor esta a velocidade constante entao o modelo a menos da equacao do torque é linear Em muitas situagoes é importante obterse um modelo incremental linear para o motor em torno de um ponto de operacao qualquer Este modelo permite a aplicagao de todas as ferramentas da teoria de sistemas lineares Andlises de estabilidade obtencaéo de funcdes de transferéncia e autovalores sao alguns exemplos do que se pode obter deste modelo Contudo nao se deve esquecer que um modelo incremental é valido somente para pequenas perturbagoes em torno do ponto de operacao considerado Denotaremos as varidveis que compoem o ponto de operacao pelo indice superescrito o e os incrementos nas varidveis por A Assim todas as varidveis serao consideradas como a soma de um valor correspondente ao ponto de operacao e de um incremento ou seja ffAf 374 onde f representa uma dada varidvel do motor Levando a equagao 374 na equacao 31 e cancelando os termos correspondentes ao ponto de operacao obtemos A qs L Lm 90 0 Aigs Mor Im Ly 0 O Agr Avis 0 0 Ly Lm Aiag 375 Levando a equacao 374 nas equacgoes 33 a 39 cancelando os termos correspondentes ao ponto de operacao e desprezandose os termos que envolvem produtos de incrementos obtemos um modelo linearizado para o motor de indugao no espaco de estados onde o vetor de estados vetor de entradas e vetor de saidas sao considerados t F Arye Adis AX Arar Avy 376 t Avys Avas Aw AT 377 t 7 Atgs igs Migr Migr ATe Aw 378 dado por RoLs w kRsoLm 0 0 1 0 AS 0 w RsoL 0 kRoLm 0 0 1 ros 0 kRoLm 0 RoL wwe AG 0 0 AS 0 lu 0 kRoLm wwe RoL Ae 0 0 XX 0 KwrQy Kuwror Kwos Kw js 7 0 0 0 45 y RsσLs 0 k2σLm 0 0 0 RsσLs 0 k2σLm 0 k2σLm 0 RrσLr 0 0 0 k2σLm 0 RrσLr 0 Ktλo dr Ktλo qr Ktλo ds Ktλo qs 0 0 0 0 0 1 x 379 onde Kt 3 2 P 2 k2 σLm 380 Kw P 2 1 J Kt 381 332 Modelo para Regime Permanente Em regime permanente o motor e considerado operando a uma velocidade constante ωm e alimentado por tensoes senoidais de amplitude e frequˆencia constantes Assim podemos escrever as tensoes da seguinte forma vas 2Vs cosωet 382 vbs 2Vs cosωet 2π 3 383 vcs 2Vs cosωet 2π 3 384 Com tensoes senoidais aplicadas ao motor as correntes resultantes tambem serao senoidais ias 2Is cosωet φs 385 ibs 2Is cosωet 2π 3 φs 386 ics 2Is cosωet 2π 3 φs 387 e iar 2Ir cosωslt φr 388 ibr 2Ir cosωslt 2π 3 φr 389 icr 2Ir cosωslt 2π 3 φr 390 Levandose as tensoes e correntes ao sistema de coordenadas estacionario obtemos vs qs 2Vs cosωet vas 391 vs ds 2Vs sinωet 392 46 is qs 2Is cosωet φs ias 393 is ds 2Is sinωet φs 394 is qr 2Ir cosωet φr iar 395 is dr 2Ir sinωet φr 396 Observe que as correntes do rotor no sistema de coordenadas estacionario possuem frequˆencia angular ωe e nao mais ωsl Observe tambem que as grandezas no eixo d estao 90 graus adiantadas em relacao as do eixo q Introduzindo a notacao fasorial tomando como referˆencia a tensao da fase a do estator vas temos Vs def V s qs Vs 0 Vas 397 V s ds Vs π2 398 Is def Is qs Is φs Ias 399 Is ds Is π2 φs 3100 Is def Is qr Ir φr Iar 3101 Is dr Ir π2 φr 3102 de onde podemos obter as seguintes relacoes V s ds j V s qs 3103 Is ds j Is qs 3104 Is dr j Is qr 3105 Levando 397 a 3102 nas equacoes das tensoes do modelo do motor de inducao no sistema de coordenadas estacionario equacao 294 e substituindo p por jωe obtemos V s qs Rs Is qs jωeLs Is qs jωeLm Is qr 3106 V s ds Rs Is ds jωeLs Is ds jωeLm Is dr 3107 0 Rr Is qr jωeLr Is qr jωeLm Is qs ωrLr Is dr ωrLm Is ds 3108 0 Rr Is dr jωeLr Is dr jωeLm Is ds ωrLr Is qr ωrLm Is qs 3109 Multiplicando as equacoes relativas ao eixo d por j obtemos que V s qs Rs Is qs jωeLs Is qs jωeLm Is qr 3110 j V s ds Rs j Is ds jωeLs j Is ds jωeLm j Is dr 3111 0 Rr Is qr jωslLr Is qr jωslLm Is qs 3112 0 Rr j Is dr jωslLr j Is dr jωslLm j Is ds 3113 47 Figura 31 Circuito Equivalente de Regime Permanente para o MI Como vemos as equacoes no eixo d podem ser obtidas das equacoes no eixo q pelo uso das relacoes 3103 a 3105 Portanto o modelo pode ser reduzido somente as equacoes no eixo q Reescrevendo estas equacoes obtemos V s qs Rs jωeLlsIs qs jωeLmIs qs Is qr 3114 0 Rr jωslLlrIs qr jωslLmIs qr Is qs 3115 Definindo o escorregamento percentual s ωsl ωe 3116 e dividindo ambos os lados da equacao 3115 por s obtemos V s qs Rs jωeLlsIs qs jωeLmIs qs Is qr 3117 0 Rr s jωeLlrIs qr jωeLmIs qr Is qs 3118 Estas equacoes representam o comportamento do motor de inducao em regime permanente em termos das grandezas eletricas A figura 31 mostra o circuito equivalente que pode ser obtido das equacoes 3117 3118 O torque eletromagnetico produzido pelo motor pode ser obtido por Te 3 2 P 2 Lmis qsis dr is dsis qr 3119 Em regime permanente as correntes sao dadas por 393 a 396 Assim Te 3P 2 LmIsIrcosωe φs sinωe φr sinωe φs cosωe φr 3120 3P 2 LmIsIr sinφr φs 3121 48 Note que J e I sao valores eficazes ao invés de valores de pico como muitos autores utilizam De forma resumida temos o seguinte modelo para o motor de inducéo em regime permanente Ve Rot jweLis1s jwelmLs 3122 Rr 0 4 jweLyLp jwelmUl Is 3123 S P Te 85 Emdslr sin ds 3124 A expressao sin pode ser escrita em fungao dos parametros do modelo na forma Rr sin 3125 i permitindo reescrever a equacao do torque nas seguintes formas alternativas P xX Re J Te 3 3126 Pa e B PX fey Te 34 3 8127 2 We Bsfe XXy XigXip XmXir AH X Rs 333 Imposicao de Correntes Uma simplificagao grande no modelo pode ser obtida se considerarmos que o motor de inducao é alimentado por corrente ou seja se admitirmos que conseguimos impor em um dado instante a corrente desejada no motor Esta aproximacao é valida quando o motor é alimentado por um inversor tipo CSI ou um inversor PWM com controle da corrente do motor O modelo para este caso pode ser obtido do modelo d q em varidveis de estado em termos de fluxos ligados substituindose nas equacoes do rotor as seguintes relacdes Lin Ags Loetgs maa 3128 Lin Xds Lotds Zhan 3129 Com isso obtémse R RLm Agr Zhe w Wy Ade L 3130 R RLm dr Na w Wy Agr lds 3131 L L 49 ωr B J ωr P 2 1 J Te Tc 3132 Te 3 2 P 2 Lm Lr λdriqs λqrids 3133 ωm 2 P ωr 3134 Com a consideracao de imposicao de correntes a dinˆamica do estator nao influi mais na dinˆamica do rotor Desta forma o modelo fica reduzido para terceira ordem 50 CONCLUSAO No capıtulo 1 obtivemos o modelo do motor de inducao a partir de suas caracterısticas fısicas Ao longo deste desenvolvimento introduzimos varias aproximacoes com o objetivo de facilitar a obtencao do modelo e tambem de simplificar o modelo final Ainda assim vimos que o modelo que obtivemos era de difıcil tratamento analıtico pois possuia in dutˆancias variantes no tempo Essa dificuldade motivounos na busca de uma forma mais simples para o modelo No capıtulo 2 introduzimos os conceitos de sistema de coordenadas e mudanca de variaveis ou transformacao de coordenadas De uma forma particular apresentamos o sistema de coordenadas arbitrario Utilizando este sistema de coordenadas eliminamos as indutˆancias variantes no tempo do modelo que tınhamos obtido Com isto obtivemos um modelo equivalente e mais simplificado que aquele Ainda neste capıtulo introduzimos casos particulares para o sistema de coordenadas arbitrario Particularmente o sistema de coordenadas sıncrono revelouse interessante do ponto de vista do controle do motor de inducao pois as grandezas eletricas do motor neste sistema sao contınuas No capıtulo 3 apresentamos diversas formas diferentes para o modelo do motor de inducao que sao comuns na literatura Introduzimos a notacao em variaveis complexas que nos permitiu a obtencao dos modelos em termos de vetores complexos e de vetores espaciais Apresentamos o modelo na forma de variaveis de estado que e fundamental para simulacoes em computador Apresentamos tambem o modelo para regime permanente e o modelo incremental ou linearizado Durante todo o trabalho houve a tentativa de mostrar como cada modelo e deduzido e quais as suas relacoes com os outros modelos Preocupamonos em mostrar que as diversas formas diferentes de apresentacao do modelo do motor de inducao sao equivalentes e podem ser obtidas diretamente do modelo basico que obtivemos no capıtulo 1 Com isso acreditamos ter cumprido com o objetivo inicial deste trabalho e almejamos cumpra tambem a sua finalidade 51 Referˆencias Bibliograficas 1 P C KrauseAnalysis of Electic Machinery McGrawHill Series in Electrical Enge neering USA 1986 2 D OKelly and S Simmons Instroduction to Generalized Electrical Machine Theory McGrawHill Publishing Company London 1968 3 I Barbi Introducao ao Estudo do Motor de Inducao Universidade Federal de Santa Catarina 1988 4 B K Bose Power Electronics and AC Drives PrenticeHall Enlewood Cliffs New Jersey 1987 5 W Leonhard Control of Electrical Drives SpringerVerlag Heidelberg 1990 6 G G Richards and O T Tan Simplified Models for Induction Machine Transients under Balanced and Unbalanced Conditions IEEE Trans Ind Appl vol IA17 no 1 JanFeb 1981 7 D W Novotny and R D Lorenz Introduction to Field Orientation and High Perfor mance AC Drives IEEE Industry Applications Society Annual Meeteng Sep 1986 pp 11 145 8 R H Park TwoReaction Theory of Syncronous 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