Condução Bidimensional em Regime Permanente na Transferência de Calor e Massa

Engenharia Mecânica PUCPR Condução Bidimensional em Regime Permanente Disciplina de Transferência de Calor e Massa Condução de Calor 2D 2 Cursos de Engenharia Mecânica PUCPR Soluções analíticas para condução térmica em casos 2D requer um esforço muito maior daquelas para casos 1D Há no entanto inúmeras soluções baseadas em técnicas da Física Matemática tais como séries de Fourier séries de Bessel séries de Legendre Transformada de Laplace entre outras veja por exemplo Carslaw and Jaeger 1959 Conduction Heat Transfer Baseado nestas soluções analíticas o Livro Texto propõe a determinação da taxa de calor para algumas situações bidimensionais baseado em fatores de forma de condução Fonte Incropera et al Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Disciplina de Transferência de Calor e Massa Abordagens Alternativas 3 1º Objetivo Determinar a Distribuição de Temperaturas no meio Txy Em condições 2D Reg Estacionário sem geração de Energia e com k cte 2𝑇 𝑥² 2𝑇 𝑦² 0 2º Objetivo Se a equação acima é resolvida podese determinar as componentes de Fluxo Térmico 𝑞𝑥 e 𝑞𝑦 através das seguintes equações 𝑞𝑥 𝑘 𝑑𝑇 𝑑𝑥 e 𝑞𝑦 𝑘 𝑑𝑇 𝑑𝑦 Cursos de Engenharia Mecânica PUCPR Figura 1 Condução Bidimensional Fonte Incropera et al 2014 Fonte Incropera et al Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Disciplina de Transferência de Calor e Massa Métodos de Solução 4 Solução Analítica Resultado Exato Método de Separação de variáveis possíveis transformada de Laplace ou Fourier Limitado para problemas mais Simples Solução Gráfica Resultado Aproximado Fator de Forma Solução Numérica Resultado Aproximado Diferenças Finitas Elementos finitos ou Volumes Finitos Adaptado para qualquer complexidade Cursos de Engenharia Mecânica PUCPR Fonte Incropera et al Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Disciplina de Transferência de Calor e Massa Solução Analítica 0 0 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 y x T T T T y T x T Condições de contorno 1 0 0 0 0 0 x W y L x y Cursos de Engenharia Mecânica PUCPR 1 1 1 2 n n n n n W senh y senh x sen x y Solução Geral 5 Fonte Incropera et al Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Disciplina de Transferência de Calor e Massa Solução Gráfica Fator de Forma 6 Estas soluções são apresentadas em termos de um fator de forma S 𝑞 𝑆 𝑘 𝑇2 𝑇1 𝑅𝑡 1 𝑆 𝑘 Para algumas configurações comuns o S estão na Tab 41 do Incropera et al 2014 Cursos de Engenharia Mecânica PUCPR Fonte Incropera et al Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Disciplina de Transferência de Calor e Massa Exemplo 01 7 Resíduo de material radioativo é colocado em uma esfera que é então enterrada na terra k 052 WmC A esfera tem um diâmetro de 3 m e seu centro é enterrado 10 m abaixo da superfície do solo A taxa de transferência de calor liberada no início do processo de armazenamento é de 1250 W Estime a temperatura da superfície da esfera se a temperatura do solo é de 33C Cursos de Engenharia Mecânica PUCPR Fonte Incropera et al Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Disciplina de Transferência de Calor e Massa Exemplo 02 8 Uma tubulação com vapor dagua a 200C está enterrada a 2 m abaixo do solo ksolo 052 WmC que está a 0C O tubo k 41 WmC tem um diâmetro interno de 20 cm e uma espessura de 5 mm com um coef transf calor interno de 1000 Wm²C O tubo é envolto em uma manta isolante k 006 WmC com 6 cm de espessura Determine a taxa de calor perdida por metro linear de tubo Cursos de Engenharia Mecânica PUCPR Fonte Incropera et al Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Disciplina de Transferência de Calor e Massa Solução Numérica 9 Método das Diferenças Finitas MDF Método dos Volumes Finitos MVF A rede nodal identifica pontos discretos em que a temperatura é para ser determinada e utiliza mn como notação para designar a sua localização Cursos de Engenharia Mecânica PUCPR Figura 2 Condução Bidimensional a Rede Nodal Fonte Incropera et al 2014 Fonte Incropera et al Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Disciplina de Transferência de Calor e Massa Equações de Diferenças Finitas 10 Como é representada essa temperatura 𝑇𝑚𝑛 na rede nodal Uma aproximação de diferenças finitas é usado para representar os gradientes de temperatura no domínio Cursos de Engenharia Mecânica PUCPR 𝑇ቤ 𝑥 𝑚12𝑛 𝑇𝑚𝑛 𝑇𝑚1𝑛 𝑥 𝑇ቤ 𝑥 𝑚12𝑛 𝑇𝑚1𝑛 𝑇𝑚𝑛 𝑥 Figura 3 Condução Bidimensional B Aproximação por diferenças finitas Fonte Incropera et al 2014 Fonte Incropera et al Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Disciplina de Transferência de Calor e Massa Equações de Diferenças Finitas 11 Por conveniência é necessário pré determinar a direção do fluxo de calor assumindo que todos os fluxos de calor são para a região de interesse nodal e expressar todas as taxas de calor em conformidade Temos então o balanço de energia Cursos de Engenharia Mecânica PUCPR ሶ𝐸𝑒𝑛𝑡 ሶ𝐸𝑔 0 𝑖1 4 𝑞𝑖𝑚𝑛 ሶ𝑞 𝑥 𝑦 1 0 Figura 4 Condução para um ponto nodal a partir de seus pontos vizinhos Fonte Incropera et al 2014 Fonte Incropera et al Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Disciplina de Transferência de Calor e Massa Equações de Diferenças Finitas 12 Cursos de Engenharia Mecânica PUCPR 𝑞𝑚1𝑛𝑚𝑛 𝑘𝑦 1 𝑇𝑚1𝑛 𝑇𝑚𝑛 𝑥 𝑞𝑚1𝑛𝑚𝑛 𝑘𝑦 1 𝑇𝑚1𝑛 𝑇𝑚𝑛 𝑥 𝑞𝑚𝑛1𝑚𝑛 𝑘𝑥 1 𝑇𝑚𝑛1 𝑇𝑚𝑛 𝑦 𝑞𝑚𝑛1𝑚𝑛 𝑘𝑥 1 𝑇𝑚𝑛1 𝑇𝑚𝑛 𝑦 𝑇𝑚𝑛1 𝑇𝑚𝑛1 𝑇𝑚1𝑛 𝑇𝑚1𝑛 ሶ𝑞 𝑥2 𝑘 4𝑇𝑚𝑛 0 Fonte Incropera et al Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Disciplina de Transferência de Calor e Massa Equações de Diferenças Finitas 13 As condições na região nodal mn são também influenciadas pela troca de calor por convecção pelo fluido Cursos de Engenharia Mecânica PUCPR Figura 5 Representação do ponto nodal Fonte Incropera et al 2014 Fonte Incropera et al Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Disciplina de Transferência de Calor e Massa Equações de Diferenças Finitas 14 Cursos de Engenharia Mecânica PUCPR 𝑞𝑚1𝑛𝑚𝑛 𝑞𝑚𝑛1𝑚𝑛 𝑞𝑚𝑛 0 𝑘 𝑦 2 𝑙 𝑇𝑚1𝑛 𝑇𝑚𝑛 𝑥 𝑘 𝑥 2 𝑙 𝑇𝑚1𝑛 𝑇𝑚𝑛 𝑦 ℎ 𝑥 2 𝑙 𝑇 𝑇𝑚𝑛 ℎ 𝑦 2 𝑙 𝑇 𝑇𝑚𝑛 𝑇𝑚1𝑛 𝑇𝑚𝑛1 2 ℎ𝑥 𝑘 𝑇 2 ℎ𝑥 𝑘 1 𝑇𝑚𝑛 0 𝑥 𝑦 Fonte Incropera et al Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Leitura do item 44 e 45 do Livro texto Incropera para a realização do TDE Fonte Incropera et al Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Cursos de Engenharia Mecânica PUCPR 15